Мы подошли теперь к анализу, этой искуснейшей и тончайшим образом разветвлённой отрасли математических наук. Вы сами знаете, какую ведущую роль играет там бесконечное; математический анализ можно в известном смысле назвать единой симфонией бесконечного.
Громадные успехи, достигнутые в исчислении бесконечно малых, основываются большей частью на действиях с математическими системами, состоящими из бесконечного числа элементов. Так как очень легко напрашивалось отождествление бесконечного с «очень большим», то вскоре возникли несогласованности, так называемые парадоксы исчисления бесконечно малых, часть которых была уже в древности известна софистам. Основным шагом вперёд явилось обнаружение того факта, что многие положения, справедливые для конечного, — часть меньше целого, существование минимума и максимума, перемена мест слагаемых или сомножителей — не могут быть непосредственно перенесены на бесконечное. В начале своего доклада я уже упоминал, что эти вопросы были выяснены благодаря проницательности Вейерштрасса, и теперь анализ в своей области стал безошибочным наставлением и практическим инструментом для пользования бесконечным.
Однако сам анализ ещё не ведёт нас к глубочайшему проникновению в сущность бесконечного. Такому проникновению гораздо больше способствует дисциплина, которая стоит ближе к общефилософским приёмам мышления и которая была призвана опять, уже в новом свете, поставить весь комплекс вопросов, касающихся бесконечного. Этой дисциплиной является теория множеств, создателем которой был Георг Кантор. Здесь мы рассмотрим только то, поистине единственное в своём роде и оригинальное, что составляет собственно ядро канторовского учения, — его теорию трансфинитных чисел, она представляется мне наиболее заслуживающим удивления цветком математического духа и вообще одним из высших достижений чисто умственной деятельности человека. Что же это такое?
Комментарии к книге «О Бесконечном », Давид Гильберт
Всего 0 комментариев