Логика чудес. Осмысление событий редких, очень редких и редких до невозможности (epub) - Логика чудес. Осмысление событий редких, очень редких и редких до невозможности 2872K (книга удалена из библиотеки) (скачать epub) - Ласло Мерё

Ласло Мерё Логика чудес. Осмысление событий редких, очень редких и редких до невозможности

László Mérő

THE LOGIC OF MIRACLES

Making sense of rare, really rare, and impossibly rare events

© 2018 by László Mérő and David Kramer. All rights reserved.

© Прокофьев Д. А., перевод на русский язык, 2019

© Издание на русском языке. ООО «Издательская Группа «Азбука-Аттикус», 2019

КоЛибри ®

Предисловие

Чудеса, которым посвящена эта книга, – совершенно мирские, то есть не имеют отношения к религии. Эти «чудеса» – в высшей степени необычные события, изменившие сами основы мировой экономики, а нас заставившие по-иному думать и учиться. Современная математика может помочь нам понять, как работают мирские чудеса и как полезные чудеса создают механизм непрерывного роста – я называю его свалкой богача, – который помогает нам прийти в себя и снова встать в полный рост после кризисов, вызванных чудесами вредоносными. Кризис и развитие берут начало из одного источника.

Желание написать эту книгу возникло у меня при чтении «Черного лебедя», бестселлера Нассима Талеба. Талеб называет мир обычных, повседневных событий Среднестаном, а мир необычных – в особенности негативных, которые он прозвал «черными лебедями», – Крайнестаном[1]. Он утверждает, что модели, описывающие Среднестан, устарели.

Интересные и порой глубокие идеи Талеба впечатлили меня, но в то же время вызвали отторжение. Во-первых, мне, математику с ученой степенью, показались совершенно непонятными его математические выкладки. Во-вторых – и вряд ли это совпадение, – его выводы я тоже счел неубедительными. А потому, как автор нескольких учебников и научно-популярных книг, я решил написать еще одну книгу, призванную оспорить ряд заключений Талеба и представить математические концепции в виде, понятном для читателей, не имеющих особой склонности к математике.

И пока я писал, мнение мое заметно изменилось. В двух отношениях. Во-первых, пусть математика Крайнестана и полезна для описания некоторых явлений, но я выяснил, что и старую математику Среднестана вряд ли можно списывать со счетов. Да и название «Среднестан» звучит слишком уничижительно. Я переименовал эти области и назвал их Диконией и Тихонией – миром диким и бурным и миром тихим и спокойным. Чудеса (необычные события) происходят в обоих мирах, но в каждом подчиняются разным математическим законам. И в книге я уделяю равное внимание и математике Тихонии, и математике Диконии.

Во-вторых, я осознал: да, черты Диконии – биржевые крахи, землетрясения, войны – в нашем мире частые гости, но и жить, и устраивать экономику нам лучше всего по законам Тихонии. Диконская экономическая модель, возможно, более точна, но тихонские для нас полезнее. Обе модели, и тихонская нормальность, и диконские неистовства, черпают силы в себе самих. Веря в тихонскую модель, мы и в реальности получим экономику и общество, более близкие к тихонским, а психологическое воздействие модели диконской заведет нас в политический и экономический хаос.

Полагаю, нам лучше всего подходит тихонская модель человеческой натуры, в которой мы видим себя в целом добронравными и цивилизованными, а войну, преступность и массовые беспорядки считаем чем-то ненормальным. Тем не менее войны и прочие бедствия происходят с частотой, которую можно предсказать по диконской модели. Мы – вид диконский, но, несмотря на это, способны в какой-то мере поддерживать цивилизованное общество, – возможно, лишь потому, что верим в свою цивилизованность и потому управляем своей жизнью через тихонскую модель.

Как же нам тогда жить, зная, что кризисы неизбежны, – и не пребывать все время в «боевом» режиме? Нужно быть наготове, чтобы по пришествии кризисов их удар не стал для нас смертельным. И прежде всего мы должны понять, как моделировать явления, возникающие в Тихонии и Диконии. Нам нужна одна модель для событий, идущих своим чередом, – впрочем, иные из них могут быть весьма необычными, – и другая для событий чрезвычайно редких, из ряда вон выходящих. Черты этих двух радикально различных миров присутствуют в нашей жизни одновременно.

Математика в книге есть, и если вы сможете следить за выкладками, то гораздо лучше поймете, о чем я хочу сказать. Конечно, если вы надеялись не иметь с математикой никакого дела, а узнать о природе чудес все же стремитесь, вполне можете пропустить все формулы и сосредоточиться на общих идеях. Впрочем, математики немного. И если она вас не страшит, но вам просто не хочется слишком в нее погружаться, все же советую: просмотрите более сложные разделы хотя бы бегло – тогда сумеете проследить за развитием главных мыслей книги. А для тех, кого тема по-настоящему заинтересует, я привожу целый список дополнительных книг – в конце, в примечаниях.

Часть I Мирские чудеса

Мир, может, и один, но проявления его бесконечно многообразны.

1 О существовании чудес

Большой взрыв, на счастье, не повторить. А то бы всем нам конец.

Друг моего детства, Алекс, – успешный бизнесмен и в чудеса не верит. Впрочем, одним из самых сильных его стремлений, которое он считал проявлением патриотической любви к той маленькой центральноевропейской стране, в которой мы с ним выросли, было желание зарегистрировать венгерскую компанию на бирже Nasdaq. Ему было все равно, чем занимается компания: медицинские технологии, сети электроснабжения, да те же компьютерные игры, – лишь бы она была новой, оригинальной и востребованной на мировых рынках. Если он видел в фирме потенциал, он готов был вкладывать в нее средства. Так он и начал расширять одно мое маленькое предприятие, которое до тех пор тихо пыталось выжить.

Алекс принял руководство, и тут я увидел, сколь дилетантски вел дела я сам. В технические вопросы он не вмешивался, хотя и там я допустил ряд грубых промахов. Он разделял ту же позицию, какую некогда занял основатель IBM Томас Уотсон, когда один из руководителей его компании признался, что совершил ошибку, которая обошлась фирме в $10 млн. «Давайте, – сказал он, – увольте меня. Я этого заслуживаю». – «Уволить вас? – ответил Уотсон. – Да я только что потратил десять миллионов на ваше обучение!»[2]

Когда что-нибудь шло не так, Алекс цитировал любимую присказку своего бизнес-наставника: «Всегда есть новая задача». Шанс на то, что до чуда рукой подать, все время заставлял его работать с огромным рвением и самоотдачей. Разумеется, сам Алекс не назвал бы то, чего ждал, «чудом». По-моему, за последние тридцать лет не прошло и недели, чтобы он хоть раз да не сказал: «Чудес не бывает». Может быть, именно поэтому те чудеса, к которым он столь страстно стремился, не стали явью. Ему так и не удалось зарегистрировать венгерское предприятие на Nasdaq, хотя теперь там котируется одна венгерская компания – LogMeIn. И все же благодаря его усилиям на рынок вышло много фирм, организаций и инвестиционных проектов, успешных и жизнеспособных.

Я утверждаю: чудеса в нашем мире существуют. И если это так, то теоретически должна быть и возможность их научного исследования. Но как их изучать, если чудесными их делает именно то, что они случаются лишь раз и по самой сути своей невоспроизводимы и недоступны для анализа?

То, что мы называем научным методом, устроено так: сперва формулируется модель, а потом ее проверяют через систематическое наблюдение, измерения и эксперименты в воссоздаваемых условиях. Если эксперимент подтверждает справедливость модели, а модель порождает чудеса – то есть неожиданные, чрезвычайно маловероятные явления, – то анализ такой модели должен давать чисто научную возможность изучения того, что мы называем чудесами. Большой взрыв, на счастье, не повторить – по крайней мере, это не в наших силах. А то бы всем нам конец. Но ученые могут изучать его при помощи моделей, которые можно формулировать, проверять и совершенствовать через воспроизводимые эксперименты. В этой книге мы применим аналогичный подход – с надеждой убедить даже Алекса в том, что чудеса существуют, даже если мы не особо в них верим.

«Черные лебеди»

Нассим Николас Талеб, автор «Черного лебедя» и других успешных книг, – уроженец Ливана, страны, которую в дни моей юности называли «ближневосточной Швейцарией». Много лет Ливан был островком мира и процветания в море кровопролития и потрясений; таким он оставался, даже когда по соседству бушевали великие арабо-израильские войны 1967 и 1973 годов[3]. В 1975 году в Ливане начались волнения, но правящая элита, в которую входила и семья Талеба, не смогла осознать их важности. Они предполагали, что через несколько дней волнения утихнут сами собой и в стране восстановится порядок. Однако порядок не восстановился. Ливан рухнул в пучину гражданской войны, и семья Талеба вместе с ним в конце концов покинула родной дом. Почти моментальное крушение этой цветущей, благополучной страны до сих пор поражает.

Талеб попал в Америку и учился в Уортонской школе бизнеса[4], одном из самых престижных учебных заведений в этой области. Его знакомили с самыми современными финансово-экономическими теориями. Но со многим в них он не соглашался. Он считал: то, что случилось в Ливане, может в любой момент произойти с любой сложной системой, в том числе и с финансовыми рынками, и не хотел допускать, чтобы эта участь постигла его собственный инвестиционный портфель. Заработав достаточно денег на свою инвестиционную компанию, Талеб применил нестандартную стратегию. Он посчитал, что получит бо́льшую прибыль, сделав ставку на то, что рано или поздно в мировой экономике случится всеобщий крах, подобный ливанскому 1975 года. В главе 6, «Источники равновесия», мы подробно обсудим обменные структуры, на которых была основана эта стратегия, а их преимущества и недостатки я подробно проанализирую в главе 10, «Жизнь в Диконии».

То, как Талеб использовал уроки Уортонской школы, казалось большинству инвесторов совершенно неприемлемым. Его не интересовала надежная краткосрочная прибыль за счет ежедневных колебаний рынков. Его целью были огромные барыши, которые он должен был получить в случае крупного экономического краха, – и минимизация текущих убытков до его наступления. Сам он говорил, что резко ему не обанкротиться, но он мог истощить ресурсы – «истечь кровью», – если долго не будет никаких катастроф.

Стратегия Талеба далеко не нова. На нее уже не один век посматривают с подозрением. Различные формы short-selling – продаж без покрытия, то есть ставок на снижение стоимости финансовых инструментов[5], – попадали под запрет с XVII века, и о том, до какой степени такие продажи следует разрешить, спорят и по сей день. Ряд стран ограничил короткие продажи в дни финансового кризиса 2008–2009 годов[6]. Подобные меры оправданы тем, что стратегия продаж без покрытия может обернуться самоисполняющимся пророчеством, внеся свою лепту в финансовый кризис. В главе 11, «Как приспособиться к Диконии», мы увидим: полный запрет продаж без покрытия может принести экономике больше вреда, чем пользы, но некоторое регулирование обоснованно. В последние годы такому регулированию уделяют все больше внимания, но у Талеба по-прежнему масса возможностей для применения своей инвестиционной стратегии.

11 сентября 2001 года, когда после нападения на Всемирный торговый центр в Нью-Йорке мировые фондовые рынки обрушились, Талеб озолотился в одночасье. Он так и держался своей стратегии, а еще все время пытался понять природу рыночных крахов и продолжал совершенствовать программное обеспечение, которое он разработал для реализации своих планов. Теперь он мог позволить себе играть по-крупному и терпеть более весомые краткосрочные убытки. А потом настал 2008 год, и всемирный финансовый кризис сделал его миллиардером.

В том же году Талеб заявил: пусть он и заработал миллиарды, но во многом он так ничего и не понял[7]. Он все так же не знал, почему в 1975 году рухнула ливанская, а в 2008-м – вся мировая экономика. Ему было ясно лишь одно: нужно всегда быть готовым к непредсказуемым, даже почти непредставимым событиям – ибо те порой происходят. Ныне Талеб стал специалистом по катастрофам – которые мы назовем негативными чудесами, – но его идеи применимы и ко многим чудесам позитивным.

Сам Талеб называет такие пагубные события «черными лебедями». Книга «Черный лебедь» вышла в 2007 году и семнадцать недель возглавляла список бестселлеров по версии The New York Times. Следует отметить: книга эта не имеет никакого отношения ни к одноименному фильму Даррена Аронофски (2010), ни к новелле Томаса Манна (1954). Несмотря на весь упорный труд редакторов, старавшихся придать книге хоть сколько-нибудь презентабельный вид, произведение Талеба – хаотичная мозаика из идей, язвительных выпадов и словесных перепалок, да и по стилю книга не шедевр. Секрет его успеха в том, что за всеми невразумительными рассуждениями о философии финансов, бурными потоками высокомерия и чрезмерно раздутым самомнением автора (все нобелевские лауреаты по экономике – «невежественные шарлатаны»; Джордж Сорос и тузы с Уолл-стрит – всего лишь баловни судьбы, никак иначе) нельзя не почувствовать: ему известно нечто важное о мире. У Талеба ужасный стиль, но он по-настоящему умен и знает, о чем говорит. Это касается и математики[8].

Талеб использует образ черного лебедя как символ явлений почти непредставимых, но все же происходящих и заметно влияющих на мир. И символ этот неудачен: представить такую птицу вполне по силам, даже если вы в жизни ее не видели или не подозреваете о том, что она есть, и пребываете в святой уверенности, что белизна – неотъемлемая часть лебединой сути. Да, вообразить такого лебедя совсем не трудно – это просто лебедь, только черный. Почему бы и нет? Да, черные лебеди есть, живут они в Австралии, но это уже лирика. У немецкого издания Der Schwarze Schwan нет даже черной птицы на обложке – там красуется лебедь-оригами кричаще-розового цвета[9].

В книге Талеба свыше пятисот страниц, и он нигде не определяет термин «черный лебедь». Зато нас ждет обилие примеров «черных лебедей»: крах Ливана, распад Советского Союза, падение Берлинской стены, возникновение ислама, великие биржевые крахи… Ими могут стать и непостижимый успех, и необъяснимый провал какой-нибудь книги. Среди других «черных лебедей» – любовники Екатерины Великой (в сноске Талеб уточняет, что их двенадцать, не так и много, по нашим меркам), цунами 2004 года в Индийском океане, изобретение компьютера, лазера, интернета и даже колеса, открытие Америки, открытие антибиотиков… У Талеба «черным лебедем» может быть все, что угодно, непредсказуемое для здравого смысла и науки, но тем не менее происходящее и весьма меняющее мир.

В моей книге смысл слова «чудо» близок к «черному лебедю» Талеба. И я тоже не даю точного определения. Достаточно указать на важнейшие свойства: чудо случается лишь раз, его не предсказать и его не воспроизвести. И ничего, что наши чудеса уступят в грандиозности «черным лебедям» Талеба. Они совершенно не обязаны менять мир. Бывают чудеса великие, бывают малые, но их объединит одно: они чудесны.

Чудеса и «черные лебеди»

Чудеса однократны, их не воспроизвести, но это не значит, что они не могут случиться снова. Нет, могут – столь же таинственно и неповторимо, как в первый раз.

Я склонен думать, что каждый из нас – малое чудо, однократное и неповторимое. Кроме того, я соглашусь и с богословом Мартинусом фон Биберахом, переписавшим в 1498 году один знаменитый катрен, и с Мартином Лютером, назвавшим этот стих «псалмом безбожников» и предложившим свою редакцию, более «верную» теологически. Исходное стихотворение выглядело так:

  Я живу и не знаю, как долго, Я умру и не знаю когда, Я иду и не знаю дороги, Отчего ж я так весел тогда?[10]  

А вот ответ Лютера:

  Я живу, сколько Богом отмерено, Я умру, когда Бог так решит, Я иду к своей цели уверенно, Что ж печалит меня и страшит?[11]  

Как веселье фон Бибераха, так и печаль Лютера можно счесть малым чудом, хотя лично мне ближе фон Биберах.

Общее свойство «черных лебедей» в том, что задним числом, уже когда все обо всем узнали, может показаться, что некое событие было неизбежным. Впоследствии всегда так много объяснений… Но, хотя «черные лебеди» и чудеса во многом схожи, в этом они отличаются. Чудо зачастую не поддается никакому логическому объяснению, каким бы то ни было числом.

Для верующих чудеса в сильном, теологическом смысле – доказательство могущества Божьего, и у того, кто верует, нет причин сомневаться в существовании чудес. Если наука находит, что нечто, раньше считавшееся чудом (те же солнечные затмения), есть следствие законов природы, вера все равно остается неколебимой. Человек может ошибиться и принять один из божественных законов за одно из божественных чудес. Тем не менее многие чудеса – например, непорочное зачатие – мы не в состоянии объяснить и, говоря словами Теннисона, «лишь верой постигаем, поскольку доказательств нет»[12][13].

Неверующему чудеса могут лишь указать на пределы наших знаний. Явления, необъяснимые в границах нынешних знаний, были всегда. Но это не делает их чудесами в богословском смысле. Рано или поздно наука выявит их суть. Но, объясняя все больше природных феноменов, прежде бывших за гранью понимания, наука доказала и другое: всегда найдется то, чего она, сколь бы ни развилась, не прояснит вовеки. Я поговорю об этом в одной из глав – и в ней же точней определю, что именно мы называем чудесами.

Обязательное чтение

Книга «Гёдель, Эшер, Бах» Дугласа Р. Хофштадтера относится к числу произведений, сильнее всего повлиявших на мое мышление, хотя я абсолютно не согласен с предпосылками ее автора. На семи сотнях страниц он развивает тезис о том, что логическая система, которую открыл австрийский логик Курт Гёдель (я подробно описываю ее в главе 3, «Источник чудес: идея Гёделя»), дает достаточную основу для создания полноценного искусственного разума. И более того, ему хватает смелости заявить во вступлении: «В каком-то смысле эта книга – символ моей веры»[14]. Я, скажем так, хожу в другой храм. Но то, что я знаю о теореме Гёделя и о логике вообще, по большей части почерпнуто у Хофштадтера, ибо именно он – в отличие от орд специалистов, статьи которых он цитирует, – сумел рассказать историю теоремы Гёделя так, что она меня захватила. Хофштадтер открыл для меня источник чудес, и, не прочитав его книги, я не написал бы свою.

В книге Хофштадтера есть все, что нужно знать о теореме Гёделя. Незачем изобретать велосипед, когда речь идет о понимании несомненно установленных научных фактов. Их нужно просто усвоить, и книга Хофштадтера позволяет это сделать. Еще один «краеугольный камень» моего мировосприятия – Библия, пусть даже я уверен в том, что птицы и звери появились не так, как сказано об этом в Книге Бытия. Мы попросту не можем думать о флоре и фауне так же, как думали до Дарвина, – равно как не можем думать о Солнце и Луне так же, как до Коперника. Собственно, все книги, которые формировали мои взгляды на мир, – в том числе и художественные, вышедшие из-под пера Гезы Оттлика и Дж. К. Роулинг, – это труды, с которыми я кое в чем фундаментально не согласен. Но все же я даю им направлять мои мысли и получаю от этого огромное удовольствие.

То же относится и к «Черному лебедю». Я принципиально не согласен с точкой зрения Талеба. Да, может быть, по личным предрассудкам: моя страна, Венгрия, не рушилась в один миг – по крайней мере в последние четыре, а то и пять столетий. С другой стороны, она и не была «центральноевропейской Швейцарией». Я не верю, что мир столь дик и хрупок, каким считает его Талеб, и поэтому в моей книге миру тихому уделено примерно столько же слов, как и миру дикому. «Черные лебеди», как мы увидим, встречаются в обоих мирах.

Если захотите узнать о «черных лебедях» у Талеба, готовьтесь – просто не будет: он пишет сразу и обо всем, и книга его подобна лабиринту. Но она открывает бесконечную сокровищницу остроумных идей и ярких примеров – и, вероятно, изменит наши представления о мире на долгие годы вперед.

Чудо кубика Рубика

В 1971 году Эрнё Рубик стал профессором архитектуры Венгерского университета искусств и дизайна в Будапеште – и пришел в изумленное отчаяние от того, насколько его студентам не хватало пространственного воображения. Ломая голову над тем, как справиться с этой проблемой, он решил создать какое-нибудь устройство, чтобы те могли развить способности к визуализации пространства. Через пару лет раздумий и экспериментов он пришел к идее своего кубика. С тех пор в мире были проданы сотни миллионов экземпляров этой головоломки.

С 1974 по 1979 год Рубик продал в Венгрии пять тысяч кубиков. В других странах – всего около двух тысяч. Все специалисты по производству игр единодушно считали, что на мировые рынки его изобретению вход заказан, хотя игрушке и удалось захватить воображение тысяч венгров. Как Рубик ни старался, поколебать это мнение он не мог.

Я так и не смог сам собрать кубик. Но, как и почти все жертвы рубикомании, я заучил несколько последовательностей, которые передавались из уст в уста, и снова и снова восторженно выкручивал кубик в исходное состояние. Моему наслаждению нисколько не мешал тот факт, что сборка кубика неизменно занимала у меня минуты четыре, а то и пять, в то время как «спидкуберы» тратят на нее меньше десяти секунд[15]. Они знают тысячи комбинаций – а я владел тремя.

В то время, когда о кубике Рубика знали лишь немногие посвященные, я спросил одного друга, первоклассного инженера-механика: можно ли разработать механизм, способный вращаться в трех измерениях? Он ответил с абсолютной уверенностью: такого устройства не бывает. Тогда я вынул свой кубик. Он покрутил его, немного подумал, еще немного покрутил, а затем театрально воздел руку с кубиком вверх и провозгласил: «Господа, этого предмета не существует!»

В 1979 году, после многочисленных безуспешных попыток, Рубик показал свой кубик Тому Кремеру, обладателю сотен патентов на игры и руководителю лондонской фирмы, занимавшейся их разработкой и продажей. Том покрутил кубик пару минут, а затем, подняв его так же, как мой инженер-механик, заявил: «Эта головоломка противоречит всем принципам нашей отрасли. Она не издает звуков, не выглядит дорого́й, она неказиста, и ее не может решить ни один нормальный человек». К этому, по сути, и сводились причины неуспеха кубика на мировом рынке. Затем он сказал: «Это гениальная штука! Предлагаю партнерство на равных началах». Так начался путь кубика Рубика к превращению в «черного лебедя».

Сам кубик Рубика – не единственное чудо в этой истории. Другое ее чудо – наметанный глаз Тома Кремера. В 1979 году ему оставался всего год до пятидесяти, и он уже был ветераном игровой индустрии. Тридцать лет спустя он сказал, что открытие гениальности кубика Рубика и создание ему мировой славы – высшее достижение его карьеры. Эти два чуда, кубик и острый глаз, ни одно из которых не было «черным лебедем» само по себе, стали им в сочетании.

Кубик Рубика был чудом и до того, как стало понятно, что он должен стать «черным лебедем». Он был чудом для тех, кто им увлекся. Механическое решение было чудом с точки зрения инженеров. И Том Кремер, ветеран игровой промышленности, тоже сумел разглядеть в нем чудо.

Вот основное отличие чуда от «черного лебедя»: как и «черный лебедь», чудо случается лишь раз и неповторимо, но оно не обязательно оказывает сильное влияние на мир. Есть малые чудеса, которых мир почти не замечает. Но есть и великие, потрясающие его до самого основания.

Призвание

Эрнё Рубик осуществил свою мечту: он создал механизм, свободно вращавшийся в трех измерениях. Это уже было бы чудом, даже не будь в этой истории Тома Кремера и не стань кубик «черным лебедем» благодаря своему нежданному всемирному успеху.

Осуществила мечту и английская мореплавательница Эллен Макартур. В 2001 году, всего в двадцать четыре года, она совершила одиночное кругосветное плавание. Вернувшись домой после девяноста четырех суток в открытом море, она сказала, что надеется своим примером вдохновить других молодых людей и помочь им воплотить их собственные мечты в реальность. Ее достижение не было уникальным; более того, в кругосветной регате яхт-одиночек Vendée Globe – «Вандейской кругосветке» – она заняла лишь второе место. Однако три года спустя, на яхте, специально сконструированной для нее, Макартур установила мировой рекорд по скорости одиночного кругосветного плавания. Он продержался лишь несколько лет, но это совершенно не важно. Это никак не умаляет ее достижения. Так чудо проявилось в мечте молодой англичанки – так же, как некогда в бесконечных экспериментах Эрнё Рубика. Форма чуда не столь важна, будь то одиночная девичья кругосветка, создание предмета, невозможного в теории, или даже разделение вод Чермного моря. Все эти события были непредставимы до того, как произошли, и произвели сенсацию, когда случились. И мы сочтем их чудесами.

Вот что пишет в романе «Училище на границе» великий венгерский стилист и прозаик Геза Оттлик (1912–1990):

Так оно всегда и бывает: ничего не получается, сотни и тысячи желаний и надежд кончаются ничем; но есть одна, в лучшем случае две самые важные вещи, без которых жизнь просто не может продолжаться, – и они-то в конце концов всегда удаются. Небрежным, случайным образом, разумеется. Судьба вполне может обойтись без нашей благодарности.

Впоследствии я перестал восхищаться такого рода вещами; я знал, что беспокоиться о вещах действительно важных – например, что я стану художником – излишне; я знал, что добьюсь этого, даже если ради этого мне придется сдвинуть с места Млечный Путь; я знал, что легко пройду сквозь самую толстую каменную стену, и Чермное море расступится предо мною[16].

Большой мечты и непреклонной настойчивости может хватить для явления чуда – и «судьба вполне может обойтись без нашей благодарности». Но что делать тем, у кого нет грандиозной мечты? Если отвечать не думая, можно сказать: найти великую цель и устремиться к ней. Однако… это верный способ сделать несчастными многих и многих, которым это вовсе не было суждено. Не всем дается талант мечтать, и лишь немногим его обладателям позволено осуществить мечту. А счастливую, осмысленную и яркую жизнь можно прожить и без чудес.

Я всегда завидовал тем, кто уже в десять лет решает, что будет молекулярным биологом, летчиком, моряком, художником, – и действительно становится им. Сам я всегда воспринимал как данность свою карьеру в математике. В детстве я побеждал в математических состязаниях, а потом стал профессиональным математиком. Было время, я мечтал доказать одну из великих недоказанных гипотез – теорему о четырех красках, гипотезу Пуанкаре, гипотезу Римана или Великую теорему Ферма. Вот было бы чудо! Но я быстро понял, что есть много математиков одареннее меня, и если уж они не могут решить эти знаменитые задачи, то мне их и подавно не решить.

Три чуда из четырех случились, хотя и не со мной. За сорок лет, что прошли со дня присуждения мне ученой степени, три задачи были решены. Но сотни других – ничуть не менее трудных, хотя, возможно, менее известных, – противостоят всем попыткам. О них вам не прочесть в газете. И вы не услышите о тысячах талантливых математиков, что посвящают всю карьеру попыткам разгадать хоть одну. Иные из них могут с гордостью и с полным правом утверждать: да, им не удалось достичь успеха, но они внесли свой вклад, пускай и небольшой, в успех, которого достигнет кто-нибудь другой. Но большинству не сказать и так, ибо путь, избранный ими для решения той или иной задачи, завел их в тупик.

Такова наша жизнь. Чтобы немногие смогли осуществить мечту, многим приходится гоняться за блуждающими огоньками, влекущими в болотную топь. На каждое чудо приходятся бесчисленные неудачи и разочарования. Но даже если вклад человека в успех других сводится к исследованию всего лишь нескольких перспективных с виду тупиков, его дело может быть весьма полезным. Возможно, он проживет плодотворную жизнь, пусть и лишенную чудес, займется достойным делом и, хочется надеяться, будет доволен и счастлив.

Для создания чего-то важного не обязательно беззаветно посвящать жизнь великой мечте. В наши дни чудесные и значимые научные результаты и технические достижения – чаще всего итог работы сотен, даже тысяч людей, и, если у каждого из них слишком грандиозная мечта, группа быстро распадется. Да, для чудес необходимы вдохновенные мечтатели, но не меньше нужны и целые армии специалистов в определенных областях, способных на решение правильно поставленных задач.

Два австралийских профессора, Джерри Маллинс и Маргарет Кайли, написали статью под не требующим объяснений заглавием «Это докторская степень, а не Нобелевская премия» (It’s a PhD, Not a Nobel Prize)[17]. Я заставляю всех своих аспирантов ее прочитать: она помогает многим из них сойти с небес на землю и умерить пыл, мешающий им написать добротную диссертацию и двигаться дальше, к вершинам профессии.

Следующую реплику в разных вариантах приписывают многим знаменитым людям: если в двадцать вы не коммунист (или социалист, или демократ), у вас нет сердца; но если вы коммунист в тридцать, у вас нет головы. Великие стремления и возвышенные идеалы естественны и уместны в юности, но рано или поздно мечты приходится смирять, осознав пределы своих сил. Путь Эллен Макартур – к мечте всей жизни – это лишь одна из дорог. А тем, кто не попал в чрезвычайно ограниченное число счастливчиков, воплотивших свою единственную великую мечту, приходится находить и возделывать какие-нибудь более реалистичные сады.

Свершение Макартур не смогло стать «черным лебедем»: оно не оказало сколько-нибудь заметного влияния на мир. Кругосветные плавания как таковые перестали быть «черными лебедями» с первой четверти XVI века, когда океаны бороздил еще Фернандо Магеллан. Хотя совершить такое плавание в одиночку на маленьком судне, как Эллен, – да, это по-прежнему кажется чудом. Но и до нее так плавали и мужчины, и женщины. Если бы ее успех вдохновил многих на осуществление мечтаний, тогда ее подвиг, возможно, и стал бы настоящим «черным лебедем». Но мы совсем недавно видели, как при участии тысяч мастеров воплощались и другие мечты – так было с устремлениями основателей Microsoft, Apple и Google.

Чудеса Гарри Поттера

В другой истории Оттлика принц убил дракона, построил замок, разбудил поцелуем принцессу, рассмешил ее, и они, разумеется, тут же поженились. Но сказка на этом не заканчивается:

Но прошел день, потом другой, потом еще один. Уже и первый день был достаточно долгим; он состоял из множества часов, часы – из множества минут, минуты – из множества секунд.

Они посмотрели друг на друга, и принц решил заточить принцессу, усыпить ее, разрушить замок и оживить дракона.

Он сразу же приступил к делу. Но дело оказалось не таким-то простым. Ни упорная работа, ни еще более героические свершения, ни приключения, ни бесцельная беготня не помогали ему разрушить замок, который то и дело уворачивался от него на своих курьих ножках. Еще меньше толку выходило из попыток приставить дракону отрубленные головы, да и снова усыпить или заточить принцессу принцу не удавалось. Шли дни, которые складывались в месяцы, а там и в годы, а у них по-прежнему ничего не получалось. И если они еще не умерли, то так и живут до сих пор[18].

Так вот что бывает, если свершить чудо и достичь своей мечты? Неужели мы просто спросим: «Все, конец?» Вот потому-то я и считаю книги о Гарри Поттере одним из величайших литературных достижений прошлого века. Джоан Роулинг совершила чудо – она сделала следующий шаг.

Гарри Поттер – не Эллен Макартур. У него никогда не было великой мечты. Просто случилось так, что именно он совершил чудо, которого не смог совершить никто другой, причем даже не верилось, что он на это способен. А когда после семи томов приключений он в конце концов побеждает ужасного Волан-де-Морта, он живет дальше, мирно, с пользой для общества, обычным волшебником без грандиозных мечтаний, – таким же, каким был бы, не окажись он единственным, у кого была надежда победить «Того-Кого-Нельзя-Называть». Он волшебник, и чудеса – его основное занятие, но он не совершает больше никаких чудес, и его это вполне устраивает. Он делает свое дело, любит жену и детей и лишь время от времени вспоминает о волнительной, полной опасностей жизни.

Роулинг совершила с «Гарри Поттером» еще одно чудо: заставила миллионы детей прочитать три с половиной тысячи страниц в эпоху, когда мы почти перестали надеяться, что молодое поколение способно предпочесть книги интернету и телевидению. Эта маниакальная страсть к чтению была столь же внезапной и неожиданной, как падение Берлинской стены или крупный экономический кризис, и, возможно, столь же неповторимой, – то есть речь, возможно, идет об истинном чуде в нашем смысле этого слова. Об этом же говорят и те трудности, с которыми Роулинг искала издателя. Точно так же, как бессчетные производители и продавцы игрушек отвергали кубик Рубика, десятки издательств отказались печатать «Гарри Поттера» – и, несомненно, с тех пор только и делают, что кусают локти.

В наше время для успеха масштабного проекта нужны «спецы», умеющие решать проблемы по ходу дела, – именно такие, каким стал повзрослевший Гарри Поттер. Возможно, именно поэтому его история могла возникнуть лишь в наши дни. Думаю, Роулинг изначально знала, что ее книги, помимо всех их великих приключений, рассказывают именно об этом – и, разумеется, о чуде любви.

Можно спросить: останется ли место для чудес, когда их у нас на глазах теснит наука, раскрывая суть все новых явлений, некогда казавшихся непостижимыми? Да, возможно, когда-нибудь она опишет нам все мысли Эрнё Рубика, всю отвагу Эллен Макартур или замечательный и неожиданный успех «Гарри Поттера». Пока что она явно на это не способна. Но может, уже сейчас она даст нам метод анализа этих необъяснимых, однократных, неповторимых чудес?

2 Мир тихий и мир дикий

У одного Эйнштейна нет стандартного отклонения.

Альберт Эйнштейн распорядился в завещании, чтобы его мозг после смерти был передан исследователям, но изучение его анатомии не дало почти никаких интересных результатов[19]. Хотя мозг Эйнштейна во многих отношениях отличался от всех других, исследованных до этого, было невозможно выделить конкретные характеристики, сочетание которых сделало его гениальным. Для этого потребовалось бы изучение большого числа эйнштейнов, чтобы исследователи могли охарактеризовать типичный эйнштейновский мозг и выявить его отличия от столь же типичного мозга неэйнштейновского. Но Эйнштейн был только один, и его мозг оказался в точности таким же уникальным, как мозг любого другого человека.

Мы обычно считаем, что «средний» означает «типичный», а упоминания или изучения заслуживают отклонения от среднего. Однако очень часто это не так. По любому конкретному параметру – объему, весу, числу и глубине складок или любой другой характеристике – наш мозг так же отличается от среднего, как наш рост. Средний рост венгра – метр семьдесят пять, но мужчин именно этого роста мало. Почти все они слегка выше или ниже.

В связи с такими отклонениями от среднего статистики определяют не только среднее значение величины, которую исследуют, но и среднее отклонение от нее. На профессиональном языке статистиков этот параметр называется «стандартным отклонением». Например, рост типичного мужчины «ниже среднего» – на одно стандартное отклонение меньший среднего роста – равен 1 м 67 см, а рост типичного мужчины «выше среднего» – метр восемьдесят три. В этом смысле можно сказать, что мужчина ростом 167 см – такой же «средний», как и мужчина ростом 183 см; рост обоих отличается от среднего на одно стандартное отклонение. Строго говоря, то, что я тут описываю, не вполне точно соответствует стандартному отклонению; математики предпочитают использовать чуть более сложную формулу[20].

Из психологических исследований нам известно, что мы воспринимаем мир сквозь призму языка. Мы не считаем человека ростом 183 см поразительно высоким, как и человека ростом 167 см – удивительно низким. То, что большинство из нас считает примечательным, начинается где-то в паре стандартных отклонений от среднего. Так, рост 191 см мы считаем высоким, а уж когда со стула встанет человек, рост которого отличается от среднего на три стандартных отклонения – то есть равен 199 см, – он, несомненно, привлечет наше внимание. Но это все еще не чудо. А вот человек пятиметрового роста считался бы явлением чудесным. Его рост отличался бы от среднего более чем на сорок стандартных отклонений. Но на самом деле людей пятиметрового – и даже трехметрового – роста не существует.

Если кто-то говорит о среднем, не называя стандартного отклонения, к его словам всегда следует относиться с некоторым подозрением[21]. Такой человек вовсе не обязательно пытается нас обмануть; вполне возможно, что он говорит по незнанию. Но следует помнить, что средняя величина без стандартного отклонения дает мало информации. Взять, например, тот факт, что типичный ребенок начинает говорить в полтора года. Следует ли нам беспокоиться об умственном развитии нашей маленькой Моники, если ей уже исполнилось два года, а она все еще не научилась говорить? Если бы стандартное отклонение для возраста освоения речи равнялось паре месяцев, тогда у нас был бы повод для беспокойства. На самом деле оно составляет около полугода, так что запаздывание речевого развития Моники – вполне нормальное. Когда мама привела меня по этому же поводу к врачу, он сказал ей: «Не беспокойтесь, моя милая; он скоро наверстает упущенное».

Гений как чудо

У одного Эйнштейна нет стандартного отклонения. Он – уникальное явление, которое невозможно объяснить методами статистики. Эта же уникальность так сильно затрудняет точное определение концепции гениальности. Многие скажут, что гений – это человек с необыкновенным талантом, но талант – это другая концепция.

По счастью, талантливых людей много, так что эту концепцию можно исследовать с использованием статистических методов. Мне нравится следующее определение: иметь талант означает знать или уметь нечто, чему вы никогда не учились. Психологические исследования талантливых людей приходят приблизительно к тому же определению, возможно более профессионально сформулированному. Кого бы мы ни исследовали – лучших учеников старшей школы или золотых медалистов Международной научной олимпиады, – психологические профили талантливых личностей выходят, по сути дела, одинаковыми: чем больше человек знает за пределами того, чему он учился, тем он талантливее.

Умения людей с разными уровнями талантливости различаются словно небо и земля. Например, необычайно талантливый программист может превосходить программиста среднеталантливого на целый порядок по эффективности. Это до некоторой степени удивительно. Ситуация такая же, как если бы человек ростом 190 см оказался в десять раз более эффективным – или в десять раз более каким угодно, – чем человек ростом всего 183 см. По-видимому, разница в росте не имеет столь радикальных последствий даже для баскетболистов, для которых большой рост является преимуществом. Однако уровень таланта оказывается чрезвычайно важен.

Что же нам делать с концепцией гениальности? Возможно, она подойдет для обозначения необычайно высокого уровня талантливости. Когда говорят об «интеллекте уровня гения», этот интеллект определяют по линейной шкале: гениальность подобна обычной разумности, только гораздо больше. Но, возможно, гениальность в чем-то отличается и от разумности, и от талантливости качественно. Может быть, гения точнее определить как человека, способного придумывать такие вещи, о которых никогда не помыслят даже необычайно талантливые люди? Представим себе Ньютона или Эйнштейна, Моцарта или Пикассо.

Хотя представление о сферической Земле существовало еще в Античности, а идея о гравитации как измеримой силе восходит по меньшей мере к Галилею, то есть к концу XVI века, именно Ньютон позволил понять, как именно может быть устроено мироздание с круглой Землей и почему люди, находящиеся на ее «нижней стороне», не падают с нее – или, если они каким-то образом приклеены к поверхности Земли, как они могут жить вверх ногами, а вся их кровь не изливается им в голову. Вопрос о людях, живущих вниз головой, на самом деле был трудной загадкой. Церковь не принимала концепцию круглой Земли, вращающейся вокруг Солнца, не из одного только злобного упрямства. Дело не только в том, что такие идеи противоречили богословским догматам; на научные вопросы, которые следовали из такой космологии, также не было убедительных ответов. Ньютон разрешил это затруднение, предложив закон всемирного тяготения: идею, что одна и та же сила вызывает вращение планет вокруг Солнца и удерживает ноги человека на земле. Для этого требовался гений, способный открыть концепцию, о которой никто до него не мог и помыслить, и дать общее объяснение явлениям, казавшимся до этого и не связанными друг с другом и необъяснимыми.

В этом смысле гений кажется явлением уникальным и неповторимым – то есть, в нашей терминологии, чудом. И потому мы еще раз убеждаемся, что чудеса все же существуют, ведь время от времени, пусть и не слишком часто, рождаются ньютоны или эйнштейны. Это люди не просто необычайно талантливые. Они не только знают гораздо больше, чем выучили; они также знают нечто, чему нельзя научить, нечто выходящее за пределы самого смелого воображения их современников.

Сегодняшняя гениальная идея завтра будет общеизвестной истиной. Теорию, которую мог разработать только гений, через некоторое время будут преподавать тысячи весьма далеких от гениальности учителей. Сначала, когда идеи новы и революционны, понять их и передать новые знания может только великий учитель. Но со временем те, кого интересует эта теория, совершенствуют и упрощают ее и находят новые способы ее объяснения, которые значительно облегчают ее преподавание. В оригинале «Начала» Ньютона очень трудны для понимания. Я читал эту книгу и могу засвидетельствовать, что читать ее невозможно. Но материалы, изложенные в ней, ежегодно преподают тысячам и тысячам старшеклассников и первокурсников. Человек гениальный открывает новую территорию, а люди необычайно талантливые следуют по пути, проложенному гением. Позднее по их следам идут люди, талантливые лишь умеренно.

Я утверждал, что гений есть чудо, но мне по-прежнему нечего ответить моему другу Алексу, убежденному, что никаких чудес не бывает. Алекс сказал бы: «То, что является чудом для тебя, совсем не обязательно будет чудом для человека гораздо более талантливого». Действительно, мне кажется чудом пятиметровый прыжок в длину, но существуют спортсмены, способные прыгнуть дальше чем на восемь метров, так что даже восьмиметровый прыжок чудом не считается[22].

Было бы полезно попытаться каким-то образом выразить редкость появления чудес в численной форме. Для этого давайте посетим две воображаемых страны, в которых мы сможем узнать о тихих, спокойных средних величинах и диких, буйных крайностях. Назовем их Тихонией и Диконией, миром тихим и миром диким.

Тихония и дикония

Попробуйте угадать ответы на следующие вопросы:

Каков средний рост людей, которые выше двух метров?

Каков средний возраст людей, которые старше девяноста лет?

Каков средний чистый капитал людей с «очень крупным чистым капиталом», то есть имеющих по меньшей мере $5 млн оборотных финансовых средств? В мире порядка двадцати миллионов таких людей.

Какова средняя стоимость акционерного капитала компаний, имеющих активов более чем на $5 млрд? В последние годы в мире насчитывается от семи до восьми сотен таких компаний.

Первый и последний из этих вопросов появлялись в «Черном лебеде» Талеба. Ответов на них там, однако, не было. Мы жадничать не будем и приведем ответы на все вопросы: 203 см, 93 года, $80 млн и $27 млрд.

Из этих ответов мы начинаем видеть, что математика, действующая в первых двух вопросах, радикально отличается от той, что работает во второй паре. Хотя обе пары вопросов касаются конкретных численных данных, кажется, что они относятся к разным мирам. В чем же их отличия? Прежде всего мы замечаем, что в случае роста или возраста нет по-настоящему больших отклонений от среднего. Не бывает людей пятиметрового роста, и никто не доживает до 969 лет, возраста библейского патриарха Мафусаила. С другой стороны, вне всякого сомнения, существуют очень богатые люди – например, пресловутые братья Кох, состояние каждого из которых составляет около $40 млрд. Существуют и чрезвычайно дорогостоящие корпорации, например компания Apple, рыночная стоимость которой в августе 2012 года составила около $750 млрд. В коммерческой деятельности бывают приливы и отливы, и тремя месяцами позже стоимость Apple упала ниже $450 млрд. Такое крупное в процентном исчислении снижение было бы катастрофическим для большинства частных лиц, но компания без труда выжила и оправилась от него.

Талеб называет страну, в которой таких крупных отклонений от среднего не бывает, «Среднестаном», а то место, в котором такие чудовищные аномалии случаются, – «Крайнестаном». Я ничего не имею против названия Крайнестан, но слово «Среднестан» кажется мне неудачным. Талеб относится к Среднестану с пренебрежением. Он отвергает его методы и образ мыслей несмотря на то, что они дают вполне успешные результаты. Кажется, что внезапное превращение Ливана, бывшего в течение более чем столетия мирным и процветающим Среднестаном, в преисполненный насилия Крайнестан, свидетелем которому стал Талеб, внушило ему ненависть ко всему «среднему» и недоверие к теориям, существующим в таких местах.

Я предпочитаю называть место, не подверженное резким отклонениям, более нейтральным именем – «Тихонией». А раз уж у нас будет Тихония, то и Крайнестан можно переименовать: мы будем называть его «Диконией». В отличие от Талеба я не считаю, что наука Тихонии – это сплошное очковтирательство, и с гордостью продолжаю преподавать тихонские методы, не забывая при этом, что они применимы лишь к некоторым частям мира, а там, где они не действуют, они, как правило, вводят нас в заблуждение.

Не следует считать, что наука тихонская и наука диконская – две разные вещи. В обеих используется один и тот же научный метод, одна и та же математика. Дело лишь в том, что явления двух разных типов описываются при помощи разных математических моделей. И в обоих случаях встречается масса шарлатанства, в том числе демонстрация поражающих воображение средних значений без какого-либо упоминания о стандартных отклонениях.

Нам кажется вполне целесообразным, что биологи описывают поведение волков одной моделью, а поведение овец – другой. Одна модель относится к хищникам, живущим в дикой природе, а вторая – к травоядным сельскохозяйственным животным. У каждой из этих моделей есть область применимости, и нас не удивляет тот факт, что модель, удовлетворительно описывающую поведение волков, нельзя применить к овцам.

Хотя биологам требуются разные модели для описания волков и овец, а у физиков есть одна модель для взаимодействия субатомных частиц и другая для движения планет, все ученые придерживаются одного и того же научного метода: мы наблюдаем, проводим эксперименты, разрабатываем модели на основе экспериментальных результатов и пытаемся определить для каждой из них область применимости. Успешная модель позволяет нам предсказывать события, которые могут произойти в границах ее применимости. Иногда оказывается, что модель, разработанная для описания одного набора событий, может подойти к совершенно другой области – как происходит, например, в случае успешного применения моделей, взятых из физики, к экономическим явлениям.

Жизнь в Тихонии течет медленно и спокойно, без больших неожиданностей. Здесь нет крупных отклонений от среднего. Хотя в Тихонии есть люди высокие и низкие, люди умные и не очень умные, в ней нет ни пятиметровых великанов, ни сверхбогатых властелинов мира, ни гениев. Тем не менее в этом тихом мире происходит немало событий, и для понимания широкого спектра явлений, происходящих в нем, потребовались усилия множества талантливых мыслителей. Наше понимание Тихонии образует основу большей части нашего понимания Вселенной, и модели тихого мира не следует отбрасывать только потому, что существуют явления, которые они не в состоянии адекватно описать, – например, поведение мировой экономики в последние десятилетия.

По другую сторону границы, в Диконии, есть риск нарваться на всякое. Там можно встретить огромные отклонения от среднего – например, компанию Apple, которая даже после уменьшения капитала возглавляла в 2013 году список корпораций мира, причем по капитализации она более чем вдвое превосходила ближайших преследователей – Shell и IBM. Значения, отстоящие от среднего на сорок стандартных отклонений, встречаются в Диконии сплошь и рядом. По оценочной стоимости Apple опережает «рядовую» гигантскую корпорацию более чем в четыреста раз.

Опытные завсегдатаи пивных могут предсказать, когда начнется драка. Плавное течение разговора внезапно начинает прерываться сердитыми словами. В этот момент равновесие рушится, и уютный мир благовоспитанных посетителей бара, не лезущих в чужие дела, возмущается потасовкой. Нечто подобное происходит и в науке. Можно предсказать, что общепринятая научная модель вот-вот будет поставлена под сомнение, когда обнаруживается все больше и больше явлений, которые эта модель должна, но не может объяснить, и озадаченные ученые начинают высказывать недовольство. Именно из этой озадаченности и возникают радикально новые модели.

Нормальное распределение

Современники немецкого математика Карла Фридриха Гаусса (1777–1855) называли его «принцем математиков»[23]. Одним из важнейших его открытий было так называемое нормальное распределение, которое называют также гауссианой, гауссовой кривой или, что менее точно, колоколообразной кривой (см. илл. 1). Нормальное распределение оказалось жизненно важным средством описания тихонских явлений. У явлений, распределенных нормально, бо́льшая часть значений находится вблизи среднего, и чем дальше мы отходим от среднего, тем более редкими становятся значения. Например, если нормальная кривая, изображенная на илл. 2, отражает распределение роста венгерских мужчин, то можно ожидать, что около двух третей (68 %) мужчин будут находиться в пределах одного стандартного отклонения от среднего роста, равного 175 см, – то есть будут иметь рост от 168 до 182 см. А отличаться от среднего более чем на три стандартных отклонения, то есть иметь рост более 196 см или менее 154 см, будут менее 0,1 %.

Греческая буква μ (мю), отмечающая середину оси абсцисс, обозначает среднее значение, или, если использовать более точный термин, математическое ожидание. Как видите, в точке μ кривая достигает максимума: это означает, что при нормальном распределении среднее значение и встречается чаще всего. Греческая буква σ (сигма) обозначает стандартное отклонение. Также можно видеть, что для 34,1 % населения измеряемая величина (например, рост) находится между средним значением и значением, превышающим среднее на одно стандартное отклонение. Еще для 34,1 % эта величина ниже среднего на одно стандартное отклонение или меньше. Кроме того, на три стандартных отклонения от среднего отличаются менее 0,2 % населения (один человек из пятисот). Так распределяются величины по гауссовой кривой. Во второй части книги я уделю некоторое время восхвалению ее описательных способностей. Сейчас же достаточно сказать, что это распределение очень хорошо моделирует многие природные явления.

Мой друг Алекс прав относительно чудес, пока речь идет о явлениях, распределенных нормально. Кривая нормального распределения спадает чрезвычайно быстро: на расстоянии четырех стандартных отклонений от среднего значение величины уже настолько близко к нулю, что зазор между кривой и осью абсцисс можно разглядеть только при помощи мощного микроскопа. На расстоянии десяти стандартных отклонений и далее не поможет и микроскоп. Лишь в одном из триллиона триллионов случаев можно ожидать отклонения от среднего, превышающего десять стандартных отклонений.

Поскольку, как выяснилось, гауссова кривая так хорошо описывает столь многие природные явления, казалось разумным применить ее и к явлениям экономическим. В конце концов статистическая идеология, на которой основано гауссово распределение, стала настолько непререкаемой догмой, что в течение приблизительно столетия создателям экономических моделей даже в голову не приходило использовать что-либо другое. Однако оказалось, что распределение Гаусса не вполне отражает механизмы, действующие в экономике. И это относится не только к экономике: за пределами области применимости этой конкретной модели лежат и многие другие явления. Во время финансового кризиса 2008 года я слышал от разных финансовых гуру, что «такого кризиса нельзя ожидать даже раз в десять тысяч лет». Хотя десять тысяч лет мне исполнится еще не скоро, я слышал такие же заявления по меньшей мере раза четыре, а то и пять – например, во время кризисов 1987 и 1998 годов, а также после 11 сентября. Видимо, что-то тут не так.

Илл. 1. Последняя банкнота достоинством в десять немецких марок (перед заменой марки на евро) с портретом Гаусса; на ней также изображена кривая нормального гауссова распределения

Илл. 2. Гауссова кривая, или нормальное распределение

(График Йожефа Бенце)

Не так тут то, что распределение Гаусса не предусматривает потрясений, возникающих, казалось бы, на ровном месте. Оно весьма хорошо предсказывает развитие событий в Тихонии, но не в состоянии справиться с бурным миром Диконии. Для описания таких кризисов нам нужна принципиально другая модель. На самом деле такие модели есть, и существуют они так же давно, как и гауссово распределение, ставшее столь надежной основой тихонской науки.

Возвращаясь к нашей аналогии с началом драки в пивной, можно сказать, что обитатели Тихонии понимают: увеличение частоты громких выкриков означает, что мирный мир Тихонии вот-вот сменится хаотическим миром Диконии. Тут почти не важно, идет ли речь о кабацких драках или экономических показателях. В обоих случаях мы находимся в пределах области применимости новой модели, которую мы создали для описания экстремальных ситуаций, возникающих в Диконии.

Наука Тихонии достигла таких высот, что ей удалось разработать модели, применимые не только к явлениям, обычным для самой Тихонии, но и к хаотическим событиям, происходящим в Диконии. В этом состоит одна из причин, по которым нам не следует пренебрегать тихонской наукой: модели Диконии были созданы наукой Тихонии. Методы остаются в точности теми же самыми. Отличаются только модели.

Распределение Коши

Портрета математика Огюстена Луи Коши (илл. 3) не встретишь на банкнотах, хотя он был изображен на французской почтовой марке, выпущенной в честь двухсотлетия со дня его рождения, а его имя можно найти в числе семидесяти двух имен французских естествоиспытателей, инженеров и математиков, выгравированных на Эйфелевой башне. Имя Коши, как и имя Гаусса, входит в число тех, что чаще всего встречаются студентам инженерных и математических факультетов. Приблизительно через 150 лет после Ньютона он устранил многие из неоднозначностей дифференциального и интегрального исчисления и придал этой науке форму, пригодную для преподавания на начальных университетских курсах.

Илл. 3. Огюстен Луи Коши (1789–1857), французский математик и физик

Кривую, которую построил Коши, можно видеть на илл. 4, и на первый взгляд она кажется очень похожей на кривую Гаусса. Когда я говорил выше, что называть распределение Гаусса «колоколообразной кривой» неточно, я как раз и имел в виду распределение Коши и многие другие кривые, форма которых также напоминает колокол. Казалось бы, ничто не заставляет предположить, что это распределение способно описывать гораздо более дикий мир, чем гауссова кривая.

При ближайшем рассмотрении оказывается, что на расстоянии трех стандартных отклонений от среднего кривая Коши не так близка к оси абсцисс, как кривая Гаусса, хотя и она подходит все ближе и ближе к оси при все бо́льших и бо́льших отклонениях. Так ли важно, насколько стремительно кривая приближается к оси абсцисс? Неужели сама природа модели, которую описывает кривая, фундаментально зависит от быстроты приближения этой кривой к нулю? Как мы вскоре увидим, это именно так.

Илл. 4. Распределение Коши

(График Йожефа Бенце)

Из всех математических и физических явлений, которые порождают кривую Коши, возможно, легче всего понять следующее. Предположим, женщина с винтовкой – назовем ее Фиби, в честь великой американской женщины-снайпера Фиби Энн Моузи, более известной под именем Энни Оукли, – стоит на некотором расстоянии – скажем, в десяти метрах – от стены, которая продолжается до бесконечности в обоих направлениях. Она закрывает глаза, крутится на месте и, остановившись под случайным углом к стене, стреляет в ту сторону, куда направлена в этот момент ее винтовка. Разумеется, в половине случаев она вообще промахнется, потому что будет стоять спиной к стене, но мы рассмотрим только те выстрелы, которые в стену попадают. Чаще всего пули будут бить в стену сравнительно недалеко от стрелка. Половина попаданий придется на 20-метровый участок, центром которого будет ближайшая к нашей героине точка стены. И если провести перпендикуляр от Фиби к этой точке, пули полетят по обе стороны от него под углом, не превышающим 45°. Поэтому самая высокая часть у кривой Коши, как и у кривой Гаусса, находится в середине. Но если винтовка Фиби окажется почти параллельно стене, то ее пуля поразит гораздо более удаленную точку. Распределение Коши описывает среднюю частоту попадания в каждую точку стены[24].

Основное различие между моделями Гаусса и Коши состоит в том, что в распределении Гаусса очень удаленные части стены оказываются в высшей степени безопасными. Если Фиби стоит в 10 м от стены и стреляет раз в секунду, причем угол, под которым она стреляет, задан нормальным распределением, то до попадания в точку, расположенную в 65 м или дальше, пройдет в среднем 10 000 лет, а в случае, если угол определяется распределением Коши, Фиби поразит отметку в 65 м в среднем всего за 21 с. Более того, достижение расстояния 1000 м или более займет в среднем всего 5 минут, 10 000 м – 52 минуты, 100 км – 9 часов, а 1000 км – всего лишь 3,6 суток. Таким образом, если при распределении Гаусса мы в безопасности уже чуть менее чем в сотне метров от винтовки Фиби, то в сценарии Коши нам не вздохнуть спокойно, даже будь мы в тысяче километров от нее.

Пули попадут в каждый участок стены – редко, но в течение разумного времени. В широко известной книге Криса Андерсона «Длинный хвост» (The Long Tail) утверждается, что в современной экономике возможности для развития бизнеса находятся именно в областях, далеких от среднего. Андерсон предлагает следующую стратегию: найти достаточно широкий канал распространения, по которому можно будет выводить на рынок не небольшое количество популярных товаров, а большое количество товаров непопулярных. В отличие от распределения Гаусса возможности, существующие вдали от среднего, совсем не столь редки. На илл. 5 показаны обе кривые на одном графике, и, посмотрев на него, можно понять, откуда взялось название книги Криса Андерсона. Хвостовая часть у кривой Коши значительно длиннее, чем у кривой Гаусса. Нельзя сказать, что один «хвост» длиннее другого – они оба продолжаются до бесконечности, – но гауссова кривая быстро становится настолько тонкой, что с практической точки зрения она, можно считать, и вовсе сходит на ноль.

Когда Коши взялся за исследование математических свойств своей кривой, он решил выяснить среднее значение распределяемой величины – в нашем случае это меткие выстрелы Фиби, оставившие отметки на стене. Ответ казался вполне очевидным: поскольку Фиби с равной вероятностью может прекратить свое вращение, глядя как влево, так и вправо, эта точка должна находиться в середине стены. Действительно, кривая симметрична, но, когда Коши попытался вычислить среднее ожидаемое значение для конечного числа выстрелов – например, десяти, ста или тысячи, – он обнаружил, что с увеличением их числа возрастает и вероятность того, что при одном из них винтовка Фиби будет направлена почти параллельно стене и пуля попадет в чрезвычайно удаленную точку, причем это попадание не будет скомпенсировано другими выстрелами. Поэтому среднее по большому числу выстрелов значение не приближается к середине стены – вместо этого оно скачет по всей оси, и на него сильно влияют попадания в очень удаленные точки[25].

Илл. 5. Распределения Гаусса и Коши

(График Йожефа Бенце)

Математик сказал бы, что распределение Коши не имеет математического ожидания. Среднее значение по большому числу выстрелов может соответствовать любой точке стены. Именно этого не происходит в распределении Гаусса. Чем больше производится выстрелов, тем ближе среднее значение распределения Гаусса оказывается к середине стены, потому что очень редкие попадания в удаленные точки компенсируются гораздо бо́льшим числом попаданий в точки, расположенные ближе к центру.

Нет у распределения Коши и стандартного отклонения. При этом отсутствие у него стандартного отклонения отличается от его отсутствия у одного Эйнштейна. На самом деле было бы точнее сказать, что у Эйнштейна есть стандартное отклонение, но оно равно нулю и, следовательно, не поддается разумной интерпретации. Распределение Коши не имеет стандартного отклонения в том смысле, что не существует столь большого числа измерений, которое позволило бы определить типичное отклонение попаданий от середины. Во всех явлениях, которые хорошо моделируются распределением Коши, стандартного отклонения не имеет не только единственный и неповторимый Эйнштейн; оказывается, что его не имеет и все население.

Концепция Коши приводит к дикому миру, в котором нельзя даже говорить о таких «очевидных» вещах, как типичное отклонение от типичного значения, – потому что ничего такого не существует: ни типичного значения (математического ожидания), ни типичного отклонения. Невозможно сказать, что является «средним». Если вам нужно среднее, вам придется оставить мир Коши и вернуться в безопасный и тихий мир Гаусса.

Поэтому можно сказать, что математика Тихонии происходит от Гаусса, а математика Диконии – от Коши. То, что редкость в Гауссовой Тихонии, может быть делом сравнительно обычным в Диконии Коши – например, выстрелы, поражающие цель далеко за пределами нашего поля зрения. Если бы человеческий рост был распределен по Коши, время от времени появлялись бы люди, рост которых доходил бы до пяти, десяти и даже тысячи метров. Во всех остальных отношениях эти люди были бы такими же, как мы, но только выросшими по случаю чрезвычайно высокими – так же как Фиби по случаю стреляет почти параллельно стене. В части III этой книги мы увидим, как распределение Коши привело к открытию некоторых странных законов Диконии.

Природа не терпит пустоты

Я оставил без ответа вопрос о том, следует ли считать гения чудом или просто человеком необычайно талантливым. Сделан ли он (сделана ли она) из того же материала, что и любой другой одаренный индивидуум? Возвращаясь к нашей метафоре, является ли гений попросту проявлением выстрела, который Фиби делает почти параллельно стене? Когда мой друг Алекс сказал, что то, что кажется чудом мне, может не казаться таковым человеку, гораздо более талантливому, он мог бы добавить: «Поскольку ты находишься сравнительно близко к середине, ты видишь не очень далеко, но человек, оказавшийся на большем расстоянии от нее, может видеть дальше; возможно, такому человеку может быть видно, что гения создал тот же стрелок, который создал и всех нас».

Пока что Алекс вполне может оставаться при своих убеждениях. Ему будет приятно узнать, что открытие Диконии подкрепляет его точку зрения: существуют явления, которые кажутся обычному разуму чудесами, но могут быть объяснены законами Диконии. Идея Диконии приемлема для Алекса, потому что это чисто научная концепция. До сих пор он был знаком только с Тихонией и безоговорочно верил в ее законы, хотя, по-видимому, не настолько, чтобы это помешало ему попытаться вывести венгерскую компанию на биржу Nasdaq.

Открытие Диконии помогло нам понять, что в тех частях мира, которые управляются диконскими законами, следует ожидать, что время от времени будут возникать чрезвычайно сильные отклонения, противоречащие здравому смыслу. До этого, когда объяснения можно было почерпнуть только из законов Тихонии, такие события считались чудесами. Но в Диконии торжествует точка зрения Алекса: такие отклонения – не чудеса, и в будущем гарантированно будут возникать другие, даже еще более крупные.

Возможно, законы Диконии лучше описывают не только миры финансов и технологий, но и мир человеческих способностей. Если это так, то, возможно, Алекс снова прав, и гениальность может быть всего лишь экстремальным проявлением талантливости в Диконии. С другой стороны, наука не просто все глубже и глубже проникала в законы дикого мира. Она установила также, что всегда будут существовать такие явления, объяснение которых выходит за пределы наших современных знаний.

Идея о том, что природа не терпит пустоты, – это древний принцип натуральной философии, восходящий по меньшей мере к Аристотелю, который утверждал, что, если попытаться удалить из некоторой области пространства всю материю, окружающая материя стремительно заполнит образовавшийся вакуум. Действительно, в нашем повседневном опыте природа рано или поздно заполняет все пустоты, по меньшей мере здесь, на Земле, где сила тяжести тянет все объекты вниз. В космическом пространстве, в котором вакуум – не исключение, а правило, дело обстоит совсем иначе. Тем не менее существуют признаки того, что нетерпимость к пустоте в той или иной форме и правда проявляется в весьма широкой области. По аналогии можно сказать, что всюду, где имеется пробел в знаниях – нечто, чего наука не может объяснить, – эта пустота неизбежно заполняется, как правило, объяснением, которое называет такое явление чудом.

Но, возможно, некоторые вещи будут считаться чудесами всегда, как бы далеко ни продвинулась наука. Я предлагаю отнести к этой категории появление гения, который, судя по многочисленным свидетельствам, во многих отношениях совершенно отличается от остальных людей. В терминах предложенной нами выше метафоры гений, возможно, аналогичен не случаю, в котором Фиби стреляет почти параллельно стене, а чему-то, вовсе не имеющему отношения к стрельбе. В таком случае гений – не удаленное от середины пулевое отверстие, но нечто принципиально иное, даже если во всех остальных отношениях гений выглядит точно так же, как и все остальные пулевые отверстия. Но если гений – всего лишь человек из плоти и крови, подобный всем остальным людям, как же гениальность может принципиально отличаться от талантливости? Я отвечу на этот вопрос и проясню введенные здесь смутные идеи в следующей главе, после разговора о «гипервещественных» числах.

Именно потому, что гений настолько сильно отличается от остальных людей, порог гениальности устанавливается так высоко. Даже Гаусса, возможно, следует считать всего лишь человеком чрезвычайно талантливым. Например, одна из его великих идей, возможность существования неевклидовой геометрии, которую он не счел достойной развития и публикации, была независимо разработана венгерским математиком Яношем Бойяи и российским ученым Николаем Ивановичем Лобачевским. Это говорит о том, что, хотя Гаусс обладал необычайным талантом, он не выдвигал идей, которых не мог вообразить никто другой. С другой стороны, Ньютон и Эйнштейн предложили новые космологии, никогда не приходившие в голову другим великим ученым и изменившие наши представления о Вселенной.

«Настоящие» чудеса

Если нам кажется естественным, что поведение волков и овец описывают разные модели, а для описания образа жизни трехиглой колюшки, вероятно, требуются модели, отличные от этих двух, то мы должны согласиться и с тем, что разные аспекты реальности тоже могут описывать радикально разные модели. Так уж устроен мир: в нем нет универсального закона для всего сразу, а если такой закон и есть, он существует на столь абстрактном уровне, что не поможет нам описать бо́льшую часть интересующих нас явлений. Даже физики, многим из которых хотелось бы сформулировать Теорию Всего, описывают одни явления при помощи распределения Гаусса, другие – при помощи распределения Коши, а третьи физические процессы – при помощи других моделей. Мир, может, и один, но проявления его бесконечно многообразны.

Биологические процессы и наша повседневная жизнь по большей части проходят – будь то легко и стремительно или медленно и трудно – в условиях Тихонии, хотя, как мы увидим далее, развитие экономики и техники, как теперь кажется, происходит по законам Диконии. Современные врачи лечат наши тихонские болезни при помощи диконской технологии. Например, всего несколько десятилетий назад лечение после инфаркта предполагало сложную операцию, за которой следовал длительный период выздоровления. Сейчас, если пациент вовремя попадает в больницу, бригада врачей вводит катетер через небольшой разрез на запястье и проводит его до закупоренной коронарной артерии, чтобы ее расширить, и пациент может вернуться к работе уже на следующий день после операции. Это тоже своего рода чудо – особенно с точки зрения пациента, для которого такой инфаркт когда-то мог стать смертельным.

Таким образом, бо́льшую часть времени мы живем в Тихонии, но диконские явления оказывают сильное влияние на нашу жизнь. Когда мы встречаемся лицом к лицу с теми аспектами мира, которые существуют по нетихонским законам, речь с большой вероятностью идет о чем-то из ряда вон выходящем. Такое столкновение с Диконией может быть опытом замечательно позитивным, как в случае выздоровления после инфаркта, но может стать и катастрофой – например, сокрушительным экономическим кризисом или внезапным цунами.

Мир Диконии – это не мир чудес. Скорее это такое место, в котором время от времени возникают огромные отклонения от среднего, соответствующие длинному и толстому «хвосту» распределения Коши. Некоторые из этих отклонений бывают такими гигантскими, настолько выходящими за рамки того, что может объяснить наш здравый смысл, что мы склонны считать их чудесами. Однако, хотя мы и признаем, что Дикония изобилует явлениями редкими и удивительными, в соответствии с нашим определением они не являются чудесами: они не уникальны и не неповторимы. Такие события могут быть очень редкими, так как нашей Фиби лишь изредка случается стрелять почти параллельно стене и попадать в точки чрезвычайно удаленные от ее середины, но мы тем не менее знаем, что рано или поздно, причем в течение некоторого обозримого времени, винтовка Фиби снова окажется развернута в направлении, близком к параллельному. В конце концов она будет нацелена даже еще ближе к параллельному направлению, и точка попадания окажется еще дальше. В мире Диконии очень трудно, даже невозможно сказать, является ли некое невообразимо странное событие истинным чудом или же попросту результатом выстрела нашей Фиби, которая по случаю оказалась развернута почти параллельно стене. Чтобы выявить фундаментальную разницу между этими двумя случаями, нам придется глубже исследовать природу Диконии, и к этой теме мы вернемся в части III.

Истинные чудеса значительно отличаются от ситуаций, в которых стрелок случайно стреляет в направлении, почти параллельном стене, и, таким образом, попадает в невообразимо далекую точку. Истинное чудо – это событие принципиально иное, нечто уникальное и неповторимое. Такие события происходят не только в Диконии, но и в Тихонии, потому что порождены не действием обычных законов природы, а чем-то радикально иным: они не противоречат законам природы, но и не являются следствием из них. Мы рассмотрим и такие истинные чудеса. В конце следующей главы я определю четыре типа чудес. Но сначала нам понадобится еще одна фундаментальная концепция.

3 Источник чудес: идея Гёделя

Если вы – самый умный из присутствующих, значит, вы находитесь не там, где нужно.

В этой книге я пишу об идеях Курта Гёделя уже в четвертый раз. Каждый раз я писал о них по разным причинам. Хотя математическое содержание теоремы Гёделя не изменилось, следствия из нее настолько глубоки, что я снова и снова возвращаюсь к ней.

В книге «Способы мышления» (Ways of Thinking) я использовал теорему Гёделя, чтобы показать, что у того, чего можно достичь чисто рациональным мышлением, неизбежно существуют некоторые пределы, и для выхода за эти пределы необходима некая особая уловка. Этой уловкой оказалась человеческая интуиция. В книге «Этические расчеты» (Moral Calculations) я писал о концепции сотрудничества. Это, на вид такое простое, понятие оказалось на удивление трудно – на самом деле невозможно – определить. Как ни определяй поведение, основанное на принципах сотрудничества, всегда можно применить методику, разработанную Гёделем, и сконструировать такую коллективную игру, в которой все игроки неизбежно проигрывают, если неуклонно придерживаются сотрудничества в соответствии с этим определением, а различные стратегии, не предполагающие сотрудничества, позволяют всем выиграть. Таким образом, бесспорного, всеобщего и окончательного решения задачи о сотрудничестве быть не может. В книге «Эволюция денег» (The Evolution of Money) я доказывал, что методика Гёделя не только дает возможность вывода его радикально новаторской теоремы в области логики, но может быть использована и для описания корневого механизма дарвиновской эволюции, который, в свою очередь, можно применить к эволюции биологической, к эволюции идей (мемов) и к эволюции экономической (денег и капитала). Следовательно, Гёдель открыл нечто гораздо большее, нежели изящный и действенный математический метод; его открытие оказывается природным механизмом, лежащим в основе самых разных явлений.

Теперь же идея Гёделя покажет нам, почему помимо редких явлений дикого мира, подчиняющегося закону Коши, могут существовать и другие типы чудес. А когда мы дойдем до IV части книги, гёделевская точка зрения также поможет нам понять, почему мы говорим об одних типах поведения и отношений и не говорим о других, а также подготовить нас к чудесам, которые встретятся нам в будущем.

Теорема Гёделя

В 1931 году Курт Гёдель опубликовал в немецком журнале Monatshefte für Mathematik und Physik статью «О формально неразрешимых предложениях Principia Mathematica и родственных систем I» (Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I). Теорема VI этой статьи, прославившаяся впоследствии под названием первой теоремы Гёделя о неполноте, была сформулирована следующим образом:

Для каждого ω-непротиворечивого рекурсивного класса формул k существует такая рекурсивная классовая формула, что ни ∀ (ν, r), ни ¬∀ (v, r) не принадлежат к Flg (k), где ν – свободная переменная r[26].

Гёдель исходно сформулировал это утверждение по-немецки, но я могу вас заверить, что для немецкоязычного читателя-неспециалиста оно было ничуть не более понятным, чем для нас в переводе. В переложении на обычный язык теорема утверждает приблизительно следующее:

Любая математическая система, которая 1) основана на конечном числе аксиом (утверждений, принимаемых без доказательства), 2) построена строго формальным образом, 3) содержит аксиому, предполагающую существование бесконечной последовательности натуральных чисел (причем ноль считается натуральным числом, и за каждым натуральным числом идет следующее), и 4) не содержит противоречий (в том смысле, что в рамках этой системы невозможно доказать как некоторое утверждение, так и утверждение, обратное ему), заведомо содержит такие утверждения, которые можно точно сформулировать в рамках этой системы, но нельзя ни доказать, ни опровергнуть.

Теорема Гёделя о неполноте чрезвычайно сильно потрясла математиков и логиков. В течение двух с половиной тысяч лет – с самого момента появления математики в современном смысле этого слова – математики твердо верили, что любое математическое утверждение, которое можно ясно и точно сформулировать, рано или поздно можно будет доказать либо опровергнуть, используя формальные методы математической дедукции. Нужно только быть достаточно умным – и доказательство найдется. Но Гёдель разбил эту мечту вдребезги. Он показал, что существуют такие математические утверждения, которые никто, как бы умен он ни был, никогда не сможет ни доказать, ни опровергнуть.

Четыре условия, которые я описал выше, нельзя назвать ни чрезмерно строгими, ни излишне заумными. Им соответствует бо́льшая часть той математики, которую мы используем повседневно. Таким образом, теорема Гёделя утверждает, что во всех математических системах, кроме самых простейших, непременно должны возникать задачи чисто математические, но не разрешимые методами самих этих систем. Отсюда и название «теорема о неполноте»[27].

Гёделевские дивертисменты

Было бы соблазнительно углубиться еще дальше в удивительные следствия из теоремы Гёделя. Я попытаюсь устоять перед этим искушением, чтобы не отклоняться слишком далеко от темы этой книги. По счастью, у нас есть «Гёдель, Эшер, Бах» Дугласа Р. Хофштадтера – книга, которая сама по себе является небольшим чудом. Даже ее издатели не предполагали, что им удастся продать целые миллионы экземпляров этой длинной и сложной книги, посвященной математическим вопросам. Таким образом, можно сказать, что книга «Гёдель, Эшер, Бах», в которой представлены многочисленные далеко идущие следствия из теоремы Гёделя и гёделевского мышления, была настоящим «черным лебедем». Одной из причин ее успеха было то, что Хофштадтеру удалось пересказать теорему Гёделя простым языком, не используя сложных математических формулировок, но сохранив абсолютную математическую точность. Однако для этого ему потребовалось приблизительно столько же страниц, сколько во всей моей книге.

Я не буду даже пытаться состязаться с этим великолепным достижением. Вместо этого позвольте мне представить несколько гёделевских дивертисментов, чтобы проиллюстрировать охват следствий из теоремы Гёделя и показать, почему она изменила наше мышление столь фундаментальным образом. Я надеюсь, что эти наброски позволят понять, почему открытие Гёделя, кажущееся столь эзотерическим, смогло лечь в основу трех моих предыдущих книг, в которых ничего эзотерического не было, и почему его можно использовать снова, чтобы пролить свет на происхождение чудес.

В некой деревне существует закон, согласно которому человек, назначенный деревенским брадобреем, должен брить всякого, кто не бреется сам, и не имеет права брить никого из тех, кто бреется самостоятельно. Кто же тогда бреет брадобрея? Заметим прежде всего, что брадобрей не может брить самого себя, так как ему запрещено брить тех, кто бреется сам. Но если он не бреет самого себя, то он все-таки должен брить самого себя, потому что он обязан брить всех тех, кто не бреется самостоятельно. Поэтому наша задача приобретает гёделевский оттенок: она сводится к логическому парадоксу, не имеющему решения.

Разумеется, мы легко можем заключить, что жители деревни приняли глупый закон, искусственно сформулированный так, чтобы создать парадокс. Однако эта аналогия иллюстрирует самую суть теоремы Гёделя: в любой формальной системе законов существуют противоречия. С этой точки зрения не важно, глуп тот или иной закон или продуман до мелочей. Что бы он ни утверждал, всегда можно измыслить такую ситуацию, в которой этот закон должен действовать, но не действует. А если такую ситуацию можно вообразить, то рано или поздно окажется, что в чьих-нибудь интересах создать ее, чтобы избежать последствий применения этого закона. Именно поэтому мы то и дело встречаем лазейки, позволяющие обойти закон, и существование таких лазеек неизбежно: добавление новых правил, закрывающих эти лазейки, приводит только к образованию новых.

В недалеком прошлом, когда Венгрией правил коммунистический режим, некоторые книги были запрещены властями. Продажа или распространение таких книг и даже обладание ими или их чтение были нарушением закона. Время от времени, охваченный любопытством, я пытался найти названия запрещенных книг. Мне это так и не удалось, потому что перечень запрещенных книг также был запрещенной книгой[28]. Этот перечень стал гёделевской концепцией. На самом деле в такой секретности не было особой необходимости: «Индекс запрещенных книг» (Index Librorum Prohibitorum) Католической церкви, существовавший с 1559 по 1966 год, сам запрещен не был.

Такова природа диктатуры. Радикально тоталитарные идеи не только сомнительны с этической точки зрения, но часто и противоречат сами себе. Эти идеи тоталитарны, потому что они обещают полные, логические ответы – как будто речь идет о задачах из области чистой математики – на важные вопросы человеческого существования, например о том, как сделать людей счастливыми. Но, поскольку существует бесконечное множество систем ценностей и форм счастья, в этом случае также действует дух теоремы Гёделя. Никакая математически точная идеология не может сделать всех счастливыми. В любом обществе неизбежно будут существовать совершенно нормальные люди, которым социальные нормы их среды не позволяют реализовать себя. Если общество утверждает, что таких людей не существует, это означает одно из двух: либо общество лжет, либо, как следует из теоремы Гёделя, данная общественная система не является непротиворечивой. Говоря несколько напыщенно, теорема Гёделя гарантирует, что история не имеет решения.

Тем из нас, кто жил в Восточной Европе под советским господством, кажется чудом, что диктатуры XX века в конце концов были свергнуты. Пока диктаторы находились у власти, мы не могли представить себе никакого реалистического сценария, который приводил бы к их краху. Разумеется, мы знали, причем на собственном опыте, что они внутренне противоречивы и, следовательно, в конечном счете должны оказаться неустойчивыми, но теорема Гёделя не предсказывала их падения. Она показывает нам механизм, по которому могут происходить чудеса, но не гарантирует появления каких-либо конкретных чудес.

Эту же теорему можно применить к разделу философии, который называется эстетикой. Поскольку существует бесконечное множество разновидностей красоты, теорема Гёделя гарантирует, что в любой непротиворечивой эстетической системе существует тип красоты (а также тип уродства), красота которого не может быть логически выведена внутри самой системы. Неудивительно, что в произведениях искусства мы встречаем такое множество проявлений гёделевской красоты. Хофштадтер в основном иллюстрирует это положение рисунками Эшера и фуг Баха, но немало других примеров можно найти и в литературе.

В одной из сказок «Кибериады» Станислава Лема изобретательный инженер Трурль создает Совершенного Советчика для злого короля Мандрильона. Первым делом король приказывает Советчику избавиться от Трурля, чтобы не платить инженеру за работу[29]. Трурль хочет получить свой гонорар, но как ему добиться цели? Если он попытается заставить короля заплатить, ему придется бороться с созданным им же совершенным разумом. Советчик легко разоблачает все планы Трурля и защищает короля от всего, что изобретатель предпринимает, чтобы получить свои деньги. Однако в конце концов Трурль добивается своего. Он начинает писать Советчику дружелюбные, невинно выглядящие письма. Разумеется, Совершенный Советчик не глуп и понимает, что по замыслу инженера эти письма должны возбудить у короля подозрение – именно благодаря их кажущейся невинности. В их невинных словах наверняка скрыт какой-то тайный код. Хотя Советник настаивает на своей невиновности, король проникается уверенностью в том, что Трурль и Советник плетут какой-то заговор, и, когда Трурль упоминает в одном из писем голубые винтики Советника, а Советник утверждает, что не имеет о них никакого понятия, король приказывает разобрать Советника до последнего винтика. Но, лишившись Советника, король становится уязвим для превосходящего интеллекта Трурля, и ему в конце концов приходится заплатить изобретателю.

Сам Трурль резюмирует свое решение так: «Некогда было сказано: чтобы перевернуть планету, достаточно вне ее отыскать точку опоры; так и я, желая повергнуть разум, во всем совершенный, нуждался в точке опоры – ею мне послужила глупость»[30][31]. Трурль с самого начала был уверен, что теорема Гёделя гарантирует существование этой точки опоры, но обнаружение конкретного гёделевского вопроса, способного победить объединенный разум Совершенного Советчика и короля Мандрильона, потребовало гениальности конструктора.

В рассказе «Лотерея в Вавилоне» Хорхе Луиса Борхеса лотерея представляет собой орудие судьбы, а судьба может раздавать как блага, так и несчастья[32]. Раб, у которого не было денег на покупку лотерейного билета, украл его. Когда тираж лотереи был разыгран, рабу выпало, что ему должны выжечь язык. Но, кроме того, его следовало наказать за кражу билета, а согласно кодексу вавилонских законов наказанием за такую кражу также было выжигание языка. Возникла неразрешимая проблема: должен ли раб потерять свой язык в наказание за воровство или, как предлагали его более великодушные сограждане, лишиться его просто потому, что так велела судьба? У этой гёделевской задачи нет простого решения. Если законы Вавилона гласят, что язык может быть выжжен, только если причина такого наказания установлена однозначно, то для раба произойдет чудо: он сможет сохранить свой язык, хотя формально его должны дважды выжечь.

Уловка Гёделя

Существует целое семейство анекдотов о пассажирах в купе поезда – иногда они бывают еще пациентами психиатрической больницы или заключенными в тюремной камере, – которые называют анекдоты по номерам. В одном из вариантов этой истории оказавшийся в такой группе новичок называет наугад случайный номер и остальные пассажиры набрасываются на него за то, что он рассказал непристойный анекдот. В другом варианте все они покатываются со смеху, потому что этого анекдота они раньше не слышали.

Блестящая идея Гёделя заключалась в присвоении номеров всем математическим утверждениям. Такая операция вряд ли покажется кому-нибудь особенно уморительной, но тем не менее она осуществима, а получив возможность называть утверждения по номерам, мы достигаем важного уровня математической формализации. Нумерация утверждений означает внесение их в некий упорядоченный перечень. Сначала отметим, что любое математическое утверждение может быть выражено в виде формулы – например, в рамках системы «Принципов математики», которая упоминается в заголовке статьи Гёделя[33]. Поэтому мы можем начать с утверждений, состоящих всего из одного символа, а когда они закончатся (а они непременно закончатся, так как система должна содержать конечное количество символов), перейти к утверждениям, состоящим из двух символов, и так далее. Рано или поздно должно стать ясно, что любое возможное утверждение войдет в этот перечень и, следовательно, ему будет присвоен номер. Свой номер получит и теорема Пифагора, и утверждение «2 + 2 = 4», и теорема о разложении на множители разности двух квадратов: a2 – b2 = (a + b)(a – b). Разумеется, номера будут присвоены и всем ложным утверждениям, например утверждениям «2 > 3» и «2 + 2 = 5», а также неправильному разложению (a + b)(a + b) = a2 + b2.

Затем Гёдель прошел еще на шаг дальше и отдельно пронумеровал все верные доказательства. Точно так же, как это было сделано для утверждений, доказательство, которое устанавливает справедливость математического утверждения, может быть представлено в виде последовательности логических формул, подчиняющихся определенным правилам. Гёдель применил к ним тот же метод, который он использовал для формул: он начал с доказательств из одного символа, затем перешел к доказательствам двухсимвольным и так далее. В результате каждый возможный правильный вывод получил номер, обозначающий его положение в последовательности верно составленных доказательств. Поскольку доказательства расставлены в порядке возрастания длины, любое доказательство, каким бы длинным оно ни было, рано или поздно должно появиться в этом перечне.

Это несколько упрощенное описание того, что на самом деле сделал Гёдель. Исходя из некоторых формальных соображений, он использовал для нумерации формул и доказательств гораздо более сложную систему. Но то описание, которое я привел выше, отражает основную идею. Вся эта нумерация утверждений и доказательств преследовала одну-единственную цель: гарантировать существование в перечне Гёделя одного очень странного утверждения – впоследствии это утверждение получило в честь Гёделя название «утверждение G». Если перевести утверждение G с математического языка на человеческий, его можно сформулировать следующим образом: Не существует такого натурального числа х, что доказательство с номером x есть доказательство утверждения G. Другими словами: Перечень всех возможных доказательств не содержит доказательства того утверждения, которое вы сейчас читаете.

Мастерский ход Гёделя заключался в выражении этой странной, логически закольцованной формулы математически точным образом. Затем он доказал, что утверждение G не может быть доказано (то есть в его перечне доказательств нет доказательства G). Не может быть доказано и обратное ему утверждение (потому что, как мы увидим дальше, оно на самом деле ложно). Если бы утверждение G было одним из нумерованных анекдотов, которые рассказывают пассажиры поезда, пассажиры могли спорить до скончания времен, следует ли смеяться над анекдотом G или возмущаться, услышав его, потому что обосновать ту или другую точку зрения было бы невозможно.

Следует иметь в виду, что G – очевидно, «хороший» анекдот в том смысле, что это утверждение истинно: если бы оно не было истинным, то истинным должно было бы быть утверждение, опровергающее его. В этом случае существовало бы натуральное число х, такое, что доказательство с номером x доказывало бы утверждение G. Но поскольку само G утверждает, что такого числа не существует, это означало бы, что доказательство x доказывает собственное небытие. Значит, утверждение G должно быть истинным – но если это так, тогда возможно представить вот этот самый абзац в виде конечного набора математических символов и тем обеспечить его включение в перечень доказательств, а из этого следует, что утверждение G должно быть ложным. Так кто же бреет брадобрея?

В отличие от рассказчиков анекдотов математики не запутались в этих рассуждениях и не пустились в бесконечные споры. Они смогли принять тот факт, что математика устроена именно так. Более того, многие задачи, остававшиеся нерешенными на протяжении многих лет, оказались утверждениями, которые невозможно ни доказать, ни опровергнуть, и в том, что никто не смог их решить, не было ничего удивительного[34].

Гипервещественные числа

Прошли десятки лет, и американскому математику Абрахаму Робинсону пришло в голову, что было бы интересно добавить отрицание G к классической системе математики в качестве новой аксиомы[35]. В конце концов, рассуждал он, в результате все равно получится математическая система, и если классическая математика непротиворечива – то есть в ней нет такого утверждения, которое можно и доказать, и опровергнуть, – то математика, полученная путем добавления одной этой аксиомы, тоже должна быть непротиворечивой. Если бы новая система оказалась противоречивой, в ней существовала бы возможность и доказать G, и опровергнуть G. Но поскольку единственное различие между старой и новой системами сводится к добавлению аксиомы об отрицании G, которую нельзя использовать для доказательства G, из этого следует, что доказательство G может быть возможно в новой системе, только если оно возможно и в старой, для которой Гёдель доказал его невозможность. Если бы новая система получилась противоречивой, в ней можно было бы получить как доказательство G, так и его опровержение, но, поскольку при помощи G невозможно получить опровержение G, из этого следует, что в исходной системе доказать G было невозможно. Следовательно, добавление отрицания G к классической математике дает непротиворечивую математическую систему – разумеется, если предположить, что классическая математика исходно непротиворечива.

Однако непротиворечивость классической математики – вещь далеко не очевидная. Хотя большинство математиков верит в истинность этой идеи, доказать ее не удалось никому. Тем не менее математики знают, что математика не может быть лишь немножко противоречивой. Сотни лет назад было доказано, что если бы в классической математике было одно-единственное противоречие, то для любого утверждения, которое может быть доказано, могло бы быть доказано и обратное утверждение. Таким образом, математика может быть либо абсолютно непротиворечивой, либо полной противоречий. Этого соображения математикам вполне достаточно, чтобы верить в ее непротиворечивость. Гёдель шокировал их и в этом отношении, потому что из его теоремы следует, что доказать непротиворечивость любой достаточно сложной системы математики внутри самой этой системы невозможно. Непротиворечивость всегда будет оставаться в некотором роде вопросом веры.

С учетом этого идея Абрахама Робинсона кажется абсурдной. В самом деле, он решил построить математическую систему, содержащую заведомо ложную аксиому. Как если бы я каким-то образом оказался не только мужчиной – а я мужчина, – но также и женщиной. Разумеется, в реальности такое невозможно (если не учитывать в этом примере гермафродитизма и бигендерности). Я не женщина, и на свете не существует никого, кто был бы мною и женщиной. Но в математике такие парадоксы возможны. Если классическая математика непротиворечива, то непротиворечивой должна быть и новая система, так как Робинсон получил ее добавлением независимой аксиомы. С математической точки зрения эта новая система будет такой же чистой и упорядоченной, как и старая. Поэтому в исследовании новой системы и рассмотрении теорем, которые можно из нее вывести, нет ничего дурного.

Оказывается, что при работе в новой системе придется переосмыслить сущность номеров доказательств в смысле гёделевской нумерации. Добавление опровержения G требует добавления некоего «обобщенного» натурального числа. Хофштадтер называет его «супернатуральным числом»[36], потому что в нем есть нечто почти чудесное. Чтобы дать этому супернатуральному числу имя, обозначим его буквой I, так как число это – плод нашего воображения, или, если обратиться к латыни, imaginatio. Вся традиционная математика по-прежнему прекрасно работает без I, а вся математика, использующая отрицание G, должна использовать I. Если вычисление, в котором используется I, дает результат, принадлежащий к области традиционной математики, то I из него исчезает – так же, как в некоторых вычислениях исчезает другой математический объект, который обозначают буквой i – мнимая единица: (1 + i) × (1 – i) = 2.

Страстные поклонники Гарри Поттера должны помнить, что платформа № 9 3/4, от которой отходят поезда в Хогвартс, – это тоже воображаемая платформа, но начинающийся от нее путь тем не менее куда-то ведет.

Робинсон обобщил концепцию супернатуральных чисел на все множество чисел вещественных и назвал их «гипервещественными числами». Супернатуральное число I не может быть ни одним из традиционных натуральных чисел, так как это привело бы к существованию доказательства G в классической математике. Поэтому I не может быть равно 0, 1, 2, 3 или какому-нибудь другому натуральному числу. Однако можно допустить, что I больше любого натурального числа, но тем не менее остается именно числом, не превращаясь в какую-либо бесконечно большую величину. Оно может быть удвоено или возведено в квадрат, и результатом этих операций также будут гипервещественные числа. Два гипервещественных числа можно сложить друг с другом или вычесть друг из друга; гипервещественные числа вообще можно сочетать друг с другом, а также с натуральными числами всеми обычными способами. Например, 2I и I + 3 представляют собой числа, допустимые в этой новой математической системе.

Вспомним, что гипервещественные числа возникли при добавлении к традиционной математике аксиомы, опровергающей утверждение G, а поскольку эта аксиома независима от традиционной математики, можно беспрепятственно выполнять все обычные вычисления с числами как вещественными, так и гипервещественными, не опасаясь прийти к противоречию (как обычно, в предположении об исходной непротиворечивости традиционной математики).

А как насчет числа 1/I? Поскольку I больше всех натуральных чисел, из этого следует, что 1/I должно быть меньше всех положительных натуральных чисел, оставаясь при этом числом положительным. Значит, наша система содержит «бесконечно малые» положительные числа. Именно о таких числах математики говорили с тех самых пор, когда Ньютон и Лейбниц разработали дифференциальное и интегральное исчисление. Для них такие числа были скорее абстракцией, нежели конкретным объектом. Но теперь они – «настоящие» бесконечно малые числа – оказались прямо перед нами, в полном нашем распоряжении! Робинсон использовал эти бесконечно малые для создания нового варианта дифференциального и интегрального исчисления, который называется нестандартным анализом[37]. В нем интегрирование и дифференцирование превращаются из эзотерических концепций, мучающих студентов-первокурсников, проходящих математический анализ, в совершенно тривиальные операции, а сложные расчеты с использованием пределов становятся простыми вычислениями с бесконечно малыми числами.

Однако не все так просто: в этой системе становятся необычайно сложными операции сложения и умножения. Доказано, что при переходе к нестандартной математике с гипервещественными числами либо сложение, либо умножение становится таким же сложным, как операции математического анализа – интегрирование и дифференцирование – в нашей традиционной математике. При этом, работая в новой нестандартной математике, нельзя схитрить и использовать для сложения и умножения традиционную математику, потому что никогда не знаешь, окажутся ли числа, которыми мы оперируем, вещественными или гипервещественными.

В некоторых научно-фантастических произведениях утверждается, что человечество сможет использовать математику, чтобы убедить какую-нибудь внеземную цивилизацию в своей разумности. Но что, если математика, которую разработала эта конкретная цивилизация, – это математика, нестандартная с нашей точки зрения? Возможно, те инопланетяне, с которыми мы будем пытаться установить контакт, даже целые числа воспринимают совершенно по-другому. Может быть, у них даже малые дети с легкостью решают задачи дифференциального исчисления, и наша математика только убедит их в том, что мы безнадежно недоразвиты и имеем лишь самое смутное представление о числах. Увидев, с каким трудом мы решаем даже самые простые уравнения движения, они могут быть шокированы и разочарованы. В то же время мы, возможно, будем гордиться своим превосходством, когда узнаем, что инопланетяне еле-еле могут сложить два обычных десятизначных числа.

Если бы такой внеземной цивилизации с ее внеземной математикой удалось создать некую технологию, недостижимую для нас, – например, машину времени, – то мы почти наверняка сочли бы ее чудом. Если возможности математики, обеспечившие возможность такого изобретения, были бы для нас непостижимы, они казались бы нам волшебством. С другой стороны, возможно, что наши инопланетяне, которым мешала бы сложность сложения и умножения, так и не открыли бы законов электричества. Вполне может быть, что обычный электромотор казался бы им настоящим чудом.

Вернемся к нашей Фиби с ее винтовкой и посмотрим, как она могла бы использовать эту новую систему чисел. Ограничиваясь традиционными вещественными числами (как целыми, так и нецелыми), мы можем выразить все возможные результаты выстрела из винтовки в реальном мире. Но если мы расширим свой горизонт, включив в рассмотрение и гипервещественные числа, то у каждого выстрела появятся новые возможности. Например, пуля может попасть в гиперудаленную точку, находящуюся на расстоянии I + 3 км от середины стены, хотя вероятность такого попадания может быть выражена бесконечно малым числом порядка 1/I. Однако следует отметить, что эта вероятность не будет нулевой: число 1/I заведомо не равно нулю. Оно больше нуля, хотя и меньше любого положительного вещественного числа. Поэтому мы в некотором смысле можем считать такую вероятность «практически» нулевой. Допустив в свою среду гипервещественные числа, мы начинаем получать результаты столь необычайно редкие, что предвидеть их появление мы никак не можем. Тем не менее они могут появляться, и, если это происходит, такой результат совершенно не похож на результат обычного, повседневного выстрела. Тем из нас, кто вырос на традиционных вещественных числах, такой выстрел, возможность существования которого обеспечивает теорема Гёделя, покажется самым настоящим чудом.

Гёдель, Эйнштейн и фон Нейман

Описывая Джона фон Неймана, историк науки Джейкоб Броновски сказал: «Он был самым умным из известных мне людей, безо всякого исключения. Он был гением»[38]. Еще когда фон Нейман учился в Будапеште, в легендарной лютеранской гимназии Фашори, товарищи по учебе знали, что он гений, – а сами они тоже были людьми незаурядными. Из этой школы вышли всемирно известные ученые, в том числе Юджин Вигнер, Джон Харсаньи и Эдвард Теллер. Фон Нейман умер рано, всего лишь в пятьдесят три года, оставив после себя новаторские работы по самым разным предметам, в том числе по архитектуре вычислительных систем, квантовой механике и теории игр. За годы, прошедшие после его смерти, пять человек получили Нобелевские премии по экономике за результаты, достигнутые в области теории игр, а еще десять или двенадцать Нобелевских премий были присуждены экономистам, применившим математические методы, которые разработал фон Нейман.

Фон Нейман не был гением рассеянным, витающим в облаках, каким мы часто воображаем гения. В нем не было ничего не от мира сего. Мыслями он мог парить в высях, но ногами прочно стоял на земле. В конце 1930-х годов, когда вновь созданный Институт перспективных исследований (Institute for Advanced Study) в Принстоне, Нью-Джерси, предложил ему место, он затребовал годовую зарплату $16 000, что по тем временам было изрядной суммой. Кроме того, он выдвинул еще одно условие: он не хотел оказаться в таком месте, где бы не было никого умнее его. Он считал, что если вы – самый умный из присутствующих, значит, вы находитесь не там, где нужно. По счастью, в тот же институт уже поступили на работу Альберт Эйнштейн и Герман Вейль, а двумя годами позже к ним присоединился и Курт Гёдель. Все трое бежали из гитлеровской Европы.

Фон Нейман спросил Эйнштейна, какое жалованье тот думал просить, Эйнштейн скромно сказал, что, по его мнению, он может стоить несколько тысяч долларов в год. Тогда фон Нейман велел Эйнштейну исчезнуть на несколько дней и за это время выбил для него годовую зарплату $18 000.

Эйнштейн с Гёделем часто проводили дни напролет в лесах, окружающих Принстон. Иногда к ним присоединялся фон Нейман или кто-нибудь другой из ученых, но чаще всего они были вдвоем. На одной из таких прогулок никто из них не произнес за день ни слова, а когда они вернулись домой, каждый сказал жене, что у них состоялась в высшей степени увлекательная беседа. Оказывается, молчать тоже не все равно с кем.

Был ли фон Нейман гением? Большинство математиков, вероятно, сказало бы, что был. Его необычайный талант можно проиллюстрировать конкретным примером. В 1940-х годах в математическом фольклоре появилась одна весьма непростая задача: какой толщины должна быть монета, чтобы, будучи подброшена, она с равной вероятностью падала орлом, решкой и ребром? Ясно, что обычные монеты очень редко остаются стоять на ребре после броска, но по мере увеличения толщины монеты вероятность такого события должна возрастать. Представим себе монету в форме высокой консервной банки – такая монета оказывалась бы на ребре гораздо чаще, чем орлом или решкой кверху. Поэтому где-то между толщиной обычной монеты и толщиной консервной банки должна существовать золотая середина – толщина, при которой монета остается на ребре или оборачивается при падении орлом или решкой с точно равной вероятностью. Где же она?

Я столкнулся с этой задачей на третьем курсе математического факультета. Очевидное решение требует использования математического анализа, но расчеты получаются очень трудоемкими: у меня лично на вычисление всех необходимых интегралов ушло добрых две недели. (Ответ, к слову, получается такой: отношение толщины монеты к ее диаметру должно быть равно 0,354.) Существует легенда, что на одной вечеринке в Соединенных Штатах эту задачу предложили фон Нейману. Выслушав ее условия, он где-то на полминуты уставился в пространство, а затем объявил ответ. Бывшие на вечеринке гости пришли в сильное волнение: они были уверены, что Джонни фон Нейман нашел какое-то изящное решение этой задачи, которое смогут понять даже люди, далекие от математики. Затаив дыхание, они спросили его: «Джонни, как ты это сделал?» На что фон Нейман бесхитростно ответил: «Ну, я просто взял интегралы».

Как и Гаусс, фон Нейман не был гением в смысле нашего определения; я бы назвал его человеком необычайно талантливым. Его разум можно сравнить со случаем, в котором Фиби поворачивается почти параллельно стене и стреляет почти невообразимо далеко – но только почти. Его почти невообразимо быстрое вычисление интегралов есть проявление ума, способного чрезвычайно быстро делать обычные вещи, а не ума, порождающего идеи, бывшие до того непредставимыми. Возможно, сам фон Нейман был о себе того же мнения; он считал Гёделя и Эйнштейна умнее себя. Заметим, однако, что история о зарплате Эйнштейна говорит о том, что с точки зрения повседневного здравого смысла фон Нейман был гораздо сообразительнее. С другой стороны, у Гёделя и Эйнштейна, которые были гениями по любым стандартам, возникали такие идеи, какие никогда не приходили в голову фон Нейману. Еще одно доказательство ума фон Неймана состоит в том, что он одним из первых среди математиков осознал масштаб теоремы Гёделя и немедленно оставил свои исследования в области математической логики.

Оба гения дорого заплатили за свою гениальность. Некоторые психологи считают, что у Эйнштейна можно было диагностировать синдром Аспергера, легкую форму аутизма. Гёдель, несомненно, страдал паранойей. Например, он был убежден, что ему в пищу добавляют отраву, и не соглашался есть, пока его еду сначала не попробуют жена или Эйнштейн. Когда его жена попала в больницу – дело было через много лет после смерти Эйнштейна, – он умер от голода в возрасте семидесяти двух лет.

Я не собираюсь подкреплять распространенное убеждение, что гений непременно должен быть сумасшедшим. Никакого научного доказательства того, что все гении безумны, не существует. Чтобы подтвердить эту гипотезу, нам понадобилась бы гораздо бо́льшая выборка гениев. Возможно, примером обратного положения вещей может служить Ньютон, хотя и ему часто ставят посмертные диагнозы – аутизм или по меньшей мере синдром Аспергера, а иногда биполярное расстройство или паранойя[39]. Диагнозы настолько широко разбросаны, что Ньютон с тем же успехом мог быть человеком совершенно здоровым, только непостижимо умным, разумеется, и тем и выделяться из общей массы. Он занимал важные и ответственные должности: в частности, он был лукасовским профессором математики в Кембриджском университете и президентом Королевского общества, а также хранителем и управляющим Королевским монетным двором.

Ни истории Эйнштейна и Гёделя, ни их отличия от Джона фон Неймана сами по себе не доказывают, что ум гения качественно отличается от ума необычайно талантливого человека. Тем не менее эти истории показывают, почему я думаю, что гений – это настоящее чудо, что бы там ни возражал мой друг Алекс.

Но, может быть, Алекс и прав. Если допустить существование гипервещественных чисел, то появление гения становится редким выстрелом того же стрелка, который порождает умы более ординарные. Но в случае гения наша Фиби стреляет в точку, находящуюся дальше любой дали, и вероятность такого выстрела столь бесконечно мала, что кажется нулевой нам, чьи умы воспитаны на традиционных числах.

Четыре типа чудес

С моей стороны, было бы глупо продолжать говорить о чудесах, не попытавшись определить, что именно я называю этим словом. Нам, людям, свойственно творческое использование языка, и мы употребляем слова не только в их прямом смысле, но и в переносном. Со временем слово приобретает несколько разных значений. Если поискать определение слова «чудо» в толковом словаре, там можно найти приблизительно следующее:

0. Замечательная вещь, достойная восхищения: поистине превосходный представитель своего рода.

1. Достижение или происшествие, настолько выдающееся или необычное, что оно кажется выходящим за рамки человеческих возможностей или устремлений.

2. Событие или эффект в физическом мире, отклоняющиеся от законов природы.

3. Необычайное событие, в котором проявляется божественная сила или вмешательство в человеческие дела.

Эти четыре весьма разных определения приведены здесь в порядке возрастания «чудесности». Мы сразу же отбросим определение 0. Меня не интересуют такие «чудеса», как какой-нибудь сыр, завоевавший первый приз на сельской ярмарке, или даже та ловкость, с которой мистер Микобер перехватывает жизненно важное письмо в «Дэвиде Копперфилде» Чарльза Диккенса: «Урия… бросился к письму, чтобы разорвать его. Но мистер Микобер с чудесной ловкостью так удачно хлопнул его линейкой по суставам пальцев, что правая рука Урии вышла из строя»[40].

Назовем явления, соответствующие определению 1, псевдочудесами. Они представляют собой огромные отклонения от среднего, такие, какие возникают время от времени в Диконии. Это не чудеса по нашему определению, так как они повторяются статистически предсказуемым образом. Это попросту редкие события. И в соответствии с законами Диконии, вытекающими из распределения Коши, на любое такое чудо рано или поздно найдется нечто еще более чудесное.

Для формулировки определения истинных чудес я хотел бы несколько изменить определение 2, уточнив, что к чудесам относятся явления, отклоняющиеся от законов природы в том виде, в каком их понимает современная наука. Теорема Гёделя – по меньшей мере ее дух, если не ее строгое математическое выражение, – убеждает нас, что такие явления будут возникать всегда, как бы далеко и в каком бы направлении ни продвинулась наука.

Наконец, назовем явления, удовлетворяющие определению 3, – то есть вызванные божественным вмешательством, – трансцендентными чудесами. Им никогда не удастся дать научного объяснения, ибо существование таких чудес всегда будет оставаться вопросом веры.

Даже если псевдочудеса – и не «настоящие» чудеса, они, несомненно, могут казаться явлениями чудесными. Мне показалось чудом, что Джон фон Нейман сумел всего секунд за тридцать вычислить в уме то, на что у меня, медалиста Международной математической олимпиады, ушло две недели напряженной работы с карандашом и бумагой. Даже если на самом деле он считал не полминуты – никто не засекал время с секундомером; вполне может быть, что ему потребовалась минута или две, – его достижение все равно остается поразительным. Такова пропасть, разделяющая просто талантливого математика и человека настолько талантливого, что подобные ему рождаются всего раз или два в столетие. Поэтому у нас есть все основания считать появление математиков уровня фон Неймана, Гаусса или Коши чудом в повседневном смысле этого слова. Но такие чудеса довольно хорошо разъясняет наука Диконии.

Истинные чудеса отличаются от них. Современная им наука не в силах раскрыть их тайну – так же, как наука нынешняя не в состоянии дать точного объяснения распаду Советского Союза или разрушению Берлинской стены. Но сегодня, имея в своем арсенале теорему Гёделя, мы можем сказать, что такие чудеса могут произойти в любой момент как в Тихонии, так и в Диконии и застать нас совершенно врасплох. Поэтому имеет смысл готовиться к ним и накапливать опыт, который позволит нам – даже если мы не можем их предсказать – по меньшей мере приспосабливаться к их существованию, предотвращать причинение ими чрезмерного вреда и, если они окажутся чудесами позитивными, использовать их с выгодой для себя.

Как-то раз у моей двоюродной сестры появилась очень неприятная кожная инфекция. Ее отец, профессор медицины, обратился к своему коллеге, знаменитому дерматологу, и тот взялся лечить девочку, прилагая при этом все возможные усилия и используя новейшие достижения медицины, так как речь шла о дочери коллеги. Шли месяцы, но инфекция все не проходила. Однажды вечером, за семейным ужином, мой отец задал своему брату-врачу неожиданный вопрос: «А как бы ты лечил свою дочь, будучи семейным врачом в какой-нибудь маленькой глухой деревушке у словенской границы?» Дядя тут же ответил: «Ромашковыми компрессами, разумеется». Затем он попробовал это средство, и через три дня девочка выздоровела. С точки зрения современной медицины мы стали свидетелями настоящего чуда, хотя лет за сто до того никакого чуда в этом не было бы, потому что тогда ромашковый компресс наложили бы с самого начала, и никого не удивило бы, что это помогло. Может быть, это не будет чудом и сто лет спустя, потому что к тому времени медицина, возможно, изучит кожные инфекции этого типа и их реакцию на ромашку.

Чудеса трансцендентные представляют собой самые настоящие чудеса в самом строгом смысле этого слова. Их существование не могут объяснить ни естественные науки, ни математика, ни статистика, хотя человеку верующему такие проявления Божественного промысла кажутся вполне объяснимыми. Однако я, будучи человеком научного склада ума, не буду отделять подобные проявления от того, что я называю истинными чудесами, и совершенно оставлю в стороне вопрос о том, являются ли они действительно трансцендентными чудесами или же наука когда-нибудь сумеет истолковать каждое из них. Несомненно одно: науке придется как следует потрудиться над объяснением гениальности.

Эти четыре категории всего лишь разделяют разные базовые определения чудес; они совершенно не касаются определяющих характеристик чуда – его уникальности и неповторимости. Мы вернемся к этой теме в части III, после того, как увидим, что некоторые явления, происходящие в Диконии, хотя и не обязательно неповторимые, по меньшей мере бывают гарантированно непредсказуемыми. Самое интересное – если угодно, чудо – заключается в том, что такие результаты появляются не из какой-нибудь специализированной науки о чудесах, а из нормального, абсолютно лишенного чудес тихонского научного метода.

Часть II Тихий мир

На свалке богача можно найти больше ценного, чем во всем имуществе бедняка.

4 Могущество нормального распределения

Некоторые из законов природы ведут мир к Тихонии, другие – к Диконии.

Сэр Фрэнсис Гальтон (1822–1911), двоюродный брат Чарльза Дарвина, был настоящим ученым-универсалом. Он открыл метеорологическое явление, известное под названием антициклона; он первым предложил использовать для идентификации отпечатки пальцев; он первым составил карты некоторых районов Намибии. Он исследовал вопрос о том, продлевает ли молитва жизнь человека, и не нашел никаких подтверждений этого эффекта. Кроме того, он первым применил к психологии математические концепции расхождения средних значений и стандартного отклонения[41]. Ему потребовалось это потому, что, хотя он изучал мир Тихонии, его интересовало не столько среднее, сколько крайности. Например, он пытался выяснить, до какой степени необычайная талантливость может быть наследственной.

Гальтон исследовал детей в тех семьях, где родители по определенным меркам были «выше среднего», чтобы понять, как родительский уровень отразится на потомках. Поскольку в то время стандартизованные тесты на интеллектуальное развитие и другие методики оценки, применяемые в психологии, еще не были изобретены, он использовал качественное понятие превосходства. В его категорию «людей гораздо выше среднего» входили, в частности, судьи, ученые, ведущие политики и знаменитые медики. Поскольку в Викторианскую эпоху, в которую он жил, такие профессии были чисто мужскими, Гальтон изучал отцов и сыновей. Он выяснил, что сын выдающегося отца в среднем проявляет качества, превосходящие средний уровень, но, как правило, оказывается человеком менее выдающимся, чем его отец. Почему это так? Значит ли это, что мир стремится к посредственности? Возможно, в Тихонии, в которой явления в основном скапливаются вокруг среднего, именно так дело и обстоит. Но, как оказывается, даже в Тихонии не существует общего стремления к среднему.

Разумеется, у сыновей есть не только отцы, но и матери; может быть, именно они в ответе за то, что сыновья уступают отцам? Гальтон перенес свои исследования на случаи, в которых существует всего один родитель. Вместо изучения отцов и сыновей он начал анализировать потомство растений табака, которые размножаются бесполым путем. Он выбрал характеристику, которую было гораздо легче выразить численно, чем человеческое превосходство, – длину листьев. Гальтон обнаружил, что листья потомков длиннолистных растений табака тоже оказываются длиннее среднего, но, как правило, не такими длинными, как у родительских растений.

Регрессия к среднему

Итак, кажется, причина того, что у выдающихся отцов рождаются менее выдающиеся сыновья, не связана с половым размножением, но от этого результаты наблюдений не становятся менее загадочными. Гальтон назвал это явление «регрессией к среднему» – другими словами, возвратом к середине. Но назвать еще не значит объяснить. Почему население в целом не становится со временем более усредненным? А оно и в самом деле таким не становится. Гальтон исследовал несколько поколений растений табака и обнаружил, что в разных поколениях приблизительно одинакова не только средняя длина листа, но и стандартное отклонение: в каждом поколении присутствовала приблизительно одна и та же доля растений с необычайно длинными листьями. То есть растения табака, по-видимому, не склонны сползать к посредственности – и то же можно сказать и о людях; в каждую эпоху появляются свои выдающиеся личности.

Гальтон рассудил так: если дети необычайно одаренных людей не блещут удивительными талантами, то, вероятно, выдающимися оказываются дети людей среднего уровня или, возможно, уровня чуть выше среднего. Поэтому он решил повторить те же исследования, развернув их в другую сторону: на этот раз он хотел рассмотреть не детей, а родителей высокоталантливых людей. Разумеется, ни о какой причинно-следственной связи тут речи быть не может: если отец может влиять или не влиять на достижения своего сына, было бы абсурдом предполагать, что талант сына может каким-то образом передаваться в обратную сторону, отцу. Во всяком случае, Чарльз Дарвин, двоюродный брат Гальтона, уже покончил с концепцией улучшения в биологии. Эволюция организмов управляется случайной приспособленностью к окружающей среде, а не движением к какой-то «улучшенной» форме. В свете этого открытия идея исследования не следующего, а именно предыдущего поколения казалась уже не столь бессмысленной.

Поскольку человеческий интеллект – материя слишком сложная, Гальтон снова решил исследовать переменную, которую можно точно измерить. Он поставил свой обратный эксперимент на табачных листьях. Результаты, которые он получил, были вполне соизмеримы с результатами первого опыта: предки необычайно длиннолистных растений в основном имели листья более короткие, чем у их потомков, но тем не менее более длинные, чем в среднем. Поэтому Гальтон не удивился, когда, вернувшись к рассмотрению человека, обнаружил, что и качества отцов выдающихся людей в основном превышали средний уровень, но в общем и целом значительно в меньшей степени, чем качества их сыновей.

Явление регрессии к среднему проявляется и на другом конце спектра. Чрезвычайно низкий интеллектуальный уровень за несколько поколений хоть и медленно, но возвращается к среднему уровню; в то же время чрезвычайно низкие интеллектуальные способности встречаются у потомства родителей, находящихся на среднем уровне или лишь немного ниже его.

Таким образом, регрессия к среднему есть чисто математический феномен, наблюдаемый всякий раз, когда мы исследуем две отдельные переменные и определяем значения обеих для каждой особи в популяции. Не важно, о каких именно переменных и о какой именно популяции идет речь. Регрессия такого типа – свойство математической структуры, используемой для анализа популяции, а не конкретных свойств человеческих существ, табачных листьев или наследования.

Это положение можно проиллюстрировать на экстремальном примере. Предположим, я утверждаю, что я – великий волшебник и могу одним заклинанием превратить невезение в везение. Узрите же проявление моего могущества! Я предлагаю тысяче человек бросить по три игральных кости. В среднем около пяти из них выкинут неудачное сочетание – скажем, три единицы. Ясно, что это люди невезучие. Но я могу избавить их от невезения: я произношу нараспев свое заклинание и предлагаю им снова бросить кости. Вероятность того, что кто-нибудь из пятерых снова выкинет три единицы, чрезвычайно мала. Я провозглашаю их исцеленными! Однако на самом деле они попросту подпали под действие математического закона регрессии к среднему.

Этот пример можно считать предельным, потому что между результатами первого и второго бросков костей нет абсолютно никакой связи. Очевидно, что второй бросок никак не «наследует» результаты первого. Если бы эти результаты наследовались, причем наследовались точно, то всякий, выкинувший три единицы в первый раз, выкидывал бы их и дальше, какие бы волшебные слова я ни бормотал себе под нос.

Биологическое наследование в большинстве случаев находится где-то между этими двумя крайностями; характеристики передаются потомству до некоторой степени, но их воспроизведение даже близко не подходит к стопроцентному, даже в случае бесполого размножения. Регрессия к среднему присутствует всегда, но она никогда не проявляется так ярко, как в примере с невезучими игроками в кости. Чем сильнее и точнее наследование, тем слабее проявляется в потомстве эффект регрессии к среднему, в то время как при более слабом наследовании регрессия становится сильнее.

Математическое явление регрессии к среднему может даже не иметь связи с наследованием. На самом деле «регрессия» – это набор статистических методов для оценки значения одной переменной исходя из значений другой. При этом, в зависимости от того, оцениваем ли мы значение переменной А по значениям переменной В или значение переменной В по значениям переменной А, результаты получаются разными. Если, например, спросить, каков средний рост мужчин, весящих 90 кг, то ответ – около 180 см. Но если спросить, каков средний вес мужчин ростом 180 см, окажется, что он не достигает ни 90, ни даже 85 кг. И в этом, возможно, нет ничего особенно удивительного, потому что очень низкорослый человек вполне может весить за сотню килограммов, что уменьшает средний рост. Но иногда результаты могут быть весьма неочевидными. Например, если мы пытаемся предсказать, к какому году численность населения Земли достигнет десяти миллиардов человек, то две рассматриваемые переменные – это численность населения и время. Допустим, по всем имеющимся данным выходит, что наиболее вероятная дата, по достижении которой нас станет десять миллиардов, – 2050 год (оценка значения времени по значению численности населения). Но если попытаться узнать, какова будет численность населения Земли в 2050 году (то есть оценить численность по значению времени), то самый точный ответ, который можно получить на том же наборе данных, – 9,3 миллиарда. Причем эти несовпадающие ответы даже не противоречат друг другу.

Вознаграждение и наказание

Психологи часто изучают воздействие наград и наказаний. Некоторые исследования показывают, что эффективность работников обычно падает после получения награды и возрастает после наказания. Из этого многие делают вывод, что наказание производит позитивное воздействие, а вознаграждение – негативное. Однако такой вывод ошибочен, потому что он не учитывает регрессии к среднему, которая действует независимо от конкретной природы вознаграждения и наказания. Она является следствием способа, которым мы изучаем и анализируем данные. Если помнить об этом, правильный вывод может оказаться диаметрально противоположным.

Людей обычно вознаграждают, когда они работают лучше обычного, а наказывают, когда качество их работы снижается. Регрессия к среднему говорит нам, что без какого-либо вознаграждения или наказания за необычайно хорошей работой обычно следует более слабая, а после на редкость плохой работы ее качество с большой вероятностью повышается. Без учета регрессии к среднему нельзя делать выводы о воздействии наград и наказаний.

Нужно сравнивать степень улучшения и ухудшения без каких-либо внешних воздействий (наград или наказаний) с тем, что получается при их применении. Если ухудшение, следующее за необычайно хорошей работой, в среднем оказывается больше в отсутствие вознаграждения, чем при его наличии, значит, награда оказывает положительное воздействие. С другой стороны, даже если наказание в целом улучшает работу, оно все равно может мешать повышению ее качества, так как без него среднее улучшение могло быть еще более значительным.

Если бы мы не знали о регрессии к среднему, мы могли бы ошибочно решить, что вознаграждения вредны, а наказания полезны, потому что все данные исследований говорят именно об этом. На самом же деле картина гораздо сложнее. В некоторых ситуациях вознаграждение может приносить пользу, а в других – вред. То же верно и в отношении наказания. Суммарный эффект вознаграждения или наказания определяется не только ситуацией, но и личными качествами человека, о котором идет речь. Бывают даже такие люди, на которых эти меры не оказывают почти или вовсе никакого действия, – люди, которые по праву могут сказать о себе словами из стихотворения «Непокоренный» (Invictus) Уильяма Эрнеста Хенли:

  И, как врата ни узки дней, Как наказанья ни ужасны, — Я – капитан души своей, Своей судьбы хозяин властный[42][43].  

Разнообразие и стабильность

Почему же, несмотря на эти осложнения, регрессия к среднему не делает всю популяцию однородной или по меньшей мере все более и более усредненной? Казалось бы, она должна производить такой эффект, но факты говорят об ином.

Длина табачных листьев, которые изучал Гальтон, на протяжении многих поколений соответствовала одному и тому же неизменному распределению. Более того, это распределение с высокой точностью совпадало с тем, которое всего за несколько десятилетий до исследований Гальтона описал Гаусс. Гальтон обнаружил, что если некая характеристика популяции распределена нормально, то из этого следует, чисто математически, что явление регрессии к среднему уравновешивается тем фактом, что среди потомства особей, превышающих средний уровень, встречаются особи выдающиеся. Как разнообразие, так и стабильность популяции сохраняются даже при наличии регрессии к среднему, потому что этого требуют математические характеристики распределения Гаусса.

Впоследствии математики выяснили, что связь между разнообразием и устойчивостью, которую обнаружил Гальтон, возникает только при приблизительно гауссовом распределении популяции[44]. Следовательно, нормальное распределение можно считать источником стабильности: именно оно позволяет популяции оставаться в целом неизменной от поколения к поколению, несмотря на регрессию к среднему.

Разумеется, некоторые изменения популяции со временем все же происходят. Например, в прошлом веке человечество стало существенно выше ростом. Это отчасти вызвано развитием медицины, а отчасти – резким сокращением неполноценного питания. Тем не менее уже ясно, что в последние несколько десятилетий это увеличение остановилось, по меньшей мере в развитых странах. Рост будущих поколений, вероятно, будет приблизительно таким же, как рост нашего поколения – как по среднему значению, так и по стандартному отклонению. Установился новый стабильный ростовой режим. Распределение Гаусса сдвинулось, но осталось самим собой.

Закон регрессии к среднему действует как в Тихонии, так и в Диконии, но, поскольку стабильность популяции может быть гарантирована только распределениями, близкими к гауссову, стабильность встречается только в Тихонии. Поэтому не следует пренебрегать традиционной тихонской наукой, хотя она и не способна адекватно описывать (или моделировать) некоторые явления. В глубине души все мы жаждем стабильности, и некоторым популяциям удается ее достигнуть. Тараканы и крысы остаются неизменными на протяжении миллионов лет, сохраняя такие характеристики, как соотношение численности крупных и мелких или светлых и темных особей. Законы Тихонии весьма неплохо моделируют некоторые явления реального мира.

Наличие стабильности в Тихонии не означает, что своего рода стабильности не может существовать и в Диконии. Гераклит Эфесский говорил (или говорят, что он говорил), что ничто не постоянно, кроме перемен. Этот афоризм, которому уже две с половиной тысячи лет, отлично описывает те формы стабильности, которые существуют в Диконии – мире, в котором стабильность, присущая популяции тараканов, просто непредставима. Но, хотя Дикония дика, в ней тоже действуют природные законы. Некоторые из законов природы направляют мир в сторону Тихонии, другие – в сторону Диконии. Пока что сосредоточим свое внимание на Тихонии. О Диконии поговорим потом.

Доска Гальтона

Фрэнсис Гальтон изобрел устройство, известное теперь под названием «доски Гальтона» (илл. 6); его называют также «фасолевой машиной» (bean machine). Оно наглядно демонстрирует хорошо известный закон вероятности. Шарики (или, например, фасолины) бросают в воронку сверху, предполагая, что падающий шарик при ударе о шпенек с равной вероятностью отскакивает или вправо, или влево. Шарики заполняют пазы в соответствии с так называемым биномиальным распределением. По мере падения шариков кривая, которую они образуют, все точнее и точнее соответствует распределению Гаусса. В 1920 году Дьёрдь Пойа опубликовал статью с математическим доказательством этого принципа; он назвал свою теорему центральной предельной теоремой. Слово «центральная» отражает роль этой теоремы в теории вероятностей. Как мы вскоре увидим, она также проливает свет на одну из важных уловок природы, помогающих продвижению мира в сторону Тихонии.

Легко понять, почему в центральные пазы попадает гораздо больше шариков, чем в пазы на левом и правом краях. Чтобы попасть в середину, шарику нужно отскочить три раза влево и три раза вправо. Он может сделать это несколькими способами – например, один раз влево, затем два раза вправо, затем два раза влево и еще один раз вправо (ЛППЛЛП). Также возможен вариант (ЛЛПППЛ) и так далее. Всего существует двадцать таких последовательностей. Но попасть в крайний левый или крайний правый паз может только шарик, отскакивающий каждый раз в одну и ту же сторону, шесть раз влево или шесть раз вправо, и такая траектория существует всего в одном варианте. Поэтому следует ожидать, что после падения большого количества шариков в центральном пазу окажется примерно в 20 раз больше шариков, чем в крайнем левом или крайнем правом.

Илл. 6. Доска Гальтона

(Рис. Веры Мерё)

Труднее увидеть, почему биномиальная «кривая», образованная шариками, должна приближаться к распределению Гаусса. Почему не к распределению Коши или к какому-нибудь другому распределению, о котором я еще не упоминал? Причина кроется в сути центральной предельной теоремы[45]. В отличие от пуль Фиби, которые подчиняются распределению Коши, шарики на доске Гальтона послушно следуют распределению Гаусса без значительных отклонений. Если построить по-настоящему большую доску, скажем с сотней рядов и столбцов, и запускать на нее каждую секунду по тысяче шариков, то можно ожидать, что до попадания шарика в паз номер 1 или номер 100 пройдут миллиарды миллиардов лет. Фиби гораздо раньше выпустила бы пулю, которая попала бы в точку на аналогичном расстоянии от середины стены.

Особенно изящна биологическая интерпретация центральной предельной теоремы[46]. Предположим, что некоторая биологическая характеристика (например, рост) определяется несколькими мелкими компонентами, каждый из которых может принимать одно из нескольких значений, и мы можем моделировать эту характеристику в виде суммы индивидуальных вкладов таких компонентов. В этом случае центральная предельная теорема утверждает, что распределение нашей характеристики по крупной популяции будет соответствовать распределению Гаусса. Именно это утверждение и иллюстрирует доска Гальтона. Представим себе, что существуют шестьдесят генов, влияющих на рост, и каждый из них может быть двух видов – высоким или низким. Чем больше у особи высоких генов, тем больше будет ее рост. Если допустить, что низкий ген соответствует отскоку влево, а высокий – отскоку вправо, то у максимально высокой особи все шестьдесят генов должны быть высокими, что эквивалентно в математическом выражении шестидесяти последовательным отскокам шарика вправо. Аналогичным образом максимально низкая особь должна получить все шестьдесят генов низкими, что эквивалентно шестидесяти последовательным отскокам шарика влево. У большинства представителей популяции будет смесь высоких и низких генов, и соотношение их количеств будет таким же, как соотношение количеств шариков в пазах доски Гальтона.

Разумеется, на рост могут влиять не только генетические компоненты, но и факторы окружающей среды. На рост нашего тела влияют несколько генов, и все они сравнительно слабые. Кроме того, действуют внешние факторы – например, питание в детстве. В упрощенной модели дело обстоит похожим образом и с уровнем интеллектуального развития, хотя для него выявлено еще меньше генетических факторов, а факторы воздействия окружающей среды тоже очень разнообразны – от уровня питания ребенка до того, как ему читают и как с ним разговаривают. Никому не достаются только те факторы, что вносят свой вклад в более высокое интеллектуальное развитие, но те, кому их достается больше, предположительно получают более высокий уровень интеллекта.

Этот результат тоже в точности соответствует тому, что моделирует доска Гальтона. Разумеется, биологические явления гораздо сложнее, чем эта простая машина. События, влияющие на то, в каком месте в конце концов окажется шарик, – отскоки влево и отскоки вправо – независимы друг от друга. Шарик отскакивает на некотором уровне влево или вправо независимо от того, влево или вправо он отскочил на предыдущем. Эта независимость и позволяет машине приблизиться к распределению Гаусса.

В биологических системах такая независимость встречается редко. Каждый из факторов, влияющих на определенную характеристику, будь то ген, воздействие среды или что-то еще, обычно не бывает независимым от других факторов. Более того, разные факторы обычно влияют на получающуюся характеристику в разной степени. Поэтому на самом деле доска Гальтона моделирует мир живых существ лишь в очень ограниченных пределах.

Стабильность как следствие множественности компонентов

Нельзя сказать, чтобы математики приняли все это как данность. Многие типы центральной предельной теоремы были доказаны, причем было продемонстрировано, что разные варианты биномиального распределения также стремятся к распределению Гаусса. Например, было показано, что компоненты, вносящие свой вклад в некоторую характеристику, могут быть неодинаковой силы. На некоторых уровнях доски Гальтона они могут отскакивать вправо или влево не на один столбец, а на два или три. Такой сценарий труднее осуществить физически, но математический результат остается неизменным: в конце концов фасолины, попавшие в пазы, располагаются в соответствии с распределением Гаусса. Кроме того, события на том или ином уровне не обязательно должны быть независимы от другого уровня. Например, на поведение шарика на каком-то уровне до некоторой степени может влиять то, как он отскочил от шпенька уровнем раньше. До сих пор появляются все новые варианты центральной предельной теоремы. Суммарную картину, полученную на основе нескольких вариантов центральной предельной теоремы, можно приблизительно резюмировать следующим образом:

Если некая характеристика определяется несколькими слабыми компонентами («слабыми» в том смысле, что ни один из них не сильнее всех других)

и между этими компонентами нет сильной взаимозависимости (то есть нет таких нескольких компонентов, которые определяют значения всех остальных),

то такая характеристика должна быть распределена по всей популяции в соответствии с распределением Гаусса.

Эту картину точно иллюстрирует представленное на илл. 7 распределение значений коэффициента интеллектуального развития (IQ). Оно очень похоже на гауссиану, которую мы видели раньше, за исключением небольшой «шишечки» в районе 70, единственного нарушения плавной картины. Эта «шишечка» соответствует популяции больных синдромом Дауна.

Илл. 7. Распределение значений IQ

(График Йожефа Бенце, на основе данных Kun and Szakács, 1997)

Синдром Дауна – это генетическое заболевание, вызванное наличием лишней копии 21-й хромосомы. Воздействие лишней хромосомы на уровень интеллектуального развития более или менее подавляет эффект всех остальных факторов – не настолько, чтобы человек полностью утрачивал все интеллектуальные способности, но у большинства взрослых с синдромом Дауна IQ бывает между 50 и 70, и все другие факторы, определяющие интеллектуальное развитие, влияют на эту цифру очень слабо. В случае интеллектуального развития другие столь же подавляющие компоненты появляются настолько редко, что их воздействие не отражается на кривой распределения (синдром Дауна встречается приблизительно у одного из тысячи новорожденных).

Рост распределяется примерно так же. Поскольку существует несколько генетических компонентов, которые неизбежно вызывают необычайно низкий или высокий рост, на кривой распределения роста, по форме весьма близкой к гауссиане, есть несколько пиков. В то же время с массой тела дело обстоит иначе. В следующей главе мы узнаем, почему это так.

Математика центральной предельной теоремы образует фундамент, на котором природа может строить стабильные конструкции – например, популяции живых организмов. Возможно, пока природа экспериментировала по всей Вселенной, пробуя то одно, то другое, она создавала структуры как стабильные, так и нестабильные. По определению, выжили именно первые. Судя по тому, что мы знаем о физике, которая формировала космос после Большого взрыва, и о законах биологической эволюции, действенный способ достижения стабильности заключается в создании такой системы, в которой определенная характеристика создается сочетанием нескольких более или менее независимых компонентов сравнимой силы. Именно такое сочетание гарантирует, что данная характеристика будет распределена по приблизительно нормальному закону, что, в свою очередь, гарантирует ее стабильность из поколения в поколение (если не происходит резких изменений условий окружающей среды).

Однако несмотря на все усилия природы – а может быть, просто в соответствии с природой вещей, – иногда ей не удается создать характеристику через взаимодействие множества слабых компонентов. Иногда, как в случае синдрома Дауна, возникает компонент, подавляющий все остальные. Но даже в случае появления такого компонента природа применяет уловку – формирует каждую важную характеристику из суммы нескольких мелких, более или менее независимых компонентов, – и этого, как правило, бывает достаточно для достижения стабильности.

Я не знаю, что на самом деле является руководящим принципом природы – стремление к стабильности или просто сборка всего на свете из множества мелких компонентов, порождающая стабильность в качестве побочного продукта самого принципа строительства. Как бы то ни было, именно из-за центральной предельной теоремы столь многое в природе действует в соответствии с законами Тихонии и повсюду не царит свойственная Диконии нестабильность. Как мы помним из разговора о распределении Коши, положение точки, в которой выстрел Фиби попадает в стену, определяется одним-единственным компонентом, а именно тем угловым положением относительно стены, в котором Фиби оказывается после разворота. Если она повернута почти параллельно стене, малейшее изменение угла дает огромное расхождение в результатах. Поэтому нас не должно удивлять, что результат этот получается диконским – нестабильным в традиционном смысле этого слова. В Тихонии, где явления порождаются взаимодействием многочисленных мелких компонентов, мы ожидаем стабильности, с четко определенными понятиями среднего, или математического ожидания, и стандартного отклонения от среднего. Но в Диконии нормальна только ненормальность. Возможно все, что угодно, и у событий нет стандартного отклонения.

В этом и заключается фундаментальное различие между этими двумя мирами. То, что можно описать при помощи распределения Гаусса, составляющего самую основу Тихонии, часто определяется несколькими слабыми компонентами и потому остается стабильным до тех пор, пока не возникнет какого-нибудь подавляющего компонента. Сегодня это положение хорошо известно математикам, но его нужно было открыть, а для этого над этой задачей пришлось потрудиться весьма многим выдающимся умам, от Абрахама де Муавра, открывшего в 1733 году ранний вариант центральной предельной теоремы, до Гаусса, Гальтона, Пойи и нынешних исследователей, которые постоянно продолжают открывать все новые варианты центральной предельной теоремы и применять их к природным и общественным явлениям.

Абсолютная симметрия из абсолютной асимметрии

Математики обобщили центральную предельную теорему и в другом направлении. Из-за симметричности доски Гальтона – на каждом уровне каждый шарик с равной вероятностью может отскочить вправо или влево – это математическое устройство трудно использовать в качестве модели в биологии. В мире живых существ действует естественный отбор, содействующий некоторым из генов – тем, которые обеспечивают бо́льшую вероятность выживания, – больше, чем другим. Чтобы ввести в нашу модель естественный отбор, можно, например, сказать, что отскок вправо вносит в выживание больший вклад, чем отскок влево.

Математики исследовали, что происходит при внесении в доску такой асимметрии. Предположим, что на каждом уровне шарик падает на маленький рычажок, который может наклониться влево или вправо, причем все такие рычажки вращаются влево – то есть против часовой стрелки, – как миниатюрные пропеллеры. В результате вероятность отскока шарика влево всегда будет выше, чем вероятность отскока вправо. Если пропеллеры вращаются очень быстро, шарик почти всегда будет отскакивать влево, а если они вращаются медленнее, то и вероятность отскока влево будет меньше.

На такой «небеспристрастной» доске распределение шариков по пазам уже не будет симметричным. Слева их окажется больше. Тем не менее, если доска достаточно высока и широка, распределение шариков снова будет приближаться к гауссову, но его пик окажется смещен на некоторое расстояние влево. Чем быстрее вращаются пропеллеры, тем левее оказывается пик. Центральная предельная теорема продолжает действовать и на доске со смещением.

Математика асимметричной доски демонстрирует еще одно интересное свойство нормального распределения. Гауссиана абсолютно симметрична, но ее симметрия может быть образована асимметричными компонентами. В Тихонии абсолютная асимметрия может порождать – и часто порождает – абсолютную симметрию.

Теперь я хочу забежать вперед и показать вам фрактал – он изображен на илл. 8. Мы будем изучать эти странные объекты в части III. Фрактал этот совершенно не симметричен, но создает стойкое ощущение регулярности. Я поместил здесь его изображение, потому что оно иллюстрирует фундаментальное различие между Тихонией и Диконией. В Тихонии даже полная асимметрия может порождать абсолютную симметрию. В Диконии же даже принцип абсолютной симметрии (которую называют масштабной инвариантностью или самоподобием) может приводить к асимметрии. Фигура, представленная на илл. 8, является результатом действия чрезвычайно глубокого вида регулярности, гораздо более сложного, чем обычная симметрия.

Илл. 8. Фрактал

5 Окраины Тихонии

Тот, кто вечно молод душою, никогда ничего не изучает глубоко.

В предыдущей главе мы видели, что глубокая асимметрия может порождать абсолютно симметричное гауссово распределение. Однако существуют и такие явления, распределениям которых присуща неотъемлемая асимметрия, и с этим ничего не поделаешь. Например, распределение семейных доходов (илл. 9) асимметрично, потому что у него есть жесткий нижний предел – нулевой доход, – а сверху оно не ограничено ничем. Поскольку мы не ожидаем в этом случае абсолютной симметричности распределения Гаусса, мы не считаем, что гауссова кривая должна сколько-нибудь точно описывать распределение доходов. Семейный доход определяется несколькими компонентами, и, следовательно, для доходов должен быть справедлив какой-то вариант центральной предельной теоремы. Но этому предположению, кажется, противоречит не только отсутствие симметрии. Кроме того, правая часть кривой приближается к горизонтальной оси гораздо медленнее, чем распределение Гаусса, но быстрее, чем распределение Коши, – на самом деле эта кривая больше похожа на распределение Коши, чем на гауссиану. Действительно, по двум последним столбцам можно заключить – и вполне справедливо, – что длинный хвост, начинающийся во второй половине распределения, тянется еще очень далеко. Действительно, чрезвычайно высокие доходы существуют и даже встречаются не слишком редко[47]. Значит ли это, что семейный доход – явление диконское?

Логнормальное распределение

Хотя этого не видно на первый взгляд, гауссиану все же можно использовать для описания распределения, представленного на илл. 9. Если отложить доходы по логарифмической шкале, так, чтобы расстояние от $1 до $10 по оси x было таким же, как расстояние от $10 до $100 и так далее, то кривая превратится в аккуратное, точное распределение Гаусса. Мы называем такие распределения логарифмически нормальными, или, сокращенно, логнормальными, потому что они выглядят как нормальное распределение, но в логарифмическом масштабе. Хотя действительно крупные доходы существуют, они не принадлежат к миру Диконии, потому что распределение Гаусса по-прежнему весьма хорошо их моделирует. Мы все еще не покинули пределов Тихонии.

Илл. 9. Распределение семейных доходов в США, 2010 г.

(График Йожефа Бенце, на основе данных интернет-сайта Бюро переписи населения США)

При помощи логарифмической шкалы математики сумели получить новую версию центральной предельной теоремы[48]. Если некоторая характеристика определяется несколькими слабыми компонентами, причем между этими компонентами нет достаточно сильной взаимозависимости и на одном конце распределения (левом или правом) существует естественная граница, не допускающая возникновения бо́льших или меньших значений, а на другом конце такого предела нет, то распределение этой характеристики по всей генеральной совокупности будет логнормальным.

Илл. 10. Распределение массы тела взрослых мужчин в Соединенных Штатах на 2010 г.

(График Йожефа Бенце, на основе данных интернет-сайта Cancer Network)

Масса тела является почти такой характеристикой, но все же не вполне. Разумеется, масса не может быть отрицательной, так что у нее имеется естественный нижний предел, но она ограничена и сверху, хотя верхняя граница находится дальше от среднего значения. На илл. 10 показано распределение массы тела взрослых мужчин в Соединенных Штатах на 2010 год. Этот график представляет собой нечто среднее между нормальным и логнормальным распределениями. Масса тела также принадлежит к миру Тихонии, даже если некоторые люди весят по 270 кг. Не следует считать вес таких людей чудом, так же как нельзя назвать состояние человека, имеющего миллионы долларов, чудесным богатством. Они попросту находятся на окраинах Тихонии. Это утверждение в целом соответствует истине, но, как мы увидим впоследствии, крайне большие доходы следует отнести к явлениям диконским.

Принцип Парето

Итальянский социолог и экономист Вильфредо Парето (1848–1923) также изучал распределение доходов, и именно он первым применил концепцию социальной элиты. Парето, вероятно, не был знаком с логнормальным распределением и поэтому попытался разработать для описания доходов свою собственную модель. Он получил формулу, дававшую относительно хорошее приближение наблюдаемого распределения крупных доходов, но доходам ниже среднего уровня она соответствовала хуже. По-видимому, этот недостаток его не беспокоил. Формула Парето не имеет ничего общего с формулой логнормального распределения, хотя в области больших значений кривая, которую она описывает, получается весьма похожей на кривую этого распределения.

Математики и экономисты все еще спорят о том, что́ лучше описывает реальное распределение высоких доходов – распределение Парето или логнормальное распределение[49]. Кроме того, они создали несколько других формул, которые хорошо работают в разных контекстах. Впрочем, одно не вызывает сомнений. Хотя формула распределения Парето даже проще, чем формула логнормального распределения, она не обладает всеми теми замечательными математическими свойствами, о которых мы говорили до сих пор: к ней неприменима никакая центральная предельная теорема и она не обеспечивает никакой стабильности. На взгляд математика, распределение Парето выглядит как дело рук шарлатана. Тем не менее заслуг Парето отрицать нельзя, потому что его формула непреднамеренно предсказала науку Диконии. Однако прежде, чем мы сможем существенно углубиться в этом направлении, нам нужно познакомиться с некоторыми диконскими явлениями. Хотя математики и воротили нос от формулы Парето, считая ее недостаточно строгой математически, и не интересовались практическими аспектами его работы, он открыл одно важное правило, касающееся распределения доходов. Правда, как оказалось, его выводы можно было более точно доказать в терминах логнормального распределения, чем распределения Парето.

Парето заметил, что около 80 % совокупного семейного дохода приходится приблизительно на 20 % всех семей. Илл. 9 демонстрирует, что около 20 % семей в Соединенных Штатах имеют доход более $100 000, а если поработать с данными еще немного, можно вычислить, что эти семьи действительно получают около 80 % всего годового дохода.

Парето обнаружил, что такой перекос равновесия действует не только в отношении доходов, но и в отношении размеров богатства и многих других типов ресурсов. Более того, выяснилось, что его наблюдение справедливо в применении к целому ряду, казалось бы, не связанных друг с другом явлений. В большинстве стран около 80 % населения живут приблизительно на 20 % заселенной территории. Около 80 % совокупной массы Галактики распределены среди 20 % ее звезд. Около 80 % нефтяных месторождений находятся на 20 % поверхности Земли. Около 20 % лесных пожаров уничтожают 80 % всех деревьев, сгорающих в пожарах. Этот список можно продолжать дальше и дальше[50]. Идея о том, что около 80 % результатов можно приписать всего лишь 20 % усилий, стала известна под названием принципа Парето, или «правила 80/20».

Одна из причин, по которым логнормальное распределение (такое, как мы видели в распределении доходов) не принадлежит к миру Диконии, заключается в том, что, хотя оно несимметрично, у него есть стандартное отклонение. В случае логнормального распределения, естественная граница на одном конце которого (например, нулевая нижняя граница в распределении доходов) находится приблизительно в двух стандартных отклонениях от среднего, действует правило 80/20.

Таким образом, логнормальное распределение не только образует теоретическую основу принципа Парето, но и говорит нам, в каких случаях принцип Парето применим. Если некоторое явление определяется несколькими компонентами, ни один из которых не подавляет остальные, и у его распределения существует естественный нижний или верхний предел, расположенный приблизительно в двух стандартных отклонениях от среднего, а с другой стороны естественного предела нет, то для такого явления справедлив принцип Парето. Этот набор требований кажется очень строгим, но ему соответствует на удивление широкий спектр явлений. В число конкретных примеров, которые часто приводят в руководствах по бизнесу и управлению, входят следующие:

• 20 % нашей деятельности приносят 80 % нашего дохода.

• 80 % жалоб потребителей связаны с 20 % ошибок.

• 80 % времени мы используем 20 % инструментов, имеющихся в нашем распоряжении.

• 80 % достижений спортсмена являются результатом 20 % его тренировки.

• 20 % продавцов обеспечивают 80 % продаж.

• 80 % звонков по сотовому телефону адресованы 20 % абонентов, записанных в нашей записной книжке.

• 80 % ссылок в сети ведут на 20 % всех сайтов.

• 80 % скачиваемой в сети музыки приходятся на 20 % всей музыки.

• 20 % клиентов компании обеспечивают 80 % ее дохода.

• 20 % проблем порождают 80 % убытков компании.

• И еще один, несколько более легкомысленный пример: 80 % занятий сексом приходятся на 20 % человеческой популяции. В эту статистику не включены проститутки, потому что с учетом их оказывается, что в процентном выражении часть населения, на которую приходится еще бо́льшая доля секса, становится еще меньше. Тем не менее «деловой» аспект принципа Парето можно применить и к ним: 20 % всех проституток производят 80 % суммарного дохода от предоставления сексуальных услуг.

Справедливость этих примеров зависит от нескольких факторов, в частности от того, насколько применимы в каждом случае условия центральной предельной теоремы, касающиеся логнормального распределения. Существуют ли несколько слабых компонентов? Действительно ли среди них нет доминантного? Действительно ли распределение жестко ограничено с одного конца? Правда ли, что с другого конца оно не ограничено ничем? Даже если все это действительно так, еще нужно проверить, отстоит ли естественный предел от среднего приблизительно на два стандартных отклонения. Если на все эти вопросы можно ответить утвердительно, то можно ожидать, что в данном случае будет действовать правило 80/20.

Область применимости правила 80/20

В отличие от того, что повторяют до изнеможения на курсах и в учебниках по предпринимательству из серии «Как быстро разбогатеть», принцип Парето вовсе не означает, что только на эти 20 %, дающие бо́льшую отдачу, и стоит обращать внимание. Многокомпонентный аспект логнормального распределения говорит нам, что, даже если удвоить усилия, пытаясь выжать еще больше из «важных» 20 % и пренебрегая остальными 80 %, результат не только не станет в два раза больше, но даже уменьшится, потому что эти компоненты и так уже работают с полной отдачей. От них больше ничего не добьешься. Чтобы получить дополнительный эффект, нужно сосредоточиться на оставшихся компонентах – тех 80 %, которые работают не в полную силу. Тем не менее принцип Парето полезно знать, особенно если нам нужно выбирать, куда именно приложить свои усилия.

Кроме того, логнормальное распределение ясно указывает на то, что принцип Парето далеко не универсален. Например, если естественная граница находится от среднего значения на расстоянии, меньшем двух стандартных отклонений, то менее 20 % причин будут порождать более 80 % следствий. Хороший пример такой ситуации можно найти в книгоиздательстве. Естественный нижний предел, разумеется, соответствует случаю, в котором не было продано ни одного экземпляра книги. В типичном варианте в Соединенных Штатах продаются 1–2 тысячи книг, но в то же время продажу нескольких миллионов экземпляров никак нельзя назвать редким событием.

В этом случае, когда естественный нижний предел расходится со средним менее чем на одно стандартное отклонение, из принципа Парето следует, что 20 % опубликованных книг покрывают не 80, а 97 % всех продаж[51]. Несмотря на это, издатели продолжают публиковать и остальные 80 %, и продажа нескольких тысяч экземпляров любой из опубликованных книг их вполне удовлетворяет. Помимо принципа Парето здесь также действует «длинный хвост» Криса Андерсона: увеличение прибыли приносит не более интенсивная эксплуатация малой высокодоходной доли, а усиленное внимание ко всему остальному – если у нас есть на то желание и силы или если издательство так мало, что у него в любом случае нет шансов выпустить бестселлер, который будет продаваться миллионными тиражами.

Тому, кто хочет применить принцип Парето к своей коммерческой деятельности, сперва нужно оценить свой типичный доход и типичное отклонение от него. Сделав это, можно проверить, действительно ли естественный нижний предел находится в двух стандартных отклонениях от среднего. Если это так, то действует правило 80/20. Если нет, верны будут совершенно другие цифры.

Правило 80/20 часто считают характеристикой Диконии, но на самом деле оно представляет собой прямое следствие из нормального распределения, так что целиком и полностью принадлежит Тихонии. Хотя это явление служит яркой иллюстрацией могущества тихонской науки, оно же заставляет задуматься вот о чем: если к Тихонии относится столь многое, какие же явления в ней не находятся? Что́ требует математической модели, которая описывает совершенно иной мир? В следующей главе мы увидим, что для некоторых явлений в сфере экономики действительно нужны абсолютно другие модели. Но сперва давайте исследуем еще некоторые из дальних окраин Тихонии.

Вечная молодость

В пределах Тихонии находится даже и проблема вечной молодости. На эту тему могут высказаться не только алхимики и розенкрейцеры, Питер Пэн, Дориан Грей и Хуан Понсе де Леон; знают ее и математики, и они говорят о ней на языке Тихонии. Они не пытаются остаться вечно молодыми и не спешат бежать в ногу с миром; не слишком интересует их и бессмертие. Вместо этого они заостряют внимание на более абстрактном, но и более практическом смысле этого термина, к которому можно применить средства математического анализа.

Если постановить категорически, что человек молод до тех пор, пока не достигнет определенного возраста, скажем тридцати или сорока лет, то дальше разговаривать, в сущности, не о чем. Никто не может оставаться молодым вечно. Но хронологический возраст – лишь одна из характеристик молодости и даже, возможно, не самая важная из них. Молодым также можно считать человека с долгим ожидаемым сроком жизни, и такое определение дает совершенно иную перспективу. Интуитивно не очевидно, но тем не менее справедливо, что ребенок в возрасте одного года «моложе», чем в момент рождения. Вероятность того, что новорожденный доживет, скажем, до шестидесяти, меньше, чем вероятность того, что годовалый ребенок проживет еще шестьдесят лет. В этом смысле годовалый младенец моложе. И чем дольше живет человек, тем короче становится оставшийся срок его жизни. А может быть, и нет.

Математики формулируют этот вопрос своим абстрактным образом: существует ли математический объект, не обладающий бессмертием, то есть в какой-то момент умирающий со стопроцентной вероятностью, но такой, что ожидаемая продолжительность его жизни не зависит от того, сколько он уже прожил?[52] Этот вопрос подразумевает, что даже вечно молодой организм рано или поздно умрет. В какой-то момент что-то внутри его ломается, и он умирает, но вероятность такого события не зависит от длительности жизни, прожитой организмом до этого момента. Вероятность того, что наш вечно молодой организм проживет, скажем, еще десять лет, сегодня такова же, какой она будет через год (если это существо еще будет живо), через двадцать восемь лет или через любое другое число лет. Это, разумеется, неверно в приложении к человеку. Прямо сейчас, в шестьдесят шесть, у меня больше шансов прожить еще десять лет, чем будет в девяносто четыре, то есть через двадцать восемь лет (если я к тому времени еще буду жив).

Ответ на этот вопрос таков: такой математический объект существует, и для каждой вероятности р того, что вечно молодое существо проживет еще одну единицу времени, существует, по сути дела, одна такая функция. Математики называют это распределение вечной молодости экспоненциальным распределением. На илл. 11 представлен график этого распределения при p = 2/3.

Как показано на илл. 11, через одну единицу времени (пусть это будет один год) площадь под кривой от 1 до бесконечности по оси x (заштрихованный участок) становится равна 2/3, и это означает, что у двух третей популяции продолжительность жизни составляет более одного года, то есть эти люди остаются в живых по прошествии года. Таким образом, вероятность того, что человек проживет этот первый год, действительно равна двум третьим. Аналогичным образом можно вычислить, что по прошествии двух лет в живых остаются четыре девятых популяции, то есть две трети от двух третьих исходной популяции, выживших к концу первого года, прожили еще один год. И так далее. В конце каждого года мы обнаруживаем, что две трети популяции, сумевшей остаться в живых, прожили еще год. (Если численность исходной популяции была равна А, то через t лет численность выжившей популяции будет равна A · (2/3)t.) Из-за того что переменная t стоит на месте показателя степени, эту функцию и называют экспоненциальной, то есть показательной. На самом деле математические соображения, которые привели к ее открытию, гораздо менее сложны, чем в случае распределения Гаусса, так что этот математический объект, несомненно, тоже относится к плодам математики Тихонии.

Илл. 11. Экспоненциальное распределение

(График Йожефа Бенце)

Таким образом, оказывается, что вечную молодость – по меньшей мере в математическом смысле – нельзя назвать теоретически невозможной. Но существуют ли такие объекты в реальном мире? Это уже вопрос не математический, а естественно-научный. Математика лишь говорит, что поиски таких источников вечной молодости не лишены смысла и она готова их моделировать, если только они будут найдены.

На самом деле существуют и природные, и искусственные объекты, к которым применимо это описание. Например, радиоактивная частица рано или поздно непременно должна распасться, но вероятность ее распада в течение следующих десяти минут в точности такая же, как вероятность ее распада через пять лет и десять минут, считая от настоящего момента, если ей удастся просуществовать эти пять лет. Другими словами, ожидаемое время до распада радиоактивной частицы совершенно независимо от времени ее существования. Такие частицы вечно молоды, и ожидаемая продолжительность их жизни соответствует экспоненциальному распределению.

То же описание весьма хорошо применимо и к некоторым бытовым предметам – например, к неоновой лампе. Рано или поздно (и обычно все-таки рано) любая неоновая лампа перегорает. Но ожидаемое время, остающееся до ее перегорания, не зависит от длительности ее горения. То есть теоретически уже бывшая в употреблении неоновая лампа ничем не хуже только что изготовленной. Она вечно остается молодой.

Экспоненциальное распределение полезно и для описания других явлений – например, длительности обычных телефонных разговоров. Длительность разговоров по-настоящему увлеченных сплетников распределена экспоненциально. Это означает, что, хотя даже сплетники рано или поздно вешают трубку, количество времени, в течение которого они готовы продолжать разговор, почти совершенно не зависит от того, как долго они уже проболтали. Сплетничество никогда не стареет.

Хотя вечная молодость не противоречит смертности – эти две черты прекрасно уживаются друг с другом, – в царстве биологии мы не находим вечно молодых. Организмы стареют и умирают. Почему же эволюция так и не породила нестареющего растения или животного?[53] Ответ на эту головоломку, насколько мы понимаем ее сейчас, весьма прост: стратегия выживания видов, которую выработала эволюция, использует генетическое разнообразие для обеспечения определенного уровня стабильности популяции особей перед лицом непредсказуемого воздействия среды. Другими словами, выгодно, чтобы соотношение долей разных характеристик в популяции оставалось более или менее постоянным из поколения в поколение. Если окружающая среда изменяется – но не слишком сильно, – вид обычно обладает достаточным разнообразием, чтобы некоторые особи заведомо смогли пережить такое изменение условий, даже если большинство представителей вида и погибнет. Затем выжившие размножатся и передадут своим потомкам новый набор характеристик, по всей вероятности лучше приспособленный к новым условиям. Такая стратегия требует вымирания старых генетических комбинаций (родителей) ради освобождения места для новых (детей), так что бессмертию в ней места нет.

Таким образом, разнообразие и стабильность – два важнейших фундаментальных принципа биологии – по-видимому, исключают вечную молодость. Возможно, не вечную жизнь, но определенно вечную молодость. Вечно молодое либо нестабильно, либо единообразно. Одна радиоактивная частица ничем не отличается от другой, и то же справедливо и в отношении неоновых ламп. Тот, кто вечно молод душою – то есть открыт всему в течение всей своей жизни, – платит за это дорогую цену: он никогда не приобретет ни мудрости, ни жизненного опыта.

Вечная молодость – явление с окраин Тихонии. Возможно, не так уж и важно, что она несовместима с жизнью и разнообразием. Напротив, захватывающие дух явления Диконии происходят из других источников.

События нулевой вероятности

Прежде чем мы сможем заняться наукой Диконии, нам нужно понять еще одно экстремальное явление Тихонии. Выше я упоминал, что наука, используемая в Диконии, – это та же самая традиционная наука, которая описывает Тихонию. Отличается только выбор естественно-научных и математических моделей. Дело в том, что наука – это всего лишь набор методов, принятый подавляющим большинством ученых. Именно общепринятость методов дает науке гарантию объективности – в том смысле, что справедливость научного вывода или научной теории теоретически (да и практически, в большинстве случаев) может быть независимо оценена по общепринятым стандартам.

Именно это отличает точные науки от других полезных и во многих случаях освященных временем способов познания мира – например, искусства, мистицизма, философии или религии. Получив научный результат, мы не только узнаем то, что мы только что выяснили об устройстве мира, но и точно знаем, как именно мы достигли этого результата. Несомненно, из Одиссеи или «Гарри Поттера» тоже можно узнать о мире многое. Лично я немало почерпнул из этих книг, но не могу ни точно восстановить тот путь, которым я пришел к этому знанию, ни даже выразить то, что я узнал, в численном виде. Я могу сказать только, что эти произведения достоверно рассказывают об окружающем меня мире и их чтение расширило мои познания о нем. Но я не могу даже точно сказать, что именно делает их такими достоверными; понятно только, что их достоверность – не научная. Я не могу сказать, что узнал из Одиссеи Гомера, будто боги классического пантеона вмешиваются в людские дела, а из «Гарри Поттера» – будто где-то существует тайное царство волшебства. То, что я узнал из этих книг, касается человеческих отношений, ценностей и страстей.

Более того, поскольку наука работает с моделями, мы можем понять диапазон применимости каждого конкретного результата. Никакая научная истина не есть истина абсолютная. Эти истины справедливы лишь в пределах применимости конкретной модели, в области, в которой результаты могут быть подтверждены и уточнены экспериментом. Именно поэтому модели, используемые для описания Тихонии и Диконии, могут быть радикально разными и в то же время верными – каждая в своем сегменте мира.

Чтобы мы смогли понять модели, описывающие Диконию, мне нужно упомянуть еще об одном аспекте тихонской науки. Для нее не вызывает никаких затруднений тот факт, что если вероятность некоего конкретного события равна нулю, то это не значит, что такое событие не может произойти. Это утверждение кажется противоречивым, но в его основе лежит весьма простая логика.

Представим себе, что мы ставим карандашную отметку в случайном месте листа бумаги. Вероятность того, что центр этой отметки попадет в какую-либо конкретную точку листа, равна нулю. Дело в том, что будь эта вероятность каким-либо положительным числом, назовем его х, тогда это же самое число x выражало бы и такую же вероятность попадания в любую другую точку. Но число точек на листе бумаги бесконечно, так что сумма вероятностей по всем точкам листа была бы равна не единице, как должно быть, а бесконечности. Поэтому вероятность попадания карандаша в какую-либо конкретную точку бесконечно мала – то есть равна нулю.

Но карандаш должен попасть в какое-то место листа, так что, когда мы прикасаемся карандашом к бумаге, происходит событие, имевшее за мгновение до этого нулевую вероятность. Математика Тихонии способна справиться с этой головоломкой без каких бы то ни было затруднений, хотя для того, чтобы сообразить, как нужно определить вероятность, чтобы можно было создать непротиворечивую теорию, потребовалось участие нескольких выдающихся талантов и пары-тройки гениев. Однако я не стану углубляться в технические детали их работы в этой области.

С точки зрения традиционной науки Тихонии осуществление события нулевой вероятности не означает, что произошло чудо. Или же мы можем сказать, что речь идет о мелком, повседневном чуде, относящемся к разряду того, что я назвал псевдочудесами. Таким образом, наука Тихонии способна работать не только с такими явлениями низкой вероятности, как чрезвычайно низкие или высокие доходы или вечная молодость. Она также может разбираться с событиями, которые происходят несмотря на то, что вероятность их наступления равна нулю. Именно поэтому мы то и дело сталкиваемся с псевдочудесами.

Все это важно понимать очень четко, потому что в дальнейшем мы увидим, что некоторые из чудес Диконии характеризуются не крайне малой или даже нулевой вероятностью, а отсутствием какой бы то ни было вероятности. То есть существуют такие явления, которым нельзя приписать никакой вероятности, – в том же смысле, в котором у распределения Коши нет стандартного отклонения. Это может быть связано, например, с тем, что такие события невообразимы, но произойти никак иначе они не могут. Есть множество других причин, по которым событию нельзя приписать хоть какой-либо вероятности, но оно тем не менее может произойти. Так обстояло дело со стрельбой нашей Фиби, которая могла попасть в стену в точке, находящейся почти невообразимо далеко.

Гёдель как окраина Тихонии

При обсуждении окраин Тихонии не следует забывать о теореме Гёделя, которая целиком и полностью происходит из тихонской математики, хотя и потрясла эту математику до самого основания. Она произвела поразительно необычный результат, который до того был невообразимым для многих из самых выдающихся теоретиков. Кроме того, она была с точки зрения математиков явлением в высшей степени нежелательным. В 1900 году, когда великий немецкий математик Давид Гильберт составил список наиболее насущных математических задач на наступающее столетие, одним из первых пунктов этого списка было доказательство того, что математика никогда не порождает противоречий[54]. Эту задачу Гёдель решил в своей второй теореме о неполноте, но полученный им результат был прямо противоположен ожидавшемуся. Вместо того чтобы доказать, что математика непротиворечива, он доказал, что доказать непротиворечивость математики внутри ее самой невозможно. Говорят, Гильберт рассердился, когда узнал о теореме Гёделя. Джон фон Нейман, как мы видели, просто забросил свои исследования в области логики.

До Гёделя всегда считалось самоочевидным, что для нахождения решения математической задачи требуются только достаточные способности, рассудительность и ловкость. Математик не был стопроцентно уверен, что решение существует, так как поставленная Гильбертом задача о непротиворечивости еще не была решена (не решена она и до сих пор), но у него не было причин сомневаться в том, что рано или поздно непротиворечивость математики будет доказана. После Гёделя приходится постоянно помнить о том, что решение задачи может не даваться не потому, что решающему ее не хватает ума, а потому, что задача эта – гёделева, то есть в рамках системы математики невозможно вывести ни заключенное в ней утверждение, ни утверждение обратное ему. И разумеется, появляется все больше результатов, доказывающих, что некоторые задачи действительно являются гёделевыми.

Если некоторое математическое утверждение гёделево, то математика не способна определить, истинно оно или ложно. Естественная наука, например физика или психология, возможно, сумеет установить, как обстоит дело в контексте реального мира, но математика не может дать никакого определенного ответа. Математика говорит только, что с ее точки зрения любой ответ был бы одинаково хорош – как утвердительный, так и отрицательный. Действительно, нашу математическую систему можно расширить новой аксиомой, содержащей либо само утверждение, либо его отрицание! В обоих случаях математика останется непротиворечивой (если, разумеется, она была непротиворечивой до этого), хотя разные случаи, возможно, потребуют разных математик. Например, если физики установят, что пространство обладает нулевой кривизной, математики создадут модель в форме старой доброй евклидовой геометрии. Однако если физики каким-то образом откроют, что пространство искривлено, то математики смогут предложить целый ассортимент разных неевклидовых геометрий, например разработанные Бойяи и Лобачевским. Вопрос о том, обладает ли пространство нулевой кривизной, – вопрос не математический. На самом деле физики пришли к убеждению, что кривизна пространства должна быть ненулевой.

В результате работы Гёделя математикам стало ясно, что математика не может исключить возможности параллельного существования нескольких разных математических систем, подчиняющихся разным законам. Мы уже видели, например, что цивилизации, имеющие разные концепции целых чисел, вполне могут существовать бок о бок. У некоторых цивилизаций может не быть понятия о нуле. Вспомним, что гипервещественное, бесконечно малое число 1/I тоже можно в некотором смысле считать нулем, так как оно меньше любого традиционного вещественного числа. Однако это не «настоящий» нуль, так как на это число можно делить, а с нашим традиционным нулем такую операцию проделать нельзя.

Тот факт, что некоторые явления происходят по законам Тихонии, не исключает возможности подчинения других явлений законам Диконии. Нам нужно построить науки обоих миров и тщательно обдумывать, к какому из них принадлежит то или иное конкретное явление. Так гёделевское мышление, первоклассное произведение тихонской науки, заложило основу для понимания чудес Диконии.

Изменение мировоззрения, вызванное открытиями Гёделя, позволило считать явления Диконии не менее закономерными, чем явления Тихонии. Хотя тихонская наука явила на свет распределение Коши, казавшееся странным, потому что у него нет стандартного отклонения, а также теорему Гёделя и идею об использовании опровержения G в качестве аксиомы, что привело к идее о гипервещественных числах, тихонское мышление не допускало, что такие аномальные объекты можно применить в реальном мире. Эти математические явления казались всего лишь теоретическими объектами, представляющими чисто теоретический интерес. Мы еще поговорим о том, что породило необходимость реального изучения Диконии. Первой областью, в которой потребовалось диконское мировоззрение, оказалась экономика.

6 Источники равновесия

Ежа невозможно как следует причесать. Всегда остается место, в котором иголки торчат в разные стороны.

В 1910 году голландский математик Лёйтзен Брауэр доказал одну странную математическую теорему[55]. Возьмите чашку кофе и как следует перемешайте его ложкой – сколь угодно сильно, но так, чтобы кофе оставался единой массой, не зачерпывая его ложкой и не выливая обратно. Закончив мешать, дождитесь, пока жидкость перестанет двигаться. Теорема Брауэра утверждает, что в кофе будет атом, который останется точно в том же месте, в котором он был до перемешивания. Другими словами, невозможно перемешать кофе в чашке так, чтобы все его атомы оказались в положениях, отличных от тех, в которых были до этого.

Можно предположить, что, если такой атом действительно существует, в конце перемешивания можно слегка сдвинуть его с места; в конце концов, никто не говорил нам, когда именно следует прекратить перемешивание. Но теорема Брауэра гарантирует, что при смещении этого конкретного атома какой-нибудь другой атом в какой-нибудь другой точке чашки сместится в свое исходное положение.

Разумеется, математики не выводят свои теоремы из чашки кофе. Я не хочу сказать, что кофе не играет никакой роли в создании математических теорем. Венгерский математик Альфред Реньи, который жить не мог без этого напитка, заметил однажды, что «математик – это устройство для преобразования кофе в теоремы». Но математики требуют точности, и их доказательство основывается не на чашке кофе, а на замкнутом, компактном и выпуклом множестве в некотором топологическом пространстве; вместо атомов они рассматривают точки этого пространства, а вместо перемешивания – отображение данного множества на само себя. Условие сохранения единой массы кофе выражается требованием непрерывности отображения. Тогда теорема формулируется следующим образом: непрерывное отображение из замкнутого, компактного и выпуклого множества имеет неподвижную точку. Это утверждение называется теоремой Брауэра о неподвижной точке.

Мы понимаем, насколько нестрогим был наш пример с чашкой кофе. Не случайно математики говорят о вещах более абстрактных, чем кофеиносодержащие напитки. Чашка кофе не является замкнутым множеством в математическом смысле слова. Ее границей служит стенка чашки, которая не является частью кофе; к тому же во время перемешивания кофе из него испаряются молекулы воды. Тем не менее такой конкретный пример живо иллюстрирует теорему; хотя ему недостает точности, он пробуждает интерес к задаче.

При отказе от условия непрерывности исчезает и необходимость неподвижной точки. Например, если нам каким-то образом удастся отделить нижнюю половину кофе от верхней (скажем, заморозив весь кофе и распилив его пополам), а затем поместить нижнюю половину наверх, а верхнюю – вниз, то каждый атом, содержащийся в кофе, окажется либо выше, либо ниже своего исходного положения: никаких неподвижных точек в кофе не останется.

Таким образом, теорема Брауэра о неподвижной точке утверждает, что простым перемешиванием невозможно поменять местами верхнюю и нижнюю половины кофе в их исходной конфигурации. Мы можем мешать как угодно, но Брауэр гарантирует, что в каждый момент существует неподвижная точка, а в той конфигурации, которую мы хотим получить, неподвижных точек нет. Теорема Брауэра о неподвижной точке представляет собой важный математический результат отчасти потому, что она настолько не соответствует нашим интуитивным представлениям: казалось бы, должен существовать способ, который перемещает все атомы в другие точки чашки. Аналогичным образом кажется, что должна существовать возможность причесать ежа. Речь идет о еже, свернувшемся в идеальный шар. Одно из следствий из теоремы Брауэра о неподвижной точке гласит, что, как бы мы его ни причесывали, на поверхности шара всегда останется по меньшей мере одно завихрение – участок, на котором иголки торчат в разные стороны.

Теоремы о неподвижной точке ценой в Нобелевскую премию

Математики обобщили изящную теорему Брауэра во многих направлениях[56], и из различных ее приложений сформировалась целая новая область математики – теория неподвижной точки. Теорема была обобщена на многомерные пространства, на некоторые классы разрывных отображений и на некоторые другие случаи. Японский математик Сидзуо Какутани даже доказал теорему о неподвижной точке для некоторых абстрактных отображений, которые отображают единичную точку в целое множество. С тех пор обобщение Какутани стало одним из основных инструментов математической экономики. Но для того, чтобы извлечь из теоремы Брауэра по-настоящему глубокие выводы, потребовался математик калибра Джона фон Неймана.

Фон Нейман начал не с обобщения теоремы – он занялся рассмотрением ее приложений. Первое разработанное им приложение было довольно неожиданным: создание теории игр. Фон Нейман установил, что то, что Брауэр называл неподвижной точкой, в контексте стратегических игр можно считать – если использовать одно поразительное обобщение, имеющее широкую область применения, – точкой равновесия. «Равновесием» здесь называется набор стратегий (по одному стратегическому плану на каждого игрока), при использовании которого ни один из игроков не может улучшить свое положение только за счет изменения стратегии. Более подробное обсуждение теории игр можно найти в моей книге «Этические расчеты».

Создав теорию игр, фон Нейман понял, что при достаточно абстрактном рассмотрении экономики ее можно представить в виде набора игр и отображений. Стало быть, экономика состоит именно из тех двух компонентов, к которым применима теорема Брауэра о неподвижной точке.

Например, динамика теории игр начинает действовать в переговорах по любой сделке. Интересы игроков естественным образом оказываются взаимно противоположными – так же, как интересы игроков в покер. Но у них могут быть и общие интересы – так же, как все игроки в покер заинтересованы в том, чтобы игорный дом взимал с них как можно меньшую плату, а игра шла без шулерства.

Коммерческие транзакции можно рассматривать как отображения. Когда мы покупаем что-либо, мы отображаем свои деньги в товары. Когда мы производим что-либо, сырье и рабочая сила отображаются в продукцию. Построив такие отображения в абстрактном виде, фон Нейман обнаружил, что экономика непременно должна содержать равновесные точки – не только в соревновательных и, следовательно, описываемых теорией игр аспектах транзакций, но и в столь прозаических областях, как производство и потребление.

Чрезвычайно существенно, что в экономике имеются точки равновесия; более того, вся экономика может находиться в состоянии равновесия. В некотором роде удивительно, что экономические системы настолько устойчивы, учитывая, что каждый из действующих в экономике игроков, вообще-то говоря, заботится только о своих собственных интересах. В своей великой книге «Исследование о природе и причинах богатства народов», вышедшей в 1776 году, шотландский экономист Адам Смит говорит: «Не от благожелательности мясника, пивовара или булочника ожидаем мы получить свой обед, а от соблюдения ими своих собственных интересов». Ниже он описывает, как именно эгоистический интерес может послужить на пользу обществу:

Каждый отдельный человек… не имеет в виду содействовать общественной пользе и не сознает, насколько он содействует ей. Предпочитая оказывать поддержку отечественному производству, а не иностранному, он имеет в виду лишь свой собственный интерес, и, осуществляя это производство таким образом, чтобы его продукт обладал максимальной стоимостью, он преследует лишь свою собственную выгоду, причем в этом случае, как и во многих других, он невидимой рукой направляется к цели, которая совсем и не входила в его намерения; при этом общество не всегда страдает от того, что эта цель не входила в его намерения. Преследуя свои собственные интересы, он часто более действительным образом служит интересам общества, чем тогда, когда сознательно стремится делать это[57][58]

Хотя концепция экономического равновесия была с тех пор определена с гораздо большей точностью, основная идея остается неизменной: совокупное воздействие отдельных своекорыстных действий должно обеспечивать эффективную работу экономики. Однако в течение долгого времени идеи Смита не получали признания ни у политиков, ни у экономистов. Вопрос был слишком важен, а примеры, приведенные Смитом, как бы ярки они ни были, казались слишком произвольными. Можно ли в самом деле верить, что «невидимая рука» будет делать то, что раньше приписывалось личным добродетелям, и позаботится об общественных интересах? Во многих случаях этого не происходит. Разрушение окружающей среды продолжалось – и оставалось без внимания – довольно долго, и «невидимая рука» никак ему не мешала. Не было известно, где именно действует «невидимая рука» и каковы пределы ее воздействия. Нужно отдать должное Смиту: он и не утверждал, что своекорыстные интересы всегда ведут к общественному благу, – в отличие от многих фанатичных последователей его учения. Например, он предупреждал об опасностях монополизма и чрезмерного вмешательства коммерческих интересов в политику.

Не предложил Смит и точного доказательства справедливости своего принципа даже в тех областях, в которых тот и правда действует. Его теория была чисто умозрительной. Значительная часть «Богатства народов» посвящена перечислению ярких примеров благонамеренного вмешательства государства, приводящего к катастрофическим последствиям. Поэтому не стоит удивляться, что его книге все никак не удавалось убедить политиков социалистического толка предоставить «невидимой руке» свободу действий, так же как не удавалось убедить сторонников свободного рынка в том, что временами той же «невидимой руке» требуется государственное управление.

До того как за дело взялся фон Нейман, никто не знал, как преобразовать теорию Адама Смита в полноценную экономическую модель, для которой можно было бы определить область применимости. Фон Нейман первым предложил экономистам модель, пригодную к использованию.

В 1994 году Премия по экономическим наукам памяти Альфреда Нобеля была присуждена трем исследователям, работавшим в области теории игр: Джону Нэшу (герою книги и фильма «Игры разума»), Джону Харсаньи и Рейнхарду Зельтену. В 2005 году ту же премию получили еще два специалиста по теории игр – Роберт Ауман и Томас Шеллинг. Еще с десяток нобелевских лауреатов получили свои награды за экономические модели, основанные на теореме Брауэра о неподвижной точке или ее приложениях, разработанных фон Нейманом. Сам фон Нейман этой премии не получил, потому что он умер в 1957 году, за дюжину лет до присуждения первой Нобелевской премии по экономике (она не входила в число пяти премий, учрежденных самим Нобелем, и официально называется Премией памяти Нобеля). Одна из первых премий была присуждена в 1972 году Кеннету Эрроу. В 1954 году они с лауреатом 1983 года Жераром Дебрё доказали, исходя из идей фон Неймана, математическую теорему о существовании общих равновесных состояний, которая считается фундаментальной теоремой теорий равновесия.

Теорема Рроу – Дебрё

Теорема Эрроу – Дебрё (в несколько упрощенном виде) утверждает следующее:

Если в некоторой экономической системе…

• нет монополий – то есть существует более или менее свободный рынок;

• нет влияния внешних относительно экономики факторов (например, стихийных бедствий, войн или народных волнений);

• предпринимательская деятельность не оказывает воздействия вне самой экономики (например, не порождает загрязнения окружающей среды, коррупции или мошенничества);

• экономика ведет себя более или менее непрерывным образом – то есть малые изменения деятельности отдельных лиц или компаний приводят к малым же изменениям всей экономической системы;

• спрос и предложение, в том числе рабочей силы, абсолютно гибки;

• и выполняются некоторые другие технические требования, например то, что экономисты называют законом убывающей предельной полезности или законом убывающей доходности (отдачи),

то для такой экономической системы существует состояние равновесия[59].

Под состоянием равновесия понимается такое положение, в котором невозможно увеличить долгосрочную прибыль при помощи стратегии, не диктуемой условиями этого состояния равновесия. Когда такое состояние наступает, оно может продолжаться долго, так как никто не заинтересован в его нарушении.

Чему учит эта теорема правительство страны, экономика которой находится более или менее в равновесии? Можно предположить, что правительство будет стараться поддерживать такое, по-видимому, идеальное состояние экономического спокойствия. Для этого ему нужно всего лишь обеспечивать выполнение условий теоремы Эрроу – Дебрё, а для этого оно может принимать меры, способствующие выполнению этих условий даже в случае их изменения. Такие меры необходимы потому, что даже равновесная экономика постоянно изменяется – например, в связи с технологическими новшествами, совершенствованием продукции, демографическими изменениями или метеорологическими и климатическими явлениями. Таким образом, дело правительства – выявлять нарушения условий теоремы Эрроу – Дебрё, например образование монополий или народные волнения, и корректировать свою политику соответствующим образом. Все остальное вполне можно оставить на усмотрение саморегулирующейся «невидимой руки».

На первый взгляд, такое состояние дел кажется полной победой Адама Смита. «Невидимая рука» способна – с небольшой помощью правительства – создавать устойчивое экономическое равновесие, и поддержание этого равновесия гарантируется теперь неумолимой логикой математики. Но все это остается справедливым лишь до тех пор, пока выполняются условия теоремы Эрроу – Дебрё.

Многие из этих условий подразумевают, что экономика должна существовать в общих пределах Тихонии. Например, они не допускают существования монополий. Пока мы находимся в Тихонии, это ограничение остается разумным, поскольку монополии не создаются из набора мелких компонентов, а образуются в результате действия типично диконского механизма, так называемого эффекта Матфея, который я объясню в одной из следующих глав. Экстремальные социально-экономические эффекты легко могут порождать нарушения стабильности, характерные для Диконии, так что их исключение логично считать необходимым для поддержания тихонского спокойствия. Я не говорил о смысле таких концепций, как «непрерывность», «убывающая предельная полезность» или «убывающая доходность», но они также более или менее строго диктуют, что экономика, соответствующая теореме Эрроу – Дебрё, должна быть экономикой тихонской.

Из теоремы Брауэра о неподвижной точке не было очевидно, до какой степени эту теорему следует считать произведением тихонской науки. С одной стороны, она не имеет никакого отношения к распределению Гаусса. Однако она содержит математическое ограничение, указывающее в этом направлении: теорема Брауэра о неподвижной точке применима только к замкнутым множествам. Следовательно, для существования равновесия мир должен быть замкнутым – по меньшей мере замкнутым в некотором смысле. Но мир Диконии далеко не замкнут. В Диконии повседневно происходят «чудеса». С учетом этого почти не важно, к какой именно категории чудес они принадлежат – псевдочудес, «истинных» чудес (то есть явлений, необъяснимых при нынешнем состоянии науки) или же трансцендентных чудес, то есть случаев божественного вмешательства, выходящих за рамки тематики этой книги.

Пут-опционы

Яркое представление о том, как в экономике отражается как тихонское, так и диконское влияние, можно получить, взглянув на биржевые операции с опционами[60]. Представим себе, что мы фермеры, выращивающие пшеницу в некой далекой стране, в которой денежная единица называется «ору», а мера количества зерна называется «коргель». Мы посеяли зерно и подсчитали все свои затраты – в том числе расходы на посевное зерно, стоимость трудозатрат от посева до сбора урожая, капитальные вложения в сельскохозяйственную технику, стоимость ремонта и так далее. Мы учли все факторы, которые нужно было учесть. По нашим расчетам получилось, что если не произойдет никаких неприятностей и погода будет хорошей, то мы сможем окупить свои затраты, если после сбора урожая нам удастся продать пшеницу по 90 ору за коргель. Это хорошо, так как в данный момент пшеница продается по 100 ору за коргель. Тем не менее мы продолжаем беспокоиться, потому что нам случалось видеть, как цены на зерно падают в течение одного сельскохозяйственного сезона на целых 20 ору за коргель, а если к концу лета наша пшеница принесет нам всего по 80 ору за коргель, нам конец. Наша ферма будет в убытке, и мы не сможем купить семена для посева будущего года. Во сколько мы оценили бы предложение гарантии покупки нашей пшеницы после сбора урожая по нынешней цене, то есть по 100 ору за коргель? Готовы ли мы прямо сейчас заплатить по 10 ору за коргель за такой опцион?

Если к моменту сбора урожая цена на пшеницу упадет ниже 100 ору, мы реализуем опцион. Именно ради этого мы его и покупали. Теперь нам все равно, насколько упадут цены. Даже если они будут ниже 100 ору, мы продадим свою пшеницу по гарантированной цене в 100 ору за коргель. Поскольку опцион стоил 10 ору, мы застраховались от возможного банкротства, потому что за вычетом из гарантированной цены стоимости опциона у нас останется по 90 ору за коргель, и этого хватит на покрытие наших затрат. Если же цена поднимется выше 100 ору, нам не будет смысла продавать пшеницу по 100, так как появятся покупатели, готовые заплатить за нее больше. В конце концов, мы купили опцион на продажу по 100 ору, а не заключили контракт, по которому мы должны продать пшеницу по этой цене. В этом случае мы потеряем деньги, заплаченные за опцион на продажу по 100 ору, но это нас не расстраивает, потому что мы все равно получаем прибыль – ее размер будет зависеть от цен на пшеницу ко времени сбора урожая. Как бы то ни было, мы получим заведомо больше, чем 90 ору за коргель. Если, скажем, цена взлетит до 120 ору, мы окажемся гораздо богаче. Такой опцион на продажу (или «пут-опцион»), несомненно, сто́ит тех 10 ору за коргель, которые мы заплатили, потому что он страхует нас от банкротства при неблагоприятном положении дел, в то же время оставляя нам возможность извлечь прибыль в случае улучшения ситуации.

Колл-опционы

Теперь представим себе, что мы не фермеры, а мельники. Мы не продаем пшеницу; мы ее покупаем и мелем, а затем продаем муку. Хотя цены на муку зависят от цен на пшеницу, изменяются они не синхронно; между ними существует некоторая задержка. Поэтому наши интересы противоположны интересам фермера: чем дешевле пшеница, тем нам лучше, а ее подорожание уменьшает нашу прибыль.

Как и наши друзья-фермеры, мы тоже произвели расчеты, чтобы определить свои операционные затраты, в том числе капитальные вложения и расходы на необходимый время от времени ремонт мельницы. Мы выяснили, что нам нечего опасаться, если цена на пшеницу не поднимется выше 110 ору за коргель. При 110 ору за коргель мы не получим прибыли, но и не понесем убытков. Как и фермера, нас вполне устраивает текущая цена 100 ору: если мы сможем купить зерно по этой цене, мы можем рассчитывать на вполне приличную прибыль. Но если к моменту сбора урожая она поднимется до 120 ору, нам конец. С тем же успехом можно будет закрыть мельницу, потому что мы будем терять деньги на переработке каждого коргеля пшеницы. Поэтому нам, как и фермеру, нужна страховка. Сколько мы готовы заплатить за гарантию того, что во время сбора урожая мы сможем купить пшеницу по нынешней цене 100 ору за коргель? Предположим, что этот опцион предлагается мельникам по той же цене, что и фермерам, – по 10 ору за коргель.

Если фермеру, чтобы застраховаться от банкротства, нужен был пут-опцион, то мельнику для той же цели требуется «колл-опцион», то есть опцион на покупку. Разумеется, фермер и мельник могли бы просто заключить друг с другом договор, что будущим летом фермер продаст мельнику свою пшеницу по 100 ору за коргель (то есть по нынешней цене), и такая сделка была бы выгодна обоим. Но оба они могут получить и бо́льшую выгоду: фермер разбогатеет, если цена на пшеницу резко взлетит, а мельник – если она резко рухнет. Поскольку им обоим не хотелось бы отказываться от возможности получения большой прибыли, фермер и мельник не станут продавать и покупать заранее по фиксированной цене 100 ору, а предпочтут заплатить за опционы по 10 ору за коргель и получить надежду на крупный доход без риска банкротства.

Всякий предприниматель привыкает к тому, что годы бывают удачными и неудачными. В худшие годы он старается выжить, и опционы дают ему такую возможность. В лучшие годы он стремится получить как можно большую прибыль. С точки зрения фермера, хороший год – это когда цена на пшеницу поднимается необычайно высоко, а с точки зрения мельника – когда она опускается необычайно низко. Тем не менее на этом их риски не заканчиваются. Некоторые касаются их обоих – например, вероятность того, что население разлюбит пшеничный хлеб и все начнут есть рис. Если такое случится, цена 100 ору за коргель не будет особенно выгодной ни для одного, ни для другого. Им лучше попытаться найти не слишком дорогие опционы.

Мотивы инвестора

А теперь представим себе, что мы не фермеры и не мельники, а инвесторы. Наша работа – не выращивать пшеницу и не перерабатывать ее в муку, а находить подходящие финансовые инструменты, в которые можно вкладывать деньги. Поскольку мы понимаем, что́ нужно фермеру и мельнику, предположим, что мы предлагаем опцион одному из них или им обоим. Будучи инвесторами осмотрительными, мы хотим определить, по какой цене мы можем продавать опционы, чтобы получить в долговременной перспективе разумную прибыль. Фермера и мельника интересует в первую очередь перспектива краткосрочная: они не хотят, чтобы цены этого года довели их до банкротства. Инвесторы же ничего не имеют против краткосрочных убытков, если у них имеется капитал, достаточный для покрытия таких убытков в течение значительного времени. Инвесторы хотят добиться того, чтобы их инвестиционный портфель оказался прибыльным в долгосрочной перспективе. Если они смогут предложить опционы по цене, которую фермер или мельник сочтут разумной, то эта ситуация окажется выгодной для всех: фермер и мельник получат страховку от катастрофических убытков и сохранят возможность получения крупной прибыли, а инвестор получит долгосрочную прибыль.

Если мы предложим фермеру и мельнику опционы по 10 ору за коргель, оба они сочтут такую цену разумной. Но нам приходится конкурировать с другими инвесторами, и может случиться так, что какой-нибудь другой инвестор удовлетворится ценой опционов по 9 ору за коргель. С точки зрения инвестора, который может позволить себе исходить из очень долгосрочной перспективы, возможно, есть смысл предлагать опционы по сниженным ценам, чтобы приобрести более широкую клиентуру. Разумеется, тут существует та опасность, что ошибочный расчет может в конце концов привести к банкротству – это может случиться даже при продаже опционов по 10 ору.

С нашей (инвесторской) точки зрения лучшие годы – это те, в которые цены на пшеницу совсем близки к 100 ору, потому что тогда мы получаем гарантированные 10 ору за коргель от фермера и такую же сумму от мельника и не несем убытков из-за покупки или продажи пшеницы по невыгодной цене. Если цены на пшеницу резко падают, нам приходится покупать у фермера дешевую пшеницу по высокой цене. Если цены резко поднимаются, нам приходится продавать мельнику дорогую пшеницу по цене ниже рыночной. В последнем случае мы можем подстраховаться, купив фьючерсы на пшеницу по нынешней цене – то есть обязавшись купить определенное количество пшеницы во время сбора урожая по цене, установленной сейчас. Предположим, что мы заключили фьючерсную сделку о покупке одного коргеля пшеницы на каждые два коргеля проданных опционов. Разумеется, если цены упадут, купленные фьючерсы на пшеницу окажутся убыточными. Но связанные с ними убытки будут отчасти возмещены доходами от продажи опционов. Поэтому колл-опционы всегда дешевле, чем пут-опционы.

Таким образом, мы видим, что продажа опционов связана с риском, и, когда инвесторы продают опционы, они обычно принимают дополнительные меры для уменьшения этого риска – например, ограничивают риски пут-опционов покупкой некоторого количества фьючерсов на пшеницу по текущей цене[61]. Такая идея никогда не пришла бы в голову фермеру или мельнику. Зачем фермеру покупать у самого себя ту самую пшеницу, которую он производит? Поэтому фермеру и мельнику выгоднее торговать не напрямую друг с другом, а через инвестора.

Это очень упрощенное описание принципа действия опционов. На самом деле цена колл-опциона обычно не совпадает с ценой пут-опциона. При прочих равных условиях цена на пут-опцион может во много раз превышать цену на колл-опцион. Если бы фермер и мельник заключили соглашение друг с другом, такая сделка не была бы честной. Хотя на первый взгляд этого не скажешь, она была бы более выгодной для фермера, так как ему опционы обходятся дороже.

Я упростил это описание и еще в одном отношении, так как говорил только о колл- и пут-опционах. В реальности существует множество других видов опционов, но в мою задачу не входит написание учебника по сделкам с опционами. Я заговорил об этой теме только потому, что вскоре нам станет ясно: для опционов требуется диконская экономика.

Ценообразование опционов

Фишер Блэк (1938–1995) был физиком, получившим докторскую степень по математике в Гарвардском университете. Сегодня нет ничего необычного в том, что человек с такой подготовкой обращается к исследованию финансов, но в 1970-х годах, когда это сделал Блэк, это было исключительной редкостью. Его заинтересовала задача определения – по меньшей мере теоретического – правильной цены опционов.

В то время сделки по опционам заключались по большей части по наитию: если цена устраивала как продавца опциона (то есть инвестора), так и его покупателя (то есть фермера или мельника), то сделка заключалась. Если стороны не могли прийти к соглашению, сделка не заключалась. В этих условиях многие фермеры и мельники доходили до банкротства. Блэк хотел найти способ измерения реальной стоимости опционов. Он ясно видел, что жизнь инвесторов далеко не проста. Обменные курсы непрерывно колеблются. Кроме того, у всех есть свои условия: один фермер может быть готов купить опцион на продажу по 100 ору за коргель, а другому, возможно, подойдет и опцион на продажу по 95 ору, но он хочет купить его дешевле. Фермера может заинтересовать приобретение опциона за год до продажи пшеницы, а мельника, возможно, устроит и шестимесячный. Владельцу инженерной фирмы может быть нужен опцион всего на месяц. Блэк расписал все уравнения, вытекающие из таких соображений, но они оказались слишком сложными, и решить их он не смог. А потом он познакомился с Майроном Шоулзом.

Шоулз, который был экономистом, открыл, что теоретически правильная цена опциона не зависит от реальной будущей цены на актив, на который выдается опцион. Имеет значение только величина колебаний цены актива, или, иными словами, стандартное отклонение (экономисты называют эту величину «волатильностью»). Эта идея требовала профессионального экономиста, знакомого с существованием равновесных состояний и теоремы Эрроу – Дебрё. Шоулз добавил к уравнениям Блэка несколько дополнительных положений (например, условия теоремы Эрроу – Дебрё), что значительно приблизило возможность их решения. Но уравнения все равно оставались слишком сложными.

Теоретические соображения Блэка и Шоулза дополнил своими знаниями о привычках инвесторов Роберт Мертон. Уравнения Блэка были чрезмерно сложными, потому что он учитывал все теоретические возможности, в то время как реальные инвесторы из плоти и крови вовсе не заботились – и не имели необходимости заботиться – обо всех возможных случаях. Инвестор – не теоретик. Он не вычисляет интегралов, а занимается практической торговлей. Когда он продает опцион, он автоматически, почти рефлекторно, принимает некоторые практические меры для уменьшения рисков. После того как Мертон уменьшил число рассматриваемых возможностей, решение уравнения стало можно выразить одной математической формулой.

Так в 1970 году родилась формула Блэка – Шоулза[62]. В последней четверти XX века она стала одной из наиболее широко используемых инвесторами формул. В печати она появилась только в 1973 году: до этого все ведущие журналы отказывались публиковать ее, потому что математические выкладки казались редакторам слишком запутанными. Впоследствии Майрон Шоулз и Роберт Мертон получили Нобелевскую премию по экономике[63]. Фишер Блэк до этого не дожил. Ходят слухи, что имя Мертона не было увековечено в названии формулы, потому что в то утро, когда Блэк и Шоулз впервые докладывали о своих результатах на конференции, Мертон проспал[64].

Формула Блэка – Шоулза позволяет оценить теоретическую стоимость любого опциона. Формула сложна, но вычисления производятся компьютером. В сети можно найти много бесплатных калькуляторов Блэка – Шоулза[65]. Сложность формулы никак не мешает легкости ее применения. А применять ее действительно легко. Нужно только ввести текущую цену, «страйк-цену» (она же цена исполнения, то есть та цена покупки или продажи, которую готов гарантировать инвестор), выбрать вариант колл- или пут-опциона и ввести дату истечения срока опциона (то есть дату его реализации). Также необходимо указать волатильность (стандартное отклонение) цены базового актива, а также максимальную на данный момент процентную ставку по практически безрисковым инвестициям, например процентную ставку по вкладам в наиболее устойчивых банках или доходность по государственным облигациям США. Формула Блэка – Шоулза выдаст одно-единственное число – теоретическую цену опциона.

Случай с прохожим инвестором: Марина для Марины

Разработав свою формулу, Блэк, Шоулз и Мертон захотели узнать, как реальные цены на опционы соотносятся с вычисленными по ней. Они обнаружили на удивление большой разброс. Некоторые опционы были значительно недооцененными по сравнению с их формулой, а другие – невероятно переоцененными. Самым недооцененным опционом, который они нашли, был колл-опцион на акции компании под названием National General. Спустя годы Блэк писал: «Мы с Шоулзом и Мертоном ринулись в бой и купили целую кучу этих варрантов. Какое-то время казалось, что мы все сделали правильно. Затем компания под названием American Financial объявила тендер на покупку акций National General. Исходные условия тендера были таковы, что стоимость наших варрантов резко упала»[66].

Трое ученых потеряли вложенные средства. Компания American Financial покупала акции National General дороже страйк-цены, так что опцион ученых оказался ничего не стоящим. С одной стороны, эта финансовая потеря их огорчила. Но они были рады, что их формула, по меньшей мере на время, правильно предсказывала стоимость опциона. Их подвела не математика, а деловая смекалка. Колл-опционы на акции National General были недооцененными именно потому, что слухи о возможности такого поглощения уже давно носились в воздухе, и профессионалы Уолл-стрит учитывали эту информацию. Блэк пишет в заключение: «Рынок знал нечто такое, чего наша формула не знала… Хотя наш опыт торговли был не слишком удачным, это событие помогло подтвердить правильность формулы. Рыночная цена вела себя неправильно по очень веской причине»[67].

Почему же компания American Financial считала целесообразным платить за эти акции гораздо больше, чем они «на самом деле» стоили? Логику компании можно объяснить на одном очень простом примере. Представим себе, что мы владеем маленьким рыболовецким предприятием. У нас есть рыболовное судно, и, поскольку мы забрасываем сети в открытом море, нам удается поймать больше рыбы, чем рыбакам, которые ловят с берега. Но дела у нашей компании идут не блестяще. По каким-то причинам она не оправдывает ожиданий, и рынок оценивает ее стоимость низко. Но тут мимо проходит инвестор – пусть у нее будет морское имя Марина, – и она замечает, что, когда капитан смотрит в другую сторону, команда бездельничает на палубе, загорая на разложенных сетях. Неудивительно, что дела компании идут не блестяще. Марина не может легко и быстро решить эту проблему, но ей приходит в голову, что, возможно, судно вообще не нужно использовать для рыбной ловли. После небольшого переоборудования его можно приспособить, например, для увеселительных прогулок, и тогда оно будет приносить гораздо больше денег, чем рыболовство.

Марина могла бы просто построить новое прогулочное судно, но это заняло бы много времени, да и к тому же туристы потому и приезжают на морские прогулки в эту маленькую рыбацкую деревеньку, что хотят выйти в море на настоящем рыболовном судне. На этих морских прогулках туристы даже смогут ловить рыбу себе на ужин. Старое, потрепанное штормами судно обеспечит как раз такую ностальгическую атмосферу, как нужно. Но судно должно быть надежным, и его надо привести в соответствие с нормативными требованиями. Итак, Марина решает, что не хочет строить новый корабль. Более целесообразно вложить деньги в покупку и переоборудование нашего рыболовецкого судна, и она даже готова, если потребуется, заплатить за него несколько дороже его нынешней рыночной цены.

Марина никому не рассказывает о своей идее до заключения соглашения с нами, владельцами рыболовецкой компании. Может, она вообще будет держать свою идею в тайне как можно дольше, чтобы не допустить на рынок подражателей. В этом отношении наш пример отличается от случая с акциями National General, в котором намерение American Financial приобрести эту компанию не могло оставаться в тайне, и рынок предусмотрительно назначил цену сделки еще до того, как она состоялась. Возможно, рынок не понимал мотивов American Financial, но чувствовал, что назревают какие-то события.

Формула Блэка – Шоулза не учитывает именно этого «ощущения, витающего в воздухе». Она и не может его учесть, так как такое ощущение – не математическая концепция, а самая настоящая бизнес-идея. Марина, проходившая мимо марины, оказалась ближе к гениальности, чем формула Блэка – Шоулза, потому что была единственным человеком, придумавшим нечто, не приходившее в голову никому другому.

Хотя формула Блэка – Шоулза, несомненно, заслуживала Нобелевской премии, все ее элементы витали в воздухе еще с 1960-х годов. Чтобы решить все связанные с нею технические проблемы, потребовалось, чтобы три специалиста из разных областей – математики, экономики и предпринимательства – объединили свои специализированные знания и интеллектуальные способности. К тому же им помогли многие другие исследователи. Таким образом, формулу Блэка – Шоулза можно считать плодом упорной работы талантливых и опытных профессионалов, но ни в коем случае не произведением гения.

Чтобы эта формула была справедливой, колебания цены на базовый актив (то есть на то, на продажу или покупку чего выпускается опцион) должны иметь тихонское распределение. Если бы цены подчинялись, скажем, распределению Коши, то численно выразить их колебания в виде стандартного отклонения было бы невозможно, и мы не смогли бы даже запустить калькулятор Блэка – Шоулза. Но математическая основа формулы Блэка – Шоулза относится к Тихонии и еще более очевидным и несомненным образом. Формула явно предполагает, что распределение колебаний цен описывается гауссовой кривой. А эта кривая описывает такое распределение до тех пор, пока экономика находится в мире Тихонии и колебания цен определяются множеством слабых компонентов. Однако идея, подобная той, которая пришла в голову нашему инвестору Марине, – это идея цельная, творческая и масштабная. Такие возникают довольно часто и многим позволили разбогатеть. И они неизбежно уводят экономику в Диконию.

«Свалка богача»

Родившийся в Польше франко-американский математик Бенуа Мандельброт (1924–2010) будет героем третьей части этой книги, которая посвящена науке Диконии. Собственно говоря, он уже появлялся в нашем повествовании, потому что именно он открыл способ создания фрактальных изображений, подобных тому, что изображено на илл. 8.

В 1960-х годах, когда математический аппарат, приведший впоследствии к появлению формулы Блэка – Шоулза, еще только развивался, Мандельброт утверждал на нескольких конференциях, что распределение Гаусса, возможно, неточно описывает реальное поведение цен. Он предлагал использовать в качестве основы для таких моделей распределение Коши. Другими словами, Мандельброт еще в 1960-х годах предлагал перенести экономические модели из Тихонии в Диконию[68]. Это предложение не вызвало у экономистов особо горячего энтузиазма. Возможно, тут сыграли свою роль и не вполне деликатные манеры Мандельброта, но основная причина была не в этом. Если бы его предложение было принято всерьез, экономистам пришлось бы выкинуть все, чего они достигли со времен фон Неймана, Эрроу и Дебрё, и сменить уютные модели равновесных состояний на нечто гораздо менее изящное[69].

Если бы экономисты так и поступили, Блэк и компания вполне могли прийти к выводу, что у опциона вообще не может быть теоретически правильной цены. Невозможно с уверенностью оценить нечто, не имеющее стандартного отклонения. А даже если бы это и можно было сделать – например, приручив дикое распределение Коши и поселив его в модели, – то это дало бы такие высокие цены опционов, что никто не захотел бы их покупать. Фермер с мельником снова оказались бы в исходном положении. Но практический опыт уже показал: цену опциона можно выбрать так, чтобы обе стороны сочли ее разумной.

Колебания цен, способные оправдать столь радикальное изменение моделей, не встречались со времен Великой депрессии 1929 года. Таким положение дел и оставалось до 1987 года, когда весь мир потряс гигантский экономический кризис, после чего, в 2008 году, на нас обрушился кризис еще более масштабный.

Повседневная жизнь в Тихонии идет своим чередом, хотя диконские явления время от времени и переворачивают все вверх дном. В конце концов, договоры о сделках с опционами могут составляться только в тихонских условиях, потому что в Диконии у опционов просто нет теоретически правильной цены. А эти опционы нужны фермеру и мельнику в качестве страховки от банкротства. Инвестору тоже живется лучше, когда действуют тихонские законы. Когда хаотические законы Диконии наконец берут свое и на горизонте возникает негативный «черный лебедь», это не становится катастрофой ни для фермера, ни для мельника. А вот инвестор теряет последнюю рубашку. Плата за опционы, которую инвестор получал от фермера и мельника, позволяла ему процветать, только пока главенствовали правила Тихонии.

Мораль тут такая: тот, кто хочет зарабатывать инвестициями, должен быть способен пережить полный крах, подняться, отряхнуться и начать все сначала. Тот, у кого не было нескольких банкротств, после которых он каждый раз снова вставал на ноги, – не «настоящий» инвестор. Моему другу Алексу не раз случалось оставаться ни с чем, но каждый раз ему удавалось собраться с силами и добиться еще большего успеха, чем раньше. Если не считать мантры «чудес не бывает», чаще всего я слышу от Алекса, что «впереди всегда ждет возможность». Но чтобы выгодно использовать возможности, что ждут впереди, инвестору нужно добиться успеха с возможностями предыдущими, даже если в конце концов они приведут его к банкротству. В жизни инвестора банкротство – не признак поражения; это всего лишь неприятный, но неизбежно повторяющийся побочный эффект его деятельности.

Говорят, на свалке богача можно найти больше ценного, чем во всем имуществе бедняка. В некотором смысле фермер и мельник финансируют платой за свои опционы именно свалку инвестора, и именно ее существование дает инвестору лучшие шансы на восстановление после банкротства, чем есть у фермера или мельника. Правда, верно и то, что инвестору необходим такой склад характера, который помогает принять неотъемлемо присущую этой профессии нестабильность. Все это подводит нас к вопросу, сокрытому в самом сердце части IV этой книги: каким образом можно добиться какого-либо баланса между основанным на равновесии миром Тихонии и неравновесностью Диконии? Давайте для начала заглянем в беспорядочный и суматошный мир Диконии.

Часть III Дикий мир

Стремиться следует не к тому, чтобы не проиграть в случае кризиса; следует стремиться использовать обратную сторону медали, позитивные чудеса, когда никаких кризисов нет.

7 Математика непредсказуемого

Хаотично работает не сердце, а мозг.

В числе всевозможных увлекательных экспонатов будапештского Дворца чудес выставлен механизм, показанный на илл. 12. От центра колеса отходят три планки, каждая из которых состоит из двух соединенных шарниром сегментов. Таким образом, каждая из планок представляет собой двойной маятник – то есть маятник, к концу которого прикреплен другой. Все три маятника закреплены винтом в центре колеса. Если выбрать начальное положение трех двойных маятников и отпустить их, они начинают раскачиваться. Тут-то и происходит самое удивительное: кажется, что внешние сегменты всех трех двойных маятников движутся совершенно случайным образом. В их движении нет никакого явного ритма или смысла. Иногда один из них взлетает вверх и даже может – в самый неожиданный момент – совершить полный оборот, как маятниковые качели в парке аттракционов. Запустите маятники еще раз. И еще раз. Каждый раз результаты будут получаться совершенно непохожими на предыдущие.

Посетители по большей части стоят перед этим экспонатом как завороженные. Кое-кто, глядя на три штанги, движущиеся столь поразительно непредсказуемым образом, и впрямь впадает в состояние легкого гипноза[70]. Даже не столько хаотичность, сколько огромное разнообразие движений этого маятника не позволяет отвести от него глаз. По данным современных исследований гипноза, именно такая сосредоточенность является единственным необходимым условием для входа в гипнотическое состояние. Без всего остального – расслабленности, слов гипнотизера, даже самого присутствия гипнотизера – можно обойтись.

Илл. 12. Двойной маятник во Дворце чудес в Будапеште

(Фото Петера Тамаша)

Когда моей дочери было восемь лет, она сама научилась входить в некое состояние, подобное трансу. Когда ее брат, пятью годами старше, спросил, как она это делает, она охотно ответила: «Надо изо всех сил сосредоточиться на чем-нибудь – на пламени свечи или просто на пятне на стенке». А когда брат спросил: «А глаза закрывать?» – она ответила: «Да не важно. Но для первого раза, наверное, лучше закрыть».

Непредсказуемый маятник

Двойной маятник может быть превосходным средством для медитации, но нас он интересует с научной точки зрения: действительно ли движение трех маятников хаотично – или же в нем есть некая регулярность, а мы просто недостаточно умны или наблюдательны, чтобы обнаружить ее? Интуитивно кажется, что верен второй вариант. Трудно представить, что такое простое устройство, все движения которого полностью определяются вращением колеса, может порождать абсолютно непредсказуемое поведение.

Илл. 13. Хаотическая траектория простого двойного маятника[71]

Это интуитивное представление ошибочно. Не так давно математики доказали, что движение даже такого простого устройства, как двойной маятник, может быть абсолютно непредсказуемым. Для этого даже не обязательно иметь три маятника – достаточно и одного. На илл. 13 показана траектория такого двойного маятника, звенья которого начинают движение из горизонтального положения. Точнее говоря, на рисунке изображена траектория движения после одного такого запуска. В следующий раз, даже если маятник начинает двигаться почти точно так же, как раньше, траектория будет даже и близко не похожа на прежнюю.

Изменения траектории двойного маятника хорошо иллюстрируют так называемый эффект бабочки. Это выражение, возникшее в 1970-х годах, закрепилось в массовой культуре и стало названием снятого в 2004 году психологического триллера, авторами сценария и режиссерами которого были Эрик Бресс и Дж. Мэки Грубер. Это же название получили сборник стихов[72], детективный роман[73] и рок-группа[74].

Эффект бабочки

История выражения «эффект бабочки» начинается с американского метеоролога Эдварда Лоренца, написавшего в 1963 году статью об одном загадочном случае[75]. Он запускал в компьютере программу моделирования погоды, и когда запустил ее во второй раз, то несколько поленился и ввел округленное значение одного из параметров – 0,506 вместо точного значения, равного 0,506127. Это малое изменение привело к получению совершенно другой модели погодных условий. Как такое могло случиться? В программе не было ничего случайного: Лоренц использовал полностью детерминированную модель. Единственная разница заключалась в изменении одного числа на одну десятую процента. Лоренц был поражен тем, насколько радикально может повлиять на результат столь малое изменение начальных условий.

Лоренц тщательно изучил это явление, и из его исследований развилась теория хаоса, некоторые аспекты которой еще столетием раньше описал великий французский математик Анри Пуанкаре (1854–1912). Впрочем, он не позаботился придумать столь удачное название – и это было большой ошибкой, потому что там, где дело касается «забега» к лавровым венкам, умение себя подать играет весьма важную роль[76]. Поэтому мы не связываем создание теории хаоса с именем Пуанкаре. Но вряд ли дух великого француза вознегодует от пренебрежения: с именем Пуанкаре связаны десятки математических и физических концепций, хотя ни одна из них не приобрела такой популярности, как теория хаоса.

Лоренц заключил, что некоторые математические системы (например, его модель для составления метеорологических прогнозов) работают таким образом, что малейшие изменения в исходных данных порождают огромные изменения в поведении системы. До этого математики считали, что отличительная черта любой удобной для анализа детерминированной системы заключается в том, что малые возмущения в исходных данных (например, небольшие ошибки измерений или ошибки округления) оказывают лишь малое влияние на результат.

В первой статье по этой теме Лоренц привел замечание одного своего коллеги-метеоролога: «Если ваша теория верна, то одного взмаха крыльев чайки было бы достаточно, чтобы навсегда изменить развитие погодных условий». История о том, как чайка превратилась в бабочку, навсегда утеряна в фольклорной мгле. Одни говорят, что это изменение внес редактор с обостренным чувством стиля. Другие утверждают, что сам Лоренц впоследствии говорил о бабочке в одной из своих лекций. Как бы то ни было, «эффект бабочки» вошел в общеупотребительный язык, и теперь в светской беседе можно услышать, что один-единственный взмах крыльев бабочки в Бразилии может вызвать торнадо в Техасе. Иногда бабочка находится в Токио, а результатом становится ураган в Нью-Йорке.

Яркая метафора опасна тем, что может дать ложное представление о природе того объекта, который она описывает. Несомненно, бабочки машут крыльями по всему Токио, не говоря уже о бразильских дождевых лесах. Но, несмотря на все это трепетание крылышек, мы знаем, что, как отмечала Элиза Дулитл: «Хартфорд, Херефорд и Хэмпшир сильных вихрей лишены». Бабочка из Токио не вызывала урагана. Но малое отклонение в учете ветровых течений при моделировании погодных условий может привести к огромному изменению в метеорологических прогнозах, и тогда дождь «пойдет» в Испании в горах, а не на равнинах[77].

Собственно говоря, теория хаоса предлагает несколько изящных математических моделей, в которых воздействие небольшого изменения начальных условий все более и более усиливается от итерации к итерации, что приводит к гигантским изменениям конечного результата, даже если исходное расхождение касалось всего лишь десятого знака после запятой в одном-единственном из всех замеров. В таких случаях действительно можно представить себе, что воздушный поток, вызванный взмахом крыла бабочки, может стать первым шагом в последовательности событий, которая приведет к возникновению тропического циклона. Но это не значит, что циклон создает бабочка. Он порождается природой метеорологических явлений, которая иногда соответствует модели теории хаоса, говорящей нам, что масштабный эффект может быть следствием самой незначительной причины.

Теория хаоса заставила нас осознать одно неприятное свойство нашего мира: в нем есть явления, которые мы не в состоянии предсказать, и причина этому – не наше невежество или неспособность произвести точные измерения. Непредсказуемость вытекает из самой сути таких явлений, и, когда мы сталкиваемся с чем-то подобным, нам не помогут ни расширение знаний, ни повышение точности измерений, ибо как реальным явлениям такого рода, так и математическим концепциям, которые мы используем для их моделирования, неотъемлемо присуща хаотичность.

К тому же такие явления – не просто теоретические диковины. Они возникают в реальном мире, и нередко, а удивительнее всего то, что некоторые хаотические системы гораздо проще, чем погода. Примером такой системы является двойной маятник, подобный тому, который выставлен в будапештском музее. Он неизмеримо проще, чем атмосфера Земли. Тем не менее мы можем задать его начальное положение лишь с некоторой ограниченной точностью, и различие между начальными положениями при двух запусках маятника даже в несколько тысячных долей миллиметра приводит к радикальным изменениям траектории. Модель абсолютно детерминирована. В ней нет никаких скрытых случайных эффектов. Но поведение ее хаотично.

Рост вычислительных мощностей позволяет моделировать погодные условия со все более высокой точностью. Однако получающиеся математические модели оказываются все более и более похожими на хаотические динамические системы. Если аспекты погоды как природного явления действительно соответствуют математической модели теории хаоса, мы никогда не сможем смоделировать погоду настолько точно, чтобы каждый раз получать точный прогноз. Собственно говоря, дело обстоит еще хуже: число крупных ошибок прогнозирования невозможно опустить ниже некоторого предела. С другой стороны, число мелких ошибок можно уменьшать все дальше и дальше, потому что такие ошибки порождаются нехаотическими аспектами погоды, которые не приводят к разрастанию малых отклонений в сегодняшних атмосферных условиях в крупные отклонения завтрашних погодных условий. Но хаотические компоненты погоды гарантируют, что чудовищно ошибочные прогнозы будут появляться всегда, насколько бы ни продвинулась вперед метеорологическая наука.

Однако с математической точки зрения дело обстоит чуть лучше. Хотя способов точного расчета состояния хаотической системы не существует, тем не менее можно вычислить вероятность возникновения в заданных временных рамках определенного состояния. К сожалению, в случае хаотических систем это обстоятельство не приносит большой практической пользы, потому что вероятность возникновения любого экстремального состояния пренебрежимо мала, а объявлять штормовое предупреждение в связи с событием, вероятность которого равна одному шансу из миллиона, никому не захочется. Синоптик, слишком часто поднимающий ложную тревогу, вскоре обнаружит, что его прогнозам никто больше не верит.

В хаотической системе может случиться почти все что угодно. Если наша глобальная метеорологическая система содержит подсистемы, ведущие себя в соответствии с теорией хаоса, то чем более удаленное будущее мы предсказываем, тем вероятнее, что мы наткнемся на такую подсистему. Таким образом, непредсказуемые погодные явления будут всегда: гром всегда сможет грянуть среди ясного неба. Теория хаоса показала нам, что в долгосрочной перспективе погода непредсказуема. Поэтому, хотя за последние сто лет средняя температура на поверхности Земли возросла довольно значительно, мы не можем утверждать с абсолютной уверенностью, что потепление будет продолжаться, – возможно, вместо этого в дело вмешается новый ледниковый период. Лучше использовать теорию хаоса другим образом – изучая различные возможные сценарии и пытаясь вычислить вероятность их осуществления.

Вдали от хаотического состояния мы можем вычислить с достаточно высокой точностью, следует ли, например, ожидать потепления или похолодания, грозы или солнца. Но когда система становится хаотической, может случиться все что угодно.

Вполне возможно, что теория хаоса предлагает хорошую модель неких основополагающих принципов природы, хотя пока что мы не знаем, как сформулировать эти принципы и определить область их применимости. В следующей главе я опишу один общий принцип, который может стать теоретической основой некоторых типов хаотических явлений, но сперва давайте рассмотрим множество областей, к которым могут быть применимы различные модели теории хаоса.

Хаос в мозге и в сердце

Мы видим в природе, что некоторые системы работают в соответствии с ньютоновской картиной мира: малые изменения причин порождают лишь малые изменения следствий. Но есть и такие системы, правила существования которых лучше описываются теорией хаоса. Именно это я и имел в виду, когда говорил, что к некоторым природным явлениям применимы законы Тихонии, а к некоторым другим – законы Диконии (могут существовать и такие явления, к которым неприменимы ни те ни другие законы, – но здесь я их не рассматриваю). Чтобы увидеть такие системы в действии, нам достаточно заглянуть внутрь самих себя.

По данным недавних исследований, бессознательное человека, возможно, работает более или менее в соответствии с моделями теории хаоса[78]. Меня забавляет, когда кто-нибудь из моих студентов-психологов пытается анализировать свое собственное бессознательное, проявляя зачатки профессиональной компетенции, но в то же время показывая, что понимает иные концепции лишь отчасти. «У меня случилась бессознательная оговорка». «Я вдруг понял, что неосознанно хочу…» Эти студенты забывают, что мы называем бессознательное бессознательным именно потому, что мы его не осознаем. А если к бессознательному действительно можно применить теорию хаоса, то мы никогда не сможем полностью осознать его.

Здоровое человеческое сердце по сути дела относится к миру Тихонии, и его патологическое состояние можно обнаружить при появлении на электрокардиограмме хаотических элементов. С другой стороны, здоровый мозг явно принадлежит к миру Диконии. Электроэнцефалограммы, отражающие электрическую активность мозга, показали, что один из компонентов мозговых волн с очень хорошей точностью моделируется хаотической динамической системой[79]. Эти волны «регулярно хаотичны», то есть они регулярно бывают абсолютно иррегулярными. Однако при некоторых заболеваниях такие флуктуации исчезают до такой степени, что их отсутствие может быть использовано в качестве диагностического индикатора – например, для предсказания склонности к эпилепсии.

Режимы работы сердца и мозга обладают настолько разительными фундаментальными различиями, что эти органы стали символами двух противоположных типов поведения. Мы считаем, что эмоции хаотичны и диктуются сердцем, и в то же время верим, что наш мозг работает стабильным и предсказуемым образом. Теория хаоса говорит, что наши взгляды на эти органы следует изменить на диаметрально противоположные. Хотя Библия и призывает «наклонить сердце твое к размышлению»[80], сегодня мы знаем, что размышление происходит вовсе не в сердце. Но у науки на осознание этого факта ушло неимоверно много времени. Именно этому вопросу – «Голова или сердце?» – посвятил свой последний крупный эксперимент великий французский физик Антуан Лоран Лавуазье.

Лавуазье был не только ученым, но и аристократом, и в дни Французской революции этот статус пришелся не к месту и стоил ему головы. В 1794 году его судили, приговорили к смертной казни и отправили на гильотину в числе двадцати восьми fermiers généraux, «генеральных откупщиков», разбогатевших на сборе податей от имени короля. Узнав о приговоре, он понял, что ему предоставляется уникальная возможность, шанс дать окончательный ответ на один из величайших неразрешенных вопросов физиологии: где находится вместилище воли – в мозге или в сердце? Не следует относиться к этому вопросу с высокомерием, основанным на наших нынешних знаниях: сейчас-то мы знаем, что мозг занимается мышлением, а сердце перекачивает кровь. Но тогда многие признаки указывали на то, что органом воли может быть именно сердце. Например, когда мы страстно хотим чего-нибудь, мы ничего не ощущаем в голове, но можем чувствовать, как сердце терзается желанием.

Лавуазье запланировал следующий эксперимент: после отделения головы от тела он собирался моргать до тех пор, пока был на это способен. Если бы оказалось, что голова может моргать без посредства сердца, это доказало бы, что вместилищем воли является мозг. Чем дольше ему удавалось бы моргать, тем убедительнее было бы доказательство того, что воля к морганию проистекала только из его головы. Он поручил ассистенту вести подробную запись происходящего и опубликовать результаты эксперимента под именем Лавуазье. На гильотину он взошел с радостью, сознавая, что ему предстоит сделать еще одно важное дело во имя науки. И разумеется, после того как голова Лавуазье была отделена от тела, она продолжала непрерывно моргать в течение пятнадцати секунд. Другие источники говорят о двадцати секундах, третьи называют целых тридцать.

Я много где встречал эту историю. Можно предположить с почти абсолютной уверенностью, что в ней нет ни слова правды. Это пример того, что позднее стали называть городской легендой. Не существует никаких свидетельств того, что ассистент Лавуазье выпустил такую публикацию. Никто из очевидцев казни не упоминает о моргании. В университетских курсах нет ни следа упоминания о таком эксперименте. Уж во всяком случае, он не входит в нынешние учебные программы, хотя сейчас у нас есть гораздо более убедительные (и менее жуткие) доказательства того, что вместилищем воли, как и мышления вообще, является именно мозг. Но даже если все было совсем не так, эта история иллюстрирует долгий путь к открытию того факта, что наша способность к логическому мышлению связана с хаотической составляющей мозговой деятельности, которая существует, по-видимому, только у вида Homo sapiens. Тем не менее наша память относительно достоверна, наша личность изменяется медленно и лишь в редких случаях резко, и мы способны мыслить более или менее связно. Как же увязать стабильность, необходимую для всего этого, с хаосом, царящим в нашем мозге?

Простота хаоса

Хаос в том смысле, в котором используют это слово математики и физики, никоим образом не исключает возможности стабильности. Более того, он даже гарантирует некоторые виды стабильности, хотя и не в том смысле, который знаком нам по повседневной жизни.

Математики и физики считают систему хаотической, если она обладает следующими тремя свойствами:

1. Состояние системы определяется малым числом переменных (от пяти до десяти), причем очень простым образом.

2. Система чрезвычайно чувствительна к малым изменениям начального состояния.

3. На некотором этапе развития система оказывается сколь угодно близка ко всем состояниям, которых она теоретически может достичь, хотя и не обязательно достигнет каждого из возможных состояний.

Как и все математические утверждения, эти три условия изложены здесь слишком сжато, чтобы их можно было понять без дальнейших объяснений. Рассмотрим их несколько подробнее, чтобы понять, что можно считать хаосом, а что нельзя.

Первое условие отражает то наблюдение, что даже очень простые уравнения могут иметь чрезвычайно сложные решения. Примером такой ситуации служит двойной маятник: хотя его движение можно описать тремя простыми уравнениями, маятник может двигаться по чрезвычайно сложной траектории. Суть математического хаоса в том и заключается, что он может быть порожден необычайно простыми, и даже полностью детерминированными, условиями.

Второе условие – это другая формулировка «эффекта бабочки». Отличительным свойством хаотических систем является то обстоятельство, что малые отклонения, как правило, не сглаживаются, а усиливаются системой. Поэтому даже при наличии уравнений движения хаотической системы (например, двойного маятника) мы не можем предсказать, в какое состояние эта система в конце концов придет, потому что в системах реального мира невозможны абсолютно точные измерения и любые начальные значения, которые мы вводим в уравнения движения, неизбежно отличаются – пусть даже на ничтожно малую величину – от значений истинных, а даже мельчайшие отклонения начальных значений порождают по мере развития системы огромные различия.

Третье условие говорит нам, что хаос не равен полному беспорядку. Случайный шум – например, радиопомехи или возмущения воды в бурной реке – не есть хаотическая система. Радиопомехи абсолютно случайны, в хаосе же нет ничего случайного. Хаос кажется в высшей степени иррегулярным, но далеко не все то, что кажется «хаотичным», действительно хаотично. Третье условие добавляет и еще кое-что. Когда двойной маятник качается, его траектория оставляет на бумаге плотный клубок каракулей и рано или поздно подходит сколь угодно близко ко всем точкам, которых она может достигнуть. Но при этом эта траектория подчиняется простому принципу конструкции маятника; в ней нет ничего случайного! Таким образом, третье условие означает также, что хаотическая система в конце концов заполняет все предоставленное ей пространство, в том смысле, что в области действия системы нет ни одного участка, на который система рано или поздно не проникнет, каким бы малым он ни был. В некотором смысле можно сказать, что хаос осуществляет принцип, утверждающий, что природа не терпит пустоты.

В таком, формальном, смысле слова хаос не есть состояние полной неразберихи. Именно в этом на самом деле и состоит его суть: система, проявляющая хаотические с математической точки зрения свойства, выглядит хаотической, но подчиняется простому набору правил. Существуют структуры и еще более сложные, чем хаос. Я только назову их: броуновское движение, турбулентность, вихревое течение. Эти в высшей степени сложные структуры не считаются хаотическими. Возможно, самое интересное свойство хаоса – это его теоретическая простота.

Математики и физики часто испытывают неприязнь к чрезмерно сложным системам, в особенности потому, что даже простые системы часто бывают неразрешимыми. У природы такой неприязни не бывает. Природа ничего не пытается решить. В природном мире объекты просто возникают в соответствии с законами физики, химии и биологической эволюции, и природа решает, какие из них в итоге выживут, а какие – исчезнут, не спрашивая, не слишком ли сложной оказалась та или иная структура.

Структура человеческого мозга в значительной степени определяется информацией, закодированной в ДНК, и, хотя наш мозг содержит гораздо больше переменных, чем те пять или десять, которых требует первое условие хаоса, тем не менее в самом мозге этих переменных заключено на много порядков меньше, нежели в том количестве информации, что необходимо для его описания. Природа истолковывает первое условие в гораздо более крупном масштабе, чем математики и физики, и тысячи генов, в которых закодированы правила, необходимые для построения мозга человека, – это, по меркам природы, «небольшое» число переменных. Можно представить себе, как естественному отбору удалось создать столь невероятно сложную структуру, определенную таким сравнительно небольшим числом переменных, даже если математиков или физиков перспектива работы с таким огромным их количеством привела бы в ужас.

По-видимому, для возникновения человеческого мозга со всеми его высшими когнитивными функциями была необходима возможность действия хаоса. Это не значит, что законы хаоса должны были быть закодированы в нашей ДНК – точно так же, как животному для поддержания равновесия не требуется, чтобы в его мозге была закодирована гравитационная постоянная. Но законы физики – часть природной окружающей среды, и организмы развиваются с учетом ограничений, которые налагают эти законы, и возможностей, которые они предоставляют.

Может быть, человек – единственное животное, мозг которого способен применять законы хаоса в когнитивных процессах. Электроэнцефалограммы показывают, что люди мыслят непрерывно, даже во сне. Насколько нам известно, никакое другое животное этого не делает. Даже у наших родственников, человекообразных обезьян, есть периоды нулевой активности даже в бодрствующем состоянии, и в такие периоды для активизации их высших мозговых функций требуется внешний стимул. Непрерывная мозговая деятельность человеческого мозга обеспечивает возможность долговременного хаотического поведения, которое, по-видимому, и является определяющей составляющей человеческого мышления.

Наука хаоса

Одним из основных побудительных мотивов развития математики было стремление найти более удобные способы вычислений, и за последние десять тысяч лет поиски таких способов приводили к появлению все более замысловатых вычислительных средств и алгоритмов. Но даже умнейшие из математиков могут оказаться бессильны перед лицом человеческой иррациональности. Например, Ньютон писал в 1720 году, когда потерял 20 000 фунтов (огромное состояние по тем временам) на фондовой бирже: «Я могу исчислить движение небесных тел, но не безумие человека»[81].

Начиная с глубокой древности математики спорили также о природе тех объектов, которые изучает математика, – например, чисел и геометрических фигур. Еще в V веке до нашей эры пифагорейцы открыли иррациональные числа, и древнегреческие геометры спрашивали, можно ли разделить произвольный угол на три равные части при помощи только неразмеченной линейки и циркуля. Эта задача оставалась нерешенной до XIX века, пока не были разработаны более современные математические теоремы, при помощи которых была доказана невозможность такого построения[82].

Хотя решение задачи о трисекции угла заняло целых два тысячелетия, математики продолжали твердо верить, что любую математическую задачу, которую можно поставить, рано или поздно удастся и решить, а любая вычислительная задача, которую можно рассчитать в теории, в конечном счете должна оказаться рассчитанной и на практике. Возможно, именно поэтому результаты, полученные Пуанкаре в области теории хаоса, остались в свое время настолько мало замеченными. Но теорема Гёделя уничтожила идею о том, что математика может решить любую задачу, которую математики могут сформулировать. Когда стало ясно, что математика не способна произвести любой расчет и доказать или опровергнуть любое утверждение, которое может быть в ней сформулировано, математики заинтересовались исследованием пограничных областей своей дисциплины. Что именно невозможно вычислить или предсказать? Может ли математика сказать что-либо интересное о таких объектах, за исключением того, что они неисчислимы и непредсказуемы?

До сих пор мы по большей части видели в этой главе негативные аспекты хаоса – те объекты, которые он объявляет неисчисляемыми и непредсказуемыми. Однако, хотя мы не можем предсказать будущего состояния хаотической системы, иногда появляется возможность вычисления вероятности того, что она придет в одно, а не другое состояние. Такое вычисление дает своего рода теоретическое решение, но оказывается, что сама природа хаотических систем делает невозможным сколько-нибудь точное предсказание наступления экстремальных событий.

Тут важно помнить, что теория хаоса занимается не беспорядком, случайностью или путаницей, а точно определенным типом кажущегося беспорядка. Именно так работают точные науки: при любой возможности они стремятся сосредоточиться на простых вопросах – таких, на которые можно ответить, поставив эксперимент, – оставляя по-настоящему масштабные и трудные задачи на долю тех, кто приобретает знания другими способами. Точные науки избегают вопросов вроде «В чем смысл жизни?», «Почему существует материя?» или «Что есть абсолютная гармония мира?», а вместо них задают вопросы более прозаические: «С какой скоростью скатывается по наклонной плоскости шарик?», «По какому маршруту циркулирует в организме кровь?», «Как размножаются животные?» или «Почему мякоть яблока, если ее расковырять пальцем, становится коричневой, а мякоть апельсина – нет?» К слову, именно последний вопрос, вроде бы взятый с потолка, привел венгерского ученого Альберта Сент-Дьёрдьи к открытию витамина С.

То, как сформулирована теория хаоса, делает ее достаточно простой для применения в естественно-научных изысканиях, а масштаб спектра явлений, которые она описывает, обеспечивает возможность широкого применения результатов таких изысканий. Отвечая на такие узкие, банальные с виду вопросы, ученые умудряются приходить к чрезвычайно общим выводам. Например, закон сохранения материи и энергии вполне мог появиться в писаниях мистиков или философов или найти выражение в произведениях искусства. Эти методы познания мира действительно привели к осознанию законов сохранения, хотя и не с такой щепетильной точностью, с какой их сформулировала наука. Отличительная особенность точных наук состоит в том, что мы знаем не только то, что знаем, но и то, как именно мы пришли к этому знанию.

Теория хаоса привела к открытию масштабной инвариантности – принципа не менее общего и изящного, чем закон сохранения материи и энергии.

8 Масштабная инвариантность

Сколько раз я жалел, что у моих очков нет телефонного номера!

На илл. 14 показан обменный курс фунта стерлингов к доллару за разные временные интервалы в течение 2012/13 бюджетного года. При первом же взгляде на графики бросается в глаза, что я не отметил на оси абсцисс даты и время, а на оси ординат не указал масштаб. Можно ли сказать, на каком графике показана история курса за пять минут, а на каком – за час, за сутки и за неделю? Чтобы не лишать вас удовольствия, я не стану приводить здесь ответы на эти вопросы; их можно найти в конце книги[83]. Не огорчайтесь, любезный читатель, если вам не удается понять, какому временному отрезку соответствует какой график. Этого не могут сказать даже самые прославленные гуру фондового рынка.

Самоподобие

Тот факт, что графики состояния финансового рынка выглядят одинаково на всех временных масштабах, привлек внимание Бенуа Мандельброта, с которым мы уже встречались в главе 6. Он захотел узнать, в чем тут дело – есть ли что-то, чего не замечают эксперты, или же различить эти графики действительно невозможно.

Илл. 14. Обменный курс фунта стерлингов к доллару. Которая из кривых построена на пятиминутном масштабе? А на часовом? На суточном? На недельном?

(Графики Йожефа Бенце)

Если бы на четырех графиках, приведенных на илл. 14, было показано соотношение между британским фунтом и британским же пенсом – или американским долларом и американским центом, – тогда именно по той причине, что эти соотношения никогда не изменяются, графики выглядели бы как горизонтальные прямые линии, и невозможность определения временной шкалы никого бы не удивила. Но обменные курсы, изображенные на графиках, подвержены сильным колебаниям, и разумно было бы ожидать, что у этих колебаний имеется своего рода временной ритм, такой, что изменения в течение минуты и изменения в течение недели сильно отличаются друг от друга. Но на деле они оказываются пугающе похожими.

Для разработки модели такого графика Мандельброт хотел найти математический объект, масштабно-инвариантный не только на практике – так сказать, на вид, – но и в теории. Один такой объект, очевидно, существует – это прямая линия. Но есть ли другие, нетривиальные (как сказал бы математик) примеры таких объектов? Если их не существует, то значит, в кривых поведения фондового рынка таится нечто еще не открытое, что когда-нибудь позволит нам определять временной масштаб рыночного графика. Такое знание привело бы нас к ценным новым открытиям в природе финансовых рынков.

Если мы ищем не строгого математического самоподобия, а просто хотим найти объекты, выглядящие одинаково в разных масштабах, то природа предлагает нам несколько примеров. Например, у папоротника крупные листья, каждый из которых содержит множество более мелких листьев, кажущихся идентичными, а каждый из них содержит множество еще меньших листьев, кажущихся идентичными, и так далее (илл. 15). В какой-то момент это самоподобие нарушается: отдельные клетки папоротника выглядят как обычные растительные клетки, а не как листья папоротника.

Илл. 15. Самоподобный папоротник

Илл. 16. Мозаика VII века из базилики Санта-Мария-ин-Козмедин в Риме

(Фото Франческо де Комите; воспроизводится по лицензии . org/licenses/by/2.0/legalcode)

Илл. 17. Четвертая итерация треугольника Серпинского

(Чертеж Йожефа Бенце)

Можно найти такие примеры и в искусстве. На илл. 16 показана мозаика из базилики Санта-Мария-ин-Козмедин, римской церкви VII века. Исходя из той же идеи треугольников, заключенных внутри треугольников, польский математик Вацлав Серпинский открыл истинно самоподобный математический объект, который можно получить за бесконечное число итераций, последовательно вырезая из треугольников треугольные фрагменты. На илл. 17 показана четвертая итерация этого процесса.

Другие истинно самоподобные математические построения были открыты еще в конце XIX века, но до Мандельброта их в основном считали всего лишь занятными диковинами. Мандельброт назвал такие объекты «фракталами», и мы вскоре поймем, что он имел в виду.

Фракталы

В конце 1970-х годов Мандельброт работал в Исследовательском центре имени Томаса Джона Уотсона, входившем в состав компании IBM, и, следовательно, имел доступ к высокопроизводительным (по тем временам) средствам компьютерной графики. В 1980 году он написал программу для отображения объекта, представленного на илл. 18, который стал известен под названием множества Мандельброта. Это множество, а точнее его граница, определяется при помощи сравнительно простой формулы, и кривые, образующие эту границу, оказываются масштабно-инвариантными. В каком бы месте мы ни увеличили изображение, оно выглядит так же, как исходная фигура. Определить, с каким увеличением мы рассматриваем это множество, невозможно. В интернете можно найти очень эффектные анимации глубокого «погружения» в множество Мандельброта, в которых исходная форма снова и снова возникает по мере укрупнения масштаба, подтверждая самоподобие этого объекта[84].

Илл. 18. Множество Мандельброта (левое верхнее изображение) и последовательное (по часовой стрелке) увеличение центра фигуры. Каждое следующее увеличение производится с изменением масштаба в несколько миллиардов раз

Нечего и говорить, что границы множества Мандельброта – это не обычная кривая, подобная дуге окружности или даже какой-нибудь фантастически изогнутой линии. На самом деле это вообще не одномерная кривая. Однако она и не двумерна, потому что не покрывает никакого целого сегмента двумерной плоскости. Она простирается подобно клочковатому облаку. Если такой кривой потребуется присвоить размерность, та должна быть неким числом, находящимся между единицей и двойкой. Такая «дробная» (от англ. fraction – «дробь») размерность и побудила Мандельброта назвать множества этого типа фракталами[85].

В интернете можно найти множество изображений этих замечательных объектов, а также программ для их создания, и я горячо рекомендую читателю их исследовать. Хотя генераторам фракталов требуется всего несколько параметров, они создают необычайное богатство форм. Одно из представлений фрактала мы видели на илл. 8, а еще два показаны на илл. 19. Они созданы самым простым из возможных способов, с использованием только лишь фрактального генератора неспециализированного графического редактора Photoshop. При помощи генераторов фракталов можно обогащать изображения, делая их еще более зрелищными и выявляя скрытые в них регулярности и симметрии.

Илл. 19. Фракталы, сгенерированные в программе Photoshop

(Автор изображения – Вера Мерё)

Масштабная инвариантность как закон природы

Мандельброт обнаружил, что графики поведения финансовых рынков имеют многие из свойств фрактальных кривых. Это обстоятельство позволило ответить на вопрос о возможности определения масштаба графиков финансового рынка. Если они фрактальны и, следовательно, самоподобны во всех масштабах, это означает, что специалисты по финансам не упускали из виду какой-нибудь тонкости, которая позволила бы им определять масштаб таких графиков. Если графики действительно самоподобны, для этого попросту не существует даже теоретической возможности. По-видимому, финансовые рынки масштабно-инвариантны по самой своей природе.

Параметры фрактала определяют ход его развития при генерировании – так же как начальное состояние двойного маятника определяет его траекторию. В случае маятника мы видели, что малые изменения параметров порождают гигантские различия в траектории. Происходит ли то же самое с фракталами? Насколько чувствительно их развитие к начальным условиям? Как мы увидим дальше, ответ на этот вопрос – «чрезвычайно чувствительно».

Хотя исходно Мандельброт разработал концепцию фракталов для моделирования поведения финансовых рынков, вскоре он начал подозревать, что фракталы могут быть в природе не исключением, а правилом. Например, береговые линии образуют зигзаги произвольной формы, весьма напоминающие кривую средних значений индекса Доу – Джонса за прошлую неделю; иногда от них отходят острова, похожие на клочковатые облака. На расстоянии их изрезанные контуры кажутся четко определенными, но чем больше мы к ним приближаемся, тем виднее становятся все более многочисленные замысловатые извивы, и в конце концов исчезает почти всякая возможность сказать, находится ли та или иная конкретная точка – камешек или песчинка – в море или на берегу. На самом деле береговые линии так же фрактальны, как границы множества Мандельброта.

Первые мысли Мандельброта о фракталах были изложены в его статье 1967 года под названием «Какова длина побережья Великобритании? Статистическое самоподобие и фрактальная размерность» (How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension)[86]. В ней он описывает так называемый «парадокс береговой линии» – тот факт, что результат измерения длины береговой линии становится тем больше, чем более короткая линейка используется для измерений, потому что такая линейка позволяет измерить большее количество изгибов и зигзагов. Разумеется, к сходному выводу можно прийти, даже измеряя длину простой дуги окружности, но там увеличение измеренной длины с уменьшением длины линейки имеет фиксированный предел, который мы и называем длиной дуги. То же справедливо и в отношении других обычных кривых, но не фрактальных линий, длина которых расходится до бесконечности. В той мере, в какой береговая линия подобна фракталу, она содержит, по существу, бесконечное количество отрезков, доступных измерению, – и больших, и малых. Мандельброт показал, что ни точно определить береговую линию Великобритании, ни точно измерить ее длину невозможно. У нее нет длины – так же, как у распределения Коши, что показала нам наша подруга Фиби, нет стандартного отклонения. Таким образом, фракталы, как и распределение Коши, приводят нас в Диконию.

Это явление настолько вдохновило Мандельброта, что он начал коллекционировать примеры фрактальных явлений в природе. При этом он обнаружил: стоит понять, что именно ты ищешь, и ты встречаешь это практически повсюду. Как мы уже видели, листья папоротника похожи на фракталы; то же можно сказать о разветвленных системах кротовых туннелей. Подобны фракталам и горные вершины, и снежинки, и облака, и границы норвежских фьордов. Даже человеческий мозг можно считать сложным фракталом. По итогам всех этих наблюдений в 1983 году Мандельброт опубликовал книгу под названием «Фрактальная геометрия природы» (The Fractal Geometry of Nature).

Фракталы заинтересовали и психологов. Они провели исследования, чтобы выяснить, какого рода изображения (пейзажи и абстрактные картины) кажутся нам красивыми, и один из неизменных результатов этих исследований сводился к тому, что нас привлекают изображения, подобные фракталам[87]. Возможно, это связано вот с чем: мы настолько окружены фракталами, что эти изображения кажутся нам более знакомыми, чем фигуры более традиционной геометрии. Удивительно, что психологам понадобилось столько времени на открытие этого факта – ведь фракталы буквально на каждом шагу!

Изображения фрактального типа – подобные упомянутому выше «треугольнику Серпинского» – мозаике VII века – существуют в искусстве издавна. Можно еще упомянуть «пламенеющие» арки и ажурные переплетения готической архитектуры, в которых, как и во многих произведениях современной живописи, в некоторой мере проявляется самоподобие. Однако за годы, прошедшие с тех пор, как программы для генерирования фракталов стали широко доступны, появился целый новый жанр изобразительного искусства, в котором фракталы используются осознанно. На илл. 20 изображена «оболочка Мандельброта» (Mandelbulb), созданная Дэниелом Уайтом и Полом Ниландером на основе трехмерного варианта множества Мандельброта.

Илл. 20. Оболочка Мандельброта

(Авторы изображения – Дэниел Уайт и Пол Ниландер)

Фракталы активно используются современными художниками, работающими в области компьютерной графики. Каждый холм и каждое облако в вашей любимой видеоигре построены алгоритмом генерирования фракталов, создающим реалистичные изображения. Самоподобие встречается даже в литературе: последний, связывающий, сонет (магистрал) в классическом венке состоит из первых стихов предыдущих четырнадцати сонетов. В музыке существует фуга, в которой самоподобие выражается в повторяющемся возникновении одной и той же темы. В ней же есть и масштабная инвариантность, проявляющаяся в увеличении и уменьшении, когда тема воспроизводится с большей (увеличенной) или с меньшей (уменьшенной) длительностью нот, в сжатии (стретто), когда голос, имитирующий тему, вступает еще до того, как завершился предыдущий, и в инверсии, когда тема повторяется в зеркальном отражении.

Самоподобие может приносить огромную пользу инженерам, потому что одна и та же конструкция может быть использована для изготовления механизма, выполняющего некую функцию на всех возможных масштабах. Однако тут сразу же возникают трудности, например, в связи с тем, что при увеличении размеров абсолютно одинаковых трехмерных объектов отношение их объема к площади поверхности не остается неизменным. Это может вызвать нарушения структурной или термодинамической устойчивости. С другой стороны, природа ничего не конструирует. Она просто лепит наугад, и выживает то, что выживает.

Если бы мы открыли закон, из которого следовало бы, что все на свете стремится к достижению максимальной масштабной инвариантности, это было бы большим шагом к пониманию того, как в природном мире возникают структуры невероятной сложности. Из этого вытекало бы, что вещи становятся масштабно-инвариантными не из-за некоего конкретного конструктивного принципа, определенного именно их собственной историей, но в соответствии со всеобщим законом. Если бы такой, ранее не известный, всеобщий руководящий принцип был найден, честь его открытия можно было бы приписать Мандельброту. Но если такой принцип и существует, мы знаем очень мало о механизме его работы и еще менее способны определить область его применимости.

Масштабно-инвариантный хаос

Хаос и масштабная инвариантность неразлучны. Единственное очевидное и тривиальное исключение из этого правила составляет отрезок прямой. Все остальные масштабно-инвариантные объекты обладают всеми тремя характеристиками хаоса, сформулированными в предыдущей главе:

1. Система должна быть определена малым числом переменных. Например, множество Мандельброта определяется очень простым уравнением с одной-единственной комплексной переменной, и даже оболочка Мандельброта, изображенная на илл. 20, определяется всего тремя переменными. Если мы используем элемент случайности для увеличения богатства формы, это добавляет всего одну дополнительную переменную. Более сложные фракталы определяются бо́льшим числом уравнений, но это число обычно находится в промежутке от пяти до десяти. Однако даже фракталы, созданные с использованием гораздо большего количества переменных, могут проявлять хаотическое поведение, как мы видели на примере человеческого мозга: он создается из тысяч генов и проявляет хаотические черты.

2. Система должна быть чрезвычайно чувствительна к малым изменениям начального состояния. В случае фракталов начальное состояние выражается уравнениями, определяющими фрактал. И действительно, малейшие изменения параметров этих уравнений изменяют вид фрактала самым радикальным образом.

3. В какой-то момент своего развития хаотическая система должна оказываться сколь угодно близко ко всем состояниям, которых она теоретически может достичь. В той области плоскости или трехмерного (или многомерного) пространства, в которой фрактал определен, он плотен в том же смысле, в котором плотно облако: он не заполняет все точки, как твердое тело, но приближается ко всем точкам своей области определения. Любые точки этой области, не принадлежащие фракталу, сколь угодно близки к точкам, которые ему принадлежат.

Свойственна фракталам и непредсказуемость хаоса. Если взять случайную точку на плоскости и спросить, принадлежит ли она данному фракталу, не существует универсального способа найти ответ на этот вопрос. В это, может быть, трудно поверить, так как фрактал определяется несколькими уравнениями и теоретически мы должны быть способны определить, принадлежит ли та или иная точка множеству их решений. Но Гёдель говорит: если окажется, что нам это не под силу, ничего удивительного в этом не будет. В случае двойного маятника мы можем проследить его траекторию исходя из начального состояния, и если эта траектория пройдет через нашу случайно выбранную точку, то мы сможем заключить, что точка действительно лежит на траектории. Но если маятник не пройдет через эту точку, мы никак не можем предсказать, пройдет ли он через нее когда-нибудь в дальнейшем.

То же справедливо и в отношении фракталов: единственный способ определить, принадлежит ли та или иная точка данному фракталу – это продолжать решение соответствующих уравнений на компьютере. Если компьютер нарисует именно ту точку, которую мы выбрали, то можно быть уверенным, что она принадлежит фракталу. Но до того, как это случится, мы не будем иметь никакого понятия, случится ли это когда-нибудь. Следовательно, если точка все же не принадлежит фракталу, мы никогда об этом не узнаем, как бы долго ни работал наш компьютер.

Хотя все фракталы хаотичны, не всякое хаотическое явление имеет фрактальную структуру. Например, траектория двойного маятника хаотична, но фракталом не является. Однако верно, что фракталы – это наиболее часто встречающиеся проявления хаоса в природе. Иными словами, хаос обычно проявляется в природе в масштабно-инвариантном виде. Разумеется, в этом не было бы ничего удивительного, если бы оказалось, что Мандельброт на самом деле выявил некий доселе неизвестный принцип, справедливый в очень широком диапазоне условий. Масштабная инвариантность может быть тем способом, который дает природе возможность экономичного построения объектов с чрезвычайно богатой структурой. Также может быть, что масштабная инвариантность – это реальное проявление свойственной природе нетерпимости к пустоте. За исключением тривиального случая отрезка прямой, масштабная инвариантность автоматически порождает хаос, а хаос, как мы видели в предыдущей главе, не терпит пустоты – в том смысле, что он плотно заполняет всю свою область определения. На нашем нынешнем уровне знаний все это – лишь умозрительные догадки, но мы точно знаем одно: масштабная инвариантность и сопутствующий ей хаос встречаются в природе повсеместно.

Безмасштабные сети

Хотя самоподобие интересовало Мандельброта в первую очередь как геометрическое явление, масштабная инвариантность оказалась концепцией гораздо более общего толка. Одним из наиболее плодотворных ее приложений стало открытие безмасштабных сетей, которые прославил во всем мире американский физик венгерского происхождения Альберт Ласло Барабаши в своем бестселлере «Связанное» (Linked).

С точки зрения математиков и физиков, сеть есть структура, состоящая из набора узлов (вершин), некоторые – но не обязательно все – из которых соединены между собою ребрами. Сети могут служить представлением самых разных взаимоотношений. Например, чтобы проиллюстрировать личные отношения в некой группе людей, можно изобразить каждого человека в виде вершины, а наличие ребра, соединяющего две вершины, будет показывать, что эти люди знакомы друг с другом. Нейроны мозга также образуют сеть; некоторые из них соединены друг с другом, другие – нет. Еще одну сеть – так называемый веб-граф – образуют интернет-страницы. Две страницы соединены ребром, если одна из них содержит ссылку на другую. Также можно построить сеть научно-исследовательских публикаций, в которой связи между узлами будут изображать цитирование одной работы в другой. Авиационные маршруты тоже образуют сеть; ее узлы – города, и между двумя городами существует ребро, если эти города соединены беспересадочными рейсами. Важное открытие, сделанное Барабаши и группой его коллег, состояло в том, что сети, встречающиеся в природе, как и социальные сети, по большей части масштабно-инвариантны, так же как по большей части масштабно-инвариантны природные хаотические системы.

Некоторые сети обладают определенной асимметрией. Например, если в сети научных статей в статье В цитируется статья А, то, по всей вероятности, в статье А не цитируется статья В (поскольку статью В, в общем случае, должны были опубликовать после статьи А). Следовательно, ребро, соединяющее узлы А и В, имеет направление. Такие сети называют ориентированными, а их ребра и узлы могут быть входящими или исходящими. Аналогичным образом в сети авиационных маршрутов может существовать прямой рейс из Алтуны в Поттсвиль, а вот прямого рейса из Поттсвиля в Алтуну может и не быть: тогда в сети есть ребро, идущее из вершины Алтуны к вершине Поттсвиля, но нет ребра, идущего в противоположном направлении.

Масштабная инвариантность сетей похожа на масштабную инвариантность геометрических фигур: любая часть сети выглядит более или менее похожей на другую, подсети выглядят как целая сеть, а подподсети – как те подсети, в которых они находятся, так что сказать, в каком масштабе мы рассматриваем сеть, невозможно. При рассмотрении сетей в другом масштабе, в котором узлами становятся не отдельные люди, а города и страны, ее внешний вид изменяется незначительно.

Безмасштабные сети обладают интересными свойствами, которые не обнаруживаются в большинстве других сетей. Например, безмасштабные сети отличаются весьма высокой плотностью в следующем смысле: до каждой пары узлов можно добраться по сравнительно короткому маршруту. Скажем, по имеющимся оценкам считается, что любых двух человек на Земле можно соединить цепочкой из шести или менее знакомых. Интернет также образует очень большую сеть, а именно сеть ориентированную; на каждых двух человек на Земле в нем приходится приблизительно по одной странице. Также и в этом случае почти до любой страницы можно добраться с любой другой страницы не более чем за двадцать переходов по ссылкам. Разумеется, могут существовать как маленькие группы людей, не имеющих знакомых вне своей группы, так и страницы, на которые не ведут никакие входящие ссылки. Хотя до таких «островков» действительно невозможно добраться извне, сказанное выше относительно связности справедливо для подавляющего большинства страниц в интернете.

Другая особенность безмасштабных сетей состоит в том, что по сравнению с сетями «нормальными» они содержат относительно большое число узлов, количество входящих и исходящих соединений в них намного превышает среднее, а большинство их узлов имеют сравнительно мало соединений. Именно через такие «концентраторы», наделенные множеством связей, в безмасштабной сети передается бо́льшая часть информации. Если мы хотим распространить какую-либо информацию по безмасштабной сети, прежде всего следует найти один из «концентраторов». В социальных науках их обычно называют «лидерами мнений», или «неформальными лидерами». У некоторых приматов эту роль часто играют старые самки, в обязанности которых входит так называемый «груминг» (вычесывание паразитов) всей группы; переходя от одного члена группы к другому, они распространяют информацию. В человеческих обществах похожую функцию может выполнять почтальон или парикмахер[88].

Особенно интересный случай безмасштабной сети представляет собой одна из возможных моделей того, как мы ищем потерянные предметы. Как правило, мы тщательно обыскиваем какой-нибудь определенный участок, перемещаясь при этом очень мелкими шажками. Но через некоторое время мы внезапно уходим из этой точки и начинаем искать совершенно в другом месте, вокруг которого также начинаем передвигаться мелкими шагами. Если нарисовать сеть, узлами которой будут точки, около которых мы ищем, а ребрами – наши переходы между этими точками, мы получим безмасштабную сеть, которую называют «полетом Леви» по имени ее первооткрывателя, французского математика Поля Леви[89].

Предположим, что мы ищем очки или сотовый телефон (хотя на сотовый по меньшей мере можно позвонить, если под рукой есть другой телефон. Сколько раз я жалел, что у моих очков нет телефонного номера!). Если позвонить невозможно, мы ищем телефон тем самым образом, который описал Леви. Безмасштабные полеты Леви применяют также пчелы и альбатросы, олени и ласточки, когда занимаются поисками пищи и, возможно, материалов для строительства гнезда.

Поль Леви описал этот поисковый алгоритм еще в 1930-х годах и доказал, что при некоторых условиях он соответствует оптимальному методу поиска. Дело в том, что эта стратегия минимизирует вероятность повторного осмотра уже пройденных участков и в то же время максимизирует число осматриваемых участков. Таким образом Леви доказал, что масштабная инвариантность может обладать теоретическими и даже практическими преимуществами. Он, правда, не называл это свойство масштабной инвариантностью или самоподобием, потому что в то время эти концепции еще не были открыты. Он просто выявил существование чрезвычайно особого параметра, который к тому же играет фундаментальную роль в науке Диконии.

Мыслительный процесс Леви весьма впечатлил Джона фон Неймана. Мандельброт пишет: «Джон фон Нейман, бывший позднее моим учителем, говорил мне: “Думаю, что теперь я понимаю, как работают все другие математики, но Леви похож на гостя с чужой планеты. Кажется, у него свои, глубоко личные способы постигать истину, и мне от этого становится неуютно”». Что же касается Леви, Мандельброт добавляет: «Впоследствии, когда я рассказал Леви, как развил его идеи и применил их к экономике, он был ошеломлен и, кажется, раздосадован. Он считал, что “настоящие” математики просто не должны заниматься столь прозаическими вещами, как изучение доходов или цен на хлопок»[90].

Элементы, породившие Диконию

Леви проложил путь в царство безмасштабных сетей, решив чисто математическую задачу, но прошло еще целых полвека, прежде чем эта концепция попала в мир естественно-научных исследований. Одна из интересных особенностей безмасштабных сетей состоит в том, что нам довольно хорошо понятен механизм их самопроизвольного возникновения. Альберт Ласло Барабаши и Река Альберт разработали для иллюстрации этого принципа чрезвычайно простую и изящную математическую модель и проверили ее на самых разных сетях реального мира, в том числе на сети голливудских актеров, связанных совместной работой в одних и тех же фильмах, на некоторых частях Всемирной паутины и на сети электроснабжения Соединенных Штатов. В каждом из этих случаев сети следовали предсказаниям их модели с весьма высокой точностью[91].

Представим себе сеть, которая увеличивается шаг за шагом, причем вновь прибывшие предпочтительно соединяются с членами сети, присоединившимися к ней раньше всех; чем раньше человек примкнул к сети, тем больше вероятность, что следующий новичок окажется связан именно с ним. Это означает, что те, кто вошел в сеть раньше, обладают непрестанно растущим преимуществом в отношении числа связей по сравнению с теми, кто присоединился к сети позднее. Барабаши и Альберт доказали, что при некоторых условиях этого простого принципа бывает достаточно для образования безмасштабной сети. Тот же результат получается, когда некоторые элементы сети по какой бы то ни было причине оказываются предпочтительнее других. (К слову, ситуация становится более интересной и более сложной, если учитывать возможность существования сильных и слабых связей, – но здесь я не стану углубляться в этот вопрос.) Этот эффект, благодаря которому предпочтительное присоединение приводит к формированию безмасштабной сети, называется эффектом Матфея по библейскому стиху, гласящему: «…ибо всякому имеющему дастся и приумножится, а у неимеющего отнимется и то, что имеет…» (Мф. 25: 29)[92]. В переводе на более понятный язык это значит, что богатые становятся еще богаче, а бедные – еще беднее.

Помимо эффекта Матфея были обнаружены три других явления, которые могут вносить свой вклад в возникновение безмасштабных сетей[93]. Первое из них – усложнение, которое обычно способствует появлению в сети модульной структуры, что, в свою очередь, может привести к масштабной инвариантности. Второе – процесс накопления, например знаний или капиталов. Третье – интенсивная конкуренция, пример которой можно найти в биологической эволюции, которой случалось приводить к появлению некоторых организмов с причудливыми свойствами. Хотя строгого доказательства, описывающего то, как именно любые из этих составляющих могут привести к возникновению масштабной инвариантности, пока нет, существуют некоторые логические рассуждения в пользу такого влияния, а также интуитивные представления о том, что усложнение, накопление и жесткая конкуренция вносят свой вклад в создание безмасштабных сетей как в природе, так и в человеческом обществе.

Масштабная инвариантность означает хаос: малейшие изменения начальных условий порождают огромные различия в развитии масштабно-инвариантной сети. Именно поэтому мы встречаем чрезвычайно богатое разнообразие природных и социальных сетей, хотя принципы, лежащие в их основе, сравнительно просты.

Сила слабых связей

Еще в 1960-х годах американский социолог Марк Грановеттер исследовал, как люди занимаются поиском работы. Проанализировав сотни интервью и анкет, он обнаружил, к своему удивлению, что в большинстве своем люди находят работу не по газетным объявлениям и не через близких знакомых. Почти в 80 % всех случаев ключом к успеху оказывается человек, с которым соискатель знаком лишь поверхностно. В 1973 году Грановеттер опубликовал свою знаменитую ныне работу, озаглавив ее «Сила слабых связей» (The Strength of Weak Ties)[94]. Эта статья стала крупным «концентратором» в сети публикаций по социологии: ее цитируют около тридцати тысяч раз.

Барабаши выяснил, что это явление не ограничивается областью поисков работы. Более того, оно подчеркивает одно из самых загадочных свойств безмасштабных сетей: почти все многочисленные связи узловой вершины – это связи слабые. Как это ни парадоксально, именно эти слабые связи предотвращают распад сети.

В безмасштабных сетях сильные связи создают островки. Члены такого островка проводят бо́льшую часть времени с другими вершинами того же островка и могут быть почти полностью изолированы от остальной сети. Островки соединены с другими частями сети слабыми связями. В узле, содержащем множество островков, соединенных слабыми связями, именно эти слабые связи удерживают всю структуру в целости, не позволяя сети распасться. Поэтому, как чаще всего наблюдал Грановеттер, найти работу помогают человеку вовсе не близкие друзья. Близкие друзья в основном знакомы с теми же людьми, которых знает и сам соискатель, и в основном советуют поговорить с теми, к кому он уже обращался. Если бы у нас были только сильные связи, мы застряли бы в очень ограниченном мире.

Венгерский биохимик Петер Чермели в течение многих лет изучал белки стресса. Речь идет о белках, образующих одну из самых древних защитных систем организма. Когда какой-нибудь белок сворачивается неправильным образом, белки стресса разворачивают его, предоставляя ему еще одну возможность свернуться правильно. Поскольку белки могут принимать разные трехмерные формы, иногда они сворачиваются таким образом, что не могут выполнять свои функции. Чермели пишет: «Без белков стресса клетка была бы переполнена мусором, белками искаженной формы, вцепившимися друг в друга, как будто настает конец света». Главный вопрос, на который ответил Чермели, был таким: как белкам стресса удается оказаться там, где они нужны? Чермели продолжает: «Первые пять лет я обрушивал [на белки стресса] все то, к чему может прибегнуть биохимик. Я их изолировал, разрезал на части, поджаривал и вымачивал в кислоте, щелочи и радиоактивной жиже. Мне потребовалось пять лет, чтобы понять, что белки стресса не похожи на другие белки… Белки стресса не только скручиваются, но и прилипают, совсем не сильно, но одинаково ко всему»[95].

Как это ни удивительно, ключ к пониманию принципов работы белков стресса нашелся не в биохимии, а в теории сетей. Белки стресса действуют как узлы безмасштабной сети. Эти белки обладают множеством слабых связей. Прочие белки, занятые выполнением своих конкретных физиологических функций, сильно связаны с несколькими другими, с которыми они и выполняют эти физиологические функции, и у них нет ни времени, ни сил на поддержание слабых отношений. Белки стресса подобны старым самкам в обществах приматов, которые вычесывают всю стаю, тем самым поддерживая ее связное единство.

Безмасштабные сети обычно стабилизируются слабыми связями, и стабильность такого типа характерна только для этих сетей. Именно она позволяет им оставаться в какой-то мере постоянными в течение долгого времени, даже если сеть разрастается настолько, что любая вершина оказывается непосредственно связана лишь с пренебрежимо малым участком всей сети. Именно благодаря слабым связям мегаполис с многомиллионным населением может функционировать как согласованное целое. Слабые связи позволяют сотне миллиардов нейронов человеческого мозга формировать логичные мысли. И вполне может быть, что именно слабые связи лежат в основе стремления к масштабной инвариантности как фундаментального принципа природы.

9 Уровни дикости

Существуют вещи более хаотические, чем хаос.

Представим себе, что мы живем в Стране миллиона озер. У нас есть озера разных размеров. Самое большое имеет в ширину 75 км. Ширина второго по величине озера – 45 км, следующего за ним – 30 км. Даже тысячное по размерам озеро имеет в ширину несколько сотен метров. Разумеется, есть и сотни тысяч мелких водоемов, имеющих всего несколько метров в поперечнике, но они нас не очень интересуют[96].

Все наши озера тщательно измерены и нанесены на карту. Мы знаем размеры каждого из них. Однако за границей, в Стране ста миллионов озер, лежит неразведанная территория. Она очень похожа на нашу страну, только в сто раз больше. Мы отправляемся в исследовательскую экспедицию, собираясь пересечь неизвестное озеро в этой неизведанной стране. Из-за тумана мы не видим противоположного берега, но отважно отправляемся в путь в своей маленькой гребной лодке. Мы считаем, что у нас достаточно сил и провизии. Крайне маловероятно, чтобы нам настолько не повезло при выборе озера, что оно окажется шириной 100 км, хотя в такой большой стране могут встречаться озера и крупнее. Зная озера своей родины, мы предполагаем, что даже если озеро окажется сравнительно большим (а это, может быть, и так, потому что мы все еще не можем разглядеть противоположного берега, хотя туман редеет), его ширина тем не менее вряд ли превышает 5 км, и пересечь его будет проще простого.

Идет время: мы проплыли уже 20 км, а противоположного берега все не видно. Слегка упав духом, мы на минуту перестаем грести, чтобы обдумать положение. Сколько нам еще осталось? Если мы настроены настолько пессимистично, что думаем, что мы, возможно, имеем дело с явлением вечной молодости – экстремальным проявлением Тихонии, – то следует ожидать, что нам остается преодолеть то же расстояние, на которое мы настраивались, когда начинали свой поход, – то есть еще 5 км.

Если мы действительно находимся в Тихонии, такая точка зрения будет крайне пессимистичной, потому что в Тихонии вечная молодость не встречается на каждом шагу; очень немногое в этом мире вечно остается молодым. Гораздо чаще тихонские существа стареют. В приложении к нашей ситуации это должно означать, что чем больше мы уже миновали, тем меньше нам, предположительно, остается. Такое положение вещей кажется гораздо более вероятным. Но в Диконии существуют вещи и намного более странные, чем вечная молодость. Если все же окажется, что мы в Диконии, то чем дальше мы уже уплыли, тем больше нам, предположительно, остается проплыть! Такой вариант совершенно не обрадует экипаж нашей маленькой лодки!

Поэтому, не без некоторого трепета, мы начинаем считать. Предположим, что распределение ширины озер в этой стране такое же, как в нашей, только генеральная совокупность их в сто раз больше. Возможно, это распределение уже было диконским, но мы этого не замечали, потому что знали все озера поименно.

По мере того как мы осознаем, что чем дольше мы гребем, тем дольше нам, вероятно, грести, нас охватывает уныние. Например, если бы нам довелось проплыть 30 км по одному из озер родной страны и мы бы все еще не видели противоположного берега, мы заключили бы, что находимся на одном из двух озер – только у двух ширина превышает 30 км. Значит, нам оставалось бы пройти либо 15 км, либо 45. Таким образом, в родной стране нам осталось бы плыть в среднем 30 км, а не пять, как мы предполагали изначально. Мы понимаем также, что в нашей стране это рассуждение справедливо не только в отношении двух крупнейших озер, но и в любой точке маршрута. Рассмотрев все знакомые нам озера, мы с грустью приходим к осознанию общего правила: если мы уже прошли x км, можно ожидать, что нам остается пройти еще x км.

Распределение озер в нашей стране имеет диконский характер в том смысле, что чем больше мы прошли, тем больше нам, вероятно, остается. Следовательно, мы сталкиваемся с ситуацией гораздо худшей, чем экстремальное тихонское явление вечной молодости, не только в таком походе в чужие края, но и – как мы теперь понимаем – у себя дома.

Поскольку географические условия в этой огромной стране, по сути дела, такие же, как в нашей, у нас есть все основания полагать, что и распределение озер в ней выглядит так же, но самих озер гораздо больше. Чем дальше мы ушли, тем большее расстояние следует считать еще не пройденным. Но насколько большее? На что мы можем рассчитывать здесь, в стране огромных размеров, если, даже проплыв 75 км, мы все равно не видим берега?

Мы знаем, что дома, преодолев такое расстояние, мы должны были бы достигнуть берега, а если мы его не видим, значит, нам пора побеспокоиться о собственном душевном здоровье. Но в Стране ста миллионов озер ничто не гарантирует, что самое крупное озеро имеет в ширину всего 75 км. В такой огромной стране могут встречаться озера шириной в сотни и даже тысячи километров. Оказавшись в этой глуши, мы вынуждены заключить: нам следует ожидать, что до конца пути еще 75 км. А если мы проплывем еще 75 км и все еще не увидим берега, нам придется предположить, что до него остается еще 150 км.

Фактор Мандельброта

Но есть ли у нас основания предполагать такую простую пропорциональность? Если распределение озер хорошо моделируется с использованием математики безмасштабных сетей и соответствует распределению соединений, исходящих из каждой вершины, тогда нашу оценку можно считать обоснованной. Математика говорит, что если безмасштабная сеть оказывается хорошей моделью для распределения ширины озер, то так эту ширину и следует рассчитывать. Прямо сейчас мы можем не беспокоиться о том, действительно ли эта модель описывает распределение озер. Раз мы сами придумали Страну ста миллионов озер, просто договоримся, что так оно и есть.

Рассмотрим сеть знакомств. Предположим, каждый человек в такой сети имеет в среднем 150 знакомых. Сколько знакомых можно ожидать у человека, заведомо имеющего больше этого числа знакомств? Наше плавание к дальнему берегу озера соответствует в этом случае достижению конца списка знакомств такого человека. Таким образом, мы предполагаем, что в дополнение к уже известным нам 150 знакомым у него есть еще 150, а всего 300. А если мы знаем, что у кого-то больше 500 знакомых, можем предположить, что у него – или у нее – по меньшей мере еще 500.

Даже при использовании модели безмасштабной сети есть один параметр, который мы еще не учитывали: в случае личных отношений коэффициент пропорциональности может не быть равен 1, в отличие от примера с нашими воображаемыми озерами. Он может быть больше или меньше, смотря по тому, как именно мы построили распределение.

Возьмем другой пример: исследования показывают, что в сети знакомых, вступающих в сексуальную связь, – при учете лишь гетеросексуальных контактов, – этот коэффициент ближе к двум, а может быть, и немного больше. Правда, получение точных данных затрудняется тем фактом, что мужчины в среднем сообщают о семи половых партнерах, а женщины – всего о четырех. Это число должно быть одинаковым для обоих полов; вероятно, мужчины его преувеличивают, а женщины – преуменьшают. Также можно отметить, что в выборку были включены проститутки и «эротоманы», и это могло исказить результаты опроса – но лишь в ограниченной мере, так как по данным исследований большое различие в ответах порождается реальными когнитивными искажениями у обоих полов[97].

В любом случае установлено, что и для мужчин, и для женщин значение коэффициента составляет около 2. Следовательно, если мы знаем, что у некоторого человека было по меньшей мере четыре половых партнера, можно предположить, что их у него было еще восемь. Отметим, что это всего лишь ожидаемое значение; суммарное число действительно может быть равно четырем, но может достигать и десяти или более: утверждается просто, что среднее число дополнительных партнеров равно восьми. А если мы знаем, что у кого-то было не меньше десяти партнеров, то у этого человека (в среднем) их было приблизительно на двадцать больше. Интересно, что, если мы исключим из рассмотрения проституток и страдающих (или наслаждающихся) нимфоманией или сатириазом, коэффициент пропорциональности в сети партнеров, вступающих в сексуальную связь, падает приблизительно до 1.

Такие коэффициенты пропорциональности характерны для безмасштабных сетей и могут быть равны любому положительному числу. Назовем коэффициент пропорциональности для некоторой безмасштабной сети фактором Мандельброта этой сети. Таким образом, у любой безмасштабной сети есть фактор Мандельброта, и это число определяет основные характеристики этой сети. Математики обычно используют для описания сетей не коэффициенты пропорциональности, а степенные показатели, потому что с ними легче производить вычисления[98]. Но мы оставим свой коэффициент пропорциональности, чтобы не забираться в высшую математику.

Все это касается не только безмасштабных сетей, но и всех типов масштабной инвариантности – например, земель или озер. Чем выше фактор Мандельброта земельного участка или озера, тем большее расстояние нам предстоит преодолеть, чтобы добраться до его противоположного края, и мы должны быть к этому готовы.

Безмасштабные доходы

Предположим на минуту, что доходы (по меньшей мере по-настоящему большие) масштабно-инвариантны. Допустим, мы знаем, что годовой доход некой госпожи Счастливцевой составляет не меньше $1 млн, но точная сумма нам неизвестна. Если фактор Мандельброта для крупных доходов равен 2, то можно предположить, что наша состоятельная знакомая получает $2 млн дополнительного дохода, то есть всего $3 млн. Однако следует помнить, что речь тут идет о предполагаемых суммах. Возможно, г-жа Счастливцева действительно зарабатывает всего $1 млн в год, а может быть, все $10 млн или даже больше. А если мы знаем, что господин Богатей имеет доход не менее $10 млн, мы можем предположить, что его доход может составлять около $30 млн, опять же с широким возможным разбросом.

Тут я должен попросить извинения у Вильфредо Парето, формулу которого я назвал в главе 5 похожей на произведение шарлатана. На самом деле та формула, которую Парето использовал в попытке описать распределение доходов, однозначно определяет фактор Мандельброта (хотя преобразование оказывается на практике весьма сложным). Я отмечал, что, в отличие от логнормального распределения, формула Парето не связана сколько-нибудь осмысленным образом с другими достижениями математики и представляет собой чисто искусственное построение. Если бы во времена Парето были известны безмасштабные сети, эта оценка была бы совершенно несправедливой. Тем не менее формула Парето работает мучительно плохо в приложении к доходам ниже среднего, так что, возможно, нам не следует вовсе отказываться от такой суровой оценки, хотя Парето, сам того не зная, и предугадал науку о безмасштабных сетях.

Однако для доходов чрезвычайно высоких формула Парето дает лучшее приближение, чем логнормальное распределение, о котором мы весьма подробно говорили в главе 5. Средние и низкие доходы хорошо моделируются логнормальной кривой, и даже доходы сравнительно высокие с хорошей точностью можно считать распределенными логнормально, но с необычайно высокими доходами дело обстоит иначе. Это явление заставляет предположить, что, хотя доходы по большей части относятся к миру Тихонии, высокие доходы существуют по законам Диконии.

Американский экономист Эдвард Пол Лейзир предложил удивительное объяснение этого явления[99]. Чрезвычайно высокие доходы, утверждал он, определяются совершенно другими факторами, нежели доходы более низкие. Генеральный директор крупной фирмы зарабатывает $10 млн в год не потому, что он приносит фирме такую высокую прибыль. Его зарплата устанавливается на столь высоком уровне, чтобы стимулировать конкуренцию среди сотрудников высшего эшелона – потому что один из них, возможно, в один прекрасный день станет новым генеральным директором, – и это побуждает их работать с максимальной отдачей. Таким образом, генеральный директор получает свою астрономическую зарплату не потому, что лично ее заработал, и даже не потому, что лично мотивирует других работников, а в качестве награды за победу в соревновании за положение вожака стаи. Если высокая зарплата гендиректора действительно мотивирует нижестоящих сотрудников, это делает ее целесообразной с точки зрения акционеров, даже если сам директор мало что делает в интересах фирмы, – хотя благодаря тем качествам, которые потребовались ему для достижения этой должности, он, скорее всего, все равно служит на благо компании.

Даже если Лейзир прав и генеральным директорам назначают такие большие зарплаты, чтобы стимулировать конкуренцию среди руководителей чуть более низкого эшелона, вероятно, существует и еще одна сила, поднимающая эти зарплаты до столь астрономических уровней. Как мы видели в предыдущей главе, одна только экстремально обостренная конкуренция легко может создать диконские условия. Конкуренция, порожденная несколько более высокими зарплатами генеральных директоров, может привести к появлению еще более высоких зарплат генеральных директоров, что порождает еще более острую конкуренцию, которая приводит к еще большему увеличению зарплат. В то же время зарплаты большинства работников устанавливаются законами Тихонии и, следовательно, подчиняются логнормальному распределению, а зарплаты высшего руководства, определенные законами Диконии, регулируются масштабной инвариантностью. Возможно, именно этим соображением руководствовались швейцарские избиратели на референдуме в ноябре 2013 года, когда провалили законопроект об ограничении зарплат руководящих работников[100]. Вероятно, избиратели увидели в этом законопроекте попытку ниспровергнуть законы Диконии и решили, что его принятие было такой же глупостью, как принятие закона о снижении температуры кипения воды.

Между Гауссом и Коши

В начале этой книги, когда мы впервые столкнулись с мирами Тихонии и Диконии, мы использовали распределение Гаусса для описания Тихонии и распределение Коши для описания Диконии. На илл. 5 мы сравнили графики этих двух распределений и увидели, что кривая Гаусса приближается к оси x гораздо быстрее, чем кривая Коши, что «хвост» распределения Коши гораздо толще, чем у распределения Гаусса, и что кривая Коши тоньше и острее в середине.

С вашего разрешения я еще раз воспроизведу здесь илл. 5, чтобы ваша книга не слишком растрепалась от постоянного перелистывания взад и вперед (илл. 21). Выше мы отмечали, что радикальное различие между Тихонией и Диконией есть следствие небольшого, как кажется, математического различия между двумя распределениями. Вам, возможно, приходил в голову следующий вопрос: если нам удалось создать настолько разные миры на основе двух просто описываемых математических кривых, то почему бы не построить третью кривую, лежащую где-то между первыми двумя, чтобы создать мир, свойства которого будут промежуточными между распределениями Гаусса и Коши? Если такая мысль действительно вас посещала, значит, вы хорошо чувствуете математическое мышление. На самом деле все распределения, описывающие связи между вершинами безмасштабных сетей, оказываются где-то между Гауссом и Коши. Если Тихония характеризуется распределением Гаусса, а Дикония – распределением Коши, то масштабно-инвариантные математические объекты находятся где-то в промежутке между этими двумя случаями.

Чем меньше фактор Мандельброта безмасштабной сети, тем более распределение связей между ее вершинами приближается к распределению Гаусса. Другими словами, малые значения фактора Мандельброта соответствуют более тихим сетям. Тем не менее безмасштабная сеть никогда не бывает настолько тихой, чтобы стать предсказуемой; она всегда остается хаотичной. Тихая безмасштабная сеть описывает сравнительно тихий хаос. Верно и обратное: чем больше фактор Мандельброта сети, тем ближе распределение связей между ее вершинами оказывается к распределению Коши. Это означает, что в более диких сетях узлы крупнее, чем в более тихих.

Илл. 21. Сравнение распределений Гаусса и Коши

(График Йожефа Бенце)

Переход между распределениями Гаусса и Коши становится особенно интересным, если попытаться выяснить, имеет ли промежуточное распределение стандартное отклонение. Из того, о чем мы говорили раньше, мы помним, что у распределения Гаусса есть стандартное отклонение, а у распределения Коши его нет. Математически доказано, что у масштабно-инвариантных распределений, фактор Мандельброта которых меньше 1, есть хорошо определенное стандартное отклонение, а те, фактор Мандельброта которых больше или равен 1, его не имеют[101]. Это показывает, что весь диапазон от тихого до дикого действительно занимают безмасштабные сети. Тем не менее всякая безмасштабная сеть хаотична.

В главе 7, которая называлась «Математика непредсказуемого», я дал очень узкое определение хаоса и отметил, что существуют объекты даже более хаотичные, чем те, которые удовлетворяют нашему определению хаоса. То же можно сказать и о безмасштабных сетях. Если, например, число соединений, исходящих из каждой вершины, определяет наша снайпер Фиби, то сеть уже не будет ни безмасштабной, ни хаотической в смысле нашего определения. Получится нечто гораздо более беспорядочное. Как мы увидим в дальнейшем, в реальном мире существуют сети, не относящиеся к безмасштабным и гораздо более хаотические, чем те, которые к этому разряду относятся.

Хаос тихий и хаос дикий

Масштабно-инвариантный мир хаотичен по самой своей природе, так что ему определенно нет места в Тихонии. Как мы видели, масштабная инвариантность бывает свойственна не только сетям, но и облакам, снежинкам, кротовым ходам, папоротнику, готической архитектуре, финансовым рынкам и многим другим природным и социальным явлениям. По сравнению с Тихонией масштабно-инвариантный мир хаотичен, непредсказуем и экстремален, даже в самой «тихой» своей форме, а именно в ситуациях, в которых фактор Мандельброта близок к 0. В то же время самые «дикие» формы масштабной инвариантности, с фактором Мандельброта, равным 2 или даже больше того, представляют собой сравнительно тихие формы Диконии. По меньшей мере в них действует некий руководящий принцип – масштабная инвариантность.

Масштабно-инвариантному миру присуща своего рода умеренная или тихая дикость: в нем уже не действуют законы Тихонии, но и полноценная дикость Диконии до некоторой степени сдерживается организующим принципом. Более того, и в этом тихо-диком мире есть части более тихие и более дикие. В более тихих частях фактор Мандельброта меньше 1, в то время как у более диких, в которых этот фактор больше 1, даже нет стандартного отклонения. Если фактор Мандельброта α меньше 1, то, по мере того как мы исследуем связи некой вершины, потом – связи всех вершин, соединенных с первой, потом – связи каждой новой вершины и так далее, доля известных нам вершин растет и асимптотически приближается к 100 %. Чем меньше значение α, тем быстрее наше знание о сети приближается к стопроцентному.

Если α = 1, наше знание о данной вершине остается постоянным: доля неизвестных нам связей остается приблизительно неизменной, и число открытых новых вершин приблизительно равно числу вершин уже исследованных.

Если α > 1, то чем больше связей какой-либо вершины мы исследуем, тем больше становится доля еще не исследованных вершин. Доля известных нам соединений падает и асимптотически приближается к 0 %, потому что у вершины обнаруживаются все новые и новые связанные вершины, по большей части нам неизвестные, причем быстрее, чем мы успеваем их исследовать. Чем больше значение α, тем быстрее доля известного нам приближается к 0 %.

Фактор Мандельброта – очень изящная математическая концепция. Теоретически он представляет собой точную меру «дикости» той или иной сети. К сожалению, рассчитать этот фактор для каждой конкретной сети очень трудно, потому что это вычисление требует огромного объема данных, а в реально встречающихся сетях данные могут быть неточными и противоречивыми. Тем не менее некоторые исследователи берутся за решение этой задачи, и в нескольких недавних научных работах описываются попытки оценки фактора Мандельброта для безмасштабных сетей реального мира. В большинстве таких статей приводятся оценки какого-нибудь другого параметра сети, который можно использовать для определения фактора Мандельброта.

Некоторые из этих результатов представлены в верхней части таблицы 1 на с. 198. Поскольку реальные значения фактора Мандельброта невозможно привести с высокой точностью, я не даю никаких конкретных численных оценок. Вместо этого я разбил сети на три группы: те, у которых фактор Мандельброта существенно меньше 1 (слабо хаотичные), те, у которых он близок к 1 (пограничное состояние с точки зрения наличия или отсутствия стандартного отклонения), и те, у которых этот фактор существенно превышает 1 (следовательно, у них даже в теории не существует стандартного отклонения). Так как оценки приблизительны, принадлежность сетей к этим группам не следует считать абсолютно точной. Тем не менее эта таблица дает хорошее представление о степени дикости хаоса в различных областях.

В нижней части таблицы я перечислил несколько явлений, не относящихся к сетям, но имеющим приблизительно масштабно-инвариантное распределение, – как это было с озерами в начале этой главы. Эти примеры показывают, что масштабная инвариантность проявляется не только в структуре сетей и завораживающих геометрических свойствах фракталов, но и во многих других формах. Из таблицы можно увидеть, насколько хаотичными могут быть некоторые явления в биологии, социальных взаимодействиях, технике и экономике. Например, биологическая пищевая цепочка не относится к Тихонии, но тем не менее обладает очень слабой хаотичностью. Сеть сексуальных связей находится в противоположном конце спектра. Она даже более хаотична, чем могло бы предположить большинство людей, – хотя, если исключить из рассмотрения случаи проституции, а также сатириаза и нимфомании, оставшаяся сеть хорошо укладывается во вторую группу, что соответствует достаточно высокому уровню хаотичности.

Таблица 1. Порядок величины фактора Мандельброта для некоторых сетей и явлений

Возможно, покажется удивительным, что факторы Мандельброта природных и человеческих сетей часто близки к 1. Стоит отметить, что принцип Парето (или правило 80/20), который я описал в главе 5, справедлив при факторе Мандельброта, равном 1 (или чуть меньше). Следовательно, имеющиеся у нас сейчас результаты лишний раз подтверждают правило 80/20 и помогают определить область его действия.

Что касается случаев, в которых фактор Мандельброта больше 1, то несколько сетей и явлений, которые мы раньше считали – исходя из веских теоретических оснований – масштабно-инвариантными, оказываются в категории феноменов еще более экстремальных. Например, область человеческих талантов справедливо отнести не к умеренно дикому миру, но к миру истинно дикому, и для ее описания мы используем распределение Коши. Талант может проявляться множеством поразительно разных образов, и диапазон талантливости конкретных людей может быть на удивление широким.

Такого же рода дикость обнаруживается в списках адресатов электронной почты; они образуют сеть даже не масштабно-инвариантную, а еще более хаотичную. Это особенно интересно, потому что из нашей таблицы видно, что сам обмен сообщениями электронной почты оказывается безмасштабным, и его фактор Мандельброта не особенно велик. Гораздо более хаотичная сеть образуется за счет адресатов, с которыми мы на самом деле не переписываемся, но которые каким-то образом оказываются в нашей адресной книге. Эта более дикая сеть не фигурирует в таблице. В число других явлений, слишком диких для классификации в этой таблице, входят масштабы лесных пожаров и численность видов птиц в Америке. Дикость их распределений оказывается выше безмасштабного уровня[102].

Тихонская жизнь в Диконии

В Диконии есть сравнительно тихие – или тихо-дикие – территории, которые, в свою очередь, могут быть умеренно дикими в разной степени; этот диапазон отражается в соответствующих значениях фактора Мандельброта. Некоторые из этих территорий настолько тихи, что у соответствующих им явлений даже есть стандартное отклонение; другие могут быть настолько более дикими, что ни о каком стандартном отклонении не может быть и речи. Но у всех умеренно диких областей есть общий руководящий принцип – масштабная инвариантность.

Однако в областях по-настоящему диких не только не действуют такие основополагающие понятия статистики, как стандартное отклонение, но исчезает и масштабная инвариантность явлений. Пока что мы не знаем никакого общего руководящего принципа, который позволил бы найти хотя бы приблизительное численное выражение таких явлений. Некоторые из них достаточно хорошо моделируются распределением Коши, но само это распределение слишком дико, чтобы из него можно было получать сколько-нибудь полезные на практике предсказания.

В главе 7 мы увидели в теории хаоса луч надежды на возможность получения предсказаний. Хотя события в хаотической системе непредсказуемы, вероятность того, что некоторое определенное явление произойдет в течение заданного времени, поддается вычислению. Однако оказалось, что в вероятности появления необычных событий мало практического толку, и мы оставили надежду на получение полезных предсказаний. Тем не менее теория хаоса полезна тем, что помогает нам примириться с возможностью появления «черных лебедей» и подготавливает нашу реакцию на их возникновение. А они, вне всякого сомнения, будут возникать. Но постоянная настороженность в ожидании таких событий внесла бы полную сумятицу в нашу более или менее тихонскую повседневную жизнь. Именно поэтому эта книга посвящена не только «черным лебедям», но и чудесам всех видов. У нас за плечами накопленный за несколько тысячелетий опыт сосуществования с чудесами меньшего калибра, так что к ним мы готовы гораздо лучше, чем к «черным лебедям». Модели Тихонии и Диконии, дающие некоторое представление о принципах существования этих миров, помогают нам подготовиться к столкновению с чудесами, продолжая нашу повседневную, по большей части лишенную чудес жизнь – которую мы в основном проживаем в Тихонии, иногда на ее окраинах и лишь изредка забредая в тихо-дикие части Диконии.

Чудеса малые и великие

Одна из важных особенностей «черных лебедей» состоит в том, что они оказывают огромное влияние на мир. В этом фундаментальная разница между «черными лебедями» и большинством других чудес. Хотя любое чудо есть событие уникальное и неповторимое, оно может и не оказывать на мир заметного влияния. Бывают чудеса малые и чудеса великие, а также некоторые явления, которые мы даже не считаем чудесами.

В главе 3 я выделил три типа чудес. Мы рассмотрели конкретные примеры первого типа, типичных чудес Диконии, которые мы назвали псевдочудесами. Некоторые из них вполне удовлетворительно объясняются масштабной инвариантностью, другие лучше моделируются распределением Коши. С другой стороны, для чудес истинных и трансцендентных диконские условия не требуются, но и наука не в состоянии объяснить их – будь то из-за нынешнего состояния науки, как в случае истинных чудес, или по самому определению чудес трансцендентных.

Чудо любого из этих трех типов может быть малым, великим или даже потрясать самые основы мира. Во время исхода из Египта Моисею потребовалось чудо поистине огромное – чтобы расступились воды Чермного моря, – а одному моему другу в критический момент было достаточно найти потерянные на огромном песчаном пляже ключи от машины. Эти два события явно не одного и того же порядка, но оба они кажутся нам чудесами. На природу чуда никак не влияет его величие или ничтожность; не важно даже, замечаем ли мы его.

Масштабно-инвариантный мир, тихо-дикая часть Диконии, играет особую роль, потому что в нем порядок величины события достаточно невероятного, чтобы его можно было назвать чудом (то есть, если следовать нашей терминологии, псевдочуда), в значительной мере определяется фактором Мандельброта. Например, можно показать, что в Стране ста миллионов озер псевдочудом средних размеров является озеро пятисоткилометровой ширины.

Каждый раз, когда я рассказываю в своих лекциях о Диконии и логике чудес, кто-нибудь из слушателей непременно задает следующий вопрос: если все бо́льшая часть современного мира ведет себя по законам Диконии, то чудеса, очевидно, должны происходить все чаще и чаще. Но разве через какое-то время они не перестанут вообще считаться чудесами? И не вернет ли это нас в лишенный чудес мир Тихонии? Это рассуждение логично, но оно выдает неполное понимание масштабной инвариантности. Чудеса не станут случаться чаще, но диапазон явлений, которые считаются чудесами, станет шире, а то, что сегодня кажется чудом, завтра может стать повседневным событием. Озеро пятисоткилометровой ширины, бывшее невероятным чудом для тех из нас, кто вырос в Стране миллиона озер, еще может быть таковым и в Стране ста миллионов озер, но чудом уже сравнительно не важным. Возможно, по мере того как мы исследуем новые земли и встретим множество новых озер, мы и вовсе перестанем считать его чудом. Но если мы откроем страны еще более крупные, страны миллиарда или даже триллиона озер, то там мы рано или поздно непременно найдем озера и тысячекилометровой ширины.

Возьмем хотя бы Facebook – сеть, которая многократно возросла за минувшие годы и при этом самым радикальным образом изменила свою роль в жизни многих людей. Та функция, для которой эта платформа была изначально разработана, – поддержание связей с близкими и дальними знакомыми – сохранилась, но для многих эта система стала отдельным миром, основным источником информации и центром их социальной жизни. Это превращение стало возможным благодаря фундаментально масштабно-инвариантной природе сети Facebook.

Факторы Мандельброта сетей или других явлений, вообще говоря, не изменяются. Они остаются постоянными. Изменяются диапазоны размеров тех объектов, с которыми мы реально можем столкнуться. Но масштабная инвариантность означает по определению, что структура такой сети в крупном масштабе должна быть такой же, как и в мелком. Поэтому, если безмасштабная сеть увеличивается на порядок, частота возникновения чудес не возрастает; скорее изменяется порог восприятия очередного явления в качестве чуда.

Разумеется, этот вывод справедлив только в отношении псевдочудес, причем возникающих в умеренно диких областях Диконии. В настоящей дикой Диконии – например, в мире распределения Коши – сети и другие явления не обладают масштабной инвариантностью. Чудеса происходят там нечасто, но их качество изменяется со временем, и частота псевдочудес, порожденных всего лишь огромными отклонениями от среднего, со временем не возрастает.

Истинные чудеса, находящиеся за пределами возможностей современной науки, могут стать более или менее обыденными. По мере развития науки остается все меньше необъяснимых явлений. Однако в то же время развитие науки открывает перед нами новые горизонты, благодаря чему мы можем узнавать о явлениях, которых не замечали раньше. Когда наука решает какую-либо задачу, ее решение почти немедленно ставит новые вопросы.

Трансцендентные чудеса по определению необъяснимы в рамках существующей системы. Если такие чудеса все же существуют, они не имеют никакого отношения к различиям между Тихонией и Диконией, так что не имеет смысла спрашивать, возникают ли они чаще или реже по мере того, как Дикония захватывает все большие и большие части нашей жизни.

«Новаторский грабеж»

После всех этих разговоров о том, как Дикония играет все большую роль в нашей жизни, нам нужно спросить, так ли это на самом деле. В предыдущей главе я описал несколько факторов, которые могут вызывать к жизни диконские явления: эффект Матфея, усложнение, накопление и экстремальную конкуренцию. Ни одно из этих явлений не ново. Само название «эффект Матфея» происходит от текста, написанного две тысячи лет назад, да и остальные три фактора существуют очень давно. Экстремальная конкуренция – вспомним о дарвиновской эволюции – существует гораздо дольше, чем вид Homo sapiens.

По меньшей мере два из этих факторов усиливаются богатством человеческого воображения: я имею в виду усложнение и накопление. Человеческая фантазия никогда не боялась забираться в мир Диконии, даже в тех областях, в которых явно господствуют законы Тихонии. Если верить Библии, Мафусаил прожил 969 лет, а Ною было 600 на момент постройки ковчега – и он прожил еще 350 лет после того. Сам Всемирный потоп, насколько мы можем сказать, исходя из современных знаний, был явлением диконским: хотя наводнения, возможно, и могут быть масштабно-инвариантными, у нас нет никаких доказательств того, что потоп, подобный Ноеву, мог случиться в библейскую эпоху. Существует гипотеза, что миф о потопе описывает образование Черного моря, когда уровень моря поднялся после последнего ледникового периода и Средиземное море в конце концов прорвалось через Дарданеллы и затопило расположенный за этим проливом бассейн. Человеку, живущему даже на умеренно высоком холме, нечего опасаться дождя, идущего в течение сорока дней и ночей, и тем не менее библейский потоп затопил даже пятикилометровую вершину горы Арарат.

В основе развития цивилизованной экономики всегда были инновации, плоды человеческого воображения. Они автоматически усиливают действие всех четырех факторов, способствующих расширению Диконии. Большинство инноваций увеличивает сложность мира и диапазон доступных технологий и изделий. Инновации образуют основу для накопления знаний и, зачастую, капиталов. В экономической жизни инновации являются двигателем конкуренции. Все это вполне очевидно, но может быть не столь ясно, почему инновации также образуют основу эффекта Матфея.

Инновацию обычно считают силой позитивной, и эта точка зрения вполне разумна, потому что инновация влечет за собой появление новых, более производительных, более удобных, более полезных технологий и изделий. Но каждое нововведение порождает и проигравших – происходит своего рода новаторский грабеж. До появления каждой инновации были те, кто удовлетворял тот спрос, который благодаря этой инновации стал удовлетворяться лучше, приятнее или эффективнее. Поэтому инновации обычно порождают эффект Матфея: «Ибо всякому имеющему дастся и приумножится, а у неимеющего отнимется и то, что имеет». Вспомним нашу Марину, которой пришла в голову новаторская мысль превратить рыболовное судно в аттракцион для туристов. Возможно, ее инновация приведет к экономическому росту в местности, окружающей Маринину марину, и там появятся выигравшие – сама Марина, экскурсоводы, может быть, капитан судна – и проигравшие, а именно рыбаки, которые останутся без работы.

В нашу эпоху инновации ускоряются как никогда раньше, и потому неудивительно, что мы только начинаем чувствовать, как мир Диконии играет все более заметную роль не только в нашем воображении, но и в нашей жизни.

Тихонские модели в Диконии

В 1960-х годах, когда Мандельброт начал выступать на конференциях по экономике, он утверждал, что экономические модели, построенные на основе распределении Гаусса, следует заменить на модели, основанные на распределении Коши. Его никто не принимал всерьез. Позднее, когда Мандельброт уже открыл масштабно-инвариантный мир, его взгляды смягчились, и начиная с 1980-х годов он уже не предлагал строить экономические модели на основе дикого распределения Коши. Его устроило бы любое масштабно-инвариантное распределение. Но представители общепризнанной экономической науки (в том числе некоторые лауреаты Нобелевской премии и те, кто получил ее вскоре после этого) никак на это не соглашались. Вплоть до кризиса 2008 года никто всерьез не рассматривал возможности замены кривой Гаусса – в некоторых моделях – на масштабно-инвариантное распределение.

Большинство экономистов до сих пор не решается на столь радикальный шаг. Они полагают, что масштабно-инвариантные распределения не гарантируют, что в экономике будут существовать стабильные равновесные состояния и что, если такая модель станет нормой, это приведет к катастрофическому падению доверия к политическим и экономическим системам. Сторонники модели утверждают, что такая позиция – всего лишь проявление интеллектуальной трусости; если уж так получилось, что мир работает хаотически, то для его описания следует использовать хаотическую модель. Хотя я согласен с этим возражением, важно отдавать себе отчет в том, что выбор моделей, которые мы используем для описания мира, имеет важные практические последствия; то, как воспринимается модель общественного института, может повлиять на то, как этот институт себя ведет.

Другая причина осторожного отношения экономистов к использованию масштабно-инвариантных моделей состоит в том, что, хотя в долгосрочной перспективе такие модели могут снизить частоту экономических кризисов, они вызовут столь резкий рост цен на опционы, что фермерам и мельникам, о которых мы говорили раньше, они окажутся не по карману. Цена опционов поглотит всю их прибыль, а может, и не ограничится ею одной. В результате им придется рисковать бо́льшим, чем они могут себе позволить, и, когда случится очередной кризис, они не смогут выжить так, как смог бы профессиональный инвестор. Выше мы уже видели, что психологически инвесторы лучше подготовлены к преодолению последствий крахов, чем фермеры и мельники; далее мы увидим, как механизм «свалки богача» помогает им восстановиться после краха.

Итак, тихонские модели, возможно, приносят больше пользы практическому функционированию экономической системы, хотя и описывают реальные механизмы мира хуже, чем модели диконские. Нам следует продолжать их использовать, так же как мы продолжаем конструировать автомобили и электробытовые приборы, используя классическую ньютоновскую механику даже после открытия теории относительности и квантовой механики – потому что ньютоновская физика лучше подходит для повседневного применения. А раз модель полезна, она продолжает совершенствоваться, так же как продолжают развиваться тихонские экономические модели.

Экономика до некоторой степени хаотична, хотя ею в основном движут чисто тихонские модели, используемые подавляющим большинством инвесторов. Парадокс заключается в том, что, если бы модели тоже были хаотичны, экономика стала бы гораздо более хаотичной, чем сейчас; лучшие модели приводили бы к худшим результатам. С практической точки зрения нам, может быть, выгоднее по-прежнему использовать модели, обещающие нам определенное равновесие рынков. Диконские модели говорят нам, что крупные экономические кризисы будут происходить время от времени, гораздо чаще, чем их предсказывают модели тихонские. Но нам, вероятно, выгоднее время от времени переживать очередной непредсказанный крах, чем допустить, чтобы экономика стала еще более хаотичной, чем она уже есть. И это касается не только экономики. Как я говорил в предисловии, нам, возможно, удается поддерживать в известной степени цивилизованное общество только благодаря вере в то, что мы в известной степени цивилизованны. Мы используем тихонскую модель, хотя и принадлежим к диконскому биологическому виду (это всего лишь гипотеза, но ниже мы познакомимся с некоторыми убедительными аргументами в ее пользу).

Я не хочу сказать, что экономистам-теоретикам не следует экспериментировать с более дикими моделями, которые, возможно, описывают мир более точно. Эта работа – их интеллектуальный долг. Но в повседневной практике кажется целесообразным сохранять проверенные временем тихонские модели – хотя время от времени нас и будут заставать врасплох неожиданные биржевые крахи – и пытаться развивать эти модели так, чтобы уменьшать частоту и разрушительную силу таких катастроф[103].

10 Жизнь в Диконии

Развитие и кризис произрастают из одного и того же корня.

Если вы не относитесь к числу страстных любителей высшей математики, вам будет приятно узнать, что в оставшейся части этой книги я больше не буду ее использовать. Я мог бы поговорить еще о многом – например, существует множество интереснейших результатов, касающихся «грани хаоса», этой увлекательной границы между Тихонией и Диконией, – но об этих вещах можно узнать из других работ[104]. Я и без того уже ввел достаточно математики для обоснования тех утверждений, которые хочу высказать.

Математические концепции, о которых мы говорим, не помогут нам быстро разбогатеть и не расскажут, как использовать огромные суммы, если те попадут к нам в руки. Но они помогут нам познать свойства Тихонии и Диконии, чтобы мы смогли лучше подготовиться к чудесам по меньшей мере первых двух типов: псевдочудесам, которые порождаются самой природой Диконии, и тем истинным чудесам, которых не может объяснить нынешняя наука. Мы не можем подготовиться к чудесам трансцендентным. Но если такие чудеса и происходят, они настолько редки, что даже пытаться готовиться к ним, возможно, не имеет смысла.

Как мы уже видели, наш друг Талеб – серьезный инвестор, так что он точно знал, как распорядиться теми деньгами, которые он заработал 11 сентября 2001 года. Он остался верен своей инвестиционной стратегии, но поднял ставки. Он продолжал покупать пакеты опционов, которые принесли бы ему большой куш в случае краха мировой экономики, и нес убытки почти ежедневно, пока кризис 2008 года не сделал его еще богаче.

Не будем следовать примеру Талеба…

Что случилось бы, начни все инвесторы – или по меньшей мере многие из них – следовать стратегии Талеба? Совсем не то, что могло бы предположить большинство людей. Не следует считать, что ставки на полный крах мировой экономики взлетели бы настолько, что такие спекуляции перестали бы быть целесообразными или даже возможными. Этот вывод диктуется логикой Тихонии, а мы сейчас в Диконии.

Действительно, цена на опционы, дающие высокую прибыль в случае краха, возросла бы. Но, поскольку значительная часть экономики работает в областях Диконии, в которых стандартное отклонение крупных прибылей и убытков бесконечно велико, такие опционы все равно оставались бы выгодными в случае наступления крупного кризиса диконского типа, как бы высоко ни поднялась их цена. Поскольку стандартное отклонение распределения позволяет нам определить вероятность редкого события, назначить максимальную цену при бесконечно большом стандартном отклонении невозможно – по меньшей мере при помощи математики, основанной на нашем понятии о числах. В этом смысле можно сказать, что опционы, которые использует Талеб, всегда будут оставаться недооцененными. Тем не менее я не рекомендовал бы эту стратегию большинству людей, потому что она оправдывает себя только у инвесторов, готовых и способных, подобно Талебу, ежедневно нести убытки в течение многих лет.

Одна из причин, по которым я не рекомендую такую стратегию, состоит в связанных с нею чрезвычайно больших психологических трудностях. Малкольм Гладуэлл пишет в своей книге «Что видела собака», что даже самому Талебу часто бывала нужна поддержка сотрудников, чтобы не отчаяться, несмотря на непрестанные убытки, иногда весьма тяжелые. У большинства инвесторов, в отличие от Талеба, нет основополагающего жизненного опыта моментального краха – они не видели, как Ливан, процветавший до этого в течение нескольких столетий и считавшийся «ближневосточной Швейцарией», в одну ночь пережил развал, который превратил Талеба и его семью в беженцев. Возможно, шок этого переживания был психологически полезен Талебу в использовании такой инвестиционной стратегии, так как он знал, что, даже потеряв все свое состояние, он не окажется в худшем в своей жизни положении.

Вторая причина, по которой я не рекомендую стратегию Талеба, заключается в том, что многие из тех, кто примет ее на вооружение, медленно «истекут кровью», так и не дождавшись следующего кризиса. В главе 1 я приводил слова Талеба: если бы в течение долгого времени не случилось биржевого краха, он не обанкротился бы, а постепенно истек кровью. Чем больше инвесторов будут использовать эту стратегию, тем более крупный крах потребуется, чтобы скомпенсировать все потери, понесенные за время его ожидания. Зная устройство Диконии, мы можем не сомневаться, что рано или поздно произойдет крах сколь угодно большого масштаба, но доживем ли мы до него? Или же мы потратим многие годы, становясь все беднее и беднее в ожидании огромного выигрыша, который так никогда и не случится?

Знаменитый британский экономист Джон Мейнард Кейнс был невысокого мнения об инвестиционных стратегиях, рассчитанных на чрезвычайно долгие сроки. Он считал, что в долгосрочной перспективе экономические и политические неопределенности, не поддающиеся вычислению, перекрывают расчетные риски. Тем не менее он был весьма успешным инвестором, скопил большое личное состояние и получал прибыль, значительно превышавшую рост рыночных индексов, в течение четверти века, пока управлял фондом кембриджского Кингс-колледжа. Он считал, что важно решать сиюминутные проблемы, не надеясь, что в долгосрочной перспективе все будет хорошо. «В долгосрочной перспективе, – гласит его знаменитый афоризм, – мы все умрем»[105]. Этот вывод нужно принять в расчет, прежде чем мы решим применить стратегию Талеба. Хотя крах всегда будет в Диконии недооцененным, чем больше будет инвесторов, следующих стратегии Талеба (или подобной ей), тем выше будут подниматься ставки, потому что цена опционов, поддерживающих такую стратегию, будет расти, и мелкие и средние кризисы, на которых зарабатывал Талеб, уже не смогут компенсировать крупные повседневные убытки его последователей.

Чтобы уменьшить опасность такого постепенного истощения, можно, в частности, через некоторое время снизить уровень риска инвестиций. Это, разумеется, уменьшит и размеры прибыли, на которую мы можем рассчитывать в будущем, когда наконец случится по-настоящему крупный кризис, но зато отсрочит наступление того дня, когда мы окажемся без средств, потому что не дождемся биржевого краха. Однако недостаток этой стратегии состоит в том, что вытерпеть медленное истекание кровью психологически может быть еще труднее, чем постоянные убытки, хотя подобное давление на психику несколько умеряется тем обстоятельством, что мы сохраняем полный контроль над ситуацией.

Третья причина, по которой примеру Талеба не стоит следовать, важнее всех прочих. Она касается не экономического или психологического благополучия одного человека, но экономического благосостояния и сплоченности всего общества в целом.

Талеб не заинтересован в создании процветающего общества. Его интересует только получение огромной прибыли при наступлении кризиса, и беспокоится он только о том, чтобы у него не кончились деньги до того, как с экономикой случится что-нибудь по-настоящему ужасное. Он выжидает, надеясь, что положение сильно ухудшится – причем скорее рано, чем поздно. Тем временем он ничего не вкладывает в полезную «свалку» общества, которая накапливается из идей, озарений и открытий тех, кто активно старается, чтобы дела шли хорошо. Именно так создаются сокровища, спрятанные у нас на чердаке, даже если первые попытки оказываются неудачными. Стратегия же Талеба не создает ничего полезного. Она может даже способствовать наступлению кризиса, действуя по механизму самоисполняющегося пророчества. Именно поэтому время от времени возникают предложения запретить подобные стратегии или по меньшей мере ввести для них строгое регулирование.

История последних тысячелетий показывает, что экономические кризисы, как крупные, так и мелкие, случались всегда. Зная то, что мы знаем о Диконии, мы можем быть совершенно уверены, что они будут время от времени происходить и в дальнейшем. И сила их воздействия будет лишь возрастать по мере расширения диапазона масштабно-инвариантных событий. Но человечество выработало механизм, позволяющий ему приходить в себя даже после самых катастрофических кризисов. Я уже намекал на этот механизм, когда говорил, что на свалке богача можно найти больше ценного, чем во всем имуществе бедняка. Вскоре мы увидим, какого рода механизм регенерации порождает этот принцип. Пока что мы лишь отметим, что если бы большинство инвесторов следовало стратегии Талеба, то проверенный временем природный механизм строительства на основе «свалки богача», бывший основой восстановления на протяжении тысячелетий, перестал бы действовать. Это могло бы не создавать проблем, если бы стратегия Талеба предлагала вместо него другой механизм, работающий еще лучше, – но она такого механизма не предлагает.

…но примем в расчет диконские явления

Мы по-прежнему в основном живем в Тихонии, и потому я, в отличие от Талеба, не считаю, что нужно отбросить все тихонские модели разом и заменить их на диконские, хотя теперь и известно, что диконские явления играют важную роль во все более многочисленных аспектах нашей жизни. Значительные диконские события могут происходить с перерывами в несколько лет, а между ними нам все равно приходится жить в Тихонии. Применение к этой жизни диконских моделей сделает повседневное существование настоящим мучением для всех, у кого нет такой жизненной позиции и переворачивающих всю жизнь переживаний, какие есть у Талеба.

Но если задуматься об отдаленном будущем, приходится признать, что рано или поздно диконские явления непременно возникнут. Тогда нам придется прибегнуть к концепциям, оказавшимся особенно полезными в диконских условиях, но сделать это мы должны будем так, чтобы, насколько это возможно, избежать полного развала нашего повседневного тихонского существования.

На первый взгляд эта задача кажется невыполнимой, так как Тихония и Дикония – миры принципиально разные. Ниже перечислены некоторые из важных различий между ними, сформулированные в соответствии с тихонскими моделями, основанными на многовековом опыте, и тем, что мы узнали о моделях диконских[106]:

• В Тихонии не следует рассчитывать на крупные неожиданности, потому что «черные лебеди» встречаются там чрезвычайно редко. В Диконии мы сталкиваемся с ними все время, и то обстоятельство, что лебеди эти по большей части «серые», этого не меняет. И природа, и время появления «серых лебедей» непредсказуемы.

• В Тихонии, вообще говоря, рекомендуется идти на средние риски, избегая как слишком малых, так и слишком больших: при очень малых рисках выигрыш ничтожен, а по-настоящему крупные риски обычно грозят слишком большими потерями. Напротив, в Диконии, как показывает математическое доказательство Талеба, имеет смысл идти на множество совсем малых и несколько по-настоящему крупных рисков, а с рисками среднего размера лучше не связываться.

• В Тихонии история течет медленно, а революционные изменения происходят крайне редко. В Диконии история развивается гигантскими скачками, и в течение нашей жизни можно ожидать нескольких революций.

• В Тихонии самая полезная в долгосрочной перспективе стратегия поведения – конформизм, то есть следование правилам. Это касается даже необычайных талантов, хотя такие личности иногда открывают нечто, что приводит к некоторым изменениям области применимости этих правил. Очень редко к уже существующим правилам добавляются новые (но тоже, по сути, тихонские), воплощающие новые проявления «крайностей Тихонии». В Диконии же наиболее эффективным чаще всего оказывается нонконформизм, разумное нарушение тихонских правил[107].

Жизнь в обоих мирах сразу

Я преподаю экономическую психологию разным студентам, и непременно настает момент, когда кто-нибудь из них спрашивает меня: а как мы поймем, что перешли из Тихонии в Диконию? Я обычно давал на этот вопрос чисто формальный ответ: Диконию можно узнать, когда распределение исследуемого явления начинает походить на распределение Коши, а не Гаусса. Иногда я пытался описать этот момент в более поэтических терминах, не отступая при этом от формальной точности: если нонконформизм кажется перспективной стратегией, значит, мы в Диконии. Моих студентов эти ответы, по-видимому, не удовлетворяли, и я начал чувствовать, что они не отражают сути дела. Прошло довольно много времени, пока я понял, что правильный ответ на этот звучащий совершенно разумно вопрос состоит в том, что сам вопрос сформулирован неверно.

Мы никогда не сможем понять, что покинули Тихонию и переместились в Диконию, потому что идея о том, что мы живем в одном мире, но иногда оказываемся в другом, попросту не соответствует действительности. Тихония и Дикония всегда присутствуют одновременно. Некоторые вещи подчиняются законам Тихонии, а другие следуют законам Диконии. На самом деле, как мы уже видели, в Диконии есть масштабно-инвариантные явления, лишь умеренно диконские (своего рода «серые лебеди»), а есть явления и гораздо более дикие. Короче говоря, в Диконии действует не один закон.

Если предположить, что правила Тихонии охватывают все законы природы, то все, что противоречит этим законам, следует считать чудом. В рамках такого мировоззрения чудом был бы любой график поведения фондового рынка, потому что ничто масштабно-инвариантное не соответствует тихонским законам. Чудом следовало бы считать любой человеческий мозг, потому что наш мозг обладает фрактальными свойствами. Чудеса встречались бы повсеместно, и если бы наука могла только разводить в отчаянии руками и заявлять, что чудесами она не занимается, то стыд и позор такой науке. Поэтому расширение горизонтов науки с включением в сферу ее интересов законов Диконии совершенно правомерно.

Наука Тихонии продолжает расширять область того, что она в состоянии описать. Она способна предлагать все более совершенные модели явлений, построенные «по-тихонски», но обладающие диконской природой. Например, можно попытаться сделать «хвост» нормального распределения толще, описав экстремальные случаи отдельным нормальным распределением, скорректированным путем смещения на несколько стандартных отклонений от среднего[108]. Это позволяет использовать нормальные распределения для моделирования событий, находящихся в пяти или шести – а не всего в трех или четырех – стандартных отклонениях от среднего, то есть включить в рассмотрение несколько случаев, которые до этого относились по нашей классификации к разряду истинных чудес.

Но если рассматриваемое явление на самом деле подчиняется распределению Коши, то иногда будут происходить события в десять или даже в миллион раз более чудесные, чем то, что считалось бы в Тихонии чудом. Мы знаем об этом на примере стрельбы Фиби, которая иногда останавливается в положении, почти параллельном стене, и стреляет в точку настолько удаленную, что это кажется настоящим чудом. Если некое экономическое явление хорошо моделируется распределением Коши, то попытки втиснуть его в тихонское прокрустово ложе приведут лишь к непониманию самой сути этого явления – то есть того факта, что у него нет стандартного отклонения. Такие тихонские модели сводятся к попыткам установить цену на неоценимое, что и Талеб, и Мандельброт назвали бы чушью. Эти джентльмены правы, поскольку наука Диконии показала, что некоторые вещи работают по нетихонским законам. С другой стороны, как мы видели, не оценивать неоценимое тоже неприемлемо, потому что тогда фермер и мельник не смогут эффективно управлять своим хозяйством.

Подобно Талебу, нам следует интересоваться возможностью возникновения кризисов в виде внезапных крахов и находить способы готовиться к ним. Мы узнаём все больше и больше о том, как, находясь в системе Тихонии, мы можем готовиться к тем временам, когда окажемся в экстремальной обстановке Диконии. Поэтому нам следует, не стесняясь, продолжать совершенствование тихонских методов и их применение к повседневной жизни, даже зная, что время от времени нам придется переживать катастрофы. Но это лучше, чем совершенно отбросить милую нашему сердцу тихонскую жизнь и полностью подчиниться экстремальным явлениям Диконии. Наука Диконии тоже может приносить пользу. Она помогает нам осознать, что у нашей тихонской науки не может не быть ограничений, и время от времени мы будем на них натыкаться.

Вспомним теорему Эрроу – Дебрё, которая гарантирует, что при определенных условиях может существовать тихонское экономическое равновесие. Однако эти условия могут быть разрушены экстремальным событием. Например, одно из условий теоремы требует отсутствия монополий, но в Тихонии регулярно возникают монополии, потому что и в ней действует эффект Матфея. Монополии образуются в Тихонии по той же причине, по которой рождаются гении, – у монополии, как и у одного Эйнштейна, нет стандартного отклонения.

Если мы хотим добиться именно экономического равновесия, экономику следует регулировать так, чтобы предотвратить возникновение монополий, а также обеспечивать выполнение всех остальных условий теоремы Эрроу – Дебрё. Но наука Диконии гарантирует, что, даже если мы будем делать все это, монополии все равно иногда будут формироваться. Нам нужно научиться уживаться с такими угрозами равновесию. В главе 3, которая называлась «Источник чудес», мы видели, что в любой формальной (то есть тихонской) правовой системе неизбежно существуют лазейки. Как бы мы ни пытались регулировать мир, чтобы обеспечить господство законов Тихонии, диконские явления по-прежнему будут возникать. Нам ничего не остается, кроме как жить в Тихонии и надеяться, что мы сможем оправиться от неизбежного очередного краха.

Возможно, у нас есть один дополнительный шанс избежать будущих катастроф. Может быть, однажды будет создана теория, в которую войдут законы как Тихонии, так и Диконии, какими бы несовместимыми они нам ни казались. Нечто подобное случилось в истории физики, когда Ньютон объединил законы механики земной и механики небесной. Возможно, самой важной проблемой нынешней физики является существование отдельных и несовместимых друг с другом теорий гравитации и квантовой механики. Каждая из этих теорий справедлива в своей области и перестает быть истинной при приложении к области другой теории. Физики все еще ведут поиски великого объединения, которое сможет включить в себя обе эти теории, не порождая противоречий[109]. Пока что такая объединенная теория ускользает от исследователей, хотя большинство физиков верит, что рано или поздно она будет найдена. Как может быть, что три типа взаимодействия (электромагнитное, сильное и слабое) прекрасно укладываются в общую изящную и непротиворечивую теорию, а четвертый, гравитационное взаимодействие, существует сам по себе?

Собственно говоря, физики должны будут считать, что им повезло, если ситуация окажется просто гёделевской – например, выяснится, что эти две теории просто независимы друг от друга. Нам нетрудно будет представить, что гравитация на самом деле независима от системы, образованной тремя другими взаимодействиями, а если это так, то никакой теории Великого объединения никогда не будет. Мне кажется вероятным, что нечто подобное справедливо и в отношении Тихонии и Диконии – то есть что они независимы друг от друга и создать научную теорию, охватывающую оба этих мира, невозможно.

Время от времени в Тихонии возникают диконские явления, потому что существуют такие вещи – например инновации, – которые всегда, даже в Тихонии, работают по диконским законам. Они описываются другой математикой и следуют другой логике, нежели явления Тихонии. Но трудность этой ситуации смягчается тем, что оба типа логики можно преподать и изучить в тихонском мире, в тихонских школах, точно так же, как совершенно не гениальные учителя могут разъяснять совершенно не гениальным массам мысли гениев.

Природа двойственного мышления

Большинство из нас предпочло бы жить по правилам Тихонии и иметь дело с Диконией только по мере необходимости. Но большинство из нас когда-нибудь да сталкивается с диконскими событиями – например, если мы попадаем в число тех невезучих, кто теряет средства к существованию из-за появления какой-нибудь крупной инновации. В этом случае нам просто придется найти какой-нибудь другой способ зарабатывать себе на жизнь. Мы можем подготовиться к такому событию, даже не представляя себе, как именно такая ситуация может сложиться в реальности. Предсказание времени наступления такого события математически невозможно. Мы должны научиться думать одновременно по-тихонски и по-диконски, а для этого мы должны быть до определенной степени знакомы с законами обоих миров, чтобы спокойно жить привычной тихонской жизнью, в то же время сохраняя готовность реагировать на диконское событие, которое может произойти в любой момент.

Такого рода «мышление обоими способами» – не вполне то, что Джордж Оруэлл называл «двоемыслием» в своем романе «1984», но если мы говорим именно о «способности придерживаться одновременно двух взаимоисключающих убеждений и верить в оба»[110][111], то эти понятия означают приблизительно одно и то же. Однако есть и одно важное различие. В романе Оруэлла двоемыслие применяется исключительно к той лжи, которая служит сиюминутным интересам Партии и в которую нужно безоговорочно верить: «Знать и не знать, владеть полной правдой и говорить тщательно сфабрикованную ложь, придерживаться одновременно двух взаимоисключающих мнений, знать, что они противоречат одно другому, и верить в оба, обращать логику против логики»[112].

Одновременное мышление по-тихонски и по-диконски не служит никаким политическим целям. Оно просто позволяет нам лучше понять окружающий нас мир. Тихония и Дикония не противостоят друг другу. Они существуют бок о бок. Как говорит Оруэлл, «даже для того, чтобы понять слово “двоемыслие”, надо применить двоемыслие»[113]. В нашем случае не происходит ничего зловещего; для того чтобы применять оба типа мышления, достаточно понять зачатки гёделевской мысли. А если нас обвинят в том, что мы противоречим сами себе, мы можем согласиться с Ральфом Уолдо Эмерсоном, сказавшим, что «бездумное постоянство – это жупел мелких умов»[114], или повторить за Уолтом Уитменом: «По-твоему, я противоречу себе? Ну что же, значит, я противоречу себе. (Я широк, я вмещаю в себе множество разных людей)»[115].

Мир тоже может противоречить сам себе. Область применимости любой модели ограничена, и если какой-либо аспект мира выходит за границу этой области, то его понимание требует другой модели. Помня об этом, мы можем жить своей более или менее тихонской жизнью, но уже не наивно, а с сознанием того, что иногда могут случаться мелкие, крупные и даже колоссальные кризисы.

Чудеса будут всегда – псевдо- и настоящие, позитивные и негативные. Развитие и кризисы происходят из одного и того же источника. Периоды развития следует использовать для подготовки к сопротивлению кризисам и возмещению причиняемого ими ущерба. Мы должны скопить как можно больше к тому моменту, когда наступит следующий кризис. При этом не следует рассчитывать, что накопленное богатство позволит нам спокойно пережить этот кризис, ведь кризис может быть настолько сильным, что разорит нас. Нам нужно собрать достаточно богатую свалку, чтобы с нее можно было начать восстановление после кризиса.

«Свалка богача» как конструктивный механизм

Приведем контекст знаменитой фразы Джона Мейнарда Кейнса – «В долгосрочной перспективе мы все умрем». Вот что он пишет дальше: «Экономисты ставят себе слишком простую и бессмысленную задачу, если в разгар сезона бурь они могут сказать нам только, что, когда шторм давно миновал, океан снова спокоен»[116]. Самого Кейнса интересовала разработка методов мореплавания в шторм. Наша же тема – подготовка к таким штормам при спокойном море, подготовка к тому моменту, когда сильнейшая буря – которая рано или поздно разразится – наконец уляжется, океан успокоится, но наши суда будут потеряны. Мы хотим иметь такую богатую «свалку», чтобы даже после разрушений, причиненных бурей, нам оставалось нечто ценное.

Может показаться сомнительным, что главный механизм восстановления – это свалка. В конце концов, вещи попадают на свалку именно потому, что они не имеют никакой ценности. И это действительно так, пока все идет хорошо, но, как только ситуация ухудшается, они вновь становятся ценными. Такое положение вещей – не редкость в природе. Например, в крови человека плавает много такого, что кажется клеточным мусором. Там есть фрагменты протоплазмы, которые называют «кровяными пластинками», или тромбоцитами, – пока все в порядке, они просто болтаются где попало, как кажется, совершенно бесцельно. Но при возникновении кризиса – повреждения кровеносного сосуда – эти «пластинки» устремляются к месту происшествия и помогают заполнить разрыв.

Главная идея Талеба, по-видимому, состоит в том, что нам нужно стремиться избегать убытков, причиняемых опустошительными бурями. Но кризисы неизбежны, и, когда кризис разражается, многих часто постигает настоящая катастрофа. Поэтому на уровне всего общества рецепт Талеба бесполезен. Кроме того, он весьма сомнителен с этической точки зрения. Я думаю, Магеллан и Колумб презирали бы человека, который сказал бы им: «Не уходите в плавание; это слишком опасно. Лучше остаться дома и поставить на гибель тех простаков, которым хватает глупости выходить в открытое море».

Поэтому важно не пытаться предотвратить убытки, когда кризис наконец случится. Важно выгодно использовать позитивные чудеса развития в течение периодов затишья. Как мы видели в главе 9, «Уровни дикости», кое-кого инновации могут, так сказать, «ограбить». Раньше эти люди удовлетворяли спрос, который теперь более качественно удовлетворяется нововведением, и они несут от этого некоторые убытки. Методы, изделия и технологии, некогда работавшие, оказываются на свалке истории. Но после кризиса может оказаться, что те же методы и технологии еще полезны, – более того, они могут спасти нам жизнь. Нужно использовать периоды развития для создания максимально богатой «свалки», которая поможет нам после кризиса и обеспечит возможность возобновления развития. Чем богаче наша «свалка», тем больше у нас шансов на восстановление.

Часть IV Подготовка к невообразимому

Мы не знаем, что́ готовит нам будущее, но именно мы должны помочь определить, каким оно может быть.

11 Как приспособиться к Диконии

В поисках новых идей к прошлому обращаются не только искусство и мода; давно позабытые методы могут помочь и в разрешении общественного кризиса.

Вводя понятие масштабной инвариантности, я отмечал, что наблюдающееся в последнее время усиление диконских явлений может быть вызвано четырьмя причинами: усложнением, интенсивной конкуренцией (например, дарвиновской эволюцией), эффектом Матфея и накоплением (не только капиталов, но и знаний). В поисках принципов, которые помогут нам выжить при диконском режиме, мы должны прежде всего рассмотреть эти четыре фактора и обдумать, как мы можем сделать результаты их воздействия более благотворными или даже обратить их к своей пользе, когда мы видим, что они ведут к диконскому положению вещей.

Разумная простота

Усложнение может способствовать возникновению Диконии, следовательно, готовясь к существованию в Диконии, мы должны понимать, что ценность простоты – по меньшей мере простоты разумной – будет расти. Поскольку в Диконии правит бал воображение, неудивительно, что этот простой принцип был осознан уже давно и часто осуществляется в разных видах искусства. Я приведу в пример одну из своих любимых скульптур, отметку нулевого километра в Будапеште (илл. 22). Эта скульптура Миклоша Боршоша, установленная в 1975 году у береговой опоры цепного моста Сеченьи со стороны Буды, служит точкой отсчета, от которой отмеряют расстояния по всем основным дорогам Венгрии. Это место служит точкой отсчета уже давно. Раньше там стояли другие скульптуры, но они были гораздо более замысловатыми – замысловатым был и «золотой верстовой столб» (Milliarium Aureum) на Римском форуме, бывший точкой отсчета расстояний по дорогам Римской империи (возможно, потому, что в системе чисел, которую использовали римляне, не было простой концепции нуля). Миклош Боршош воплотил абстрактную концепцию нуля предельно простым образом: в виде изящного нуля. Мужчины, как правило, видят в этой скульптуре женский символ, а женщины, как правило, – мужской, и это говорит о том, что она служит отправной точкой не только для дорог.

Илл. 22. Камень нулевого километра в Будапеште

(фото Веры Мерё)

Подобно этой скульптуре, человек может быть одновременно умным и простым. Одной из моих бывших студенток блестяще удавалось невероятно быстро выполнять сложную, но чрезвычайно монотонную работу. Нужно было сортировать набор фраз по противоположным категориям – хорошее / плохое, строгое / вольное и экономное / расточительное. Поскольку работа была монотонной, для ее выполнения требовалась некоторая простота, но чтобы не допускать ошибок, нужен был также определенный уровень интеллекта. Все остальные студенты в конце концов сдались, кроме самых настойчивых, которые продвигались все медленнее, причем даже они работали не очень качественно – в основном потому, что слишком много задумывались о том, что они делают. Самой удачной стратегией оказалась сортировка фраз по первому наитию, без особо долгих размышлений. Но эта студентка – и только она – работала быстро и с удовольствием, причем, как показал последующий анализ результатов, логично и разумно.

В качестве небольшого вознаграждения я решил оплатить этой студентке сдачу квалификационного теста Менсы – это своего рода элитный тест на интеллектуальное развитие, отделяющий 2 % самых умных людей в мире от остальных 98 %. Я решил, что ей нужна уверенность в своем интеллекте и этот тест поможет. Она не была уверена, что сможет пройти тест, и говорила, что он предназначен для очень умных людей, не ей чета. «Давайте попробуем», – сказал я и загрузил тест, подобный настоящему. Ей не хватило до проходного уровня одного балла. «Вот видите? – сказала она. – Я же говорила, что я не из этих суперумников». Меня чуть не разорвало от возмущения. Она попыталась сделать что-то первый раз в жизни, недобрала всего один балл и уже была готова сдаться. Я был уверен, что в следующий раз она наберет нужное количество баллов.

Я загрузил другой, еще более сложный тест. Она прошла его безошибочно, причем уложилась в отведенное время – что мне самому не удалось. «Как вы нашли правильный ответ на последний вопрос, с геометрической фигурой?» – спросил я. «Разве вы не видите? Шмяк справа, шмяк слева, а потом бац!» – ответила она, сопроводив слова жестами. И я увидел. Для решения задачи нужно было взять симметрическую разность между двумя сторонами фигуры, разделенной по вертикали в середине, и повернуть каждый столбец вверх на число шагов, равное номеру столбца. Проведенный позже анализ причин, по которым это решение было правильным, был далеко не очевидным.

Я пришел к выводу, что эта девушка обладала интеллектом очень высокого порядка (она безошибочно сдала вступительный тест Менсы), но в то же время чрезвычайно простым – она не загромождала свое мышление сложными концепциями. Какими бы ни были приливы и отливы Диконии, она всегда найдет себе место, потому что способна претворять в жизнь ту стратегию, которую Талеб рекомендует для Диконии: валять дурака там, где это уместно[117].

В некотором смысле эту же стратегию осуществляет и кубик Рубика. Его механическое устройство замечательно тем, что, как его ни поворачивай и ни перекручивай, его внутренняя конфигурация остается в точности такой же, как раньше, хотя цвета его граней, разумеется, перемешиваются. Сначала Эрнё Рубик попытался создать свой кубик при помощи сложной конструкции из резиновых лент, но ленты эти так перепутывались, что через некоторое время даже самому сильному игроку не удавалось повернуть кубик. В конце концов он пришел к решению, которое, хотя и было совершенно неочевидным, работает чрезвычайно простым образом. Чудо механической конструкции кубика Рубика возникло из доходящей почти до глупости простоты принципа его работы.

Принцип масштабной инвариантности обладает такой же простотой. Он позволяет нам отличать области Диконии, которые можно считать умеренно дикими. Хотя он сводится к чрезвычайно простой концепции – что некий объект должен иметь одинаковую структуру как в мелком, так и в крупном масштабе, – как мы уже видели, самоподобный объект, который мы называем фракталом, может быть поразительно (и даже бесконечно) сложным. Масштабная инвариантность пока что успешно применяется только в прикладном искусстве – например, в компьютерной графике. Никто не придумал, как заставить этот принцип работать в крупных технологических или промышленных масштабах.

Сравнительные преимущества

Другая важная составляющая возникновения Диконии – экстремальная конкуренция. К примеру, дарвиновская эволюция работает не только в природном мире, но и в экономике. Эволюция предполагает наличие общего принципа – известного уже почти два столетия, – который действует как в Тихонии, так и в Диконии, но особенно полезен может быть именно в последней.

Дарвиновскую теорию естественного отбора часто понимают превратно. В воображении неспециалиста «выживание наиболее приспособленных» начинает означать торжество сильных и вымирание слабых. Но такая картина совершенно не отражает сути дела. Естественный отбор может показаться жестоким – как сказал Теннисон, «красны природы зубы, когти»[118], – но именно естественный отбор позволяет выживать тем формам жизни, которые в поединке погибли бы.

Рассмотрим для простоты один гипотетический пример. Представим себе, что в косяке рыб есть особи, сравнительно слабые и неспособные успешно бороться за пищу со своими более сильными товарищами. Этим рыбам приходится непросто. Они живут сравнительно недолго и реже спариваются. Но предположим, что некоторых из этих слабых рыб занесло в некий мутный глухой залив, в котором мало еды и добыть ее трудно, но зато нет конкуренции, потому что более сильные рыбы предпочитают бороться за выживание в открытом море, где еды сколько хочешь. Некоторые из наших тщедушных рыбок могут остаться в этом заливе и выжить, хотя они уступают своим более сильным родственникам во всех отношениях. Наши рыбы нашли себе дарвиновскую экологическую нишу и с течением времени, существуя изолированно от своих бороздящих моря собратьев, они могут образовать отдельный вид, и у этого нового вида могут развиться новые характеристики – например, зрение, или чувство равновесия, или маневренность, – лучшие, чем у вида, от которого он произошел.

Аналогичный принцип в экономике был открыт Давидом Рикардо в 1817 году, более чем за сорок лет до публикации «Происхождения видов» Дарвина. Рикардо, британский экономист, анализировал международную торговлю и обнаружил, что две страны могут заключить друг с другом взаимовыгодную сделку, даже если одна из этих стран способна производить все, чего касается эта сделка, с большей экономической эффективностью, чем другая[119].

Предположим, что страны X и Y – пусть они называются Иксистан и Игрекистан – производят и поставляют друг другу продовольствие и одежду, причем каждая из этих стран может потребить того и другого столько, сколько она может либо произвести, либо приобрести. Иксистан может производить в сутки либо в три раза больше одежды, либо в два раза больше продовольствия, чем Игрекистан, в зависимости от того, какой продукции присваивается более высокий приоритет. Если Игрекистан может произвести больше продовольствия, чем ему требуется для внутреннего потребления, ему выгоднее по окончании производства продовольствия, необходимого на эти сутки, не переключаться на производство одежды, а продолжать производить продовольствие. Иксистан заберет у Игрекистана избыток продовольствия в обмен на одежду, которую Игрекистан мог произвести для своих нужд за это же время. Такое положение вещей выгодно и для Иксистана, если курс обмена одежды на продовольствие позволяет обменять некоторое количество одежды на большее количество продовольствия.

Хотя Иксистан производит оба вида продукции более эффективно, чем Игрекистан, ему на самом деле менее выгодно производить продовольствие, чем Игрекистану. В этом странном наблюдении и заключается суть открытия Рикардо, которое проще всего понять, если рассмотреть, каким объемом производства одежды каждая из стран должна пожертвовать, чтобы произвести одну единицу продовольствия. Иксистану производство одной единицы продовольствия стоит производства полутора единиц одежды, а Игрекистану – всего одной единицы. В терминах, которые использовал Рикардо, Игрекистан обладает сравнительным преимуществом в производстве продовольствия несмотря на то, что абсолютный объем его суточного производства продовольствия меньше, чем у Иксистана. Рикардо установил, что этот принцип действует в международной торговле вообще.

Логика сравнительных преимуществ в точности совпадает с логикой дарвиновской эволюции. Игрекистан и слабые рыбы обладают сравнительным преимуществом не потому, что они лучше производят продовольствие или находят еду в своем заливе, а потому, что во всех остальных областях их производительность значительно ниже. Слабые рыбы жертвуют меньшим ради поисков еды в своем застойном заливе, и поэтому им выгоднее жить в этом заливе, чем пытаться конкурировать с другими представителями своего вида. Когда Игрекистан производит продовольствие, то объем производства одежды, которым он жертвует, меньше, чем тот, каким пришлось бы пожертвовать Иксистану, реши он производить продовольствие. Как это ни парадоксально, их выживание обеспечивается их слабостями, если только им удается найти нишу, в которой они оказываются менее неприспособленными, чем их конкуренты.

Ни дарвиновская, ни экономическая конкуренция не устроены по принципу «все или ничего», и, несмотря на всю их безжалостность, оба типа конкуренции способствуют образованию и выживанию форм жизни и экономических систем. Те, кто находит свое сравнительное преимущество, получают шанс на выживание – несмотря на свое отставание во всех других областях.

Сравнительное преимущество стало фундаментальным принципом международной торговли, и таковым его до сих пор и считают, и описывают на курсах предпринимательства. Но на самом деле принцип этот имеет гораздо более общий характер и распространяется даже на отдельных людей. В своей книге «Биология денег» (Biology of Money) я проиллюстрировал это положение на примере адвоката. Представим себе адвоката – назовем его Ремингтоном Ундервудом, – который любит печатать на машинке и даже достиг в этом деле такого мастерства, что недавно завоевал бронзовую медаль на чемпионате мира по скоростной машинописи. Следует ли мистеру Ундервуду самому печатать свои документы в своей адвокатской конторе? Вероятно, нет. Предположим, что адвокатская работа мистера Ундервуда обходится конторе в $200 в час, и допустим, что он может печатать в два раза быстрее, чем лучшая из машинисток в его конторе, которая получает $35 в час. Каждый час, который он посвящает печатанию документов, экономит конторе $70, которые пришлось бы заплатить машинистке за два часа работы, но обходится в $200 за счет потери рабочего времени адвоката. Так что начальник Ундервуда был прав, когда велел ему заниматься машинописью только в свободное время, если, конечно, тот не хочет бросить адвокатскую работу, сильно потерять в зарплате и полностью перейти на машинопись. Неудивительно, что Ремингтон Ундервуд решил продолжать заниматься юриспруденцией и перестать печатать в рабочее время. Все это было бы справедливо, даже если бы он был одним из лучших в мире специалистов по машинописи и всего лишь посредственным адвокатом. Его сравнительное преимущество все равно было бы связано с адвокатской работой.

Решив продолжить адвокатскую практику, Ундервуд получает и еще одно огромное преимущество. Если он всего лишь неплохой адвокат – скажем, сотый по качеству в своей фирме, – ему вряд ли кажется, что он находится в состоянии острой конкуренции со своими коллегами; во всяком случае, это конкуренция не того уровня, с каким он сталкивается среди лучших в мире специалистов по скоростной машинописи. Поэтому он, вероятно, не видит нужды работать в области юриспруденции на пределе своих возможностей. Тогда у него остается достаточно свободного времени для занятий любимым делом – машинописью. Если его контора примет на работу еще трех блестящих молодых юристов, Ремингтон Ундервуд спустится с сотого места на сто третье, но разница будет невелика. А вот если на чемпионате мира по машинописи появятся три блестящие молодые машинистки, Ундервуд займет вместо третьего места шестое, и такая перемена может вообще отвратить его от машинописи.

Это не значит, что Ремингтон Ундервуд может халтурить на своей адвокатской работе. Если качество его работы упадет настолько, что конторе станет невыгодно платить ему по $200 в час, его начальство, возможно, и не будет против того, чтобы он сам печатал свои документы, а если его рентабельность опустится даже ниже $70 в час, его, возможно, попросят печатать и документы для других адвокатов. В этот момент его абсолютное преимущество в области машинописи станет также и сравнительным преимуществом.

Не обязательно быть в чем-то самым лучшим. Нас много, а чемпион мира может быть только один. Тот, кто лучше всех в мире делает что-то, в конце концов может заняться чем-нибудь другим, потому что его сравнительное преимущество находится в другой области. Важно найти ту область деятельности, в которой у нас есть сравнительное преимущество перед другими. Тем, кто хорошо владеет несколькими навыками, бывает нелегко сделать оптимальный выбор. Но поиск подходящей области стоит затраченных на него усилий, не только потому, что это усиливает наше ощущение благополучия, но и потому, что таким образом мы можем уменьшить стресс, который порождает экстремальная конкуренция. Найдя сферу, в которой мы можем максимизировать свое относительное преимущество, мы, вероятно, избавимся от необходимости работать на износ и сэкономим больше времени и сил на те занятия, которые по-настоящему нас интересуют.

Позвольте мне подчеркнуть эту мысль еще раз, потому что я знаю по собственному опыту, что студентам бывает трудно понять эту концепцию. Обычно наше сравнительное преимущество порождается не тем, что мы хорошо умеем делать. Оно зависит от того, что умеют делать другие, и еще более от того, насколько мы слабы в наиболее популярных сферах деятельности. Если мы гораздо слабее остальных во всех областях, кроме одной, в которой мы лишь немногим слабее, то в ней единственной и находится наше сравнительное преимущество, как у Игрекистана – в производстве продовольствия.

Это может показаться парадоксом, но тем, кто относительно слаб, чаще бывает легче найти свое сравнительное преимущество и, следовательно, обрести оптимальные шансы на выживание и успех, чем тем, кто силен во многом. Последние склонны выбирать из областей наиболее популярных, а там велика вероятность, что они столкнутся с кем-нибудь еще более сильным. Они могут потерпеть неудачу, так и не осознав, почему удается процветать столь многим из тех, кто был во всех отношениях слабее их. Если мы научимся думать в терминах сравнительного преимущества, у нас будет больше шансов найти путь к выживанию, когда мы окажемся в диконской ситуации, – то есть в эпоху великих перемен.

Эффект Матфея

Третья составляющая возникновения Диконии – это эффект Матфея. Как мы уже видели, принцип, согласно которому богатые обычно становятся еще богаче, а бедные – еще беднее, в некоторых случаях срабатывает автоматически и сам по себе способен привести в Диконию. Но эффект Матфея встречается гораздо чаще – не только в тех случаях, когда он является математическим следствием теоремы Альберта Барабаши и Реки Альберт. Он является совершенно неожиданно во многих ситуациях, в которых условия теоремы в точности не выполняются, и причиной его возникновения могут быть факторы, мелкие почти до незаметности.

Малкольм Гладуэлл описывает в своей книге «Гении и аутсайдеры» одно такое явление в мире хоккеистов. Он перечисляет игроков одной из команд канадской профессиональной хоккейной лиги и даты их рождения. Год не имеет значения: Гладуэлла интересует месяц рождения, и тут он обнаруживает нечто странное. Оказывается, что приблизительно 40 % игроков родились в первые три месяца календарного года, 30 % – во втором квартале, 20 % – в третьем и только 10 % – в четвертом. Всего лишь несколько человек из этих последних 10 % родились в декабре[120].

Причина этого удивительного явления вовсе не в каком-нибудь сочетании звезд, из-за которого родившиеся под знаком Водолея или Рыб наделяются особыми хоккейными талантами. Дело в том, что многие канадские дети начинают играть в хоккей в очень раннем возрасте. Кататься на коньках они начинают чуть ли не раньше, чем ходить. Самых одаренных конькобежцев отбирают для дальнейшего обучения по результатам, которые они показывают на соревнованиях среди детей, родившихся в один и тот же календарный год. В таком раннем возрасте разница в несколько месяцев оказывается очень существенной, и дети, родившиеся в начале года, получают преимущество перед теми, кто родился в его конце. Тут-то и вступает в игру эффект Матфея: исходное преимущество старших детей резко повышает их шансы на попадание в конце концов во взрослую профессиональную лигу, а родившиеся в декабре так и остаются отстающими. Старшие, более развитые дети в каждой возрастной группе кажутся более одаренными; тренеры уделяют им больше внимания и чаще выпускают их на лед; их более активно побуждают стремиться к мастерству, и это приносит им еще больше игрового времени и внимания тренеров. Ибо всякому имеющему дастся и приумножится, а у неимеющего отнимется и то, что имеет.

Прочитав об этом странном примере, кто-то заинтересовался этой темой и проверил месяцы рождения игроков футбольной сборной Чехии, система отбора в которую похожа на ту, что используется в канадском хоккее: результат оказался точно таким же. Потом кто-то еще просмотрел данные по Главной лиге бейсбола и обнаружил неожиданно большое число игроков, родившихся в третьем квартале. И что же? Оказалось, что в при записи в бейсбольные тренировочные лагеря пороговым месяцем для определения возрастной группы установлен не январь, а июль.

Разумеется, чтобы добиться успеха в хоккее на льду, недостаточно родиться в январе. Нужно еще обладать талантом и бесстрашием. Но такой искусственный перекос в квалификационной системе означает, что родившемуся в декабре нужно быть более талантливым, чем тому, кто родился в январе.

Научное описание эффекта Матфея дал в 1968 году американский социолог Роберт Кинг Мертон (отец нобелевского лауреата по экономике Роберта Мертона, третьего соавтора формулы Блэка – Шоулза, с которым мы познакомились в главе 6). Он же придумал этому эффекту библейское название[121]. Мертон изучил статистику получения научных наград и премий и обнаружил, что для тех, кто удостоился таких наград в молодости, награда часто работает как самоисполняющееся пророчество: их чаще цитируют, и обилие новых наград не особо зависит от дальнейших достижений этого ученого.

Приблизительно тогда же, когда был открыт эффект Матфея, похожее явление открыли в социальной психологии: его назвали эффектом Пигмалиона. Американские исследователи Роберт Розенталь и Ленора Джейкобсон получили разрешение провести в некой школе тест на уровень интеллектуального развития. Учителям сказали, что проводится не обычный тест на IQ, а «Гарвардский тест на модулированное освоение знаний»[122], который должен показать, у кого из учеников в наступающем учебном году с большей вероятностью повысится успеваемость. После проведения теста учителям передали список учеников, результаты которых попадали в верхние 20 % шкалы, – то есть тех, кто был готов «раскрыться». Учителям не сказали, что баллы начислялись ученикам случайным образом, независимо от того, как они прошли тест. В конце учебного года тест повторили, и среди самых младших детей, учившихся в первом и втором классах, те ученики, которые были помечены как «готовые раскрыться», показали в среднем больший рост успеваемости, чем их ровесники[123].

Этот эксперимент показывает, что эффект Матфея работает и в Тихонии, причем, как мы уже видели, он может приводить к возникновению диконских ситуаций. Однако существует один побочный эффект, который позволяет многим – например, нашим друзьям фермеру и мельнику – жить по-тихонски спокойно и все же выживать, когда диконские обстоятельства возмущают плавное течение жизни.

Эффект Матфея приводит не только к тому, что всякий имеющий все больше и больше увеличивает свое состояние, но и к тому, что его «свалка» становится все богаче и богаче по мере того, как ему начинают казаться ненужными все более ценные вещи. Если, например, эффект Матфея работает на благо некой мастерицы, она, возможно, решит покупать лучшие инструменты и более дорогие материалы. Ее старые инструменты и материалы еще не настолько изношены, чтобы их выбросить; это вполне годные вещи, которые просто заменили на более качественные. А поскольку у нашей мастерицы, как и вообще у мастеров, есть привычка никогда не выбрасывать ничего, что может когда-нибудь пригодиться, она убирает свои старые инструменты и материалы, а также другие не пошедшие в дело остатки на чердак. Там они и лежат, пока не разразится какой-нибудь кризис, – и тогда некоторые из этих вещей могут оказаться полезными. На чердаке хорошего мастера можно найти решение почти любой проблемы. Это решение может быть временным, но его во многих случаях хватает для продолжения работы.

Поэтому всякий имеющий, которому дастся, будь то богач или просто искусный ремесленник, может рисковать бо́льшим, чем другие, потому что он знает по опыту, что ему обычно удается найти выход из критической ситуации. Он берется за задачи, которые кажутся неразрешимыми, надеясь, что наверняка что-нибудь да придумает, – и, учитывая запасы, скопившиеся у него на чердаке, вполне вероятно, что так оно и выйдет. После биржевого краха хорошему инвестору обычно удается найти на своей «свалке» что-нибудь, помогающее ему встать на ноги и начать все сначала. Во всяком случае, у него больше шансов найти там что-нибудь полезное, чем у человека с менее богатыми «свалкой» или чердаком. Кроме того, и у ремесленника, и у инвестора есть опыт создания чего-либо с нуля, и этот опыт оказывается весьма ценным в критических ситуациях.

Таким образом, эффект Матфея не просто описывает возникновение социального неравенства, как полагал Мертон. Он также объясняет принцип действия общественно полезного механизма, хорошо укомплектованной «свалки». «Свалка» обеспечивает страховку тем, кто готов идти на необычайно большие риски, причем не вынужденно, а добровольно, потому что такие риски оправданны с учетом неизбежного краха, который должен случиться просто по определению. Точно так же любому боксеру приходится смириться с тем, что он будет регулярно пропускать удары.

Как накопить «богатую свалку»

Четвертая составляющая возникновения Диконии – это накопление капиталов и знаний. Эффект Матфея работает не только на уровне отдельных лиц, но и на уровне всего общества. Всякому обществу, имеющему великие знания и капиталы, дастся, а от общества, не имеющего их, отнимется и то, что имеет. Например, люди наиболее талантливые и энергичные уезжают из беднейших стран работать за границей. В Венгрии Джон фон Нейман вряд ли смог бы построить компьютер, а Юджин Вигнер не спроектировал бы там ядерного реактора. Самые привлекательные местные возможности в бедных странах обычно разрабатываются иностранными инвесторами. Это часто идет на пользу бедному обществу, поскольку у него самого нет достаточных капиталов для использования этой возможности, но такие инвесторы также вывозят значительные ресурсы за границу, в более богатые страны.

По мере того как общество накапливает капитал, оно может выделять деньги и время на решение задач, выходящих за рамки простого выживания, и это позволяет заниматься чем-то просто удовольствия ради, что делает жизнь богаче и осмысленнее. Такие занятия могут порождать радикально новые и общественно полезные чудеса. Взять хотя бы Майкла Фарадея, открывшего таинственное, ведомое лишь посвященным физическое явление электромагнитной индукции (в 1831 году) и законы электролиза (в 1833-м). Говорят, что в 1850 году Уильям Гладстон, бывший тогда канцлером британского казначейства, спросил Фарадея, есть ли от электромагнетизма какая-нибудь практическая польза. Фарадей, если верить легенде, ответил: «Ну как же, сэр, по всей вероятности, вы вскоре сможете обложить его налогом»[124]. И действительно, открытия Фарадея позволили создать всю ту электрическую инфраструктуру, которой мы пользуемся сегодня.

Крупнее и ценнее становятся не только «свалки» отдельных богачей. Еще одним результатом накопления становится рост «свалки» всего общества в целом. Накапливаются общественные знания, на которые можно будет опереться, если существующий образ действий окажется непригодным. Не только искусство и мода обращаются к прошлому в поисках новых идей; давно позабытые методы способны помочь в разрешении многих проблем. Например, после экономического кризиса 2008 года было введено регулирование некоторых типов биржевых операций, очень похожее на меры, принятые в 1720 году (когда Ньютон потерял свое состояние).

И в бизнесе, и в науке много сил тратится на экспериментирование с идеями, решениями и моделями, чтобы выяснить, что работает, а что нет. При этом «свалка будущего» растет день за днем и сегодняшние «новейшие» технологии становятся устаревшим мусором. Возможно, нам следует говорить не о свалке, а о музее науки, промышленности и техники, в котором можно найти всевозможные вещи, способные в один прекрасный день оказаться полезными. Такая богатая «свалка» дает как отдельным лицам, так и всему обществу шанс на восстановление после кризиса. Это обстоятельство отражено в пользующейся успехом книге Тодда Бухгольца «Новые идеи от мертвых экономистов» (New Ideas from Dead Economists). После кризиса 2008 года некоторые страны успешно вернулись к экономическим методам, которые до этого считались устаревшими, – например, к антициклической экономической политике[125].

Анализ четырех составляющих, ведущих в Диконию, позволил нам определить некоторые средства, которые могут быть особенно полезными при наступлении катастрофы диконского типа. Есть еще два принципа, полезные в Тихонии и абсолютно необходимые в случае перемещения в Диконию: это антихрупкость и конвертируемое знание.

12 Антихрупкость

Если и победитель не получит жестко пару раз, тогда это не бой, а бойня.

Нассима Талеба всегда интересовало, как можно бороться с хрупкостью вещей. Через несколько лет после «Черного лебедя» он написал целую книгу, посвященную этой теме. Она называется «Антихрупкость». Он выбрал ее названием слово, не существующее в английском языке, чтобы подчеркнуть, что тема этой книги – новая концепция, которой требуется новое название. Я считаю открытие Талеба настолько важным элементом арсенала, необходимого для выживания в Диконии, что оно заслуживает отдельной главы.

Что такое противоположность «хрупкости»?

Если вы попросите друзей и знакомых назвать антоним слова «хрупкий», то услышите в ответ что-нибудь вроде «стабильный», «массивный», «прочный», «крепкий», «сильный», «основательный», «нерушимый». Но эти слова однобоки: они говорят лишь о том, что, если нечто не хрупко, оно не поддается, когда его ломают. Почему бы не описать нечто, что становится лучше от попыток его сломать? В конце концов, противоположность «добру» – «зло», а не некое нейтральное состояние; противоположность «положительному» – «отрицательное», а не «нулевое»; противоположность «разрушению» – «созидание», а не сохранение существующего положения вещей. Однако оказывается, что противоположность «хрупкости» – всего лишь «неразрушимость». Нужно какое-то новое слово, скажем «антихрупкость», которое описывало бы нечто не просто не ломающееся, но и выигрывающее от попыток сломать его. В этом и состоит концепция, открытая Талебом.

Мы познаем идею противоположностей из повседневного опыта. Противоположность «большого» – «малое», а не «среднеразмерное», даже не «нуль-размерное» и уж точно не «отрицательно-размерное». Бывает также, что у какого-то понятия есть несколько противоположностей. Например, у «увлеченности» – не только «безразличие», но и, скажем, «отвращение». У «негибкости» – как правило, «гибкость», а вот у «гибкости» – не только «негибкость», но и «хрупкость», из чего следует, что противоположностью «негибкости» может быть «антихрупкость». И действительно, гибкость пружины выражает нечто большее, чем тот факт, что сжатие не причиняет ей вреда; пружина получает от сжатия выгоду, потому что именно сжатие придает ей способность распрямляться. Тем не менее «гибкость» – не антоним «хрупкости».

Ни одно из известных мне слов какого бы то ни было языка не выражает напрямую ту выгоду, которую приносит чему-либо попытка его сломать. Однако такие явления существуют, и не только в связи с пружинами. Талеб приводит удачный пример гидры из греческой мифологии: у нее было множество голов, и, когда одну из них отрубали, на ее месте вырастали две новых[126].

Гидра – существо мифологическое, но ее способность к регенерации широко встречается в биосфере. Например, бактерии становятся более жизнестойкими, когда мы пытаемся бороться с ними при помощи антибиотиков. Главная движущая сила биологической эволюции в том и состоит, что конкуренция и тяжелые условия существования отсеивают тех, кто хуже приспосабливается к ним, и от этого выигрывают те, кто может извлечь выгоду из неблагоприятной в остальном среды. Понятие антихрупкости относится не только к биологическим видам, но и к отдельным организмам. Например, мышцы и кости развиваются от упражнений – то есть от напряжения, – а рост растений стимулирует подрезка. Нечто подобное происходит и с человеческим мышлением: иногда нам требуется, чтобы что-то заставило нас думать более интенсивно. Один из моих преподавателей математики говаривал, что некоторые ученики похожи на лекарства: перед употреблением их нужно встряхнуть. Что он и делал, причем не только в переносном смысле.

Психологи используют термин «резильентность», описывающий качество человека, который становится сильнее в борьбе с жизненными трудностями. Эта идея выражается в строчке из популярного мюзикла «Фантастикс» (The Fantasticks), поставленного в 1960 году: «Без боли в сердце пустота». Таким образом, «резильентность» описывает частный случай антихрупкости, но используется только в профессиональном жаргоне психологов. Еще более специальный термин «посттравматический рост» описывает это качество более конкретно: травмы и невзгоды могут привести не просто к выздоровлению, но и к дальнейшему улучшению психологического здоровья.

Еще один тип антихрупкости называют, обычно с уничижительным оттенком, «комплексом Наполеона». Это название основывается на распространенном мнении (у которого, к слову, немного убедительных оснований), что низкорослым людям, таким как Наполеон, свойственно чрезмерное стремление компенсировать свой малый рост излишней агрессивностью или властностью, и именно это стремление к компенсации позволяет им добиваться успеха. Сам Наполеон был человеком не особенно низкорослым: его рост – 168 см (или, по другим данным, 170) – был даже выше среднего для взрослого француза его времени.

Антихрупкость «бойца»

Концепцию антихрупкости можно с пользой применять к состязаниям любого типа, в том числе к спортивным единоборствам. Профессиональные боксеры говорят, что бокс – это спорт, в котором избивают даже победителя: если и победитель не получит жестко пару раз, тогда это не бой, а бойня.

Есть люди, которым хорошая драка, по-видимому, доставляет удовольствие. Настоящий боец не боится пропустить несколько ударов соперника, если в конце концов выходит победителем; чем ожесточеннее бой, тем больше ему нравится драться и тем энергичнее он сражается. Такой боец не просто не замечает ударов; бьют его, бьет он, и это делает бой интересным.

Многие бойцы обладают на удивление мягким характером. Они не напрашиваются на неприятности. Их латентные дикость и агрессия проявляются, только когда начинается бой. Выше я упоминал, что крещендо рассерженных голосов может быть предвестником кабацкой драки. В этот момент спокойный тихонский мир добродушного пьянства готов уступить место диконскому хаосу – если, конечно, противная сторона не найдет умиротворяющих доводов. Но на этом этапе мирное разрешение конфликта случается редко, хотя вежливое извинение почти всегда способно предотвратить драку. Меня поражает, что люди готовы рисковать своей жизнью, лишь бы не потерять лицо.

Как-то раз, подъезжая к светофору, я замечтался, не успел вовремя затормозить и стукнул машину, стоявшую впереди. Удар был очень слабым, и все повреждения свелись к царапине на бампере. Но это была блестящая новенькая BMW; из нее выскочил мускулистый молодой человек, непрерывно крича: «Почему ты это сделал? Почему? Почему? Почему?» Он был явно расстроен, и я видел, что при малейшей провокации дело перейдет в драку. Не думаю, чтобы он хотел сильно меня покалечить, хотя я вряд ли вышел бы из этой переделки целым и невредимым; ему скорее хотелось сорвать на мне свою злость. Меня внезапно осенило, и я ответил: «Почему? Потому что я облажался. Мне очень жаль». Молодой человек моментально смягчился. Теперь ни о какой драке не могло быть и речи. Через несколько минут мы уже обменивались данными для отчета о ДТП, в полном соответствии с тихонскими правилами дорожного движения.

Бойцы встречаются и в интеллектуальных сферах. Не так давно я читал лекцию по психологии мышления группе очень молодых шахматистов. Я сказал, что те из них, кто хочет стать великими игроками, должны любить боевые аспекты игры. Нужно и выстоять, и одолеть противника, находящегося по ту сторону шахматной доски. Один из тренеров этой команды, гроссмейстер – то есть игрок наивысшей категории в Международной шахматной федерации (ФИДЕ), – не принадлежавший, однако, к числу самых успешных игроков мира, сказал мне, что после моих слов его осенило: «Теперь я понимаю, почему я так и не стал великим шахматистом. Я не люблю драться!» Действительно, он был шахматистом аналитического, интеллектуального склада и всегда пытался найти оптимальный ход для каждой конкретной ситуации, но не обращал внимания на боевые аспекты соревнования. Тем не менее, поскольку обычно ему удавалось найти наилучший ход, гроссмейстером он стал.

Но в шахматах борьба и соперничество не сводятся к определению объективно лучшего хода. Соревнование между двумя людьми – это борьба за нахождение того, что в данный момент окажется наиболее действенным против данного противника. Каждый великий шахматист видит в шахматной партии не борьбу между двумя наборами фигур, а борьбу между двумя людьми – двумя умами, двумя волями, двумя личностями. Великому шахматисту доставляют удовольствие попытки перехитрить противника. Именно против конкретного противника – его психологического склада и стиля игры – шахматист строит атаки и оборону, и вовсе не всегда выбирает «лучший» по объективным критериям ход. Именно поэтому в великих шахматных партиях мы можем увидеть, как игроки пытаются использовать рискованные дебютные гамбиты или идут на опасные жертвы, подставляясь под сокрушительные удары в надежде на то, что, если они перенесут эти удары, это может дать им более сильную позицию.

Я как-то спросил нескольких боксеров, борцов и людей, которые не занимаются никакими спортивными единоборствами, кто, по их мнению, победит в поединке между боксером и борцом. Предположим, что оба они – первоклассные (но не мирового уровня) спортсмены в своих дисциплинах и принадлежат к одной и той же весовой категории. Те, кто не занимается единоборствами, в подавляющем большинстве ответили, что победит боксер, но боксеры и борцы единодушно проголосовали за борца. Борец может получить несколько ударов, пока будет сокращать дистанцию, но как только он окажется на столь малом расстоянии, что у боксера уже не будет места для свободных движений руками, у последнего не останется никаких шансов. Разумеется, существует возможность, что боксер отправит борца в нокаут в самом начале схватки, но такой исход вероятен, только если боксер – спортсмен мирового класса. Первоклассный борец чаще всего способен выдержать несколько ударов первоклассного боксера.

А что произойдет в схватке между дзюдоистом и борцом классического стиля? Когда я задал этот вопрос дзюдоистам и спортсменам, занимающимся греко-римской борьбой, я получил весьма удивительный ответ: мне сказали, что все будет зависеть от того, как одеты участники поединка. Если, например, на них будут традиционные костюмы дзюдоиста, «дзюдоги» – тяжелая куртка, легкие штаны и пояс, – то дзюдоист почти наверняка победит. Однако против борца почти обнаженного дзюдоист окажется практически беспомощен, так как он привык хватать противника за одежду, и если свободной одежды на участниках схватки не будет, то борец получит большое преимущество.

Если не считать случайных кабацких драк, в реальной жизни боксеры и борцы редко вступают в схватки друг с другом. Воинственность шахматистов, однако, бывает очень разной, и они ежедневно вступают друг с другом в бой за шахматной доской. Можно сказать, что среди них есть игроки типа боксеров, типа борцов и типа дзюдоистов. И если вы думаете, что игроки боксерского типа – это крупные, массивные громилы, не тут-то было! Юдит Полгар, лучшей шахматистке всех времен, которая участвовала в мужских международных турнирах, присущ очень агрессивный стиль игры. Она явно наслаждается острой борьбой и не боится жертвовать фигуры. Кроме того, чем больше атак ей приходится отражать, тем сильнее становится ее игра. Как и большинство выдающихся бойцов, вне поля боя она становится человеком очень мягким.

Соответствуют стереотипному образу бойца и многие инвесторы. Малкольм Гладуэлл сравнивает в своей книге «Что видела собака» двух успешных инвесторов, представителя более традиционного типа Виктора Нидерхоффера и нашего друга Талеба. Нидерхоффер – типичный боец. Он обожает соревнование и готов идти на огромный риск, но, подобно хорошему игроку в покер, умеет оценивать конкурентов и знает, когда лучше спасовать. Поэтому он, как правило, ежедневно получает хорошую прибыль. Иногда ему все же не везет, и он несет огромные убытки. В один ужасный день он потерял все свое состояние, $130 млн. Ему пришлось продать все свои биржевые активы и всю свою коллекцию произведений искусства, а когда и этого не хватило, чтобы расплатиться с кредиторами, он был вынужден заложить свой замок и даже занять денег у собственных детей. После этого он начал все сначала и вскоре вернул себе все свое состояние, выкупил произведения искусства, выплатил закладную на дом, отдал долги детям и стал еще богаче, чем раньше. Нидерхоффер неоднократно оказывался у разбитого корыта, и каждый раз ему удавалось встать на ноги после очередного краха. Талеб считает, что инвестиционная стратегия Нидерхоффера – типичный пример хрупкой стратегии, но благодаря бойцовским качествам Нидерхоффера она становится антихрупкой, потому что его мотивируют именно тяжелые потери, и, разумеется, ему помогает тот факт, что «свалка богача» – источник богатства. В данном случае на свалке Нидерхоффера были записи из его картотеки – координаты людей, которым он не звонил годами, предпочитая им лиц более важных, а также стратегии, которые он не применял десятилетиями, и знание отраслей и отдельных компаний, которое в свое время уступило место более выгодной информации. После каждого краха эти «плевелы» снова становились полезными.

Таким образом, «свалку богача» не следует считать просто грудой вещей, отправленных в мусорный ящик или на чердак. На этой «свалке» также скапливаются знания, отброшенные за ненужностью или потому, что уступили дорогу новым. В некотором смысле можно сказать, что человечество владеет свалкой, на которой содержатся огромные информационные богатства, дающие нам возможность менять курс после очередной катастрофы.

У Талеба также проявляются типичные характеристики бойца, но если Нидерхоффер – боксер, то Талеб больше похож на дзюдоиста, хотя судя по тому, что пишет Гладуэлл, он вполне мог бы ввязаться в некоторые драки, если бы его не удерживали сотрудники. Боевая тактика Талеба-инвестора основана на принципах антихрупкости: он никогда не теряет помногу, но готов смириться со множеством мелких потерь в ожидании крупного выигрыша. Гладуэлл называет его «главным диссидентом Уолл-стрит», отмечая, что «консервативная Уолл-стрит восприняла [одну из первых книг Талеба, “Одураченные случайностью” (Fooled by Randomness), ] примерно так же, как католическая церковь – 95 тезисов Мартина Лютера» – или, может быть, как боксера, который внезапно начинает применять на ринге приемы дзюдо[127].

Инвестиции как боевое искусство

Теорема Гёделя касается и единоборств. Она говорит нам, что не существует настолько сильного боевого стиля, чтобы невозможно было разработать новый боевой стиль, способный успешно ему противостоять. А затем, может быть, кто-то создаст еще один стиль для противодействия последнему. Это отчасти объясняет, почему возникает столь много боевых искусств, в результате чего каждый может найти тот вид единоборств, который лучше всего соответствует его способностям и предпочтениям. Спортсмен мирового класса, занимающийся любым видом боевых искусств, должен быть способен победить в поединке менее успешного мастера любого другого единоборства просто потому, что обладает лучшими бойцовскими качествами. И разумеется, спортсмен мирового класса сможет одолеть любого непрофессионального драчуна, даже если тот нападает на него, вооруженный тяжелой бутылкой.

Посреди всех этих разговоров о том, кто кого может победить в кабацкой драке, стоит отметить, что не во всякой стычке дело непременно доходит до кулаков. Много лет назад в дверь моего университетского кабинета постучали: я открыл и увидел на пороге девушку, которая хотела со мною поговорить. Она была чемпионкой мира в одном не слишком известном виде боевых искусств и прочла в моей книге о том, что мастер мирового уровня в любой области держит в голове около десяти тысяч когнитивных схем. Она хотела узнать, относится ли это и к боевым искусствам. Когда я заверил ее, что это, несомненно, так, она спросила, как ей узнать, обладает ли она такими знаниями. Я ответил: сам тот факт, что она является чемпионкой мира, говорит о том, что у нее эти знания есть. Девушка была очень умна, и беседа наша была весьма интересной, но я не мог добиться того, чтобы она поняла мою неприязнь к боевым искусствам и к боям вообще. «Что вы будете делать среди ночи, – спросила она, – если на вас нападут на улице?» Я ответил: «Если к вам или ко мне подойдут сзади и огреют по голове бейсбольной битой, толку-то от нашего боевого мастерства? Даже от вашего. С другой стороны, если я окажусь с нападающим лицом к лицу и смогу с ним поговорить, то наверняка подберу слова и уговорю его не причинять мне увечий, пусть даже он и отнимет у меня кошелек». Девушка обдумала это и сказала: «Ну, наверное, слова – тоже своего рода оружие».

Многие считают, что бои принадлежат к миру Диконии и находятся далеко за пределами их собственной зоны комфорта. Чтобы выиграть напряженное соревнование, боец должен черпать силы из ударов, которые он получает в схватках. Таким образом, антихрупкость – важное качество успешного бойца. Нашим друзьям фермеру и мельнику, с которыми мы время от времени встречаемся на страницах этой книги, бои ни к чему. Предприятиям, которыми они управляют, воинственный настрой профессионального инвестора пользы не принесет. Они довольны, когда жизнь изо дня в день течет без возмущений, по правилам Тихонии. Если они останутся ни с чем, им будет очень трудно снова встать на ноги, и именно поэтому они считают целесообразным покупать опционы, страхующие их от неблагоприятных поворотов рынка, хотя и знают, что это позволяет инвестору, продающему эти опционы, наживаться за их счет, – но только до тех пор, пока ход событий удерживается в рамках знакомого им безмятежного мира Тихонии.

С тех самых пор, как появились опционные договоры, существуют и те, кто спрашивает, не следует ли запретить опционы вообще или хотя бы некоторые их виды. Мы уже видели, что законы, устанавливающие ограничения рынка опционов, возникли еще в 1600-е годы. В пользу ограничения торговли опционами можно привести убедительные этические доводы, особенно теперь, когда мы знаем, что для некоторых из опционных контрактов – а именно для тех, которые касаются самых глухих дебрей Диконии, – в принципе невозможно назначить справедливую цену. В Тихонии существует формула Блэка – Шоулза, позволяющая устанавливать реалистичные цены некоторых опционов, но в наиболее диких областях Диконии такой формулы нет – и быть не может. Тамошние опционы нельзя назвать «справедливыми» в обычном смысле этого слова.

И все же каждый раз, когда правила становятся слишком строгими, это вызывает громкое возмущение всех заинтересованных сторон. Фермеры и мельники жалуются, потому что потеря доступа к рынку опционов подвергает их ненужному риску. Торговцы опционами протестуют, потому что им кажется, что государство не должно регулировать их деятельность. В конце концов, говорят они, если дела пойдут плохо, мы не побежим к государству за помощью (хотя, как мы видели в 2008 году, это не вполне соответствует истине). Они примут удар на себя и будут самостоятельно пытаться снова встать на ноги, насколько это будет в их силах.

По-видимому, инвесторы верят в свою антихрупкость, хотя Талеб считает, что их образ действий порождает предельную хрупкость, раз им угрожает внезапное и полное банкротство. Но инвесторы, как и другие люди с бойцовским складом ума, не хотят, чтобы им запрещали драться так, как им хочется. Если опасные виды спорта вроде бокса разрешены законом, почему бы не считать законным и инвестиционный спорт? На этот довод можно возразить, что некоторые виды инвестиционной деятельности создают опасность для национальной экономики. Такую опасность можно яснее всего увидеть в инвестиционных стратегиях, подобных стратегии Талеба, потому что ставки на возникновение кризиса могут стать самоисполняющимся пророчеством, если вызовут панику среди инвесторов и крах рынка. Поэтому после экономического кризиса 2008 года в некоторых странах были приняты законы, накладывающие ограничения на финансовые «боевые искусства» того стиля, которого придерживается Талеб. Заметим, что во всех боевых искусствах действуют весьма строгие правила. Например, все знают, что в боксе запрещены удары ниже пояса. Инвесторы, как и боксеры, в целом готовы терпеть некоторые ограничения, если те не мешают им участвовать в схватках в выбранном ими стиле.

Большее беспокойство вызывают вопросы этические. Говорят, что одной из главных причин кризиса 2008 года была жадность инвесторов, и в этом обвинении есть доля правды. Бойцы чрезвычайно сильно стремятся победить и в пылу битвы могут забывать о вежливости и приличиях. Они охотно используют любые законные средства, имеющиеся в их распоряжении, а иногда идут и на нарушение правил, если считают, что это сойдет им с рук. Жадность – или, если угодно, волю к победе – невозможно искоренить. В таком случае вопрос сводится к следующему: пересекла ли жадность инвесторов, которая внесла свой вклад в кризис 2008 года, границу законности, – и если это так, не следует ли более сурово применять законы или, может быть, изменить их?

Наши родители и учителя, несомненно, были правы, когда учили нас, что драка, вообще говоря, – не самый этичный способ разрешения споров. Но драки – будь то драки физические, интеллектуальные или финансовые – никуда не денутся. Во всяком случае, для людей бойцовского склада основной смысл драки не сводится к разрешению спора. Их увлекает сама драка. Запрет поединков не помешает бойцам находить возможности подраться, и существует опасность, что такие запреты, несмотря на все их этические преимущества, могут в конечном счете принести обществу больше вреда, чем пользы.

Естественная антихрупкость такого рода, какой можно найти у боксера, может быть полезна обществу – например, когда ему требуются солдаты. Если взять менее милитаризованный пример: энергичный трейдер, торгующий опционами, если он делает жизнь фермера и мельника лучше, производит социальное благо для всех нас. В некотором смысле инвесторы оказываются благородными спасителями Тихонии – ее «белыми рыцарями». Мы видели выше, что принцип теоремы Гёделя можно применить к вопросам этическим и социальным, и потому должны признать, что задача уравновешивания этических и практических последствий любого конкретного законодательства или правила может быть неразрешимой.

Белый рыцарь Тихонии

Недавно друг моего детства Алекс, с которым мы уже встречались в предыдущих главах, рассказал мне об одной очень интересной инвестиционной возможности, которую он обдумывал. Компания казалась ему весьма перспективной, и он даже думал, что сумеет вывести ее на биржу Nasdaq, но он не вполне доверял ее генеральному директору. Почему-то ему казалось, что этот человек не стремится вывести компанию в мировые лидеры. Алекс подозревал, что директор может добиться прибыли, которая обеспечит его собственную финансовую безопасность, успокоиться на этом и пустить дело на самотек. Даже если бы Алекс получил в результате этого солидный доход, у него все равно было бы ощущение, что директор просто украл его деньги.

В конце концов Алекс решил не связываться с этой компанией, несмотря на ее многообещающие перспективы. Ему просто не нравился генеральный директор. Любой венчурный инвестор, хоть сколько-нибудь знающий свое дело, понимает, что успех стартапа настолько же зависит от личностей, связанных с этим делом, насколько и от великолепной новой идеи или бизнес-модели. «От генерального директора на самом деле зависит очень многое, – сказал мне Алекс. – В конце концов, чудес-то не бывает». Я слышал от него эту фразу уже раз сто, но на сто первый она задела меня за живое. «Что же я, по-твоему, пишу книгу о том, чего не существует?» – спросил я. К моему удивлению, он ответил: «Конечно нет. Есть чудо LogMeIn, первой венгерской компании, вышедшей на Nasdaq». Я решил проявить настойчивость: «Так ты считаешь, что это было чудо?» Он сказал со вздохом: «Ты вообще видел, что делается в Венгрии? Ты можешь себе представить, что кто-то из этой глуши доберется до крупнейшей американской фондовой биржи? Такое может случиться только чудом».

В его словах не было зависти. Алекс ни в коем случае не пытался приуменьшить достижение основателя компании LogMeIn. Может быть, случившееся с нею и было чудом, но без упорного труда и профессиональной организации дела никакое чудо не смогло бы довести компанию до биржи Nasdaq. То же можно сказать и об успехе кубика Рубика, и о кругосветном плавании молодой английской яхтсменки Эллен Макартур: без тщательной подготовки просто невозможно воспользоваться чудом, когда оно наконец случится. Как сказал в повести «Старик и море» Эрнест Хемингуэй: «Конечно, хорошо, когда человеку везет. Но я предпочитаю быть точным в моем деле. А когда счастье придет, я буду к нему готов»[128].

Чудесный успех компании LogMeIn относится к явлениям, которые мы назвали псевдочудесами. Из самой природы Диконии следует, что такого рода вещи время от времени случаются. Для всемирного успеха кубика Рубика понадобилось псевдочудо и «истинное» чудо. Во-первых, то, что Эрнё Рубик разработал механизм своего кубика, было истинным чудом: на современном ему уровне развития науки считалось, что это невозможно. А то, что Том Кремер сумел превратить игрушку Рубика в явление всемирного масштаба, было псевдочудом, порожденным природой Диконии.

Мой друг Алекс также стремится творить псевдочудеса. Он ищет новые предприятия, которые, как кажется, создали истинное чудо, из чего возникает возможность появления позитивного «черного лебедя». Но нужен кто-то, способный реализовать эту возможность. Именно такие бои по душе Алексу, и он, как и всякий серьезный инвестор, обладает бойцовским складом ума. Хотя он вкладывал капитал в стартапы, его основная деятельность заключается не в этом. Главное его дело – работа с руководством компаний, направленная на превращение неоперившихся гадких утят в прекрасных лебедей мира коммерческих предприятий. Есть люди, которые сражаются за дело, в которое верят, даже если им не нравится сражаться; в своей вере они черпают силы. Алекс не таков. Его антихрупкость основывается на его бойцовской психологии. Но он не из тех бойцов, которые бросаются на первую же ветряную мельницу. Ему нужна реалистичная цель.

Алекс по-прежнему не верит в чудеса, хотя и признает, очень неохотно, что они существуют – по меньшей мере те, которые мы назвали псевдочудесами и чудесами истинными. Но, когда он рассказывал о генеральном директоре, который ему не понравился, заявив, что «чудес не бывает», он добавил: «Черного кобеля не отмоешь добела». Изменение характера этого самого директора было бы, по мнению Алекса, почти трансцендентным чудом, а в такие чудеса он не верит категорически. Каких бы чудес он ни наблюдал, будь то радикальная смена взглядов или политического курса, обращение в веру или переход в иной «лагерь», к идейным противникам, – они никогда не были для него достаточным поводом для вступления в бой. Он инвестор, а не психолог и не пастор.

В частной жизни Алекс – человек очень мягкий, но в своей профессиональной деятельности он может сражаться как тигр. Я достаточно часто наблюдал его в таких сражениях. Однако я не могу понять, к какому типу бойцов он относится. Он точно не боксер, не борец и не дзюдоист – его стиль разительно отличается от стилей всех этих типов. Если бы я был достаточно подкован по части других боевых искусств, возможно, я мог бы определить, соответствует ли характер Алекса одному из них или же он изобрел свой собственный, ни на что не похожий стиль. Вполне возможно, что Алекс действительно создал новое боевое искусство, которое и практикует в своей инвестиционной деятельности.

Я бы сказал, что Алекс – инвестор первоклассный, но не мирового уровня. Он не меряется силами с такими гигантами, как Нидерхоффер, Баффетт, Сорос или Талеб. Его заветная мечта – поднять маленькую венгерскую компанию до выхода на биржу Nasdaq – так и не осуществилась, так что сам он так и не попал в высшую лигу. Как только Алекс понимает, что стартап, на который он работает, не добьется чудесного успеха, он выходит из дела. Это не значит, что он оставляет эту компанию, ничего для нее не сделав. Благодаря его участию все компании достигли устойчивого положения с хорошими перспективами. Казалось, сошлись все условия для осуществления того чуда, к которому так настойчиво стремился Алекс, – так же, как сошлись они для Эрнё Рубика и Эллен Макартур. Но чего-то не хватало. Возможно, ему просто не везло, а может быть, дело было в том, что он все же был инвестором первоклассным, но не мирового уровня. Тем не менее его усилия многих спасли от бурь Диконии. Я считаю Алекса белым рыцарем Тихонии.

Преимущества разнообразия

Выше я упоминал, что математическая система не может быть противоречивой «лишь немножко». Она либо абсолютно непротиворечива, либо противоречива. И если она противоречива, в ней можно получить любой вывод, в том числе и совершенно бессмысленный, вроде 1 = 0. Из этого следует, что математика – конструкция чрезвычайно хрупкая, раз одно-единственное неявное противоречие может обрушить все ее здание. Поэтому нам следует поддерживать непротиворечивость математики. Однако даже и в отсутствие противоречий математическое доказательство остается предметом хрупким – даже малейшая логическая ошибка делает его бесполезным.

Любая задача, решенная математикой – и еще в большей степени точными науками вообще, – и любая вновь открытая область математики порождает и новые задачи, ждущие своего решения, и новые, еще не исследованные области. Этот механизм придает всей системе точных наук и математики особую прочность, исключая возможность ее внезапного обрушения. Если боец черпает силы в ударах, которые он получает, наука точно так же черпает новые идеи и вопросы в тех задачах, которые она уже решила. В этом смысле наука тоже обладает антихрупкостью.

Гроссмейстеру с научным складом ума, не любящему сражаться и потому так и не ставшему великим игроком, тем не менее удалось за годы своей карьеры победить нескольких гроссмейстеров мирового уровня. Как он этого добился? Во всех без исключения случаях ключом к победе было обнаружение объективно наилучшего хода. В партиях, в которых он не допускал ни одного промаха, научный анализ приводил к победе. Но совершенство такого рода нечасто встречается у людей, играющих в шахматы, будь они даже гроссмейстерами, потому что такое научное мышление хрупко. Антихрупкий боец, подобный Юдит Полгар, намеренно не пытается найти объективно лучший ход: вместо этого такой игрок старается усложнить ситуацию, привести игру в состояние, в котором найти оптимальный ход будет трудно и противник, скорее всего, допустит хотя бы маленькую ошибку. Тогда Юдит вцепляется в эту ошибку и черпает силы из той напряженной ситуации, которую она же и создала.

Общая антихрупкость науки отражается в том факте, что лучшие шахматные компьютерные программы, гораздо меньше подверженные хрупкости, чем любой индивидуальный шахматист, способны выигрывать у лучших из людей-шахматистов, в каком бы стиле те ни играли. Если нашему другу-гроссмейстеру с научным складом ума лишь иногда удается победить игрока высшего уровня, шахматная программа, включающая в себя результаты размышлений сотен ученых, может стабильно выигрывать даже у самых лучших из воинов шахматной доски. Общая антихрупкость науки способна успешно противостоять хрупкости индивидуального разума. Однако в турнирной игре против человека хрупкое мышление шахматиста научного склада обычно уступает антихрупкости лучших бойцов.

Вполне может быть, что бойцовский склад мышления – такая же черта личности, как экстраверсия, в том смысле, что почти все мы до той или иной степени обладаем ею. Но у тех из нас, кто не относится к настоящим бойцам, есть другие средства достижения антихрупкости – в частности, научное мышление, хрупкое на уровне индивидуума, но антихрупкое в качестве метода решения задач.

Некоторые из ученых тоже могут быть бойцами, но к большинству это не относится. Сама наука антихрупка не потому, что этим свойством обладают ее представители или научное мышление, а потому, что она претворяет в жизнь другой аспект антихрупкости. Принципом действия наука похожа на биологическую жизнь, антихрупкость которой порождается тем фактом, что появление новых видов и непрерывная борьба за ресурсы создают среду устойчивого разнообразия, в которой могут появляться все новые и все более жизнеспособные формы жизни.

В главе 4, «Могущество нормального распределения», мы видели, как биологическая жизнь пытается провести в жизнь два принципа, которые на первый взгляд противоречат друг другу: многообразие и стабильность. Именно нормальное распределение обеспечивает надежную основу для обоих этих принципов одновременно, так что неудивительно, что биологическая жизнь крепко укоренена именно в Тихонии. Но в условиях Диконии многообразие биологических организмов позволяет видам не только выживать, но и разрастаться. Именно многообразие дает некоторым видам возможность извлекать выгоду из экстремальных условий окружающей среды. Многообразие особей в составе популяции увеличивает вероятность того, что некоторым из них такие экстремальные условия придутся по вкусу. Таким образом, многообразие само по себе может порождать антихрупкость на уровне биологического вида. Основная идея эволюции и состоит в возможности построения антихрупких структур из хрупких компонентов. Тот же принцип действует и в науке: многочисленные ученые, обладающие хрупким мышлением, способны создавать явно антихрупкие научные дисциплины.

Основу антихрупкости могут образовывать и другие принципы, например принцип самоорганизации, но разговор о нем увел бы нас слишком далеко от нашей темы. Поэтому я просто приведу в примечаниях несколько ссылок для тех читателей, которые хотели бы изучить эту тему более глубоко[129].

Антихрупкость и чудеса

В Тихонии мы можем более или менее справляться с неприятностями. У неблагоприятных эффектов есть математическое ожидание и стандартное отклонение. Они до определенной степени предсказуемы и не хаотичны. Мы приблизительно представляем себе, насколько сильным может быть землетрясение, насколько мощным – ураган, насколько широким – озеро, с которыми нам, возможно, придется столкнуться, и для противостояния им нам достаточно делать создаваемые нами системы прочными. Им не обязательно быть антихрупкими. Если мы сможем добиться стабильности, этого хватит почти в любой возможной ситуации. В Тихонии мы можем формировать свой мир, используя традиционные технические и экономические средства.

В Диконии события хаотичны и непредсказуемы, а в самых глухих ее дебрях у явлений даже нет стандартного отклонения. В таком мире невозможно никакое планирование в том смысле, в котором мы его обычно понимаем. Никто не может сказать, какого рода подготовительные меры следует принять на случай катастрофы, которая, вероятно, может произойти раз в тысячелетие. Для этого нужны фундаментально новые принципы планирования, обеспечивающие не просто прочность, но антихрупкость.

Но и антихрупкость – не панацея, хотя эта концепция важна для понимания некоторых принципов, типов поведения и способов мышления, особенно полезных в Диконии. Прежде чем мы сможем ясно обдумать связь концепции антихрупкости с диконскими катаклизмами, было бы полезно прояснить, что на самом деле означает слово «антихрупкость», и, может быть, найти для этого понятия более выразительное название. Если нам удастся включить концепцию антихрупкости в свое мышление, это должно помочь нам в подготовке к появлению тех «черных лебедей», которые время от времени неизбежно возникают в Диконии. А если антихрупкость станет в конце концов хорошо обоснованной научной концепцией, мы сможем ожидать появления более совершенных средств, которые позволят нам противостоять неблагоприятным псевдочудесам, порожденным природой Диконии.

В то же время у неблагоприятных истинных чудес – у тех, которые невозможно объяснить на нынешнем уровне развития науки, – есть своя позитивная сторона: именно из противодействия им наука черпает свою антихрупкость, движущую силу своего развития. Что касается чудес трансцендентных, антихрупкость в отношении этих явлений создает вера, хотя психологические механизмы этого процесса пока неясны.

«Свалка богача» как источник антихрупкости

До сих пор антихрупкость остается единственным общим принципом, изобретенным специально для условий Диконии, хотя может приносить пользу и в Тихонии. В предыдущей главе мы рассмотрели четыре принципа, которые, хотя и не соответствуют строгим критериям антихрупкости, оказываются очень полезны в мире Диконии и в то же время не противоречат науке Тихонии (хотя и не следуют из нее). Хотя антихрупкость особенно полезна в Диконии, она хорошо укладывается и в тихонский образ мыслей. Например, драки происходят не только в Диконии, но и в Тихонии, причем с незапамятных времен. О них говорится даже в законе Моисеевом, в особенности о справедливом возмещении ущерба: «…перелом за перелом, око за око, зуб за зуб; как он сделал повреждение на теле человека, так и ему должно сделать» (Лев. 24: 20). Единоборства могут и должны регулироваться как в Тихонии, так и в Диконии, и в обоих этих мирах нужна антихрупкость. Более глубокое изучение Диконии при помощи новых инструментов может принести пользу и повседневному тихонскому мышлению.

Мы видели, что и фермер, и мельник разумно предоставляют другим людям брать на себя риски, которые им самим не по зубам. Бои лучше всего оставить бойцам – так же, как мы оставляем науку ученым, а богослужения – священникам. Бойцы – белые рыцари Тихонии, а к рыцарям всегда применялись особые правила. В старину многие завидовали особому положению рыцарей, но мало кто соглашался надеть их доспехи и вступить в бой так, как принято у них. При аномально высоких рисках лучше всего довериться специалистам. Антихрупкость профессиональных инвесторов, порожденная их бойцовским характером, дает им лучшие возможности для работы с высокими финансовыми рынками, чем те, что есть в распоряжении фермеров или мельников; поэтому будет лучше, если опционными договорами будут торговать именно инвесторы. Они же, в свою очередь, готовы и даже рады заниматься этим делом, и в нормальных – тихонских – условиях обычно становятся гораздо богаче, чем фермеры или мельники.

Именно это богатство позволяет инвесторам накапливать «свалки», в которых они находят средства для восстановления после крупных крахов. Когда они не могут восстановиться после краха, это должно быть их личной заботой, но инвесторы – тоже люди, и они обращаются за помощью к государству, утверждая, что просят от имени фермера и мельника. Такое случилось, например, во время кризиса 2008 года. Однако Швеция, одна из немногих стран, которые проигнорировали эти крики о помощи, лучше всех справилась с кризисом[130]. Опыт, накопленный после 2008 года, показывает, что в таких катастрофических обстоятельствах с точки зрения общественных интересов лучше всего не обращать внимания на личные интересы инвесторов. Но это правило верно лишь в отношении временных мер; если государство проводит долгосрочную политику, враждебную к инвесторам, это приводит к разорению не кого-нибудь, а фермера и мельника.

Возможность банкротства – это обычный риск, неотъемлемо связанный с работой инвестора (и законами Диконии), который должен быть исключительно его личной проблемой. Однако давайте не будем завидовать богатству инвесторов или слишком жестко ограничивать их возможности накапливать это богатство, когда действуют законы Тихонии. Иначе не останется никого, готового идти на те риски, на которые идут инвесторы, потому что все прочие, не обладающие бойцовским складом «инвесторского ума», не смогут выдержать напряжения. «Богатая свалка», которую инвесторы создают в нормальные времена, вносит вклад в антихрупкость всего общества в целом.

13 Конвертируемые знания

Давайте не будем строить для наших внуков дом бедняка, а лучше создадим для них свалку богача.

В 1757 году тридцатидвухлетний Джакомо Джироламо Казанова, совершив дерзкий побег из венецианского Дворца дожей, приехал в Париж и начал восстанавливать свою жизнь с нуля[131]. По счастью, один его старый друг был в это время министром иностранных дел Франции, и с его помощью Казанова возродил французскую королевскую лотерею. Применив свои таланты обольстителя к продаже лотерейных билетов, он быстро разбогател.

Однако Казанова не был успешным бизнесменом: он приобрел и потерял несколько состояний, тратя огромные суммы на свои любовные приключения, прославившие его гораздо больше, чем организация лотереи. Пытаясь продать свою систему лотереи в других странах, он сумел добиться аудиенций с великими правителями того времени, в том числе с Георгом III в Англии, Фридрихом Великим в Пруссии и Екатериной Великой в Российской империи, но все они отвергли его предложения. Эпоха не благоприятствовала выдающимся деловым умам.

Деловые умы

И эпоха Казановы, и следующие два или три столетия были временем великих новаторов, которыми двигал в первую очередь дух инноваций и лишь во вторую – если они вообще учитывались – те коммерческие возможности, которые эти инновации могли открыть. В отличие от них для большинства нынешних мыслителей от бизнеса – «деловых умов» – решение научных или технических задач представляет интерес лишь как средство достижения очередного коммерческого успеха. Инновации ценны лишь постольку, поскольку их можно встроить в тему, которая повернет поток коммерческой деятельности в новом направлении. Например, Стив Джобс основал компанию Apple Computer на основе идеи создания рынка для компьютеров, которые будут покупать и использовать люди, не особенно интересующиеся техникой. Много лет он искал способы привлечь к своей продукции новых пользователей. Впоследствии возникла идея создания портативных вычислительных устройств: компьютера, который можно носить в сумке, в кармане, на руке. Для этого нужно было избавиться от громоздких устройств ввода, и долго казалось, что мы никогда не научимся работать на маленьком экране нашими толстыми неуклюжими пальцами. Но Джобс упорно держался за свою абсурдную идею, и так появились айфоны, затем айпады, а теперь и часы Apple Watch.

Сегодня почти все айфоны производятся в Китае. Но до какой степени можно считать айфон китайским изделием, если изготовитель выплачивает 50-процентный лицензионный сбор за каждое произведенное устройство американской компании Apple? Уж конечно, деловым умом в этой истории был не тот, кто решил, что айфоны должна производить китайская компания. Деловыми умами не были даже члены команды разработчиков самого айфона. Деловым умом был тот, кто угадал, что миру нужно такое устройство, и создал тему универсального информационного модуля, который можно носить в кармане. Стив Джобс был одним из величайших деловых умов в мире.

Мыслитель от бизнеса не может сказать сегодня, что́ он будет делать завтра, – так же как Казанова по приезде в Париж понятия не имел, чем он будет там заниматься. Единственное, в чем можно быть уверенным, – это что деловой ум придумает тему, которая сможет повернуть течение деловой активности в новом направлении. Этим человеком может быть принимающий решения руководитель, советник такого руководителя, предприниматель или независимый интеллектуал.

Именно мечты деловых умов и темы, которые они создают, порождают новые тенденции в производстве, и эти тенденции образуют существенную добавочную стоимость. В наши дни все склонны беспокоиться о том, что производство перемещается в развивающиеся страны. Что случится с жителями Европы и Соединенных Штатов без передовых умений? Худшее решение этой проблемы, которое мы можем предложить, – это обучать работников в этих странах конкретным умениям, даже если такое обучение предполагает получение степеней в сферах образования, инженерного дела или медицины. Разумеется, преподаватели и врачи будут нужны всегда, и (по меньшей мере сейчас) будут нужны локально. Но сейчас в развитых странах на отрасли, считающиеся «наукоемкими», приходится около трети валового внутреннего продукта, в то время как на строительство и сельское хозяйство – приблизительно по 5 %. Все более и более значительная часть – по некоторым оценкам, через несколько десятилетий она достигнет 50 % – валового всемирного продукта будет обеспечиваться идеями новых устройств, предметов, коммерческих стратегий и моделей, то есть темами, которые изобретают деловые умы. Эта оценка может оказаться преувеличенной, но во всемирном соревновании за экономическое лидерство победят те компании, регионы и страны, у которых будут самые лучшие деловые умы.

Конвертирование знаний

Вероятно, не должно удивлять, что деловые умы бо́льшую часть времени заняты размышлениями, и значительная часть их размышлений – это совершенно отвлеченные рассуждения. Поэтому такие мыслители могут иметь образование в области философии, как Джордж Сорос, классической филологии, как Чарльз Хэнди (специалист по организационному поведению и управлению, которого многие считают величайшим деловым умом нашего времени), истории искусства, как Эстер Дайсон (которая стала одним из первых крупных интернет-гуру), или других областях, не имеющих отношения к предпринимательской деятельности. На самом деле не важно, чему именно они учились; в заметном числе случаев величайшие в мире деловые умы начинали свою интеллектуальную карьеру с размышлений о вопросах, не касающихся бизнеса[132]. Они могут изучать гуманитарные дисциплины или точные науки – например, теоретическую физику. Важно научиться использовать широкие знания и навыки дисциплинированного творческого мышления, приобретенные в серьезной интеллектуальной дисциплине, – так же, как Казанова использовал свои знания человеческой природы (которые, судя по масштабам его любовных похождений, были немалыми) на благо своей французской лотереи. Или так же, как Том Кремер использовал свое чрезвычайно развитое воображение, позволившее ему предвидеть превращение кубика Рубика в явление всемирного уровня.

Бизнесу нельзя научиться по книгам – точно так же, как невозможно стать успешным скульптором или писателем, просто прочитав учебник. Не столь важно, начинаете ли вы свою карьеру историком, философом или астрономом. Если вы надеетесь войти в число успешных деловых умов, вам придется несколько раз за свою карьеру, при каждом случае проявления условий Диконии, конвертировать имеющиеся у вас знания в нечто совершенно иное. Таким образом, самая важная цель образования в XXI веке сводится к формированию надежной основы в какой-либо дисциплине и развитию способности к творческому конвертированию знаний по мере появления благоприятных возможностей. Деловой ум – это Казанова нашего времени, интеллектуальный авантюрист, способный применять знания и воображение в самых разных ситуациях, причем зачастую в областях очень далеких от той сферы, в которой он изначально получил эти знания.

Разумеется, деловые умы, отличающиеся свободным полетом мысли, не могут осуществлять свои идеи без помощи профессионалов, способных преобразовывать их грандиозные замыслы в изделия, услуги и коммерческие модели. Профессионалам также приходится по мере необходимости конвертировать свои знания в нечто полезное для осуществления очередной диконской мечты делового ума. Победителями в XXI веке окажутся те страны, которые сумеют обеспечить подготовку не только самых лучших деловых умов, но и поддерживающих их обученных специалистов, обладающих глубокими и конвертируемыми профессиональными знаниями. Значение будут иметь не столько те области, к которым относятся эти знания, сколько способность их конвертировать.

Я бы не советовал студентам университетов ориентироваться при выборе области деятельности на потребности сегодняшнего рынка. Как знать, что окажется востребовано завтра? Вместо этого я сказал бы: «Почти не имеет значения, чему именно вы учитесь. Важно лишь серьезно относиться к учебе, познавать взаимосвязи между вещами и идеями, и тогда вы будете востребованы, куда бы ни повернулся мир, потому что сможете применить свои широкие знания и умения в самых разных ситуациях».

Общая картина

В главе 9, «Уровни дикости», мы видели, что инновации автоматически усиливают все четыре фактора, ведущие к проявлению Диконии. Но мы также видели, что некоторые люди могут быть ограблены инновациями, если специализированные знания, благодаря которым они могли заниматься высококвалифицированной и востребованной деятельностью, теряют свою ценность. Сравнительное преимущество таких людей может исчезнуть, и, возможно, им придется зарабатывать на жизнь в какой-нибудь совершенно другой области. Я обычно говорю своим студентам – и психологам, и инженерам, – что лет через двадцать по меньшей мере половина, а может быть, и три четверти из них будут заниматься совершенно не тем, к чему они сегодня готовятся.

Удивляет меня то обстоятельство, что сегодняшних двадцатилетних это известие, по-видимому, абсолютно не удивляет. Даже если они не знакомы с наукой Диконии и логикой чудес, они почти не могут представить себе, что в течение сорока или пятидесяти лет будут заниматься одним и тем же делом. Такой образ мышления присутствует даже у тех, кто готовится стать учителем или врачом. Возможно, они и будут учить или лечить всю свою жизнь, но станут использовать при этом настолько иные средства и работать в настолько иных условиях и настолько по-иному, что это будет почти эквивалентно смене профессии, причем им придется узнать много такого, о чем они даже не думают, учась в университете.

Из самой природы Диконии вытекает, что мы зачастую не можем вообразить, что именно подтолкнет нас к переменам. Иногда мы даже не можем себе представить, какие неожиданности могут нас подстерегать. Тем не менее мы можем ожидать, что нам придется радикально изменить профессию и начать сначала в какой-нибудь новой области – возможно, даже не раз. Поэтому важнее иметь гибкое мировоззрение, нежели узкую специализацию.

Так было не всегда. В последние несколько столетий двигателем социально-экономического развития и критерием личного успеха были специализированные профессиональные знания. В XXI веке эта роль все больше переходит к знаниям конвертируемым. Древние считали способность предсказывать будущее признаком необычайного ума. Например, в романе «Империя» Стивена Сейлора, действие которого происходит в Древнем Риме, Клавдий размышляет: «История, в отличие от предсказаний, наука неточная, потому что имеет дело с прошлым, которое кануло навсегда, и его не в силах изменить ни боги, ни люди. Но пророчества относятся к настоящему и к будущему, к воле богов, которую еще предстоит раскрыть. Их можно назвать точной наукой – при условии, что прорицатель обладает достаточными познаниями и навыками»[133][134]. В то время полагали, что учителя, считавшиеся менее умными, чем предсказатели, тем не менее тоже отличаются особым умом, который позволяет им излагать идеи гениев в виде, доступном для широкой общественности. Сегодня признаком ума является способность готовиться к будущему заведомо непредсказуемому.

Методы преподавания конвертируемых знаний формируются уже сейчас, но нам пока что далеко до появления каких-либо конкретных дидактических принципов. Однако мы уже видим, что обучение конкретным профессиям все больше и больше вытесняется привитием студентам навыков понимания вещей в более общих рамках. В каждой крупной области деятельности существует всеобъемлющее мировоззрение, профессиональный образ мышления. Те, кто глубоко постигает это мировоззрение, получает хорошие шансы на усвоение общей картины даже в резко меняющихся ситуациях Диконии, и это помогает им ориентироваться в новых и неожиданных обстоятельствах.

Разумеется, чтобы конвертировать знания, нужно прежде всего ими обладать. Доскональное понимание науки Тихонии по-прежнему необходимо, но с меньшим упором на подробности и с бо́льшим – на общую картину. Как-то раз мой отец и мой дядя – обоим было тогда уже за восемьдесят – рассуждали о том, что теряют остроту ума. Тогда дядя заметил: «Нам еще повезло – у нас, по крайней мере, было что терять».

Для формирования конвертируемых знаний в первую очередь нужно преподавать не научные и не практические аспекты Диконии. Достаточно понимать всего несколько общих принципов. Нет смысла изучать конкретных «черных лебедей», если мы всего лишь объясняем их появление задним числом. Знания об одном «черном лебеде» не помогут нам понять следующего, тем более предсказать его. Но именно из-за возможности появления «черных лебедей» в каждой профессии необходимо изучать общую картину. Только так студент может подготовиться и противопоставить очередному «черному лебедю», когда тот возникнет, логичное, но гибкое профессиональное мышление, которое сможет приспособиться к радикальным изменениям мира.

Один знаменитый профессор медицины в начале каждого семестра проводил собрание сотрудников своего факультета, на котором обсуждалось содержание лекций на семестр. Как рассказывает один молодой доцент, запланированные профессором лекции по функции почек вызвали бурную дискуссию среди специалистов-урологов, присутствовавших на совещании. Через некоторое время профессор положил конец их спору, сказав: «В этом семестре почки будут работать вот так». В его словах не было цинизма. Он имел в виду, что, хотя отдельные детали курса лекций могут быть спорными, этот курс даст студентам хорошее представление об общих принципах работы человеческих органов. Возможно, той же цели можно было добиться и с другим курсом. Однако значение имеет не то, каким именно подробностям функции почек будет уделено особое внимание, а передача студентам образа мышления, который поможет им понять, как устроена медицинская профессия.

Идея о том, что понимание общей картины может помочь в решении конкретных проблем, далеко не нова. Жрецы Древнего Египта применяли для заучивания длинных перечней мнемонический метод локусов, а поскольку в то время грамотность не была широко распространена, память играла гораздо более важную роль в сохранении и передаче знаний, чем сейчас. При использовании метода локусов нужно представлять себе, что объекты, которые необходимо запомнить, находятся рядом с определенными предметами в хорошо знакомом месте со сложной структурой (например, в храме). Ассоциация каждого объекта с таким локусом позволяет организовать большой набор объектов так, что его элементы можно вспомнить даже через много лет[135].

Знаменитый русский психолог Александр Лурия в течение нескольких десятилетий изучал одного человека, обладавшего необычайно хорошей памятью. Однажды Лурия попросил его вспомнить длинный ряд слов, которые ему предложили запомнить за пятнадцать лет до этого. Пациент закрыл глаза, сделал паузу и заговорил: «Да-да… Это было у вас на той квартире… Вы сидели за столом, а я на качалке… Вы были в сером костюме и смотрели на меня так… Вот… Я вижу, что вы мне говорили…»[136] После этого он безошибочно повторил все те слова, которые Лурия давным-давно предложил ему запомнить. Этот человек всегда ассоциировал слова, которые хотел запомнить, со зданиями на Невском проспекте, главной улице Ленинграда (ныне снова ставшего Санкт-Петербургом). Он мог точно вспомнить, как выглядел Невский в то время, когда он связал эти конкретные слова с деталями его архитектуры. Чтобы успешно выполнить этот замечательный трюк, ему, как и древнеегипетским жрецам, нужна была общая картина, которую он знал до мельчайших подробностей.

Преподавание конвертируемых знаний

Преподавание конвертируемых знаний студентам вовсе не требует полного отказа от проверенных временем тихонских методов образования. Студенты лучших университетов уже давно получают знания до определенной степени конвертируемые, хотя основное внимание уделялось до сих пор другим аспектам.

В одной из серий американского телесериала «Северная сторона» (Northern Exposure) Джоэль Флейшман, врач из Нью-Йорка, переселившийся в городок на Аляске, летит на маленьком самолете с местной летчицей к пациенту, находящемуся где-то в глуши. На обратном пути в самолете возникает какая-то неисправность, и они совершают вынужденную посадку посреди огромного северного леса. Летчица знает о своем самолете все, но найти причину поломки ей не удается. Когда она уходит в лес на поиски пищи, доктор заглядывает в двигатель. Вернувшись, она видит, как Флейшман копается в двигателе, и категорически возражает против этого, на что врач отвечает: «Это всего лишь двигатель, О’Коннэл. Собственно говоря, он очень похож на человеческое сердце… Дело в том, что тут, кажется, застрял клапан. На нем такой нарост, как при стенозе легочной артерии… В сердце тоже есть клапан. Когда он застревает, кровь не проходит. Она течет обратно, и это вызывает большие проблемы, как и в случае с нашим двигателем… Эта штука застревала. Теперь не застревает… Ну-ка, давайте. Попробуйте его запустить». После чего, к ее удивлению, двигатель начинает работать[137].

Внезапно возникшие диконские обстоятельства заставили доктора применить знания, относящиеся к одной области, к совершенно отличному от нее предмету. Существовавшая в его уме общая картина того, как устроены вещи, оказалась конвертируемым знанием. Учившие его преподаватели медицинского института вовсе не имели этого в виду, но такова природа высококачественных знаний.

В своем медицинском институте доктор заучил наизусть названия всех бороздок, впадин и выступов височной кости, а их существует более двухсот. Зачем это было нужно? Нет никаких особых заболеваний каменисто-затылочной щели или клиновидно-небного отверстия, а если бы они и существовали, эти названия за несколько секунд можно найти в анатомическом справочнике или в интернете. Таким образом, нельзя сказать, что каждое название – важный элемент медицинских знаний. Студент-медик заучивает их потому, что врачу необходимо досконально знать анатомию человека. Это основа профессионального знания врача, его общая картина. К какой именно области относится общая картина, которую усваивает студент, не так важно, как само наличие какой-нибудь общей картины. Так что можете свободно выбирать любой предмет для углубленного изучения, будь то римское право, дифференциальные уравнения в частных производных или индоевропейская лингвистика.

Разрабатывавшиеся столетиями методы профессионального обучения позволяют приобретать полезные на практике знания, а знания высокого уровня в любой области всегда оказываются до той или иной степени конвертируемыми. Те, кто жалуется, что студентов заставляют заучивать все подробности строения височной кости или весь словарь индоевропейских корней только лишь в соответствии с традициями своего рода профессиональной «дедовщины», в какой-то мере правы. В некотором смысле такие утомительные, скучные задачи действительно представляют собой обряды инициации, но они ни в коем случае не бесполезны. Они помогают студенту сформировать то общее профессиональное понимание, которое позволяет специалистам высказывать разумные суждения по широкому спектру вопросов в очень широкой тематической области: без такой инициации они не были бы на это способны. Если мы будем тратить все свое время и все свои силы на поиск важных подробностей, у нас не останется умственных сил на представление общей картины или даже на ее изначальное формирование.

Тем не менее акценты профессионального образования будут смещаться. Все меньше внимания будет уделяться фактам и подробностям и все больше – пониманию множества специализированных моделей. Студенты будут знакомиться с противоречащими друг другу моделями и учиться сознавать, что никакая модель не может быть применима повсеместно. Для каждой конкретной ситуации необходимо найти ту модель, которая лучше всего к ней подходит. Некоторые из этих моделей могут быть тихонскими, а другие – диконскими. Чтобы иметь возможность работать и с теми и с другими, студенты должны быть в какой-то мере знакомы с тихонскими и диконскими концепциями. И, что важнее всего, они должны научиться мыслить по-тихонски и по-диконски.

В профессиональном образовании в каждой области и дальше останутся подробности, которые кажутся ненужными, но эти подробности будут все в большей степени касаться достижения глубокого понимания нескольких фундаментальных моделей, некоторые из которых, возможно, никогда не будут применяться на практике. Так мы сможем преподавать конвертируемые знания гораздо эффективнее, чем рассказывая только о новейших из современных методов, которые уже завтра будут использоваться только самыми отсталыми специалистами.

Студентам инженерного факультета, слушающим мои лекции по психологии, бывает трудно понять следующее утверждение: если человек идет по улице и ему на голову падает кирпич, в этом, возможно, отчасти виноват сам этот человек. Возможно, он заметил нечто подозрительное в здании, мимо которого шел, или в районе, в котором это произошло, и подавил эту мысль, тем самым внеся вклад в свое невезение. С другой стороны, моих студентов-психологов приходится убеждать в том, что, если человек идет по улице и ему на голову падает кирпич, человек может быть в этом и не виноват. Бывает и чистое невезение. Но студентам-психологам трудно встроить такую случайность Вселенной в свою общую картину.

Хотя мы и дальше будем готовить студентов к работе в конкретных профессиях, нам следует помнить, что многие студенты, изучающие как точные, так и гуманитарные науки, в конце концов будут работать в сфере маркетинга или финансов, потому что именно там имеется работа для людей, способных понимать и применять сложные математические модели и сложные концептуальные связи. Естественно-научное образование делает акцент на первых, а гуманитарное – на последних. Но в любой момент может возникнуть диконская сингулярность, которая создаст совершенно новые области деятельности для людей, обладающих этими квалификациями.

Люди по большей части сохраняют на всю оставшуюся жизнь тот профессиональный «язык», который осваивают во время обучения, и видение мира, определенное выбранной ими профессией. Однако конвертируемые знания, которые могут быть применены в диконской ситуации, радикально отличаются от традиционных специализированных знаний. Такие классические концепции, как оптимизация, минимизация и предсказание, становятся все менее и менее ценными, уступая место знаниям, которые можно использовать во множестве разных моделей, – как в случае (вымышленного) врача, починившего самолет.

Модели и макеты

Когда моя дочь Вера работала манекенщицей – «моделью», – она говорила в шутку, что на самом деле она не модель, а макет. Модель, рассуждала она, работает как настоящая вещь, но не похожа на нее, а макет похож на настоящую вещь, но не работает так, как та должна работать. Именно так она чувствовала себя в одежде, которую демонстрировала, – скорее портновским манекеном, чем настоящим человеком.

И в моделях, и в макетах содержится знание, но важно уметь определять, что именно требуется в каждой конкретной ситуации. И модели, и макеты нужны для применения конвертируемых знаний. Модель характеризуется областью ее применимости, а макет – общей картиной. Проект предприятия – это обычно модель, которую часто называют бизнес-моделью. Оценка воздействия коммерческой идеи обычно бывает макетом.

Эти две концепции часто смешивают. Когда мы строим модель двойной спирали ДНК, мы на самом деле строим макет, потому что наша конструкция не работает так же, как настоящая ДНК, – она только иллюстрирует общую картину. Однако в ней заключены глубокие знания, самым очевидным из которых является понимание структуры самой двойной спирали – и эти знания служат ключом к пониманию принципов ее работы. С другой стороны, уравнения Максвелла совершенно не похожи на электромагнитные поля, которое они описывают, но работают так же, хотя и в другой области. Поэтому эти уравнения – это модель электромагнитного поля.

Использовать модель или макет следует в зависимости от ваших конкретных целей. Например, я довольно хорошо знаком с уравнениями Максвелла и точно знаю, что, как утверждает максвелловская модель, электрический ток присутствует повсюду, но не внутри провода. По Максвеллу, провод только образует границу поля. Тем не менее, когда мои маленькие дети пытались потрогать электрическую розетку, я не кричал: «Не трогайте, а то станете частью границы электромагнитного поля!» Вместо этого я использовал макет и кричал: «Не трогай, ударит током!» В подобной ситуации такой макет казался более подходящим.

Сегодня при принятии решений – особенно решений деловых – сбор информации стал делом гораздо более легким, чем раньше; в сети легко можно найти и модели, и макеты, хотя и не всегда ясно, как отличить одно от другого. Трудно бывает выбрать достоверные знания по конкретным вопросам – другими словами, проверить истинность знаний[138]. Мы не можем знать, какова область применимости новой информации, новых моделей и макетов. Более того, их источники редко бывают абсолютно надежными. Одна из главных проблем нынешнего состояния Всемирной паутины состоит в том, что достоверные, надежные источники информации прошлого – например, Британская энциклопедия или Энциклопедия Брокгауз – не приспособились к эпохе интернета. Их электронные версии не обладают той же авторитетностью, какая была у печатных изданий. Интернет слишком молод, чтобы в нем появилась надежная, общепризнанная система контроля качества, а репутация, заработанная вне сети, не переносится в нее автоматически. Главенствующая философия интернета – самоценность полной свободы информации – антиавторитарна по самой своей сути, и это касается даже тех сайтов, у которых есть ответственные редакторы. Интернет изменяется сейчас слишком стремительно, чтобы в нем могли появиться достаточно стабильные и надежные источники информации.

В течение долгого времени в посвященной мне статье венгерской Википедии содержалась следующая информация: «Его дочь Река Сабо – математик, доцент Университета имени Лоранда Этвёша (ELTE), руководитель независимой танцевальной труппы “Тюнет Эдьюттеш”»[139]. На самом деле Река Сабо работает не в ELTE, а в Будапештском университете технологии и экономики, и к тому же она не моя дочь. Я действительно в течение десяти лет участвовал в ее танцевальном представлении «Шанс», хотя эта роль досталась мне не из-за моих причудливых танцевальных па, а потому, что в постановке нужен был математик, читающий лекцию о случайности.

Несколько лет назад я привел эту историю в качестве доказательства ненадежности информации Википедии в разговоре на одной вечеринке. Моих собеседников, которые все как на подбор были энтузиастами и участниками Википедии, моя недоверчивость обидела. Но на следующий день я заметил, что статью исправили. Именно так – по-видимому, совершенно случайным образом, – и работает Википедия. Можно сказать, из теоремы Гёделя следует, что у нас не может быть надежных знаний относительно надежности источника наших знаний.

Я тоже регулярно пользуюсь Википедией, хотя и не доверяю ей безоговорочно, и замечал, что качество источников, на которые она ссылается, бывает разным. Когда речь идет о действительно важной информации, я стараюсь проверить ее и по другим источникам. Например, в главе 7, «Математика непредсказуемого», я упоминал историю о последнем эксперименте Лавуазье. Ее можно найти на самых разных веб-сайтах, хотя история эта – всего лишь городская легенда.

Чудеса наших внуков

Повседневная жизнь наших внуков по-прежнему будет протекать в Тихонии, но масштабы случающихся время от времени диконских псевдочудес станут еще шире. То, что мы сейчас считаем чудом, может стать неотъемлемой частью их Тихонии – так же, как частью нашей стали телевизоры, сотовые телефоны, сердечные зонды, автомобили и авиаперелеты, а вскоре станут генетические модификации и возобновляемые источники энергии. Что касается тех псевдочудес, которые будут казаться чудом нашим внукам, их мы предвидеть не можем, – более того, наши внуки тоже будут не в состоянии их предсказывать. При жизни наших внуков будут возникать и истинные чудеса, но границы науки к тому времени сдвинутся. Чудеса трансцендентные, разумеется, так и останутся предметом мифов и веры.

Можем ли мы как-нибудь помочь нашим внукам подготовиться к гигантским негативным «черным лебедям», тем пагубным чудесам, с которыми их эпохе, несомненно, предстоит встретиться? Одно можно сказать точно: мы не можем разрешить их проблемы заранее. Верить в такую возможность значило бы обманывать себя. Из самой природы Диконии следует, что мы понятия не имеем о тех острейших проблемах, с которыми столкнутся наши внуки. То, что мы считаем проблемами сейчас, – например, глобальные изменения климата, столкновение с гигантским астероидом или истощение нефтяных месторождений, – для них может стать примером скудости воображения их предков.

Поскольку мы не можем заранее разрешить диконские кризисы наших внуков, самое полезное, что мы можем для них сделать, – это накопить им как можно больше богатств. Пусть у них будет достаточно ресурсов, чтобы обучить в широком спектре профессий миллионы специалистов с конвертируемыми знаниями, у которых будут хорошие шансы решить любые задачи. Что еще важнее, пусть у них будет «свалка» достаточно богатая, чтобы позволить им встать на ноги после краха. Мы не можем сделать так, чтобы у них не случалось диконских кризисов, но можем оставить им заведомо полезные модели и макеты. Наша сегодняшняя наука создает «свалки» для наших внуков – как для отдельных людей, так и для общества в целом.

Мы не знаем, что́ готовит нам будущее, но именно мы должны помочь определить, каким оно может быть. Именно мы должны пытаться разрешить проблемы нашей собственной эпохи: освоить некоторые из наиболее фундаментальных законов Диконии (например, определить область действия масштабной инвариантности на уровне законов природы), понять хаотическую природу бессознательного, развить науку антихрупкости, разработать более эффективные методы передачи конвертируемых знаний – и это лишь некоторые из таких задач, упомянутые в этой книге.

В конце части I я приводил в качестве примера истинного чуда историю о внезапном излечении моей двоюродной сестры ромашковым компрессом. Я рассказал эту историю не для того, чтобы посрамить современную медицину. Ромашка известна с древнейших времен, но всего несколько столетий тому назад почти все страдали постоянными и чрезвычайно неприятными кожными заболеваниями, которые считались неизлечимыми. Это положение изменилось благодаря прогрессу медицины, в том числе развитию фармакологии и (что еще важнее) открытию роли личной гигиены. Излечение моей двоюродной сестры не было бы чудом сто лет назад и, возможно, не будет чудом сто лет спустя, но на нынешнем уровне развития науки оно было хоть и небольшим, но чудом. Благодарить за это чудо следует наших предков, потому что именно они сделали «свалку» современной науки достаточно богатой для его осуществления. Нам тоже следует предпочитать не дом бедняка, а свалку богача.

Предсказать чудеса будущего невозможно. Некоторые из них окажутся чем-то, что мы считаем сейчас совершенно естественным и вовсе не относим к разряду чудес. Другие станут явлениями, в которых мы видим чудо сейчас и будем видеть его в дальнейшем, потому что даже нечто уникальное и неповторимое может происходить снова и оставаться таким же уникальным и неповторимым, как и в прошлый раз. Что важнее всего, будут происходить чудеса, которых мы сейчас не можем даже вообразить. Логика чудес есть логика непредсказуемого – логика нового типа, которую мы только начинаем понимать.

Эпилог

Мое личное чудо случилось в январе 2006 года в Германии – в Берлине.

Мне казалось, что я хорошо знаю Берлин, по меньшей мере его восточную часть. Подростком я много раз проводил летние каникулы в столице тогдашней Германской Демократической Республики и любил атмосферу этого города, хотя тогда он был очень серым. Несколько лет спустя, в 2006 году, я шел по знакомым улицам вновь объединенного города и внезапно увидел указатель «К мемориалу жертвам холокоста». Это меня заинтриговало. Я не слышал о спорах относительно проекта и строительства этого мемориала и понятия не имел, что он собой представляет.

Я пошел по указателям, как вдруг они прекратились. Где же мемориал? Я вернулся к последнему указателю и снова пошел по направлению, обозначенному стрелкой. По-прежнему ничего. Я был очень удивлен. Это не вязалось с немецкой точностью, к которой я привык. Много лет назад я жил на немецком морском курорте, где на каждом углу стояло по указателю со стрелкой и надписью «К морю». Я отправился по этим стрелкам и был поражен, когда, завернув за последний угол, увидел расстилающееся передо мной бескрайнее Северное море. На берегу стоял еще один указатель, на котором было написано «Море».

Илл. 23. Мемориал холокоста в Берлине

Но теперь, в Берлине, я видел перед собой лишь серое море бетонных плит. Я пошел между ними и только через некоторое время понял, что нахожусь в самом мемориале: более двух с половиной тысяч блоков с одинаковыми прямоугольными основаниями и разной высотой – менее 20 см по краям и почти 4,5 м ближе к центру (илл. 23). Ощущение было таким, как будто проходишь одну из этих видеоигр со стрельбой, где за каждым углом так и ждешь встретить что-нибудь чудовищное.

Больше всего меня впечатлил тот факт, что мемориал этот расположен в самом центре города и занимает, возможно, самый дорогой земельный участок во всем Берлине. В нескольких сотнях метров от него находятся Бранденбургские ворота. На углу стоит элегантный пятизвездочный отель. Над головой парят ангелы Вима Вендерса[140]. Немцы пожертвовали ради этого мрачного лабиринта по меньшей мере четырьмя кварталами первоклассной недвижимости.

Потом у меня появились и другие чувства. Я, потомок евреев, ходил среди этой огромной массы камня, но это меня не волновало. Меня захлестывало ощущение, что те, кто воздвиг этот памятник, испытывали искренний стыд за то, что произошло, за то, что они сделали. Я не мог не признать, что возведение этого памятника посреди их столицы, через шестьдесят лет после самих событий, потребовало от них силы духа и твердости характера.

А потом случилось чудо. Я почувствовал любовь к этим людям. Я всегда испытывал огромное уважение к тем, кто дал нам Баха, Гете и Гаусса, но никогда не думал, что когда-нибудь смогу полюбить народ, уничтоживший бо́льшую часть моей семьи. Мой отец, переживший войну и доживший до преклонных восьмидесяти семи лет, сказал однажды, что мы на самом деле не знаем, есть ли у нашей семьи предрасположенность к долгожительству, потому что никто у нас не умер своей смертью. Не могу сказать, чтобы я ненавидел немцев, но я и подумать не мог, что когда-нибудь сумею почувствовать к ним любовь.

Тот факт, что я все же ее ощутил, можно счесть трансцендентным чудом. По меньшей мере это чудо истинное, так как современная психология не может объяснить образование таких чувств. Явление романтической любви до некоторой степени можно объяснить психологически, хотя я не знаю никаких зрелых научных теорий на этот счет и потому склонен считать, что и романтическая любовь – истинное чудо. Но если и существует какое-либо научное объяснение того тотального переворота чувств, который произошел со мной, я о нем ничего не слышал.

В углу мемориала – подземный музей, в котором с немецкой точностью перечислены все известные уничтоженные евреи – более четырех миллионов имен. Это меня тоже не тронуло. Мне даже не пришло в голову поискать там имена своих родственников. Я вернулся к гранитным блокам, и меня снова охватило то же странное чувство. Оно не касалось моих предков; мемориал говорил не о них, и уж тем более не об их убийцах. Мемориал говорил о стыде. Он убедил меня – на уровне не рациональном, а «шкурном», – что немцы не хотят избавиться от тех преступлений, которые совершили, притворившись, будто время лечит любые раны, или отрицая эти преступления, или оправдывая их. Этот мемориал существует, чтобы напоминать им, перефразируя заключительные слова «Процесса» Франца Кафки, что «этому позору суждено их пережить».

Мемориал символизирует также своего рода антихрупкость – но речь идет об ударе, нанесенном не противником, а самими немцами. Форма же этого памятника дает еще один пример разумной простоты.

Мое переживание можно считать очередным примером – в дополнение к примерам Эрнё Рубика, Эллен Макартур и Гарри Поттера – того, как упорная настойчивость и профессиональная работа – а также, как можем мы добавить теперь, разумная простота и антихрупкость – могут породить чудо. Поэтому не приходится удивляться, что чудеса стали неотъемлемой частью нашего мира.

Библиография

Adamic L. A., Huberman B. A. Zipf’s Law and the Internet // Glottometrics. 2002. 3: 143–150.

Adams W. J. The Life and Times of the Central Limit Theorem. American Mathematical Society, 2009.

Anderson C. The Long Tail: Why the Future of Business Is Selling Less of More. Hachette Books, 2008. (Андерсон К. Длинный хвост: Эффективная модель бизнеса в интернете / Пер. с англ. И. Аникеева. М.: МИФ, 2012.)

Arrow K. J., Hahn F. H. General Competitive Analysis. Holden-Day, 1971.

Bak P. How Nature Works. Copernicus, 1996.

Barabási A.-L. Linked: How Everything Is Connected to Everything Else and What It Means. Plume, 2002.

Barabási A.-L., Albert R. Emergence of Scaling in Random Networks // Science. 1999. 286. № 5439: 509–512.

Bernstein P. L. Against the Gods: The Remarkable Story of Risk. Wiley, 1998.

Black F. How We Came Up with the Option Formula // Journal of Portfolio Management. 1989 (Winter).

Exploring General Equilibrium. MIT Press, 1995.

Bodie Z., Kane A., Marcus A. J. Investments. McGraw-Hill, 2001.

Border K. C. Fixed Point Theorems with Applications to Economics and Game Theory. Cambridge: Cambridge University Press, 1989.

Borges Jorge Luis. Collected Fictions / Tr. Andrew Hurley. Penguin, 1988. (Борхес Х. Л. Коллекция / Пер. с исп. В. С. Кулагиной-Ярцевой. СПб.: Северо-Запад, 1992.)

Bronowski J. The Ascent of Man. BBC Books, 2011. (Броновски Дж. Восхождение человечества / Пер. с англ. Н. Суставовой. СПб.: Питер, 2017.)

Buchholz T. G. New Ideas from Dead Economists. Plume, 2008.

Buckingham M., Coffman C. First, Break All the Rules. Pocket Books, 1999.

Camazine S. Self-Organization in Biological Systems. Princeton University Press, 2003.

Casanova G. The Story of My Life. Penguin Classics, 2001[141].

Chaitin G. The Limits of Mathematics. Springer, 2002.

Cohen P. J. Set Theory and the Continuum Hypothesis. Addison-Wesley, 1966.

Cohn N. Cosmos, Chaos, and the World to Come. Yale University Press, 2001.

Copi I. M., Gould J. A. Contemporary Readings in Logical Theory. Macmillan, 1968.

Csermely P. Weak Links: The Universal Key to the Stability of Networks and Complex Systems. Springer, 2009.

Damiani G. The Fractal Revolution // Biology Forum. 2010. 103: 151–190.

Diamond P. A., Saez E. The Case for a Progressive Tax: From Basic Research to Policy Prescriptions // Journal of Economic Perspectives. 2011. 23. № 4: 165–190.

Dietrich A. Functional Neuroanatomy of Altered States of Consciousness // Consciousness and Cognition. 2002. 12: 231–256.

Doney R. A., Mailer R. A. Stability and Attraction to Normality for Lévy Processes at Zero and at Infinity // Journal of Theoretical Probability. 2002. 15: 751–792.

Dörfler V., Baracskai Z., Velencei J. Mashup Content for Passionate Learners: Bridge between Formal and Informal Learning // Economics and Communication / ed. M. Herzog. GITO, 2015. P. 105–129. . strath. ac. uk/55423/.

Dunbar N. Inventing Money: The Story of Long-Term Capital Management and the Legends behind It. Wiley, 2000.

Ellis J. Physics Gets Physical // Nature. 2002. 415: 957.

Falconer K. Fractal Geometry. Wiley, 2003.

Ferguson N. The Ascent of Money: A Financial History of the World. Penguin Books, 2009.

Forbes C., Evans M., Hastings N., Peacock B. Statistical Distributions. Wiley, 2010.

Freeman W. The Physiology of Perception // Scientific American. 1991. 272: 78–85.

Friedman T. The World Is Flat: A Brief History of the Twenty-first Century. Farrar, Straus and Giroux, 2005.

Galton F. English Men of Science: Their Nature and Nurture. Macmillan & Co., 1874 / Kessinger, 2008.

Gelderblom O., Rouwenhorst K. E. Amsterdam as the Cradle of Modern Futures Trading and Options Trading // The Origins of Value: The Financial Innovations That Created Modern Capital Markets / ed. W. N. Goetzmann and K. E. Rouwenhorst. Oxford University Press, 2005.

Gladwell M. Outliers: The Story of Success. Little, Brown, 2008. (Гладуэлл М. Гении и аутсайдеры: Почему одним все, а другим ничего? / Пер. с англ. О. Галкина. М.: Альпина Бизнес Букс, 2009.)

Gladwell M. What the Dog Saw: And Other Adventures. Little, Brown, 2009. (Гладуэлл М. Что видела собака: Про первопроходцев, гениев второго плана, поздние таланты и другие истории / Пер. с англ. Е. Бакушевой. М.: Альпина паблишерз, 2010.)

Gleick J. Chaos: Making a New Science. Penguin Books, 2008. (Глейк Дж. Хаос. Создание новой науки / Пер. с англ. М. Нахмансона. М.: Амфора, 2001.)

Goldblatt R.. Lectures on the Hyperreals. Springer, 1998.

Granas A., Dugundji J. Fixed Point Theory. Springer, 2003.

Granovetter M. S. The Strength of Weak Ties // American Journal of Sociology 78. № 6: 1360–1380, 1973.

Hagerhall C. M., Purcell R., Taylor R. Fractal Dimension of Landscape Silhouette Outlines as a Predictor of Landscape Preference // Journal of Environmental Psychology. 2004. 24: 247–255.

Haken H. Information and Self-Organization. Springer, 2010.

Hawking S. A Brief History of Time. Bantam, 1998. (Хокинг С. Краткая история времени: От Большого взрыва до черных дыр / Пер. с англ. Н. Я. Смородинской. М.: Амфора, 2003.)

Heyne P. The Economic Way of Thinking. Pearson. 2013.

Hofstadter D. R. Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid. Basic Books, 1979. (Хофштадтер Д. Гёдель, Эшер, Бах: Эта бесконечная гирлянда / Пер. с англ. М. А. Эскиной. Самара: Бахрах-М, 2001.)

Iyengar S. The Art of Choosing. Twelve, 2011.

Jondeau E., Poon S.-H., Rockinger M. Financial Modeling under Non-Gaussian Distributions. Springer, 2007.

Jorion P. Value at Risk: The New Benchmark for Managing Financial Risk. McGraw-Hill, 2006..

Kauffman S. A. The Origins of Order. Oxford University Press, 1993.

Keynes J. M. A Tract on Monetary Reform. Prometheus, 2000. Впервые опубликовано в 1923 г. (Кейнс Дж. М. Трактат о денежной реформе // Избранные произведения / Пер. с англ. А. Г. Худокормова. М.: Экономика, 1993 (Экономическое наследие).)

Kindleberger C. P. Manias, Panics and Crashes. Palgrave Macmillan, 2011.

Koch R. The 80/20 Principle. Crown Business, 1999.

Kohn M. Financial Institutions and Markets. Oxford University Press, 2003.

Kornai J. Anti-Equilibrium: On Economic Systems Theory and the Tasks of Research. North-Holland, 1971.

Kotler P., Caslione J. A. Chaotics: The Business of Managing and Marketing in the Age of Turbulence. AMACOM, 2009.

Kotter J. Leading Change. Harvard Business Review Press, 2012.

Kun M., Szakács F. Az intelligencia mérése (Measuring Intelligence). Akadémiai Kiadó, 1997.

Lazear E. P. Personnel Economics for Managers. Wiley, 1997.

Lem S. The Cyberiad. Tr. Michael Kandel. Harcourt, Brace, 1985. (Лем С. Кибериада / Пер. с польск. К. В. Душенко // Собр. соч.: В 10 т. М.: Текст, 1993. Т. 6.)

Lesmoir-Gordon L., Edney R. Introducing Fractals: A Graphic Guide. Icon Books, 2005.

Lewis A. E. Biostatistics. Van Nostrand Reinhold, 1984.

Lim T., Wen-Chuan Lo A., Merton R. C., Scholes M. S. The Derivatives Sourcebook. Now Publishers, 2006.

Luria A. R. The Mind of a Mnemonist. Harvard, 1987. (Оригинальное русское издание: Лурия А. Р. Маленькая книжка о большой памяти (Ум мнемониста). М.: Издательство МГУ, 1968.)

MacRae N. John von Neumann. Pantheon Books, 1992.

Malkiel B. G. A Random Walk down Wall Street. W. W. Norton, 2003.

Mandelbrot B. The Fractal Geometry of Nature. W. H. Freeman, 1983. (Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы / Пер. с англ. А. Р. Логунова. М.: Институт компьютерных исследований, 2002.)

Mandelbrot B. A Multifractal Walk down Wall Street // Scientific American. 1999. 280: 70.

Mandelbrot B. A Maverick’s Apprenticeship. Imperial College Press, 2002.

Mandelbrot B., Hudson R. L. The (Mis)behavior of Markets. Basic Books, 2004. (Мандельброт Б., Хадсон Р. Л. (Не)послушные рынки: Фрактальная революция в финансах / Пер. с англ. А. Ю. Заякина. М.: Вильямс, 2006.)

Mandler M. Dilemmas in Economic Theory. Oxford University Press, 1999.

McNeil A., Frey R., Embrechts P. Quantitative Risk Management. Princeton University Press, 2005.

Mérő L. Ways of Thinking. World Scientific, 1990.

Mérő L. Moral Calculations. Copernicus, 1998.

Mérő L. Die Biologie des Geldes. Rowohlt, 2009.

Merton R. K. The Matthew Effect in Science // Science. 1968. 159: 56–63.

Mishkin F. S. The Economics of Money, Banking, and Financial Markets. Addison-Wesley, 2001.

Molnár M. Low-Dimensional versus High-Dimensional Chaos in Brain Function – Is It an And / Or Issue? // Behavioral and Brain Sciences. 2001. 24: 823–824.

Mueller L. D., Joshi A. Stability in Model Populations. Princeton University Press, 2000.

Mullins G., Kiley M. It’s a PhD, Not a Nobel Prize: How Experienced Examiners Assess Research Theses // Studies in Higher Education. 2002. 27. № 4: 369–386.

Nagel E., Newman J. R. Gödel’s Proof. New York University Press, 1983.

Nash M., Barnier A. The Oxford Handbook of Hypnosis: Theory, Research, and Practice. Oxford University Press, 2012.

Newman M. E. J. Power Laws, Pareto Distributions and Zipf’s Law. Contemporary Physics. 2005. 46: 323–351.

Networks: An Introduction. Oxford University Press, 2010.

Novak S. Y. Extreme Value Methods with Applications to Finance. Chapman and Hall/CRC Press, 2011.

Orwell George. 1984. Houghton Mifflin Harcourt, 2017. (Оруэлл Дж. 1984. Скотный двор / Пер. с англ. Д. Иванова, В. Недошивина. Пермь: КАПИК, 1992.)

Ottlik Géza. School at the Frontier. Harcourt, Brace and World, 1966. (Оттлик Г. Училище на границе / Пер. с венг. В. А. и А. В. Смирновых. М.: Художественная литература, 1983.)

Ottlik Géza. Két mese: Az utolsó mese («Две сказки: Последняя сказка»), в сб. Hajnali háztetők, Minden megvan («Крыши на заре», «Ничто не потеряно»). Európa kiadó, 1994.

Palla G., Barabási A.-L., Vicsek T. Quantifying Social Group Evolution // Nature. 2007. 446: 664–667.

Peitgen H.-O., Richter P. H. The Beauty of Fractals. Springer, 1984.

Prahalad C. K. The Fortune at the Bottom of the Pyramid: Eradicating Poverty through Profits. Wharton School Publishing, 2004.

Pratt G., Lambrou P. Code to Joy. HarperOne, 2013.

Robinson A. Non-Standard Analysis. Princeton University Press, 1996.

Rosenthal R., Jacobson L. Pygmalion in the Classroom. Holt, Rinehart and Winston, 1968.

Russo, J. E., Schoemaker P. J. H. Decision Traps. Simon and Schuster, 1990.

Samuelson P. A., Nordhaus W. D. Economics. McGraw-Hill, 2009.

Saylor S. Empire: The Novel of Imperial Rome. St. Martin’s Press, 2010. (Сейлор С. Империя. Роман об имперском Риме / Пер. с англ. А. К. Смирнова. М.: Азбука, 2016.)

Schervish M. J. Theory of Statistics. Springer, 1998.

Schroeder M. Fractals, Chaos, Power Laws. Dover Publications, 2009.

Shao J. Mathematical Statistics. Springer, 2008.

Simonovits A. Socially Optimal Contribution Rate and Cap in Proportional Pension Systems // Portuguese Economic Journal. 2015. 14: 45–63.

Smith A. An Inquiry into the Nature and Causes of the Wealth of Nations. Create Space, 1776/2014. (Смит А. Исследование о природе и причинах богатства народов / Пер. с англ. П. Н. Клюкина. М.: Эксмо, 2016.)

Soros G. The Crash of 2008 and What It Means: The New Paradigm for Financial Markets. Public Affairs, 2008.

Sprott J. C. Strange Attractors: Creating Patterns in Chaos. M&T Books, 1993.

Stewart I. Does God Play Dice? The New Mathematics of Chaos. Wiley-Blackwell, 2002. (Стюарт И. Играет ли Бог в кости? Математика хаоса / Пер. с англ. А. М. Леонова. Интернет-публикация, 2005. . org/d/math/math193. htm)

Taleb N. N. Fooled by Randomness. Penguin Books, 2005. (Талеб Н. Н. Одураченные случайностью. Скрытая роль шанса в бизнесе и жизни / Пер. с англ. С. Филина. М.: МИФ, 2011.)

Taleb N. N. The Black Swan: The Impact of the Highly Improbable. Random House, 2010. (Талеб Н. Н. Черный лебедь. Под знаком непредсказуемости. М.: КоЛибри, 2009.)

Taleb N. N. Antifragile. Random House, 2012. (Талеб Н. Н. Антихрупкость. Как извлечь выгоду из хаоса / Пер. с англ. Н. Караева. М.: КоЛибри, 2014.)

Taylor R., Spehar B., Van Donkelaar P., Hagerhall C. M. Perceptual and Psychological Responses to Jackson Pollock’s Fractals // Frontiers in Human Neuroscience. 2011. 5: 1–13.

Zdenek C. C. The Fractal Nature of Human Consciousness, 1993. . rg/GRD/zdenek.pdf

Выражение благодарности

Я хотел бы поблагодарить всех тех, кто оказал мне разнообразную помощь в написании этой книги. Вот эти люди: Балаж Ацель, Ката Бака, Эва Баньяи, Золтан Барачкаи, Юдит Бокор, Золтан Брандт, Каталин Варга, Тамаш Варга, Жадань Вечеи, Йолан Веленцеи, Золтан Гажи, Петер Геллери, Даниэль Гёнци, Каталин Кальман, Балаж Карафиат, Эрика Ковач, Эва Ковачхази, Шандор Кюрти, Габор Лигети, Апостолис Мавроматис, Балинт Мадлович, Бела Мариан, Кинга Машаньи, Вера Мерё, Каталин Мерё, Чаба Мерё, Анна Павлова, Аттила Пор, Эстер Рац, Иштван Самошкёзи, Габор Сас, Янош Сас, Сусанна Светельски, Андраш Симоновиц, Сусанна Такач, Петер Татраи, Андраш Тельч, Габор Тельч, Петер Фабри, Марта Хадхази, Андраш Целлер, Тамаш Шипош и Кристина Шомодьи.

Особой благодарности заслуживает Йожеф Бенце, подготовивший к печати иллюстрации. Кроме того, я хотел бы поблагодарить технического редактора (пожелавшего, подобно «людям, которые жили рядом с нами, незаметно и честно»[142], остаться неназванным) за вдумчивую и тщательную техническую редактуру, а также следующих сотрудников издательства Yale University Press: Уильяма Фрухта за внимательное чтение и скрупулезное редактирование рукописи; Карен Ольсон за помощь и поддержку при подготовке рукописи к печати и Анн-Мари Имборнони за организацию редактирования и издания этой книги.

Благодарю Мартона Молдована за точный перевод книги на английский язык и Дэвида Креймера за его вклад: он не только добавил переводу Мартона литературного лоска, но и прояснил многие из моих туманных и нечетких выражений и сделал книгу гораздо точнее, яснее и вразумительнее, а также, что особенно важно, увеличил то удовольствие, которое, надеюсь, она доставит читателям.

Примечания

1

Так переводятся введенные Талебом названия Mediocristan и Extremistan в русском издании «Черного лебедя» (Талеб Н. Н. Черный лебедь. Под знаком непредсказуемости. М.: КоЛибри, 2009). Следует иметь в виду, что более точный перевод английского слова mediocre, от которого образовано первое из них, – не «средний», а «посредственный» или «заурядный», то есть в оригинале это название имеет несколько более сильный пренебрежительный оттенок. – Здесь и далее, если не указано иное, подстрочные примечания переводчика.

Вернуться

2

Russo and Schoemaker (1990), р. 223. Авторы отмечают: эта история может быть апокрифической, но известно, что Уотсон говорил: «Я не люблю критиковать людей просто за их ошибки. Если видно, что человек должным образом обдумал вопрос, значит, он пытался сделать то, что нужно, – и я готов прощать обдуманные ошибки» (Ibid., р. 318).

Вернуться

3

Имеются в виду Шестидневная война в июне 1967 г. и война Судного дня в октябре 1973 г.

Вернуться

4

При Пенсильванском университете в Филадельфии.

Вернуться

5

В рамках этой стратегии продавец получает плату за будущую продажу активов, которых на момент заключения сделки у него еще нет, рассчитывая, что к оговоренному моменту их поставки он сможет приобрести их по более низкой цене.

Вернуться

6

См., например, Gelderblom and Rouwenhorst (2005).

Вернуться

7

Gladwell (2009), примечание (p. 75).

Вернуться

8

Другие примеры высокомерия Талеба: Taleb (2010), р. xxxii, 37, 44, 274–276.

Вернуться

9

Речь идет об издании dtv 2008 г. В оформлении более поздних немецких изданий используются образы лебедей и других цветов, в том числе черно-белые (Knaus, 2015). – Прим. ред.

Вернуться

10

Перевод В. Штемпеля, цит. по изд.: Штемпель В. Говорит любовь. Из немецкой поэзии. СПб.: Алетейя, 2011.

Вернуться

11

Стихотворение, которое цитировал фон Биберах, и ответ Лютера см. по адресу: https://en. wikipedia. org/wiki/Martinus_von_Biberach.

Вернуться

12

Перевод Т. Стамовой, цит. по изд: Теннисон А. In Memoriam А.-Г. Х. Obiit MDCCCXXXIII // Литературные памятники. М.: Ладомир, 2018.

Вернуться

13

Alfred, Lord Tennyson: “In Memoriam.” . utoronto.ca/poems/memoriam-hh-obiit-dcccxxxiii-all-133-poems. (Цитируются строки из первой строфы пролога поэмы. – Прим. перев.)

Вернуться

14

Hofstadter (1979), р. xxi.

Вернуться

15

На момент перевода этой книги рекордное время сборки классического кубика Рубика (3×3×3) составляет 3,47 секунды. Этот рекорд был установлен 24–25 ноября 2018 г. Ду Юйшэнем из КНР.

Вернуться

16

Ottlik (1966), р. 271.

Вернуться

17

Mullins and Kiley (2002).

Вернуться

18

Ottlik (1994), р. 308–309, англ. перев. Мартона Молдована.

Вернуться

19

См., например, -the-mind/humanbrain/einsteins-brain. htm или %27s_brain (/Мозг_Альберта_Эйнштейна).

Вернуться

20

Более точную формулу стандартного отклонения и основополагающие концепции математической статистики см., например, в Schervish (1998) и Shao (2008).

Вернуться

21

У любого распределения есть и другие характеристики помимо математического ожидания и стандартного отклонения. Например, стандартное отклонение ничего не говорит о наличии двойного «пика» у бимодального распределения. Но эти параметры не столь часто бывают по-настоящему важны, в то время как стандартное отклонение всегда имеет фундаментальное значение.

Вернуться

22

Сейчас мировой рекорд по прыжкам в длину у мужчин, установленный в 1991 г. Майком Пауэллом, составляет 8 м 95 см.

Вернуться

23

Точнее, Princeps mathematicorum, то есть «первейшим среди математиков» (лат.). Слово princeps исходно обозначало первого в списке сенаторов Древнего Рима, а начиная с Октавиана Августа стало титулом римского императора (отчего начальное устройство Римской империи и называют принципатом). От него произошло и русское слово «принц», и его аналоги в других европейских языках.

Вернуться

24

Ср. Mandelbrot and Hudson (2004), р. 37–39.

Вернуться

25

О распределении Коши см. Forbes et al. (2010) и Jondeau et al. (2007).

Вернуться

26

В Hofstadter (1979), р. 17, теорема приводится в изначальной формулировке.

Вернуться

27

О философских предпосылках теоремы Гёделя см. Copi and Gould (1968). Об ограничениях математики см. Chaitin (2002).

Вернуться

28

Аналогичным образом издававшийся Главлитом СССР «Перечень сведений, запрещенных к опубликованию в открытой печати, передачах по радио и телевидению» выходил под грифом «Секретно».

Вернуться

29

Lem (1985).

Вернуться

30

Перевод К. В. Душенко.

Вернуться

31

Ibid., р. 194.

Вернуться

32

Borges (1988).

Вернуться

33

Полное доказательство теоремы Гёделя см., например, в Hofstadter (1979), гл. 4–8; Nagel and Newman (1983).

Вернуться

34

Например, было доказано, что так называемая континуум-гипотеза в традиционной аксиоматике теории множеств представляет собой гёделевское утверждение (Cohen 1966).

Вернуться

35

Robinson (1996); Goldblatt (1998).

Вернуться

36

В математике есть супернатуральные числа, или числа Штайница, которые не имеют отношения к тем, что упоминаются здесь. «Супернатуральные числа» Хофштадтера – это гиперцелые числа, подкласс гипервещественных (они же гипердействительные), о которых и идет речь в главе. – Прим. ред.

Вернуться

37

Robinson (1996).

Вернуться

38

См. -the-commentaries.blogspot. com/2007/05/ johnny-von-neumann-jacob-bronowki. html.

Вернуться

39

Ньютон с аутизмом: / 2988647.stm; с биполярным расстройством: -polarpeople.com/isaac-newton.html; с паранойей: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Newton.html.

Вернуться

40

Цит. по изд.: Диккенс Ч. Жизнь Дэвида Копперфилда, рассказанная им самим / Пер. с англ. А. В. Кривцовой и Е. Л. Ланна // Собр. соч.: В 30 т. М.: Гос. изд. худ. лит., 1959. Т. 16.

Вернуться

41

Одна из его знаменитых книг – Galton (1874/2008) – переиздается до сих пор.

Вернуться

42

Перевод А. Курошевой. Цит. по: Английская поэзия в русских переводах. М.: Радуга, 1984.

Вернуться

43

См. (/Непокорённый_(стихотворение).

Вернуться

44

См., например, Mueller and Joshi (2000) и Doney and Mailer (2002).

Вернуться

45

См., например, Adams (2009).

Вернуться

46

Информацию о биостатистике можно найти в Lewis (1984).

Вернуться

47

: Distribution_of_Annual_Household_Income_in_the_United_States.png.

Вернуться

48

О центральных предельных теоремах см. Adams (2009).

Вернуться

49

Например, в работах Diamond and Saez (2011) и Simonovits (2015) модель распределения доходов строится на основе распределения Парето с показателем 2.

Вернуться

50

Koch (1999).

Вернуться

51

О процентных долях продажи книг см. Taleb (2010), р. 235–236.

Вернуться

52

Forbes et al. (2010).

Вернуться

53

Один из возможных кандидатов в бессмертные – по меньшей мере приблизительно – это вид Turritopsis dohrnii, также известный под названием «бессмертной медузы». По-видимому, эта медуза способна возвращаться в более раннее бесполое состояние, пожив некоторое время в виде зрелой взрослой особи. Если у вас когда-либо возникало желание прожить свою жизнь заново, вам, возможно, стоит подумать о превращении в такую медузу. – Прим. авт.

Вернуться

54

Со списком Гильберта можно ознакомиться здесь: , ’s_problems (/Проблемы_Гильберта).

Вернуться

55

Различные доказательства этой теоремы описаны в общих чертах на странице -point_theorem (/Теорема_Брауэра_о_неподвижной_ точке).

Вернуться

56

Granas and Dugundji (2003); Border (1989).

Вернуться

57

Цитаты из Адама Смита приведены в переводе П. Н. Клюкина.

Вернуться

58

Smith (1776/2014), кн. 1, гл. 2; кн. 4, гл. 2.

Вернуться

59

Arrow and Hahn (1971); Mandler (1999); Kornai (1971); Корнаи строит при помощи того же математического аппарата теорию с диаметрально противоположными выводами.

Вернуться

60

Вот несколько хороших источников по этой теме: Bodie et al. (2001); Kohn (2003); Mishkin (2001).

Вернуться

61

Dunbar (2000), р. 100–108; Malkiel (2003); Bernstein (1998).

Вернуться

62

Black (1995).

Вернуться

63

В 1997 г.

Вернуться

64

См. Mandelbrot and Hudson (2004), р. 64, и Lim et al. (2006), р. 67.

Вернуться

65

См. калькулятор Блэка – Шоулза по адресу: http://www. fintools.com/resources/online-calculators/options-calcs/options-calculator/.

Вернуться

66

Black (1989), р. 7.

Вернуться

67

Ibid.

Вернуться

68

Mandelbrot and Hudson (2004); Dunbar (2000), р. 93.

Вернуться

69

Mandelbrot (1999).

Вернуться

70

Об исследованиях гипноза можно прочитать в Nash and Barnier (2012).

Вернуться

71

Вернуться

72

Книга американского поэта Гарри Хьюмза, опубликованная в 1999 г.

Вернуться

73

Третий роман в серии «Убийство в штате Мэн» Милдред Б. Дэвис и Кэтрин Рум (2008).

Вернуться

74

Австралийская группа The Butterfly Effect, образовавшаяся в 1999 г. и работающая в жанре «альтернативный металл».

Вернуться

75

(/Эффект_бабочки).

Вернуться

76

Популярное описание теории хаоса можно найти в Gleick (2008); более математически ориентированное раскрытие этой темы приводится в Stewart (2002); ее коммерческие приложения рассматриваются в Kotler and Caslione (2009).

Вернуться

77

Обыгрываются скороговорки, при помощи которых профессор Хиггинс пытался привить Элизе правильное произношение, – «In Hertford, Hereford and Hampshire hurricanes hardly ever happen» и «The rain in Spain stays mainly in the plain». Интересно отметить, что этих фраз не было в пьесе «Пигмалион» Дж. Б. Шоу; они появились в одноименном фильме 1938 г., а затем – в бродвейском мюзикле My Fair Lady («Моя прекрасная леди») и более известном фильме того же названия, снятом в 1964 г.

Вернуться

78

Dietrich (2002); Zdenek (1993).

Вернуться

79

Molnár (2001); Damiani (2010).

Вернуться

80

Притч. 2: 2.

Вернуться

81

Цит. в Dunbar (2000), р. 1.

Вернуться

82

Невозможность трисекции угла доказал в 1837 г. французский математик Пьер Лоран Ванцель (1814–1848).

Вернуться

83

В верхнем ряду находятся графики за неделю и за час, в нижнем – за сутки и за пять минут. Графики построены по данным, предоставленным финансовой компанией Plus500.

Вернуться

84

Зрелищную полноцветную анимацию, использованную для создания илл. 18, можно найти по адресу: . com/watch?v=zLqMXDCMEVg

Вернуться

85

Классический труд по фракталам – Mandelbrot (1983). Об истории фракталов см. Mandelbrot (2002). Среди научных трудов можно назвать Falconer (2003), Schroeder (2009) и Sprott (1993). Красивые фракталы можно найти в Lesmoir-Gordon and Edney (2005), Peitgen and Richter (1984).

Вернуться

86

Science. New Series. Vol. 156. № 3775. 1967. May 5. P. 636–638.

Вернуться

87

Pratt and Lambrou (2013); Freeman (1991); Hagerhall et al. (2004); Taylor et al. (2011).

Вернуться

88

См., например, Barabási (2002), Csermely (2009) и Palla et al. (2007).

Вернуться

89

О Леви см. Mandelbrot and Hudson (2004), р. 169–172.

Вернуться

90

Ibid., р. 160–162.

Вернуться

91

Barabási and Albert (1999).

Вернуться

92

Эффект Матфея также мог бы называться эффектом Марка, потому что в Мк. 4: 25 говорится то же самое: «Ибо кто имеет, тому дано будет, а кто не имеет, у того отнимется и то, что имеет».

Вернуться

93

См. Taleb (2010), гл. 14–17.

Вернуться

94

Granovetter (1973).

Вернуться

95

Csermely (2009), р. vii. Повторный перевод с оригинального венгерского издания, р. 9 (в опубликованном английском переводе эта фраза была передана с ошибкой).

Вернуться

96

Ср. Mandelbrot and Hudson (2004), р. 242–244.

Вернуться

97

Newman (2010).

Вернуться

98

Чаще всего используется показатель Парето; см. Adamic and Huberman (2002); Simonovits (2015); Newman (2005); Diamond and Saez (2011).

Вернуться

99

Lazear (1997).

Вернуться

100

О швейцарском референдуме см., например, . com/articles/SB10001424052702304011304579217863967104606.

Вернуться

101

Для читателей, более искушенных в математике, уточним, что фактор Мандельброта, равный 1, соответствует показателю Парето, равному 2.

Вернуться

102

Newman (2005).

Вернуться

103

Сейчас наиболее широко используется модель VaR (Value at Risk – стоимостная мера риска); см., например, Jorion (2006) и McNeil et al. (2005).

Вернуться

104

О краях хаоса см. Cohn (2001) и Kauffman (1993).

Вернуться

105

Keynes (2000), р. 80.

Вернуться

106

Ср. Taleb (2010).

Вернуться

107

Buckingham and Coffman (1999); Prahalad (2004).

Вернуться

108

Более подробно о применении нормальных распределений, построенных на «хвостах» других нормальных распределений, см. в Novak (2011).

Вернуться

109

О теории Великого объединения см. Hawking (1998) и Ellis (2002).

Вернуться

110

Цитаты из романа Оруэлла «1984» приведены в переводе Д. Иванова.

Вернуться

111

Orwell (2017), р. 34.

Вернуться

112

Ibid.

Вернуться

113

Ibid.

Вернуться

114

Из эссе «Доверие к себе» (Self-Reliance, 1841).

Вернуться

115

Из поэмы «Песня о себе» (Song of Myself, 1855), перевод К. И. Чуковского.

Вернуться

116

Keynes (2000), р. 80.

Вернуться

117

Taleb (2010), р. 203.

Вернуться

118

Также в поэме «In Memoriam…», песнь LVI.

Вернуться

119

О принципе сравнительных преимуществ см. Samuelson and Nordhaus (2009) и Heyne (2013).

Вернуться

120

Gladwell (2008), р. 23–42.

Вернуться

121

Merton (1968).

Вернуться

122

Официально такого теста – англ. Harvard test of inflected acquisition – не существует, школьники проходили самый обычный тест на IQ. – Прим. ред.

Вернуться

123

Об эффекте Пигмалиона см. Rosenthal and Jacobson (1968).

Вернуться

124

Обсуждение вопроса о том, происходил ли на самом деле такой разговор, см. по адресу: КDisputed.

Вернуться

125

York (2009).

Вернуться

126

Приведенный Талебом пример гидры см. в Taleb (2012), р. 34.

Вернуться

127

Gladwell (2009), р. 56.

Вернуться

128

Цит. по изд.: Хемингуэй Э. Старик и море / Пер. с англ. Е. М. Голышевой и Б. Р. Изакова. СПб.: Азбука-классика, 2005.

Вернуться

129

О самоорганизации см. Camazine (2003), Kauffman (1993), Bak (1996) и Haken (2010).

Вернуться

130

О примере Швеции см. Soros (2008).

Вернуться

131

Casanova (2001).

Вернуться

132

Выходящий раз в полгода список пятидесяти ведущих деловых умов можно найти по адресу http://www. thinkers50. com.

Вернуться

133

Перевод А. К. Смирнова.

Вернуться

134

Saylor (2010), р. 48.

Вернуться

135

О методе локусов см. Mérő (1990), р. 107, или http://en. wikipedia.org/wiki/Mnemonic (/Метод_локусов).

Вернуться

136

Luria (1987), р. 12.

Вернуться

137

«Северная сторона», 3-й сезон, 3-я серия (s03e03), «Дикая природа» (Oy, Wilderness).

Вернуться

138

Dörfler, Baracskai, and Velencei (2015); Iyengar (2011); Kotter (2012); Friedman (2005).

Вернуться

139

Эти сведения все еще можно найти в истории изменений страницы.

Вернуться

140

Имеются в виду ангелы, сошедшие на землю и утратившие бессмертие ради мимолетной жизни в облике людей – на этом строятся сюжеты фильмов немецкого режиссера Вима Вендерса «Небо над Берлином» (Der Himmel über Berlin, 1987) и «Так далеко, так близко!» (In weiter Ferne, so nah! 1993).

Вернуться

141

Судьба мемуаров Казановы, озаглавленных им «История моей жизни» (Histoire de ma vie), оказалась не менее бурной и запутанной, чем жизнь их автора. Считающаяся полной рукопись мемуаров была приобретена Национальной библиотекой Франции только в 2010 г. и впервые опубликована в издательстве Pléiade в 2013–2015 гг. Опубликованы несколько неполных русских переводов с прежних – также неполных – изданий; в 2014 г. в интернет-издательстве litres. ru вышел новый, наиболее полный из имеющихся, перевод Л. М. Чачко. Эпизод с организацией лотереи описан в главе II тома V.

Вернуться

142

Цит. по изд.: Элиот Дж. Мидлмарч / Пер. с англ. Е. В. Коротковой, И. Г. Гуровой. М.: Правда, 1988 (пассаж из заключительной фразы романа).

Вернуться

Fueled by Johannes Gensfleisch zur Laden zum Gutenberg