Андрей Николаевич Павлов Математические олимпиады по лигам. 5–9 классы
Предисловие
Когда мы слышим слово «олимпиада», то ассоциируем его с сильными учащимися, отличниками. Подобный подход оправдан, если речь идет о городских, районных, областных, республиканских, Всероссийских и Международных математических олимпиадах. На таких уровнях сама цель олимпиад – выявление одаренных и нестандартно мыслящих учащихся, определение сильнейших из них. Однако задачи внутришкольных олимпиад нам видятся гораздо шире.
В книге представлен опыт автора по проведению олимпиад в лицее г. Лобни Московской области. Их отличительная особенность: в олимпиадах участвуют все! Причем термин «все» следует понимать в буквальном смысле слова, а именно как 100 %-ный охват учащихся, без исключений. С этим связаны и дифференцирование заданий по уровню сложности, и включение в олимпиады, помимо нестандартных, чисто технических заданий (примеры, уравнения, типовые задачи и т. д.).
Рассмотрим основное содержание и правила проведения наиболее популярных олимпиад, которые и вошли в книгу.
Олимпиады по лигам (5–6 классы)
Новая и чрезвычайно интересная форма внеклассной работы по предмету. Учителя, знающие, как устроены лиги в чемпионатах страны по различным видам спорта, без труда разберутся в этой системе.
Принцип проведения игры прост. Сначала дается общее задание для всех, по результатам которого определяется, кто в какой лиге (второй, первой, высшей или суперлиге) начинает играть.
Далее выбирается день недели, в который постоянно будут проходить соревнования. Выбор дня определяется действующим расписанием. Желательно, чтобы все классы параллели имели одинаковое количество уроков в этот день (напоминаем, что в олимпиаде участвуют все).
Для лучшего понимания рассмотрим правила игры на конкретном примере.
Пусть в параллели пятых классов 53 человека. После предварительного тура 10 человек определены в суперлигу, 15 – в высшую, 15 – в первую и 13 – во вторую. Определен постоянный день игр – четверг.
В первый такой четверг соревнуются участники второй лиги (вторая лига, 1 тур). Они решают шесть заданий за 40–60 мин (время определяется учителем). После проведения первого тура и проверки работ участники, занявшие первые пять мест, переходят в первую лигу. Остальные 8 человек получают места с 53 по 46.
В следующий четверг соревнуются 20 человек (15 человек, определенных первоначально в первую лигу плюс пятеро перешедших из второй лиги). После проверки работ происходит следующее: лучшие 5 участников переходят в высшую лигу; остальные 15 человек получают места с 45 по 31; 5 участников, занявших последние места (в нашем примере 41–45 места), переходят во вторую лигу.
В следующий (третий) четверг соревнуются 20 человек (15 человек, определенных изначально в высшую лигу плюс пятеро перешедших из первой лиги). После проверки работ, как и в предыдущем случае: 5 лучших участников переходят в суперлигу; остальные 15 человек получают места с 30 по 16; 5 участников, занявших 26–30 места, переходят в первую лигу.
В четвертый четверг проходит первый тур суперлиги. Все участники в итоге получают места с 1 по 15, причем участники, занявшие 11–15 места, переходят в высшую лигу.
Затем по тем же правилам проходит второй тур в каждой из четырех лиг, затем третий и т. д.
Если учащийся по болезни или по другим причинам пропускает какой-нибудь тур своей лиги, то он набирает 0 баллов и выбывает в более низшую лигу (а если он во второй лиге – просто занимает последнее место).
В книге представлено два комплекса олимпиад по лигам:
1. Олимпиады по лигам (5–6 классы), адаптированные под учебник Г. В. Дорофеева и Л. Г. Петерсон. Учителя математики знают, что если пятиклассники учатся по учебному комплекту Г. В. Дорофеева и Л. Г. Петерсон, то за 5 класс проходится чуть ли не вся программа 6 класса. Это нашло свое отражение в содержании задач.
Всего в лигах предусмотрено 10 туров. Итоговые результаты подводятся просто (лучше всего это сделать в Excel). Пусть некоторый учащийся в течение десяти туров занимал места: ах, а2, ах... а. Из данных чисел отбрасываются лучший и худший результаты, а далее считается среднее арифметическое оставшихся 8 чисел:
У кого меньше число Ь, тот и выиграл (для сортировки участников по местам можно применить известную в Excel команду РАНГ). Небольшое пояснение: лучший результат отбрасывается, так как бывает случайное попадание учащегося в высшую лигу и суперлигу перед первым туром, а худший результат учащийся также может показать случайно, например, вследствие пропуска по болезни.
Итоговая таблица может выглядеть так:
2. Олимпиады по лигам (5–6 классы), адаптированные под учебник Н. Я. Виленкина и др.
Эти олимпиады четко разделены на два вида:
стандартная лига (примеры, уравнения, типовые задачи и т. д.);
олимпиадная лига (нестандартные задания).
Разделение связано с тем, что в учебном комплекте Н. Я. Виленкина и др. практически отсутствуют задачи на развитие логического мышления (правда, это не является недостатком учебника, просто он преследует другие дидактические цели). А потому есть смысл разделить математическое соревнование учащихся на две части.
Итоги подводятся так же, как и при проведении олимпиад, адаптированных под учебник Г. В. Дорофеева и Л. Г. Петерсон. Те же 10 туров, та же формула для подведения итогов.
Практика показала, что детям очень нравится такое соревнование. Неожиданным и одновременно приятным было то обстоятельство, что учащиеся, занимающие последние места, рвались на игру не хуже «обитателей суперлиги» и также живо обсуждали каждый промежуточный итог игры.
Выражаю большую благодарность своим коллегам: Наталье Михайловне Дорофеевой и Ольге Алексеевне Коржовой, которые вместе с автором книги разработали данную форму проведения математических олимпиад.
Финальная игра (5–6 классы)
Игра названа финальной, так как ее рекомендуется проводить в качестве итоговой к олимпиадам по лигам. В ней соревнуются между собой учащиеся, занявшие одинаковые места в своих классах. Так, из вышеприведенной таблицы следует, что первое место в 5а классе заняла Вертепова Татьяна, в 5б – Углов Денис, в 5в – Заводов Алексей. Значит, в финальной игре они и соревнуются между собой. В нашем случае получаем следующую таблицу участников:
В книге приведено 17 вариантов финальной игры. Если в классе более 17 человек, что характерно для общеобразовательных школ, то задания для последующих вариантов можно взять из учебника или дидактических материалов.
Финальную игру можно провести независимо от олимпиад по лигам; в этом случае за основу берутся учебные показатели учащихся.
Межклассные математические олимпиады
Соревнуются учащиеся 5–9 классов. Привлекать 10–11 классы вряд ли целесообразно ввиду их профилизации.
В книге вы найдете задания трех межклассных олимпиад.
На межклассную математическую олимпиаду № 1 от каждого класса представляются две команды. Общая численность двух команд – не более 12 человек.
За каждое задание можно получить: 0 очков (—), 1 очко ( + ), 2 очка ( + ), 3 очка ( + ).
Очки, набранные командой № 1, умножаются на 1, 5.
В олимпиаду входят:
кроссворд;
технические задания (примеры, уравнения, неравенства и т. д.);
задачи на сообразительность;
геометрические задания;
задачи по комбинаторике.
Класс может выставить на олимпиаду более двух команд (скажем, одну первую и две вторых). В этом случае будет засчитан лучший из результатов. Например, если команда № 1 набрала 11 очков, команда № 2а – 12 очков, команда № 26–14 очков, то класс в целом получает 11 1, 5 + 14 = 30, 5 очков. Время выполнения работы – 60 мин.
На олимпиаду № 2 от каждого класса должны быть представлены три команды: № 1 – самая сильная, № 2 и № 3. В каждой команде должно быть не более 6 человек. Класс может представить более трех команд, например, две команды под № 3. В этом случае будет засчитан лучший из результатов.
Каждой команде выдается листок с заданиями. Около каждого задания стоит количество очков, которое может получить команда в случае верного решения и верного ответа. На решение заданий также отводится 60 мин.
А на олимпиаду № 3 каждый класс представляет 4 команды. В команде не более 6 человек.
Команда № 1 решает 4 олимпиадных задачи, по 5 очков каждая. Команда № 2 решает 5 технически сложных заданий (примеры, уравнения, неравенства, системы, типовые задачи), по 4 очка каждое. Командам № 3 и № 4 предлагается соответственно 6 заданий по 3 очка и 7 заданий по 2 очка, причем задания для команды № 4 взяты из дидактических материалов для общеобразовательных классов. Время выполнения работы – 45–60 мин.
Решения всех задач олимпиад должны быть четкими и подробными. В случае если несколько команд набирают одинаковое количество очков, то оцениваются оформление, рациональность и красота решения.
Важно отметить, что в соревновании принимают участие и слабые учащиеся, причем каждый из них понимает: успех класса от него зависит не меньше, чем от отличников!
Ответы на все задания помещены в конце книги, поэтому в содержании к каждой рубрике приводятся две страницы. Первая указывает место расположения задания, вторая – в скобках – ответ.
Олимпиады по лигам (5–6 классы), адаптированные под учебник Г. В. Дорофеева и Л. Г. Петерсон
Вторая лига
1 тур
1. Вычислите 4506 ? 7568.
2. Периметр квадрата равен 12 м. Найдите площадь квадрата.
3. Найдите значение выражения a: b – с при а = 34 128 120, b= 1703, с = 400.
4. Решите уравнение 148 – 7 ? х = 36.
5. Аня прошла 2 км за 31 мин, а Оля – 4 км за 1 ч. Скорость какой девочки больше и почему?
6. Четыре страны имеют форму треугольников. Нарисуйте, как расположены страны одна относительно другой, если у каждой из них есть общие границы с тремя другими.
2 тур
1. Во сколько раз число 9801 больше, чем 99?
2. Частное равно 7, делимое на 14 больше частного. Найдите делитель.
3. Сколько миллиметров в 4 км?
4. Решите уравнение 4752: (1010 – 2х) = 11.
5. Поставьте между цифрами любые арифметические знаки и скобки, чтобы получить верное равенство: 7 7 7 7 = 8.
6. В семье четверо детей. Им 5, 8, 13 и 15 лет, а зовут их Аня, Юра, Света и Лена. Сколько лет каждому из них, если одна девочка ходит в детский сад, Аня старше, чем Юра, а сумма лет Ани и Светы делится на три?
3 тур
1. На сколько произведение чисел 308 и 22 больше их частного?
2. Найдите сумму цифр числах = 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7.
3. Сколько метров в 1 см?
4. Подберите такое натуральное число х, чтобы выполнялось равенство 12 – х = х ? х.
5. Встретились три друга – Белов, Серов и Чернов. Чернов сказал другу, одетому в серый костюм: «Интересно, что на одном из нас белый костюм, на другом – серый и на третьем – черный, но на каждом костюм цвета, не соответствующего фамилии». Какой цвет костюма у каждого из друзей?
6. Угадайте два следующих числа в ряду: 5, 8, 14, 26, 50...
4 тур
1. Вычислите 75 764 376: 94–86 004.
2. Решите уравнение 737 – 14 (38 – х) = 205.
3. Запишите двойку тремя пятерками.
4. Кот в сапогах поймал четырех щук и еще половину улова. Сколько щук поймал Кот в сапогах?
5. Как в зале расставить 10 кресел так, чтобы у каждой из четырех стен кресел было поровну? При этом: 1) кресла должны стоять только вдоль стен; 2) если кресло стоит в углу зала, то считается, что оно стоит вдоль сразу двух стен.
6. Три девочки – Соня, Оля и Полина – одновременно сели есть конфеты. Оля и Соня съели вдвоем 11 конфет, Полина и Оля – 15, а Соня и Полина – 14. Сколько конфет съели все три девочки вместе?
5 тур
1. Вычислите 34 128 120: 1703 – 240.
2. Чему равна величина 3х – 1, если 2х + 1 = 7?
3. Все стороны треугольника равны, а его периметр равен 180 см. Найдите площадь квадрата, сторона которого равна стороне треугольника.
4. Сколько минут содержится в 7/10 ч?
5. Нарисуйте какой-нибудь круг. Начертите 4 прямые так, чтобы круг был поделен на 6 частей.
6. Найдите сумму всех двузначных натуральных чисел, которые при делении на 30 дают в остатке 3.
6 тур
1. Когда три подруги – Надя, Валя и Маша – вышли гулять, на них были белое, красное и синее платья. Туфли их были тех же трех цветов, но только у Нади цвета туфель и платья совпадают. При этом у Вали ни платье, ни туфли не были синими, а Маша – в красных туфлях. Определите цвет платьев и туфель каждой из подруг.
2. Башенные часы отбивают три удара за 12 с. В течение какого времени они пробьют шесть ударов?
3. Баба Яга в своей избушке на курьих ножках завела сказочных животных. Все они, кроме двух, – Говорящие Коты; все, кроме двух, – Мудрые Совы; остальные – Усатые Тараканы. Сколько обитателей в избушке у Бабы Яги (саму Бабу Ягу в расчет не принимать)?
4. Какими должны быть два следующих числа в последовательности: 10, 8, 11, 9, 12, 10, 13...?
5. У каких двузначных чисел сумма цифр равна 10?
6. – У меня зазвонил телефон.
– Кто говорит?
– Слон.
... А потом позвонил Крокодил...
... А потом позвонили Зайчатки...
... А потом позвонили Мартышки...
... А потом позвонил Медведь...
... А потом позвонили Цапли...
... Итак, у Слона, Крокодила, Зайчаток, Мартышек, Медведя, Цапель и у меня установлены телефоны. Каждые два телефонных аппарата соединены проводом. Сколько для этого понадобилось проводов?
7 тур
1. Какое число больше: 3/7 или 1/2?
2. Вычислите 2504 ? 706.
3. Решите уравнение Зх + 4 – х – 1 – 2х – 3 = 0.
4. Сколько существует двузначных чисел, которые делятся без остатка на 5?
5. Федя всегда говорит правду, а Вадим всегда лжет. Какой вопрос надо им задать, чтобы они дали на него одинаковые ответы?
6. Десяти собакам и кошкам скормили 56 галет. Каждой кошке досталось 5 галет, а каждой собаке – 6. Сколько было собак?
8 тур
1. В магазине продается сладкая кукуруза в разных банках. В первой банке 300 г кукурузы, и стоит она 18 р. Во второй банке 400 г кукурузы, и стоит она 23 р. Какую банку выгоднее купить и почему?
2. Найдите значение выражения а ? (а + Ь): с при а = 104, b = 23, с = 127.
3. Решите уравнение х + 2х + 3х + 4х + 5х + 6х + 7х = 56.
4. Какой должна быть следующая фигурка в ряду:
5. Во дворе живут 3 девочки и 4 мальчика. Сколькими способами из них можно составить команду, состоящую из двух девочек и двух мальчиков?
6. Найдите такие два натуральных числа, разность кубов которых равна 19.
9 тур
1. Запишите число 30 тремя тройками.
2. Найдите двузначное число, произведение цифр которого равно сумме этих цифр.
3. Можно ли испечь такой торт, который может быть разделен одним прямолинейным разрезом на 4 части?
4. В двух пачках всего 30 тетрадей. Если бы из первой пачки переложили во вторую 2 тетради, то в первой пачке стало бы вдвое больше тетрадей, чем во второй. Сколько тетрадей было в каждой пачке?
5. Вычислите 1/3 + 2/5 – 1/15. Ответ запишите в виде несократимой дроби.
6. Трое туристов должны перебраться с одного берега реки на другой. В их распоряжении старая лодка, которая может выдержать нагрузку всего в 100 кг. Вес одного из туристов 45 кг, второго – 50 кг, третьего – 80 кг. Как должны они действовать, чтобы перебраться на другой берег?
10 тур
1. Мальчик лег спать в 19 ч вечера, поставив будильник так, чтобы он прозвенел в 9 ч утра. Сколько времени проспит мальчик?
2. Делимое в шесть раз больше делителя, а делитель в шесть раз больше частного. Чему равно делимое?
3. Может ли произведение двух чисел быть меньше меньшего из сомножителей? Если нет, то почему? А если да, то приведите хотя бы один пример.
4. На поляну прилетело 35 ворон. Неожиданно вороны взлетели и разделились на две стаи: одна стая уселась на ветви старой березы, а другая – на ольху. Через некоторое время с березы на ольху перелетело 5 ворон, столько же ворон совсем улетело с березы, после чего на березе осталось вдвое больше ворон, чем на ольхе. Сколько ворон было в каждой из двух стай первоначально?
5. Скорость течения реки 2 км/ч. На сколько больше скорость движения катера по течению этой реки, чем против течения, при постоянной собственной скорости катера?
6. Вычислите
Первая лига
1 тур
1. Вычислите 828 828: 138 – 5644.
2. Найдите значение выражения (х + у ? z): t – f, если х = 450 044, у = 203, z =470, t =6, f = 999.
3. Подберите такое натуральное число х, чтобы х ? х + х = 992.
4. Запишите самое большое трехзначное число, сумма цифр которого равна 15.
5. Точки А, В, С, лежат на одной прямой. Длина отрезка АВ равна 6 см, длина отрезка ВС равна 8 см. Чему может равняться длина отрезка АС?
6. Скорость катера по течению 48 км/ч, а против течения 40 км/ч. Чему равна скорость течения?
2 тур
1. Вычислите 809 ? 43–97 + 13 662 000: 27 000.
2. Найдите значение выражения х + 6 + 5х – 4 – 2х + 3 – 4х, если х = 307.
3. Восстановите запись: * 8 ? * = 8**. Укажите все решения.
4. Сколько прямоугольников, считая большой, «спрятано» на рисунке?
5. Если бы Аня купила 3 тетради, то у нее осталось бы 5 р., а если бы Аня купила 4 тетради, то ей не хватило бы 5 р. Сколько денег было у Ани?
6. Найдите наименьшее натуральное пятизначное число, которое делится на 9, и чтобы первая цифра была 7 и все цифры различны.
3 тур
1. Вычислите 35 ? 202 – 51 948: (1577 – 44 ? 35) + 334.
2. Нарисуйте отрезок АВ длиной 4 см. Отметьте середину отрезка-точку С. Отметьте точку D – середину отрезка АС. На луче DC отметьте точку Е так, чтобы длина отрезка DE была равна 7 см. Чему равно расстояние от В до Е?
3. Разрежьте фигуру, изображенную на рисунке, на 4 одинаковые части.
4. Турист прошел половину пути, затем треть оставшегося пути, после чего ему осталось пройти 6 км. Чему равен весь путь туриста?
5. Мастер за 8 ч делает 80 деталей, а его ученик за 5 ч делает 25 деталей. За сколько часов они изготовят 45 деталей, если будут работать вместе?
6. В мастерской по пошиву одежды от куска сукна в 200 см ежедневно, начиная с 1 декабря, отрезали по 2 дм. Когда был отрезан последний кусок?
4 тур
1. Решите уравнение 18 408: (268 ? 75–19 746) – х = 42.
2. В этом примере умножения больше половины цифр заменено звездочками. Восстановите недостающие цифры:
3. Какой угол составляют между собой часовая и минутная стрелки часов в 16 ч?
4. Строительный кирпич весит 4 кг. Сколько весит игрушечный кирпичик из того же материала, все размеры которого в 2 раза меньше?
5. На уроке физкультуры ученики выстроились в линейку на расстоянии 1 м друг от друга. Вся линейка растянулась на 21 м. Сколько было учеников?
6. В школе 368 учащихся. Докажите, что среди учащихся этой школы обязательно найдутся хотя бы два ученика, отмечающие свой день рождения в один и тот же день.
5 тур
1. Вычислите 66 509 + 141 404: (39 839 – 39 793) + 1985.
2. Решите уравнение 12х + 4 – 5х + 21 = 8x.
3. На какую цифру оканчивается число 42004(произведение 2004 четверок)?
4. 2/5 числа равны 12. Найдите: а) само число; б) 60 % этого числа.
5. Найдите длину стороны квадрата, если его площадь численно равна периметру.
6. Сейчас Сереже 11 лет, а Вове 1 год. Сколько лет будет Сереже и Вове, когда Сережа станет втрое старше Вовы?
6 тур
1. Вычислите (2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9): (1 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8).
2. Подберите число n так, чтобы уравнение nx + 1 = х не имело решений.
3. Мачеха, уезжая на бал, дала Золушке мешок, в котором были перемешаны мак и просо, и велела перебрать их. Когда Золушка уезжала на бал, она оставила три мешка: в одном было просо, в другом – мак, а в третьем – еще не разобранная смесь. Чтобы не перепутать мешки, Золушка к каждому из них прикрепила по табличке: «Мак», «Просо» и «Смесь».
Мачеха вернулась с бала первой и нарочно поменяла местами таблички так, чтобы на каждом мешке оказалась неправильная надпись. Ученик Феи успел предупредить Золушку, что теперь ни одна надпись на мешках не соответствует действительности. Тогда Золушка достала только одно-единственное зернышко из одного мешка и, посмотрев на него, сразу догадалась, где что лежит. Как она это сделала?
4. Кувшин = бутылка + стакан; два кувшина = семь стаканов; бутылка = чашка + два стакана; бутылка = сколько чашек?
5. В кабинете со звуконепроницаемыми стенами висят настенные часы, которые бьют каждые полчаса (один удар) и каждый час (столько ударов, сколько показывает часовая стрелка). Однажды, открыв дверь в кабинет, хозяин услышал один удар часов. После этого хозяин не уходил из кабинета. Через полчаса часы в кабинете пробили еще раз – опять один удар. Спустя полчаса – еще один удар. Наконец, еще через полчаса часы снова пробили один раз. Какое время показывали часы, когда хозяин входил в кабинет?
6. В соревновании участвовали 50 стрелков. Первый выбил 60 очков; второй – 80; третий – среднее арифметическое очков первых двух; четвертый – среднее арифметическое очков первых трех. Каждый следующий выбил среднее арифметическое очков всех предыдущих. Сколько очков выбил 50-й стрелок?
7 тур
1. Вычислите 612 228 + (53 007 – 52 275: 615).
2. Подберите такое натуральное число х, чтобы х(х + 1)(х + 2) = 720.
3. Сколько раз в течение суток часовая и минутная стрелки составляют прямой угол?
4. Найдите двузначное число, которое в семь раз больше цифры его единиц.
5. Тане не хватало 7 р., а Гале – 2 р., чтобы купить по коробке цветных карандашей. Когда они сложили свои деньги, их не хватило даже на покупку одной коробки. Сколько стоит коробка карандашей?
6. Собака погналась за лисицей, которая была на расстоянии 30 м от нее. Скачок собаки равен 2 м, скачок лисицы 1 м. В то время как лисица делает 3 скачка, собака делает 2 скачка. Какое расстояние должна пробежать собака, чтобы догнать лисицу?
8 тур
1. Напишите наименьшее натуральное число, составленное из всех цифр, которое делится на 5.
2. Один из пяти братьев испек маме пирог. Никита сказал: «Это Глеб или Игорь». Глеб сказал: «Это сделал не я и не Дима». Игорь сказал: «Вы оба шутите». Андрей сказал: «Нет, один из них сказал правду, а другой обманул». Дима сказал: «Нет, Андрей, ты не прав». Мама знает, что трое из ее сыновей всегда говорят правду. Кто испек пирог?
3. Известно, что в январе четыре пятницы и четыре понедельника. На какой день недели приходится 1 января?
4. Расставьте 24 человека в 6 рядов так, чтобы каждый ряд состоял из 5 человек.
5. Эта старинная задача была известна еще в Древнем Риме. Богатый сенатор, умирая, оставил жену в ожидании ребенка. После смерти сенатора выяснилось, что на свое имущество, равное 210 талантам, он составил следующее завещание: «В случае рождения сына отдать мальчику две трети состояния (то есть 140 талантов), а остальную треть (то есть 70 талантов) – матери; в случае же рождения дочери отдать девочке одну треть состояния (то есть 70 талантов), а остальные две трети (то есть 140 талантов) – матери».
У вдовы сенатора родились близнецы – мальчик и девочка. Такой возможности завещатель не предусмотрел. Как можно разделить имущество между тремя наследниками с наибольшим приближением к условию завещания?
6. Решите уравнение (х – 2)/3 + 2 = 4.
9 тур
1. Вычислите
2. Решите уравнение
3. Припишите к числу 10 справа и слева одну и ту же цифру так, чтобы полученное четырехзначное число делилось на 12.
4. Гена пошел с папой в тир. Договорились, что Гена делает 5 выстрелов и за каждое попадание в цель получает право сделать еще 2 выстрела. Всего Гена сделал 17 выстрелов. Сколько раз он попал в цель?
5. Как-то в минуту отдыха друзья-мушкетеры – Атос, Портос, Арамис и дАртаньян решили померяться силой при перетягивании каната. Портос с д Артаньяном легко перетянули Атоса с Арамисом. Но когда Портос встал в паре с Атосом, то победа против Арамиса с дАртаньяном досталась им уже не так легко. Когда же Портос с Арамисом оказались против Атоса с дАртаньяном, то ни одна из этих пар не смогла одолеть друг друга. Можете ли вы определить, как мушкетеры распределяются по силе?
6. Ваня и Вася – братья-близнецы. Один из них всегда говорит правду, а другой всегда лжет. Вы можете задать только один вопрос одному из братьев, на который он ответит «да» или «нет». Попробуйте выяснить, как зовут каждого из близнецов.
10 тур
1. Угол в 12 3/4 градуса рассматривают в лупу, дающую четырехкратное увеличение. Какой величины покажется угол?
2. В дремучем Муромском лесу из-под земли бьют два источника мертвой воды: № 1 и № 2. Из источника № 1 мертвую воду может взять каждый, а источник № 2 находится в пещере Кощея, в которую никто, кроме самого Кощея, попасть не может.
На вкус и цвет мертвая вода ничем не отличается от обыкновенной, однако если человек выпьет из какого-нибудь источника, он через сутки умрет. Правда, если он выпьет из источника № 1, спасти его может только одно: если он в течение суток выпьет яд из источника № 2. А если он сразу выпьет яд из источника № 2, то ему уже ничто не поможет.
Иванушка-дурачок вызвал Кощея на дуэль. Условия дуэли были такие: каждый приносит с собой кружку с жидкостью и дает ее выпить своему противнику. Кощей обрадовался: «Ура! Я дам яд № 2, и Иванушка-дурачок не сможет спастись! А сам выпью яд из источника № 1, который Иванушка-дурачок мне принесет, затем выпью свой яд № 2 и спасусь!»
В назначенный день оба противника встретились в условленном месте. Они честно обменялись кружками и выпили то, что в них было. Каковы же были радость и удивление обитателей Муромского леса, когда оказалось, что Кощей умер, а Иванушка-дурачок остался жив! Догадайтесь, как?
3. На волшебной яблоне выросли 15 бананов и 20 апельсинов. Если сорвать один из плодов – вырастет такой же, если одновременно сорвать два одинаковых плода – вырастет апельсин, а если одновременно сорвать два разных плода – вырастет банан. Ася срывала плоды, и в конце концов на яблоне остался ровно один плод. Можете ли вы определить, какой это был плод?
4. Мальчик плотно прижал грань синего карандаша к грани желтого карандаша. Один сантиметр (в длину) прижатой грани синего карандаша, считая от нижнего конца, запачкан краской. Желтый карандаш мальчик держит неподвижно, а синий, продолжая прижимать к желтому, опускает на 1 см, затем возвращает в прежнее положение, опять опускает на 1 см и опять возвращает в прежнее положение; 3 раза он так опускает и 3 раза поднимает синий карандаш (6 движений). Допустим, что за это время краска не высыхает и не истощается. На сколько сантиметров в длину окажется запачканным желтый карандаш после шестого движения?
5. Решите задачу из немецкого рукописного трактата из мюнхенского собрания (XV век).
«Некто имеет работников и деньги. Если он даст каждому работнику 5 монет, у него остается 30, а если 7 монет, то не хватит 30. Спрашивается, сколько у него работников?»
6. Решите уравнение
Высшая лига
1 тур
1. Найдите значение выражения (a ? a ? a – b ? b ? b): (а ? а + a ? b + b ? b), если а = 17, Ь = 14.
2. Решите уравнение 72: (38 ? 26: (17–92: х)) = 2.
3. Расставьте вместо букв цифры так, чтобы получилось верное равенство (разным буквам соответствуют разные цифры): У – Р = А: В = Н ? Е = Н + И = Е.
4. Из села по дороге в полдень вышла Таня со скоростью 6 км/ч. В 13 ч 00 мин вслед за ней вышел Игорь со скоростью 8 км/ч. А в 14 ч 00 мин из того же села вдогонку на велосипеде выехала Света. С какой скоростью должна ехать Света, чтобы догнать Игоря в тот момент, когда Игорь догонит Таню?
5. В команде 7 мальчиков и 6 девочек. Вначале все мальчики обменялись рукопожатиями друг с другом. Затем каждый мальчик обменялся рукопожатием с каждой девочкой. А вот девочки друг другу руки решили не жать. Сколько всего было рукопожатий?
6. Дан квадрат АВСЕ со стороной 4 см. Точка К – середина стороны АВ, точка М – середина стороны ВС. Найдите площадь треугольника МКЕ.
2 тур
1. На могиле Диофанта (древнегреческий математик) имеется надпись: «Шестую часть его жизни заняло детство, двенадцатую – отрочество, седьмую – юность. Затем протекла половина его жизни, после чего он женился. Через 5 лет у него родился сын, а когда сыну минуло 4 года, Диофант скончался». Сколько лет жил Диофант?
2. Найдите х, если 54 км/ч = х м/с.
3. Алеша дал Боре столько яблок, сколько у Бори было. Потом Боря дал Алеше столько яблок, сколько у того стало. После этого у мальчиков оказалось по 4 яблока. Сколько яблок было у каждого первоначально?
4. Дядя Федор, кот Матроскин, Шарик и почтальон Печкин поспорили: кто больше выпьет молока. После того, как молоко было выпито, каждый из них высказался:
Дядя Федор: «А все-таки я не оказался последним!» Кот Матроскин: «Я выпил не больше, но и не меньше всех». Шарик: «Я маленький, поэтому выпил меньше всех». Почтальон Печкин: «Я вас всех победил!» Один из них сказал неправду. Кто победил в соревновании, и кто сказал неправду?
5. Вычислите 7288: 8 + 6363: 7 – 2000 + 1000: 250 + 276.
6. Частное равно 100. Делимое уменьшили на делитель. Узнайте новое частное.
3 тур
1. Найдите наибольшее целое число, дающее при делении на 13 неполное частное 17.
2. Сколько существует натуральных двузначных чисел, у которых первая цифра в два раза больше второй?
3. Найдите закономерность в последовательности чисел и определите, сколько в этой последовательности трехзначных чисел: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55...
4. Три землекопа за 2 ч выкопали три ямы. Сколько ям выкопают шесть землекопов за 5 ч?
5. Сколько треугольников «спрятано» на рисунке?
6. Летела стая гусей, а навстречу им летит один гусь и говорит: «Здравствуйте, сто гусей!» А передний старый гусь ему и отвечает: «Нет, нас не сто гусей! Вот, если б нас было еще столько, да еще полстолька, да еще четверть столько, да ты, гусь, то было бы сто гусей, а теперь... Вот и рассчитай-ка, сколько нас?»
4 тур
1. 3 кедровых ореха можно обменять на 2 лимона, а 3 лимона можно обменять на 4 яблока. Сколько кедровых орехов можно обменять на 16 яблок?
2. Из цифр 0, 2, 3, 5, 8 составьте все трехзначные числа, сумма цифр в каждом из которых равна 8 (цифры в числе могут повторяться).
3. Путь, пройденный туристом за один день, оказался в три раза больше, чем половина оставшегося пути. Какую часть всего пути прошел турист за день?
4. Придумайте задачу, которая решалась бы с помощью уравнения 2 ? (х + 1) + х = 32.
5. Найдите площадь треугольника, изображенного на рисунке. Площадь одной клетки равна 1.
6. В токарном цехе вытачиваются детали из стальных заготовок, из одной заготовки – деталь. Стружки, оставшиеся после обработки трех заготовок, можно переплавить и получить ровно одну заготовку. Сколько всего деталей можно сделать из 9-ти заготовок? А из 14-ти? Сколько нужно взять заготовок, чтобы получить 40 деталей?
5 тур
1. Сумма шести различных натуральных чисел равна 22. Найдите эти числа.
2. Пятиклассникам очень понравилась поездка в Великий Устюг, и они решили поехать туда снова, дабы навестить веселых Дедов Морозов. Ежемесячно каждый ученик вносил определенное количество рублей (без копеек), одинаковое для всех, и в течение пяти месяцев было собрано 49 685 р. Сколько было в группе учеников, и какую сумму внес каждый?
3. Четыре подруги пришли на каток, каждая со своим братом. Они разбились на пары и начали кататься. Оказалось, что в каждой паре «кавалер» выше «дамы» и никто не катается со своей сестрой. Самым высоким в компании был Юра Воробьев, следующим по росту – Андрей Егоров, потом Люся Егорова, Сережа Петров, Оля Петрова, Дима Крымов, Инна Крымоваи Аня Воробьева. Определите, кто с кем катался?
4. Простые числа имеют только два различных делителя – единицу и само это число. Найдите первые три числа, имеющие ровно три различных делителя. Догадаетесь ли вы, какие числа имеют только три различных делителя?
5. Полный бидон с молоком весит 34 кг, а наполненный до половины – 17 кг 500 г. Сколько весит пустой бидон?
6. Из литра молока получают 150 г сливок, а из литра сливок – 300 г масла. Сколько масла получится из 100 л молока?
6 тур
1. На почтовом ящике написано: «Выемка писем производится пять раз в день с 7 до 19 ч». И действительно, первый раз почтальон забирает почту в 7 ч утра, а последний – в 7 ч вечера. Через какие интервалы времени вынимают письма из ящика?
2. Вычислите 66 509 + 141 404: (39 839 – 39 793) + 1985.
3. В классе учится меньше чем 50 школьников. За контрольную работу седьмая часть учеников получила пятерки, третья – четверки, половина – тройки. Остальные работы были оценены как неудовлетворительные. Сколько всего учащихся в классе?
4. Ковбой Билл зашел в бар и попросил у бармена бутылку виски за 3 доллара и 6 коробков непромокаемых спичек, цену которых он не знал. Бармен потребовал с него 11 долларов 80 центов (1 доллар – 100 центов), и в ответ на это Билл вытащил револьвер. Тогда бармен пересчитал стоимость покупки и исправил ошибку. Как Билл догадался, что бармен пытался его обсчитать?
5. Однажды на лестнице была найдена странная тетрадь. В ней было записано четыре утверждения:
«В этой тетради ровно одно неверное утверждение»;
«В этой тетради ровно два неверных утверждения»;
«В этой тетради ровно три неверных утверждения»;
«В этой тетради ровно четыре неверных утверждения».
Есть ли среди этих утверждений верные, и если да, то какие?
6. Вася взял у товарища книгу на три дня. В первый день он прочел полкниги, во второй – треть оставшихся страниц, а в третий день прочитал половину прочитанного за первые два дня. Успел ли Вася прочитать всю книгу за три дня? Ответ обоснуйте.
7 тур
1. – Еще веревочку? – спросила мать, вытаскивая руки из лоханки с бельем. – Можно подумать, что я вся веревочная. Только и слышишь: веревочку да веревочку. Ведь я вчера дала тебе порядочный клубок. Куда ты ее девала?
– Во-первых, половину ты сама взяла обратно. Половину того, что осталось, взял у меня Том, чтобы удить в канаве колюшек. Осталось совсем немного, да из того еще папа взял половину для починки подтяжек, которые лопнули у него от смеха, когда случилась беда с автомобилем. А после понадобилось еще сестре взять две пятых оставшегося, чтобы завязать свои волосы узлом.
– Что же ты сделала с остальной веревочкой?
– С остальной? Остальной-то было всего-навсего 30 см! Вот и устраивай телефон из такого обрывка...
Какую же длину имела веревочка первоначально?
2. Ира, Наташа, Алеша и Витя собирали грибы. Наташа собрала больше всех, Ира не меньше всех, а Алеша – больше, чем Витя. Верно ли, что девочки собрали грибов больше, чем мальчики?
3. Чему равна площадь треугольника со сторонами 8, 7 и 15?
4. Пять первоклассников стояли в шеренгу и держали 37 флажков. У всех справа от Таты – 14 флажков, справа от Яши – 32, справа от Веры – 20, справа от Максима – 8. Сколько флажков у Даши?
5. Как при помощи чашечных весов без гирь разделить 24 кг гвоздей на две части – 9 и 15 кг?
6. Решите уравнение
8 тур
1. Шли три крестьянина и зашли на постоялый двор отдохнуть и пообедать. Заказали хозяйке сварить картофель, а сами заснули. Хозяйка сварила картофель, но не стала будить постояльцев, а поставила миску с картофелем на стол и ушла. Проснулся один крестьянин, увидел картофель и, чтобы не будить товарищей, сосчитал картофель, съел свою долю и снова заснул. Вскоре проснулся другой; ему невдомек было, что один из товарищей уже съел свою долю, поэтому он сосчитал весь оставшийся картофель, съел третью часть и опять заснул. После него проснулся третий; полагая, что он проснулся первым, он сосчитал весь оставшийся в миске картофель и съел третью часть. Тут проснулись его товарищи и увидели, что в миске осталось 8 картофелин. Тогда только объяснилось дело. Сосчитайте, сколько картофелин подала на стол хозяйка?
2. Во время стоянки между двумя рейсами матросу исполнилось 20 лет. По этому случаю в кают-компании собрались все шесть членов команды.
– Я вдвое старше юнги и на 6 лет старше машиниста, – сказал рулевой.
– А я на столько же старше юнги, на сколько моложе машиниста, – заметил боцман. – Кроме того, я на 4 года старше матроса.
– Средний возраст команды – 28 лет, – дал справку капитан.
Сколько лет капитану?
3. В шахматном турнире участвовали 40 игроков, и каждый сыграл с каждым по одной партии. Сколько было сыграно партий?
4. Два пильщика должны распилить бревно, длина которого 5 1/2 м, на полуметровые чурки. Во сколько минут они сделают это, если распиловка бревна поперек продолжается каждый раз 2 1/2 мин?
5. В 100-значном числе 12345678901234567890...1234567890 вычеркнули все цифры, стоящие на нечетных местах; в полученном 50-значном числе вновь вычеркнули все цифры, стоящие на нечетных местах, и т. д. Вычеркивание продолжалось до тех пор, пока было что вычеркивать. Какая цифра была вычеркнута последней?
6. Докажите, что разность 9100– 7100делится на 10.
9 тур
1. На столе лежат в ряд четыре фигуры: треугольник, круг, прямоугольник и ромб. Они окрашены в разные цвета: красный, синий, желтый, зеленый. Известно, что красная фигура лежит где-то между синей и зеленой; непосредственно справа от желтой фигуры лежит ромб; круг лежит правее и треугольника, и ромба; треугольник лежит не с краю; синяя и желтая фигуры лежат не рядом. Определите, какого цвета какая фигура. Укажите все возможные решения.
2. Найдите значение выражения Зх3+ 2х2+ х, если
3. Два города, А и В, находятся на расстоянии 300 км друг от друга. Из этих городов одновременно выезжают друг другу навстречу два велосипедиста и мчатся, не останавливаясь, каждый со скоростью 50 км/ч. Но вместе с первым велосипедистом из города^ вылетает муха, пролетающая в час 120 км. Муха опережает первого велосипедиста, летит навстречу второму, выехавшему из В. Встретив его, она сразу поворачивает назад к велосипедисту А. Повстречав его, опять летит обратно навстречу велосипедисту В, и так продолжает она свои полеты взад и вперед до тех пор, пока велосипедисты не съехались. Тогда она успокоилась и села одному из велосипедистов на шапку. Сколько километров пролетела муха?
4. Школьник сказал своему приятелю Вите:
– У нас в классе семнадцать человек. И, представь, каждый из них дружит ровно с пятью одноклассниками.
– Не может этого быть, – сразу ответил Витя.
Почему он так решил?
5. Женю, Леву и Гришу рассадили так, что Женя мог видеть Леву и Гришу, Лева-только Гришу, а Гриша – никого. Потом из мешка, в котором лежали две белые и три черные шапки (содержимое мешка было известно мальчикам), достали и надели на каждого шапку неизвестного ему цвета, а две шапки остались в мешке (какие именно – мальчикам неизвестно).
Женя сказал, что он не может определить цвет своей шапки. Лева слышал ответ Жени и сказал, что и у него не хватает данных для определения цвета своей шапки. Мог ли Гриша на основании этих ответов определить цвет своей шапки? Если нет, то почему; если да, то как?
6. «То» да «это», да половина «того» да «этого» – сколько это будет процентов от трех четвертей «того» да «этого»?
10 тур
1. На экзамене преподаватель предлагает студенту пять вопросов, на которые надо ответить «да» или «нет». Студент знает, что ответов «да» больше, чем «нет», и что преподаватель никогда не задает три вопроса подряд, требующие одинакового ответа. Из содержания первого и последнего вопросов ему ясно, что ответы на них должны быть противоположны. Единственный вопрос, ответ на который ему известен, – второй. И этот ответ – «нет». Какими должны быть ответы на эти пять вопросов?
2. В меню входят: овощной суп или бульон на первое, бифштекс, цыпленок или рыба на второе и компот или мороженое на третье. Полный обед состоит из одного блюда на первое, одного блюда на второе и одного блюда на третье.
а) Сколько может быть различных полных обедов?
б) Сколько может быть полных обедов с бифштексом в качестве второго?
3. Имеется девять монет, о которых известно, что восемь из них имеют одинаковый вес, а девятая несколько тяжелее остальных. Покажите, что более тяжелая монета может быть отделена от остальных посредством двух взвешиваний на чашечных весах (без гирь).
4. Изготовление книги включает в себя несколько стадий: сначала ее набирают, затем печатают и наконец делают к ней обложку и переплетают. Допустим, что наборщик берет 6 долларов (600 центов) в час, бумага стоит 1/4 цента за лист, печатник берет 11 центов за каждую минуту работы его пресса, обложка стоит 28 центов и переплетчик берет 15 центов за переплетение каждой книги. Допустим теперь, что издатель хочет напечатать книгу, для которой требуется 300 ч работы наборщика, 220 листов бумаги на один экземпляр и 5 мин работы одного печатного пресса на каждый экземпляр. Найдите стоимость издания одного экземпляра книги.
5. Что больше и на сколько: 20 % от 30 или 30 % от 20?
6. Маша съедает коробку конфет за 5 мин, а Даша – за 6 мин. За какое время будут съедены все конфеты, если Маша и Даша займутся решением данного вопроса одновременно?
Суперлига
1 тур
1. В пруд пустили 30 щук, которые постепенно поедали друг друга. Щука считается сытой, если она съела 3 щук (сытых или голодных). Каково наибольшее число щук, которые могут насытиться?
2. В бочке 10 литров бензина. Как отлить из нее 6 литров с помощью девятилитрового ведра и пятилитрового бидона?
3. Отец старше сына в 4 раза, а сумма их возрастов составляет 50 лет. Через сколько лет отец станет втрое старше сына?
4. Расставьте в записи 4 ? 12 + 18:6 + 3 скобки так, чтобы получилось: а) число 50; б) наименьшее возможное число; в) наибольшее возможное число.
5. При сложении двух целых чисел ученик по ошибке поставил во втором слагаемом лишний нуль на конце и получил в сумме 6641 вместо 2411. Определите слагаемые.
6. При делении одного числа на другое получилось в частном 28 и в остатке 84. Как изменится частное и как изменится остаток, если делимое и делитель уменьшить в 7 раз?
2 тур
1. Куб со стороной 1 м распилили на кубики со стороной 1 см. Получившиеся кубики выложили вряд. Чему равна длина ряда?
2. Применяя знаки арифметических действий и, возможно, скобки, запишите восемью двойками число 200 (разрешено использовать такие числа, как 22, 222, 2222 и т. д.).
3. Во сколько раз увеличится трехзначное число, если справа к нему приписать такое же число? Ответ подтвердите двумя примерами.
4. Докажите, что из любых трех целых чисел можно найти два, сумма которых делится на 2.
5. Сошлись два пастуха, Иван и Петр. Иван и говорит Петру: «Отдай-ка ты мне одну овцу, тогда у меня будет овец ровно вдвое больше, чем у тебя!» А Петр ему отвечает: «Нет! Лучше ты мне отдай одну овцу, тогда у нас будет овец поровну!» Сколько же было у каждого овец?
6. На прямоугольном торте лежит круглая шоколадка, причем отнюдь не посередке. Как разрезать торт на две равные части так, чтобы и шоколадка тоже разделилась ровно пополам?
3 тур
1. В коробке лежат 4 цветных карандаша и 10 простых. Берут из этой коробки наугад несколько карандашей. Какое наименьшее число карандашей надо взять из коробки, чтобы среди них с гарантией оказалось не менее: а) двух цветных; б) трех простых?
2. Поблизости один от другого расположены два населенных пункта, А и В. Все жители А говорят только правду, а жители В всегда лгут. Жители А и В посещают друг друга. Ты находишься в каком-то из этих пунктов. Какой вопрос (только один) ты можешь задать первому встретившемуся тебе в этом пункте человеку, чтобы по ответу на этот вопрос ты мог установить, А это или В?
3. Два мальчика играли в шашки. Положение первого игрока стало ухудшаться. Пока он обдумывал очередной ход, второй игрок рассматривал доску, на которой стояли шашки. Оказалось, что пустых клеток на доске было втрое больше, чем занятых шашками, и что у него на две шашки больше, чем у первого игрока. Сколько шашек у каждого игрока было в это время на доске?
4. Школьники ехали на автомашине из деревни в город. Когда они проехали 3/4 пути, автомашина была остановлена для ремонта. Оставшуюся часть пути школьники проделали пешком, затратив на это времени в четыре раза больше, чем они ехали на автомашине. Во сколько раз быстрей ехали школьники на автомашине, чем шли пешком?
5. Дано трехзначное число ABB, произведение цифр которого – двузначное число AC, произведение цифр этого числа равно С (здесь цифры в записи числа заменены буквами; одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным – разные). Определите исходное число.
6. Ребята принесли из леса по полной корзинке грибов. Всего было собрано 289 грибов, причем в каждой корзинке их оказалось одинаковое количество. Сколько было ребят?
4 тур
1. Упростите выражение (2 + х – 1 + Зх): (7х + 6 – 3х – 5).
2. Восстановите недостающие цифры:
3. На колхозном рынке продаются два арбуза разных размеров. Первый в диаметре 40 см, а второй – 80 см. Первый арбуз стоит 30 р., второй арбуз стоит 180 р. Какой из арбузов выгоднее купить и почему?
4. Перед нами толстая дощечка с тремя отверстиями: квадратным, треугольным и круглым (на рисунке дан вид сверху). Может ли существовать одна затычка такой формы, чтобы закрывать все эти отверстия? Если да, то опишите ее. Если нет – обоснуйте невозможность создания такой затычки.
5. Со стартовой площадки вылетел на север вертолет. Пролетев в северном направлении 100 км, он повернул на восток. Пролетев в эту сторону 100 км, вертолет сделал новый поворот – на юг и прошел в южном направлении 100 км. Затем он повернул на запад и, пролетев 100 км, опустился. Спрашивается: где расположено место спуска вертолета относительно стартовой площадки – к западу, к востоку, к северу или югу? Подсказка: Земля имеет форму, близкую к шару, а потому вертолет не вернется на стартовую площадку!
6. Сколько существует трехзначных натуральных чисел с четными цифрами, таких, что: а) цифры в числе не повторяются; б) цифры в числе могут повторяться; в) ровно две цифры в числе повторяются?
5 тур
1. Сможете ли вы найти четыре целых числа, сумма и произведение которых являются нечетными числами?
2. Первый вторник месяца Митя провел в Смоленске, а первый вторник после первого понедельника – в Вологде. В следующем месяце Митя первый вторник провел в Пскове, а первый вторник после первого понедельника – во Владимире. Сможете ли вы определить, какого числа и какого месяца Митя был в каждом из городов?
3. Сколько нечетных чисел заключено между 300 и 700?
4. Имеются 6 запертых чемоданов и 6 ключей к ним. При этом неизвестно, к какому чемодану подходит какой ключ. Сколько попыток вы попросите вам предоставить, чтобы наверняка открыть все чемоданы?
5. В турнире участвовали пять шахматистов. Известно, что каждый сыграл с остальными по одной партии и все набрали разное количество очков; занявший 1-е место не сделал ни одной ничьей; занявший 2-е место не проиграл ни одной партии; занявший 4-е место не выиграл ни одной партии. Определите результаты всех партий турнира.
6. Начнем считать пальцы на правой руке: первый – мизинец, второй – безымянный, третий – средний, четвертый – указательный, пятый – большой, шестой – снова указательный, седьмой – снова средний, восьмой – безымянный, девятый – мизинец, десятый – безымянный и т. д. Какой палец будет по счету 1992-м?
6 тур
1. Найдите, какую цифру обозначает каждая буква в следующем равенстве: АХА= БАХ.
2. Сколько нулей на конце этого числа: 1 ? 2 ? 3 ? 4... ? 50?
3. Некоторое число уменьшили на 7, потом уменьшили в 10 раз и получили число, которое на 34 меньше исходного. Найдите исходное число.
4. Яша идет от дома до школы 30 мин, а его брат Петя 40 мин. Петя вышел из дома на 5 мин раньше Яши. Через сколько минут Яша догонит Петю?
5. Пятиклассники ехали на автомашине из деревни в город. Когда они проехали 4/5 пути, автомашина была остановлена для ремонта. Оставшуюся часть пути пятиклассники проделали пешком, затратив на это времени в 3 раза больше, чем они ехали на автомашине. Во сколько раз быстрей ехали пятиклассники на автомашине, чем шли пешком?
6. Сколько квадратов «спрятано» на рисунке?
7 тур
1. На доске написаны шесть чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6. За один ход разрешается к любым двум из них одновременно добавлять по единице. Можно ли за несколько ходов все числа сделать равными? Ответ обоснуйте.
2. Разрежьте квадрат на пять треугольников так, чтобы площадь одного из этих треугольников равнялась сумме площадей оставшихся.
3. Дорога от дома до школы занимает у Пети 20 мин. Однажды по дороге в школу он вспомнил, что забыл дома ручку. Если теперь он продолжит свой путь с той же скоростью, то придет в школу за 3 мин до звонка, а если вернется домой за ручкой, то, идя с той же скоростью, опоздает к началу урока на 7 мин. Какую часть пути он прошел до того, как вспомнил о ручке?
4. 20 черных коров и 15 рыжих дают за неделю столько молока, сколько 12 черных коров и 20 рыжих. У каких коров больше удои: у черных или у рыжих? Ответ обоснуйте.
5. Если написать любое двузначное число, а затем поменять местами в этом числе цифры и вычесть из большего числа меньшее, то получится число, которое делится на 9. Почему?
6. Два лесоруба, Никита и Павел, работали вместе в лесу и сели завтракать. У Никиты было 6 лепешек, у Павла – 9. Тут к ним подошел охотник.
– Вот, братцы, заблудился в лесу, до деревни далеко, а есть очень хочется; поделитесь со мною хлебом-солью!
– Ну, что ж, садись; чем богаты, тем и рады, – сказали Никита и Павел.
15 лепешек были разделены поровну на троих. После завтрака охотник пошарил в карманах, нашел 15 р. и сказал:
– Не обессудьте, братцы, больше при себе ничего нет. Поделитесь, как знаете!
Охотник ушел, а лесорубы заспорили. Никита говорит:
– По-моему, деньги надо разделить поровну!
А Павел ему возражает:
– За 15 лепешек 15 р. И на лепешку приходится по рублю. У тебя было 6 лепешек, тебе 6 р., у меня 9 лепешек, мне 9 р.!
Кто из них сделал правильный расчет?
8 тур
1. Число увеличено на 25 %. На сколько процентов нужно уменьшить результат этого увеличения, чтобы получить первоначальное число?
2. Три бегуна – Антон, Сережа и Толя – участвуют в беге на 100 м. Когда Антон финишировал, Сережа находился в десяти метрах позади него, а когда финишировал Сережа – Толя находился позади него в десяти метрах. На каком расстоянии друг от друга находились Толя и Антон, когда Антон финишировал? (Предполагается, что все мальчики бегут с постоянными, но, конечно, не равными скоростями.)
3. Директор завода, рассматривая список телефонных номеров и фамилий своих сотрудников, заметил определенную взаимосвязь между фамилиями и номерами телефонов. Вот некоторые фамилии и номера телефонов из списка:
Какой номер телефона у сотрудника по фамилии Железнов?
4. На столе лежат в ряд пять монет: средняя – вверх орлом, а остальные – вверх решкой. Разрешается одновременно перевернуть три рядом лежащие монеты. Можно ли при помощи нескольких таких переворачиваний все пять монет положить вверх орлом? Ответ обоснуйте.
5. Точки К и М – середины сторон квадрата. Какую часть площадь закрашенного треугольника составляет от площади всего квадрата?
6. Сестре втрое больше лет, чем было брату тогда, когда сестре было столько лет, сколько брату теперь. Когда брату будет столько лет, сколько сестре сейчас, им обоим вместе будет 28 лет. Сколько сейчас лет сестре и сколько брату?
9 тур
1. По углам бассейна квадратной формы стоят четыре столба. Потребовалось расширить этот бассейн так, чтобы площадь его стала в два раза больше, а форма осталась бы квадратной. Можно ли это сделать, не убирая столбов, причем так, чтобы все столбы остались стоящими по периметру бассейна? Если можно, то как?
2. Докажите, что среди шести любых целых чисел найдутся два, разность которых делится на 5.
3. Внутренние покои дворца султана состоят из 100 одинаковых квадратных комнат, расположенных в виде квадрата 10x10. Если у двух комнат есть общая стена, то в ней обязательно есть ровно одна дверь. Сколько дверей во дворце?
4. Профессор Тестер проводит серию тестов, на основании которых он выставляет испытуемому средний балл. Закончив отвечать, Джон понял, что если бы он получил за последний тест 97 очков, то его средний балл составил бы 90; а если бы он получил за последний тест всего 73 очка, то его средний балл составил бы 87. Сколько тестов в серии профессора Тестера?
5. Ковбоя Джо приговорили к смертной казни на электрическом стуле. Ему известно, что из двух электрических стульев, стоящих в специальной камере, один неисправен. Кроме того, Джо известно, что если он сядет на этот неисправный стул, казнь не повторится и он будет помилован. Ему известно также, что стражник, охраняющий стулья, через день на все вопросы отвечает правду, а через день – ложь.
Приговоренному разрешается задать стражнику ровно один вопрос, после чего надо выбрать, на какой электрический стул садиться. Какой вопрос Джо может задать стражнику, чтобы наверняка выяснить, какой стул неисправен?
6. Найдите такие натуральные числа х, у, z, что
10 тур
1. Специально обученные собака и кошка участвуют в забеге: вперед по прямой до стены и обратно. Собака преодолевает за один прыжок 3 м, а кошка-только 2; но зато она делает 3 прыжка, в то время как собака делает 2. Скажите, каков при этих обстоятельствах возможный исход состязания, если до стены а) 12 м; б) 14 м; в) 15 м? Все ответы обоснуйте.
2. Один человек собирался построить дом и выяснил, что ему придется заплатить 1100 долларов обойщику и маляру, 1700 долларов маляру и жестянщику, 1100 долларов жестянщику и электрику, 3300 долларов электрику и плотнику, 5300 долларов плотнику и каменщику, 3200 долларов каменщику и маляру. Во сколько обошлось человеку строительство дома?
3. Найдите наименьшее натуральное число, которое, будучи разделено на 2, дает в остатке 1, при делении на 3 дает в остатке 2, при делении на 4 дает в остатке 3, при делении на 5 дает в остатке 4, при делении на 6 дает в остатке 5, но на 7 это число делится нацело.
4. Велосипедист, двигаясь по ветру, проезжает милю за 3 мин, а на обратном пути против ветра он преодолевает милю за 4 мин. Допустим, что он все время крутит педали с одинаковой силой, тогда, сколько ему понадобится времени, чтобы проехать милю при отсутствии ветра?
5. Один делец продал велосипед за 50 долларов, совершив тем самым эквивалентный обмен. Затем он выкупил его назад за 40 долларов, что, очевидно, принесло ему доход в 10 долларов, поскольку в итоге у него оказался тот же велосипед да еще 10 долларов впридачу. Далее, выкупив велосипед за 40 долларов, он продал его за 45 долларов, получив дополнительный доход в 5 долларов, так что общий доход составил 15 долларов.
– Постойте, – сказал бухгалтер. – Но ведь человек начал с велосипеда стоимостью в 50 долларов, а после вторичной продажи у него осталось 55 долларов. Как же он умудрился получить доход, превышающий 5 долларов? Ведь продав велосипед за 50 долларов, он просто совершил обмен, не получив дохода и не понеся убытков. Когда же он купил его за 40 долларов, а продал за 45 долларов, то получил при этом доход в 5 долларов. Вот и все.
– А я полагаю, – возразил счетовод, – что когда он продал велосипед за 50 долларов, а выкупил его за 40 долларов, то совершенно ясно, он получил доход в 10 долларов, ибо имел после этого тот же самый велосипед да еще 10 долларов. Но вот когда он вновь продал велосипед за 45 долларов, то просто совершил уже упомянутый ранее обмен, так что на этой операции у него не было ни дохода, ни убытков. Причем последняя операция не затронула первый доход; поэтому в итоге доход человека оказался равным 10 долларам.
Все эти операции крайне просты; относящиеся сюда подсчеты может сделать в уме любой первоклассник. И тем не менее перед нами три разных ответа! Который из них, по вашему мнению, правильный?
6. Решите уравнение
В ответе запишите значение выражения 161 ? х – 1.
Комментарии к книге «Математические олимпиады по лигам. 5-9 классы», Андрей Николаевич Павлов
Всего 0 комментариев