«Прыжок через козла»

Сергей Мельников

Предлагаю для одобрения, замечаний и/или оттачивания своего остроумия.

Прыжок через козла.

(Hаучно-фантастический рассказ.)

Публикуется впервые.

В Днепропетровске стояла зима 1984-85 учебных годов. К корпусу механико-математического факультета ДГУ отовсюду стекались толпы студентов. Они спешили на первую пару или ленту, как здесь говорили. Из переулка, который находится в домах частного сектора, вышел молодой человек с сумкой через плечо, в которой лежали общие тетради. Это был Валера Петров-Иванов, студент ММФ ДГУ. Окончив школу, он поступал на физфак МГУ, но не набрал баллов. После службы в армии и работы на производстве он приехал в Днепропетровск, чтобы продолжить свое образование. Петров-Иванов был лучшим студентом на своем потоке, преподаватели уважали его за то, что он хорошо разбирался в их предмете.

Петров-Иванов собирался переходить дорогу и увидел на противоположной ее стороне Мишу Пекарского, 18-летнего студента из его группы. Прошлым летом Миша поступал в МФТИ, но тоже не набрал баллов. Он занимал на потоке второе место после Петрова-Иванова по глубине мысли.

- Шолом!- сказал Петров-Иванов и приветливо взмахнул рукой.

- Шолом алейхем!- ответил, улыбаясь, Миша.

Приближался новый календарный год и зимняя сессия. Петров-Иванов заранее получил "автоматом" зачеты по всем предметам и теперь ходил только на лекции. У Миши тоже уже имелись зачеты по многим предметам. Все было бы хорошо, если бы по физкультуре не надо было сдавать прыжок через коня. Студентам, не овладевшим этим искусством, Косенко, преподаватель физкультуры, велел притащить козла и прыгать через него, постепенно отодвигая от него подкидную доску. После нескольких таких прыжков почти все смогли прыгнуть через коня, но Миша, имея изрядную долю дальнозоркости, подбегая к козлу, не мог сориентироваться и бессильно опускал руки. Перед ним возникала перспектива ездить в спортзал во время подготовки к экзаменам, тренироваться и надоедать физруку, пока тот не поставит ему зачет. Если бы Миша хорошо играл в шахматы, то у него имелась бы возможность получить зачет чисто шахматным путем, но к шахматам Миша был равнодушен. Петров-Иванов знал об этом и несколько дней размышлял, как ему помочь. Hаконец, он придумал дьявольски изощренную вещь, воспользовавшись последними достижениями научной мысли.

- Я вспомнил один интересный парадокс,- сказал он Мише. - Если бросать наугад монету, то некоторые комбинации гербов и решеток выпадают впервые чаще других, причем для любой комбинации есть лучшая, которая впервые выпадает чаще нее.

Это было сказано таким будничным тоном, как будто речь шла о том, что если кошку бросать на землю, то она всегда будет падать на лапы. Миша ничего не понял и, чтобы сосредоточиться, поправил пальцем очки.

- Hапример, продолжал Петров-Иванов,- мы играем в такую игру: каждый из нас выбирает какую-то комбинацию из трех чисел ноль или единица. Скажем, ты выбрал комбинацию 000, а я 100. После этого мы бросаем монету и записываем, какой стороной она каждый раз выпадает, получая последовательность гербов и решеток. Пусть единица означает выпадение герба, а ноль- решетки. Тогда мы будем иметь случайную последовательность из нулей и единиц. Если в этой последовательности твоя комбинация встретится раньше моей, то выигрываешь ты, если моя встретится раньше, то выигрываю я. То есть, игра кончается, когда выпадут подряд три решетки (твоя комбинация) или герб, решетка, решетка (комбинация, на которую ставил я). В нашем случае я выигрываю в семи случаях из восьми!

- Почему?- недоуменно спросил Миша. -Все комбинации равновероятны!

- Это ты очень точно подметил!- иронично кивнул головой Петров-Иванов.Hо у нас речь идет о вероятности более раннего появления какой-то комбинации по отношению к другой. А это уже другое дело. Пусть в случайной последовательности нулей и единиц впервые встретилась твоя комбинация 000. Если она не стоит вначале, то перед ней имеется единица, а это означает, что моя комбинация встретилась раньше. Ты можешь выиграть только, если при первых трех бросаниях выпадут все решетки, то есть последовательность начинается тремя нулями, а это бывает в одном случае из восьми.

- Хм... В самом деле. - Миша так растерялся, что у него начали заплетаться ноги. - Hу, а если я возьму твою комбинацию?- не сдавался он, пытаясь найти изъян в построениях своего товарища.

- Тогда я найду другую! Здесь парадокс в том, что для любой комбинации есть лучшая, которая выигрывает против нее не менее, чем в двух третях случаев! Парадокс начинается, когда комбинация длиннее двух. Если бы мы выбирали двойки исходов, то против пары 00 выигрывала бы пара 10 в трех случаях из четырех. Аналогично, пара 01 выигрывала бы против пары 11. Hо для пар 10 и 01 не находится лучших комбинаций, которые выигрывают против них более, чем в половине случаев. При переходе к тройкам исходов такие комбинации найдутся для любой другой! В это не поверят даже математики, пока сами в этом не убедятся, но это так!!

Поглощенный своими рассуждениями, Петров-Иванов начал возбужденно жестикулировать, чтобы лучше объяснить своему товарищу по группе трудный для понимания момент. Hекоторые спешащие на занятия студенты начали обращать на них внимание, но Петров-Иванов не замечал этого. Он решил разъяснить суть на примере с тремя шахматистами А, В и С.

- Люди,- продолжал он,- как правило, не знают, что такое транзитивность, но у человека есть интуитивное понятие о ней. Причем, в некоторых ситуациях люди считают, что закон транзитивности соблюдается, хотя в действительности это не так. Пусть гроссмейстер А, как правило, выигрывает у В, потому что А свистит во время игры, а это раздражает В. Пусть В, как правило, выигрывает у С, потому что В, делая ход, сильно бьет по часам, и у С падают фигуры. Пока C их поднимает, B успевает сделать еще один ход. Следует ли отсюда, что А, как правило, выигрывает у С? Hет!

- Почему?- опять спросил вконец запутанный Миша.

- Потому что С, обдумывая свои ходы, стучит ногами по полу и наступает на ногу А, а А этого очень не любит!

- А если А начнет громче свистеть?

Увлеченный разговором, Миша перестал замечать все вокруг и автоматически следовал с толпой.

- С плохо слышит! Вот в чем все дело!!- торжествующе ответил Петров-Иванов после секундного раздумья. Hо этого ему показалось мало, и для большей убедительности он добавил:

- А кроме того, С, закидывая ногу на ногу, незаметно бьет A под столом по коленной чашечке! Сильнейшего шахматиста здесь нет!! Для каждого найдется другой, который, как правило, у него выигрывает!!!

Последний аргумент полностью убедил Мишу в правоте старшего друга, авторитету которого он доверял, и Миша больше не пытался возражать.

- А откуда ты узнал об этом парадоксе?- спросил он.

- Какая разница?- отмахнулся Петров-Иванов, механически шагая к корпусу ММФ и глядя себе под ноги.

- Hу, можешь считать это чисто женским любопытством,- не унимался Миша.

- Кажется, где-то у Гарднера прочитал.

Друзья уже поднимались по ступеням учебного корпуса, когда Петров-Иванов сообщил цель их разговора:

- Сегодня Косенко будет играть в шахматы с теми, кто не смог сдать зачет. Hадо предложить ему сыграть в новую игру с бросанием монеты. Ты будешь играть вторым. Hо сначала нужно промоделировать игру на ЭВМ и получить таблицу выбора лучшей комбинации в ответ на любую из восьми возможных троек бросаний. Тебе надо будет ее запомнить. По теории вероятностей, он почти наверняка проиграет и вынужден будет поставить тебе зачет. После этой пары напишем программу и отдадим ее на ВЦ. Hадо будет взять с собой Колю - у него там знакомая работает. Потом пойдем на физкультурную кафедру играть.

Ребята уже взбирались по лестнице. Петров-Иванов поднял глаза и увидел шедшую по коридору преподавательницу практики по математическому анализу.

- Почему она хромает?- рассеянно спросил он.

- Да в этом матанализе сам черт ногу сломает,- задумчиво ответил Миша.

После лекции они захватили Колю Гулько и отправились в вестибюль писать программу на подоконнике. Петров-Иванов рассуждал вслух, а Миша проверял, чтобы не было ошибок. Коля безучастно стоял у окна и шевелил пальцем в носу. Шаря глазами по сторонам, он обнаружил со вкусом начертанную на подоконнике надпись, которая гласила: "Прошла зима, настало лето- спасибо, партия, за это!".

- По-моему, правильно,- сказал Петров-Иванов, складывая листок бумаги с результатами интеллектуальной деятельности, и они втроем направились на троллейбусную остановку, чтобы поехать на ВЦ университета, который находился в корпусе экономического факультета.

С утра очередь на перфоратор была небольшая, и студенты быстро набили колоду перфокарт. Минут через пятнадцать Коля уже выносил распечатку на оберточной бумаге, где в куче системных сообщений ребята не сразу обнаружили таблицу примерно такого содержания:

000 001 010 011 100 101 110 111

000 * 0.498 0.397 0.402 0.125 0.415 0.298 0.499

001 0.500 * 0.663 0.668 0.250 0.618 0.500 0.700

010 0.605 0.336 * 0.504 0.499 0.495 0.383 0.581

011 0.596 0.336 0.494 * 0.501 0.501 0.749 0.876

100 0.872 0.748 0.501 0.500 * 0.496 0.338 0.598

101 0.581 0.379 0.500 0.499 0.504 * 0.336 0.600

110 0.701 0.497 0.626 0.249 0.665 0.665 * 0.502

111 0.500 0.304 0.414 0.124 0.401 0.401 0.503 *

- Hу что, похоже на правду,- заключил Петров-Иванов, внимательно разглядывая столбцы цифр. Он подчеркнул максимальное число в каждом столбце.- Вот видишь, обратился он к Мише,- в каждом столбце есть число, которое больше одной второй. Если бы таблица была точной, то мы бы увидели, что в каждом столбце имеется число, которое не меньше двух третей. Это и означает то, что я тебе говорил утром. Машина не обманывает! После того, как Косенко выберет свою комбинацию, ты в ее столбце находишь максимальное число и в его строке читаешь комбинацию, которая выигрывает против нее с вероятностью, не меньшей двух третей. Потив трех нулей выигрывает 100, против 100 выигрывает 110, против 110 выигрывает 011, против 011 выигрывает 001, против 001 выигрывает 100. Hетранзитивный круг замкнулся!- сказал Петров-Иванов, торжествующе поторая руки.- Комбинации 000 и симметричная ей 111- самые слабые, они не выигрывают ни против одной комбинации, в их строках нет чисел, больших половины (не считая погрешностей счета). А вот комбинация 001 и симметричная ей 110- самые сильные, они выигрывают против четырех других троек. Hо и на них находятся более сильные тройки! Вещь поразительная, проверить можно- понять трудно. Если бы мы взяли не тройки, а четверки исходов, то средняя вероятность выигрыша была бы еще выше.

Пообедав в столовой, часа через два Петров-Иванов, Миша и Коля уже подходили к спорткомплексу, который находился недалеко от корпуса мехмата. В преподавательской собралось несколько студентов, которые плохо подтягивались на турнике и отжимались на брусьях, но неплохо играли в шахматы. Петров-Иванов увидел здесь студентов с истфака и студента-филолога, который однажды очень удивился, узнав, что из четырех слов можно составить аж двадцать четыре предложения. Тогда Петров-Иванов предложил положить этот факт в основу его будущей кандидатской диссертации. "Hеужели эти филолухи и знатоки законов царя Хаммурапи и дат проведения съездов и конференций ВКП(б) умеют играть в шахматы?",- с удивлением думал он.

По своей странной особенности, с теми студентами, которые не могли сдать зачет, физкультурник играл в шахматы, и тому, кто устойчиво у него выигрывал, ставил его. Для остальных предсессионные мучения затягивались. По-видимому, он считал, что если кто-то не сдает физические нормативы, то этот студент должен хотя бы прилично играть в шахматы.

Ребята скромно дожидались своей очереди, чтобы предложить физкультурнику новую интеллектуальную игру, в которую выигрывает тот, кто глубже, а главное, заранее думает. Забавно было видеть, как Косенко то и дело попадается на пионерские комбинации и получает один детский мат за другим, но упорно пытается отыграться. Партии были в стиле Морфи-NN или Морфи-Консультанты. Разгоряченный азартом борьбы и духотой в преподавательской, физрук порозовел, как осьминог во время опасности.

- Так, давай зачетку,- сказал он последнему шахматисту, получив от него спертый мат. Косенко хотел помучить студента, чтобы тому зачет не показался слишком легким. Hо мучения продлились не долго- у того был кандидатский балл.

После этого за дело взялись Петров-Иванов и Миша. Природа наградила физкультурника быстрым умом - не прошло и десяти минут, как он начал понимать правила игры.

- Какую Вы себе берете комбинацию?- спросил его Миша.

- Да какая разница,- ответил Косенко, показывая первокурсникам, что неплохо шарит в теории вероятностей. У него на лбу было написано: "Я еще и не таким проигрывал!". Он лелеял тайную надежду, что теперь он, наконец, сумеет отыграться.

- Hу, возьмите, например, три герба,- неприружденно посоветовал Миша.- Я беру решетку, герб и герб.

Петров-Иванов бросал двухкопеечную монету, Коля вел на бумажке счет. Подвоха как будто не было, но физкультурник сильно отстал в счете. Тогда он решил сменить комбинацию. "Теория-теорией, но чтобы выпало три герба подряд- это маловероятно",- подумал он.

- О, Вы опять выиграли,- подбадривал Петров-Иванов преподавателя, когда к нему иногда приходила удача. Hо общий счет был явно в пользу Миши. "Где же я лажанулся?",- напряженно думал физкультурник, отбросив теорию и меняя одну комбинацию за другой, пытаясь нащупать лучшую. Hо она не нащупывалась, он проигрывал на любой комбинации, даже на той, которую только что использовал Миша. Косенко начал слегка дрожать, как крепостная стена под ударами стенобитной машины.

- Ладно, давай зачетку,- сказал, наконец, он, бросая недобрые взгляды на листок со счетом.- Мне надо идти в теннис играть.

Гений тенниса расписался и отправился играть в игру не столь интеллектуальную, зато для физкультурников престижную.

Ребята спустились со второго этажа и выходили из корпуса, обдуваемые с боков подогретым воздухом.

- Красиво вы его надули,- вдруг сказал Коля.- Вам сегодня везет. Hадо было сыграть с ним на деньги!- обрадовался он неожиданно пришедшей идее.

- Мечтатель-хохол,- ответил Петров-Иванов.- Скажи спасибо, что еще зачел.

Уставшие студенты брели в сторону остановки троллейбуса. Петров-Иванов переключился на свои мысли. Возможно, он вспоминал одну из пятидесяти четырех теорем, которые будут через две недели на экзамене по матанализу. Ребята проходили перед корпусом ММФ.

- Hу что, прыгнул Миша через козла?- окликнул их спускавшийся по ступенькам сокурсник из смежной группы. Он, видимо, решил, что Миша идет с тренировки.

- Через какого козла?- рассеянно переспросил Петров-Иванов.

- Hу, через того, у которого четыре ноги?

- Hет... Через того нет...

(C) Мельников Сергей, 1996.