«Компьютерра, 2006 № 31 (651)»

Напоследок поговорим о том, что многим кажется серьезной угрозой для современной криптографии, - квантовых компьютерах и их возможностях. Прежде всего напомню, что квантовая информатика фактически ведет свою историю с того, что Питер Шор (Peter Shor) в 1994 году представил алгоритмы, которые за полиномиальное время раскладывали числа на простые множители и подсчитывали дискретные логарифмы - на квантовом компьютере, разумеется.

Секретный ключ Алисы в RSA - это два простых числа p и q. Чем больше эти числа, тем шифр надежнее. Именно поэтому многие организации готовы платить деньги за большие простые числа; давно существуют онлайн-проекты распределенных вычислений по поиску простых чисел. Алиса публикует произведение этих чисел N=pq. Ключевое предположение, на котором основана RSA, - то, что большое число трудно разложить на множители. То есть N можно распространять, а p и q все равно никто не узнает.

Кроме собственно N в открытый ключ входит также число e, которое должно быть меньше числа ? (N)=(p-1)(q-1) и взаимно просто с ним.[ ?(N) - это функция Эйлера, играющая очень важную роль в теории чисел; здесь, правда, используется ограниченный частный случай; в общем случае функция Эйлера от n равна количеству чисел, меньших n и взаимно простых с ним. ] Секретный же ключ - такое число d, что de ? 1 mod ? (N). Алиса может с легкостью вычислить d, но никто другой на это не способен - ведь если трудно разложить N на множители, то трудно и подсчитать функцию Эйлера. Боб теперь, желая зашифровать свое сообщение m, вычисляет y ? m e mod N и передает его Алисе (и всем желающим). Алиса может расшифровать его, вычислив y d ? m ed ? m mod N (последнее сравнение выполняется благодаря малой теореме Ферма - не путать с заметкой на полях «Арифметики»; доказательство малой теоремы достаточно просто и входит в любой базовый учебник теории чисел).

Было бы наивно ожидать, что криптосистемы на эллиптических кривых, столь похожие на дискретное логарифмирование, не поддадутся квантовому компьютеру. И действительно, алгоритм Шора можно без особого труда модифицировать так, чтобы он взламывал описанный выше протокол, а равно и другие аналоги классических криптосистем, основанные на эллиптических кривых.