«Лаплас. Небесная механика»

Лаплас. Небесная механика (fb2) - Лаплас. Небесная механика [Вселенная работает как часы] 3617K скачать: (fb2) - (epub) - (mobi) - Карлос М. Мадрид Касадо

Carlos М. Madrid Casado Вселенная работает как часы. Лаплас. Небесная механика.

Наука. Величайшие теории Выпуск № 13, 2015 Еженедельное издание

Пер. с франц. — М.: Де Агостини, 2015. — 168 с.

ISSN 2409-0069

© Carlos М. Madrid Casado, 2012 (текст)

© RBA Collecionables S.A., 2012

© ООО «Де Агостини», 2014-2015

Введение

«То, что мы знаем, так ничтожно по сравнению с тем, о чем мы не знаем... Человек гонится за химерами», — это были последние слова, которые сорвались с губ Пьера-Симона де Лапласа перед тем, как свеча его жизни угасла. Произошло это в девять часов утра, в понедельник 5 марта 1827 года. Веком ранее, 20 марта 1727 года, умер Исаак Ньютон. Странно, но незадолго до своей смерти великий британский ученый произнес почти то же самое: «То, что мы знаем, — капля в море; то, о чем не ведаем, — океан».

«Французский Ньютон» Пьер-Симон де Лаплас (1749— 1827) был ученым конца XVIII — начала XIX века — в полном смысле этого слова. Этот искусный математик дополнил механику Ньютона, доказал стабильность Солнечной системы и предложил заманчивую гипотезу ее происхождения. Ему также принадлежат математическая теория вероятностей и формулировка детерминистической картины Вселенной. Вместе с Лавуазье и другими молодыми учеными он сделал решающий вклад в развитие химии и математической физики.

Но кем был маркиз де Лаплас на самом деле? Этот человек видел зарождение нового мира, в течение долгих 78 лет совершал открытия, на его жизнь пришелся расцвет эпохи Просвещения, он был близко знаком с энциклопедистами, стал свидетелем Французской революции, сидел за одним столом с якобинцами, избежал гильотины, часто говорил с Наполеоном, присоединился к бонапартистам, чтобы в конце концов присягнуть на верность Бурбонам.

Мы попытаемся в этой книге приоткрыть неизвестные стороны биографии ученого и объяснить великолепие и значение его научного вклада. Чтобы преуспеть в описании жизни маркиза де Лапласа, необходимо в первую очередь сопоставить его научные достижения (до сих пор влияющие на науку) с его политической и общественной ролью. В отличие от Франсуа Рене де Шатобриана, Лаплас никогда не писал мемуаров, но, учитывая его бурную жизнь, вполне мог бы это сделать. Математик сумел соединить счастливую семейную жизнь с головокружительной научной карьерой, в череде великих политических и общественных событий он одновременно был и зрителем, и актером. Лаплас видел крах старого режима, неистовство Французской революции, победы и поражения Наполеона и Реставрацию.

История науки почему-то представляет период, прошедший между Ньютоном и Эйнштейном, как относительно спокойные годы, в течение которых ученые масштаба Лапласа концентрировали внимание исключительно на совершенствовании ньютоновой механики, а уж потом появился электромагнетизм, и теория относительности перечеркнула все существующие идеи. Мы постараемся добавить немного страсти в эти спокойные воды и опишем научный контекст XVIII и XIX веков. Мы представим современников Лапласа как полных жизни, увлеченных людей, погруженных в свои формулы и ставших частью бурного политического и социального контекста.

Мы хотим показать, что наука в те годы не была блеклой и безжизненной и в ее теле также пульсировала кровь.

Маркиз де Лаплас был символом этого мирного периода научной истории. Вместо того чтобы следовать дорогой своих родителей и стать обычным провинциальным священником, он начал раннюю университетскую карьеру в Париже в эпоху Просвещения, внес вклад в популяризацию науки во время Французской революции, участвовал в распространении десятичной метрической системы и реформировании образовательных учреждений Франции. Лаплас занимал многочисленные политические и академические посты, благодаря которым он смог формировать научную политику своей страны. Эта политика позволила развить и модернизировать большое количество дисциплин и усовершенствовать научный метод — эксперимент, моделирование, проверку — с тем, чтобы наука стала главной опорой нового социального порядка.

Современная наука началась в XVII веке с Галилея и Ньютона. Однако вплоть до середины XIX века она не занимала в жизни людей сколько-нибудь видного места, и лишь появление таких выдающихся деятелей, как д’Аламбер, Кондорсе, Карно, Монж, Фурье, Лаплас, позволило ей управлять мыслями каждого. Два века научной культуры, лежащие между Ньютоном и Эйнштейном, оказались более революционными, чем пять предшествовавших им столетий. Наполеон, принимая во внимание вклад Лапласа в национальное развитие, говорил: «Распространение и усовершенствование математических наук тесно соединены с благоденствием государства».

В данной книге мы не станем анализировать личную жизнь и научный вклад Пьера-Симона де Лапласа, но мы исследуем его роль в преобразовании общества, частью которого он являлся. В этом смысле приватная и интеллектуальная сторона личности французского ученого тесно связаны с политической и общественной. В его эпоху математики участвовали в изменении мира наравне с политиками.

Мы расскажем о рождении Лапласа в маленькой нормандской деревне, проследим за его детством и юностью, поговорим об учебе юноши в коллеже и университете и о том, как он решил оставить теологию ради науки. Мы посетим вместе с Лапласом Париж эпохи Просвещения, где под покровительством д’Аламбера он, благодаря своему упорству и некоторому отсутствию щепетильности, начнет молниеносную научную карьеру. Амбициозный план Лапласа — поступить в Академию наук — был реализован. К этому времени он уже в совершенстве освоил инструменты математического анализа — вычисления и дифференциальные уравнения.

Будучи студентом, Лаплас проявил склонность к научным размышлениям и философствованию, что выразилось в его занятиях «прогрессивным математизированием неба и Земли», вдохновленных ньютоновой механикой и зарождающейся теорией вероятностей. Именно этим двум областям исследования — вероятностям и «небесной механике» (это название придумал сам Лаплас) — ученый посвятил свою жизнь. Его работы по углублению механики Ньютона позволили доказать стабильность Солнечной системы, что означало победу Ньютона над Декартом. Следует напомнить, что после смерти британского ученого научный спор между его видением и декартовой концепцией Вселенной еще не был закрыт, поскольку некоторые вопросы небесной механики оставались нерешенными. Лаплас принялся за изучение некоторых аномальных в теории Ньютона небесных перемещений, в частности перемещений некоторых планет, спутников и комет. Ученому удалось объяснить их благодаря использованию закона всемирного тяготения. Историки науки часто описывают Лапласа как наследника Ньютона, однако это не так, хотя он и сыграл ключевую роль в посмертном триумфе великого британского ученого. Это позволило ему завоевать доверие Лавуазье — другого знаменитого ученого конца XVIII века, с которым Лаплас сотрудничал, чтобы распространить среди «земных» наук, в частности в области химии, успехи ньютоновой теории, справедливой для небесной сферы.

Ход мировой истории изменил 1789 год. Мы узнаем, как пережил это неспокойное время гражданин Лаплас. Французская революция смогла мобилизовать науку и вооружить ученых. В это время герой нашей книги превратился в технократа, создателя метрической системы, педагога, который реформировал устаревшие французские образовательные учреждения. Наконец, в период Империи он стал государственным деятелем, министром и канцлером Сената.

Не обойдем мы вниманием и написанный Лапласом в годы революции труд «Изложение системы мира». Это произведение носило научно-популярный характер и представляло собой свод познаний того времени о небесной сфере, а также предлагало довольно правдоподобную гипотезу происхождения Солнечной системы из газовой туманности. Позднее Лаплас собрал итоги более чем 25-летней работы в многотомном труде «Небесная механика».

Мы также остановимся на второй популяризаторской работе ученого — «Опыте философии теории вероятностей». В этом произведении он заложил основы современной теории вероятностей и предложил знаменитую формулировку распределения Лапласа, позволяющую рассчитать вероятность какого-либо события. Вероятности являются ключевыми в его концепции знаний. Представления Аристотеля о небесах и Земле утратили силу, и наука, в частности небесная механика, следовала по пути, открытому новыми математиками. Вероятности были для Лапласа фундаментальным инструментом, позволявшим математизировать земные феномены.

После Реставрации этот экс-революционер смог в нужный момент приблизиться ко двору Бурбонов. В последние годы своей жизни Лаплас пользовался почетом и славой и, что самое интересное, создал влиятельную математическую школу, деятельность которой была направлена на то, чтобы внедрять математические достижения в физику. Последователи Лапласа начали применять для земного мира тот же математический метод, что и для небесной сферы, и по этому пути со всеми его сложностями и достижениями мы следуем до сих пор.

Однако счастливая звезда великого ученого понемногу угасала, хотя его последователи и продолжали работать в том же направлении. После смерти Лапласа Франция на целых полстолетия перестала быть столицей научной жизни, однако наследие ученого востребовано до сих пор. Если пролистать любой труд по математике или физике, то в нем можно обнаружить тысячу и одну концепцию, носящую его имя: распределение Лапласа, плоскость Лапласа, преобразование Лапласа, уравнение Лапласа, лапласиан... Философы часто упоминают демона Лапласа и его космогоническую гипотезу. И даже наш читатель, измеряя что-либо при помощи метра, также должен вспомнить об этом «французском Ньютоне»...

1749 Пьер-Симон Лаплас родился 23 марта в Бомон-ан-Ож, маленькой нормандской деревне.

1765 Он поступает в коллеж искусств при университете города Кан, чтобы начать карьеру священнослужителя, однако этот путь он самовольно оставляет в 1768 году.

1769 Прибывает в Париж и благодаря покровительству д’Аламбера получает место преподавателя математики в военной школе Парижа.

1773 После многочисленных безуспешных попыток становится членом Академии наук.

1783 В Академии Лаплас представляет свои «Записки о тепловом эффекте» — плод сотрудничества с Лавуазье.

1784 Назначен экзаменатором кадетов в артиллерийской школе.

1785 В Академии представляет свои «Записки о вековых неравенствах между планетами и спутниками», а в следующем году — теории о Юпитере и Сатурне, две книги записок, в которых решает проблему аномалий движения Юпитера и Сатурна.

1787 Публикует книгу «О вековом уравнении Луны», в которой решает проблему движения нашего спутника.

1790 Назначен членом Комиссии мер и весов.

1795 Участвует в создании Французского института, Политехнической школы и Высшей нормальной школы.

1796 Публикует «Изложение системы планет» — большое произведение, в котором излагает свою гипотезу образования Солнечной системы из газовой туманности.

1799 Публикует первый из пяти томов научного трактата «Небесная механика». В этом произведении ученый объединяет все свои открытия в области астрономии. На посту министра внутренних дел подписывает декрет об учреждении метрической системы.

1806 Наполеон жалует Лапласу титул графа Империи.

1812 Публикует «Аналитическую теорию вероятностей» — книгу, лежащую в основе современной теории вероятностей.

1814 Публикует «Философское эссе о вероятностях», в котором представляет широкой публике основные принципы теории вероятностей, не делая акцент на математическом анализе.

1817 Получает титул маркиза королевства Франции.

1825 Публикует пятый, последний том «Небесной механики».

1827 Пьер-Симон де Лаплас умирает в Париже 5 марта.

ГЛАВА 1 Первые шаги в науке

С самого раннего возраста Лаплас отличался впечатляющими математическими способностями.

Едва он прибыл в Париж, как его талант заметил д’Аламбер, посвятивший молодого человека в тайны анализа и познакомивший его с работами Эйлера и Лагранжа. С 1769 по 1773 год Лаплас — этот неприметный преподаватель военной школы — демонстрировал необыкновенную способность решать дифференциальные уравнения, что открыло перед ним двери Академии наук.

Пьер-Симон Лаплас родился 23 марта 1749 года на западе Франции, в деревушке Бомон-ан-Ож. Эта часть Нижней Нормандии, заросшая лугами и яблоневыми садами, расположена около устья Сены. Лаплас — выходец из достаточно зажиточной семьи; хотя некоторые биографы стремятся изобразить картины крайней нищеты, в которой якобы прошло его детство, однако в реальности родители Пьера-Симона были богатыми землевладельцами. Его отец, Пьер Лаплас, посвятил себя продаже сидра и даже в середине XVIII века стал мэром Бомона. Мать, Мари Анн Сошон, была родом из фермерской семьи, имевшей владения в окрестностях деревни. У Пьера- Симона была сестра, на четыре года старше его, которую, как и мать, звали Мари Анн. Менее чем за год до появления Пьера- Симона его мать родила мертвых близнецов, а через год после рождения будущего ученого, в 1750-м, родился его младший брат Оливье, который также вскорости умер. Учитывая происхождение Лапласа, никто не мог и предположить, что однажды он станет великим ученым, однако разгадку к пониманию этого человека — ученого, политического деятеля, мужа, отца и друга — таят его детские и юношеские годы.

СЛОЖНЫЙ ВЫБОР: ТЕОЛОГИЯ ИЛИ МАТЕМАТИКА

Пьер-Симон очень рано освоил элементарные понятия чтения и вычисления. Вероятно, за это ему стоит благодарить своего дядю Луи, служившего аббатом. Луи имел прекрасное образование, он страстно любил математику, и эту любовь его племянник впитал с самого нежного возраста. Семья решила, что Пьер-Симон должен пойти по стопам своего замечательного дяди, принять сан и таким образом обеспечить себе блестящее будущее священнослужителя.

В 1756 году благодаря посредничеству дяди семилетний Пьер-Симон пошел в коллеж — среднюю школу, которой руководили монахи-бенедиктинцы (их обители в Бомоне покровительствовал герцог Орлеанский). Ученики коллежа, которых было около 50 человек, проходили интенсивную подготовку к военной, академической или религиозной карьере. Пьер- Симон, одетый в соответствии с выбранным путем в длинную черную сутану, с первых занятий продемонстрировал способности к обучению.

Он оставался в коллеже до 16 лет, а в 1765 году покинул родной Бомон, чтобы направиться в Кан, где поступил в коллеж искусств при университете с намерением сделать карьеру священника и получить для этого хорошее гуманитарное образование (латынь, греческий язык, философия и особенно теология). Тремя годами позднее, в 1768-м, Лаплас покинул университет Кана без разрешения на то наставников.

Почему Лаплас оставил теологию, к которой готовился с самого раннего возраста? Ответ хорошо известен: он влюбился в математику. В течение трех лет в университете Кана Лаплас под влиянием двух преподавателей, Кристофа Гадбледа и Пьера ле Каню, осознал свою страсть к этой дисциплине и, что гораздо важнее, талант к наукам.

Контраст между занятиями теологией под руководством Жана Адама и изучением философии и математики на лекциях Кристофа Гадбледа, бесспорно, был замечен молодым человеком. Гадблед был убежден, что человек в состоянии исследовать природные объекты. Этот священник бессознательно и вопреки традиции поддерживал верховенство философии над религией. Это открытие оказало на Лапласа такое воздействие, что он решил оставить религиозную стезю.

Лаплас стремился посвятить себя науке, поэтому покинул Кан и принял предложение временно занять пост преподавателя в военной школе, которая находилась в хорошо знакомом ему бенедиктинском коллеже в Бомоне. Однако труд преподавателя не приносил желаемого удовлетворения, поэтому в 1769 году, в возрасте 20 лет, Лаплас покинул родину и отправился в Париж — центр новой науки.

ПАРИЖ — СТОЛИЦА ПРОСВЕЩЕННОЙ НАУКИ

В Париже Лаплас и проведет остаток жизни, поэтому остановимся на несколько мгновений, чтобы исследовать атмосферу этого города в середине XVIII века — в эпоху Просвещения. В это время Париж был европейской столицей философии.

Не так-то легко описать в нескольких словах роль эпохи Просвещения в развитии европейских государств. Это культурное движение стремилось к тому, чтобы развеять скуку, рожденную мракобесием, которое охватило все общество, и привело к буржуазным революциям, положившим конец старому режиму и возвестившим возникновение новых политических классов (в 1776 году — в США, в 1789-м — во Франции, в 1812-м — в Испании). Вначале некоторые монархи были благосклонны к новым идеям и даже стали просвещенными тиранами. Фридрих II в Пруссии, Екатерина II в России, Бурбоны во Франции и Испании окружали себя блестящими мыслителями Европы. «Все для народа, но без народа» — так гласил общепринятый лозунг. Однако люди больше не хотели быть королевскими подданными, они стремились стать гражданами государства. Отдельные личности, такие как Франсуа-Мари Аруэ, известный под именем Вольтера (1694-1778), неистово критиковали традиции прошлого, предпочитая воспевать культ богини разума. Этот рационализаторский оптимизм, звучавший в литературных салонах, академиях и даже в тайных масонских ложах, подхватила буржуазия.

Если мы не поможем сами себе математическим компасом и факелом эксперимента, мы никогда не сможем сделать шаг вперед.

Вольтер

В Париже просвещенные философы вели спор обо всем, доказывали уже доказанное, обсуждали естественные науки, божественное откровение, литературу и мораль. При этом они интересовались и прикладными дисциплинами: параллельно работам по математике или механике ученые занялись географией, навигацией, горными разработками и инженерным делом. Они не пытались строить теории. Вооруженные новыми методами и новыми научными инструментами, они добились прогресса в картографии и строительстве судов, каналов, портов, шахт и фортификационных сооружений. Если бы на тот момент не уделялось так много внимания различиям между чистой и прикладной математикой, можно было бы говорить о коренном преобразовании экономической и социальной ситуации. Новые идеи зародились в Париже, а оттуда распространились в направлении других европейских стран и их колоний.

Таким образом, в выборе Парижа для получения научного образования не было ничего удивительного. В отличие от Лапласа, большинство его будущих коллег по Академии наук по окончании начального образования уже устроились в столице. Будущие математики Николя де Кондорсе (1743-1794) и Лазар Карно (1753-1823) после учебы у иезуитов и ораторианцев получили дополнительное образование в Парижском университете и специальных школах. Под опекой блестящих преподавателей они в скором времени приобрели известность благодаря своим научным открытиям. Просвещенный город действительно был центром притяжения просвещенной науки.

ЖАН ЛЕРОН Д’АЛАМБЕР

Названный «чудом из чудес», этот любитель математики и философии, часто посещавший салоны и различные придворные собрания,является образцом просветителя. Родившийся в Париже Жан Лерон д’Аламбер (1717-1783) был внебрачным сыном аристократа, он был оставлен родителями и воспитан в семье стекольщика. Своим именем ученый обязан тому факту, что его подбросили на ступеньки церкви Сен-Жан-ле-Рон. Как бы то ни было, д’Аламбер стал в свою эпоху одним из самых известных французских ученых и философов. Он пользовался огромным влиянием при дворе, а также был постоянным секретарем Парижской академии наук. Имя д’Аламбера навсегда связано с именем Дени Дидро (1713-1784) благодаря их совместной работе над созданием знаменитой Энциклопедии, собравшей в себе все научные и гуманитарные знания XVIII века.

ВСТРЕЧА С Д’АЛАМБЕРОМ И ЕГО КРУГОМ

Итак, Лаплас порвал с прошлым и бросился в новую жизнь. Весьма вероятно, что сделал он это против воли своего отца. Приехав в Париж, он имел всего лишь рекомендательное письмо, составленное его преподавателем и другом из Кана Пьером ле Каню и адресованное одному из самых знаменитых математиков Парижа Жану Лерону д’Аламберу.

Д’Аламбер не придал никакого значения рекомендательному письму, написанному неизвестным ему преподавателем. Великий ученый отказался принять этого юношу, очевидно прибывшего из провинции. Лаплас в отчаянии решил написать ученому сам и в этом послании изложил свое видение главных принципов механики. Его идеи заинтересовали д’Аламбера, он сразу же назначил талантливому юноше встречу и даже нашел ему место преподавателя в Королевской военной школе Парижа. Главную роль в этом покровительстве сыграло именно личное письмо Лапласа, а не рекомендации Пьера ле Каню. Д’Аламбер заметил по этому поводу:

«Милостивый государь! Вы имели случай убедиться в том, как мало я обращаю внимания на рекомендации, но Вам они были совершенно не нужны. Вы зарекомендовали себя сами, и этого мне совершенно достаточно. Моя помощь — к Вашим услугам».

В письме на четырех листах Лаплас доказал свое знание фундаментальных принципов механики и трудов Ньютона и самого д’Аламбера, что давало ему право стать адъюнктом натурфилософии, то есть ученым (этот термин войдет в обиход лишь в середине XIX века).

Впервые эту историю рассказал математик Жан Батист Жозеф Фурье (1768-1830) в посмертной речи в память о Лапласе. Не исключено, что он таким образом хотел подчеркнуть смелость 20-летнего юноши, который постучал в дверь мэтра французской математики и удивил его, доказав свой талант. Однако существуют и другие версии этой истории, в частности в одной из них говорится, что д’Аламбер предложил юноше задачу, чтобы понять, достоин ли он получить помощь, и этот вариант также нельзя полностью отрицать.

Как бы то ни было, в 1769 году Лаплас начал карьеру в Париже под покровительством знаменитого философа, который рекомендовал его в качестве преподавателя математики в военную школу.

Лаплас стал частью парижской интеллектуальной элиты и вошел в круг д’Аламбера. Он получил возможность общаться и с другими математиками, такими как Николя де Кондорсе, алгебраист Этьенн Безу (1730-1783) и астроном Жозеф Жером Франсуа де Лаланд (1732-1807). Однако Лапласа одолевало новое амбициозное желание — получить официальное место в Академии наук.

АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Чтобы иметь возможность баллотироваться для вступления в Академию, Лаплас должен был как можно скорее приступить к работе. Под контролем д’Аламбера он проводил часы в чтении и изучении таких трудов Леонарда Эйлера, как «Введение в анализ бесконечно малых» (1748), «Наставление по дифференциальному исчислению» (1755) и «Интегральное исчисление» (1768), а также последних работ Жозефа Луи Лагранжа. Лаплас стремился открыть для себя новые достижения математиков в развитии анализа и его техник. Но что такое анализ? Почему он так важен для адъюнкта натурфилософии Лапласа?

В течение двух тысячелетий, начиная с пифагорейцев и платоников, все знание о небесных телах было поделено на две части: количественную и качественную. Астрономия, космология и небесная физика представляли количественную часть, а вот знания земного мира (земная физика) были исключительно качественными (физика, унаследованная от Аристотеля). В XVI и XVII веках, с укреплением новой концепции природной механики, основанной на экспериментальной практике и развитии математики, положение вещей начало меняться.

Как и другие ученые, Исаак Ньютон искал возможность описать как можно больше природных феноменов ограниченным количеством математических законов. Он предложил математическую модель для описания траектории планет, наблюдаемых Коперником (1473-1543), Тихо Браге (1546-1601) и Кеплером (1571-1630), а также для перемещения небесных тел («тяжелые тела»), изученных Галилеем (1564-1642). Ньютон описал законы движения в виде математической формулы, устанавливающей связь между физическими величинами и скоростью их изменения, — он говорил о расстоянии, пройденном подвижным объектом, с учетом его скорости и его скорости с учетом ускорения. Законы физики нашли выражение в виде дифференциальных уравнений, которые, в своих производных, использовались для измерения изменений.

ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР

«Читайте, читайте Эйлера, он — наш общий учитель». Эти слова Лапласа воздают должное Леонарду Эйлеру (1707- 1783). Сын пастора-кальвиниста, этот швейцарский математик, без сомнения, был самым продуктивным среди своих современников. Его работы лежат в основе сотен математических трудов и многочисленных учебников по исчислению, в которых и сегодня мы увидим введенное Эйлером определение функций с помощью f(x). Часто говорят, и не без оснований, что все учебники по математике являются копиями Эйлера или копиями копий Эйлера.

Ученый легко совершал довольно сложные математические расчеты. Несмотря на полную слепоту, которой он страдал в течение последних 17 лет жизни, Эйлер продолжил плодотворно работать в прежнем ритме благодаря своей исключительной памяти (например, он знал наизусть «Энеиду»).

Заурядный философ

Зато талант Эйлера в философии был скорее посредственным. Вольтер высмеял его «Письма к немецкой принцессе о разных физических и философских материях» перед Фридрихом II Великим, хотя этот сборник представлял собой своеобразную научно-популярную энциклопедию. Однако насмешки Вольтера не уменьшили страсть Эйлера к философским дискуссиям. Однажды он в присутствии Екатерины II оскорбил Дени Дидро, обратившись к нему следующим образом: «Месье,

(а + bn)/n = x,

следовательно, Бог существует. Возразите!» Если верить этому сомнительному анекдоту, Дидро не стал вступать в спор и покинул зал. Эйлер работал в Берлинской академии и Академии наук в Санкт-Петербурге, он прожил счастливую семейную жизнь, окруженный своими тремя детьми. Седьмого сентября 1783 года, после обсуждения ежедневных забот, швейцарский гений «перестал считать и жить», как выразился Кондорсе. Его уравнение считается самым прекрасным в истории математики, поскольку оно объединяет ее фундаментальные числа: еiπ+1 = 0.

В дифференциальном уравнении главной неизвестной является скорость изменения величины, то есть его дифференциал, или производная. Дифференциалы как производные одной величины представляют изменение значения функции — увеличение, уменьшение, постоянство. Например, ускорение описывает изменение скорости движения, так как это частное дифференциалов скорости и времени. Иными словами, ускорение является производной скорости по отношению ко времени, и исходя из этого оно представляет собой изменение скорости по отношению ко времени.

Ньютон — одновременно с Готфридом Вильгельмом Лейбницем (1646-1716) — придумал дифференциальное исчисление (или теорию флюксий, как он его называл) и применил его к своим исчислениям. Итак, чтобы представить законы астрономии и механики в знаменитой работе Philosophiae naturalis principia mathematica {«Математические начала натуральной философии», 1687 год), Ньютон сохранил терминологию, унаследованную от Евклида и греков. Для расчета производной он определил касательные к кривой и вычислил интеграл (операция, обратная дифференцированию), чтобы определить площадь поверхности под кривой. Таким образом, если вы откроете «Начала» Ньютона, то, вероятно, будете разочарованы: это произведение, считающееся символическим по отношению к научной революции, практически не поддается расшифровке. В действительности именно Лейбницу мы обязаны символами, обозначающими слова «дифференцировать» (δ) и «интегрировать» (∫), а также правилами, регулирующими эту нотацию, хорошо известными каждому студенту математического факультета.

Описание подробностей распространения «Начал» потребовало бы много места. Отметим лишь, что идеи Ньютона привлекали все больше и больше последователей благодаря труду таких авторов, как Пьер Вариньон (1654-1722), который был другом Лейбница и преподавателем в Париже. Ученые стремились сформулировать в виде уравнений механические концепции и геометрические построения Ньютона, используя для этого такой инструмент, как дифференциальное исчисление в версии Лейбница, то есть исчисление бесконечно малых. Эти авторы оказали Ньютону огромную услугу, предложив для его теории математически вразумительную форму. Одновременно такие философы, как Вольтер и его подруга маркиза Эмили дю Шатле (1706-1749), успешно содействовали тому, чтобы донести труды Ньютона до широкой европейской публики, далекой от науки.

Законы Ньютона в конце концов нашли свое выражение с помощью аналитического языка дифференциальных уравнений. Уравнения пришли на смену графикам. Любопытно, что заботу переводить натуральную философию Ньютона с геометрического языка, используемого в это время, на новый аналитический язык (в известном нам виде) взяли на себя не британские математики. У истоков этого начинания стояли ученые с континента, в частности из Парижа, Берлина и Санкт-Петербурга. Соперничество Ньютона и Лейбница относительно авторства метода исчисления переросло в антипатию и открытую вражду между их сторонниками и проложило пропасть между островными и континентальными математиками. Первые последователи Ньютона упорно добивались использования исключительно геометрических методов, что впоследствии вызвало некоторое замедление развития британской науки.

Постепенный переход от геометрической механики Ньютона к аналитическим методам стал возможен только благодаря работе целого поколения математиков континентальной Европы, особенно Эйлера и Жозефа Луи Лагранжа. Это была великая математическая эпоха, в течение которой анализ стал основной дисциплиной: дифференциальное исчисление и интегралы, теория дифференциальных уравнений испытали резкий подъем.

Достоинство хорошо составленного (математического) языка в том, чтобы его упрощенное определение часто становилось источником глубоких теорий.

Пьер-Симон де Лаплас

НЬЮТОН И ПЕРВОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ

Самым известным дифференциальным уравнением, безусловно, является то, которым мы обязаны Исааку Ньютону (1642-1727): «Сила равна массе, умноженной на ускорение».

Это записывается как F= m ∙ а, где

a = dv/dt

(ускорение — это частное дифференциалов скорости и времени, то есть производная скорости по времени).

Но удивительно, что сам Ньютон никогда не приводил этого уравнения. Его второй закон имеет более общую формулировку: «Изменение количества движения пропорционально приложенной движущей силе». В современном виде это:

F = d/dt(m ∙ v).

Любая сила, воздействующая на тело, вызывает изменение движения. Предположим, что масса тела постоянна (тогда можно извлечь m из производной), мы находим известное уравнение: F= m ∙ а. Эта формула в первый раз появилась в математическом трактате под названием Phoronomia («Форономия»), опубликованном в 1716 году Якобом Германом (1678- 1733), который опирался на практичный способ записи Лейбница. Формула получила известность благодаря Эйлеру, который привел ее в своем труде«Механика, или Наука о движении, изложенная аналитически» (1736). В течение большей половины XVIII века математики использовали более общую формулу, предложенную д'Аламбером в «Трактате о динамике» (1743), которая, естественно, носит имя ученого, — принцип д'Аламбера.

Аналитическая механика представляла собой значительный прогресс по сравнению с механикой Ньютона. Чем дальше математика отходила от геометрических методов к аналитическим, тем возможнее было изучить физические феномены с помощью дифференциальных уравнений, их описывающих.

После открытия Ньютоном дифференциального уравнения «сила равна массе, умноженной на ускорение», которое управляет движением множества точек и твердых тел, Эйлер сформулировал систему дифференциальных уравнений, описывавших движение такой среды, как вода, воздух или иные жидкие невязкие тела.

Позднее Лагранж сконцентрировал свое внимание на звуковых волнах и акустических уравнениях. В течение XVIII века математики углубляли свое понимание мира и предлагали новые дифференциальные уравнения для изучения различных феноменов. При помощи этого вида уравнений было смоделировано поведение твердых и жидких тел, волн и самой Природы. Математический анализ казался бесконечно обширным.

Однако если составление уравнения для описания феномена может быть легкой задачей, то поиск решения может оказаться не под силу человеку. Самостоятельно решить дифференциальное уравнение так же, как алгебраическое, не удается почти никогда. Последователи Ньютона сформулировали уравнения и смогли решить часть из них — особенно те, которые были связаны с импульсом подброшенной частицы или движением маятника, — но многие уравнения им не поддавались. Для понимания физических феноменов требовалось решать все более сложные дифференциальные уравнения.

Существует два вида дифференциальных уравнений: линейные и нелинейные. Для уравнений первого вида сумма двух решений также оказывается решением. Кроме того, в линейном дифференциальном уравнении ни неизвестная функция, ни ее производная не могут быть возведены в степень 0 или 1. Линейные дифференциальные уравнения описывают феномены, в которых результат суммы причин — это сумма последствий каждой из них, взятой отдельно. Зато в нелинейных уравнениях не существует пропорциональной связи между причинами и следствиями, и пересечение двух разных причин может дать неожиданный результат. Как мы увидим дальше, эта нелинейность сопутствовала самым сложным задачам механики, за которые брался Лаплас.

Людовик XIV во время визита в Академию наук в 1671 году, через пять лет после ее создания.

Гравюра, изображающая Лапласа, из альбома «Великие люди и великие факты Французской революции» (1789-1804), выпущенного к столетию революции в 1889 году.

План Королевской военной школы в Париже, составленный Жаком Анжем Габриэлем в 1751 году.

ЛАГРАНЖ: ГЕОМЕТР, НЕНАВИДЕВШИЙ ГЕОМЕТРИЮ

Ученый франко-итальянского происхождения Жозеф Луи де Лагранж (1736-1813) родился в Турине. Его интерес к математике разгорелся в самом раннем возрасте благодаря очерку астронома Эдмунда Галлея, описывавшего положительные стороны нотации Ньютона. Благодаря работам Лагранжа Эйлеру удалось решить большое количество задач, с которыми он долгое время не мог справиться. Однако с великодушием, достойным восхищения, Эйлер отказывался публиковать решение до того момента, пока этого не делал Лагранж, — «чтобы не присвоить себе никакой доли славы, которая к нему пришла». В 1766 году, когда Эйлер покинул Берлин, чтобы ехать в Санкт-Петербург, Лагранж занял его место (говорят, Фридрих II воскликнул, что наконец-то ему удалось найти замену одноглазому математику). Именно в Берлине он пишет свое лучшее произведение — «Аналитическую механику» (1788). Эта работа изложена так элегантно, что может быть квалифицирована как научная поэма.

Геометр по принуждению

Лагранж ненавидел геометрию, и отсутствие графиков в его труде было для него источником гордости: «В этом сочинении нет чертежей... Любители анализа с удовольствием увидят, что механика становится новой его отраслью». Однако — вот ирония судьбы! — самой большой почестью в его жизни станет звание геометра Империи, присвоенное Наполеоном. Среди достижений Лагранжа называют новое обобщение уравнений движения, а также новаторские методы решения дифференциальных уравнений (метод вариации постоянной). После смерти Фридриха II он получил от Людовика XVI предложение обосноваться в Париже. Там он встретил Лапласа и оказался втянутым в революционные потрясения. По натуре склонный к депрессиям, Лагранж в избытке употреблял чай и кофе и все силы отдавал математике, пока не подорвал свое здоровье.

Теория линейных дифференциальных уравнений тут же была дополнена: Эйлер и Лагранж объяснили, как решать системы линейных уравнений, в то время как их предшественники решали уравнения последовательно, одно за другим, однако буксовали каждый раз, когда вставал вопрос о нелинейных уравнениях. Нелинейные задачи — такие как уравнение маятника — необходимо было решать методом линеаризации, устраняя при этом все показатели, усложняющие уравнение. Иначе говоря, для данного нелинейного дифференциального уравнения было возможно решить аналогичное линейное уравнение и найти решения первого уравнения методом последовательных приближений к решениям второго. Этот подход называют теорией возмущений. Однако этот способ очень быстро показал свои ограничения и неэффективность в большинстве случаев. Просвещенные математики тех лет искали конкретные методы решения специфических уравнений.

Именно в этом направлении Лаплас и достиг некоторых успехов, предложив математические способы, которые с течением времени были улучшены. Ученый максимально использовал математические методы, которые изучил или придумал, в частности имевшие отношение к интегрированию, то есть к решению — точному или приближенному — дифференциальных уравнений, встреченных им в механике и астрономии. Начиная с публикации своей первой статьи Лаплас заинтересовался этими способами интегрирования, которые считал важным открытием.

БЕГ С ПРЕПЯТСТВИЯМИ: АКАДЕМИЯ И МОЛОДОЙ ВУНДЕРКИНД

Королевская Академия наук Парижа, созданная в 1666 году Людовиком XIV и располагавшаяся в здании Лувра, была центром притяжения великих ученых того времени. Кандидаты, желавшие получить пожизненное место в Академии, должны были сначала завоевать признание ее действительных членов, прислав одному из них свою работу, которую тот представлял своим коллегам на специальном собрании, тогда как два других члена составляли отчет с оценкой работы. Лаплас прекрасно понимал, что обязательно должен пройти эту процедуру, если он хочет обеспечить себе будущее в качестве ученого и материальную стабильность. В то время академии предлагали математикам финансовую помощь и публиковали их труды в специализированных журналах.

Лаплас отправил свои первые записки в академию 28 марта 1770 года. Его рецензенты, среди которых был Кондорсе, написали:

«Нам кажется, что статья господина Лапласа раскрывает лучшие знания математики и большие способности к вычислениям, нежели мы обычно находим в людях его возраста».

Тем не менее в 1772 году, несмотря на публикации и похвальные отзывы, Лаплас так и не смог стать членом Академии наук. Отчаявшись, юноша уже подумывал о том, чтобы эмигрировать в Пруссию или Россию, как Лагранж и Эйлер.

Но в марте 1773 года удача ему улыбнулась. После многочисленных попыток Лаплас наконец получил место в отделе механики. Он был назначен 30 марта адъюнкт-геометром, а 31 марта — адъюнкт-механиком (за этот пост молодой человек конкурировал с Гаспаром Монжем (1746-1818) и Адриеном- Мари Лежандром (1752-1833)). После трех лет настойчивых попыток в возрасте 24 лет Лаплас наконец стал полноправным членом Академии.

Радость нашего героя, как и радость его покровителя д’Аламбера, была необыкновенной. Амбициозная мечта, которую он лелеял с момента своего прибытия в Париж, наконец осуществилась.

ГЛАВА 2 Устойчивость системы планет

В течение всего XVIII века математики и астрономы безуспешно пытались решить определенные проблемы, на которые механика Ньютона не давала ответа: форма Земли, ее орбита, кометы, аномалии движения и в целом устойчивость Солнечной системы. Лаплас играл в этих исследованиях решающую роль: ему удалось доказать, что принцип гравитации — краеугольный камень всего ньютоновского сооружения.

Став членом Академии, Лаплас понемногу поднимался по служебной лестнице. Коллеги признавали его математический талант, даже несмотря на некоторое неуважение, которое Лаплас демонстрировал по отношению к ним, заимствуя результаты без ссылок на авторство. Такое поведение сохранится в течение всей карьеры ученого. Тяжелый нрав Лапласа, его бескомпромиссность в спорах стали общеизвестными, а своим высокомерием он даже шокировал других академиков, также не чуждых снобизма.

В 1770-х годах важный вклад Лапласа в науку начал принимать четкие очертания: он доказал устойчивость известной Вселенной, то есть Солнечной системы. Его учитель д’Аламбер одной из научных целей эпохи считал необходимость дополнить теорию Ньютона. Речь шла не просто о соответствии теории и наблюдений; необходимо было описать мир, опираясь на некоторые рациональные подходы и принцип всемирного тяготения Ньютона. Это был также и философский вопрос: задача должна была быть решена не только физиками и математиками, но и философами. Однако, чтобы объяснить великий вклад Лапласа, вначале необходимо коротко описать состояние знаний о планетной системе, характерное для последней четверти XVIII века.

ПУТЬ К НАБЛЮДАЕМОЙ И ИСЧИСЛЕННОЙ ВСЕЛЕННОЙ

«Начала философии» Рене Декарта (1644) и «Математические начала натуральной философии» Исаака Ньютона (1687) представляли собой важные вехи в становлении знания о Вселенной, которое выходило за рамки аристотелевской теории и приближалось к современному. Итак, «механики» этих двух великих натурфилософов имели глубокие различия. Время доказало правоту Ньютона и перевело рассуждения Декарта в ранг метафизических домыслов. Ньютонова теория притяжения выйдет победительницей из дуэли с картезианской теорией вихрей. В любом случае в начале XVIII века превосходство ньютоновой системы над декартовой еще не было неоспоримо, и концепция Вселенной все еще обсуждалась. Закат картезианства происходил постепенно.

Можно сказать, что Ньютон умер два раза: физически он угас в 1727 году, но в 1693 году, спустя некоторое время после публикации своего великого произведения, ученый пережил нервный срыв, который заставил его потерять интерес к вопросам небесной механики и оставить задачу защиты закона земного притяжения ученикам. Это была сложная задача. Механическая астрономия, задуманная в качестве производной от астрономии наблюдаемой, имела своей целью осуществление математических расчетов, которые объясняли бы функционирование Солнечной системы — движение планет и их спутников вокруг Солнца, периодичность появления комет, форму земного шара, приливы и отливы, интерпретацию силы тяготения и так далее. Все эти элементы составляли основу данных, необходимых для доказательства одной из противостоящих друг другу великих теорий: декартовой и ньютоновой.

Сторонники обоих ученых разделяли механическую концепцию природы и считали, что они в состоянии изложить ее на математическом языке своей эпохи. Последователи Декарта опирались на соблазнительную картинку: все пространство заполнено либо твердой материей, либо жидкими телами — не всегда ощутимыми, любое движение должно происходить в форме турбулентного потока, вихря, а не по прямой линии.

Используя эту идею для описания небесной сферы, они представляли, что планеты вращаются вокруг Солнца, приводимые в движение огромными вихрями. В противовес этому последователи Ньютона отводили главенствующую роль Солнцу.

Именно эта звезда заставляла планеты вращаться вокруг нее благодаря гравитации — силе, навсегда запечатленной в законе земного притяжения.

Любые два тела притягиваются друг к другу с силой прямо пропорциональной произведению масс тел и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.

Закон всемирного тяготения Ньютона

Безусловно, декартовы вихри были несовместимы с большим количеством хорошо известных феноменов, но они позволяли объяснить движения с помощью физических воздействий. А вот загадочная сила притяжения, о которой говорил Ньютон и которая приводила в движение планеты, действовала на расстоянии, от Солнца, не прикасаясь к телам непосредственно. Было сложно не увидеть магии в этом дистанционном воздействии.

Лейбниц стал одним из самых знаменитых защитников декартовых вихрей. Немецкий философ и математик подчеркивал их гармоничный характер. Вихри и в самом деле позволяли объяснить, почему все известные планеты Солнечной системы и их спутники вращаются в одном направлении, следуя практически плоским траекториям. Все они словно погружены в общий вихревой поток и двигаются в одну сторону, с запада на восток, — словно корабли, отданные на милость течению.

Этот фундаментальный феномен, который Ньютон объяснить не мог, сторонники Декарта часто использовали в качестве аргумента, чтобы опровергнуть ньютоновы теории. Как мы увидим в главе 4, только Лаплас, выступавший на стороне Ньютона, сможет объяснить этот феномен с помощью своей космогонической теории газовой туманности.

Со временем идеи Ньютона понемногу возобладали, причем даже во Франции, где защита теории Декарта была национальной задачей. Именно во Франции приступили к основным проблемам небесной механики, в решение которых Лаплас сделал значительный вклад в последней четверти XVIII века.

АМБИЦИОЗНАЯ НАУЧНАЯ ПРОГРАММА:

НЕБО И ЗЕМЛЯ

Благодаря беспрецедентной интеллектуальной концентрации Ньютон написал «Начала» за 18 месяцев. В этом труде он изложил фундаментальные принципы «теоретической и рациональной» механики (как он ее называл), то есть науки о движении. Исходя из своего второго закона (сила равна массе, умноженной на ускорение) и первого закона Кеплера (планеты описывают орбиты в форме эллипса, в одном из фокусов которого находится Солнце), он вывел закон всемирного тяготения, который звучит следующим образом: «Любые два тела притягиваются друг к другу с силой прямо пропорциональной произведению масс тел и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними». Сила притяжения увеличивается с массой, но уменьшается с расстоянием. «Начала» глубоко потрясли математический мир и мир натурфилософии. Новый закон одновременно объяснял движение планет и гравитационное притяжение тел к Земле.

Этот закон сразу очаровал Лапласа. Возможно, он тут же решил найти доказательство универсальности этого закона, поскольку он объяснял все небесные феномены без исключения.

Я надеюсь доказать, что небесные феномены, которые кажутся исключением из принципа тяготения, на самом деле являются его необходимым следствием.

Лаплас о законе всемирного тяготения Ньютона

Объединив все феномены в единую систему, Лаплас стремился описать новую картину Вселенной — полностью детерминистской. Однако его исследование не касалось исключительно Солнечной системы и небесной механики. Лаплас в равной мере и с той же целью обратил свой взгляд и на земную физику — чтобы найти несколько универсальных законов, которые управляют физическими, химическими и даже биологическими феноменами. И его второй важный вклад состоит в разработке основ теории вероятностей (ее мы рассмотрим в главе 5). Вероятность — это точка, в которой соединяются законы Вселенной и случайности человеческого познания.

ФОРМА ЗЕМЛИ

Греки утверждали, что Земля имеет форму сферы. Эта теория нашла практическое доказательство в 1522 году во время плавания Фернана Магеллана (1480-1521) и Хуана Себастьяна Элькано (1476-1526). Коперник открыл, что земной шар находится в движении, а также ответил на животрепещущий вопрос науки своей эпохи: какова форма этой движущейся Земли? Сторонники Декарта и Ньютона разделились. В «Началах» Ньютон выдвинул предположение, что небесное тело в состоянии движения принимает форму сфероида, приплюснутого на полюсах, то есть форму тыквы. Картезианцы возражали: согласно теории вихрей, Земля должна принять форму продолговатого сфероида, приплюснутого на экваторе, то есть форму дыни или яйца — как это показывает рисунок на следующей странице.

Установив истинную форму Земли, можно было подтвердить правоту Ньютона или Декарта. Париж в эти годы стал центром притяжения европейских математиков. В 1733 году астроном Луи Годэн (1704-1760) предложил измерить длину градуса меридиана на уровне экватора. В следующем году с этой целью в вице-королевство Перу, находившееся под властью испанской короны, направилась экспедиция. Одновременно Пьер Луи Моро де Мопертюи (1698-1759), ассистент математика Алекси Клода Клеро (1713-1765), осуществил экспедицию в Лапландию, чтобы измерить длину градуса меридиана на уровне Северного полюса. Вернувшись в Париж даже раньше предусмотренного срока, 13 ноября 1737 года оба исследователя торжественно заявили перед Академией наук, что в результате измерений был подтвержден тот факт, что Земля имеет форму сфероида, приплюснутого на полюсах. Таким образом, прав оказался Ньютон.

Слева: Земля согласно Ньютону в форме тыквы. Справа: Земля согласно Декарту в форме дыни.

Сторонники Ньютона выиграли важную битву, но еще не всю войну. Декарт, с его вихрями и невидимыми тонкими материями, объяснял все, но ничего не предсказывал. А вот Ньютон, напротив, с его законом притяжения, мог предвидеть многое, но почти ничего не объяснял. Происхождение силы тяготения оставалось загадкой, но возможность использовать теорию Ньютона для прогнозирования позволила этому ученому одержать победу над Декартом. С этого момента на первый план в науке выходит эффективность.

Однако вопрос о форме Земли не был решен окончательно. Выяснилось, что хотя планета и приплюснута на полюсах, она не имеет четкой формы сфероида. Ее вид постоянно меняет сила тяготения, пример тому — отливы и приливы. Начиная с этого момента исследования силы тяготения расширялись.

В январе 1783 года молодой математик Адриен Мари Лежандр представил членам Академии результаты своей работы, касавшейся воздействия силы тяготения на сфероиды. Лапласу поручили прочитать эту работу и составить ее краткое резюме. В марте ученый представил Академии восторженный отчет. Безусловно, работа Лежандра побудила Лапласа начать собственные исследования этого вопроса. Немного позже он представил любопытный доклад — первую публикацию под собственным именем {«Теория притяжения сфероидов и фигуры планет», 1784), в которой обобщал наработки Лежандра, хотя и ни разу не ссылался на него. Лаплас проявлял подобную бестактность еще до вступления в Академию, когда позаимствовал идеи Эйлера и Лагранжа, не упоминая их имен. И этот случай не будет последним. Лаплас опубликовал свою работу раньше, чем Лежандр, который подчеркивал:

«Должен отметить, что дата моего сочинения более ранняя, и новое доказательство позволило господину Лапласу углубить это исследование». Что же такого было в работе Лежандра, сразу заинтересовавшей Лапласа? Именно в этом труде впервые было упомянуто то, что сегодня называют многочленами Лежандра (и что несправедливо называли функциями Лапласа в течение доброй части XIX века), — специальные функции, появляющиеся при решении дифференциальных уравнений. Точнее, они появлялись в решении одного уравнения, важного для небесной механики, которое мы сегодня называем уравнением Лапласа.

ОТРЫВОК ИЗ «ФИЛОСОФСКИХ ПИСЕМ» ВОЛЬТЕРА

«Если француз приедет в Лондон, он найдет здесь большое различие в философии, а также во многих других вопросах. В Париже он оставил мир, полный вещества, здесь он находит его пустым. В Париже Вселенная заполнена эфирными вихрями, тогда как тут, в том же пространстве, действуют невидимые силы. В Париже давление Луны на море вызывает отлив и прилив — в Англии же, наоборот, море тяготеет к Луне. У картезианцев все достигается давлением, что, по правде говоря, не вполне ясно, у ньютонианцев все объясняется притяжением, что, однако, немногим яснее. Наконец, в Париже Землю считают вытянутой у полюсов, как яйцо, а в Лондоне она сжата, как тыква...»

ЛАПЛАСИАН

Лапласианом называют оператор, являющийся обобщением на функции w = f(x, у, z, t) координат пространства и времени и равный сумме вторых производных функции от х, у, z:

Δw = d²w/dx²+ d²w/dy² + d²w/dz².

Лаплас посвятил много времени решениям дифференциальных уравнений математической физики, в которой появилась эта формула. Три из этих уравнений по-настоящему важны.

— Δw=0: уравнение Лапласа, которое отражает тот факт, что совершенное жидкое тело, в котором нет потока, является неразрушимым. Это уравнение математическим способом представляет очевидный факт: если жидкое тело является неразрушимым, количество жидкости, которая выходит в любом малом объеме и за данный промежуток времени, и то количество жидкости, которое в нем остается, — идентичны. Однако, когда это уравнение подвергается математическому рассмотрению, оно приводит к неожиданным выводам, которые далеки оттого, чтобы быть прописной истиной, и позволяют сделать некоторые прогнозы. Лаплас открыл это уравнение, когда изучал потенциал притяжения (функция, измеряющая силу притяжения, посредством которой тело любой формы притягивает определенную массу).

— Уравнение распространения тепла:

Δw = dw/dt.

— Волновое уравнение:

Δw = d2w/dt2.

Впрочем, идея этого уравнения и функции, следующей из него, — Симеон Дени Пуассон (1781-1840) и позже, в 1828 году, Джордж Грин (1793-1841) назвали ее потенциальной функцией — уже прослеживалась в работах, написанных ранее Эйлером и Лагранжем, а Лаплас первым упомянул эти две формулы в своих исследованиях тяготения. Это уравнение и эта функция сыграют фундаментальную роль в последующих работах, касающихся тепла, электричества и магнетизма. Удивительно также, что уравнение Лапласа и многочлены Лежандра необходимы для описания поведения электронов и атомов: двумя веками позже они снова появятся в фундаментальном уравнении квантовой механики — в уравнении Шрёдингера.

ОРБИТЫ И КОМЕТЫ

Аристотель считал кометы феноменами атмосферного характера. Но позже математики вызвались подправить древнюю теорию и описать траекторию этих небесных странников, которые в народе считаются предвестниками беды. Чтобы убедиться в универсальности закона тяготения, необходимо было сделать следующий решительный шаг: применить этот закон к телам, которые перемещаются вне Солнечной системы. Не будем забывать, что существование комет позволяло опровергнуть теорию декартовых вихрей. Если кометы могли пересекать Солнечную систему, не втягиваясь в вихревые потоки, возможно, это означало, что вокруг Солнца просто не существует этих потоков?

В «Началах» Ньютон написал, что кометы также подвержены закону тяготения, а значит, они должны описывать замкнутую траекторию. Ученый уже уподобил движение снарядов параболам, а движение планет — кругам или эллипсам. После этого у него появилась идея сравнить движение комет с одним из конических сечений — кругом, эллипсом, параболой или гиперболой. Если комета описывает круг или эллипс, даже очень вытянутый, она должна регулярно появляться. Но если ее орбита имеет форму параболы или гиперболы, значит, следуя по открытой орбите, комета проходит через Солнечную систему и исчезает в необъятной Вселенной. Поскольку период обращения большинства комет, наблюдаемых с Земли, намного превышает длительность жизни астрономов, ученые долгое время и не подозревали, что кометы, как и планеты, описывают закрытые эллиптические орбиты.

В ТЕНИ ЛАПЛАСА

Адриен Мари Лежандр (1752-1833), наряду с Лапласом и Лагранжем, является третьей «Л» французской математики той эпохи. Он поддерживал тесные научные контакты с Лапласом, который был старше его всего на три года, и систематически становился его преемником на различных должностях.

В 1775 году благодаря д’Аламберу Лежандр занял должность преподавателя в Королевской военной школе Парижа, в 1783-м перешел на должность, оставленную Лапласом из-за повышения.

Однако нельзя сказать, что Лаплас помогал коллеге добиться успеха! Напротив, он несколько раз пользовался исследованиями Лежандра, даже не ссылаясь на него, и применял свое право вето при обсуждении его назначения на различные должности. Несмотря на все препятствия, Лежандр в 1782 году получил премию Берлинской академии наук. Лагранж, высоко ценивший Лежандра, просил Лапласа о содействии, но результат этой просьбы нам неизвестен.

Карикатура на Лежандра, созданная в 1820 году французским художником Луи-Леопольдом Бальи.

Отважный Эдмунд Галлей (1656-1742) в 1682 году открыл комету, которая сегодня носит его имя, и предположил, с учетом имевшихся данных, что эту же комету наблюдали в 1531-м и в 1607 году. Комета возвращалась раз в 75 или 76 лет, описывая очень вытянутый эллипс вокруг Солнца (см. рисунок). Галлей даже предсказал возвращение кометы в конце 1758- го или в начале 1759 года. Все жители Франции, от короля до просвещенных студентов, ждали этого события. Клеро усовершенствовал прогноз Галлея, опираясь на вычисления, проведенные д’Аламбером, но не ссылаясь на него, что усилило научную ревность между двумя исследователями. Появление кометы 25 декабря 1758 года, через 15 лет после смерти Галлея, подтвердило прогноз. Это стало еще одним доказательством справедливости механики Ньютона по сравнению с теорией Декарта. Больше не было сомнений в том, что кометы описывают вытянутые эллиптические орбиты.

Все планеты перемещаются в одной плоскости (плоскости эклиптики) и в одном направлении, но орбита кометы Галлея явно наклонена по отношению к этой плоскости, а сама комета движется в обратном направлении (ретроградное движение).

В это время парижских ученых охватила настоящая страсть к кометам. В 1773 году Лаланд, который считал себя самым известным астрономом во Вселенной и хвастался тем, что «так же уродлив, как Сократ», решил подшутить над коллегами. Этот распутник и безбожник, однажды съевший паука, чтобы доказать нерациональность арахнофобии, представил перед членами Академии отчет, в котором объяснял, как планеты воздействуют на орбиты комет. Он выдвигал возможность того, что одна из них может уничтожить Землю в 1789 году, и это заявление вызвало во французской столице настоящий ужас. Архиепископ Парижа посоветовал молиться в течение 48 часов, чтобы успокоить панику, и попросил Академию наук не признавать отчет. На это ученые ответили, что не могут не признавать законы астрономии. Тогда Лаланд решил развеять всеобщие страхи, заявив, что это будет очень необычно, если два маленьких тела — комета и Земля — столкнутся в необъятном пространстве.

Многие ученые взялись за точные расчеты орбиты комет. В 1766 году иезуит и астроном Руджер Бошкович (1711— 1787) представил Академии метод определения траекторий комет, однако его доклад закончился ссорой с Лапласом, который резко обругал все изыскания коллеги. В то время как Бошкович читал вслух свой отчет, Лаплас прерывал его возгласами: «Ложь!» «Необдуманно!» «Ошибочно!» В конце концов Академия была вынуждена созвать комиссию, которая согласилась с Лапласом, отметив, что это не дает ему права так унижать Бошковича. Немного позже Лаплас загладил свою вину, представив собственный способ расчета орбит комет.

Брат и сестра Гершели были британскими астрономами немецкого происхождения. Уильям (1738-1822) и Каролина (1750-1848) образовали тандем, не имеющий себе равных, по исследованию небесного пространства, используя телескопы собственного производства. Неутомимый наблюдатель Уильям Гершель 13 марта 1781 года отыскал в небе новую звезду. Сначала он подумал, что это комета, описывающая эллиптическую или параболическую орбиту, так как, в отличие от удаленных звезд, открытое тело двигалось. Многие астрономы (в их числе Бошкович, Лаланд и Лаплас) сделали свой вклад в расчет его орбиты на основании трех коротких наблюдений. И все трое были поражены: это была не комета, а новая планета, которую можно было наблюдать только в телескоп. Астроном Андреас Иоганн (в России — Андрей Иванович) Лексель (1740-1784) взялся за доказательство: новая звезда очерчивала вокруг Солнца эллиптическую орбиту, лежащую в одной плоскости с орбитами других планет. Это был Уран — первая планета, невидимая невооруженным глазом и самая удаленная из известных сегодня. Открытие нового тела в Солнечной системе было удивительным, ведь количество известных планет не менялось в течение тысячелетий. Древнегреческие астрономы называли планетами (дословно — «странствующие звезды») пять светящихся точек: Меркурий, Венеру, Марс, Юпитер и Сатурн, которые перемещались в небе на фоне неподвижных звезд. Их движение описывало на небесной сфере четкую линию (зодиак) — пояс, окружавший траекторию, описываемую Солнцем (эклиптику).

Гершель, наблюдая за Сатурном, который он любил больше других планет из-за красочных колец, открыл другие спутники, добавленные к уже известным пяти. В 1787 году он открыл два спутника Урана — Титанию и Оберон. В начале XIX века в список известных небесных тел были добавлены малые планеты и астероиды (Церера, Паллада, Веста и Юнона). Пространство, разделявшее Марс и Юпитер, понемногу заполнялось малыми небесными телами. Уже были известны семь больших планет и четырнадцать спутников, включая Луну. И чем больше небесных тел открывали ученые, тем более очевидным становилось понимание: силы притяжения не дестабилизируют Солнечную систему, они не разорвут ее на тысячи кусочков. В течение века вопрос об устойчивости этой системы становился все более насущным.

ВЕКОВЫЕ НЕРАВЕНСТВА ПЛАНЕТ И ИХ СПУТНИКОВ

В «Началах» Ньютон установил, что планеты притягиваются к Солнцу, как спутники — к своим планетам. Точно так же и Солнце притягивается к планетам, а те — к своим спутникам. Эти взаимодействия носят циклический характер; каждое небесное тело подвержено не только силе притяжения Солнца, но и гравитационному взаимодействию с другими телами. Ньютон отметил, что наблюдал эллипс, который описывает Солнце. Но если принять во внимание влияние на него других планет, то можно заметить, что орбита Солнца претерпевала некоторые отклонения, и светило удалялось от намеченного пути. Эта проблема планетных возмущений дала стимул исследованиям в небесной механике в течение XVIII века. Рисунок 1 — это пример подобных возмущений: Земля притягивается Солнцем, которое, в свою очередь, притягивается Юпитером, отклоняясь от своей орбиты.

Эта физическая проблема имела математическую аналогию, называемую «задачей трех тел», или, обобщенно, «задачей п тел», решение которой до сих пор не найдено. Формулировка ее очень проста: определить движение в пространстве каждого из п тел различной массы, подверженных взаимному притяжению. Формулировка проблемы отличается простотой и элегантностью, но о ее решении нельзя сказать того же. В «Началах» Ньютон геометрическими методами решил задачу двух тел для двух сфер, двигающихся под воздействием силы тяготения. В 1734 году Даниэль Бернулли (1700-1782) решил эту задачу аналитически, получив за свою работу премию Академии наук. Наконец, Эйлер рассматривал эту проблему в своем труде Theoria motuum planetarum et cometarum {«Теория движения планет и комет») 1744 года. Решение состояло в том, что два тела перемещались вдоль конических сечений: круга, эллипса, параболы и гиперболы (рисунок 2).

РИС. 1

РИС. 2

Когда была решена проблема n тел для n = 2, математики принялись за решение для n = 3. Речь шла о логическом продолжении рассуждения, позволявшем понять движение системы, образованной Солнцем, Землей и Луной. Ньютон первым, в 1702 году, осуществил прорыв публикацией своей лунной теории. В предисловии он объяснял: 

«Долгое время астрономы жаловались на неравномерность движения Луны; и это правда, я всегда сожалел о том, что такая близкая планета к нашей имеет орбиту, удаленную от эллипса». 

Однако исследования Ньютона потерпели провал, так как ученый был не в состоянии представить результаты с допустимой погрешностью. Позднее он будет с горечью вспоминать: у него никогда не болела голова, за исключением того времени, когда он проводил исследования Луны. В 1760-х годах Эйлер стал первым, кто в целом изучил проблему трех тел, двигающихся под воздействием взаимного притяжения: 

«Проблема сократилась до трех дифференциальных уравнений, которые не только не могут быть никоим образом введены, но для которых очень сложно подобрать приблизительные решения». 

Клеро, как и Эйлер, попытался решить задачу трех тел, но при этом жаловался на сложность и закончил тем, что использовал довольно приблизительные решения. Решение этих крайне сложных проблем казалось настолько трудным, что были запущены две параллельные программы исследований. С одной стороны, ученые искали точные решения, а с другой — стремились к общим приблизительным ответам, которые можно было бы использовать в течение некоторого времени, применяя метод теории возмущений, о котором мы говорили.

В 1772 году Лагранж участвовал в конкурсе Академии наук Парижа с работой, посвященной задаче трех тел. Он хорошо понимал, что этот вопрос не мог быть решен посредством интегрирования (в отличие от задачи двух тел), то есть с помощью аналитической функции, которая стала бы общим решением дифференциальных уравнений. Однако ученый предложил несколько других решений. Можно было найти точное решение, в случае если три исследуемых тела находились в определенной конфигурации и два из них имели очень большие массы по сравнению с третьим. Эйлер также предложил решение для случая, когда три тела располагались на одной линии, а Лагранж — когда три тела находились в углах равностороннего треугольника (с тех пор эти точки называют точками Лагранжа). В те годы все эти решения не имели реального смысла и были не чем иным, как математическим развлечением, и только в 1906 году астрономы докажут, что троянские астероиды (крупное скопление небесных тел на орбите Юпитера) образуют с Солнцем и Юпитером именно такое построение. Решения задачи трех тел, полученные чисто теоретическим способом, найдут свое физическое подтверждение более чем через столетие. Сам того не зная, Лагранж решил задачу трех тел для системы, образованной Солнцем, Юпитером и астероидом Ахиллес (см. рисунок на следующей странице).

Таким образом, Лагранж нашел общее приблизительное решение задачи трех тел. Особого интереса заслуживают два случая: система трех тел, образованная Солнцем, Юпитером и Сатурном, и система, состоящая из Солнца, Земли и Луны. Речь шла о том, чтобы объяснить нерегулярное движение нашего спутника, а также движение больших планет Солнечной системы. Если учитывать только силу тяготения Солнца (так как масса этой звезды наиболее значительна в системе), можно утверждать, что орбита каждой планеты представляет собой эллипс. Однако, если добавить силу тяготения других планет, эллиптическая траектория нарушается. Являются ли эти возмущения кумулятивными или они компенсируют друг друга с течением времени?

Требовалось узнать, являются неравенства эллиптического движения планет (используем терминологию Лагранжа и Лапласа) периодическими или вековыми. В первом случае отклонения орбит были бы компенсированы в течение длительного периода времени таким образом, что орбита осталась бы стабильной. Периодические неравенства вызывают искажение орбиты планеты сначала в одном направлении, затем в обратном, таким образом возмущения компенсируются.

Но если мы имеем дело с вековыми неравенствами, то возмущения накапливаются в течение неопределенного времени, пока, наконец, планета не покинет свою эллиптическую орбиту Эта ситуация завершается дестабилизацией Солнечной системы.

Неравенства векового типа вызывают искажения планетных орбит в одном направлении, что влечет нарушение равновесия.

Поскольку эти неравенства наблюдались в течение многих веков, они были названы вековыми. Лаплас был убежден, что основные возмущения планетных орбит (касающиеся их формы и положения, то есть эксцентриситета эллипса и места планеты на орбите) не вековые, а периодические, и они колеблются вокруг некоторых средних значений, не выходя за определенные пределы. Как мы вскоре увидим, Лаплас решит проблему аномалий, наблюдаемых в движении Сатурна, Юпитера и Луны.

В окрестностях точки Лагранжа L4 находится Ахиллес, образующий с Солнцем и Юпитером равносторонний треугольник (его углы равны 60°). В окрестностях других точек Лагранжа (L1 и L2) находятся другие троянские астероиды, расположенные на прямой линии,что соответствует решению Эйлера.

Вначале давайте рассмотрим аномалии движения Юпитера и Сатурна. Галлей в XVII веке констатировал, что Сатурн двигается с явным замедлением и удаляясь от Солнца, а Юпитер — ускоряя свой бег и приближаясь к светилу. Если бы эта тенденция сохранилась, Юпитер в конце концов столкнулся бы с Солнцем, а Сатурн — покинул пределы Солнечной системы.

Подставляя (в уравнение) цифровые показатели для Юпитера и Сатурна, я был удивлен тем, что оно становилось равно нулю.

Лаплас об уравнении, доказывающем постоянство усредненных орбит планет

Между 1785 и 1786 годами Лаплас решил эту загадку, описав ее в своих гениальных трудах под названием «О вековых неравенствах планет и спутников» и «Теория Юпитера и Сатурна». Как и Лагранж, Лаплас понимал, что найти точные аналитические решения задачи трех тел невозможно, поэтому следует прибегнуть к приблизительным решениям. И он сумел предоставить аналитическое выражение для векового неравенства планет. Ему удалось вывести уравнение и обнаружить приятный сюрприз: вековые ускорения планет пропали. Ученый смог разобраться с одним из самых важных феноменов мировой системы и доказать, что неравенства, наблюдаемые в движении Юпитера и Сатурна, являются не вековыми, а периодическими.

Аномалии движения Юпитера и Сатурна объясняются ньютоновым законом всемирного тяготения, и, в принципе, можно рассчитать предшествующие и последующие состояния системы. Ускорение первой планеты и замедление второй — следствие их взаимного влияния. Эти возмущения периодические и поэтому — компенсируемые. Каждые 450 лет они меняют знак ускорения: Юпитер начинает замедлять движение, а Сатурн, наоборот, ускоряется. Таким образом, планеты возвращаются в исходное положение каждые 900 лет. По какой причине это происходит? Лаплас констатировал, что на каждые пять оборотов Юпитера по его орбите приходится около двух оборотов Сатурна и для того, чтобы обе планеты вновь оказались в исходном положении, требуется 900 лет[1 Период обращения Юпитера — 12 лет, период обращения Сатурна — почти 30. За 900 лет Юпитер сделает 75 оборотов, а Сатурн — 30.]. В результате накопленные возмущения компенсируются. Наконец-то нашелся человек, который сумел объяснить ускорение Юпитера и торможение Сатурна, так тревожившие астрономов со времен Ньютона! И эта тревога понятна, ведь ни один ученый не может наблюдать регулярность в течение такого долгого промежутка времени!

Каким же образом Лаплас получил столь блестящий результат? Чтобы решить проблему движения планет, он использовал приблизительные значения. Если бы существовала только одна планета, она описала бы вокруг Солнца обычную эллиптическую орбиту. Но поскольку планеты воздействуют друг на друга, в качестве обычной можно рассматривать возмущенную орбиту. Для этого мы добавим к расчетной орбите небольшое возмущение (см. рисунок).

Анализ уравнений орбитального движения очень сложен для того, чтобы приводить его здесь. Если дифференциальные уравнения, описывающие движение системы из двух тел, линейны, то уравнения для системы из трех и более тел нелинейны. Для поиска решений необходимо воспользоваться методом приближений. Решение нелинейного дифференциального уравнения, соответствующего проблеме с учетом возмущений, может быть найдено путем решения аналогичного линейного уравнения — в котором не учитывается влияние третьего тела — и затем введения в полученный результат возмущения. Иными словами, мы находим приблизительное решение проблемы трех тел, используя наши знания о проблеме двух тел. Таким образом, решение нелинейного уравнения с возмущениями строится на соответствующей корректировке решения обычного уравнения (линейного).

Главное при этом — с необходимой точностью определить степень возмущения (которое в нашем случае является периодическим). Лаплас длительное время вычислял возмущения, которые испытывают планеты, при этом в уравнениях он сохранял основные элементы (первые члены) и отклонял другие, слишком ничтожные. Решения, к которым он таким образом пришел, были не точными, а приблизительными. Однако даже эта неточность позволяла делать достоверные прогнозы, учитывая следующее:

— 99,87 % общей массы Солнечной системы приходится на Солнце.

Вследствие этого орбиты планет являются эллиптическими, поскольку центробежные силы планет слабы по отношению к тяготению Солнца.

— На Юпитер приходится 70 % планетной массы, что оказывает значительное влияние на остальные планеты. Таким образом, в системе, состоящей из Солнца, Юпитера и Сатурна, считается, что вторая планета, наряду с Солнцем, воздействует на движение третьей. Это же справедливо и для движения Юпитера, поскольку Сатурн является второй планетой Солнечной системы по размерам и массе после Юпитера.

— Мы исходим из предположения, что ни Юпитер, ни Сатурн не возмущают движение Солнца. Также если бы вместо Сатурна речь шла о другой — меньшей — планете, то сила тяготения, действующая на Юпитер, была бы ничтожной, что упростило бы расчеты.

Лапласу теперь оставалось объяснить аномалию движения Луны, что он сделал в своих трудах, представленных в 1787 и 1788 годах под названием «О возмущениях движения Луны». Благодаря близкому расположению к Земле движение Луны было исследовано лучше всего. В 1693 году Галлей констатировал заметное ускорение ее среднего движения по отношению к продолжительности, указанной древнегреческими астрономами. Отметим, что на наш спутник воздействует сила тяготения не только со стороны Земли, но и со стороны Солнца, постоянно отклоняющего Луну от воображаемого эллипса, который должна представлять ее орбита.

Когда Лаплас принялся за эту проблему, Лагранж уже добился значительных успехов в применении закона всемирного тяготения к конкретной проблеме лунной механики, что принесло ему премию Парижской академии наук: в 1764 году он предложил объяснение феномена либрации Луны.

Луна всегда обращена к нам одной стороной, но мы не всегда видим ее одинаковую долю. Учитывая, что наш спутник совершает легкие колебания в пространстве, мы можем видеть небольшую часть ее скрытой стороны (в частности, с Земли мы можем наблюдать до 59% лунной поверхности, то есть больше ожидаемых 50%).

ОТКРЫТИЕ НЕПТУНА

Теория возмущений приведет в конечном итоге к открытию Нептуна и Плутона (в 1846 и в 1930 годах соответственно) — двух планет, расположенных в самых отдаленных участках Солнечной системы.

Исследование отклонений траектории планет играет важную роль в предсказании существования новых звезд до того, как они будут замечены в телескоп. Исходя из несовпадения между положением Урана, соответствующим теории тяготения, и реально наблюдаемым положением Джон Куч Адамс (1819-1892) и Урбен Леверье (1811-1877) пришли к выводу, что на движение Урана воздействует какая-то еще более удаленная планета. Это предположение подтвердил ночью 23 сентября 1846 года астроном Иоганн Готтфрид Галле (1812- 1910), работавший в обсерватории Берлина. Так был открыт Нептун. Кроме этого Леверье всегда считал, что аномалии в движении Меркурия также можно объяснить существованием неизвестной планеты — это небесное тело под названием Вулкан могло бы располагаться между Солнцем и Меркурием и воздействовать на орбиту последнего. Однако исследования в этом направлении не принесли результатов: известно, что Леверье долгое время принимал за Вулкан солнечное пятно, проплывающее по диску светила. Сегодня мы знаем, что для объяснения аномального движения Меркурия недостаточно механики Ньютона: необходимо прибегнуть к теории относительности Эйнштейна.

Этот вопрос достаточно естественно вписался в задачу трех тел в отношении системы Солнце — Земля — Луна и требовал тщательного исследования лунных колебаний, которые вызывали Земля и Солнце благодаря силе тяготения,— и Лагранж блестяще справился с задачей. Колебательное движение Луны также оказалось не вековым, а периодическим. Лаплас мог аналогично объяснить и все прочие аномалии движения Луны. Он нашел приблизительные решения, опираясь на идею о том, что Солнце ввиду своей удаленности от Земли и Луны мало влияет на движение этих небесных тел. Не было никакой причины считать, что наш спутник слишком сильно приблизится к Земле или отдалится по направлению к Солнцу. Ускорение движения Луны, наблюдаемое в течение последних веков, объясняется изменением эксцентриситета земной орбиты, но эти изменения компенсируются, так как мы имеем дело с периодическими движениями, и Луна после ускорения начнет замедляться. Лаплас писал: 

«Эти неравенства не всегда возрастают. Они периодические, как и неравенства эксцентриситета земной орбиты, от которых они зависят, и восстанавливаются лишь через миллионы лет». 

Наконец, Лаплас смог доказать, что орбиты планет и их спутников понемногу меняются, но всегда в некоторых пределах. Изменения эксцентриситета и наклонения орбит всегда остаются незначительными и ограниченными. Последствия периодических возмущений не являются разрушительными — они компенсируются. Аномалии, обнаруженные в движении Солнечной системы в течение коротких периодов времени, полностью исчезают при рассмотрении более длительных промежутков. Лаплас доказал все это на основе анализа и закона всемирного тяготения. Ньютон мог спать спокойно: он одержал победу.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СТАБИЛЬНОСТИ СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ

С задачей трех тел и орбитальными аномалиями тесно связан вопрос стабильности Солнечной системы (состоявшей в то время из восьми тел: Солнца и семи известных планет, не считая их спутников). Его решение зависело от решения задачи трех тел. В области астрономии решение проблемы п тел равносильно тому, чтобы спросить самого себя, как будет выглядеть небо через год, через 100 лет и миллиард лет. Как мы уже увидели, Ньютон знал, что для двух тел задача могла быть решена с высокой точностью в любой данный момент; но все менялось, когда во взаимодействие с двумя первыми телами входило третье. Воздействие планет было слабым по сравнению с гравитационным притяжением Солнца, но все же не ничтожным. Более того, в долгосрочной перспективе это воздействие могло отклонить планету с ее орбиты или даже вытеснить из Солнечной системы. Межпланетные взаимодействия могли повредить красивые кеплеровские эллипсы и не давали возможности предсказать поведение системы в отдаленном будущем. В своей работе De motu corporum in gyrum («Движение тел на орбите», 1684) Ньютон утверждал, что планеты движутся не по совершенному эллипсу и никогда не повторяют одну и ту же орбиту два раза. Он также признал, что предсказание долгосрочных движений значительно превосходит человеческие способности.

Таким образом, оставались открытыми насущные вопросы: стабильна ли Солнечная система? Остаются ли планеты на своих орбитах или смещаются с них с течением времени? Не приведут ли аномалии, наблюдаемые в движениях Юпитера, Сатурна и Луны, к разрушительным последствиям? Ньютон представил радикальное решение проблемы: когда Солнечная система выходит за рамки правил, рука Бога заново направляет каждую планету на свой эллипс, регулярно устанавливая, таким образом, гармонию в мире. Однако Лейбниц замечал по этому поводу, что Создатель не ремесленник. Немца возмущал тот факт, что британец привлекает Бога в качестве гаранта стабильности Солнечной системы. Невозможно себе представить, что Творец создал мировую машину, которая, словно часы, нуждается в регулярной проверке и корректировках.

Это спор бушевал в последние десятилетия XVIII века, период, когда ярок был страх нестабильности Вселенной и ужас перед тем, что комета, проходя рядом с Землей, может быть притянута ею, и в результате произойдет столкновение с трагическими последствиями для цивилизации. (Теперь мы знаем, что гравитационное притяжение Юпитера помогло уменьшить орбиту кометы Хейла — Боппа с 4200 до 2800 лет после ее последнего появления в 1997 году)

Мог ли закон всемирного тяготения Ньютона подтвердить стабильность Солнечной системы? Лапласу законы британского ученого уже помогли предсказать траектории любых небесных тел — планет, спутников и комет. Кроме того, они доказывали стабильность мировой системы и устойчивость Вселенной.

Между 1785 и 1788 годами Лаплас доказал, что ни изменение эксцентриситета, ни возмущения орбит не являются вековыми неравенствами, что, таким образом, позволяет говорить о стабильности системы:

«Их вековые неравенства должны быть периодическими и заключенными в узкие пределы, так что планетарная система только колеблется около среднего состояния, от которого она отклоняется лишь на очень малую величину».

Орбиты планет почти всегда круглые с ограниченными изменениями их эксцентриситета. Наклон плоскости, в которой они перемещаются, не превышает 3 градусов. Сатурн не потеряется в бесконечном пространстве, Юпитер не столкнется с Солнцем, а Луна — с Землей. Лаплас доказал, что причиной ускорения Юпитера и замедления Сатурна были незначительные возмущения, связанные с расположением двух планет относительно Солнца. Точно так же ускорение движения Луны спровоцировано минимальными изменениями эксцентриситета Земли. Эти возмущения зависят только от закона тяготе ния и имеют тенденцию уравновешиваться с течением времени. Они следуют периодическим, но крайне длинным циклам. Таким образом, мировая система представляет собой отлично отлаженный механизм.

Лаплас сделал вывод, что Вселенная стабильна, не прибегая при этом к божественному вмешательству, как Ньютон. Почти через сто лет оптимист Лейбниц, казалось, одержал победу над британцем: Бог не был необходим для уравновешенного расположения планет, и никакие катаклизмы не грозили равновесию системы. Французский ученый доказал, что речь идет о полностью саморегулируемом механизме, который не нуждался во вмешательстве великого часовщика. Вселенной предопределено быть стабильной навеки.

Более чем через 200 лет успокаивающие прогнозы, сделанные Лапласом, стали нуждаться в небольшой проверке. Ученый решил продемонстрировать стабильность Солнечной системы не только в краткосрочной, но и в долгосрочной перспективе — до скончания века. Но работы по небесной механике французского математика Жюля Анри Пуанкаре (1854— 1912) в конце XIX века и особенно новые открытия XX века, в частности революционная теория хаоса, встали рядом с выводами Лапласа.

Ученый полагал, что решение проблемы трех тел не может быть найдено с помощью простой функции, а требует решения системы дифференциальных уравнений, то есть бесконечной суммы функций (которые зависят от таких орбитальных параметров, как эскцентриситет, наклонение орбиты, масса планеты). Эта система должна соответствовать условиям задачи и, кроме прочего, быть сходящейся для некоторых значений переменных. Лагранж уже нашел одно решение, но он не был уверен, что ряды сойдутся: если мы заменим переменные на их числовые значения, взятые из атмосферных данных, бесконечная сумма членов ряда станет конечным числом.

Поскольку условия не способствовали точным расчетам, Лаплас решил воспользоваться приблизительными значениями с усеченными рядами. В одном бесконечном ряду членов он сохранял только главные, а остальные опускал. Ученый думал получить разумные оценки поведения планет, изменяя лишь первые члены бесконечного ряда и полагая, что остальные члены не будут слишком сильно влиять на результат. Так он определил приблизительные решения для задачи трех тел и увидел, что хотя они и не полностью соответствуют действительности, эти мелкие отклонения несущественны. Он не ошибся.

Ряды, с которыми работал Лаплас, были рядами степеней, то есть бесконечными суммами функций, определенными с помощью последовательных степеней обратной массы Солнца. В первом члене появляется обратная величина массы, во втором — квадрат обратной величины солнечной массы, в третьем — куб и так далее. Учитывая соотношение солнечной массы с массами оставшихся планет и их спутников (отношение массы одной планеты к массе Солнца равно примерно 0,0001), Лаплас решил сократить этот ряд, используя только первый член и опуская члены начиная со степени 2. Он считал их несущественными: при возведении солнечной массы в квадрат частное становится порядка 0,00000001). Для наглядности, вместо того чтобы рассматривать А + В + С +..., он учитывал только А. Этот первый член позволял вывести приближение первого порядка.

Очевидно, что сумма первого и второго членов (А + В) была бы лучшим приближением, а сумма первых трех членов (А + В + С) — еще лучшим, но это потребовало бы погружения в крайне сложные вычисления. На самом деле если последовательные члены убывали, то приближение первого порядка (А) уже представляло собой достаточно точное значение суммы. Именно таким образом действовал французский математик: он использовал приближения первого порядка и не учитывал члены второго, третьего и последующих порядков.

Де Мопертюи, опирающийся на глобус, в знак уважения к Ньютону.

Чертеж из «Первоначал философии» Декарта, демонстрирующий идею вихревых потоков.

Диаграмма из «Математических начал натуральной философии», в которой Ньютон объясняет, каким образом Солнце воздействует на движение Луны вокруг Земли.

Математики XIX века возьмут на себя обязанность доказать, что, к сожалению, большинство рядов небесной механики, открытых математиками предыдущего столетия, не сходятся (их результат дает бесконечное число). Таким образом, они не дали приемлемых решений или сколько-нибудь точных приблизительных значений. Лаплас сохранил только А, но оставшиеся члены В + С, хоть и были небольшими, оказывали свое влияние. С течением времени — в долгосрочном периоде — они могли стать причиной значительных изменений. Также в этом бесконечном ряду внезапно мог появиться новый значительный член, что противоречило бы тенденции следования первых членов. В частности, в уравнении системы Солнце — Юпитер — Сатурн (задача трех тел) Лаплас пренебрег членами, которые считал бесконечными, но которые, вопреки его догадкам, могли вызвать дестабилизацию Солнечной системы. Несколькими годами позже он объяснил свой метод в работе «Изложение системы мира» (книга IV, глава II):

«Расчеты подтвердили эту догадку и показали, что, вообще, средние движения планет и их средние расстояния от Солнца неизменны, по крайней мере если пренебречь четвертыми степенями эксцентриситетов и наклонностей орбит и квадратами возмущающих масс, что более чем достаточно для современных надобностей астрономии».

Далее, в главе XVII, он добавил:

«Исключительная трудность проблем, относящихся к системе мира, заставляет прибегать к приближениям. Но всегда остается опасение, что величины, которыми пренебрегли, окажут заметное влияние на результаты».

И действительно, в 1856 году французский математик Урбен Леверье (1811-1877), известный своим открытием Нептуна, проверил расчеты Лапласа и доказал, что пренебрежение членами высшего порядка может вызвать значимые последствия, поэтому приближенные решения не могут быть использованы для доказательства стабильности Солнечной системы на период больший, чем сто лет.

И лишь в конце XIX — начале XX века один талантливый ученый пролил свет на проблемы небесной механики, оставшиеся нерешенными. Это Анри Пуанкаре — французский математик, которого часто называют последним универсалистом (его вклад является неотъемлемым для всех математических дисциплин). Он доказал, что результаты Лапласа были бы приемлемы, если бы использовалось приближение массы планет второго порядка, но не третьего. Значение этих членов, которые Лаплас счел несущественными, могло бы серьезно возрасти и вызвать дестабилизацию орбит планет. Иногда астроном предоставляет математику практические наблюдения, которые для последнего становятся источником бесконечного множества теоретических данных. Эти данные могут отражать влияние сил, которые сохраняют расстояние между звездами или, напротив, способствуют бесконечному движению некоторых небесных тел. Небольшие отклонения в начальном положении планет могут повлечь значительные изменения их конечного положения. Действительно, любое, даже самое малое возмущение периодического движения (которое соответствует эллипсу Кеплера) может с течением времени переродиться в нестабильную, то есть хаотичную траекторию (рисунок 3 на следующей странице).

В XXI веке передовые исследования осуществляются с помощью компьютеров, и мы знаем, что хаос может возникнуть в некоторых областях Солнечной системы — хотя через более длинные промежутки времени, чем предполагал Лаплас. Нерегулярное движение Луны, не подчиняющееся геометрическому правилу, есть не что иное, как случай аномалии, встречающейся и у других небесных тел. Вспомним хотя бы о странном движении Гипериона (одной из лун Сатурна), который по форме напоминает картофелину и, проходя по орбите, вращается случайным образом. Движение Плутона также негармонично, и в 1988 году это доказали, опираясь на цифровые данные, два ученых из Массачусетского технологического института (МТИ), Джеральд Суссман и Джек Уиздом. Траектория планеты-карлика интересна еще и тем, что ее орбита имеет большие, нежели орбиты других планет, эксцентриситет и наклонение, вследствие чего пересекает орбиту Нептуна (иногда Плутон ближе к Солнцу, чем Нептун). Не исключено, что в отдаленном будущем эти планеты окажутся достаточно близко друг к другу, чтобы произошла космическая катастрофа. При помощи суперкомпьютера Суссман и Уиздом просчитали траекторию Плутона на 845 миллионов лет вперед и доказали, что его орбита становится непредсказуемой и проявит себя как классическая система с хаотичным поведением уже через 20 миллионов лет (это очень короткий срок, учитывая, что возраст Солнечной системы, согласно последним данным, 4500 миллионов лет).

Между тем Дж. Ласкар осуществил примерную оценку зон, где могли бы находиться планеты Солнечной системы в течение ближайших пяти миллиардов лет. Текущие орбиты соответствуют выделенным линиям на рисунке 4, а области, которые могла бы посетить каждая планета, соответствуют зонам, выделенным серым цветом. В случае Меркурия и Венеры две зоны накладываются друг на друга — это показывает более темная серая полоса, — что сулит неопределенное будущее. Неопределенность возвращается в мировую систему.

РИС. 3

РИС. 4

ИССЛЕДОВАНИЯ С КОНДОРСЕ И ЛАВУАЗЬЕ

Лаплас был человеком с большими амбициями. Его научная программа включала не только исследование неба, но и изучение земного мира. Он стремился применить математику и к человеческому обществу, и к физике непредсказуемых жидкостей: теплу, свету, электричеству и магнетизму — к этим задачам Ньютон смог подойти лишь в «Оптике», а не в «Началах». В действительности Лаплас прошел более логичным путем: от мира математики к физике и от физики — к химии.

В 1783 году Лаплас вместе с Кондорсе принял участие в проекте, который представлял собой новый шаг в демографических и статистических исследованиях. Кондорсе, убежденный сторонник применения математики в процессе принятия решений, увидел в расчете вероятностей инструмент, который может послужить государству в статистике. Оба ученых стали членами академической комиссии, проводившей исследования функционирования Дома милосердия, самого большого госпиталя Парижа. Они квалифицированно проявили себя в расчете вероятностей, сравнивая процент смертности в этом госпитале с процентом смертности в других французских медицинских учреждениях. В 1785 году Лаплас стал одним из вдохновителей демографических исследований во Франции. Анализируя церковные записи о рождениях за длительный период, он захотел подсчитать общую численность населения королевства, умножив число рождений на 26.

Также он нашел время для сотрудничества с другим знаменитым ученым того времени — Антуаном Лораном де Лавуазье (1743-1794). Когда Лаплас познакомился с ним, Лавуазье уже был публичной персоной, главным государственным казначеем. Он получил эту должность после удачной женитьбы на богатой и умной Марии-Анн Польз (1758-1836). Это был удачливый человек, имевший влияние при дворе, а также известный экспериментатор в лаборатории Арсенала в Париже. Лавуазье оставил в стороне традиционную теорию флогистона, предложив собственную теорию горения на основе части воздуха, которую мы сегодня называем кислородом. Кроме этого он полностью изменил основы химии и предложил классификацию веществ, известных в химической практике.

Лаплас начал сотрудничество с Лавуазье в 1777 году и работал с ним в течение более чем 15 лет. Им ассистировали Клод Луи Бертолле (1748-1822), Антуан Франсуа де Фуркруа (1755-1809) и Алессандро Вольта (1745-1827). Лаплас продолжил сотрудничество с Бертолле до конца своей жизни, в частности по вопросам, связанным с физикой и химией.

Но как же началась совместная работа Лапласа и Лавуазье? Очень и очень прозаично. Отец Лапласа, Пьер, продолжал заниматься своими яблоневыми садами в Нижней Нормандии. Сидр, который он изготавливал, в течение долгого времени хранился в бочках, а чтобы он не портился, необходимы были консерванты. Однако, если консервант, добавленный в бочки, окажется плохого качества, он может вызвать у потребителей отравление. Так случилось в 1775 году, когда партия некачественного сидра стала причиной смерти нескольких монахов в религиозном братстве. С этих пор государство решило взять ситуацию в свои руки и обратилось к вновь созданному Королевскому медицинскому обществу Парижа, основателем и членом которого был Лавуазье. Чтобы потушить скандал, Пьер Лаплас выплатил религиозному братству щедрую компенсацию, но, столкнувшись в результате с финансовыми трудностями, он по возвращении в Париж обратился к Лавуазье за кредитом. Неизвестно, было это одной из договоренностей или обычной благодарностью, но молодой Лаплас с тех пор начал помогать Лавуазье в исследованиях.

В повседневной работе Лавуазье и Лаплас обращались друг с другом на равных — ученый-экспериментатор и геометр отлично находили общий язык. Если первый занимался опытами, то второй осуществлял необходимые расчеты. Лавуазье применил «метод геометра» и отразил свои достижения в работе о теплоте, прочитанной перед Академией в 1783 году.

Главным достижением этого сотрудничества стала разработка калориметра (см. рисунок на предыдущей странице) — гениального устройства, предназначенного для измерения внутреннего тепла тела в соответствии с количеством льда, которое было растоплено при воздействии этого тепла.

Лавуазье как представитель Казначейства имел привычку уравновешивать затраты. Будучи химиком, он исследовал отношение масс между реактивами и продуктами химических реакций. Лаплас, со своей стороны, привык исправлять астрономические неравенства и использовать теорию вероятностей в качестве своего рода моральной арифметики, уравновешивающей знание и незнание. Все это вписывалось в тенденцию все измерять и сравнивать. Эта тенденция, как мы увидим в следующей главе, была присуща и политике.

Калориметр, воспроизведенный с гравюры, представленной в «Трактате по элементарной химии»(1789). Чтобы измерить температуру тела, его помещают во внутренний резервуар, огражденный решеткой. Тепло, выделенное телом, растапливает лед. Количество воды, которое при этом вытекает через кран во внутренний резервуар, пропорционально теплоемкости тела.

РЕПУТАЦИЯ И ОБЩЕСТВЕННЫЙ ПРЕСТИЖ

Д’Аламбер умер в октябре 1783 года, и Лагранж стал во главе нового поколения математиков. Он прибыл в Париж в 1787 году, вступил в Академию и устроился в Лувре. Здесь его часто приглашала к себе королева Мария-Антуанетта. В том же году состоялась встреча Лагранжа и Лапласа, который был уже не молодым многообещающим учеником д’Аламбера, а признанным ученым, доказавшим стабильность системы мира. В Академии, согласно записям современников, «у него всегда было что сказать, он высказывал свое мнение относительно всего». Могло даже показаться, что отношения Лапласа с д’Аламбером от этого страдали, поскольку Лаплас считал труды своего учителя и коллеги устаревшими. Самомнение Лапласа заставляло его считать себя, хоть и не без оснований, лучшим математиком Франции.

В 1773 году Лаплас был всего лишь скромным членом отдела механики Академии, а в 1776-м он поступил в отдел геометрии на самую престижную специальность. Наконец, в 1785 году, после смерти одного из старших членов Академии, он стал академиком-пенсионером. За 12 лет этот ученый поднялся на самый верх карьерной лестницы, и его успехи на этом не закончились: в 1784 году Лаплас представил свою кандидатуру в военное министерство и был назначен в Везу в качестве экзаменатора учеников артиллерийской школы. Его коллега Монж получил место экзаменатора учеников военно-морских школ. Это позволяло ученым налаживать свою профессиональную карьеру, а также придавало им политический вес, так как эти должности приближали их ко многим важным политическим фигурам. В первый раз Лапласу удалось завести дружбу с влиятельными в обществе персонами.

Именно в этот момент, когда его карьера была обеспечена, математик — уже почти достигший 40-летия — решил жениться. Жену он выбрал на 20 лет моложе себя, что вызвало пересуды в парижских салонах. В итоге 15 мая 1788 года ученый женился на Марии Шарлотте де Курти де Романж (1769-1862), девушке из благородной семьи, которая помогла ему в дальнейшем продвижении по социальной лестнице. Она родила Лапласу двух детей: Шарля Эмиля, который посвятил себя военной карьере и дослужился до генерала, и Софию Сюзанну, которая стала любимицей отца, но трагически погибла в 1813 году во время родов своего первенца.

В конце 1780-х годов Лаплас стал новым Ньютоном. За свои заслуги ученый был принят в Лондонское королевское общество. В это десятилетие он совершил важнейшие исследования, сделавшие его одним из самых важных и влиятельных ученых эпохи. Лаплас всегда хвастался тем, что был убежденным сторонником Ньютона; он доказал: закон всемирного тяготения — единственный принцип, необходимый для объяснения формы планет, движения покрывавших их жидкостей, их орбит, формы спутников и комет и, наконец, стабильности Солнечной системы. Он объяснил положение звезд и развеял сомнения относительно движения Юпитера, Сатурна и особенно Луны. Париж, да и вся Франция могли с облегчением вздохнуть: Луна не столкнется с Землей и не будет притянута Солнцем.

До 1789 года Лаплас считал, что доказал стабильность Вселенной (хотя свою космологическую модель он разработал позже), и имел все основания написать:

«...несомненно, элементы планетной системы упорядочены таким образом, чтобы обладать наибольшей устойчивостью, если посторонние причины ее не нарушают... Кажется, что природа все расположила на Небе так, чтобы обеспечить длительное существование планетной системы, подобно тому, как она так великолепно сделала это на Земле, чтобы сохранить живые существа и увековечить виды».

Мир казался спокойным и упорядоченным. Но в действительности не было стабильности ни в космической системе, ни в политической, ни в общественной, где придворные вращались вокруг короля, как планеты вокруг Солнца. 1789 год ознаменовал начало революции, которая навсегда изменила историю.

ГЛАВА 3 Свобода, равенство, математика

Именно на фоне Французской революции созрела современная наука. Судьба Лапласа неотделима от восходящей звезды Наполеона Бонапарта. Математик стремился к тому, чтобы создать основы нового мира, и на посту министра внутренних дел подписал декрет, вводящий метрическую систему. Он сыграл главную роль в судьбе двух образовательных учреждений, рожденных революцией, — Политехнической и Нормальной школ.

В 1789 году — навеки выгравированном в истории — был свергнут абсолютистский режим. Как и всякая революция, эта вспыхнула не случайно: в 1788 году Франция пережила несколько неурожаев, следовавших один за другим, ее население стремительно нищало, и экономическая катастрофа привела к разрушению королевства. Страна нуждалась в великом правителе, а Людовик XVI таковым не был. Мотовство королевы Марии-Антуанетты вызывало недовольство народа. Посреди великолепия Версаля королевская чета понемногу осознавала, что кризис настиг и дворян, и духовенство, и третье сословие. Все в королевстве были недовольны, хотя и по различным причинам. Реформы были необходимы как никогда, и идеология Просвещения, проповедовавшая разделение власти, равенство и свободу, подталкивала к ним. Однако Просвещение внезапно завершилось жестокостью и большим кровопролитием.

Чтобы обсудить эту тревожную ситуацию, король созвал Генеральные штаты (высший сословно-представительский орган Франции до 1789 года. — Примеч.ред.). Заседание торжественно открылось 5 мая 1789 года. Третье сословие, то есть буржуазия, восседало слева; дворянство и клир, или трон и алтарь, — справа (именно отсюда происходят понятия «левые» и «правые» в политике). После неудачных попыток достичь компромисса 16 июня представители третьего сословия, а также несколько членов дворянства и духовенства учредили Национальное собрание. Собравшись в версальском зале для игры в мяч, депутаты произнесли знаменитую клятву не распускать собрание до тех пор, пока они не проголосуют за конституцию. Астроном Жан Сильвен Байи (1736-1793), близкий друг Лапласа, дал эту клятву с неописуемым восторгом. Сторонники монархии начали угрожать и громко выкрикивать ругательства, и он произнес знаменитую фразу: «Нации не приказывают».

Эти события ознаменовали начало Французской революции, заложившей основы современного государства и давшей новый импульс науке. Волна институциональных изменений прокатилась по всей стране. Франция из монархии превратилась в республику: подданные короны стали гражданами, а сословия исчезали, чтобы переплавиться в буржуазное общество. Многие ученые с энтузиазмом участвовали в революционных процессах, но далеко не все. Кондорсе и Лавуазье заняли умеренные позиции, Карно и Монж перешли в лагерь радикалов, Лагранж и Лежандр испытывали скепсис, а Лаплас стал оппортунистом. Ученые Академии теперь служили не королевству, а государству и нации. Нации принадлежал и их труд.

Народ вышел на улицы 14 июля 1789 года. Парижская толпа окружила Бастилию и захватила оружие и порох, находившиеся в распоряжении королевских солдат. Король, услышав новость, спросил: «Это мятеж?» «Нет, — ответили ему, — это революция». На следующий день Байи был избран первым мэром Парижа, а несколькими днями позже Лафайет передал монарху трехцветную кокарду, символ нового времени. Учредительное собрание 26 августа провозгласило Декларацию прав человека и гражданина. Старый режим умер. Голубой, белый и красный цвета украшали юбки и шляпы. Свобода, равенство и национальный суверенитет стали главными лозунгами 1789 года.

Однако путь к Конституции 1791 года был долгим, и несмотря на революционный энтузиазм, народ потерял терпение. Это нашло свое выражение в жестокости и кровопролитии. Папа осудил революцию, но это не могло успокоить настроения. В июне 1791 года Людовик XVI решил сбежать из Парижа.

«Клятва в зале для игры в мяч» художника Жака- Луи Давида (1748-1825). В центре: Байи читает манифест, поднятая рука выражает просьбу к собранию о тишине.

«Взятие Бастилии», полотно, написанное в 1789 году Жаном Пьером Уэлем(1735- 1813). В центре картины — арест маркиза де Лонэ, коменданта крепости.

Он переоделся в лакея, королева также облачилась в платье поскромнее, и ночью пара отправилась в дорогу, но в Варене их опознали, задержали и под конвоем вернули в столицу. Ветер свободы веял над всей Францией, но в паруса короля он не попадал. Вместе с тем достигло пика напряжение в Австрии, Пруссии, Испании и остальных державах, настроенных к революции враждебно.

Несмотря на мрачную картину, которую мы только что нарисовали, Лаплас — как и остальные его коллеги-академики — наблюдал за ситуацией вблизи со смешанными чувствами страха и надежды. Скромный Лагранж, со своей стороны, испытывал антипатию и очевидное отрицание: все эти бурные события нарушали тишину и спокойствие, которые были так дороги ученому. Честный Лежандр присматривался к окружающему с любопытством, но оставался зрителем. Кондорсе, Монж и Карно, напротив, отдались революции со всей страстью. Лаплас также выступил на стороне революции, но скорее из расчета, как это ему было свойственно. Как любой хороший оппортунист, он воспользовался революцией, чтобы двигаться вперед и достичь своих целей, возглавив французскую науку.

Несмотря на свои расхождения, почти все ученые разделяли идею: необходимы срочные реформы во всех сферах социальной жизни — не только политической и социальной, но и технической и научной. Казалось, что новое общество, родившееся в 1789 году, воспримет изменения благожелательно. В 1790 году Ассамблея ратифицировала фундаментальные предложения Академии: адаптация десятичной системы мер и весов, основными единицами которой станут метр, литр, грамм, акр и кубический метр. Это был мирный путь для достижения равенства и объединения провинций очень разнородной страны, сгладивший, таким образом, давние местные особенности, касающиеся измерения. Эта реформа, связанная равным образом с решением физической и математической проблемы, и станет предметом настоящей главы.

В ТЕНИ ГИЛЬОТИНЫ:

РОБЕСПЬЕР, ЛАПЛАС И ТЕРРОР

Группа депутатов-патриотов во главе с адвокатом Максимилианом Робеспьером (1758-1794) по прозвищу Неподкупный обычно собиралась в древнем монастыре Святого Якоба. Врач Жан-Поль Марат (1743-1793) был близким родственником Робеспьера, а некоторые ученые, такие как Карно и Монж, регулярно посещали собрания этого клуба. Депутаты, занимавшие верхние трибуны ассамблеи, стали называться монтаньярами (от фр. Montagnards — «люди на вершине») — это название будет ассоциироваться с революцией в ее кровавые дни. В оппозиции к радикальным якобинцам находились умеренные жирондисты (выходцы из департамента Жиронда) под руководством активного депутата и журналиста Жака Пьера Бриссо (1754-1793). Их ряды пополнил и Кондорсе. Наконец, существовала третья группа — «Болото», — члены которой заседали на нижних рядах и склонялись то к одной, то к другой фракции в зависимости от своих интересов. Таким был состав законодательной ассамблеи, когда в апреле 1792 года разразилась война, которую объявил король Людовик, нарушив свои обещания. В августе депутаты объявили короля подлецом и изменником, что ускорило окончательное падение монархии и образование временного правительства. Монж и Карно несли политическую ответственность за организацию флота и армии. По предложению Кондорсе Монж был назначен морским министром, а Карно — военным министром.

В это же время народ, вдохновленный борьбой против «подлых деспотов» и «королей-заговорщиков» (как поется в «Марсельезе»), начал вооруженное восстание, которое привело к захвату городской ратуши и формированию Парижской коммуны. В обществе началась убийственная истерия, ведущая к сведению счетов. В Академии наук химик и якобинец Фуркруа, последователь Лавуазье, предложил очистить учреждение от членов, не осознающих свой гражданский долг. Эпоха, когда знаменитые академики беззаботно читали лекции и проводили исследования, подходила к концу. До этого переворота Лаплас развернул колоссальную деятельность: он участвовал в многочисленных комиссиях и органах для поддержки инициатив Ассамблеи.

КАРНО — ЯКОБИНЕЦ И ГЕОМЕТР

Когда Франция пылала в огне Революции, инженер-якобинец Лазар Карно (1753-1823) сделал большой вклад в организацию армии. Он известен как «великий Карно» или «организатор победы» (это прозвище ему дал Робеспьер), его исключительное чувство порядка способствовало успехам французской армии на полях сражений и в тылу, где Карно укреплял дисциплину и руководил обязательным набором рекрутов. Наполеон назвал его самым честным организатором революции. Даже посвятив себя национальной защите, Карно продолжает заниматься математикой.

В 1797 году, во время короткого периода политической ссылки, он пишет «Размышления о метафизике исчисления бесконечно малых». Ученый рассматривает основы анализа и задается вопросом, должен ли он опираться на дифференциальное исчисление Ньютона, дифференциал Лейбница или теорию пределов д’Аламбера. Его самый важный труд — «Геометрия положения» — ставит его наряду с Монжем в ряд основателей современной геометрии. Род Карно включает выдающихся деятелей: среди его потомков — великий физик (сын Лазара Сади Карно, известный своими исследованиями по термодинамике), химик и даже президент Республики.

Так, в 1791 году он стал членом консультативного бюро искусств и ремесел, в его обязанность входило оценивать изобретения и патенты, которые поступали в изобилии. Наконец, неожиданная победа подарила Франции передышку. В первый день заседания Национального Конвента, 20 сентября 1792 года, французские войска сдержали наступление прусской армии в Вальми. Одержавшие победу французские солдаты восклицали: «Да здравствует нация!», и под эти возгласы началась новая эра. Революция выжила.

Сначала в Конвенте доминировали жирондисты, хотя якобинцы постоянно поддразнивали их, особенно депутат Робеспьер, голос которого был слышнее остальных. В 34 года Робеспьер, человек безупречного поведения, холодный и элегантный, гордый и обидчивый, был одним из трех членов триумвирата, куда также входили Жорж Жак Дантон (1759-1794), прекрасный оратор, хотя и не такой честный, как сам Неподкупный, и внушавший ужас Марат. Последний отвечал за массовые убийства и не стесняясь публиковал в газетах домашние адреса депутатов-врагов, чтобы народу было легче их найти. В первый год Республики разногласия между жирондистами и якобинцами были еще не так остры. В это же время медики Жозеф Игнас Гильотен (1738-1814) и Антуан Луи (1723-1792) работали над проектом хитроумного механизма. У дворян были отобраны привилегии, и для них настало время взойти на эшафот, ведь все граждане должны быть равны и при жизни, и перед смертью. Гильотина, названная позже «Луизон», была готова, и 21 января 1793 года был обезглавлен Людовик XVI; лезвие опустилось — и палач поднял его голову за волосы перед толпой.

Казнь короля ужаснула Европу, да и саму Францию. Страна уже находилась в состоянии войны с другими государствами, но вдобавок в ней развернулось жестокое соперничество между жирондистами и якобинцами. Первые, представители процветающей буржуазии, собственники и коммерсанты, защищали умеренный федерализм и экономические свободы. Вторые, представители народа, поддерживали авторитарный централизм. Обе стороны двигались к бездне. На смену напудренным парикам вскоре придут красные колпаки. Под звуки набата 31 мая народ, воодушевленный Маратом, осуществил якобинский переворот. Национальная гвардия арестовала Бриссо и других руководителей жирондистов. Несколькими днями позже якобинцы захватили власть и в Конвенте — это было первым крушением демократии. Комитет общественного спасения взял верх над Ассамблеей. Террор — эта кровавая интерлюдия между июнем 1793 и июлем 1794 года — стал главной нотой общественной жизни, заглушив победу Франции над коалицией европейских стран во внешней политике. Второй год Республики прошел под знаком гильотины.

Фанатик Жиронды Шарлотта Корде 13 июля заколола Марата в ванной, где он обычно проводил много времени, чтобы успокоить хронический дерматит. Это развязало Комитету общественного спасения под руководством Робеспьера руки, чтобы начать преследования врагов народа. Террор был главным вопросом повестки дня.

Академия наук была закрыта 8 августа 1793 года. «Республике не нужны ученые», — говорили революционеры во время охоты на внутреннего врага. Тремя месяцами позже прошла чистка в Комиссии мер и весов, работавшей с 1790 года, в результате чего были уволены многие ее члены, в том числе Лаплас, Кондорсе и Лавуазье. Всех их объявили плохими гражданами, «недостойными доверия к их республиканской порядочности и ненависти к королям». Любопытно, что Лагранж сохранил свою должность президента комиссии, возможно, потому что он не проявлял особых политических амбиций — как, впрочем, и симпатии к революции.

Не всем ученым повезло так, как Лагранжу. Гильотина опустилась на головы не только тех, кто защищал старые идеи, но и некоторых революционеров. 1794 год унес жизни Кондорсе, Байи и Лавуазье. Первый из этих трех — Кондорсе, постоянный секретарь Академии — стал жертвой революции и реформ, которых он искренне желал. Какое-то время он скрывался, но его арестовали, записав в ряды жирондистов. Кондорсе, несокрушимо веривший в человеческий прогресс, провел свои последние дни в тюрьме. Здесь же 24 марта он покончил жизнь самоубийством, чтобы избежать гильотины.

Второй, Жан Сильвен Байи, президент Генеральных штатов и первый мэр Парижа, был осужден за сообщничество с монархистами. Этот астроном, работавший в Парижской обсерватории, был близким другом Лапласа, с которым сотрудничал в проектах по реформированию парижских больниц.

Желая спрятаться, Байи покинул Париж и хотел направиться в Мелён — здесь жил ушедший на пенсию Лаплас, и этот город выглядел как вполне надежное укрытие. Мадам Лаплас пыталась отговорить Байи от этого, намекая в своем письме, что в Мелёне ученого могут ждать опасности. Однако несмотря ни на что Байи появился в доме Лапласа. Несколькими днями позже его узнал солдат-революционер. Ученого арестовали, отконвоировали в Париж и приговорили там к смерти.

Всего мгновение потребовалось им, чтобы упала эта голова, и, возможно, не хватит и ста лет, чтобы появилась похожая.

Лагранж о смерти Лавуазье

Лавуазье был обезглавлен 8 мая 1794 года. До революции 1789 года он занимал должность откупщика королевства — в каком-то смысле главного сборщика налогов, и вызывал этим на себя большую часть народной ненависти. Он был одним из заметных представителей старого режима (да и довольно богатым человеком) и, несмотря на свои либеральные взгляды, приверженность реформам и симпатию к революции, погиб, как все откупщики, когда якобинцы пришли к власти.

Лаплас избежал участи своих коллег-академиков. В глазах якобинцев он выражал недостаточно республиканского пыла, но при ликвидации Академии был всего лишь исключен из Комиссии мер и весов и назначен на должность экзаменатора артиллерийских войск. Проявив осмотрительность и благоразумие, Лаплас уехал в Мелён, находящийся в 50 километрах на юго-восток от Парижа, где устроился с женой и двумя детьми. Он боялся действий таких радикалов, как Марат, и таких агитаторов, как Бриссо, не способных оценить ученого, который не мог отдаться революции всей душой. За 12 лет до этого, в 1782 году, жестокая полемика свела двоих исследователей.

Марат, врач по образованию, проводил исследования, касающиеся света, и представил на эту тему Академии наук многочисленные работы. Однако теории и оптические эксперименты Марата шокировали академиков, включая Лапласа: как этот выскочка посмел выступить против великого Ньютона? Бриссо, который стал руководителем жирондистской фракции и заклятым врагом Марата, вынес дебаты из стен Академии и опубликовал памфлет в форме диалога, в котором пародировал ежедневную работу ученых и их педантизм. В нем прототипом догматика и последователя Ньютона был Лаплас: усевшись в кресле, он высокомерным жестом отмахивался от опытов многих коллег, потому что они лежали вне чисто математической области, в которой он царствовал.

В какой мере их благополучие обязано маленьким маневрам их целомудренных половин?

Марат. Современные шарлатаны — о Лавуазье и Лапласе

С началом революции Марат припомнил эту полемику ив 1791 году написал страстный памфлет, направленный против академиков, под названием «Современные шарлатаны», в котором неистово ругал Лапласа, а еще больше — Лавуазье. Марат писал, что известность Лапласа держалась лишь «благодаря его прекрасной половине», явно намекая на его супругу. Марат считал, что брак Лапласа с этой красивой женщиной 20 лет, входящей в высший круг, был уловкой, позволившей ему разбогатеть и подняться по социальной лестнице. Брак Лавуазье с его молодой супругой удостоился похожих отзывов. Очень вероятно, что память о распрях между Маратом и Бриссо и подтолкнула Лапласа покинуть Париж во время Террора.

Однако даже в Мелёне он не мог избежать своих обязанностей. Лаплас пользовался слишком большой научной репутацией, чтобы Комитет общественного спасения отказался от его услуг. К нему обратились по вопросу об установлении нового календаря. Григорианский календарь заменили 24 октября на новый, предложенный математиком Шарлем Жильбером Роммом (1750-1795) и поэтом Фабром д’Эглантином (1750-1794). Первый хотел ввести новое измерение времени, следовавшее логическим десяткам (по примеру мер и весов), а второй стремился освободить названия месяцев от церковного следа. Теперь названия месяцев вызывали ассоциации с природой: вандемьер (сентябрь — «сбор винограда»), брюмер (октябрь — «туманы»), фример (февраль — «заморозки»)... По совету астронома Лаланда Ромм предложил, чтобы каждый из 12 месяцев года был разделен на три недели по десять дней, названные декадами. К этим 360 дням (12 х 30 = 360) нужно добавить пять дополнительных дней в конце года (они будут праздничными в честь памяти революции), чтобы в сумме получилось 365. После каждой франсиады — периода в четыре года — добавится еще один год, содержащий 366 дней. Такой республиканский календарь напоминал давний юлианский (названный так в честь Юлия Цезаря, который и основал его в I веке до н. э.). Создатели понимали, что с течением времени в этом календаре накопятся ощутимые искажения вследствие неточного соответствия тропическому году — количеству дней, необходимых для того, чтобы Солнце вернулось в исходное положение в цикле смены сезонов. В результате предварения равноденствий тропический год не совпадает с сидерическим: Земле для завершения витка вокруг Солнца необходимо еще 20 минут. По этой причине для республиканского календаря пришлось прибегнуть к тем же стратегиям, что и для григорианского (названного так в соответствии с реформой, проведенной папой Григорием XIII в XVI веке), то есть ввести високосный год (насчитывающий 366 дней) через каждые четыре года. Его номер должен быть кратен четырем, кроме тех лет, которые кратны 100 (такие годы были високосными, только если еще и делились на 400). После долгих размышлений было решено, что первый день I года будет соответствовать 22 сентября 1792 года, дню провозглашения Республики и дню осеннего равноденствия, как не переставал повторять Лаланд.

Лаплас вовсе не был убежден в пользе нового календаря, поскольку предложенная продолжительность года соответствовала астрономическим данным не лучше, чем в григорианском календаре. Математик считал реформу безосновательной, но у него хватало ума помалкивать, и благодаря этому он сохранил голову на плечах! Позже Лаплас воспользовался своим влиянием на нового французского правителя Наполеона Бонапарта, чтобы тот отменил новый календарь и приказал вернуть григорианский. Календарь просуществовал чуть больше 13 лет и был отменен в полночь 10 нивоза XIV года, то есть 1 января 1806 года.

В это время Карно, избранный членом Комитета общественного спасения, успешно занимался военными операциями. Робеспьер грозился его обезглавить при первом же поражении, но мастерство Карно помогло ему избежать гильотины. Якобинцев также не миновал террор, начатый Робеспьером: ко всеобщему удивлению, был казнен Дантон. Карно стал главным вдохновителем заговора, который совершился 9 термидора II года (28 июля 1794 года) с казнью Робеспьера на его детище — гильотине. Произошло возвращение к власти буржуазии и прекращение народных бесчинств. В 1795 году была принята новая конституция, распущен Конвент и учреждена Директория — комитет из пяти членов, наделенных исполнительной властью (вездесущий Карно объявил сам себя военным министром). Надо отдать должное термидорианцам. В течение краткого пребывания у власти (примерно один год) они смогли реорганизовать образование. Если якобинцы сконцентрировали внимание на начальном образовании (учредив бесплатные светские обязательные школы для всех детей), то термидорианцы сделали акцент на среднем образовании. Они доверили его центральным школам, в которых, помимо гуманитарных наук, преподавались и точные дисциплины. Эти учреждения заняли место традиционных религиозных коллежей, закрытых революцией. Наконец, высшее образование попало в ведение высших школ — педагогических и специальных, таких как Высшая нормальная школа и Политехническая школа. Преподавали в них, как мы это увидим, видные ученые, такие как Лаплас, Лагранж и Монж.

РЕСПУБЛИКА НАУК

Только когда Террор поумерил свою кровожадность и подул ветер перемен, Лаплас с семьей рискнул вернуться в Париж. Долгий год в Мелёне не прошел даром: часто говорят, что он вернулся в столицу с блестящей рукописью в руках, — этот его труд мы рассмотрим в следующей главе.

В 1795 году, когда прошли самые кровавые времена Революции, Директория учредила Национальный институт наук и искусств (ныне Институт Франции) — аналог Академии — «для собрания находок и совершенствования искусств и наук». Конституция III года поддерживала создание центра, который соберет гениев в области науки и искусств, чтобы составить что-то вроде живой Энциклопедии. Институт содержал три класса (физики и математики, моральных и политических наук, литературы и искусств), каждый из которых делился на группы. Математика включала группу геометрии (куда входили Лаплас, Лагранж и Лежандр), медицины (Монж) и астрономии (Лаланд). Лаплас принял активное участие в создании Института. Речь, которую он произнес в 1796 году, чтобы представить первый отчет о деятельности нового учреждения перед Ассамблеей, стала его первым политическим выступлением. Ученый закончил доклад с пафосом: «Существование человека тесно связано с научным прогрессом и искусствами, без которых нет ни продолжительной свободы, ни настоящего счастья». Немного позже Лапласу поручили руководить Бюро долгот, которое было создано, чтобы ликвидировать отставание французского флота от английского и обеспечить безопасность мореплавателей. Парижская обсерватория должна была всячески способствовать вновь созданному бюро в решении этой задачи.

ЛАПЛАС-ТЕХНОКРАТ:

ДЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА ИЗМЕРЕНИЙ

Во Франции тех лет использовалось огромное количество единиц измерения — в каждой провинции, регионе и даже городе.

В стране их одновременно было около 800, а учитывая, что одно и то же название в разных местах имело разный смысл, общее количество единиц измерения достигало 250 тысяч. Каждый дворянин был вправе устанавливать в своих владениях собственную систему измерений, которая отличалась от той, что была у соседа. Необходимость унификации системы назрела давно. Уже в апреле 1789 года астроном Лаланд предложил королю использовать парижские единицы измерения в качестве единых для всего королевства, однако безуспешно. Это была первая попытка гармонизировать систему единиц, но не рационализировать ее. Однако после революции началась «рациональная гармонизация», поскольку стандартизация системы единиц измерения была одной из первых мер, предложенных Генеральными штатами. В то время как представители третьего сословия провозгласили себя Национальной ассамблеей в версальском зале для игры в мяч, 17 июня 1789 года члены Академии наук, включая Лапласа, собрались в комнате Лувра, чтобы образовать комиссию, которая должна была представить обоснованное предложение относительно стандартизации мер и весов. Началась метрическая революция, хотя до ее успешного завершения оставалось около 10 лет. С первых дней из-за неустойчивой политической обстановки проект продвигался буквально наощупь. Однако в результате произошла настоящая научная революция.

Епископ Талейран 27 марта 1790 года прочитал перед Национальным собранием доклад Академии наук о необходимости единства в области мер и представил проект метрической реформы. Талейран предлагал принять революционную систему мер и весов, основанную исключительно на трех принципах:

— система должна соответствовать десятичной шкале;

— все ее единицы будут опираться на единицу длины;

— эталон-матрица должен быть позаимствован у природы.

НАСТОЯЩАЯ ГОЛОВОЛОМКА

В книге «Меридиан» французский математик и писатель Дени Гедж (1940- 2010) описывает утомительную экспедицию, предпринятую для того, чтобы измерить четвертую часть земного меридиана и создать эталон единицы, известной под названием «метр». Следующий отрывок дает представление о путанице, которая царила до внедрения метрической системы, и о необходимости введения универсальных единиц измерения:

«Если находили недостаток в многообразии местных наречий, так же будут находить недостаток в разнообразии мер и весов: дрова на растопку продавались на связку, древесный уголь — на тачку, обычный уголь — на баржу, охра — на бочку, а строительный лес — на счет или на балки. Продавали фрукты для сидра на горку; соль — на мюи, сетье, мину, мино, буасо и мезюретт; известь продавалась на горку, а руда — на разьер. Покупали овес на порцию, а гипс — на сумку; доставали себе вино на пинту, полштофа, камюз, рокиль, золотник и демуазель. Продавали водку на горшок; пшеницу — на мюи и миску. Ткань, ковры и обивка покупались на квадратный локоть; лес и луга считались в квадратных першах, виноград — на доре. Арпан стоил 12 норм, а норма выражала работу человека за один день — так это работало. Аптекари взвешивали в ливрах, унциях, драхмах и скрупулах; ливр стоил 12 унций, унция — восемь драхм, драхм — три скрупула и скрупул — 20 крупинок. Какая путаница! Революция решила все упорядочить. Она ввела единую систему измерения, обеспечивая легкость обмена и торговых операций».

Национальное собрание поддержало 8 мая новую метрическую систему, отметив: эта система должна была быть стабильной, единой и простой, ее должны принять и другие страны, включая Великобританию и США. Академики дали обещание сделать систему измерения такой, чтобы она соответствовала «всем временам и всем народам».

Академия, в обязанность которой входила разработка метрической системы, предложила, чтобы основные единицы измерения, их кратные и доли представляли собой результат умножения и деления на степени 10 (согласно первому принципу). По предложению Лапласа основная единица длины была названа метром (по-гречески «мера»), хотя также существует мнение, что эта идея принадлежала профессору математики Огюсту Савиньену Леблону. Единицы, кратные метру, носили названия декаметр (10 метров), гектометр (100 метров) и километр (1000 метров), а его доли — дециметр (0,1 метра), сантиметр (0,01 метра) и миллиметр (0,001 метра). Таким образом, измерительная система была десятичной.

С учетом второго принципа все единицы должны были составлять логичную систему: единицы площади, объема, емкости (объем — для твердых тел, емкость — для жидких) и веса должны быть определены исходя из основной единицы длины — метра. Было решено, что единицей площади станет ар, соответствующий квадрату со стороной, равной 10 метров. Единица объема, кубический метр, эквивалентна количеству древесины, содержащейся в кубе, каждая сторона которого равна 1 метру. Основной единицей емкости будет литр, равный количеству воды в кубе со стороной 1 дециметр. Наконец, грамм представлял основную единицу веса, равную количеству чистой воды при 4 °С, умещенной в кубе со стороной 1 сантиметр.

Согласно третьему принципу величина метра больше не зависела от человека (то есть не является антропометрической единицей) и получила соответствие в окружающем мире. Сначала метр приравняли к длине маятника, полупериод которого равен 1 секунде (а период — 2 секундам). Однако длина этого маятника зависела от места, в котором проводился опыт, поскольку сила земного тяготения, приводящая маятник в движение, на разных широтах отличается. Выбор 45-й параллели, проходящей через Францию, не казался универсальным решением для системы, которая стремилась быть международной. В США предлагали 38-ю параллель, а в Великобритании, что очевидно, параллель, проходящую через Лондон. Так начались первые разногласия с Великобританией и Соединенными Штатами.

После нескольких месяцев обсуждений молодая Комиссия мер и весов, которой руководил Лагранж (Лаплас был одним из ее членов), наконец нашла решение. Астроном и моряк Жан Шарль де Борда предложил использовать длину, равную десяти миллионным расстояния между Северным полюсом и экватором, то есть десяти миллионным четвертой части меридиана.

Если использовать другую степень десяти, метр получался или слишком большим, или слишком маленьким. Кроме этого выбранная длина соответствовала некоторым традиционным единицам измерения, таким как туаз (его также называли академическим туазом, поскольку эта мера длины использовалась для геодезических измерений формы Земли в 1730-х годах). В 1791 году Национальное собрание постановило, что для определения длины метра с достаточной точностью нужно измерить ар меридиана, соединявшего Дюнкерк и Барселону. Новая единица длины казалась более природной и универсальной, учитывая, что она была связана с размерами земного шара. Конечно, измерить маятник было легче, но его длина зависела от силы притяжения, широты и даже времени суток.

Когда началась экспедиция, задачей которой было измерение меридиана между Дюнкерком и Барселоной, Борда, Лагранж и Лаплас вычислили приблизительное значение метра (оно будет использовано временно), опираясь на данные, полученные в 1740 году Кассини III. Третий член этой плодовитой династии астрономов, убежденный картезианец, измерил меридиан от Дюнкерка до Перпиньяна, участвуя в научной дискуссии о форме Земли, и на основании своих измерений составил новую карту Франции. Ученые умножили цифру, полученную Кассини, на 90 (90° от четверти меридиана), затем разделили результат на 2 миллиона. После того как в 1793 году значение было вычислено, были отлиты прототипы — бруски из латуни, отмерявшие 1 метр и весившие 1 килограмм. Они были отправлены в США — Великобритания уже проявляла открытую враждебность по отношению к реформе.

В 1795 году, когда во Франции разгорелся революционный террор (как мы уже знаем, в это время Лаплас был исключен из комиссии), по инициативе Карно было образовано Бюро долгот. Лагранж и Лаплас также вошли в число его создателей. Это бюро снова подтолкнуло деятельность, касавшуюся реформы мер и весов. Закон 18 жерминаля III года (7 апреля 1795 года) окончательно утвердил принятие метрической системы измерений. В нем было дано метру первое приблизительное определение как доли земного меридиана и установлена номенклатура единиц. Также революция ввела новую официальную денежную единицу, которой стал франк (эквивалент 5 граммов серебра).

РЕВОЛЮЦИЯ УЧЕНЫХ

Десятичная система измерений, принятая Национальной ассамблеей, является одним из главных достижений революции наравне с Декларацией прав человека и гражданина. И французские ученые той эпохи, и политики стремились к равенству, одним из проявлений которого и были «меры, одинаковые для всех». Если все граждане равны перед законом и пользуются одинаковыми правами, они должны использовать и одинаковые единицы измерения.

С произвольностью в этой области было покончено: меры больше не могут основываться на длине блохи или размере человеческого шага, но должны исходить из универсального природного феномена. Политическое и метрологическое равенство, связь науки и политики, без всякого сомнения, не была случайной.

Одна из 16 пластин эталона метра, представленная Бюро мер и весов города Парижа.

Научная революция

Революция мобилизовала ученых и сделала их участниками бурных политических событий: астроном Байи, геометры Кондорсе, Монж и Лаплас, инженер Карно, химики Лавуазье, Фуркруа и Бертолле... Некоторые научные философы и историки считают, что связь между наукой и революцией неслучайна и политики и ученые, каждый в своей области, применяют одинаковые принципы. Как газ представляет собой совокупность молекул или живой организм — совокупность клеток, так государство рассматривается в качестве совокупности граждан, составляющих нацию. Уже прошли те времена, когда Людовик XIV, «король-солнце», восклицал: «Государство — это я!»

Тогда же состоялось и рождение шкалы Цельсия: было решено использовать метрическую систему и для измерения температуры. Один градус Цельсия представляет собой сотую долю температуры, необходимую для прохождения от точки замерзания воды до точки ее кипения. Однако окончательный эталон еще не был утвержден — все ожидали возвращения ученых, которые должны были измерить дугу меридиана и четко определить метр.

В экспедиции участвовали Пьер Мешен (1744-1804) и Жан-Батист-Жозеф Деламбр (1749-1822). Мешен, страстный охотник за кометами, сотрудничал с Лапласом при расчете орбит некоторых небесных тел, а Деламбр по просьбе Лапласа осуществлял астрономические наблюдения, необходимые для расчетов небесной механики. Два неутомимых астронома отправились в путь в 1792 году, когда в стране бурлил революционный хаос: Деламбр — к северу, до Дюнкерка, а Мешен — к югу, до Барселоны. Деламбр казался энергичным и воодушевленным, тогда как Мешен скорее отличался педантизмом и мнительностью, однако они преследовали одну цель — точно определить длину метра, то есть десять миллионных расстояния между Северным полюсом и экватором.

Измерить дугу меридиана было нелегким делом. Нельзя было напрямую рассчитать расстояние между Дюнкерком и Барселоной (этому мешали неровности рельефа), а ученым необходимо было точное значение вдоль воображаемой прямой линии, которая проходила бы над низменностями и пронзала бы горы и холмы. Для решения задачи они воспользовались методом триангуляции: благодаря тригонометрии можно измерить расстояние между двумя точками, взяв за ориентир церковные колокольни или башни замков, куда можно подняться. Деламбр и Мешен чертили воображаемые треугольники и понемногу покрывали расстояние, разделявшее Дюнкерк и Барселону. Они использовали повторительный круг Борда, который позволял сделать измерения значительно более точными. Этот инструмент позволял геодезистам многократно измерять один и тот же угол последовательно всеми частями разделенного круга, чтобы уменьшить ошибку углового измерения. И действительно, если вместо однократного измерения угла произвести измерение, например, десять раз, а затем сложить результаты и разделить сумму на десять, то можно значительно снизить возможность ошибки.

Вопреки планам Академии для измерений понадобилось не десять, а шесть лет. Объяснялось это сложной политической ситуацией: Франция вела войну с половиной Европы, в частности с Нидерландами и Испанией. Деламбр завершил свои измерения и триангуляцию 2 августа 1797 года в Родезе и ожидал там Мешена. Однако его коллега был тяжело ранен в Испании (впоследствии он потерял из-за этого способность управлять рукой) и на некоторое время вынужден был остаться в Барселоне. Когда Мешен, наконец, прибыл в Родез, то вручил Деламбру результат с погрешностями. Из-за военного конфликта он не смог выбрать в качестве ориентира барселонский замок Монжуик, расположенный в зоне боевых действий, и ориентировался на другую точку, посчитав, что это не скажется на точности измерений. Однако такое отклонение вызвало погрешность, равную трем секундам дуги. Эта ошибка отразилась на результате вычислений и, как следствие, на длине метра.

В 1798 году, после почти семи лет приключений, Деламбр и Мешен представили свои измерения в Институт Франции, который определил точную длину метра. Мешен умолчал об отклонениях в измерении, но муки совести не позволили ему оставить все как есть, и ученый решил провести свою часть измерений заново. При этой повторной попытке Мешен погибнет. Метр, определенный Деламбром и Мешеном, оказался короче современного на 0,2 миллиметра — эта погрешность не имеет никакого значения в повседневной жизни, но является важной для современных технологий.

В первой половине 1799 года Лаплас предложил организовать первый международный научный конгресс в истории, чтобы представить на нем новую систему мер и весов. От имени Директории Талейран пригласил все союзные и нейтральные державы. В конгрессе приняли участие девять стран, включая Нидерланды и Испанию. Они отправили в Париж нескольких своих ученых, которые должны были узнать о работе, проведенной во Франции, и сообщить об этом в своих странах. Французскую сторону представляли Лагранж, Лаплас и Лежандр, а также Деламбр и Мешен. Они с большой пышностью представили гостям эталоны метра и килограмма, отлитые из платины. Эти эталоны и сегодня хранятся в Парижской обсерватории — хотя метр больше не определяют как одну десятимиллионную четверти дуги меридиана. Сегодня метр — это путь, пройденный светом в вакууме в течение 1/299792458 секунды. «Завоевания приходят и уходят, — сказал Наполеон Бонапарт,— но это открытие останется навсегда».

МЕТОД ТРИАНГУЛЯЦИИ

Представим себе, что Деламбр и Мешен хотят измерить расстояние между городами А и В, но между этими точками высится постоянное препятствие, гора С, как показано на схеме.

При помощи теодолита или, для большей точности, повторительного круга Борда они могут измерить углы, с которых можно наблюдать вершину горы в обоих городах, то есть угол А треугольника АСН и угол В треугольника ВСН. При помощи барометра, измеряющего давление по отношению к высоте, можно узнать высоту горы, или расстояние между Н и С. Применяя к этим данным правила тригонометрии, делаем вывод, что тангенс угла А равен высоте НС, разделенной на расстояние АН. Тангенс угла В равен высоте НС, разделенной на расстояние ВН. Выделив неизвестное из АН и ВН в обоих выражениях и сложив их, получаем:

AB = AH + HB = HC/tg(A) + HC/tg(B),

то есть расстояние между городами А и В.

Однако введение новых единиц измерения столкнулось с трудностями. Народ не понимал значения этих странных греческих и латинских префиксов — кило- и санти-. Пришлось подключать пропаганду. В сентябре 1801 года был принят закон, запрещающий использование других систем измерения, помимо метрической, но действовал он только на бумаге. Через несколько лет, в 1812 году, Франция вернулась к традиционным единицам. Один из поэтов высмеивал метрическую систему: «Неужели для того, чтобы выпить стакан вина, отрезать локоть материи или починить часы, действительно необходимо измерить дугу меридиана?» Однако хотя метрическая система не была признана в самой Франции, завоевания Наполеона помогли распространить ее за пределы страны. В Нидерландах и Бельгии метрическая система установилась в 1820 и 1830 годах соответственно, хотя сама Франция, эту систему запатентовавшая, в это время все измеряла по старинке. Метрическая система будет применена в ней лишь в 1840 году, когда Шарль Эмиль, сын Лапласа, станет президентом комиссии, которая предложит вернуться к метрической системе, как этого хотел его уже покойный отец. Время подтвердило правоту Лапласа. Германия ввела эту систему в 1868 году, а Соединенные Штаты Америки и Великобритания все еще сохраняли прежние единицы измерения.

Бесспорно, гармонизация мер и весов является одним из важных достижений революции. Метр стал даром французских ученых всем людям и на все времена; и ценность этого дара огромна и сегодня, спустя более чем два века.

ЛАПЛАС-ПЕДАГОГ:

ПОЛИТЕХНИЧЕСКАЯ И ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ ШКОЛЫ

Между 1789 и 1794 годами вся образовательная система старого режима была разрушена, религиозные коллежи опустели. В 1795 году началось формирование новых институтов общественного образования, что выразилось в создании Центральной школы государственных работ, сегодня известной как Политехническая. Именно из этой высшей школы, направленной на изучение инженерного дела, вышли гражданские и военные инженеры, а также самые блестящие ученые Франции. Настоящим создателем школы был Монж, однако он отошел в тень Лапласа, который сам не преподавал, но разрабатывал программы обучения — Лаплас в конце своей карьеры был назначен в школе экзаменатором. Здесь развивалось практическое обучение, важное в годы военных кампаний и развития промышленности. Однако помимо исключительно прикладных наук (металлургия, фортификация, строительство мостов и картография), в школе также уделялось большое внимание физике и математике.

В это же время была создана Высшая нормальная школа, предназначенная для обучения нового педагогического состава для всех учреждений обновленной системы образования. Школа была торжественно открыта 1 плювуаза II года (20 января 1795 года) в амфитеатре музея естественной истории. До 30 флореаля того же года Лагранж и Монж, как и другие ученые, вели уроки для школьных учителей будущих граждан нации. Около 1200 слушателей, малообразованных, но воодушевленных, изучали здесь элементарную математику. Проект Высшей нормальной школы просуществовал лишь четыре месяца, но его влияние ознаменовало новую эру в системе образования Франции.

Амфитеатр музея едва мог уместить всех желающих присутствовать на лекции Лапласа. Он поставил себе цель представить за десять уроков самые важные открытия в области математики. Первые восемь были посвящены арифметике, алгебре, уравнениям, элементарной и аналитической геометрии. Темой девятого должна была стать новая метрическая система, а десятого — теория вероятностей. На этом последнем уроке Лаплас представлял одну из тем, над которой он работал с Кондорсе: как можно применять математику в общественных целях путем расчета вероятностей. Спустя два десятилетия математик вновь открыл план своего урока о вероятностях и опубликовал его сначала в качестве введения к одной из своих самых важных работ — «Аналитическая теория вероятностей», а затем — в труде «Опыт философии теории вероятностей», который мы рассмотрим в главе 5.

ГРАЖДАНИН МОНЖ

Гаспар Монж (1746-1818), великий изобретатель начертательной геометрии и преподаватель математики, был сыном обычного продавца. Однако с самого раннего детства он проявлял блестящие успехи в школе и прослыл чудо-ребенком. Монж с гордостью будет хранить некоторые свои школьные аттестаты. Ему удалось поступить в Мезьерскую школу военных инженеров, но (из-за скромного происхождения) только на вспомогательное унтер-офицерское отделение и без денежного содержания.

Взлеты и разочарования

Успехи в точных науках и оригинальное решение одной из важных фортификационных задач (о размещении укреплений в зависимости от расположения артиллерии противника) позволили ему стать помощником преподавателя. Монж приветствовал революцию с энтузиазмом, так как она разрушала систему, в которой он подвергался унижениям из-за социального происхождения. Он отдал свои тело и душу на службу революции, а затем стал убежденным бонапартистом. Наполеон скажет о нем: «Когда война была делом решенным, он поднялся на трибуну и заявил, что отдаст своих двух дочерей замуж за первых раненых солдат»; «этот безумный республиканец... был для меня примером». Крах императора, от которого Монж получил немало наград, ускорил кончину ученого. Разочарованный, он умер в 1818 году, глядя на исковерканный мир, за который сражался. В декабре 1989 года во время чествования двухсотлетия революции прах Монжа был перенесен в Парижский Пантеон.

ПО СТОПАМ НАПОЛЕОНА:

ИМПЕРИЯ НАУК

В 1785 году на экзамене состоялась встреча ученого Лапласа с аспирантом — лейтенантом артиллерии, молодым кадетом по имени Наполеон Бонапарт (1769-1821). Спустя несколько лет молодой генерал Наполеон вспомнит о своей встрече с блестящим математиком, который проверял его знания, почерпнутые из учебников Безу, Эйлера и Монжа. Лаплас несколько раз принимал экзамен у этого 16-летнего кадета, который был 42-м из 58 экзаменующихся. Полученный им средний балл был достаточным для начала многообещающей карьеры.

Директория быстро преодолевала экономические и социальные трудности. В 1796 году во главе французской армии в Италии встал молодой генерал небольшого роста — Наполеон Бонапарт, который оказался настоящим гением. После впечатляющей победной кампании в Альпах он занял север Италии, вырвав регион у австрийцев. Благодаря этим подвигам Наполеона называли «геометром сражений» и «механиком победы». Бонапарта сопровождали два известных ученых, геометр Монж и химик Бертолле, в обязанность которых входило выбирать предметы искусства и науки, переданные по мирному договору армии-победительнице. Молодой генерал помнил свою первую встречу с Монжем, которую сам ученый забыл, и произнес слова, означавшие начало долгой дружбы:

«В 1792 году молодой офицер артиллерии посетил морского министра. Возможно, вы не помните эту встречу, потому что на ней были и другие люди, но этот неизвестный офицер навсегда запомнил вашу любезность».

Популярность Бонапарта внутри армии и вне ее не переставала расти благодаря богатым трофеям, которые он постоянно отправлял в Париж для пополнения казны Франции. Его слава достигла таких высот, что 25 декабря 1797 года Институт Франции принял Наполеона в свои ряды в качестве члена отделения математических наук, заменив на этом посту якобинца Карно, отправленного в изгнание. Бонапарт, конечно же, был избран по политическим причинам: Лаплас предложил его кандидатуру в надежде сделать восходящую звезду полезной для Института. Именно на церемонии по случаю его принятия произошла встреча математика и генерала. Наполеон предстал на приеме в сопровождении двух наставников — Бертолле, который был также его другом, и Лапласа, к которому военный испытывал глубокое уважение. Во время торжественного ужина он заговорил с учеными о геометрической проблеме, над которой размышлял в Италии, и восхищенный Лаплас воскликнул: «Мой генерал, мы ожидали от вас чего угодно, но только не урока математики!»

Однако у Бонапарта были не только друзья: отчасти чтобы отвлечь Наполеона от внутренних проблем, отчасти чтобы нанести смертельную рану Великобритании, которая в тот период враждовала с Францией, Талейран предложил Директории начать военную кампанию в Египте. Бонапарт, ловко избегая эскадры Нельсона, смог высадиться в Александрии 1 июля 1798 года и победить султана Египта в битве у пирамид. Однако впоследствии британский адмирал уничтожил французский флот на рейде при Абукире, сделав Бонапарта узником его завоевания. Тогда генерал начал крупный социальный эксперимент с целью поднять в Египте технический и научный прогресс. Он развернул бурную организаторскую деятельность и привлек к ней 200 ученых, сопровождавших его, включая Монжа, Бертолле и Фурье. Лаплас не участвовал в экспедиции, поскольку в свои почти 50 лет считал себя слишком старым для подобных авантюр. Инженеры — выпускники Политехнической школы реорганизовали в Египте коммунальные услуги, построили дороги и каналы, изучили египетские иероглифы...

Но во Франции назревал контрреволюционный мятеж, Республика была в опасности. Посчитали, что спасти ее может только военная диктатура, гарантирующая порядок. Несмотря на якобинское прошлое, авторитет Бонапарта превращал его в идеального кандидата. Он должен был как можно скорее вернуться во Францию. С помощью Талейрана и Фуше («Порок, опирающийся на руку преступления», — так скажет Шатобриан, увидев хромающего Талейрана и Фуше шагающими рядом) Наполеон покинул Египет. Его встретили криками «Нет диктатору!» и начали отталкивать от входа в Национальное собрание, однако у Наполеона был козырь — его армия. Так состоялся знаменитый переворот 18 брюмера VIII года (9 ноября 1799 года). Бонапарт заставил Ассамблею назначить себя и еще двух человек временными консулами — так родился Консулат. В 1802 году он провозгласил себя единственным пожизненным консулом и в 1804 году был коронован папой Пием VII в качестве императора. Это положило начало Империи, которая тут же занялась территориальной экспансией в Европе, Испании и России.

Звезда Наполеона закатилась в 1814 году, но он успел войти во французскую политическую и научную историю. Новый повелитель Франции предоставил Лапласу и его коллегам исключительное место — никто другой не делал этого раньше и не сделает позже. Хотя научные знания Наполеона не превышали уровня учебников артиллерийской школы, он преклонялся перед математикой и математиками. Он испытывал искреннюю симпатию к Монжу и поддерживал хорошие отношения со своим ровесником Фурье. Император полностью доверял честному Карно, который никогда не воздерживался от возражений Наполеону, и назначал его на различные должности, в частности на пост военного министра в период Консулата. Наполеон был очень привязан к Лагранжу, и не раз можно было увидеть их подсмеивающимися над Монжем, их общим другом: Наполеон играл Марсельезу, а Монж громко ее пел.

Что касается Лапласа, которого Наполеон знал с юности, то между ними никогда не было глубокой дружбы, но политик восхищался ученым, а тот всегда вращался в орбите политика. Это позволило Лапласу стремительно взойти на вершину и стать одним из представителей наполеоновской науки. Держа в руках первый том «Небесной механики», Наполеон заметил:

«Я желаю, чтобы люди будущих поколений, читая «Небесную механику», не забыли, какое уважение я питал в своей душе к ее автору... [Это произведение] возвышает блеск нашего века».

А когда империя начинала давать трещины, он после прочтения «Аналитической теории вероятностей» написал Лапласу письмо, датированное 12 августа 1812 года, со словами:

«В иное время я, располагая досугом, с интересом прочитал бы вашу «Теорию вероятностей», но теперь принужден только выразить удовольствие, которое всегда чувствую, когда вы издаете сочинения, совершенствующие и распространяющие науку, возвышающую славу нации. Распространение, усовершенствование наук математических тесно соединены с благоденствием государства».

Близкие отношения Наполеона с учеными позволили родиться плодотворному союзу. Наука полностью вписывалась в бонапартистские реформы: это революционное оружие позволяло приобщить нацию к культуре и дать ей чувство уверенности. Именно Наполеон, покровитель наук, стал создателем нового государства.

ЛАПЛАС — ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МУЖ, МИНИСТР ВНУТРЕННИХ ДЕЛ И КАНЦЛЕР СЕНАТА

В начале существования Консулата Бонапарт назначил Лапласа министром внутренних дел. На этой должности он ведал транспортом, торговлей, промышленностью, здравоохранением и народным образованием. Под одним из писем, которые дошли до нас, Лаплас подписался: «министр наук и искусств» — как если бы его новая должность была исполнительной ветвью Института Франции. Среди мер, осуществленных им на посту министра, особого упоминания заслуживает предоставление щедрой пенсии вдове Байи. Лаплас на этой должности начал реорганизацию Нормальной школы и с удвоенной страстью приступил к внедрению метрической системы. Он издал декрет от 17 фримера VIII года (10 декабря 1799 года), в котором официально утверждал эталоны длины и веса из платины и призывал к использованию новых единиц. Однако Лаплас вынужден будет отступить и смириться с переименованием единиц измерения, чтобы народ не пугался незнакомых названий: так, дециметр стал ладонью, сантиметр — шириной пальца, а миллиметр — толщиной линии.

Карта триангуляции, составленная Деламбром и Мешеном.

Гравюра 1800 года, демонстрирующая использование новой метрической системы.

Церемония принятия Наполеона в Институт Франции. Сопровождают его Лаплас и Бертолле (25 декабря 1797 года).

Лаплас успокоил своих коллег-академиков, сказав им, что этот возврат к прошлому формален, но, как мы уже увидели, это было не единственное отступление. Новая система будет введена еще очень нескоро.

На своем посту Лаплас оставался всего лишь шесть недель и был смещен 25 декабря 1799 года. Бонапарт решил заменить ученого своим братом Люсьеном. Он изначально хотел назначить его на эту должность, но побоялся обвинений в семейственности и кумовстве. Годы спустя, уже на острове Святой Елены, бывший император так опишет работу Лапласа в своих воспоминаниях:

«Первоклассный геометр вскоре заявил себя администратором более чем посредственным; первые его шаги на этом поприще убедили нас в том, что мы в нем обманулись. Замечательно, что ни один из вопросов практической жизни не представлялся Лапласу в его истинном свете. Он везде искал какие-то субтильности, мелочи; идеи его отличались загадочностью; наконец, он весь был проникнут духом «бесконечно малых», который он вносил и в администрацию».

Чтобы лучше понять моральное состояние Наполеона, писавшего эти строки, вспомним, что ученый поддержал реставрацию монархии после падения Империи. Но даже если отбросить все обиды, администраторская деятельность Лапласа действительно вызывала много вопросов, при этом его увольнение больше было похоже на повышение: он сразу же получил другую должность, которая ему больше соответствовала. Наполеон назначил его сенатором, как Лагранжа, Монжа и Бертолле. Впоследствии Лаплас стал президентом и канцлером Сената. Ученый шел во главе коронационной процессии в 1804 году, а затем обратился к Наполеону со словами, полными восхищения:

«Я только что провозгласил (...) императора Франции, героя; 20 лет назад я видел начало его службы, которую он пронес с такой славой и успехом во имя Франции».

В 1805 году Лаплас получил самый высокий знак отличия — орден Почетного Легиона. «Я вам клянусь, вы, ученые, должны быть счастливы стать знаменитыми, не проливая кровь!» — воскликнул Наполеон. Немного позже математик стал членом императорской аристократии: в 1806 году император пожаловал ему титул графа империи, как Лагранжу, Монжу и Карно. Почести получили и другие математики, такие как Фурье и Лежандр, ставшие соответственно бароном и кавалером. Уважение Наполеона к математикам было очень велико: шестеро самых выдающихся ученых эпохи входили в состав дворянства империи.

СЧИТАТЬ И УПРАВЛЯТЬ

Между взятием Бастилии (1789) и переворотом, который привел к власти Бонапарта (1799), Лаплас провел десять лет интенсивной политической деятельности, прерывавшейся только на время якобинского периода (1793-1794). Он принял участие в работе Комиссии мер и весов, работал в Бюро долгот, руководил Парижской обсерваторией и совершенствовал астрономические и геодезические наблюдения, стремясь к реформе системы измерения. Он также был назначен членом отделения физических и математических наук Института Франции, который пришел на смену распущенной королевской Парижской академии наук. Лаплас также участвовал в создании двух образовательных учреждений, которые полностью изменили систему высшего образования Франции. Он был преподавателем математики в Высшей нормальной школе, где провел десять уроков для будущих учителей, а также в Политехнической школе, где получала образование научная элита страны в течение всего XIX века.

Влияние Лапласа не было утрачено и когда Бонапарт взял бразды правления в свои руки, провозгласив себя первым консулом и императором. Ученый и в эти годы оставался политической фигурой и даже был назначен министром внутренних дел. В течение этих лет, несмотря на активное участие в политике, он не забросил научную деятельность. Напротив, Лаплас стремился вдохнуть во французскую науку новую жизнь. Научная зрелость Лапласа совпала с восхождением Наполеона, при этом они оба послужили друг другу.

ГЛАВА 4 Происхождение Солнечной системы

«Изложение системы мира» было опубликовано в 1796 году. В этом произведении Лаплас представил широкой публике различные аспекты своего видения величественной картины мира: устойчивая Вселенная, управляемая законом всемирного тяготения Ньютона. Он пытался объяснить появление Солнечной системы, не апеллируя к понятию Бога. Его теория, с тех пор развитая и дополненная, используется и сегодня при объяснении образования звезд.

Часто говорят, что Лаплас начал писать две книги, о которых мы поговорим в этой главе («Изложение системы мира» и «Небесная механика»), во время своего уединения в Мелёне. Но более вероятно, что первый труд ученый написал при подготовке лекций в Нормальной школе. Эта популяризаторская книга была идеальным дополнением к его десяти урокам, учитывая, что у него не было времени изложить вопросы небесной механики, которой он был так увлечен. Опубликованная в 1796 году работа сразу же стала настольной книгой и много раз переиздавалась (четыре раза только при жизни автора: в 1799,1808,1813 и 1824 годах), она была переведена на немецкий язык в 1797 году, на английский — в 1809-м и даже на русский и китайский.

Целью этого труда было представить образованной общественности, но необязательно специалистам, достижения в области небесной механики. Лаплас изложил основные результаты, вообще не используя формул и графиков. Структура работы была подчинена главной идее: исследовать систему мира, то есть известную Вселенную и Солнечную систему, опираясь исключительно на закон всемирного тяготения Ньютона. Название труда сразу же заставляет вспомнить о книге III «Начал» Ньютона, которая носит название «О системе мира». Лапласу удалось совершить синтез и сформировать систему, в которой ни одно событие не было случайным. Его книга стала плодом популяризаторского разума века Просвещения. Она является ключом, отпирающим двери в увлекательный мир астрономии и механики Ньютона, как они выглядели в эпоху Просвещения.

НОВЫЕ И СВЕРХНОВЫЕ ЗВЕЗДЫ, УВИДЕННЫЕ ЛАПЛАСОМ

С давних времен человек наблюдает на небесах звезды, сияние которых ощутимо меняется за короткий период времени. Приведем лишь один пример: в 1054 году китайские астрономы зафиксировали вспышку звезды, которая была видна даже днем в течение нескольких недель. Самой знаменитой новой звездой, или сверхновой, безусловно, является та, которую заметил Тихо Браге в 1572 году. В«Изложении системы мира» Лаплас пишет:

Реконструкция вспышки сверхновой, которую наблюдал Тихо Браге в 1572 году.

«Иногда были видны звезды, появляющиеся почти внезапно и после периода яркого блеска исчезающие. Такой была знаменитая звезда, наблюдавшаяся в 1572 году в созвездии Кассиопеи. За короткое время она достигла яркости, превышающей яркость самых прекрасных звезд и даже Юпитера.

Затем ее свет ослабел, и через 16 месяцев после ее открытия она исчезла, не изменив своего положения на небе».

Представив общий план книги, Лаплас открыл нам фантастические картины. Если в течение прекрасной ночи, когда горизонт открыт, внимательно наблюдать за небесным спектаклем, мы заметим, что в каждое мгновение там происходят изменения. Посреди бесконечного множества сияющих точек, которыми усеян небесный свод и которые сохраняют более или менее постоянное взаимное расположение, можно увидеть несколько звезд, движущихся в поясе небесной сферы, названном зодиакальным. Это планеты (или, с греческого, «движущиеся звезды», «странники»). К планетам, видимым невооруженным глазом (Меркурий, Венера, Марс, Юпитер и Сатурн), нужно добавить небесное тело, открытое благодаря телескопу (Уран). В начале XIX века список небесных тел, благодаря мощным линзам, пополнили планетоиды и астероиды.

Лаплас исходил из видимых траекторий планет, чтобы объяснить принципы их движения. Он подчеркивал, что исключительно благодаря теории системы мира человеческий разум смог подняться по крутой лестнице и возвыситься над чувственным обманом, преодолеть путь от геоцентризма к гелиоцентризму. Он напомнил о том, что существуют чрезвычайные небесные явления, такие как появление комет, которые движутся во всех направлениях, не учитывая плоскости эклиптики или направления траекторий планет. Ученый также заявил, что белое свечение Млечного Пути, поясом охватившее небесный свод, — это огромная туманность. Таким образом, Лаплас описал в книге все небесные объекты, от самых маленьких до гигантских.

Изложив закон всемирного тяготения, ученый предупредил читателя: «Мы увидим, что этот великий закон природы представляет все небесные явления вплоть до самых малых подробностей». Он не прибегал к математическим формулировкам и графикам, объясняя, что планеты реагируют не только на постоянное притяжение Солнца, но и на силу притяжения соседних звезд. Эти конкурирующие воздействия вызывают небольшие возмущения в движении небесных тел, однако влияние Солнца доминирует. В этой отлично сыгранной симфонии можно уловить несколько фальшивых нот, но Лаплас взял на себя обязательство доказать (мы это увидели в главе 2), что этот диссонанс не представляет опасности для устойчивости системы мира.

ПРОИСХОЖДЕНИЕ СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ:

ГИПОТЕЗА О ГАЗОВОЙ ТУМАННОСТИ

Первое издание 1796 года Лаплас завершил короткой главой под названием «Размышления о системе мира и о будущих успехах астрономии», в которой сделал предположения о происхождении Солнечной системы. В последующих изданиях он переместил эти предположения в примечания (Примечание VII и последнее), следуя примеру Ньютона, который перенес многие из своих предположений в приложение к «Оптике». В 1813 году, в третьем издании, это примечание превратилось в полноценную теорию о происхождении Солнечной системы, представленную по всем правилам. На нескольких страницах Лаплас отважился обратиться к космологии. В то время чисто рациональные объяснения происхождения мира встречались нечасто, поэтому можно себе представить, какой эффект произвела эта гипотеза, исходившая от величайшего специалиста в небесной механике. В 1796 году Лаплас даже не мог и предположить, насколько знаменитой и успешной станет его простая гипотеза. Его «мировой миф» — употребляя слова Декарта — пошел дальше Ньютона; речь шла о понимании структуры Вселенной исходя из ее происхождения и развития.

Его космогоническая гипотеза известна как гипотеза Канта — Лапласа, и в этот раз Лапласа нельзя обвинить в плагиате. В 1755 году философ Иммануил Кант опубликовал свою работу «Всеобщая естественная история и теория неба», где пытался объяснить происхождение известного мира, постулируя существование первоначальной туманности, — гипотеза, близкая к гипотезе Лапласа. Но эта работа Канта стала известна во Франции лишь в 1801 году, да и распространялась она крайне плохо из-за банкротства издателя. Поэтому нельзя сказать, что французский математик позаимствовал идеи прусского философа.

Весьма вероятно, что Лаплас долго обдумывал натуралистическую гипотезу Жоржа Луи Леклерка, графа де Бюффона (1707-1788), представленную в его «Естественной истории», тома которой публиковались начиная с 1749 года. Этот французский ученый, одним из первых пересмотревший библейскую хронологию, предложил гипотезу, объясняющую современную конфигурацию Солнечной системы: в очень далеком прошлом комета, пролетавшая слишком близко к Солнцу, вырвала из него фрагменты материи, которые начали двигаться вокруг светила и, охлаждаясь, сформировали планеты и их спутники. Лапласу была хорошо известна гипотеза де Бюффона, но он никогда не слышал, чтобы говорили о гипотезе Канта.

Гипотеза Лапласа стремилась объяснить подтвержденный наблюдениями факт, который Ньютон так и не смог обосновать сторонникам Декарта: все планеты и известные спутники вращаются по своим орбитам, которые лежат практически в одной плоскости; также эти орбиты имеют очень небольшой эксцентриситет (планеты практически двигаются по кругу) и этим отличаются от орбит комет (очень вытянутых, иногда ретроградных и с наклонением, которое резко отличается от плоскости движения планет и спутников). Лаплас считал, что этот факт должен иметь четкую причину. Наконец, поскольку все небесные тела, за исключением комет, имеют некоторые общие характеристики, очень вероятно, что их объединяет и общее происхождение. Однако катастрофическая теория де Бюффона, по мнению Лапласа, была неполной. Конечно, она объясняла, почему планеты двигаются в одном направлении и в одной плоскости, но не помогала понять, почему орбиты имеют такой малый эксцентриситет.

Лаплас предположил, что Солнце изначально было намного больше, а его атмосфера распространялась до границ Солнечной системы, образуя своего рода туманность. В этот период Солнце было похоже на туманности, наблюдаемые в телескоп. Остывая, молекулы, расположенные на границах солнечной атмосферы, образовали вокруг звезды круговые пояса, которые, сгущаясь, приняли сферическую форму, чтобы превратиться в известные нам планеты. Таким образом, все планеты и их спутники вращаются в одном направлении (которое было присуще вращению солнечной атмосферы) и расположены в одной плоскости. Сгущаясь, атмосфера ускоряет свое вращение. Таким образом, наиболее удаленные от Солнца планеты вращаются медленнее, чем более близкие. При ускорении вращения увеличивается центробежная сила, которая превышает силу тяготения, удерживающую молекулы на месте (см. рисунок). Согласно этой гипотезе вокруг Солнца вращались многочисленные туманные кольца, из которых и были образованы планеты. Кометы же, напротив, являются небесными телами, не входящими в Солнечную систему.

Реконструкция гипотезы газовой туманности Лапласа.

Начиная с 1811 года, когда британец Уильям Гершель представил свои первые работы об эволюции туманностей, философский статус космологической гипотезы радикально изменился: она перестала быть обычным предположением, а стала правдоподобной моделью, вероятно, первой научной космологической моделью. С одной стороны, Гершель подтверждал, что туманность состояла из многочисленных газовых облаков молочного цвета со светящимся центром, что полностью соответствовало идее гигантской солнечной атмосферы. С другой стороны, он отмечал, что некоторые звезды проходили через этапы конденсации, вызванные силой тяготения. Вдохновленный этим открытием, Лаплас тут же сделал из него общий вывод для официальной газеты Le Moniteur universel («Всемирный обозреватель»). Нужно сказать, что Лаплас и Гершель познакомились в 1801 году в Париже, и французский ученый всегда высоко ценил открытия британского астронома.

В течение многих лет гипотеза Лапласа называлась гипотезой Лапласа — Гершеля, но в конце XIX века немецкий физик Герман фон Гельмгольц (1821-1894) напомнил о вкладе Канта и дал гипотезе новое название: гипотеза Канта — Лапласа. Эта гипотеза считалась довольно правдоподобной даже после того, как некоторые ее критики отметили, что на самом деле не все планеты и спутники Солнечной системы вращаются в одном направлении. Это стало известно после открытия в 1846 году Тритона — спутника Нептуна, который движется в противоположном направлении.

ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ

В издании «Изложения системы мира» 1796 года Лаплас сделал странное замечание, не относящееся к теме: он говорил о существовании феномена, который мы сегодня знаем как черную дыру. Ученый утверждал, что сила тяготения, произведенная светящимся телом, в 250 раз большим, чем Солнце, не позволила бы испущенным лучам света удалиться от его поверхности. Лучи были бы вновь поглощены, и звезда осталась бы невидимой. В четвертом издании труда Лаплас удалил эту дерзкую гипотезу, но по просьбе одного немецкого астронома все-таки опубликовал математические расчеты, подтолкнувшие его к этому предположению.

Модель черной дыры в 10 солнечных масс, наблюдаемой на расстоянии 600 километров, на заднем плане — Млечный Путь.

«НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА» (1799-1825)

В течение долгих лет политической и общественной деятельности Лаплас не забросил науку. Он приступил к монографии по астрономии — самой благородной из научных дисциплин, — собирая данные обо всех открытиях, в том числе и своих собственных, и объясняя их точным языком анализа. Этот труд завершился изданием трактата «Небесная механика», в котором Лаплас давал аналитические решения для всех вопросов, поставленных системой мира. Именно в этом произведении он предложил название «небесная механика», которое с тех пор стало общепринятым. Пять томов трактата были опубликованы между 1799 и 1825 годами; два первых тома (около 1500 страниц) в сентябре 1799 года; два следующих — в 1802 и 1805 годах соответственно; наконец, через 20 лет, в 1825 году, был опубликован пятый и последний том, о котором мы поговорим в главе 6. Его содержание отходит от темы небесной механики и затрагивает земную математическую физику, которой Лаплас заинтересовался в конце своей карьеры.

Это монументальное произведение представляет открытия Лапласа, Ньютона, Клеро, д’Аламбера, Эйлера, Лагранжа, хотя, как мы уже говорили, его автор часто забывал цитировать источники, создавая таким образом впечатление, что все результаты принадлежат лично ему. «Небесная механика» — это математический трактат для специалистов. В отличие от «Начал» Ньютона, он организован не в соответствии с евклидовой геометрией, а согласно принципам аналитического языка, знакомого Лапласу. Ученый обобщил все результаты, полученные в XVIII веке систематическим и рациональным способом: он формулировал дифференциальное уравнение, описывающее проблему, а затем предлагал к нему решение в виде степенного ряда. Однако Лаплас часто опускал отдельные этапы доказательства — словно они теряли значение, едва он убеждался в истинности результата.

Две страницы трактата «Небесная механика», одного из самых известных произведений Лапласа.

Портрет графа де Бюффона, автора гипотезы об образовании Солнечной системы.

Портрет Иммануила Канта. Немецкий философ сформулировал гипотезу об образовании системы мира, аналогичную гипотезе Лапласа.

При написании этого полезного труда Лаплас преследовал сразу две цели. Во-первых, он стремился повысить точность астрономических таблиц, указывающих положение планет, необходимых для навигации в открытом море. И действительно, интерес к небесной механике в ту эпоху очевидно носил социально-экономический характер. Во-вторых, он хотел проверить, можно ли объяснить с помощью закона всемирного тяготения все небесные явления. На каждой странице «Небесной механики», словно заклинание, повторяется, что этот закон управляет Солнечной системой. Также книга является одновременно учебником, коллекцией блестящих рассуждений, справочником и альманахом. В предисловии к третьему тому Лаплас обобщил невероятный размах полученных результатов:

«Мы представили... основные принципы равновесия и движения материи. Их применение к небесным движениям привело нас через серию геометрических (аналитических) рассуждений к закону всемирного тяготения, исключительными случаями являются земное тяготение и траектории движения подброшенных тел. Затем, рассматривая систему тел, подлежащих этому великому закону природы, мы пришли к способу единого анализа, к общим выражениям их движения, к их формам и вибрациям жидкостей, которые их покрывают; выражения, из которых видно происхождение всех наблюдаемых явлений: морского прилива и отлива, нутации земной оси, предварения равноденствий, либрации Луны, формы и вращения колец Сатурна... Мы вывели из этого главные неравенства планет и особенно неравенства Юпитера и Сатурна, период которых длится более 900 лет».

Лаплас представил в работе все астрономические проблемы, которые рассматривал в течение предыдущих 20 лет. Несмотря на глубоко теоретический подход, в «Небесной механике» использовались и конкретные данные, в частности многочисленные наблюдения, тщательно проведенные Деламбром, Алексисом Буваром (1767-1843) и другими молодыми исследователями. Кроме того, Жан Батист Био (1774- 1862) и Симеон Дени Пуассон, два молодых математика, выпускники Политехнической школы, были обязаны перечитать доказательства и проверить расчеты преподавателя.

«Небесная механика» — это талантливое обобщение, настолько полное, что последователям Лапласа особо нечего было добавить. После публикации работы ученого сравнили с Птолемеем и Ньютоном — авторами «Альмагеста» и «Начал». Произведение было вскоре переведено на немецкий, а затем и на английский язык (перевод с комментариями американского мореплавателя Нафанаила Боудича датируется 1829 годом). Недостатки работы начали проявляться лишь спустя десятилетия. Хотя «Небесная механика» оставалась главной книгой науки в течение доброй половины XIX века, некоторые ее результаты, как теоретические, так и практические, должны быть пересмотрены. В письме 1826 года Лежандр иронично поздравлял себя с тем, что его «бессмертный коллега» ошибся! Приведем лишь один пример: объяснение вековых аномалий Луны, представленное Лапласом (эти отклонения вызваны колебанием эксцентриситета земной орбиты), охватывало ускорение среднего движения нашего спутника лишь отчасти. В течение жизни Лаплас несколько раз возвращался к этому вопросу — в 1809,1811,1820 и в 1827 году, в год своей смерти — он неоднократно исправлял формулу, но решение так и не нашел.

Золотой век небесной механики завершился важным трудом другого французского математика — работой «Новые методы небесной механики» Жюля Анри Пуанкаре, датируемой 1892 годом. Новые математические инструменты позволили усовершенствовать применение механики Ньютона в астрономии. Однако это стало лебединой песней небесной механики в традиции Ньютона. В начале XX века молодой немецкий физик по имени Альберт Эйнштейн предложил альтернативную теорию, которая полностью изменила концепцию гравитации и позволила разработать новую теорию Вселенной.

БОГ В РАБОТЕ ЛАПЛАСА

Когда Лаплас передал Бонапарту экземпляр первого тома «Небесной механики», император поинтересовался: «Вы написали такую огромную книгу о системе мира и ни разу не упомянули о его Творце!» Ученый на это ответил:

«Сир, я не нуждался в этой гипотезе». Когда этот разговор дошел до ушей скептика и агностика Лагранжа, он отметил: «Тем не менее это хорошая гипотеза».

Почему Лаплас сделал такой акцент на своем атеизме? Бонапарт отлично знал, что Ньютон обращался к Богу, чтобы объяснить стабильность и происхождение системы мира. В завершение «Оптики» английский ученый написал:

«Слепая судьба никогда не могла бы заставить планеты двигаться по одному и тому же направлению по концентрическим орбитам, за исключением некоторых незначительных неправильностей, которые могут происходить от взаимных действий комет и планет друг на друга, способных нарастать за время преобразования системы».

Именно поэтому Бонапарт удивился тому, что Лаплас ни разу не сослался в своем труде на Бога.

Преобразование или регулирование системы, по мнению Ньютона, должен был осуществлять сам Творец. «Рука Бога» должна была направить каждую планету на ее орбиту. Раздраженный Лейбниц резко критиковал идею о том, что именно божественное вмешательство приводит в порядок Солнечную систему. Ему казалось, что это очень примитивное представление о божественной мудрости и божественной силе. Последователь Ньютона Кларк ответил тогда, что если часы будут идти вечно без вмешательства часовщика, то и люди прекрасно смогут обойтись без часовщика-Бога.

Лагранжу и Лапласу удалось избежать заблуждения Ньютона, которое позднее соблазнит и Эйлера, что божественное провидение должно регулярно проявлять себя, восстанавливая порядок во Вселенной. Лагранж начал исследования, анализируя удаленность планет от центра Солнечной системы и доказывая, что ни одна из них не может покинуть ее пределы. Лаплас проанализировал другие факторы и отклонения и пришел к выводу, что планеты также не могут покинуть плоскость, в которой вращаются. К тому же, как мы уже увидели в главе 2, в математических выражениях вековых неравенств, которые проявляли Юпитер, Сатурн и Луна, члены ряда не могут расти до бесконечности и дестабилизировать в долгосрочной перспективе их орбиты. Сатурн никогда не покинет Солнечную систему, а Луна не упадет на Землю. Главный труд Лапласа венчает труды Ньютона в области механики и объясняет, что орбитальные аномалии, так заботившие британца, являются лишь возмущениями, которые зависят от закона тяготения и имеют тенденцию с течением времени компенсироваться.

Лаплас объяснял устойчивость системы мира, не ссылаясь на Бога, а исключительно опираясь на вращение планет по круговым орбитам в одном направлении и одной плоскости. В главе 2 книги IV «Изложения системы мира» можно прочитать:

«Мне удалось доказать, что каковы бы ни были массы планет, только из-за того, что все они движутся в одном направлении и по малоэксцентричным орбитам с малым наклоном по отношению друг к другу, их вековые неравенства должны быть периодическими и заключенными в узкие пределы, так что планетная система только колеблется около среднего состояния, от которого она отклоняется лишь на очень малую величину».

Однако оставался еще один вопрос: почему все планеты двигаются в одном направлении, а их эллиптические орбиты лежат практически в одной плоскости? Как мы видим, Ньютон отнес это на волю Создателя. В последующих изданиях «Начал» он так объяснял это странное явление:

«Все эти правильные движения не имеют своим началом механических причин, ибо кометы носятся во всех областях неба по весьма эксцентрическим орбитам. <...> Такое изящнейшее соединение Солнца, планет и комет не могло произойти иначе, как по намерению и по власти могущественного и премудрого существа».

В своей «Оптике» Ньютон повторил эту идею еще яснее, будучи убежденным в том, что положение планет гарантирует их устойчивость: «Слепая судьба никогда не могла бы заставить планеты двигаться по одному и тому же направлению».

Лаплас — с его космологической гипотезой первичной туманности — смог объяснить происхождение Солнечной системы, ее конфигурацию, слаженное движение, не ссылаясь на Бога. Происхождение и устойчивость Солнечной системы — две астрономические загадки, побудившие Ньютона апеллировать к идее божественного вмешательства, — были наконец решены. После долгих лет верной службы Создатель мог отправляться на покой: гармонию Вселенной можно было гарантировать и без него.

ГЛАВА 5 Вероятность и детерминизм

Ни один математик до Лапласа не стремился приручить азарт. Ученый собрал материалы, обобщил идеи предшественников и предложил точное определение концепции вероятностей. Он соединил расчет вероятностей с анализом и разработал современную теорию вероятностей. Накопленные статистические данные позволили ему применить новую теорию в совершенно новых сферах — демографической, социальной, правовой и, конечно, астрономической.

В течение всего XVII века математики интересовались расчетами применительно к азартным играм, но только в конце XVIII века, с развитием теории вероятностей, а также теоретической и математической статистики, эта работа начала приносить свои плоды. Математическая дисциплина, которая вначале занималась анализом карт, игральных костей и избирательных бюллетеней, со временем стала одной из главных областей человеческого знания.

Уже в середине XVI века математик эпохи Возрождения Джероламо Кардано (1501-1576) написал «Книгу азартных игр». Кардано был очень азартным человеком и астрологом (он даже предсказал собственную смерть), использовал термин «вероятность», происходящий от латинского слова probare («доказать», или «утверждать»), для количественной оценки степени достоверности события и возможности выиграть. Расчет вероятностей родился как таковой в 1654 году, когда началась переписка Блеза Паскаля (1623-1162) и Пьера Ферма (1601-1665). Игрок Антуан Гомбо (1607-1684), известный как шевалье де Мере, призвал французских математиков решить задачу: если два человека, сыграв три партии, вынужденно прервали игру (вероятно, по причине прихода полиции, поскольку азартные игры были запрещены), как они должны разделить выигрыш, если один выиграл два раза, а второй — один? Как видите, расчет вероятностей тесно связан с наукой азарта.

Первооткрыватели расчета в азартных играх используют впоследствии свои рассуждения и в других областях знаний. В 1657 году Христиан Гюйгенс (1629-1695) опубликовал произведение «О расчетах в азартных играх», в котором применяются алгебраические методы для расчета ставок и введено понятие ожидания, или вероятного выигрыша. Кроме этого, в сотрудничестве со своим братом Гюйгенс предложил концепцию «ожидаемой продолжительности жизни». Исходя из таблиц смертности Лондона, опубликованных Джоном Грантом, отцом политической арифметики, братья Хагене и Эдмунд Галлеи рассчитали вероятности выживания, рассматривая жизнь и смерть как орел и решку. Ученые предположили, что 36 % жителей Лондона живут в среднем три года. Это означало, что родители каждого новорожденного тянут жребий, который в 36 случаях из 100 гласит: «ваш ребенок проживет только три года». Это мрачноватое интеллектуальное упражнение очень хорошо проводило аналогию между азартными играми и статистическими данными.

Труд Якоба Бернулли Ars conjectandi {«Искусство догадок») ознаменовал второй этап в истории теории вероятностей. В этом неоконченном трактате, опубликованном в 1713 году, уже после смерти автора, математик обратился к комбинаторным рассуждениям для вычисления вероятности какого-либо события. Он впервые представил проблему обращенной вероятности и пояснил, что теоретические количества случаев часто неизвестны, при этом то, что не дано вывести априорно (посредством исключительно логических рассуждений), можно получить апостериорно, то есть на основании многократного наблюдения. Якоб Бернулли стал автором одноименной формулы: относительная частота события стремится к заданному числу (вероятность события) при увеличении количества повторов.

Формула Якоба Бернулли позволяла эмпирическим путем рассчитать неизвестные вероятности и определить объективную вероятность события. И действительно, если частота события с увеличением количества наблюдений стремится к вероятностным значениям, почему не определить вероятность, исходя из частоты? Благодаря индукции можно определить вероятность как предел частоты, а не просто вычислить ее логическим или субъективным способом (как степень ожидания).

Французский математик Абрахам де Муавр (1667- 1754) — ревностный кальвинист, который был вынужден эмигрировать в Великобританию, чтобы избежать религиозных преследований, — в 1718 году опубликовал свой трактат «Доктрина азарта». В нем де Муавр подчеркивал, что статистическая закономерность, подтверждаемая формулой Бернулли, невозможна без помощи Бога. Вероятно, из его работ, как мы увидим это позже, Лаплас унаследовал отношение к божественному провидению, которому он нашел место даже в основах теории вероятностей.

ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ

Возьмем событие А, вероятность наступления которого равна р. Мы повторяем эксперимент п раз, чтобы определить частоту наступления А. Если событие А имеет место т раз, то, вычислив т/п, мы определим частоту его наступления, то есть количество раз, когда событие произошло по отношению к общему количеству попыток. В абсолютном выражении разница между вероятностью р и относительной частотой т/п определяет ошибку, которую мы могли бы совершить, если бы использовали относительную частоту в качестве приближенного значения вероятности. Бернулли доказал, что если мы повторим опыт достаточное количество раз, эта разница будет меняться: она стремится к нулю, когда п стремится к бесконечности. В математических терминах это выражается так, как показано ниже: если е — это положительное значение, сколь угодно малое, тогда:

Эта формула иллюстрирует закон случая, или закон стабильности частоты: используя терминологию той эпохи, существует уверенность в том, что в долгосрочной перспективе относительная частота события не будет слишком сильно отклоняться от его вероятности. Это самая простая формулировка закона больших чисел, предложенного в XIX веке последователем Лапласа Симеоном Луи Пуассоном.

СЕМЬЯ БЕРНУЛЛИ

Якоб Бернулли (1654-1705) по желанию своего отца изучал теологию, но очень скоро он оставил этот путь, чтобы стать преподавателем математики в Базельском университете. Эту должность ученый будет занимать до самой смерти. Его младший брат Иоганн (1667-1748), также очарованный математикой, пошел по стопам Якоба и сменил его на академическом посту. Отношения между братьями были напряженными в течение всей жизни. Оба педанты, они часто спорили о первенстве в решении математических задач. Жесткая полемика возникла по поводу того, кто первым нашел решение задачи о брахистохроне (кривой скорейшего спуска), которая была настоящим вызовом для европейских математиков: Якоб, Иоганн, Лейбниц или Ньютон (последний нашел ответ после изнурительного рабочего дня в монетном дворе Лондона и опубликовал его анонимно, однако инкогнито сохранить не удалось, поскольку «льва узнают по когтям», как сказал один братьев). Иоганн имел довольно тяжелый характер и даже выгнал из дома собственного сына Даниила (1700-1782).

Якоб Бернулли.

Якоб Бернулли посвятил последнюю часть своего важного трактата применению теории вероятностей в социальных, моральных и экономических делах:

«Искусство предполагать предстает перед нами как искусство рассчитать так точно, как это возможно, вероятности происходящих вещей. Цель наших суждений и наших действий — в том, чтобы мы всегда смогли следовать жребию, который выбрали в качестве лучшего. (...) Именно в этом состоит мудрость философа и проницательность политика».

Расчет вероятностей был полезен в азартных играх, и доказательство этого стало одним из вкладов Лапласа. Также математик приложил все усилия к тому, чтобы дать правильное определение вероятностям и объединить их расчет с анализом.

ПОСЛЕДСТВИЯ В ПРИЧИНАХ

До Лапласа теорию вероятностей называли теорией шансов (или случаев) и расчета вероятностей. Однако благодаря ему шансы получили «дворянские грамоты» и стали математической наукой. Исследование Лапласа «О вероятности причин по событиям», опубликованное в 1773 году, является одним из краеугольных камней этой новой дисциплины. В своем труде Лаплас, сам того не ведая, повторил концепцию байесовского подхода — интерпретации понятия вероятностей, развитой преподобным отцом Томасом Байесом (1702-1761), который определял вероятность как степень уверенности в истинности суждения. Научное исследование Байеса было издано уже после смерти его автора, в 1763 году, но до Франции не дошло.

Для Лапласа речь шла скорее не о расчете вероятностей событий, а о расчете вероятностей причин. Можно выделить два типа событий. В первом случае вероятность появляется в результатах: например, если мы знаем содержимое урны с белыми и черными шарами, то можем предположить, с какой вероятностью достанем белый или черный шар. Во втором случае вероятность появляется в причинах. Мы знаем результат жеребьевки (1 черный шар) и стремимся определить содержимое урны, которое нам неизвестно. Исходя из результата (1 черный шар вынут) мы в состоянии определить вероятность причин, то есть все возможные сочетания шаров в урне. Так мы переходим от следствий к причинам (см. рисунок ниже).

В первом случае (слева) мы не знаем, какой шар сейчас вытащим, но исходим из наших знаний о содержимом урны. Во втором случае(справа) мы стремимся узнать содержимое урны, исходя из цвета вытащенного шара.

Одним из первых достижений Лапласа стали формулировка и доказательство теоремы Байеса, которая, вне всяких сомнений, была ему неизвестна. Свое название эта теорема получила через много лет по инициативе Огастеса де Моргана, который утверждал, что теорема была открыта его соотечественником. Что за идея лежит в основе формулы Байеса, заново открытой Лапласом? Представим себе, что у нас две урны с разным содержимым: первая содержит 2 белых и 3 черных шара, а вторая — 3 белых и 2 черных. Мы вытаскиваем один шар наугад, не зная, какая урна перед нами сейчас. Шар оказывается черным. Каково вероятное содержимое урны? С учетом цвета вытащенного шара можно предположить, что перед нами скорее первая урна, чем вторая (во второй меньше черных шаров). Теорема Байеса позволяет выразить эту интуитивную оценку в числовом значении.

Из события «вытащен черный шар» следуют два возможных содержимых урны. Мы можем предположить, что оба варианта равновероятны (50% вероятности у каждого), однако применение теоремы Байеса увеличивает до 60 % вероятность того, что это первая урна, и снижает до 40 % вероятность того, что это вторая. Априори вероятности были равны (50 и 50%), а на основании наблюдений, апостериори, составили 60 и 40%. И это действительно так: поскольку первая урна содержит больше черных шаров, чем вторая, более вероятно, что шар был вытащен из первой урны.

Лапласу, как и Байесу, эта теорема позволила извлечь из опыта уроки и даже узаконить индукцию. Так, Лаплас вслед за графом де Бюффоном подсчитал вероятность того, что Солнце взойдет завтра, на основании количества дней подряд, когда оно уже восходило. Применяя теорему Байеса, Лаплас пришел к знаменитому «правилу последовательности».

«Для события, происходящего подряд п раз, вероятность того, что оно произойдет еще раз, равна (п + 1) / (п + 2).

Правило последовательности Лапласа

ТЕОРЕМА БАЙЕСА

Эта теорема позволяет определить вероятность какого-либо события при условии, что произошло другое статистически взаимозависимое с ним событие. Вероятность события равна дроби, числитель которой является произведением вероятности события и вероятности связанного с ним события (причины), а знаменатель — суммой произведений вероятности события, учитывая каждую из причин, умноженную на вероятность каждой из причин. Эта формулировка, больше похожая на упражнение в дикции, имеет очень точное символическое выражение, которое можно найти в любом школьном учебнике:

где Р(Аi I B) — это апостериорная вероятность (то есть вероятность причины известного события), Р(В I Аi) — вероятность события, причину которого предполагают, и Р(Аi) — априорная вероятность (она предшествует любой информации о событии). Благодаря формуле Байеса априорные вероятности могут быть вычислены апостериори; иначе говоря, мы можем принимать решения, основываясь на опыте.

Если предположить, что Солнце встает каждое утро в течение 5 тысяч лет, то есть 1826213 дней (Лаплас именно таким полагал возраст Земли), то вероятность того, что оно встанет на следующий день, равна 1826214/1826215 (*99,9999%). Однако — на основании этого правила — чем дольше живет человек, тем больше вероятность того, что он продолжит жить. В 80 лет он будет иметь больше шансов прожить следующий день, чем в 20, а это абсурд. Байес, Лаплас и другие сторонники байесовской теории столкнулись со сложностью определения априорных вероятностей. В приведенном выше примере кажется справедливым предположить, что содержимое двух урн, в принципе, равновероятно, то есть составляет 50%. Но в некоторых ситуациях не всегда можно присвоить событиям одинаковую вероятность или рассчитать ее, исходя из имеющейся информации о каждом событии (субъективная вероятность). Можно ли определить вероятность объективно, например благодаря индукции определить ее как приблизительное значение частоты, опираясь на теорию Бернулли? Этот горячий научный спор, который вдохновил Лапласа, не завершен до сих пор: математики и философы и сегодня спорят о правильности различных подходов.

В 1780 году Лаплас представил «Мемуар о вероятностях», в котором усовершенствовал свой анализ этого вопроса. Ученый начал с того, что подчеркнул возможность определения вероятности тремя различными способами: априори, то есть посредством логических заключений; апостериори, то есть исходя из опыта; и третьим способом, очень близким к первому, который посредством умозаключений позволяет нам судить о степени вероятности будущего события. Первым способом мы можем установить равную вероятность при соперничестве между двумя игроками (каждый имеет 50 % шансов на победу). Благодаря второму способу мы можем определить вероятность выигрыша для каждого игрока исходя из результата предыдущих партий (если первый игрок выиграл семь партий из десяти, вероятность его выигрыша равна 70%). Наконец, при помощи третьего способа, если мы знаем, что первый игрок играет лучше второго, то можем предположить, что у него 80 % шансов на победу. В первом случае, говоря словами Лапласа, мы определили «абсолютную» вероятность (сегодня мы говорим «логическую вероятность»); во втором — «приблизительную» вероятность (объективную), а в третьем — «относительную» вероятность наших знаний и надежды. Также Лаплас определил различие между шансом и вероятностью. В его детерминистской философской концепции шанс по своей природе не имеет отношений к реальности. Учитывая, что все события имеют свои причины, шанс — это лишь выражение нашего незнания о причинах события. Вероятность — более подходящий способ описания нашего незнания причин, определяющих события.

В основе теории вероятностей — только здравый смысл, сведенный до исчисления; эта теория позволяет нам оценить с точностью то, что острые умы чувствуют своим инстинктом, находящимся вне времени и неспособным считать.

Пьер-Симон де Лаплас

Лаплас не ограничился анализом вероятностей, а также взял на себя труд доказать их пользу для статистики и демографии. В своей работе он анализировал вероятности того, какого пола родится ребенок. Лаплас опирался на данные приходских книг для определения априорных вероятностей, необходимых, чтобы применить теорему Байеса. Ученый сделал вывод, что вероятность рождения мальчика немного выше вероятности рождения девочки. По его мнению, можно предугадать, что рождаемость мальчиков в Париже немного превзойдет рождаемость девочек в течение следующих 179 лет. И все это благодаря статистике!

Несмотря на поддержку Кондорсе, применение теории вероятностей в других областях встречало сопротивление: так, сам наставник Лапласа, д’Аламбер, неоднократно выражал сомнения относительно пользы расчета вероятностей. Однако несмотря ни на что Лаплас пошел дальше своих предшественников и не прекратил настаивать на необходимости такого типа выводов для наблюдений и экспериментальных наук, которые идут от следствий к причинам. В этих науках часто известны результаты, а не причины. Байесовское приближение, применяемое к статистическому выводу, стало на рубеже XIX и XX веков одним из инструментов, представленных статистиками Карлом Пирсом (1857-1936), Рональдом Эйльмером Фишером (1890-1962), Эгоном Пирсом (1895-1980, сын Карла) и Ежи Нейманом (1894-1981). Эти четверо математиков, увлеченные генетикой, евгеникой и биологией, критиковали Байеса и разработали современные статистические методы. И все же именно благодаря Лапласу статистика перестала быть описательной наукой и превратилась в дисциплину индуктивную и моделирующую будущее. Так в ряду математических дисциплин зажглась новая звезда.

ОШИБКА Д’АЛАМБЕРА

Д’Аламбер написал для Энциклопедии статью о вероятностях, хотя, в отличие от Кондорсе и Лапласа, он был критически настроен к этому понятию. В статье д’Аламбер допустил ошибку, рассчитав вероятность выпадения орла и решки путем подбрасывания двух монет. Он утверждал, что вероятность равна 1/3, то есть существует только один благоприятный результат (одна монетка ложится орлом, а вторая — решкой) из трех возможных (два орла, две решки, орел и решка). Он не учитывал возможность получения орла и решки двумя разными способами: орел и решка и решка и орел. Таким образом, реальная вероятность — 2/4, или два благоприятных исхода из четырех возможных. Лаплас не упустил возможности указать своему наставнику на ошибку!

ПРАВИЛО ЛАПЛАСА

Теория вероятностей, предложенная Лапласом, опирается на знаменитое правило Лапласа, определяющее вероятность какого-либо события. Оно сформулировано в научном исследовании, датируемом 1774 годом. Бернулли и Муавр в своих работах ранее предложили более или менее похожие определения.

Вероятность (какого-либо события) — это количество благоприятных исходов, разделенное на количество возможных исходов.

Правило Лапласа

Так, вероятность события выражается цифрой от 0 до 1.

Когда вероятность равна 1, это означает, что событие произойдет обязательно. Когда вероятность равна 0, мы говорим о невозможном событии. Приведем пример: если одна урна содержит 7 шаров, из которых 5 белых и 2 черных, вероятность вытащить черный шар, по знаменитому правилу, равна 2/7 (~ 29%); у нас есть 2 черных шара (2 благоприятных исхода) на 7 шаров, лежащих в урне.

Правило Лапласа предполагает, что все исходы, благоприятные или возможные, имеют одинаковую вероятность.

В ситуациях, когда один исход имеет большую или меньшую вероятность, чем другие, возможно определить вероятность события, применяя правило сумм, также сформулированное Лапласом: если событие может произойти двумя различными способами (или больше, чем двумя), несовместимыми один с другим, то вероятность — это сумма вероятностей всех благоприятных исходов. Например, вероятность вытащить туз или короля в колоде из 32 карт — это сумма вероятности вытащить туз (которая равна 4/32, так как в колоде 4 туза) и вероятности вытащить короля (также 4/32): 4/32 + 4/32 = 8/32 (=25 %).

Однако событие, вероятность которого мы хотим рассчитать, иногда может быть составным. В этом случае необходимо применить не правило Лапласа, а правило произведения, которое мы также находим у Лапласа: если для появления события А нужно, чтобы в одно и то же время произошли два других события, В и С, то вероятность события А равна произведению вероятности события В, умноженной на вероятность события С, при условии, что событие В уже произошло. Это формулу мы знаем сегодня как формулу условных вероятностей. Например, вероятность, что выпадет 6, если мы бросаем одну кость, равна 1 /6. Какова вероятность получить сразу две 6? На основании правила умножения необходимо умножить вероятность выпадения первой 6(1 /6) на вероятность выпадения второй 6 (также 1/6, поскольку эти два события не зависят друг от друга): 1/6 х 1/6 = (1/6)² = 1/36 (-2,8%).

РАЗДЕЛЕНИЕ СТАВОК

Шевалье де Мере описывает следующую ситуацию: игроки А и В играют друг против друга, и каждый ставит 32 золотые монеты, то есть всего 64 монеты, которые заберет первый игрок, выигравший три партии. Однако они вынуждены прервать игру. Как следует разделить выигрыш, если один из них победил в двух партиях, а второй — только в одной? Ошибочное решение для этой задачи нашел Лука Пачоли в XV веке. Он предложил игрокам разделить деньги исходя из количества побед: так как они сыграли три партии и игрок А выиграл две из них, а игрок В — только одну, А должен забрать 2/3 денег, а В — 1/3. Однако Кардано доказал, что это неверное решение, потому что оно не учитывает количество партий, которое каждый игрок должен был выиграть, чтобы забрать весь банк.

Истина одна

Решение нашли Паскаль и Ферма — каждый своим способом. «Я вижу, — писал первый второму, — что истина одна и та же в Тулузе и Париже».

Предположим, что А и В в одинаковой степени ловки в игре (в каждой партии вероятность, что один выиграет у другого, равна 1/2); вероятность, что А выиграет третью партию у В, — 3/4, так как есть два возможных исхода: либо он выиграет с первой попытки (с вероятностью 1/2, финальный счет тогда 3:1), либо со второй (вероятность 1/2 х 1/2 = 1/4, финальный счет 3:2). Сумма вероятностей этих двух исходов — 3/4. Напротив, вероятность того, что В выиграет, — лишь 1/4, поскольку ему для этого необходимо выиграть два раза подряд (1/2 х 1/2 = 1/4). Таким образом, следует разделить монеты следующим образом: 3/4 для А (48 монет) и 1/4 — для В (16 монет). Впоследствии Лаплас обобщает эту задачу исходя из гипотезы, что два игрока играют по-разному.

Схема различных возможностей завершить игру.

«АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ»(1812)

Первая публикация этого позднего труда — Лапласу было уже 62 года — состоялась в 1782 году. Работа была посвящена Наполеону. Автор подчеркивал, что расчет вероятностей применялся «к самым важным жизненным вопросам, которые по большей части являются лишь задачами вероятности». Наполеон в ответ назвал теорию вероятностей «первой из наук». Лаплас в течение десятилетий полностью посвятил себя небесной механике, но потом он вновь взялся за свои прежние труды о вероятностях и отправил в издательство научный трактат на эту тему.

РИС.1

РИС. 2

Как гласило название, Лаплас стремился предложить аналитическую теорию вероятностей, то есть установить связь между анализом и расчетом вероятностей — двумя дисциплинами, тогда еще полностью разделенными.

Важен тот факт, что в своей книге Лаплас исследовал центральную предельную теорему, имеющую решающее значение для статистики и теории вероятностей. В своем труде от 1773 года он изучал увлекательный вопрос, связанный с определением реального положения звезды на основании серии наблюдений. Здесь недостаточно применить арифметический метод, ведь необходимо доказать, что выбранное значение минимизирует погрешность, то есть разницу между реальным и наблюдаемым явлениями. Лаплас интерпретировал эту проблему, рассматривая фактическое положение звезды в качестве причины наблюдаемых положений, и предположил, что погрешности зависят от случая. Искусно используя теорему Байеса, ученый пришел к выводу, что возможно начертить кривую, которая представляла бы распределение погрешностей вокруг истинного значения. Кривая является симметричной и нисходящей, исходит из центрального значения; чем больше мы удаляемся от этой точки, тем больше вероятность, что мы допускаем погрешность измерения. Чем ближе мы к вершине кривой, тем больше вероятность того, что мы ближе к фактическому значению. Решая дифференциальное уравнение, Лаплас сделал вывод, что кривая распределения погрешностей (рисунок 1, страница 136) выражается экспоненциальной функцией:

φ(x) = (e-|x|)/2.

Лаплас не первый определил нормальное распределение, равно как и экспоненциальную функцию (хотя и выраженную с помощью другой формулы). Она была введена Муавром в начале XVIII века. Обычная кривая распределения погрешностей связана с методом наименьших квадратов (рисунок 2, страница 136), цель которого — представление полученных данных в виде кривой, а также минимизация погрешностей метода. Лежандр представил этот метод в 1805 году в труде «Новые методы для определения орбит комет». Кроме этого молодой математик по имени Карл Фридрих Гаусс утверждал, будто он первым использовал этот метод в 1801 году, что спровоцировало ожесточенный спор между двумя математиками, каждый из которых отстаивал свое право на авторство открытия.

Гаусс первым рассчитал орбиту планеты Церера, открытой в начале XIX века, 1 января 1801 года. Немецкий ученый проанализировал серию наблюдений Цереры, предположил, как проходит ее орбита, и предсказал, где эта малая планета появится снова. Ученый использовал собственный метод — метод наименьших квадратов, который тщательно описал в своем дневнике. Он позволяет построить траекторию на основании совокупности точек и минимизировать при этом сумму квадратов погрешностей, то есть различие между наблюдаемыми и реальными значениями.

В 1809 году Гаусс триумфально вошел в мир астрономии со своим трудом «Теория движения небесных тел». В нем он устанавливал связь между методом наименьших квадратов и теорией погрешностей, доказывая, что распределение погрешностей может быть проанализировано с помощью этого метода. В действительности однажды, определяя кривую, которая позволяла минимизировать среднюю квадратичную погрешность, Гаусс заметил, что погрешности приближенного значения распределяются случайным образом вокруг среднего значения. Это симметричное распределение в виде купола было не чем иным, как кривой Гаусса (рисунок 3, ниже). Она может быть выражена в виде функции:

φ(x) = 1/(√2π) · e-x/2.

Как мы можем заметить, график функции, использованной Лапласом, достаточно близок к кривой Гаусса. Это нормальное распределение, описанное кривой в форме купола, было рассмотрено в качестве универсального распределения погрешностей, что-то вроде естественного закона. Однако выражением «нормальный закон» мы обязаны Адольфу Кетле (1796-1874), который ввел концепцию «среднего человека», и Фрэнсису Гальтону (1822-1911), кузену Чарльза Дарвина. Оба ученых неоднократно применяли этот закон к своим социальным исследованиям и сделали вывод, что большинство природных характеристик распределяется «нормальным образом» и большинство людей имеют средний рост.

Труды Гаусса вдохновили Лапласа к написанию «Аналитической теории вероятностей». Он изложил некоторые открытия немецкого математика в области вероятностей, среди прочего метод наименьших квадратов- и нормальное распределение, что позволило ему разработать центральную предельную теорему: если данное значение является результатом суммы большого количества переменных, описанных с определенной погрешностью, оно тяготеет к нормальному распределению независимо от распределения каждого отдельного слагаемого. Иными словами, эта теорема подтверждает, что при некоторых достаточно общих условиях можно моделировать исследуемую характеристику, как если она распределена нормальным образом. Мы не можем предсказать индивидуальное поведение одной переменной или одного индивидуума, но можем предвидеть среднее поведение населения. Этот результат статистической регулярности, проявление закона больших чисел, был для Лапласа еще одним математическим доказательством стабильности Вселенной.

РИС.З

Наконец, «Аналитическая теория вероятностей» представляет длинный список способов ее применения в астрономии и геодезии (с использованием теории погрешностей), в статистике и демографии (ожидаемая продолжительность жизни) и даже в юриспруденции (электоральная математика). В труде упоминается достаточно любопытный результат: согласно расчетам Лапласа искоренение ветряной оспы во Франции позволило бы увеличить вероятную продолжительность жизни на три года.

Объединение расчета вероятностей Лапласа, статистики и анализа позволило разработать современную теорию вероятностей, которая сыграла особую роль в последующие столетия. Однако сама по себе «Аналитическая теория вероятностей» осталась неоцененной, и большое количество открытий Лапласа были заново доказаны в середине XIX века. Теория вероятностей, рассматриваемая под углом анализа, согласно концепции Лапласа, просуществовала до 1933 года, когда советский математик Андрей Колмогоров (1903-1987) подтвердил метод, включив его в теорию измерения. Он предложил ряд аксиом, которые повторяли фундаментальные предчувствия, сформулированные в классическом определении теории вероятностей, в частности правило Лапласа, применяемое к равновероятным случаям, формулу Бернулли для повторяющихся явлений. Субъективная интерпретация вероятностей (степень уверенности в суждении или проверяемости событий, различных для каждого индивидуума) была сформулирована в 1937 году итальянским статистиком Бруно де Финетти (1906-1985) и распространена Леонардом Джимми Сэвиджем (1917-1971) в 1954 году. Последний вновь обнародовал теорию Байеса, в которую Лаплас сделал большой вклад.

ПАРИ ПАСКАЛЯ

Блез Паскаль (1623-1662) применял метод вероятностей для принятия решений в области теологии. Рассуждал он следующим образом: Бог либо существует, либо нет. Если Его не существует, то верить или не верить — не имеет значения. Но если Бог существует, то вера в Него ведет к спасению и вечной жизни. Так как спасение предпочтительнее, чем проклятие (ожидаемый выигрыш очень важен), разумный человек будет действовать так, как если бы Бог существовал. Даже если вероятность существования Бога крайне мала, она будет компенсирована огромным выигрышем, который представляет собой вечная жизнь. Используя термины вероятностей: если не верить в Бога, надежда выиграть нулевая, а если в Него верить, то положительная (слабая вероятность существования Бога компенсируется бесконечным выигрышем).

Обманчивый довод

В своем «Опыте философии теории вероятностей» Лаплас выражал сомнения относительно пари Паскаля, подчеркивая, что его довод обманчив. По мнению Лапласа, надежда, следующая из веры, является не позитивной, а нулевой, потому что вероятность существования Бога крайне мала, и когда ее умножают на бесконечный выигрыш веры, получают не положительную величину, а рассеивающуюся (0 х ∞ = 0). Эти заявления вызвали обсуждения в математической среде, в частности уважаемые математики и католики Огюстен Луи Коши и Паоло Руффини выступили против применения вероятностей в современных науках.

«ОПЫТ ФИЛОСОФИИ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ»(1814)

В этой работе, которая пользовалась большим успехом, Лаплас освещал те же темы, что и на втором уроке в Нормальной школе в 1795 году. Изначально текст был опубликован в качестве введения ко второму изданию «Аналитической теории вероятностей», но очень скоро, в 1814 году, он вышел отдельно. В работе были представлены основные принципы и самые важные результаты теории вероятностей. Как и в «Изложении системы мира», Лаплас стремился популяризовать теорию, поскольку, по его мнению, все сферы жизни и все проблемы касались понятия вероятности. Привлекательность «Опыта...» в том и состоит, что эта работа предлагает примеры применения вероятностей в политике и морали. И правда, если этот метод оказался так эффективен в естественных науках, почему бы его не использовать в гуманитарных? Сам того не ведая, Лаплас дал сильный импульс развитию социальных наук.

Труд начинается с исследования вероятности свидетельских показаний. Представим, что какой-либо факт был передан нам по цепочке из 20 свидетелей; первый рассказал его второму, тот — третьему и так далее. Если вероятность, что каждый свидетель передаст информацию без изменений, равна 9/10 (то есть 90%, это достаточно много), то вероятность, что факт будет сообщен нам без изменений, напротив, лишь (9/10)20 25 0,12 (и это довольно мало). Таким образом, только 12% — вероятность того, что информация дойдет до наших ушей без искажений.

Затем Лаплас занялся вопросами выборов, решений ассамблей и судебных приговоров. Он сравнил процессы принятия решений с извлечением шара из урны, предположив, что белые шары представляют справедливые решения, а черные — несправедливые. Используя сложные расчеты, ученый определил вероятность ошибки в вердикте суда исходя из количества судей, его составляющих, и количества голосов, необходимых для вынесения приговора.

Теория вероятностей послужила Лапласу даже в анализе возможного существования Бога...

Картина Луи Леопольда Буальи(1761- 1845) 1804 года, которая представляет Жана-Антуана Гудона в своей мастерской в ходе работы над бюстом Лапласа.

Портрет Томаса Байеса, его единственное известное нам изображение.

Портрет Лапласа в одежде канцлера Сената кисти Паулина Герена (1783- 1855).

ВЕРА АТЕИСТА ЛАПЛАСА

Лаплас не переставал отстаивать свой детерминизм, и это часто подчеркивали научные историки и философы. Выражение «демон (или гений) Лапласа» указывает на существование высшего разума, которое математик предположил в известном отрывке с первых страниц «Аналитической теории вероятностей» и в «Опыте философии теории вероятностей». Эта концепция была не нова. Лаплас присоединился к ней 40 лет назад и нашел в ней философскую опору для научной деятельности. В действительности все «философы-геометры» рассматривали существование высшего существа или высшего разума, даже если называли себя атеистами (за исключением искренне верующего Эйлера). Кондорсе предложил гипотетическую ситуацию, которую Лаплас через много лет припомнил и популяризировал, введя гипотезу абсолютного и всесильного разума, расположившегося на вершине математического анализа. Впервые эта концепция у Лапласа появилась в статье 1776 года, а в более развернутом виде мы можем видеть это кредо на первых страницах «Опыта философии теории вероятностей» (1814):

«Мы можем рассматривать настоящее состояние Вселенной как следствие его прошлого и причину его будущего. Разум, которому в каждый определенный момент времени были бы известны все силы, приводящие природу в движение, и положение всех тел, из которых она состоит, будь он также достаточно обширен, чтобы подвергнуть эти данные анализу, смог бы объять единым законом движение величайших тел Вселенной и мельчайшего атома; для такого разума ничего не было бы неясного, и будущее существовало бы в его глазах точно так же, как прошлое. Человеческий ум в совершенстве, которое он сумел придать астрономии, дает нам представление о слабом наброске этого разума. Его открытия в механике и геометрии в соединении с открытием всемирного тяготения сделали его способным понимать под одними и теми же аналитическими выражениями прошлые и будущие состояния системы мира».

В этом заключалась идеология Лапласа. Все в небе и на земле подчиняется небольшому количеству естественных законов. В «Изложении системы мира» ученый писал: «Все происходящее так же необходимо, как смена сезонов». «Кривая, описанная простой молекулой воздуха или пара, управляется таким же образом, как и орбиты планет», — добавил он позже. В сфере небесной механики мечта о высшем Разуме стала реальностью. Когда мы вновь опускаемся на Землю, незнание причин событий мешает нам формулировать утверждения с той же степенью уверенности. Учитывая невозможность знать абсолютно все, человек компенсирует этот пробел, определяя различные степени вероятности. Как следствие, именно слабости человеческого ума мы обязаны одной из самых искусных и продуманных математических дисциплин, науке шансов или вероятностей, в которой шанс есть не что иное, как мера нашего незнания причин.

Так как Вселенная детерминирована, все события связаны условиями причинности; возможность прогнозирования относится не только к небесным явлениям, но и к земным. Так, земные события могут быть предсказаны лишь с точки зрения вероятности. Лаплас стал настоящим первооткрывателем, потому что придумал новую отрасль математики, которая относится не только к играм и гипотетическим урнам, а также к расчету научных погрешностей, статистике и даже к философской причинности.

Сегодня, спустя два века, мы знаем, что Лаплас был прав, заставляя думать о важных плодах науки о вероятностях. Но также мы знаем, что он ошибался, полагая, будто мечта о высшем разуме уже почти стала реальностью в области небесной механики. Ньютонова вселенная казалась примером прекрасно придуманного часового механизма: все в нем было предопределено, поэтому можно было, точно зная причины, определить последствия. Но, как мы уже увидели в главе 2, в сердце мировой системы зарождался хаос...

Механика и законы физики в действительности намного богаче, чем мог представить Лаплас. Он был твердо убежден, что детерминистская система, следовавшая законам Ньютона, была предсказуемой. Однако, как вскоре доказал Пуанкаре, даже система, соответствующая классической физике, может стать хаотичной. Одним из самых революционных последствий теории хаоса является опровержение уравнения «детерминизм = = предсказуемость», за которое выступал Лаплас. В 1908 году в «Науке и Методе» Анри Пуанкаре написал:

«Если бы мы знали точно законы природы и состояние Вселенной в начальный момент, то могли бы точно предсказать состояние Вселенной в любой последующий момент. Но даже и в том случае, если бы законы природы не представляли собой никакой тайны, мы могли бы знать первоначальное состояние только приближенно. Если это нам позволяет предвидеть дальнейшее ее состояние с тем же приближением, то это все, что нам нужно. Мы говорим, что явление было предвидено, что оно управляется законами. Но дело не всегда обстоит так; иногда небольшая разница в первоначальном состоянии вызывает большое различие в окончательном явлении. Небольшая погрешность в первом вызвала бы огромную ошибку в последнем. Предсказание становится невозможным...»

Даже при очень точном знании законов маленькая погрешность в измерении или расчете помешала бы демону Лапласа предсказать будущее системы мира через некоторый промежуток времени. Слова Пуанкаре символизируют победу хаоса над этим всемогущим демоном.

ГЛАВА 6 Угасание звезды

После краха Наполеона и возвращения Бурбонов Лаплас прошел путь от графа и сенатора до маркиза и пэра Франции. При реставрации монархии он продолжал играть роль лидера французской науки, как он это делал во время Республики и Империи. Он основал школу, объединяющую физиков и математиков, принципы которой базируются на двух фундаментальных опорах — математизации и механизации природы.

Лаплас работал до самого последнего момента, оставив нам богатейшее научное наследие.

Вершину наполеоновского великолепия ознаменовал 1810 год, но российская военная кампания и поражение армии в партизанской войне в Испании ускорили крах Империи. В конце марта 1814 года вражеская армия приближалась к Парижу В этой неопределенной ситуации Лаплас предпочел покинуть столицу Когда Талейран договаривался с победителями о мире, 2 апреля Сенат в отсутствие Лапласа проголосовал за лишение Наполеона I власти. Двумя днями позже, вернувшись в Париж, Лаплас поставил свою подпись под этим решением. Наполеон отрекся от власти и удалился на остров Эльба 6 апреля.

На трон Франции был посажен Людовик XVIII, брат Людовика XVI. Лаплас не был больше канцлером Сената, но приветствовал короля в Париже от имени этого учреждения. Как видите, математик спокойно пережил Французскую революцию, годы правления Наполеона и успел вовремя его предать. Возможно, оправдать Лапласа можно тем, что отношения между ним и Наполеоном к тому времени ухудшились. По словам химика Жана Антуана Шапталя, Наполеон, увольняя Лапласа с должности министра внутренних дел, заметил: «О, я вижу, вы похудели». Ученый ответил: «Сир, я только что потерял единственную дочь, которая умерла при родах». «Но это не повод для потери веса. Вы математик, сформулируйте это в уравнении и увидите, что нужно прибавить, чтобы найти ноль», — предложил ему император.

В первые же дни Реставрации вернувшиеся на трон Бурбоны провозгласили довольно либеральную Конституцию, которая оставляла в силе некоторые положения гражданского кодекса Наполеона. В марте 1815 года Наполеону удалось покинуть остров Эльба и двинуться на Париж — начались знаменитые Сто дней. Лаплас вновь покинул столицу, а Монж и Карно поспешили вернуть свои должности. Фурье сначала не выражал поддержки Наполеону, но потом все же встал на его сторону. В июне 1815 года Наполеон потерпел поражение от Веллингтона при Ватерлоо и был окончательно выслан на остров Святой Елены.

Возвращение Людовика XVIII в июле 1815 года положило начало репрессиям, которые проявились в чистке бонапартистских ученых. Монж был изгнан из Политехнической школы и Института Франции, образованного вместо Академии наук. Место Монжа занял преданный роялист Огюстен Луи Коши (1789-1857), отец современного анализа. Некоторые коллеги не простили Коши этого и перестали с ним общаться.

Верность Лапласа Бурбонам была щедро вознаграждена: математик был титулован пэром Франции, то есть членом палаты пэров, нового Сената, а также в 1817 году получил титул маркиза. Поэтому не стоит удивляться тому, что взяв в руки издание «Аналитической теории вероятностей» 1820 года, вы не найдете в нем ни одного теплого слова о Наполеоне. Также вполне естественно, что в 1826 году Лаплас отказался подписать бумагу, в которой Институт выступал против введения Карлом X цензуры произведений печати. Лаплас, как настоящий хамелеон, смог пройти путь от пылкого республиканца до преданного монархиста. Стоит ли обвинять ученого в карьеризме и умении держать нос по ветру? Он был прежде всего прагматиком и использовал любую возможность остаться на вершине науки.

ШКОЛА ЛАПЛАСА

В 1806 году Лаплас, уставший от столичного шума, приобрел маленький замок в Аркейле, недалеко от Парижа, и поселился там вместе с семьей. Живший неподалеку химик Бертолле обустроил в своем доме библиотеку и лабораторию. Двое ученых начали формировать группу молодых талантов. Именно в лаборатории Бертолле родилось знаменитое Аркейльское научное общество, которое объединило талантливых физиков и математиков эпохи и задавало тон французской науке в ближайшие десятилетия.

В предыдущем 1805 году Лаплас завершил вступление к четвертому тому «Небесной механики» словами: «Мне нечего добавить». После этого он полностью посвятил себя вероятностям и сделал настоящий прорыв в математизации физических дисциплин, которые прежде описывались лишь количественно и с помощью метафизических размышлений. Ученый попытался достичь в этой области таких же вершин, как и в астрономии. Применение геометрии в оптике не было новым, но оно до сих пор не рассматривалось с математической точки зрения. Лаплас занялся исследованиями капиллярности (феномена, когда жидкости могут подниматься в капиллярных трубках на большую высоту), звука, тепла и так далее. Все эти работы были объединены в томе V «Небесной механики» (1825).

В главе 2 мы показали, что смелые открытия Галилея и Ньютона объединили небо и Землю после почти 20-вековой разобщенности. Учитывая это, мечта Лапласа также имела право на существование: он хотел не только заниматься небесной механикой, но и детально развивать механику «земную». Лаплас предложил идею, уже упомянутую в «Изложении системы мира»: силы взаимодействия молекул обратно пропорциональны расстоянию между молекулами. Таким образом, они управляются законом, аналогичным закону всемирного тяготения Ньютона. Доказательство закона Кулона о взаимодействии между электрическими зарядами укрепило ученого в предположении, что взаимодействие обратно пропорционально квадрату расстояния. Таким образом, речь шла о расширении ньютоновой программы на изучение света, тепла, электричества, магнетизма и химических связей, следуя размышлениям о взаимодействиях на микроуровне, которые английский ученый исследовал в своей «Оптике» (вопрос 31).

Желание все объяснить с помощью притяжения и отталкивания историки науки называют механико-молекулярной физикой Лапласа. Согласно его идеям мир логичен и гармоничен, а законы физики, установленные с помощью нашего восприятия, распространяют свое действие на последние бастионы материи, которые подчиняются некоторой математической логике. Все физические феномены можно свести к материальным силам и взаимодействию движущихся частиц. Этот механический редукционизм неотделим от формулировки детерминизма Лапласа, которую мы рассмотрели в предыдущей главе.

С 1805 по 1820 год программа Лапласа доминировала во французской физике благодаря авторитету ученого. В число членов Аркейльского общества вошли Гей-Люссак (1778— 1850), Ампер (1775-1836), Малу (1775-1812), Био, путешественник и натуралист Александр фон Гумбольдт (1769-1859) и, конечно, Пуассон, верный последователь Лапласа. Коши и Араго (1786-1853) также приняли участие в его работе, пока между Араго и Пуассоном неожиданно не вспыхнула враждебность.

Физика Лапласа пользовалась успехом и оказала решающее влияние на французскую науку XIX века, однако сегодня ее положения устарели и нуждаются в корректировке. Следует учитывать, что Лаплас и его последователи не восприняли теорию тепла Фурье и теорию света Френеля (1788-1827). В поиске ответа на некоторые вопросы, важные для развития физики, Лаплас шел по ложному пути.

Фурье разработал свою теорию распространения тепла, не опираясь на исследования Лапласа. В течение многих лет он размышлял о том, какой математический метод мог бы объяснить распространение тепла, не противореча одной из популярных в ту эпоху гипотез: тепло — это флюид, распределенный во всей природе (по мнению Лапласа), либо это результат движения материальных частиц. Когда в 1807 году Фурье представил свое исследование, Лагранж, который вместе с Лапласом и Лежандром должен был его оценить, раскритиковал работу и отклонил ее из-за найденных неточностей.

ЗАКОН КУЛОНА

В 1785 году инженер и член академии Шарль Огюстен де Кулон (1736-1806) смог измерить силу электрического взаимодействия между двумя заряженными частицами. Это взаимодействие прямо пропорционально произведению модулей зарядов и обратно пропорционально квадрату расстояния между ними — как мы можем констатировать, этот закон проводит определенные параллели с законом всемирного тяготения. В своем эксперименте Кулон использовал любопытный прибор — крутильные весы, измерявшие силу притяжения или отталкивания между электрическими зарядами.

Крутильные весы Кулона.

Крутильные весы

Прибор предназначен для измерения малых сил или моментов сил. Он представляет собой деревянное основание, на котором находится стеклянный цилиндр с входящей в него длинной трубкой. По окружности цилиндра располагается градусная шкала. Из трубки в цилиндр свисает серебряная нить, на ее конце закреплен горизонтальный рычаг, на концах которого — проводящие шарики. Через отверстие в цилиндр вводят маленький шарике некоторым зарядом. Весы измеряют угол вращения рычага на кончике нити в результате притяжения или отталкивания между заряженным шариком и шариками, установленными на концах рычага. На основании наблюдений можно сделать вывод об интенсивности взаимодействия, вызванного электрическим зарядом. В честь своего открывателя единица электрического заряда получила название Кулон.

К счастью, ученый проявил настойчивость и в 1811 году представил исправленную работу на конкурс за премию, которую Институт присуждал в 1812 году. Читая его работу, Лагранж, входивший в жюри, вдруг вскочил со своего места и воскликнул: «Это невозможно, невозможно!» Фурье все-таки получил премию благодаря физическим результатам, но его научное исследование не было опубликовано из-за математических ошибок. Труд вышел в свет только в 1822 году. Лагранж к тому времени уже умер, и Фурье благодаря поддержке Лапласа был назначен постоянным секретарем Королевской Академии наук. Наконец он смог напечатать знаменитое уравнение, фигурирующее в его «Аналитической теории тепла».

ФУРЬЕ, УВЛЕЧЕННЫЙ МАТЕМАТИК

Жан-Батист Жозеф Фурье (1768- 1830), сын скромного портного, хотел стать военным инженером, но получил отказ из-за незнатного происхождения. Он быстро прославился как блестящий преподаватель математики, философии, истории и риторики.

В году III (по революционному календарю) Фурье был выдвинут своим округом на обучение в Нормальной школе.

Здесь его быстро заметил Монж и сделал своим ассистентом в Политехнической школе. Фурье, прекрасный физик и математик, стал другом Наполеона и сопровождал его в египетской кампании. По возвращении он получил назначение на пост префекта Гренобля и осушил болота для уничтожения болотной лихорадки. Фурье был твердо убежден в том, что жара пустыни — идеальный климат для здоровой жизни. На основании этой идеи он носил несколько слоев одежды и работал в сильно натопленной комнате. Умер Фурье в 1830 году в возрасте 62 лет.

Хотя Лаплас и опровергал подход Фурье, привязанный к старой тепловой теории, благодаря своей прозорливости он смог оценить математический потенциал тригонометрических рядов (или рядов Фурье) по сравнению с обычными рядами.

Развитие Френелем волновой теории света, явно противоречащей корпускулярной теории, принятой в Аркейльской школе, говорит о том, что программа Лапласа утратила монолитность. Френель представил свою работу Академии в 1815 году, но награду получил только в 1819-м. В отличие от Ньютона, который рассматривал свет как поток частиц, этот инженер выдвинул предположение о том, что свет имеет волновую природу — вслед за Гюйгенсом. Астроном Франсуа Араго, работавший над преломлением света под руководством Лапласа, также выступил в поддержку волновой концепции, которая раскрывала некоторые феномены преломления, необъяснимого в рамках корпускулярной теории. К великому удивлению и огорчению Био и Пуассона, Френель получил в 1819 году премию Академии. Небольшая группа противников Лапласа объединилась вокруг агрессивно настроенного Араго, который стремился определять научную политику страны. Он приложил много сил для защиты волновой теории света Френеля от последователей Лапласа.

Аркейльское научное общество регулярно собиралось между 1806 и 1813 годами, но в 1814 году наметился раскол. Между 1815 и 1820 годами его научное влияние падало все сильнее. После смерти Бертолле в 1822 году авторитет Лапласа также пошатнулся. Хотя ученый никогда не терял уважения публики, одержимость определенной математической моделью и воинствующее ньютонианство помешали ему понять важность новых открытий в области физики.

НАСЛЕДИЕ ФРАНЦУЗСКОГО НЬЮТОНА

Не так уж и просто описать столь разностороннего человека, как Лаплас. Современники характеризовали его как серьезного, напористого карьериста, многие подчеркивали его высокомерие.

Его атеистические заявления вызывали осуждение в обществе. Лаплас стремился навязать свое мнение в любой дискуссии, он часто пользовался чужими идеями и смешивал их со своими, не указывая авторства. Эта привычка осталась с ним навсегда: в молодости он так поступал с Эйлером и Лагранжем, позже — «позаимствовал» у Лежандра полиномы и, наконец, взял у Байеса его теорию. Лаплас был похож на лису, которая заметала хвостом собственные следы.

Это самый грубый и недоброжелательный человек из всех, кого я знал.

Астроном Лаланд о Лапласе

Имена Лапласа и Лагранжа часто звучат рядом, но эти двое совсем не были похожи друг на друга. Первый — хвастливый и часто грубый, второй — скромный и скрупулезный. Лаплас придумал новые математические методы, которые гениально применил к изучению природы, но никогда не старался точно их описать. Для Лапласа математика была способом, а не самоцелью. Помимо уточнения расчетов он блестяще проводил операции с математическими выражениями. Иногда его захватывали и расчеты, и тогда он в течение долгих часов решал множество дифференциальных уравнений, вычислял приближения, записывал формулы. В области чистой математики Лагранж всегда затмевал Лапласа, но в прикладной математике, физике и политической деятельности Лапласу не было равных.

Часто, столкнувшись в исследованиях с математической задачей, Лаплас решал ее на скорую руку, в спешке, и не утруждался тем, чтобы записать полный ход рассуждений. Нафанаил Боудич (1773-1838), американский моряк и астроном, который перевел на английский язык и прокомментировал четыре из пяти томов «Небесной механики», отмечал: каждый раз, когда он встречал выражение «легко видеть, что...», то понимал — его ждут часы напряженного труда.

Однако все недостатки Лапласа не должны затмевать его гениальность. С публикацией «Начал» Ньютона в 1687 году начался новый этап в истории физики и вообще в науке. Именно на этих принципах был построен мир. Принято считать, что ньютонова физика завершила новое описание природы, но это не так. Три математика — Эйлер, Лагранж и Лаплас — разделили между собой вселенную, открытую Ньютоном. Они начали изучать области, которые до сих пор считались непостижимыми, и окончательно доказали, что все неясности и загадки в движениях небесных тел управляются одним принципом, одним законом. Речь идет, как вы уже догадались, о законе всемирного тяготения. Эта работа принесла ученым широкую известность. До Лапласа считалось, что Солнечная система обречена потерять Сатурн и больше никогда не увидеть этой планеты с прекрасными кольцами. А Юпитер — этот гигант, рядом с которым Земля кажется крошечной, — должен был слиться с раскаленной материей Солнца. Да и спутник наших ночей Луна должна была столкнуться с Землей. Лаплас доказал, что система мира устойчива и в ней можно ожидать очень небольших изменений, но никак не грандиозных катастроф.

Наконец, Пьер-Симон Лаплас был одним из величайших последователей Ньютона, он всеми силами защищал своего кумира. Лаплас никогда не был революционером в науке, в отличие от самого Ньютона или, позже, Эйнштейна. Он никогда не подвергал сомнению воспринятые им основы. Но это совсем не означает, что ученый не сделал великих открытий: ему принадлежат уравнение Лапласа, периодические неравенства Юпитера, Сатурна и Луны, обоснование устойчивости системы мира, гипотеза газовой туманности, аналитическая теория вероятностей, правило Лапласа, основы статистического вывода, преобразование и так далее. Не стоит забывать и о его решающем вкладе в утверждение метрической системы или философскую защиту детерминизма. Эти достижения по плечу далеко не всем! Открытия, носящие его имя, и по сей день, два века спустя, остаются в числе важных научных инструментов. Так что уважение, которое потомки питают к Лапласу, вполне обоснованно. В его честь назван лунный кратер, его имя внесено в список 72 величайших ученых Франции, помещенный на первом этаже Эйфелевой башни.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА

Большинство математиков, физиков и инженеров вспоминают о французском ученом каждый раз, когда используют преобразование Лапласа для решения дифференциальных уравнений. Несмотря на то что сходную идею выдвигал и Эйлер, именно Лапласу принадлежит точная формулировка, опубликованная в серии научных исследований между 1782 и 1785 годом. Его метод состоит в преобразовании дифференциального уравнения в алгебраическое, которое решить намного легче. Открытие получило распространение только в конце XIX века: инженер-электрик Оливер Хэвисайд (1850-1925) предложил тип операционного исчисления для решения дифференциальных уравнений, используя это преобразование. Особую популярность таблицы с преобразованиями Лапласа приобрели в годы Второй мировой войны: их использовали в радарных наблюдениях. Вне всяких сомнений, Лаплас, всегда внимательный к потребностям государства, был бы горд.

Лаплас оставил не только научное, но и социальное наследие. Отпечаток его деятельности несут научная политика и философия науки. В этой книге мы постарались набросать картину богатейшей эпохи, в которой ему выпало жить. Мы узнали о множестве выдающихся ученых (д’Аламбер, Кондорсе, Лавуазье, Карно, Лежандр, Лагранж, Монж, Фурье и другие), присутствовавших при рождении современной политики и науки.

Лаплас последовательно был подданным короля, гражданином Республики, министром, сенатором, графом наполеоновской Империи и маркизом реставрированной монархии Бурбонов. Он всегда сохранял прекрасные отношения с властью, поэтому смена режимов во Франции никогда не мешала его личным достижениям или реализации научных проектов. Можно утверждать, что Лаплас был последним натурфилософом и первым современным ученым. Он увидел природу исключительно сквозь призму математики и исключил любое возвращение науки к метафизике.

В середине XIX века, в 1840-х годах, Уильям Уэвелл (1794-1866) ввел в широкий обиход термин научный деятель (scientist), но впервые это выражение появилось не у него. Первым, кто квалифицировал ученых как «научных деятелей», насмешливо ссылаясь на проект измерения Земли для создания единой системы мер и весов, был кровожадный Жан- Поль Марат. Лаплас жил между этими двумя мирами и играл ведущую роль в революционном процессе, в результате которого ученые XVIII века стали научными деятелями XIX века. Первые были приверженцами старого режима, вторые склонялись к новому обществу, возникшему из пламени революции, в которой они служили уже не королю, а нации. На науку была возложена новая роль — общественное служение: как ради образования, так и для решения социальных проблем. Новая политика, одним из создателей которой был Лаплас, требовала научного профессионализма.

Людовик XVIII спасает Францию. Луи- Филипп Крепен (1772-1851).

Наполеон на острове Святой Елены. Франсуа Жозеф Сандманн (1803-1856).

Вначале Лаплас был похоронен на парижском кладбище Пер- Лашез, но в 1888 году его прах перевезли в мавзолей (фото) Сен- Жюльен-де- Майок в Нижней Нормандии.

Также, несомненно, герой этой книги был первым позитивистом. Благодаря Лапласу наука о небе — небесная механика — получила привилегированный статус, потому как стало возможным выразить ее на языке математики и с большой точностью прогнозировать будущее. Именно эта наука благодаря импульсу, полученному от Лапласа, позволила создать методологический инструментарий современной науки, рожденной Французской революцией. Для Лапласа небесная механика представляла парадигму науки, модель, которая должна определить методы научного исследования. Рецепт прост: нужно рассчитать и предсказать. К земному миру можно применить те же методы, что и к небесному. Это настоящий урок позитивизма! В каком-то смысле Лаплас стал предшественником Огюста Конта (1798-1857), философа XIX века, для которого механическая астрономия была первой из научных дисциплин, зеркалом, в котором должны отражаться другие науки. Убежденный в универсальности и могуществе математики, Лаплас бросился завоевывать многие неизведанные до того времени области, включая теорию вероятностей, статистику, демографию, электоральную математику, теорию распространения тепла и так далее. Благодаря упорству и настойчивости он смог выковать удивительную идею о том, что математика лежит в основе всех знаний и любого действия. Эта концепция справедлива и в наши дни.

ПОСЛЕДНИЕ ГОДЫ

Март 1823 года ознаменовался 50-летней годовщиной принятия Лапласа в члены Академии. Торжественная церемония в честь великого основателя французской науки была организована 24 апреля. Из академиков, которые принимали Лапласа в 1773 году, мало кто остался в живых. Кондорсе, Лавуазье и Байи стали жертвами революции. В 1813 году умер Лагранж, в 1818-м — Монж, в 1822-м — Деламбре и Бертолле. Один Лежандр, большой враг Лапласа, был еще рядом с ним.

Лаплас не прекращал интеллектуальную деятельность почти до самой смерти, несмотря на многочисленные проблемы со здоровьем. В это время он начал интересоваться биографией Ньютона, которым так восхищался и с которым его постоянно сравнивали. Лаплас пытался понять, что заставило этого британца покинуть науку, заняться теологией и отвести Богу центральную роль в системе мира. Он, Ньютон революционной и наполеоновской Франции, напротив, представил Вселенную полностью детерминистской.

Холодным февральским днем 1827 года после работы в Бюро долгот Лаплас вернулся домой больным. Лихорадка заставила его лечь в постель, и на следующий день его состояние ухудшилось. Он больше не поднимался.

В субботу, 3 марта, Лаплас все-таки набрался сил и принял визитеров. Пуассон подвел к своему наставнику Бувара: «Господин Лаплас, — сказал он,— вот ваш хороший друг Бувар, его расчеты помогли вам в блестящих открытиях Юпитера и Сатурна, слава о которых сохранится навсегда». Помолчав, Лаплас произнес свои последние слова: «То, что мы знаем, так ничтожно по сравнению с тем, о чем мы не знаем... Человек гонится за химерами». Эти слова напомнили людям, стоявшим у его изголовья, замечание Ньютона: «Я смотрю на себя как на ребенка, который, играя на морском берегу, нашел несколько камешков поглаже и раковин попестрее, чем удавалось другим, в то время как великий океан истины продолжает хранить от меня свои тайны».

Лаплас умер в понедельник 5 марта 1827 года, в 9 часов утра. Ньютон ушел в мир иной 20 марта 1727 года, почти за один век до этого.

Список рекомендуемой литературы

Bell, Е.Т., Los grandes matemáticos, Buenos Aires, Losada, 2010.

Bergasa, J., Laplace, el matemático de los cielos, Madrid, Nivola, 2003.

Boyer, C., Historia de la matemática, Madrid, Alianza Editorial, 2007.

Ferris, T., La aventura del universo, Barcelona, Crítica, 2007.

Gillispie, Ch.C., Pierre-Simon Laplacef 1749-1827: a life in exact science, Princeton UP, 1997.

Kragh, H., Historia de la cosmología, Barcelona, Crítica, 2008.

Laplace, P.S., Ensayo filosófico sobre las probabilidades, Edición de Pilar Castrillo, Madrid, Alianza, 1985.

—: Exposición del Sistema del Mundo, Edición de Javier Ordóñez y Ana Rioja, Barcelona, Crítica, 2006.

Rioja, A. et Ordóñez, J., Teorías del Universo, Vol. III: de Newton a Hubbley Madrid, Síntesis, 2006.

Stewart, L, Historia de las matemáticas, Madrid, Crítica, 2008.

Указатель

Академия наук Парижа 10, 13, 21-22, 32, 35, 40-44, 46, 48, 50, 56, 78, 80-82, 87, 150

«Аналитическая теория вероятностей» 13, 95, 99, 135, 139, 142, 144, 150

Aparo, Франсуа 152, 155

Аркейльское общество 151, 152, 155

Байеса, теория 128, 129, 131, 137

Байес, Томас 127, 128-131, 132, 137, 143, 156

Байи, Жан Сильвен 74, 75, 80, 81, 90, 100, 161

Бернулли, Якоб 124-126, 130, 133, 140

Бертолле, Клод-Жан 66, 90, 97, 98, 101, 102, 151, 155

Био, Жан-Батист 116, 152, 155

Бонапарт, Наполеон 8, 9, 13, 30, 71, 78, 84, 94, 96-104, 135, 136, 149, 150, 154, 159

Бувар, Алексис 116, 162

Бюффон, Жорж-Луи Леклерк 110, 111, 129

Галилей 9, 23, 151

Галлей, Эдмунд 30, 44, 45, 51, 54, 55, 124

Гаусс, Карл Фридрих 138, 139

Гершель, Уильям 46, 47, 112

Гюйгенс, Христиан 124, 155

д’Аламбер, Жан Лерон 9, 13, 15, 21-22, 26, 27, 32, 35, 44, 45, 67, 78, 114, 131, 132, 160

Декарт, Рене 10, 36-39, 40, 45, 61, 110

Деламбр, Жан-Батист 91-93, 101, 116, 162

«Изложение системы мира» 11, 13, 62, 105, 107, 119, 142, 151

Институт Франции 13, 93, 98, 101, 102, 104, 150

калориметр 66, 67

Кант, Иммануил 110, 111, 113, 115

Кардано, Джероламо 123, 134

Карно, Лазар 9, 20, 74, 76-78, 84, 89, 90, 97, 99, 103, 150, 160

Комиссия мер и весов 80-82, 86, 103

Кондорсе, Николя 9, 20, 22, 24, 32, 65, 74, 76, 77, 80, 90, 97, 131, 132, 144, 160, 161

Коши, Огюстен Луи 141, 150, 152

Кулон, Шарль-Огюстен 152, 153

Лавуазье, Антуан Лоран 7, 10, 13, 65-67, 74, 78, 80-82, 90, 151, 158, 160, 161

Лагранж, Жозеф-Луи 15, 23, 26-28, 30, 32, 41-44, 50-52, 56, 59, 67, 74, 76, 80, 81, 85, 88-89, 92, 95, 102, 103, 114, 118, 154-158, 160, 162

Лаланд, Жозеф-Жером 22, 45, 46, 83-86, 156

Лаплас, Пьер-Симон демон 12, 146

уравнение 12, 42, 43, 158

гипотеза 112

правило 11, 12, 133-134, 140, 158

преобразование 12, 158

Лежандр, Адриен Мари 32, 41-44, 74, 76, 85, 92, 103, 117, 138, 154, 156, 161, 162

Лейбниц, Готтфрид 25-27, 37, 57, 59, 78, 118, 126

Лекселль, Андерс Йохан 46

Луна, нерегулярное движение 63

Мере, кавалер 123, 134

метрическая система 9, 11, 86-87, 90, 94, 95, 98, 100, 58

механика небесная 10, 11, 13, 36, 38, 39, 43, 48, 60, 62, 63, 91, 99, 107, 109, 110, 113-117, 137, 145, 151, 157, 161

квантовая 43

Мешен, Пьер 91-93, 101

Монж, Гаспар 9, 32, 68, 74, 76-78, 84, 85, 90, 95-99, 102, 103, 150, 154, 158, 160, 162

Муавр, Абрахам 125, 132, 137

Ньютон, Исаак 7-10, 12, 22, 23, 25-28, 30, 33, 35-40, 43, 45, 47-49, 52, 55, 57-59, 61, 65, 68, 78, 82, 105, 107, 110, 111, 114, 116-120, 126, 146, 151, 152, 156, 158, 162

«Опыт философии теории вероятностей» 11, 13, 95, 142-144

Паскаль, Блез 123, 134, 141

пари 141

планетоиды 47, 109

Пуанкаре, Анри 59, 62, 117, 146

Пуассон, Симеон Дени 42, 116, 125, 152, 155, 162

республиканский календарь 83

уравнение дифференциальное 25, 27-28, 31, 53, 114, 137, 158

линейное 28, 31, 54

нелинейное 31, 54

Уран, открытие 10, 45, 55, 109

Ферма, Пьер 123, 134

Фурье, Жан-Батист 9, 22, 98, 99, 103, 150, 152, 153, 154, 155, 160

хаос 59, 91, 146

центральная предельная теорема 137, 140

Церера, открытие 47, 138

школа Нормальная 13, 85, 95-97, 104, 107, 142, 154

Политехническая 13, 71, 85, 95, 102, 104, 116, 150, 154

Эйлер, Леонард 15, 23, 24, 26-28, 30, 32, 41, 43, 48, 49, 50, 51, 97, 114, 118, 144, 156-158

Эйнштейн, Альберт 8, 9, 10, 55, 117, 158

Юпитер, ускорение 52, 54, 57, 58

Пьер-Симон де Лаплас существенно повлиял на развитие науки и техники в течение XIX века. Он спроектировал научные учреждения новой послереволюционной Франции, и именно его подпись стоит под декретом, который сделал обязательным использование десятичной метрической системы. Этот ученый придал физике Ньютона прочный математический каркас и систематизировал разрозненные результаты зарождающейся дисциплины о теории вероятностей. Моделирование самых различных аспектов действительности убедило Лапласа в том, что все в нашей жизни предопределено: спонтанность и свободная воля, - утверждал он, - всего лишь иллюзия.

Оглавление

Carlos М. Madrid Casado Вселенная работает как часы. Лаплас. Небесная механика.

Введение

ГЛАВА 1 Первые шаги в науке

ГЛАВА 2 Устойчивость системы планет

ГЛАВА 3 Свобода, равенство, математика

ГЛАВА 4 Происхождение Солнечной системы

ГЛАВА 5 Вероятность и детерминизм

ГЛАВА 6 Угасание звезды

Список рекомендуемой литературы

Указатель Fueled by Johannes Gensfleisch zur Laden zum Gutenberg