«Философский словарь разума, материи, морали»

Высказывания, содержащие «все» или «ни один», могут быть опровергнуты эмпирическими данными, но не могут быть доказаны иначе, чем логически и математически.

Можно доказать, что «все простые числа, кроме 2, нечетны», потому что это следует из определений; но мы не можем доказать, что «все люди смертны», поскольку не можем доказать, что никого не пропустили.

Лобачевский, обнаружив неевклидову геометрию, разрушил математический аргумент Кантовской трансцендентальной эстетики. Вейерштрасс доказал, что непрерывность не предполагает бесконечно малые величины; Георг Кантор создал теорию непрерывности и теорию бесконечности, положившую конец всем старым парадоксам, которыми кормились философы. Фреге показал, что арифметика вытекает из логики, вопреки мнению Канта. Все эти результаты были достигнуты обычными математическими методами и так же несомненны, как таблица умножения.

Философы отреагировали на сложившуюся ситуацию тем, что не стали читать упомянутых авторов.

Геометрия проливает не больше света на природу пространства, чем арифметика – на количество населения в США. Геометрия – это целое собрание дедуктивных наук, основанное на соответствующем собрании наборов аксиом. Один набор аксиом – эвклидов; другие такие же хорошие наборы аксиом ведут к другим результатам.

Насколько эвклидовы аксиомы верны – это вопрос, к которому чистый математик безразличен. Более того, на этот вопрос теоретически невозможно дать определенный утвердительный ответ.

Скептицизм в том виде, в котором я его отстаиваю, означает лишь следующее: 1) если эксперты пришли к согласию, противоположное мнение не может считаться верным; 2) если они не пришли к согласию, не-эксперты не должны считать верным никакое мнение; 3) когда все эксперты решили, что нет достаточных оснований для определенного мнения, обычному человеку лучше всего воздержаться от суждения.