Пока алгебра не разлучит нас Теория групп и ее применение
Хавьер Фресан
Мир МАТЕМАТИКИ 35
Москва - 2014
О, сколько всего я говорил ему, не боясь наказанья судьбы, любви, времени и смерти!
Франсиско де АльданаОна читает Вергилия, Папу Римского и алгебру так, как читают романы.
Вольтер об Эмили дю ШатлеПосвящается Лауре Касиельес
Предисловие
Нью-Йорк, 1941 год. Наступила «полночь века», и двое выдающихся еврейских ученых могут вести свои исследования только под сенью Статуи Свободы.
Андре Вейль, основатель группы Бурбаки, впоследствии совершит в математике революцию, сравнимую с открытием Розеттского камня и сделавшую возможной разгадку некоторых труднейших загадок теории чисел. Пока Вейль бороздил океан математики, Клод Леви-Стросс создал структурную антропологию, и образ антрополога как искателя приключений ушел в прошлое. Вейль и Леви-Стросс познакомились в изгнании, где оба оказались наедине со своими мыслями. В то время Леви-Стросс работал над диссертацией о структурах родства. Исследование шло по плану до тех пор, пока не потребовалось проанализировать браки племени мурнгин — они описывались столь сложными правилами, что все известные методы исследований оказались неприменимы.
В этой книге мы расскажем, как Андре Вейль смог решить проблему, лишившую Леви-Стросса покоя, с помощью теории групп — особого раздела математики, который был создан за сто лет до описываемых событий для решения алгебраических уравнений.
Группа — это множество с определенной на нем операцией, которая ставит в соответствие любым двум элементам множества третий элемент по определенным правилам. Числа выражают величины, группы — симметрию.
Группы повсеместно встречаются не только в математике, но и в природе. Анри Пуанкаре в 1881 году писал: «Математика — всего лишь история групп». Сегодня мы можем с уверенностью сказать, что это справедливо по отношению не только к математике. Теория групп описывает кристаллы кварца, атомы водорода, а также гармонию в музыке и системы защиты данных, обеспечивающие безопасность банковских транзакций.
С самого начала нам стало понятно, что историю сотрудничества Вейля и Леви-Стросса можно изложить только в форме диалога. И тут возникло некоторое неудобство: поскольку действие происходит в Нью-Йорке в 1940-е годы, мы не можем говорить обо всех последующих событиях. К счастью, я вспомнил о прекрасном еврейском веровании, о котором упомянула дочь Вейля: люди после смерти находят себе соучеников в загробном мире и продолжают учиться. Клод Леви-Стросс, умерший в октябре 2009-го, стал таким соучеником для Андре Вейля, который ждал его с момента смерти, наступившей 11 годами ранее. Предупреждаю читателя: не следует думать, что приведенный в книге диалог — выдумка от начала до конца. За некоторыми исключениями, все, что расскажут наши герои, зафиксировано в многочисленных источниках.
Идея этой книги родилась на конференции, прошедшей в августе 2010 года в Международном университете Менендес-и-Пелайо, в Летнем зале имени Ортеги-и-Гассета этой «удивительной академии в духе Возрождения». Но прежде чем предоставить слово моим героям, я должен выразить благодарность организаторам курса и всем, кто помог мне в работе над данной книгой: это Джузеппе Анкона, Густаво Очоа, Гильермо Рей, Роберто Рубио и Лукас Санчес Сампедро. Благодаря им мне удалось еще больше приблизиться к цели и объяснить широкой публике теорию групп через произведения Андре Вейля и Клода Леви-Стросса.
10
Глава 1 Годы Бурбаки
Любому, кто по-настоящему заслуживает звания математика, знакомо состояние счастливого озарения, наступающее, быть может, лишь в исключительные моменты, когда мысли выстраиваются совершенно удивительным образом и когда бессознательное — что бы ни означало это слово — также, по всей видимости, играет свою роль.
Андре Вейль, «Обучение математике»Конец октября 2009 года
ВЕЙЛЬ: Одиннадцать лет прошло...
ЛЕВИ-СТРОСС: Как же я рад вас видеть, господин Вейль! Поймите меня правильно: я предпочел бы встретиться с вами при иных обстоятельствах, но я рад тому, что вы станете моим соучеником. У меня для вас столько вопросов!
ВЕЙЛЬ: У меня тоже, поэтому не будем терять времени и начнем с вопроса, который мне по-настоящему интересен: как вы смогли дожить до ста лет?
ЛЕВИ-СТРОСС: Я обучился этому у индийцев. Но я считаю, что не имею права раскрывать их секреты. Я очень рад, что мы с вами вновь встретились: мне помнится, мы как-то выяснили, что наши предки, возможно, были знакомы, а наши отцы в юности оба были дрейфусарами[1]. Я родом из семьи эльзасских евреев, которые переехали в Париж после аннексии Эльзаса, так как хотели по-прежнему жить во Франции. Так же поступили и ваши родители?
ВЕЙЛЬ: Только родственники по отцу, Вейлли, которые по дороге потеряли вторую букву «л» в фамилии. Кто знает, быть может, мать Пруста по имени Жанна Вейль приходится нам родней? Мои предки по материнской линии родом из степей Галиции. Они носили фамилию Рейнгерц, что в переводе с немецкого означает «чистое сердце».
11
В детстве я слышал много рассказов о них. Впрочем, я понял, что я еврей, только в десять лет, и не придал этому никакого значения.
ЛЕВИ-СТРОСС: Ваша сестра, философ Симона Вейль, считала иначе...
ВЕЙЛЬ: Господин Леви-Стросс, вы знаете, что она по своей природе была склонна ко всяким чудачествам: она то хотела прыгнуть с парашютом, то укрывала в своем доме Троцкого, то предпринимала еще что-нибудь в этом духе. В 15 лет Симона пережила кризис: в это время она считала себя посредственностью в интеллектуальной сфере. Это происходит со многими в ее возрасте, но моя сестра всерьез подумывала о самоубийстве. Впрочем, позже она всегда сохраняла жизнерадостность. В детстве мы были неразлучны: я никогда не забуду, как однажды вечером я упал, а она со всех ног побежала в дом за книгой по алгебре, чтобы успокоить меня.
Память об этих по-детски наивных проявлениях нежности она сохранила на всю жизнь и всегда понимала суть вещей лучше, чем большинство ее близких: так, Симона одной из первых попыталась открыть всему миру глаза на происходящее в России. Я думал, что она уже никак не сможет меня удивить, но ее смерть надолго выбила меня из колеи: у меня несколько месяцев перед глазами стояла страница из книги Сен-Симона со следами ее слез.
ЛЕВИ-СТРОСС: Во время Первой мировой войны ваш отец служил на фронте, в военных госпиталях, и вся ваша семья следовала за ним. Не повлияло ли это на ваше образование?
ВЕЙЛЬ: Мне кажется, в том, что я не обучался по привычной системе, были свои преимущества. Я всегда считал, что достаточно каждые два или три года находить хорошего преподавателя, чтобы он давал толчок к самостоятельному обучению. Эйнштейн просил учителей не рассказывать ему ничего из того, что он уже выучил самостоятельно. Я помню двух преподавателей, которые особенно помогли мне в первые годы учения: я уверен, что господин Коллин знал о математике не больше, чем ему довелось объяснять на занятиях, но он как никто другой умел подстегнуть воображение и усердие учеников. Он вызывал кого-нибудь к доске, чтобы тот решил задачу, и весь класс по десять минут молча думал над решением. Затем мы вместе принимались за его поиски, и не важно, что все наши идеи порой оказывались бесплодными. Тем не менее все определения мы должны были знать наизусть.
Другой мой школьный учитель создал особую алгебраическую систему обозначений для грамматического анализа, о которой я вспомнил намного позже, когда прочел труды Хомского.
ЛЕВИ-СТРОСС: Все эти обстоятельства неудивительны, учитывая что годы вашей учебы прошли в путешествиях.
12
ВЕЙЛЬ: Где я только не был. В 19 лет мне выпала возможность пройти курс в Риме, где образовалась блестящая школа алгебраической геометрии: Франческо Севери преподавал теорию поверхностей, а Федериго Энрикес не раз приглашал меня к себе домой вместе с другими студентами. Именно на одной из таких встреч я узнал о работе Луиса Джоэла Морделла о рациональных точках на эллиптических кривых, без которой не смог бы закончить диссертацию.
На следующий год Вито Вольтерра — один из математиков, с которыми я подружился в Риме, — выдвинул меня на получение стипендии Фонда Рокфеллера, созданной, чтобы «вновь достичь вершин науки» среди послевоенной разрухи. Я посетил Рихарда Куранта в Геттингене в тот самый год, когда он создал квантовую механику (увы, это я понял намного позже!), а также провел несколько месяцев в Берлине. У меня осталось достаточно времени, чтобы помочь Миттаг-Леффлеру, который в то время бился над статьей о рядах многочленов. То была эпоха «оттепели» в Стокгольме. Каждый день мы начинали говорить о математике на французском, затем гостеприимный Миттаг-Леффлер переходил на другую тему и начинал говорить по-немецки, после чего, устав, произносил длинный монолог на шведском, который неизменно оканчивался фразой «Ах да, я и забыл, что вы не говорите по-шведски. Продолжим беседу завтра».
Как вы понимаете, за те несколько недель, что я провел у него, он не слишком продвинулся в работе над рукописью, зато я научился поддерживать разговор на шведском.
ЛЕВИ-СТРОСС: Все это произошло до поездки в Индию?
ВЕЙЛЬ: Да, но я уже тогда был очарован Индией. Мне кажется, мое увлечение началось с того, как в предисловии к английскому словарю я прочел об индоевропейских языках и заинтересовался санскритом. Тогда же, в ранней юности, у меня появилась мечта — прочесть в оригинале, на древнем языке, книги, в которых сочетаются тончайшая логика, грамматика, метафизика и полный чувственности мистицизм.
Я начал посещать курс санскрита, который читал Сильвен Леви в Коллеж де Франс[2]. Именно с благословения Леви я провел два года в Индии. Моя поездка стала частью программы обновления преподавательского состава в Алигархском мусульманском университете — за исключением некоторых весьма достойных преподавателей истории и философии, там царила посредственность. Университетский мир всегда полон интриг, но то, с чем мне пришлось столкнуться в Индии, не снилось даже самым острым на язык фельетонистам. Представьте себе, что я, будучи
13
Андре Вейль с дочерью Сильвией в 1956 году.
самым молодым сотрудником кафедры —в ту пору мне было 23 года,— должен был подготовить характеристики всех преподавателей, которые, по сути, могли стать основанием для их увольнения. Увольнения заслуживали все преподаватели, но в конечном итоге я предложил заменить лишь одного из них учеником Харди, который, строго говоря, был единственным математиком из более чем 100 кандидатов на место. Мне также поручили закупить книги для университетской библиотеки и создать математическую школу. Но как сложно менять установленный порядок, даже если тебя поддерживает молодое поколение!
14
Андре Вейль с сестрой Симоной за чтением на природе. Лето 1922 года.
Во время отпусков я путешествовал по стране и при этом учился преодолевать препятствия, возникавшие на моем пути. Вскоре моей настольной книгой стал справочник железных дорог: я всегда путешествовал на поезде и брал с собой минимум вещей, но во всех поездках меня неизменно сопровождали «Илиада» и «Бхагават Гита» — две книги, которые помогли мне лучше понять, о чем думала сестра. В одном из путешествий я познакомился с Ганди, который организовал свой соляной поход вскоре после того, как я прибыл в Индию. В другой раз я познакомился с поэтом Рабиндранатом Тагором и с будущим президентом республики. Мне встречались самые разные люди, и я не мог не провести некоторые любопытные аналогии. Часто я слышал беседы о том, как похожи Талмуд и труды по психоанализу. Я понял, что брахманы на юге Индии играли ту же роль, что евреи в Европе: они посвятили свою жизнь тщательному комментированию священных текстов, а ненависть к ним отчасти была вызвана тем, что брахманы, при всей своей малочисленности, занимали важное положение в обществе.
ЛЕВИ-СТРОСС: Не могу не спросить вас, господин Вейль, как вы находили время для исследований между всеми этими путешествиями и лекциями?
15
ВЕЙЛЬ: Вы не первый, кто в более или менее дружеском тоне говорит мне, что мои воспоминания напоминают хронику сладкого ничегонеделания. Возможно, поэтому редактор посчитал нужным уведомить читателя, что в них больше говорится о жизни, чем о математике. Быть может, это и в самом деле так, однако те золотые годы закончились, когда мне было 26 лет. Если хотите узнать, каким был мой режим работы в последующие десятилетия, спросите консьержа моего чикагского дома. Он видел, как я каждый день допоздна засиживаюсь за пишущей машинкой, и как-то раз сказал: «Вы очень много работаете, господин Вейль. Если вы не остановитесь, то станете знаменитым».
Если вы хотите оправданий, то я замечу, что некоторые математики по-настоящему увлекаются какой-нибудь задачей только тогда, когда чувствуют конкуренцию со стороны коллег и опасаются, что те смогут найти решение быстрее. Мы же, напротив, чувствуем себя удобнее, когда работаем над темой, интересной лишь немногим. Так мы можем позволить себе длительные периоды размышлений, когда можно перестать размышлять над задачей (по крайней мере, осознанно) и заняться другими делами, а затем вновь приступить к работе со свежей головой.
Раз уж я заговорил о пророчествах, нельзя не вспомнить Куранта: едва познакомившись со мной, он сказал одному из своих учеников, что я стану блестящим, но ужасно непродуктивным математиком. Сейчас я расскажу вам китайскую легенду Итало Кальвино, в которой царь приказал живописцу нарисовать рака.
Живописец ответил, что ему потребуется пять лет, и попросил у царя дом с двенадцатью слугами. Прошло пять лет, но художник даже не начал работу. Царь продлил срок еще на пять лет, и казалось, что художник вновь не успеет закончить рисунок. Но в самый последний момент он взял кисть и в мгновение ока, одним движением руки, изобразил прекраснейшего рака из всех, что видел человек.
ЛЕВИ-СТРОСС: Раз уж мы заговорили о животных, не кажется ли вам, что в математике также существуют лисы и ежи? С этими двумя животными сравнил мыслителей и художников Исайя Берлин, по-своему истолковав строки греческого поэта Архилоха: «Лиса знает много разного, еж знает что-то одно, но очень важное». Ежи — это те, кто представляет себе упорядоченную и централизованную картину мира и с ее помощью объясняет отдельные события. Лисы же считают, что отдельные события могут быть связаны между собой, но мир в целом разнообразен, многогранен и непостижим. К «ежам» Берлин относил Платона, Данте, Ницше и Пруста, к «лисам» — Аристотеля, Шекспира, Монтеня и Джойса.
ВЕЙЛЬ: Мы делимся на орлов и воробьев — так Франческо Севери ответил на мой вопрос об одном из величайших математиков эпохи. Орлы открывают новые понятия, позволяющие проложить курс между островами математического архипелага.
16
Они действуют под знаменем метафор и аналогий. Воробьи же, напротив, находят красоту в частных примерах. Можно сказать, что они лишь повторяют чужие звуки, но благодаря им новые теории получают свое развитие. Хотя мне не кажется уместным причислять себя к одной из этих категорий, я скорее чувствую себя орлом, быть может, по наследству: мой учитель Жак Адамар привил мне желание знать больше, чем неспециалисты, и меньше, чем специалисты, которым порой не удавалось решить задачу потому, что им требовались методы из других областей, совершенно им неизвестных. Подобно тому, как в горах лучи солнца скрываются за далекими вершинами, которые мы едва можем увидеть, в любой книге за очевидными рассуждениями должны скрываться новые перспективы.
ЛЕВИ-СТРОСС: «Орлом» в мире науки можно назвать Бурбаки.
ВЕЙЛЬ: Я знал, что рано или поздно речь зайдет о нем! Если быть точным, Бурбаки был воробьем, который превратился в орла.
Его история началась с того, что мне не терпелось преподавать. После того как я окончил курс в Марселе, мне повезло — меня направили преподавать в Страсбургский университет. Я говорю «мне повезло» потому, что, в отличие от других провинциальных городов, Страсбург, столица Эльзаса, мог похвастаться оживленной интеллектуальной средой и превосходной библиотекой, которую, несомненно, взял за образец историк искусства Аби Варбург при создании собственной библиотеки.
В Страсбургском университете в то время уже преподавал мой друг Анри Картан, с которым я учился в Высшей нормальной школе[3]. Мы с ним преподавали дифференциальное и интегральное исчисление. По обычаю, эти дисциплины преподавались по «Курсу анализа» Эдуара Гypca, но нам он показался устаревшим. Мне помнится, что Картан буквально засыпал меня вопросами, и беседы с ним были столь утомительными, что я прозвал его Инквизитором. Меня самого тоже беспокоили некоторые проблемы: так, я не мог решить, насколько общо следовало объяснять формулу Стокса.
В конце 1934 года у меня возникла идея. Я пришел к Картану и сказал ему: «Мы с друзьями читаем этот курс в разных университетах Франции. Давай объединим усилия и раз и навсегда решим, какой должна быть учебная программа!»
ЛЕВИ-СТРОСС: Так родился Бурбаки.
ВЕЙЛЬ: Да, но никто из нас не мог этого даже вообразить. Нашими друзьями, о которых я упомянул, были Жан Дельсарт, преподававший в Нанси, Клод Шевалле,
17
единственный француз, не считая меня, интересовавшийся теорией чисел, Жан Дьёдонне, впоследствии ставший секретарем группы, и некоторые другие — они вскоре отделились от общей группы.
Некоторые называли нас отцами-основателями. Первое собрание состоялось в одном из кафе Латинского квартала Парижа, на углу бульвара Сен-Мишель и улицы, ведущей к Пантеону. Как я уже говорил, мы хотели написать учебник, который стал бы эталоном на ближайшие 20—30 лет. Вскоре мы решили, что привести на обложке имена всех авторов этого коллективного труда будет неуместно. Тогда мы решили сыграть одну шутку, знакомую некоторым из нас еще по Нормальной школе: один из учеников надел фальшивую бороду и, притворившись иностранным профессором с невероятным акцентом, прочел первокурсникам бессмысленную лекцию, которая окончилась теоремой Бурбаки.
Бурбаки был малоизвестным наполеоновским генералом, который, несмотря на многообещающее начало карьеры во время Крымской войны, потерпел сокрушительное поражение от прусских войск и попытался покончить с собой. Мы решили: Бурбаки будет нашим псевдонимом! Осталось придумать ему биографию. Мы решили назвать его Николя и приписать ему польдевское происхождение. Это была еще одна студенческая шутка — как-то студенты начали кампанию в поддержку вымышленной страны Польдевии, настолько бедной, что даже у ее премьер-министра не было денег на одежду. При помощи Эли Картана, отца нашего товарища, мы опубликовали статью за подписью Николя Бурбаки в журнале Академии наук. Намного позже к нам явился некий потомок генерала, утверждавший, что он полностью восстановил генеалогическое дерево своего семейства и не обнаружил в нем ни одного математика!
ЛЕВИ-СТРОСС: Как от скромной задачи написать учебник вы пришли к идее объединить всю математику?
ВЕЙЛЬ: По мере работы над книгой мы поняли: чтобы заложить надежную основу дифференциального и интегрального исчисления, требовалось пересмотреть все основные понятия математики, начиная с простейших. Наши предшественники довольствовались бы тем, что изложили в нескольких главах весь необходимый материал, но для того чтобы достичь невообразимых высот математики нашего времени, нескольких глав было недостаточно. Отмечу, что математика в достаточной мере подчиняется тезису Томаса Куна о структуре научных революций. В период с конца XIX до первой трети XX века произошла смена парадигмы: в это время возникли теория множеств Кантора, общая топология Хаусдорфа, алгебраическая топология Пуанкаре и Лефшеца, появились Гильбертовы пространства и современная алгебра, создателями которой можно назвать Нётер, Артина и ван дер Вардена.
18
Все новые теории зарождаются одинаково: все начинается с анализа множества примеров, которые рассматриваются независимо друг от друга, а затем некто, подобно первым натуралистам, классифицирует эти примеры на основе наиболее заметных схожих черт. Только в ходе подробного исследования проявляются скрытые свойства, причем некоторые из них становятся очевидными далеко не сразу. Конечной целью Бурбаки в итоге стал поиск основных составляющих всей математики.
ЛЕВИ-СТРОСС: ...чтобы наступил этап, который Кун называл «нормальной наукой».
ВЕЙЛЬ: Труднее всего было организовать работу. Сперва мы регулярно встречались в парижских кафе, но вскоре этих встреч стало не хватать, и мы решили провести вместе две недели летних каникул в каком-нибудь приятном месте, чтобы вывести математику на свежий воздух.
Первый симпозиум состоялся в 1935 году в местечке Бессе в Оверни, где располагалось несколько корпусов Клермонского университета. Следующая встреча должна была пройти в Эскориале, но нам помешала гражданская война в Испании. В итоге мы собрались в доме семейства Шевалле в Шанже, однако встреча по-прежнему называлась Эскориальским симпозиумом.
К каждой встрече члены группы готовили доклады на различные темы, которые позднее должны были войти в книгу. На встречах мы читали эти доклады, составляли планы отдельных томов и связывали различные главы с теми, что уже были опубликованы или только готовились к публикации. Затем начиналась редактура. Мы постановили, что книгу можно будет считать законченной только тогда, когда за это единогласно проголосуют все члены группы. Порой одна и та же рукопись переписывалась бесчисленное множество раз, и на работу ушло более пяти лет, поскольку всегда находился кто-то недовольный результатом. Я и сегодня не могу поверить, что в 1939 году мы завершили работу над сорокастраничной брошюркой, где излагались основы наивной теории множеств, и даже нашли издателя.
ЛЕВИ-СТРОСС: А почему вы назвали теорию множеств «наивной»? Очередная шутка?
ВЕЙЛЬ: Разумеется. Девиз, под которым группа Бурбаки начала свой труд по унификации математики, звучал так: «поставить аксиоматический метод на службу идеологии структур». Об идеологии структур мы поговорим чуть позже.
Если говорить о методе, то мы решили использовать в качестве основы теорию множеств, которая, несмотря на парадоксы, обнаруженные в ней в начале века, в то время пребывала в добром здравии. Следовательно, первый шаг на пути к формализации математики состоял в том, чтобы подробно описать все обозначения и синтаксис теории множеств.
Эта задача была посложнее любого из подвигов Геракла — перед нами был пример Рассела и Уайтхеда, которые работали над «Началами математики» десять лет подряд по 12 часов в день. Таким образом, если бы мы ввели достаточное количество аббревиатур и новых правил синтаксиса, то получили бы намного более практичный язык. Он не был бы формальным в строгом смысле этого слова, но был бы достаточно близок к формальным языкам, чтобы обладать идеальной четкостью. Именно в этом и заключалась «наивность» нашей теории множеств — разновидности стенографической записи идеального языка, не содержащего ни единого пробела.
Вскоре мы забросили формализованную математику, но во всех работах неизменно оставляли своего рода путеводные знаки, чтобы при необходимости вернуться к ней. Следует понимать, насколько мы были увлечены строгими обозначениями, не оставлявшими места риторике. В нашем линейном повествовании запрещались любые отсылки к другим источникам, и в результате вещественные числа впервые объяснялись на трехтысячной странице.
ЛЕВИ-СТРОСС: Не противоречат ли этому исторические заметки, согласно которым Бурбаки имел обыкновение начинать каждую книгу «с чистого листа»?
ВЕЙЛЬ: Это другое. Обратите внимание, что название нашего трактата, «Начала математики», было выбрано не случайно. С одной стороны, мы понимаем математику как единое целое, с другой — сложно не заметить отсылку к «Началам» Евклида. Мы, подобно Евклиду, хотели создать труд, который не потерял бы актуальность на протяжении двух тысяч лет, а достичь этой цели можно было только при одном условии — обеспечив абсолютную полноту книги. Представьте, что люди будущего обнаружат одну из математических статей. В ней будет множество отсылок к другим текстам, многие из которых, скорее всего, окажутся утерянными, и сколь бы интересной ни была наша статья, в конечном итоге она оказалась бы бесполезной. «Начать с чистого листа» не означает отрицать существование математики до нас, ведь геометрия существовала и до Евклида. Напротив: наш трактат, подобно труду Евклида, должен был содержать все знания, известные на тот момент.
Но при упорядочении старых материалов часто обнаруживаются другие, новые.
Должен признаться, что добавить исторические заметки в конец каждого тома предложил я. Позвольте рассказать, почему я принял такое решение. Когда я поступил в Нормальную школу, оказалось, что научная библиотека работала по очень неудобному расписанию. Директор, устав выслушивать мои жалобы, назначил меня помощником библиотекаря. Я мог работать в библиотеке в любое время суток — от меня требовалось лишь минимальное присутствие на рабочем месте. Именно в библиотеке Нормальной школы я прочел труд Бернхарда Римана — в свое время я выучил немецкий, чтобы понимать, о чем говорят родители, когда хотят сохранить что-то в секрете от меня с сестрой. Прочтя труд Римана, я еще больше укрепился в мысли, которая пришла мне в голову после знакомства с трудами древних греков: во всей истории человечества важны лишь гении, а единственный способ познакомиться с ними — это прочесть их произведения. С тех пор я неизменно считал, что при изучении истории математики основное место следует отводить прочтению классических трудов, а не запоминанию никому не интересных дат.
ЛЕВИ-СТРОСС: Раз мы заговорили о великих математиках прошлого, я не могу не спросить вот о чем: вас не беспокоило, что их труды отличались меньшей строгостью и четкостью, чем ваши?
ВЕЙЛЬ: Вы правы, это была одна из самых больших опасностей. Допускаю, что мы не всегда умели держать дистанцию. Мне повезло: историю математики мне преподавал Макс Деи, один из двух человек в моей жизни, кто заставил меня думать о Сократе. Этот удивительный преподаватель считал, что математика — лишь одно из множества зеркал, в которых отражается истина (возможно, четче, чем в остальных). Он организовал во Франкфуртском университете семинар, где планировал читать великие труды с точки зрения их авторов, не требуя от математиков прошлого того, чего позволял достичь лишь современный формализм. Этим же путем я проследовал при работе над книгой об истории теории чисел: я изобразил математиков за работой, чтобы читатель смог понять, как мыслили мудрецы разных эпох, начиная от вавилонян эпохи Хаммурапи, записавших пифагоровы тройки на табличке Плимптон, и заканчивая Лежандром и его «Опытом теории чисел».
ЛЕВИ-СТРОСС: Это та книга, которая начинается с китайской каллиграммы?
ВЕЙЛЬ: Она самая! Я попросил моего коллегу, математика Шиинг-Шена Черна написать его прекрасным каллиграфическим стилем китайскую пословицу «Старый конь знает дорогу». Поэтому на следующей странице приведена фотография барельефа с гробницы императора Тай-цзуна с изображением коня. Я счел, что эта пословица прекрасно отражает мое решение заняться историей математики, так как с возрастом мне все сложнее было вести активную исследовательскую работу. Вы не представляете, сколько математиков в последние годы жизни пали духом из-за того, что утратили прежнюю остроту ума. Я не хотел разделить их участь и стал историком. Ну вот, я заговорил о старости. Миф, связывающий математику с юностью, правдив лишь отчасти: в самом деле, некоторые математики, прожив очень короткую жизнь, навсегда оставили след в истории, однако нельзя в точности сказать, в каком возрасте угасают творческие способности. Харди в своей «Апологии математика» называет возраст в 35 лет — не потому ли, что в этом возрасте он счел,
21
Китайская пословица «Старый конь знает дорогу».
будто уже никогда не сможет доказать новых теорем? Не будем далеко ходить за примером: я сам создал лучшие из своих трудов после 35.
ЛЕВИ-СТРОСС: Тем не менее «пенсионный возраст» для членов группы Бурбаки был четко определен.
ВЕЙЛЬ: А за тем, чтобы он неукоснительно соблюдался, следил я! Не помню, когда именно мы решили, что возраст членов группы не может превышать 50 лет.
Преемственность поколений стала одной из причин успеха Бурбаки: лучшие студенты из каждого выпуска присоединялись к группе на правах подопытных кроликов,
22
и многие из них позднее становились полноправными членами коллектива. Между ними и нами существовала огромная разница: нас обучали математике по-старому, а они были первыми, кто изучил математику по-новому; они были нашими учениками. Мне кажется, французская математика второй половины XX века не знала бы таких успехов без этой плеяды студентов, работавших над общими темами при подготовке книги.
ЛЕВИ-СТРОСС: Возможно, никто не ожидал, что в 50 лет умрет и сам Бурбаки.
ВЕЙЛЬ: На самом деле это неудивительно. Наше видение математики намного лучше соответствовало дисциплинам, проверенным временем, а не тем, что находились в процессе развития. Я мог бы дать структуре формальное определение, но чтобы вы лучше меня поняли, я воспользуюсь метафорой из мира архитектуры.
Между прочим, одна из самых известных книг Бурбаки носит название «Архитектура математики». Структура — это форма, количество и взаимное положение различных частей здания, связанных между собой соединительными элементами, которые обеспечивают прочность конструкции. Структура есть нечто абстрактное: к примеру, функция арки не зависит от того, из какого материала сделан ее свод.
Структуры в математике позволяют одновременно изучать все объекты с одинаковыми свойствами — структура учитывает не их природу, а отношения между ними.
Два объекта, внешне весьма различные, могут быть воплощениями одного и того же архетипа: если мы отбросим все излишества, останется структура, нечто инертное и неизменное. Мы, члены группы Бурбаки, решили описать все структуры с помощью теории множеств, однако, быть может, настало время переформулировать исходный вопрос, на который мы стремились найти ответ. Быть может, следовало задуматься над вопросом: существует ли математика по-прежнему как единое целое?
23
Глава 2 Элементарные структуры
Подобно математике и музыке, этнография — одно из немногих подлинных занятий. Вы можете открыть ее сами, даже если никто не обучал вас ей.
Леви-Стросс, «Печальные тропики»ВЕЙЛЬ: Господин Леви-Стросс, должен признаться, меня удивляет, что такой умный человек, как вы, изучал философию.
ЛЕВИ-СТРОСС: Боюсь, то были ошибки молодости. Впрочем, я вскоре оставил философию и занялся этнологией. Вы же с годами стали философом. Или вы уже забыли о своей статье «От метафизики к математике»?
ВЕЙЛЬ: Я бы назвал ее «историей идей». Если бы вы прочли ее, то узнали бы, что математики XVIII века называли метафизикой ряд нечетких аналогий, которые не могли определить точно, но тем не менее применяли в своих исследованиях. Мне не кажется, что это большой комплимент в адрес философии.
ЛЕВИ-СТРОСС: Называйте ее как хотите, господин Вейль. В любом случае, я пришел к философии потому, что с детства был открыт разнообразию мира. Если у всех еврейских семей и есть какая-то отличительная черта (мы оба прекрасно это знаем), то это преклонение перед культурой, активная интеллектуальная деятельность, которая не пропадает даже тогда, когда забыты все религиозные обряды. Евреи не только становились «торговцами или раввинами», как гласит поговорка,— никакой торговец не хотел, чтобы все дети унаследовали его дело и никто из них не проявил себя в учении. Когда мне нужно было определить дальнейший жизненный путь, меня интересовало слишком многое: я разрывался между живописью, музыкой и изучением древностей. Но мой отец был художником, и я на себе ощутил все финансовые трудности, с которыми может быть связано это занятие. А чтобы стать музыкантом, я был недостаточно талантлив, хотя не отказался бы дирижировать оркестром. Я подумал, что если стану изучать философию, а не какую-то другую науку, то не слишком отдалюсь от своих любимых занятий.
ВЕЙЛЬ: Вы забыли о политике.
25
ЛЕВИ-СТРОСС: Разумеется! В те годы я был очень воинственным, и политика мне по-настоящему нравилась. Я со смехом вспоминаю, как долгое время мечтал стать новым философом социализма! Все началось во время каникул, когда я познакомился с Артуром Ваутерсом, который позднее стал послом Бельгии в СССР.
Именно он заставил меня прочитать Маркса и познакомил с руководителями бельгийской социалистической партии, которые ввели меня в курс дела во всех ячейках и отделениях партии. Вернувшись в Париж, я постепенно начал путь к высоким постам во Французской секции рабочего интернационала — сперва я стал членом небольших комитетов, затем — представителем студентов-социалистов. Я даже был кандидатом во Французскую секцию рабочего интернационала на выборах, но моя предвыборная кампания продлилась всего несколько часов: мы отправились в путь на Citroёn 5 CV, хотя у меня тогда еще не было прав и я впервые в жизни сел за руль. Я подал не лучший пример...
ВЕЙЛЬ: Если бы не авария, возможно, вы стали бы членом партии. Я не понимаю, почему вы, запомнившись такими поступками в юности, позднее не подписали «Манифест 121-го» против войны в Алжире.
ЛЕВИ-СТРОСС: Если бы мне было 20 лет, я бы сам обошел людей и собрал подписи. Мне помнится, когда началась война, я был с головой погружен в работу над «Печальными тропиками». Сначала я подписал письмо, которое было опубликовано в газете L’Express в ноябре 1955-го. В письме мы требовали создать специальный комитет для сохранения мира в Алжире.
Несколько лет спустя меня попросили поддержать манифест, который позднее стал называться «Манифестом 121-го», хотя среди подписавшихся уже были многие видные имена — Сартр, Симона де Бовуар и другие. Дело в том, что известность, которой хотели воспользоваться авторы манифеста, пришла ко мне после публикации научных работ по этнологии, а нет ничего более далекого друг от друга, чем наука и политика.
При анализе данных о туземцах я чувствовал, что не мог написать ни единого слова, которое не было бы истинным или по крайней мере четко обоснованным. Девиз «истина превыше всего» противоречил политике тех лет, и я счел, что лучше всего смогу разрешить противоречия, которые к тому времени раздирали меня изнутри, если отдалюсь от политики. А как вы боролись против войны?
ВЕЙЛЬ: Не верю, что вы меня об этом спрашиваете, господин Леви-Стросс!
Разве вы забыли историю? В 1939 году я официально числился в резерве и решил дезертировать, если меня мобилизуют. То лето я провел с женой Эвелиной в Финляндии. Мы жили на берегу озера рядом с русской границей и проводили все дни за работой на лодке: я готовил статью для группы Бурбаки, а Эвелина упражнялась
26
в стенографии. Неудивительно, что хозяева нашего домика сочли меня шпионом, и на меня завели досье в комиссариате Хельсинки. Об этом я узнал лишь тогда, когда русские начали бомбить финскую столицу. Я был задержан, и у меня нашли подозрительные приглашения на свадьбу дочери Бурбаки. Меня вполне могли расстрелять. Рольф Неванлинна двадцать лет спустя рассказал, как было дело: на ужине, куда он был приглашен как полковник резерва, к нему подошел начальник полиции и заявил: «Завтра мы расстреляем шпиона, который заявил, что знаком с вами». Узнав, что речь шла обо мне, Неванлинна уговорил начальника полиции смягчить наказание и выслать меня из страны.
На границе меня передали в руки шведским властям, которые репатриировали меня во Францию, а там я был помещен в Руанскую тюрьму за дезертирство. Для абстрактной науки нет ничего лучше тюремного заключения: в первом письме к семье — я знал, что его прочитает весь мир,— я дал понять, что покончу с собой, если мне не создадут необходимых условий для работы. Меня перевели в одиночную камеру, где всегда было достаточно бумаги и ручек. Мне кажется, Картан мне завидовал: как-то он написал, что «не всем нам повезло работать так, как тебе, чтобы нас никто не беспокоил». Летом 1940-го я был освобожден из тюрьмы и приписан к шербургской роте, которая занималась тем, что каждый день грузила гаубицы на железнодорожной станции. Как видите, я, скорее, простой дезертир. Не будем обманываться: я никогда не верил в категорический императив. Всеобщая модель поведения не может существовать, ибо жизнью каждого правит его дхарма: Гоген нашел свою дхарму в живописи, я — в математике.
ЛЕВИ-СТРОСС: А я-то думал, что математики всегда первыми вступают в ряды революционеров.
ВЕЙЛЬ: Верно другое: каким бы ни был правящий режим, работа математиков слишком сложна для непосвященных, чтобы ее можно было критиковать. Если мы сохраним единство наших рядов, то будем неуязвимы. Некоторые из коллег по группе Бурбаки сыграли весьма заметную роль в политике. К примеру, Анри Картан предложил амбициозную задачу — достичь примирения между Францией и Германией после окончания Второй мировой войны. На решение этой задачи он бросил все силы и уже в 1946-м организовал первые совещания в Обервольфахе — маленьком городке в Шварцвальде.
Можно быть уверенным — без Картана сегодня не существовало бы Европейского математического общества. Вспомните моего друга Лорана Шварца, еще одного члена группы Бурбаки. Я не знал более опытного переговорщика, чем он. Ему удалось сохранить независимость от властей и в то же время получить высочайшие награды от глав самых разных стран.
27
Он написал книгу воспоминаний под названием «Математик против века». Это явное преуменьшение — он сам и был веком. Шварц сыграл важнейшую роль в движении против войны во Вьетнаме, а до этого — в «деле Одена»[4]. Моя сестра, которая с распростертыми объятиями принимала любого, кто хоть как-то напоминал еврея, коммуниста или диссидента, очень гордилась им.
ЛЕВИ-СТРОСС: Как быстро пролетело время! Во время войны во Вьетнаме я уже совершенно отошел от политики. Оно и к лучшему: я не думаю, что мой тезис о том, что без правил нет общества, был бы популярен у тех, кто вышел на улицы с лозунгами «Запрещено запрещать».
ВЕЙЛЬ: Вы правы, мы зашли слишком далеко. Это совершенно излишне, когда впереди — целая вечность. Быть может, вы объясните мне, почему вы променяли Платона на дикарей.
ЛЕВИ-СТРОСС: После того как я прослушал полный курс философии, логичным было начать подготовку к конкурсу на должность университетского преподавателя. Но после пяти лет в Сорбонне я мечтал не об этом: я устал вновь и вновь механически сочетать похоже звучащие слова, например, «форма» и «фон» или «суть» и «сущность». Это была чистая комбинаторика вне зависимости от темы. Мы, группа бунтарей, прекрасно это понимали и наловчились применять этот метод в спорах о превосходстве трамваев над автобусами. Тем не менее получить должность было непросто: требовалось прочесть уйму книг в короткие сроки; то была своего рода гонка с препятствиями по различным философским доктринам. Я до сих пор не могу понять, как мне удалось занять пост преподавателя. Между прочим, вместе со мной на должность претендовала и ваша сестра, она осталась седьмой, я — третьим, что было еще более непостижимо.
Я провел первый год в должности профессора в институте Мон-де-Марсана, столицы Ланды. Должен признаться, я был счастлив: я недавно женился, готовился к занятиям на ходу, все было ново и волнительно, но на следующий год я пришел в ужас от того, что этот же самый курс я буду читать до конца жизни. Мой разум — не знаю, к счастью или к несчастью — подобен разуму людей неолита: после того как я очистил поле и вырастил на нем урожай, мне хочется предать его огню и отправиться на поиски новых земель. Мне тяжело дважды обратить взор на один и тот же предмет, и любое повторение приводит меня в ужас. Кроме того, я был уверен, что моя
28
жизнь полностью определена: после свадьбы у нас родились бы дети, и я с семьей постепенно переехал бы в один из кварталов на окраине Парижа. Но нет! Именно тогда, осенью 1934 года, в девять часов утра в воскресенье раздался спасительный телефонный звонок. Я помню этот момент так ясно, словно это было вчера. Мне позвонил директор Высшей нормальной школы Селестин Бутле и предложил должность преподавателя социологии в Университете Сан-Паулу. Ответ требовалось дать до полудня.
ВЕЙЛЬ: Но вы не работали в Высшей нормальной школе.
ЛЕВИ-СТРОСС: Я тоже удивился этому звонку. К тому времени я рассказал нескольким друзьям, что готов преподавать за границей — тогда это было еще не так модно, как сейчас. Преподаватели не особенно любили путешествовать, и я допускаю, что претендентов на должность было немного. Директора не волновало, что я не работал в Высшей нормальной школе. Между прочим, когда-то я хотел поступить в Нормальную школу, но чувствовал, что не дотягиваю до товарищей по подготовительным курсам, которых считал поистине недосягаемыми. Мне не давался древнегреческий, и я счел, что смогу избежать его, если выберу курс по одной из наук. В итоге я попал на курс по математике, и мое положение только ухудшилось. Прошел год, и я решил оставить курсы и поступить в университет. Мой преподаватель считал, что я предназначен не для философии, а для какой-то из смежных наук, и нельзя сказать, что он был неправ. По его мнению, моим призванием была юриспруденция, но в итоге — кто бы мог подумать! — я посвятил себя этнографии.
ВЕЙЛЬ: В те годы философы шли в этнографию целыми рядами.
ЛЕВИ-СТРОСС: Именно. Этнология была почти не представлена во французских университетах, поэтому я получил должное образование благодаря усилиям тех немногих, кто занимался этой наукой. Многие из моих преподавателей, как и я, были самоучками. Тем не менее у нас были и предшественники: к примеру, Рабле и Монтень обращались к основам этнографии при анализе верований и обычаев своего времени. Однако лишь в конце XVIII века было создано Общество наблюдателей за человеком, в котором собрались натуралисты, всегда готовые предпринять далекое путешествие, чтобы изучить мифы и обычаи других народов подобно тому, как биологи изучают диковинных животных или растения. Им недоставало лишь метода включенного наблюдения, наблюдения изнутри, который был создан британской школой лишь в начале XX века. Мое любопытство пробудила старая книга антрополога Роберта Генриха Лоуи, который жил в разных племенах североамериканских индейцев и спустя много лет помог мне найти пристанище в Нью-Йорке.
29
Клод Леви-Стросс.
30
Леви-Стросс в экспедиции в Бразилии.
31
Ранее я не испытывал такой тяги к приключениям: да, мне нравилось ходить в походы, заниматься альпинизмом и даже находить приключения в городе вместе с группой друзей. Мы выбирали направление и точку на карте Парижа, после чего шли к ней по прямой линии, не сворачивая. С нами происходили прелюбопытнейшие случаи, которые, однако, были не особенно важными. Прочтя книгу Лоуи «Первобытное общество», я вскоре захотел отправиться в далекое путешествие, чтобы познать мир. Если бы мне предложили отправиться в Новую Каледонию, я согласился бы не раздумывая.
ВЕЙЛЬ: Кто бы мог подумать, ведь ваши «Печальные тропики» начинаются со слов: «Мне ненавистны путешествия и исследователи». Как хорошо, что вам пришлось по душе это приключение!
ЛЕВИ-СТРОСС: Господин Вейль, когда мы говорим о «Печальных тропиках», следует кое-что отметить: я много лет не хотел писать эту книгу. Моя последняя экспедиция в Бразилию состоялась в 1939 году, а работать над книгой я начал только в 1934-м. Когда я вернулся из путешествия, у меня было совсем немного времени на то, чтобы влиться во французскую жизнь, прежде чем меня мобилизовали.
В это время я начал писать роман с тем же названием, но через 30 страниц бросил, поняв, что мой труд — лишь дурная имитация Конрада. У меня нет ни воображения, ни терпения, необходимых для того, чтобы расписать персонажей во всех красках и оттенках. Я хотел стать ученым, а не писателем. Пятнадцать лет спустя я пережил кризис: я чувствовал себя далеким от университетской и общественной жизни. Я не находил себе места. Тогда я вспомнил о незаконченных главах книги и решил снова взяться за них, чтобы найти хоть какое-то облегчение, хотя единственное, что сохранилось от прежней рукописи, — описание захода солнца в конце «Путевых листков». Я записывал все, что приходило мне в голову, никак не редактируя текст. Это были прекрасные каникулы, которые длились четыре месяца.
ВЕЙЛЬ: Возможно, поэтому «Галлимар» не принял рукопись.
ЛЕВИ-СТРОСС: В действительности издательство отвергло не рукопись, а проект, который я отправил еще до начала работы над книгой. Издателям показалось, что мои мысли были недостаточно зрелыми. Мне кажется, они сразу же пожалели об этом, когда вскоре после публикации «Печальных тропиков» в издательстве «Плон» Гонкуровская академия опубликовала заявление, где с сожалением отмечалось: будь «Печальные тропики» романом, они были бы достойны премии!
Как бы то ни было, я позволил себе такие вольности, которые даже не могли прийти мне в голову во время исследования. Именно поэтому в книге изложена правда особого рода. Одна из этих вольностей как раз и заключалась в том, что я, совершенно
32
не чувствуя за собой вины, признался, что ненавижу путешествия и исследователей.
В послевоенной культурной среде присутствовала общая тенденция —допускаю, что с годами она никуда не исчезла, — больше ценить экзотические наблюдения этнологов, а не сделанные ими выводы. Для меня же самой неприятной частью работы было провести несколько недель в пути, полном опасностей, чтобы открыть новый миф или слегка изменить известные правила заключения брака.
Тропики были для меня печальными не только потому, что я видел, как их опустошил белый человек, но и потому, что я не смог до конца понять культуру индейцев, даже прожив среди них какое-то время. Можно было не спать от зари до зари, пытаться оставаться незамеченным, демонстрировать почти унизительное равнодушие и одновременно делать записи, но все это оказывалось напрасным, если индейцы объявляли мне безмолвную войну, как в Кампус-Новус. Мне доставляет облегчение думать, что лучший антрополог всех времен, Бронислав Малиновский, обладавший сверхъестественным чутьем, записал похожие мысли в своих дневниках, которые были опубликованы после его смерти. Об этом я узнал лишь много лет спустя. Работая «на земле», я утешал себя тем, что собираю сведения, ранее неизвестные человеку, которые без меня навсегда канули бы в Лету. Ценность этих сведений для истории была неоценима, но стоило ли это затраченных усилий?
ВЕЙЛЬ: Быть может, это и есть признак искусства? Флобер переписывал «Воспитание чувств» двадцать три раза. Эта книга была одним из первых его юношеских произведений, а последний вариант он завершил незадолго до смерти. Флобер стремился создать идеальный текст, в котором себя узнали бы все. Я убежден, что отличия между разными вариантами этой книги практически незаметны.
Когда я говорю об искусстве, то, разумеется, имею в виду и математику. Сколько часов можно потратить на доказательство леммы, которая станет лишь первым шагом на неизведанном пути, возможно, ведущим в никуда? Тем не менее единственный момент счастливого озарения наделяет смыслом все затраченные усилия. Не могу не процитировать Карла Фридриха Гаусса, «короля математиков», который в письме к итальянцу Гульельмо Либри писал «procreare jucumdum sed parturire molestum», то есть «зачатие сладостно, но роды мучительны».
ЛЕВИ-СТРОСС: Для меня воплощением научного поиска со всеми его трудностями и радостями по-прежнему остается поход на плато в Лангедоке в молодые годы, когда я со всех ног бежал вдоль линии, разделявшей два слоя в геологической формации. Если бы за мной со стороны наблюдал какой-нибудь альпинист, он счел бы мои перемещения абсолютно беспорядочными. Пейзаж, если уметь читать его, может раскрыть перед вами столько же секретов, как и лучшие из книг.
33
Обложка«Печальных тропиков».
ВЕЙЛЬ: Я иногда представляю себе творчество как длинный бег «сквозь ветер и ночь», «durch Nacht und Wind», который по мере приближения к цели становится все быстрее, подобно музыке Шуберта на поэму Гете «Лесной царь». Но не следует забывать, что иногда, как и в поэме, лишь ребенок может увидеть лесного царя, а конь замедляет свой бег и почти останавливается, не выбравшись из лесной чащи.
ЛЕВИ-СТРОСС: Вы хотите сказать, что задачи порой не поддаются даже такому гению, как вы?
ВЕЙЛЬ: Позвольте рассказать вам одну историю. В моей докторской диссертации я развил идею Анри Пуанкаре, который обобщил результат, полученный Луисом Морделлом.
34
Я рассмотрел рациональные решения уравнений вида
у2 = х3 + ах + b.
Такие уравнения описывают кривые, которые математики называют эллиптическими. Взяв за основу два решения, Пуанкаре нашел метод, позволяющий получить третье решение. Мы поговорим об этом подробнее в другой раз; я не хочу, чтобы мы погрязли в деталях. Важно другое: Морделл доказал, что метод Пуанкаре позволяет найти все решения, которых, как правило, бесконечно много, на основе конечного числа тщательно выбранных решений. Я обобщил этот результат для кривых, задаваемых многочленами произвольных степеней. Это было непросто, поскольку в те годы еще не было известно ни единого метода современной алгебраической геометрии. Я поспешил рассказать о своем открытии Адамару и, довольный собой, самонадеянно заявил, что мои методы также позволят доказать гипотезу, предложенную Морделлом в его статье.
Реакцию Адамара на мое заявление предсказал бы любой, кто был с ним знаком. Он сказал:
«Господин Вейль, многие ценят вас очень высоко. На защите диссертации вы не можете остановиться на полпути. Это ваш долг перед самим собой. Ваш рассказ дает понять, что вы еще недостаточно развили свои идеи».
Он ответил мне точно так же, как и редакторы «Галлимара». Я последовал его совету, если, конечно, можно так выразиться, и сосредоточил свое внимание на гипотезе Морделла. Но все пошло вовсе не так, как я ожидал, и в итоге я оставил доказательство.
«Арифметика алгебраических кривых» — так я назвал диссертацию — была опубликована в 1928 году. Знаете, сколько лет ушло на то, чтобы доказать гипотезу?
Больше 50!
Более того, в доказательстве пришлось использовать методы, которые были открыты лишь в начале 70-х.
ЛЕВИ-СТРОСС: Признаюсь, что я не до конца понял вас, господин Вейль.
Надеюсь, что вы расскажете об этом подробнее как-нибудь в другой раз. Как бы то ни было, в вашем рассказе я решительно узнаю Адамара. В том же духе он ответил и мне, когда я попросил у него помощи в работе над «Элементарными структурами родства»: «В математике известны всего четыре операции, и я не припомню, чтобы заключение брака было одной из них». С вами он обошелся благожелательнее.
ВЕЙЛЬ: Здесь вы правы, иначе кто знает, кого бы мне назначили в соученики здесь, в загробном мире. Но вернемся к «Печальным тропикам». Не могу не отметить, что название вы выбрали превосходное.
ЛЕВИ-СТРОСС: Не знаю, согласятся ли с этим переводчики моих книг. Названия моих книг благозвучны лишь в романских языках. (В оригинале книга называется «Tristes Tropiques», сохранить игру слов в переводах не удалось.) На других языках в них нет той музыки, которая так привлекала меня, когда я думал над романом.
35
В переводе не звучит и название другой моей книги, La Pensee sauvage — «Неприрученная мысль». Оно теряет крайне важную для меня многозначность, ведь в этой книге я пишу о том, что в науке конкретного, в этой неприрученной мысли дикарей основой для классификации мира служат различные виды растений. Название каждой моей книги имеет свою историю, но ни одно из них не кажется мне столь прекрасным, как Le Regard eloigne — «Взгляд издалека». Под этим названием в 1983 году вышел сборник моих статей. Мне повстречалась фраза французского проповедника XVII века Жан-Батиста Масийона: «Если смотреть на мир вблизи, то кажется, что он не держится под собственным весом, но издали внушает восхищение». Я понял, что эта фраза станет превосходным эпиграфом для книги по этнологии, которая не может называться никак иначе, чем «Взгляд издалека». Тем не менее, благодаря одному из коллег, специалисту по религиозной литературе, я узнал, что смысл этой фразы прямо противоположен тому, о чем я хотел рассказать в своей книге. Масийон хотел сказать, что мир при рассмотрении вблизи обманывает чувства, вводит в заблуждение. Мне пришлось снять эпиграф, но я не сменил название, и оно по-прежнему остается одним из моих любимых.
ВЕЙЛЬ: Если бы вы не отправились в Бразилию, ни одна из этих книг не была бы написана.
ЛЕВИ-СТРОСС: Ни единая! Мне помнится, Селестин Бугле сказал мне:
«Окрестности города полны индейцев, вы посвятите им свои выходные».
Когда я рассказал об этом послу Бразилии в Париже, он едва не лопнул от смеха: по его мнению, последние индейцы Бразилии были истреблены несколько десятков лет назад. Он спокойно рассказал мне, как португальские колонизаторы расстреливали индейцев, привязывая их к дулам пушек. Я был разочарован: до поездки я представлял себе тропические страны полной противоположностью цивилизованного мира.
Я был настолько убежден в этом, что верил, будто никакие виды живых существ не способны жить одновременно и в наших широтах, и в тропиках. Оказалось, что и Бугле, и посол ошибались: в окрестностях Сан-Паулу индейцев не было, но их можно было встретить на расстоянии в несколько дней пути от города. Это не помешало мне провести ряд небольших исследований по этнографии, которая была особенно богатой в городе, где на расстоянии в несколько сотен метров располагались здания колониального стиля и сверхсовременные строения, скорее уместные в Чикаго. К примеру, я удивил студентов тем, что дал им задание восстановить историю улиц, на которых они жили. С индейцами я впервые встретился только на летних каникулах: в те четыре месяца, что остальные профессора провели дома, во Франции, мы с женой отправились в первую экспедицию.
36
ВЕЙЛЬ: Целью экспедиции были поиски индейцев кайнганг, которые оказались не настолько дикими, как вам бы хотелось.
ЛЕВИ-СТРОСС: Встреча с ними стала моим боевым крещением. Индейцы народа кайнганг уже встречались с представителями правительства, которые пытались показать им чудеса цивилизации: им подарили кровати, но индейцы сожгли их на огромном костре. В некотором роде я в своих экспедициях двигался ко все менее и менее известному и словно бы совершал путешествие в другое время: кайнганг, кадивеу, бороро, намбиквара, мунде, тупи-кавахиб — каждый из этих народов был примитивнее предыдущего. Индейцы бороро живо выражали свои чувства с помощью рисунков пером, а их социальная организация отличалась множеством тончайших нюансов, но они также вступали в контакт с цивилизацией.
Несколько недель среди индейцев намбиквара совершенно ошеломили меня: я записывал все подряд в блокнотах, источавших сильнейший запах креозота, которым я обработал их для защиты от насекомых. Едва я успевал вкратце записать очередную идею, как мне в голову приходила новая. Напрасно я пытался удержать в памяти хотя бы несколько слов языка намбиквара, звуки их музыки и методы рыбной ловли; мне даже разрешили присутствовать при родах. Мне кажется, в то время я как никогда точно соответствовал впечатлению, которое составил обо мне мой коллега, пока мы плыли в Бразилию. Он назвал меня «человеком с, несомненно, открытыми глазами, но внутренне закрытым, который словно боится потерять то, что только что обрел». Впрочем, мне было интересно не столько собрать данные, сколько понять, как может выглядеть человеческое общество, сведенное к своему минимальному выражению.
Когда я жил среди индейцев намбиквара, то мог на практике найти ответ на вопрос, которым задавался Руссо в «Рассуждении о происхождении неравенства между людьми» или в «Общественном договоре»: что есть минимальное общество?
ВЕЙЛЬ: Позволю себе, возможно, рискованную аналогию. То же самое мы хотели сделать с Бурбаки. В первые три десятилетия XX века был совершен удивительный прорыв в теории множеств, топологии и алгебре, однако многочисленные свойства объектов, которые рассматривались в этих дисциплинах, были изучены далеко не полностью. К примеру, теоремы не имели максимально общего характера, и мы начали титанический труд — поиск минимально возможных структур, для которых эти теоремы по-прежнему были бы верны.
ЛЕВИ-СТРОСС: Мне в то время недоставало метода исследований. Вы, должно быть, думаете, что мой путь был совершенно нетипичным: как правило, студенты проводят несколько сотен часов в аудиториях, прежде чем впервые выходят в поле; они знакомы с научными трудами, но в поле у них нет рабочего места.
37
Когда я начал понимать некоторые теоретические аспекты, у меня за плечами уже было пять лет походов по болотам и встреч с воинственными индейцами. И вдруг все сошлось. Я лихорадочно принялся за работу и несколько месяцев каждый день просиживал над книгами в Нью-Йоркской публичной библиотеке с раннего утра до самого закрытия.
ВЕЙЛЬ: Нью-Йорк был восхитителен.
ЛЕВИ-СТРОСС: Годы, проведенные в Нью-Йорке, я считаю одними из самых счастливых в жизни. Мы знали, что Европа лежала в руинах, но жизненная сила, которую источало наше нью-йоркское убежище, смягчила боль. Иногда «удовольствие есть маска памяти». Я жил в крошечной квартире на Одиннадцатой улице, где были только кровать, два стола и два стула, а также сундуки с моими вещами, привезенными из Бразилии. Постепенно к ним начали прибавляться тотемы индейцев Британской Колумбии и другие произведения искусства, которые я покупал у антикваров на Третьей авеню.
Когда ко мне в гости приезжал какой-нибудь антрополог, я уступал ему кровать, а сам вспоминал экспедиционные привычки и укладывался спать на полу в спальном мешке. Несколькими этажами выше жил Клод Шеннон, создатель теории информации, однако об этом я узнал лишь несколько лет спустя.
Соседка-бельгийка рассказала мне, что Шеннон пытался создать искусственный мозг, но я не придал ее словам значения — кто знает, что говорили обо мне? Вы понимаете, сколь мало общего было у этой скромной квартиры и роскошных апартаментов, в которых я позднее жил в Париже? Однако вавилонское столпотворение Нью-Йорка также не могло сравниться ни с чем.
Покинуть Нью-Йорк было непросто: антисемитские законы, принятые правительством Виши, закрыли мне дорогу во Францию. Сперва я попытался вернуться в Бразилию, но в тот самый момент, когда посол собирался поставить штамп в моем паспорте, один из его хмурых советников ворвался в кабинет и заявил, что посол лишен полномочий выдавать особые визы. Все это напоминало какой-то шпионский фильм. К счастью, представители Фонда Рокфеллера смогли найти для меня место преподавателя в нью-йоркской Новой школе социальных исследований в рамках программы по защите европейских мыслителей. Февральским утром 1941 года я отправился в дорогу на борту корабля «Капитан Поль Лемерль». На этом небольшом пароходе, где было всего два кубрика, разместилось 350 человек. Но позвольте мне остановиться на этом: жаловаться на бытовые неудобства после ужасов Холокоста кажется мне постыдным. Надеюсь, вы меня поймете. Кроме того, на корабле происходили удивительные вещи: к примеру, среди пассажиров был странный тунисский коммерсант, который вез в чемодане картину Дега. Еще одним пассажиром был
38
анархист Виктор Кибальчич, известный под псевдонимом Виктор Серж, который двумя годами ранее написал «Полночь века».
ВЕЙЛЬ: Интересно, почему он использовал в названии книги риторический вопрос (оригинальное название книги S’il est minuit dans le siecle дословно переводится как «Полночь века ли это?» — Прим. перев.) Позднее похожее название для своей книги выбрал Примо Леви — «Человек ли это?». Быть может, риторический вопрос лучше всего выражает возмущение варварством?
ЛЕВИ-СТРОСС: Возможно, вы правы. Я никогда не думал об этом. Как бы то ни было, мы с Виктором Сержем общались не слишком часто. Величайшим открытием в той поездке для меня стал Андре Бретон, которого сопровождали жена и дочь. Я никогда не забуду, как впервые услышал его имя, которое он назвал, сойдя с корабля в марокканском порту. Я восхищался сюрреалистами: моими настольными книгами были «Парижский крестьянин» и сам «Манифест сюрреализма». Я даже попробовал автоматическое письмо. Мы с Бретоном вскоре подружились, и когда три месяца спустя я — наконец-то! — обосновался в Нью-Йорке, мы продолжили общение. Благодаря сюрреалистам я начал смотреть другими глазами на целый ряд предметов, которые ранее казались мне недостойными искусства.
ВЕЙЛЬ: Раз уж вы заговорили об автоматическом письме, не могу не рассказать вам одну историю.
В течение некоторого времени — однако это произошло несколько позже — члены группы Бурбаки заигрывали с УЛИПО, «Цехом потенциальной литературы», который основали Франсуа Ле Лионне и Раймон Кено примерно в 1960 году. То была группа писателей и математиков, которые стремились найти новые формы и структуры в литературе. Они представляли слова точками, фразы — линиями, абзацы — плоскостями и пытались ответить на вопрос: какая польза в том, что для любой фразы и слова, не содержащегося в ней, всегда можно сформулировать другую фразу, которая будет содержать это слово и ни одно из слов исходной фразы? Участники УЛИПО писали стихи со словарем в руках: они брали за основу какой-нибудь известный текст на французском языке и заменяли каждое слово следующим по словарю: к примеру, «пламя любви» превращалось в «зов копоти».
Так на свет появлялись скрытые аллитерации. Кено зашел еще дальше: он написал десять сонетов так, что читатель мог менять местами строчки произвольным образом. Так получились «Сто тысяч миллиардов стихотворений».
ЛЕВИ-СТРОСС: Мы уже несколько раз заговаривали о структуре, но в те годы я еще не был структуралистом, а если и был, то не осознавал этого.
Я помню момент озарения, случившийся в конце 1939-го, хотя я не уверен, что не придумал эту историю позже, ведь память подобна коробке со старыми фотографиями.
39
Когда я служил в армии, мне поручили цензурировать телеграммы, но цензура вгоняла меня в такую тоску, что я попросил дать мне любую другую работу.
В результате каким-то образом я с тремя-четырьмя сослуживцами оказался на самой линии Мажино, где мы провели всю зиму в ожидании английских разведчиков, которые появились лишь тогда, когда немецкие войска перешли в наступление.
На одной из прогулок — а мы только и делали, что прогуливались, — я залюбовался одуванчиком. Это был одуванчик, а не роза, поэтому у меня есть все основания полагать, что я не выдумал эту историю. Меня поразил скромный одуванчик, и вдруг я понял: все, что я могу сказать об этом одуванчике, будет либо сравнением, либо противопоставлением чему-то иному. Если мы забудем все, что знали, то сможем сказать об одуванчике только одно: он существует. Существовало некоторое множество взаимосвязей, образовывавших структуру, без которой, возможно, ничего не существовало бы.
ВЕЙЛЬ: Такую структуру Якобсон нашел в лингвистике.
ЛЕВИ-СТРОСС: Знакомство с Романом Якобсоном для меня было сродни путешествию, откуда нет возврата, и оставило неизгладимый след.
Мы прибыли в Нью-Йорк одновременно и встретились в Ecole libre des hautes etudes, «Вольной школе высших исследований» — университете, организованном французским правительством в изгнании. Покинуть родину меня вынудили законы режима Виши, а Якобсона — Октябрьская революция. Он не любил говорить на эту тему — кто-то писал, что в Якобсоне было «благородство от науки, которое не могли поколебать никакие невзгоды»,— но я знаю, что в сложившейся политической обстановке ему пришлось учиться ускоренными темпами, чтобы быть интеллектуально готовым к грядущим событиям. Он поспешно организовал отъезд и отправился в Чехословакию как переводчик Красного креста, где вместе с русским князем Трубецким основал Пражский лингвистический кружок. Якобсон и Трубецкой заложили основы современной фонологии. Величайшим ее достижением стало разложение звука, по своей природе непрерывного, — любой человек произносит звуки по-разному — на дискретные единицы — фонемы, образующие замкнутое множество. Ах если бы мы могли проделать то же с семантикой!
Якобсон прослушал несколько моих курсов, я — несколько курсов, которые вел он. По окончании занятий мы обычно продолжали разговор в одном из ближайших кафе. Якобсон, подобно древним грекам, любил застольные беседы. Он всегда, даже в научной работе, предпочитал диалог монологу, поэтому выполнил множество совместных исследований с разными учеными. К примеру, мы с ним вместе подготовили комментарий к «Кошкам» Бодлера, где «любовник пламенный» противопоставляется
40
тому, «кому был ведом лишь зов познания», и двух героев стихотворения объединяет исключительно любовь к кошкам. Мне кажется, это был единственный случай, когда в журнале по антропологии был опубликован анализ французского стихотворения XIX века. Но Якобсон не просто любил диалог — он обладал особым даром вдохновлять собеседников, с которыми неизменно был на ты. Не важно, о чем шла речь — о русском формализме или о взаимосвязи генетического и лингвистического кодов, — с ним любой ощущал себя, как сказал Исайя Берлин, словно на восходящей кривой: более чувствительным и интересным, чем на самом деле.
Интересно, где сейчас Якобсон. Ему следовало бы присоединиться к нам!
ВЕЙЛЬ: Возможно, мы бы поспорили о том, кто знает больше языков.
ЛЕВИ-СТРОСС: В этом споре вам бы пришлось нелегко — он в совершенстве владел шестью или семью языками. Мне кажется, вы славно бы повеселились.
Между прочим, именно Якобсон вдохновил меня написать «Элементарные структуры родства» по окончании курса по этой теме, который я прочел зимой 1942-го.
Именно тогда я решил проследовать в этнологии тем же путем, что Якобсон с коллегами — в лингвистике. Но мне кажется, мы не сможем продолжить нашу беседу, если вы не расскажете мне, о чем же говорится в этой теории групп, которая вам так хорошо знакома.
41
Глава 3 История групп
Математика — всего лишь история групп.
Анри ПуанкареВЕЙЛЬ: Присаживайтесь, господин Леви-Стросс.
ЛЕВИ-СТРОСС: Вы объясните мне, что такое группа?
ВЕЙЛЬ: Постараюсь. Мне хотелось бы начать с одного примера — он очень прост, но в нем постепенно раскрывается большинство основных понятий теории групп. Представьте себе равносторонний треугольник — надеюсь, вы помните, что это треугольник, все стороны которого равны. Меня интересуют движения, которые не меняют положение треугольника, то есть такие, когда сторонний наблюдатель не сможет увидеть разницу между треугольниками «до» и «после». Говорят, что треугольник инвариантен относительно таких преобразований.
ЛЕВИ-СТРОСС: Простите, я перебью вас, господин Вейль. Я кое-что не понял: если фигура в результате этих преобразований не меняется, то как определить, выполнили мы это преобразование или нет? Ведь треугольники не имеют памяти!
ВЕЙЛЬ: Хороший вопрос. Я как раз собирался ответить на него. Нужно пронумеровать вершины треугольника. Он будет выглядеть так же, однако в результате преобразования положение вершин изменится, таким образом, преобразование оставит свой след. Вершины нумеруются исключительно из соображений удобства.
Первая разновидность движения, которую мы рассмотрим, — поворот на 120° против часовой стрелки относительно центра треугольника.
Обозначим это преобразование через R. Как я уже говорил, увидеть результат R нельзя, но если мы бы, к примеру, пронумеровали вершины треугольника, начиная с верхней, против часовой стрелки, то можно было бы сказать, что R переводит первую вершину в третью, вторую — в первую, третью — во вторую. Проще всего показать это на рисунке.
43
Результат поворота R.
Видите? Треугольник не изменился, но теперь его вершины пронумерованы 3—1—2, а не 1—2—3.
R не единственное преобразование, оставляющее треугольник неизменным.
Представьте себе осевую симметрию, ось которой пересекает треугольник. Чтобы в результате симметрии треугольник остался неизменным, нужно внимательно выбрать ось, так как при некоторых видах симметрии положение треугольника изменится.
Симметрия, при которой треугольник меняется.
Треугольник останется неизменным, если ось симметрии проходит через его центр и одну из вершин. Поворот мы обозначили через R, симметрию — через S. Та же схема, которой мы проиллюстрировали поворот R, поможет показать, как изменится положение вершин при симметрии S. Первая вершина останется на месте, а вторая и третья поменяются местами. Теперь вершины пронумерованы не 1—2—3, а 1-3-2.
Результат симметрии S.
Теперь нам известны преобразования R и S. Что с ними можно сделать?
ЛЕВИ-СТРОСС: Выполнить сначала первое, а затем — второе?
ВЕЙЛЬ: Именно! Основное свойство этих преобразований заключается в том, что для двух таких преобразований можно определить их композицию. Применим поворот R, затем — симметрию S и обозначим полученный результат как SR. Мы привыкли читать слева направо, поэтому было бы логичнее записать RS, так как поворот R выполняется первым. Однако обозначение SR имеет свои преимущества.
Найдем композицию двух исходных преобразований.
Композиция преобразований R и S.
На рисунке показано, что при движении SR вторая вершина остается неизменной, а две другие меняются местами. Следовательно, порядок следования вершин меняется с 1—2—3 на 3—2—1. Обратите внимание, что этот же результат можно
45
получить, применив к исходному треугольнику осевую симметрию, ось которой проходит через вторую вершину. Два этих преобразования совпадают.
Композиция преобразований SR представляет собой симметрию.
Теперь определим RS, то есть сначала применим S, а затем R, и посмотрим, как изменится порядок вершин.
ЛЕВИ-СТРОСС: Но от перемены мест множителей произведение не меняется.
ВЕЙЛЬ: Ах, эта юность, эта святая простота! Как же сложно по-новому посмотреть на то, что всем известно с детства. «От перемены мест множителей произведение не меняется» только при умножении чисел: трижды семь — то же, что и семью три. Однако нет никакой причины, по которой этот закон должен выполняться для других операций, например для сочетания движений, оставляющих исходную фигуру неизменной. Между прочим, это четко видно в нашем примере. Если сначала мы выполним S, а затем R, то получим...
Композиция преобразований S и R.
Вершины будут располагаться в порядке 2—1—3. Таким образом, результаты движений SR и RS отличаются.
46
ЛЕВИ-СТРОСС: Но RS — тоже симметрия.
Преобразование RS — симметрия.
ВЕЙЛЬ: Да, и ее ось проходит через третью вершину. Для того чтобы при симметрии треугольник оставался неизменным, ось симметрии должна проходить через его центр и одну из вершин. На основе R и S можно определить все возможные разновидности такой симметрии. Если ось симметрии проходит через вторую вершину, это симметрия SR, если через третью — RS. Добавив к ним собственно симметрию S, ось которой проходит через первую вершину, получим полный перечень:
S, SR и RS — все возможные виды симметрии, оставляющие треугольник неизменным.
Виды симметрии, оставляющие треугольник неизменным.
ЛЕВИ-СТРОСС: Послушайте, господин Вейль, чтобы мы могли составить композицию двух преобразований, они обязательно должны отличаться?
47
ВЕЙЛЬ: Вовсе нет. Ничто не мешает применить одно и то же преобразование несколько раз подряд. Так как поворот фигуры два раза подряд на 120° равносилен повороту на 240°, движение RR также будет поворотом, при котором треугольник остается неизменным. Вместо RR будем записывать R2. Если мы повернем фигуру еще на 120°, она совпадет с исходной. Таким образом, R3 никак не изменяет треугольник. Мы не учли преобразование, которое оставляет порядок следования вершин неизменным — 1—2—3. Будем называть это преобразование тождественным и обозначим его через I. Обратите внимание, что композицией тождественного преобразования и любого другого движения будет это движение.
Мы доказали, что R3 = I, так как результатом трех поворотов является исходная фигура. Говорят, что порядок R равен трем. В общем случае порядок преобразования указывает, сколько раз его нужно применить, чтобы получить тождественное преобразование. S имеет порядок, равный двум — если мы повторим симметрию дважды, то получим исходный треугольник. Мы уже показали, что S, RS и SR — симметрии треугольника. Какие повороты оставляют фигуру неизменной? Обратите внимание, что поворот обладает этим свойством только тогда, когда угол поворота кратен 120°. Следовательно, все возможные повороты — это R, R2 и R3 = I.
Повороты, оставляющие треугольник неизменным.
Мы описали все возможные виды симметрии (S, RS и SR) и все повороты (I, R, R2). Преобразования, оставляющие треугольник неизменным, определяются тем, как они меняют порядок его вершин. Так как поменять вершины треугольника местами можно всего шестью способами, мы описали все преобразования, обладающие этим свойством. Мы знаем, каковы результаты R и S, но не знаем, что получится, если мы применим сначала поворот R, а затем симметрию RS.
48
Преобразование (RS) R.
Как видите, при композиции этих преобразований порядок следования вершин меняется с 1—2—3 на 1—3—2. Таким же будет порядок вершин и при симметрии S, значит, (RS)R = S.
ЛЕВИ-СТРОСС: А что означают скобки?
ВЕЙЛЬ: Скобки указывают, в каком порядке выполняется композиция преобразований. Обратите внимание, что запись RSR априори неоднозначна: следует ли выполнить сначала преобразование R, а затем RS, как мы только что сделали, или же применить сначала SR, а затем R? В первом случае запишем (RS)R, во втором — R(SR). Результаты этих преобразований могут отличаться. Рассмотрим в качестве примера вычитание натуральных чисел. Результаты
7 - (5 - 3) = 7 - 2 = 5
и
(7 - 5) - 3 = 2 - 3 = -1
отличаются, и здесь крайне важно, как располагаются скобки. Впрочем, нам повезло: преобразования (RS)R и R(SR) совпадают.
Преобразования R(SR) и (RS)R совпадают.
ЛЕВИ-СТРОСС: Столько информации! У меня голова идет кругом!
ВЕЙЛЬ: Неудивительно. Предлагаю вам представить результаты в «таблице умножения», подобной той, что мы учили в школе. В каждой клетке запишем композицию преобразований, указанных в соответствующей строке и столбце. Первой всегда будет преобразование, указанное в столбце, как показано стрелкой.
49
Пока что я записал в таблице только те преобразования, результат которых мы уже знаем: композицией любого преобразования и тождества будет исходное преобразование, RSR = S, a R3 = S2 = I. Эти результаты позволяют нам найти результат, например SRSR. Так как мы можем расставить скобки произвольным образом, получим: SRSR = S(RSR). Согласно приведенным выше равенствам, RSR = S, следовательно, SRSR= SS = S2 — это тождественное преобразование, так как порядок симметрии S равен двум. Следовательно, SRSR = I. Но таблица еще не закончена. Не хватает еще нескольких композиций, в частности SRS. Чтобы определить ее результат, напомню, что RSR = S. Если приписать в обе части равенства R2, получим R2RSR = R2S. Мы знаем, что R2R = R3 = I, следовательно, SR = R2S.
Мы получили еще одну композицию, результат которой известен. Мы по-прежнему можем приписать S в обе части равенства, на этот раз — справа. Получим SRS = R2S2, но так как S2 = I, имеем SRS = R2. Добавим результаты в таблицу.
Но таблица все еще не закончена: не хватает композиций R2SR, SR2, RSR2, RSRS и SR2S. Их результаты можно получить на основе тех, что приведены выше — попробуйте сами! К примеру, R2SR совпадает с R(RSR). Но мы знаем, что RSR = S, следовательно, R2SR = RS. Аналогично:
SR2=(SR)R=(R2S)R=R(RSR)=RS,
50
ведь мы уже доказали, что SR = R2S. Я уже провел самые сложные вычисления, и все остальные расчеты вы можете выполнить самостоятельно. Попробуйте и поймете, удалось ли вам понять описанный метод. Как бы то ни было, важно, что эта таблица содержит всю информацию о множестве преобразований, оставляющих треугольник неизменным: что это за преобразования, каковы их композиции, какой порядок они имеют (то есть сколько раз их нужно выполнить последовательно, чтобы получить тождественное преобразование).
Таблица преобразований треугольника.
ЛЕВИ-СТРОСС: Господин Вейль, возможно, это прозвучит глупо, но пока вы заполняли таблицу, я вспомнил «Меланхолию I» Дюрера, одну из трех его «Мастерских гравюр», где изображена крылатая фигура, погруженная в раздумья о геометрии. Как вам известно, на гравюре можно видеть магический квадрат. Сумма чисел во всех его строках, столбцах, а также на диагоналях и некоторых других линиях одинакова и равна 34. Имеет ли этот магический квадрат что-то общее с вашими таблицами умножения?
51
ВЕЙЛЬ: Боюсь, что почти ничего. Важнейшее отличие между ними заключается в том, что в нашей «таблице умножения» все строки и столбцы содержат одни и те же элементы, а в магическом квадрате числа никогда не повторяются. В первой строке квадрата Дюрера записаны числа 16, 3, 2 и 13, во второй — 9, 10, 11 и 8: квадрат красив как раз тем, что все числа в нем различны. Наша таблица скорее напоминает латинский квадрат: символы содержатся в каждой строке и в каждом столбце ровно один раз. Пример:
Далее я объясню, что таблица умножения для группы с конечным числом элементов всегда будет латинским квадратом.
ЛЕВИ-СТРОСС: Прекрасно. Давайте вернемся к группам.
ВЕЙЛЬ: Я привел столь подробный пример с преобразованиями треугольника для того, чтобы теперь мы смогли вместе определить их внутреннюю структуру, то есть то общее, что остается, когда мы отбросим все частные случаи. Не будем откладывать дело в долгий ящик и начнем с того, что избавимся от треугольника.
Напомню, что предмет нашего изучения — не фигура сама по себе, а ряд ее преобразований, которые мы обозначили через R, S и так далее. Заменим их произвольным множеством элементов (конечным или бесконечным), которое будем обозначать буквой G. В примере с преобразованиями треугольника мы можем объединить два движения так, что получится третье, которое будет обладать теми же свойствами. Сохраним это условие: для каждой пары элементов G должна быть определена операция, результат которой также будет принадлежать G. Ранее мы обозначали эту операцию, просто записывая два члена рядом. Теперь введем для обозначения этой операции какой-нибудь новый символ, например *. Так, а * b будет обозначать результат умножения а на b согласно свойствам групповой операции.
На этом мы могли бы остановиться, но подобная структура не содержит достаточно ограничений, чтобы гарантировать наличие некоторых интересных свойств.
Если мы рассмотрим множество всего из трех букв, к примеру С = {х, y, z}, то найдется 19 683 разных способа определить на этом множестве операцию, которая сопоставит любым двум элементам третий. Это слишком много! Необходимо, чтобы операция * обладала некоторыми свойствами. Вернемся к примеру с преобразованиями треугольника. Напомню, что композиция любого преобразования с тождественным преобразованием I оставляла исходное преобразование неизменным.
52
Аналогично, нам нужен нейтральный элемент е такой, что равенства а*е = е*а = а будут верными для любого элемента а множества G. С учетом нейтрального элемента в примере с множеством {х, у, z} число возможных операций сократится до 81 — почувствуйте разницу! Крайне важную роль в расчетах сыграла возможность располагать скобки в произвольном порядке, поэтому мы введем новое требование: при операции над любыми тремя элементами результаты (а * b) * с и а * (b * с) должны быть равны. Это свойство называется ассоциативностью.
Можно было бы сказать, что группа — это множество с определенной на нем ассоциативной операцией, содержащее нейтральный элемент.
Между прочим, такая структура действительно существует и называется моноидом. Приведенное определение могло бы стать определением группы, но преобразования треугольника обладают еще одним свойством, которое будет интересно обобщить. Это свойство обратимости, согласно которому для любого преобразования всегда найдется другое, которое вернет треугольник в исходное положение. Допустим, мы применили поворот R. Если теперь мы применим R2, получим R2R = R3 = I. Таким образом, преобразование R2 обратно преобразованию R. В других случаях движение может быть обратно самому себе, как, например, симметрии S, RS и SR. Существование обратной операции означает, что для любого элемента а множества G всегда найдется другой элемент b такой, что а * b и b * а будут равны нейтральному элементу.
Часто вместо b записывают а-1. Так определяется группа. Чуть позже мы покажем, что определить группу на множестве {х, у, z) можно единственным способом.
Определение.
Группа — это множество G с определенной на нем операцией *, которая ставит в соответствие любым двум элементам множества G, а и b, третий элемент множества G, а * b такой, что выполняются следующие условия.
1. Операция * является ассоциативной, то есть равенство
(а * b) * с = а * (b * с)
верно для любых а, b и с множества G.
2. На множестве G существует нейтральный элемент е такой, что равенства а*е = е*а = а выполняются для любого элемента а на множестве G.
3. Для любого элемента а множества G можно найти элемент b множества G, который удовлетворяет соотношению a*b = b*a = e.
53
Первая групповая операция, которая приходит в голову, — сложение натуральных чисел. Эта операция обладает свойством ассоциативности, а 0 — ее нейтральный элемент. Но чтобы определить группу, необходимо, чтобы для каждого элемента существовал обратный элемент. Для этого добавим к группе отрицательные числа:
—1 будет обратным элементом для 1, так как 1 + (—1) = (—1) + 1 = 0, аналогично —2 будет обратным элементом для 2 и так далее.
Мы получили группу целых чисел, которая обозначается буквой ℤ и содержит бесконечно много элементов. Если мы рассмотрим не сложение, а вычитание, то не сможем определить группу: как мы уже показали, вычитание не обладает свойством ассоциативности.
ЛЕВИ-СТРОСС: Вернемся к определению группы. Верно ли, что для любых двух ее элементов а и b а*b и b*а будут совпадать?
ВЕЙЛЬ: Необязательно. Именно поэтому в свойствах 2) и 3) мы записали оба этих равенства. Указать, что а * е должно равняться е, недостаточно, так как е * а совершенно необязательно будет равняться а * е. Если мы укажем, что для двух любых элементов группы выполняется условие a*b = b*a, то исключим из рассмотрения несколько очень интересных примеров. Вы уже видели, что если поменять местами R и S, результат операции изменится. Таким образом, преобразования треугольника не удовлетворяют приведенному выше определению группы. Разумеется, тот факт, что а*b и b*а в общем случае не совпадают, вовсе не означает, что не могут существовать такие а и b, что будет выполняться равенство а * b = b * а.
Если это равенство выполняется всегда, то говорят, что операция обладает коммутативностью. Если групповая операция является коммутативной, то группа называется коммутативной, или абелевой.
ЛЕВИ-СТРОСС: Но почему абелева?
ВЕЙЛЬ: Группы называются абелевыми в честь норвежского математика Нильса Хенрика Абеля (1802—1829), который с помощью теории групп, только-только зарождавшейся в то время, показал, что почти никакое уравнение пятой степени нельзя решить элементарными методами.
Название «абелева группа» ввел Камиль Жордан в своем «Трактате о подстановках и алгебраических уравнениях», изданном в 1870 году. Жордану пришла в голову прекрасная идея — сделать из имени собственного прилагательное, которое можно использовать как полноценное определение.
Похожие названия ввели члены группы Бурбаки: мы говорили не о геометрии Римана или кольце Артина, а о римановой геометрии и артиновом кольце. Когда явное указание на имя автора исчезало, открывались новые смыслы.
ЛЕВИ-СТРОСС: Но разве не Эварист Галуа придумал группы? Кто-то рассказал мне о том, что произошло с Галуа в ночь перед дуэлью.
54
ВЕЙЛЬ: До чего же всем нравится эта история! Я не раз слышал, что Галуа, которому было суждено умереть на следующий день, в порыве вдохновения создал всю свою теорию всего за одну ночь. Галуа первым использовал понятие «группа» в ряде статей, которые можно назвать одними из прекраснейших в истории человечества. Сложно сказать, насколько велико на самом деле было влияние Галуа. Впрочем, группы, которые он изучал, отличались от тех, что рассматриваем мы. Галуа интересовали группы перестановок. Перестановкой на множестве из n элементов называется способ упорядочения элементов множества. На множестве перестановок можно определить групповую операцию. Допустим, мы выбрали перестановки
на множестве из пяти элементов {1, 2, 3, 4, 5}. Так мы указываем, что после перестановки σ1 множество примет вид {2, 5, 3, 1, 4}, после перестановки σ2 — {3, 4, 5, 1, 2}. Как видите, под каждым элементом исходного множества записан элемент, который приходит ему на смену после перестановки. Чтобы определить группу перестановок, необходимо описать композицию перестановок. Сейчас я покажу, как это можно сделать. Чтобы определить, чему равен результат σ1 * σ2, сначала посмотрим, какое число записано под элементом 1 в перестановке σ2. Это число 3. Затем посмотрим, какому числу соответствует 3 в перестановке σ1. Это вновь будет 3.
Тогда в композиции σ1 * σ2 числу 1 ставится в соответствие 3. Теперь посмотрим, что произойдет с числом 2: при перестановке σ2 ему на смену придет 4, при перестановке σ1 4 соответствует 1, следовательно, в композиции перестановок σ1 * σ2 числу 2 ставится в соответствие число 1. Продолжив рассуждения, получим
Эта композиция перестановок полностью удовлетворяет всем условиям, приведенным в определении группы. Таким образом, мы получили симметрическую группу Sn, где n — число элементов множества, к которому применяется перестановка.
ЛЕВИ-СТРОСС: А где используются эти группы?
ВЕЙЛЬ: Повсеместно! Между прочим, существует теорема, согласно которой любая конечная группа содержится в некоторой симметрической группе — достаточно верно выбрать число элементов группы. Более того, мы, сами того не осознавая,
55
уже работали с симметрической группой. Помните, как мы различали преобразования треугольника? Мы пронумеровали его вершины и рассмотрели, как они меняются местами при различных движениях. Получается, что преобразование треугольника — не более чем перестановка чисел 1, 2 и 3. К примеру, после поворота R первая вершина будет находиться там, где раньше располагалась вторая, следовательно, при этой перестановке 1 ставится в соответствие 2. Аналогично, вершины 2 и 3 будут находиться там, где раньше располагались 3 и 1 соответственно, таким образом, при этой перестановке 3 соответствует 2, 1—3. Следовательно, поворот R описывается той же информацией, что и
Повторим рассуждения для каждого преобразования и получим следующую таблицу соответствий.
Обратите внимание, что если мы составим композицию перестановок
которые, как мы только что показали, обозначают R и S соответственно, то получим следующую перестановку:
которая соответствует RS. Перестановки и преобразования треугольника в точности соответствуют друг другу! С точки зрения структуры группа преобразований, оставляющих треугольник неизменным, идентична симметрической группе S3 Говорят, что эти две группы изоморфны.
56
В общем случае группы G и Н называются изоморфными, если существует функция f, которая сопоставляет каждому элементу G некий элемент Н так, что выполняются три следующих условия:
1) различным элементам соответствуют различные отображения;
2) любой элемент Н является отображением некоторого элемента G;
3) функция f удовлетворяет определению групповой операции, а именно: если мы выполним операцию над элементами g1 и g2 множества G, после чего найдем отображение ее результата или же если мы сначала найдем отображения f(g1) и f(g2), после чего выполним операцию над ними, то полученные результаты будут одинаковы[5].
ЛЕВИ-СТРОСС: Прекрасно, что дальше?
ВЕЙЛЬ: Аксиомы, определяющие структуру группы, можно использовать при доказательстве теорем, которые будут верны для любых групп при соблюдении необходимых условий. В частности, эти теоремы будут верны для нашей группы преобразований треугольника! Пункт 2 определения группы гласит, что существует нейтральный элемент е такой, что равенство а*е = е*а = а верно для любого а, и в определении не указывается, сколько элементов группы обладают этим свойством. Но в пункте 3 определения подразумевается, что он единственный — в противном случае потребовалось бы уточнить, какому из нейтральных элементов равна композиция произвольного элемента и обратного ему. Докажем, что нейтральный элемент является единственным. Допустим, что существуют два нейтральных элемента, е1 и е2. Требуется доказать, что е1 = е2. Рассмотрим произведение е1 * е2.
С одной стороны, е1 — нейтральный элемент, поэтому он не изменяет значение элемента, записанного слева от него. Следовательно, е1 * е2 = е2. С другой стороны, е2 — также нейтральный элемент, следовательно, при умножении любого элемента на е2 этот элемент не изменится. Таким образом, е1 * е2 = е1 Мы доказали, что е1 * е2 одновременно равняется е1 и е2, следовательно, е1 и е2 должны быть равны.
Единственность нейтрального элемента. В любой группе существует только один элемент, для которого выполняется равенство а*е = е*а = а для любого а на множестве G.
ЛЕВИ-СТРОСС: Обратные элементы также будут единственными?
57
ВЕЙЛЬ: Конечно! Как и раньше, предположим, что существует два элемента b1 и b2 такие, что а*b1 = b1*а = е и а*b2 = b2*а = е. Получим, что а * b1 = а * b2 так как обе части равенства в свою очередь равны е. Это равенство по-прежнему будет корректным, если мы умножим обе его части на b1 Получим
b1 * а * b1 = b1 * а * b2
Напомню, что в произведении трех элементов скобки можно расставить как угодно. Так,
b1 * а * b1 = (b1 * а) * b1 = е * b1 = b1
поскольку b1* а = е, где е — нейтральный элемент. Аналогично,
b1 * а * b2 = (b1 * а) * b2 =e*b2 = b2
Так как оба выражения равны, имеем: b1 = b2 В силу этого свойства элемент b можно считать обратным а и записать b = а-1
Я очень рад, что вы задали этот вопрос, поскольку при ответе я упомянул одно утверждение, которое нам очень пригодится в будущем. Обратите внимание, что из равенства а * b1 = а * b2 мы вывели, что b1 = b2 Это свойство общее для всех групп: если результаты умножения двух элементов на третий элемент (в том же порядке) совпадают, то два исходных элемента равны.
Закон сокращения. Если в группе G выполняется одно из равенств
а * b = а * с или b * а = с * а, то b = с.
ЛЕВИ-СТРОСС: Но как это доказать?
ВЕЙЛЬ: Очень просто: достаточно повторить действия, которые мы уже выполнили. Допустим, дано равенство а * b = а * с. Согласно аксиоме теории групп под номером 3 для элемента а существует обратный элемент, который к тому же будет единственным. Обозначим его через a-1. Равенство по-прежнему будет верным, если мы припишем в каждую его часть слева a-1. Имеем:
a-1 * а * b = a-1 * а * с.
Теперь можно использовать свойство ассоциативности и сгруппировать элемент а и обратный ему. Так как a-1 * а равно е, то, с одной стороны,
а-1 * а * b = = (a-1 * а) * b = е * b = b,
с другой стороны,
a-1*а*с = (a-1*а)*с = е*с = с,
поэтому обязательно будет выполняться соотношение b = с. Если исходное равенство будет записано не в виде a*b = a*c, а в виде b * а = с * а, достаточно будет провести аналогичные рассуждения, но приписать обратный элемент не слева, а справа.
58
ЛЕВИ-СТРОСС: А для чего нужно это свойство?
ВЕЙЛЬ: Оно, в частности, позволяет доказать, что таблица умножения конечной группы — это латинский квадрат. Напомню: латинский квадрат — это таблица чисел, в каждой строке и в каждом столбце которой записаны все элементы группы.
Обозначим их через а1 а2... аn. Приведем доказательство для второго столбца таблицы; для любого другого столбца оно будет аналогичным. Какие элементы записаны во втором столбце? Те, что определяются умножением а2 на все элементы группы, то есть а2 * а1, а2 * a2, а2 * а3 ... и так далее до а2 * аn. Допустим, что два выражения из этого списка равны, то есть существуют два индекса j и k такие, что а2 * аj = а2 * ak. Так как а2 приводится в обеих частях выражения, по закону сокращения имеем аj = ak. Таким образом, в этом столбце нет двух одинаковых элементов!
Но так как группа состоит из n элементов, а в столбце таблицы нужно записать n неповторяющихся элементов, то в этом столбце будут записаны все элементы группы! Понимаете?
ЛЕВИ-СТРОСС: Для строк это свойство доказывается аналогично — достаточно поменять множители местами.
ВЕЙЛЬ: Вы определенно делаете успехи, господин Леви-Стросс. Мне кажется, вы готовы ко встрече с новыми группами. Помните, совсем недавно я говорил, что групповая операция на множестве из трех элементов определяется единственным образом? Теперь я объясню, почему это так, но прежде чем изучить случай с тремя элементами, рассмотрим группы порядка 1 и 2. Я уже объяснял, что такое порядок группы? По-моему, нет. Для конечных групп порядком называется число элементов группы.
ЛЕВИ-СТРОСС: Но мы уже дали порядку другое определение, не так ли?
ВЕЙЛЬ: И да, и нет. В примере с преобразованиями треугольника я говорил, что R имеет порядок, равный трем, так как три поворота фигуры на 120°, выполненные последовательно, не изменяют ее. В общем случае порядок элемента равен n, если, выполнив операцию над этим элементом n раз (или возведя его в степень n), мы получим тождество. Вам может показаться, что это определение не имеет ничего общего с предыдущим, но сейчас я продемонстрирую, что это не так.
Рассмотрим произвольный элемент группы, например а. Мы можем составить группу степеней а, то есть <а> = {а, а2, а3...}, где а2 — сокращенное обозначение а * а, а3 обозначает а * а * а и так далее. Допустим, что а имеет порядок n в соответствии с первым определением, то есть аn — нейтральный элемент группы. Тогда перечень степеней остановится на аn = е и затем начнется сначала, так как
аn+1 = аn * а = е*а = а, аn+2 = а2
и так далее. На самом деле множество будет содержать
59
всего n элементов: <а> = {а, а2 ... аn = е}. И это непростое множество: <а>, в свою очередь, является группой: оно содержит нейтральный элемент, результат операции над двумя степенями а всегда равен степени а, и элемент аn-i является обратным для аi. Следовательно, порядок элемента — это порядок множества, состоящего из его степеней. Это новое определение носит более общий характер, чем первое.
Впрочем, интереснее другое. Я предлагаю вам поупражняться в различных действиях над группами и посмотреть, как выглядят группы наименьшего порядка.
В определении группы мы указали, что она обязательно должна содержать нейтральный элемент, поэтому группа не может быть пустой — она всегда будет содержать как минимум нейтральный элемент. Если порядок группы равен единице, она не может содержать других элементов, поэтому будет выглядеть так: G = {е}. Посмотрим, как выглядят группы из двух элементов. Они должны иметь вид G = {е, а}, где е — нейтральный элемент, а — другой элемент, отличный от е. По определению, а*е = е*а = а, а также е * е = е. Следовательно, чтобы полностью определить эту группу, достаточно найти значение а2 = а * а. Этот элемент также должен принадлежать группе, поэтому у нас есть всего два варианта: либо а2 = е, либо а2 = а.
Последний вариант можно сразу же исключить из рассмотрения: применив закон сокращения к равенству а2 = а, получим, что а = е, но мы уже отмечали, что а и е отличаются. Следовательно, существует всего одна группа второго порядка.
Группа второго порядка.
ЛЕВИ-СТРОСС: Я кое-что не понял: почему существует всего одна группа второго порядка? Ведь я могу заменить элемент а чем угодно.
ВЕЙЛЬ: Но таблица умножения не изменится. Важно не то, как выглядят элементы множества, а то, как они связаны между собой. Вспомните вашу историю с одуванчиком. Перестановки множества {1, 2, 3} не имеют ничего общего с преобразованиями, которые оставляют треугольник неизменным, но, как мы уже говорили, элементы обоих множеств можно объединить в пары так, что групповая операция будет корректной. С точки зрения структуры две эти группы будут неразличимы, изоморфны. Они подобны двум различным воплощениям одной и той же идеи
60
Платона — группы шестого порядка, отношения между элементами которой приведены в таблице. Понимаете?
ЛЕВИ-СТРОСС: Следовательно, существует всего одна «идея Платона» о группе третьего порядка?
ВЕЙЛЬ: Да, всего одна.
ЛЕВИ-СТРОСС: Дайте мне попробовать. Группа третьего порядка содержит е и два других элемента а и b, все ее элементы различны: G = {е, а, b}. Нам известно, что элементы группы связаны следующими отношениями: е * е = е, е*а = а*е = а и е*b = b*е = b. Попробуем вычислить значение а2. Так как это элемент группы, допустимы всего три варианта: a2 = е, a2 = а и a2 = b. Тем не менее мы вновь можем исключить из рассмотрения а2 = а — в этом случае по закону сокращения элемент а будет равен нейтральному элементу. Остается два варианта: а2 = е и а2 = b. Но это означает, что существуют две разновидности групп третьего порядка!
ВЕЙЛЬ: Ваши рассуждения следует немного уточнить. Допустим, что а2 = е.
Тогда таблица, описывающая эту группу, будет начинаться так:
Мы уже доказали, что таблица умножения группы — это латинский квадрат, поэтому в каждом столбце и каждой строке таблицы должны быть записаны все элементы группы. Во второй строке уже записаны а и е, следовательно, в третьей ячейке этой строки может находиться только b, но тогда в третьем столбце b будет записано дважды. Эту таблицу нельзя дополнить так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце были записаны все элементы группы. Следовательно, таблица не может описывать группу, и вариант a2 = е исключен.
ЛЕВИ-СТРОСС: Таким образом, остается всего один вариант: a2 = b. Очень интересно! Следовательно, мы можем записать группу так: G = {е, а, a2}. Верно?
ВЕЙЛЬ: Осталось указать, каким будет результат операции над а и a2, то есть каким будет значение a3. Найти его очень просто: так как элемент a3 принадлежит группе, он может равняться только е, а или a2. Тем не менее, если бы a3 был равен одному из двух последних элементов, то, применив закон сокращения один или два
61
раза, мы получили бы, что a3 — нейтральный элемент. Поскольку это не так, у нас остается единственный вариант: а3 = е. Все группы третьего порядка изоморфны.
Эту группу мы уже видели в нашем примере с преобразованиями треугольника. Если вы внимательно посмотрите на составленную нами таблицу умножения, то увидите, что ее часть полностью совпадает с группой третьего порядка. Иногда внутри групп содержатся другие, более мелкие группы, образованные частью элементов исходной группы. Они называются подгруппами.
Подгруппа третьего порядка.
Такие группы, образованные степенями одного и того же элемента, называются циклическими, а сам элемент называется порождающим. Для произвольной группы G семейство порождающих элементов — это конечное множество элементов группы, на основе которых можно получить все остальные ее элементы. К примеру, поворот R и симметрия S — порождающие элементы группы преобразований треугольника. Чтобы лучше понять, что такое циклические группы, представьте себе циферблат часов. Каждые 12 часов стрелка вновь возвращается в исходное положение, поэтому при взгляде на часы нельзя определить, прошло какое-то время или нет.
Если выборы заканчиваются в 9 часов вечера, а подсчет голосов длится четыре часа, то никому не придет в голову сказать, что результаты будут известны в 21 + 4 = 25 часов.
Вместо этого по достижении 24 часов нужно начать отсчет снова и добавить оставшийся час. Таким образом, итоги голосования будут известны в час ночи.
62
Существуют часы с циферблатами, разделенными на 12 и 24 деления, но ничто не мешает изготовить часы с произвольным числом делений, например n. Базовым множеством группы будет множество натуральных чисел, меньших n. Мы запишем эти числа в квадратных скобках, чтобы указать, что каждое из них в действительности обозначает несколько «часов» одновременно: [0], [1], [2] ... [n - 1].
Мне хотелось бы сказать, что операцией, определенной над двумя элементами множества, будет привычная нам операция сложения без квадратных скобок, однако в этом случае мы столкнемся с серьезной проблемой. Представьте, что n равно, например, 5. Тогда представленное выше множество будет иметь вид: [0], [1], [2], [3], [4]. Сумма элементов 3 и 4 будет равна 3 + 4 = 7, а это число не принадлежит множеству. Необходимо видоизменить операцию сложения. Будем обнулять счетчик всякий раз, достигая 5. В нашем примере с числами 3 + 2 = 5, после чего наступает следующий «день», и к полученному результату нужно добавить еще две единицы. Таким образом, [3] + [4] = [2]. Изменять некоторые другие суммы не потребуется: к примеру, 1 + 2 = 3, 3 меньше 5, следовательно, [1] + [2] = [3]. Тем не менее [2] + [3] = [0], а [2] + [4] = [1], так как из результата нужно вычесть 5.
Получим следующую таблицу.
Для любого числа n можно доказать, что эта видоизмененная операция сложения будет групповой операцией на множестве {[0], [1], [2] ...[n — 1]}. Это циклическая группа порядка n, или группа целых чисел со сложением по модулю n. Она обозначается Z/n.
ЛЕВИ-СТРОСС: Достаточно, господин Вейль. Настало время поговорить о браке!
63
Глава 4 Алгебраические браки
Чаще всего основная трудность для математика, столкнувшегося с прикладной задачей, — понять, о чем идет речь, м перевести исходные данные на собственный язык.
Андре Вейль, из комментариев к полному собранию сочиненийЛЕВИ-СТРОСС: Теперь, когда вы объяснили мне основы теории групп, посмотрим, как ее можно применить при изучении структур родства. С чего начнем?
ВЕЙЛЬ: Мы начнем с очень простой модели и на ее примере постепенно покажем все принципы, необходимые для решения более общих задач. Допустим, что племя, которое мы изучаем, состоит из четырех кланов, которые, к примеру, могут поклоняться разным богам или контролировать разные территории. Так как структура брака не зависит от названий кланов, обозначим их буквами: А, В, С и D.
ЛЕВИ-СТРОСС: Вам будет интересно узнать, что когда я поселился среди индейцев намбиквара, они сразу же объяснили, что использовать собственные имена запрещено. Поэтому моим первым шагом при анализе структур родства стало обозначение членов племени различными символами во время переписи. Кроме того, я обозначал кланы буквами, а их отдельных членов — числами. В результате получилась статья, которую, можно сказать, бросало то в жар, то в холод: с холодными обозначениями вида А7 соседствовали комментарии «пышная женщина, всегда в хорошем настроении» или «тщеславный, самодовольный и не слишком умный человек».
ВЕЙЛЬ: Намбиквара... вот прекрасный пример общества, подготовленного для математиков! При решении некоторых задач сложнее всего правильно выбрать обозначения и перевести их на удобный нам язык. В нашем случае после того, как мы выделили четыре клана племени, нужно рассмотреть допустимые браки, которые мы обозначим M1, M2, М3... Обратите внимание, что для описания брака достаточно указать, к какому клану принадлежат мужчина и женщина.
65
К примеру, это могут быть мужчина А и женщина В.
ЛЕВИ-СТРОСС: Теперь нужно установить некоторые ограничения. Во-первых, все члены племени, как мужчины, так и женщины, должны иметь право вступать в брак. Это означает, что для любых мужчины и женщины из любого клана должно существовать как минимум одно правило М, которому они соответствуют.
Пока что все звучит вполне логично. Следующая гипотеза поможет сузить проблему, совершенно необъятную во всей своей полноте. Эта гипотеза связана, как вам известно, с названием моей диссертации: «Элементарные структуры родства».
Я называю элементарными племена, в которых каждому члену соответствует единственная допустимая разновидность брака, и процесс выбора супруга (супруги) происходит автоматически. Другой предельный случай — общества, подобные нашему, которые можно назвать сложными, где каждый брак заключается с учетом бесчисленного множества психологических, социальных, экономических и других факторов.
Следует отметить, что не существует ни полностью элементарных обществ, так как внутри клана всегда допускается некоторая свобода в выборе партнера, ни абсолютно сложных, так как всегда будут существовать те или иные запреты, к примеру, недопустимость инцеста. Но на теоретическом уровне такое различие вполне применимо. При изучении элементарных структур я хотел рассмотреть сложные общества, начав с племен североамериканских индейцев кроу и омаха, которые могли делиться на десятки кланов. Их нормы определяли лишь то, с кем не мог вступать в брак тот или иной человек. Это исследование стало бы логичным продолжением диссертации, но на моем пути встали «Печальные тропики», и я никогда не нашел в себе сил рассмотреть эту в высшей степени сложную задачу с точки зрения математики, так как для этого пришлось бы прибегнуть к помощи компьютеров. С ростом числа кланов число возможных вариантов брака начинает напоминать число ходов в шахматной партии: оно является конечным, но таким большим, что на практике его можно считать бесконечным. Для изучения элементарных структур мне пришлось прочесть около семи тысяч статей, но если бы я не обратился за помощью к вам, то кто знает, смог ли бы я понять более сложные модели.
ВЕЙЛЬ: Не беспокойтесь: мы ограничимся изучением элементарных структур, а прочее оставим молодым исследователям. Если вы не возражаете, я, прежде чем продолжить, напомню, что элементарные структуры удовлетворяют следующим условиям.
66
Условие 1: Все члены племени могут вступать в брак, и каждому из них соответствует единственная разновидность брака.
Обратите внимание, что в подобном обществе число возможных браков в точности равно числу кланов племени. Следовательно, в нашем примере нужно описать M1, M2, M3 и M4.
Так как все мужчины должны иметь возможность вступать в брак, необходимо как минимум четыре правила, по одному для каждого клана. Допустим, что существует еще одно, пятое правило. Оно должно относиться к мужчине определенного клана. Так как кланов всего четыре, это правило обязательно будет описывать один из уже упомянутых кланов, но в таком случае разновидность брака не будет единственной! Мы доказали, что число разновидностей брака должно в точности равняться числу кланов. Однако наши четыре правила не могут быть произвольными: в М1, М2, М3 и M4 должны учитываться не только все мужчины, но и все женщины. Приведем пример правил, для которых выполняется это условие:
(M1) мужчина А и женщина В
(M2) мужчина В и женщина С
(M3) мужчина С и женщина D
(M4) мужчина D и женщина А
ЛЕВИ-СТРОСС: Этнологи называют такую разновидность брака обобщенным обменом, поскольку никакие два клана не обмениваются женщинами: так, мужчины А вступают в брак с женщинами В, а женщины А — с мужчинами D. Теперь, когда мы описали разновидности брака, необходимо объяснить, как они распространяются на представителей следующего поколения. Вновь будем использовать упрощенное условие.
Условие 2: Разновидность брака для каждого человека зависит только от его пола и от разновидности брака его родителей.
ВЕЙЛЬ: Это означает, что существует две функции f и g, которые ставят в соответствие каждой разновидности брака Мi правила f(Мi) и g(Mi), описывающие
67
браки сыновей и дочерей, рожденных в этом браке. Следовательно, изучение структур родства сводится к определению разновидностей брака Мi и функций f и g. Вернемся к предыдущему примеру и предположим, что дети матерей из кланов A, B, С и D принадлежат кланам В, С, D и А соответственно. Посмотрим, как можно определить функции f и g. Разновидность брака М1 описывает брак между мужчиной А и женщиной В. Клан потомков определяется по матери, следовательно, дети от брака М1 будут принадлежать клану С. Так как мужчина из клана С вступает в брак по правилу М3 имеем f(M1) = М3 a g(M1) = M2 поскольку женщины из клана С подчиняются второму правилу. Повторив рассуждения для остальных разновидностей брака, получим следующую таблицу.
Обратите внимание, что функции f и g описывают перестановку разновидностей брака так, что все возможные разновидности оказываются применимы для потомков обоих полов ровно один раз. В противном случае одна из разновидностей брака в следующем поколении исчезла бы, и было бы нарушено первое условие. Помните, что я рассказывал вам о симметрической группе Sn, господин Леви-Стросс? Функции f и g — это перестановки элементов М1, M2, M3 и M4. Сочетая их несколько раз, мы можем достичь любой, даже самой дальней ветви генеалогического древа!
Независимо от сложности правил, описывающих допустимые браки, мы всегда сможем описать их на языке алгебры — достаточно лишь запастись терпением.
ЛЕВИ-СТРОСС: Посмотрим, господин Вейль. Попробуйте доказать, что женщины принадлежат к тому же клану, что и их бабушки по отцовской линии.
ВЕЙЛЬ: Я думал, вы предложите мне задачу посложнее! Допустим, что бабушка и дедушка вступили в брак по правилу Mi. Тогда их сыновья должны последовать правилу f(Mi), а женщины, рожденные в этом брачном союзе, вступят в брак по правилу g(f(Mi)). Следовательно, чтобы определить разновидность брака внучки, сначала нужно применить функцию f, затем — функцию g. Теперь ваш вопрос звучит так: совпадают ли g(f(Mi)) и Mi?
Иными словами, является ли композиция f и g тождественным преобразованием? Чтобы показать, что это не так, достаточно произвести несложные расчеты: поскольку f(M1) равно М3 a g(M3) равно M4, получим, что g(f(M1)) = M4, а не М1 как мы хотели. Следовательно, если бабушка
68
принадлежит клану В, то внучка принадлежит к клану А. Однако бабушка по отцовской линии и ее внучка действительно будут принадлежать к одному клану. Убедитесь в этом!
ЛЕВИ-СТРОСС: Господин Вейль, я впечатлен! Именно такие методы требовались мне в 40-е годы при изучении запрета инцеста — проблемы, над которой до меня работал социолог Эмиль Дюркгейм. Он одним из первых указал, что запрет инцестов есть проявление более общего феномена, распространенного практически повсеместно — экзогамии. Как только мне что-то запрещают в кругу близких родственников, я вынужден покинуть клан, чтобы преодолеть запрет. Таким образом, речь идет не о моральных, а о практических соображениях. Многие опрошенные объясняли, что если женятся на своей сестре, то у них не будет зятя. «С кем я тогда буду ходить на охоту? С кем я буду отдыхать?» — говорили они. Моя точка зрения в некотором роде отличалась от той, которой придерживался Дюркгейм. Мне было интересно понять переход от природы, описываемой всеобщими законами, к культуре, где законы в разных обществах отличались. Вскоре я понял, что запрет инцеста представляет собой некое промежуточное состояние, потерянное звено цепи. Очевидно, что это правило применяется по-разному: в некоторых обществах, чрезвычайно строгих в этом отношении, смертью караются связи, которые мы бы никогда не назвали инцестом. В таком обществе я сам был бы рожден в запретном браке, так как мои родители были пятиюродными братом и сестрой. Другие общества, напротив, настолько либеральны, что в них мужчина может жениться на младшей сестре, хотя вступать в брак со старшей сестрой запрещается. Неизменно одно: всегда существует правило, запрещающее вступать в брак с кем угодно. Согласно моей гипотезе, запрет инцеста есть признак перехода от природы к культуре: в разных обществах это правило отличается, но в то же время оно весьма схоже со всеобщими законами природы.
ВЕЙЛЬ: Если я правильно помню, брак между родными братом и сестрой всегда был запрещен, но в некоторых племенах, которые вы изучали, мужчина мог вступать в брак с дочерью брата своей матери. Посмотрим, как можно записать это правило с помощью перестановок f и g. Не будем сразу же рассматривать мужчину, вступающего в брак, и вернемся на два поколения назад. Рассмотрим брак, заключенный по одному из правил Mi. Дочь, рожденная в этом браке, должна будет последовать правилу g(Mi), сын — f(Мi).
Это и будут мать и ее брат, о которых говорится в условии задачи. Следовательно, мужчина вступит в брак по правилу f(g(Mi)), а дочь брата его матери — по правилу g(f(Mi)). Чтобы оба они могли пожениться, эти правила должны совпадать: f(g(Mi)) = g(f(Mi)). Иными словами,
69
вне зависимости от исходного правила, если мы применим сначала функцию g, а затем — функцию f, то результат будет таким же, как если мы применим сначала функцию f, затем — функцию g. Как я уже объяснял в нашей последней беседе, композиция f и g является коммутативной. Это означает, что подгруппа Sn, которую порождают эти функции (то есть множество элементов, получаемых последовательным применением f и g), является абелевой. Абелевы группы с двумя порождающими элементами очень просты. Сейчас я объясню, почему это так, но вначале потребуется ввести одно новое понятие.
В прошлый раз я привел несколько примеров групп: мы подробно рассмотрели симметрическую группу Sy которая представляла собой группу преобразований, оставляющих равносторонний треугольник инвариантным, а также группу перестановок множества из трех элементов. Мы также поговорили о циклических группах ℤ/n — их элементами являются натуральные числа, меньшие n, а групповой операцией — та же видоизмененная операция сложения, которую мы выполняем, когда смотрим на циферблат часов, разделенный на n делений.
Тогда вы могли бы спросить меня: как определять новые группы на основе известных примеров? Сейчас я опишу один из возможных способов. Допустим, что даны две группы, G и Н. Так как соответствующие групповые операции необязательно совпадают, обозначим групповую операцию первой группы знаком *, групповую операцию второй группы — знаком ·. Множество, на котором будет определена новая группа (обозначим ее G × H), будет образовано парами (g, h), где g — элемент G, h — элемент Н:
G × H = {(g,h): g ∈ G, h ∈ Н}.
Осталось определить групповую операцию. Для этого применим групповые операции G и Н к соответствующим элементам пар. Следовательно, результат операции над (g1, h1) и (g2, h2) будет равен (g1 * g2, h1 · h2). Нетрудно видеть, что эта операция удовлетворяет трем условиям определения группы. Доказательство я оставлю вам в качестве упражнения. Мы получили новую группу, которую будем называть прямым произведением G и Н.
Вычислим в качестве примера прямое произведение циклической группы второго порядка на саму себя. Как известно, элементы ℤ/2 равны [0] и [1], а операции над ними выполняются по следующим правилам:
[0] + [0] = [0], [0] + [1] = [1],[1] + [0] = [1] и [1] + [1] = [0].
Так, прямое произведение ℤ/2 х ℤ/2 будет образовано следующими парами:
([0], [0]), ([0], [1]), ([1], [0]) и ([1], [1]).
Первая из этих пар — нейтральный элемент. Обозначим ее через е. Если мы обозначим остальные пары через а = ([0], [1]), b = ([1], [0]) и с = ([1], [1]), то таблица группы примет вид
70
Это группа Клейна, названная в честь немецкого математика Феликса Клейна (1849—1925), который впервые описал ее в 1884 году в своих «Лекциях об икосаэдре и решении уравнений пятой степени» при изучении преобразований плоскости, оставляющих ромб инвариантным. Обратите внимание, что она содержит всего четыре элемента, а группа треугольника — шесть. Это логично, поскольку группы в некотором смысле характеризуют симметрию, а ромб менее симметричен, чем треугольник!
Гэуппа преобразований, оставляющих ромб неизменным.
Порядок всех элементов группы Клейна равен двум, поэтому на диагонали таблицы умножения записаны только нейтральные элементы. Между прочим, можно доказать, что единственные группы четвертого порядка — это циклическая группа ℤ/4 и группа Клейна.
Они отличаются между собой тем, что одна из них содержит элементы четвертого порядка, другая — нет.
ЛЕВИ-СТРОСС: Я понимаю, о чем вы говорите, господин Вейль, но складывается впечатление, что мы отошли от темы: какое отношение все это имеет к браку?
71
ВЕЙЛЬ: Наберитесь терпения! Я уже говорил, что в обществе, которое удовлетворяет двум нашим условиям, описание структуры родства сводится к описанию разновидностей брака Mi и функций f и g. Введем третье условие, которое описывает запреты инцеста и, по всей видимости, выполняется в некоторых племенах, о которых вы писали в «Элементарных структурах родства»:
Условие 3: Допускается брак между любым мужчиной и дочерью брата его матери.
Это условие означает коммутативность композиции f и g. Следовательно, чтобы изучить все возможные модели обществ, которые удовлетворяют нашим трем условиям, нам нужно как-то классифицировать абелевы подгруппы симметрической группы, порожденные двумя элементами. Посмотрим, как выглядят эти подгруппы:
Обозначим через Н группу, порожденную f и g. Первый возможный случай таков: один из двух элементов можно получить, возведя другой в определенную степень. В этом случае включать такой элемент в число порождающих элементов группы Н не требуется: его можно получить из другого элемента. Таким образом, имеем подгруппу, порожденную единственным элементом, то есть циклическую группу.
Предположим, что это не так, то есть f и g не зависят друг от друга. По определению, элементами Н будут все возможные цепочки операций над f и g, к примеру:
f * g * g * f * g
Порядок следования элементов будет произвольным, но так как мы предположили, что композиция f и g коммутативна, мы можем воспользоваться свойством ассоциативности, применить равенство f*g = g*f и попарно объединить элементы так, что все f и все g будут расположены рядом. Пример:
f*g*g*f*g=f*g*(g*f)*g=f*g*(f*g)*g=f*(g*f)*g*g=f*(f*g)*g*g=f2*g3
Так как этот метод корректен для любого элемента H, мы доказали, что любой элемент Н можно записать в виде fn * gm, где n и m — неотрицательные целые натуральные числа (они могут равняться нулю). Как правило, из соображений удобства указывают, что и fn, и gm — нейтральные элементы. Таким образом, когда верхний индекс одного члена обнуляется, результат операции равен степени другого члена.
Вместо fn * gm мы могли бы записать (fn, gm), при этом в структуре Н не произошло бы каких-то существенных изменений. Эта операция очень похожа на произведение двух циклических групп, однако члены fn * gm могут повторяться, даже если
72
порядок f и g будет больше, чем n и m соответственно. Чтобы показать, что Н — это произведение двух циклических групп[6], нужно выполнить еще несколько действий:
Предложение 1. Конечная абелева группа, порожденная двумя элементами, является либо циклической, либо прямым произведением двух циклических групп.
Это предложение — частный случай теоремы о структуре конечнопорожденных абелевых групп, по которой такие группы изоморфны прямому произведению
ℤ × ... × ℤ × ℤ/n1 × ... × ℤ/nk
где ℤ — группа целых чисел, a ℤ/n1 ..., ℤ/nk — циклические группы. Число копий ℤ, приведенных в произведении, называется рангом группы и отлично от нуля тогда и только тогда, когда группа является бесконечной.
ЛЕВИ-СТРОСС: Теперь рассмотрим наш пример. В нотации, которую вы объяснили в прошлый раз, перестановки f и g записываются так:
Переставим их двумя возможными способами:
Как видите, их композиция коммутативна, следовательно, в нашей структуре с обобщенным обменом любой мужчина может жениться на дочери брата своей матери.
ВЕЙЛЬ: Так как подгруппа S4, порожденная f и g, является абелевой, она будет либо циклической, либо прямым произведением двух циклических групп. В этом случае расчет
73
показывает, что перестановка f определяется как сочетание g с самой собой (/ =
= g2). Следовательно, мы имеем дело с первой из возможных ситуаций. Быть может, так будет всегда? Вовсе нет: составим пример, в котором подгруппа, порожденная f и g, будет прямым произведением двух циклических групп. Предположим, что допустимы следующие разновидности брака:
(Mt) мужчина А и женщина D
(M2) мужчина В и женщина С
(M3) мужчина С и женщина В
(M4) мужчина D и женщина А
В этом случае кланы А и D, равно как и В и С, обменялись женщинами, следовательно, мы имеем дело с ограниченным обменом. Предположим, что дети матерей из кланов А, В, С и D принадлежат к кланам В, A, D и С соответственно. Мы можем определить функции f и g прежним образом:
Обратите внимание, что f — та же перестановка, что и в предыдущем примере, а перестановка g изменилась. Но и в этом случае их композиция коммутативна: 11
Отличие от предыдущего примера заключается в том, что теперь и f, и g являются элементами второго порядка (убедитесь в этом), следовательно, ни один из них не может быть степенью другого. Следовательно, подгруппа, порожденная f и g, будет произведением двух циклических групп. Более того, это будет группа Клейна!
ЛЕВИ-СТРОСС: Еще один вопрос, который интересует нас, этнологов, при изучении браков, звучит так: можно ли найти группы людей, которые не связаны
74
отношениями родства между собой? Общество, в котором можно выделить такие группы, называется сократимым. Допустим, что в элементарном племени, состоящем из четырех кланов, ограниченный обмен проводится по следующим правилам:
(Mt) мужчина А и женщина В
(M2) мужчина В и женщина А
(M3) мужчина С и женщина D
(M4) мужчина D и женщина С
Дети принадлежат к тем же кланам, что и их матери. Функции f и g вычисляются как и обычно, однако будет не лишним напомнить, как именно это делается. В браке М1 жена принадлежит к клану В, следовательно, к этому же клану будут принадлежать и ее дети. Мужчина из клана В вступает в брак по правилу M2, поэтому f(M1) = M2 a g(M1) = M1 так как женщины из клана В подчиняются первому правилу. Получим таблицу
Очевидно, что кланы А и В никогда не породнятся с кланами С и D. Следовательно, рассматриваемое общество является сократимым. В противном случае общество называется несократимым.
ВЕЙЛЬ: Обратите внимание, господин Леви-Стросс, что достаточно рассмотреть несократимые общества, поскольку любое племя можно разделить на несколько несократимых сообществ. Это лишь одно из множества проявлений общего принципа, используемого в самых разных областях математики: если какой-либо объект можно разделить на несколько простых, при этом правила разделения известны, то для анализа всех возможных объектов достаточно изучить эти простые объекты. Представим несократимые общества на языке теории групп. Общество является несократимым тогда и только тогда, когда две любые разновидности брака связаны между собой перестановками f и g, то есть если одну из них можно получить из другой посредством этих перестановок. Не будем забывать, что f и g позволяют восстановить все генеалогическое древо! Очевидно, что это свойство в вашем примере не выполняется: применив f и g к М1 мы можем получить только М1 и М2
Тем не менее два первых общества являются несократимыми. Напомним таблицу, которую мы привели в самом начале:
75
Докажем, что на основе брака Мх можно получить все остальные. В самом деле, применив f и g, получим M3 и M2 соответственно. Если же мы применим сначала f, а затем g, то получим M4 в силу равенства g(f(M1)) = g(M3) = M4. Осталось показать, как можно получить М1. Один из возможных вариантов — дважды применить f, так как f2(M1) = f(M3) = М1. Вот и все! Следовательно, рассматриваемое общество является несократимым.
ЛЕВИ-СТРОСС: Постойте, разве не нужно доказать это же утверждение, взяв за основу M2, М3 и M4 вместо М1?
ВЕЙЛЬ: На самом деле этого не требуется, и сейчас я объясню, почему. Мы знаем, что из Мх можно вывести все возможные разновидности брака. Допустим, что мы хотим вывести все разновидности брака из какого-либо другого Mi. Обозначим через h элемент подгруппы, порожденной f и g, который позволяет перейти от М1 к Mi, то есть такой элемент, для которого выполняется условие h(M1) = Mi.
Так как h принадлежит группе, для него определен обратный элемент h-1. Припишем h-1 с двух сторон равенства и получим h-1(h(M1)) = h-1(Mi). Композицией h и h-1 является тождественное преобразование — вспомните определение обратного элемента! Таким образом, Мх = h-1(Mi). Это означает, что мы можем получить М1 из Mi. Так как правило M1 связано со всеми остальными разновидностями брака, с ними будет связано и любое другое Mi. Подгруппы Sn, обладающие этим свойством, называются транзитивными. Имеем:
Племя, состоящее из n кланов, является несократимым тогда и только тогда, когда подгруппа Sn , порожденная перестановками f и g, является транзитивной.
Объединив это утверждение с предложением 1, получим, что для изучения несократимых обществ, удовлетворяющих трем нашим условиям, необходимо знать: а) какие циклические подгруппы Sn транзитивны и б) какие прямые произведения двух циклических подгрупп Sn транзитивны. Нетрудно видеть, что подгруппа Н
76
группы Sn может быть транзитивной только тогда, когда она содержит по меньшей мере n элементов. Допустим, что эта подгруппа содержит m элементов, где m < n.
Обозначим их через h1, h2... hm. С M1 будут связаны следующие разновидности брака: h1(M1), h2(M2) ... hm(Mm). В лучшем случае все они будут различны, однако этот перечень никогда не будет полным, так как он содержит m элементов, а m меньше n. Применив некоторые другие свойства симметрической группы, найти циклические транзитивные подгруппы Sn несложно, однако давайте остановимся на этом — иначе мы никогда не закончим наш разговор о браках!
Племя мурнгин
ЛЕВИ-СТРОСС: Хотя ваши объяснения по сути намного лучше тех, что преддожили первые антропологи, во всех рассмотренных нами примерах они смогли решить поставленную задачу явным перебором всех возможных сочетаний. Теория групп абсолютно необходима тогда, когда число кланов по-настоящему велико или же когда в правилах заключения браков экзогамия сочетается с эндогамией.
Я понял это, едва начав изучать племя аборигенов мурнгин, живущих на севере Австралии, в Арнем-Ленде. Незадолго до того как я начал работу над докторской, один из крупнейших специалистов по австралийским аборигенам Адольфус Петер Элкин указал, что исключительно формальный анализ систем родства у аборигенов не имеет смысла, поскольку никак не помогает узнать обычаи племени.
Но четко изучить структуры родства у аборигенов мурнгин было крайне важно, так как это племя представляло собой одну из немногих систем ограниченного обмена, в которых различались браки между двоюродными братьями и сестрами: брак с дочерью брата матери разрешался, а брак с дочерью сестры отца — нет. Так как ни одна из известных в то время систем не позволяла объяснить это различие, некоторые авторы выбрали более простое решение — они попросту отказались от анализа закономерностей. Но как может столь точное правило, в котором различаются двоюродные братья и сестры и которое является логичным следствием определенной исходной конфигурации, появиться в системе, не подчиняющейся никаким нормам?
Племя мурнгин делится на два сообщества, иритча и дуа, а каждое из них состоит из четырех кланов. Эти кланы называются нгарит, булаин, каийярк, бангарди, бураланг, баланг, кармарунг и вармут. Названия кланов не имеют особого значения — будем обозначать кланы A1, A2, B1, B2, C1, C2, D1 и D2 Сразу же возникает аномалия, характерная для всех племен этого региона: мужчины не всегда обязаны искать себе жену в другом клане. Существуют две альтернативные формулы, (I)
77
и (II). Первая описывает браки внутри одной и той же половины племени, вторая — в разных. Эти формулы представлены на иллюстрации:
Неизменным остается правило, по которому мать определяет клан своих детей.
Это правило выглядит следующим образом:
ВЕЙЛЬ: Чтобы это общество удовлетворяло нашим условиям, необходимо предположить, что формула, применимая к конкретному человеку, зависит только от его пола и от разновидности брака его родителей, (I) или (II). Для каждого клана определены две разновидности брака, следовательно, имеем 16 различных правил.
Вместо того чтобы обозначить их через М1, M2 ... М16, введем не совсем обычные обозначения, которые помогут упростить расчеты. Во-первых, поставим в соответствие каждому клану племени тройку из нулей и единиц (а, b, с), где
а = 0 для клана А или В, а = 1 для клана С или D,
b = 0 для клана А или С, b = 1 для клана В или D,
с = 0 если номер группы равен 1, и с = 1, если номер группы равен 2.
К примеру, человек из группы А1 будет обозначаться тройкой (0, 0, 0), другой человек из группы В2 — тройкой (0, 1, 1). Верно и обратное: для любой тройки единиц и нулей, к примеру (1, 0, 0), соответствующий клан определяется единственным образом. Так как первое число тройки равно 1, ей соответствует клан С или D. Так как второе число тройки равно 0, ей соответствует клан А или С. Оба этих условия выполняются только в одном случае — если человек принадлежит к клану С. Так как последнее число в тройке равно 0, рассматриваемый человек — член группы С1
78
ЛЕВИ-СТРОСС: Теперь следует обозначить разновидности браков.
ВЕЙЛЬ: Действительно. Мы обозначили каждый клан тройкой чисел (а, b, с).
Добавим к ней четвертую координату, чтобы уточнить формулу брака. Так, каждое правило Mi будет обозначаться четырьмя числами (a, f>, с, d), которые могут равняться 1 или 0. Первые три числа (а, b, с) указывают клан, к которому принадлежит мужчина, вступающий в брак, а четвертое число равно 0 или 1 в зависимости от того, по какой формуле заключается брак — (I) или (II). К примеру, в браке (1, 0, 0, 1) мужчина клана (1, 0, 0), то есть С1 вступает в брак по формуле (II). Следовательно, его женой будет женщина из клана D2, то есть (1,1,1). Клан детей также определяется однозначно: в этом примере они будут принадлежать к клану В2, то есть (0, 1,1). Имеем:
Разновидности брака (1,0,0,1)
Клан отцов (1,0,0)
Клан матери (1,1,1)
Клан детей (0,1,1)
Основная причина, по которой мы выбрали эти обозначения из единиц и нулей, заключается в том, что теперь мы можем выразить отношения родства с помощью циклической группы ℤ/2. Чтобы обеспечить максимальную точность, все нули и единицы следовало бы записать в квадратных скобках, но не будем усложнять обозначения. Благодаря выбранной нотации предыдущий пример можно обобщить, применив две леммы, приведенные ниже.
Лемма 1. В браке разновидности (a, b, с, d) жена принадлежит к клану (а, b + 1, c + d)
В самом деле, мужчины, вступающие в брак по правилу (a,b, с, d), принадлежат к клану (a, b, с). Заметим, что вне зависимости от формулы брака представители кланов А и В всегда будут жениться между собой, равно как и представители кланов С и D.
Так как а = 0 для клана А или В, а = 1 для клана С или D, то первое число в обозначении женщины и мужчины будет одинаковым. Посмотрим, что произойдет со вторым числом. Для этого вновь отметим, что вне зависимости от формулы брака мужчины из кланов А и С будут жениться на женщинах из кланов В и D. Следовательно, если b = 0, то второе число в обозначении женщины будет равно 1.
79
Аналогично, мужчины из кланов В и D вступают в брак с женщинами из кланов А и С. Следовательно, если b = 1, то второе число в обозначении женщины будет равно 0. В обоих случаях b заменяется на b + 1, так как 0 + 1 = 1 и 1 + 1 = 0на ℤ/2.
Осталось посмотреть, как изменится третья координата, обозначающая подгруппу клана. Это единственное число, зависящее от формул (I) и (II). В первом случае, то есть при d = 0, все мужчины вступают в брак с женщинами из своей же подгруппы, следовательно, третье число не изменится. Тем не менее, согласно формуле (II), то есть при d = 1, подгруппы меняются, однако это равносильно сложению d с последней координатой. Лемма доказана! Путем аналогичных рассуждений можно определить клан детей в зависимости от клана матери. Докажем:
Лемма 2. Дети женщины клана (х, у, z) принадлежат клану (х + 1, у, х + z + 1).
Теперь, когда мы знаем, как клан женщины определяет разновидность ее брака и как разновидность брака передается от матери к детям, мы можем объединить эти результаты и описать зависимость клана потомков от разновидности брака родителей. Допустим, что дан брак (а, b, с, d). По первой лемме жена принадлежит к клану (а, b + 1, с + d).
Если теперь подставим во вторую лемму х = а, у = b + 1, z = c + d,
то получим, что дети будут принадлежать к клану (а + 1, b + 1, а + с + d + 1).
Имеем:
Лемма 3. Дети от брака разновидности (а, b, с, d) принадлежат к клану (а + 1, b + 1, а + с + d + 1).
ЛЕВИ-СТРОСС: Следовательно, для определения функций f и g нам не хватает одного — правила, описывающего, как выбор формулы (I) или (II) передается по наследству от родителей к детям. Результаты практических исследований показывают, что возможны четыре ситуации:
(1) Дети следуют той же формуле, что и родители.
(2) Дети следуют обратной формуле.
80
(3) Сыновья следуют той же формуле, дочери — обратной.
(4) Дочери следуют той же формуле, сыновья — обратной.
ВЕЙЛЬ: Обозначим каждый из этих случаев двумя индексами (р, q). Если сыновья придерживаются той же формулы, что и родители, то р = 0, в противном случае р = 1; аналогично определяется q для дочерей. Таким образом, четыре упомянутых вами варианта обозначаются (0, 0), (1,1), (0,1) и (1, 0). Обратите внимание, что если брак описывается формулой, которая обозначается координатой d, то сыновья будут следовать правилу d + р, дочери — d + q. Теперь мы можем описать функцию /. Начнем с брака (а, b, с, d). По лемме 3 дети от этого брака принадлежат к клану (а + 1, b + 1, а + с + d + 1). С учетом изложенных выше рассуждений, их формула брака будет равна d 4- р. Следовательно:
f(а, b, с, d) = (а+1, b+1, а + с + d + 1, d + р).
Чтобы определить g, нужно выполнить еще одно действие. Мы знаем, что дочери от брака (а, b, с, d) принадлежат клану (а + 1, b + 1, а + с + d + 1), однако первые три координаты в обозначении брака обозначают не их клан, а их будущего мужа. Следовательно, нужно определить, к какому клану принадлежат мужчины, которые женятся на женщинах из клана (а + 1,b + 1,а + с + d +1)по формуле d + q.
Для этого нам потребуется утверждение, дополняющее лемму 1. Напомню, как звучит эта лемма (сменим обозначения во избежание путаницы):
Лемма 1. В браке разновидности (х, у z, t) жена принадлежит к клану (х, у + 1, z + t).
Мы знаем, что t = d + q, а (х, у + 1, 2 + t) = (а + 1, b + 1, а + с + d + 1), так как к этому клану принадлежит жена. Приравняв координаты, получим систему уравнений:
х = а +1, y + 1 = b + 1, z + d + q = a + c + d + 1,
где мы заменили f на d + q. Первое равенство не требует преобразований, так как значение х известно. Надеюсь, господин Леви-Стросс, что вы не забыли закон сокращения, который я уже объяснял. Если мы применим его к двум последним уравнениям, получим
81
y = b, z + q = a + c + 1.
Мы определили значение у. Чтобы вычислить z, заметим, что в циклической группе ℤ/2 результатом сложения любого элемента с самим собой всегда будет 0, так как 0 + 0 = 1 + 1 = 0. Так, если мы прибавим q к обеим частям равенства, получим z = a + c + q + 1. Таким образом, если женщина из клана
(а + 1, b + 1, а + с + d + 1)
вступает в брак по формуле d + q, ее разновидность брака будет такова:
g(a, b, с, d) = (a+ 1, b, a+ c + q + 1, d + q).
ЛЕВИ-СТРОСС: Теперь я вспомнил, почему мне пришлось обратиться к вам за помощью, господин Вейль.
ВЕЙЛЬ: Следует признать, господин Леви-Стросс, что мне также потребовалось немало времени, чтобы провести эти рассуждения. Важно, что теперь, когда мы определили функции f и g, мы можем автоматически ответить на ваш вопрос о том, как формулы (I) и (II) должны передаваться от родителей к детям, чтобы в следующем поколении мужчина мог жениться на дочери брата своей матери. Мы определили, что это свойство эквивалентно коммутативности композиции f и g. Произведем вычисления. С одной стороны, имеем:
g(f(a, b, с, d))=g(a +1, b + 1, a + c + d + 1, d + p)
= ((a +1) +1, b +1, (a + 1) + (a + c + d + 1)+ q + 1,(d + p) + q)
= (a, b +1, c + d + q + 1, d + p + q),
так как мы можем упростить слагаемые, которые фигурируют дважды в каждой из координат. С другой стороны, применив аналогичные упрощения, получим
f(g(a, b, с, d))=f(a+1, b, a + c + q + 1, d + q)
= ((a +1) +1, b +1, (a +1) + (a + c + q +1) +(d+q)+ 1,(d+q) +p)
= (a, b +1, c + d +1, d + p + q),
Таким образом, должно выполняться следующее условие:
(а, b + 1, c + d + g +1, d + p + g) = (а, b + 1, с + d +1, d + р + q).
82
Так как первая, вторая и четвертая координаты совпадают, необходимо рассмотреть только третью. Согласно закону сокращения из равенства
c + d + g + 1 = c + d + 1
следует, что q = 0. Напомню: это означает, что формула брака дочерей должна быть той же, что и формула брака их родителей. Следовательно, искомое условие выполняется только в тех обществах, где формула брака передается по модели (1) или (4). Иными словами, либо дети обоих полов сохраняют формулу брака родителей, либо же формулу брака родителей сохраняют только дочери, а сыновья следуют обратной формуле. Рассмотрим два этих случая.
В первом случае рассматриваемое общество очевидно является сократимым: так как формулы брака детей и родителей совпадают, разновидности брака, можно сказать, передаются по наследству. Так, племя делится на две части: в первой браки заключаются по формуле (I), во второй — по формуле (II). Как показано в таблице, порядок элементов f и g равен 4, но их квадраты совпадают:
ЛЕВИ-СТРОСС: Это означает, что в этом племени мужчина может жениться на дочери сестры своей матери.
ВЕЙЛЬ: Равенство f² = g² также означает, что группа, порожденная f и g, содержит не 16 элементов, как можно было бы ожидать, а всего 8: е, f, f², f3, g, fg, f²g и f3g. Следовательно, рассматриваемое общество является сократимым. Между прочим, рассматриваемая группа изоморфна группе ℤ/2 х ℤ/4.
ЛЕВИ-СТРОСС: Рассмотрим оставшийся случай, когда дочери придерживаются той же формулы заключения брака, что и родители, сыновья — обратной, следовательно, р = 1, q = 0. Таким образом, функции f и g будут равны:
f(а, b, с, d) = (а+1, b+1, а + с + d+1, d +1), g (a, b, c, d) = (a+1, b, a+c +1, d );
Функция g будет той же, что и в предыдущем случае. Мы уже знаем, что она является функцией четвертого порядка. Вычислим порядок функции f. Для этого применим ее несколько раз, пока не получим тождественное преобразование. Если я не ошибаюсь, достаточно применить ее дважды:
83
f²(а, b, с, d) = f(а+1, b+1, а+с+d+1, d+1)
= ((а+1)+1, (b+1)+1,(a+1) + (a+c+d+1)+(d+1)+1,(d+1)+1)
= (а, b, с, d),
а также использовать упрощения, которые вы продемонстрировали выше.
Более того, f и g независимы, следовательно, порожденная ими группа изоморфна группе ℤ/2 х ℤ/4. Этого достаточно, чтобы доказать: рассматриваемое племя является несократимым, так как в группе ℤ/2 х ℤ/4 недостаточно элементов восьмого порядка для преобразования 16 разновидностей брака между собой.
ВЕЙЛЬ: Поздравляю вас, господин Леви-Стросс! Вы все поняли! В этом случае также можно показать, что общество является сократимым, применив новый, более прямой метод, который я вам сейчас объясню. Рассмотрим брак вида (а, b, с, d). Согласно нашим расчетам, сыновья от этого брака вступят в брак по правилу (a +1,b +1,a + c + cf +1,cf +1).
Важно заметить, что разность между первой и четвертой координатами равна:
(b+1)-(d+1)=b-d.
Точно такой же будет разность между первой и четвертой координатами в исходной разновидности брака! Математики говорят, что эта величина инвариантна относительно f. Более того, она также инвариантна относительно g, так как в этом случае вторая и четвертая координаты не меняются. Следовательно, композиция f и g позволяет получить только те правила, в которых значение b — d равно исходному. К примеру, начав с (1, 1, 1, 0), мы никогда не сможем получить (1, 0, 1, 0), так как в первом случае разность между второй и четвертой координатами равна 1, во втором — 0.
Это означает, что представители клана D2, которые вступают в брак по правилу (I), принадлежат к иной группе, чем представители клана С2, вступающие в брак по той же формуле. Выполнив некоторые действия, мы сможем определить эти две группы в явном виде:
Первая группа.
84
Вторая группа.
ЛЕВИ-СТРОСС: Любой сказал бы, что аборигены мурнгин знали теорию групп.
ВЕЙЛЬ: Когда система, которая на первый взгляд кажется невообразимо сложной, путем умелого выбора обозначений превращается в нечто столь простое, как абелева группа, я воспринимаю это как чудо. Я не осмелюсь сказать, что принцип, согласно которому любой мужчина может жениться на дочери брата своей матери, был введен, чтобы доставить удовольствие математикам (это было бы уже слишком), но следует признать, что я до сих пор испытываю особую привязанность к аборигенам мурнгин.
Видя подобные примеры, сложно не согласиться с сонетом Микеланджело, в котором он говорит, что мраморная глыба уже содержит в себе произведение искусства, и задача художника — отсечь все лишнее:
И высочайший гений не прибавит Единой мысли к тем, что мрамор сам Таит в избытке,— и лишь это нам Рука, послушная рассудку, явит[7].Математик, подобно великому скульптору, высекает свои творения из необычайно твердого и прочного материала. Несовершенства материала столь сильно влияют на конечный результат, что наделяют его некоторого рода объективностью.
85
Глава 5 Под знаком Диофанта
Фурье считал, что главная цель математики есть принесение пользы обществу и объяснение явлений природы; тем не менее такой философ, как вы, должен знать, что единственной целью науки является честь человеческого разума, и с этой точки зрения вопрос о числе так же важен, как и вопрос о системе мира.
Карл Густав Якоб Якоби в письме к Адриену Мари ЛежандруЛЕВИ-СТРОСС: Помните, как в одной из наших бесед вы пообещали мне подробнее рассказать о задаче из вашей докторской диссертации?
ВЕЙЛЬ: Как я мог забыть об этом! Но в этот раз, если вы позволите, мы применим иной метод. Я написал несколько достаточно подробных заметок; прочитайте их, а затем спросите меня о том, что показалось вам непонятным. Вперед!
О жизни математика Диофанта Александрийского достоверно практически ничего не известно. Мы точно знаем лишь возраст мудреца из эпиграммы-задачи, записанной на его надгробии и приведенной в Палатинской антологии:
«Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей и камень Мудрым искусством его скажет усопшего век. Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком. И половину шестой встретил с пушком на щеках. Только минула седьмая, с подругой он обручился. С нею, пять лет проведя, сына дождался мудрец; Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил. Отнят он был у отца ранней могилой своей. Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе, Тут и увидел предел жизни печальной своей».Если мы обозначим через х число лет, прожитых Диофантом, то получим следующее уравнение первой степени:
х = x/6+ x/12+x/7+5+x/2+4.
87
Выполнив несколько элементарных преобразований, получим, что Диофант прожил 84 года. Это уравнение намного проще, чем те, что обеспечили александрийскому мудрецу место в истории математики. В «Арифметике» Диофант впервые рассмотрел целые корни полиномиальных уравнений, которые сегодня в его честь называются диофантовыми. К диофантовым относится, например, уравнение
хn + уn = zn.
Если показатель степени равен 2, это уравнение имеет бесконечно много положительных решений, но если n больше либо равно 3, уравнение решений не имеет. Первым на это обратил внимание француз Пьер Ферма, когда изучал «Арифметику» Диофанта.
На страницах книги Ферма написал: «Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него». Первое доказательство этой теоремы, названной великой теоремой Ферма, было получено лишь три с половиной столетия спустя. В этом доказательстве использовались намного более сложные методы, чем те, что были известны французскому математику. Несмотря на кажущуюся простоту, диофантовы уравнения принадлежат к числу труднейших задач математики, поэтому мы рассмотрим лишь простейшие из них: линейные уравнения, уравнение Пелля — Ферма и уравнения эллиптических кривых.
Введение
Прежде чем приступить к изучению диофантовых уравнений, проясним некоторые понятия. Так как в моих заметках упоминаются различные классы чисел, скажем о них несколько слов. С одной стороны, существуют натуральные числа, которые используются при счете: 1, 2, 3... (к ним также иногда относят ноль). Для двух любых натуральных чисел определена операция сложения, однако она не может быть групповой: чтобы существовали обратные элементы, необходимо также рассмотреть отрицательные числа. Добавив отрицательные числа к натуральным, получим абелеву группу целых чисел: 0, 1,-1, 2,-2, 3,-3. В действительности на этой структуре определена не одна, а сразу две операции: мы можем не только складывать целые числа, но и перемножать их. Операция умножения ненулевых целых чисел также не является групповой. Так, чтобы, к примеру, элемент 2 имел обратный, необходимо рассмотреть число 1/2. Чтобы устранить этот недостаток, необходимо рассмотреть все дроби вида а/b (где а и b целые числа, b отлично от нуля), которые образуют множество рациональных чисел. Каждому из них мы можем поставить в соответствие периодическую десятичную дробь: к примеру, для 1/3 такой дробью будет 0,3333..., для 2/11 — 0,181818... Если мы будем рассматривать только периодические дроби, то такие простые уравнения, как х2 = 2, не будут иметь решения, поскольку десятичная запись квадратного корня из 2 — непериодическая дробь.
88
Такие числа называются иррациональными. Чтобы получить еще больше решений, мы можем рассмотреть все десятичные дроби, в записи которых отсутствуют какиелибо закономерности. Такие числа называются вещественными.
Но вернемся к натуральным числам, которые Кронекер называл божьим творением. Для двух натуральных чисел m и n, m называется делителем n, если результат деления n на m — натуральное число. К примеру, 2 — делитель 10, так как 10 при делении на 2 дает 5 — натуральное число; 2 не является делителем 15, так как 15 при делении на 2 дает 7,5 — «некруглое» число. Если n делится на m, то существует натуральное число k такое, что n будет произведением m и k: n = m · k. Обратите внимание, что делители числа всегда меньше либо равны ему, и любое число делится на единицу и само себя. В некоторых случаях число делится только на единицу и само себя — такие числа называются простыми. Так, 5 — простое число, так как ни 2, ни 3, ни 4 не являются его делителями, а 6 не является простым, так как делится на 2 и на 3. Первые простые числа — 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23... Можно доказать, что простых чисел бесконечно много.
Простые числа составляют основу всей арифметики: через них определяются все остальные числа. В самом деле, если n не является простым, то на интервале от 1 до n найдется натуральное число, которое будет его делителем. Таким образом, n можно представить в виде n = а · b. К примеру, если исходное число равно 30, имеем 30 = 2 · 15. Мы получили два числа а и b, для которых можем повторить описанные действия еще раз. Если оба этих числа простые, процесс заканчивается.
Если же какое-то из этих чисел не является простым, мы вновь запишем его в виде произведения двух множителей. В нашем примере 2 является простым, а 15 можно представить как произведение 3 и 5. Имеем 30 = 2 · 3 * 5. Так как 2, 3 и 5 — простые числа, процесс завершен. В общем случае на каждом шаге мы либо находим простой сомножитель, либо представляем число как произведение двух меньших чисел, поэтому описанный нами процесс рано или поздно обязательно завершится.
Основная теорема арифметики: любое натуральное число можно представить в виде произведения простых множителей.
Хотя доказать основную теорему арифметики нетрудно, задача о разложении числа на простые множители на практике может оказаться неразрешимой.
89
К примеру, если n представляет собой произведение двух простых чисел р и q приблизительно из 400 знаков каждое, то для разложения n на простые множители даже самым мощным компьютерам потребуется время, сравнимое с возрастом Вселенной. Как вы увидите далее, это один из основных принципов криптографического алгоритма RSA, обеспечивающего безопасность всех наших компьютерных транзакций.
Введем новое понятие: для двух натуральных чисел m и n будем называть наибольшим общим делителем наибольшее натуральное число, на которое делятся одновременно m и n. Обозначим его НОД (m, n). Если нам известны разложения m и n на простые множители, найти НОД очень просто: нужно взять простые числа, которые содержатся в обоих разложениях, возведенные в наименьшую степень. Допустим, что мы хотим найти НОД 50 = 2 · 5² и 120 = 23 · 3 · 5. Общие делители этих чисел — 2 и 5. В первом случае они возведены в степени 3 и 1, во втором — в степени 1 и 2.
Таким образом, НОД будет равен 21 · 51 = 10. Задача о разложении числа на простые множители на практике оказывается неразрешимой, поэтому для очень больших m и n описанный метод неприменим. К счастью, существует еще один метод расчета наибольшего общего делителя, который называется алгоритмом Евклида. Допустим, что m больше n. На первом шаге разделим m на n. Возможны два случая: если остаток от деления равен 0, то n — делитель m, следовательно, n — искомый НОД. В противном случае повторим деление, заменив m на n, а n — на остаток от деления r. Можно доказать, что наибольший общий делитель m и n совпадает с наибольшим общим делителем n и r[8].
Вернемся к нашему примеру: остаток от деления 120 на 50 равен 20, следовательно, на следующем шаге алгоритм нужно повторить для 50 и 20. Остаток от деления 50 на 20 равен 10, поэтому на следующем шаге рассмотрим 20 и 10. На этот раз первое число делится на второе без остатка, таким образом, НОД равен 10. Более того, алгоритм Евклида позволяет получить некоторую дополнительную информацию: если мы рассмотрим последний ненулевой остаток от деления, то сможем записать 10 = 50 — 2·20. Сделаем еще один шаг назад и получим, что 20 = 120 — 2 · 50. Если теперь мы подставим это выражение в первое равенство, то получим отношение с целыми коэффициентами, связывающее
10 = 50-2-(120-2·50) = 5·50-2·120.
90
В общем случае алгоритм Евклида позволяет не только эффективно вычислить наибольший общий делитель чисел, но также показать следующее:
Предложение. Пусть m и n — два натуральных числа. Обозначим их наибольший общий делитель через d. Тогда существуют два целых числа u и v такие, что d = mu + nv.
Особенно интересен случай, когда m и n не имеют общих делителей. Тогда их наибольший общий делитель равен 1, а m и n называются взаимно простыми. Согласно приведенному выше предложению, существуют два целых числа u и v такие, что mu + nv = 1. Это соотношение называется соотношением Безу.
Еще одно фундаментальное свойство делимости чисел звучит так: если число а — делитель произведения bс, и нам известно, что а и b — взаимно простые, то а обязательно будет делителем с. В самом деле, в противном случае один из простых делителей а также будет делителем b, и эти числа не будут взаимно простыми.
С другой стороны, если d — наибольший общий делитель а и b, то существуют два целых числа р и q такие, что а = dp, b = dq. Это утверждение выполняется для любых общих делителей, но так как d — НОД, можно утверждать, что р и q взаимно простые — в противном случае а и b имели бы общий делитель, больший d.
Линейные уравнения
Теперь мы знаем все, что нужно для решения диофантовых уравнений вида ах + by = с,
где а, b и c — произвольные целые числа. Чтобы решить это уравнение, нужно найти все пары целых чисел (х, у), которые удовлетворяют соотношению ах + by = с.
Посмотрим, как это сделать. Обозначим через d наибольший общий делитель а и b. По определению а и b делятся на d, следовательно, выражение ах + by также будет делиться на d. Так как согласно исходному уравнению ах + by = с, число d также должно быть делителем с. Следовательно, если с не делится на d, то уравнение не имеет решений. Так, решений не имеет уравнение 50х + 120у = 7. Мы уже показали, что наибольший общий делитель 50 и 120 равен 10, а 7 не делится на 10.
Далее будем предполагать, что с делится на d.
Тогда мы можем записать а = dp, b = dq и с = dr, где р и q — взаимно простые.
Сначала рассмотрим случай с = 0, то есть однородное уравнение ах + by = 0.
91
Разделив на d первый член уравнения, получим следующее: достаточно решить уравнение рх + qy = 0, или, что аналогично, рх = —qy. Будем рассуждать следующим образом: так как рх равно — qy, qy должно делиться на р. Однако р и q взаимно простые, следовательно, остается единственный вариант: у делится на р, то есть существует целое число Λ такое, что у = Λр. Аналогично доказывается, что х делится на q, поэтому существует другое целое число μ такое, что х = μq. Подставив значения х и у в уравнение, получим: μpq = —Λpq, то есть μ = —Λ, так как pq отлично от нуля. Следовательно, решениями уравнения ах + by = 0 будет пара чисел (q, —р) и всех кратных им чисел (Λq, —Λр).
Теперь предположим, что с отлично от нуля. Если известно два решения (x0, у0) и (х1 y1) уравнения ах + by = с, то:
а(х0 - х1) + b(у0 - у1) = (ах0 + by1-(ax1+by1) = с-с = О,
откуда следует, что (x0 — x1, у0 — y1) — решение однородного уравнения ах + by = 0.
Так как все решения этого уравнения имеют вид (Λq, —Λр), найдется целое число Λ такое, что x0 — x1 = Λq и у0 — у1 = —Λр, или, что аналогично, х = x0 — Λq и y1 = y0 +Λр. Иными словами, уравнение имеет бесконечно много решений, но все они выводятся из частного решения (x0, у0). Напомню, что р и q — результат деления а и b на наибольший общий делитель. Следовательно, мы доказали, что все решения выглядят так:
где (x0, у0) — частное решение, Λ — любое целое число. Теперь всего лишь осталось найти метод, позволяющий получить (x0, у0). Найти эти решения нетрудно, если р и q — взаимно простые, так как по соотношению Безу существуют два целых числа u и v такие, что рu + qv— 1. Умножив u и v на r, получим два числа x0 = ur и у0 = vr такие, что ax0 + by0 = с.
Рассмотрим пример. Допустим, мы хотим решить диофантово уравнение 50х + 120у = 20.
Мы уже знаем, что наибольший общий делитель 50 и 120 равен 10.
Так как 20 делится на 10, уравнение имеет решение.
92
В этом случае в упрощенном виде уравнение выглядит так: 5х + 12у = 2. Найдем числа, которые мы обозначили через u и v. Так как 1 = 5 — 2 ·2 и 2 = 12 — 2·5, имеем
1 = 5 - 2 · (12 - 2 · 5) = 5 · 5 - 2 · 12,
то есть u = 5, v = —2. Умножив эти значения на 2, получим частное решение (10, —4), на основе которого можно найти общее решение:
Краткий экскурс в криптографию
Посмотрим, как диофантовы уравнения используются в системе шифрования с открытым ключом. Напомним, что для данного натурального числа n группа целых чисел со сложением по модулю n состоит из элементов [0], [1], [2]...[n — 1], а сложение выполняется следующим образом: сначала мы складываем элементы группы как обычные числа, затем вычитаем n из полученного результата до тех пор, пока не получим число, заключенное на интервале от 0 до n — 1. Аналогично можно определить операцию умножения. Допустим, n = 7 и нам нужно вычислить произведение 4*5. Сначала умножим эти два числа так же, как и целые числа. Получим 20.
Теперь нужно вычесть из этого результата 7 нужное число раз: после первого вычитания получим 13, после второго — 6, что меньше 7. Следовательно, произведение 4 и 5 по модулю 7 равно 6.
Теперь перейдем к криптографии.
Допустим, что Боб хочет отправить Алисе секретное сообщение. Так как любую информацию можно представить с помощью чисел, достаточно решить задачу о защищенной передаче числа m. Боб знает открытый ключ Алисы (он доступен всем).
У Алисы также есть закрытый ключ, известный только ей. Следует различать три этапа передачи сообщения: генерация ключей, шифрование сообщения и расшифровка.
Сначала покажем, как генерируются ключи. Выберем два простых числа р и q.
В принципе, достаточно, чтобы произведение р и q (обозначим его через n), было больше числа m, которое нужно передать. Но наш метод шифрования будет обеспечивать достаточный уровень защиты только тогда, когда р и q будут достаточно большими и никакой компьютер не будет способен разложить n на простые множители за разумное время. Выберем два простых числа р и р, состоящие из 300—400 знаков.
93
Введем величину r = (р — 1)(q — 1) и выберем число е, меньшее r и взаимно простое с ним. Пара (n, е) будет открытым ключом. Чтобы сгенерировать закрытый ключ, нужно решить диофантово уравнение ex + ry = 1. Если мы обозначим через d первое число из пары, которая является решением этого уравнения, то закрытый ключ будет представлять собой пару (n, d).
Теперь, когда открытый и закрытый ключ известны, нужно действовать следующим образом: Боб шифрует сообщение, возведя m в степень е, находит результат возведения в степень по модулю n и отправляет Алисе полученное значение с =me (по модулю n).
Для расшифровки сообщения Алиса возводит с в степень d, определяемую закрытым ключом, и находит результат по модулю n. Этой простой операции достаточно для восстановления зашифрованной информации, так как можно доказать, что cd по модулю n всегда равно m.
Уравнение Пелля - Ферма
Теперь, когда мы полностью рассказали о линейных диофантовых уравнениях, перейдем к диофантовым уравнениям второй степени.
Рассмотрим уравнение х² — dy² = 1, где d — целое положительное число.
Это уравнение имеет большую историю и упоминается в литературе как уравнение Пелля — Ферма, хотя Джон Пелль никогда не работал с ним.
Дело в том, что Эйлер ошибочно приписал Пеллю метод решения уравнений, который на самом деле нашел английский математик Уильям Броункер при решении задачи, предложенной Пьером Ферма.
Сначала предположим, что d = 1, то есть попробуем найти целые решения уравнения х² — у² = 1. Так как разность квадратов всегда можно представить в виде произведения по формуле
x² - y² = (х + у)(х - у),
нам нужно решить уравнение (х + у)(х — у) = 1. Произведение целых чисел может равняться 1 только тогда, когда оба сомножителя равны 1 или —1. Рассмотрим два этих случая по отдельности. В первом случае имеем:
94
Сложив уравнения системы, имеем 2х = 2, следовательно, х = 1, у = 0. Аналогично решениями системы х + у = х — у = — 1 будут х = —1, у = 0. Следовательно, уравнение х² — у² = 1 имеет всего два целых решения: (—1, 0) и (1, 0). Аналогично можно исключить случай, когда d — квадрат, то есть имеет вид d = е²: в этом случае х² — dy² = х² — е²у² = х² — (еу)². Путем замены переменной z = еу получим то же самое уравнение х² — z² = 1. Его решения уже известны. Далее будем предполагать, что d — целое число, большее либо равное 2, которое не является квадратом.
Основа анализа уравнений первой степени заключается в том, чтобы показать, как из двух решений ах + by = с получается пара целых чисел (х, у), таких что ах +
+ by = 0. В этом случае вы увидите, что если нам известны два решения уравнения
Пелля — Ферма, то из них можно вывести третье. Для этого нужно представить выражение х² — dy² в виде
х² - dy² =(x+y√d)(x-y√d).
Эти множители уже не будут целыми числами (они содержат квадратный корень числа, которое не является квадратом), следовательно, они не могут одновременно равняться 1 или —1. Но если (x1, y1) и (х2, у2) — решения уравнения, то
Перемножив уравнения, получим:
(x1+y1 √d)(x1-y1√d)(x2+y2√d)(x2-y2√d) = l. (*)
Начнем раскрывать скобки с выражений со знаком плюс:
(x1+y1√d)(x2+y2 √d) = x1x2 + x1y2√d + x2y1√d + y1y2(√d)2
Важно отметить, что произведение этих двух множителей будет иметь аналогичную структуру, так как (√d)2 равно d по определению. Если мы введем обозначения х3 = х1х2 + dy1y2 и у3 = x1y2 + x2y1 получим равенство:
(x1+у1√d)(x2+у2√d) = х3+y3√d.
95
Так как выполняется равенство
(x1-y1√d)(x2-y2 √d) = x1x2 - x1y2√d - x2y1√d + y1y2(√d)2 = х3-y3√d
мы можем записать уравнение (*) в следующем виде:
(х3+y3√d)(х3-y3√d) = 1.
Из этого равенства следует, что (х3, y3) является решением уравнения Пелля — Ферма.
Мы получили третье решение на основе двух известных. Кроме того, так как в формулах расчета х3 и у3 используются только сложение и умножение, то если решения (x1, y1) и (х2, у2) целочисленные, то целыми будут и (х3, у3).
Обозначим через • операцию, которая сопоставляет двум известным решениям третье. Наша цель — доказать следующий результат:
Предложение. Операция (х1, у1) • (х2, у2) = (х3, у3) определяет абелеву группу на множестве целых решений уравнения Пелля — Ферма.
Коммутативность этой операции следует из определения, так как значения х3 и у3 не изменятся, если мы поменяем местами (x1, y1) и (х2, у2). Следовательно, достаточно показать, что выполняются три аксиомы, которые включает определение группы. Первая из них, аксиома ассоциативности, непосредственно следует из ассоциативности произведения вещественных чисел. Теперь найдем нейтральный элемент группы. Заметим, что (1, 0) всегда будет решением уравнения х² — dy² = 1.
Посмотрим, что произойдет, если мы применим рассматриваемую операцию к этому решению и другому, произвольному решению (х2, у2). По нашим формулам, х3 = 1 · х2 + d * 0 · у2 = х2 и у3 = 1 у2 + х2 · 0 = yv следовательно, (1,0) • (х2, у2) = (х2, у2). Нейтральный элемент найден. Осталось показать, что для каждого решения существует обратное, то есть что для данного (х1, у1) мы можем найти другое решение (х2, y2) такое, что (x1, y1) · (x2, y2) = (1, 0).
Проще всего доказать это утверждение для пары чисел (х1, -y1), которая вновь будет решением уравнения, поскольку квадраты любого числа и противоположного ему совпадают. Кроме того,
(x1, у1)•(x1, -у1) - (x1² -dy1² - x1y1 + x1y1) = (1,0),
96
так как пара чисел (х1, y1) является решением уравнения х² — dy² = 1. Отсюда следует, что целые решения уравнения Пелля — Ферма образуют абелеву группу. Возникает вопрос: какими особенностями обладает эта группа?
Выберем из всех положительных решений уравнения Пелля — Ферма пару чисел (х, у), при которой значение выражения х² + у² будет наименьшим. Назовем это решение фундаментальным. К примеру, при d = 2 фундаментальным решением будет (3, 2). Так как З² — 2 -2² = 9 — 2·4 = 1, то эта пара чисел действительно будет решением. Осталось показать, что значение выражения х² + у² при х = 3, у = 2 будет наименьшим. Заметим, что ни одно из положительных чисел в решении не может равняться 1, так как при х = 1 у=0, а 0 — не положительное число.
Если же у = 1, то х² = 3 — это уравнение не имеет целых решений. Таким образом, единственным решением, меньшим (3, 2), может быть пара чисел (2, 2).
Однако 2²—2 · 2² = —4, следовательно, эта пара чисел не является решением уравнения.
Мы доказали, что (3, 2) — фундаментальное решение. Если мы будем последовательно выполнять операцию • над этим решением, то получим бесконечное число решений уравнения Пелля — Ферма. К примеру, (3, 2) • (3, 2) = (17,12), (3, 2) • (3, 2) • (3, 2) = (99, 70) также будут решениями уравнения. Сложнее показать, что все решения, полученные подобным образом, будут положительными.
Теорема Дирихле о единицах. Все целые положительные решения уравнения Пелля — Ферма можно получить из фундаментального решения.
С учетом этой теоремы рассмотрим порожденную фундаментальным решением циклическую группу, которая будет изоморфной группе целых чисел. К этой группе принадлежат все положительные решения (х, у), а также нейтральный элемент
(1, 0) и все обратные элементы вида (х, —у). Пусть пара чисел (х, у) — решение уравнения Пелля — Ферма. Так как (—х)² = х², решением уравнения также будет пара чисел (—х, у). Но теперь —х будет положительным числом, следовательно, это решение уже содержится в циклической группе, порожденной фундаментальным решением. Таким образом, достаточно всего лишь добавить знак. На языке математики эта операция выражается как прямое произведение целых чисел по модулю 2.
Подведем итог: множество целых решений уравнения Пелля — Ферма образует группу, изоморфную группе ℤ х ℤ/2.
97
Эллиптические кривые
Перейдем к уравнениям третьей степени и посмотрим, как можно определить группу на множестве решений уравнения у² = х3 + ах + b, где а и b — любые рациональные числа. В этом случае применим чисто геометрические методы. Начнем с того, что представим на плоскости пары вещественных чисел (х, у), которые удовлетворяют соотношению у² = x3 + ах + b. Последовательно присваивая значения одной из двух переменных и вычисляя соответствующие значения второй переменной, получим последовательность точек, которые можно соединить отрезками. Результатом будет кривая на плоскости, которая в математике называется эллиптической. Рассмотрим пример. При а = —2 и b — 1 уравнение примет вид y² = x3 — 2х +1. Если мы подставим в уравнение х = 0, правая часть примет значение 1, и мы получим уравнение y² = 1. Это уравнение имеет два решения: у = 1 и у = —1. Имеем две точки кривой:(0, 1) и (0, —1).
Если, напротив, х = 1, получим y² = 0, то есть у — 0. Подставим в уравнение х = —1.
Правая часть будет равна (—1)3—2 (—1) + 1 = —1 + 2 + 1 = 2, уравнение примет вид y² = 2. Его решениями будут у = √2 и у = —√2. Таким образом, точки с координатами (—1, √2) и (—1, —√2) также будут лежать на кривой. Эти решения не являются целыми, но это не важно — чтобы изобразить кривую на плоскости, нужно учесть все вещественные решения.
Эллиптическая кривая, заданная уравнением y² = х3-2х + 1.
Теперь выберем две точки Р и Q, лежащие на кривой, и соединим их прямой линией. Будем предполагать, что Р и Q несимметричны относительно оси абсцисс,
98
чтобы соединяющая их прямая не располагалась вертикально. Эта прямая пересечет кривую в точке, которую мы обозначим через PQ. Результатом операции над точками Р и Q будет точка Р + Q, симметричная PQ относительно оси абсцисс.
Результат операции сложения для точек P и Q эллиптической кривой.
Необходимо уточнить несколько моментов. Во-первых, прямая, проходящая через точки Р = (x1, y1) и Q = (х2, у2), пересекает кривую в некоторой третьей точке.
Так как мы предположили, что эта прямая не располагается вертикально, ее уравнение будет иметь вид у = mх + n, где m и n — вещественные числа. Подставив это выражение в уравнение нашей эллиптической кривой, получим:
(mx + n)² = x3 +ax+b.
Путем элементарных преобразований это уравнение можно привести к виду:
х3-Ах² + Вх + С = 0, (**)
где A = m², В = a — 2mn, С = b — n². Следовательно, теперь нам нужно вычислить корни многочлена третьей степени с вещественными коэффициентами. Два корня уже известны: это абсциссы x1 и х2 точек Р и Q, так как обе эти точки одновременно лежат и на кривой, и на прямой. Используем следующую лемму.
Лемма. Если многочлен третьей степени с вещественными коэффициентами имеет два вещественных корня, то третий корень многочлена также будет вещественным.
99
Докажем лемму. Пусть
Р(х) = x3 + Rx² + Sx + Т
многочлен третьей степени с вещественными коэффициентами. Обозначим его корни через x1, х2, х3. Следовательно, Р(х) можно представить в виде
Р(х) = (х - x1) (х - х2) (х - х3).
Выразим коэффициенты многочлена через его корни:
Р(х) = x3 — (х1 +x2 +х3)х² +(x1 x2 +x1 x3 +x2 x3)х — x1 x2x3.
К примеру, — R = x1 + х2 + х3. Чтобы получить третий корень многочлена, нужно вычесть —R из первых двух. По условию, и коэффициент R, и корни x1 и х2 — вещественные числа, следовательно, x3 также будет вещественным числом.
По лемме, которую мы только что доказали, существует вещественное число х3, которое удовлетворяет уравнению (**).
Подставив это число в равенство у = mx + n, получим координату у3 точки PQ. Осталось найти координаты симметричной ей точки — для этого заменим ординату на противоположную. Результатом операции над точками (x1, y1) и (х2, у2) будет точка (х3, —у3).
Мы показали, что точки Р = (0, 1) и Q = (1, 0) принадлежат эллиптической кривой y² = x3 —2х + 1. Вычислим координаты точки Р + Q. Для этого сначала нужно найти уравнение прямой, проходящей через Р и Q. Несложно показать, что эта прямая задается уравнением у = —х + 1. Получим уравнение:
(—х +1) 2 = x3 —2х +1 ↔ х²—2х + 1 = x3 —2х + 1 ↔ х² = x3 ↔ х² (х — 1) = 0.
Решениями этого уравнения будут х = 0 (дважды) и х = 1. Так как x1= 0 и х2 = 1, искомой точкой будет x3 = 0.
Подставив это значение в уравнение у = —х + 1, получим у = 1.
Таким образом, результатом операции над Р и Q будет точка Р + Q с координатами (0, —1).
Заметим, что в этом случае результатом операции над двумя целочисленными решениями уравнения вновь будет целочисленное решение.
В общем случае это верно тогда, когда коэффициенты уравнения являются целыми числами. Доказательство этого утверждения, по сути, ничем не отличается от доказательства приведенной выше леммы.
Мы преодолели первое препятствие: мы показали, что если прямая проходит через две несимметричные точки эллиптической кривой, то она также пересечет кривую в третьей точке. Но что произойдет, если точки Р и Q симметричны?
100
Они будут иметь координаты Р = (x1, y2) и Q = (х1—у2), а соединяющая их вертикальная линия будет задаваться уравнением х = х1 Подставив в уравнение эллиптической кривой х = x1 получим у² = х13 + ах1+b. Мы исключили переменную х и получили, что y² равно вещественному числу. Это уравнение имеет всего два решения, ух и — yv следовательно, прямая, соединяющая Р и Q, не будет пересекать эллиптическую кривую ни в одной другой точке. PQ не существует! Как же справиться с этой проблемой? Решение подскажут художники Возрождения, которые изобрели перспективу. Чтобы сделать свои полотна более реалистичными, они изображали параллельные прямые сходящимися в удаленной точке, называемой точкой схода. Последуем примеру художников и будем считать, что наша вертикальная прямая пересекает эллиптическую кривую в третьей точке О, расположенной на бесконечности. Эта точка будет играть роль точки схода.
Фреска «Троица» работы Мазаччо (1401-1428) — первого художника эпохи Возрождения, который использовал в своих работах математические законы перспективы, чтобы придать им ощущение глубины.
101
Точка О будет иметь реальный математический смысл, если мы введем третью переменную z так, что уравнение эллиптической кривой примет вид y²z = x3 + axz² + bz3.
Теперь все члены уравнения имеют третью степень. Это в некотором смысле означает, что отличить тройку (х, у, z) от любой из кратных ей ненулевых троек (Λх, Λy, Λz) невозможно: если мы подставим эти значения в уравнение, то всегда сможем сократить общий множитель Λ3. Мы получили координаты, которые называются однородными и обозначаются (х: у: z), чтобы указать, что две точки, которые на первый взгляд кажутся различными, как, например (1: 2: 3) и (2: 4: 6), в действительности совпадают, так как имеют кратные координаты. Можно предполагать, что координата z принимает только значения 0 и 1. При z = 1 уравнение кривой примет вид y² = x3 + ах + b и мы получим те же самые точки, которые рассматривали вначале. При z = 0 имеем x3 = 0, следовательно, х также равен 0. Так как три координаты не могут быть равны нулю одновременно, у должен быть отличным от нуля. Однако все точки вида (0: у: 0) равны, так как имеют кратные координаты, следовательно, можно предположить, что у — 1. Имеем новую точку (0:1: 0), которая не принадлежит кривой y² = x3 + ах + b. Это и будет наша точка О!
Подведем итог: сначала мы доказали, что любая прямая, не расположенная вертикально и проходящая через две точки эллиптической кривой, также пересечет кривую в третьей точке. Теперь, введя бесконечно удаленную точку, мы показали, что это же утверждение верно и для вертикальной прямой. Следовательно, можно определить операцию над любыми несовпадающими точками Р и Q. Но что, если эти точки совпадают? Начнем с того, что рассмотрим две различные точки Р и Q и будем постепенно приближать точку Q к точке Р. Прямые, соединяющие Р и Q, также будут смещаться. Пределом этих прямых будет касательная к кривой, которая в окрестностях точки Р не будет пересекать кривую ни в одной другой точке.
Касательная к кривой в точке P.
102
Когда точки Р и Q будут совпадать, будем рассматривать не прямую, соединяющую Р и Q, а касательную к кривой в точке Р. Путем аналогичных рассуждений можно показать, что эта прямая пересечет кривую в другой точке РР. Найдя точку, симметричную РР относительно оси абсцисс, получим искомый результат операции
Р + Р = 2Р.
Осталось прояснить одну небольшую тонкость: так как мы добавили к нашей кривой точку О, необходимо определить, каким будет результат операции над О и произвольной точкой кривой. Когда мы работаем с однородными координатами, точка О имеет тот же статус, что и все прочие точки кривой, следовательно, мы можем провести прямую, проходящую через О и Р, и повторить описанные выше рассуждения. При этом неизменно будет выполняться равенство О + Р = Р, таким образом, О — нейтральный элемент для определенной нами операции над точками эллиптической кривой.
Итак, мы определили операцию, которая любой паре точек кривой (совпадающих или нет) ставит в соответствие третью точку. Докажем, что эта операция является групповой. Мы уже указали, что О — нейтральный элемент группы. Определить точку, обратную точке Р, очень просто: эта точка (обозначим ее Р') будет симметрична ей относительно оси абсцисс, так как прямая, соединяющая Р и Р', расположена вертикально, следовательно, пересекает кривую в точку О, и Р + Р' = О.
Чтобы показать, что эта операция действительно определяет группу на множестве решений уравнения y² = x3 + ах + b, осталось доказать, что она обладает свойством ассоциативности.
Пусть Р, Q и R — три произвольные точки кривой. Мы хотим убедиться, что
(P + Q) + Р = Р + (Q + P).
103
Для этого достаточно доказать, что прямая l1 соединяющая P+Q и R, пересекает кривую в той же точке, что и прямая l2, соединяющая Р и Q +R, следовательно, достаточно построить симметричные точки.
Сначала проведем прямую, соединяющую Р и Q, и найдем точку, в которой эта прямая пересечет кривую. Обозначим эту точку через PQ. С помощью этих двух вспомогательных прямых получим точку Р + Q. Соединим Р + Q и R прямой l1 и посмотрим, в какой точке эта прямая пересекает кривую. Обозначим эту точку через Т.
Теперь найдем Р + (Q + R) и обозначим ее на том же рисунке. Прямая, соединяющая Q и Р, пересекает кривую в точке QR. Симметричной ей будет точка Q + R.
Нужно доказать, что прямая l2, соединяющая Q + R и Р, пересекает кривую в точке Т.
104
Обозначим через C1 объединение трех прямых, изображенных пунктирной линией. Учитывая, что точка схода О принадлежит прямой, соединяющей QR и Q + R, заметим, что C1 пересекает эллиптическую кривую в следующих девяти точках:
С1 ∩ C = {O, Р, Q, R, PQ, QR, P+Q, Q+R, T}.
Первые восемь из них также принадлежат объединению прямых, изображенных сплошными линиями, которое мы обозначим С2.
Теперь мы можем использовать классическую теорему о пересечении кубических кривых на плоскости. Прежде чем изложить ее, напомним, что кубическая кривая задается множеством решений уравнения третьей степени от переменных х и y.
К примеру, кубической кривой является эллиптическая кривая, заданная уравнением y² = x3 + ах + b. Кроме того, кубической кривой будет и объединение трех прямых, так как его уравнение представляет собой произведение уравнений этих прямых, то есть уравнений первой степени. Чтобы различить эти две ситуации, говорят, что эллиптическая кривая называется неприводимой, а объединение трех прямых представляет собой так называемый вырожденный случай. Имеем:
Предложение. Пусть С — неприводимая кубическая кривая, a C1 и С2 — две произвольные кубические кривые. Пусть С и С1 пересекаются в девяти точках, восемь из которых принадлежат пересечению С и С2. Тогда этому же пересечению будет принадлежать и девятая точка.
Применив это утверждение в нашем случае с эллиптической кривой, С1 и С2, получим, что точка Т принадлежит Сг Единственная точка, которой нам не хватало для определения С2 и С, — это точка пересечения кривой и прямой, соединяющей Р и Q + R. Этой точкой обязательно будет точка Т, что и требовалось доказать. Итак, мы доказали свойство ассоциативности, таким образом, определенная нами операция является групповой. Кроме того, заметим, что мы получили абелеву группу, так как при построении Р + Q используется прямая, соединяющая Р и Q, а ее расположение не зависит от того, в каком порядке мы рассмотрим точки.
Следовательно, рациональные точки на эллиптической кривой, которые мы обозначим Е (Q), определяют группу. В 1922 году математик Луис Морделл в поисках ответа на вопрос Пуанкаре доказал следующую теорему:
105
Теорема Морделла. Абелева группа E(Q) порождена конечным числом элементов.
Иными словами, существует конечное число рациональных решений уравнения у²=х3 + ах + b, на основе которых можно восстановить все остальные путем последовательного применения групповой операции. Как мы показали, конечнопорожденная абелева группа всегда имеет вид
Z' × Z/n1 ×...× Z/nk.
Число копий группы целых чисел, используемых в этом выражении, называется рангом эллиптической кривой. Определить это число крайне сложно. Между прочим, одна из важнейших открытых задач современности (за ее решение полагается премия в один миллион долларов), гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера, заключается в том, чтобы выразить ранг эллиптической кривой через другие аналитические инварианты. Впрочем, эллиптические кривые нужны не только для того, чтобы заработать миллион долларов: они сыграли важнейшую роль в доказательстве великой теоремы Ферма, а также помогли улучшить алгоритмы шифрования данных с открытым ключом.
ВЕЙЛЬ: В своей диссертации я доказал, что теорема Морделла верна и для кривых, задаваемых уравнениями более высоких степеней. Более того, Морделл подозревал, что выполняется более строгое условие: группа решений является не только конечнопорожденной, но и конечной; иными словами, в ее разложении не может фигурировать никакая копия группы целых чисел. Именно эту гипотезу хотел доказать Жак Адамар, однако найти искомое доказательство удалось лишь в 1983 году.
ЛЕВИ-СТРОСС: Благодарю вас, господин Вейль: ваши объяснения открыли мне дорогу в новый мир. Но позвольте попросить вас об услуге: давайте и дальше следовать прежнему методу! Раз уж нам суждено учиться вместе, мы спокойно можем беседовать, «не боясь наказанья судьбы, любви, времени и смерти».
106
Глава 6 Музыка сфер
За алгебру, этот дворец совершенных кристаллов,
[...]За музыку, таинственную форму времени.
Хорхе Луис Борхес, «Другая поэма о дарах»ЛЕВИ-СТРОСС: В первом томе моих «Мифологии» я писал, что музыка — «величайшая загадка всех человеческих наук». Сможете ли вы объяснить музыку при помощи теории групп?
ВЕЙЛЬ: Позвольте рассказать вам одну историю. Много лет назад мы с женой отправились на концерт. Во время концерта один из слушателей внезапно скончался от инфаркта. Музыканты остановились, дождались прибытия врачей, после чего концерт продолжился. В нашей ложе наблюдалось всеобщее оживление; люди не переставали шептаться. Я попросил их замолчать, но мои слова показались им воплощением абсолютной жестокости. «Боже правый, разве вы не видели, что произошло? Человек умер!» Мои соседи словно бы соревновались в том, кто сможет сильнее пристыдить меня. Я ответил им: «Есть способы умереть и похуже, чем под музыку Моцарта». Именно так хотел бы умереть и я. Представляете себе, какое это удовольствие — скончаться под звуки музыки, которая кажется непостижимой и лишь на несколько мгновений становится осязаемой? Ни теория групп, ни любая другая научная теория искусства никогда не смогут объяснить, почему кто-то может столь сильно любить музыку. Впрочем, эти теории позволяют прояснить некоторые формальные характеристики музыки, которые и делают ее прекрасной.
ЛЕВИ-СТРОСС: Математика — самая абстрактная из наук, подобно тому как музыка — самое абстрактное из искусств.
ВЕЙЛЬ: Вы уже знаете, что связь между математикой и музыкой почти столь же древняя, как и сама философия. По легенде, однажды Пифагор проходил мимо мастера, который выковывал жаровню, как вдруг его внимание привлекли гармоничные звуки ударов молота по раскаленному металлу. Измерив размеры инструментов, Пифагор понял, что звуки ударов двух молотов были созвучны лишь тогда, когда соотношение их длин выражалось малыми натуральными числами.
107
Если, к примеру, один молот был вдвое длиннее другого (2:1), то его звук был на октаву выше. Если же соотношение длин равнялось 3:2, то звуки различались на квинту.
В общем случае приятными на слух были все звуки, которым соответствовало соотношение вида (n + 1:n). Вернувшись домой, Пифагор продолжил опыты и убедился, что ключ к красоте музыки — в гармоничных соотношениях.
ЛЕВИ-СТРОСС: А красота есть истина. Именно тогда Пифагор начал постепенно склоняться к тому, что «все сущее есть число». Если к доказательству того, что музыка есть число, прибавить идею о Вселенной, состоящей из сфер, которые вращаются вокруг солнца под звуки божественной музыки, то станет очевидно: равновесие космоса описывается немногими математическими законами.
ВЕЙЛЬ: Этот идеальный порядок был разрушен с открытием иррациональных чисел. Гиппас из Метапонта обнаружил, что не все величины можно представить в виде отношения натуральных чисел, за что, по всей видимости, и был убит друзьями-пифагорейцами. Помню, как моя сестра Симона в ответ на длиннейшее письмо, которое я написал ей из Руанской тюрьмы в марте 1940 года (должно быть, оно немало взволновало ее), призналась, что эта история всегда казалась ей какой-то глупостью. По ее мнению, все произошло с точностью до наоборот: открыв, что квадратные корни, по сути абстракцию, можно использовать при измерении длин, Пифагор воскликнул: «Все сущее есть число!»
ЛЕВИ-СТРОСС: Это объясняет, почему люди на протяжении многих поколений не просто не утратили веры в музыку сфер, несмотря на открытие иррациональных чисел, но и сделали ее одной из основ западной мысли. Если бы влияние этой идеи не было бы столь сильным, Кеплер не привел бы столько оговорок и примечаний к своему закону, согласно которому планеты движутся вокруг Солнца не по круговым, а по эллиптическим орбитам. Как может Бог выбрать из двух возможных траекторий небесных тел менее гармоничную?
ВЕЙЛЬ: Прекраснее всего то, что даже сам Кеплер, который в некотором роде «заставил небеса замолчать», не был согласен с результатами своих трудов. Изложив их в книге «Новая астрономия» (1609), он продолжил работать над теорией о музыке сфер, на этот раз связав ее с Платоновыми телами.
Эта теория была опубликована спустя 10 лет в его книге «Гармония мира», полной эзотерических глупостей. На основе этой книги Пауль Хиндемит три века спустя создал одну из своих опер. Кеплера оправдывают разве что тяготы, которые пришлись на его долю: за короткое время умерли его сестра и единственный покровитель при дворе, сам он был отлучен от церкви, а все жители Леонберга начали преследование его матери, обвиненной в колдовстве.
ЛЕВИ-СТРОСС: Тогда давайте не будем следовать по его пути. Любой серьезный разговор о гармонии следует начинать с физики. Нельзя игнорировать тот факт, что музыка достигает наших ушей в виде волн, которые передаются по воздуху от источника колебаний. Как вам известно, частотой колебаний называется количество повторений событий (процессов) в единицу времени. Частота обычно измеряется в герцах (Гц) в честь немецкого физика Генриха Рудольфа Герца (1857—1894).
Чем выше частота звука, тем выше он кажется. Нотами до, ре, ми, фа, соль, ля и си обозначаются звуки определенных частот. К примеру, ноте ля соответствует звуковая волна частотой 440 Гц.
ВЕЙЛЬ: Да вы знаете о физике больше меня! Я хотел бы добавить, что ноты выбраны условно, что четко отражено в истории музыки. Нота ля в органе Баха имела частоту в 480 Гц, а Гендель примерно в 1740 году принимал ее частоту равной 422 Гц. В ту эпоху исполнители соревновались между собой, увеличивая частоты все больше и больше, чтоб звук казался звенящим. Наибольшие убытки от этой гонки несли скрипачи, которым ежедневно приходилось менять порванные струны, и, разумеется, певцы, постоянно испытывавшие проблемы с голосом. Если мне не изменяет память, именно жалобы певцов заставили французские власти закрепить стандартную частоту законодательно. Такой же указ приняли англичане, но — этого только не хватало! — указали другую частоту. Лишь в 1939 году на международной конференции была установлена привычная нам частота в 440 Гц. Кто знает, на какой частоте звучала музыка нашей юности, господин Леви-Стросс. Ранее предпринимались попытки установить частоту ноты ля равной 439 Гц, но... 439 — простое число, что стало причиной немалых затруднений[9].
109
ЛЕВИ-СТРОСС: Вы понимаете, что мы вновь и вновь возвращаемся к одной и той же идее? Важна не частота отдельной ноты, а ее соотношение с другими частотами. Если мы умножим частоты всех нот в партитуре на одно и то же число, то попрежнему сможем узнать мелодию: она будет звучать выше или ниже в зависимости от того, будет ли выбранный множитель больше или меньше единицы. Поэтому очень важно понять соотношение между частотами нот звукоряда. Позвольте напомнить, что помимо до, ре, ми, фа, соль, ля и си существует еще пять нот. Представьте, что вам нужно настроить пианино. Как вам известно, белым клавишам пианино соответствуют ноты до, ре, ми, фа, соль, ля и си, о которых я говорил. Кроме того, между белыми клавишами располагаются черные клавиши меньшего размера, которым соответствуют альтерированные ноты. При их описании используются диезы (#) и бемоли (b). Если мы добавим диез к одной из семи «белых» нот, то получим ноту, соответствующую клавише, которая расположена справа. Диезы позволяют переходить от белых клавиш к черным за исключением двух случаев: ми-диез и си-диез соответствуют не новым нотам, а уже известным нотам фа и до, так как в обоих случаях рядом с соответствующей клавишей будет располагаться не черная, а белая клавиша. Бемоли имеют противоположное значение: если мы добавим бемоль к «белой» ноте, то перейдем на одну клавишу влево. К примеру, ноты ре-бемоль и до-диез совпадают, а фа-бемоль — это нота ми, так как ближайшая к ноте фа клавиша слева вновь будет белой. Диезы или бемоли используются в зависимости от ситуации.
Клавиатура пианино.
Следовательно, настройка пианино заключается в сопоставлении всем этим нотам определенных частот. Как и в примере с нотой ля, в разные годы использовались разные модели. К примеру, пифагорейцы определяли музыкальный строй как последовательность квинт. Мы говорим, что нота отстоит от другой на одну квинту, если интервал между ними охватывает восемь клавиш пианино.
110
Так, соль отстоит на одну квинту от до, так как между ними находятся клавиши до — до-диез — ре — ре-диез — ми — фа — фа-диез — соль. Аналогично, на одну квинту от соль отстоит нота ре. Название «квинта» указывает, что если мы смещаемся на восемь клавиш вправо, начиная с белой клавиши, то почти всегда отсчитываем пять белых клавиш, то есть пять нот. Но обратите внимание, что если мы начнем с ноты си, то получим фа-диез, которой соответствует черная клавиша. Это единственное исключение.
С помощью цепочки квинт можно определить все двенадцать нот музыкального строя.
ВЕЙЛЬ: Как я уже объяснял, господин Леви-Стросс, в пифагорейском строе ноты отстоят друг от друга на одну квинту, если их частоты относятся как 3 к 2. Для простоты предположим, что ноте до соответствует частота в 1 Гц. Так как соль отстоит на одну квинту от до, ее частота будет равна 1,5 Гц. Чтобы определить частоту ре, нужно будет вновь умножить частоту на 1,5. Получим 2,25 Гц — это означает, что нота ре выше, чем соль. На самом деле мы определили частоту верно, но для ноты другой октавы. Это частота ноты ре, которую мы получим, если продолжим последовательность соль-ля-си-до-ре. Необходимо понизить эту ноту на одну октаву, то есть разделить соответствующую частоту на 2. Следовательно, частота ноты ре равна 1,125 Гц. Аналогично можно вычислить частоты нот:
до → соль → ре → ля → ми → си → фа-диез.
Мы можем не только «подняться», но и «опуститься» на одну квинту, разделив частоту ноты на 1,5 Гц. Так как интервал между фа и до охватывает восемь клавиш, фа ниже до на одну квинту. Разделив ее частоту на 1,5 Гц и умножив на 2, чтобы скомпенсировать октаву, получим частоту в 1,333... Гц. Аналогично можно найти все остальные частоты:
соль-бемоль ← ре-бемоль ← ля-бемоль ← ми-бемоль ← си-бемоль ← фа ← до.
Чтобы определить современные частоты этих нот, достаточно вычислить коэффициент, при котором нота ля имеет частоту в 440 Гц, и умножить на него все остальные частоты. При использовании пифагорейского строя возникает одна проблема: обратите внимание, что мы вычислили частоты нот фа-диез и соль-бемоль, но на самом деле это одна и та же нота!
Следовательно, для точной настройки пианино с помощью пифагорейского строя эти две частоты должны совпадать. Нетрудно видеть, что это не так: если мы не будем учитывать смену октавы, то получим, что частота фа-диез определяется умножением на 1,5 шесть раз, а частота соль-бемоль — делением на эту же величину такое же число раз. Чтобы настройка была точной, частоты (3/2)6 Гц и (2/3)6 Гц должны быть разделены определенным числом октав.
111
Иными словами, отношение чисел (3/2)6 и (2/3)6 должно быть степенью двойки. Но это невозможно, так как 2 и 3 взаимно простые.
ЛЕВИ-СТРОСС: И поэтому появился равномерно темперированный строй?
ВЕЙЛЬ: Конечно, до него использовались и другие, но равномерно темперированный строй оказался наиболее успешным. Пианино настроено по равномерно темперированному строю, если отношение частот звуков, соответствующих двум соседним клавишам (вне зависимости от цвета), всегда одинаково.
Для математика это означает, что если мы обозначим последовательные частоты всех нот, начиная с любой ноты, к примеру до, до-диез, ре и так далее, через f1, f2, f3... то отношение f2 к f1 будет равно отношению f3 к f2, которое, в свою очередь, будет равняться отношению f4 к f3 и так далее. Если мы остановимся, к примеру, на f13, то получим следующие равенства:
f2 / f1 = f3 / f2 = ... = f13 / f12
ЛЕВИ-СТРОСС: Но если мы отсчитаем тринадцать клавиш, начиная с любой ноты, то вновь получим исходную ноту, но на октаву выше.
Октава на клавиатуре пианино.
ВЕЙЛЬ: Интервалу в одну октаву соответствует удвоение частоты, следовательно, отношение f13 к f1 равно 2. Обратите внимание, что мы также можем записать
112
отношение f13 к f1 через все промежуточные частоты так, что частоты, записанные в знаменателе и числителе, последовательно сократятся:
f13 / f1 = f13 / f12 · f12 / f11 · ... · f3 / f2 · f2 / f1
В равномерно темперированном строе все множители в приведенном выше произведении равны одной и той же величине (обозначим ее через d). Следовательно, отношение f13 к f1 равно 2, а также равно числу d, умноженному само на себя 12 раз.
Таким образом, получим уравнение d12 = 2. С помощью этого уравнения для любой данной частоты мы всегда можем вычислить частоту следующей ноты, умножив ее на корень 12-й степени из 2, который равен примерно 1,05946. К примеру, если частота ноты ля, как мы уже говорили, равна 440 Гц, то частота ноты си (на две клавиши «выше») будет равна примерно 494 Гц, а частота ноты соль (на две клавиши «ниже») — около 392 Гц.
до - 261,63
до-диез - 277,18
ре - 293,66
ре-диез - 311,13
ми - 329,63
фа - 349,23
фа-диез - 369,99
соль - 392
соль-диез - 415,30
ля - 440
ля-диез - 466,16
си - 493,88
Таблица частот для основных нот пианино.
ЛЕВИ-СТРОСС: Получается, частота ноты ля в 440 Гц выбрана по договоренности, а частоты всех остальных нот определяются однозначно.
ВЕЙЛЬ: Да, но при условии, что октава делится на 12 нот так, что соотношение между частотами соседних нот всегда будет неизменным. Таковы основные предпосылки равномерно темперированного строя. Впрочем, инструменты в оркестрах не всегда настраиваются точно так, как мы объяснили. Кроме того, музыкальный строй в современной музыке серьезно отличается, не говоря уже о музыке других культур, где используются совершенно иные системы. В индийской музыке, к примеру, равномерно темперированного строя нет.
ЛЕВИ-СТРОСС: Мне стыдно признаться, но я почти не интересовался так называемой этнографической музыкой. В моих экспедициях в Бразилии мне довелось услышать несколько удивительных мелодий, сегодня забытых.
113
Мне помнится, что в звуках флейт индейцев намбиквара я различил мелодию «Действа старцев — человечьих праотцов» из «Весны священной» Стравинского. В поездке я потратил много сил на то, чтобы как можно точнее записать услышанную музыку, насколько мне позволяли знания. По возвращении во Францию мой знакомый пианист помог мне улучшить партитуры и исполнил их. Так я смог выбрать те мелодии, что точнее всего осели в моей памяти. Знаете, что произошло потом? Редактор, ответственный за публикацию партитур, забыл их в такси. Возможно, именно из-за этого случая я вновь всерьез принялся за изучение музыки лишь 30 лет спустя, хотя редкие дни моей жизни не сопровождались произведениями Равеля, Дебюсси или Шопена.
Один из их этюдов особенно помог мне избавиться от тоски, охватившей меня в джунглях. Музыка стала путеводной нитью моих «Мифологик». Сперва я думал, что музыка поможет организовать сложный материал со множеством вариаций одной и той же темы. Все мы поступаем так же — даже вы, господин Вейль, в своих записках не обошли музыку стороной. Последняя глава — это балет-буфф с прелюдией, фугой и интермеццо. Впрочем, я вскоре обнаружил еще одну, более глубокую причину: когда просветительскую функцию древних мифов взяли на себя романы, музыка пришла на смену агонизирующей мифологии. Должно быть, именно эта мысль сыграла ключевую роль в создании тетралогии «Кольцо Нибелунгов» Вагнера.
ВЕЙЛЬ: Вернемся к теме нашего разговора. Позвольте напомнить: только что вы сами сказали, что если мы отсчитаем 13 клавиш от данной ноты, то получим прежнюю ноту, но на октаву выше. Октава делится на 12 частей. Благодаря этому принципу теория групп может сыграть интересную роль в изучении музыкальной гармонии. На самом деле мы используем одну и ту же ноту, например ля, для обозначения разных звуков, отстоящих друг от друга на одну октаву.
Не будем далеко ходить за примером — на клавиатуре пианино восемь разных ля, и, по сути, мы могли бы сдвигать их на одну октаву выше и ниже до бесконечности, если бы человеческие уши различали неограниченный диапазон частот. Согласно приведенным выше вычислениям, будем называть нотой ля все ноты с частотой 33, 110, 220, 440, 880, 1760 Гц и так далее. Эта ситуация вовсе не нова — вспомните, когда я рассказывал о группе часов, то объяснил, что при взгляде на циферблат мы никак не можем различить шесть утра, шесть вечера, шесть утра следующего дня и шесть вечера предыдущего дня. Одна октава вверх — двенадцать часов вперед. Одна октава вниз — двенадцать часов назад. Нет никакой разницы! Поэтому очень удобно представить клавиатуру пианино в виде так называемого додекафонического круга.
114
ЛЕВИ-СТРОСС: Интервал, отделяющий каждую ноту круга от соседней, называется полутоном. Как и следовало ожидать, два полутона образуют тон, а три полутона — так называемую малую терцию. Более того, в классической музыке свое название имеет каждый интервал.
3 - Малая терция
4 - Большая терция
5 - Чистая кварта
6 - Тритон
7 - Чистая квинта
8 - Малая секста
9 - Большая секста
10 - Малая септима
11 - Большая септима
12 - Чистая октава
Обратите внимание, что квинта состоит из семи полутонов, а им соответствуют ровно восемь клавиш пианино, которые мы отсчитывали от данной ноты.
ВЕЙЛЬ: Как вам известно, транспонирование мелодии заключается в прибавлении (или вычитании) фиксированного числа полутонов к каждой ноте. Допустим, что по какой-то причине нам нужно повысить на одну квинту три ноты, которые повторяются в первых тактах «Лунной сонаты» Бетховена.
Первые ноты «Лунной сонаты« Бетховена.
115
Это ноты соль-диез, до-диез и ми. Прибавив к ним семь полутонов, получим ре-диез, соль-диез и си. Произвести нужные расчеты на пальцах несложно, но представьте, что вам нужно транспонировать всю сонату целиком! Здесь крайне полезной окажется модель, основанная на теории групп. Чтобы транспонировать всю сонату, достаточно повернуть додекафонический круг на семь полутонов против часовой стрелки. Что скажете?
Транспонирование на одну квинту.
Записав внутри круга исходные ноты, мы получим искомое соответствие, которое поможет нам транспонировать мелодию без особого труда. Посмотрите, как просто транспонировать этим способом прекрасный лейтмотив «Паваны» Габриэля Форе:
Применив новый метод, мы в мгновение ока преобразуем исходную последовательность нот
фа-диез — соль-диез — ля — си — ля — соль-диез — ля — фа-диез — соль-диез — ля — соль-диез — фа-диез — соль-диез — ми — фа-диез — фа — до-диез
в последовательность
116
до-диез — ре-диез — ми — фа-диез — ми — ре-диез — ми — до-диез — ре-диез — ми — ре-диез — до-диез — ре-диез — си — до-диез — до — соль-диез.
ЛЕВИ-СТРОСС: Впечатляюще, господин Вейль! Однако мне не дает покоя один вопрос. Сначала мы сказали, что восприятие мелодии не изменится, если мы умножим частоты всех нот на некий общий множитель, а теперь мы прибавляем к нотам полутона. Быть может, эти две операции совпадают?
ВЕЙЛЬ: Прекрасный вопрос. Действительно, в начале разговора мы указали, что отношение частот двух последовательных нот неизменно. Именно благодаря этому мы смогли записать таблицу частот начиная с ноты ля. Обратите внимание, что разность двух последовательных частот вовсе не постоянна. Разница частот нот до и до-диез равна 277,18 — 261,63 = 13,55 Гц, а разница между частотами нот ля-диез и си равна 493,88 — 466,16 = 27,72 Гц — почти в два раза больше! Чтобы преобразовать произведения в суммы, а отношения — в разности, нужно использовать логарифмы. По всей видимости, первым важность логарифмов в музыкальных расчетах понял Исаак Ньютон. Позвольте мне вкратце напомнить вам, что такое логарифм — возможно, в последний раз вам объясняли это почти сто лет назад.
Для двух положительных чисел а и b логарифмом а по основанию b (обозначается logb(a)) называется степень, в которую нужно возвести b, чтобы получить а.
Иными словами, с — логарифм а по основанию b, если числа а, b и с удовлетворяют соотношению bc = а. К примеру, известно, что log2(4) = 2, log2(8) = 3, так как 22 = 4, а 23 = 8. Вычислить логарифмы не всегда так легко. Нужно понимать, что логарифм преобразует частное в разность:
logb(x/y) = logb(x) - logb(y)
Продолжим рассматривать наш пример. Если основание логарифма равно b = 2, х = 8 и у = 4, то их частное равнялось бы 2, следовательно, левая часть выражения была бы равна log2(2) = 1. С другой стороны, мы уже знаем, что log2(8) = 3, log2(4) = 2.
В этом случае формула вновь оказывается верной, так как 1 = 3 — 2. Эту формулу можно доказать в общем виде, применив основные свойства степеней. Попробуйте сами!
Мы знаем, что отношения частот последовательных нот совпадают, следовательно, логарифмы этих отношений также будут равны:
117
logb(f2/f1) = logb(f3/f4) = ... = logb(f13/f12)
С учетом приведенной выше формулы получим
logb(f2) - logb(f1) = logb(f3) - logb(f2) = ... = logb(f13) - logb(f12)
Это соотношение выполняется для любого положительного b. Выберем особое значение d, равное корню 12-й степени из 2, которое удовлетворяет уравнению d12 = 2
Совсем недавно я объяснил, что любое отношение частот последовательных нот равно d, поэтому если мы рассмотрим логарифмы по основанию d, то получим:
logd(f2/f1) = logd(f3/f4) = ... = logd(f13/f12) = logd(d) = 1
так как показатель степени, в которую нужно возвести d, чтобы получить d, равен единице. Таким образом, мы можем преобразовать логарифм частного в разность логарифмов и получить следующее равенство:
logd(f2) - logd(f1) = logd(f3) - logd(f2) = ... = logd(f13) - logd(f12) = 1
ЛЕВИ-СТРОСС: Что это означает? Я запутался!
ВЕЙЛЬ: Ах да, я и забыл, что это вы попросили у меня объяснений... Эти вычисления иллюстрируют следующую мысль: если мы рассмотрим не частоты f1, f2 ..., а их логарифмы по основанию d, то есть logd(f1), logd(f2), то для перехода от любой ноты к следующей достаточно будет прибавить единицу. А это полутон!
ЛЕВИ-СТРОСС: Мы до сих пор не обратили внимания на один очень важный момент. Взглянув на додекафонический круг, читатель может представить, что все ноты используются одинаково, но очевидно, что основную роль играет подмножество нот до, ре, ми, фа, соль, ля и си, которым соответствуют белые клавиши.
Обратите внимание, что эта последовательность составлена очень странным образом: чтобы перейти от до к ре и от ре к ми, нужно добавить тон, а чтобы перейти от ми к фа — только полутон, при этом ни на клавиатуре пианино, ни на круге это никак не обозначено. Далее мы последовательно добавляем тон, чтобы перейти от фа к соль, от соль к ля и от ля к си, но интервал между си и до вновь нарушит симметрию:
118
до →1→ ре →1→ ми →1/2→ фа →1→ соль →1→ ля →1→ си →1/2→ до.
Это тональность до мажор. Мы можем построить новые эквивалентные тональности, начиная с любой ноты — для этого нужно воспроизвести последовательность интервалов 1, 1, 1/2, 1, 1, 1, 1/2. В общем случае потребуется вносить альтерации.
Вспомните «Струнный квартет № 3» Шостаковича: рядом с названием указано «фа мажор».
Это в некотором роде означает, что доминантная нота в партитуре — не до, а фа, следовательно, будет уместно перестроить строй, начав с фа. Мы хотим, чтобы закономерность 1, 1, 1/2, 1, 1, 1, 1/2 сохранялась: фа и соль, соль и ля разделены одним тоном, но ля и си отстоят друг от друга не на полутон, как нам бы хотелось, а на целый тон, поэтому вместо си нужно рассмотреть ноту на полтона ниже, то есть си-бемоль. Продолжим: си и до, до и ре, ре и ми разделены целыми тонами, и наконец, интервал между ми и фа равен одному полутону, как мы и хотели.
Следовательно, тональность фа мажор получается заменой си на си-бемоль. Это обычно указывается рядом с ключом нотного стана, чтобы каждый раз не записывать альтерацию рядом с нотой си.
Тональность фа мажор.
В этом случае потребовалось добавить всего одну альтерацию, но посмотрите, сколько потребуется добавить, если мы начнем строй с фа-диез, как в удивительной неоконченной «Десятой симфонии» Малера. Фа-диез и соль разделены полутоном, а мы хотим, чтобы их разделял целый тон, поэтому заменим соль на соль-диез. Теперь соль-диез и ля разделены всего лишь полутоном, следовательно, ля также нужно заменить на ля-диез. Ля-диез и си разделены полутоном, как и полагается, однако интервал между си и до также равен полутону, но нам нужен целый тон, поэтому заменим до на до-диез. В результате расстояние до ре уменьшится до полутона, следовательно, необходима альтерация ре и ми. Наконец, ми-диез отделяет от фадиез один полутон (как вы помните, ми-диез и фа — одна и та же нота), как мы и хотели. Следовательно, чтобы составить строй фа-диез мажор, нам пришлось альтерировать шесть из семи нот!
119
фа# соль# ля# си до# ре# ми# фа#
Тональность фа-диез мажор.
ВЕЙЛЬ: Из вашего объяснения, господин Леви-Стросс, становится понятно, что транспонирование на одну кварту (пять полутонов) едва заметно, так как изменяется всего одна нота стандартного строя. Когда мы хотим выполнить плавную транспозицию между двумя тональностями, удобнее выполнить переход через несколько промежуточных кварт. Такой переход возможен всегда, поскольку [5] порождает «группу часов»; иными словами, все элементы этой группы можно получить повторным сложением [5] с самим собой. К примеру, транспонирование на малую терцию (три полутона) эквивалентно транспонированию на три кварты, так как
[5] + [5] + [5] = [3].
С тритоном (интервалом в шесть полутонов) все происходит с точностью до наоборот. Если мы применим эту транспозицию два раза, то ничего не изменится, так как [6] + [6] = [0]. Вы наверняка слышали о дьяволе в музыке. В Средневековье церковь запрещала использовать тритон, так как данный аккорд отличался резким, неустойчивым звучанием и поэтому мог быть только творением дьявола. Тритон естественным образом возникает в аккорде ноты си. Как вы наверняка помните, классические аккорды исполняются на белых клавишах пианино «через одну»: к примеру, ДО ре МИ фа СОЛЬ — аккорд до, а СОЛЬ ля СИ до РЕ — аккорд соль. Обратите внимание, что в обоих случаях крайние ноты аккордов разделены семью полутонами. Этим свойством обладают все аккорды за исключением тех, что начинаются с ноты си, так как общая длина аккорда СИ до РЕ ми ФА составляет шесть полутонов — проклятый тритон. Вот он, дьявол в музыке! Лишь в эпоху барокко запреты ослабли, и тритон вновь начал использоваться в музыкальных произведениях при переходе в другие тональности и для почеркивания важных элементов композиции.
ЛЕВИ-СТРОСС: Все изменилось с началом романтизма. Одна из первых композиций, где в полной мере проявляется дьявол в музыке, — это «Соната по прочтении Данте» Ференца Листа. Первая тема сонаты написана в ре минор.
Пока что я говорил только о мажорных тональностях в музыке; сейчас я вкратце объясню, что означает «минор». Вновь рассмотрим строй до, ре, ми, фа, соль, ля, си.
Представим его в виде круга. Сразу же возникает вопрос: что произойдет, если мы «повернем» ноты?
120
Получим, к примеру, строй ля, си, до, ре, ми, фа, соль, в котором уже не будет соблюдаться последовательность интервалов 1,1,1/2,1,1,1,1/2, следовательно, этот строй не будет эквивалентен исходному. Следовательно, будет интересно посмотреть, что произойдет, когда полутона будут располагаться иначе.
В нашем примере полутона расположены во второй и пятой позиции: 1, 1/2, 1, 1, 1/2,1,1. Звукоряды, которые описываются этой последовательностью, называются минорами. Так, строй ля минор соответствует строю до мажор. В общем случае, чтобы определить соответствующий минор, нужно отсчитать три полутона вниз, начиная с первой ноты. Так, тональности ре минор соответствует фа мажор.
До мажор -- Ля минор До-диез мажор -- Ля-диез минор Ре мажор -- Си минор Ми-бемоль мажор -- До минор Ми мажор -- До-диез минор Фа мажор -- Ре минор Фа-диез мажор -- Ре-диез минор Соль мажор -- Ми минор Ля-бемоль мажор -- Фа минор Ля мажор -- Фа-диез минор Си-бемоль мажор -- Соль минор Си мажор -- Соль-диез минорСоответствие между минорами и мажорами.
Крайне важно отметить, что альтерации соответствующих миноров и мажоров совпадают, следовательно, для того чтобы определить, в минорной или мажорной тональности написано произведение, одних лишь альтераций недостаточно. Необходимо использовать другие, более субъективные критерии, например определить, какой нотой чаще всего заканчиваются звуковые последовательности в мелодии.
ВЕЙЛЬ: Ваше объяснение тональностей, господин Леви-Стросс, вновь наводит на подозрения, что не все ноты додекафонического круга играют одинаково важную роль в мелодии. Это казалось Арнольду Шёнбергу невыносимым, поэтому пока Эйнштейн уточнял детали своей первой теории относительности, Шёнберг написал «Камерную симфонию», с которой начался закат тональной музыки. Новое направление достигло вершины в 20-е годы XX века, когда создатель додекафонии начал претворять в жизнь программу об абсолютном равенстве всех 12 нот в любой композиции. Эта программа нашла яркое воплощение в работах композиторов Нововенской школы.
121
ЛЕВИ-СТРОСС: Я помню, как впервые прикоснулся к этой новой музыке.
С малых лет родители по воскресеньям водили меня в оперу Гарнье и другие концертные залы. Не забывайте, моим прадедом по материнской линии был скрипач Исаак Стросс (Штраусс), который работал с Оффенбахом и был знаком с Россини.
Дух прадеда сохранился в нашей семье, но история моего знакомства с музыкой окончилась произведениями Вагнера. Я открыл для себя Шёнберга, Альбана Берга, Антона Веберна и испытал подлинную страсть к звукам, которые услышал в первый раз. Кажется, я так и не смог привыкнуть к их творчеству. Не говоря уже о сериалистах, например о Лучано Берио, которые выступают за равноправие не только частот звуков, но и их длительности, тембра и любых других измеримых параметров.
Это направление разочаровало меня и совершенно сбило с толку, поскольку некоторые голоса «Симфонии» выкрикивали тексты из моей книги «Сырое и приготовленное». Но я допускаю, что перестать быть человеком XIX века не так-то просто.
ВЕЙЛЬ: Я не удивлен, что эта музыка показалась вам принципиально новой, так как многие шедевры додекафонической музыки написаны на основе латинского квадрата. Вы уже знаете, что латинский квадрат — всего лишь таблица, в которой определенное множество символов (в нашем случае — 12 нот) записано так, что в каждой строке и в каждом столбце содержатся все символы множества. На первом шаге выбирается последовательность, состоящая из 12 нот, на основе которой по установленным правилам строится латинский квадрат. Следовательно, существует столько же «руководств по музыкальной композиции», сколько и упорядоченных последовательностей нот до, до-диез, ре, ре-диез, ми, фа, фа-диез, соль, соль-диез, ля, ля-диез и си, всего 479001600 последовательностей.
ЛЕВИ-СТРОСС: Это меньше, чем «Сто тысяч миллиардов стихотворений» Кено.
ВЕЙЛЬ: Однако это число достаточно велико, чтобы композиторы могли попрежнему испытывать иллюзию свободы творчества, не правда ли? Как я уже говорил, суть метода заключается в том, чтобы упорядочить 12 нот, например следующим образом:
ми — соль — фа-диез — ля — соль-диез — до — фа — ре — ре-диез —
— до-диез — си — ля-диез.
В ключе соль эта последовательность записывается так:
122
ми соль фа-диез ля соль-диез до фа ре ре-диез до-диез си ля-диез
а в ключе фа — следующим образом:
ми соль фа-диез ля соль-диез до фа ре ре-диез до-диез си ля-диез
Следовательно, первая строка таблицы будет выглядеть так:
ми | соль | фа-диез | ля | соль-диез | до | фа | ре | ре-диез | до-диез | си | ля-диез
Первую строку таблицы можно записать и по-другому, определив место каждой ноты в «группе часов». При выполнении операций, позволяющих построить весь латинский квадрат на основе первой строки, крайне полезно сопоставить «полдень» «группы часов» первой выбранной нами ноте, то есть сделать ноту ми нейтральным элементом группы.
Следовательно, повернем «часы» так, чтобы нота ми заняла положение, которое обычно занимает нота до, после чего скопируем числа последовательности.
123
Напомню, что мы записали числа в квадратных скобках, чтобы указать: [3] обозначает не только число 3, но и все числа, которые можно получить, прибавив или отняв 12: 3, 15, 27,—9,—21. Таким образом, первую строку нашего латинского квадрата можно записать в следующем виде:
[0] | [3] | [2] | [5] | [4] | [8] | [1] | [10] | [11] | [9] | [7] | [6]
ЛЕВИ-СТРОСС: Понятно. Каким будет второй шаг?
ВЕЙЛЬ: После того как мы получили основную последовательность, заполним первый столбец таблицы, применив инверсию. Любые две ноты первой строки разделены некоторым интервалом. Инверсия заключается в том, чтобы воспроизвести те же самые интервалы в противоположном направлении. К примеру, ми и соль разделены тремя восходящими полутонами (ми — фа — фа-диез — соль), следовательно, инверсия этого интервала заключается в том, чтобы отсчитать три полутона вниз: ми — ре-диез — ре — до-диез. Получается, во второй клетке первого столбца запишем: до-диез. Другой пример: соль и фа-диез разделены восходящим полутоном, следовательно, нужно подняться на один полутон от ноты до-диез, которую мы только что получили. В результате имеем ноту ре. Выполнив аналогичные действия, получим первый столбец:
ми — до-диез — ре — си — до — соль-диез — ре-диез — фа-диез — фа —
соль — ля — ля-диез.
Теперь, господин Леви-Стросс, скажите мне, что означает слово «обратный» применительно к теории групп?
ЛЕВИ-СТРОСС: Элемент группы называется обратным другому, если результат операции над этими элементами — нейтральный элемент.
ВЕЙЛЬ: Именно! Я хочу показать, что обращение интервалов — это всего лишь особый способ, позволяющий найти обратные элементы «группы часов». Рассмотрим первый случай: нота соль соответствует элементу [3]. Какой элемент будет обратным для [3]? Велик соблазн сказать, что этим элементом будет [—3], но мы рассматриваем только положительные числа, поэтому к исходному элементу нужно прибавить 12. Получим [9], который действительно будет обратным [3], так как
[3] + [9] = [12] = [0],
то есть нейтральному элементу. А какая нота соответствует [9]?
Это нота до-диез — та же самая нота, которую мы вычислили методом обращения!
Если я не убедил вас, перейдем к следующей клетке квадрата. Ноте фа-диез соответствует элемент [2],
124
обратным ему является [10], так как [2] + [10] = [12] = [0].
А какой ноте соответствует [10]? Ноте ре! Следовательно, первый столбец нашего «руководства по музыкальной композиции» содержит элементы, обратные элементам основной последовательности, записанной в первой строке:
[0] [9] [10] [7] [8] [4] [11] [2] [1] [3] [5] [6].
ЛЕВИ-СТРОСС: Отлично, мы получили одну строку и один столбец. Мне кажется, я понял, как составить всю таблицу.
Теперь мы можем вычислить интервал, отделяющий ми от каждой ноты в столбце, и транспонировать первую строку так, чтобы структура мелодии не изменилась. Ми отделяют от до-диез девять полутонов. Прибавим этот интервал к каждой из нот в исходной последовательности:
до-диез | ми | ре-диез | фа-диез | фа | ля | ре | си | до | ля-диез | соль-диез | соль
ВЕЙЛЬ: Именно! А чтобы выполнить эту транспозицию, можно повернуть додекафонический круг на девять полутонов или же прибавить [9] к элементам первой строки. Вторая строка латинского квадрата будет выглядеть так:
[9] | [0] | [11] | [2] | [1] | [5] | [10] | [7] | [8] | [6] | [4] | [3]
Выполним аналогичные действия для десяти оставшихся строк.
ми
соль
фа-диез
ля
соль-диез
до
фа
ре
ре-диез
до-диез
си
ля-диез
до-диез
ми
ре-диез
фа-диез
фа
ля
ре
си
до
ля-диез
соль-диез
соль
ре
фа
ми
соль
фа-диез
ля-диез
ре-диез
до
до-диез
си
ля
соль-диез
си
ре
до-диез
ми
ре-диез
соль
до
ля
ля-диез
соль-диез
фа-диез
фа
до
ре-диез
ре
фа
ми
соль-диез
до-диез
ля-диез
си
ля
соль
фа-диез
соль-диез
си
ля-диез
до-диез
до
ми
ля
фа-диез
соль
фа
ре-диез
ре
ре-диез
фа-диез
фа
соль-диез
соль
си
ми
до-диез
ре
до
ля-диез
ля
фа-диез
ля
соль-диез
си
ля-диез
ре
соль
ми
фа
ре-диез
до-диез
до
фа
соль-диез
соль
ля-диез
ля
до-диез
фа-диез
ре-диез
ми
ре
до
си
соль
ля-диез
ля
до
си
ре-диез
соль-диез
фа
фа-диез
ми
ре
до-диез
ля
до
си
ре
до-диез
фа
ля-диез
соль
соль-диез
фа-диез
ми
ре-диез
ля-диез
до-диез
до
ре-диез
ре
фа-диез
си
соль-диез
ля
соль
фа
ми
125
Как вы уже видели, эта таблица содержит ту же информацию, что и таблица
[0]
[3]
[2]
[5]
[4]
[8]
[1]
[10]
[11]
[9]
[7]
[6]
[9]
[0]
[11]
[2]
[1]
[5]
[10]
[7]
[8]
[6]
[4]
[3]
[10]
[1]
[0]
[3]
[2]
[6]
[11]
[8]
[9]
[7]
[5]
[4]
[7]
[10]
[9]
[0]
[11]
[3]
[8]
[5]
[6]
[4]
[2]
[1]
[8]
[11]
[10]
[1]
[0]
[4]
[9]
[6]
[7]
[5]
[3]
[2]
[4]
[7]
[6]
[9]
[8]
[0]
[5]
[2]
[3]
[1]
[11]
[10]
[11]
[2]
[1]
[4]
[3]
[7]
[0]
[9]
[10]
[8]
[6]
[5]
[2]
[5]
[4]
[7]
[6]
[10]
[3]
[0]
[1]
[11]
[9]
[8]
[1]
[4]
[3]
[6]
[5]
[9]
[2]
[11]
[0]
[10]
[8]
[7]
[3]
[6]
[5]
[8]
[7]
[11]
[4]
[1]
[2]
[0]
[10]
[9]
[5]
[8]
[7]
[10]
[9]
[1]
[6]
[3]
[4]
[2]
[0]
[11]
[6]
[9]
[8]
[11]
[10]
[2]
[7]
[4]
[5]
[3]
[1]
[0]
ЛЕВИ-СТРОСС: На основе додекафонической таблицы, подобной той, которую мы только что составили, можно написать такую мелодию:
С одной стороны, на нижнем нотном стане в ключе фа записана основная последовательность нот из первой строки, на основе которых мы получили все остальные ноты. С другой стороны, на верхнем нотном стане записаны две мелодии: первая, состоящая из более низких звуков, соответствует второму столбцу таблицы, вторая, состоящая из более высоких звуков,— первой строке, прочитанной справа налево.
Число возможных вариантов практически бесконечно!
ВЕЙЛЬ: Так сегодня звучит музыка сфер.
ЛЕВИ-СТРОСС: И так мы будем слушать ее до тех пор, пока алгебра не разлучит нас.
126
Приложение
Конечные абелевы группы с двумя порождающими элементами[1]
В этом приложении приведено полное доказательство теоремы о структуре конечных абелевых групп с двумя порождающими элементами, которую упоминает Андре Вейль в диалоге с Клодом Леви-Строссом на стр. 73.
Теорема. Конечная абелева группа, порожденная двумя элементами, изоморфна либо циклической группе, либо прямому произведению двух циклических групп.
Прежде чем перейти к доказательству, напомним, что такое изоморфизм групп, о котором мы вкратце упоминали на стр. 57.
Изоморфизм групп
Пусть G и Н — две группы. Обозначим их групповые операции * и · соответственно. Обозначим нейтральные элементы групп через еG и еH.
Определение. Гомоморфизм групп G и Н — это функция φ: G → Н, которая каждому элементу g группы С ставит в соответствие элемент φ(g) группы Н (отображение g) так, что при этом...
Если мы найдем отображение результата операции над двумя элементами С, а затем сначала применим φ к каждому элементу, после чего найдем результат операции на Н, то результат в обоих случаях будет одинаков: φ(а * * b) = φ(а) · φ(b).
Приведем два следствия из этого определения. Отображением нейтрального элемента G, заданным функцией ф, должен быть нейтральный элемент Н: ф(еG) = еH.
127
Так как еG * еG = еG, имеем φ(еG) = ф(еG) · ф(еG). Применив закон сокращения (см. стр. 58), мы можем сделать вывод: ф(еG) = еH. Также заметим, что гомоморфизм «сохраняет» обратные элементы: ф(g-1) = ф(g)-1 для любого g на группе G.
В самом деле, g * g-1 = еG, следовательно, ф(g*g-1) = ф(еG) = еH в соответствии с доказанным выше. С другой стороны, по определению гомоморфизма ф(g*g-1) = ф(g) · ф(g-1). Из этих двух утверждений следует: ф(g) · ф(g-1) = еH — это равенство по-прежнему будет верным, если мы поменяем местами ф(g) и ф(g-1). Следовательно, ф(g) — обратный элемент ф(g-1).
Гомоморфизмы играют важнейшую роль при сравнении двух различных групп между собой. Особо выделим один частный случай, в котором две группы по своей структуре неразличимы, как, например, симметрическая группа S3 и группа преобразований, оставляющих неизменным равносторонний треугольник (стр. 56). Чтобы выразить эквивалентность структур формально, было введено понятие изоморфизма.
Определение. Гомоморфизм ф: G → Н называют изоморфизмом групп, если выполняются следующие условия.
(1) Инъективность. Если а и b — два различных элемента G, то φ(а) и φ(b) — два различных элемента Н.
(2) Сюръективность. Каждый элемент Н является отображением некоторого элемента G, то есть для любого h группы Н существует такой элемент g группы G, что р(g) = h.
В силу свойств гомоморфизма нетрудно видеть, что инъективность эквивалентна другому условию, которое проще проверить на практике.
(1') Единственный элемент G, который отображение φ преобразует в нейтральный элемент Н, это нейтральный элемент G. Иными словами, если φ(g) = eH, то g = eG.
В самом деле, предположим, что выполняется условие (1) и что φ(g) = eH. Так как р — гомоморфизм, мы знаем, что ф(eG) = еH, следовательно g обязательно должен совпадать с eG — в противном случае два различных элемента будут иметь одинаковые отображения. Посмотрим, что произойдет, когда выполняется свойство
128
(1'). Пусть a и b — два элемента С такие, что φ(а) = φ(b). Мы хотим доказать, что а = b. Сначала применим закон сокращения (см. стр. 58) и перепишем равенство в виде φ(а) *φ(b)-1 = еH. Так как φ — гомоморфизм, ф(b)-1 совпадает с φ(b-1) и φ(а) · φ(-1) = φ(а * b-1). Следовательно, φ(а * b-1) = eH и из (1') следует, что а * b-1= eG. Умножив обе части на b, получим, что а = b.
В ходе доказательства полезно отметить: чтобы показать, что данный гомоморфизм двух конечных групп одного и того же порядка (то есть для групп с одинаковым числом элементов) — это изоморфизм, достаточно проверить, что выполняется всего одно из двух свойств (инъективность или сюръективность), и второе будет выполняться автоматически (докажите это утверждение самостоятельно).
Также упомянем следующее предложение.
Предложение. Гомоморфизм ф: С → Н является изоморфизмом тогда и только тогда, когда существует другой гомоморфизм ψ: G → Н такой, что результатом последовательного применения φ и ψ является тождественное преобразование на группе G (то есть преобразование, которое оставляет все элементы С неизменными); это же верно для композиции φ и ψ на группе Н.
Для данного φ функция ψ определяется как функция, которая каждому элементу h группы Н ставит в соответствие единственный элемент g группы G такой, что φ(g) = h.
Две группы G и Н называются изоморфными, если между ними существует изоморфизм (обозначается G ≃ Н).
Теперь мы можем доказать теорему о структуре групп. Пусть G — конечная абелева группа, порожденная двумя элементами. Наша задача — определить изоморфизм между G и циклической группой либо прямым произведением двух циклических групп. Вначале мы покажем: всегда можно выбрать два порождающих элемента так, что порядок одного из них будет делителем порядка другого.
Как выбрать порождающие элементы
Начнем с леммы о циклических группах, порядок которых равен произведению двух взаимно простых чисел. Далее для простоты в нижнем индексе нейтральных элементов мы не будем указывать группу, к которой они принадлежат, а элементы, над которыми выполняется операция *, будем просто записывать рядом друг с другом.
129
Лемма 1. Допустим, что порядок элемента а можно записать как n — mr, где m и r — взаимно простые числа. Тогда группа <а> изоморфна прямому произведению циклических групп <аm> и <а'>, которые имеют порядок r и m соответственно.
Так как m и r взаимно простые, по соотношению Безу (см. стр. 91) обязательно существуют два целых числа u и v такие, что um + vr = 1. Определим отображение
φ:<a>→ <аm> × <a'>,
которое ставит в соответствие элементу а группы <а> пару ((am)ui,(ar)vi). Так как а имеет порядок n, получим, что аi = аi+kn для любого целого k. Первое, что нужно доказать — отображения φ для аi и аi+kn совпадают. Для этого заметим, что
(am)u(i+kn) = (am)ui(an)ukm = (am)uieukm = (am)ui
так как аn = е. Это же верно и для второй составляющей. Следовательно, можно заключить: φ(аi) = φ(аi+kn). Отображение определено полностью. Теперь покажем, что это отображение является гомоморфизмом групп. Условие φ(е) = е не представляет никаких затруднений: подставив i = 0 в расчетную формулу φ, получим
φ(e) = φ(a0) = ((am)0, (ar)0) = (e, e) = e.
Рассмотрим второе условие:
φ(aiaj) = φ(ai+j) = ((am)u(i+j), (ar)u(i+j)) = ((am)ui(am)uj, (ar)vi(ar)vj) = ((am)ui(ar)vi, (am)ui(ar)vi) = φ(ai) φ(aj),
так как в прямом произведении двух групп все действия выполняются почленно (см. стр. 70). Это доказывает, что φ — гомоморфизм. Докажем, что φ — изоморфизм.
Для этого заметим, что <а> и <аm> х <аr> — группы одного порядка. В самом деле, элементы аm и аr имеют порядок r и m соответственно, так как
(аm)r = (аr)m == amr = an
а элемент а имеет порядок n по условию. Следовательно, порядок <аm> х <аr> равен произведению r и m, то есть n, и равен порядку <а>.
130
С учетом этого достаточно доказать, что φ обладает инъективностью, то есть из φ(аi) = е следует аi = е. Если φ(аi) — нейтральный элемент, то аmui = аrvi = е. Это означает, что n является делителем mui и rvi, следовательно, n также будет делителем суммы этих чисел. Но по соотношению Безу имеем mui + rvi = (mu + rv)i = i. Следовательно, n является делителем i, что равносильно аi = е, следовательно, отображение φ является инъективным. Лемма доказана.
Обратите внимание, что верно и обратное: если r и m — взаимно простые числа, то прямое произведение двух циклических групп порядка r и m изоморфно циклической группе порядка гш, так как лемма устанавливает изоморфизм между ℤ/r х ℤ/m и ℤ/rm. Теперь посмотрим, как можно использовать эту лемму для выбора порождающих элементов G таким образом, чтобы порядок одного из них был делителем порядка другого. Выберем два порождающих элемента а и b произвольным образом.
Напомним: так как G коммутативная группа, все ее элементы можно представить в виде aibi, где i и j — целые числа, которые удовлетворяют условию 0 < i < порядок (а) и 0< j < порядок (b) (см. стр. 72).
Это же условие можно выразить другим, более сложным способом: функция <а> × <b> → G, которая ставит в соответствие пару (аi, bi) элементу aibi группы G, является сюръективной. Разумеется, основная сложность заключается в том, что нет никакой причины, по которой эта функция также должна быть инъективной.
Следовательно, запись аibi может быть не единственной, и если мы рассмотрим все члены аibi, то некоторые элементы G будут учтены более одного раза. Об этой проблеме мы поговорим чуть позже.
Рассмотрим порядок а и b. По основной теореме арифметики (стр. 89) оба этих числа можно разложить на простые множители. Разделим эти множители на две группы в зависимости от того, являются ли они одновременно делителями порядков а и b или нет. Чтобы читатель смог лучше понять рассуждения, ограничимся тем, что рассмотрим следующую ситуацию: существует единственное простое число р, которое одновременно является делителем порядков а и b (в общем случае рассуждения будут аналогичными, но все обозначения будут содержать верхние индексы, что затруднит чтение).
Выберем наибольшие степени р и запишем порядок (а) = рem, порядок (b) = рfn, где e и f — два положительных целых числа. Также предположим, что е < f. Обратите внимание, что m и n взаимно простые: если бы они имели общий простой делитель, он также был бы делителем порядков а и b, следовательно, был бы равен р. Это же верно для рe и m, а также для рf и n.
Применив лемму к циклическим группам, порожденным а и b, получим изоморфизмы <a>≃<am> × <apr> и <b>≃<bn> × <bpt>. Следовательно:
<a> × <b> ≃ <am> × <ape> × <bn> × <bpf>. (*)
131
Рассмотрим три последних множителя, которые имеют порядок m, pf и n соответственно. Так как m и pf взаимно простые, из леммы следует, что прямое произведение <apr> × <bn> изоморфно циклической группе порядка pfm. Так как n и pfm также взаимно простые, мы можем вновь применить эту лемму и показать, что произведение трех множителей изоморфно циклической группе <х> порядка pfmn.
Примем у = аm. Порядок этого элемента равен рe. Из формулы (*) следует, что прямые произведения <а> <b> и <х> <у> изоморфны, следовательно, существует сюръективное отображение <х> <у> на G. Иными словами, х и у порождают G.
Теперь нетрудно показать, что порядок (х) = pfmn делится на порядок (у) = рe, так как мы предположили, что е < f. Мы доказали следующую лемму[2]:
Лемма 2. Пусть G — конечная абелева группа, порожденная двумя элементами.
Можно выбрать ее порождающие элементы так, что порядок одного будет делителем порядка другого.
Продолжим доказательство.
Порядок группы
Согласно предыдущей лемме мы можем выбрать порождающие элементы х и у группы G так, что порядок (у) = l и порядок (х) будет кратным l и равным, к примеру, lk. Все элементы G можно будет записать в виде 0 ≤ i < lk у 0 ≤ у< l, где 0 < i < lk и 0 < j< l.
Если бы две степени порождающих элементов совпадали, эта запись была бы не единственной. К примеру, если бы у3 равнялось х2, то х2у4 и х4у были бы двумя разными способами записи одного и того же элемента. Обозначим через t наименьшее целое положительное число такое, что уt совпадает с xs для некоторого целого s. Мы знаем, что t < I, так как уl = е = хlk.
132
В этой новой нотации каждый элемент G можно записать единственным образом в виде xiyj, где 0 < i < lk и 0 < j < t. В самом деле, если бы равенство xiyj = xiyj выполнялось для какого-либо 0< j' ≤ j < t, то мы получили бы хi'-i = уj-j', или, что аналогично, уj-j' было бы степенью х. Так как j’ — j строго меньше t, эта величина может равняться только нулю, следовательно, j = j' и i' = i, так как хi'-i = е при —lk < i' —i < lk.
Это доказывает, что порядок G равен произведению двух верхних границ показателей степени i и j, то есть lkt.
Целое число v
Обозначим через r порядок элемента уt. Так, е = (уt)r = уtr. Так как у — элемент порядка l, мы знаем, что l ≤ tr. Мы хотим доказать, что l = tr, следовательно, надо исключить случай l < tr. Будем рассуждать следующим образом: если t < tr, то существует целое число u < r такое, что l заключено между tu и t(u + 1), то есть выполняется равенство tu < l < t(u + 1). Обратим внимание на величину t(u + 1) — l.
С одной стороны, это целое положительное число, меньшее t, так как 0 < t(u + 1) — l < t(u + 1) — tu = у.
С другой стороны, имеем равенства yl(u+1)-l = yt(u+1)(u + i )= xs(u+1), так как у имеет порядок l, и уt = xs.
Таким образом, мы доказали, что существует целое положительное число, меньшее t, такое, что у, возведенное в эту степень, равно некоторой степени х. Этот вывод абсурден, так как, по определению, t — наименьшее целое число, обладающее этим свойством. Таким образом, мы исключили случай l < tr. Имеем l = tr. Так, е = уt = ylr = xsr.
В дальнейших рассуждениях применим следующую лемму.
Лемма 3. Пусть g — элемент порядка n группы G. Тогда n будет делителем любого целого числа d такого, что gd = е.
Достаточно доказать эту лемму для положительных d. Так как n — наименьший целый показатель степени, для которого g, возведенный в эту степень, совпадает с нейтральным элементом, мы знаем, что n < d. Следовательно, мы можем разделить duann получить d = рп + r, где 0 < r < n — остаток от деления.
Тогда е = gd = gpn + r = (gn)p gr = gr, так как gn = e. Таким образом, gr = e, и это означает, что r = 0 — в противном случае порядок g будет равняться не n, а r. Лемма доказана.
Так как xsr = е, то, по лемме 3, sr нацело делится на порядок (х) = Ik, то есть существует v такое, что sr = Ikv. Подставив в это выражение значение f, которое
133
мы только что вычислили, получим sr = trkv. Так как r — порядок элемента уt, это ненулевое целое число. Разделив на него обе части равенства, получим s = tkv.
Заключительная часть доказательства
В этом, последнем, разделе мы докажем, что группа G изоморфна прямому произведению циклических групп, порожденных х и x-vky, где v — целое число, определенное в предыдущем разделе. Имеем элементы порядка lk и t соответственно.
В первом случае доказательство не требуется. Во втором случае заметим, что
(x-vky)t = x-vkt yt = x-vkt xs = xs-vkt = e,
так как yt = xs и s = vkt. Если бы существовало другое целое число t' < t, для которого (х-vky)t' = е, то мы получили бы равенство у1 =x~vkt. Однако это выражение противоречит определению f как наименьшего целого числа, для которого у1 — степень х. Следовательно, x~vky имеет порядок f, а порядок прямого произведения <х>
<x~vky> равен Ikt.
Рассмотрим функцию φ:<x>×<x-vk>→G которая ставит в соответствие пару (хi, (x-vky)j) элементу xi-vkyj. Проведя расчеты, очень схожие с теми, что были выполнены при доказательстве леммы 1, получим, что φ определено однозначно и является гомоморфизмом групп (предлагаем читателю провести необходимые расчеты самостоятельно). Так как группы G и <х> х <x-vk> имеют один и тот же порядок, то чтобы показать, что φ — изоморфизм, достаточно доказать, что это отображение является инъективным, то есть доказать, что из xi-vkyj = e следует хi = е и (x-vky)j = е. Последнее равенство эквивалентно равенству yj = x-vkj, таким образом, уj является степенью х. Проведя рассуждения, по сути, аналогичные тем, что мы выполнили при доказательстве леммы 3, увидим, что j должно быть кратно t.
Следовательно, существует j' такое, что j = tj'. Имеем:
e = хi-vk уi = хi-vktj' уtj' = хi-(vkt)j'xsj' = хi-sj' хsj' = хi,
так как уt = хs и s = ukt. Следовательно, как и требовалось, хi = е. Мы показали, что группа G изоморфна прямому произведению двух циклических групп. Если их порядки выражаются взаимно простыми числами, эта группа изоморфна циклической группе. Теорема доказана.
134
Библиография
ARBONES, J., MlLRUD, P., La armoma es numerica. Musica y matematicas, Barcelona, RBA, 2010.
AUBIN, D., «The Withering Immortality of Nicolas Bourbaki: a Cultural Connector at the Confluence of Mathematics, Structuralism and the Oulipo in France», Science in Context, 10 (2), 1997, 297-342.
BERTHOLET, D., Claude Levi-Strauss, Granada, Universidad de Granada, 2003.
BOREL, A. ET AL., Andre Weil (1906-1998), numero especial de la Gazette des Mathematiciens, 1999.
BROUE, M., «Les tonalites musicales vues par un mathematicien», en «Le temps des savoirs», Revue de l’Institut Universitaire de France, 4, eds. D. Rousseau & M.
Morvan, Paris, Odile Jacob, 2002, 37-78.
BOURBAKI, N., «Foudations of Mathematics for the Working Mathematician», Journal of Symbolic Logic 14, 1949, 1-8. N.
—: Theorie des ensembles, Paris, Hermann, 1954.
—: «L’architecture des mathematiques», en Les grands courants de la pensee mathematique, Paris, ed. F. Le Lionnais, Cahiers du Sud, 1948, 35-47.
CALVINO, I., «Rapidez» en Seis propuestas para el proximo milenio, Madrid, Siruela, 1990.
CARTIER, P., «Le defi post-hilbertin», prologo a Jeremy J. Gray, Le defi de Hilbert. Un siecle de mathematiques, Paris, Dunond, 2003.
—: «Matematicos sin fronteras», Gaceta de la RSME, aparecera.
—: «Notes sur l’histoire et la philosophie des mathematiques III. Le structuralisme en mathematiques: mythe ou realite?, Prepublications de flHES M/98/28.
CARTIER, P., ChEMLA, K., «Notes sur l’histoire et la philosophie des mathematiques II. La creation des noms mathematiques: l’exemple de Bourbaki», Prepublications de ITHES M/98/20.
DIOFANTO, La «Aritmetica» y el libro «Sobre los numeros poligonales», ed. M. Benito Munoz, E. Fernandez Moral y M. Sanchez Benito, Tres Cantos, Nivola, 2007, 2 vols.
ERIBON, D., Levi-Strauss, C., De cerca y de lejos, Madrid, Alianza, 1990.
FRESAN, J., «Le chateau de groupes. Entretien avec Pierre Cartier» en «Notes sur l’histoire et la philosophie des mathematiques V. Le probleme de l’espace», Prepublications de ITHES M/09/41. Un resumen en ingles se ha publicado en EMS Newsletter, diciembre 2009, 30-33.
135
—: «Lejos de las cigarras inclementes», Revista de Libros, n• 158, febrero 2010, 7-8.
—: «En casa de los Weil», Clarin: revista de nueva literatura, XVI, n• 93,15-20.
JAMES, J., The Music of the Spheres: Music, Science and the Natural Order of the Universe, Nueva York, Grove Press, 1993.
JOULIA, E., Levi-Strauss. Lhomme derriere Ioeuvre, Paris, JC Lattes, 2008.
LEVI-STRAUSS, C., Las estructuras elementales del parentesco, Barcelona, Paidos, 1998.
—: Mirar, escuchar, leer, Madrid, Siruela, 1994.
—: Tristes tropicos, Barcelona, Paidos, 2006.
MARCHAND, J.J., Entretien avec Claude Levi-Strauss, disponible con subtitulos en espanol en y sucesivos.
SENECHAL, M., «The Continuing Silence of Bourbaki — An Interview With Pierre Cartier», The Mathematical Intelligencer 20 (1), 1998, 22-28.
TODOROV, T., «Jakobson y Bajtin», en La experiencia totalitaria, Barcelona, Galaxia Gutenberg, 2010.
WEIL, A., Memorias de aprendizaje, Tres Cantos, Nivola, 2002.
—: Number Theory. An Approach Through History from Hammurapi to Legendre, Boston, Birkhauser, 1994.
—: (Euvres scientifiques: collected papers, Berlin, Springer, 2009, 3 vols.
WEIL, S., ?uvres, Paris, Gallimard, 1999.
—: En casa de los Weil. Andre y Simone, Madrid, Trotta, 2011.
WRIGHT, D., Mathematics and Music, Providence, American Mathematical Society, 2009.
Примечания
1
1 Сторонники Альфреда Дрейфуса, французского офицера, еврея по происхождению, незаконно осужденного по обвинению в государственной измене в конце 1894 года.
(обратно)2
2 Коллеж де Франс, основанный королем Франциском I в 1530 году, — уникальное учебное заведение. Каждый год преподаватели точных и естественных наук читают курсы самого высокого уровня для всех желающих, где представляют свои исследования, которыми занимаются в настоящий момент.
(обратно)3
3 Высшая нормальная школа Парижа — престижное высшее учебное заведение, где готовят преподавателей и исследователей по всем точным и естественным наукам. Среди выпускников школы двенадцать нобелевских лауреатов и одиннадцать лауреатов Филдсовской премии. Для поступления в Нормальную школу нужно пройти двухлетние подготовительные курсы, по окончании которых сдаются письменные и устные экзамены.
(обратно)4
1 Морис Оден работал над докторской диссертацией в Университете Алжира и был схвачен, подвергнут пыткам и казнен французскими властями за ожесточенное противодействие их колониальной политике. Диссертация была защищена в Париже в его отсутствие.
(обратно)5
1 Понятие изоморфизма групп подробно рассматривается в начале приложения.
(обратно)6
1 Заинтересованный читатель найдет полное доказательство в приложении. Чтобы вы могли полностью понять доказательство, рекомендуем сначала прочесть первую часть следующей главы.
(обратно)7
2 Перевод А. М . Эфроса.
(обратно)8
1 Докажем это! Пусть d = НОД (m, n). Допустим, что результат деления m на n равен f, остаток равен r, то есть m = л/ + r. Заметим, что r делится на d. В самом деле, по определению существуют числа р и q такие, что m = dp и n = dq. Подставив эти выражения в первое равенство, получим: r = m — nt = dp — dqt = d (p — qt), следовательно, r делится на d. Чтобы показать, что НОД (n, r) = d, достаточно доказать, что эти два числа не могут иметь общий делитель, больший d. Это вновь следует из формулы m = nt + r: если бы такой делитель существовал, он также был бы делителем m, следовательно, был бы общим делителем m и n, большим d, но d — наибольший общий делитель по определению.
(обратно)9
1 Как объяснял один из членов Британского института стандартов, «частота, используемая в трансляциях ВВС, определялась осциллятором, в котором использовался пьезоэлектрический кристалл с частотой колебаний в 1 миллион герц. Эта частота уменьшалась электронными средствами до 1000 Гц, затем умножалась на 11 и делилась на 25. Так получалась требуемая частота в 440 Гц. Так как число 439 является простым, его нельзя получить подобным способом».
(обратно)1
1 Автор выражает благодарность Густаво Очоа за помощь в подготовке приложения.
(обратно)2
2 На самом деле мы доказали следующий, более точный результат.
Пусть С — конечная абелева группа, порожденная двумя элементами а и b. Пусть порядок (а) = p1e1 ... m prer и порядок (b) = p1f1 ... m prfr, где р — простые числа, e1 и f1 — целые неотрицательные числа, m и n — взаимно простые. Следовательно, группа G изоморфна группе, порожденной двумя элементами х и у такими, что порядок (х) = p1h1 ... prhr, mn и порядок (у) = p1g1 ... prgr, где h = max(е, f) и g = min(e, f) для всех i = 1,...,r.
(обратно)
Комментарии к книге «Пока алгебра не разлучит нас», Хавьер Фресан
Всего 0 комментариев