«Пока алгебра не разлучит нас»

1 Докажем это! Пусть d = НОД (m, n). Допустим, что результат деления m на n равен f, остаток равен r, то есть m = л/ + r. Заметим, что r делится на d. В самом деле, по определению существуют числа р и q такие, что m = dp и n = dq. Подставив эти выражения в первое равенство, получим: r = m — nt = dp — dqt = d (p — qt), следовательно, r делится на d. Чтобы показать, что НОД (n, r) = d, достаточно доказать, что эти два числа не могут иметь общий делитель, больший d. Это вновь следует из формулы m = nt + r: если бы такой делитель существовал, он также был бы делителем m, следовательно, был бы общим делителем m и n, большим d, но d — наибольший общий делитель по определению.

(обратно)9

1 Как объяснял один из членов Британского института стандартов, «частота, используемая в трансляциях ВВС, определялась осциллятором, в котором использовался пьезоэлектрический кристалл с частотой колебаний в 1 миллион герц. Эта частота уменьшалась электронными средствами до 1000 Гц, затем умножалась на 11 и делилась на 25. Так получалась требуемая частота в 440 Гц. Так как число 439 является простым, его нельзя получить подобным способом».

(обратно)1

1 Автор выражает благодарность Густаво Очоа за помощь в подготовке приложения.

(обратно)2

2 На самом деле мы доказали следующий, более точный результат.

Пусть С — конечная абелева группа, порожденная двумя элементами а и b. Пусть порядок (а) = p1e1 ... m prer и порядок (b) = p1f1 ... m prfr, где р — простые числа, e1 и f1 — целые неотрицательные числа, m и n — взаимно простые. Следовательно, группа G изоморфна группе, порожденной двумя элементами х и у такими, что порядок (х) = p1h1 ... prhr, mn и порядок (у) = p1g1 ... prgr, где h = max(е, f) и g = min(e, f) для всех i = 1,...,r.

(обратно)ОглавлениеПока алгебра не разлучит нас Теория групп и ее применение  Предисловие  Глава 1 Годы Бурбаки  Глава 2 Элементарные структуры  Глава 3 История групп  Глава 4 Алгебраические браки    Племя мурнгин  Глава 5 Под знаком Диофанта    Линейные уравнения    Краткий экскурс в криптографию    Уравнение Пелля - Ферма    Эллиптические кривые  Глава 6 Музыка сфер  Приложение  Библиография Fueled by Johannes Gensfleisch zur Laden zum Gutenberg -->