«О Бесконечном »

Но на радостях по поводу наших успехов вообще и, в частности, по поводу исчисления логики, которое мы, не затрачивая на то никаких усилий, нашли в качестве столь необходимого оружия, мы не должны всё же забыть о существенной предпосылке, определяющей наши действия. Существует одно условие, правда, только одно, но зато абсолютно необходимое, с которым связано применение метода идеальных элементов; этим условием является доказательство непротиворечивости: расширение, осуществляемое прибавлением идеалов, допустимо только при условии, что из-за этого в старой, узкой области никаких противоречий не возникает, т. е. при условии, что соотношения, которые получатся для старых образов после исключения идеальных, всегда в старой области имели место.

Однако эта проблема непротиворечивости при настоящем положении вещей вполне доступна для исследования. Именно, подставив в логическую формулу (А&!А) --> В, которая следует, как это уже было указано, из аксиом отрицания, вместо В неравенство 0 ≠ 0, мы получим:

(A&!А) --> 0 ≠ 0.

Таким образом, для доказательства непротиворечивости нам теперь необходимо только показать, что при доказательстве, проведённом по установленным правилам, «0 ≠ 0» не появится в качестве заключительной формулы и, таким образом, что «0 ≠ 0» не есть доказуемая формула. А это является задачей, которая принципиально лежит в области наглядного рассмотрения, аналогично тому, как, скажем, задача об иррациональности sqrt(2) (т. е. доказательство того, что невозможно найти таких два числовых знака а и b, которые связаны соотношением а2 = 2b2, где, следовательно, должно быть показано, что невозможно задать два числовых знака, обладающих некоторым вполне определённым свойством) находится в содержательно построенной теории чисел. Соответственно этому, нам надо доказать, что невозможно дать доказательство, обладающее некоторым вполне определённым свойством. Но ведь формализированное доказательство, точно так же, как и числовой знак, является конкретным и обозримым предметом; оно сообщаемо от начала до конца. Также и требуемое свойство заключительной формулы, состоящее в том, чтобы она гласила «0 ≠ 0», является конкретно устанавливаемым свойством доказательства. Всё это можно действительно осуществить, и тем самым оправдывается введение наших идеальных высказываний.