«Тайная жизнь чисел»

Тайная жизнь чисел (fb2) - Тайная жизнь чисел [Любопытные разделы математики] (Мир математики - 31) 1770K скачать: (fb2) - (epub) - (mobi) - Хоакин Наварро

Хоакин Наварро «Мир математики» № 31 «Тайная жизнь чисел. Любопытные разделы математики»

Предисловие

Математика — музыка разума.

Джеймс Джозеф Сильвестр

Сборники математических анекдотов пользуются определенной популярностью. Чем-то похожа на них и эта книга. Хотя истории, рассказанные в ней, не столь известны, с математической точки зрения они вызывают интерес. Математические анекдоты многим читателям кажутся не особенно смешными — гораздо чаще улыбку может вызвать многое из того, что математики говорят (и делают) с серьезным выражением лица. Порой математические истории вовсе не забавны: в прошлом веке нацистские, коммунистические и прочие тоталитарные режимы вынуждали ученых (просим у читателя извинений за излишний натурализм) вскрывать себе вены, но этот период истории вообще полон черных страниц. Впрочем, математики во все времена шутят не слишком часто, хотя любой специалист по логике мог бы заинтересоваться шутками как языковой аномалией, достойной изучения.

С математиками связаны и некоторые поистине бессмертные истории: образ компьютерного гения Алана Тьюринга, который покончил с собой, откусив отравленное яблоко, словно Белоснежка, не вызывает улыбки. Вспоминается и печальная история женщины-математика Ады Лавлейс, которая умерла от рака, — мать прятала от нее морфий и считала, что дочь своими мучениями искупает земные грехи.

По сравнению с этими историями рассказ о борьбе Годфри Харолда Харди с Богом, бурным морем и гипотезой Римана кажется пустячным.

Во время работы над книгой мы следовали вдоль оси времени, то есть старались изложить истории в хронологическом порядке, от древних к современным. Чтобы структурировать материал, каждую главу мы посвятили конкретной теме. Так, в первой главе мы расскажем истории, связанные с простейшими математическими объектами — числами. Вторая глава посвящена геометрии, третья — историям о математическом анализе (эти разделы математики были наиболее популярны до начала XX века). В четвертой главе собраны занимательные случаи, связанные со всеми остальными математическими дисциплинами и теориями. В пятой и шестой главах мы обратимся к самим математикам, которые — быть может, к своему несчастью — относятся к совершенно особому виду людей. В последней главе изложены факты, не поддающиеся классификации: среди всего прочего, в ней мы расскажем о гороскопах, которые в разные годы привлекали внимание множества людей.

Историк Эрик Темпл Белл считал математику царицей всех наук. Те, кто занимается ею, — в некотором роде особые люди, ведь математика достаточно сложна и требует четкости мышления и порой значительных умственных усилий. Возможно, мир математики кому-то покажется очень скучным, однако скромная цель автора этой книги — посмотреть на знакомую всем историю науки немного под другим углом и, избегая излишней сухости и строгости, заглянуть на ее невидимую сторону.

Глава 1 Числа

Альберт! Перестань указывать Богу, что Ему делать!

Нильс Бор — Альберту Эйнштейну

Вначале были число и фигура. Когда человек попытался овладеть ими, родилась наука, и человек начал познавать окружающий мир. Развитие науки часто сопровождалось забавными, любопытными и даже анекдотичными случаями. Упомянуть их все или даже хотя бы самые известные из них — слишком обширная задача, так что мы остановились только на самых любопытных. Нашей единственной целью было показать читателю земную сторону математики, которую слишком часто считают наукой, недоступной простым смертным.

Великое изобретение

Паламед — персонаж древнегреческой мифологии, упоминаемый в легендах об Агамемноне и Ушссе — героях Троянской войны. Мы говорим о нем потому, что Платон иронично называет его создателем математики. По легенде, Паламед был создателем мер и весов, а также их концептуального выражения — числа. Он изобрел числа — что ни говори, не самое пустяковое открытие. Платон писал о предположительном существовании Паламеда с усмешкой: «Выходит, до того как Агамемнон поговорил с Паламедом, он не знал, сколько у него ног?» Непочтительный Платон был столь же острым на язык, как и его учитель, Сократ, которого даже приговорили к смерти за инакомыслие.

Цена истины

Древние греки считали, что если измерить величину а единицей измерения Ь, то дробь а/Ь будет мерой а. Иными словами, все, что можно измерить, имеет дробную меру, или, говоря современным языком, всякая мера эквивалентна рациональному числу и наоборот. К примеру, если отрезок имеет длину 70 см, а линейка — 20 см, то дробь 70/20 = 7/2 была мерой a, измеренной Ь. Так считали ученики пифагорейской школы. Но Гиппас из Метапонта (V век до н. э.) обнаружил, что измерить диагональ квадрата, выбрав в качестве меры его сторону, невозможно.

Подчеркиваем: не очень сложно, а именно невозможно.

Диагональ квадрата несоизмерима с его стороной.

Если d = a/b, то очевидно, что мы можем выбрать а и Ь так, что они будут взаимно простыми. Достаточно сократить дробь а/b. Теперь рассмотрим самый простой случай — квадрат с единичной стороной. Теорема Пифагора гласит, что d2 = 12 + 12 = 1 + 1 = 2, то есть (а/b)2 = 2, или, если вы предпочитаете иной способ записи, а2 = 2Ь2.

Рассмотрим а подробнее. Если а четное, то b обязательно должно быть нечетным, так как мы предположили, что а и b взаимно простые. Так как а = 2р, предыдущее равенство примет вид (2р)2 = 4р2 = 2b2, следовательно, 2р2 = Ь2, откуда следует, что b2 (а следовательно, и Ь) четное. Но это невозможно, так как мы уже показали, что b должно быть нечетным.

Теперь предположим, что а нечетное. Тогда нечетным будет и a2. Однако а2 = 2Ь2, и это означает, что а2 четное, что противоречит нашей предпосылке. Как видите, получается нечто немыслимое, и первым это доказал пифагореец Гиппас.

Как известно, лучшее, что можно сделать, получив дурную весть, — это убить гонца. Ямвлих Халкидский восемь веков спустя утверждал, что пифагорейцы построили склеп, где должен будет упокоиться тот, кто откроет несоизмеримые величины. Существует несколько версий гибели Гиппаса. В самой милосердной версии он даже не упоминается и говорится лишь о том, что пифагорейцы принесли в жертву сто быков — столь велико было удивление, которое вызывали несоизмеримые величины. Так как пифагорейцы были вегетарианцами, эта гекатомба (что по-гречески и означает «сто быков») кажется возможной, но не слишком вероятной. В другой версии легенды Гиппас всего лишь был изгнан из пифагорейской школы. И в самом жестоком варианте он был сброшен в море с борта корабля. Как бы то ни было, вера пифагорейцев в истинность своего учения оставалась непоколебимой. Лишь Евдокс Книдский, открыв вещественные числа, смог разрешить загадку несоизмеримых величин.

Евангелисты, рыба и число 153

Одно из первых упоминаний о нумерологии в истории западной цивилизации содержится в 21-й главе Евангелия от Иоанна, где рассказывается о чуде в море Тивериадском, свидетелем которому стал Симон Петр, поймавший в сеть за один раз 153 рыбы. Разумеется, это чудо сотворил Иисус Христос.

Число 153 непременно должно обладать какими-то особыми свойствами. Действительно, это треугольное число. Читатель может сосчитать звездочки на рисунке и убедиться, что их действительно 153:

Однако этой причины недостаточно для упоминания в Евангелии. Рассмотрим равенства:

Мы видим, что 1! + 2! + 3! + 4! + 5! = 1 + 2 + 6 + 24 + 120 = 153, как показано на схеме:

Это уже лучше, однако и теперь найдутся неверующие, для которых и этой причины недостаточно, чтобы считать 153 божественным числом. В поисках лучше го решения будем действовать так: поскольку Бог един в трех лицах, рассмотрим любое число, кратное 3, например 1728, возведем все его цифры в третью степень и сложим их:

13 + 73 + 23 + 83 = 864

83 + 63 + 43 = 792

73 + 93 + 23 = 1080

13 + 03 + 83 + 03 = 513

53 + 13 + 33 = 153

Удивительно, что ряд будет заканчиваться числом 153 для любого числа, кратного трем. Что это — чудо или занимательная математика?

Торговцы важнее математиков

Именно так считали в эпоху Возрождения. В 1456 году было изобретено книгопечатание, и путь к знаниям был открыт — для многих, но далеко не для всех, особенно если смотреть в прошлое из нашего благополучного XXI века. Вопреки ожиданиям, первой печатной книгой по математике были не «Начала» Евклида, подлинный памятник античной мудрости, а учебник по элементарной арифметике, отпечатанный в Тревизо под названием L’arte de l’abbacho («Искусство абака»). Автор книги ограничился объяснениями четырех арифметических действий и задачами о справедливом разделе вещей. Книга увидела свет в 1478 году. В ней использовались индоарабские цифры.

Купцы, которые интересовались подобными книгами, одержали верх над мудрецами и мыслителями. Впрочем, науке удалось отыграться: книга «Искусство абака» больше не переиздавалась, в то время как известно о сотнях изданий «Начал» Евклида.

Страница из учебника арифметики, отпечатанного в Тревизо, — первой в истории книги по математике.

Когда закончились буквы

Эта история, в которой сочетаются правда и вымысел, объясняет, почему в аналитической геометрии и в любых книгах по математике неизвестные чаще всего обозначаются буквой х. Начало этой традиции положил Рене Декарт (1596–1650) в своей книге «Геометрия», где обозначал известные числовые величины первыми буквами алфавита (a, b, с, d, …), а неизвестные — последними буквами (х, у, z). Так буква х, которая стоит на первом месте в этой троице, стала синонимом неизвестной величины.

Некоторые полагают, что инициатором такого решения был издатель книги: он заметил, что если литер с другими буквами не хватало, то литер с буквой х всегда было в избытке. Ее печатник и использовал при появлении неизвестной величины.

Как было на самом деле — мы уже не узнаем, но точно можно утверждать, что обозначение, введенное Декартом, сегодня использует весь мир.

Лейбниц и император Китая

Знакомство с двоичной системой счисления для разностороннего мыслителя Готфрида Вильгельма Лейбница (1646–1716) было сродни озарению. Царство единиц и нулей напоминало философский камень, способный превращать железо в золото: оно открывало новые, доселе невиданные горизонты. Единица (подобная Богу) и ноль (ничто) могли объяснить целую Вселенную, а простые 0 и 1 могли порождать любые числа. Это чудо следовало как-то объяснить и применить на практике.

В 1689 году Лейбниц обратился к своему другу, иезуиту Карлу-Филиппу Гримальди, главному придворному математику Китая (в последующие годы они вели весьма интересную переписку). Ученый просил Гримальди использовать все свое влияние и дар убеждения, чтобы, опираясь на новые знания о единице и нуле, убедить императора Кам-хи оставить буддизм и с распростертыми объятиями встретить христианство. Однако император Китая счел, что двоичная система никак не связана с единым Богом и вполне соответствует концепции инь и ян. Он не стал принимать христианство, а двоичная система счисления вернулась в царство арифметики, которое не должна была покидать.

Лейбниц упрямо приписывал полубожественные свойства всем новым математическим понятиям, о которых ему становилось известно. Например, таинственные мнимые числа он считал возвышенными и прекрасными, «амфибиями бытия с небытием».

Несносный ребенок

О детстве Карла Фридриха Гаусса (1777–1855), который был вундеркиндом, обычно рассказывают такую историю. Когда ему было 10 лет, учитель, желая немного передохнуть, дал Гауссу и его одноклассникам задачу, которая заняла бы детей надолго: нужно было найти сумму всех чисел от 1 до 100:

1 + 2 + 3 +… + 98 + 99 + 100.

Спустя несколько минут маленький Гаусс поднялся с места и протянул учителю грифельную доску с ответом: 5050. Как несносный ребенок смог так быстро справиться с задачей? Гаусс заметил, что если записать числа исходного ряда друг под другом справа налево и слева направо,

1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100

100 + 99 + 98 + … + 3 + 2 + 1,

то сумма чисел в каждой паре будет равна:

1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 =… = 98 + 3 = 99 + 2 = 100 + 1 = 101.

Сколько всего таких пар? 100. Так как искомая сумма была в два раза меньше, ответ к задаче таков:

(100·101)/2 = 50·101 = 5050.

Обычно здесь и заканчивается легенда об одаренном ребенке с фантастическими способностями — наверное, для того, чтобы понять ее могли все, даже те, кто далеко отстал от Гаусса по своим способностям.

На самом же деле задача была еще сложнее: учитель предложил ученикам найти сумму первых 100 чисел ряда:

81297 + 81495 + 81693 + … —

каждое слагаемое отличалось от предыдущего на 198. Получить этот результат уже не так просто — выходит, Гаусс был еще умнее, чем гласит легенда.

Ферма и Куммер

В 1847 году французский математик Габриель Ламе (1795–1870) в присутствии множества коллег восторженно объявил, что доказал теорему, известную нам как великая теорема Ферма. При этом Ламе не преминул выразить благодарность вдохновившему его Жозефу Лиувиллю (1809–1882), который присутствовал здесь же.

По словам Ламе, без неоценимой помощи Лиувилля он не смог бы… и прочая, и прочая. В ответ совершенно пораженный Лиувилль обратил внимание собравшихся на одну небольшую деталь: доказательство Ламе было верно тогда и только тогда, когда выполнялось одно условие: целые числа определенного класса (далее мы определим их подробнее), как и обычные целые числа, можно разложить на множители единственным способом. Следует отметить, что в этом сомневались немногие. Ламе попытался найти доказательство для этого недостающего звена, но, к его разочарованию, сделать этого не удалось. Как сказал музыкальный критик об одном из произведений Дебюсси: «Его музыка не слишком шумна, но этот шум крайне неприятен». Ламе терял терпение, не в силах справиться с каким-то пустяком.

Тремя годами ранее немецкий математик Эрнст Куммер (1810–1893) опубликовал в малоизвестном журнале контрпример, в котором показал, что целые числа определенного класса можно разложить на множители не единственным способом. Узнав о попытках Ламе, Куммер поспешил отправить коллеге свой контрпример, и Ламе, лишившись надежды, оставил всякие попытки доказать теорему Ферма.

Сегодня известно, что знаменитые целые числа Ламе образуют так называемое квадратичное поле. Во времена ученого этим числам уделялось не слишком много внимания. Для обычных целых чисел, в частности на множестве

, разложение на множители является единственным (если не делать разницы между 1 и —1). Например,

6 = 2·3 = 2·(—3)·(—1) = (—2)·3·(—1) = (—2)·(—3).

Множителями в этом разложении являются 2 и 3. На множестве 

[√-5] (его элементы — числа вида a + ib√5, где а и b — целые), за исключением 1 и —1, разложить это число на множители можно уже не единственным способом:

6 = 2·3 = (1 + i√5)·(1 — i√5).

К примеру, целое число 6 (если принять, что 1 = —1) можно разложить на множители двумя разными способами.

Как говорится в пословице, нет худа без добра. Куммер начал охоту за доказательством теоремы Ферма, описав идеальные числа, и знаменитая недоказуемая теорема

Не существует тройки целых чисел х, у, z, которые удовлетворяли бы равенству хn  + уn = zn для n > 2

была доказана для 100 первых показателей степени (n  < 100). Оставалось доказать ее для бесконечного множества чисел.

Эрнст Куммер.

Эрнст Куммер не только увлекался нумерологией, но также был ярым патриотом и славился неспособностью запомнить основы элементарной арифметики — обычные таблицы умножения. Когда ему нужно было использовать таблицу умножения в классе, он обращался к ученикам: «Семь на девять будет… эээ …» — тут какой-нибудь ученик, желая напакостить, обычно подсказывал неверный ответ: «Семь на девять будет шестьдесят один». «Нет, нет, шестьдесят девять», — подсказывал другой ученик, присоединяясь к общему веселью. И тогда бедному Куммеру не оставалось ничего другого, как невинно сказать: «Ну же, господа, давайте остановимся на чем-нибудь одном». Но правильный ответ был необходим, и Куммер начинал рассуждать логически. Сколько же будет 7·9? Числа 60, 62, 64, 66 и 68 не подходят, так как они четные, 61 и 67 не подходят, потому что они простые, 65 не подходит потому, что оканчивается на 5 и, следовательно, делится на 5. 69 тоже не подходит, так как очевидно, что оно слишком велико. Остается 63 — таким и должен быть ответ. Следовательно, 7·9 = 63.

1 + 1 = 2 и другие элементарные равенства

Немецкий математик Иоганн Петер Густав Лежён Дирихле (1805–1859) питал к числам особые чувства. Рассказывают, что даже ложась спать, он клал под подушку том «Арифметических исследований» Гаусса. А когда у Дирихле родился первый ребенок, он отправил тестю телеграмму:

2 + 1 = 3.

Яснее выразиться невозможно: раньше их было двое, и вот на свет появился третий. Кроме того, телеграммы в то время были очень дороги, так что послание Дирихле было не только лаконичным, но и дешевым. Он не первым и не последним использовал равенство, вынесенное в заголовок: сам Сократ ломал голову над выражением «1 + 1 = 2», будучи не в силах убедиться в его очевидности. Но что можно ожидать от человека, выбравшего своим девизом фразу «Я знаю только то, что ничего не знаю»?

Австрийский физик и математик Людвиг Больцман (1844–1906) как-то стал героем забавной сцены. Ученый умел быстро выполнять расчеты в уме, поэтому его занятия часто были настоящей пыткой для присутствующих: Больцман пропускал множество действий, так как считал очевидными вычисления, произведенные в уме, и даже не записывал их на доске. На одной из лекций его попросили все же расшифровать ход своих мыслей. Больцман покорно пообещал исправиться и продолжил рассуждения: «Как я уже говорил, поскольку pv = p0v0(1 + at) и так далее, и так далее», — однако по-прежнему ничего не записал. Закончил он свою непонятную лекцию бессмертной фразой: «Я верю, что все сказанное выше будет для вас столь же очевидным, как и то, что один плюс один равно двум». И тут, вспомнив о своем обещании записывать все вычисления, он подошел к девственно чистой доске и записал: «1 + 1 = 2».

Несколько позже Бертран Рассел (1872–1970) и Альфред Норт Уайтхед (1861–1947) удивили весь научный мир, создав на заре XX века (в 1910–1913 годах) невероятно сложный и почти недоступный для понимания трехтомный труд по логике, который, вслед за Ньютоном, назвали «Начала математики». Очевидное для непосвященных равенство «1 + 1 = 2», вынесенное в заголовок этой главы, во втором томе книги приводилось как теорема под номером 54.43, а весь первый том, можно сказать, подготавливал для него почву. Чтобы вы могли оценить всю «увлекательность» «Начал математики», приведем лишь один факт: редакция одной уважаемой газеты учредила премию для того, кто докажет, что прочел всю книгу. Премия так и осталась невостребованной. Какое-то время в редакции теплилась надежда, что хотя бы один из соавторов прочел книгу целиком, но эти ожидания были напрасными: и Уайтхед, и Рассел прочли только лично написанную часть труда.

Фрагмент «Начал математики», в котором приводится строгое доказательство равенства 1 + 1 = 2. Сначала, как иронично указано в тексте (здесь явно слышится шутливый тон Рассела), нужно определить операцию сложения.

Небольшие ошибки

Огюстен Луи Коши (1789–1857) как-то раз получил по почте объемный труд по теории чисел, в котором доказывалось, что диофантово уравнение

x3 + y3 + z3 = t3

не имеет целых решений. Коши, который отличался саркастичным и довольно насмешливым характером, отправил автору трактата письмо, состоявшее из одной строки:

33 + 43 + 53 = 63.

Нечто подобное произошло с прекрасным французским математиком Альфонсом де Полиньяком (1817–1890), известным сегодня как автор гипотезы о простых числах, представляющей собой обобщение гипотезы Гольдбаха. Полиньяк провозгласил:

Любое нечетное число можно представить как сумму степени двойки и простого числа.

Гипотеза не только впечатляла, но и выглядела вполне правдоподобно. Рассмотрим любое число, например 63:

63 = 25 + 31.

Так как 31 простое, то, похоже, гипотеза Полиньяка верна. Прибавим еще один факт: Полиньяк дал понять, что проверил свою гипотезу для всех чисел вплоть до 3000000. Однако, видимо, в его вычисления вкралась ошибка: уже для числа 127 гипотеза не выполняется. Перечислим шесть первых степеней двойки и убедимся в том, что это и в самом деле так:

127 = 21 + 125 = 21 + 5·25;

127 = 22 + 123 = 22 + 3·41;

127 = 23 + 119 = 23 + 7·17;

127 = 24 + 111 = 24 + 3·37;

127 = 25 + 95 = 25 + 5·19;

127 = 26 + 63 = 26 + 3·21.

Однако следующей степенью двойки будет уже 28 = 128 — число, большее 127. Таким образом, несмотря на заявления Полиньяка, его гипотеза не выполняется для числа 127.

Удивительные расчеты

Следующая история произошла на собрании Американского математического общества в октябре 1903 года. Математик Фрэнк Нельсон Коул (1861–1926) должен был выступить с докладом на тему «О разложении больших чисел на множители».

Выступление Коула было не совсем обычным: он поднялся с места, подошел к доске и записал на ней 267—1 — число Мерсенна М67, которое считалось простым. Далее Коул вычислил значение 267 и вычел из него 1. Присутствующие затаили дыхание, а Коул записал на доске еще два числа и вычислил их произведение: 193707721 x 761838257287. Полученное число 147573952589676412927, как и ожидалось, было равно искомому числу М67. Коул развернулся и проследовал на свое место.

Его доклад длился целый час, и за это время ученый не произнес ни слова. Однако аудитория все равно разразилась аплодисментами.

Следует отметить, что в 1903 году еще не существовало ни калькуляторов, ни алгоритмов, которые используются для работы с числами Мерсенна сегодня. По словам Коула, все необходимые расчеты он провел «за три года по воскресеньям».

В честь этого математического подвига Американское математическое общество учредило премию Коула, которая и сегодня остается очень престижной. За поиском простых чисел Мерсенна можно следить в интернете на сайте проекта Great Internet Mersenne Prime Search (). Самым большим простым числом, известным на февраль 2013 года, было М57885161 — действительно большое число, состоящее из 17 425 170 цифр. И еще: М5788М61 начинается с цифры 5. Больше об этом числе — ни слова.

Очень большое число

В математике можно говорить о сколь угодно больших числах — конечных, но очень больших, огромных, колоссальных. В 1938 году девятилетний племянник известного математика Эдварда Казнера (1878–1955) придумал число гугол, которое казалось ему невообразимо большим, практически бесконечным. Милтон Сиротта — так звали племянника — определил гугол как единицу, за которой следует 100 нулей.

В математической нотации это число записывается так:

1 гугол = 10100.

Гугол кажется не слишком впечатляющим — куда больше впечатляет гуголплекс, определяемый как 1, за которым следует гугол нулей:

Долгие годы невинное изобретение Сиротты упоминалось в учебниках математики как любопытная диковинка, пока не появился Google. Этот компьютерный гигант был основан в 1998 году двумя молодыми американскими математиками — Ларри Пейджем (род. 1973) и Сергеем Брином (род. 1973). Сначала проектом компании был только поисковый механизм, который со временем занял важное место в интернете, а затем за ним последовали и другие проекты. Название компании представляет собой один из способов написать слово «гугол». На момент создания Google было проиндексировано всего 24 миллиона интернет-страниц, что достаточно далеко от обещанного гугола, но, как мы знаем, математикам часто присущ оптимизм.

Сага о числе 1729

Число 1729 считается мифическим благодаря известной истории о двух математиках — англичанине Годфри Харолде Харди (1877–1947) и индийце Сринивасе Рамануджане (1887–1920). Харди рассказывал, что как-то раз, навещая Рамануджана в больнице, он, чтобы завести с больным непринужденную беседу, сказал, что приехал на такси с номером 1729 — по словам Харди, это число было «ничем не примечательным». «Вовсе нет, — тут же ответил Рамануджан, — это наименьшее натуральное число, представимое в виде суммы кубов двумя различными способами». И действительно,

1729 = 123 + 13 = 93 + 103.

На доказательство этого утверждения, которое у Рамануджана родилось мгновенно, Харди потратил несколько недель. Позднее число 1729 дало начало целому подразделу теории чисел, который изучает так называемые числа Рамануджана — Харди.

Этот рассказ очень известен и подтвержден документально. Он позволяет понять, как работает ум гениального математика, каким Рамануджан, без сомнений, был. Однако не будем забывать о том, чем эта история закончилась, и здесь не обойтись без упоминаний еще об одном гении из мира математики и физики — о нобелевском лауреате Ричарде Фейнмане (1918–1988).

Как рассказывает сам Фейнман в книге «Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман!», число 1729 помогло ему победить японского продавца счетов, который заявил, что может выполнять действия с числами быстрее всех. Убедившись, что чем сложнее становились вычисления, тем чаще Фейнман выигрывал, японец предложил ему задачу на извлечение кубических корней. Он попросил Фейнмана выбрать число, из которого нужно было извлечь кубический корень — и допустил промашку, потому что Фейнман сразу же выбрал 1729. Это число не вызвало у продавца подозрений, а

что можно с легкостью записать на бумаге и разложить в ряд Тейлора:

Этих членов уже достаточно для того, чтобы получить

Фейнман тут же одержал над продавцом победу. Рамануджан, должно быть, с улыбкой смотрел на это с небес, из нирваны или любого другого места, где он сейчас находится.

Индийская марка, выпущенная в честь Сринивасы Рамануджана — величайшего математика в истории Индии.

Харди, Бог и гипотеза Римана

О выдающемся математике и писателе Годфри Харолде Харди рассказывают множество анекдотов, мы же приведем один из самых известных. Понять всю незаурядность Харди помогает список целей, составленный ученым. Наряду с довольно прозаичными пунктами в нем значилось следующее.

1. Доказать гипотезу Римана.

2. Набрать победное очко в важном крикетном матче.

3. Убить Муссолини.

4. Доказать, что Бога не существует.

О первом желании, с которым связан известный исторический анекдот, мы и расскажем. Однако вначале представим основных действующих лиц:

— Годфри Харолд Харди, прекрасный математик, известный прежде всего тем, что открыл для западного мира удивительного индийца Сринивасу Рамануджана;

— Бог, который не требует представления и которого Харди считал своим личным врагом;

— гипотеза Римана — несомненно, важнейшая гипотеза современной математики, которая по-прежнему остается недоказанной.

Изложим события согласно версии Дьёрдя Пойа (1887–1985), в которой можно оценить способности Харди и проследить за его математическими рассуждениями. Харди возвращался из Дании, где встретился с математиком Харальдом Бором, братом знаменитого физика Нильса Бора. Перед отплытием корабля в Англию погода испортилась, и вероятность того, что корабль попадет в шторм и потерпит крушение, была довольно высока. И тогда Харди отправил Бору открытку со словами: «Я доказал гипотезу Римана». Харди рассуждал следующим образом: если бы корабль утонул, то весь мир благодаря Бору узнал бы, что Харди доказал гипотезу Римана. Но Бог не мог допустить, чтобы его заклятый враг Харди обрел незаслуженную славу, поэтому он не дал бы кораблю утонуть. Таким образом, корабль не мог потерпеть крушение, что и требовалось доказать. Само собой, Харди по воле Бога добрался до Англии без происшествий.

Удивительно, но если путем Харди пойдет обычный человек, то он легко может допустить логическую ошибку. Так, часто рассказывают о некоем статистике, который вычислил вероятность того, что кто-то пронесет на борт самолета бомбу, и после этого стал каждый раз брать с собой в полет бомбу в чемодане. По его словам, вероятность присутствия на борту сразу двух взрывных устройств значительно меньше, чем вероятность присутствия одного. Разумеется, это вовсе не корректный статистический вывод, а обыкновенная наивность.

Очень похожую историю рассказывают о Давиде Гильберте (1862–1943), однако в ней речь идет о теореме (в то время — гипотезе) Ферма. Как-то раз Гильберт сообщил своим коллегам из далекого города, в котором он должен был вступить с докладом, что расскажет об окончательном доказательстве теоремы Ферма. Когда Гильберт долетел до места назначения без происшествий, он прочел блестящий доклад, но ни словом не обмолвился о теореме Ферма. Когда его спросили об этом, он ответил, что упомянул о теореме «на случай, если самолет разобьется». В этой версии о Боге ничего не говорится, но его роль подразумевается.

Ноль и ничто

Во время интервью, которое выдающийся мыслитель Бертран Рассел дал индийскому писателю Разипураму Лаксману (род. 1924), словоохотливый Рассел заметил, что Индия не дала миру ничего: «You indians, have invented absolutely nothing» («Вклад индийцев в науку и культуру равен нулю») — сказал Рассел. Лаксман был ошеломлен: фраза показалась ему не просто невежливой — услышать ее из уст такого джентльмена было попросту немыслимо, к тому же она не соответствовала истине. Однако Лаксман не успел возразить: хитрый Рассел пояснил, что слово nothing, «ничто», следует понимать буквально. Nothing означает «ноль» — именно это имел в виду Рассел. Индийцы изобрели ноль — это и есть их важнейший вклад в науку.

Карикатура из газеты Evening Standard, опубликованная в 1961 году, когда Рассел в очередной раз был заключен в тюрьму за свои политические взгляды, противоречившие тогдашним законам.

Действительно ли все было именно так, доподлинно неизвестно. По всей видимости, стоит предполагать, что ноль изобрели именно индийские математики в VI веке. Они не только открыли способ описать «ничто», но добились значительно большего. Понятие нуля является одним из основных в позиционной системе счисления. Бертран Рассел был нобелевским лауреатом, одним из величайших математиков всех времен, но даже ему не удалось открыть хоть что-то, сопоставимое с нулем — изобретением столь же гениальным, как и колесо.

Удивительный гений

Гениальный венгерский математик Пал Эрдёш (1913–1996) был широко известен — отчасти благодаря экстравагантному характеру, о котором было сложено немало анекдотов, а отчасти — благодаря реальному вкладу в теорию чисел. Эрдёш и вправду был гением: он говорил, что открыл отрицательные числа, когда ему было всего 4 года.

Не рассказывать анекдотов об Эрдёше невозможно. Он, как и Харди, считал Бога своим личным врагом, который скрывает от людей прекраснейшие из теорем, а он, Эрдёш, должен вытягивать их из него силой. Математик утверждал, что самые примечательные образцы этой тайной мудрости изложены в воображаемой книге — сборнике шедевров мысли, и когда ему удавалось доказать какое-то очень красивое утверждение, он восклицал: «Это наверняка должно быть в книге!»

Эрдёш стал живой легендой, а некоторые математические понятия, связанные с ним, прочно вошли в науку, как, например, предложенное в шутку число Эрдёша, которое теперь изучается в теории графов. Число Эрдёша для любого ученого X определяется как наименьшее число Е(Х) такое, что для этого ученого найдется хотя бы один соавтор одной из его статей с числом Эрдёша Е(Х) — 1. Это рекурсивное определение заканчивается, когда мы определяем число Эрдёша, равное О, единственным обладателем которого является сам Эрдёш. Ученый имеет число Эрдёша, равное 1, если он написал статью в соавторстве с самим Эрдёшем. Очевидно, что число Эрдёша, равное 2, имеют те, кто написал статью в соавторстве не с Эрдёшем, а с одним из тех, кто имеет число Эрдёша, равное 1. Те, кто написал статью в соавторстве с ученым X, имеющим число Эрдёша Е(Х) = 2, имеют число Эрдёша, равное 3, и так далее. Тот, кто не связан с этой цепочкой соавторов, имеет бесконечно большое число Эрдёша. Число Эрдёша — это в высшей степени математический способ классификации математиков.

Множество математиков с числом Эрдёша, равным 1, содержит 311 человек. В их число входит знаменитый бейсболист Хэнк Аарон — по совету математика Карла Померанса (род. 1944) Эрдёш оставил ему автограф на бейсбольном мяче во время церемонии вручения степени почетного доктора. Кто-то подсчитал, что 90 % ученых современности имеют число Эрдёша, меньшее или равное 8. Наибольшее известное на сегодняшний день число Эрдёша равно 15. Следует отметить, что старейшим математиком, принадлежащим к этой блестящей компании, является Рихард Дедекинд (1831–1916) с числом Е (Дедекинда) = 7.

«Мой разум открыт» — говорил Пал Эрдёш друзьям, когда стучался в их двери, чтобы погостить у них. С собой ученый брал только чемодан и смену белья, поскольку все остальное — его ум и готовность решать самые запутанные задачи — были при нем всегда. После этой фразы часто звучало и другое его изречение: «Another roof, another proof» («Еще одна крыша, еще одно доказательство»).

Подсказка от Эрдёша

Все, что не было связано с математикой, вызывало у Эрдёша просто мучительную скуку. Как-то раз его пригласили на ужин, и когда ученый убедился, что гости действительно собрались ужинать, а не говорить о математике, то уткнулся носом в тарелку и заснул. Существует еще одна история, рассказанная польско-американским математиком Марком Кацом (1914–1984). Один из семинаров Каца был посвящен теме, не слишком интересной Эрдёшу, и тот благополучно задремал. Однако в какой-то момент Кац зашел в тупик, не в силах решить задачу о делителях числа, и ровно в этот же момент Эрдёш проснулся, словно хищник, почуявший добычу, и тут же погрузился в задачу. Кац еще не закончил говорить, как Эрдёш триумфально вскинул голову: задача была решена.

Числа господина Смита

Эта история началась благодаря Альберту Вилански, который описал новый класс чисел, взяв за основу телефон своего зятя — по крайней мере, именно так изложены события в книгах по теории чисел. У зятя Вилански, некого Гарольда Смита, был номер телефона 4937775. Сумма его цифр равна 42:

4 + 9 + 3 + 7 + 7 + 7 + 5 = 42.

Затем Вилански разложил номер телефона на простые множители:

4937 775 = 3·52·65 837

и записал его без показателей степени, точно так же, как это делают школьники:

4937 775 = 3·5·5·65 837.

Сюрприз! Сумма всех цифр этих чисел вновь равнялась 42:

3 + 5 + 5 + 6 + 5 + 8 + 3 + 7 = 42.

Другой не обратил бы на это внимания, но Вилански испытал настоящее озарение. Так появились числа Смита. Число Смита (мы приведем его определение в десятичной системе счисления, но его можно определить и в любой другой) — это составное число, для которого при разложении на множители и записи в указанном виде сумма цифр исходного числа и сумма цифр его простых сомножителей равны. Изучение чисел Смита оказалось довольно плодотворным, и сегодня этим занимаются сотни и тысячи математиков. Известно, что чисел Смита бесконечно много (недаром это весьма распространенная фамилия в англоязычных странах), бесконечное множество из них является палиндромами, и даже известно одно любопытное число Смита

9·101031(104594 + 3·102297 + 1)1476·103913210,

где R1031 (R означает «репьюнит» от английского «повторяющаяся единица») обозначает целое число, записанное как 1031 единица подряд, или, что аналогично

R1031 = (101031 - 9)/9

На 2010 год это число было наибольшим из известных чисел Смита. Самым примечательным в этом классе является «число зверя» 666, упоминаемое в Откровении Иоанна Богослова:

С другой стороны,

6 + 6 + 6 = 18.

666 = 2·3·3·37;

2 + 3 + 3 + 3 + 7 = 18.

Трепещите, каббалисты и приспешники темных сил! Жаль, что числа Смита имеют столь прозаическое название и обязаны своим появлением на свет телефонному номеру.

Муха

Американский физик и математик венгерского происхождения Джон фон Нейман (1903–1957) благодаря некоторым чертам своего характера также стал героем множества анекдотов. В одном из самых популярных рассказывается о его впечатляющих способностях к вычислениям и любопытной привычке действовать не так, как простые смертные. Задача о двух поездах и мухе стала уже классической, и звучит она так: предположим, что два поезда, А и В, отправляются навстречу друг другу из точек и В соответственно. Допустим, что расстояние между A и В равно 100 км, скорость поездов — 50 км/ч. В момент отправления муха, сидевшая на локомотиве поезда А, летит в точку В со скоростью 75 км/ч. Она летит быстрее, чем движется поезд А, и в конце концов встречается с поездом В. Достигнув поезда В, она сразу же поворачивает обратно и летит в сторону А. Когда она достигает поезда А, она вновь поворачивает обратно и летит в сторону поезда В, и так далее. Полет мухи закончится, когда оба поезда встретятся. Какое расстояние к этому времени пролетит муха? После трудоемких вычислений студент-отличник показал бы, что длина пути равна сумме следующей бесконечной геометрической прогрессии:

Знаменатель прогрессии равен 1/5, а ее сумма равна d = 75 км.

Проницательный неспециалист получит тот же результат, рассуждая следующим образом: поездам A и В встретятся в середине пути, на отметке в 50 км, время в пути составит один час. Следовательно, длительность полета мухи также равна одному часу, а поскольку скорость мухи равна 75 км/ч, то муха в сумме пролетит 75 км. Это решение элементарно, однако подойти к задаче подобным образом способны не все.

Когда один из коллег фон Неймана предложил ему эту задачу для развлечения, ученый незамедлительно дал ответ: «75 км». Коллега был несколько разочарован: «Ну вот, а я надеялся застать тебя врасплох. Ты очень умный, а вот большинство решает эту задачу с помощью суммы ряда». Фон Нейман с удивлением ответил: «А что я, по-твоему, сделал?» Гений среди гениев ни на секунду не задумался о другом решении. Он всего лишь вывел нужный ряд и мгновенно вычислил его сумму. Просто и быстро — если, конечно, вы — фон Нейман.

Западня Ферма

Некоторые известные задачи и простые математические темы попали на киноэкран: математике посвящены, в частности, фильмы «Маленький человек Тейт» (1991), «Куб» (1997), «Мёбиус» (1996), «Пи» (1998), «Энигма» (2001) и многие другие. Однако существует фильм, все действие в котором вращается вокруг математики, — это «Западня Ферма» (2007) режиссеров Луиса Пьедраиты и Родриго Сопеньи. В фильме снимается блестящий актерский ансамбль, а герой Алехо Саураса, молодой специалист с фамилией Галуа (подсказка для внимательного зрителя), играет особую роль — он нашел доказательство гипотезы Гольдбаха. К сожалению, доказательство было украдено, о чем сообщается в начале фильма.

Сюжет фильма полон неожиданных поворотов, один из которых (по всей видимости, он взят из рассказа Эдгара Аллана По) заключается в том, что герои фильма заперты в комнате со сдвигающимися стенами. Эта драматическая история — лишь сюжет фантастического фильма: еще никому не удалось достаточно близко подойти к доказательству гипотезы Гольдбаха. Галуа признает, что его доказательство было ошибочным, однако другой персонаж, по фамилии Гильберт (его роль исполняет Луис Омар), по всей видимости, находит корректное доказательство. К сожалению, Гильберт погибает, а его выкладки оказываются на дне реки. На сегодняшний день гипотеза Гольдбаха по-прежнему не доказана и ждет своего укротителя.

Глава 2 Фигуры

Геометрия — единственная наука, которую Богу угодно было пожаловать человеческому роду.

Томас Гоббс

Циклоиды вместо овец

Те, кто страдает бессонницей, обычно считают овец, чтобы заснуть. Математики богослов Блез Паскаль (1623–1662) нашел для себя другой способ призвать сон. В конце жизни он практически полностью посвятил себя богословию, оставив в стороне науку, которая до того была его основным занятием. При этом Паскаль страдал от бессонницы, которая не отступала, сколько бы овец он ни сосчитал. По всей видимости, недостаток сна стал причиной постоянных головных болей мыслителя, а во времена, когда еще не знали о болеутоляющих, это было настоящим мучением.

Однажды, страдая от бессонницы, Паскаль задумался о геометрии, в частности о циклоидах — кривых, обладавших загадочным очарованием. Головная боль вскоре утихла, и ученый смог заснуть. С тех пор мысли о циклоидах стали для Паскаля безотказным средством против бессонницы и головных болей.

Циклоида определяется механически как траектория фиксированной точки катящейся окружности.

Размышляя об этом любопытном явлении, Паскаль нашел ему лишь одно объяснение — религиозное: Богу, по всей видимости, математика угодна больше, чем что-либо еще. Паскаль даже учредил особую премию для авторов интересных открытий, связанных с циклоидой, а членом жюри назначил известного специалиста Жиля Персонна Роберваля (1602–1675).

Об этом превосходном математике также следует сказать несколько слов. Роберваль обожал циклоиду — кривую, вызвавшую столько жарких споров, что некоторые называли ее Еленой геометрии, имея в виду Елену Троянскую. Роберваль участвовал во многих подобных диспутах по одной причине: должность главы кафедры математики Коллеж де Франс освобождалась каждые три года, и новый глава назначался по результатам конкурса на тему, указанную его предшественником. Естественно, действующий глава кафедры хранил все интересные результаты в тайне, а затем представлял их во время конкурса, в котором обычно одерживал верх, так как имел фору. Но если бы кто-то, кроме него, открыл какую-то секретную теорему и представил ее на суд жюри, разразилась бы настоящая буря. Роберваль возглавлял кафедру 40 лет — достаточно времени, чтобы со всеми перессориться. Однажды его оппонентом был итальянец Торричелли, и Паскаль, который, как и Роберваль, был французом, встал на сторону соотечественника. Однако позднее было доказано, что Торричелли верно вычислил площадь, ограниченную кривой, и определил метод построения касательных к ней совершенно независимо от вспыльчивого Роберваля.

И в завершение рассказа — снова о Паскале: его отец не воспринимал увлечение сына математикой всерьез, пока тот не сформулировал самостоятельно утверждения, охватывавшие содержание 32 первых теорем «Начал» Евклида. Мальчику в то время было всего девять лет, и после этого отец уступил просьбам сына.

Ускользающий многоугольник

Вундеркинд Карл Фридрих Гаусс в 19 лет обнаружил, какие многоугольники можно построить с помощью циркуля и линейки, а какие — нет. В то время Гаусс колебался между лингвистикой и математикой, поскольку к обеим наукам проявил удивительные способности. Раскрыв тайну многоугольников, он понял, что призван стать геометром, и занялся математикой. Гауссу не пришлось сожалеть о выборе: многие годы он оставался бесспорным лидером в своей области.

Найденный им ответ к задаче о многоугольниках был таким: правильный n-угольник можно построить с помощью циркуля и линейки, если выполняется равенство

n = 2kp1p2·…·pm при k >= 0,

где рi — либо единицы, либо различные простые числа Ферма. Осталось объяснить, какие числа называются числами Ферма. Число Fp называется числом Ферма, если имеет вид

Числа Ферма могут быть простыми или составными:

F6 разложил на множители французский математик Фортюне Ландри в 1880 году. Для последующих Fp вплоть до F11 были найдены способы разложения на множители, но больше простых чисел Ферма обнаружить пока не удалось. Неизвестно, существуют ли они.

Из теоремы следует, что возможно построение правильных n-угольников для

n = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 24 … вплоть до 65537, что соответствует F4.

Здесь мы ненадолго остановимся и укажем, что, по-видимому, существует руководство, описывающее построение правильного 65537-угольника.

В 1894 году немецкий геометр Иоганн Густав Гермес (1846–1912) завершил немыслимое построение, занимающее свыше 200 страниц. Он не смог опубликовать свой труд и передал рукопись Гёттингенскому университету, где она хранится до сих пор и, возможно, будет храниться вечно — ознакомившись с описанием построения, некоторые сомневаются в его правильности. Каким же огромным будет разочарование, если окажется, что Гермес, потратив столько сил (по оценкам британского геометра Гарольда Скотта Макдональда Коксетера, эта работа заняла десять лет), допустил ошибку. Но вряд ли кто-то готов потратить еще десять лет на то, чтобы убедиться в этом.

Настоящий рыцарь

Гаспар Монж (1746–1818) не был рыцарем — он родился и вырос в семье торговцев. Его жизнь была неразрывно связана с Наполеоном Бонапартом — Монж последовал за Наполеоном в Египетский поход и с тех пор не расставался с ним. После смерти Монжа король запретил ученикам Политехнической школы присутствовать на похоронах. Сегодня гроб с телом ученого находится в Пантеоне. Монж был создателем начертательной геометрии и одним из крупнейших специалистов по начертательной и дифференциальной геометрии. О событиях его бурной жизни можно было бы написать целую книгу, но мы изложим всего один эпизод.

В юности Монж вел светский образ жизни. Однажды на приеме он услышал, как один из присутствовавших осыпал проклятиями некую вдову Орбон, которая отвергла его ухаживания. Неудачливый донжуан жаждал мести и обвинял вдову во всех смертных грехах. Галантный Монж не стерпел подобных оскорблений в адрес отсутствовавшей дамы и повздорил с этим господином. Ссора оказалась чрезмерно горячей, и оппоненты даже вызвали друг друга на дуэль, которая, впрочем, не состоялась. Спустя некоторое время Монжа представили одной очаровательной вдове, и он был восхищен ее юностью и красотой. Дама не хотела выходить замуж повторно до тех пор, пока не будут улажены все дела ее покойного мужа. Вы уже, наверное, догадались, что это была не кто иная, как мадам Орбон. Они поженились в 1778 году и, как говорят в сказках, стали жить-поживать и даже добра наживать, так как Наполеон пожаловал Монжу титул графа Пелузского. Современники считали этот брак примером для подражания.

Теорема Наполеона

Возможно, самым безобидным из деяний Наполеона Бонапарта (1769–1821), которое он совершил во время, свободное от принятия законов, покорения империй и планирования битв, было доказательство теорем. Наполеон, математик-любитель, не достиг профессионального уровня только потому, что, как всем известно, занимался несколько другими вещами. Однако он любил окружать себя блестящими математиками и часто беседовал с Фурье, Монжем, Лапласом и многими другими учеными. Возможно, при этом полководец несколько разочаровывал своих генералов, которых интересовало уничтожение противника, а не построения с помощью циркуля и линейки. Рассказывают, что военачальники, присутствовавшие на встречах императора с интеллектуалами, часто засыпали от скуки. Также известно, что Наполеон повелел геометру Лоренцо Маскерони (1750–1800) читать своим маршалам лекции по геометрии.

Приписываемая Наполеону теорема гласит, что если построить на сторонах произвольного треугольника равносторонние треугольники, то их центры определят равносторонний треугольник. Понять эту красивую теорему, которая считается элементарной теоремой геометрии Евклида, поможет рисунок.

Эта теорема, возможно, действительно была предложена в наполеоновскую эпоху, однако ее доказательство, по мнению экспертов, принадлежит не Наполеону. Формулировки этой теоремы с доказательством встречаются у разных авторов, старейшее принадлежит Резерфорду и датируется 1825 годом. Наполеон умер на острове Святой Елены четырьмя годами ранее, так что авторство теоремы вряд ли принадлежит ему. Любопытно, что Резерфорд опубликовал свое доказательство в развлекательном ежегоднике для дам — The Ladies' Diary.

Для теоремы Наполеона в прошлом веке было предложено несколько обобщений: Адриано Барлотти доказал ее уже не для равносторонних треугольников, а для правильных n-угольников.

О ценности вещей

Земли древнего Конго сегодня не вызывают особого интереса. Конго — одна из самых отстающих стран, где не прекращаются всевозможные племенные конфликты.

Эта страна — родина народа бакуба, народа геометров, который известен благодаря своим симметричным узорам. Их можно видеть на поясах и лентах, на масках, платках, на барабанах и даже статуях вождей. Европейцы в начале XX века попытались включить бакуба в список «цивилизованных народов» и, по давнему обычаю, поднесли королю дар — мотоцикл, который был для бакуба настоящим чудом. Однако главное внимание народа привлек не сам мотоцикл, а следы его шин. Бакуба скопировали эти узоры, оставленные протекторами, и король назвал их в свою честь. После такого впору задуматься: чем на самом деле измеряется ценность вещей?

Игры беспокойного разума

Героями кинофильмов стали немногие математики. Наибольшую известность среди них имеет Джон Форбс Нэш, главный герой фильма «Игры разума» (A Beautiful Mind), сошедший с ума в период расцвета творческой деятельности и вновь обретший разум много лет спустя, после вручения Нобелевской премии.

Джон Нэш (род. 1928) был не только нобелевским лауреатом, но и блестящим математиком. Его число Эрдёша равно 4. В книгах по алгебраической геометрии Нэш неизменно упоминается как автор теоремы, носящей его имя, согласно которой всякое риманово многообразие допускает изометрическое вложение в разновидность евклидова пространства. Эта важная теорема была опубликована в журнале «Анналы математики» в 1952 году под заглавием «Вещественные алгебраические многообразия» (Real Algebraic Manifolds). По легенде, настоящим автором статьи был сам редактор журнала, поскольку к тому времени Нэш уже был серьезно болен, и его рукопись напоминала непроходимые джунгли. Поэтому редактор статью переписал, и она была встречена с большим энтузиазмом. Возможно, это всего лишь легенда — симптомы паранойи начали проявляться у Нэша шестью годами позже, в 1958 году, но вообще об этом ученом рассказывают множество историй, которые так и просятся на киноэкран.

Джон Форбс Нэш.

Домохозяйка днем и геометр — ночью

Крайне редко бывает так, что простая домохозяйка в промежутках между варкой макарон и вышиванием демонстрирует всем, что ее мозг работает не хуже, чем у знаменитого сыщика Эркюля Пуаро. Но именно это и произошло с уставшей от домашних дел калифорнийской домохозяйкой Марджори Райс (род. 1923), которая всегда любила математику и головоломки. Сначала она помогала детям решать домашние задания по математике, а в конце концов даже специалистов заставила раскрыть рты от изумления. Как-то в руки Марджори попал номер журнала Scientific American, в котором его знаменитый колумнист Мартин Гарднер (1914–2010) объяснял результаты, полученные Кершнером и касающиеся замощения плоскости выпуклыми пятиугольниками. Марджори увлеклась этой задачей и в свободное время за два следующих года нашла четыре принципиально новых замощения плоскости выпуклыми пятиугольниками. Одно из ее решений изображено на рисунке.

Фрагмент найденного Марджори Роуз замощения плоскости пятиугольниками. Оно называется «рыбы»: если изобразить в каждом пятиугольнике узор, показанный сверху, то плоскость будет полностью покрыта рыбами, как на одной из знаменитых гравюр Маурица Корнелиса Эшера.

Это далеко не единственный случай, когда математик-любитель затмевал профессиональных ученых. Как видите, порой официальные титулы значат немного.

Удивительная история гения, который не хотел быть таковым

Об Александре Гротендике (род. 1928), математике немецкого происхождения, которого многие считают французом, написано немало. Его считают настоящим гением алгебраической геометрии, хотя объяснить суть его открытий в этой сфере очень и очень сложно. Гротендик изучал столь абстрактные разделы математики, что даже классифицировать его труды непросто. Он до сих пор жив, но мы говорим о нем в прошедшем времени, потому что математик удалился от мира в 1988 году: он оставил науку и поселился на юге Франции, близ Андорры, в совершенной изоляции от всего мира.

История Гротендика достаточно драматична: по происхождению он был евреем, родители оставили его в детстве, чтобы сражаться в гражданской войне в Испании, потом его отец умер в Аушвице. В биографии математика можно найти странные браки и непримиримую борьбу за мир, он отличался экстремистскими взглядами и выдающимся умом, благодаря которому открывал новые понятия и создавал передовые математические теории. Гротендик стал автором более десятка современных математических понятий с достаточно живописными названиями (схемы, топология и пространства Гротендика, теория детских рисунков, кристаллическая когомология и так далее).

В 1966 году ученый был удостоен Филдсовской премии, но отказался ее принять. В 1988 году ему была присуждена престижная премия Крафорда — аналог Нобелевской премии в дисциплинах, где эта премия не присуждается. Гротендик отказался и от нее. Золотые годы он провел в Институте высших научных исследований близ Парижа и покинул его, едва узнал, что финансирование частично предоставлялось источниками, близкими к вооруженным силам. Один из докторантов Гротендика, Пьер Делинь (род. 1944) в 1978 году был также удостоен Филдсовской премии.

Позднее были опубликованы остросюжетные, хотя и весьма путаные воспоминания ученого, а также несколько его трудов. Все эти книги отличались внушительными размерами. Он редко вступал в личный контакт, предпочитая переписку. Уже более 20 лет нам ничего неизвестно о его новых работах, и нет надежды, что имя Гротендика когда-нибудь промелькнет в новостях — разве что по случаю его кончины. Как жаль, что мы лишились такого ученого!

Тони Блэр и носорог

Как вы уже знаете, некоторые правители, к примеру Наполеон или Имон де Валера, испытывали любовь к математике. Например, экс-президент США Джеймс Гарфилд (1831–1881) во время одного из скучнейших заседаний даже нашел новое доказательство теоремы Пифагора. Однако существуют и политики, взаимоотношения которых с математикой не столь успешны. Известна очень смешная история о Тони Блэре, рассказанная учителем математики в Chorister School, где юный Блэр учился. В ответе к задаче о прямоугольных треугольниках он почему-то упомянул слово «носорог». Блэр признался, что использовал это слово по уважительной причине: «Я бы написал "гиппопотам", но не был уверен, как именно оно пишется, поэтому не захотел огорчать учителя и написал первое более или менее похожее слово, которое пришло в голову». Словом, которое никак не мог вспомнить Блэр, была «гипотенуза». В этот момент Евклид, наверное, перевернулся в гробу.

Путаница между словами «гиппопотам» (англ, hippopotamus) и «гипотенуза» (англ, hypotenuse) стала классической темой математических анекдотов. Мы привели здесь эту историю потому, что она подтверждена документально и в ней рассказывается об известной личности.

Бутылка, у которой нет «внутри» и «снаружи»

Как сказал бы капитан Хэддок, друг героя комиксов Тинтина, у всех бутылок в нашем мире есть «внутри» и «снаружи», и они либо пусты, либо в них что-то налито. Но правильнее было бы сказать «почти у всех», поскольку существуют математические бутылки (бесполезные для Хэддока и потому ему неизвестные), обладающие весьма необычными свойствами. Немецкий математик Феликс Клейн (1849–1925) в 1882 году описал бутылку, у которой, как вы можете видеть, нет ни внутренней, ни наружной части. И выпить из нее нельзя.

Читатель, конечно, может попытаться представить ее себе полной или пустой, но в нашей трехмерной Вселенной такая бутылка, к несчастью, пронзает сама себя, а вот в четырехмерном пространстве — вполне возможна. Со строго геометрической точки зрения, бутылка Клейна — это замкнутая неориентируемая поверхность без границы, которая изучается в топологии наряду со своей сестрой, лентой Мёбиуса.

Анекдотичность этой геометрической диковинки заключена в ее названии, куда вкралась ошибка: изначально на немецком языке бутылка Клейна называлась Kleinsche Flache, то есть «поверхность Клейна». Если кто-то хочет изобразить эту поверхность (для этого достаточно компьютерной программы и принтера), он должен будет построить график следующего уравнения в декартовых координатах:

(x2 + у2 + z2 + 2у — 1)·[(x2 + у2 + z2 — 2y — 1)2 — 8z2] + 16xz(x2 + y2 + z2 — 2y — 1) = 0

Однако даже математики порой ошибаются, и Kleinsche Flache стало писаться как Kleinsche Flasche, что как раз и означает «бутылка Клейна». А поскольку слово «бутылка» тоже довольно точно описывает поверхность Клейна, то это ошибочное название стало в научном мире общепринятым.

Открытие бутылки Клейна предоставило ряд возможностей и для бизнеса: в интернете вы найдете шапки, имеющие форму поверхности Клейна, или ковши для зачерпывания вина, которые представляют собой практически ее копию.

Глава 3 Анализ

А что такое эти флюксии? Скорости исчезающих приращений.

А что такое эти самые исчезающие приращения?

Они не есть ни конечные величины, ни величины бесконечно малые, но они и не нули.

Разве мы не имеем права назвать их призраками исчезнувших величин?

Епископ Джордж Беркли (1685–1753)

Процитированные выше строки взяты из памфлета «Аналитик» (The Analyst, 1734) — прекрасного интеллектуального упражнения англиканского епископа, посвященного «одному неверующему математику» — по-видимому, Беркли имел в виду Эдмунда Галлея (1656–1742), который славился своей недоверчивостью.

В памфлете Беркли выступает против недавно появившегося ньютоновского исчисления, столь обожаемого Галлеем и всем научным миром, возражая им (и небезосновательно), что если они не верят в Бога, поскольку священные тексты им непонятны, то не следует верить и в почти мистические хитросплетения математического анализа.

Прошли годы и даже столетия, доверие к математическому анализу было восстановлено благодаря более строгим и четким, но менее интуитивным определениям. Тем не менее не стоит забывать слова Беркли, превосходного философа-эмпирика (его именем назван знаменитый американский университет). Напротив, следует отдать ему дань уважения за грамотную и обоснованную критику.

Методы, описанные Ньютоном и Лейбницем, открыли множество путей в науке и вместе с тем породили множество анекдотичных ситуаций. Приведем некоторые из них.

Портрет епископа Джорджа Беркли кисти Джона Смайберта.

Гипотезы, теоремы и Ньютон

Очевидно, что гипотеза и теорема — не одно и то же. Гипотеза обретает статус теоремы только после доказательства, однако довольно долго это не учитывалось.

Рассмотрим, например, труды Иоганна Кеплера (1571–1630). Все мы не раз почтительно отзывались о его законах, которые представляют собой эмпирические выводы, основанные на таблицах Тихо Браге (1546–1601). Эти законы можно назвать гениальными, они широко известны в научном мире и точно описывают движение небесных тел, хотя для них не приводится какого-либо математического доказательства. Сегодня, с вершин нашего знания, можно сказать, что это были три блестящие гипотезы, но не три теоремы.

Лишь Исаак Ньютон (1643–1727) через 50 с лишним лет расставил все по своим местам. Именно он, применив элементарные законы дифференциального и интегрального исчисления к механике, вывел три закона Кеплера исходя из фундаментальной гипотезы — закона обратных квадратов, согласно которому два тела притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Раз уж мы заговорили о Ньютоне, который отличался особой мрачностью и неразговорчивостью, то расскажем о нем одну историю (разумеется, апокрифическую), в которой ученый предстает более человечным. У Ньютона была собака по кличке Даймонд (это действительно подтверждается разными источниками), которой он в шутку приписывал способности к математике. Как-то раз в разговоре с Валлисом Ньютон в шутку заметил: «Сегодня до завтрака Даймонд доказал две теоремы». Валлис подыграл ему: «Ваша собака, должно быть, гениальна». Ньютон ответил: «Ну что вы. Одно доказательство содержало ошибку, другое — патологический пример»[1].

Кто платит, тот и заказывает музыку

Как-то раз в 1684 году Эдмунд Галлей, архитектор сэр Кристофер Рен (1632–1723), автор проекта собора Святого Павла в Лондоне, и Роберт Гук (1635–1703), который первым стал использовать термин «клетка», вышли с собрания Королевского общества, зашли в кафе и завели разговор о том, какую форму имеет траектория планеты, притягиваемой Солнцем с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния до центра масс. Рен даже согласился выплатить денежную премию тому, кто решит эту задачу. Гук заявил, что траекторией планеты будет эллипс, но доказательства этому не привел. Участники встречи разошлись по домам.

Вскоре Галлей пришел к Ньютону и между делом поинтересовался, какую же форму будет иметь траектория планеты в этой задаче. «Эллипс», — незамедлительно ответил Ньютон. «Почему вы так уверены в этом?» — удивился Галлей. «Потому, что я это вычислил». Галлей наверняка подскочил от удивления — Ньютон не бросал слов на ветер. Однако он не смог найти доказательство среди бумаг и сделал вычисления повторно. Коротко изложим последующие события. Уступив уговорам Галлея, Ньютон записал свои расчеты, в которых применил закон обратных квадратов, и, слово за слово, через 18 месяцев на свет появились «Математические начала натуральной философии» — труд, сыгравший основную роль в формировании нашей картины мира. В нем Ньютон описал закон всемирного тяготения, закон обратных квадратов, эллиптические орбиты планет, а также заложил основы математического анализа. Некоторые ученые буквально рыдали от восторга, прочтя эту полную мудрости рукопись. Однако у Ньютона не было денег, чтобы оплатить публикацию, так что финансировать издание книги пришлось самому Галлею. Тем более что и родилась она отчасти благодаря его уговорам.

Галлей известен широкой публике тем, что рассчитал орбиту кометы, названной в его честь. Эта комета появляется на звездном небе каждые 75–76 лет, имеет видимую величину 28,2 (в 2003 году) и видна невооруженным глазом. Ученый наблюдал комету в 1682 году и, применив результаты наблюдений, законы механики Ньютона и собственную интуицию, предположил, что именно ее наблюдали Петер Апиан в 1531 году и Иоганн Кеплер в 1607 году. Если эта гипотеза верна, то, согласно расчетам Галлея, в следующий раз комета должна появиться на небе примерно в 1758 году. В 1682 году, Галлей, высказавший свою догадку, был уже немолод, а когда комета появилась в указанном месте точно в назначенное время, он уже был 16 лет как мертв.

Математик и астроном Эдмунд Галлей первым рассчитал орбиту кометы, которая сегодня носит его имя.

Блистательный маркиз

Следующая история доказывает, что деньги и желание пустить пыль в глаза часто идут рука об руку. Все началось со швейцарской семьи Бернулли, которой мы позже посвятим несколько строк, и с маркиза Лопиталя — Гийома Франсуа Антуана де Лопиталя, маркиза де Сен-Мэм и графа де Антрмон (1661–1704). С маркизом произошел постыдный случай, в котором оказались замешаны члены упомянутого семейства Бернулли.

Господин маркиз был прекрасным математиком. Также он был богат и хотел использовать деньги на благо математики и, как язвительно замечает историк Уильям Данэм, на собственное благо, поэтому приобрел у гениального Иоганна Бернулли права на все его открытия. Сегодня это кажется нам возмутительным, однако в то время взгляды были иными. Работы Иоганна Бернулли были опубликованы в 1696 году под заглавием «Анализ бесконечно малых для познания кривых линий». По словам Данэма, единственным, что получил маркиз в результаты сделки с Бернулли, стала эта превосходная книга. В 1704 году, уже после смерти Лопиталя, Бернулли рассказал подлинную историю произошедшего. Хотя ученый и говорил правду, ему мало кто поверил: об интриганстве Бернулли знали все, а сам он имел весьма сомнительную репутацию.

В 1921 году были найдены бумаги, подтверждающие, что Иоганн Бернулли действительно был автором большинства открытий, приписываемых Лопиталю, и до сих пор неясно, стремился ли маркиз к незаслуженной славе: во-первых, Лопиталь и сам был математиком высокого уровня, во-вторых, книга была опубликована без указания авторства, а в-третьих, в предисловии содержится множество благодарностей Иоганну Бернулли. Возможно, господин маркиз всего лишь хотел сделать математическое знание доступным для всех.

Обложка первого издания самой известной книги маркиза Лопиталя.

Теперь настало время сказать несколько слов о семье Бернулли. Старшими Бернулли были братья Якоб (1654–1705) и Иоганн (1667–1748), затем историю семьи знаменитых математиков продолжили сын Иоганна, Даниил (1700–1782), и племянник братьев, Николай Бернулли (1687–1759). На этом история семейства не заканчивается: до 1807 года в истории науки отметились целых девять Бернулли, и все они были выдающимися учеными. Сравниться с Бернулли талантом может разве что семья композиторов Бахов, однако математическое семейство вошло в историю также благодаря непростым родственным отношениям. Некоторые распри среди Бернулли стали просто легендарными, например, ссора Иоганна с собственным сыном Даниилом, у которого он украл часть результатов в области гидродинамики. Вот до чего может довести зависть…

Интеграл мельника

Математики-любители вызывают определенное восхищение у простых людей. Любители редко получают свои удивительные знания обычным путем и часто отличаются необычными способностями, как, например, польский математик Стефан Банах (1892–1945) или индиец Сриниваса Рамануджан — это лишь два примера ученых, не имевших классического образования, но занявших место на математическом Олимпе. Однако королем среди любителей был Пьер Ферма (1601–1665) — юрист, читавший книги по арифметике, поля которых были слишком узки для его поистине чудесных доказательств.

Прекрасным примером ученого-самоучки является также Джордж Грин (1793–1841), который совершенно самостоятельно прошел путь к математической мудрости. Он обладал одним странным для британца качеством: в его время в Англии считалось дурным тоном использовать в математическом анализе нотацию Лейбница вместо нотации Ньютона. Однако Грин мало оглядывался на общественное научное мнение и малопонятной нотации Ньютона предпочитал способ записи Лейбница. Такая независимость его мышления удивляет еще больше, если учесть, что он был простым мельником. Грин, сын разбогатевшего пекаря, до 40 лет не осмеливался поступить в Кембридж, и его насилу удалось уговорить. Именно благодаря его трудам сегодня нам известна теорема Грина (она также независимо от него была сформулирована русским математиком Михаилом Остроградским (1801–1861)), влияние которой прослеживается даже в современном дифференциальном и интегральном исчислении:

Работы Грина позднее позволили ученым добиться значительных успехов даже в квантовой механике — науке, совершенно немыслимой в XIX веке. Из «Небесной механики» Лапласа Грин вывел вполне достойную математическую теорию электричества. В последние годы жизни он часто прикладывался к бутылке. Словом, этот мельник — сегодня в его мельнице находится музей — в обычной жизни, скорее всего, был совершенно простым и довольно приятным человеком.

Одним из результатов практического применения теоремы Грина стало создание планиметра — прибора, позволяющего определить площадь замкнутой фигуры неправильной формы.

Мыльные пленки

Бельгийский физик Жозеф Плато (1801–1883) был большим экспериментатором и получил множество результатов, описывающих персистенцию зрения и принцип действия сетчатки глаза. Он же изобрел фенакистископ. Сегодня изобретения Плато и их производные отошли в область занимательной физики, хотя именно благодаря им стало возможным изобретение кинематографа.

Фенакистископ стал первым прибором, в котором использовалась персистенция — способность глаза запоминать последовательные события. При вращении диска кажется, что фигуры движутся.

Но как это связано с математикой? Плато почти случайно провел эксперименты с маслянистыми жидкостями, в итоге которых родилась теория, описывающая поверхностное натяжение и форму мыльных пленок. Если погрузить криволинейную структуру, представляющую собой контур поверхности (например, изогнутую проволоку), в мыльную пену, то образуется пленка, которая будет поверхностью наименьшей площади, а границей этой поверхности станет проволока. Именно здесь в игру вступает математика: вычислить поверхность наименьшей площади математическими методами — с помощью вариационного исчисления, частных производных высших порядков и так далее — очень сложно или даже невозможно. Чтобы найти физическое решение, достаточно воды и мыла. Таков весьма достойный вклад Плато в математику.

Поверхность наименьшей площади, заключенная между двумя дугами, — это не прямой цилиндр, а катеноид, что доказывает эксперимент с мыльными пленками, изображенный на фотографии.

Жизненный путь Плато полон казусов. В 1829 году ученый наблюдал Солнце невооруженным глазом в течение 25 секунд и ослеп. Этот эксперимент был абсолютной глупостью, и Плато вошел в историю как человек, принесший в жертву науке свое зрение. Согласно более реалистичной версии, экспериментатор ослеп лишь частично, потом его зрение восстановилось, но спустя некоторое время, в 1843 году, он вновь начал терять зрение, в этот раз по неясным причинам, и до самой смерти продолжал научную работу в кромешной тьме.

Открытие Нептуна

Планета Нептун была открыта в 1846 году, и это стало триумфом математических методов вычислений. Можно сказать, что само открытие было совершено задом наперед. Началось все с наблюдения за Ураном — планета все время отклонялась от расчетной орбиты, и объяснить это можно было воздействием на нее неизвестного небесного тела. В истории об открытии Нептуна лицом к лицу сошлись английские и французские ученые, и конфликт выплеснулся далеко за пределы Англии и Франции — поговаривали, что уважаемые мудрецы таскали друг друга за бороды, а серьезные журналы публиковали подстрекательские статьи. Открытие Нептуна приписывается главе Парижской обсерватории Урбену Жану Жозефу Леверье (1811–1877) и юному английскому астроному Джону Кучу Адамсу (1819–1892).

Изначально посчитали, что именно Леверье принадлежит честь открытия Нептуна, а все притязания Адамса — просто подозрительная инсинуация, однако позднее историки подтвердили, что Адамс опередил именитого французского коллегу. Ученые сделали свои открытия независимо друг от друга, их труды были выполнены на самом высоком уровне и содержали обширнейшие и сложнейшие расчеты.

Истории уже известен случай, когда между Англией и Францией разгорелась бескровная война относительно того, кто же был истинным автором математического анализа — Ньютон или Лейбниц. Спор между Леверье и Адамсом стал повторением этого конфликта. В обоих случаях причины для дискуссии отсутствовали, однако жаркие споры, несомненно, куда интереснее объективных поисков истины.

Наиболее забавным эпизодом этой истории стали притязания Леверье: со слов Франсуа Араго (1786–1853), астроном хотел назвать новую планету своим именем, о чем заявил на заседании Французской академии наук. Не стоит и упоминать, что это предложение было отвергнуто почти единогласно, и, как ни настаивали французские ученые, новая планета получила имя древнегреческого бога Нептуна. Сегодня ее символ — стилизованный трезубец.

Французская гравюра XIX века, на которой изображен астроном Адамс (слева), пытающийся подсмотреть в книгу с результатами открытий Леверье.

Здравый смысл и математика

О Томасе Эдисоне (1847–1931) рассказывают тысячи историй, по большей части апокрифических. Однако следующая история подтверждается сразу несколькими надежными источниками. Один из героев этого исторического анекдота — математик из Принстона по имени Аптон, которого Эдисон нанял для работы в своей лаборатории. Не будем забывать, что самоучка Эдисон не получил инженерного образования, поэтому не мог самостоятельно проводить сложные расчеты. Как-то раз Эдисон поручил Аптону вычислить объем лампочки грушевидной формы. Аптон, вооружившись методами интегрального исчисления, с головой ушел в работу. Шли дни, а расчетам не было видно конца. Эдисон потерял терпение и продемонстрировал свою гениальность — он взял колбу от лампочки, наполнил ее водой и передал Аптону со словами: «Измерьте объем воды, и задача будет решена».

Как важно знать ряды Тейлора

Однажды разложение функции в ряд спасло человеку жизнь. Советский физик и математик Игорь Тамм (1895–1971), удостоенный Нобелевской премии по физике 1958 года, был не слишком известен в бурные годы Гражданской войны, которая последовала за Октябрьской революцией. Пытаясь немного пополнить запасы провизии, Тамм покинул сравнительно спокойную Одессу и отправился в ее окрестности. Однако он попал в плен к одной из многочисленных вооруженных банд, и его посчитали переодетым коммунистическим агитатором. Дрожа от страха в ожидании расстрела, Тамм предстал перед главарем банды. Он представился и объяснил: я — всего лишь бедный математик, который ищет пропитание.

По лицу главаря пробежала тень сомнения. «Хорошо, — сказал он — если ты не соврал, то мы сохраним тебе жизнь. Подсчитай-ка, какой будет ошибка, если вместо функции f(x) мы рассмотрим ее разложение в ряд Тейлора до n-го члена».

Вопрос был не слишком трудным, и это подтвердит любой студент-математик, однако из уст бандита, пусть даже главаря банды, он прозвучал совершенно неожиданно. Тамм, трясясь от страха, сделал некоторые расчеты пальцем прямо на пыльном полу. Главарь взглянул на них и сказал: «Точно, не соврал. Что ж, иди». Больше они не встречались. Эта абсолютно реальная история приводится в заметках Георгия Гамова.

«Простой поляк, господин учитель»

Марк Кац (1914–1984) был подлинным светилом теории вероятностей. Мало кому известно, что по происхождению он был поляком. По рассказам самого Каца, как-то раз он столкнулся с не слишком способным учеником. Кац задал вопрос, как ведет себя функция

f(x) = 1/x

на поле комплексных чисел, и ученик с трудом ответил, что это аналитическая функция (это очевидно), которая имеет критическую точку х = 0. «А как называется эта критическая точка?» — спросил Кац. Ученик никак не мог ответить на вопрос, и Кац сжалился над ним. «Посмотрите на меня внимательно и скажите, кто перед вами?» Ученик оживился: «Простой поляк, господин учитель» (на английском это звучало как «А simple pole, sir»). Однако на языке Шекспира pole обозначает не только «поляк», но еще и «полюс».

Это и есть ответ на вопрос Каца: функция f(x) = 1/x имеет полюс в точке х = 0.

Простой полюс.

Глава 4 Все остальное

Статистика — это наука, доказывающая, что если у моего соседа две машины, а у меня — ни одной, то в среднем у каждого из нас по одной машине.

Бернард Шоу

Школьный курс математики охватывает только ее основы — арифметику, геометрию и начала алгебры и анализа. Казалось, что такой школьная программа будет всегда. Однако жить в нашем мире, ничего не зная о статистике, информатике и программировании, очень сложно. Неизвестно, что будут изучать в школах через 50 лет, однако школьная программа будущего наверняка будет отличаться от сегодняшней. Томази ди Лампедуза писал: все должно измениться, чтобы ничего не изменилось. Посмотрим, окажется ли он прав.

Далее мы расскажем о различных любопытных эпизодах из истории математики, которые не укладываются в рамки традиционных дисциплин. Мы поговорим о линейном программировании, астрофизике, гидродинамике, теории множеств и компьютерах. Откроем же двери в будущее.

Нос Тихо Браге

История была благосклонной к Тихо Браге (1546–1601), астроному выдающегося ума, высокомерному наблюдателю, который обладал прекрасным чувством юмора и располагал таким помощником, как Иоганн Кеплер (1571–1630). Страстью Тихо Браге было небо, а точность его наблюдений стала легендарной. Когда Кеплер спустя много лет заметил, что круговые орбиты планет не совсем точно описывают результаты наблюдений Браге, он предпочел поверить своему учителю, и оказался прав — его данные намного точнее описывались эллиптическими орбитами. Время подтвердило правоту Кеплера.

Когда Тихо Браге было 19 лет, он повздорил с юным и знатным дипломатом Мандерупом Парсбергом (1546–1625), о котором история не сохранила почти никаких сведений. Между ними разгорелся спор об эпициклах, обстановка накалилась, и дело закончилось дуэлью. На дуэли Парсберг разрубил Браге нос шпагой.

История гласит, что Браге повелел изготовить два искусственных носа: один из бронзы, другой (предположительно, для торжественных случаев) — из золота и серебра. Единственное неудобство заключалось в том, что когда Браге чихал, нос отваливался.

Тихо Браге не прекращал работать до самой смерти. Долгое время считалось, что он умер от заболевания почек, так как на одном из званых ужинов он выпил много вина, а протокол не позволил ему отлучиться в туалет. В 1996 году его останки были подвергнуты химическому анализу, и в них было обнаружено высокое содержание ртути. Тем не менее последующее исследование, проведенное в 2012 году специалистами из Орхусского университета, ставит версию об отравлении Тихо Браге под сомнение. Какова же истинная причина его смерти? Преступление?..

Прага, могила Тихо Браге.

Шифр Галилея

Вклад в современную науку Галилео Галилея (1564–1642) или Иоганна Кеплера не подлежит сомнениям, однако даже эти ученые порой ошибались. В частности, Галилей, наблюдая в 1610 году планету Сатурн в свой превосходный для того времени телескоп, обратил внимание на странные объекты рядом с Сатурном. Возможно ли, чтобы у планеты были уши? Или что это за «ручки» вокруг Сатурна? Быть может, это спутники? Позднее сам Галилей определил, что видел знаменитые кольца Сатурна.

Чтобы обеспечить себе первенство предполагаемого открытия, в письме Кеплеру Галилей сообщил о нем в зашифрованном виде (точнее говоря, используя логогриф), что было распространенной практикой в то время: логогрифы позволяли изложить мысль так, чтобы ее не понял непосвященный. Галилей написал Кеплеру:

smaismrmilmepoetaleumibunenugttauiras

Разумеется, Кеплер попытался расшифровать сообщение, расставив эту мешанину букв в правильном порядке. Потратив множество сил, Кеплер решил, что Галилей хотел сказать следующее:

Salve umbistineum geminatum Martia proles,

что в переводе приблизительно означает «Возрадуйтесь, два протуберанца, сыны Марса». Легко заметить, что расшифрованное сообщение на одну букву длиннее шифровки, однако Кеплер не придал этому значения, так как полученный текст соответствовал результатам его собственных наблюдений. Как и следовало ожидать (иначе не было бы этой истории), Кеплер расшифровал сообщение неверно. В действительности Галилей хотел сказать вот что:

Altissimum planetam tergeminum observavi.

В переводе это означает: «Я наблюдал, что самая высокая планета имеет форму цифры 3». Самой высокой планетой в то время назывался Сатурн. Между вариантами Кеплера и Галилея лежит пропасть, из чего следует, что каждый расшифровал сообщение так, как ему хотелось.

Многогранный космос

Астроном, математик и астролог Иоганн Кеплер был сыном своего времени и сочетал в себе мечтательность, способность к научным прозрениям и средневековую невежественность. Одной из самых странных и вместе с тем наиболее известных фантазий Кеплера была концепция, согласно которой на орбитах планет в зависимости от их размера построены вписанные и описанные правильные многогранники.

Кеплер развил эту идею в своей книге «Тайна мира». На ее иллюстрациях изображены правильные многоугольники, также называемые Платоновыми телами.

Эти фигуры, столь обожаемые Кеплером и подробно им изученные, были описаны еще Платоном в античные времена. Платон наделил правильные многогранники магическими свойствами: каждый многогранник с треугольными или квадратными гранями (тетраэдр, октаэдр, икосаэдр и гексаэдр, или куб) отождествлялся с одним из четырех основных элементов: землей, воздухом, огнем и водой. Додекаэдр — многогранник с двенадцатью пятиугольными гранями — отождествлялся с так называемой квинтэссенцией, веществом, из которого состояли небесные тела. Сегодня знаменитая квинтэссенция, или пятый элемент, осталась лишь в сказках, а додекаэдр считается всего лишь еще одним многогранником.

Однако в 2003 году была опубликована статья астрофизика (и — отчасти — мистика) Жан-Пьера Люмине (род. 1951), которая вновь пробудила интерес к додекаэдру. Данные, полученные спутником WMAP (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe), по мнению Люмине и его группы, указывают, что пространство имеет положительную кривизну и с точки зрения топологии представляет собой додекаэдр Пуанкаре. В двухмерном пространстве (наши органы чувств воспринимают его как трехмерное) эту фигуру можно представить как сферу, поверхность которой вымощена двенадцатью пятиугольниками. Несколько лет спустя гипотеза Люмине была поставлена под сомнение, однако в остальном она не менее прекрасна, чем гипотеза Кеплера.

Статистик и лавочник

Ученые в большинстве своем сходятся во мнении, что основателем статистики является англичанин Джон Граунт (1620–1674). Каждое утро Граунт посвящал скрупулезной работе: он сводил в таблицы данные о смертности и причины смертей, которые каждую неделю брал у церковных служителей. Возможно, чтобы как-то скрасить мрачную картину, Граунт фиксировал и сведения о рождаемости. На основе частичных данных он получил более общие результаты. Славу британцу принесла брошюра под названием «Естественные и политические наблюдения над списками умерших» (Natural and Political Observations Made upon the Bills of Mortality), опубликованная в 1662 году.

Почему Граунт работал по утрам? Да потому, что он был простым лавочником и ежедневно должен был появляться в галантерейном магазине. То, что лавочник вел двойную жизнь, было настолько неслыханным, что его королевское величество Карл II даже издал указ, разрешавший торговцам впредь заниматься подобными делами, даже если они не вполне соответствуют их основному занятию. Граунт был избран членом Лондонского королевского общества в 1662 году — в тот же год, когда была опубликована его книга. Общество в то время было сравнительно немногочисленным и еще не страдало от бюрократии. Кроме того, немалую поддержку Граунту оказал королевский указ.

Невезучий астроном

Мы расскажем о Гийоме Жозефе Гиацинте Жан-Батисте Лежантиле (1725–1792), на долю которого выпало столь же много невзгод, сколь длинным и пышным было его имя. Не будем рассказывать о его злоключениях очень подробно: они слишком печальны и, кроме того, стали темой для пьесы и оперы.

Несчастья Лежантиля начались с попытки решить простую астрономическую задачу об измерении расстояния от Земли до Солнца на основе параллакса Венеры.

При наблюдении прохождения Венеры по диску Солнца из удаленных друг от друга точек земной поверхности можно увидеть, что относительное положение Венеры в зависимости от выбранных точек будет различаться, и это различие тем больше, чем дальше друг от друга располагаются наблюдатели. Примерно в 1760 году была организована группа для проведения необходимых наблюдений. Следует отметить, что из-за особенностей взаимного расположения планет транзит Венеры по диску Солнца наблюдается с интервалом, порой превышающим сто лет. Однако к наблюдателям XVIII столетия Бог был благосклонен, и Венера должна была пройти по диску Солнца дважды с интервалом в восемь лет.

Лежантиль, будучи патриотом Франции, выбрал для наблюдений самую удаленную от Европы французскую территорию — Пондишери в Индии. Он отправился в путь в 1760 году. К сожалению, политика внесла в его план коррективы: Франция и Англия начали войну, и Пондишери захватили британские войска.

После ряда перипетий Лежантиль решил ожидать прохождения Венеры по диску Солнца на острове Маврикий — французском анклаве в Индийском океане. Однако удача отвернулась от него: транзит Венеры произошел, когда корабль Лежантиля находился в открытом море, и произвести точные измерения было невозможно.

Следующее прохождение Венеры ожидалось через восемь лет. Лежантиль уже находился вдали от Франции и не видел смысла в том, чтобы вернуться домой. С Маврикия он отправился в Манилу, однако испанские власти отнеслись к нему недоброжелательно. К счастью, после заключения мирного договора Пондишери вновь оказался в руках французов, и Лежантиль направился туда. Там он построил обсерваторию и стал ждать транзита Венеры по диску Солнца. Стояла прекрасная погода, в том числе в день накануне события, однако в час X с самого рассвета небо заволокло тучами, и разглядеть сквозь них Солнце было невозможно. Восемь лет оказались потрачены впустую, и Лежантиль едва не сошел с ума.

Но и это еще не все — главные злоключения ученого были впереди: Лежантиль отправился на родину, по пути он переболел дизентерией и преодолел множество трудностей, а во Франции обнаружил, что объявлен мертвым, его имущество поделили наследники, он потерял престижное место в Академии наук, а жена вышла замуж за другого. Лежантилю пришлось потратить несколько лет на то, чтобы вернуть себе имущество и место в академии. К счастью, не подвергалось сомнению хотя бы то, что он действительно жив — возможно, потому, что король Людовик XVI принял участие в судьбе ученого и лично проследил, чтобы все его дела были улажены.

Прохождение Венеры по Диску Солнца, наблюдавшееся 8 июня 2004 года.

Статистика не врет

Такие писатели, как Александр Солженицын (1918–2008) или Хорхе Луис Борхес (1899–1986), довольно неплохо разбирались в математике, однако они представляют собой скорее исключение, чем правило. Впрочем, знакомство с элементарными понятиями необходимо каждому.

Известен случай с Чарльзом Диккенсом (1812–1870), который однажды в начале декабря отказался садиться в поезд. Он не имел ничего против железной дороги как таковой, однако в этот год число происшествий на ней было ниже обычного, и Диккенс ошибочно счел, что до конца года должно произойти сразу несколько аварий, чтобы «скомпенсировать отставание от графика». Ученый отказался ехать, не подумав, что в том году по счастливой случайности могло произойти меньше аварий, чем в предыдущем. Его вера в статистику была столь же непоколебимой, как вера великомучеников в Бога.

Если бы Федор Михайлович Достоевский хорошо разбирался в теории вероятностей, он никогда не стал бы игроманом, но и не написал бы роман «Игрок», а если бы голливудские сценаристы и режиссеры были знакомы с расчетом конструкций, то никогда не сняли бы фильм о Кинг-Конге. Так что лучше оставить все как есть.

Графиня-программист

Ада Августа Байрон (1815–1852), позднее — графиня Лавлейс, более известная как Ада Лавлейс, стала привлекательным персонажем для исторических хроник.

Во-первых, она была дочерью блистательного лорда Байрона, поэта и писателя-романтика, с которым, однако, не поддерживала отношений.

Во-вторых, ее семья была прекрасным примером неблагополучной семьи — родители Ады разошлись еще до рождения дочери. Кроме того, ее жизнь пришлась на расцвет викторианской эпохи с ее специфическими ценностями.

В-третьих, вопреки обычаям того времени, Аду обучали наукам — отчасти под влиянием матери, получившей математическое образование, отчасти для того, чтобы девочка не забивала себе голову отцовскими стихотворениями. В числе учителей Ады был блестящий математик Огастес де Морган.

В-четвертых, Ада Лавлейс была прекрасным математиком. Результатом ее дружбы с гениальным Чарльзом Бэббиджем стали важные открытия, удивительные для того времени. В ходе работы над механической вычислительной машиной Бэббиджа, так называемой аналитической машиной, Ада Лавлейс создала первую в истории компьютерную программу, записанную на перфокартах. Хотя машина Бэббиджа была готова лишь частично, программа Ады работала на ней корректно.

В-пятых, Ада Лавлейс жила бурной жизнью: помимо науки, она испытывала безмерную страсть к лошадям и скачкам, она делала ставки, завела роман с игроком и ей даже пришлось отдать семейные драгоценности в уплату его миллионных долгов.

Умерла Ада Лавлейс в возрасте 36 лет от рака матки. Ее смерть была долгой и мучительной. Мать Ады искренне беспокоилась за судьбу дочери на том свете и считала, что искупление грехов вечными муками следует начать еще при жизни, поэтому отказывалась давать ей морфин, веря, что невыносимые физические страдания очищают душу Ады и искупают ее грехи, в том числе пристрастие к азартным играм.

Мать также попыталась «привести в порядок» бумаги дочери после ее смерти, но Бэббидж, который был членом парламента и обладателем рыцарского звания, не допустил этого и сам распорядился всеми бумагами Ады Лавлейс и ее завещанием.

В 1970-е годы в компании Honeywell Bull был создан язык программирования ADA, названный в честь Ады Лавлейс, который используется до сих пор. Что ж, заслуженная дань уважения графине и программисту.

Ада Августа Байрон Кинг (фамилию Кинг носил ее муж), больше известная как Ада Лавлейс. Портрет кисти британской художницы Маргарет Карпентер.

Флоренс Найтингейл и статистика

Крымская война вдохновила многих писателей, вызывала жаркие споры, ожесточенные парламентские дискуссии и даже была запечатлена на большом экране, к примеру, в фильме «Атака легкой кавалерии» (1936), где Эррол Флинн скачет на коне навстречу своей славе. Несмотря на все ужасы войны, в ней были и светлые страницы: британское правительство отправило на фронт женщину по имени Флоренс Найтингейл (1820–1910), которая стала главной медицинской сестрой. Леди со светильником, как прозвали ее раненые солдаты, воочию увидела грязь, антисанитарию и ужасную обстановку в военных госпиталях и начала достойную уважения борьбу за реформу здравоохранения. После войны ее ожидало новое, намного более важное сражение на родине. Флоренс Найтингейл и на этот раз одержала победу, заручившись поддержкой королевы Виктории и премьер-министра лорда Палмерстона. Флоренс была женщиной, и общество неодобрительно относилось к ее увлечению математикой — ее преподавателем был сам Джеймс Джозеф Сильвестр — и особенно статистикой. Однако Найтингейл совершила подвиг и в этой сфере, став первой женщиной, избранной членом-корреспондентом Лондонского королевского общества. Знания статистики бывшая медсестра применила в здравоохранении, произведя здесь поистине революционные изменения. В своих работах она широко использовала круговые диаграммы, которые были столь наглядны, что Флоренс удалось убедить современников в своей правоте, а в результате реформы здравоохранения выиграли все мы.

В честь Флоренс Найтингейл установлен памятник на Ватерлоо-Плейс. Другой, нерукотворный памятник ей воздвигли раненые, которым она спасла жизнь.

Диаграмма Флоренс Найтингейл. Вы можете видеть, как по мере реализации предложенных мер снижалась смертность.

Статистика и геноцид

Фрэнсис Гальтон (1822–1911), двоюродный брат Чарльза Дарвина, был метеорологом, астрономом, психологом, изобретателем, антропологом, исследователем и, разумеется, математиком, хотя формально так и не получил образования. Как и его двоюродный брат, он был одним из тех странствующих гениев, благодаря которым Англия достигла вершин науки. Интерес у Гальтона вызывало практически все — он занимался измерением носов, составлял карты женской красоты, изучал самовнушение и законы наследования, был превосходным статистиком и вошел в историю как автор понятий регрессии и корреляции. К несчастью, он запомнился и благодаря противоречивому понятию евгеники, которое ввел в 1865 году.

Первая в истории карта погоды, опубликованная в газете «Таймс» в 1875 году, была работой Гальтона.

Евгенику в общих чертах можно определить как улучшение населения (ранее речь в ней шла о расах) путем подавления отрицательных характеристик, препятствующих прогрессу. На протяжении нескольких десятилетий евгеника была очень модной — к ней положительно относились как правительства разных стран, так и частные лица, к примеру экономист Джон Мейнард Кейнс. Массовые эвтаназии, или плановый геноцид населения, которые стали частью евгенических программ нацистского режима, радикально изменили отношение к этому учению, и сегодня упоминать о нем считается дурным тоном.

С другой стороны, закон Харди — Вайнберга, связанный с цепями Маркова и точками равновесия, неопровержимо показывает, что устранить всех обладателей рецессивного признака в популяции гетерозиготных организмов невозможно: по мере того, как любые «аномалии», часто рецессивные и незаметные, — а также их носители — будут уничтожаться, в силу неумолимых законов наследования доля организмов, обладающих этими «аномалиями», будет возвращаться к исходной.

Евгеника стала политически некорректной, крайне сомнительной с моральной точки зрения и математически ошибочной. Но после недавнего открытия методов изменения генома человека этот вопрос вновь вышел на первый план. Закон Харди — Вайнберга по-прежнему выполняется, однако изменились сами правила игры: кажется возможным изменить ген, определяющий тот или иной рецессивный признак, и определить носителей такого гена, даже если внешне этот признак никак не проявляется. Теперь ученые могут работать напрямую с генами, а не с их носителями. Похоже, что евгеника и Гальтон вновь выходят из тени.

Теннисон и Бэббидж

Мы расскажем о двух очень разных талантливых англичанах, которые познакомились благодаря математике.

Великий поэт Альфред Теннисон (1809–1892), более известный как лорд Теннисон, считался лучшим поэтом своего времени и был избран членом Лондонского королевского общества за интерес к науке и ее распространение. Чарльз Бэббидж (1791–1871) также был членом Лондонского королевского общества, философом, инженером, криптографом и прежде всего математиком. Впоследствии Бэббидж стал одним из родоначальников вычислительной техники, автором понятия программируемой вычислительной машины, создавшим примитивное вычислительное устройство, которое он назвал аналитической машиной. Продвинуться вперед ему помешали ограниченные технические возможности того времени. Между паровыми машинами и микросхемами лежит пропасть — столь же глубокая, как и та, что разделяет приспособления эпохи Бэббиджа и современные механизмы.

Будучи членом парламента, Бэббидж отличался противоречивыми инициативами — например, он боролся с уличными шарманщиками, которых считал невыносимыми. Представьте удивление Теннисона, когда он получил от своего коллеги Бэббиджа такое письмо:

«Милостивый государь,

в вашем прекрасном стихотворении «Видение греха» (The Vision of Sin) можно прочесть строки:

Every moment dies a man

Every moment one is born

[Каждую секунду умирает человек

И каждую секунду рождается человек].

Это статистически некорректно. Если бы это в самом деле было так, число живых людей было бы неизменным. Я предлагаю вам заменить эти строки следующими или подобными им:

Каждую секунду умирает человек

Каждую секунду рождается 1 1/16

Хотя 1/16 — лишь приближенное значение вещественного числа, оно достаточно точное, чтобы его можно было привести в стихотворении.

Искренне Ваш,

Чарльз Бэббидж».

Как и следовало ожидать, предложение Бэббиджа не было услышано. Но как можно зайти столь далеко в оценке, или, точнее говоря, отрицании ценности поэзии? Представьте себе, что некто прочел строки Любовь моя, цвет зеленый. Зеленого ветра всплески и заключил, что их автору, Федерико Гарсия Лорке, следовало указать точнее, что к зеленому цвету относятся волны длиной 520–570 нанометров.

Жуликоватый булочник

В свое время титул лучшего математика мира до самой смерти носил Анри Пуанкаре (1854–1912). Рассказывают, что Джеймс Джозеф Сильвестр (1814–1897) совершил поездку в Париж с единственной целью — лично познакомиться с Пуанкаре, а встретившись с ним, не смог проронить ни слова, словно представ перед живым божеством. Пуанкаре был настолько одарен, что в студенческие годы не записал ни одного конспекта. Этот прекрасный писатель и философ, мыслитель первой величины подошел совсем близко к созданию знаменитой теории относительности. Его результаты, основанные на работах Лоренца и созвучные трудам Фитцджеральда и Минковского, были очень близки к формулировке, которую позднее разработал Эйнштейн.

Пуанкаре был выдающимся ученым, которому мы обязаны многими революционными идеями в столь далеких друг от друга областях, как теория хаоса и топология. Случай, произошедший с ним и его булочником, покажется вам странным, но достоверность этой истории подтверждается авторитетом Бостонского музея.

Анри Пуанкаре в своем кабинете.

Пуанкаре обвинил булочника в том, что тот обвешивал его и продавал булки, весившие меньше положенного килограмма. Ученый стал записывать вес проданных булок и обнаружил, что он описывался кривой нормального распределения со средним значением в 950 граммов — меньше положенного килограмма. Доказательства Пуанкаре были неопровержимы, и полиция сделала булочнику предупреждение. Прошло некоторое время, и кто-то спросил Пуанкаре, перестал ли булочник обвешивать его и повысилось ли качество обслуживания в целом. Он заявил, что на оба этих вопроса нельзя ответить положительно: булочник действительно перестал его обвешивать и присылал только булки весом в 1000 граммов, но — продолжил объяснения Пуанкаре — для остальных покупателей ничего не изменилось.

И действительно, на новой кривой распределения, построенной ученым, было видно, что теперь булочник присылал ему только булки из правой части кривой, то есть весом более 1 килограмма. Кривая четко показывала, что Пуанкаре получал только булки, которые были тяжелее обычных, а булки меньшего веса, находившиеся с другой стороны кривой нормального распределения, доставались другим покупателям. Видите, как непросто обмануть статистика!

Их связали кватернионы

И сэр Уильям Роуэн Гамильтон (1805–1865), и Имон де Валера (1882–1975) были ирландцами, однако если Гамильтон был английским подданным, то де Валера стал президентом независимой Ирландии и, разумеется, обладателем ирландского паспорта. Их объединяла не только общая родина, но и любовь к математике.

Гамильтон потратил много лет на поиски алгебраического поля, которое стало бы обобщением комплексных чисел, и его поиски в конце концов увенчались успехом: в 1843 году он открыл кватернионы.

Кватернионы представляют собой сочетания символов вида

a·1 + b·i + c·j + d·k

(обычно они записываются без единицы — a + b·i + c·j + d·k, где а, Ь, с и d — вещественные числа, 1 — единица, операция умножения является дистрибутивной, а также выполняется следующее условие: х2 = j2 = k2 = ijk = —1. Таблица умножения 1, i, j и k выглядит так:

Множество кватернионов образует поле, которое заключает в себе комплексные числа (достаточно рассмотреть кватернионы при с = d = 0). По легенде, идея о кватернионах пришла в голову Гамильтону, когда он проходил по мосту Брум Бридж в Дублине.

Это открытие показалось всем столь удивительным и столь подлинно ирландским, что много лет спустя Имон де Валера возглавил церемонию открытия памятной таблички на этом мосту. На табличке было написано:

«Здесь на прогулке, 16 октября 1843 года, сэр Уильям Роуэн Гамильтон, во вспышке гения, открыл формулу умножения кватернионов х2 = j2 = k2 = ijk = —1, записав ее на камнях этого моста».

На этом история закончилась бы, если бы Имон де Валера (для друзей — Дев) не изучал математику и сам не был математиком. В 1913 году он предложил свою кандидатуру на должность преподавателя математики, но его не утвердили, хотя Артур Конвей, один из его преподавателей, говорил, что претендент «глубоко разбирался в теме». Когда в 1916 году де Валера находился в тюрьме, ожидая расстрела, то в ночь перед расстрелом он с гордостью написал на стене камеры вместо эпитафии:

х2 = j2 = k2 = ijk = —1

Любить математику больше, чем он, и вправду сложно. В конце концов де Валера спасся, занялся политикой, и математика потеряла специалиста по кватернионам, однако политика от этого только выиграла. Он пережил войну (единственным опрометчивым его шагом стало выражение соболезнований Германии в связи со смертью Гитлера) и стал президентом независимой Ирландии.

Памятная табличка на мосту Брум Бридж.

Бесполезная теория

Теория множеств составляет важную часть фундамента всей математики, однако попытки преподавать ее в школах вызвали массу разногласий и споров, которые в конце концов по большей части удалось разрешить. Сегодня никто не спорит с тем, что теория множеств занимает центральное место в изучении науки, однако в начале XX века эта дисциплина, созданная благодаря усилиям Георга Кантора (1845–1918) и Рихарда Дедекинда (1831–1916), не вызвала большого интереса в академических кругах. В Принстонском университете был организован совет ученых с целью обсуждения программы преподавания математики. Предметом этой истории, которую рассказал физик и математик Фримен Дайсон (род. 1923), стал разговор между астрономом сэром Джеймсом Хопвудом Джинсом (1877–1946) и специалистом по топологии Освальдом Вебленом (1880–1960). Учебная программа казалась несколько перегруженной, и Джинс предложил облегчить ее: «Мы могли бы исключить теорию множеств — в конце концов, этот раздел математики никогда не будет особенно важным для физиков», — сказал он. Однако сэр Джеймс оказался плохим провидцем, и это подтвердят те, кто изучает квантовую механику и повсеместно использует множества.

Следуем правилам вежливости

В какой бы стране мира ни находился математик, если он увидит формулу, то сможет понять ее. Хотя научные статьи печатаются на самых разных языках (большая часть работ публикуется на английском, за ним следуют французский, русский и пиньинь), но даже в странах, находящихся за 10 тысяч километров друг от друга, используются одинаковые математические символы и сокращения. Равные величины всегда будут обозначаться знаком «=», а символ «

» всегда означает «принадлежит к».

Когда любой человек, знакомый с математикой, видит выражения, подобные

он прекрасно понимает их, даже не зная, что эта формула описывает закон сохранения импульса в жидкости.

Математическая мысль следовала многими трудными путями, пока не обрела нынешнюю форму: теперь математики всего мира могут понять друг друга, так как используют общий метаязык. Воздадим дань уважения тем, кто, часто из соображений простоты, вводил универсальные знаки, как, например,

и тем, кто соглашался использовать обозначения в своих работах. До появления этих символов и сокращений математика была чрезвычайно многословной и непонятной.

Попробуйте описать привычное всем квадратное уравнение

словами, не используя ни показатели степени, ни буквы, ни знаки =, + и —, ни знак деления, ни √, ни даже логический символ <=>. Посмотрим, что у вас получится.

Авторы многих из этих знаков не слишком известны: так, например, скромный священник Уильям Отред (1574–1660) первым стал обозначать умножение знаком х, ввел сокращения sinα и cosα, а также изобрел круговую логарифмическую линейку. За всю жизнь он написал всего один труд объемом 88 страниц и в свое время считался математиком-любителем. В тот период эта наука, можно сказать, пребывала в нежном возрасте.

Когда же математика повзрослела? Один из ответов звучит так: когда было напечатано достаточно книг по математике, чтобы стало возможным определить универсальные обозначения. В 1875 году в Великобритании был учрежден комитет по унификации печатных книг, а также используемых при печати символов и сокращений. Много воды утекло с тех пор, и на свет появились совершенно новые разделы математики и математические теории, однако общие обозначения остались неизменными.

У логики есть своя логика

Американский математик и логик Уиллард Ван Орман Куайн (1908–2000) запомнился прежде всего подробными исследованиями взаимосвязей между обычным языком и языком науки. Многие ученые разделяли его точку зрения, высказанную в активной дискуссии с Жаком Деррида и другими деконструктивистами, которых Куайн считал псевдофилософами, а то и вовсе шарлатанами. Ван, как называли его друзья, много печатал на машинке, и как-то раз, направив свой ум в практическое русло, решил поменять местами несколько клавиш на клавиатуре. В частности, чтобы сэкономить время, он заменил символы «1», «!» и «?» другими, особыми логическими знаками, которые часто встречались в его записях. Как же Куайн обходился без привычных всем восклицательного и вопросительного знаков? Когда друзья спросили его об этом, то получили абсолютно логичный ответ: «Видите ли, в моем кабинете я работаю только с достоверными результатами».

Сложное домашнее задание

Американский математик Джордж Бернард Данциг (1914–2005) известен среди специалистов по линейному программированию как автор алгоритма, применяемого в решениях симплекс-методом, который играет основную роль в дисциплине под названием исследование операций. Среди любителей анекдотов он известен тем, что принял за домашнюю работу задачи, являвшиеся темой серьезных исследований.

Но эта история заслуживает более подробного рассказа.

В 1939 году одним из университетских преподавателей Данцига стал известный польско-американский математик Ежи Нейман (1894–1981), который вел курс статистики. Как-то раз Данциг опоздал на занятия и попросил Неймана не стирать написанное на доске, так как не хотел терять нить рассуждений. Он обратил внимание на два выражения, которые посчитал домашним заданием, и переписал их к себе в тетрадь. Придя домой, Данциг принялся за домашнее задание, однако оно оказалось на удивление трудоемким. Студент потратил много времени и сдал работу с опозданием. «Оставь ее в углу», — сказал Нейман, кивнув на стол, заваленный огромной кипой бумаг. Данциг молча положил свою работу сверху.

Прошло несколько недель, и однажды в воскресенье Данциг услышал звонок в дверь. Перед ним стоял взволнованный Нейман, державший в руках исписанные листы. «Быстро прочитай все, что здесь написано, — я намерен сегодня же передать это для публикации». Нейман держал в руках домашнюю работу Данцига, изложенную в виде статьи и дополненную предисловием самого Неймана. Данциг ошибочно принял за домашнее задание две важные статистические гипотезы, которые никому до этого не удавалось доказать. Он не знал об этом и доказал их, посчитав гипотезы всего лишь непростыми задачами.

Все заканчивается на «АС»

Гениального венгерско-американского ученого Джона фон Неймана (1903–1957), который, помимо прочего, считается изобретателем компьютеров, друзья называли просто Джонни. Основной принцип так называемой архитектуры фон Неймана, описывающей устройство компьютера, заключается в том, что данные и команды хранятся в общей памяти, доступной центральному процессору. В годы жизни фон Неймана появился знаменитый компьютер ENIAC (сокращение от Electronic Numerical Integrator and Computer — «электронный числовой интегратор и вычислитель») — колоссальное соединение тысяч диодов, контактов, проводов и реле, весившее почти 30 тонн и способное извлекать 33 квадратных корней в секунду с точностью до 10 знаков — немыслимая скорость в то время. После программирования и запуска ENIAC работал без вмешательства человека. Так родился предшественник компьютера HAL из фильма «Космическая одиссея 2001 года».

Джон фон Нейман, который был заядлым шутником и рассказывал забавные истории на трех языках, построил свою версию ENIAC и назвал ее Mathematical Analyzer, Numerical Integrator, And Computer («математический анализатор, числовой интегратор и вычислитель») — сокращенно MANIAC. Корпорацией RAND был создан JOHN von Neumann Numerical Integrator And Automatic Computer («числовой интегратор и автоматический вычислитель Джона фон Неймана») — сокращенно JOHNNIAC. На протяжении 13 лет, с 1933 по 1966 год, JOHNNIAC работал без передышки. В его конструкцию вносились новые и новые улучшения, и он становился все эффективнее. Эта модель намного уступала в мощности простому современному ПК, но не забывайте — на дворе стоял 1953 год!

Фотография компьютера JOHNNIAC, который в настоящее время хранится в Музее компьютерной истории в Калифорнии.

Теорема, доказанная дважды

Известный математик Пол Ричард Халмош (1916–2006) когда-то был скромным ассистентом фон Неймана — опытного исследователя и даже гения. Как Халмош рассказывал в автобиографии под названием «Хочу быть математиком» («I Want to Be a Mathematician»), в 1941 году он вместе с фон Нейманом начал работу над проектом, имевшим отношение к теории мер и теории вероятностей. Они дошли до очень серьезного этапа рассуждений, когда фон Нейман рассмотрел создание сложного вырожденного множества, при работе с которым часто приходилось прибегать к континуум-гипотезе посредством, как выражался Халмош, «неявной двойной трансфинитной индукции». Как видите, доказательство итоговой теоремы было запутанным и непростым даже для фон Неймана. Халмош пробирался сквозь математические дебри… и при этом не делал никаких заметок. Фон Нейман обратил на это внимание и предупредил помощника, но Халмош считал, что все понимает и так, поэтому не придал словам шефа особого внимания.

Настал момент записать теорему на бумаге, и тут Халмош с ужасом понял, что не может вспомнить все шаги доказательства. Что же делать? Вспомнить доказательство целиком решительно невозможно, а следующая встреча с фон Нейманом состоялась лишь спустя несколько дней.

Униженно улыбаясь, Халмош объяснил гениальному ученому, что произошло, и удостоился редкой чести наблюдать Джонни в гневе — фон Нейман никогда не выходил из себя. Ученый принялся за доказательство во второй раз, вновь преодолевая значительные трудности. К счастью, ему удалось повторить рассуждения и, потратив много времени, восстановить промежуточные действия и конечный результат, что стало настоящим подвигом даже для гения. В этот раз Халмош делал как можно более подробные записи.

Соль этого анекдота заключается в том, что Халмош стал соавтором статьи фон Неймана, озаглавленной Operator Methods in Classical Mechanics II («Операторные методы в классической механике II»). А несостоявшаяся статья под номером I стала настоящей легендой в мире физики и математики.

Сочетания с повторениями

Поэт, прозаик и — иногда — математик Раймон Кено (1903–1976), который войдет в историю как автор романа «Зази в метро» (а также текста одной из песен Жюльетт Греко), однажды вторгся в область комбинаторного анализа. До него этот же путь проделал Моцарт, однако Кено применил комбинаторику в поэзии, что на первый взгляд кажется непростой задачей. В коротенькой книжечке «Сто тысяч миллиардов стихотворений», состоящей всего из десяти страниц, на каждой из которых напечатано по одному сонету, он описал способ, позволяющий создать новые сонеты — очень современные, со множеством скрытых смыслов — на основе нескольких заранее приготовленных строчек. Для этого достаточно было взять по одной полной строчке из каждого сонета, уже напечатанного в книге. Общее число сочетаний, таким образом, равнялось 1410 — более чем достаточно даже для самого плодовитого автора. Вооружившись калькулятором, нетрудно показать, что если мы будем составлять по одному стихотворению в минуту, то для того, чтобы записать их все, потребуется немногим меньше 200 миллионов лет.

Еще один способ применения комбинаторного анализа можно увидеть в прозе Артура Кларка, который был не только писателем, но и автором серьезных научных гипотез: в частности, он предложил разместить на орбите Земли искусственные геостационарные спутники, а также первым описал космический лифт. В рассказе «Девять миллиардов имен Бога» Кларк описывает компьютер, который печатает для монахов все возможные имена Бога, составляя их с помощью обычных перестановок. Монахи верят, что когда будут записаны все имена Бога, наступит конец света. Похоже, что это действительно так: пока компьютер закончит работу над задачей, мир успеет прекратить свое существование.

Взмахи крыльев бабочки

Чтобы понять, что такое эффект бабочки, сначала нужно объяснить, что такое хаос. В 1961 году метеоролог Эдвард Нортон Лоренц (1917–2008) построил динамическую систему, которую применил в качестве модели для прогнозирования погоды. Однажды (возможно, поленившись) он ввел в компьютер число 0,506 вместо 0,506127 и, к своему удивлению, обнаружил, что это небольшое отклонение входных данных приводило к значительным изменениям состояния динамической системы. Лоренц проверял полученный результат снова и снова и всякий раз получал столь же удивительные результаты. Так официально появилась на свет одна из самых изучаемых тем в теории хаоса.

Более подробные исследования помогли несколько упорядочить этот хаос. Выходные данные по-прежнему оставались хаотическими, однако, проследовав непредсказуемыми путями, они стремились к некоему итоговому множеству, словно испытывая к нему непреодолимое влечение.

Множество всех этих бесконечно больших итоговых значений называется аттрактором. Когда точка динамической системы движется беспорядочно, хаотически, ее «пунктом назначения» на бесконечности будет точка аттрактора. Хаотическая траектория в каждый момент времени является хаотической, однако на бесконечности, в пределе, который никогда не будет достигнут, она окончит свое существование в аттракторе.

Эта точка обладает, если можно так выразиться, неотразимой притягательностью. Лоренц первым проанализировал хаос метеорологических прогнозов и описал аттрактор — множество точек, по форме отдаленно напоминающее крылья бабочки. Разумеется, это множество является фрактальным, имеет размерность Хаусдорфа, равную 2,06 ± 0,01, и представляет собой настоящее геометрическое чудо.

Аттрактор Лоренца — трехмерное фрактальное множество, по форме напоминающее крылья бабочки.

Тот факт, что аттрактор напоминает крылья бабочки, пробудил воображение бесчисленного множества деятелей кино и литературы. Самым известным из них был, возможно, знаменитый писатель-фантаст Рэй Бредбери: в своем рассказе «И грянул гром» он описывает путешествие во времени, в ходе которого гибель одной доисторической бабочки приводит к значительным изменениям в современной политике — вместо либерального президента народ избирает ужасного диктатора-фашиста. Сложно найти более привлекательный образ: простой взмах крыльев бабочки в далеком прошлом способен определить настоящее, которое, как кажется, не имеет к этой бабочке никакого отношения. Динамические системы могут быть хаотическими, а небольшие предпосылки могут иметь огромные последствия. На небольших промежутках времени — ничто по сравнению с вечностью — предопределения не существует; хаос нависает грозной, бесконечно грозной тенью, которая не позволяет делать какие-либо прогнозы. На длительных промежутках времени наблюдается аттрактор, существующий необъяснимо далеко, в пределе, на границе бесконечности.

Лучшее — враг хорошего

Для чистокровного демократа из тех, что голосуют по любому поводу и верят, что их голос поможет изменить положение в обществе, идеалом является совершенная система голосования, удовлетворяющая определенным требованиям. Известны множество систем голосования (например, в Испании применяется метод д’Ондта), однако должна же существовать некая суперсистема, которая будет лучшей среди них. Ее предполагаемые характеристики, снабженные обширными комментариями, можно найти в интернете. Так как подробные описания различных систем голосования слишком объемны и скучны, не будем приводить их полностью. Ограничимся следующим указанием: идеальная система голосования, позволяющая принять общее решение на основе предпочтений отдельных лиц, должна соответствовать пяти разумным требованиям.

1. Отсутствие диктатуры: никакие личные предпочтения одного человека не могут влиять на остальных.

2. Индивидуальное упорядочение: каждый должен уметь упорядочивать свои предпочтения.

3. Единодушие: если все выбирают какой-то вариант, он является окончательным.

4. Единственность: результат голосования всегда будет одним и тем же, если предпочтения избирателей не меняются.

5. Независимость незначащих альтернатив: если исключить из голосования один вариант, остальные не изменятся.

Лауреат Нобелевской премии по экономике 1972 года Кеннет Эрроу (род. 1921) подробно изучил вышесказанные характеристики с точки зрения математики и вынес удивительный вердикт: не существует системы голосования, которая соответствовала бы всем указанным условиям. Она может соответствовать некоторым

из них, но не всем одновременно. «У каждого свои недостатки», как говорил герой

Билли Уайлдера в фильме «В джазе только девушки».

Красноречивое название

Американский математик Ив Нивергельт был автором работ о компьютерах, вейвлетах и статистике. Одна из его статей, опубликованная в 1987 году, стала настоящим бестселлером среди студентов, изучающих экономику и социологию. В ней, в частности, идет речь о математическом понятии эластичности.

Непосвященный напрасно будет пытаться понять, в чем же заключено очарование этой статьи: она полна формул с производными, логарифмами и другими математическими ужасами. Если вы прочитаете статью до конца, то узнаете, что курить — вредно, а антитабачные пошлины почти не влияют на курильщиков, однако позволяют выручить средства, которые затем направляются на борьбу с курением.

Также в статье рассказывается, что спрос на лосося, помимо прочих факторов, зависит от его относительной численности, от выживаемости икринок и молодых особей и так далее. Словом, вы узнаете много интересного о самых разных явлениях.

Не просто игра

Если какую-то игру и можно назвать царицей игр, то этого титула, несомненно, заслуживают шахматы. В них случайность никак не влияет на ход игры, а определяющее значение имеют чистая стратегия и память: число возможных ходов в партии имеет порядок 10123 — это невообразимая величина. Однажды чемпионом мира по шахматам стал профессиональный математик Эмануэль Ласкер (1868–1941).

Сейчас мы говорим о стандартных шахматах на доске из 64 клеток, но еще в далекую викторианскую эпоху математик Артур Кэли (1821–1895) уже рассмотрел трехмерные шахматы, в которые сегодня играют персонажи сериала «Звездный путь».

Пока что никто не смог должным образом изучить эту игру — она слишком сложна даже для передовых методов современной теории игр. Но существует несколько ценных результатов: испанский инженер Леонардо Торрес Кеведо (1852–1936) в 1914 году сконструировал шахматный автомат, который всегда одерживал победу в окончании шахматной партии для трех фигур (король против короля и ладьи). Конечно, мы по-прежнему далеки от заветной цели — алгоритма, указывающего путь к победе в любой партии, но надо же с чего-то начать.

Машина под названием «Турок», сконструированная венгерским инженером Вольфгангом фон Кемпеленом в 1769 году, произвела фурор. Казалось, что машина способна играть в шахматы, однако на самом деле она была искусной фальшивкой — внутри механизма прятался человек.

Шахматы — прекрасное поле битвы, можно даже сказать, первой битвы в вечном противостоянии человека и машины. Известно, что шахматные программы становятся все совершеннее, и сложно устоять перед соблазном столкнуть лицом к лицу гроссмейстера и такую программу. В 1996 году уже состоялся поединок между компьютером Deep Blue, созданным компанией IBM, и чемпионом мира по шахматам Гарри Каспаровым. Каспаров выиграл со счетом 3:0. Таким образом, в 1996 году человек опередил машину.

На следующий год программное обеспечение Deep Blue было улучшено, и поединок прошел вновь. Теперь машина одержала верх. Каспаров остался не слишком доволен результатом и предположил, что во время партии в действия компьютера вмешивался человек. Компания IBM, как и следовало ожидать, отвергла обвинения. Желаемая цель, отчасти пропагандистская, была достигнута, и после этого компьютер был разобран. В 2000 и 2003 годах прошли новые поединки между гроссмейстерами и компьютерами, сменившими Deep Blue, все они завершились ничьими. Вероятно, в будущем мы увидим новые партии между человеком и машиной.

В конце концов люди запомнят только одно: благодаря техническому прогрессу машина одержала верх над человеком — рано или поздно это все равно произойдет. Однако по-настоящему важен ответ на другой вопрос: подобно ли мышление человека мышлению машины? Этого мы пока не знаем. Быть может, мы не узнаем этого вообще никогда, и вопрос останется гёделевским утверждением, дать ответ на которое невозможно.

Deep Blue — первый шахматный компьютер, одержавший верх над чемпионом мира.

Глава 5 Математики далекого прошлого

Математик — это слепой, ищущий в темной комнате черную кошку, которой там нет.

Чарльз Дарвин

Математики прошлого очень отличаются от современных ученых и, безусловно, заслуживают большого уважения и почитания. Рассуждали они не так, как мы, им были неизвестны эффективные и универсальные обозначения, у них не было научных журналов и интернета, на распространение новых идей в то время в лучшем случае уходили десятилетия, и окружающие очень часто считали ученых чудаками. Проходили столетия, и сегодня математики — люди высшего разума. Но и в самые далекие времена математики были необычными существами, невероятно одаренными и удивительно мудрыми.

Первый спекулянт

Одним из семи греческих мудрецов, по мнению Павсания, был Фалес Милетский (ок. 639 года до н. э. — ок. 547 года до н. э.). Он занимался самыми разными науками, но мы считаем его математиком, поскольку, согласно Евклиду, Фалес первым доказал некоторые геометрические утверждения — сегодня они кажутся нам примитивными, но в свое время вовсе не были таковыми. К примеру, именно Фалес первым сказал, что существует прямая, называемая диаметром, которая делит круг пополам, что углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, равны или что накрест лежащие углы равны. Не будем забывать и о теореме, носящей его имя, с помощью которой Фалес измерил высоту пирамиды, зная длину ее тени и длину тени посоха (как именно он это сделал, показано на иллюстрации).

Применив теорему, носящую его имя, Фалес вычислил высоту d, зная высоту посоха а и длину теней b и с: d = a·c/b

Ученый был незаурядной личностью, и греческие историки приписывали ему самые разные подвиги, доказывающие его гениальность. Мы расскажем о нем всего одну историю, поскольку она имеет отношение к математике. Согласно письменным источникам, Фалес знал астрономию (скорее астрологию) и как-то применил свои знания для личной выгоды. Наблюдая за движением звезд, он определил, что в следующем году будет большой урожай маслин, и заранее арендовал все близлежащие маслодавильни. Когда большой урожай был собран, все повезли маслины на маслодавильни, монополизированные Фалесом. Мудрец в одночасье разбогател. Пусть эта история послужит уроком для предпринимателей: она доказывает, что знания никогда не помешают, пусть даже дело происходит в Древней Греции.

Борьба с мошенничеством

Выдающийся мыслитель Архимед из Сиракуз (ок. 287 года до н. э. — ок. 212 года до н. э.) известен не только тем, что обнаженный бежал по улицам с криком «Эврика!», не только своими знаниями геометрии, физическими открытиями и боевыми машинами, созданными благодаря его инженерному таланту. Архимед также был одним из первых борцов с мошенниками от науки. Как объясняет сам мыслитель в трактате «О спиралях», он имел обычай одаривать друзей из Александрии формулировками теорем и результатами открытий, не приводя доказательств, чтобы те смогли отточить свой ум, найдя доказательства самостоятельно.

Однако некоторые из друзей злоупотребили доверием ученого и опубликовали теоремы Архимеда от своего имени, даже не удосужившись найти доказательства. Они, должно быть, думали: «Если так говорит Архимед, значит, это правда». Архимед пришел в ярость и начал бороться с мошенниками очень хитроумным способом: он по-прежнему отправлял им теоремы, но перемежал их ошибочными утверждениями. В результате друзья были вынуждены искать доказательства для всех утверждений Архимеда. «Тот, кто полагает, что знает все, но не имеет тому доказательств, может быть обвинен в том, что открыл невозможное».

Архимед столь высоко ценил открытое им соотношение площадей поверхности и объемов цилиндра и вписанной в него сферы, что повелел запечатлеть его на своем надгробии.

Вторая жизнь палимпсеста

В прошлые века пергамент изготавливался из шкуры быков и других животных и был очень дорогим материалом. Если человеку попадал в руки пергамент, он без колебаний стирал написанное на нем и записывал поверх старого новый текст — так появились палимпсесты. В 1906 году датский историк Йохан Людвиг Гейберг, профессор Копенгагенского университета, обнаружил в одном из турецких монастырей палимпсест, датированный XIII веком, — всего 175 листов пергамента. Гейбергу удалось стереть тексты православных молитв, записанные поверх более древнего слоя, относящегося, по всей видимости, примерно к 975 году. Открытый Гейбергом текст представлял собой описание великого математического открытия и был частью утерянной книги Архимеда под названием «Метод», посвященной теоремам механики. Помимо фрагментов этой книги, на нижнем слое были записаны и другие интересные труды этого древнегреческого мудреца. В «Методе», возможно последней своей работе, Архимед не только приводил соображения о механике и рассуждения о центрах тяжести тел, но и использовал понятия, близкие к понятиям современного интегрального исчисления (в частности, метод исчерпывания, предложенный Евдоксом), что лишний раз подтверждает гениальность ученого.

На этом приключения палимпсеста не закончились: пергамент был утерян, вновь найден 90 лет спустя и продан на аукционе Christie’s за 2 миллиона долларов некоему мультимиллионеру, который передал покупку на хранение в Художественный музей Уолтерса в Балтиморе. Палимпсест был восстановлен, насколько это было возможно, и теперь находится в надежных руках.

Страница из палимпсеста Архимеда.

Барон Мерчистон

В заголовке говорится о математике, астрологе и чернокнижнике Джоне Непере (1550–1617), известном как «неподражаемый Мерчистон», одном из самых уважаемых ученых всех времен, авторе логарифмов. Подобно многим ученым XVII века, Непера нельзя оценивать по привычным нам критериям — и он, и его современники покажутся современному человеку законченными эгоистами. К примеру, знаменитый Сэмюэл Пипс считал сыр пармезан величайшей ценностью: во время Великого лондонского пожара он завернул его в упаковку и закопал. Более того, Пипс ценил сыр выше собственной жены, которая умерла от невыносимой зубной боли.

Непер занял место в математическом Пантеоне благодаря открытию натуральных логарифмов по основанию е, которые иногда в его честь называют неперовыми. Многие его современники, особенно католики, высоко ценили Непера за запутанные и хитроумные вычисления даты конца света. Изучив Откровение Иоанна Богослова, ученый определил, что конец света должен наступить в 1688–1700 годах.

Один из первых абаков Непера представлял собой коробочку с так называемыми палочками Непера, позволявшими легко выполнять действия с логарифмами.

Часто рассказывают менее гротескный, но, возможно, столь же недостоверный исторический анекдот о бароне Мерчистоне и черной курице. Непер обоснованно полагал, что один из слуг обкрадывает его. Рассказывают, что Непер в темноте построил слуг в ряд и сказал, что черный петух в его руках знается с самим Сатаной и укажет виновного, когда тот прикоснется к его гребню. Никто не знал, что Непер вымазал гребень петуха сажей. Когда Непер осмотрел руки своих слуг, все они были черными от сажи, и лишь у одного ладони остались чистыми — в темноте слуга всего лишь притворился, что коснулся петуха. Как говорится, если это и неправда, то хорошо придумано.

Безумные математики

Астрономы, математики, да и вообще ученые вызывали у некоторых писателей отчасти объяснимое отторжение. Однако некоторые литераторы славились мизантропией и страстью очернять всех и вся, поэтому не ладили не только с учеными. Именно так произошло с ирландским писателем Джонатаном Свифтом (1667–1745), который рассорился со всем миром.

В своем знаменитом памфлете Свифт предложил поедать ирландских детей. Это могло показаться чудовищным благопристойному английскому обществу, однако Свифт с нечеловеческой язвительностью отмечал, что это лучший способ одновременно решить две проблемы: перенаселение Ирландии и недостаток пропитания на острове. С математической точки зрения писатель был абсолютно прав. Комик-группа «Монти Пайтон» куда менее деликатно рассмотрела похожее предложение в одном из скетчей фильма «Смысл жизни по Монти Пайтону».

Неудивительно, что жертвами Свифта стали астрономы, математики и ученые в целом — в фантастическом романе «Путешествия Гулливера» они были представлены в не самом лучшем свете. В этом произведении описан остров Лапута, который населяют представители среднего класса, обожающие математику и все, что с ней связано, однако неспособные применить свои знания для решения какого бы то ни было практического вопроса. Их одежда уродлива, так как обитатели Лапуту накладывают друг на друга только лоскуты ткани в форме геометрических фигур; их здания построены плохо; еда неаппетитна, однако по форме напоминает фигуры Евклида; их астрономические наблюдения очень точны, но бесполезны; их изобретения абсурдны. Более того, «если они хотят, например, восхвалить красоту женщины или какого-нибудь другого животного (sic), они непременно опишут ее при помощи ромбов, окружностей, параллелограммов, эллипсов и других геометрических терминов».

Словом, жизнь на острове была не сахар. А самым занимательным было то, что учителя заставляли учеников в прямом смысле проглатывать теоремы. Читатель делал вывод: математики — это люди, которых лучше избегать. Некоторые усматривают в образе Лапуту злую карикатуру на Лондонское королевское общество — официальное общество мудрецов времен Свифта. Возможно, так оно и есть.

Вундеркинды в мире науки

Математика знает немало вундеркиндов из самых разных эпох. Если в прошлом своих современников удивляли Паскаль, Гаусс и Фурье, то сейчас имена Норберта Винера (1894–1964), Энрико Ферми (1901–1954), Пала Эрдёша (1913–1996), Эдварда Виттена (род. 1951) и Питера Шора (род. 1959) напоминают, что вундеркинды — непреходящий феномен. Конечно, далеко не все математические гении были вундеркиндами. Например, Ньютон и Эйнштейн и в детстве, и в юности не демонстрировали каких-то выдающихся способностей.

Классическим, пусть и не слишком известным вундеркиндом был Пьер Бугер (1698–1758), создатель гидрографии и изобретатель гелиометра — инструмента для измерения диаметра звезд. В его честь названы лунный кратер и кратер на Марсе, и хотя имя Бугера не слишком известно простым людям, однако ученые ценят его достаточно высоко.

Бугер сменил отца на посту преподавателя гидрографии, что само по себе не слишком примечательно. Гораздо любопытнее другое: произошло это событие в 1713 году, когда Бугеру исполнилось всего 15 лет.

Французский математик и астроном Пьер Бугер.

Ради чести человеческого разума

О бесполезности математики сделано множество заявлений. Зачем же люди занимаются этой наукой? Карл Густав Якоб Якоби (1804–1851) стал автором высказывания «ради чести человеческого разума», которое элегантно подчеркивает, что математику изучают для того, чтобы получить удовольствие от самих размышлений.

Право на получение удовольствия от бесполезных занятий горячо отстаивал Годфри Харолд Харди (1877–1947), автор знаменитого и превосходного эссе «Апология математика». Харди очень гордился тем, что был специалистом по теории чисел — дисциплине, которая никогда (святая простота!) не получит практического применения. Однако самым красивым из исторических анекдотов на эту тему стала история Стобея о Евклиде (ок. 325 года до н. э. — ок. 265 года до н. э.). На одном из первых занятий новый ученик спросил его: «А какая мне будет выгода от этой науки?» Евклид подозвал раба и сказал: «Дай ему три монеты, раз он хочет извлекать прибыль из учебы».

Популярный математик

Великий Леонард Эйлер (1707–1783) имел швейцарское происхождение, но его научная карьера прошла в России и Пруссии времен Фридриха Великого. Во время Семилетней войны русские солдаты до основания разрушили поместье Эйлера, находившееся на немецкой земле. Об этом узнал русский генерал, который, по-видимому, был наслышан о крупном ученом. Он сказал, что сражается с неприятелем, а не с наукой, и щедро возместил Эйлеру все убытки. Неизвестно, насколько он был искренен, возможно, что генерал просто хотел, чтобы его имя вошло в историю вместе с именем Эйлера. Горечь ученого от утраты поместья еще не утихла, как о произошедшем узнала императрица Екатерина II, которая также незамедлительно возместила ученому ущерб из государственной казны. Как видите, бывали времена, когда занятия математикой считались престижными, а ущерб, нанесенный во время военных действий, полностью возмещался. Эйлер наверняка предпочел бы, чтобы война продолжалась подольше.

Эйлер и Дидро

У Леонарда Эйлера было тринадцать детей, 47 лет он был слепым на один глаз, за 21 год до смерти полностью ослеп, но продолжал работать и писал по 800 страниц в год. Кроме того, он обладал феноменальной памятью и невероятными способностями к вычислениям. Одной бессонной ночью он вычислил шестые степени всех чисел от 1 до 100 и безошибочно воспроизвел их спустя несколько дней.

Эйлер работал так быстро, а служащие Санкт-Петербургской академии наук были столь нерасторопны, что не успевали публиковать его работы. Труды ученого по мере поступления в Санкт-Петербургскую академию наук складывались в стопку, а публиковались в обратном порядке — сверху вниз. В результате всем казалось, что Эйлер публикует свои работы наоборот — статьи более высокого уровня появлялись в печати раньше, чем те, в которых он только описывал новое открытие, и все это напоминало путешествие во времени. Живительно, что даже прогрессирующая слепота не замедлила работы: Эйлер, разумеется, был вовсе не в восторге от своего недуга, но не падал духом. Он ослеп на один глаз еще в расцвете лет, но по этому поводу сказал только: «Так я буду меньше отвлекаться», — и продолжил работу.

Портрет Эйлера кисти швейцарского художника Эмануэля Хандманна, выполненный в 1753 году, на котором Эйлер уже изображен слепым на один глаз.

Эйлер был героем множества анекдотов, историй и математических каламбуров, так что случай, о котором мы сейчас расскажем, один из самых известных, но далеко не единственный. К счастью, истории об Эйлере столь популярны, что в этой книге нам нет нужды рассказывать их все. Любопытно, что уже не сам математик, а истории о нем стали темой докторских диссертаций.

Дьёдонне Тибо в своих заметках отмечает, что однажды двор императрицы Екатерины II посетил Дени Дидро (1713–1784). В это время в Петербурге находился и Эйлер — протестант, а следовательно, верующий. Религиозные взгляды француза на протяжении жизни менялись, и в то время он считал себя атеистом. Как и следовало ожидать, для Дидро и Эйлера при дворе был организован философский диспут.

Эйлер начал беседу с заявления:

«Милостивый государь,

(a + bn)/n = x

следовательно, Бог существует. Отвечайте».

Дидро не нашел, что ответить на эту математическую резкость, поскольку, по словам Тибо, совершенно не знал математики. Он не проронил ни слова, так же молча вышел из аудитории, а вскоре вообще вернулся в Париж.

На этом исторический анекдот заканчивается. В действительности более поздние исследования, проведенные Американским математическим обществом, дают нам другую версию изложенных событий, хотя заметки Тибо всегда славились своей достоверностью и непредвзятостью. Дидро вовсе не был полным профаном в математике — он не был профессионалом, однако написал несколько весьма достойных математических статей. С другой стороны, аргумент Эйлера сбил бы с толку любого: он был совершенно бессмысленным, особенно в устах лучшего математика мира. Наконец, неудивительно, что Дидро решил удалиться: не принимая во внимание причины личного характера, отметим, что кажется совершенно разумным покинуть холодную Россию, высший свет которой насмехается над тобой, и вернуться в Париж, где тебя ожидает во всех смыслах теплый прием.

Донжуан и математик

Обычно ученых изображают непривлекательными внешне: вспомните бессмертного профессора Турнесоля из комиксов о Тинтине — пожилого, невысокого и, разумеется, не отличающегося атлетическим телосложением. Но в то же время ученым всегда присущ блестящий ум и почти всегда — превосходная память. Пал Эрдёш, который практически полностью соответствует этому описанию, помнил все до единого номера телефонов своих многочисленных друзей. Однако Тома Троттера, единственного человека, к которому Эрдёш обращался по имени, он неизменно называл Биллом.

Но не стоит считать всех ученых неспортивными слабаками, лишенными привлекательности, — история знает примеры математиков высоких и низких, спортивных и неуклюжих, красивых и некрасивых, соблазнительных и отталкивающих.

Однако почти никто не знает, что Джакомо Казанова (1725–1798), самый известный донжуан, король всех соблазнителей, был математиком, причем имя его связано со столь сухой наукой, как геометрия. А кроме этого, наш герой, щеголеватый венецианец, был социологом, шпионом, купцом, гурманом, каббалистом, скрипачом, сводником, богословом, адвокатом, игроком, военным, мошенником, танцором, дипломатом, политиком и, разумеется, писателем. Казанова был автором множества более или менее математических текстов, в частности фантастического романа «Икозамерон» и серьезных статей об удвоении куба. Однако наши современники чаще читают его мемуары, особенно ту их часть, где Казанова рассказывает о своих любовных похождениях. Таким образом, существовал по меньшей мере один математик-соблазнитель. Обратное верно лишь в частных случаях.

Джакомо Казанова на портрете кисти его брата Франческо.

Математик-министр

Пьер Симон Лаплас (1749–1827) достиг наибольших высот на французской государственной службе во время правления Наполеона Бонапарта, который назначил Лапласа министром внутренних дел. Если бы Наполеон знал, как все обернется, то никогда не сделал бы этого: вскоре после назначения одаренный математик Лаплас доказал, что как чиновник он очень плох. Спустя шесть недель после назначения Наполеону пришлось снять его с должности. Уже находясь в заточении на острове Святой Елены, Наполеон нашел время, чтобы довольно иронично охарактеризовать вклад Лапласа в управление государством:

«Великий геометр, Лаплас был более чем посредственным администратором. Первые шаги на этом поприще убедили нас в том, что мы в нем обманулись. Замечательно, что ни один вопрос практической жизни не представлялся Лапласу в его истинном свете. Он везде искал какие-то субтильности, мелочи, идеи его отличались загадочностью, наконец, он весь был проникнут духом «бесконечно малых», который он вносил и в администрацию».

Не слишком лестная характеристика из уст человека, который превосходно разбирался в людях. Любопытно, что Наполеон упрекал Лапласа в том, что за деревьями он не видит леса, в то время как в своих книгах тот действовал совершенно иначе: Жан-Батист Био рассказывал, что Лаплас часто употреблял выражение «И est aise de voir que…» («Нетрудно видеть, что…»), когда прекрасно знал, каким должен быть конечный результат, но ленился вдаваться в детали.

Лаплас умер благородным человеком: после свержения Наполеона он перешел на сторону бурбонов и получил титул маркиза де Лапласа.

В поисках потерянной формулы

Физик и математик Андре Мари Ампер (1775–1836) был одним из первооткрывателей электромагнетизма. В память о нем названа единица силы тока — ампер. Известно также, что этот несколько забывчивый человек полностью соответствовал стереотипу о рассеянном ученом. Однажды Ампер вступил в оживленную дискуссию с посетителем Коллеж де Франс, не понимая, что неизвестного ему господина, с которым он так жарко спорил, звали Наполеон Бонапарт.

Как-то раз Ампер, едучи в наемном экипаже, испытал прилив вдохновения и, не теряя ни минуты, записал свои мысли, чтобы не забыть их. Но Ампер забыл, где именно он их записал, и никак не мог найти своих заметок. Методом исключения он пришел к очевидному выводу: заметки были сделаны не на клочке бумаги, а на самом экипаже, который все это время по-прежнему ездил по городу, и его хозяин даже не подозревал, что вместе с пассажирами везет сокровенные тайны науки. У Ампера оставался единственный выход: осмотреть все конные экипажи. И в конце концов, он нашел потерянные записи.

Король математиков

Так, правда на латыни — Princeps mathematicorum, — современники называли Карла Фридриха Гаусса (1777–1855), одного из величайших ученых, в честь которого названы астероид и кратер на Луне. Его портрет бесчисленное количество раз изображался на почтовых марках и даже украшал собой банкноты. Гаусс был настоящим сыном своей эпохи: он происходил из скромной семьи, был вундеркиндом, отличался невероятным умом и вряд ли был хорошим семьянином. К примеру, он бил сыновей палкой и запрещал им изучать науки, чтобы они не запятнали безупречную репутацию фамилии Гаусс. А когда ученому сообщили, что его жена находится при смерти, он ответил: «Одну минуту, дайте закончить работу».

Английский математик Джон Вильсон (1741–1793), ознакомившись с трудами арабских авторов, предположил, что

но никак не мог доказать свою гипотезу. В итоге он заявил, что для доказательства потребуется ввести новую нотацию теории чисел. Первое доказательство нашел Лагранж, однако Гаусс показал, что

Это намного более общий результат, чем тот, что искал Вильсон. Но гораздо удивительнее то, что Гаусс получил его всего за несколько минут, только ознакомившись с гипотезой. Он весьма едко отозвался о попытках Вильсона доказать гипотезу: «Вильсону требовалась не новая нотация, а некоторое представление, о чем идет речь».

Доказательства Гаусса всегда были безупречными, а порой — и совершенно оригинальными. Ученый скрывал источники своего вдохновения и не описывал, каким путем пришел к теоремам. Нильс Хенрик Абель говорил, что Гаусс напоминает ему лису, заметающую следы хвостом.

Античиновник

Появлением гиперболической геометрии, одной из неевклидовых геометрий, мы обязаны русскому ученому Николаю Лобачевскому (1792–1856). В 1972 году в знак признания заслуг именем этого геометра был назван астероид.

Лобачевский был образцовым и трудолюбивым чиновником. Он занял пост преподавателя математики в Казанском университете, а затем, сам того не желая, получал всё новые и новые должности либо по болезни третьих лиц, либо по решению администрации. В одно и то же время он преподавал, заведовал музеем, библиотекой и университетской обсерваторией, а также исполнял обязанности инспектора. Неудивительно, что в конечном итоге Лобачевский оказался на посту ректора университета.

Рассказывают, что он всегда принимал решения без колебаний и лично участвовал во всем. Не было занятия, которое казалось ему недостойным его высокого поста: ученый спокойно мог взять тряпку и почистить музейные экспонаты. Как-то раз знатный посетитель — по некоторым источникам, дипломат, — войдя в здание университета, попросил консьержа, с головой погруженного в дела, провести для него экскурсию. К удивлению посетителя, консьерж проявил не только прекрасные манеры, но и невероятную осведомленность. Гость был настолько впечатлен, что попытался дать ему чаевых, но, к его удивлению, служитель оскорбленно отказался.

Должно быть, вы уже догадались, что консьержем был не кто иной, как Николай Лобачевский, ректор университета. Вскоре посетитель попал на официальный прием и, к своему стыду, обнаружил, что мнимый консьерж был главой университета — он находился в числе приглашенных и был одет по всем правилам этикета.

Увы, усердие Лобачевского и его вклад в науку не были оценены: когда у пожилого ученого, одного из лучших геометров мира, начало портиться зрение, Сенат отстранил его от руководства университетом. Лобачевский умер в нищете, слепой, смещенный со всех постов.

Но и на этом его злоключения не закончились — много лет спустя американцы также сыграли над ученым злую шутку. В далеких Соединенных Штатах певец-юморист Том Аерер посвятил Лобачевскому один из самых известных хитов, в котором математик представлен не в самом выгодном свете. Похоже, чтобы избежать подобных неприятностей, нужно быть прежде всего хорошим чиновником.

Николай Иванович Лобачевский.

Математик в Военной академии США

Когда вместе сходятся математическая логика и немецкое упрямство, можно ожидать чего угодно. Фердинанд Хасслер (1770–1843) был геометром и топографом швейцарского происхождения и отличался такой честностью и прямотой, что стал героем следующей истории. Хасслеру предложили эмигрировать в США и занять должность в престижной Военной академии США в Вест-Пойнте. Как-то раз его пригласил к себе казначей, который, по всей видимости, заботился об экономии государственных средств, и сказал: «Ваше жалованье следует урезать — сам государственный секретарь получает почти столько же, сколько и вы». «Конечно, — последовал ответ. — Но президент США, если пожелает, может назначить государственным секретарем кого угодно, хотя бы вас, но ни вы, ни кто-либо еще не сможет заменить Хасслера». На этом разговор был окончен. Хасслер продолжал получать значительное жалование, а казначей, разумеется, так и не был назначен на должность госсекретаря.

Простодушный математик

Превосходный геометр и специалист по математическому анализу Мишель Шаль (1793–1880) однажды оказался одурачен, как простофиля.

В 1867 году он с гордостью представил Академии наук несколько писем Паскаля, в которых убедительно доказывалось, что закон всемирного тяготения Ньютона намного раньше был открыт французским гением. Выступление Шаля произвело эффект разорвавшейся бомбы. Европейцы наконец нанесли смертельный удар англичанам!

Шаль приобрел письма — как позже и другие крайне любопытные документы — у некоего Дени Врэн-Люка. К примеру, последний продал Шалю несколько ящиков с письмами Юлия Цезаря Верцингеториксу и Клеопатре, письма Александра Македонского Аристотелю и даже письмо Марии Магдалены Лазарю. В общей сложности Шаль отдал Врэн-Люка почти 140 тысяч франков.

Большая часть писем была написана на обычной бумаге и на французском языке — одно это могло бы заставить покупателя усомниться в их подлинности. Однако, как гласит английская пословица, хуже всякого глухого тот, кто не хочет слышать, и Шаль, блестящий математик, не применил в повседневной жизни те же строгие критерии, какими пользовался в мире науки.

Обманчивый титул

Джеймс Джозеф Сильвестр (1814–1897) был английским математиком и любителем головоломок. Многие годы он преподавал в США, в Университете Джона Хопкинса, и сделал большой вклад в развитие математики Нового Света, однако в математическом мире он известен прежде всего как неразлучный коллега Артура Кэли (1821–1895). Небрежное отношение Сильвестра к тому, что доказано, а что — нет, вошло в пословицу. Одно из утверждений, которое он возвел в ранг теоремы, Дерфи даже назвал абсурдным.

Сильвестр обладал горячим нравом и отличался оригинальностью. В 1858 году, в то же время, когда на сцену вышел Чарльз Дарвин и его «Происхождение видов», Сильвестр опубликовал в журнале Philosophical Magazine статью, которая должна была вызвать скандал в викторианском обществе.

Статья называлась «On the Problem of the Virgins and the General Theory of Compound Partition» («О задаче о невинных девушках и общей теории составного разделения»), но, несмотря на это название, в работе не содержалось ничего провокационного. Невинные девушки, которым была посвящена статья, имели отношение исключительно к математической задаче. Она заключалась в решении системы из двух уравнений на поле натуральных чисел. Эта задача относится к непростой дисциплине под названием «комбинаторная алгебра», в частности к теории разбиений. Содержание подобных провокационных статей в 1858 году вызывало у читателей улыбку.

Ректор-фехтовальщик

Немецкий математик Карл Вейерштрасс (1815–1897) считается одним из авторов логически строгого изложения математического анализа. Современные ученики шепотом проклинают ученого — именно Вейерштрассу принадлежит знаменитое определение предела и непрерывности с δ и ε:

«Говорят, что f(x) стремится к у0 при x, стремящемся к x0, если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что |f(x)) — y0| < ε для любого х такого, что |x — x0| < δ»

Юность Вейерштрасса едва ли можно назвать образцовой: высокий атлетичный юноша, большой любитель пива и математики, был к тому же первоклассным фехтовальщиком. В те времена считалось нормальным, что студенты собирались в фехтовальных клубах и, соревнуясь в храбрости, вызывали друг друга на поединки. Защитная экипировка оберегала от тяжелых ран, но не прикрывала щеки, которые становились первой мишенью для ударов, так что шрамы на щеках считались признаком красоты и мужественности. Однако Вейерштрасс был столь искусным фехтовальщиком, что на его щеках не осталось ни единого шрама: на фотографиях, сделанных позднее, можно видеть, что его щеки идеально гладкие. Видимо, студент гораздо больше сил отдавал фехтованию, чем наукам, потому что по окончании обучения получил только второстепенный диплом, дававший право преподавать в школе. Вейерштрасс был учителем физики, математики, истории, иностранных языков, географии, гимнастики и — хотите верьте, хотите нет — каллиграфии.

Много лет спустя, когда благодаря математическим заслугам Вейерштрасс возвысился над простыми смертными, он стал ректором Берлинского университета и рыцарем ордена «За заслуги» — высшего ордена Германии, учрежденного королем Фридрихом II. Даже докторскую степень Вейерштрасс получил не совсем обычным способом — ему была присуждена степень почетного доктора Кёнигсбергского университета.

Карл Вейерштрасс на портрете кисти Конрада Фера.

Пусть останется в шляпе — без нее эта женщина очень опасна

Таким необычным образом блестящий химик Роберт Бунзен (1811–1899) охарактеризовал прекрасную русскую женщину-математика Софью Ковалевскую (1850–1891) — одну из немногих женщин, которой удалось преодолеть предрассудки и занять место на математическом Олимпе.

Короткая жизнь Ковалевской (она носила фамилию мужа, геолога, дружившего с самим Дарвином) была похожа на приключенческий роман и изобиловала романтическими историями, словно предназначенными для кинематографа. Наверное, поэтому о жизни Ковалевской снято целых три фильма. Ее бабушка была цыганкой, дед происходил из благородного рода, и Софья являлась прямым потомком венгерского короля Матьяша I Корвина. Она была писательницей, феминисткой, политиком и, к несчастью, женщиной, так что весь мир порой был настроен против нее. Ковалевская близко дружила с Достоевским, Миттаг-Аеффлером и Вейерштрассом, который не слишком благожелательно относился к женщинам в науке, но согласился давать ей частные уроки. Она была первой женщиной, возглавившей университетскую кафедру, лауреатом престижной премии Французской академии наук Prix Bordin за исследования механики сложных маятников и просто красавицей, умершей в расцвете лет от осложнений после простуды. Многое в ее жизни достойно того, чтобы стать сюжетом фильма или книги.

По легенде, все началось с того, что Ковалевским нужно было оклеить стены обоями, однако обоев для детской по каким-то причинам не хватило, и ее стены оклеили листами из старых конспектов лекций Михаила Остроградского по математическому анализу, на которых можно было прочесть формулы интегрального и дифференциального исчисления. Софья пыталась расшифровать некоторые формулы и те, подобно увлекательному роману, постепенно раскрывали перед ней свои тайны. Отец Софьи, несколько старомодный генерал-лейтенант, был человеком своего времени и считал уделом женщин исключительно рождение детей. Он решительно противился тому, чтобы дать дочерям хоть какое-то образование, а о занятиях наукой вообще не могло быть и речи.

Друг семьи Ковалевских, господин Тыртов, преподнес в дар главе семейства свою книгу по физике. Софья не только прочитала ее, но и прекрасно разобралась в написанном, чем немало удивила автора. Тыртов попросил у отца Софьи разрешения давать его дочери уроки, но генерал был непреклонен. Чтобы обрести свободу, девушка заключила фиктивный брак с Владимиром Ковалевским. Для обоих супругов этот союз был чистой формальностью, но такова была цена независимости.

Продолжение истории Софьи Ковалевской вы найдете во множестве книг.

Российская памятная марка с портретом Софьи Ковалевской, выпущенная в 1996 году.

Глава 6 Математики недавнего прошлого

Математик — это машина, которая перерабатывает кофе в теоремы.

Пал Эрдёш

Не совсем обычный дьякон

Дьякон Чарльз Лютвидж Доджсон (1832–1898) никогда не был рукоположен в сан священника и больше известен как Льюис Кэрролл. Он был автором «Алисы в Стране чудес» и «Алисы в Зазеркалье», а также преподавателем математики и логики. Подобно доктору Джекилу и мистеру Хайду, Доджсон вел двойную жизнь, в которой сочетались странные увлечения и занятия наукой. Все считали его писателем с буйной фантазией, его любимым занятием была фотография, а на жизнь он зарабатывал преподаванием математики в колледже Крайст-Черч Оксфордского университета.

Иллюстрация Джона Теннила к «Алисе в Стране чудес».

Жизнь Кэрролла была полна анекдотов, но самый известный из них, по всей видимости, оказался выдумкой: рассказывают, что королева Виктория прочла сказки об Алисе с большим удовольствием и попросила принести ей другие книги того же автора. Следующей книгой, которую получила королева, стало «Элементарное руководство по теории детерминантов» («Аn Elementary Treatise on Determinants»). Наверняка Виктория была довольно сильно удивлена.

Первый в рейтинге

Возможно, имя Уильяма Томсона (1824–1907) ничего вам не скажет. Этот человек упоминается в книгах под именем лорда Кельвина — этот титул был пожалован ему в викторианскую эпоху за участие в прокладке трансатлантического кабеля, соединившего Америку с Европой.

Лорд Кельвин был сыном преподавателя математики и шотландцем, то есть провинциалом. Французский язык он выучил в Париже, а его высокий интеллект считался едва ли не оскорбительным для окружающих. Статью Кельвина для Эдинбургского королевского общества представил более зрелый профессор — если бы члены общества узнали об истинном возрасте автора (который был еще подростком), то сочли бы его труд розыгрышем и отказались бы его рассматривать.

О лорде Кельвине рассказывают множество историй, и некоторые из них весьма примечательны. К примеру, став профессором, он держал перед собой три ящика с надписями «Чистилище», «Рай» и «Ад». На каждом занятии он извлекал из ящика с надписью «Чистилище» бумажку с именем студента и заставлял его прочесть урок наизусть. В зависимости от того, насколько удачным был ответ, бумажка с именем студента отправлялась в один из двух других ящиков.

Томсон был вундеркиндом, он вырос в достатке и в результате был несколько избалован. Первый удар по самолюбию он получил в Кембридже. По университетской традиции (она сохранялась до 1909 года) студенты третьего курса, изучавшие математику, сдавали экзамен, на котором требовалось решить несколько задач, после чего составлялся их общий рейтинг. Последнему студенту в рейтинге выдавалась деревянная ложка — этот обычай до сих пор сохранился в регби, — а первые студенты в списке получали почетную степень wrangler, что можно перевести как «боец».

Получить высшую почетную степень было большой честью — так, ее в разные годы удостаивались Кэли, Гершель, Литлвуд, Эддингтон и Адамс. Однажды высшую почетную степень получил будущий нобелевский лауреат лорд Рэлей, и ему пришлось опубликовать в газете «Таймс» заметку, в которой он объяснил, что почетная степень была присуждена ему исключительно за его заслуги, а не за титул и авторитет. Лорд Кельвин сдал экзамен и, не особо-то волнуясь, отправил слугу на факультет, чтобы узнать свое место в общем рейтинге. Юноша ни на секунду не сомневался в том, что заслужил высшую почетную степень, поэтому когда слуга вернулся, он спросил: «Ну что, кто получил вторую почетную степень?». Слуга ответил: «Вы, сэр». И действительно, высшей почетной степени был удостоен другой студент.

Вторая почетная степень тоже была весьма достойным результатом — ее в разные годы удостаивались Джеймс Клерк Максвелл и первооткрыватель электрона Джозеф Джон Томсон. Другие студенты, прославившиеся впоследствии, в свое время занимали в этом рейтинге весьма скромные места: Харди был четвертым, Бертран Рассел — седьмым, Мальтус — девятым, Кейнс — двенадцатым. Как видите, реальные заслуги нельзя измерить никаким рейтингом.

Уильям Томсон, первый лорд Кельвин.

Миттаг-Леффлер не виноват

Изготовитель взрывчатки Альфред Нобель (1833–1896) учредил одну из престижнейших премий в истории — Нобелевскую премию, которая присуждается за заслуги в науках: физике, химии, литературе, медицине, а также в деле сохранения мира. Позднее, в 1969 году, фонд Нобеля также учредил премию по экономике, которую финансирует Шведский банк. Но почему Нобель не учредил премию по математике? В XXI веке была учреждена премия для математиков, аналогичная Нобелевской — Абелевская премия, названная в честь великого норвежского математика Нильса Хенрика Абеля (1802–1829) и присуждаемая Норвежской академией наук и литературы. Впервые премия была вручена в 2003 году. Ее лауреатами стали:

Размер этой премии составляет 550 тысяч долларов. Увы, сам Нильс Хенрик Абель, по злой иронии судьбы, в буквальном смысле умер от голода.

Так почему же Нобель решил не вручать премии по математике? Существуют две основные версии, которые связаны с личностью крупнейшего шведского математика времен Нобеля — Магнуса Гёсты Миттаг-Леффлера (1846–1927).

Магнус Гёста Миттаг-Леффлер — человек, который ни в чем не был виноват.

Одно из самых популярных объяснений заключается в том, что возлюбленная Нобеля предпочла ему Миттаг-Леффлера, а возмущенный Нобель решил не присуждать свою премию математикам. Миттаг-Леффлер действительно был высоким и статным, однако доподлинно неизвестно, встречался ли он с Нобелем хоть когда-нибудь — интересы ученых были чрезвычайно далеки, сам Нобель покинул Швецию в 1865 году и возвращался на родину считаное число раз. Однако то, что Нобель всю жизнь оставался холостяком, совершенно точно.

Согласно другому, менее драматичному объяснению, предположительно Миттаг-Леффлер нажил свое состояние не совсем честным способом и где-то перешел дорогу Нобелю. Однако эта версия вообще не содержит ни грамма истины: Миттаг-Леффлер своим состоянием обязан не каким-то финансовым операциям, а удачной женитьбе на богатой невесте.

Скорее всего, Альфреду Нобелю просто не пришло в голову учредить премию по математике — она не была частью его жизни.

Женщинам вход воспрещен

В наши дни в некоторых религиозных течениях женщин по-прежнему забивают камнями за недостойное поведение. На Западе подобное строго запрещено, а любого, кто причинит женщине физические или моральные страдания, ждет наказание. Однако в начале XX века всё обстояло иначе, и подтверждением этому может служить судьба Эмми Нётер (1882–1935) — возможно, величайшей женщины-математика из всех, кого видел свет. Ее злоключения начались уже в молодости. В 1915 году руководство Гёттингенского университета не разрешило ей, обладательнице докторской степени с неоспоримым авторитетом, занять должность преподавателя.

Причина, по которой власти авторитетного университета приняли такое решение, была абсурдной. В самый разгар Первой мировой войны члены университетского синедриона фарисейски задавались вопросом: что подумают солдаты, вернувшиеся с полей сражений за отечество, когда увидят, что им будет преподавать математику какая-то женщина? Возможно, вполголоса звучала и другая причина: женщина-преподаватель бросила бы тень на авторитет остального ученого состава. В результате никто не взял на себя смелость изменить существовавшее положение вещей. Давид Гильберт (1862–1943), который возглавлял кафедру Гёттингенского университета и взирал на происходящее с отвращением, в отчаянии воскликнул: «Какое значение имеет пол кандидата? Это университет или мужская баня?» Намного позже, в 1919 году, Эмми наконец была принята в число сотрудников университета, однако ей не назначили ни кафедру, ни жалование.

Когда в 1933 году в Германии начались преследования евреев, Нётер эмигрировала в США, и здесь ей вновь пришлось столкнуться с нетерпимостью: ее должность в Брин-Мор-колледже прекрасно оплачивалась, однако колледж не имел статуса высшего учебного заведения и в нем обучались только женщины, а Принстонский университет в те годы принимал на работу исключительно мужчин. Эмми не пригласил ни один университет, и сложилась парадоксальная, можно сказать, смешная ситуация: преподаватель женского колледжа выступала с докладами и вела семинары в Принстонском институте перспективных исследований, где работали некоторые из ее бывших учеников, а также, к примеру, Альберт Эйнштейн.

Мрачный энтузиазм Гильберта

Далее мы расскажем об одном случае из жизни Давида Гильберта, типичного рассеянного ученого, который после смерти Пуанкаре был признан ведущим математиком мира. Об извечной рассеянности Гильберта рассказывают множество анекдотов, но наша история выдается из общего ряда.

Как-то раз один из лучших учеников Гильберта передал ему черновик доказательства знаменитой гипотезы Римана, и ученый далеко не сразу нашел ошибку в рассуждениях юноши. Этот ученик поистине подавал большие надежды. К несчастью, он безвременно скончался, и Гильберт, потрясенный случившимся, попросил у его родных разрешения произнести прощальную речь. В день похорон шел дождь. Окруженный плачущими родственниками умершего, Гильберт сказал несколько слов. Присутствующие взирали на него с восхищением: сам великий Гильберт произносил речь у могилы. Гильберт рассказал об умершем, отметил его достоинства и знания, затем перешел к его интересам, после чего упомянул гипотезу Римана и тут оживился. К изумлению и ужасу присутствующих, он продолжил объяснения для посвященных: «К примеру, если мы рассмотрим функцию f(z), где z принадлежит полю комплексных чисел…». Далее последовала целая лекция по основам математического анализа. Представьте себе эту сцену — дождливый день, родители и родственники умершего стоят у могилы… а перед ними докладчик с энтузиазмом повествует о функциях комплексной переменной. Опустим завесу скорби над этой печальной сценой.

Давид Гчльберт.

Разумеется, известно множество рассеянных математиков, о которых существует неисчислимое множество историй. Как-то раз Витольд Гуревич (1904–1956) приехал на работу на машине. А вечером отправился домой… поездом — он забыл, что приехал на автомобиле. «Это могло случиться с кем угодно», — возразит нам читатель. Однако на следующий день, когда Гуревич вновь должен был ехать на работу, он с огорчением обнаружил пропажу автомобиля и незамедлительно заявил о краже в полицию.

Неповторимый Пал Эрдёш (1913–1996) как-то раз встретился со своим известным коллегой и из вежливости спросил его, откуда тот родом. «Из Ванкувера», — последовал ответ. Лицо Эрдёша озарилось улыбкой: «Тогда вы наверняка знакомы с моим другом Эллиотом Мендельсоном». — «Я и есть Эллиот Мендельсон». Рассеянность Эрдёша была поистине феноменальной.

Простое и сложное

Одним из самых выдающихся экономистов был математик Джон Мейнард Кейнс (1883–1946), первый барон Кейнс. Мы не будем подробно перечислять все заслуги знаменитого ученого — это уже сделано до нас. Сам Кейнс рассказывал, что как-то раз в Берлине лауреат Нобелевской премии по физике Макс Планк (1858–1947), создатель квантовой физики, который славился выдающимся умом, признался, что хотел бы стать экономистом, но экономика показалась ему слишком сложной. Подобное признание и проявление скромности тронули Кейнса: он расценил слова Планка как дань уважения своему таланту.

Однако его радость длилась недолго: спустя несколько дней, на встрече в Королевском колледже Кембриджского университета, Кейнс с улыбкой пересказал слова Планка присутствующим. Один из них, историк Лоус Дикинсон, ответил, что как-то раз Бертран Рассел, отличавшийся разносторонним умом, признался, что в юности тоже хотел стать экономистом, но отказался от этой идеи — экономика показалась ему слишком легкой.

То, что казалось сложным лауреату Нобелевской премии по физике, показалось легким лауреату Нобелевской премии по литературе. Кейнс не получил Нобелевскую премию по экономике — на тот момент она еще не была учреждена.

Вопрос четности

Советский физик и астроном Георгий Гамов рассказывал, что в 1929 году состоялась важная конференция с участием крупных физиков. На ней была представлена формула Клейна — Нишины, которая играет важнейшую роль в исследованиях элементарных частиц, так как описывает столь важное (для посвященных) явление, как рассеяние фотонов в квантовой хромодинамике. Статья, в которой приводилась эта знаменитая формула, называлась «Űber die Streuung von Strahlung durch freie Elektronen nach der neuen relativistischen Quantendynamik von Dirac» («О взаимодействии свободных электронов с излучением по дираковской теории электрона и по квантовой электродинамике») и принадлежала шведскому физику Оскару Клейну (1894–1977) и одному из уважаемых творцов современной физики Есио Нишине (1890–1951). На конференции выступил сам Нишина, а среди присутствующих находился молчаливый, но очень опасный защитник только-только зарождавшейся новой физики — английский ученый Поль Дирак (1902–1984), который тогда еще не был нобелевским лауреатом.

Нишина бойко записывал на доске свои выкладки, пока один из присутствующих не заметил, что в последней формуле содержится знак «минус», которого не было в исходной статье. Нишина не придал этому особого значения — должно быть, он попросту случайно сменил знак посреди хитросплетения расчетов. «Поищите в статье — в одном из мест знак изменен верно». И тут оживился Дирак, который, как обычно, в течение всего выступления дремал: «Ищите в нечетном числе мест», — заметил он. И действительно, если ошибка в знаке содержится в трех, пяти, семи местах и так далее, результат не изменится. Единственное, что имеет значение — четность числа ошибок. Одни скажут, что Дирак стоял на страже математических идеалов, а другие возразят, что он всего лишь хотел уязвить собеседника.

Поль Адриен Морис Дирак, лауреат Нобелевской премии по физике.

Третейский судья

Было время, когда имя сэра Артура Эддингтона (1882–1944) почиталось всеми. Этот астрофизик обладал огромным авторитетом и был признанной величиной в мире науки. Он увлекался нумерологией и часто использовал число, которое называл космическим. Оно равнялось числу частиц во Вселенной, и Эддингтон считал его равным

136·2256  = 13 747 724136 275 002 577 605 653 961181555 468 044 717 914 527 116 709 366 231425 076185 631031296.

Это поистине астрономическая величина, и наш герой умело жонглировал ею. Он был действительно блестящим математиком, а также славился остроумием и легким характером.

Эддингтон считался достаточно умным, чтобы воспринять теорию относительности Эйнштейна, которая в то время была воплощением непонятного и загадочного. Личность Эддингтона хорошо описывает одна история, связанная с теорией относительности. Польско-американский физик и признанный специалист по теории относительности Людвиг Зильберштейн (1872–1948) однажды похвалил Эддингтона: «Говорят, что вы — один из трех человек в мире, способный понять теорию относительности Эйнштейна». Эддингтон немного подумал и спросил: «А кто же третий?» Очевидно, что первыми двумя он считал себя самого и Эйнштейна. Впрочем, справедливости ради отметим, что нескромность была чуть ли не единственным недостатком ученого.

Сэр Артур Эддингтон (справа) с Альбертом Эйнштейном.

Математик, которого никогда не существовало

Когда кто-то хочет рассказать не совсем обычную историю о математике, речь заходит о Николя Бурбаки. Мы не указываем год его рождения, так как, строго говоря, у Николя Бурбаки его нет. И вообще, этот один из наиболее влиятельных математиков XX века в действительности никогда не существовал.

Хотя привести год рождения несуществующего человека непросто, можно сказать, что он появился на свет примерно в 1935 году, когда вихри войны, позднее всколыхнувшие весь мир, еще не обрели полную силу. Группа молодых математиков, среди которых были Андре Вейль (1906–1998), Анри Картан (1904–2008), Клод Шевалле (1909–1984), Жан Дьёдонне (1906–1992) и другие, решила создать математический трактат, который обладал бы строгостью и четким логическим фундаментом и где использовался бы новый подход, заключающийся в переходе от общего к частному. Тексты должны были публиковаться без подписи, мнимым автором считался Бурбаки, а установленные правила игры были довольно прогрессивными: каждая рукопись перед публикацией передавалась между членами группы с целью дальнейшего улучшения, и вклад в нее мог внести каждый. Каждая рукопись в итоге вызывала жаркие споры на встречах (громче всех на этих встречах звучал громовой голос Дьёдонне), которые порой превращались в настоящие сражения.

Затем наступила война, пришло послевоенное время, и на свет появился целый ряд книг за подписью Бурбаки — сложных, но безукоризненно точных. Позднее они стали легендарными, так как отличались высоким уровнем изложения, в них было предсказано появление множества новых математических понятий. Не последнюю роль сыграла и оригинальная личность коллективного автора. Понемногу членами группы становились и другие математики, уже не только французы, и группа Бурбаки обновлялась сама по себе. К этой славной плеяде присоединились Лоран Шварц (1915–2002), Роже Годеман (род. 1921), Самуэль Эйленберг (1913–1998), Жан-Пьер Серр (род. 1926), Александр Гротендик (род. 1928), Джон Тейт (род. 1925), Серж Ланг (1927–2005), Ален Конн (род. 1947), Жан-Кристоф Иокко (род. 1957) и многие другие, о которых мы не будем упоминать отчасти потому, что этот перечень будет слишком длинным, а отчасти потому, что о многих доподлинно неизвестно, были ли они членами группы. Бурбаки продолжал оставаться юным и блистал своим поистине французским чувством юмора. Можно написать не одну книгу, полную анекдотов о Бурбаки, который получил свое имя в честь малоизвестного французского генерала. Но чтобы описать его максимально точно, достаточно следующего анекдота.

Ральф Боас (1912–1992), президент Математической ассоциации Америки, считал, что роль Бурбаки следует прояснить для широкой американской публики на страницах журнала Scientific American, и подробно рассказал, что Бурбаки был коллективным псевдонимом группы профессиональных математиков, по большей части французов и так далее. Каково же было удивление Боаса, когда в один прекрасный день он обнаружил в почте письмо от некоего Николя Бурбаки, который энергично протестовал против того, что он якобы не существует. Боас, разумеется, отнесся к письму с юмором и счел его всего лишь шуткой одного из бурбакистов.

Однако Боас не учел, сколь мстительным окажется Бурбаки: спустя некоторое время тут и там стали появляться слухи, призванные убедить математиков в том, что Ральфа Боаса не существует. Слухи утверждали, что Боас — это коллективный псевдоним американских математиков, а человека с таким именем никогда не существовало…

О кончине Николя Бурбаки было объявлено в 1968 году. Он покинул этот мир в возрасте 33 лет, подобно Христу. В некрологе, опубликованном скорбящими родственниками-авторами, приносились соболезнования всем бурбакистам и сочувствующим, а также приводилась цитата из воображаемой книги священного писания — Евангелия от Гротендика, глава IV, стих 22.

Компьютер и холодная война

Сразу же за великой объявленной войной (Второй мировой) последовала другая, необъявленная, — так называемая холодная война, которая длилась намного дольше. За эти 44 года безмолвное противоборство сторон было не только политическим — оно коснулось и науки, в том числе математики, казалось бы, столь далекой от любых военных конфликтов.

В 1943 году, вскоре после завершения военных действий, СССР столкнулся с новым миром знаний, к которому оказался совершенно не подготовлен. К примеру, советская интеллектуальная элита проявляла большой интерес к вычислительным методам, однако в СССР не было ни одного компьютера. Когда же советские специалисты захотели приобрести компьютер, чтобы понять принцип его действия и просто скопировать его, то столкнулись со всевозможными препятствиями.

В том же году в США был построен ENIAC — первый действующий компьютер. Советские бюрократы физически не могли выкрасть или скопировать вычислительную машину столь огромных размеров (и, кроме того, очень редкую — ENIAC существовал в единственном экземпляре), поэтому через министерство по внешней торговле отправили в Пенсильванский университет письмо с просьбой продать им экземпляр так называемого «робота-вычислителя». Декан университета немедленно передал письмо американским военным. Ответа на обращение не последовало, так что Советскому Союзу пришлось обходиться без ENIAC. И советским ученым это прекрасно удалось: в последующие годы в странах Восточного блока наблюдалось бурное развитие вычислительной математики, и весь мир узнал о таких выдающихся деятелях науки о вычислениях, как Андрей Колмогоров (1903–1987).

Инопланетянин в Соединенных Штатах

Джон фон Нейман (1903–1957), известный среди друзей под именем Джонни, был венгром по происхождению и при рождении получил имя Янош. А современники поговаривали, что он вообще инопланетянин — память фон Неймана, его способности к вычислениям, широчайший спектр самых разных интересов и умение рассуждать были поистине нечеловеческими. Возможно, он был последним ученым, способным охватить все разделы математики своего времени. Сегодня это уже невозможно, так как наука стала слишком велика.

Еще один математик, Дьёрдь Пойа (1887–1985), который всегда отличался проницательностью и умением ставить задачи, как-то заметил, что некая теорема не доказана. Спустя несколько минут фон Нейман подошел к доске, взял мел и записал искомое доказательство. Говорят, что Пойа с тех пор всегда смотрел на фон Неймана с некоторым испугом.

Ханс Бете (1906–2005), лауреат Нобелевской премии по физике 1967 года, делил задачи, рассматриваемые на математических семинарах, на десять уровней сложности. Его классификация выглядела примерно так: «Задача 1-го уровня — это задача, которую способна понять даже моя мама. Задача 2-го уровня понятна, скажем, моей жене». Для экономии времени пропустим несколько уровней сложности: «К 7-му уровню принадлежат задачи, которые способен понять я. Задачи 8-го уровня способны понять только их автор и Джонни фон Нейман. К 9-му уровню принадлежат задачи, которые понимает только Джонни, но не автор. К 10-му уровню относятся те задачи, которые пока не понял даже фон Нейман. Однако, по правде говоря, таких задач очень немного».

Джон фон Нейман был одним из создателей электронных вычислительных машин.

Норберт Винер

Американский математик Норберт Винер (1894–1964) известен как создатель кибернетики и вундеркинд. Он был типичным рассеянным ученым и стал главным героем огромного количества популярных историй. Мы не будем приводить их все, чтобы читатель не заскучал. Тем не менее одна из этих историй, не очень известная, заслуживает упоминания. Представьте себе лекцию в легендарном Массачусетском технологическом институте, на которой Винер с необычайной быстротой делится своей мудростью со студентами, заполняя доску все новыми и новыми символами.

Лектор лихо лавирует в океане математических понятий и теорем, в котором аудитория давно и бесславно потонула. Порой слушатели совершенно не понимают, о чем идет речь. И тут один из студентов решился попросить о перерыве в этой словесной бомбардировке: «Извините, не могли бы вы повторить еще раз, помедленнее?» Винер выполнил просьбу, однако сделал это своеобразным способом. Студент жалуется на то, что лекция идет слишком быстро? Что ж, стоит немного расслабиться.

Винер с улыбкой расположился у доски и несколько минут хранил молчание. Когда, по его мнению, прошло достаточно времени, чтобы студенты смогли переварить услышанное, он все с той же улыбкой вернулся к доске, поставил энергичную точку, и лекция на этом закончилась. Разумеется, никто так ничего и не понял.

Нелогичная конституция

Наибольшее влияние на развитие современной математики оказал австрийско-американский ученый Курт Гёдель (1906–1978) — великий математик, который будет упомянут во всех энциклопедиях будущего за свои научные достижения, а также, увы, во всех сборниках анекдотов за необычные черты характера, которые с годами только обострились.

В конце жизни Гёдель посчитал, что ему неплохо бы получить американское гражданство. Для этого, согласно правилам, требовалось поклясться в верности Конституции США перед судьей и в присутствии двух свидетелей. Свидетелями стали друзья — и какие! Оба они, как и Гёдель, прошли через Институт перспективных исследований в Принстоне. Одним был Альберт Эйнштейн, другим — экономист Оскар Моргенштерн (1902–1977), создавший вместе с Джоном фон Нейманом теорию игр. Оба опасались, что Гёдель совершит что-нибудь неразумное во время церемонии — им было известно о прогрессирующей паранойе ученого, и они уже знали, что Гёдель прочел Конституцию США и своим острым умом обнаружил статьи, которые содержали лазейки, позволявшие установить диктатуру.

Настал момент, когда Гедель должен был предстать перед судьей, который счел себя обязанным побеседовать со столь выдающимися людьми, ведь перед ним предстали три величайших интеллектуала мира. Со всей вежливостью судья напомнил Геделю, что произошедшее на его родине (судья ошибочно упомянул Германию, хотя Гедель был гражданином Австрии) больше не повторится: «Американская конституция никогда не позволит установить диктатуру в нашей стране». Это было равносильно упоминанию веревки в доме повешенного. Гёдель с жаром начал свое выступление: по его словам, из-за лазеек в Конституции диктатура в США была вполне возможной. Но свидетели поспешно перебили Гёделя и перевели разговор на другую тему. Беседа закончилась ничем — все присутствующие, включая судью, решили больше не беспокоить прославленного логика. Гёдель в конце концов получил желаемое гражданство — судья вынес положительный вердикт, возможно, только для того, чтобы больше не слушать Гёделя.

«Все хорошо, что хорошо кончается» — должно быть, подумал Эйнштейн. «И кто только просил меня ввязаться в это дело?» — должно быть, подумал Моргенштерн. «Но мне не дали объясниться!» — наверняка сказал Гёдель. «Вот потеха!» — подумал бы американский комик Граучо Маркс, если бы мог присутствовать при разговоре.

Курт Гёдель в Институте перспективных исследований в Принстоне.

Особый словарь

Пал Эрдёш выделялся не только своими нестандартными подходами в математике и крайней научной плодовитостью — он также использовал особый язык. Необычная манера выражаться стала следствием излишней увлеченности Эрдёша математикой, и она достойна нескольких страниц в нашей книге. Ограничимся лишь избранными примерами, которые нетрудно найти даже в интернете.

Идеальная афера

Математики способны придумывать превосходные аферы — даже жаль, что они профессионально этим не занимаются. Математик Джон Аллен Паулос (род. 1945) преуспел на литературном поприще, написав несколько книг по математике, ставших мировыми бестселлерами. Возможно, самой успешной из них была книга «Математическая безграмотность и ее последствия». В ней Паулос демонстрирует неспособность современного человека оперировать числами в повседневной жизни. К примеру, использование процентов вызывает затруднения у миллионов людей, даже вполне грамотных.

Однако мы упомянули Паулоса по другой причине. В книге «Математическая безграмотность» он объясняет инвестиционную аферу, которую может провести любой, обладающий достаточным начальным капиталом. Изложим ее на свой страх и риск.

Допустим, что мы разослали 64 тысячи сообщений по разным адресам. В половине из них мы рекомендуем адресату совершить вложения, в другой половине советуем не инвестировать. В итоге 32 тысячи сообщений окажутся истинными — неплохой результат. Повторим эту же операцию, к примеру, еще 5 раз, но не будем отправлять сообщение тем, кто в прошлый раз получил ошибочный совет. В итоге у нас останется 1000 адресов людей, получивших подряд шесть сообщений с верной информацией об инвестициях. В нашем мире жесткой конкуренции, полном неопределенности, получить шесть верных сообщений подряд попросту немыслимо.

Таким образом, у нас есть 1000 потенциальных жертв аферы. Мы можем убедить кого-нибудь из этой тысячи передать нам определенную сумму для того, чтобы мы выгодно ее вложили. Разумеется, деньги жертве мы не вернем. Внесем ясность: эту схему описал Паулос, мы же не несем за нее никакой ответственности.

Верить нельзя даже «Коду да Винчи»

Роман «Код да Винчи» не только стал бестселлером на всех языках, но и вызвал интерес у любителей математики, так как многие ключи к загадке романа имеют отношение к арифметике или геометрии. Автор обрушивается с жестокой критикой на такие организации, как Опус Деи, и это вызвало недовольство в некоторых кругах. Неприязнь недоброжелателей стала бы еще больше, если бы им сообщили, что в математических выкладках, приведенных в «Коде да Винчи», имеются неточности. Расскажем об одной из них.

В главе 22 монах Сайлас, носивший железные вериги для усмирения плоти, смотрит на линию Розы в церкви Сен-Сюльпис. Это металлическая лента, проложенная на полу строителями церкви в 1727 году подобно гномону — астрономическому инструменту, тень которого указывает точное время в день летнего солнцестояния. К сожалению, автор романа, Дэн Браун, пишет, что эта линия совпадает с линией, обозначающей Парижский меридиан. На самом деле это не так: подлинный меридиан проходит по воображаемой линии, отстоящей от линии Розы на несколько метров. Вы можете увидеть эту непрерывную линию в Парижской обсерватории и на улицах города — ее образуют свыше ста бронзовых медальонов с именем Араго, первого математика, который вычислил положение меридиана. Первый медальон находится в центре знаменитой пирамиды Лувра.

Линия Розы на полу церкви Сен-Сюльпис доходит до обелиска, расположенного в глубине зала.

Металлическая лента, указывающая положение Парижского меридиана в обсерватории.

Гений за работой

Англичанин Стивен Хокинг (род. 1942) из героя научного мира превратился в любимца СМИ и желтой прессы. Выдающийся ученый, обладающий невероятными способностями, прикованный к инвалидной коляске и страдающий от неизлечимого заболевания, стал желанной добычей журналистов. Если учесть, что основной областью деятельности Хокинга является астрофизика, то он сегодня является первым кандидатом на место гениального ученого и умнейшего человека на Земле.

В юности Хокинг учился в Оксфорде, где настоящим бедствием были не только лекции, но и сложнейшие задачи, которые требовалось решить самостоятельно. Как-то раз Хокинг с друзьями столкнулись с рядом особо трудных задач. Некоторые просидели над ними всю ночь и к утру решили целых две с половиной задачи.

Наш герой принялся за дело после завтрака. У него оставалось всего три часа — ровно через три часа должны были начаться занятия, где нужно было сдать проклятые задачи. Хокинг появился у дверей аудитории перед началом с поникшей головой. «Ну что? Решил какую-нибудь?» — спросили его друзья. Он ответил: «Черт побери, мне не хватило времени. Я решил только первые десять».

Математик и в лагере математик

Жан Лере (1906–1998) был одним из крупнейших французских математиков XX века. При всей близости к группе Бурбаки он не примкнул к этому коллективу, позднее ставшему легендарным. Лере был патриотом и выдающимся интеллектуалом, поэтому нацисты, оккупировавшие Францию, сочли его угрозой для режима и с 1940 по 1945 год содержали его в лагере для военнопленных близ Эдельбаха.

Лере был специалистом по гидромеханике и получил несколько очень важных результатов, связанных с одной из задач тысячелетия — задачей о решении уравнений Навье — Стокса, ключевых уравнений гидродинамики. Боясь, что нацисты узнают, кто он, и захотят использовать его знания в военных целях, Лере радикально сменил род деятельности и занялся топологией. Этот раздел математики в то время считался бесполезным и не представлял для военных никакого интереса. Однако благодаря своему выдающемуся уму Лере вскоре стал одним из ведущих специалистов по алгебраической топологии во всем мире, хотя по-прежнему находился в лагере для военнопленных.

Однако все, даже самое плохое, когда-нибудь заканчивается. Лере пережил войну и был освобожден. Вернувшись к работе, он оставил топологию, которой уделил столько лет, и вновь, как и до войны, занялся уравнениями в частных производных. И вновь он стал мировым лидером в своей области. Есть в этом мире вещи, которые остаются неизменными.

Неожиданный удар

Следует признать, что некоторые шутки порой очень обидны. Прекрасный пример такой шутки можно найти на странице 75 книги «Математические методы для физических наук» (издание 1965 года). Ее автор, Лоран Шварц (1915–2002), — известный математик, член группы Бурбаки и лауреат Филдсовской премии 1950 года.

На этой странице, которой заканчивается очередная глава книги, приведен ряд задач. Соль шутки заключена в задаче 8, которая в переводе с французского звучит так: «Одно из утверждений 1–7 неверно! Какое?». У бедного студента, который, потратив уйму времени, докажет задачи 1–7, при виде задачи 8 с языка, скорее всего, сорвется крепкое слово, и шутка автора покажется ему вовсе не смешной. Представьте, каково это: пролить семь потов, решить семь задач и в итоге услышать, что в одной из них ошибка — причем неизвестно, в какой именно!

Но если поразмыслить хорошенько, разве почитаемая всеми математика — это не искусство мысли? Возможно, своей шуткой Шварц попал в самую точку, и задача под номером 8 поистине прекрасна.

Страница книги «Математические методы для физических наук», на которой указывается, что одно из семи представленных выше утверждений ложно.

Награда Жака Титса

В переводе с английского фамилия Tits обозначает «женская грудь» — возможно, это не самый удачный вариант для авторитетного алгебраиста. Непросто представить, чтобы столь пикантная фамилия звучала в университетских коридорах и на крупных конференциях. Однако Жак Титс (род. 1930), лауреат премии Вольфа (1993) и Абелевской премии (2008), действительно незаурядная личность.

Во-первых, он не англичанин, а бельгиец, принявший французское гражданство после приглашения на работу в Коллеж де Франс. Во-вторых, он блестящий ученый, отличающийся превосходным творческим мышлением, и сфера его интересов выходит далеко за рамки теории групп. Существует простая группа, названная его именем: группа 2F4(2)' или группа Титса, содержащая 17 971200 элементов. Кроме того, Жак Тите создал несколько новых понятий, в частности «строение» (англ, building, фр. immeuble) — комбинаторную структуру, используемую при изучении групп. А еще ученый говорит по-китайски.

В 1995 году он был удостоен немецкого ордена «За заслуги» (Pour le merite). В этом нет ничего удивительного: Тите — великий ученый, кроме того, он девять лет преподавал в Берлине. Интересно другое — почему высший немецкий орден называется по-французски? Этот орден был учрежден королем Пруссии Фридрихом II Великим в 1740 году (в то время официальным языком королевского двора был французский) и поначалу вручался только за боевые заслуги — как известно, в те годы Пруссия была крупной военной державой. В 1842 году Фридрих Вильгельм IV учредил гражданскую разновидность ордена, которой награждались не только военные. К примеру, одним из кавалеров ордена стал Альберт Эйнштейн, однако позднее нацисты заставили его вернуть награду. С 1952 года этот орден присуждается по очень строгим критериям и вручается канцлером Германии.

Знаете ли вы, кто получил этот орден в далеком 1918 году? Некий Герман Геринг, герой недавно созданной немецкой авиации и будущий рейхсмаршал. И бельгийцы, и французы говорят о Геринге без особой теплоты и до сих пор помнят вторжение нацистов, однако Жак Тите не придал особого значения тому, что он стал кавалером того же ордена Pour le merite, что и Геринг, — быть может, это даже вызвало у него улыбку. Узнать, что по этому поводу думает Геринг, уже невозможно.

«Я старею»

Старение неизбежно, и слова, вынесенные в заголовок, произносили многие. Но из уст некоторых людей, проживших яркую жизнь, они звучат особенно горько.

Филдсовская премия, к примеру, присуждается только математикам моложе 40 лет (для тех, кто перешагнул границы этого возраста, существует престижная Абелевская премия). Сэр Эндрю Уайлс, доказавший знаменитую теорему Ферма, не получил желанную Филдсовскую премию. Когда ученый нашел заветное доказательство, ему еще не исполнилось 40, однако он потратил некоторое время на устранение ошибок, и к моменту окончания этой работы предельный возраст оказался превышен, пусть и всего на несколько месяцев.

Можно поспорить с тем, что математик по достижении 40 лет вступает на «кладбище слонов» — существуют многочисленные подтверждения тому, что это не так, хотя молодость тела, по всей видимости, действительно подразумевает определенную молодость духа. Некоторые специалисты осознают свой возраст несколько оригинальным образом. Лоран-Моиз Шварц (1915–2002), участник Трибунала Рассела, создатель теории распределений и лауреат Филдсовской премии, понял, что стареет, когда ему пришлось… обратиться к заметкам! Шварц был подобен борхесовскому персонажу Фунесу памятливому: почти всю жизнь он занимал место в первых рядах науки, никогда ничего не записывая. Он посещал конференции и семинары и хранил в своей удивительной памяти содержимое тысяч и тысяч досок, испещренных формулами. Когда он понял, что нужно обратиться к заметкам, то признался, что постарел. Он больше не мог помнить все.

Лоран-Моиз Шварц был не только математиком и политиком, но и большим коллекционером бабочек. Своей коллекцией он гордился не меньше, чем любимыми математическими открытиями.

Глава 7 Математические симфонии

Математика — точная наука: ты точно знаешь, что не сдашь по ней экзамен.

Автор неизвестен

Порой героями любопытных историй, связанных с математикой, становится не один человек, а сразу несколько. К примеру, смерть знаменитых математиков представляет определенный интерес, однако спокойная смерть от старости в собственной постели или гибель на эшафоте — вовсе не одно и то же. Сам Эйлер, о смерти которого мы расскажем далее, долгое время прожил в России и тем, кто обвинял его в немногословности, отвечал так: «Видите ли, я приехал из страны, где того, кто говорит лишнее, вешают». Некоторые темы подобны симфонии, поскольку затрагивают многих людей. Расскажем о них подробнее.

Колокола звонят по умершему

Смерть, особенно необычная, обладает особой притягательностью в глазах людей. Уход в мир иной для многих математиков сопровождался мрачными деталями — так, великий Архимед (ок. 217 года до н. э. — ок. 212 г. до н. э.) погиб от меча римского солдата, который нанес ему удар, когда мудрец, чертивший на песке, в ответ на требование сдаться ответил: «Оставь меня в покое и не трогай моих чертежей». Эта история достаточно драматична, поэтому она и остается в вечности. А то, что ее приводит Плутарх, придает рассказу еще большую достоверность.

Достоверным кажется рассказ о смерти Эратосфена Киренского (276–194 годы до н. э.), математика, который первым вычислил диаметр Земли, применив методы геометрии. Говорят, что в возрасте 80 лет (а в то время это были весьма почтенные годы) слепой и уставший от мира мудрец уморил себя голодом.

Смерть Эванджелисты Торричелли (1608–1647) обычно объясняют частой для тех времен тифозной лихорадкой. По другой, более драматичной (и, возможно, недостоверной) версии, причиной смерти стало чувство вины: Жиль Персоны Роберваль (1602–1675) обвинил Торричелли в краже некоторых его результатов, связанных с циклоидой, и, по легенде, Торричелли умер от горя, не в силах пережить оскорбление своей чести. Но вряд ли Торричелли действительно был таким чувствительным.

Смерть великого Леонарда Эйлера была образцовой и достойной лучшего математика мира — этот титул он совершенно обоснованно носил при жизни. Как-то утром 1783 года Эйлер, как обычно, занимался со своими внуками — в то время школы были не те, что сейчас, и многие старались дать детям домашнее образование. Затем, выпив чашку чая, Эйлер прошептал: «Я умираю…» — и скончался. Вот и всё.

Мари Жан Антуан Николя де Карита, маркиз де Кондорсе (1743–1794), который упоминается в энциклопедиях как французский философ, ученый, математик, политик и политолог, в самом деле успевал находить время для всех этих занятий. Он был автором множества статей о математике для знаменитой «Энциклопедии», а также считался большим специалистом по анализу. Этот аристократ всегда вызывал подозрения у революционеров независимо от занимаемой позиции. В Законодательном собрании Франции Кондорсе примкнул к жирондистам и стал отвечать за образование во всей стране. Эта должность стала вершиной его карьеры. Однако когда к власти пришел Робеспьер со сторонниками, маркизу пришлось спасаться бегством. Рассказывают, что он был опознан и схвачен, так как, не зная настоящей жизни (у него всегда были слуги), наивно попросил хозяина постоялого двора приготовить омлет из 12 яиц. Тот счел поведение Кондорсе типичным для аристократа и доложил о нем. Спустя несколько дней маркиз умер в тюрьме. Вероятно, он знал, как Робеспьер расправлялся с врагами, поэтому предпочел самоубийство.

Не слишком известна, возможно из-за недостатка драматизма и налета буржуазности, история смерти Жан-Батиста Жозефа Фурье (1768–1830) — человека, который потратил много сил на создание аналитической теории тепла. Говорят, что в юности он писал для местных священников проповеди, отличавшиеся талантом и красотой слога. Фурье любил, чтобы вокруг было очень тепло, и в его доме едва можно было дышать. Эту привычку он приобрел в Египте, где побывал в составе экспедиции Наполеона. Фурье был убежден, что теплота сохраняет все, даже жизнь: в Египте он увидел, как жар пустыни хранит тела от тления, и вернулся во Францию, убежденный, что жар сохранит его собственное тело. Фурье кутался даже летом, и в результате тепло его и убило: по некоторым источникам, У Фурье случился сердечный приступ от жары.

Еще более драматичной была смерть Эвариста Галуа (1811–1832), который погиб на дуэли из-за неразделенной любви, когда ему не исполнилось и 21 года. Чтобы придать этой истории черты настоящего приключенческого романа, заметим, что Галуа потратил последние часы перед дуэлью на работу над рукописью с изложением своих математических идей. Молодой гений адресовал этот документ своему другу — для того, чтобы он передал его Якоби или Гауссу: по мнению Галуа, только эти ученые были способны оценить его труд.

Рассказывают, что Джорджа Буля (1815–1864), блестящего логика и профессора математики Королевского колледжа Корка в Ирландии, ждал другой финал, вызванный неправильным лечением. В дождливый день Буль сильно промок и заболел пневмонией. Жена с любовью ухаживала за ним, но делала это в подлинно ирландском духе: по-видимому, невежественные методы лечения тех лет предписывали беспрерывно поливать больного водой. Эта пытка окончилась для бедного Буля смертью.

Причиной смерти Джорджа Буля стала пневмония.

Талантливый англичанин Алан Тьюринг (1912–1954), прекрасный атлет, бегун на дальние дистанции (между любимыми библиотеками он перемещался исключительно бегом) и ассистент фон Неймана, создал большинство современных вычислительных методов. Широкой публике он известен как глава проекта по взлому шифров нацистских ВМС в Блетчли-парке. В результате принудительного курса лечения у него развился депрессивный синдром, и ученый начал изучать новые химические вещества, которые бесстрашно пробовал. Возможно, случайно, а может быть — посчитав, что смерть станет решением всех проблем, Тьюринг откусил отравленное яблоко и умер. Невозможно избежать параллелей с отравленным яблоком из легендарного мультфильма о Белоснежке, вышедшего на экраны в 1937 году.

Эта статуя Алана Тьюринга из угольного сланца хранится в Национальном музее компьютеров в Блетчли-парке.

Довольно ужасную смерть выбрал для себя Курт Гёдель (1906–1978) — логик, автор теорем о неполноте, на которых основана вся современная математика. Ученый всегда отличался экстравагантностью и параноидальными наклонностями, которые со временем только обострились. В последние годы жизни он страдал от мании преследования и был убежден, что его хотят отравить, поэтому принимал еду только из рук любимой жены Адель. Когда Адель заболела, ее пришлось положить в больницу, и Гедель остался без пищи. Он терял в весе и похудел до невероятных 30 килограммов, после чего в буквальном смысле умер от голода.

Гороскопы и предсказания

Все мы находимся в неоплатном долгу перед монахом-августинцем Михаэлем Штифелем (1487–1567). Совершенно независимо от Джона Непера он составил числовые таблицы, весьма схожие с логарифмическими. В его главном труде, «Полной арифметике» (Arithmetica integra), уже используются символы «+», «—» и «√», поэтому книга занимает важное место в истории алгебры.

Страница «Полной арифметики», на которой вы можете видеть знаки «+» и «-».

Но дальше речь пойдет не о ней. В «Ein Rechenbuchlin vom EndChrist. Apocalyps in Apocalypsim» («Книга по арифметике об Антихристе. Откровение в «Откровении») Штифель привел составленный им гороскоп, согласно которому конец света должен был наступить в 1533 году. Назначенный день приближался, Штифель все больше нервничал, но никаких признаков конца света не наблюдалось. Некоторые авторы утверждают, что Штифель добровольно заточил себя в тюрьму, сбежав от тех, кто требовал объяснений — заметим, вполне обоснованно.

В той же книге Штифель путем хитроумных манипуляций с цифрами связал имя правившего на тот момент папы Льва X, Leo Decimus, с 666 — числом зверя из «Откровения» Иоанна Богослова. Неудивительно, что труд Штифеля пришелся папе римскому не по душе. Впоследствии ученый продолжил занятия арифметикой, но оставил гороскопы.

В те годы астрология была очень популярна и входила в число увлечений Джероламо Кардано (1501–1576). Кардано однажды уже допустил оплошность, составляя гороскоп для своего господина, Эдуарда VI: математик предсказал, что его господин будет жить счастливо, однако в следующем году тот умер от туберкулеза.

Уже в старости Кардано составил гороскоп самого Иисуса Христа. Должно быть, он простодушно счел, что в этом нет ничего страшного, однако католическая церковь, узнав о содеянном, пришла в ужас и со всей яростью обрушилась на ученого. В результате Кардано удалось спасти свою жизнь, но ему запретили писать. Несмотря на произошедшее, тяга к пророчествам в нем не угасла. Ходят слухи (предположительно ложные), что позднее Кардано составил свой собственный гороскоп, в котором был отмечен и день смерти. Жизнь ученого действительно окончилась согласно гороскопу: когда намеченный день настал, Кардано покончил с собой. Если вдуматься, он остался верен своему слову и не попал в неловкое положение.

Знаменитый Абрахам де Муавр (1667–1754) также имеет полное право называться математиком-прорицателем. В науке он известен как автор следующего равенства с комплексными числами:

(cosα + isinα)n = cosnα + isinnα.

По легенде, в старости де Муавр понял, что ему становится все тяжелее просыпаться по утрам, и каждый день он спит на четверть часа дольше. Такому математику, как он, не составило никакого труда предсказать дату собственной смерти — или точнее будет сказать, «вечного сна». В определенный день де Муавр должен был проспать все 24 часа и уже не проснуться. 27 ноября 1754 года его пророчество сбылось.

Создателю математического анализа великому Исааку Ньютону (1642–1727) тоже были не чужды предсказания. Хотя в его эпоху сожжение еретиков прекратилось, великий ученый все равно хранил в тайне свой грех: он сам был еретиком-монофизитом, арианцем, то есть не признавал божественной природы Христа. Современному человеку подобные вещи могут показаться не слишком важными, однако во времена, когда господствовало христианское учение, ересь была немыслимой и подлежала наказанию.

Ньютон считал свои исследования в области богословия крайне важными и поставил себе целью определить дату конца света на основании библейских стихов. Рукописи с результатами его трудов хранятся в Еврейском университете в Иерусалиме. В своих расчетах Ньютон прежде всего использовал фрагменты из книги пророка Даниила, в частности из седьмой главы. По его предсказанию, конец света должен настать через 1260 лет с момента основания Священной Римской империи — как известно, ее основал Карл Великий в 800 году. Сложив эти два числа, получим, что конец света настанет в 2060 году. Мы не склонны верить, что в 2060 году на нас обрушатся всевозможные напасти, — возможно, в конце произойдет второе пришествие Христа и настанет рай на земле. Глядя на современный мир, сложно представить, что довольно скоро его ждет конец, однако это утверждал сам Ньютон.

Одновременные открытия

Когда многие люди ищут решение одной и той же задачи, вполне естественно, что одни и те же открытия совершаются одновременно. К несчастью, авторы этих открытий в большинстве случаев не хотят делиться своим первенством.

В героическую для математики эпоху почти не существовало научных журналов и периодической печати, об открытиях становилось известно из переписки, а информация распространялась так же медленно, как масляное пятно расплывается на бумаге. Проходило очень много времени, прежде чем становилось известно, что некто из далекой страны уже нашел верное решение той или иной задачи. Среди самых известных примеров одновременных открытий упомянем следующие.

— Десятичные дроби практически одновременно начали применять немецкий математик Бартоломеус Питискус (1561–1613) в 1608–1612 годах, Иоганн Кеплер в 1616-м и Джон Непер в 1616–1617 годах.

— Авторство логарифмов, которые в свое время считались едва ли не чудом, приписывается Неперу (1614), однако в действительности их также ввел швейцарский математик Йост Бюрги (1552–1632) в 1620 году.

— Закон обратных квадратов, который играет основную роль в физике, астрономии, электромагнетизме и других областях, был независимо друг от друга открыт двумя учеными, которые, к счастью, прекрасно ладили: Ньютон вывел этот закон в 1666 году, Эдмунд Галлей — в 1684-м. Подобная разница во времени объясняется одной из многочисленных странностей Ньютона, который не спешил публиковать результаты своих работ. Он написал «Математические начала натуральной философии» только под влиянием Галлея. В список авторов этого закона наряду с Галлеем можно включить и других ученых, в частности Роберта Гука (1635–1703).

— Возможно, самым известным совпадением подобного рода стало одновременное создание математического анализа, вызвавшее яростную полемику, которая объяснимо, но абсолютно неоправданно приняла национальный оттенок. Позднее история расставила все по своим местам, и заслуженной чести были удостоены и англичанин Ньютон, и немецкий ученый Лейбниц, которые создали математический анализ одновременно и независимо друг от друга.

— Метод наименьших квадратов был открыт почти одновременно Адриеном Мари Лежандром (1806) и Карлом Фридрихом Гауссом (1809).

— Неевклидова геометрия составляет важную часть нашего культурного багажа. Она была создана усилиями Гаусса (1829), который держал полученные результаты в тайне, а также венгерского математика Яноша Бойяи (1802–1860) в 1826–1833 годах и русского математика Николая Лобачевского (1792–1856), который создал гиперболическую геометрию в 1836–1840 годах.

— Принцип двойственности в проективной геометрии был сформулирован Жаном-Виктором Понселе (1788–1867) и Жозефом Жергонном (1771–1859) в 1838 году.

— Векторы, автором которых, по всеобщему мнению, считается Герман Гюнтер Грассман (1809–1877), также были описаны Уильямом Роуэном Гамильтоном (1805–1865) в том же 1843 году.

— В 1846 году была открыта новая планета Солнечной системы — Нептун. Открытие почти одновременно совершили английский ученый Адамс и француз Леверье. Английский королевский астроном Джордж Биддель Эйри (1801–1892), раздув невообразимый скандал, отказался признать заслуги Адамса, однако позднее справедливость восторжествовала. Этот инцидент вновь пробудил дух соперничества между Британией и континентальной Европой, и так называемые мудрецы проявили себя в этом споре не с самой лучшей стороны. Нептун был открыт в 1846 году, однако первым, кто обнаружил его «на бумаге», произведя необходимые вычисления, был Адамс. Тем не менее достижение Адамса никоим образом не умаляет заслуг Леверье.

— Теорему о простых числах сформулировал Гаусс, однако доказать ее он не смог. Это и неудивительно — найти доказательство этой теоремы совсем не просто. Лишь в 1896 году это удалось независимо друг от друга сделать французу Жаку Адамару (1865–1963) и бельгийцу Шарлю Жану Ла Валле Пуссену (1866–1962).

— Итальянский математик Эннио де Джиорджи (1928–1996) и нобелевский лауреат американец Джон Нэш (род. 1928) в 1956 году практически одновременно решили 19-ю проблему Гильберта. Однако де Джиорджи опередил Нэша всего на несколько месяцев, и в результате умственное расстройство последнего серьезно обострилось.

Очевидно или нет?

Никто пока не смог объяснить, что значит «очевидно» или «тривиально», по меньшей мере, для конкретного профессионального математика. В общем случае фраза «это очевидно» означает «это кажется мне очевидным», а это не совсем одно и то же. Принстонские студенты в свое время шутили, что очевидное по мнению Алонзо Черча (1903–1995) было настолько очевидным, что это понимали все; очевидное по мнению Соломона Лефшеца (1884–1972) непременно было ложным, а если что-то очевидным считал Герман Вейль (1885–1955), то доказать это мог разве что фон Нейман. Эта история в некотором роде характеризует фон Неймана, о котором Питер Лакc (род. 1926), лауреат Абелевской премии, говорил так: «Большинство математиков доказывают то, что могут. Фон Нейман доказывает то, что хочет».

Рассказывают, что как-то раз на лекции фон Неймана один из слушателей поднял руку и спросил: «Господин фон Нейман, вы могли бы доказать это утверждение по-другому?» Фон Нейман опустил руки, посмотрел на доску, подумал несколько секунд и ответил: «Да», после чего продолжил выступление.

Похожая история произошла и с Годфри Харолдом Харди (1877–1947), который, по-видимому, произнес злополучные слова «Это очевидно», а затем сразу же понял, что это не совсем так. Он посмотрел на доску, затем повернулся и, не говоря ни слова, вышел из аудитории под удивленный шепот студентов. Спустя пять минут Харди вернулся и произнес: «Действительно, это тривиально», после чего повернулся к доске и продолжил лекцию. Другие утверждают, что эта история произошла с Гильбертом.

Иногда фраза «Это очевидно» звучит совершенно оправданно: к примеру, Александр Гротендик (род. 1928), человек поистине выдающегося ума, в 1969 году опубликовал статью, озаглавленную «Hodge’s General Conjecture is False for Trivial Reasons» («Общая гипотеза Ходжа ложна из тривиальных соображений»). И действительно, гипотеза Ходжа была сформулирована некорректно, и ее следовало изложить иначе. Учитывая, что эту гипотезу никто не смог доказать до сих пор, немногие ожидают, что она будет доказана в ближайшие сто лет. Доказательство гипотезы Ходжа в текущей формулировке входит в число семи задач тысячелетия, предложенных Институтом Клэя, за решение которых полагается премия в 1 миллион долларов.

Шнобелевская премия

Параллельно с Нобелевской премией ежегодно вручается Шнобелевская премия — как понятно из названия, это шутливая имитация Нобелевской премии. Шнобелевская премия присуждается не какой-то авторитетной организацией или академией наук, а юмористическим журналом «Анналы невероятных исследований». Редакция этого журнала выискивает среди научных статей, публикуемых во всем мире, кажущиеся комичными, абсурдными или имеющие необычные названия. Мы говорим «кажущиеся», поскольку речь идет об очень серьезных статьях, содержащих научную информацию, хотя на первый взгляд она кажется нелепой. Шнобелевские премии вручаются ежегодно на церемонии, где обычно присутствуют многие нобелевские лауреаты. Лауреатов Шнобелевской премии также приглашают на церемонию вручения, и, как правило, они не отказываются.

Любопытно, что по меньшей мере один нобелевский лауреат также был удостоен Шнобелевской премии — это советский и нидерландский ученый Андрей Гейм (род. 1958), удостоенный Нобелевской премии за открытие графена, а Шнобелевской — за исследование диамагнитной левитации лягушки.

Один пример стоит тысячи слов, поэтому упомянем работы некоторых лауреатов премии, имеющие отношение к математике.

— В 1993 году премии была удостоена статья Роберта Фейда (США) по математической статистике, озаглавленная «Gorbachev! Has the Real Antichrist Come? («Горбачев! Явление настоящего антихриста?»). Согласно этой статье, вероятность того, что Горбачев на самом деле является антихристом, равна:

— В 1994 году премии была удостоена Южная баптистская церковь Алабамы за оценку числа жителей каждого штата, которые попадут в ад, если немедленно не покаются.

— В 2000 году в номинации «Информационные технологии» премию получил Крис Нисвандер из США за создание программы PawSense («Котодетектор»), способной определить, когда по клавиатуре компьютера ходит кошка.

— В 2002 году настал черед индийцев Срикумара и Нирмалана за блестящее исследование Estimation of Total Surface Area in Indian Elephants — Elephas maximus indicus («Оценка общей площади поверхности индийских слонов Elephas maximus indicus») — несомненно, необходимое для необъяснимых целей.

— В 2006 году премия была присуждена австралийцам миссис Ник Свенсон и Пирсу Бёрнсу, вычислившим минимальное число снимков, которые нужно сделать, чтобы на групповой фотографии не было моргнувших людей. Статья называлась «Blink-Free Photos, Guaranteed» («Фотографии без моргания. С гарантией»).

— В 2007 году Шнобелевской премии по физике были удостоены Махадеван (США) и Энрике Серда Вильябланка (Чили) за статью Geometry and Physics of Wrinkling («Геометрия и физика морщин»), где рассматривалось образование морщин и складок на простынях, которые становятся настоящим бедствием для родителей неспокойных детей.

— В 2009 году премией был отмечен Гидеон Гоно, директор Резервного банка Зимбабве — не самого престижного учреждения в наше время, которое для удобства населения и повышения образовательного уровня опубликовало справочные статьи, где приводились номиналы банкнот, выпущенных банком, составлявшие от 0,1 до 1000000000000000 долларов. По-видимому, во владениях Роберта Мугабе наблюдается немалая инфляция, а ведь далеко не все могут разборчиво произнести: «Будьте добры, дайте бананов на 1000 000000 000 000 долларов». Представьте масштаб трагедии, которая разыгралась бы, если продавец понял эту фразу как «Будьте добры, дайте бананов на 100000000000000 долларов». Простая арифметико-лингвистическая ошибка может привести к смерти от голода — абсурд, сам по себе достойный премии.

Математики должны сидеть в тюрьме

Пусть не все, но некоторые совершенно определенно заслужили это. Мы не имеем в виду случаи, когда тюремное заключение было вызвано обстоятельствами, не связанными с математикой. К примеру, Бертран Рассел во время Первой мировой войны попал в тюрьму за пацифистские взгляды, Казанова в свое время оказался в застенках по политическим причинам, а американский математик Теодор Качинский (род. 1942), больше известный как Унабомбер, был приговорен к пожизненному заключению за терроризм. Но существуют и не столь известные случаи.

— Французский математик Андре Вейль (1906–1998) известен скорее как младший брат мыслителя Симоны Вейль, чем как один из крупнейших ученых XX столетия. Однако мало кто знает, что Симона долгое время испытывала комплекс неполноценности, наблюдая за талантом брата-вундеркинда.

Также не слишком известно, что Андре провел длительное время в заключении. В 1939 году он прибыл в Финляндию. Официальной причиной визита было посещение коллег, но на самом деле убежденный пацифист Вейль хотел избежать призыва в вооруженные силы. Во время Первой мировой войны призыв велся не особенно разборчиво: критерии полезности того или иного человека для общества не принимались в расчет, так как это считалось недемократичным. В итоге сложилась абсурдная ситуация, когда пушечным мясом на фронте становились блестящие университетские профессора, которые могли бы принести куда больше пользы отечеству своими исследованиями в области криптографии или магнетизма. Итак, Вейль приехал в Финляндию и спустя несколько дней после того, как было начато обсуждение возможной войны с Россией, прогуливался в одиночестве. В напряженной предвоенной обстановке он занимал себя тем, что внимательно изучал расположение финских батарей. Как и следовало ожидать, его посчитали иностранным шпионом и задержали. В довершение всего при нем были обнаружены бумаги русских коллег, где упоминался таинственный господин Бурбаки (Андре Вейль был одним из создателей этой группы). Напрасно Вейль доказывал, что он был математиком и другом финского математика Рольфа Неванлинны (1895–1980). Его признали шпионом и на следующий день назначили расстрел. В ту ночь по чистой случайности на приеме встретились начальник полиции и Неванлинна, который был полковником резерва. Неванлинна услышал от начальника полиции рассказ о том, какая незавидная судьба ждала некоего Вейля, и шутливые сетования: «Представляете, этот мерзкий шпион сказал, что якобы знаком с вами!» В результате Вейль был спасен и вскоре переправлен в Швецию в закрытом купе поезда.

Однако на этом история не заканчивается: Вейль прибыл в Англию, где вновь попал в тюрьму за то, что пытался избежать призыва в армию во Франции. К тому времени уже разгорелась Вторая мировая. Математик был выслан на родину, вновь заключен в тюрьму, после чего, к величайшему неудовольствию ученого (в камере он мог хотя бы спокойно размышлять в тишине), был призван на службу и отправлен на фронт.

— Норвежский математик Софус Ли (1842–1899), создатель группы Ли, был любопытным человеком с интересной судьбой. Его страсть к математике была настолько велика, что как-то раз, решив задачу, Ли сообщил об этом своему другу Мотцфельду, разбудив его среди ночи криком: «Я нашел решение, и оно очень простое!» Ли также сочли шпионом — на этот раз французы во время франко-прусской войны 1870–1871 годов. Задержан он был при довольно сложных обстоятельствах: математик прогуливался в Фонтенбло перед укреплениями, и ему в голову пришла блестящая идея сделать несколько заметок на природе. Французские военные сочли его математические заметки секретным шифром. Только благодаря вмешательству Жана Гастона Дарбу (1842–1917) Ли был освобожден из тюрьмы. Ему удалось избежать худшего: Франция недавно проиграла войну, и военные пребывали в не лучшем расположении духа.

— Главным героем самой необычной истории о тюремном заключении, возможно, стал француз Андре Блох (1893–1948), в честь которого названы функциональное пространство и теорема. Он был, бесспорно, умен, раз уж ему удалось утаить от нацистов еврейское происхождение, и публиковался под псевдонимами. Блох решил свою проблему весьма остроумным способом: большую часть жизни он провел в психиатрической больнице. На свободе он наверняка стал бы жертвой холокоста, поскольку был не только евреем, но и психическим больным.

Блох начал Первую мировую войну в чине артиллерийского офицера, а в 1917 году убил своего брата при свидетелях, заявив полиции, что сделал это исключительно из соображений евгеники — его брат не должен был остаться в живых, так как был потенциальным носителем психических заболеваний. Блоха объявили невменяемым, и в тишине психиатрической больницы он 31 год работал над статьями и переписывался с математиками первой величины, среди которых были Эли Картан и Жак Адамар. Блох оставался в лечебнице до конца жизни. Неизбежно возникает вопрос: что такое безумие?

Задача стоит хорошего гуся

То, что гусь попал в заголовки новостей по всей стране, уже необычно. Но еще более странно то, что вручение живого гуся в качестве премии за решение задачи было удостоено трансляции по национальному телевидению. Вот такая история произошла в Польше в 1972 году. Расскажем ее подробнее.

Польская математическая школа пользуется заслуженной славой, и хотя ее представители, в отличие от музыкантов (вспомним Шопена, Рубинштейна, Пендерецкого и других), не достигли мировых высот, они определенно пользуются уважением. Имена Куратовского, Тарского, Серпинского, Банаха широко известны в мире математики и в университетских кругах.

В 1930-е годы, незадолго до того, как разразилась Вторая мировая война, польские математики и гости Львова (теперь этот город находится на территории Украины) по вечерам собирались в «Шотландском кафе», чтобы поговорить о чем-нибудь интересном, главным образом о новых математических задачах. Некоторые из этих задач были решены, другие — нет, так как порой они были сложнее, чем казалось на первый взгляд. Иногда за решение задачи полагалась премия — часто это была бутылка какого-нибудь алкогольного напитка или что-то более серьезное — жирный и аппетитный гусь или хороший банкет.

Предложенные задачи тщательно записывались в блокнот, известный как «Шотландская книга». Блокнот был доступен всем желающим и хранился у администратора кафе, который вряд ли подозревал, что ему в руки попали сложнейшие математические задачи, придуманные человеком.

Среди 37 авторов 153 задач книги были величайшие умы эпохи: Стефан Банах (1892–1945), Станислав Улам (1909–1984), Казимир Куратовский (1896–1980), Марк Кац (1914–1984), Вацлав Серпинский (1882–1969), Гуго Штейнгауз (1887–1972), Самуэль Эйленберг (1913–1998), Джон фон Нейман, Морис Рене Фреше (1878–1973), Александр Александров (1912–1999) и многие другие. Некоторые из этих математиков позднее были расстреляны советскими или немецкими войсками. Одну из задач «Шотландской книги» представил Станислав Мазур (1905–1981), а в 1972 году ее решил Пер Энфло (род. 1944). Задача была непростой, за решение полагался живой гусь, а церемония вручения транслировалась по всей стране. Неизвестно, какой была цель тогдашнего коммунистического правительства страны — привить людям интерес к математике или же компенсировать недостаток настоящих новостей в скучной социалистической действительности.

Сегодня «Шотландская книга» переведена на английский язык, и ее можно найти в интернете. Некоторые задачи книги не решены до сих пор.

Библиография

ALEXANDER, A., Duel at Dawn: Heroes, Martyrsf and the Rise of Modern Mathematics, Cambridge, Harvard University Press, 2010.

ALSINA, C., De GUZMAN, M., Los matematicos no son gente seria, Barcelona, Rubes Editorial, 2003.

BELL, E.T., Men of Mathematics, Londres, Penguin Books, 1953.

DUNHAM, W., El universo de las matematicas: un recorrido alfabetico por los grandes teoremas, enigmas у controversias, Madrid, Piramide, 2004.

EVES, H., In Mathematical Circles, Washington, The Mathematical Association of America, 2002.

GRATZER, W., Eurekas у euforias: сото entender la ciencia a traves de sus anecdotas, Barcelona, Critica, 2004.

GUIRADO, J.F., Citas matematicas, Madrid, Editorial Eneida, 2007.

HERSCH, R., JOHN-STEINER, V., Loving and Hating Mathematics: Challenging the Myths of Mathematical Life, Princeton University Press, 2010.

KRANTZ, S.G., Mathematical Apocrypha, Washington, The Mathematical Association of America, 2002.

NEWMAN, J.R., Sigma: el mundo de las matematicas (7 vols.), Barcelona, Grijalbo, 1968.

PAPPAS, T., Mathematical Scandals, San Carlos (California), Wide World Publishing/Tetra, 1997.

PETERSON, I., Mathematical Treks, Washington, The Mathematical Association of America, 2002.

Wells, D., The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, Londres, Penguin Books, 1991.

* * *

Научно-популярное издание

Выходит в свет отдельными томами с 2014 года

Мир математики

Том 31

Хоакин Наварро

Тайная жизнь чисел. Любопытные разделы математики

РОССИЯ

Издатель, учредитель, редакция:

ООО «Де Агостини», Россия

Юридический адрес: Россия, 105066, г. Москва, ул. Александра Лукьянова, д. 3, стр. 1

Письма читателей по данному адресу не принимаются.

Генеральный директор: Николаос Скилакис

Главный редактор: Анастасия Жаркова

Выпускающий редактор: Людмила Виноградова

Финансовый директор: Наталия Василенко

Коммерческий директор: Александр Якутов

Менеджер по маркетингу: Михаил Ткачук

Менеджер по продукту: Яна Чухиль

Для заказа пропущенных книг и по всем вопросам, касающимся информации о коллекции, заходите на сайт , по остальным вопросам обращайтесь по телефону бесплатной горячей линии в России:

8-800-200-02-01

Телефон горячей линии для читателей Москвы:

8-495-660-02-02

Адрес для писем читателей:

Россия, 600001, г. Владимир, а/я 30, «Де Агостини», «Мир математики»

Пожалуйста, указывайте в письмах свои контактные данные для обратной связи (телефон или e-mail).

Распространение:

ООО «Бурда Дистрибьюшен Сервисиз»

УКРАИНА

Издатель и учредитель:

ООО «Де Агостини Паблишинг» Украина

Юридический адрес: 01032, Украина, г. Киев, ул. Саксаганского, 119

Генеральный директор: Екатерина Клименко

Для заказа пропущенных книг и по всем вопросам, касающимся информации о коллекции, заходите на сайт , по остальным вопросам обращайтесь по телефону бесплатной горячей линии в Украине:

0-800-500-8-40

Адрес для писем читателей:

Украина, 01033, г. Киев, a/я «Де Агостини», «Мир математики»

Украïна, 01033, м. Кiев, а/с «Де Агостiнi»

БЕЛАРУСЬ

Импортер и дистрибьютор в РБ:

ООО «Росчерк», 220037, г. Минск, ул. Авангардная, 48а, литер 8/к,

тел./факс: (+375 17) 331-94-41

Телефон «горячей линии» в РБ:

+ 375 17 279-87-87 (пн-пт, 9.00–21.00)

Адрес для писем читателей:

Республика Беларусь, 220040, г. Минск, а/я 224, ООО «Росчерк», «Де Агостини», «Мир математики»

КАЗАХСТАН

Распространение:

ТОО «КГП «Бурда-Алатау Пресс»

Издатель оставляет за собой право увеличить рекомендуемую розничную цену книг. Издатель оставляет за собой право изменять последовательность заявленных тем томов издания и их содержание. Отпечатано в соответствии с предоставленными материалами в типографии:

Grafica Vfeneta S.p.A Via Malcanton 2

35010 Trebaseleghe (PD) Italy

Подписано в печать: 02.07.2014

Дата поступления в продажу на территории России: 19.08.2014

Формат 70 х 100 / 16. Гарнитура «Academy».

Печать офсетная. Бумага офсетная. Печ. л. 5,5.

Усл. печ. л. 7,128.

Тираж: 34 000 экз.

© Joaquin Navarro, 2010 (текст)

© RBA Collecionables S.A., 2011

© ООО «Де Агостини», 2014

ISBN 978-5-9774-0682-6

ISBN 978-5-9774-0726-7 (т. 31)

Примечания

1

В математике патологическим примером называется столь явное отклонение от общего правила, справедливого в остальных случаях, что оно имеет научную (и эстетическую) ценность само по себе.

(обратно)

Оглавление

Предисловие

Глава 1 Числа

Глава 2 Фигуры

Глава 3 Анализ

Глава 4 Все остальное

Глава 5 Математики далекого прошлого

Глава 6 Математики недавнего прошлого

Глава 7 Математические симфонии

Библиография Fueled by Johannes Gensfleisch zur Laden zum Gutenberg