«Понятная физика»

Понятная физика (fb2) - Понятная физика 535K скачать: (fb2) - (epub) - (mobi) - Игорь Джавадов

Игорь Джавадов Понятная физика

© И. Джавадов, 2014

© ООО «Написано пером», 2014

Все права защищены. Никакая часть электронной версии этой книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами, включая размещение в сети Интернет и в корпоративных сетях, для частного и публичного использования без письменного разрешения владельца авторских прав.

© Электронная версия книги подготовлена компанией ЛитРес ()

* * *

Введение, или о проблемах преподавания физики

В методике преподавания физики очевидны две проблемы. Во-первых, сложилась вековая традиция преподавать физику не как систему современных знаний о различных формах энергии, а как историю отдельных наблюдений и открытий, не всегда связанных между собой. Вторая проблема вытекает из первой – избыточность терминов. Взять хотя бы электричество. Электрические явления изучали Ампер, Фарадей, Ом, Максвелл и другие выдающиеся учёные. Вместе с их открытиями в физику вошли такие понятия как электродвижущая сила, разность потенциалов, напряжение, ток смещения и другие авторские термины. Разумеется, мы должны чтить вклад гениев в науку. Но с точки зрения современной физики речь идёт об одной и той же величине, измеряемой в вольтах. Для измерения указанных величин не нужны четыре разных прибора, достаточно одного вольтметра.

Отсутствие системного подхода и путаница в терминах приводит к непониманию физики. Возьмём, к примеру, известную фразу: «сила противодействия равна силе действия, но уравновесить ее не может». Возникают как минимум два вопроса: что такое сила противодействия и почему не может, если равна? Вразумительного ответа нет нигде, учащемуся остается слепо верить и запоминать. В результате кое-кто, храня веру в реальность силы инерции, до седых волос тратит силы и время, пытаясь собрать работающий инерцоид.

Почему преподаватель должен терять время, пересказывая заблуждения древних греков? Кто знает цену урока лучше учителя? Но авторы учебников до сих пор делают вид, что школьник XXI века не смотрит телевизор, не знает компьютер. Раздел «Электричество» традиционно начинается с рассказа о древних греках, которые полировали янтарь тряпочкой и получали при этом электрические искры. Да, сто лет назад это было новостью для рабочего, принятого без экзаменов на рабфак. Но это неинтересно современному школьнику, который играет на электрогитаре и сам собирает усилитель. А ему рассказывают сначала о физике Аристотеля, затем о Галилее, который опроверг Аристотеля, о Ньютоне, основателе механики, затем об Эйнштейне, который перевернул механику Ньютона. Ученику всё равно, он запоминает подряд всё, что слышит: современные знания, устаревшую натурфилософию, наивные взгляды древних греков. Вред от этого очевиден. Нам говорят, изучать ошибки прошлого надо, чтобы не повторять их в будущем. Конечно надо, но лучше факультативно и в конце курса. Сначала учащийся должен получить современные знания в системном виде. И только потом ему можно рассказывать о древних греках, которые верили, что тяжелые тела падают быстрее легких.

Настоящий курс физики составлен в виде системы, основанной на базисном понятии. Базис выбран по принципу: чем труднее определить понятие, тем ближе оно к базисному. Что совсем невозможно определить, то и является базисом. Другие понятия выводят из базиса. Кроме того, для определения величины взят один термин, а не два-три, как это бывает. Заметим, в традиционных курсах физики за базис взята сила, как причина движения. Так как сила считается вектором, стандартный курс физики начинают с векторной алгебры. Иначе «векторную» механику не понять.

Скажем сразу, что главной задачей физики является поиск новых форм энергии, а не изучение многомерных пространств. Поэтому в качестве базиса мы выбрали понятие энергии. Известно, что понятие энергии определить невозможно, хотя все согласны, что энергия не вектор. Значит, можно обойтись без векторной алгебры, которая сложнее обычной. Курс становится более легким, так как обычную алгебру преподают раньше физики.

ЧАСТЬ I

Раздел I. Механика

Глава 1. Движение частиц

§ 1. Частицы и поля

Практически любой курс механики начинается с фразы, что физика изучает окружающий мир: мол, физис, это природа по-древнегречески. Думается, это не совсем так. Окружающий нас мир изучают также географы, геологи, биологи и даже химики. Очевидно, должно быть нечто особенное, что изучает именно физика. Мы еще будем об этом говорить, но прежде должны разобраться, что такое окружающий нас мир.

С точки зрения современной физики наш мир состоит из частиц и полей. Частицы твердые, при соударении они разлетаются в стороны. Частицы не могут проходить одна сквозь другую. Предмет, состоящий из множества частиц, называют телом. Физическое тело имеет видимый объем и может вращаться вокруг своей оси. Частица выглядит как точка, поэтому ее вращение незаметно. Два тела не могут занимать одно и то же место. Например, если в лузу бильярда загоняют подряд два шара, первый падает на дно корзины, а второй остаётся сверху, так как нижний уровень уже занят.

Важнейшим свойством тела является масса. Обозначают массу буквой m. Масса тела зависит от вида частиц, из которых оно состоит. Например, свинцовая пуля массивнее деревянной пробки, хотя их размеры могут быть одинаковы. Массу измеряют в килограммах (кг). Когда проектируют новый самолет, то принимают, что масса пассажира в среднем равна 100 кг.

Поле это то, при помощи чего тела взаимодействуют друг с другом на расстоянии. Если тела взаимодействуют, то изменяется их скорость и положение в пространстве. Изменение положения тела называется пройденный путь или просто путь (s).

Напомним, что путь измеряют в метрах (м). Тысяча метров равна 1 километру (км). Время обозначается буквой t. Время измеряется в секундах (с). Скорость (v) это путь, деленный на время в пути: v = s/t (1.1). Изменение скорости тела – это разность между скоростью в конце взаимодействия (v2) и скоростью в начале (v1): v2 – v1. Изменение скорости, деленное на время взаимодействия, называется ускорением (а): a = (v2 – v1)/t = (s2/t – s1/t)/t. Поскольку s2 – s1 = s, в итоге получаем: a = s/t2 (1.2)

Поле существует вокруг тела, которое является его источником. При помощи полей тела могут притягиваться или отталкиваться. Направление действия поля зависит от вида частиц, из которого состоят тела. Принято отталкиванию приписывать знак плюс, а притяжению – минус. Если надуть воздушный шарик и потереть о волосы, он притянется к ладони. Если шарик подбросить, он притянется к потолку и прилипнет на некоторое время. Это пример электрического поля. Его источником являются мельчайшие частицы – электроны. Шарик зарядился электричеством в результате нашей работы. Другой пример: стальная кнопка притягивается к магниту. Магнитом можно гонять по столу кнопку, не касаясь её. Если взять другой магнит, то при определённом положении магниты будут отталкиваться друг от друга. Для краткости поле вокруг постоянного магнита называют магнитным. Если быть точным, это поле следует называть электромагнитным, так его источником являются электроны внутри магнита. Электромагнитное взаимодействие возникает при движении заряженных частиц.

Поля отличаются от частиц тем, что легко проходят друг сквозь друга. Например, когда солист поет в сопровождении оркестра, мы можем слышать и солиста и все инструменты оркестра. Это пример звуковых полей, которые заполняют воздушное пространство вместе, не влияя друг на друга. Для звукового поля необходимо иметь проводящее вещество: воздух, жидкость или твердый материал. Такое проводящее вещество называют средой. Воздушная среда за окном на улицу заполнена звуками от людей и машин. Мы можем прислушиваться к любому звуку, не обращая внимания на – остальные. Киты и дельфины переговариваются, используя водную среду для звукового общения. Сосед решил повесить полку и сверлит дыру в стенке. Твердая стена хорошо проводит звук. Если сверлящий звук надоел, можно постучать кулаком и напомнить соседу, что он не один в доме.

Важнейшим примером является поле притяжения, которое ещё называют гравитацией. Источником гравитации является любое тело, имеющее массу. Благодаря гравитации два тела всегда притягиваются друг к другу. Если два океанских лайнера поставить рядом у причала, то через некоторое время они сойдутся бортами. Это произойдет из-за их взаимного гравитационного притяжения. Земля благодаря огромной массе имеет мощное поле гравитации и притягивает к себе все тела. Когда у тела есть опора, оно давит на опору и деформирует ее. Тогда притяжение к Земле воспринимается как вес. Чем больше масса тела, тем больше его вес. Вес можно измерить на электронных весах. В них встроен тензодатчик. Это прибор, который деформируется под весом груза и посылает показания на цифровое табло. Вес обозначается буквой P, измеряется в ньютонах (Н). Например, гиря массой 16 кг весит почти 160 Н.

Если у тела исчезает опора, оно начинает падать на Землю, как парашютист, выпрыгнувший из самолета. Когда тело свободно падает, оно ничего не весит. Вес исчезает, потому что тело не сопротивляется притяжению Земли. Нет сопротивления – нет деформации, нет ощущения веса. Состояние без веса называют невесомостью.

Мы уже говорили об электромагнитном поле, которое проявляет одновременно и электрические и магнитные свойства. Примером электромагнитного поля являются радиоволны. Пространство вокруг нас буквально пронизано радиоволнами от различных источников, в том числе находящихся в глубоком космосе. Включив подходящий радиоприемник, мы можем принимать радиоволны и слушать радиопередачи.

Для гравитационных и электромагнитных полей среда особо не нужна. Эти поля могут проникать и сквозь космический вакуум, где вещества практически нет. Или для таких полей средой является сам вакуум или эти поля сами себе среда. Открыты и другие поля, при помощи которых взаимодействуют частицы внутри ядер атомов. Эти поля можно назвать ядерными. Ядерные поля бывают слабые и сильные. В настоящее время физики работают над теорией, которая смогла бы объединить все типы полей. Задача эта трудная, но выполнимая.

§ 2. Энергия

Энергия для нас является базовым понятием. Это значит, что мы можем не терять время, чтобы определить, что такое энергия. Скажем только, что энергия это то, чем обладает каждое тело. Энергия передается от одного тела к другому при их взаимодействии. Если у одного тела энергия убывает, у другого она увеличивается. Энергию можно отбирать у тела по частям. Энергию можно добавлять телу по частям. Если тело изолировано от внешних воздействий, оно сохраняет свою энергию. Этот принцип называют законом сохранения энергии. Закон сохранения энергии выполняется всегда.

Энергия нам нужна, чтобы перемещать грузы, которые имеют вес. Из опыта мы знаем, что такое вес тела. В спортзале мгновенно приходит понимание, что двухпудовая гиря весит гораздо больше, чем пудовая. Один пуд равен примерно 160 Н. Энергию измеряют в джоулях (Дж). Один джоуль это энергия, которую необходимо затратить, чтобы поднять груз весом 1 Н на высоту 1 м. Если спортсмен поднимает с пола гирю весом 160 Н на высоту 2 м, он тратит энергию, равную 320 Дж. Как видим, для человека 1 джоуль величина небольшая. Другое дело, для частицы размером с пылинку. Для нее это солидный запас энергии. Например, если в космосе метеор массой 1 миллиграмм (мг) имеет энергию 1 Дж, это значит, что он летит со скоростью почти 1500 м/с.

Это приличная скорость, больше скорости пули.

В любом теле скрыта внутренняя энергия Eº, величина которой равна произведению массы тела на квадрат скорости света: Eº=mc² (2.1). В нашем мире это огромная величина. Она в 10 раз больше, чем выделяется при взрыве термоядерного заряда с такой же массой. Внутреннюю энергию частицы можно выделить, если её массу полностью превратить в поле, например, в электромагнитное. Скажем сразу, что сделать это не так просто. Благодаря этому мы живем в довольно устойчивом мире.

Мы будем рассматривать энергию движения тел. Эта энергия зависит от массы. Еще она зависит от вида поля. Если мы немного поняли, что такое энергия, то мы можем сказать, что поле – это то, при помощи чего энергия передается от одного тела к другому. Именно поле переносит энергию. Благодаря виду поля энергия обретает конкретную форму: акустическую, гравитационную, электромагнитную или ядерную. Основная задача физики состоит в том, чтобы изучать различные формы энергии и придумать, как извлечь из этого пользу. Многое в этой сфере уже делается. Например, для движения экологически чистого электромобиля используют электроэнергию из аккумулятора, который зарядили на электростанции энергией, произведенной на гидростанции, где используют энергию движения потока воды, падающего под притяжением Земли.

Энергию движения тел условно называют механической. Это делают для того, чтобы не думать о типе поля, заставляющего тело ускоряться или изменять положение в пространстве. Соответственно, механическая энергия может зависеть от скорости тела или от его местонахождения в пространстве. Энергию, которая зависит только от местонахождения тела, называют потенциальной (Ep). Энергию, которая зависит только от скорости тела, называют кинетической (Ek). Если скорость тела равна нулю, его кинетическая энергия тоже равна нулю. Если тело находится в изоляции, например, метеор в межзвездном пространстве, его потенциальная энергия практически равна нулю.

Рассмотрим пример: аэростат поднимается на высоту 1 км и зависает. Скорости нет, значит, кинетическая энергия равна нулю. Но если с аэростата сбросить груз, например, использованный баллон из-под газа, то при падении на землю баллон может произвести разрушения, например, сломать куст. Легко понять, что баллон упал, потому что на него действовало притяжение Земли. Значит, баллон имел запас гравитационной энергии, которая зависит от высоты. По определению, эта энергия является потенциальной. Откуда она взялась? За счет подъема аэростата. Вспомним, что количество энергии, равное 1 Дж, передается телу весом 1 Н, если его поднять на высоту 1 м. Очевидно, если тело с весом P поднять на высоту h, то ему будет передано количество энергии Ep = P h (2.2).

Другой пример: когда автомобиль движется по ровной дороге, его высоту над землей можно считать равной нулю. Значит, его потенциальная энергия равна нулю. Это справедливо, так как автомобилю некуда падать. Зато автомобиль имеет скорость. Значит, автомобиль имеет кинетическую энергию. Попробуем найти для нее формулу. Принято считать, что кинетическая энергия всегда положительна. Это справедливо, так как тело может иметь кинетическую энергию и в отсутствие поля, которое указывает на знак взаимодействия. С другой стороны, сама скорость может быть отрицательна, если тело перемещается против поля. Значит, кинетическая энергия зависит не просто от скорости, а от квадрата скорости, так как квадрат любой величины всегда больше нуля. Также она зависит от массы тела: чем больше масса, тем больше энергия. Но если мы напишем просто Ek = mv2 (как для внутренней энергии Е0), то это будет завышенный результат, как если бы энергия была передана мгновенно. Но так не бывает. Известно, что автомобиль набирает скорость постепенно, за некоторое время. Пока нас не интересует это время, но мы знаем, что в начальный момент энергия была равна нулю, а в конце: mv2. Значит, средняя энергия будет равна среднему арифметическому от значений энергии в начале и конце: Ek = (0 + mv2)/2 = mv2 /2 (2.3).

Если в данном примере автомобиль имел массу 2000 кг и скорость 20 м/с, то его кинетическая энергия равна: Ek = 2000×20×20/2 = 1000×400 = 400 000 (Дж). Это приличный запас энергии. Именно поэтому автомобиль не просто средство передвижения, а источник повышенной опасности.

Рассмотрим ещё один пример: беспилотный самолет c массой m летит со скоростью v на высоте h над Землей. Значит, он имеет кинетическую энергию mv2/2 и потенциальную энергию Ph Сумма кинетической и потенциальной энергий называется полной механической энергией (Е) тела: E = Ek + Ep (2.4).

§ 3. Сила и вес

На первый взгляд все знают, что такое сила. Так, в популярном американском учебнике «Физика» авторы Эллиот и Уилкокс на вопрос «что такое сила» отвечают: «Сила это толчок или тяга» (стр. 50). Согласиться с этим невозможно. В технике есть термин «сила тяги» (например, трактора). Если подставим толкование силы из иностранного учебника в наш технический термин, получим выражение «тяга тяги». Это звучит абсурдно.

В традиционных учебниках также встречаются выражения типа сила инерции, центробежная сила, сила противодействия и т. п. Там же можно прочитать, что сила это напор, натиск, в общем, смотри выше. Возьмём, к примеру, выражение «сила инерции», которое встречается всюду. Его надо понимать так, что существует «инерция», у которой есть «сила». Инерцией называют свойство изолированного от внешних полей тела сохранять свою скорость. Это отвечает закону сохранения энергии. Но что такое «сила инерции» для изолированного тела? Может, «тяга инерции»? Откуда «тяга», если тело ничто не тянет? Может, «напор инерции»? Но изолированное тело ни на что не напирает. Как измерять силу инерции изолированного тела? Ответа нет нигде.

Думается, нам не стоит тратить время, пытаясь объяснить необъяснимое. Мы должны сказать следующее: коль скоро физики вот уже триста лет не могут придумать определение силы, значит, сила это не физическая величина, а математическая. Иначе говоря, сила – это количественная характеристика движения. Тогда достаточно определить силу математически и принять её как математический объект. Разберем это на примере из гравитации.

Известно, что вес Р – это проявление силы притяжения (F). Можно написать F = P без переходного коэффициента, так как силу тоже измеряют в ньютонах. Вспомним, гиря весом Р на высоте h имеет энергию Ep=Ph (3.1). Тогда: F = P = Ep/h (3.2). Если h = 1 м, то из (3.2) следует, что F = Еp. То есть, сила численно равна энергии, переданной телу при его подъёме на 1 м. Это подтверждает мысль, что сила определяет энергию, передаваемую от тела к телу при их взаимодействии. Если энергию передавать быстро, увеличивается скорость передачи энергии. Можно сказать, что сила – это величина, характеризующая темп передачи энергии от тела к телу. Мы говорим «темп», так как потенциальная энергия зависит от местоположения тела, которое определяется в метрах. Кинетическая энергия передаётся путем изменения скорости, которая зависит от времени. В этом случае можно сказать, что сила – это величина, характеризующая скорость передачи энергии.

Из космических исследований известно, что на Луне вес тела в шесть раз меньше, чем на Земле. Это значит, что сила притяжения Луны в шесть раз меньше, чем у Земли. Введем для поля тяготения коэффициент гравитации g следующим образом: P = gm (3.3). Уравнение (3.3) показывает, что с увеличением гравитации вес тела растёт. Из геофизических измерений известно, что у поверхности Земли величина gз равна в среднем около 10 м/с2. Значит, для Луны коэффициент гравитации gл равен примерно 1.6 м/с2. Из (3.3) следует, что g = P/m (3.4). С учётом (3.4) можно написать, что сила гравитации F = gm (3.5). Тогда потенциальную энергию тела в поле гравитации g можно выразить как Ep = Ph = Fh = mgh (3.6).

§ 4. Превращения энергии

Рассмотрим, как потенциальная энергия переходит в кинетическую при движении тела в поле гравитации. Возьмём уравнение для полной энергии: Е=Ер+Ек. В примере с аэростатом потенциальная энергия баллона в начале опыта была равна Ep = mgh, а кинетическая равна нулю (v=0). После того, как баллон упал на землю, его потенциальная энергия стала равна нулю, так как h=0. Зато в момент падения кинетическая энергия баллона стала максимальной: Ек = mv2/2. Таким образом, при падении в поле гравитации потенциальная энергия тела превращается в кинетическую энергию в соответствии с законом сохранения энергии. Заметим, что на высоте s=h/2 потенциальная энергия mgs падающего баллона в точности равна половине полной энергии mgh. Значит, на высоте s потенциальная энергия Ерs равна кинетической энергии Екs. Тогда мы можем написать: Е/2 = Ек, или Е/2 = mv2/2, или Fs = mv2 (4.1). Если на высоте s скорость v приравнять к s/t (средняя скорость на пути от высоты h до высоты s), мы можем записать уравнение (4.1) в виде Fs = ms2/t2. Сокращая на s, получаем: F = ms/t2 (4.2).

Выражение s/t2 есть не что иное, как ускорение из (2.1): а = s/t2 (4.3). Подставляя (4.3) в (4.2) получим в итоге уравнение: F = ma (4.4).

Уравнение (4.4), которое позволяет вычислить силу F, нужную для придания ускорения a телу с массой m, называют вторым законом Ньютона.

К примеру, если у новогодней шутихи масса равна 0.2 кг и она взлетает в небо с ускорением 5 м/с2, это значит, что сила тяги ракеты равна: F = 0.2*5=1 (Н).

В стандартном учебнике уравнение (4.4) дают в готовом виде. Считается, что оно получено опытным путём. Мы вывели уравнение (4.4) из закона сохранения энергии (2.4), который, тоже является обобщением опытных данных.

§ 5. О размерностях физических величин

Отражением закона сохранения энергии является первый закон Ньютона. Сам автор сформулировал его так: если на тело не действует другое тело, то скорость сохраняется: v = const. Возникает вопрос, как измерять скорость? Вопрос не простой. Представим, авиагруппа «Стрижи» в составе пяти самолетов выполняет групповой полёт. Группа летит относительно земли со скоростью 500 км/час. При этом скорость одного самолета относительно другого равна нулю. Разница весьма существенна.

Чтобы избежать расхождений, в физике приняли единую систему физических величин, которую назвали международная система SI (СИ). Физика – наука практическая. Чтобы найти, какую силу надо приложить, нужно знать, как единицы измерения связаны между собой. В основу системы СИ положены три природные величины: единица длины – 1 м, единица массы – 1 кг, единица времени – 1 с. Для них приняты символы: L, M, T. Все другие единицы можно выразить через L, M, T, при помощи соответствующих уравнений.

Комбинацию L, M, T, взятую в квадратные скобки, принято называть размерностью физической величины. Например, размерность скорости v = s/t выражается через символы L, M, T как: [v] = [L/T]. Размерность силы F можно выразить при помощи уравнения (4.4): [F]=[ML/T2].

Возникает естественный вопрос: зачем это надо? Дело вот в чём. Чтобы изучать формы энергии, уравнения движения, которые определяют передачу энергии от тела к телу, записывают в виде равенства комбинаций физических величин. Если в чистой математике единицы измерения не важны, в физике и технике все по-другому. В физике знак равенства означает, что какими бы не были комбинации величин по обе стороны знака, их размерности должны совпадать. Представим, в инструкции по испытанию лифта прописано: «Лифт испытывать грузом не менее 5000 Н». Но гири весом Р = 5 кН не бывает. Значит, в кабину лифта надо затащить 10 гирь по 500 Н или пять гирь по 1000 Н или другой набор гирь, но такой, чтобы в сумме их вес был бы равен 5 кН: Р = Р1 + Р2 + Р3 + …+ Рn. = 5 кН.

Рассмотрим ещё пример. В предыдущей главе мы составляли уравнение: Fs=mv2. Проверим размерности слева и справа от знака равенства. Слева: [Fs] = [ньютон*метр]. Справа: [mv2]= [m]*[L2/T2] = [m] *[L/T2]*[L] = [m*a]*[L] = [F]*[s] = [ньютон*метр]. Совпадение размерностей означает, что уравнение, возможно, составлено правильно. Вот если бы размерности не совпали, можно было сразу сказать, что уравнение составлено неверно.

§ 6. Закон всемирного тяготения

Мы уже говорили, что любое массивное тело является источником гравитации. Очевидно, чем больше масса тела, тем сильнее поле тяготения вокруг него. Интересно узнать, от чего ещё зависит сила притяжения? Известно, что на Луне вес тела всего в шесть раз меньше, чем на Земле, хотя масса Луны в 81 раз меньше земной. Значит, сила притяжения зависит не только от массы. Заметим, что морские приливы на Земле от притяжения Солнца намного меньше, чем от Луны, хотя Солнце неизмеримо массивнее. Разница в том, что расстояние от Земли до Солнца намного больше, чем до Луны. Очевидно, сила притяжения зависит также от расстояния до источника гравитации. Изучение высоты прилива в зависимости от расстояния до источника гравитации показывает, что сила тяготения зависит от расстояния в квадрате до центра гравитации. Докажем это.

Разделим радиус Земли на радиус Луны и возведем в квадрат: 6 380 км / 1 740 км = 3.66; 3.66*3.66 = 13.4. Мы получили отношение квадратов расстояний до центров гравитации. Отношение масс Земли и Луны известно, оно равно 81. Разделим отношение масс на отношение квадратов радиусов: 81/13.4 = 6, что в точности равно отношению веса тела на Земле к весу того же тела на Луне. Это значит, что гравитация на Луне в шесть раз меньше гравитации на Земле, что и требовалось доказать. Следовательно, поле гравитации вокруг тела пропорционально массе тела и обратно пропорционально квадрату расстояния до центра тела: g = GM/R2 (6.1). Коэффициент G нужен, чтобы совпали размерности по обе стороны знака равенства. Из требований системы СИ следует, что размерность G равна: [G] = [L3/MT2]. Коэффициент G называется «постоянная гравитации». От её значения зависит время жизни звёзд, галактик, в общем, зависит всё. В нашей Вселенной величина постоянной гравитации равна: 6.67*10-11 м3/кг*с2.

Чтобы узнать, с какой силой притягивает к себе тело с массой М, умножим обе части (6.1) на массу m (масса второго тела), получим: mg = GMm/R2 (6.2). Слева получился вес второго тела Р, который равен силе притяжения: F = GMm/R2 (6.3).

Уравнение (6.3) известно как закон всемирного тяготения. Его тоже открыл Ньютон. С помощью уравнения (6.3) можно вычислить силу притяжения между любыми телами, если известны их массы и расстояние между их центрами. Покажем на учебном примере (задаче).

Задача: С какой силой притягиваются два танкера, стоящие борт о борт, если масса каждого из них равна 100 000 тонн, а ширина корпуса равна 32 метра? Решение: расстояние между центрами танкеров равно 32 м, значит, R2 = 32*32 ~ 1000 м2 . Подставляя в (6.3) получим:

F = 6.67*10-11 *108 *108/103 = 667. Ответ: танкеры притягиваются с силой 667 Н.

§ 7. Невесомость

Нередко можно услышать фразу, что космонавты на орбите испытывают невесомость, потому что центробежная сила уравновешивает силу притяжения Земли. Согласиться с этим невозможно. Мы уже говорили, что взаимодействовать могут только тела. Сила – не материальное тело. Сила это математический объект, формула, которая существует только на бумаге. Компенсировать притяжение можно, только разместив «над» спутником другой центр притяжения, т. е. другую планету. В нашем случае, избавиться от притяжения Земли можно только полностью подчинившись ему, т. е. начать падать с высоты по направлению к центру Земли. Тот, кто падает, ничего не весит. Покажем на опыте, как возникает невесомость на орбите.

Представим, что на гору Эверест (h = 8 км) втащили пушку и выстрелили в горизонтальном направлении. Скорость снаряда пусть будет 1 км/с. Ускорение свободного падения на Землю примерно равно 10 м/с2. Попробуем вычислить время t падения снаряда на землю. Путь снаряда h по вертикали равен 8 км. Если скорость была бы постоянна, то h = vt. В данном случае снаряд падает с ускорением g, значит, в конце падения скорость равна gt. Учитывая, что начальная скорость по вертикали была нулевая (пушка направлена строго по горизонтали), средняя скорость падения vc = (0+gt)/2= gt/2. Тогда путь h=vct = gt2/2 (7.1). Отсюда, время падения снаряда с высоты Эвереста равно t = √2h/g (7.2). Подставляя известные данные, получим t=√1600 = 40 (с). Значит, по горизонтали снаряд успеет пролететь 40 км, но затем всё равно упадет на землю. Мысленно увеличим исходные данные до планетарных масштабов. Представим гору высотой h = 320 км (высота орбиты спутника), а скорость снаряда увеличим до 8 км/с (первая космическая скорость). Время падения с такой высоты по формуле (7.2) равно 250 секунд. За это время снаряд улетит по горизонтали на 2000 км. Это расстояние сопоставимо с радиусом Земли, который равен 6400 км. Представим окружность с таким радиусом и проведём к ней отрезок касательной длиной 2000 км. Мы увидим, что конец отрезка отделяют от окружности Земли всё те же 320 км. Значит, через 250 секунд падения снаряд снова окажется на высоте 320 км над Землёй и всё повторится. Таким образом, спутник на орбите находится в состоянии падения, но никак не упадет, так как поверхность Земли из-за своей кривизны буквально уходит из-под ног космонавтов, которые «вечно» падают вместе со своей космической станцией, «наслаждаясь» состоянием невесомости.

§ 8. Импульс силы.

Импульсом силы (или просто импульсом) называют произведение массы тела на его скорость: p = mv (8.1). Иногда вместо «импульс» говорят «количество движения» (мы уже говорили о традиции называть одну величину разными терминами). Возникает вопрос, зачем нужен импульс, если есть энергия? Дело в том, что многие задачи решаются проще при помощи теории, основанной на понятии импульса. Например, оружейникам надо знать скорость отдачи пушки в зависимости от скорости снаряда. Здесь возникает особая проблема. До выстрела скорости пушки и снаряда были равны нулю. После выстрела они разлетаются в разные стороны. Разумеется, полная энергия сохраняется, но как учесть энергию порохового заряда? Мы должны придумать какой-то другой закон, независимый от закона сохранения энергии. Рассмотрим конкретный случай.

Допустим, из корабельной пушки массой 400 кг выстрелили ядром массой 2 кг. Отдача такова, что пушка откатывается назад со скоростью 1 м/с. Скорость пушки изменилась. Кроме того, часть энергии унеслась вместе с ядром. Уравнение (2.4) здесь не поможет, хотя мы уже понимаем, что-то должно сохраняться. Но что? У ядра масса мала, скорость велика. У пушки – наоборот. Кроме того, после выстрела ядро летит в одну сторону, пушка откатывается в противоположную. Что, если сохраняется полный импульс – сумма импульсов ядра и пушки? Если их сумма после выстрела тоже будет равна нулю, значит, полный импульс сохраняется. Для этого нужно знать скорость ядра.

Измерения показали, что дистанцию 400 м до цели ядро пролетело за 2 с. Значит, скорость ядра была 200 м/с. Обозначим импульс ядра после выстрела индексом «я», импульс пушки – индексом «п». Если полный импульс после выстрела тоже равен нулю: ря +рп = 0, то рп = – ря (8.1). Подставляя числа, получаем для ядра: pя = mяvя = 2*200 = 400 кг*м/с (8.2). Тогда для пушки: pп = mпvп = – pя = – 400 кг*м/с (8.3). Ответ получился меньше нуля. Но масса пушки не может быть отрицательной. Допустим, в (8.3) отрицательна скорость: vп = -1 м/с. Проверяем: ря +рп = 400–400 = 0 (8.4). Это значит, что полный импульс сохраняется. Заметим, что полный импульс не обязательно должен быть нулевым.

Теперь при помощи закона сохранения импульса легко вычислить скорость отдачи любого стрелкового оружия.

Пример: Вычислить скорость отдачи автомата Калашникова (АК) при одиночном выстреле. Решение: Масса АК (без магазина) равна 3.6 кг. Скорость пули равна 800 м/с. Массу пули берем классическую, 9 граммов = 0.009 кг. Запишем уравнение сохранения импульса для данного случая: mа*va + mп*vп = 0. Значит, va = – mп*vп / ma (8.5). Подставляя числа, получим: va = – 0.009*800/3.6 = – 7.2/3.6 = – 2 (м/с). Чтобы уменьшить отдачу, рекомендуют плотно прижимать приклад к плечу. Тем самым увеличивается общая масса опоры. Предположим, масса стрелка равна 68.4 кг, вместе с автоматом это будет 68.4 = 3.6 = 72 (кг). Тогда скорость отдачи: 7.2/72 = 0.1 (м/с) или 10 см в секунду, что вполне приемлемо.

§ 9. Об отрицательных величинах в физике.

При выводе закона сохранения импульса мы допустили, что скорость тела может быть отрицательной. Вообще говоря, в природе отрицательных величин не бывает, их придумали математики. С другой стороны, такие приёмы упрощают решение задач. Многие отрицательные величины появились в физике в результате договорённостей. Например, согласно Цельсию, температуру ниже точки замерзания чистой воды договорились считать отрицательной. Это удобно в быту и технике. А согласно Кельвину, отрицательной температуры вообще не бывает, температура любой среды может быть только положительной. Это удобно в теоретической физике. Рассмотрим, как в физике появились отрицательные скорости.

Предположим, расстояние от перекрёстка до школы 200 м направо, но школьник повернул налево и прошёл 200 м до киоска с мороженным. Результат отрицательный в плане посещаемости школы. Значит, можно записать, что налево школьник прошел минус 200 м. Если до киоска школьник шёл 200 секунд, значит, его средняя скорость равна -1 м/с. Мы понимаем, что со школьником ничего не случилось, пусть он и шел с отрицательной скоростью. Просто после того, как мы договорились считать направление «налево» отрицательным, любой путь «налево» будет иметь знак минус. При этом путь направо будет иметь знак плюс. Этот метод, который называется метод координат (или векторный) придумал математик Декарт ещё в XVII веке, а Ньютон использовал его в своей механике.

Часто говорят, путь, скорость, сила – это векторные величины, потому что результат движения зависит от направления (вектор – это и есть направление). Но мы должны понимать, что природные величины существуют независимо от нашей воли, а выбор положительного направления есть результат соглашения, он существует только на бумаге. Возьмём, скажем, время или температуру. Эти природные величины явно имеют выделенные направления – от прошлого к будущему, или от холода к теплу. Но математики наотрез отказываются признавать их векторами и понятно почему. В математике таких ограничений полным-полно. Собственно, математика это и есть игра с числами, в которую можно играть в одиночку и самому устанавливать правила игры. К сожалению, у физиков нет возможности договориться с Природой и скачивать энергию ниоткуда. В этом вся разница. Разумеется, польза математики велика, мы будем её использовать. Но только как средство. А целью для нас является поиск новых источников энергии. Но вернёмся к закону сохранения полного (суммарного) импульса, которое с учетом знаков имеет вид: р1 – р2 = 0 (9.1). Перепишем (9.1) в виде: m1v1 – m2v2 = 0 (9.2). Если t – время взаимодействия двух тел (например, время прохождения ядра внутри пушки), то разделив (9.2) на t, получаем: m1v1/t

= m2v2/t, или m1a1 = m2a2. С учетом (4.8) получаем:

F1 = F2 (9.3). Уравнение (9.3) принято называть третьим законом Ньютона. Так как он получен из закона сохранения импульса, его следует считать независимым от второго закона Ньютона. Это справедливо, так как второй закон был выведен из закона сохранения энергии. Законы Ньютона составляют основу классической механики.

§ 10. Два закона Ньютона

Принято считать, что классическая механика стоит, как на трёх китах, на трёх законах Ньютона. Это не совсем так. На самом деле механика основана на четырёх законах Ньютона. Рассмотрим их подробнее.

Свой первый закон (закон инерции) Ньютон записал так: «Если на тело не действуют другие тела, то скорость данного тела не изменяется». Такое тело ещё называют «свободным». Заметим, свободным тело может быть только в глубоком космосе, где притяжение далеких звёзд практически отсутствует. В наши дни первый закон Ньютона формулируют по-другому: «Существуют тела отсчёта, относительно которых свободное тело перемещается с постоянной скоростью». Такое утверждение называется постулатом. Почему закон инерции понадобилось преобразовывать в постулат? Причины две. Во-первых, мы не никогда не сможем избавиться от притяжения Земли, хотя и верим, что за пределами Солнечной системы свободное тело будет двигаться по инерции миллионы лет с неизменной скоростью. Во-вторых, для измерения скорости необходимо знать длину пути и время в пути. Если время можно измерить секундомером, то для измерения длины пути необходимо иметь нулевую отметку. Тело, на котором сделана нулевая отметка, называют телом отсчёта. Из нулевой отметки проводят три воображаемые взаимно-перпендикулярные линии и размечают их на метры. Так получается виртуальная трехмерная координатная сетка.

Тело отсчета вместе с привязанной системой координат называют системой отсчёта. С учётом системы координат смысл постулата более ясен. Надо понимать, что в природе существуют системы отсчёта, относительно которых выполняется закон инерции – первый закон Ньютона. Такие системы принято называть инерциальными. Запомнить легко: в инерциальной системе выполняется закон инерции. Отсюда вытекает правило: если в некоторой системе отсчёта нарушается закон инерции (т. е. тело изменяет скорость без причины), значит, данная система отсчета не является инерциальной. Возникает вопрос, как выбирать инерциальную систему? Очевидно, если свободное тело движется с постоянной скоростью, значит, инерциальная система сама тоже должна двигаться с постоянной скоростью. Если тело движется с ускорением, его нельзя рассматривать в качестве инерциальной системы отсчёта.

Свой второй закон Ньютон записывал так: a =F/m (10.1). Он говорил, что ускорение тела пропорционально силе и обратно пропорционально массе. Отсюда следует, что если известна сила, ускорение тела вычислить легко. Но как измерить силу? Мы до сих пор не совсем понимаем, что такое сила (дать определение, это ещё не значит – понять), а уж придумать прибор для её измерения – вовсе непросто. Гораздо легче измерить ускорение: есть секундомер, есть рулетка. Поэтому в наши дни второй закон записывают так: F = ma (10.2). Второе уравнение равносильно первому, но применять его гораздо удобнее. Считается, что второй закон открыт опытным путем. Мы вывели уравнение (10.1) из закона сохранения энергии, который, в общем, тоже установлен на основании опытов. Заметим, что уравнение второго закона Ньютона верно только относительно инерциальной системы отсчёта. Если относительно некоторой системы отсчёта тело имеет ускорение без видимых причин, значит, данная система не является инерциальной.

§ 11. Другие два закона Ньютона

Ранее мы вывели закон сохранения импульса: P1 = P2 (11.1). Из уравнения (11.1) легко получается третий закон Ньютона: F1 = F2 (11.2). В стандартном учебнике третий закон читается так: сила действия F1 равна силе противодействия F2. Понять это не просто, поэтому в учебнике сразу следует картинка с тележкой, которую толкает рабочий. На этом учебном примере нам пытаются объяснить, чем сила противодействия тележки отличается от силы действия рабочего и почему она не может её уравновесить, хотя и равна ей. Используются термины, разъяснения, но понимания так и не наступает. Попробуем разобраться, в чём тут дело.

В нашем энергетическом подходе третий закон Ньютона вытекает из закона сохранения импульса (10.3). Это уравнение получено опытным путем. Оно практично, понятно, его ничем не опровергнуть. Нам не надо читать уравнение (11.1) в виде: «импульс действия равен импульсу противодействия». Это звучит бессмысленно. Мы знаем, что импульс сохраняется, как сохраняется энергия. И всё. Сложности не нужны, если они не помогают понять суть вещей.

Остаётся вопрос, откуда берётся «сила противодействия» F2? Очень просто. Она появляется в системе отсчета, связанной с тележкой, которая движется с ускорением. Такую тележку нельзя брать в качестве системы отсчёта, это нарушение постулата об инерциальной системе. Так как законы Ньютона верны только в инерциальной системе отсчёта, неудивительно, что при нарушении второго закона возникает иллюзия силы, которая не связана ни с каким телом. Эту силу Фейнман называл фиктивной, так как она существует только в воображении. Реальная сила, писал Фейнман, должна иметь источник – реальное тело. Этот принцип будет более понятным, если мы рассмотрим ускоренное движение тела относительно системы отсчета, привязанной к неподвижным звёздам.

Представим, что в космос запущена ракета с космонавтом на борту. Относительно неподвижных звёзд сила F1 тяги двигателя придаёт ракете ускорение a = F1/m, где m – масса ракеты. При этом сохраняется полный импульс: легкий горячий газ с огромной скоростью отбрасывается назад, массивная ракета с малой скоростью летит вперед, т. е. (с учетом знаков) Р1 = – Р2. Мы видим, что относительно неподвижных звёзд выполняется третий закон Ньютона.

Представим теперь, что забыв требование постулата об инерциальной системе отсчета, космонавт ведет наблюдение внутри ракеты, движущейся с ускорением. Космонавт чувствует, что давит на кресло с силой F2 = -am, где m – масса космонавта. Он называет её силой инерции. Но космонавт не работает, не машет крыльями, он просто спит. Космонавт не тратит энергию, в отличие от ракеты, которая сжигает топливо. Он давит на кресло только потому, что кресло толкает его с ускорением. Стоит выключить двигатель, космонавт сразу теряет вес. На кресло он уже не давит, он даже парит в воздухе. В этом сущность «силы» инерции. За ней не стоит источник энергии, работать она никогда не будет.

Следует заметить, для некоторых задач уравнения движения имеет более простой вид, если их записать относительно неинерциальной системы отсчёта. Для упрощения расчётов можно пойти на этот шаг, но никогда нельзя забывать, что это чисто математический приём, а «сила инерции» существует только на бумаге.

Четвёртым законом Ньютона является закон всемирного тяготения: F = GMm/R2. Жаль, что в классической механике этот закон не имеет порядкового номера. Это настоящий природный закон, он показывает, что гравитация существует вокруг любого массивного тела. Для поля тяготения Земли закон всемирного тяготения имеет вид: P = mg. Мы с удовольствием поставили бы этот закон на второе место, но оно уже занято.

Возникает вопрос: зачем нужны законы Ньютона? Дело в том, что человек превращает энергию в полезную работу при помощи машин и механизмов. Машиной называют устройство для преобразования энергии любого вида в механическую работу. В составе любой машины имеются механизмы. Механизм – это устройство для преобразования движения одного вида в другое. Например, подъёмный кран – это машина с электродвигателем, который превращает энергию электричества в механическую работу. Кран оборудован лебёдкой. Лебёдка – это механизм для преобразования вращения вала электродвигателя в поступательное движение каната с захватом для груза. Чтобы успешно строить машины и механизмы, надо хорошо знать законы механики.

§ 12. Работа в физике

Чаще всего энергию передают от одного тела другому при помощи специального рабочего тела (механизма). Говорят, что при этом рабочее тело выполняет работу. В идеальном случае механизм передает энергию без потерь. В реальном мире всегда существуют потери энергии. Это означает, что источник отдаёт больше энергии, чем получает приемник.

Работу принято обозначать символом А.

Механическую работу определяют как произведение силы на перемещение: A = Fs (12.1). Значит, работа измеряется в джоулях: [A] = [Fs] = [Нм] = Дж. Энергия тоже измеряется в джоулях, но между энергией и работой мало общего. Энергия – это природная величина, которой обладает любое тело. Энергию можно запасать. Например, дамоклов меч можно подвесить и он будет иметь запас потенциальной энергии. В отличие от энергии, работа всегда связана с движением. Представим, ракетный двигатель испытывают на стенде. Сила тяги действует, но перемещение равно нулю, ведь стенд неподвижен. Из (12.1) следует, что работа тоже равна нулю, хотя прибор может показать, что двигатель развивает силу тяги F = 10 кН. В чём тут смысл? Особого смысла нет, просто принято считать, что работа равна энергии, отданной источником другому телу, например, стенду. Но у стенда не изменяется ни потенциальная энергия, ни кинетическая. Стенд не приобрел ничего, следовательно, работа A=Fs тоже равна нулю. В этом смысле можно написать: А = Е.

Рассмотрим как энергия поля гравитации переходит в механическую работу на примере часов «с кукушкой». Чтобы завести часы с кукушкой, надо поднять гирю на цепи. Допустим, вес гири равен 6 Н, а длина цепи – 0.5 м. Значит, заводя часы, мы совершили работу А = Fs = Ph = 6*0.5 = 3 (Дж). Эта работа превратилась в потенциальную энергию гири: Е = А. Вес гири Р направлен вниз. Вес – это сила, которая вращает стрелки часов. Пока гиря опускается, часы работают. При этом гравитационная энергия гири преобразуется в работу механических часов. Примерно через сутки гиря опустится на всю длину цепи и часы остановятся. Энергия, равная 3 Дж, полностью израсходована. В основном она потрачена на преодоление трения в часах. Трение приводит к нагреванию. Хотя три джоуля – энергия небольшая, в комнате с работающими часами должно быть немного теплее, чем в комнате без часов.

Для оценки производительности машин и приборов используют понятие мощности, которую чаще обозначают буквой Р (от английского power – мощность). Мощность машины численно равна механической работе, выполненной за одну секунду: P = A/t (12.2). Можно было бы измерять мощность просто в джоулях за секунду. Но для неё ввели специальную единицу ватт (Вт). Таким образом: 1 Вт = 1 Дж/с. Мощность устройства это важная характеристика, её указывают в техническом паспорте изделия. К примеру, на цоколе электролампы написано: «220 В, 95 Вт». Лампа «горела» в течение часа. Вопрос: какое количество электроэнергии было израсходовано? Решение: E = A = Pt. E = 95*3600 = 342000 (Вт*с) (12.3). Число получилось неудобно большим. Для повышения удобства в технике электроэнергию считают в кВт*часах. Для этого результат (12.3) нужно разделить на 3600 (число секунд в 1 часе) и на 1000 (число ватт в 1 киловатте). В итоге получаем Е = 0.095 кВт*час. Это небольшая величина, меньше рубля в денежном эквиваленте. Следует сказать, Россия богата энергетическими ресурсами.

Строго говоря, не вся затраченная энергия превращается в полезную работу. Какая-то часть расходуется на трение, на перемагничивание и тому подобное. Для оценки совершенства машины вводят понятие коэффициента полезного действия, сокращённо КПД. Его определяют по формуле: КПД = 100 %*А/Е, где А – полезная работа, равная переданной энергии, Е – затраченная энергия. Таким образом, КПД измеряют в процентах. К примеру, если в лампе накаливания 80 % энергии уходит на тепло, а только 20 % – на освещение, значит, КПД лампы, как осветительного прибора, равен 20 %. Это невысокий КПД. Но если эту лампу использовать в качестве нагревателя в инкубаторе для цыплят, её КПД будет равен 80 %. Это нормальный КПД.

Глава 2. Движение тел

§ 13. Вращение тел

Тело, в отличие от частицы, имеет видимые размеры. Поэтому его вращением пренебрегать нельзя. Вращение придаёт телу энергию, дополнительную к энергии поступательного движения. Эта энергия была получена от внешнего источника, закрутившего тело вокруг оси. Возьмём, к примеру, особое вращение бумеранга. Его не объяснить вторым законом Ньютона, который описывает поступательное движение тел (без вращения).

Если в качестве тела отсчета (см. § 10) взять вращающееся тело, например, карусель с подвесными люльками, в уравнении второго закона Ньютона придется ввести дополнительную силу, отвечающую за отклонение подвеса люлек от вертикали. Известны попытки, когда некоторые авторы пытались использовать эту «даровую» центробежную силу инерции в устройствах типа инерцоид. Разумеется, у них ничего не получалось. Система отсчёта, которая движется с ускорением, не является инерциальной. В такой системе возникают фиктивные силы вроде центробежной силы инерции, силы противодействия и т. п. Это происходит потому, что в неинерциальной системе отсчета не выполняются законы Ньютона. Следует подчеркнуть, что фиктивные силы существуют только на бумаге, работать они не могут. Представим на секунду, что в классическом опыте для демонстрации ускорения рабочий устал и убрал руки с тележки. Разве «сила противодействия» откатит тележку назад? Нет, тележка покатится дальше по инерции, согласно первому закону Ньютона.

Вращение имеет особое значение в технике, так как все машины имеют вращающиеся части. Уравнения, связывающие вращательную энергию тела с частотой вращения, помогают конструкторам подобрать наилучшее сочетание размеров и скоростей вращения деталей машин. Следует сказать, что существует соблазн принять за тело отсчёта вращающийся корпус машины. Ещё бы! При таком приёме уравнения движения будут иметь самый простой вид. Но выполняется ли при этом первый закон Ньютона? Разумеется, нет. Законы Ньютона верны относительно инерциальной системы отсчёта, которая должна перемещаться прямолинейно и равномерно. Но вращение не является прямолинейным движением. К примеру, если взять за тело отсчёта Землю, то возникает иллюзия вращения небесного свода вокруг неё. Можно сложить массы всех звёзд и умножить на квадрат скорости вращения небосвода. Получится колоссальная энергия! Жаль, что она существует только на бумаге. Стоит вылететь в открытый космос, как всё встаёт на свои места. Солнце и звёзды неподвижны, вращается сама Земля, а вечный источник даровой энергии остаётся бумажной фикцией. Таким образом, если использовать неинерциальную систему, в ней появляются фиктивные силы. С другой стороны, если этот математический прием поможет упростить расчеты, его, наверное, можно использовать, не забывая о фиктивности сил инерции. Базисом для нас по-прежнему будет энергия.

§ 14. Движение по окружности

Простейшим видом вращения является движение тела по окружности с постоянной скоростью. Представим себе центрифугу для тренировки космонавтов. Она содержит кабинку, закрепленную на рычаге, который может вращаться в горизонтальной плоскости, сначала медленно, затем быстрее. Посадим космонавта в кабинку и запустим центрифугу. Мы увидим через телекамеру, что космонавта вдавила в кресло сила инерции (см. § 11). В системе отсчёта, связанной с центрифугой, эта сила направлена вдоль рычага по радиусу от центра вращения кабины. Её называют центробежной силой инерции Fцб. Эта сила считается силой противодействия. В примере с тележкой сила инерции противодействовала ускоряющей силе. Значит, при вращении центробежная сила противодействует какой-то ускоряющей силе, устремленной к центру вращения. Назовем её центростремительной силой Fцс. По определению, Fцс = Fцб (14.1). Очевидно, сила Fцс – это сила связи, которая удерживает кабинку на круговой орбите. Её источник – рычаг центрифуги, связанный с электромотором. Попробуем найти уравнение, связывающее силу Fцс со скоростью v кабинки при её вращении по окружности радиуса R. Применим, как обычно, наш энергетический подход: E = А = Fs (14.2).

Центростремительная сила Fцс характеризует работу А электромотора, который передает энергию Е через рычаг кабинке. Применяя уравнение (14.2) к вращению центрифуги, мы должны учесть, что сила Fцс зависит от радиуса вращения. Известно, что при вращении карусели центробежная сила в центре равна нулю, а на краю карусели она максимальна. Если путь s от центра до окружности равен R, значит, нужно взять среднее значение силы: F = Fцс/2. Подставляя данные в уравнение (14.2), получаем уравнение вращения: E = Fцс*R/2 (14.3). С другой стороны, Е = А= Рt, где Р – мощность электродвигателя. Работа электродвигателя преобразуется в кинетическую энергию кабинки Ек = mv2/2 (14.4). Очевидно, эти величины равны, так как одна переходит в другую: Е = Ек. Приравняем их: Fцс*R/2 = mv2/2. Решая относительно Fцс, получаем искомое уравнение: Fцс = mv2/R (14.5).

Из (14.5) легко получить формулу для центростремительного ускорения ацс. По второму закону: Fцс = mацс. Подставляя в (14.5), получаем: mацс = mv2/R. Отсюда: ацс = v2/R (14.6).

§ 15. Проектируем центрифугу

Применяя теорию к практике, попробуем спроектировать центрифугу для тренировки космонавтов. Примем исходные данные: площадь квадратного зала: 144 м2, масса кабинки вместе с человеком 150 кг, максимальная допустимая перегрузка: 10 g.

Заметим, что ускорение ацс для центрифуги принято измерять в g, которое равно примерно 10 м/с2. Так удобнее для тренера. Зная вес курсанта, он сразу видит, во сколько раз увеличивается нагрузка на кресло центрифуги. В исходном положении нагрузка равна весу курсанта. При вращении вес курсанта увеличивается пропорционально ускорению ацс. Соответственно на кресло действует дополнительный вес, который и называют перегрузкой.

Если пол зала квадратный, значит, сторона пола равна 12 м. Вдоль стен нужно оставить зазор не менее 1.5 м (для вылета кабинки при отклонении). Для центрифуги остается квадрат 9х9 м2. Значит, длина рычага должна быть не более 4.5 м. Отдадим 0.3 м для закрепления основания рычага на оси электродвигателя, а 0.2 м – для закрепления кабинки. Значит, расстояние между точками крепления будет равно 4 м. Это и есть радиус вращения R. В итоге, исходные данные таковы: радиус R = 4 м, масса m = 150 кг, максимальное ускорение ацс = 100 м/с2.

Решение. Перегрузка получается при соответствующей скорости v, которую принято называть линейной (окружность, хотя и кривая, но линия), из (14.6): ацс = v2/R, откуда v2 = Rацс (15.1). Скорость v обеспечивает электромотор, развивая мощность P = E/t. Центрифуга преобразует энергию мотора Е = Pt в кинетическую энергию кабинки Ек = mv2/2.

Чтобы выразить энергию через известные величины, умножим (15.1) на v2/2. Получаем: Ек=mv2/2 =mRацс/2 (15.2). В правой части (15.2) сгруппированы исходные данные проекта. Подставляя их значения, получим: Ек = 150*4*100/2 = 30000 Дж (15.3). В (15.3) величина 4х100 есть не что иное, как v2. Отсюда v = √ 400 = 20 м/с. Это приличная скорость. Если её развить за секунду, то ускорение будет чрезмерно большим. Кроме того, мотор с мощностью 30 кВт стоит слишком дорого. Практичнее будет, если на предельный режим v=20 м/с кабина с курсантом будет выходить секунд за 10. Для курсанта это будет безопаснее, а для заказчика – экономнее по затратам. Значит, для проекта достаточно мотора с мощностью P=E/t=30/10=3 (кВт). Полученные данные следует передать инженеру по оборудованию, чтобы он подобрал подходящий электромотор с мощностью до 3 кВт и регулируемой частотой вращения до 50 об/мин.

Следует подчеркнуть, что в стандартном учебнике вывод уравнения (14.6), основанный на понятии силы как вектора, занимает три страницы, не считая вводной главы по векторной алгебре. Применяя энергетический подход, мы получили результат в шесть раз быстрее. При этом векторная алгебра, не всегда понятная, нам не понадобилась.

§ 16. О безвозвратных потерях энергии

Для авиаконструкторов врагом номер один является сопротивление воздуха. Всю свою жизнь конструктор самолетов борется с этим явлением. Парадокс ситуации в том, что если у воздуха не было бы сопротивления, самолёт не мог бы летать. Подъёмная сила крыла возникает только благодаря сопротивлению среды. Это же сопротивление надо преодолевать, если желаешь двигаться. В таком случае говорят, что энергия теряется за счет трения. Для описания трения законов Ньютона недостаточно.

Представим, что нужно наточить нож. Если с силой водить бруском по лезвию ножа, то вскоре можно заметить, что нож и брусок нагрелись. Преодолевая силу трения, мы расходуем энергию: E = Fтр*s*n, где s – длина лезвия, n – число перемещений бруска. Вся эта энергия рассеивается внутри ножа и бруска, повышая их температуру. Обратный процесс невозможен, так как частицы бруска никогда не соберутся вместе, чтобы в едином порыве вернуть нож в ящик стола. Таким образом, мы имеем дело с особым видом передачи энергии, когда тела взаимодействуют, но в среднем не меняют своего положения. При этом энергия передаётся внутренней структуре тел, повышая их температуру. Нагретыми тела остаются недолго. Они отдают избыток энергии в воздух и остывают до температуры окружающей среды. Так энергия, затраченная на преодоление трения, теряется безвозвратно.

Аналогично заканчиваются явления, связанные с упругими свойствами вещества. Если стальную проволочку зажать в тисках и начать сгибать и разгибать, то вскоре можно заметить, что в месте сгиба сталь нагрелась. Мы затратили механическую энергию, воздействуя на проволочку, но она осталась в тисках на месте и только нагрелась. Наружного трения не было, энергия передавалась только за счёт изменения формы тела. При этом мы преодолевали силу упругой деформации, проще говоря, силу упругости. Эта энергия тоже потеряется безвозвратно, рассеявшись в пространстве.

Упругость зависит от качества материала. В механических часах имеется пружинка из очень упругой стали. Такая пружинка может годами сгибаться и разгибаться, заставляя часы ходить. Известны материалы, которые практически не обладают упругостью, например, пластилин. Такие материалы называются пластичными.

Мы выяснили, что в явлениях трения и упругости механическая энергия переходит в тепло. Ввиду того, что тепловые явления изучают в других разделах физики, мы сосредоточим внимание на природе сил трения и упругости. Вспоминается, как в одной популярной книге по физике рассматривались различные виды взаимодействия. Каких только сил там не было: электрические, магнитные, электромагнитные, инерции, трения, упругости, даже сила Архимеда. В общем, каждое явление природы сопровождалось персональной силой. С таким «засильем» сил невозможно согласиться. В энергетическом подходе сила – это не явление природы и даже не природная величина, такая как масса, длина, время. Сила – это характеристика темпа передачи энергии от одного тела другому.

Поскольку тела обмениваются энергией при помощи полей, мы должны привязать силы к конкретным полям. В современной физике известны четыре вида поля: гравитации, электрическое (электромагнитное) и два вида ядерных: слабое и сильное. Ядерные поля не влияют на механическую энергию тел. Отсюда следует, что в механике взаимодействие тел может быть или гравитационным или электрическим (магнитным). Наблюдения показывают, что на больших расстояниях преобладающими являются поля тяготения. Внутри тел частицы удерживаются вместе электрическими полями. Отсюда следует, что силы трения и упругости, хотя и сильно различаются между собой, должны иметь электрическую природу.

§ 17. Трение и упругость

Трение по традиции разделяют на трение покоя, трение скольжения и трение качения. Самым важным в технике считают трение скольжения одного материала по другому, которое в свою очередь разделяют на сухое трение и трение с применением смазки (жидкое). Для вычисления силы сухого трения скольжения используют коэффициент трения μ, значения которого определяют опытным путем и сводят в таблицы. Это большая работа. Например, из справочника можно узнать, что коэффициент μ для трения дерева по дереву равен 0.25. Это означает, что сложить штабель досок методом надвигания доски на доску будет в четыре раза легче, чем просто поднимать доску на грудь и опускать её на штабель. Что подтверждается практикой работы на лесопилке. Формулу для сухого трения принято записывать в следующем виде: Fтр = μN (17.1), где N = сила, с которой тело действует на опору. Эта сила равна весу тела при горизонтальном скольжении. В других случаях она зависит от угла наклона. Вот почему на склоне горки сани легче скользят. Это потому что сила трения меньше.

Силой трения покоя называют усилие, которое необходимо приложить, чтобы сдвинуть тело с места. Эта сила больше силы трения скольжения. Объясняется это деформацией опоры. За время остановки тела поверхность опоры успевает прогнуться и тело оказывается во впадинке. Чтобы тело вытащить из впадинки, необходимо приложить большее усилие, чем при скольжении по гладкой поверхности.

Трение называют жидким, если между трущимися поверхностями имеется смазка. Для жидкого трения нет простой формулы, аналогичной (176.1), так как сила жидкого трения сильно зависит от вида смазки. Опыты показывают, что для материалов из таблицы жидкое трение во много раз меньше сухого трения. Очевидно, при наличии смазки трение покоя практически равно трению скольжения. Для жидкой опоры, например, воды, трение покоя равно нулю. Это значит, что притянуть к причалу океанский лайнер сможет даже ребенок, если у него хватит терпения. На практике этому мешают волны, ветер, или течение возле причала.

Очевидно, тела могут не только скользить, но и сталкиваться между собой. В момент соударения форма тел меняется. Если после соударения форма тел восстанавливается, а их температура не меняется, такое соударение называют упругим. Очевидно, при упругом столкновении сохраняется полный импульс. Упругость материалов удобнее изучать на винтовой пружине, которая легко сжимается после растяжения.

Строго говоря, растянуть стальную проволоку голыми руками невозможно. Зато её легко согнуть. При «растягивании» пружины происходит вот что. Каждый миллиметр витка пружины изгибается на малый угол. Эти изгибы складываются по всей длине витка так, что суммарный изгиб обеспечивает расхождение между концом и началом витка на два-три миллиметра. Эти миллиметры суммируются, в результате пружину можно растянуть на 30–40 мм. Если конец пружины отпустить, её витки вернутся в исходное положение. Это опыт можно повторять много раз с гарантированным результатом. На этом принципе основано действие пружинного динамометра – простейшего школьного прибора для измерения силы или веса.

§ 18. Энергия пружины

Вес равен силе притяжения. Поэтому при подвешивании тела к пружинным весам прибор показывает его вес. В отличие от динамометра рычажные весы показывают не вес тела, а его массу. В чем тут разница. Если, к примеру, на Луне подвесить к пружинным весам гирю весом 240 Н, то стрелка покажет всего 40 Н, так как гравитация Луне в шесть раз меньше. При взвешивании на рычажных весах применяют набор эталонных гирь. Но эталонные гири на Луне тоже весят в шесть раз меньше. Очевидно, для уравновешивания гири весом 240 Н на рычажные весы придется поставить набор гирь, которые в сумме дают те же 240 Н.

Но вернёмся на Землю. Подвесим на штативе школьный динамометр и начнем нагружать его гирьками по 1 Н. Это очень простой опыт. На первом шаге стрелка опустится на 1 деление, например x (икс) см. На втором шаге стрелка опустится на 2x см. На пятом шаге стрелка опустится на 5x см и т. д. Это значит, что упругая сила F пружины, равная весу груза, связана с растяжением пружины простым линейным уравнением: F = kx (18.1). Нас интересует энергия, запасённая в растянутой пружине. Очевидно, эта энергия равна работе, произведенной против силы упругости E = A = Fs (18.2). Допустим, s = x (18.3). Но чему равна сила на пути от нуля до x? Вначале она была равна нулю, а в конце пути равна F. Значит, среднее значение силы на участке равно F/2. Подставляя F/2 = kx/2 в (18.2), получаем, с учетом (18.3): E = kx2/2 (18.4). Мы выяснили, что энергия пружины зависит от длины х. Поэтому её следует отнести к виду потенциальной энергии, которая, по определению, зависит от расстояния. Коэффициент k принято называть жёсткостью пружины. Каждая пружина обладает своей жёсткостью.

Пружины применяются в различных механизмах, в том числе и в оружии. Например, в автомате Калашникова есть боевая и возвратная пружины. Кроме того, в магазине для патронов имеется подающая пружина. При заталкивании патронов в магазин пружина сжимается, запасая потенциальную энергию согласно уравнению (18.4). Здесь x равно расстоянию между первым и последним патронами в магазине. Во время стрельбы энергия подающей пружины расходуется на забрасывание патронов в ствольную коробку автомата.

§ 19. Волны вокруг нас

Волны на воде может видеть каждый. На морской берег всегда набегают волны. Когда волна доходит до берега, она рассыпается. При этом совершается работа, например, выбрасывается обломок мачты или бутылка с запиской. Энергия шторма, которая передалась водной среде в открытом море, распределилась в последовательность гребней, которые донесли энергетический импульс до берега. Если принять, что все гребни принадлежат одной волне, то получается, что волна – это нечто очень длинное, почти бесконечное. Легко заметить, что частицы воды, образующие волну, колеблются на месте вверх-вниз, поперёк направления переноса энергии. Такие волны называют поперечными. Они возникают на границе раздела двух сред с различной плотностью. В нашем случае это граница между поверхностью воды и воздухом. Вода плотнее воздуха почти в 1000 раз. Это достаточно много. Поэтому морские волны могут достигать 15 метров и выше. Это высота пятиэтажного дома. Если учесть, что водяная гора ещё и быстро движется, такое зрелище никого не оставит равнодушным.

Предположим, на пути волны встретился листок бумаги. Сначала он поднимется на гребень волны, затем опустится во впадину. Гребень перенесёт листок немного вперёд, но впадина вернет его назад, почти на прежнее место. В результате волна прокатится под листком, незначительно переместив его к берегу. Значит, скорость передачи волной энергии намного больше средней скорости частиц воды, составляющих волну. На пляже как то было замечено, что клочок бумаги на воде преодолел расстояние в 10 шагов до берега около 10 минут. Значит, средняя скорость частиц воды равнялась 6 м/600 с = 0.01 м/с. За это же время на берег накатилось порядка 150 гребней с интервалом около двух метров. Значит, скорость v движения гребней равна 150 *2/600 = 0.5 (м/с). Легко подсчитать, что скорость волны в 50 раз больше средней скорости частиц воды.

Поговорим о терминах. Частоту следования гребней принято называть частотой f волны. В нашем случае: f = 150/600 = 0.25 (1/с). Это небольшая частота. Единица частоты (1/с) называется герц (Гц). Расстояние между верхушками двух соседних гребней принято называть длиной волны λ. В нашем случае λ = 2 м. Промежуток времени между двумя накатами гребней называется период волны T. Он равен: Т = 600 с/150 = 4 с. Между частотой и периодом существует связь: T = 1/f (19.1). Очевидно, если длину вол ны разделить на период, получится скорость перемещения гребня v = λ/T (19.2).

Если листок бумаги оставлял бы след на воде, получилась бы линия из гребней и впадин. Эта линия – синусоида, она описывается уравнением у = H*sinx (19.3), где H – высота гребня над уровнем моря. Переменная x зависит от времени t, так как высота h, на которую волна поднимает листок бумаги, колеблется со временем. Но мы не можем просто подставить t вместо x, так как время измеряется в секундах, а переменная x, как принято считать, не имеет размерности. Нужен коэффициент, измеряемый в обратных секундах, т. е., в герцах. Очевидно, это частота f. Частоту f называют линейной, так как она показывает частоту следования гребней вдоль линии переноса энергии. Для упрощения расчётов иногда используют круговую частоту ω = 2πf (19.4). Мы не будем углубляться в ненужные подробности, достаточно сказать, что число π появляется в теории волн часто. Дело в том, волна переносит энергию по прямой линии, хотя частицы волны движутся по кривым траекториям. Прямым метром не измерить длину кривой линии, но удивительное число π, являясь переходным коэффициентом между кривым и прямым, позволяет измерять длину кривого сколь угодно точно. В нашем случае можно считать, что x = ft (19.5). Подставляя (19.5) в (19.3) получаем: h = H sin ft (19.6).

§ 20. Проектируем волновую электростанцию

Поднимая на высоту h тело с массой m, поперечная волна производит работу A против силы гравитации F=mg. Работа волны равна: А=Fh = mgH sin ft (20.1). Величина mgH в правой части (20.1) равна потенциальной энергии, которой тело обладает на гребне волны. Попробуем спроектировать электростанцию для превращения энергии волны в электричество.

Забьем в морское дно четыре стойки по углам квадрата, диагональ которого чуть больше диаметра бочки. К крышке бочки приварим кольцо, бочку опустим между стойками. Это будет поплавок. На стойках устроим платформу, на которой закрепим электрический генератор (далее – генератор). Генератор содержит две катушки с обмотками из медного провода (в медных проводах содержится гигантское количество заряженных частиц – электронов, которые являются носителями электрического поля). Большую катушку закрепим на платформе вертикально. Назовём её якорь. Концы обмотки якоря соединим с нагрузкой – электрической лампой. Это будет светильник маяка. Малую катушку поместим внутрь якоря с возможностью перемещаться вверх-вниз. Назовём её активатор. Концы обмотки активатора соединим с источником тока – аккумулятором. Катушку активатора соединим с бочкой при помощи стержня-шатуна, который свяжем с кольцом на бочке. Длина шатуна должна быть такой, чтобы при спокойном море активатор находился примерно посередине якоря.

Объем бочки равен 200 л. Согласно закону Архимеда, такая бочка может удержать на плаву груз весом до 2000 Н. Пусть вес активатора будет вдвое меньше: mg = 1000 Н. Параметры волны возьмём из § 19: Т=4 с, Н=1 м. Аккумулятор создает в обмотке активатора электрический ток. Ток создает вокруг активатора электрическое поле. Это поле действует на электроны в обмотке якоря. Начнём отсчёт, когда активатор находится посередине якоря.

В начальный момент активатор своим полем уже разогнал электроны из середины обмотки якоря к её концам. Мгновение спустя на платформу накатывает гребень волны, который начинает поднимать бочку вместе с активатором.

Двигаясь вверх, активатор своим полем перегоняет элек троны из верхней части обмотки якоря через нить накала лампы обратно в обмотку якоря. В лампе возникает электрический ток, который заставляет нить накала светиться. На вершине гребня волны бочка останавливается. При остановке активатора ток в обмотке якоря прекращается, лампа гаснет. В следующий момент бочка начинает спуск по склону гребня. При спуске активатора его поле перегоняет электроны из верхней части обмотки якоря через середину якоря вниз, через лампу, обратно в якорь. В лампе возникает обратный ток, нить накала снова начинает светиться. Когда бочка достигнет дна впадины волны, активатор останавливается. Ток через лампу прекращается, лампа гаснет. Через миг накатывает следующий гребень волны. Бочка начинает подъём. Активатор поднимаясь, гонит электроны в обмотке якоря вверх. В цепи лампы снова появляется ток. В дальнейшем всё повторяется.

Подсчитаем работу генератора за один период Т = 4 с. Удобнее считать с момента, когда бочка находится в нижней точке. За 2 секунды волна поднимет бочку на высоту 2 м. В следующие полпериода бочка опустится на 2 м. Потенциальная энергия активатора за период Т изменилась на величину: 1000 Н*4 м = 4 кДж. Мы не знаем, какую часть этой энергии генератор превратит в энергию электрического тока, КПД генератора может быть от 10 % до 90 %. Возьмём его среднее значение, равное 50 %. Значит, за один период генератор превратит в электричество 2 килоджоуля механической энергии волны. Разделив это значение на период Т=4 с, получим среднюю мощность света P = 2/4 = 0.5 (кВт). Для маяка это не самая большая мощность, но при соответствующей оптике свет можно сделать достаточно ярким. Рыбаки на ночной рыбалке вполне могут заметить свет такого маяка, мигающего в такт волнам. В дневное время энергией волны можно заряжать аккумулятор активатора.

§ 21. Продольные волны

В продольной волне частицы среды совершают колебания около среднего положения вдоль направления переноса энергии. Поэтому её называют продольной. Типичным примером продольной волны является звук. В прежние времена люди в рабочих посёлках по утрам поднимались и шли на работу по звуку заводского гудка. Звук хорошо распространяется в воздухе. Точнее, в процессе эволюции наш слуховой аппарат приспособился хорошо улавливать звуковые волны. В пространстве вокруг источника звука возникает последовательность сгущений и разрежений среды. Энергия звуковой волны передаётся от сгущения к сгущению, которые колеблются около среднего положения с небольшой, порядка миллиметра, амплитудой. При этом энергия звука переносится на расстояние, которое в миллионы раз превышает амплитуду волны. Звук с расстоянием слабеет, так как частицы из сгущений разлетаются в стороны и уносят с собой энергию.

Скорость звука зависит от упругости среды. При нормальных условиях скорость звука в воздухе равна 330 м/с. Она не зависит от скорости перемещения источника звука. Этим волны отличаются от частиц. Например, когда сверхзвуковой истребитель, преследуя самолёт противника, выпускает ракету, скорость самолета-носителя прибавляется к скорости ракеты. При этом звук от двигателя истребителя долетает до земли с обычной скоростью звука в воздухе. Этим объясняется явление, когда истребитель уже скрылся за горизонтом, а звук от него еще не дошел до нашего уха. Скорость передачи звуковой энергии в более плотной среде может превышать скорость звука в воздухе, которую в авиации измеряют в «махах» (в честь физика по имени Мах). Например, скорость звука вдоль стального рельса равна почти пяти махам. Это очень много.

Авиаконструкторы называют такую скорость гиперзвуко вой. Чтобы создать гиперзвуковой самолет, тратятся большие материальные средства.

Мы уже знаем, что источником энергии может быть только материальное тело. Источником звуковой волны является любая стабильно вибрирующая поверхность. Звук от такого источника называют гармоническим или просто гармоникой. Если гармонику записать и пропустить через специальный прибор – анализатор спектра, то на экране прибора действительно можно увидеть график в виде синусоиды с определённой частотой. В музыкальных инструментах источником звука может быть натянутая струна (гитара), пластинка металла (металлофон) и даже столб воздуха (труба). Музыкальные инструменты производят одновременно несколько гармоник с различными амплитудами. Тембр, например кларнета, легко узнать, потому-что он содержит индивидуальный набор гармоник. Тембр барабана отличается тем, что в его звуке присутствует много гармоник с одинаковыми амплитудами. График ударного звука выглядит как сплошная полоса с неровными краями. Гармоники сливаются между собой, и мы не можем различить их на слух. Тогда мы слышим звук, который воспринимается как удар.

Мы можем слышать звуки, частота которых лежит в диапазоне от 20 до 20000 Гц. Неслышимые звуки делятся на инфразвуки и ультразвуки. Мощность звука лежит в диапазоне от уровня писка комара до уровня рёва космической ракеты на старте. Если звуки, извлечённые при помощи музыкальных инструментов, приятно слушать, они называются музыка. Слабые звуки можно усиливать при помощи при помощи электрических усилителей звуковой частоты. В паспорте усилителя для электрогитары всегда указывают потребляемую мощность и выходную мощность звука. Например, если в паспорте указано 40 Вт и 17 Вт, это значит, что усилитель «заберёт» из сети до 40 Вт электроэнергии, из которых до 17 Вт «выдаст» в виде энергии звуковых волн.

§ 22. Другие виды волн

Мы уже говорили, что для переноса энергии при помощи звуковых волн нужна вещественная среда. Частицы вещества колеблются вверх-вниз или вперёд-назад на миллиметры, а энергия переносится на многие километры. Заметим, что вещество занимает ничтожно малый объём Вселенной. К примеру, выше 100 км над землёй начинается безвоздушное пространство. Спутники летают, начиная с высоты 300 км, они поддерживают связь с Землёй при помощи радиоволн. Это значит, что радиоволны способны проходить через безвоздушное пространство. Вселенная буквально заполнена радиоволнами. Значит, существуют волны, для которых вещественная среда особо не нужна. К таким волнам относятся волны электрического поля, или говоря проще, электрические волны.

Симулировать электрические волны легко. Подвесим на штативе два воздушных шарика так, чтобы они едва не касались друг друга. Затем потрем шарики о волосы и отпустим. В результате трения часть электронов с волос перешла на шарики, которые зарядились отрицательно. Еще древние греки знали, что одноимённые заряды отталкиваются. Мы увидим, что шарики разошлись и висят под углом к стойке штатива. Их удерживают встречные электрические поля вокруг шариков. Если один из шариков отклонить, действие его поля ослабнет. Тогда второй шарик приблизится к равновесному положению, т. е. к стойке штатива. Если первый шарик перемещать относительно стойки вперед-назад, второй шарик будет повторять его перемещения. Так вибрация заряженного тела передаётся через колебания электрического поля другому заряженному телу, заставляя его вибрировать. Перенос энергии при помощи колебаний поля и есть волна поля, в данном случае волна электрическая.

Важнейшей энергетической характеристикой волны является её частота. Поскольку источником электрического поля являются легчайшие частицы электроны, которые могут двигаться с огромной скоростью, частота радиоволны может достигать огромной величины. Например, современное телевидение охватывает диапазон частот до 1 ГГц и более. Это большая величина для радиоволны. Другой характеристикой волны является её длина. Это расстояние, на которое энергия переносится за один период волны. Раньше для радиосвязи использовали радиоволны с длиной в сотни метров. В первых радиоприёмниках шкала радиоволн начиналась с одного километра. Метровый диапазон был освоен аналоговым телевидением. Потом изобрели цифровое ТВ, в котором используются более еще короткие волны. То, что для древних греков было игрушкой, в наше время превратилось в мощное средство связи.

Несмотря на очевидные успехи радиотехники, в понимании природы радиоволны до сих пор нет полной ясности. По традиции считается, что в радиоволне колебания электрического поля сопровождаются колебаниями магнитного поля. Правда, при этом делается оговорка, что магнитное поле самостоятельно не существует и энергию не переносит. Значит, в нашем энергетическом подходе магнитное поле особой роли не играет. В аналогичной ситуации мы уже сталкивались с так называемой силой инерции. Эта сила работу тоже не производит. Она появляется в результате того, что выбранная система отсчета является неинерциальной. Возможно, магнитное поле тоже появляется в результате неправильного выбора системы отсчёта.

Скорость радиоволны равна скорости света. Это дало повод считать свет электромагнитной волной с частотой порядка 1016 Гц. В нашем подходе это мнение особой информативностью не обладает, так как магнитное поле энергию не переносит. Но мы не станем отказываться от понятия магнитного поля. Теория магнетизма формально хорошо проработана, её методы просты и надежны. Вспомним, что в § 14 мы использовали неинерциальную систему отсчета. Благодаря этому формальному приёму объём вычислений сократился в шесть раз.

Несколько слов следует сказать о волнах гравитации. Теория утверждает, что для генерирования волны гравитации необходимо, чтобы массивное тело двигалось с ускорением ускорения. Такое возможно под действием переменной силы, например, при прохождении кометы вблизи Солнца. Кометы нередки в нашем небе, но гравитационные волны пока не зарегистрированы. Возможно, амплитуда и период этих волн настолько чрезмерны, что мы их просто не воспринимаем. Так мелкий веслоногий рачок, барахтающийся на поверхности океана, не замечает, что под ним прошла волна цунами, так как его мир поднялся и опустился вместе с ним.

§ 23. О древних греках

Аристотель, величайший научный авторитет древности, считал, что тяжелые тела падают на землю быстрее лёгких. Докажем, что он ошибался. Согласно второму закону Ньютона, F=ma. Согласно «четвёртому» закону, вес тела P=mg. На поверхности земли вес равен силе притяжения, т. е. P=F. Значит, можно написать: mg=ma (23.1). Если масса из второго закона то же самое, что масса из «четвёртого», мы имеем право сократить уравнение (23.1) на m. После сокращения получаем: g=a, т. е. ускорение падения не зависит от массы тела. Заметим, что существует теория (академика Логунова), из которой следует, что «тяжелая» масса не то же самое, что масса инерционная. Правда, расхождение для одного и того же тела возникает, начиная с 14-го знака после запятой, до этого всё совпадает. Зарегистрировать такое сверхмалое расхождение пока невозможно из-за отсутствия сверхточных приборов. В любом случае, это уже не механика Ньютона и даже не теория Эйнштейна.

Величайшим механиком древности признан Архимед. Он открыл основной закон гидростатики (закон Архимеда), изобрёл архимедов винт и множество других механизмов. Архимед говорил: «Дайте мне точку опоры, и я с помощью рычага подниму земной шар». Это не случайно. Во всех своих механизмах Архимед использовал золотое правило рычага, которое гласит: «пусть мы проиграем в расстоянии, зато выиграем в силе». Нетрудно понять, что принцип рычага основан на законе сохранения механической энергии, которая равна выполненной работе: E = Fs = A. Покажем это.

Допустим, надо поднять упавшее на дорогу бревно. При подъёме увеличивается потенциальная энергия бревна: E=Ph1. Для этого надо выполнить работу A=Fh2. Бревно поднимаем прочной жердью. Заведем под конец бревна жердь и подложим под нее опору – полено толщиной 0.1 м. Исходные данные таковы: пусть вес бревна равен 10 кН, но при подъёме конца бревна нагрузка на рычаг равна весу полбревна, т. е. Р1 = 5 кН. Вес спасателя P2 = 1 кН. Опытным путем находим ближайшую к опоре точку на жерди, где, навалившись всем весом, спасатель может опустить жердь до горизонтального положения. Измерение высоты h2, с которой опустилась точка на жерди, даёт: h2 = 0.5 м. Подставим найденные данные в уравнения. Конец бревна поднялся на высоту h1 = 0.1 м, значит, Е = P1h1 = 5 кН * 0.1 м = 0.5 кДж.

С другой стороны, работа равна: A = Fh2 = P2h2 = 1 кН * 0.5 м = 0.5 кДж. Мы доказали, что A = E. Очевидно, рычаг, увеличивая силу, при этом пропорционально уменьшает темп передачи энергии. По этой причине передаваемая телу энергия не может быть больше производимой работы.

Похожим свойством обладает наклонная плоскость, секрет которой был известен до Архимеда. Ещё древние египтяне закатывали каменные колонны по длинным наклонным доскам. Пускай путь увеличивался в несколько раз, зато пропорционально уменьшалась скатывающая сила. Практически каждый механизм состоит из рычагов, колёс и винтов, работа которых подчиняется закону сохранения энергии. Поэтому бесполезны любые попытки создать механизм, работающий без источника энергии (так называемый вечный двигатель).

Интересно проверить, смог бы Архимед выполнить своё обещание – поднять земной шар? Из справочника узнаём, что масса Земли m = 6*1024 кг. Значит, вес Земли «на земле» был бы равен mg = 6*1025 (Н). Вес Архимед вряд ли был больше 100 кг (103 Н). Допустим, он нашел точку опоры, установил свой рычаг, подвесил к длинному концу люльку и уселся в неё. Какой путь вниз должна пройти люлька с человеком, чтобы короткий конец рычага поднял бы Землю хотя бы на 0.1 м? Решение: шар весом 6*1025 (Н) на высоте h = 0.1 м получает потенциальную энергию Е = mgh = 6*1024 Дж. Эта энергия равна работе рычага Е=A = Ps, где Р – вес люльки с человеком. Отсюда: s = Е/P. Подставляя числа, получим: s = 6*1024/103 = 6*1021 (м). Это огромная дистанция. Известно, что свет проходит за год примерно расстояние 9.4*1015 м. В астрономии эту длину называют световым годом. Выразим путь Архимеда s в световых годах: s = 6*1021/9.4*1015 = 6.4*105 (световых лет). Это намного больше диаметра нашей Галактики. Заметим, для самого рычага не хватит места во всей Вселенной.

Раздел II. Электричество

Глава 3. Электрическое поле

§ 24. Энергия электричества

В предыдущем разделе мы изучали механическую форму энергии, связанную с движением тел. Известно, что существует форма энергии, связанная с перемещением невидимых заряженных частиц. Это верно, что электроны невозможно увидеть. Зато электрический ток можно измерить. В данном разделе мы рассмотрим, как электрическое поле приводит в движение заряженные частицы и можно ли извлечь из этого пользу.

Следует признать, что объяснить электрические явления труднее, чем действие гравитации. Прошло почти двести лет после открытия Ньютоном закона всемирного тяготения, прежде чем Герц завершил теорию электромагнетизма, заложенную Максвеллом. В итоге выяснилось следующее. Во-первых, электрическое поле в миллиарды миллиардов раз сильнее тяготения. Именно электрические поля удерживают заряженные частицы вместе, обеспечивая стабильность формы тел. Влияние гравитации здесь можно даже не учитывать. Судите сами: каждый школьник может поднять гантель весом 30 Н. Но разорвать этот кусок железа не в силах вся олимпийская сборная по штанге.

Вдобавок, заряженные частицы, источники электрических полей, могут не только притягиваться, но и отталкиваться.

Значит, существуют два вида электрических полей.

Известно, что вещество содержит два сорта мельчайших заряженных частиц, действие которых полярно противоположно. Эти элементарные частицы были названы электронами и протонами. Более ста лет назад ученые договорились считать заряд протона положительным, а электрона – отрицательным. Лучше бы наоборот. Во-первых, работу в электрических сетях производят именно электроны. Было бы удобнее, если в уравнениях электромеханики электрон имел знак плюс. Во-вторых, в атоме потенциальная энергия электронов отрицательна, ведь их удерживают протоны ядра. Было бы справедливее приписать знак «минус» протону. К сожалению, электрон был открыт уже после признания теории электромагнетизма. Напомним, электрон отталкивается от электрона, но притягивается к протону. Протон отталкивается от протона, но притягивается к электрону.

Так как по абсолютной величине заряд электрона равен заряду протона, а в нормальных условиях их количество в теле одинаково, суммарное поле всех электронов нейтрализует суммарное поле всех протонов. Поэтому тела снаружи электрически нейтральны. Но когда за счет механической работы, например, при трении, на тело перескакивает хотя бы малая часть электронов, заряд протонов уже не в силах компенсировать заряд новых электронов и вокруг тела ощущается электрическое поле. Сила его так велика, что, снимая свитер, можно слышать, а в темноте даже видеть электрические искры, порой очень неприятные. Это электроны, переселившиеся на тело, пробивают воздух, перескакивая обратно под действием притяжения оставшихся избыточных протонов.

Роль электричества переоценить невозможно. Все наше оборудование устроено так, чтобы преобразовывать электрическую энергию в работу. Этот выбор объясняется тем, что электрическое поле можно почти мгновенно передать от источника к потребителю. Для этого электрооборудование соединяют проводами с электростанцией, где электрические генераторы производят электроэнергию. Электрическое поле концентрируется в проводах и практически без потерь доставляется к потребителю. Это оказалось настолько удобным, что даже если энергия где-то получается в виде тепла от сжигания топлива или от ядерных реакций, ее сначала преобразуют в электроэнергию, а уже потом распределяют по проводам, которые закольцованы в единую межрегиональную энергосеть. Когда житель Вологды включает люстру, возможно, он потребляет электроэнергию, произведенную на атомной электростанции в Сосновом Бору, или на Среднеуральской тепловой электростанции, или на Красноярской гидроэлектростанции. Единая энергосеть нужна для равномерного распределения электроэнергии по всей стране. Представьте мегаполис Санкт-Петербург, в котором миллион домохозяек зимним утром включает свет, пылесос и телевизор. Если город был бы подключен только к одной электростанции, никакой мирный атом не выдержал бы такой нагрузки. Заметим, в Омске в это время пылесосы уже выключены, потому что наступил обед, в Хабаровске ужинают, а в Анадыре кто-кто уже лег спать. Значит, излишек невостребованной на востоке страны электроэнергии можно перебросить почти со скоростью света на запад и избежать перегрузки в сети. Следует подчеркнуть, что со скоростью света перемещается только электрическое поле. Средняя скорость электронов в проводах составляет доли миллиметра в секунду. Так что на протяжении суток, а то и всей рабочей недели, в каждом регионе трудятся «свои» электроны. Эти местные трудяги выполняют огромную работу под действием электрического поля единой энергосети.

Возникает вопрос, как провода передают электрическое поле, если в нормальном состоянии они электрически нейтральны? Дело в том, что провода изготавливают из металлов, в которых имеется большое количество свободных электронов. Например, в меди, серебре и золоте на каждый атом вещества приходится один свободный электрон. Это огромная величина, учитывая количество атомов в одном кубическом сантиметре (порядка 1022). В отсутствие внешнего поля свободные электроны хаотически носятся между ядрами вещества. Но если к проводу приложить электрическое поле, свободные электроны устремятся навстречу полю, превращая энергию поля в работу. Упорядоченное перемещение электронов в веществе называют электрическим током, или просто током. Это ток вращает электромотор в пылесосе, кипятит воду в электрочайнике, заставляет сверкать огнями новогоднюю ёлку, в общем, производит работу.

§ 25. Сила тока

Для получения тока нужно иметь электрическое поле. Это поля создают на электростанциях при помощи специальных машин – генераторов. Мы уже изучали работу устройства для преобразования энергии морских волн в электричество. В этой машине имелась малая катушка с током – активатор. Когда в проводе возникает ток, он течет, в основном, по его наружной поверхности. При этом поля электронов складываются, а провод становится источником электрического поля. Неподвижные протоны, которые находятся внутри проволоки, уже не могут компенсировать поле электронов вокруг провода. Если провод намотан на каркас в виде катушки, его поле усиливается многократно.

Катушку с железным сердечником внутри называют электрическим магнитом или электромагнитом. Так сложилось исторически. Люди с незапамятных времен имели дело с магнетитом – природным минералом, способным притягивать к себе железо. В древности из магнетита делали стрелки компаса. После опытов с электричеством выяснилось, что катушка с током тоже притягивает железо. Поэтому такие катушки стали называть электромагнитами, а само явление – электромагнетизмом. Электроны, подвижные источники электрического поля, были открыты значительно позже. Очевидно, внутри кристалла магнетита имеются природные кольцевые цепочки атомов, аналогично виткам провода в катушке. Вдоль этих цепочек атомов по замкнутым траекториям, как ток по виткам обмотки, перемещаются свободные электроны. Их немного, но достаточно, чтобы вокруг минерала постоянно существовало электрическое поле. Это поле вокруг магнетита в древности назвали магнитным. Если образец магнетита нагреть докрасна, он теряет магнитные свойства. Высокая температура разрушает цепочки атомов и магнетит превращается в обычную породу.

Для промышленности нужны мощные поля, сильные токи. Мощное электрическое поле получают, перемещая электроны в генерирующей обмотке промышленного генератора. Для этого обмотку генератора быстро вращают в поле электромагнита при помощи турбины – колеса с лопатками, на которые направляют поток воды или пара. Преимущество таких генераторов в том, что они не зависят от погоды. Управляя частотой вращения турбины, можно получать электрическое поле нужной мощности. Существуют генераторы, в которых вращают электромагнит, а генерирующую обмотку оставляют неподвижной. В любом случае необходимо перемещение витков генерирующей обмотки относительно электромагнита, иначе электроны в обмотке не сместятся и электрическое поле не возникнет.

Работу вращающегося электромагнита можно сравнить с работой насоса, который «перегоняет» своим полем электроны в обмотке генератора. Проникая в обмотку, поле электромагнита перемещает свободные электроны по её виткам. Электроны собираются на одном конце обмотки, который мы назовём отрицательным полюсом. Протоны, связанные в ядрах меди, остаются на месте. Тем не менее, на другом конце обмотки возникает положительный полюс, так как после «вымывания» электронов здесь преобладает заряд протонов. Если потребитель электроэнергии, например, электрочайник, соединить проводами с полюсами генератора, получится замкнутая цепь. Отрицательный полюс генератора будет выталкивать электроны в чайник по одному проводу, а положительный полюс – вытягивать их через другой провод. Отработавшие электроны возвращаются в генератор, который снова перегоняет их к отрицательному полюсу. Возникает электрический ток, который нагревает чайник до кипения (никогда не забывайте наливать воду в электрочайник).

Энергия тока, израсходованная в чайнике, пропорциональна, очевидно, количеству электронов, перенесенных полем через поперечное сечение провода за секунду. Эту величину называют силой тока и обозначают буквой I. Если заряд электрона равен q, а за время t через сечение прошло N электронов, то суммарный заряд равен Q = N q. Тогда сила тока равна:

I = Q / t (25.1).

Для удобства вычислений N нужно взять побольше, чтобы единица силы тока не получилась мелкой. Исторически сложилось, что за единицу принят заряд, равный сумме 6,25х1019 зарядов электронов. Единицу заряда назвали кулоном (Кл), а единицу силы тока назвали ампером (А). Из (25.1) следует, что один ампер равен 1 кулону в секунду. Один ампер это приличная сила тока. На стандартных, встроенных в стены электрических розетках можно прочитать: «220 вольт, 5 ампер». Число ампер указывает на предельно допустимую силу тока. Это означает, что к одной розетке можно подключить одновременно телевизор (1 А), электрокамин (2 А), электроутюг (2 А) и все. Кухонную электроплиту с рабочим током 10 А к такой розетке подключать не стоит. Розетка перегреется и сгорит (проверено на практике). Что такое «вольт», нам еще предстоит узнать.

§ 26. Параметры тока

Электрическое поле генератора совершает работу A по перемещению заряда Q в цепи. Очевидно, чем больше величина работы, тем больший заряд перемещается в данную точку. Но мы не можем просто приравнять заряд к работе, так как работа измеряется в джоулях, а заряд в кулонах. Нужен переходный коэффициент. Обозначив его буквой φ, мы можем написать: A = φQ (26.1). Чтобы понять смысл параметра φ, перепишем (26.1) в виде: φ = A/Q (26.2). Если Q равен 1 Кл, из уравнения (26.2) следует, что φ = A. Другими словами, величина φ численно равна работе генератора для переноса заряда 1 Кл от полюса генератора в данную точку. Величину φ принято называть потенциалом электрического поля в данной точке. Очевидно, потенциал снижается от точки к точке, потому что при движении заряда от полюса к полюсу его энергия уменьшается. Если потенциалы в точках 1, 2 обозначить φ1, φ2, а их разность обозначить U, можно записать: U = φ1 – φ2 (23.3). Величину U называют электрическим напряжением. Единица измерения напряжения называется вольт (В). Разность потенциалов между разомкнутыми полюсами генератора исторически называют электродвижущей силой, или просто э.д.с. Следует сказать, что это никакая не сила, а просто разность потенциалов между полюсами, когда нет тока в цепи. Этот термин появился давно, когда первые исследователи считали, что заряды перемещает особая сила. Обозначают э.д.с. греческой буквой Є. Точные измерения показывают, что напряжение, когда есть ток в цепи, меньше э.д. с, когда тока нет. Это объясняется тем, что при разомкнутой внешней цепи согнанные к полюсу электроны остаются в генераторе и потенциал на отрицательном полюсе держится выше. Очевидно, э.д.с. равно разности потенциалов между полюсами генератора в отсутствие тока. Мы будем использовать термин «напряжение», как более современный.

С учетом (26.1) и (26.3) работа генератора по переносу заряда Q от точки 1 к точке 2 во внешней цепи равна: A = UQ (26.4). Разделив обе части (3.4) на время t работы генератора, получим: A/t = UQ/t (26.5). Учитывая, что Q/t = I, получаем: A/t = U I (26.6). Слева в (26.6) стоит механическая мощность генератора. Значит, справа стоит электрическая мощность тока, выраженная через электрические параметры: Р = U I (26.7). Для определения единицы напряжения перепишем уравнение (26.4) в виде: U = A/Q (26.8). Если в (26.8) А = 1 Дж, Q = 1 Кл, то 1 В = Дж/Кл. Для выражения единицы мощности через параметры тока воспользуемся (26.7). Если в уравнении (26.7): U = 1 В, I=1 А, то 1 Вт = 1 В А.

§ 27. Ток в металлах

Возникает вопрос: если электрон в электрическом поле должен двигаться с ускорением, как любая частица в силовом поле, тогда почему электрический ток в проводе не растет до бесконечности? Дело в том, что ток в металлах не похож на ток в вакууме. В вакууме электроны, слегка расталкивая друг друга своими микрополями, летят, как полагается, с ускорением навстречу внешнему полю. Это похоже на массовый забег спортсменов в день физкультурника. В толще металла наблюдается другая картина. Здесь уже имеются связанные электроны, удерживаемые протонами в ядрах атомов металла. Эти связанные электроны притягиваются и к соседним ядрам, образуя вытянутые электронные оболочки, между которыми остается немного незанятого пространства. Под действием приложенного к проводу внешнего поля свободные электроны летят, натыкаются на электронные оболочки, отскакивают обратно, потом все же проскальзывают в щели между ними. Это напоминает игру в регби, когда атакующие налетают на защитников противника, останавливаются, порой отступают, но затем, изловчившись, пробегают сквозь дыры в обороне и мчатся вперед, к зачетной линии. В электротехнике этот эффект называют сопротивлением проводника электрическому току, или просто сопротивлением. Сопротивление обозначают буквой R. Таким образом, ток в проводнике существует в виде некоего среднего перемещения электронов через поперечное сечение провода вдоль его оси.

Опытами установлено, что сила тока в металлах пропорциональна напряжению U на участке цепи и обратно пропорциональна сопротивлению R участка. Эту зависимость можно записать в виде уравнения: I = U / R (27.1). Это уравнение является важнейшим в теории электричества. Его открыл Георг Ом. В его честь уравнение (27.1) называют законом Ома. Если (27.1) переписать как: R= U/I и принять U = 1 В, а I = 1 А, то сопротивления R будет равно1 Ом. Значит, 1 Ом = В/А.

Очевидно, чем длиннее провод, тем больше его сопротивление. С другой стороны, чем больше площадь его сечения, тем больше «щелей» между электронными оболочками, тем меньше сопротивление. Наконец, сопротивление зависит от вида металла провода. Эти технические параметры, в общем, уже определяют сопротивление R провода по формуле:

R = ρ l /S (27.2),

где l = длина провода, S – площадь его сечения, ρ – удельное сопротивление данного металла (берется из справочника). Например, медный провод длиной 1 м и сечением 1 мм2 имеет сопротивление около 0,02 Ом. Столбик ртути длиной 1 м и сечением 1 мм2 имеет сопротивление почти 0,96 Ом. Указывая сечение в мм2, а не в м2, мы немного отошли от системы СИ ради здравого смысла, так как провода с сечением жилы 1 м2 в жизни не встречаются.

Задача. Корпус станка заземлен (соединен с землей) алюминиевым проводом диаметром 2 мм и длиной 15 м.

Найти сопротивление заземления.

Решение: S = π D2 /4 = 3,14 х 22 / 4 = 3,14 (мм2). В справочнике находим для алюминия значение ρ = 0,028. Подставляя в формулу (27.2) получаем: R = 0,028 х 15 / 3.14 = 0,134 (Ом).

Сопротивление металлов увеличивается с ростом температуры t. Объясняют это тем, что с повышением температуры ядра в узлах кристаллической решетки вещества колеблются быстрее и щели между их электронными оболочками перекрываются чаще. Зависимость сопротивления металла от температуры принято записывать в виде: ρ = ρ0 (1+α t), (27.3), где ρ0 – удельное сопротивление металла при t = 0, α – температурный коэффициент сопротивления данного металла. Его значение тоже берут из справочника.

§ 28. Полупроводники

По концентрации свободных электронов полупроводники (а к ним относятся кристаллы углерода, кремния, германия и некоторые другие) занимают промежуточное положение между металлами и диэлектриками (изоляторами). Если взять слиток чистой меди объемом 1 см3, то в нем будет около 1022 свободных электронов, причем это число не зависит от температуры. В таком же кубике фарфора при любой температуре насчитывается не более сотни свободных электронов, что почти ничего. Именно поэтому из меди делают провода, а из фарфора – изоляторы (лучшие изоляторы получаются из китайского фарфора). Из полупроводников делают интегральные микросхемы, основу современной электроники.

Кристалл кремния объемом 1 см3 при температуре 0 ºC одержит порядка 1013 свободных электронов, а кристалл германия – почти 1014. По данному параметру кремний и германий находятся посередине между металлами (1022) и изоляторами (102). Поэтому их назвали полупроводниками. Другим признаком полупроводника является то, что при нагревании концентрации свободных электронов в нем увеличивается. Чтобы понять, как в кристалле появляются свободные электроны, надо вспомнить, как они удерживаются в узлах решетки.

Считается, что закон притяжения заряженных частиц открыл Кулон. При этом забывают, что Кулон фактически открыл два закона. Первый закон устанавливает силу, с которой отталкиваются две одноименно заряженных частицы, имеющие заряды q1 и q2, на расстоянии r: F1 = K1q1q2/ r2 (28.1), где К1 – первая постоянная Кулона. Второй закон Кулона устанавливает силу, с которой притягиваются две разноименно заряженных частицы: F2 = – K2 q1 q2 / r2 (28.2), где К2– вторая постоянная Кулона. Знак минус стоит потому, что произведение зарядов с противоположными знаками всегда меньше нуля. Поэтому сила притяжения отрицательна. В отличие от Кулона, который жил в XVIII веке и ничего не знал о протонах и электронах, мы не можем заранее полагать, что электрон отталкивается от электрона с такой же силой, с какой притягивается к протону. Именно поэтому мы разделили закон Кулона на два уравнения. Новейшие измерения показывают, что К1 = К2 = К = 1/4πε0 = 9,0 х 109 (В м/Кл) вплоть до внутриатомных расстояний. Если K1 отличается от K2, то на расстоянии меньше, чем 10-13 м. Этот результат странным образом созвучен с выводом из теории гравитации Логунова, согласно которому расхождение между инерционной и гравитационной массами наступает после 13-го знака после запятой. Возможно, «релятивистская» теория электричества еще ждет своего автора.

§ 29. Запрещённая зона

Напомним, что кремний является 14-м элементом в таблице Менделеева. Это значит, что атом кремния содержит 14 протонов и 14 электронов. Электроны в атоме кремния размещаются в трех оболочках. Внутренняя оболочка содержит 2 электрона, средняя – 8. Известно, что эти электроны в образовании кристалла не участвуют. В наружной оболочке содержится 4 электрона, которые связывают атомы в кристаллическую решетку. Можно считать, что в узле решетки находится ион с зарядом +4, вокруг которого вращаются 4 электрона.

Вообще говоря, строение атомов детально изучают в разделе «Атомная физика». Для нас важно выяснить, как в полупроводнике появляются свободные электроны. Для этого составим уравнение Кулона в виде: F = – KqQ/r2 (29.1), где q – заряд электрона, Q – заряд иона в узле решетки, r – средний радиус орбиты электрона связи (или просто электрона). Знак минус указывает, что электрон заряжен отрицательно. Перепишем (28.2) в виде: F r = – K q Q/r (29.2). Слева в (29.2) стоит значение работы A по перемещению электрона от центра атома на расстояние r: A = F r (29.3). Разделим (29.3) на q. Тогда можно написать: A/q = – K Q/r (29.4). Известно, что A/q = φ. Значит, потенциал поля ядра на расстоянии r равен: φ = – K Q/r (29.5). Из (29.5) следует, что потенциальная энергия W электрона, связанного в атоме, отрицательна: W = A = φ q = – K q Q/r (29.6).

Уравнения (29.1 – 29.6) описывают состояние кристалла при сверхнизкой температуре, порядка – 270º С, когда все электроны занимают свои места в атомах, а свободных электронов просто нет. С повышением температуры возникают тепловые колебания кристаллической решетки, которые периодически растягивают электронные оболочки. Радиус r орбиты электрона периодически увеличивается, значит, энергия W электрона уменьшается. Если электрон получит порцию тепловой энергии, которая превысит абсолютное значение энергии связи W из (29.6), связь электрона с решёткой будет нарушена. Проще говоря, электрон будет оторван от решетки и выброшен в пространство между ионами, где превратится в свободный электрон проводимости. При этом в атоме, связанном в узле решётки, останется вакантное место – так называемая «потенциальная дырка» или просто дырка для электрона.

Заметим, что энергию свободного электрона следует считать положительной, так как он удалился от «своего» ядра на расстояние, намного превышающее максимальный радиус атома в узле решетки. Разность между минимальной энергией свободного электрона и максимальной энергией электрона, связанного в решетке, называют шириной запрещенной зоны. Этим подчеркивают, что в кристалле не может быть электрона с энергией из данного интервала значений. Или электрон связан с атомом – тогда его энергия определяется (29.6), или электрон свободен – тогда его энергия больше нуля. Каждый полупроводник характеризуется своей шириной запрещенной зоны. Например, у кремния она больше, чем у германия, но меньше, чем у алмаза. Если ширину запрещенной зоны обозначить ΔW, то для чистого кристалла можно написать: /ΔW/ = K q Q/r, (29.7), где К = 1/4πε0.

Заметим, что джоуль слишком большая величина для измерения энергии электрона. Для него придумана единица электрон-вольт (эВ). Один эВ = 1 В*qe, где qe – заряд электрона. К примеру, если для алмаза ΔW = 2 эВ, это значит, что к валентному электрону необходимо приложить поле с напряжением 2 В, чтобы вырвать его из узла решетки. Для полупроводника это приличная ширина зоны. У бора она еще больше. Поэтому бор по сопротивлению ближе к изоляторам, хотя его проводимость увеличивается с температурой, как у полупроводника. Сравнительно недавно технологи научились выращивать полупроводниковые кристаллы из смеси теллура, кадмия и ртути. Изменяя процентное соотношение этих компонентов, можно уменьшить ширину запрещенной зоны кристалла практически до нуля. Это открытие позволило создать уникальные оптические приборы, такие, как инфракрасные телескопы и тепловизоры.

§ 30. Ток в полупроводниках

Появление дырки вместо электрона связи не остается незамеченным для других атомов. В эту дырку может легко заскочить электрон связи от соседнего атома, так как для этого нужно гораздо меньше энергии, чем для освобождения электрона. Тогда дырка останется в соседнем атоме. В нее может запрыгнуть электрон из следующего атома, при этом дырка образуется в следующем атоме. Создается иллюзия, что в поле отрицательных энергий, ниже запрещенной зоны, перемещаются дырки. Перемещение связанных электронов от узла к узлу кристаллической решетки через дырки в связях называют дырочным током. При определенных условиях дырочный ток даже может иметь преимущество. Таким образом, в полупроводниках существует как электронная, так и дырочная проводимость.

Концентрация свободных электронов в кристалле кремния в миллиард раз меньше, чем в меди. Это очень мало. Чтобы повысить проводимость полупроводника, в него добавляют примеси. Если надо повысить электронную проводимость, добавляют немного пятивалентного мышьяка, если хотят повысить дырочную – добавляют трехвалентный индий. В первом случае пятый валентный электрон мышьяка, не найдя себе ковалентную пару у ближайшего атома кремния, оказывается лишним и почти сразу отрывается от решетки. Даже сотая доля процента примеси мышьяка может увеличить электронную проводимость кристалла кремния в десятки тысяч раз. При добавлении индия его три валентных электрона вступают в ковалентную связь только с тремя внешними электронами атома кремния. Четвертый электрон кремния остается без пары, что означает появление лишней дырки. Таким образом, в зависимости от вида примеси получается полупроводник с избытком электронов (n – типа) или с избытком дырок (p-типа). Вообще говоря, технология полупроводников получила в наши дни такое развитие, что её описание может занять не одну полку книг. Тем не менее, расскажем о главном достижении техники полупроводников, о p-n переходе.

Как говорят электронщики, один p-n переход – это диод, два – транзистор. Иногда можно услышать, что p-n переход можно получить, если создать контакт между полупроводниками с различными типами проводимости. Это не совсем так. До появления нанотехнологий p-n переход изготавливали на чистом кристалле в виде тонкой пластинки (чипа). К одной стороне чипа припаивали шарик индия, к другой – прикрепляли крупинку мышьяка. Затем чип нагревали в духовке. При высокой температуре атомы примесей проникали вглубь кристалла с двух сторон. После расчетного времени чип извлекали. Со стороны мышьяка получался полупроводник n-типа (электронная проводимость), со стороны индия – p-типа (дырочная проводимость). В середине оставался очень тонкий пограничный слой, имевший собственную проводимость. В целом все это называлось p-n переход, важнейшим свойством которого является односторонняя проводимость электрического тока. Для подвода внешнего поля к области n-типа припаивали катод, к области p-типа – анод. Получился электронный прибор, который назвали полупроводниковым диодом.

Если анод диода соединить с положительным полюсом источника поля, а катод – с отрицательным, электроны в n-области начнут отталкиваться от отрицательного полюса и устремятся навстречу положительному полюсу. Они легко преодолеют узкий n-p переход и попадут в p-область, где мало электронов, зато много дырок, обеспечивающих электронам высокую подвижность. Таким образом, для прямого направления поля диод имеет небольшое сопротивление (порядка несколько Ом), и прямой ток получается большим. Но если к диоду приложить обратное внешнее поле, картина меняется. Электроны из n-области отхлынут к положительному полюсу источника поля, а дырки из p-области отойдут к отрицательному полюсу. Ширина пограничного слоя, из которого ушли даже собственные электроны, резко увеличится. Сопротивление диода резко поднимется (до сотен кОм) и обратный ток упадет практически до нуля. Таким образом, p-n переход обладает односторонней проводимостью. Это свойство позволяет использовать его в технике, когда, например, нужно выпрямить переменный ток (о переменном токе немного позже).

§ 31. Ток в электролитах.

В этой теме всегда используется так много химических понятий, что ее следовало бы перенести в раздел «Электрохимия», если бы не два «но». Во-первых, ни одно переносное устройство типа плейера или фотокамеры не работает без «батареек» – сухих гальванических элементов. Вовторых, в некоторых учебниках до сих пор можно встретить фразу типа «под действием электрического тока в электролите положительные протоны отдают свои заряды медному электроду и превращаются в водород». Согласиться с этим невозможно. Протон не может отдать свой заряд, потому что он сам и есть заряд. Кроме того, в электролите нет другого тока, кроме движения протонов (и анионов). Поэтому мы постараемся разобраться в электролизе хотя бы из уважения к великому физику Майклу Фарадею, который придумал понятие поля, открыл законы электролиза и многое другое.

Электролизом называется прохождение электрического тока через проводящую жидкость – электролит. К электролитам относятся растворы солей, кислот, щелочей и других веществ, распадающихся в воде на ионы. Например, серная кислота при растворении в воде распадается на два протона и отрицательно заряженный ион SO4. (мы предупреждали, что здесь будет больше химии, чем физики). Так как в быту нам чаще приходится менять «батарейки», рассмотрим процессы, происходящие в гальваническом элементе.

Представим стеклянный стакан, в который налили водный раствор серной кислоты. Стакан накрыли крышкой, сквозь которую пропустили два электрода, медный и цинковый. Если к электродам подключить вольтметр (прибор для измерения напряжения), то он покажет разность потенциалов чуть больше 1 В. Откуда она взялась? В электролите положительные протоны и отрицательные ионы SO4 окружают электроды, в которых имеются свободные электроны, причем в меди их больше, чем в цинке. Эти электроны скачут во всех направлениях, в том числе и к поверхности электрода. Когда на поверхности электрода появляется свободный, отрицательно заряженный электрон, к нему сразу прилипает положительный протон. Протон захватывает электрон и превращается в нейтральный атом водорода. Так как медь имеет свободных электронов больше, чем цинк, значит, при одинаковой температуре электроны чаще появляются на медном электроде, и чаще захватываются протонами. Мы уже знаем, что если с поверхности тела удалить часть электронов, тело зарядится положительно (вспомним электризацию тела трением). Таким образом, медный электрод заряжается положительно относительно цинкового и внутри электролита довольно скоро возникает электрическое поле, направленное от медного электрода к цинковому. Это поле замедляет приток протонов к медному электроду. Когда разность потенциалов на электродах достигает максимума, ток в электролите прекращается. В отсутствие тока разность потенциалов равна э.д.с. Измерения показывают, что э.д.с. такого гальванического элемента составляет 1,1–1,2 В.

Для повышения э.д.с. химического источника медный электрод заменяют угольным, а вместо кислоты применяют пасту из крахмала, пропитанного хлористым аммонием. Кроме того, для удаления выделяющегося водорода, который снижает э.д.с., угольный электрод погружают в перекись марганца. Благодаря этим мерам удается получить в угольно-цинковом элементе э.д.с. около 1.5 В, что совсем неплохо. Такие гальванические элементы в быту называются «батарейки». Они выпускаются в огромных количествах и продаются везде.

§ 32. Законы электролиза

Возникает вопрос: как электрический ток связан с количеством вещества, выделяющегося при электролизе? Мы уже выяснили, что при захвате из электрода одного электрона рождается один атом водорода. Если через электрод проходит заряд, равный 1 кулону, то из электролита выделяется 6,25 х 1019 атомов водорода. Масса протона равна 1,672х10-25 г. Перемножив эти величины, получаем, что при прохождении 1 Кл электричества из электролита выделяется 0,0104 г газа водорода. В принципе, это уже ответ (для водорода).

Фарадей работал с медным купоросом Cu SO4, так как медь взвешивать легче, чем водород. Пропуская ток от внешнего источника через раствор с медным купоросом, он получил аналогичный результат (точнее, наш результат аналогичен результату Фарадея): масса меди, выделившейся при электролизе купороса, прямо пропорциональна количеству электричества, прошедшего через электролит: m = K Q (32.1). Это уравнение называют первым законом Фарадея. Коэффициент K, численно равный массе вещества, выделившейся после одного кулона электричества, называют электрохимическим эквивалентом вещества.

Следует заметить, что уравнение (32.1) справедливо только для одновалентных атомов. Судите сами: чтобы осадить из электролита двухвалентный ион, потребуется не один, а два электрона. Значит, после одного кулона электричества двухвалентных атомов осядет в два раза меньше. Чтобы распространить первый закон на многовалентные атомы, Фарадей ввел понятие химического эквивалента. Если A – атомный вес элемента, а Z – его валентность, то химический эквивалент равен A/Z. После этого Фарадей записал уравнение электролиза в виде: K = C A/Z (32.2). Уравнение (32.2) называют вторым законом Фарадея. Константа C не зависит от валентности атома, так как в уравнении фигурирует не абсолютный вес атома, а его химический эквивалент. Физический смысл константы C несколько затуманен тем, что уравнение (32.2) записано как бы в зеркальном виде. Так сложилось исторически. Мы перепишем его в виде обратной функции: A/Z = F K (32.3), где F – постоянная Фарадея, равная 1/C. Из (32.1) следует, что K = m/Q. Подставляя выражение для К в (32.3), получим: A/Z = F m/Q, или: (A/Z)/m = F/Q (32.4). Если в (32.4) положить A/Z = m, то F/Q = 1, откуда следует: F = Q (32.5). Это означает, что постоянная Фарадея численно равна заряду Q, который нужно пропустить через электролит, чтобы выделить на электроде массу m вещества, равную его химическому эквиваленту A/Z. Нетрудно подсчитать, что величина F равна почти 96 500 кулонам. Это приличное количество электричества.

В заключение отметим следующее. Электрическое поле от внешнего источника, являющееся причиной ионного тока в электролите, создает в электродах электронный ток. Тем не менее, измеряя электронный ток во внешней цепи, Фарадей говорил об ионном токе в электролите. Он имел право так делать потому, что ток отрицательных электронов в электродах всегда равен току положительных ионов в электролите, при этом абсолютная сумма всех зарядов равна нулю. Этот закон, который называют законом сохранения заряда, играет в электричестве такую же роль, какую играет закон сохранения импульса в механике.

§ 33. Диэлектрики

Диэлектриками называют материалы, не проводящие электрический ток. Гибкие диэлектрики используют для изоляции проводов. Кроме того, многие диэлектрики ослабляют электрическое поле. Рассмотрим это явление. Поскольку кулоновскую силу измерять не просто, мы будем измерять напряжение на конденсаторе. Простейший конденсатор содержит пару параллельных металлических пластин с проводами для соединения с источником поля.

Пластины называют обкладками конденсатора.

Соединим обкладки конденсатора с полюсами генератора. После включения генератор начнет вытягивать своим полем электроны из одной обкладки конденсатора и направлять их в другую. Возникнет зарядный ток, а между обкладками появится напряжение U, пропорциональное заряду электронов Q, накопившихся на отрицательной обкладке. Можно написать: Q = C*U (33.1), где С – коэффициент пропорциональности. Когда U сравняется с э.д.с. генератора, зарядный ток прекратится, так как потенциал на отрицательной обкладке станет равным потенциалу на отрицательном полюсе генератора. Это произойдет достаточно быстро, учитывая подвижность электронов.

Если генератор отключить, в конденсаторе останется заряд, величина которого зависит от площади S обкладок и расстояния d между ними. Перепишем (33.1) в виде: C = Q/U (33.2). Отсюда следует, что коэффициент C численно равен заряду, который может принять данный конденсатор при напряжении между обкладками, равном 1 В. Параметр C называется емкостью конденсатора. Измеряется емкость в фарадах (ф). Одна фарада равна кулону на вольт. Это большая емкость. На практике емкость конденсаторов измеряют в микрофарадах (мкф), нанофарадах (нф) и даже в пикофарадах (пф).

Рассмотрим структуру электрического поля между обкладками сухого конденсатора. В процессе зарядки электроны вытесняются полем генератора на поверхность одной обкладки, где они равномерно распределяются по всей ее площади. Суммарному заряду Q электронов на данной обкладке соответствует равный по величине заряд протонов на другой обкладке. Между этими зарядами возникают кулоновские силы притяжения. Заметим, что обкладки нельзя считать точечными зарядами, так как зазор d намного меньше длины и ширины обкладки. Из ситуации можно выйти, если ввести понятие поверхностной плотности заряда (σ): σ = Q / S. Площадь обкладки разбивают на множество малых площадок s, заряд Q распределяют в виде элементарных зарядов q по площадкам s. Тогда для любого зазора d можно выбрать такую малую площадку, что заряд на ней будет точечным. Если каждый точечный заряд на положительной обкладке соединить условной линией с точечным зарядом на отрицательной обкладке напротив, получится множество линий, вдоль которых направлены кулоновские силы. Очевидно, это будут одинаковые параллельные отрезки на равных расстояниях между ними. Это означает, что электрическое поле внутри конденсатора всюду имеет одинаковую величину и направление. Такое поле называют однородным. Сила однородного поля одинакова по величине и направлению в любой точке между обкладками.

Представим, что элементарный заряд q переместился от одной обкладки к другой. При этом электрическое поле конденсатора произвело механическую работу A = Fd, где F – кулоновская сила. Согласно (26.4), электрическая энергия заряда изменилась на величину Uq, где U – напряжение между обкладками. Значит, можно написать: Fd = Uq (33.3). Перепишем (33.3) в виде: F/q = U/d (33.4). Величину F/q, равную KQ/r2, принято называть напряженностью электрического поля или просто полем Е: E = U/d (33.5). Это уравнение выражает поле внутри конденсатора через разность потенциалов на обкладках. Поля других тел, например, провода или пластины, можно вычислить при помощи теоремы Гаусса.

§ 34. Теорема Гаусса

Следует заметить, что теорему Гаусса, которая связывает величину заряда Q с электрическим полем Е вокруг этого заряда, в отечественной литературе принято называть теоремой Остроградского – Гаусса. Считается, что русский учёный Остроградский доказал эту теорему независимо от Гаусса. Не вдаваясь в споры о приоритете, покажем, что теорема Остроградского-Гаусса элементарно выводится из закона Кулона. Напомним, что закон Кулона имеет вид: F = Qq/4πε0r2 (34.1), где Q – заряд тела, q – малый (пробный) заряд, r – расстояние от тела до малого заряда, ε0 – электрическая постоянная. Полем E мы по прежнему называем отношение силы F к малому заряду q: E = F/q.

Перепишем (34.1) в виде: E = Q/(4π ε0 r2) или: E*4π r2 = Q/ε0 (34.2). Слева в (34.2) стоит поле E, умноженное на площадь поверхности сферы радиуса r: 4π r2 = S0. Произведение любого поля на площадь поверхности, через которую это поле проходит, Фарадей назвал потоком поля Ф. Тогда можно написать: Ф = Q/ε0 (34.3). Уравнение (34.3) называют теоремой Остроградского – Гаусса. Согласно этой теореме, поток Ф электрического поля Е через замкнутую поверхность равен зарядуQ внутри нее, деленному на ε0. Значение универсальной постоянной ε0 равно 0,885х10-11 ф/м.

Задача. Вычислить напряженность электрического поля Е для провода диаметром 2 r вблизи его поверхности.

Решение. Опытами доказано, что свободные электроны размещаются главным образом на поверхности заряженного тела, потому что их вытесняют поля связанных электронов. Выберем участок провода длиной l с площадью поверхности s = 2π r l. Теорема Гаусса для провода имеет вид: Ф = E s = E 2π r l = Q/ε0, откуда E = Q/(2π r l ε0). Введем понятие линейной плотности заряда провода: λ = Q/l, тогда для провода: E = λ/(2π r ε0) (343.4). Это есть ответ.

§ 35. Поле конденсатора

Вернемся к вопросу об ослаблении электрического поля диэлектриком. Поместим наш конденсатор в аквариум, зарядим его и отключим от генератора. Затем в аквариум нальем диэлектрик – дистиллированную воду. Если сейчас измерить напряжение U1 на обкладках конденсатора, мы увидим, что оно уменьшилось почти в 90 раз! Из (8.5) следует, что для сухого конденсатора U = E d (35.1). Тогда для конденсатора с диэлектриком можно написать U1 = U/ε, или E1 = E/ε (35.2), где ε – коэффициент ослабления поля. Величину ε принято называть диэлектрической проницаемостью, хотя она характеризует не проницаемость, а ослабление поля диэлектриком. (Справедливости ради заметим, что вместо понятия сопротивления в теории электричества часто используют понятие проводимости, которое имеет противоположный смысл). Для каждого диэлектрика ε имеет своё значение. Для ряда веществ значения ε измерены и сведены в таблицу.

Возникает вопрос: как этот эффект можно использовать в технике? Подключим снова конденсатор в аквариуме к генератору. Так как напряжение U1 меньше э.д.с. генератора в ε раз, ток зарядки возобновится. Заряжание конденсатора продолжится до того, когда напряжение U1 станет равным э.д.с. генератора. При этом заряд увеличится в ε раз. Это означает, что емкость С1 конденсатора с диэлектриком увеличилась в ε раз относительно емкости C сухого конденсатора. Таким образом, применение диэлектриков позволяет изготавливать конденсаторы небольших размеров, но с большой емкостью.

Попробуем объяснить это явление. Из химии известно, что молекулы воды частично распадаются на протоны H+ и ионы гидроксила OH-. Протоны стремятся к отрицательной обкладке, частицы гидроксила – к положительной. Облепив отрицательную обкладку, протоны частично нейтрализуют ее поле, снижая потенциал φ. Ионы гидроксила облепляют положительную обкладку и тоже снижают ее потенциал. Кроме того, молекула H2O имеет свое поле, так как она сферически несимметрична. Такие молекулы называются полярными. В целом нейтральные, молекулы Н2О разворачиваются вдоль поля конденсатора. Так в объеме диэлектрика возникает комбинированное встречное поле, которое существенно нейтрализует поле конденсатора. Можно сказать, электроэнергия дополнительно запасается в диэлектрике в форме энергии внутренних полей, что существенно увеличивает емкость конденсатора.

Можно предположить, что диэлектрическая проницаемость диэлектриков должна зависеть от плотности вещества и от подвижности носителей внутренних полей. В твердых диэлектриках полярные молекулы связаны и могут только поворачиваться на небольшой угол навстречу полю. Поэтому твердые диэлектрики должны иметь сравнительно небольшую величину ε, что подтверждается измерениями. Например, для фарфора ε составляет от 4 до 7 единиц (зависит от марки фарфора). Это намного меньше, чем у воды. Наименьшей величиной ε обладает вакуум, для него ε = 1. Для воздуха (смесь азота и кислорода) величина ε = 1.0006, почти как у вакуума. Низкая проницаемость воздуха объясняется его малой плотностью.

ЧАСТЬ II

Глава 4. Электрический магнетизм

§ 36. Опыт Эрстеда

Опытами доказано, что электрическое поле сохраняется вокруг заряженной частицы, даже если она остаётся одна. Электрон и в вакууме является носителем электрического поля. На этом принципе работают все электронные лампы. К сожалению, многочисленные попытки найти частицы, несущие «магнитный» заряд, ни к чему не привели. Образец магнетита, который является природным постоянным магнитом, можно распиливать пополам множество раз, но у каждой новой половинки мгновенно возникает и северный и южный полюс.

Заметим, что линии «магнитного» поля, которые так любят демонстрировать в опытах с железными опилками, всегда замкнуты. Ключевое слово здесь «всегда». Представим, заряженная частица движется вдоль магнитной линии и возвращается в исходную точку. Энергия частицы не изменилась, значит, никакой работы поле не произвело. Действительно, многочисленные опыты показывают, магнитное поле работу не производит. Для нашего подхода это означает, что магнитное поле существует только на бумаге. То, что по традиции называют «магнитным полем», является свойством электрического поля, которое проявляется при движении заряженных частиц. Когда говорят, «действует магнитное поле», мы должны понимать, что работает электрическое поле, которое приобретает дополнительное действие при движении его носителя. Следует признать, за прошедшие почти два столетия теория магнетизма получила такое развитие, что её результатами пользуются все. Мы тоже будем применять понятия магнитной теории, чтобы не отходить далеко от традиционного курса. Иначе нас не поймут. Обратимся к опытам.

В 1820 году Эрстед пропустил через провод электрический ток и поднес магнитную стрелку. Стрелка отклонилась. Если провод с током действует на магнит, значит, вокруг провода с током возникает такое же поле, какое существует вокруг природного магнита, предположил Эрстед. Он объявил, что вокруг провода с током возникает магнитное поле и обозначил его буквой H. Заметим, в медном проводе никакого природного магнетизма нет, но легкая катушка с током повернётся возле провода с током точно так, как стрелка из магнетита. На этом основана работа любого прибора электродинамической системы. В них взаимодействуют электрические поля катушек с током. Справедливости ради стоит сказать, что в 1820 году об электронах ничего не знали.

Располагая одинаковые магнитные стрелки вокруг провода на расстоянии R, Эрстед выяснил, что напряженность поля вдоль окружности L = 2πR постоянна по величине и направлена по касательной к ней. Такое поведение поля теоретики называют циркуляцией. Эрстед предположил, что ток создает вокруг себя циркуляцию магнитного поля, которая пропорциональна силе тока. Остаётся найти связь силы тока, порождающего циркуляцию поля H, с электрическим полем E, возникающим вокруг провода с током I = Q/t.

Для составления уравнения можно обратиться к теореме Гаусса, согласно которой поток поля E вблизи провода равен Е S = Q/ε0 = I*t/ ε0, где S – поверхность провода.

Учитывая, что S = 2πrl, где r – радиус, l – длина провода, можно написать: Е = Q/2πrlε0 = It/2πrlε0, или: Е/t = I/2πrlε0 (36.1). Умножим обе части (36.1) на ε0 и введем обозначения: I/2πrl = j (плотность тока), и Еε0 = D (так называемое поле электрического смещения). Тогда уравнение (36.1) переходит в уравнение j = D/t (36.2). Другими словами, скорость изменения электрического смещения равна плотности тока, которая, как указал Эрстед, пропорциональна напряженности циркуляции магнитного поля Н. Это простое уравнение равносильно второму принципу Максвелла: «Циркуляция магнитного поля пропорциональна скорости изменения поля электрического смещения».

§ 37. Опыт Фарадея

В 1821 году Фарадей взял коробку из-под булавок и выломал у неё дно. На боковые стенки он намотал тонкий изолированный провод, столько витков, сколько поместилось. Получилась прямоугольная обмотка в виде рамки. Подвесив рамку на нити в поле постоянного подковообразного магнита, он пропустил через обмотку ток. Рамка повернулась вокруг вертикальной оси так, что линии магнитного поля прошли через её середину. Фарадей предположил, что у рамки с током появились полюсы, как у природного магнита.

Что же случилось с полем прямого провода с током после того, как его намотали на стенки коробка? Пока провод был прямым, вокруг него циркулировало поле. Линии этого поля были окружностями. При сгибании провода в виток линии поля сгустились внутри витка, но стали реже снаружи. Когда витками покрылась все стенки, линии внутри коробка сгустились ещё больше и выпрямились. Так сформировалось однородное поле. Фарадей решил, что внутри рамки возникло магнитное поле и она повернулась в однородном поле подковообразного магнита, как повернулась бы стрелка компаса.

Опыт Фарадея является обратным по отношению к опыту Эрстеда. В опыте Эрстеда прямой ток создавал циркуляцию поля. В опыте Фарадея циркулирующий ток создавал прямой поток поля. Сам Фарадей сформулировал результат опыта так: циркуляция тока по замкнутому контуру создает внутри контура поток магнитного поля. В дальнейших опытах Фарадей установил, что вращающий момент рамки с током (произведение ширины рамки на силу взаимодействия рамки с внешним магнитным полем) пропорционален длине рамки. Учитывая, что произведение длины на ширину дает площадь, Фарадей предложил характеризовать магнитное поле внутри рамки потоком магнитного поля: Ψ = n Н S (37.1), где S – площадь сечения рамки, n – количество витков провода в рамке.

На результатах опытов Эрстеда и Фарадея Максвелл построил половину своей теории электромагнетизма. Уравнения Максвелла на языке векторного анализа описывают то, что Эрстед и Фарадей установили опытным путем. В нашем энергетическом подходе эти результаты можно объяснить еще проще. В опыте Эрстеда электрический ток на прямом участке провода создает вокруг себя циркуляцию электрического поля, в которой лини поля являются концентрическими окружностями. В опыте Фарадея циркуляция электрического тока в витках провода создает внутри рамки поток электрического поля. В уравнении (37.1) под магнитным полем H следует понимать электрическое поле E, поскольку магнитное поле работать не может, а рамка с током всё же поворачивается! Иначе не объяснить работу приборов электродинамической системы, в которых взаимодействуют две обмотки. В этих приборах ток от источника питания проходит через неподвижную обмотку и создает внутри образцовый поток поля. Измеряемый ток, проходя через подвижную рамку, создает внутри неё опытный поток поля. При взаимодействии двух потоков возникает момент силы, который поворачивает рамку вместе с измерительно стрелкой вокруг оси. Угол поворота зависит от упругости пружинок, на которых подвешена рамка. Это работа электрических полей, вклада от магнетизма здесь нет.

§ 38. Магнетики

Теория магнетизма была призвана объяснить магнитные свойства материи. Коэффициент μ, показывающий, во сколько раз среда усиливает магнитное поле, назвали магнитной проницаемостью. Если μ меньше единицы, значит, данное вещество ослабляет поле. Такие материалы называют диамагнетиками (аналогично диэлектрикам, которые ослабляют электрическое поле). Пример диамагнетика – висмут. Вещество, которое незначительно усиливает магнитное поле, называют парамагнетиком. Пример – платина. Материалы, которые в разы (некоторые – в десятки раз) усиливают магнитное поле, называют ферромагнетиками. Пример, естественно, железо.

Природную намагниченность ферромагнетиков можно объяснить тем, что в расплавленном состоянии атомы ферромагнетика сцепляются в кольца из десятков и даже сотен атомов. При застывании расплава кольца соединяются в трубки длиной в тысячи атомов. Такие трубки состоят из миллионов атомов, у которых внешние электроны являются общими. Эти электроны легко циркулируют по поверхности трубок, создавая внутри потоки электрических полей Ф (в магнитной теории – магнитные потоки Ψ). Внешнее поле упорядочивает циркуляцию электронов по «стенкам» трубок, ориентируя потоки внутренних полей вдоль направления внешнего поля. При этом поля трубок складываются с внешним полем, усиливая его. Если ферромагнетик нагреть выше определенной температуры, связь между атомными кольцами разрушается и ферромагнетик превращается в обычный парамагнетик.

Во времена Эрстеда считали, что магнитное поле создается двумя типами магнитных «зарядов»: северным (n) и южным (s). Коллеги Эрстеда брали закон Кулона, заменяли в нем переменные q1, q2 на n, s и формально получали силу магнитного взаимодействия Fm. Разделив Fm на s, они получали напряженность магнитного поля в виде: Н = Km n / r2 (38.1), где n – величина «северного» магнитного заряда. Фарадей первым стал характеризовать магнитное поле не формально, напряженностью Н, а индукцией поля B, которую он определял по величине наибольшего вращающего момента, когда рамка с током параллельна линиям поля: B = Mmax/IS (38.2), где I – сила тока, S – площадь рамки. Было бы справедливее, если единица магнитной индукции называлась фарада, а не тесла (Тл), как это принято сейчас. Индукция внешнего поля равна 1 Тл, если оно создает для рамки площадью 1 м2 и током 1 А момент Мmax = 1 Н*м.

Позже было доказано, что раздельных магнитных зарядов не существует, а магнитную стрелку всегда поворачивает пара сил (от южного и северного полюса), создавая вращающий момент. Таким образом, прав оказался Фарадей.

Глава 5. Переменный ток

§ 39. Получение переменного тока

Переменным называют ток, который периодически меняет свою величину и направление. Переменный ток возникает, если к проводнику приложить переменное напряжение. Напряжение будет переменным, если разность потенциалов на полюсах генератора будет меняться по величине и по направлению. Попробуем смастерить простенький генератор переменного тока.

Возьмем толстый медный провод и согнем его в прямоугольную рамку. Концы провода подключим к микроамперметру с нулем в середине шкалы. Еще возьмем большой подковообразный магнит и положим на стол, чтобы северный полюс был слева. Подвесим рамку вертикально внутри магнита плоскостью перпендикулярно магнитным линиям. Назовем вертикальную ветвь рамки, ту, что в глубине магнита, первой, а ветвь, что ближе к нам, второй. Теперь плавно повернем рамку на 360 градусов по часовой стрелке (если смотреть сверху). Прибор покажет, что в рамке был ток. Сначала он был небольшим, затем увеличился, потом упал до нуля. Это было на первом полуобороте рамки. На втором полуобороте стрелка прибора отклонилась в обратную сторону. Обратный ток тоже сначала был небольшим, затем увеличился, потом упал до нуля. По определению, при повороте рамки в магнитном поле в ней возник переменный ток. Что же произошло?

Мысленно рассечем рамку горизонтальной плоскостью. Получится два сечения. В каждом сечении имеются свободные электроны. Поворачивая рамку, мы заставляем электроны перемещаться по горизонтальной окружности. Получается круговой ток. Но круговой ток рождает поток поля, который направлен вертикально, вдоль оси вращения рамки. Поле магнита, напомним, направлено слева направо, т. е. горизонтально. Все знают, если два полосовых магнита сложить крестом, они сразу развернутся так, чтобы северный полюс одного магнита притянулся к южному полюсу другого. Если поток поля изобразить стрелкой компаса, то поле магнита просто повернуло бы её на 90 градусов. Если вместо рамки был бы диск, то электроны закружили бы по окружности диска. Но электроны находятся в рамке, они не могут покинуть провод. Значит, поле магнита будет смещать электроны вверх или вниз вдоль вертикальных сторон рамки. Назовём их ветвями рамки.

После Фарадея ряд опытов поставил Лоренц. Он придумал простое правило, как узнать направление тока в ветвях рамки, если известно направление магнитного поля (правило левой руки). Нужно расположить левую ладонь так, писал Лоренц, чтобы линии поля входили в нее, а четыре вытянутых пальца указывали направление тока. Тогда отставленный большой палец покажет отклонение заряда в магнитном поле. Следует заметить, что Лоренц имел в виду положительные заряды. Но мы с вами знаем, что ток в ветвях рамки образуют отрицательно заряженные электроны. Значит, для электронов надо взять правую руку. Мы будем применять правило «руки» Лоренца, так как оно простое и наглядное.

Напомним, что в нашем опыте магнитное поле направлено слева направо. В первом полуобороте рамки первая ветвь двигалась к нам, а вторая – от нас. Значит, сила Лоренца в первой ветви была направлена вниз, во второй – вверх. Под действием пары сил Лоренца электроны перетекали из первой ветви во вторую, а из второй – возвращались через микроамперметр обратно в первую. При этом стрелка прибора отклонялась вправо – показывала прямой ток. Во втором полуобороте электроны возвращались из второй ветви обратно в первую, затем, через микроамперметр, попадали во вторую ветвь. При этом стрелка прибора отклонялась влево, показывала обратный ток. Таким образом, при вращении в магнитном поле проволочной рамки полюсы на ее концах меняются местами. Это значит, что напряжение меняет знак. Если такую рамку вращать непрерывно, получится генератор переменного напряжения, который во внешней цепи создает переменный ток. Подчеркнем, что правило Лоренца вытекает из принципа Фарадея о циркуляции тока.

§ 40. Уравнение переменного тока

Возникает вопрос, как сила тока в рамке растет от нуля до максимума, а затем снова падает до нуля? Величина тока, очевидно, зависит от силы Лоренца. Значит, сила Лоренца меняется за время оборота рамки. Заметим, при повороте рамки изменяется угол, под которым заряды внутри рамки пересекают линии поля магнита. Подсказку дает формула Фарадея (38.2). Из неё следует, что сила, поворачивающая рамку с током в магнитном поле, максимальна, когда плоскость рамки параллельна линиям магнитного поля. В нашем случае это значит, что сила Лоренца максимальна, когда электроны в ветвях рамки пересекают линии поля под прямым углом. В этот момент ток через микроамперметр достигает наибольшего значения. При дальнейшем повороте рамки угол начинает уменьшаться, вместе с ним уменьшается сила тока. Угол равен нулю, когда плоскость рамки перпендикулярна линиям поля. В этот момент ветвь рамки движется параллельно линии поля. Когда сила Лоренца равна нулю (читатель сам может проверить), ток исчезает. Заметим, за один оборот рамки это происходит дважды.

В математике известны функции, обладающие такими свойствами. Это: y = Asin α и y = Bcos α. Вид функции зависит, от чего измерять угол α. Если угол брать между линией поля и перпендикуляром к плоскости рамки, подходит функция i = Asin α (А=Imax). Если угол брать между линиями поля и плоскостью рамки (по Фарадею), подходит функция i = Imaxcos α (40.1). Из уважения к Фарадею выберем (40.1) в качестве исходного уравнения для силы тока.

Напряжение на полюсах тоже изменяется по закону косинуса. Аналогичная функция имеет вид: u = Umax cos α (40.2). Поскольку угол α зависит от времени, введём угловую скорость вращения рамки: ω = α/t. Отсюда: α = ωt (40.3). Подставляя (40.3) в (40.1) и (40.2) получим: i = Imaxcos ωt (40.4) и u = Umax cos ωt (40.5). Еще введём период Т, это время, за которое рамка поворачивается на 360º. Значит, можно написать: ωТ = 360º = 2π (рад). Отсюда следует, что ω = 2π/Т (40.6). Из уравнения 1/Т = f следует, что ω = 2πf (40.7). Параметр ω называют круговой частотой. В отечественной энергетике принят стандарт частоты, равный 50 Гц.

Уравнения (40.4) и (40.5) описывают работу генератора переменного напряжения. Этот генератор является более простым и удобным по сравнению с генератором постоянного напряжения, о котором мы говорили в § 25. Почти все электростанции, снабжающие города и села электроэнергией, оборудованы генераторами переменного напряжения. Благодаря этому электроэнергия стала дешевле, стало проще передавать её на большие расстояния.

§ 41. Сопротивление переменному току.

Если закон Ома (27.1) формально записать для переменного тока, получится уравнение: i = u/Z (41.1), где Z – сопротивление переменному току. Подставляя (40.4) и (40.5) в (41.1), получим: Imaxcos ωt = Umaxcos ωt /Z, откуда следует: Imax = Umax/Z (41.2). Уравнение (41.2) показывает, что для амплитудных значений переменного тока и напряжения закон Ома выполняется. Договоримся далее писать амплитудные значения I, U без индексов «max». Мгновенные значения тока и напряжения мы будем обозначать как i и u. Выясним, от чего зависит сопротивление Z. Для этого выполним несколько опытов.

Возьмем медный провод диаметром 0,25 мм, длиной 15 м и при помощи цифрового омметра измерим его сопротивление постоянному току. Прибор покажет величину R = 4 Ом. Назовем это сопротивление омическим (в честь Г. Ома). Возьмем генератор переменного напряжения, снабженный вольтметром и амперметром, и присоединим концы провода к его клеммам. Установим выходное напряжение U = 2 В и включим генератор. Амперметр покажет, что в проводе протекает ток, амплитуда которого равна 0,5 А. Простой расчет по формуле (41.2) показывает, что свободно лежащий провод оказывает переменному напряжению омическое сопротивление R = 4 Ом.

Изменим опыт. Отсоединив провод, намотаем его по часовой стрелке виток к витку на тонкую трубку диаметром около 5 см и снова подключим к генератору. Амперметр покажет, что сила переменного тока значительно уменьшилась. Плавно увеличивая напряжение, доведем силу тока до 0.5 А. Вольтметр покажет, это случилось при напряжении, равном 40 В. Расчет по формуле (41.2) дает, что катушка оказывает переменному току сопротивление Z = 80 Ом. Это означает, что к омическому сопротивлению R = 4 Ом добавилось неизвестное сопротивление Х = 76 Ом и полное сопротивление катушки равно Z = R + X (41.3). Попробуем выяснить, откуда появилось сопротивление X.

Для простоты используем теорию магнетизма.

Согласно теории, циркуляция тока в витках катушки порождает внутри трубки катушки поток поля. При диаметре трубки 5 см наша катушка содержит около 100 витков. Такую достаточно длинную катушку называют соленоидом. Внутри соленоида поле практически однородно. Линии поля выходят из северного полюса, возвращаются вдоль наружной поверхности соленоида и снова попадают внутрь соленоида у южного полюса. Границей между внутренними и наружными линиями поля служит воображаемая цилиндрическая поверхность, проходящая примерно через середину слоя витков. Назовем ее нулевой поверхностью, так как на ней поле равно нулю.

Мысленно рассечем соленоид вдоль оси вертикальной плоскостью. В каждом витке получится два сечения: верхнее и нижнее. В верхнем сечении ток направлен от нас, в нижнем – к нам. Напомним, магнитное поле внутри соленоида направлено справа налево, снаружи – слева направо. Применим правило Лоренца для верхнего сечения витка. Согласно правилу, для электрона, который перемещается по витку снаружи нулевой поверхности, сила Лоренца направлена от оси соленоида наружу. Для электрона внутри нулевой поверхности сила Лоренца направлена внутрь соленоида. Получается, что собственное магнитное поле соленоида вытесняет ток на поверхность провода. При этом ток может протекать только в тонком приповерхностном слое. Это равносильно уменьшению сечения провода. Согласно (27.2), при уменьшении сечения провода его сопротивление увеличивается. Очевидно, причиной появления дополнительного сопротивления соленоида является поле.

Поскольку поле характеризуется магнитной индукцией (Фарадей), сопротивление Х назвали индуктивным и обозначили XL (L – в честь Лоренца).

Изменяя частоту генератора, легко проверить, что сопротивление XL прямо пропорционально частоте тока. Если ω = 0, то XL = 0. Таким условиям соответствует функция XL = Lω (41.4), где L – коэффициент пропорциональности. Генри доказал, что параметр L зависит от площади витков, их количества и материала каркаса катушки. Параметр L назвали индуктивностью катушки, а единицу ее измерения – генри (Гн). Из (41.4) следует, что индуктивность катушки равна 1 Гн, если она оказывает сопротивление 1 Ом переменному току с частотой 1 Гц. Подставляя (41.4) в (41.3), получим: Z = R + ωL (41.5).

§ 42. Индукция и самоиндукция

Измерения показывают, что переменный ток в соленоиде достигает максимального значения на четверть периода позже относительно напряжения. Попробуем разобраться в этом явлении. Допустим, напряжение описывается функцией u = U sin ωt (42.1), где частота ω равна 50 Гц. Это значит, что период напряжения равен 20 мс, а одна четверть периода равна 5 мс. Для электрона это приличное время. В первую миллисекунду после включения генератора ток в обмотке, конечно, есть. Этот циркулирующий ток создает поток поля внутри соленоида. Фарадей называл его магнитным, но суть от этого не меняется. Главное, что поле действует на электроны проводимости по правилу Лоренца. Легко определить, что сила Лоренца вытесняет электроны (т. е. породивший её ток) на поверхность провода обмотки. Электроны вместо того, чтобы двигаться вдоль оси провода, расходятся к поверхности под углом, который зависит от частоты генератора. Величина тока в проводе падает, что равносильно появлению сопротивления XL = ωL. С другой стороны, при этом растёт концентрация электронов в приповерхностном слое провода. Здесь возникает собственное электрическое поле, которое усиливается пропорционально концентрации электронов. Напряженность этого поля растет, пока кулоновская сила отталкивания между электронами не сравняется с концентрирующей силой Лоренца. Возникает динамическое равновесие, при котором небольшой ток протекает через тонкий слой провода у его поверхности. Назовем этот ток током утечки.

Во второй четверти периода напряжение генератора начинает уменьшаться в соответствии с функцией синуса (42.1). Вместе с напряжением уменьшается ток утечки. Слабеющая сила Лоренца не может больше удерживать электроны в тонком слое провода. Теперь собственное кулоновское поле выталкивает электроны вглубь провода, а напряжение генератора перемещает их вдоль оси в прямом направлении. Так в проводе появляется дополнительный ток, направление которого совпадает с током утечки. Э. Ленц назвал его током самоиндукции, полагая, что этот ток индуцировало собственное магнитное поле соленоида. Мы знаем, что это не так – дополнительные электроны появились из тонкого приповерхностного слоя провода, куда их согнала «сила» Лоренца. Тем не менее, мы будем придерживаться термина «ток самоиндукции» из уважения к выдающемуся физику Ленцу. Сила тока самоиндукции достигает максимума в конце второй четверти периода, когда напряжение генератора падает до нуля. Это доказывает, что источником тока самоиндукции является не «магнитное» поле соленоида, которое исчезло вместе с током от генератора, а кулоновское поле зарядов, запасенных, как в конденсаторе, в приповерхностном слое.

В третьей четверти периода напряжение генератора меняет знак. Теперь ток утечки направлен в обратную сторону, но в проводе все еще существует прямой «ток самоиндукции», так как его поддерживает собственное кулоновское поле. По этой причине амперметр показывает прямой ток в проводе, хотя напряжение генератора уже пять миллисекунд, как направлено в обратную сторону. Ток самоиндукции начинает быстро падать до нуля, когда в третьей четверти периода в приповерхностном слое провода доминирует обратный ток утечки за счет обратного напряжения генератора. В начале четвертой четверти периода обратное напряжение генератора начинает уменьшаться. Обратный ток утечки падает, вместе с ним слабеет магнитное поле. С этого момента в проводе появляется обратный ток самоиндукции, который четверть периода будет поддерживать слабеющей обратный ток утечки. Поэтому амперметр покажет наличие обратного тока, несмотря на падение обратного напряжения генератора. Обратный ток, поддерживаемый зарядами из приповерхностного слоя, достигнет максимума в конце четвертой четверти периода, когда напряжение генератора и индуцируемая им сила Лоренца упадут до нуля. Поэтому в первой четверти второго периода амперметр покажет в проводе наличие обратного тока, хотя напряжение генератора уже действует в прямом направлении.

Для объяснения этих «странных» явлений Ленц ввел понятие «э.д.с. самоиндукции», которая всегда направлена против напряжения генератора. Максвелл в своей теории ввел понятие «ток смещения». Заметим, что разность потенциалов Фарадея, э.д.с. Ленца, напряжение Ома, ток смещения Максвелла – все эти величины о в принципе имеют одну и ту же природу, так как все они измеряются в вольтах. Эти величины характеризуют, в разных условиях, работу электрического поля по перемещению заряженной частицы. Разнообразие терминов, отражающее исторические вклады гениев в теорию электромагнетизма, не всегда помогает понять природу электричества. Можно проще объяснить результаты опытов Фарадея и Ленца, не отступая при этом от общепризнанных принципов Максвелла.

§ 43. Принципы Максвелла

Обратимся к закону Ома (41.2). Перепишем его в виде: u = iZ, или, с учетом (41.3): u = i (R + XL) = iR + iXL = iR + iωL (43.1). Заметим, что в (43.1) слева стоит мгновенное значение напряжения генератора. Значит, справа находится сумма двух величин, измеряемых в вольтах. Нас интересует второе слагаемое, которое зависит от частоты тока и индуктивности соленоида. Обозначим его как: uL = iωL (43.2). Слева в (43.2) стоит величина, измеряемая в вольтах, пропорциональная частоте, индуктивности, току. Очевидно, это и есть э.д.с. самоиндукции Ленца, причина тока самоиндукции. Принимая во внимание, что электроны колеблются в проводе линейно, заменим круговую частоту ω на линейную f = 1/T. Кроме того, мы должны учесть, что э.д.с. самоиндукции всегда направлена против напряжения генератора. Тогда уравнение (43.2) принимает вид: uL = – ifL = – Li/T (43.3). Мы получили уравнение, которое показывает, что изменяющийся во времени ток i/T в среднем за период T создает в проводнике встречное электрическое поле -u. Величина i/T измеряется в амперах в секунду. Очевидно, это есть скорость тока i/t, о которой писал Фарадей, когда записывал уравнение для э.д. с самоиндукции в виде: Є = – Li/t (43.4). Позже Максвелл ввел понятие магнитного потока Ф = Li (43.5). В его теории уравнение Фарадея выглядит как: Є = – Ф/t (43.6). Заметим, по Ленцу закон самоиндукции имеет вид: e = – Li/t (43.7), что выглядит ближе к уравнению (43.4).

В предыдущем параграфе мы выяснили, что источником тока самоиндукции является разность потенциалов между поверхностью провода и его средней частью. Выберем единый термин для э.д. с самоиндукции, измеряемой в вольтах. Лучше принять термин «напряжение», который уже использовался в разделе о постоянном токе. Тогда уравнение (43.4) принимает вид: uL = – Li/t (43.8), где uL – напряжение самоиндукции.

Мы составили уравнение (43.8), исходя из закона Ома для переменного тока. Обобщим наши результаты в виде двух принципов электродинамики Максвелла и соответствующей энергетической схемы.

1. Переменное электрическое напряжение u от внешнего генератора создает в витке провода циркуляцию переменного тока i. Циркуляция переменного тока i создает внутри витка провода поток переменного поля Ф = Li.

2. Поток переменного поля Ф создает в проводе переменное напряжение самоиндукции uL = – Ф/t, которое направлено против напряжения генератора u.

3. Учитывая, что напряжение характеризует работу поля, преобразование энергии в соленоиде происходит по следующей схеме: напряжение генератора (u) → циркуляция тока (i) → поток поля (Ф) → напряжение самоиндукции (-uL) → ток самоиндукции (-iL).

§ 44. Реактивные сопротивления

Реактивными называют индуктивное сопротивление катушки и ёмкостное сопротивление конденсатора.

С индуктивным сопротивлением мы знакомы. Чтобы понять, что такое ёмкостное сопротивление, проделаем опыт. Установим на генераторе переменное напряжение u = 40 В и присоединим к нему конденсатор ёмкостью С = 250 мкф. После включения генератора амперметр покажет, что в цепи появился ток: i = 0.5 А. Значит, конденсатор проводит переменный ток, оказывая ему определенное сопротивление. Обозначим его XC. По закону Ома i = u/ XC, откуда: XC = u/i ((44.1). Подставляя данные измерения в (44.1), получим: XC = 40/0.5 = 80 Ом. Величину XC называют ёмкостным сопротивлением.

Результат может показаться удивительным, ведь конденсатор не должен пропускать ток. Правда, раньше речь шла о постоянном токе. Значит, переменный ток создает в конденсаторе нечто такое, что воспринимается как сопротивление XC. Опыты показывают, что емкостное сопротивление обратно пропорционально емкости и частоте: XC = 1/ ωC (44.2). Чтобы понять природу емкостного сопротивления, попробуем выяснить, что происходит, когда конденсатор включают в цепь переменного тока.

В первую четверть периода генератор направляет электроны в конденсатор и в цепи наблюдается прямой ток. Это ток зарядки. Во второй четверти напряжение генератора начинает уменьшаться (падать). Так как напряжение на заряженном конденсаторе теперь больше падающего напряжения генератора, в цепи сразу возникает обратный ток. Заметим, если в цепи было бы только активное сопротивление, обратный ток появился только бы в третьей четверти. Значит, в цепи с конденсатором ток опережает напряжение на четверть периода. Напомним, в цепи с индуктивным сопротивлением ток отставал от напряжения.

Что будет, если к генератору подключить включить катушку, конденсатор, а затем плавно изменять частоту? В данном случае сопротивление нагрузки равно сумме трех сопротивлений: Z = R+XL—Xc. На определенной частоте сопротивления XL и Xc должны сравняться и компенсировать друг друга. Опыт показывает, что это действительно так. Можно подобрать частоту резонанса ω = ωR такую, что ωRL = 1/ωRC (44.3). Отсюда следует, что ωR2 = 1/LC (44.4). На частоте ω = ωR ток достигает максимума: i = u/R. Формула (44.4) играет важную роль в радиотехнике.

Из опытов следует, что реактивное сопротивление не является сопротивлением в прямом смысле, ведь активные сопротивления при складывании не уничтожают друг друга. Вспомним, активное сопротивление возникает потому, что электроны налетают на кристаллическую решетку проводника и отдают ей свою энергию, которая превращается в тепловые колебания. Это безвозвратные потери энергии. Реактивное сопротивление создается быстропеременным полем внешнего генератора. В катушке индуктивности поле генератора смещает электроны к поверхности обмотки, создавая напряжение самоиндукции, уменьшающее ток. В конденсаторе поле генератора деформирует структуру диэлектрика между обкладками конденсатора.

Заметим, заряженный конденсатор сам становится источником напряжения, когда возвращает энергию в цепь генератора. Это значит, из конденсатора не сделать кипятильник, так как в конденсаторе энергия поля не преобразуется в тепло. Фактически, реактивное сопротивление есть реакция связей внутри вещества, которая приводит к повышению внутренней потенциальной энергии. При этом избыточная энергия, запасённая в связях, как в пружинах, возвращается в генератор после снятия внешнего поля. Нас не должно смущать, что деформация вещества характеризуется в омах. К примеру, если единицу ёмкости фараду перевести в природные величины, получится, что ёмкость измеряется в метрах: размерность [С] = [L]. Все зависит от выбора системы измерений, а это дело вкуса.

Возможно существование реактивных сопротивлений в других структурах, например, реактивное сопротивление электролита переменному току протонов. Ввиду большой массы протона этот эффект должен быть слабо выражен и практическое значение иметь вряд ли сможет, даже если будет обнаружен.

§ 45. Проектируем трансформаторы

Самым наглядным и живым воплощением теории электрического магнетизма является трансформатор – устройство для преобразования электрического напряжения. Попробуем спроектировать трансформатор для питания самодельного гитарного усилителя.

В простейшем трансформаторе на железный сердечник наматывают две обмотки из изолированного провода. Первичную обмотку подключают к источнику переменного напряжения, например к бытовой электросети 220 В. В обмотке возникает переменный ток, который создает переменный поток поля Ф (см. § 43). Этот переменный поток охватывает вторичную обмотку. В ней возникает напряжение самоиндукции: uL = – Ф/t. Если к концам вторичной обмотки подключить нагрузку, в ней возникнет ток i = uL/Z. Следует подчеркнуть, что обмотки трансформатора изолированы друг от друга. Энергия из одной обмотки передаётся в другую через поток поля, который зависит от толщины сердечника. Напряжение во вторичной обмотке зависит от её индуктивности, в основном, от числа витков (см. 37.1). Изменяя количество витков, можно получить нужное напряжение на выходе. Из справочника узнаем следующие рекомендации для конструирования бытовых трансформаторов.

Сердечник собирают в виде пакета из плоских Ш – образных пластин или из многослойных штамповок З – образного профиля.

Каркас с обмотками надевают на среднюю стойку пластин «Ш» или на перемычку «З».

Сначала наматывают вторичную обмотку, затем поверх неё – первичную.

Для вторичной обмотки рекомендовано оптимальное напряжение 36 вольт.

Допустим, гитарный усилитель должен иметь максимальную мощность 17 Вт (такой усилитель продавался в магазине музыкальных инструментов).

По формуле P = IU определяем максимальные токи в обмотках:

I1 = P/U1 = 17/220 = 0.03 А; I2 = P/U2 = 17/36 = 0.47 А (почти 0.5 А).

По справочнику находим сечения проводов для токов 0.03 А и 0.5 А, и сечение сердечника для мощности 17 Вт. Практика показывает, что не всегда на складе имеется то, что предписано справочником. Можно брать материалы из тех, что есть, но с запасом прочности. Если на полке вы обнаружили пару заводских бобин с проводами диаметром 0.15 и 0.5 мм, и готовый Ш-сердечник с сечением от 6 до 9 см2, то в принципе это то, что нужно. Для экономии провода можно принять n1 = 1760 (по 8 витков на 1 вольт сети). Тогда n2 = 36 х 8 = 288 (витков). Добавив 12 витков на компенсацию потерь, получим: n2 = 300 (витков). На простейшем станке, снабженном счетчиком витков, намотать обмотки для трансформатора не составит особого труда. Согласно рекомендациям, на картонный каркас сначала наматываем 300 витков из провода диаметром 0.5 мм. Затем поверх наматываем 1760 витков из провода диаметром 0.15 мм. Концы проводов припаиваем к контактным площадкам на каркасе, который надеваем на среднюю стойку Ш – пластины.

Если первичную обмотку трансформатора соединить с сетью 220 В, а к вторичной подключить вольтметр, прибор покажет, что она генерирует напряжение 38 вольт. Это то, что надо. Лишние 2 вольта «упадут» на схемах выпрямителя, а к усилителю поступят 36 вольт постоянного напряжения. При максимальной громкости гитары ток на выходе усилителя будет: I = 0.5 А. Умножая силу тока на напряжение U = 36 В, получим максимальную мощность P = I U = 0.5 х 36 = 18 (Вт). Это даже больше, чем заказывал гитарист. Поклонники рок-музыки должны помнить, что рокн-ролл жив благодаря Майклу Фарадею, который первым сформулировал принципы электрического магнетизма.

ЧАСТЬ III

Глава 6. Атомы

§ 46. Атом водорода

Все знают, что свет излучается атомами раскаленного вещества (достаточно взглянуть на угли горящего костра). Несмотря на очевидность факта, атомную физику преподают после оптики. На наш взгляд, логичнее сначала объяснить, как устроен атом, а уже потом рассказывать, как он излучает свет. Исторически так сложилось, что Герц завершил электромагнитную теорию Максвелла задолго до того, как Резерфорд открыл, а Бор объяснил устройство атома водорода. В университетах сразу начали преподавать волновую теорию света, которая объясняла интерференцию, дифракцию, в общем, то, что было известно еще Ньютону. Потом была открыта линейчатость атомных спектров, фотоэффект и многое другое, что волновая теория объяснить не могла. Появилась новая, квантовая теория света. Тем не менее, вклад Максвелла и Герца в физику был настолько велик, что отказ от электромагнитной теории света стал бы неприличным. Так сложилась традиция сначала читать классическую волновую оптику и только потом – новую теорию квантов.

Неудобства такой методики очевидны. Сам Фейнман, оказавшись заложником традиции, был вынужден остановиться посередине своего знаменитого курса лекций и сказать: «Извините ребята, но все, о чем мы до сих пор говорили, это неправда». И перешел к теории квантов.

Возникает вопрос, зачем время терять? Перепрыгнув через тупик «ультрафиолетовой катастрофы», куда неизбежно заводит волновая теория света, мы сразу начнем с устройства атома. Надеемся, свет появится в конце тоннеля.

Согласно теории Резерфорда, атом любого вещества состоит из ядра с положительно заряженными протонами, вокруг которого вращаются отрицательно заряженные электроны. Простейшим из атомов является атом водорода. Он содержит один протон и один электрон. Возникает вопрос, как мог образоваться такой атом? Ученые утверждают, что на заре времен, сразу после Большого взрыва, атомов не существовало. Вместо них в вакууме клубилась первичная плазма. Так называют электронно-протонный газ, в котором частицы носятся с огромными скоростями. По мере расширения Вселенной скорости частиц уменьшались, пока энергия электронов не сравнялась с энергией кулоновского притяжения.

Представим, что электрон пролетает мимо протона. Известно, масса протона почти в 2000 раз больше массы электрона. Если скорость электрона невелика, массивный протон захватывает легкий электрон и заставляет вращаться вокруг благодаря силе кулоновского притяжения: F = -e2/4πε0r2 (46.1). Простейшей из орбит является окружность. Попробуем вычислить ее радиус r. Обозначим скорость электрона через v, тогда его кинетическая энергия равна: Ек = mv2/2 (46.2), где m – масса электрона. Но электрон в поле протона имеет еще и потенциальную энергию Ep = Fr (46.3). Подставляя (46.1) в (46.3), получим: Ep = -e2/4πε0r (46.4). Знак минус указывает, что потенциальная энергия электрона внутри атома отрицательна. Выразим кинетическую энергию электрона через параметры кулоновского поля. Мы знаем, что центростремительная сила при движении по окружности равна: Fцс = ma = mv2/r (46.5). В нашем случае это сила связи F = e2/4πε0r2 (46.6). Приравняв (46.5) и (46.6), получим: mv2/r = e2/4πε0r2, или mv2 = e2/4πε0r, или mv2/2 = e2/8πε0r = Ek (46.7). Знак плюс в (46.7) означает, что кинетическая энергия положительна. Сложив (46.7) и (46.4), мы получаем полную энергию электрона в атоме: E = e2/8πε0r – e2/4πε0r = -e2/8πε0r (46.8). Знак минус в (46.8) указывает, что полная энергия электрона в атоме отрицательна. Таким образом, радиус орбиты электрона зависит от его полной энергии: r = e2/8πε0E (46.9). Знак минус не пишем, так как радиус орбиты не может быть отрицательным. Заметим, мы вынуждены жонглировать знаками «плюс» и «минус» потому, что силе притяжения в законе Кулона принято приписывать знак минус, а силе притяжения в законе тяготения Ньютона – знак плюс. Это тоже своего рода традиция.

Из уравнения (46.8) следует, что при уменьшении радиуса орбиты энергия электрона, с учетом знака, тоже уменьшается. В глубоком космосе, при абсолютном нуле, электрон в атоме водорода имеет минимальную энергию. Это значит, что он вращается по орбите с минимальным радиусом. Можно предположить, что до рождения звезд весь водород в нашей Вселенной находился в таком состоянии.

Представим, в откачанную от воздуха колбу впустили немного атомарного водорода и закрыли. Кто-то скажет, что атомы водорода легко связываются в пары, образуя молекулы. Это верно, но молекулу водорода так же легко можно разложить на атомы. Нас интересует именно атомарный газ водорода. Если пропускать через атомарный водород электрические разряды, газ засветится красновато-оранжевым цветом. Что происходит с атомом водорода? Часть энергии генератора, очевидно, передается электрону через электрическое поле. С увеличением энергии электрона радиус его орбиты увеличивается. Такой атом называют возбужденным. Известно, любая система стремится избавиться от излишка энергии. В перерывах между разрядами электрон излучает излишек энергии в виде короткого импульса энергии и возвращается в исходное состояние. Измерения показывают, что процесс излучения занимает всего 10-8 с. Это немного.

Излученный электроном излишек энергии принято называть квантом. Очевидно, квант имеет электрическую природу, так как он передался электрону от электроискрового генератора через электрическое поле. Кванты, которые человек может видеть, называют фотонами. Атомы водорода излучают фотоны нескольких видов. Одни видны как вспышки красного цвета, другие – как синего. Если искры пропускать достаточно часто, отдельные вспышки сливаются в непрерывное свечение. Человек может видеть фотоны разных цветов, от красного до фиолетового. Возбужденный атом водорода может излучать также и невидимые кванты.

§ 47. Разрешенные орбиты

В § 46 выяснилось, что с увеличением энергии радиус орбиты электрона возрастает. Возникает вопрос, изменяются ли энергия и радиус непрерывно, или некоторые их значения запрещены? Вспомним, в кристаллах электроны, связанные с атомами, имеют отрицательную энергию, а свободные – положительную. Между ними существует зона запрещенных энергий. Возможно, для электрона в атоме водорода какие-то значения энергии тоже запрещены? Ответ может дать только опыт.

Если внутрь нашей колбы поместить плоский конденсатор и соединить с генератором постоянного напряжения, получится встроенный источник электрического поля. Начнем постепенно увеличивать напряжение генератора. В определенный момент амперметр покажет скачок тока, который вскоре упадет до нуля. Что же случилось? Мы знаем, что нейтральный газ не проводит ток. Зато известно, что плазма хорошо проводит ток. Очевидно, как только напряжение достигло величины, достаточной для отрыва электрона от ядра, атомы водорода начали распадаться на электроны и протоны. Такой процесс называют ионизацией, так как нейтральный атом превращается в ион. Протоны и электроны начинают перемещаться к пластинам конденсатора, создавая кратковременный ток (плоский конденсатор удобен тем, что он создает однородное электрическое поле, которое легко измерять). В результате опытов, проведенных в различных условиях ионизации, выяснилось следующее.

При сверхнизкой температуре ионизация атома происходит при напряжении генератора U, равном 13.6 В (для удобства будем округлять до десятых долей вольта). До этого ток отсутствует, газ остается нейтральным. При нормальной температуре ионизация происходит дважды: при U = 13.6 и U =3.4 (В). При высокой температуре ионизация возникает трижды: при U = 13.6, 3.4 и 1.5 (В). В горячем газе ионизация происходит четырежды: при U = 13.6, 3.4, 1.5 и 0.85 (В). Наконец, в раскаленном газе ионизация возникает пять раз: при напряжении U, равном: 13.6, 3.4, 1.5, 0.85 и 0.5 (В) (47.1). Попробуем объяснить полученные результаты.

Вспомним, что при движении заряда q в поле совершается работа А = q U (47.2). Заменяя в (47.2) q на заряд электрона e, получим: А = e U (47.3). Очевидно, работа (47.3), необходимая для ионизации атома, численно равна энергии электрона на данной орбите. Значит, значения напряжения из ряда (47.1) соответствуют ионизации атомов водорода при отрыве электронов с пяти различных орбит.

Для удобства пронумеруем их цифрами от 1 до 5.

При сверхнизкой температуре электроны в атомах находятся только на орбитах № 1. При этом их энергия равна, согласно (47.1): Е1 = -13.6 эВ. Как только напряжение генератора достигает 13.6 В, электроны отрываются от протонов и между пластинами конденсатора появляется облачко плазмы. Амперметр сначала показывает ток, но после разделения и поглощения заряженных частиц обкладками конденсатора ток падает до нуля.

При нормальной температуре атомы водорода двигаются быстрее и могут соударяться между собой. Если энергия удара достаточна велика, один из электронов может перескочить на орбиту № 2, где его энергия, очевидно, равна Е2 = -3.4 эВ (см. 47.1). Таким образом, при нормальной температуре в колбе имеются два вида атомов. В одних электроны находятся на орбитах № 1, в других – на орбитах № 2. Электроны сначала отрываются от орбит № 2, когда напряжение генератора равно U = 3.4 В. В этот момент возникает первый скачок тока. Затем, когда напряжение генератора поднимается до величины 13.6 В, начинается ионизация атомов, в которых электроны находятся на орбитах № 1. В этот момент возникает второй скачок тока, который регистрирует амперметр.

Легко представить, что при дальнейшем повышении температуры в колбе появляются атомы, где электроны могут вращаться по орбитам № 3. Это значит, что в колбе одновременно присутствуют атомы трех видов. В одних электроны находятся на орбитах № 1, в других – на орбитах № 2. В атомах третьего вида электроны вращаются по орбитам № 3, где их энергия равна -1.5 (эВ). В этих условиях ионизация начинается с орбиты № 3, при напряжении генератора, равном 1.5 В.

В газе, температуру которого можно назвать очень горячей, одновременно могут быть атомы четырех видов. Поэтому здесь ионизация происходит четыре раза, начиная с напряжения генератора U = 0.85 В. Наконец, в раскаленном газе могут быть атомы пяти видов. В разных атомах электроны могут занимать места на разных орбитах, с первой по пятую. Поэтому в раскаленном газе ионизация происходит пять раз, начиная с самой верхней, пятой орбиты, при напряжении генератора всего U = 0.5 В.

Из опыта следует, что кроме данных (47.1) других значений напряжения ионизации нет. Это означает, что электроны в атоме водорода могут вращаться только по определенным орбитам, где они имеют энергию, соответствующую данным (47.1). Других орбит в атоме водорода нет. При еще более высоких температурах электроны могут располагаться на орбитах № 6, № 7 и так далее. Отметим, чем больше номера орбит, тем меньше расстояние между ними. Так, 10-я и 11-я орбиты энергетически различаются на 0.1 эВ. Это совсем немного. Правда, чтобы «загнать» электрон на орбиту № 11 потребуются звездные температуры. На Земле осуществить это непросто. Поэтому мы пока ограничимся полученными результатами и попробуем вычислить радиусы первых пяти разрешенных орбит, используя уравнение (46.9).

Для упрощения расчетов заменим Е на eU, а U возьмем из опытных данных (47.1).Тогда для радиуса r имеем: r = e2/8πε0eU, или r = e/8πε0U (47.4). Подставляя значения U в вольтах, получаем радиус ближайшей к ядру первой орбиты: r1 = 1.602х10-19/8х3.14х8.85х10-12 х13.6 = 0.0529 (нм). Этот радиус называют «первым боровским» в честь Н. Бора, который раньше других предположил, что для электрона в атоме водорода разрешены не любые орбиты. Для следующих орбит имеем соответственно:

r2 = 1.602х10-19/8х3.14х8.85х10-12х3.4 = 0.213 (нм), r3 = 1.602х10-19/8х3.14х8.85х10-12 х1.5 = 0.477 (нм), r4 = 1.602х10-19/8х3.14х8.85х10-12 х0.85 = 0.849 (нм), r5 = 1.602х10-19/8х3.14х8.85х10-12 х0.5 = 1.334 (нм).

Выясняется, что электрон в атоме водорода может вращаться только по некоторым разрешенным орбитам, радиусы которых можно вычислить по формуле (47.4). Таким образом, спектр энергии электрона в атоме водорода состоит из дискретного набора чисел. Этим газ отличается от твердого вещества. В кристаллах и жидкостях энергия электрона в разрешенной зоне может изменяться непрерывно. Теоретически, по меньшей мере.

§ 48. Энергия кванта

Электрон, вращающийся на орбите № 1, пребывает на низшем энергетическом уровне, так как он обладает минимально возможной энергией, равной – 13.6 эВ. Такой электрон не может излучать энергию, как не может разуться босоногий. Если внешнее поле отсутствует, как например, в глубоком космосе, то электрон на этом уровне может оставаться сколько угодно, хоть миллиард лет. По этой причине орбиту № 1 принято называть стационарной. Очевидно, чтобы излучить энергию, сначала ее надо получить. Например, от Солнца. Если электрон поглотит солнечный квант с энергией 10.2 эВ, он окажется на втором энергетическом уровне (орбита № 2), где его энергия равна – 3.4 эВ. Это легко проверить: Е2 – Е1 = –13.6 + 10.2 = – 3.4 (эВ) (48.1).

В возбужденном состоянии электрон будет недолго. Через долю секунды он излучит квант с энергией 10.2 эВ и вернется обратно на первый уровень. Возникает вопрос: может ли электрон захватить любой квант? Очевидно, нет. Представим разрешенные уровни энергии в виде ступенек лестницы. Поднимаясь по лестнице, мы должны ставить ногу точно на ступеньку, иначе рискуем оступиться и упасть. Так и электрон. Чтобы очутиться на более высокой орбите, он должен «поглотить» квант с энергией, в точности равной разности между конечным и исходным уровнями. Ведь других промежуточных орбит в атоме не существует.

Правда, могут быть варианты. Например, если электрон на орбите № 1 захватит квант с энергией, равной 12.1 эВ, то он перепрыгнет на орбиту № 3, минуя орбиту № 2. Это как если человек бежит вверх, перепрыгивая через ступеньки.

В принципе, электрон может оставаться на высшем уровне достаточно долго. Это случается, когда окружающее пространство заполнено излучением и электрону трудно отдать излишек энергии. Например, атом находится внутри раскаленной солнечной короны. Возможно, электрон излучает квант в пространство, но он тут же получает его обратно. В этом смысле все разрешенные орбиты тоже можно называть стационарными, так как, находясь на них, электрон сохраняет энергию. Это противоречит теории Максвелла, исходя из которой, электрон при непрерывном вращении должен постоянно излучать энергию, уменьшая радиус вращения, пока не упадет на ядро. Это не соответствует практике: ведь атомы стабильны. Очевидно, электрон излучает излишек энергии только при переходе с высшего уровня на низший. Как он это делает – тайна века! Фейнман говорил, что самая большая загадка электрона в том, что он имеет массу покоя. Действительно, свободный электрон имеет массу, это признак частицы. Но, находясь внутри атома, он легко поглощает и генерирует фотоны, которые не имеют массы покоя. Здесь есть о чем подумать.

Мы уже говорили, что электрон излучает квант в течение 10-8 с независимо от величины его энергии. Это интересно. Допустим, электрон перескочил с уровня № 3 на № 2. В этом случае энергия кванта составит: Е3 – Е2 = -1.5 – (-3.4) = 1.9 (эВ) (48.2). Получается, что при переходе 2→1 энергия излучения в пять раз больше, чем при переходе 3→2, хотя время излучения одинаково. Это возможно, если скорость излучения в первом случае больше. Но скорость излучения есть энергия, деленная на время. Выходит, энергия кванта пропорциональна параметру, который измеряется в с-1.

Такую размерность имеет частота, которую в квантовой физике принято обозначать как ν.

Обозначим энергию излученного кванта как εmn = Em – En (48.3), где m, n – номера разрешенных уровней (m>n). Эта энергия пропорциональна некоей величине, измеряемой в с-1, как частота ν. Но мы не можем просто написать: ε=ν. Энергия измеряется в джоулях, а частота в герцах. Нужен переходный коэффициент. Обозначим его h. Тогда: ε = hν (48.4). Уравнение (48.4) определяет энергию кванта излучения. Величину h называют постоянной Планка. Интересно выяснить ее физический смысл. Перепишем (48.4) в виде h = ε/ν (48.5). Из уравнения (48.5) следует, что постоянная Планка численно равна энергии кванта при ν=1 с-1. Очевидно, в микромире 1 Гц это частота, которой соответствует минимальный квант энергии. Постоянную Планка h еще называют квантом действия. Расчеты показывают, что величина h = 4.114х10-15 эВ с. Это действительно очень маленькая величина. Подчеркнем, что в теории квантов ν – это просто число, на которое нужно умножить h, чтобы получить энергию кванта.

Зная энергию кванта, легко вычислить его частоту. Перепишем (48.4) в виде: ν = ε21/h (3.6). Тогда для кванта ε21 = 10.2 (эВ) имеем: ν = 10.2/4.14х10-15 = 2.47х1015 (Гц). Это большая величина, если под ν понимать частоту колебаний поля. Из теории Максвелла следует существование электромагнитной волны, которая перемещается со скоростью света. Герц опытами доказал, что такие волны существуют, по крайней мере, в диапазоне радиочастот. Предположим, что квант излучения есть фрагмент этой волны, причем частота кванта совпадает с частотой волны. Вычислим длину этого фрагмента. Если скорость кванта равна скорости света с = 2.99х108 м/с, а время излучения равно 10-8 с, то расстояние между началом и концом кванта равно: L = 2.99х108 х10-8 = 2.99 (м). По сравнению с диаметром орбиты электрона эти три метра огромная величина, почти бесконечность. В таком случае при изучении квантов мы можем использовать некоторые методы теории Максвелла-Герца, которая описывает идеальные бесконечные электромагнитные волны света.

Световые волны, согласно Герцу, занимают диапазон от 380 нм (фиолетовый край) до 760 нм (красный край). Попробуем вычислить «длину» волны для кванта с энергией ε21 = 10.2 эВ. Согласно теории волн: λ = сТ = с/ν = 2.99х108/2.47х10-15 = 1.21х10-7 = 121 (нм). Выходит, квант с длиной волны 121 нм попадает за фиолетовый край, видеть его нельзя. Такой свет называют ультрафиолетовым. Кванты от переходов электрона с еще более высоких уровней на первый имеют еще большую частоту и, следовательно, еще меньшую длину волны. Значит, все они находятся в ультрафиолетовой зоне и тоже невидимы.

Возникает вопрос, какие кванты из спектра водорода может видеть человек? Для этого надо вычислить «длину» волны, соответствующую квантовому переходу, и сравнить её с диапазоном Герца. Попробуем вычислить λ для кванта, излучаемого при переходе с 3-го уровня на 2-й: ε32 = – 1.5 – (– 3.4) = 1.9 (эВ). Соответствующая частота ν32 = 1.9/4.14х10-15 = 0.45х1015 (Гц), тогда λ32 = 2.99х108/0.45х10-15 = 664 (нм). В справочнике по оптике находим, что эта длина волны соответствует красному цвету. Аналогичные расчеты дают: для кванта ε42 длина волны λ42 = 613 нм, что соответствует оранжевому цвету, для кванта ε52 длина волны λ52 = 433 нм, что соответствует темно-синему цвету. Из справочника известно, что атом водорода также испускает излучение с длиной волны 410 нм, имеющее фиолетовый цвет. Очевидно, оно соответствует кванту ε62. Следующие кванты серии εm2 уже попадают в ультрафиолетовую область. С другой стороны, расчеты показывают, что при переходе электрона с четвертой орбиты на третью кванту ε43 соответствует длина волны 1880 нм. Это лежит за инфракрасной границей. Кванту ε53 отвечает длина волны 1278 нм, это тоже в инфракрасной области.

Глава 7. Свет

§ 49. Оптические спектры

Оптическим спектром называют картинку, которая получается при разложении света на составные части. Для измерения спектров используют приборы спектрометры. Спектры дают истинную информацию о строении материи. Если теория света противоречит результатам спектрометрии, значит, она неверна.

Картинку солнечного спектра получить нетрудно. Закроем окно старой черной шторой, в которой проделаем отверстие диаметром около 1 см (старую штору не жалко). Солнечный луч впустим через отверстие и направим на боковую грань треугольной стеклянной призмы, поставленную на её основание. Параллельно другой грани призмы установим белый экран. При определенном угле падения невидимого луча света (если в комнате нет пыли) световое пятнышко на экране растянется в радужную полоску шириной 1 см и длиной около 5 см. Это и есть солнечный спектр, известный со времен Ньютона. Если призма стоит острым углом влево, то цвета в полоске располагаются слева направо в следующем порядке: красный, оранжевый, желтый и т. д., до фиолетового. Согласно теории Максвелла-Герца, каждому оттенку цвета в полоске соответствует электромагнитная волна определенной частоты (или длины волны). Такую волну называют монохроматической (одноцветной) в том смысле, что одна частота отвечает за один оттенок цвета. Считается, что Солнце излучает электромагнитные волны всех частот. Поэтому в солнечном спектре оттенки цветов непрерывно переходят один в другой.

Изменим опыт: между призмой и экраном поставим колбу с атомарным водородом. Мы увидим, что в солнечном спектре места некоторых цветов заняли вертикальные черные линии. Фраунгофер первым догадался, что это «тени» от атомов водорода и назвал их «линиями» поглощения водорода. Заметим, термин «линия поглощения» означает не геометрическую линию, а определенную частоту. Так, если отверстие в шторе уменьшить до 1 мм, радужная полоска на экране сузится в черту, а линии поглощения станут черными точками. Если в солнечном спектре в данном месте появилась черная линия, значит, фотоны с данной частотой поглощены атомами водорода (вот откуда термин «поглощение»).

Кирхгоф доказал, что водород поглощает только те линии, какие может излучать сам. Бальмер показал, что расположение линий поглощения в спектре водорода подчиняется правилу: ν = R(1/4 – 1/m2) (49.1), где ν – частота по Герцу, R – постоянная Ридберга: R=3.29*1015 с-1. Учитывая, что 4 = 22, формулу (49.1) можно переписать в виде: ν = R(1/n2 – 1/m2) (49.2). Тогда линии Бальмера (серия линий) получаются из (49.2) при n = 2. При других значениях n получаются, очевидно, другие серии линий поглощения. Действительно, когда изобрели ультрафиолетовые спектрометры, Лайман открыл в спектре водорода серию линий, отвечающих уравнению (49.2) при n = 1. Её назвали серией Лаймана.

Докажем, что линии поглощения спектра водорода соответствуют квантам излучения атома водорода. Для первой линии серии Лаймана (n=1, m=2) частота ν = R(1/12– 1/22)=3R/4. Подставляя R, получим: ν =3.29*0.75*1015=2.47*1015 (с-1). Энергия кванта равна hν. Подставим значения: hν = 4.136*10-15*2.47х1015 = 10.2 (эВ). Это полностью совпадает с энергией излучения при переходе электрона со второго уровня на первый: E2—E1= – 3.4 – (-13.6) = 10.2 (эВ). Для второй линии расчет даёт 12.1 эВ, что совпадает с энергией излучения водорода при переходе с 3-го уровня на 1-й: E3 – E1= – 1.5 – (-13.6) = 12.1 (эВ). Следовательно, правило Кирхгофа подтверждает теорию квантов.

Задача. Предлагаем читателю вычислить энергию поглощения для третьей линии Лаймана (n=1, m=4) и сравнить её с энергией излучения ε = E4 – E1 из данных (47.1).

§ 50. Спектр атома водорода

Для полноты картины рассмотрим спектральную серию III. Чтобы узнать, куда попадают линии этой серии, вычислим для них наибольшую частоту. Она получается из (49.2) при n = 3 и m = ∞. Тогда имеем: ν∞3 =3.29*1015/9 = 0.363х1015 (Гц). Это соответствует классической длине волны (λ = c/ν): λ∞3 = 2.99х108/0.363х1015 = 824 (нм). Известно, что видимый свет занимает диапазон примерно от 400 до 800 (нм). Следовательно, все линии серии III находятся в инфракрасной области, т. е. они невидимы. Серия № 3 носит имя Пашена. Имея инфракрасный спектрометр, можно выявить в этой области также серию Брэкета (n=4), Пфунда (n=5) и другие, представляющие скорее теоретический интерес. Таким образом, из всего спектра атома водорода человек может видеть только несколько фотонов из серии Бальмера (n = 2).

Полученные результаты будут более наглядны, если линии спектра водорода свести в таблицу. Во избежание путаницы, номера энергетических уровней (n, m) в атоме водорода взяты в круглые скобки. Значения энергии квантов поглощения, образующих серии (числа без скобок), посчитаны до серии № 6 (серия Хэмфри).

Таблица 1. Спектр поглощения атома водорода

Задача. Предлагается рассчитать по формуле (49.2) серию линий для n=8 (вдруг серию № 7 уже кто-то посчитал). Получится серия № 8, которая будет лежать в очень далекой инфракрасной области (энергия квантов будет составлять сотые доли эВ). Эту серию читатель может назвать своим именем.

Следует заметить, что не все линии поглощения, указанные в таблице 1, можно увидеть даже при помощи спектрометра. Многое зависит от интенсивности – вероятности перехода электрона между конкретными орбитами. Если вероятность перехода мала, например, один-два в месяц, то это слишком мало, чтобы получилась четкая линия Фраунгофера.

Докажем, что теория квантов подтверждается спектральными данными, конкретно, значением постоянной Ридберга. Для этого умножим обе части уравнения (49.2) на h: hν = hR(1/n2 – 1/m2) = hR/n2 – hR/m2 (50.1). Из теории квантов: hν = Em – En (50.2). Подставив (50.2) в (50.1), получаем: Em – En = hR/n2 – hR/m2 (50.3). Уравнение (50.3) будет верно, если Em = – hR/m2 (50.4), и En = – hR/n2 (50.5). Уравнение (50.5) показывает, что энергия электрона зависит от обратного квадрата номера его орбиты. Подставляя R в (50.5), получаем для первой орбиты (n=1): Е1=-4.136*10-15*3.29*1015 = – 13.6 (эВ), что прекрасно совпадает с опытными данными (47.1). Если пойти дальше, то для n = 2: E2 = E1/4 = -13.6/4 = -3.4 (эВ), для № 3: E3 = -13.6/9 = -1.5, что полностью соответствует (47.1).

Мы доказали, что теория квантов объясняет линейчатость атомных спектров. Классическая теория МаксвеллаГерца не смогла это сделать.

§ 51. Фотоэффект

Фотоэффектом называется явление, в котором свет выбивает электроны из вещества. Фотоэффект открыл Герц, когда проводил опыты с искровым разрядником для создания электромагнитных импульсов. В полупроводниках фотоэффект может быть еще и внутренним, когда электроны, выбитые светом из узлов решетки, остаются внутри кристалла, повышая его электропроводность. Очевидно, скорость фотоэлектронов зависит от энергии света. Но что такое – «энергия света»? Следует заметить, что Герц открыл много физических эффектов, большую часть которых объяснить не смог. Ирония судьбы в том, что, доказывая существование электромагнитных волн, Герц нечаянно сделал открытие, которое первым нанесло удар по его волновой теории света. Разберемся по порядку.

Из теории Максвелла-Герца следует, что из двух световых волн с одинаковой частотой волна, имеющая большую амплитуду, переносит больше энергии. Для механических волн это оправдано: чем больше амплитуда волны прибоя, тем дальше на берег она выкинет бутылку с запиской. Из электромагнитной теории света следует, что освещенность пропорциональна амплитуде световой волны. Это значит, чем больше освещенность поверхности образца, тем больше энергии ему передается, тем больше должна быть скорость выбитых фотоэлектронов. В опытах Герца это предположение не подтвердилось.

Столетов доказал, что скорость фотоэлектронов зависит от частоты (цвета) света, а от степени освещенности образца зависит количество фотоэлектронов. Более того, если частоту света плавно уменьшать (цвет смещать в сторону красного), то наступает момент, когда свет не может выбить из вещества ни одного электрона даже при повышенной освещенности. Частоту отсечки фотоэффекта Столетов назвал его красной границей. Существование красной границы фотоэффекта стало для Герца полной неожиданностью. Он так и не смог ее объяснить.

С похожей проблемой столкнулся Планк, пытаясь теоретически вычислить долю энергии излучения Солнца, приходящуюся на любой из цветов радуги. Планк опирался на теорию Максвелла-Герца. У него все время получалось, что с увеличением частоты энергия излучения должна расти. Вывод был таков, что в ультрафиолетовом диапазоне, где частота очень велика, Солнце излучает такую немыслимо гигантскую энергию, что давно должно погаснуть. Ироничный Джинс назвал полученный Планком результат «ультрафиолетовой катастрофой».

Но Планку было не до смеха. В ответ он выдвинул идею, что атомы излучают световые волны не непрерывно, а порциями (квантами), при этом энергия кванта зависит только от его частоты: ε = hν (51.1). Опираясь на уравнение (51.1), Планк получил формулу, из которой следовало, что максимум излучения энергии Солнца приходится на зеленый цвет, а ближе к ультрафиолетовой границе энергия излучения резко падает.

Эйнштейн пошел еще дальше. Предположив, что свет не только излучается, но и распространяется в виде частиц фотонов, он легко объяснил особенности фотоэффекта (чем навлек на себя немилость Герца). Согласно теории Эйнштейна, один фотон выбивает один электрон, а освещенность поверхности пропорциональна количеству фотонов. Если частота фотона больше частоты красной границы, фотон может выбить электрон из образца. Чем больше освещенность, тем больше фотонов, тем больше электронов будет выбито. Если свет монохроматический, все фотоны имеют одинаковую энергию. Значит, все выбитые электроны будут иметь одинаковую скорость, независимо от степени освещенности. Теория Эйнштейна полностью подтверждается опытами Столетова.

Эйнштейн предложил простое уравнение для фотоэффекта: hν = A+mv2/2 (51.2), где v – скорость выбитого электрона, А – работа выхода электрона из данного вещества. Из (51.2) следует, что если энергия фотона hν больше работы выхода А, то фотон не только выбивает электрон, но и дополнительно придает ему скорость v. Если энергия hν равна или меньше А, то электрон останется внутри вещества. В металлах всегда много свободных электронов, Поэтому работа выхода для металла равна потенциальной энергии электрона проводимости внутри слитка. Измерения показывают, что эта работа равна от трёх до пяти эВ.

Фотоэффект более интересен в полупроводнике, например, в кристалле кремния, где свободных электронов немного. Здесь процесс происходит в два этапа. Сначала фотон выбивает электрон из атома кремния в узле кристаллической решетки. Если энергия фотона достаточно велика, электрон сразу вылетает из кристалла и получается внешний фотоэффект. Если нет, электрон остается внутри. Поэтому работа выхода для электрона из полупроводника состоит из двух частей: A = A1+A2 (5.3). Здесь A1 это работа, направленная на отрыв электрона от узла решетки. Поэтому ее величина должна быть больше ширины запрещенной зоны. Тогда A2 – это работа по выбиванию электрона из полупроводника. Поэтому ее величина должна быть больше потенциальной энергии электрона проводимости в кристалле. Эти величины проще определить опытным путем.

Важное практическое применение имеет внутренний фотоэффект, так как он изменяет электрические свойства полупроводника. Если подобрать полупроводник с небольшой шириной запрещенной зоны, скажем, меньше, 1.0 эВ, то такой кристалл будет чувствителен к квантам инфракрасного диапазона. При попадании на кристалл таких квантов выбитые из атомов электроны остаются внутри, резко увеличивая число электронов проводимости. При этом сопротивление кристалла резко падает, а ток в цепи вырастает. На этом принципе основана работа инфракрасных датчиков, пультов управления телевизором, ракетных головок самонаведения, а также инфракрасных очков и биноклей, которые так полезны разведчикам и другим работникам невидимого фронта.

Глава 8. Электронные оболочки

§ 52. В атоме водорода

Мы уже знаем, что в атоме водорода электрон может находиться только на определенных расстояниях от ядра. Эти расстояния определяют уровни энергии электрона внутри атома согласно уравнению (46.8). Возникает вопрос, какова форма орбит электрона? Резерфорд считал их плоскими окружностями, как у планет солнечной системы (планетарная модель атома). С этим вряд ли можно согласиться. Планета удерживается возле Солнца полем гравитации, а электрон – кулоновским полем. Эти поля разные и действуют они по-разному. Для планет не имеет значение вращение Солнца. В нашем случае вращением ядра пренебрегать нельзя. Протон заряжен, а при вращении заряженной частицы возникает циркуляция тока, которая создаёт поток поля. Это поле аналогично полю рамки Фарадея с током B = I S, где B – магнитная индукция. Очевидно, поток поля ядра должен, по правилу Лоренца, влиять на траекторию вращения электрона. Рассмотрим подробнее.

Мысленно охватим протон сферой радиуса r. На сфере обозначим экватор и нулевой меридиан. Точка их пересечения имеет нулевую долготу. Для простоты предположим, что электрон начинает вращение вокруг ядра из нулевой точки вдоль нулевого меридиана к северному полюсу сферы. Без учета силы Лоренца электрон должен прокатиться по меридиану и вернуться в нулевую точку. Но поток поля ядра влияет на движение электрона. Структура потока, как уже говорилось, приблизительно совпадает с полем витка с током, осью которого является ось вращения протона. Из магнитной теории следует, что магнитная индукция поля протона приблизительно описывается уравнением B = 2Pm/r3 (52.1), где Pm – магнитный момент ядра: Pm = eћ/2mp (52.2), где mp – масса протона. Решение уравнения (52.1) является непростой задачей. К счастью, нам это не требуется. Считается, что магнитное поле действует перпендикулярно скорости электрона (сила Лоренца). Вовторых, сила Лоренца невелика, так как масса протона почти в 2000 раз больше массы электрона, а это значит, что индукция поля ядра мала. Так как сила Лоренца не влияет на величину скорости электрона, радиус r не изменится, хотя орбита электрона уже не будет простой окружностью.

Допустим, скорость электрона в начальный момент направлена вдоль меридиана. Сила Лоренца, согласно правилу правой руки, действует на электрон перпендикулярно его скорости. Поэтому электрон сойдёт с нулевого меридиана, пролетит мимо северного полюса, затем, повернув на юг, пролетит мимо южного полюса, направится на север и пересечёт экватор уже на некотором расстоянии λ от нулевой точки. Заметим, в этот момент скорость электрона уже не перпендикулярна экватору, а составляет с ним угол α. Таким образом, первый виток траектории электрона получился незамкнутым: он больше похож на виток спирали с шагом λ. После второго витка электрон пересечет экватор уже на расстоянии 2 λ от нулевой точки, а угол α станет ещё меньше. Через n витков электрон пересечет экватор в точке с долготой, равной n λ/r (рад). При некотором n = n1 угол α будет равен нулю. В этот момент скорость электрона направлена по касательной к экватору. Легко понять, что α = 0, когда n1 λ/r = π/2. Далее, наступит момент, когда при n = n2, n2λ/r = π, а угол α = – π/2. При n = n3, когда n3 λ/r = 3π/2, угол α снова равен нулю. Наконец, при n = n4, когда n4 λ/r = 2π, угол α опять равен π/2, как в начале движения. Если в этот момент электрон попадёт в нулевую точку, в дальнейшем его движение повторится. Очевидно, такая траектория будет стабильна. Следовательно, условие стабильности можно записать в виде: n λ = 2πr (52.3).

Перепишем (52.3) в виде: r = n λ/2π (52.4). Так как n – целое число, из уравнения (52.4) следует, что радиусы r (а значит, и уровни энергии электрона), должны быть кратными определённой величине. Таким образом, из условия стационарности (52.4) орбиты электрона вытекает линейчатость спектра атома водорода, которая была открыта опытным путем. Величина λ пропорциональна, очевидно, магнитной индукции B поля ядра на расстоянии r и обратно пропорциональна скорости электрона v = ωr. Это можно записать в виде уравнения: λ = k В/ωr (52.5), где k – некоторый коэффициент. Подставляя (52.1) в (52.5), получаем (с учётом 52.2): λ = keћ/mpωr4 (52.6). Решая уравнения (52.6), можно вычислить значения λ для разных орбит.

Нам удалось выяснить, что орбита электрона в атоме водорода не является плоской окружностью. Так и должно быть, поскольку мы живем в трехмерном мире и даже такой микрообъект, как атом водорода, должен занимать какой-то объем. Орбита электрона в атоме водорода скорее напоминает нить, намотанную, как клубок, на поверхность воображаемой сферы, причем конец нити совпадает с её началом. Назовем эту воображаемую геометрическую фигуру «сфераль». Если бы электрон оставлял след, то, двигаясь по сферали, он за долю наносекунды «заштриховал» бы вокруг ядра сферу радиуса r. Человек, не различающий промежутки времени меньше 0.01 с, должен воспринимать эту траекторию как сплошную поверхность, поскольку электрон успевает побывать во всех её точках меньше, чем за один миг. Можно сказать, электрон на стационарной орбите создаёт сплошную оболочку. Если электрон поглощает или излучает фотон, радиус электронной оболочки меняется, принимая одно из разрешенных значений (47.4).

§ 53. Атом гелия и другие

Курс элементарной физики принято заканчивать атомом водорода, хотя во Вселенной существуют гелий, литий и другие атомы. Рассмотрим коротко устройство атома гелия, который по-своему интересен. Известно, что ядро гелия содержит два протона и два нейтрона. Физики называют его α-частицей. Атом гелия должен содержать два электрона, чтобы компенсировать двойной положительный заряд ядра. Гелий образуется примерно так. Сначала в результате каких-то ядерных реакций возникает свободная α-частица. Попав в облако электронов, α-частица захватывает электрон, который начинает вращаться вокруг неё по сферали, разрешённой для атома гелия. При этом образуется ион гелия, состоящий из ядра и одного электрона. Это напоминает атом водорода, но с другими уровнями энергии для электрона. Такое водородоподобное состояние длится недолго. Вскоре ион гелия захватывает второй электрон, чтобы стать нейтральным атомом. Возникает вопрос, на какой сферали будет находиться второй электрон, ведь первая уже как бы занята?

Спектральные измерения показали, что атом гелия имеет водородоподобный спектр. Это вызвало недоверие у теоретиков, поскольку два электрона не могут находиться на одной орбите. Действительно, применение более точных спектрометров выявило, что линии гелия являются дублетными (двойными) – при оптическом увеличении они расщепляются на две. Это означает, что электроны в атоме гелия вращаются на разных орбитах, хотя и очень близких по радиусу. Как такое могло случиться? Ответ подсказывает «магнитная» теория. Электрон, как и протон, тоже вращается вокруг своей оси. Это вращение создает для него собственный «магнитный» момент, который взаимодействует с полем ядра. Так на фоне относительно сильного кулоновского притяжения возникает более слабое магнитное взаимодействие электрона и ядра. Магниты могут притягиваться или отталкиваться. Предположим, электрон вращается вокруг своей оси так, что его магнитное поле отталкивается от поля ядра. Значит, радиус орбиты электрона станет немного больше. Такой электрон создаёт оболочку с несколько большим радиусом, чем следует из теории Бора. Очевидно, α-частица может захватить второй электрон, если его вращение противоположно вращению первого электрона. Тогда его магнитное поле будет притягиваться к ядру. Радиус второго электрона будет немного меньше, чем следует из теории Бора. У атома гелия образуется двухслойная электронная оболочка с небольшим зазором между слоями. Этот зазор определяет ширину расщепления линий гелия в спектре. Благодаря яркой дублетной линии в видимой части спектра гелий был сначала обнаружен в спектре Солнца и только потом, как вещество, на Земле. Этим гелий и интересен.

Из квантовой теории следует вывод, что линии водорода тоже должны быть дублетными, поскольку протону при захвате электрона безразлично направление вращения последнего. Поэтому в любой порции водорода присутствуют атомы, где ядро и электрон вращаются в одну сторону, и атомы, где они вращаются в разные стороны. При наложении спектров этих атомов их линии попадают на близкие, но разные участки. Для выявления такого расщепления требуются чувствительные спектрометры.

Из курса химии известно, что за гелием следует атом лития, который в нейтральном состоянии содержит три электрона. Два из них, имеющие противоположные магнитные моменты, образуют внутреннюю двойную оболочку, как у гелия. Для третьего электрона здесь места уже нет. Поэтому третий электрон занимает место на внешней сферали, образуя наружную сферическую оболочку. Эта структура, похожая на атом водорода, должна иметь водородоподобный спектр. Так как связь внешнего электрона с ядром ослаблена, линии спектра лития должны быть смещены в инфракрасную область.

С увеличением порядкового номера атомов вещества возрастает его плотность. В плотном (сконденсированном) состоянии внешние оболочки атомов начинают влиять друг на друга так, что меняется их форма. Так в атоме углерода (порядковый номер 6) четыре внешних электрона образуют не сферические, а веретенообразные оболочки. Это как если взять слабо надутый воздушный шар и растянуть его вдоль диаметра. Характеристикой такой оболочки является длинная ось. Атом углерода интересен тем, что длинные оси четырех оболочек внешних электронов располагаются в пространстве симметрично вдоль воображаемых диагоналей куба. Этим объясняется твердость алмаза, так как куб раздавить нелегко.

Глава 9. Волна или частица?

§ 54. Опыт Тейлора

Мы уже говорили о волне как о форме передачи энергии через материальную среду. При определенных условиях можно наблюдать, как волны, например, на воде, усиливают или гасят друг друга. Это явление называют интерференцией. По направлению колебаний частиц среды волны могут быть продольными или поперечными. Например, при накачивании колеса ручным насосом возникают продольные волны, так как частицы воздуха колеблются вдоль движения поршня. В волнах на воде частицы среды колеблются поперек направления волны. Как это происходит? Свежий ветер морщинит водную поверхность, вздымая гребни. За каждым гребнем следует впадина. Чем выше гребень, тем больше он давит весом на поверхность воды. Когда давление ветра сравнивается с давлением воды на дне впадины, рост гребня прекращается. Так энергия ветра переходит в энергию поперечной волны (напомним, что в физике волной называют всю последовательность гребней и впадин). Энергия волны пропорциональна весу гребня, умноженному на одну треть его высоты. В этой «картине маслом» ясно одно: волна на воде поперечна потому, что её снизу подпирает давление глубины. Гребню просто некуда деваться, как выпучиваться вверх, в воздух. Очевидно, поперечная волна возникает только на границе между средами с разными плотностями. В однородной среде таких волн быть не может. Возникает естественный вопрос: при чём тут свет? Обратимся к истории.

Кто-то из корифеев (наверное, Джинс) сказал, что свет – это самое тёмное место в физике. Ещё Ньютон установил, что при определённых условиях лучи света могут усиливать или гасить друг друга. Считалось, что свойство волн. Затем Максвелл предсказал существование электромагнитных волн, перемещающихся со скоростью света. Из его теории следовало, что свет – это электромагнитная волна. Пропуская луч света через особые кристаллы, ученые доказали, что если свет это волна, то волна поперечная. Возникает вопрос: что за среда колеблется при переносе электромагнитной энергии? Сначала предположили, что колеблется эфир – прозрачное однородное невесомое вещество, в которое погружены все тела. Майкельсон поставил эксперимент, который прямо показал, что «эфира» вокруг Земли не существует.

Тогда ученые предположили, что электромагнитная волна сама себе среда, а перемещается она следующим образом. В течение первого полупериода волны колебание потока электрического поля создаёт колебание циркуляции магнитного поля. Во время второго полупериода колебание циркуляции магнитного поля создаёт перед собой колебание потока электрического поля. Затем всё повторяется. Так в вакууме выстраивается дорожка света. Эта теория была признана и вошла в учебники, хотя вопрос, почему электрическое поле колеблется поперек движения волны, остался без ответа. Проблема обострилась, когда Эйнштейн легко объяснил свойства фотоэффекта, предположив, что луч света является не волной, а потоком фотонов. Вопрос был поставлен ребром: свет это волна или частица? Волновую теорию пытались дополнить, предположив, что фотоны так взаимодействуют в потоке, что их плотность меняется волновым образом.

Тогда Тейлор взял установку для демонстрации дифракции света и немного доработал её. Напомним, что дифракцией называют свойство волны огибать препятствия. Например, морская волна легко проходит сквозь рыбачью сеть и огибает столбики. Ничего особенного в этом нет. Но если волна мелкая и частая, а столбик толстый, он разделяет волну на две части, которые сходятся за столбиком. Если при схождении частей волны гребень попадает на гребень, получается гребень двойной высоты. Если впадина попадает на впадину, получается впадина двойной глубины. Если гребень попадает во впадину, поверхность воды сглаживается. Таким образом, дифракцией называют явление, когда на некотором участке за препятствием для волны получается устойчивое чередование гребней и впадин, причем непосредственно за препятствием (где для потока частиц должна быть мертвая зона и гладь), при схождении полуволн образуется самый высокий гребень. Похожая картина возникает, когда волну заставляют проходить через ряд близко расположенных щелей. Это явление принято называть дифракцией на щелях. Заметим, щели можно рассматривать как промежутки между близко расставленными столбиками, а дифракцию на столбике мы уже «проходили».

В установке Тейлора имелась лампочка, луч света от которой направлялся на экран. Препятствием для луча служила очень тонкая иголочка. На экране получалась дифракционная картина. Прямо напротив иглы на экране возникала светлая полоска, как при складывании гребней волны. В стороны от неё чередовались темные (впадины) и светлые (гребни) полоски, чем дальше, тем слабее.

«Если свет это поток фотонов», – подумал Тейлор, – «Я смогу сделать его ничтожно редким». Он уменьшил накал лампочки до минимума и установил перед иглой несколько светофильтров. По расчетам Тейлора, в секунду на иголку попадало не больше одного фотона. Значит, ни о каком коллективном взаимодействии частиц не могло быть и речи. Он поместил установку в светонепроницаемый кожух, установил вместо экрана фотопластинку, повесил табличку «Не выключать!», взял отпуск и уехал кататься на яхте. Когда Тейлор вернулся через месяц, отдохнувший и загорелый, он проявил фотопластинку и увидел, что следы двух миллионов фотонов, поочередно попадавших в мишень в течение месяца, сложились на фотопластинке в классическую дифракционную картину. Для тех, кто успел поверить в теорию квантов, это был настоящий шок.

§ 55. Волна-частица или частица-волна?

Опыт Тейлора показал, что даже одиночные фотоны создают дифракционную картину. Выходит, один фотон тоже обладает свойствами волны. Напомним, что ещё до теории Максвелла было доказано, что если свет и является волной, то эта волна поперечная. В таких волнах частицы среды колеблются «поперёк» направления переноса энергии, которая сконцентрирована в гребнях. Известно, что частота света составляет (по Максвеллу) в среднем 6*1014 Гц. С другой стороны, расстояние между началом и концом фотона равно почти 3 м. Легко подсчитать, что фотон, допустим, зеленого цвета должен содержать 6*106 гребней. Это очень много. Даже волны в океане имеют гребней в тысячи раз меньше. Следует вывод, что каждый фотон сам себе волна. Очевидно, в опыте Тейлора игла разделяла каждый фотон-волну на две полуволны. Затем эти полуволны сходились и складывались на фотопластинке, создавая чередование светлых и темных полос, причем напротив иглы получалась светлая полоска, ведь именно там сходились гребни. Так возникла классическая дифракционная картинка. Опыт Тейлора серьёзно укрепил позиции сторонников волновой теории света.

Но вот за дело взялся Комптон, который незадолго до этого получил доступ к новейшему рентгеновскому спектрографу. Комптон поставил опыт, где рентгеновское излучение (частота до 1019 Гц – дальше уже начинается область гамма-лучей) пропускалось через пластинку графита, где имеется довольно много свободных электронов. После выхода из графита икс излучение направлялось в рентгеновский спектрограф. Опыт показал, что рентгеновский луч ведет себя как поток квантов, которые рассеиваются свободными электронами в графите. При этом в ряде случаев частота рассеянных квантов уменьшалась. Это явление назвали «покраснением квантов» в том смысле, что их частота смещалась в красную часть спектра. При этом в графите обнаружились электроны, у которых скорость превышала значение, среднее для данной температуры по тепловой теории. Измерения показали, что количество «горячих» электронов равно числу «покрасневших» квантов. Тогда Комптон предложил теорию, согласно которой при рассеивании кванта на свободном электроне последний забирает часть импульса у кванта. Таким образом, из теории Комптона следует, что кванты рентгеновского излучения, хотя не имеют массы покоя, обладают импульсом, аналогично импульсу электрона p=mev.

После работ Комптона «маятник» качнулся в обратную сторону. Свет снова стали трактовать как поток частиц, обладающих импульсом, как до Максвелла. Заметим, что Комптон ввел понятие «импульс кванта» чисто формально, чтобы в его теории выполнялся закон сохранения импульса. В академическом мире сложилась непростая ситуация, в которой растерявшиеся профессора не знали, как преподавать теорию света. Попробуем разобраться.

Из теории Планка следует существование квантов с энергией ε = hν, где ν – параметр, имеющий размерность частоты. Согласно опыту Комптона, рентгеновский квант (далее – просто квант), сталкиваясь с электроном, теряет часть энергии Δε = hΔν. При этом частота кванта уменьшается на величину Δν, что приводит к «покраснению» кванта. Опыт Тейлора доказал, что фотон это волна, которая «обтекает» препятствие. Опыт Комптона показал, что квант это частица, которая отталкивается от препятствия. Легко понять, что разница между фотоном и квантом только в частоте. Нетрудно подсчитать, что число гребней в кванте в тысячи раз больше, чем в фотоне. Так как энергию переносят гребни, значит, плотность энергии в кванте в тысячи раз больше, чем в фотоне, ведь размеры их равны. Очевидно, чем выше плотность энергии кванта, тем ближе он по свойствам к частице. Этим можно объяснить упругое столкновение кванта с электроном. Чем выше плотность энергии, тем труднее кванту «обтекать» электрон. А это уже свойство частицы. Таким образом, рентгеновский квант можно представить в виде вибрирующей струны с незакрепленными концами. Столкнувшись с электроном, струна сминается, отдавая часть энергии, и отлетает в сторону, как частица.

Следует заметить, что струна, вибрирующая с определенной частотой, это воображаемый математический образ. В реальности кванты, даже полученные за счет одинаковых переходов электронов внутри атомов, несколько отличаются по частоте, так как их энергия чуть различается за счёт магнитного взаимодействия с ядром. Именно поэтому спектральные линии имеют видимую ширину. Дело в том, что фотоны с близкой, но различной частотой, пройдя сквозь спектрометр, попадают в близкие, но всё же разные места на экране. Поэтому линия в спектре получается широкой.

Используя чувствительный спектрометр в комбинации с мощным магнитом, Зееман сумел «расщепить» широкую спектральную линию натрия на две тонкие с зазором между ними. Штарк проделал то же самое, воздействуя на источник спектра мощным электрическим полем. Эти блестящие опыты, как и опыт Комптона, невозможно объяснить при помощи волновой теории света Максвелла-Герца. Зато их объясняет квантовая теория Планка-Эйнштейна.

§ 56. Гипотеза де Бройля.

Опыт Комптона породил одну довольно странную, на первый взгляд, теорию. Во всяком случае, Эйнштейн, прочитав работу де Бройля, назвал её бредом сумасшедшего. Потом он изменил своё мнение, но сказанного ведь не вернёшь. Возможно, поэтому теорию де Бройля до сих пор называют гипотезой, как бы отстраняясь от неё. Обратимся к фактам.

Луи де Бройль (младший из братьев де Бройль), узнав о теории Комптона, решил «развернуть» её в обратную сторону. Если электромагнитное излучение с явно волновыми свойствами (опыт Тейлора) с увеличением частоты начинает вести себя как поток частиц (опыт Комптона), то возможно, предположил Луи де Бройль, электроны и протоны это тоже своего рода волны, только с большей частотой, которая придает им «жесткость» частиц. Возникает вопрос: какова, допустим, у электрона, частота по де Бройлю?

Неприязнь Эйнштейна к термину «частота электрона» в общем понятна. Фотоны, которые он придумал, это, по сути, фрагменты волн. Но волна существует, пока движется. Электрон, как принято считать, имеет массу покоя. Поэтому покоящийся электрон физически не может быть волной. Но, признаться, где он, этот покой? В природе всё движется и понятие «покой» имеет относительный смысл. Кому, как не автору теории относительности, не знать этого? Попробуем изучить опытные данные, приняв точку зрения де Бройля.

Разумеется, квант не имеет массы покоя. Зато он имеет энергию, как и электрон. По Планку энергия кванта равна: Е = hν (56.1). По Эйнштейну полная энергия электрона равна Е = mc2 (56.2). Допустим, ν – частота электрона по де Бройлю. Тогда (56.1) можно приравнять к (56.2). Напишем: hν = mc2 (56.3), где m – масса покоя электрона. Отсюда частота электрона: ν = mc2/h (56.4). Подставим числа в (56.4), тогда: ν = 0.91*10-30 *9*1016/6.63*10-34 = 1.2*1020 (Гц). Получается, что частота электрона, хотя попадает в область гамма-лучей, по де Бройлю всего в 12 раз больше частоты рентгеновского кванта. Возможно, поэтому они так активно взаимодействуют в опыте Комптона. Если длина волны электрона в 12 раз меньше длины волны кванта, которая равна: λ = c T = c/ν = 3*108/1019 = 3*10-11 (м), то по де Бройлю длина волны электрона λe = 3*10-11 /12 = 2.5*10-12 (м) (56.5). Вспомним, что радиус атома водорода по Бору составляет 0.053 нм. Выходит, по де Бройлю длина волны электрона в 40 раз меньше атома водорода.

Из гипотезы де Бройля следует, что электроны должны создавать дифракционную картинку, если их пропустить через ряд щелей с шириной, соответствующей длине волны (56.5). Щели с шириной меньше диаметра атома могут существовать только на субатомном уровне, например, как промежутки между узлами в кристаллической решетке. Значит, для опытной проверки гипотезы де Бройля требуются две вещи. Сначала нужно найти кристалл с подходящей решеткой. Во-вторых, электроны нужно как следует разогнать, чтобы они не застревали между узлами решетки, а выскакивали и попадали в прибор, аналогичный спектрометру.

Известно, что электроны хорошо разгоняются электрическим полем. Тогда энергию электрона Еe лучше выразить через напряжение поля U: Еe = e U. В этом случае (56.3) переходит в уравнение: hν = e U (56.6), где e – заряд электрона. Расчеты показывают, что при U = 100 В длина волны электрона λe, соответствующая частоте ν = 100 e/h, равна 1.22*10-10 (м). Это почти равно диаметру атома водорода. Зазоры такой ширины между атомами следует искать в кристаллах тяжёлых металлов.

Девиссон и Джермер использовали монокристалл никеля, который они облучали пучком электронов, плавно изменяя напряжение поля. Дифракционная картинка от электронов получилась у них при напряжении U = 54 В, что соответствует λe = 1.67*10-10 м. Эти данные были сразу проверены на рентгеновском спектрометре. Облучая монокристалл квантами, ученые получили аналогичную картину при длине волны излучения λ = 1.65*10-10 м, что практически полностью совпадает. Так гипотеза де Бройля получила первое опытное подтверждение. Тартаковский изменил методику опыта. Он пропускал по очереди электроны и кванты через золотую фольгу и сравнивал получающиеся дифракционные картинки. Совпадение картинок при энергии электронов Е = 54 эВ было полным.

Результаты этих опытов оказалось настолько поразительными, что весь научный мир вздрогнул. Теория де Бройля (будем называть её так) показала, что в наномире, где расстояния меньше, чем 10-9 м, стирается последняя грань между частицами и квантами. Де Бройлю почти сразу присудили Нобелевскую премию, а учёные Франции избрали его президентом Академии наук пожизненно.

§ 57. Море Дирака

Когда Чедвик открыл нейтрон, который входит в состав почти всех атомов, выяснилось, что свободный нейтрон существует около 15 минут, затем распадается на части. Затем были открыты другие частицы, которые «жили» какие-то доли секунды. Известно, что ограниченное время жизни характерно для волн, которые довольно быстро распадаются. Возникает встречный вопрос, могут ли волны, в свою очередь, создавать относительно долгоживущие и компактные объекты? Оказывается, могут. Например, во время спуска по горной реке можно наблюдать в воде устойчивые образования, которые инструкторы по рафтингу называют водоворотами, котлами и расческами. Один настойчивый водоворот диаметром около 5 см сопровождал наш рафт в течение почти 15 секунд. По сравнению со временем жизни сигма-нуль-гиперона, равному 10-20 с, это все равно, что возраст Вселенной по отношению к среднему возрасту человека. Расческой назывался участок реки площадью около 20 м2, покрытый пляшущими столбиками воды размером с карандаш. Очевидно, это был результат дифракции волн на россыпи булыжников под водой. Инструктор утверждал, что «расческа» будет держаться неделю, пока не спадет уровень воды. Выходит, волны могут образовывать компактные и долгоживущие объекты? Де Бройль называл это свойство материи дуализмом (двойственностью). Возможно, электрон это тоже своего рода волновой объект в какой-то текучей среде?

Из теории колебаний известно, что при сложении поперечных волн с достаточно близкими частотами возникает объект, который принято называть волновым пакетом или цугом волн. Цуг волн напоминает волну цунами, где очень высокий гребень посередине сопровождается парой-тройкой гребней спереди и сзади. Ближе к концам цуга высота гребней резко снижается, так что энергия концентрируется в основном в центральном гребне. Такой волновой пакет из воды вполне устойчив и способен переносить энергию на значительные расстояния. Так энергия, выделившаяся при подводном землетрясении 2004 г. в океане, была перенесена цунами к берегам Индии, где произвела огромные разрушения. Возникает вопрос: как фотон, по сути, фрагмент поперечной волны, может существовать и двигаться в космической «пустоте»? Обратимся к фактам.

Считается, что фотон не имеет массы покоя. Следовательно, если фотон и является колебаниями какой-то среды, то эта среда не имеет массовой плотности. Зато она может иметь энергетическую плотность. Нас это не должно удивлять. В физике уже давно принято массу элементарных частиц выражать в единицах энергии. Например, в справочнике по элементарной физике написано, что масса покоя электрона равна 0.51*106 эВ или 0.51 МэВ. Так обеспечивается равноправие между частицами и квантами, причем этот подход – энергетический! Возникает сразу два вопроса: какая среда имеет нулевую массовую плотность и как в этой среде могут возникать поперечные волны? На первый вопрос ответить легко. Эта среда – вакуум. Для ответа на второй вспомним известные результаты.

В нашем макромире мы встречаемся с тремя уровнями плотности. Так, литр воды имеет массу 1 кг, литр воздуха при нормальном давлении имеет массу 10-3 кг, литр газа при давлении 1 мм рт. ст. имеет массу 10-6 кг. Последнюю плотность среды можно назвать техническим вакуумом. Наконец, массовая плотность космического вакуума, где в литре пространства может быть одна – две молекулы газа, практически равна нулю. Напомним, поперечные волны возникают на границе между средами с различной плотностью. Так морские волны возникают на границе между водой и воздухом. В воздухе, на границе между плотным холодным и теплым разреженным слоями, тоже могут возникать поперечные волны. Известно явление «зарница», когда после ухода грозы вдали сверкает молния, а гром не слышен. Это объясняется тем, что воздух у поверхности земли, охлажденной дождем, имеет большую плотность, чем на высоте птичьего полета. Раскаты грома сверху отражаются от плотного слоя и уходят обратно, не достигая наших ушей. При этом на границе между слоями воздуха возникают поперечные волны инфразвуковой частоты, которые мы не слышим.

Возможно, вакуум это не просто однородная «великая пустота», как считали древние греки. Напротив, в вакууме могут быть зоны с различной плотностью. Только плотность эта не массовая, а энергетическая. Мы ее не ощущаем, как не ощущаем электрическое поле. На границе между зонами с разной энергетической плотностью могут возникать поперечные волны. Складываясь, энергетические волны могут образовывать пакеты энергетических волн. Эти пакеты волн наши макроприборы регистрируют как фотоны, электроны и другие частицы.

Эта идея не такая уж бредовая. Вспомним теорию полупроводников. Электронные оболочки, которые связывают атомы в кристалл, образуют зону отрицательной энергии. Электроны проводимости перемещаются в зоне положительной энергии между узлами кристаллической решетки. Теория энергетических зон в кристаллах подтверждена опытами и принята всеми учеными. Если из опытов следует, что фотоны, эти поперечные волны, могут перемещаться в вакууме, значит, вакуум должен иметь, как минимум, две зоны с различной энергетической плотностью, между которыми должна быть достаточно резкая граница.

Дирак, составляя уравнение для движения электрона почти со скоростью света, использовал методы теории квантов. Решая уравнение (уравнение Дирака), он получил для свободного электрона два значения энергии, положительное и отрицательное. О положительной энергии мы знаем. Это энергия электрона, которую он имеет, например, в опыте Комптона. Но что такое «свободный электрон с отрицательной энергией»? Коллеги Дирака отнеслись с недоверием к полученному результату и предложили его отбросить, как не имеющий физического смысла. Но Дирак не согласился, Он предположил, что в вакууме, кроме зоны с положительной энергией частиц, дополнительно существует скрытая зона отрицательных энергий. Свободный электрон, имеющий по Дираку положительную энергию, может производить работу, что регистрируется нашими приборами. В зоне отрицательных энергий электрон связан. Такой электрон не производит работу и не регистрируется приборами.

Из теории Дирака следует, что если гамма – квантом достаточной энергии подействовать на связанный электрон, он может перейти в свободное состояние. Тогда в вакууме образуется вакансия – дырка. Но в дырке от электрона должен быть положительный заряд. Вывод таков, что после облучения квантами вакуума в пространстве должны появиться, кроме электронов, частицы с массой электрона, но с положительным зарядом. Эти частицы могут совершать работу. Забегая вперед, скажем, что такого рода объекты называются античастицы. Античастицу для электрона назвали позитроном. При столкновении электрона с позитроном электрон занимает место «дырки», т. е. позитрона. При этом с экранов приборов исчезают сразу обе частицы, зато в зоне наблюдения (т. е. в нашей зоне) появляется квант с энергией, равной двум массам покоя электрона (или позитрона).

Теория Дирака была настолько необычной, что большинство физиков не приняли её. Но, как говорил Эйнштейн, лучший судья – это эксперимент. Первым Андерсен обнаружил позитроны в составе космических лучей. Затем было показано, что, облучая гамма-квантами технический вакуум, при определенных условиях можно наблюдать рождение пар электрон-позитрон. Прямые измерения показали, что это происходит при энергии квантов, равной 1.02 Мэв. Это значение в точности равно удвоенной массе покоя электрона, равной 0.51 МэВ.

После работ Андерсена многие физики кинулись искать антипротоны. Эти поиски увенчались успехом. Со временем были найдены античастицы практически для всех частиц, за исключением фотона. Квант света оказался единственной частицей, не имеющей своей античастицы. Этот научный факт заставляет задуматься.

Из теории Дирака следует, что между отрицательной и положительной зоной существует энергетический зазор, своего рода запрещенная зона. При этом масса покоя любой свободной частицы не должна иметь значение из этой зоны. Но фотоны не имеют массы покоя. Мы не знаем, какие процессы происходят в зоне отрицательных энергий. Возможно, колебания отрицательной энергии в море Дирака рождают поперечные волны, гребни которых перемещаются по запрещенной зоне. Мы, обитатели зоны положительных энергий (как нам кажется), наблюдаем эти волны как фотоны, стабильные частицы со свойствами поперечных волн. В запрещенной зоне, с нулевой во всех отношениях плотностью, которая не производит ни малейшего сопротивления движению материи, эти фотоны носятся со скоростью света, недостижимой для всех других частиц, имеющих массу покоя. Возможно, именно поэтому фотон не имеет античастицы, так как он рождается и перемещается в запрещенной зоне, которая отделяет наш мир от антимира.

Вероятно, при более сильных колебаниях в отрицательной энергетической зоне верхушки энергетических волн выплескиваются в положительную зону вакуума. Аналогичные выбросы электронов в зону проводимости известны в полупроводниках. Возможно, свободные электроны это просто верхушки энергетических вихрей, заброшенных в наше пространство. Если такой заброс происходит через какие-то промежуточные уровни в запрещенной зоне, то в нашей Вселенной вместо позитронов могут возникать и другие античастицы. Этим можно объяснить, почему в нашей Вселенной позитронов меньше, чем электронов.

Глава 10. Заключительная

§ 58. Как проектировали лазер

В заключительной главе принято подводить итоги. Но мы не будем тратить время на перечисление вопросов, которые не успели рассмотреть. Расскажем лучше о лазерах, которые являются самым ярким воплощением квантовой теории. Лазеры относятся к пионерским изобретениям. Так называются изобретения, которые не имеют аналогов. Хотя в рекламе можно встретить фразу типа, «новый телевизор не имеет аналогов», на самом деле это не так. У любого телевизора есть аналог, так как даже новейший телеприёмник обязан принимать стандартный сигнал от телестудии. Пионерским является изобретение, работающее на новых научных принципах, которые еще нужно открыть. К примеру, пароход изобрели в начале 19-го века. Но это изобретение нельзя назвать пионерским, так как паровоз изобрели ещё в 18-м веке. Вообще говоря, паровую машину могли собрать ещё древние греки, которые имели представление об энергии пара. Лазер – другое дело. Чтобы изобрести лазер, потребовалось сначала создать новый раздел физики – квантовую электронику. Это было сделано уже в 20-м веке. Обратимся к фактам.

Всем известна обыкновенная линза. Она преломляет лучи света, сводя их в крошечное пятнышко. Лучом от линзы можно поджечь бумагу или сухую траву. Но лист металла этим лучом прожечь невозможно, энергия недостаточно сконцентрирована. Дело в том, что преломление лучей зависит от частоты света. Именно по этой причине солнечный луч распадается в спектрометре в радужную полоску. Поэтому, как ни шлифуй линзу, фотоны разного цвета будут попадать в разные места и большой концентрации световой энергии не получить. Вот если бы все фотоны имели одинаковую частоту. Тогда их можно было бы сфокусировать в одну точку на мишени, где плотность энергии выросла бы в сотни тысяч раз. Таким лучом можно прожигать оболочки ракет или сбивать спутники с орбиты. Возникает вопрос, где взять источник света, который выдал бы в нужный момент нужное количество фотонов с одинаковой частотой? До сих пор мы убеждались, что атомы излучают фотоны, какие поглощают сами. Этого требует классический принцип теплового равновесия.

Предположим, что создана неравновесная среда, которая поглощает фотоны, но не излучает сразу, а хранит энергию некоторое время в одинаковых возбужденных электронных оболочках. Такое продлённое состояние возбуждения называют метастабильным. Если все метастабильные оболочки, как по команде, излучат разом одинаковые фотоны, то это будет то, что нужно. Следует заметить, что в водородоподобном атоме метастабильное состояние невозможно. Сферическая оболочка такого атома не способна «задерживать дыхание», она сразу излучает избыток энергии. Очевидно, здесь нужен твердый прозрачный кристалл, с примесью атомов, у которых электронные оболочки могут раздуваться, как грибообразное облако, над оболочками основных атомов. Оболочки основных атомов будут подпирать грибообразные оболочки примеси, не позволяя им достаточно долго вернуться в исходное состояние. Допустим, такой кристалл мы нашли. Но где тот «спусковой» механизм, который заставил бы все метастабильные оболочки разом излучить одинаковые фотоны?

Его нашел Эйнштейн. Изучая в научных отчетах расхождение баланса между атомами среды и внешними фотонами (из отчетов следовало, что некоторые образцы излучают больше фотонов, чем поглощают), он пришел к выводу, что кроме классического теплового излучения света в веществе присутствует дополнительный квантовый механизм, который создает избыток фотонов. Представим, что в водородоподобном атоме разрешены уровни энергии со следующими значениями: Е = -10, -6, -3, -1, -0.5 и т. д. (эВ). При высокой температуре в образце имеется достаточно атомов, в которых электроны находятся на 2-м уровне: Е2= -6 эВ. Допустим, в данный атом попадает фотон с энергией hν = 4 эВ. Согласно теории квантов, атом не может поглотить этот фотон, чтобы электрон перешел на более высокий уровень. Для 3-го уровня это много (нужно ровно 3 эВ). Для 4-го уровня это мало (требуется ровно 5 эВ). Зато энергия этого фотона в точности равна избытку энергии электрона относительно первого уровня Е1 = -10 эВ. Получив «удар» именно от фотона 4 эВ, электрон может сбросить излишек энергии 4 эВ в виде кванта 4 эВ и вернуться на 1-й уровень. В результате из атома вылетят два фотона с одинаковой энергией hν = 4 эВ.

Эйнштейн назвал этот механизм «вынужденным излучением», так как чужой фотон вынуждает возбуждённый электрон излучить свой фотон. Если эти два фотона попадут в два других атома, где имеются такие же возбужденные электроны, то после двух столкновений в пространстве появятся четыре фотона с одинаковой частотой. Учитывая скорости фотонов, за долю секунды произойдет лавинообразное размножение фотонов, причем все они будут иметь одинаковую частоту. Если эти фотоны собрать в пучок вогнутыми зеркалами и пропустить через систему линз, то теоретически все излучение будет бить в одну точку и прожигать всё на свете. Дело за малым, нужно подобрать подходящий кристалл.

Мейман использовал кристалл рубина, который состо ит из окиси алюминия с примесью хрома. Особенность рубина в том, что он содержит хром в виде трехвалентных ионов, в то время как обычно хром имеет валентность шесть. При поглощении света рубином три внешние оболочки хрома расширяются, занимая место отсутствующих. Разбухшие оболочки хрома подпираются оболочками алюминия, которые препятствуют их возвращению в исходное положение. Так обеспечивается метастабильное состояние оболочек хрома. За счет эффекта запирания время жизни метастабильных оболочек в рубине увеличивается в сто тысяч раз! Появилась надежда, что почти все атомы хрома успеют принять участие в размножении фотонов. Проблема в том, что к.п. д лазера ограничен концентрацией хрома. Она не должна быть чрезмерной, чтобы кристалл не потерял прозрачность. Поэтому мы не вправе ждать большой мощности от такого лазера. Но здесь дело принципа. Впервые в науке появилась возможность создать монохромный луч не фильтрацией солнечного света, а при помощи квантового механизма вынужденного излучения, предсказанного Эйнштейном.

В качестве источника энергии накачки Мейман использовал мощную импульсную ксеноновую лампу, изготовленную в виде трубки, завитой в спираль. Кристалл рубина в виде цилиндрика размером с карандаш закрепили внутри спирали. Зеркала для фотонов напылили на торцы кристалла. В одном из зеркал оставили окошечко для выходного луча. Лампу обмотали фольгой для лучшего отражения света внутрь. Опыт начался.

После мощнейшей вспышки лампы практически все валентные электроны атомов хрома, поглотив фотоны с длиной волны 694 нм (красный свет), перешли в метастабильное состояние, где были заперты оболочками алюминия на период времени 10-3 с. Но, согласно принципам квантовой теории, как минимум один возбужденный электрон почти сразу (через 10-8 с) должен был просочиться через электронный барьер и вернуться на нижний уровень. При этом атом хрома должен излучить фотон красного цвета, который начнёт лавинообразный процесс генерации излучения. Всё так и случилось. Уже через 10-4 с после момента вспышки все метастабильные электроны вынужденно излучили мириады фотонов и вернулись в исходное состояние. Фотоны, концентрируясь, метались вдоль оси кристалла между зеркалами, пока не сжались в сверхтонкий луч, который вышел через окно на торце рубина и прожёг дырку в мишени. Весь процесс генерации лазерного монохромного луча занял меньше одной миллисекунды. Успех был очевиден. В дальнейшем Мейман организовал коммерческое производство лазеров и стал состоятельным человеком.

Первый лазер имел небольшую мощность, всего несколько ватт. В настоящее время изобретены другие лазеры, в тысячи раз мощнее. В качестве рабочей среды в них используют кристаллы, органические жидкости и даже газы. Новые лазеры применяются для резки металла, керамики, в хирургической практике. В печати иногда появляются сообщения о боевых лазерах, но эти проекты пока находятся на стадии опытных разработок. Проблема в том, что для сбивания ракеты требуется лазерный луч с мощностью не менее 100 кВт. Это значит, что для надежной работы боевого лазера нужен генератор энергии с мощностью порядка 10 МВт. Такие генераторы имеются, но они так громоздки, что вся лазерная система пока не помещается ни в самолете, ни на танке.

§ 59. Отвечая на вероятные вопросы

Вероятны по меньшей мере два вопроса: почему нет главы о тепловой энергии и на каком основании автор позволяет себе усреднять данные, чтобы получить результат?

По первому вопросу напомним, что классическая те ория тепла (термодинамика) основана на уравнении PV = RT (59.1), где P – давление в тепловой машине, V – рабочий объем машины, T – рабочая температура машины, R – переходный коэффициент, измеряется в джоулях на градус. Учитывая, что давление измеряют в Н/м2, а объём – в м3, легко показать, что размерность [PV] = [Н/м2* м3] = [Н*м] = [Дж]. Таким образом, левая часть уравнения (59.1), которая характеризует тепловую машину, имеет размерность энергии. Это значит, что основатели тепловой теории, применив энергетический подход, получили прекрасный результат, учитывая разнообразие созданных тепловых машин, от мопедов до космических ракет. В принципе, нам к этому добавить нечего.

По второму вопросу ответ прост: на основании теоремы о среднем. Заметим, цель любых расчётов – получить число. В высшей математике этим числом является определённый интеграл. Для его вычисления принято сначала дифференцировать, затем интегрировать, искать пределы интегрирования, подставлять в формулу и т. д. Это долго и сложно. С другой стороны, известно, что определённый интеграл численно равен площади под графиком функции. Эта площадь равна произведению основания на среднюю высоту, в этом суть теоремы о среднем. А средняя высота равна половине суммы наибольшего и наименьшего значения. Элементарная геометрия понятнее высшей алгебры. Ведь наш курс называется «Понятная физика».

И.Д. Джавадов, e-mail автора имеется в редакции издательства

Оглавление

Введение, или о проблемах преподавания физики

ЧАСТЬ I Раздел I. Механика

    Глава 1. Движение частиц § 1. Частицы и поля § 2. Энергия § 3. Сила и вес § 4. Превращения энергии § 5. О размерностях физических величин § 6. Закон всемирного тяготения § 7. Невесомость § 8. Импульс силы. § 9. Об отрицательных величинах в физике. § 10. Два закона Ньютона § 11. Другие два закона Ньютона § 12. Работа в физике Глава 2. Движение тел § 13. Вращение тел § 14. Движение по окружности § 15. Проектируем центрифугу § 16. О безвозвратных потерях энергии § 17. Трение и упругость § 18. Энергия пружины § 19. Волны вокруг нас § 20. Проектируем волновую электростанцию § 21. Продольные волны § 22. Другие виды волн § 23. О древних греках Раздел II. Электричество

    Глава 3. Электрическое поле § 24. Энергия электричества § 25. Сила тока § 26. Параметры тока § 27. Ток в металлах § 28. Полупроводники § 29. Запрещённая зона § 30. Ток в полупроводниках § 31. Ток в электролитах. § 32. Законы электролиза § 33. Диэлектрики § 34. Теорема Гаусса § 35. Поле конденсатора ЧАСТЬ II Глава 4. Электрический магнетизм § 36. Опыт Эрстеда § 37. Опыт Фарадея § 38. Магнетики Глава 5. Переменный ток § 39. Получение переменного тока § 40. Уравнение переменного тока § 41. Сопротивление переменному току. § 42. Индукция и самоиндукция § 43. Принципы Максвелла § 44. Реактивные сопротивления § 45. Проектируем трансформаторы ЧАСТЬ III Глава 6. Атомы § 46. Атом водорода § 47. Разрешенные орбиты § 48. Энергия кванта Глава 7. Свет § 49. Оптические спектры § 50. Спектр атома водорода § 51. Фотоэффект Глава 8. Электронные оболочки

    § 52. В атоме водорода § 53. Атом гелия и другие Глава 9. Волна или частица? § 54. Опыт Тейлора § 55. Волна-частица или частица-волна? § 56. Гипотеза де Бройля. § 57. Море Дирака Глава 10. Заключительная § 58. Как проектировали лазер § 59. Отвечая на вероятные вопросы Fueled by Johannes Gensfleisch zur Laden zum Gutenberg