«Механика от античности до наших дней»

Механика от античности до наших дней (fb2) - Механика от античности до наших дней 3870K скачать: (fb2) - (epub) - (mobi) - Ашот Тигранович Григорьян

А.Т. Григорьян МЕХАНИКА ОТ АНТИЧНОСТИ ДО НАШИХ ДНЕЙ ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ 

ОТ АВТОРА

Эта книга адресуется не только механикам. Мне кажется, сейчас больше, чем когда-либо раньше, необходимо знакомство самых широких кругов читателей с основами механики в их историческом развитии.

Механика всегда была в центре борьбы за прогресс и соответственно в центре широких общественных интересов. На заре классической науки механика стала началом нового взгляда на мир, освобождения науки от схоластики, новой полосы культурной истории человечества. В нашем столетии классическая механика вместе с классической электродинамикой стала ступенью к новой, неклассической науке, которая оказалась движущей силой современной научно-технической революции и привлекает к себе живой интерес миллионов людей.

Сейчас трудно разобраться в новой науке и, следовательно, в движущих силах новой культуры без некоторых представлений о классической механике. Предлагаемая книга популярно излагает историю эволюции классической механики от античности до наших дней. Вначале рассматривается зарождение механики у древних греков, главным образом в натурфилософии Аристотеля, в статике и гидростатике Архимеда. Затем дается обзор развития механики на средневековом Востоке и в средневековой Европе.

Показывается выдающаяся роль в развитии механики корифеев мировой науки — Леонардо да Винчи, Галилея, Кеплера, Торричелли, Декарта, Гюйгенса, Лейбница, Ньютона, Д. Вернули, Эйлера, Даламбера, Лагранжа и др.

Рассматривается развитие механики в России во второй половине XIX и начале XX в. На рубеже XIX—XX вв. развитие механики в России было отмечено появлением ряда классических трудов крупнейших русских ученых: М.В. Остроградского, П.Л. Чебышева, С.В. Ковалевской, А.М. Ляпунова, К.Э. Циолковского, И.В. Мещерского, Н.Е. Жуковского, С.А. Чаплыгина, А.Н. Крылова и др. Воздействие идей и методов этих ученых было огромным и в значительной мере определило направление и характер современных исследований по теоретической механике.

Последняя глава посвящена развитию некоторых направлений механики в СССР за 50 лет. После 1917 г. в нашей стране в области механики было сделано значительно больше, нежели за предыдущие два столетия. Неизмеримо шире стал диапазон исследований и ускорился их темп, возникли многие новые направления, гораздо теснее стали связи механики с техникой, усложнился применяемый математический аппарат.

Историческое изложение идей механики в этой книге — без особых подробностей и специальных понятий и в то же время в достаточно конкретной форме — делает его доступным самому широкому кругу читателей.

Главы II—IV написаны совместно с М.М. Рожанской; раздел «Механика Герца» — с Л.С. Полаком, глава IX — с И.В. Погребысским.

I. АНТИЧНАЯ МЕХАНИКА

Началом расцвета механики как науки можно считать XVII век — век бурного развития математического естествознания. Именно тогда сформировались основные законы классической механики. Однако зарождение механических знаний относится к глубокой древности, а термин «механика» применялся в античном мире. Правда, ему в течение долгого времени, по крайней мере до середины XVII в., придавали иной смысл. Происходит он от древнегреческого слова mechane, которым называли все искусно придуманное, понимая при этом механическое искусство. Это относилось как к различным машинам и механизмам, так и вообще к «хитроумным» изобретениям. Слово mechane употреблялось и в более узком смысле. Первоначально оно обозначало название подъемных машин, в частности машин, с помощью которых в греческих театрах поднимали и опускали актеров, и вообще механизмов, позволяющих посредством силы поднимать значительные тяжести на достаточно большую высоту.

Позже этим словом стали называть различные метательные машины, применявшиеся в античной технике.

В настоящее время теория машин и механизмов является одним из разделов механики, а название «механика» распространено на науку о всех видах механического движения.

Историю механики как науки о машинах и механизмах можно начинать с очень глубокой древности. Уже в эпоху неолита и бронзового века появилось колесо, несколько позже применяются рычаг и наклонная плоскость. Регулярное применение рычага и наклонной плоскости начинается в связи со строительными работами в древневосточных государствах. И, разумеется, все это время шел процесс выработки, осознания ряда более или менее абстрактных понятий, таких, как сила, сопротивление, перемещение, скорость.

Народы, создавшие великие цивилизации в бассейнах Нила, Тигра и Евфрата, были хорошо знакомы с такими механическими орудиями, как рычаг и клин. Первые египетские пирамиды строились примерно за три тысячи лет до нашей эры. На сооружение самой высокой из них — пирамиды фараона Хуфу (Хеопса) пошло 23 300 000 каменных глыб, средний вес которых равен 2,5 т. При сооружении храмов, колоссальных статуй и обелисков вес отдельных глыб достигал десятков и даже сотен тонн. Такие глыбы из каменоломен доставлялись на место сооружения храма на специальных салазках. В каменоломнях для отрыва каменных глыб от породы служил клин.

Подъем тяжестей осуществлялся с помощью наклонной плоскости. Например, наклонная дорога к пирамиде Хафра (Хефрена) имела подъем 45,8 м и длину 494,6 м. Следовательно, угол наклона к горизонту составлял около 5,3°, и выигрыш в силе при поднятии тяжестей на эту высоту был значительным. Для облицовки и пригонки камней, а возможно, и при подъеме их со ступеньки на ступеньку применялись качалки. Для поднятия и горизонтального перемещения каменных глыб служил также рычаг. С древнейших времен был известен в Египте и рычаг для подъема воды (шадуф).

Ирригационные сооружения междуречья Тигра и Евфрата (Древний Вавилон), Средней Азии (Древний Хорезм, Согдиана) и Ирана, высокий уровень строительной техники, о котором свидетельствуют многочисленные памятники этой эпохи, позволяют предположить, что при их постройке также использовались «простые машины»: рычаг, клип, наклонная плоскость. С давнего времени (и почти до наших дней) в ирригационных сооружениях Средней Азии для подъема воды служил чигирь — усовершенствованный вариант египетского шадуфа.

Однако до нас не дошел ни один древнеегипетский или вавилонский текст с описанием действия подобных машин. Поэтому остается открытым вопрос, были ли известны тогда, например, свойства рычага, которые греки позднее выразили при помощи пропорций, ныне знакомых каждому школьнику. То же относится к древней Средней Азии и Ирану, где письменные источники практически не сохранились: найдены лишь небольшие фрагменте древнехорезмийских и согдийских рукописей. Основная масса их была уничтожена во время арабского завоевания Средней Азии в VIII в. н. э.

Таким образом, механику Древнего Востока можно отнести к предыстории современной механики. Этот период предыстории характеризуется применением результатов накопленного практического опыта, и эти результаты, видимо, не подвергались теоретической обработке.

Известно, однако, что некоторой теоретической обработке в Древнем Вавилоне подвергались результаты астрономических наблюдений. С точки зрения истории механики значительный интерес представляют вавилонские методы вычисления параметров движения небесных тел, которые реконструированы, правда, на основании изучения вавилонских астрономических текстов достаточно поздней эпохи — эпохи Селевкидов (III—I вв. до н. э.). Это таблицы эфемерид Солнца, Луны и планет, содержащие константы периодического движения светил.

Так как наблюдательные инструменты вавилонян не могли гарантировать точность даже в секундах, а данные таблиц имеют точность до терций, естественно предположить, что вавилонские астрономы обрабатывали результаты наблюдений таким образом, чтобы представить их в виде арифметических рядов, соответствующих ступенчатой и линейной зигзагообразной функциям. На таком уровне научного мышления представление о скорости движения должно было принять достаточно абстрактный характер.

Характер античной механики определялся экономическими основами рабовладельческого хозяйства. Развитие рабства в Греции явилось предпосылкой для более широкого разделения труда в производстве. До известного периода это обеспечивало более быстрый рост техники и производительных сил, рабовладельцы же получили досуг для интеллектуальной деятельности. Однако рабовладельческое хозяйство содержало в себе элементы, тормозившие дальнейший рост техники. Рабам в основном поручались такие примитивные работы, которые или вообще не требовали орудий труда, или выполнялись крайне грубыми орудиями, так как раб, низведенный сам до степени орудия труда, не был заинтересован пи в сохранности, ни в совершенствовании этих орудий.

Таким образом, из особенностей рабовладельческой экономики вытекали примитивный характер античной техники и ее медленная эволюция. К рычагу и клину в эллинистическую эпоху, начавшуюся на рубеже IV—III вв. до п. э.7 добавляются еще блок и винт. В виноделии и маслоделии использовался пресс, как рычажный, так и основанный на принципе вдавливаемого клина, а затем винтовой. Для подъема и горизонтального передвижения тяжестей греки и римляне применяли ворот — с горизонтальной осью в первом случае и с вертикальной — во втором. В строительном деле употреблялись также блоки и системы блоков — полиспасты. Вращательные движения преобразовывали с помощью систем зубчатых колес. Более сложные механические орудия (водяное колесо, червячная передача, винт, насос, и т. д.) применялись сравнительно редко — рабский труд препятствовал распространению механических приспособлений.

Однако в античном мире были виды деятельности, не связанные или почти не связанные с применением рабского труда. Это военное и морское дело, потребностями которых в значительной степени определялось развитие античной техники. На греческих и римских судах, как гражданских, так и военных, рабы использовались лишь в качестве гребцов. Более ответственные операции — управление рулями, парусами и т. д. — были делом свободных граждан.

Уровень развития техники в военном деле (особенно в эллинистический и римский периоды) был значительно выше, чем в сельском хозяйстве. Уже в V в. до н. э. (Пелопонесская война) в афинской армии применялись тараны, которые достигали гигантских размеров. Для метания больших стрел пользовались катапультами; прототипом пулемета был полибол для непрерывного метания стрел; баллисты служили для метания камней. С их помощью ядро в 4 фунта могло быть брошено на расстояние до 300 м. Существовали специальные прицельные приспособления и приборы для изменения траектории.

Очень важным видом деятельности, способствующим развитию техники и механических приспособлений, явилось ремесленное производство, которое (особенно в Греции и эллинистическом мире) было в значительной степени уделом свободных граждан. Именно с ремесленным производством связана разработка различных способов поднятия и перемещения тяжестей при помощи механических приспособлений, «хитроумных устройств», в ткацком, гончарном, ювелирном деле и т. д., т. е. всего того, что, пользуясь современной терминологией, можно объединить в понятие «техническая механика».

Значительным стимулом совершенствования механических устройств было развитие торговли (как внутренней, так главным образом и международной), связанной с применением золота в качестве менового эквивалента и распространением драгоценных камней. Это способствовало использованию рычага в различных его видах, так как торговые операции требовали более точных способов взвешивания. Появляются весы и безмены самых разнообразных конструкций: с перемещающейся точкой опоры, с неподвижной точкой опоры, но перемещающимся грузом и т. д. Практика взвешивания грузов на безменах основывалась на эмпирическом знании закона рычага, и сама она в свою очередь доводила эти законы до степени очевидности. Устройство безмена было основано на твердом убеждении, что двойному грузу, подвешенному к одному плечу рычага (с неподвижной точкой опоры и постоянным но величине противовесом), соответствует вдвое большее удаление противовеса от точки опоры.

Принципиально новым для античной механики по сравнению с научными достижениями Древнего Востока было то, что наряду со стихийным применением результатов многовекового практического опыта появляются и механические теории.

Характерной чертой античной механики является разобщенность учения о движении — кинематики и учения о равновесии — статики. Развитие этих основные областей механики в течение длительного времени (вплоть до XVII в. — периода объединения их в единую науку) шло независимо друг от друга. И это в значительной мере предопределено традициями античной науки. Учение о движении разрабатывалось в рамках общего учения о природе: вопрос о сущности движения был одной из фундаментальных проблем древнегреческой философии. Чисто кинематическое описание движений стало делом астрономов, создававших и достаточно сложные инструменты для своих наблюдений и измерений, и механические модели мироздания: движение небесных тел, согласно общепринятым в античной науке взглядам, не требовало причинных объяснений. Учение о равновесии развивалось на основе опыта применения различных приспособлений.

Таким образом, есть основание выделить три направления и три линии развития в теоретической механике античного мира, которая зародилась в Древней Греции в VI—V вв. до н. э. и развивалась затем в эллинистических государствах и в созданной римлянами империи примерно до V в. н. э. Статика была почти непосредственно связана с техническими запросами; ее основными проблемами был расчет выигрыша в силе, достижимого с помощью известных механических приспособлений, и вывод условий равновесия при взвешивании и плавании тел. Кинематическое направление находилось, по крайней мере в эллинистическую эпоху, в русле астрономической традиции, к тому времени имевшей многовековую историю. В обеих этих областях был достигнут достаточно высокий уровень математизации этой науки — с использованием геометрии, тригонометрии и методов инфинитезимального характера. Общее учение о движении, чем занимались философы, было в основном качественной теорией. Оно в соответствии с установками главных философских школ эпохи оставляло в стороне количественную сторону дела и искало объяснения механических явлений, опираясь на повседневный опыт и наблюдения, путем сравнений и сопоставлений.

Наиболее ранние сочинения античных авторов, содержащие механические теории, не сохранились. Однако несомненно, что большинство этих теорий посвящено проблемам статики и что их основой служил принцип рычага. Известно, что Архит Тарентский (ок. 428—365 г. до и. э.) разрабатывал теорию блока полиспастов, но результаты его исследований до нас не дошли. Ему же некоторые античные авторы приписывают изобретение винта. Изобретение бесконечного винта для подъема и передвижения тяжестей и бесконечного водоподъемного винта связывают с именем Архимеда. По-видимому, появление винта вызвало постановку новых технических и математических проблем. Однако, если следовать хронологии источников, надо начинать не с Архимеда, а с философов Древней Греции.

Уже на ранних стадиях развития греческой философии можно обнаружить зачатки двух принципиально различных механических концепций, которые можно назвать кинетической и динамической.

Основные положения динамической концепции древних сводились к следующему: материи чуждо самодвижение — сама по себе она может пребывать лишь в покое; движение материи определяется действием на нее активных движущих начал — сил, существующих независимо от нее и действующих извне. По Эмпедоклу, например, материя приводится в движение двумя противоборствующими мировыми силами: любовью и враждой.

Напротив, с точки зрения кинетической концепции в природе нет каких-либо особых начал движения, не связанных с материей: материи свойственно самодвижение. Наиболее последовательными представителями античного кинетизма были атомисты — Левкипп, Демокрит, Эпикур и Лукреций. Принцип механического самодвижения материи в общей форме выражен в их учении о несоздаваемости и неразрушимости материи и движения. Согласно атомистам, природа ничего не содержит, кроме материи, движущейся в пустом пространстве.

Яркое и определенное выражение идея вечности и неуничтожаемости движения нашла у Гераклита Эфесского (ок. 530 г. — ок. 470 г. до н. э.). Гераклит учил, что все существующее в природе возникает из вечно движущегося огня. Огонь Гераклита нужно понимать не в смысле обычного пламени, но как некую огнеподобную первооснову вещей. Мир как совокупность вещей сотворен не богом или человеком, а был, есть и будет вечно живым огнем, закономерно воспламеняющимся и закономерно угасающим. Об этом фрагменте Ленин замечает: «Очень хорошее изложение начал диалектического материализма».{1}

Учение о вечности движения вызвало реакцию со стороны Парменида и других философов элейской школы, которые считали, что это учение делает невозможным познание, ибо о там, что меняется, нельзя сказать ничего определенного. Элеаты утверждали, что истинное бытие неподвижно и находится вне времени и пространства, а наши представления о пространстве, времени и движении противоречивы и сложны. Это положение защищалось мастером древней диалектики Зеноном в его знаменитых «Парадоксах». Наибольшее же влияние на дальнейшее развитие механики оказало учение Аристотеля.

В аристотелевской натурфилософии фундаментальное место занимает учение о движении. Его сочинения «Физика», «О небе», «О возникновении и уничтожении», «О метеорах» и отчасти «Метафизика» содержит достаточно полное изложение общих понятий механики.

Движение он понимает в широком смысле, как изменение вообще, различая изменения качественные, количественные и изменения в пространстве.

Кроме того, в понятие движения он включает психологические и социальные изменения — там, где речь идет об усвоении человеком технических знаний или об обработке материалов. Понятие движения включает в себя также переход из одного состояния в другое, например из бытия в небытие. Механическое движение, т. е. изменение в пространстве, Аристотель рассматривает, таким образом, как частный случай движения вообще.

Не удовлетворяясь учением о механической причинности, развивающимся древними атомистами, Аристотель различал четыре вида причин: материальную, действующую (или причину движения), формальную pi финальную (цель, или «ради чего»). В первой книге «Метафизики» Аристотель отмечает, что до него ученые указывали на материальную причину (ионийские натурфилософы), затем добавили причину движения (элеаты, Эмпедокл и Анаксагор) и, наконец, некоторые говорили о формальных причинах, признавая идеи за начала вещей (школа Платона), но лишь он впервые указал на цель (или «ради чего») как на четвертую причину образования вещей. Эти телеологические моменты физического учения Аристотеля впоследствии были раздуты средневековой схоластикой.

АРИСТОТЕЛЬ

(384—322 до н. э.)

Древнегреческий мыслитель. Его сочинения охватывают все современные ему области знания. Аристотель оказал огромное влияние на последующее развитие научной и философской мысли. Его труды на протяжении многих веков были важным источником теоретической мысли и научного знания

На основе различения четырех причин Аристотель ставит вопрос об источнике движения. Материя сама по себе является пассивным началом и низшим по отношению к форме: ей чуждо самодвижение. Согласно учению атомистов, в пустоте тела могут сохранять наличное движение само по себе, без внешних импульсов. Напротив, в учении Аристотеля центральным пунктом является идея косности, пассивности материи. На первый план выдвигается различие между движимым и движущим. Даже в самодвижущихся одушевленных телах Аристотель различал движимое и движущее. Они также требуют наличия чего-то движущего; разница лишь в том, что неодушевленные тела имеют источник движения вовне, в то время как самодвижущееся тело имеет такой источник в самом себе. Аристотель выделяет движения прямолинейные, или ограниченные, и круговые, или неограниченные. Круговое движение, которое он считает «совершенным», свойственно небесным телам. Далее Аристотель различает два вида движений: «естественное» и «насильственное». «Естественные» движения совершаются сами собой, без всякого вмешательства извне. «Насильственные» движения для своего осуществления требуют такого вмешательства.

Для объяснения причины «естественного движения», не связанного с движением небесных тел[1], Аристотель вводит понятие «естественного места». Стремление к «естественному месту» заложено в каждом теле, совершающем «естественное движение». Каждому роду тел свойственно свое «естественное место»: для тяжелых тел это Земля, поэтому они на нее падают, а для легких — огонь, т. е. расположенная над воздухом огненная сфера, поэтому они поднимаются вверх. Если какое-либо тело переместить из его «естественного места», оно будет стремиться назад, совершая прямолинейное движение. Небесным телам свойственно стремление к «совершенному» круговому движению.

Для «естественных» движений это нечто, присущее самому телу, а для «насильственных» — внешняя причина движения.

Под силой Аристотель понимает всякую способность, поскольку последняя может быть причиной начала действия или противодействия. «Движущая сила» в «насильственном движении» зависит от «активности» источника движения, т. е. от степени приложенной к движущемуся телу мускульной энергии человека или животного.

Сила для Аристотеля — причина движения, и она должна непрерывно поддерживать движение[2]. Но тогда возникает вопрос: чем же поддерживается движение в телах, оторвавшихся от того, что их двигало, т. е. силы, которая сообщила им движение? Аристотель отмечает, что когда мы толкаем по плоскости тело, например шар на столе, то одновременно приводим в движение и окружающий его воздух. В образующуюся за движущимся шаром пустоту устремляется воздух и как бы подталкивает его. По этой причине шар не останавливается мгновенно после прекращения действия силы, а некоторое время движется вследствие воздействия окружающей среды. Воздушная среда в данном случае является активным началом движения, ибо, не будь ее, тело должно было бы мгновенно прийти в состояние покоя.

В отличие от элеатов Аристотель считает движение вечным. «Невозможно допустить, чтобы не было движения… Движение необходимо существует всегда»{2}. Но он расходится и с древними атомистами: материя не самодвижима. Различая движущее и движимое, Аристотель утверждает, что «одни из существующих предметов неподвижны, другие всегда движутся, третьи причастны к покою и движению»{3}.

Предположим теперь, что движение тела Ах обусловлено движением тела А2, движение тела А2 — движением тела А3 и т. д. Чтобы не продолжать без конца этот процесс, полагал Аристотель, мы должны признать существование первого двигателя, который должен быть либо неподвижным, либо самодвижущимся. В последнем случае нужно различить в нем движимую и движущую части. А так как двигатель в самодвижущемся теле уже ничем не приводится в движение, то сам он должен быть неподвижным, и, следовательно, если рассматривать цепь, в которой всякое последующее звено представляет движимое, то первое звено этой цепи должно быть извечным «первичным неподвижным двигателем»{4}.

Первичный неподвижный двигатель, по Аристотелю, порождает простые, однородные, непрерывные и бесконечные движения. Вращательные движения небесных сфер являются примером таких вечных непрерывных и совершенных движений.

Существование неподвижных вечных двигателей аргументируется также ссылкой на вечность движения: если бы не существовало первых начал движения, неподвижных и вечных по своей природе, то движение не могло бы быть вечным.

Таким образом, вечным у Аристотеля является только вращательное движение небесных сфер, да и оно не мыслится без первого двигателя. В земных же условиях движение (местное движение) происходит по упомянутому уже принципу, ставшему догмой средневековой науки: «с прекращением причины прекращается ее следствие». Поэтому как между движением небесных и земных тел, так и между состояниями движения и покоя проводится строгое разграничение — в полном соответствии, заметим, с данными повседневного, «житейского» опыта и наблюдений.

У Аристотеля мы находим и соображения, дающие основание для количественного определения силы. Для того чтобы лучше разобраться в сути дела, введем некоторые современные термины и обозначения. То, что Аристотель называет движущим, мы будем называть силой и обозначать буквой f. Величину движимого будем называть весом, или сопротивлением движимого тела[3], и обозначим буквой p. Тогда приводимые ниже рассуждения Аристотеля сведутся к следующему: сила пропорциональна произведению скорости тела, к которому она приложена, на его вес, т. е.

f = pv = p∙s/t,

где s — пройденный путь, t — соответствующее время, а v — скорость[4].

Текст самого Аристотеля (с использованием только что указанных обозначений) примет такой вид: «В равное время t сила, равная f, продвинет половину p на двойную длину s, а на целое s в половину времени t. Такова будет пропорция. И если одна и та же сила движет одно и то же тело в определенное время на определенную длину, а половину — в половинное время, то половинная сила продвинет половину движимого тела и в то же время на равную длину»{5}.

Заметим тут же, что в силу соблюдения «принципа однородности» наше определение скорости (средней) v = s/t было чуждым античной науке. Для сравнения скоростей тел сопоставляли либо расстояния, пройденные ими за одинаковое время, либо промежутки времени, за которые пройдено было одинаковое расстояние. Соответственно Аристотель вводит понятие «равноскорого» движения, при котором тело «в равное время движется одинаково». «Равноскорым, — говорил он, — является то, что в равное время продвинулось на равную величину», и «…необходимо более быстрому в равное время двигаться больше, в меньшее время — одинаково»{6}.

В «Физике» Аристотеля рассматривается и вопрос о сопротивлении движению (перемещению) со стороны среды, в которой движется тело, и со стороны тела.

«Чем бестелеснее среда, через которую происходит движение, чем меньше она показывает сопротивления и чем легче разделима, тем быстрее перемещение»{7}.

Условием возможности движения является превосходство силы P над сопротивлением движению г, связанным с телом. Если сила P в определенное время t переместит тело с сопротивлением г на расстояние s, то это не значит, что Р/2 продвинет тело с сопротивлением r на s/2 или что Р способна переместить тело с сопротивлением 2r на вдвое меньшее расстояние s/2. При этом может случиться, что никакого движения не произойдет. «Иначе, — замечает Аристотель, — и один человек мог бы двигать судно, если только силу гребцов и длину, на которую они все двигали его, разделить на их число»{8}.

Следовательно, заключает он, отношение скоростей становится бесконечно большим, когда сопротивление оказывается равным нулю, а последнее возможно только в пустоте. «Для пустоты не существует никакого пропорционального отношения, в каком она (по своей тонкости) превосходила бы тело, так же как и нуля по отношению к числу»{9}. Так как «пустота не стоит ни в каком отношении с наполненной средой, то не существует никакого отношения и между скоростями. «Если через тончайшую среду тело проходит во столько-то времени такую-то длину, то, двигаясь через пустоту, оно превзойдет всякую пропорцию»{10}.

Таким образом, всякое движение возможно лишь в наполненном пространстве, так как в пустоте оно происходило бы мгновенно. Поэтому Аристотель отвергает существование пустоты.

Второй аргумент в пользу невозможности пустоты Аристотель выдвигает, обращаясь к изучению падения тел, «естественного» движения, обусловленного стремлением тяжелого тела к своему «естественному месту». Согласно учению Аристотеля, четыре стихии (земля, вода, воздух и огонь) расположены во Вселенной концентрически и таким же образом расположены их «естественные места». Все, за исключением огня, имеет «тяжесть», находясь в своем «естественном месте». Если же вышележащая стихия насильственно перемещена в нижележащую, она проявляет стремление к своему «естественному месту», т. е. приобретает «легкость». Так Аристотель объясняет, почему одни и те же тела (например, дерево) опускаются в воздухе и всплывают в воде. Однако в своих рассуждениях он почти не обращается к рассмотрению движения «легких» тел, а интересуется движением брошенных или падающих «тяжелых» тел, с которым связывает вопросы скорости и ее возрастания. Скорость падения тела в разных средах в силу изложенного выше обратно пропорциональна «тяжести» тела. Аристотель считал, что из двух тел одинакового объема и формы падает в воздухе быстрее то, у которого больше «тяжесть». «Тела, имеющие большую силу тяжести или легкости, если они в остальном имеют одинаковую фигуру, скорее проходят равное пространство в том пропорциональном отношении, в каком указанные величины находятся друг к другу»{11}. Различие скоростей падения в материальной среде обусловлено только тем, что более «тяжелые» тела одинакового объема и формы легче «разделяют среду своей силой». Если же рассматривать движение тела в пустоте, то это условие отпадает. Следовательно, в пустоте все тела должны иметь равную скорость, но это невозможно.

В соответствии с этим ни Аристотель, ни его последователи не рассматривали падения тела в пустоте, так как для них пустота является физическим абсурдом. Когда Аристотель говорит о различной скорости падения, он всегда имеет в виду падение в различных средах. Поэтому он отвергает учение атомистов о существовании абсолютно пустого пространства, независимого от находящихся в нем тел и индифферентного ко всякого рода их взаимодействиям. Пространство, понимаемое как чистое протяжение и являющееся пассивным вместилищем тел, несовместимо, по мнению Аристотеля, с понятием движения. Пространство для него — величина, непрерывная по протяженности, а время — величина, непрерывная по последовательности.

Пространство Аристотеля — физическое пространство, свойства и сущность которого связаны с физическим бытием материи. Аристотель определяет «место» не как объем, занимаемый телом в абсолютном, т. е. существующем независимо от тел, пространстве, а как границу объемлющего тела, т. е. тела, соприкасающегося с объемлемым. Место, по Аристотелю, не может быть чем-то принадлежащим предмету. Оно не может быть ни его материей, ни формой, ибо и материя, и форма неотделимы от предмета, в то время как место меняется в процессе движения. О месте в строгом смысле можно говорить лишь при наличии двух тел: объемлющего и объемлемого. Пространство, рассматриваемое как совокупность мест, является наполненным; там, где есть место, должно быть наполненное пространство, ибо место и есть не что иное, как граница объемлющей материальной среды. К пустоте понятие места вообще неприменимо. Земля и небесные тела, отдельно взятые, находятся в известных местах, ибо они окружены мировым эфиром, но мир в целом, сферическая Вселенная античной астрономии, «не находится в месте», так как за пределами этой Вселенной нет больше ничего.

Аргументы атомистов в защиту пустоты Аристотель отводил следующим образом: «Они утверждают, во-первых, что иначе движения по отношению к месту, т. е. перемещения и увеличения, не было бы: нельзя предполагать движения, если не будет пустоты, так как наполненное не имеет возможности воспринять что-либо»{12}. «Но нет никакой необходимости, — отвечает Аристотель, если существует движение, признавать пустоту… Это относится только к перемещению, так как тела могут уступать друг другу место одновременно при отсутствии какого-либо отдельного промежутка наряду с ними»{13}.

С точки зрения Аристотеля, пустое пространство атомистов является лишь абстракцией чисто геометрических свойств реального физического пространства. Интересно его указание, что если стать на позицию Демокрита, то это с необходимостью повлечет признание неприемлемой для аристотелизма инерции движения. Аристотель пишет: «Никто не может сказать, почему тело, приведенное в движение (в пустоте), где-нибудь остановится, ибо почему оно скорее остановится здесь, а не там. Следовательно, ему необходимо или покоиться, или бесконечно двигаться, если только не помешает что-нибудь сильное»{14}. И далее: «Но каким же образом может быть движение по природе, если нет никакого различия в пустоте и в бесконечности; поскольку имеется бесконечность, ничто не будет ни вверху, ни внизу, ни посредине, поскольку пустота — не будет различия между верхом и низом»{15}.

Аристотель отвергает учение элеатов об абсолютной неподвижности истинного бытия. «Утверждать, что все покоится, и подыскивать обоснования этому, оставив в стороне свидетельство чувств, будет какой-то немощью мысли и спором… не только против физики, но, так сказать, против всех наук и всех учений, так как все они пользуются движением»{16}.

Отвергая существование пустого пространства, Аристотель отвергал и существование «чистого», или «пустого», времени. Вместе в тем он проводил тонкие различия между временем и движением.

Анализируя понятие времени, Аристотель замечает, что некоторые неправильно принимали круговращение неба за само время; в действительности это круговращение служит средством для измерения времени. Если движение не может быть без времени, то и время не существует без движения. «Время не есть движение, но и не существует без движения». Если бы не было изменений, не было бы и времени. При отсутствии изменений все «теперь» были бы тождественны, следовательно, все пребывало бы в едином и нераздельном «теперь». Что же такое время? Так как «мы вместе ощущаем и движение и время», то «время есть или движение, или нечто, связанное с движением». Но время отлично от движения, так как движения могут иметь различную скорость и, следовательно, они должны измеряться временем. Время же есть «число движений» или «мера движения»{17}.

К эпохе античности относится выделение статики в особую теоретическую дисциплину, которую древние называли «искусством взвешивать» и ставили рядом с арифметикой («искусством считать»).

Статика принадлежала к тем естественнонаучным дисциплинам, которые в Древней Греции подвергались наибольшей математизации. Ярким примером этого может служить статика Архимеда, созданная по образцу геометрии Евклида.

К античной эпохе восходит зарождение двух направлений в статике: кинематического и геометрического.

Первое направление, как видно, возникло из практики пользования простыми механизмами (рычагом, наклонной плоскостью и др.) для передвижения и поднятия грузов. При этом законы равновесия тел изучались путем рассмотрения того, что происходит при нарушении равновесия, например рассматривали неуравновешенный рычаг, т. е. рычаг в движении. Вывод основных теорем статики в этом случае был связан со скрыто или явно принимаемыми допущениями из области динамики.

Второе направление развивалось в связи с расчетом равновесия архитектурных конструкций: балок, плит и т. п., подпертых в одной или нескольких точках, а также равновесия подвешенных тяжелых тел, т. е. всевозможных видов весов (но в таких вопросах использовались и кинематические соображения). При исследовании стремились свести задачу к схеме неподвижного и уравновешенного рычага. С геометрическим направлением статики связано возникновение понятия центра тяжести.

Начало кинематического направления в статике восходит к «Механическим проблемам» псевдо-Аристотеля, геометрическое направление связано прежде всего с именем Архимеда.

«Механические проблемы» — самое давнее дошедшее до нашего времени античное сочинение собственно по механике. Долгое время оно приписывалось Аристотелю.

На самом же деле «Механические проблемы» были написаны в начале III в. до н. э. в эллинистическом Египте. На это указывает, например, упоминание о приводящих друг друга в движение бронзовых или железных колесах в святилищах: такие колеса находились в египетских храмах.

Трактат состоит из 36 глав и содержит перечисление и описание ряда механизмов: рычага, колодезного журавля с противовесом, клещей, клина, топора, кривошипа, вала, колеса, катка, полиспаста, гончарного круга, руля и т. д. Не только задачи, но нередко и их решения даются в форме вопросов, т. е. лишь намечаются или даются предположительно.

Центральная тема трактата — принцип рычага, который автор рассматривает как универсальный принцип статики. Поэтому основным содержанием «Проблем» является описание различных видов рычага, к которым сводятся описанные механизмы. Так, например, автор говорит: «Почему два человека, неся одинаковую тяжесть на шесте или на чем-либо подобном, испытывают одинаковую нагрузку только тогда, когда груз находится посредине, и испытывают нагрузку тем большую, чем ближе груз к одному из несущих? Не потому ли, что шест при этих условиях становится рычагом, груз — гипомохлием (точкой опоры) и из носильщиков — тот, кто находится ближе к грузу, становится грузом, приводимым в движение, а второй — грузом, приводящим в движение? Ведь чем дальше этот второй находится от переносимого груза, тем легче он движет и тем более давит книзу на другого, как если бы налегающая тяжесть давила в противоположном направлении и стала гипомохлием. А если груз помещается в середине, то один не оказывается тяжестью для другого и не движет другого, и тот и другой уравновешиваются взаимно»{18}. Здесь мы встречаем следующий вопрос: «Почему малый руль, привешенный на корме корабля, имеет столь большую силу?… Быть может, потому, что руль есть рычаг, а рулевой есть то, что приводит его в действие? Стало быть, место, где он прикреплен к кораблю, становится точкой опоры, руль в целом — рычагом, море — грузом, а рулевой — движущей силой».{19}

Попытка более широкого обобщения сделана уже па первой странице сочинения. «Механические проблемы» начинаются словами: «Удивление вызывают из происходящих сообразно природе те явления, причина которых остается неизвестной, а из происходящих вопреки природе те, которые производятся искусством на благо людям… Таковы случаи, когда меньшее одолевает большее и обладающее малой силой приводит в движение большие тяжести, и вообще почти все те проблемы, которые мы называем механическими». И несколько далее: «К затруднениям подобного рода относятся и вопросы о рычаге, ибо кажется несообразным, что большая тяжесть приводится в движение малой силой, и это при еще большей тяжести. Ведь без рычага привести в движение такую тяжесть нельзя, а прибавив тяжесть рычага, можно привести в движение быстрее. Начало причины всего этого заключено в круге, и недаром: ибо вполне оправдано, если что-либо удивительное происходит от чего-то еще более удивительного. Но наиболее удивительно совместное возникновение противоположностей, а круг слагается из таковых. Ведь он сразу же возник из движущегося и покоящегося, чьи природы противоположны друг другу»{20}.

Основная часть рассуждений автора сводится к тому, чтобы показать, что один и тот же груз движется тем быстрее, чем дальше он находится от точки опоры рычага, т. е. плечо рычага описывает тем большую дугу, чем оно длиннее.

«Многое удивительное происходит с движениями кругов оттого, что на одной и той же линии, проведенной из центра, ни одна точка не движется с равной скоростью, но всегда более далекая от неподвижного конца движется быстрее…»

Круговое движение точки рассматривается как состоящее из двух движений: тангенциального «сообразно природе» и центростремительного «вопреки природе», которое отклоняет точку от ее естественного прямого пути; отклоняющее движение «вопреки природе» в большом круге меньше, чем в малом. Поэтому за один и тот же промежуток времени точка, более удаленная от центра круга, будет двигаться быстрее и опишет большую дугу, чем менее удаленная.

Далее автор переходит к рассмотрению общего закона рычага, показывая, что равновесие грузов P1 и Р2 на его концах зависит от скоростей v1 и v2, которые грузы получают при перемещении концов. Свойство рычага связывается со свойством коромысла весов. Весы рассматриваются как прямой равноплечий рычаг первого рода.

Это подтверждает предположение, что закон рычага, по всей вероятности, был практически осознан прежде всего при взвешивании грузов на коромысловых весах (безменах).

«Почему малые силы, как уже было сказано вначале, движут при помощи рычага большие грузы, несмотря на прибавление веса рычага? Ведь легче двигать меньшую тяжесть, а она меньше без рычага. Не оттого ли, что причиной является рычаг, который представляет собой коромысло весов, имеющее веревку снизу и разделенное на неравные части? В самом деле, точка опоры рычага становится здесь заменой веревки, поскольку и та и другая остаются неподвижными в качестве центра. А так как под действием разных тяжестей быстрее движется большая линия, проведенная из центра (в рычаге же имеются три вещи: точка опоры, веревка и центр, во-первых, и, во-вторых и в-третьих, две тяжести — движущая и движимая), то поэтому приводимая в движение тяжесть так относится к приводящей в движение, как одна длина к другой, но в обратном отношении; ведь всегда, чем дальше она отходит от точки опоры, тем быстрее движется. Причина же заключается в сказанном раньше: дальше уходящая из центра описывает больший круг. Таким образом, при одной и той же силе движущая тяжесть, дальше отстоящая от точки опоры, пройдет больше».

Таким образом, если груз А закреплен на конце рычага, то вращать этот груз тем легче, чем дальше от точки опоры движущий груз В. Этот факт автор «Механических проблем» связывает с тем, что движущий груз, укрепленный на большом плече, будет иметь большую скорость v и по отношению к движимому, а следовательно, и больший путь.

Большинство остальных глав трактата посвящено применению правила рычага и решению разнообразных технических задач. Рассматриваются действие гребного весла и руля, действия колес тачки и колесницы, военных метательных машин, условия равновесия тяжелой балки на одной опоре (плечо носильщика) и т. д.

Большой интерес вызывают соображения автора «Механических проблем» о сложении движений. Можно думать, что принцип параллелограмма скоростей и перемещений как в форме сложения, так и в форме разложения движений был известен древним ученым в достаточно развитом виде. В «Механических проблемах» говорится: «Большая линия в равное время описывает больший круг, ибо наружный круг больше внутреннего. Причина этого заключается в том, что линия, описывающая круг, перемещается двумя движениями. Итак, когда она перемещается при определенном соотношении между обоими, она движется необходимо по прямой, и эта прямая становится диагональю той фигуры, которая образуется из линий, сочетаемых в указанном соотношении»{21}.

Анализ способа построения касательной к спирали в книге Архимеда «О спиралях»{22} говорит о том, что Архимеду также был известен закон сложения скоростей. Наконец, вся эллинистическая астрономия при описании движений небесных тел основывается на правилах сложения круговых движений.

Архимед — подлинный основатель теоретической статики и гидростатики.

Уже на самых первых этапах научной деятельности, по-видимому, механика интересовала Архимеда больше всего, причем переход к теоретическим обобщениям шел от чисто прикладных вопросов. Но и позже, помимо теоретических исследований в области математики, физики и механики, Архимед занимался вопросами прикладной механики, в частности в связи с потребностями обороны его родного города Сиракузы. Он обогатил античную технику большим количеством замечательных изобретений. Древние авторы приписывали Архимеду изобретение так называемой улитки — водяного винта, служившего для поливки полей в Египте (правильнее говорить в этом случае об его усовершенствовании). Рассказывают также, что при помощи механических приспособлений Архимед передвигал по суше тяжело нагруженный корабль сиракузского тирана Гиерона. Свидетельства древних расходятся в том, каковы были эти приспособления: одни говорят о рычаге, другие — о полиспасте, третьи — о зубчатых колесах, четвертые — о колесах, т. е. указывают почти все так называемые простые машины. Во время осады Сиракуз римлянами, по рассказу Плутарха (в биографии Марцелла), жители города применяли для обороны военные машины, сооруженные по указаниям Архимеда: орудия, метавшие снаряды, поворотные краны («клювы»), низвергающие огромные камни на вражеские корабли, привязанные к цепям железные лапы, которые захватывали нос корабля и ставили корабль вертикально на корму.

АРХИМЕД (ок. 287—212 до н. э.)

Древнегреческий математик и механик. Родился и большую часть жизни прожил в Сиракузах (Сицилия); был убит римлянами при взятии Сиракуз. Архимед установил законы рычага, открыл закон гидростатики, носящий его имя

Из сочинений Архимеда, посвященных механике, до нас дошли трактаты в двух книгах «О равновесии плоских фигур, или О центрах тяжести плоских фигур», трактат «О плавающих телах», также в двух книгах, и «Эфод, или Послание к Эратосфену о механических теоремах».

Первыми сочинениями Архимеда по механике были «Книга опор» и «О весах». Поскольку они до нас не дошли, об их содержании можно судить лишь по ссылкам в более поздних работах Герона и Паппа, а также по комментариям Евтокия и Симпликия{23}. Анализ упомянутых сочинений показывает, что во время их написания Архимед еще не знал, что вес тела можно считать сконцентрированным в его центре тяжести, хотя и пользовался последним понятием. Понятие о центре тяжести появилось у Архимеда в итоге практического изучения распределения груза между опорами. Рассматривая давление балки на опоры, Архимед приходит, правда, к неверным результатам, но отсюда он перешел к одноопорной балке — рычагу. Эти ранние работы интересны тем, что в них кроме понятия центра тяжести появляется и понятие центра момента. Папп приводит следующее определение Архимеда для центра тяжести: «Центром тяжести некоторого тела называется некоторая расположенная внутри него точка, обладающая тем свойством, что если за нее (мысленно) подвесить тяжелое тело, то оно останется в покое и сохранит первоначальное положение»{24}. Из комментария Евтокия известно определение центра момента. «Архимед называет центром момента плоской фигуры точку, при подвешивании за которую фигура остается параллельной горизонту; центром момента двух или более плоских фигур он называет точку подвеса рычага, остающегося параллельным горизонту, если прикрепить к его концам указанные фигуры»{25}.

Теория центра тяжести с точки зрения практической механики, возможно, была развита в дошедшей до нас в виде отдельных фрагментов книге «О рычагах»{26}. Математическое изложение теории центра тяжести, очевидно, впервые приведено также в не дошедшем до нас трактате «О равновесии», значительно большем по объему, чем «О равновесии плоских фигур».

В первой книге трактата «О равновесии плоских фигур» изложена теория равновесия рычага. Однако этот трактат имеет гораздо более важное значение: это основы общей теории равновесия, построенной на системе аксиом.

Исходя из действительных и простейших фактов опыта, Архимед сумел обобщить эмпирический материал техники и привести его с помощью математики в научную систему.

Теория рычага основана на следующих предпосылках, которые Архимед считает очевидными:

«1. Равнее тяжести на равных длинах уравновешиваются, на неравных же длинах не уравновешиваются, но перевешивают тяжести на большей длине.

2. Если при равновесии тяжестей на каких-нибудь длинах к одной из тяжестей будет что-нибудь прибавлено, то они не будут уравновешиваться, но перевесит та тяжесть, к которой было прибавлено.

3. Точно так же, если от одной из тяжестей будет отнято что-нибудь, то они не будут уравновешиваться, но перевесит та тяжесть, от которой не было отнято.

4. При совмещении друг с другом равных и подобных плоских фигур совместятся друг с другом и их центры тяжести.

5. У неравных же, но подобных фигур центры тяжести будут подобно же расположены.

6. Если величины уравновешиваются на каких-нибудь длинах, то на тех же самых длинах будут уравновешиваться и равные им.

7. Во всякой фигуре, периметр которой везде выпукл в одну и ту же сторону, центр тяжести должен находиться внутри фигуры»{27}.

Заметим, что когда Архимед говорит о действии на рычаг подвешенных грузов (тяжестей), он основывается на свойствах центра тяжести, понятие которого считает известным; это также говорит в пользу предположения о том, что этот трактат был не первым его механические сочинением.

В частности, предполагается, что центр тяжести тела, свободно висящего на нити, располагается на линии нити и что подвешенные тела действуют на рычаг в точке подвеса весом, сосредоточенным в центре тяжести. В последующих доказательствах Архимед имеет дело лишь с весами тел и их центрами тяжести.

Далее Архимед доказывает семь теорем, первые три из которых разъясняют смысл сформулированных выше предпосылок. Так, теорема III гласит: «Неравные тяжести будут уравновешиваться на неравных длинах, причем большая тяжесть на меньшей длине»{28}.

В теореме IV определяется центр тяжести системы двух тел: «Если две равные величины не имеют одного и того же центра тяжести, то для величины, составленной из обеих этих величин, центром тяжести будет середина прямой, соединяющей центры тяжести этих величин»{29}.

В теореме V Архимед применяет этот метод к системе трех тел, расположенных так, что центр тяжести среднего из них находится в середине отрезка, соединяющего центры тяжести крайних. Согласно этой теореме, центр тяжести такой «составной величины» совпадает с центром тяжести среднего тела.

Особо можно выделить теоремы VI и VII, в которых формулируется и доказывается основной закон рычага.

Теорема VI формулируется следующим образом: «Соизмеримые величины уравновешиваются на длинах, которые обратно пропорциональны их тяжестям»{30}.

В теореме VII закон равновесия рычага распространяется на случай несоизмеримых фигур. В теореме I второй книги трактата этот закон распространяется на случай криволинейных квадрируемых фигур.

Помимо указанных выше принципов Архимед пользуется в ходе доказательств еще одним, который, однако, в числе исходных предпосылок явно не фигурирует. Этот принцип можно сформулировать следующим образом: равновесие рычага не нарушится, если груз, подвешенный в точке А рычага, заменить двумя равными грузами половинного веса, точки подвеса которых расположены симметрично относительно точки подвеса замещаемого груза. Это положение мы будем называть принципом замещения. Хотя в ходе доказательств принцип замещения Архимед применяет с достаточной отчетливостью, однако он оградил бы свое сочинение от упреков самых требовательных критиков, если бы поставил его в число своих исходных предпосылок.

Заметим также, что аксиомы Архимеда являются первым существенным шагом в развитии понятия момента силы. Архимед с достаточной ясностью отмечает, что действие подвешенного груза на рычаг пропорционально его весу и расстоянию точки подвеса от точки опоры рычага. Оставалось лишь найти форму этой зависимости — и Архимед ее нашел. Он доказал, что действие подвешенного груза на рычаг прямо пропорционально величине груза и расстоянию точки приложения от неподвижной опоры рычага.

«Вникнув в сущность архимедовых аксиом, — писал академик А.Н. Крылов, — мы видим, что он ввел здесь новый элемент, производящий движение, именно произведение силы на ее расстояние до точки опоры, — то, что было впоследствии названо моментом силы и что производит вращательное движение тела»{31}. Первая книга трактата «О равновесии плоских фигур» заканчивается определением центров тяжести параллелограмма, треугольника и трапеции.

Во второй книге трактата Архимед переходит к определению центров тяжести фигур, образуемых при пересечении параболы прямой. Доказывается ряд теорем (предложений), например: «Если две площади, ограниченные (каждая) прямой и параболой и могущие быть приложенными к заданной прямой, не имеют одного и того же центра тяжести, то для величины, составленной из них обеих, центр тяжести будет на прямой, соединяющей их центры тяжести, причем вышеупомянутую прямую он разделит таким образом, что ее отрезки будут обратно пропорциональны этим площадям»{32}.

«У всякого сегмента, ограниченного прямой и параболой, центр тяжести делит диаметр сегмента так, что прилежащий к вершине сегмента отрезок в полтора раза больше отрезка у основания»{33}.

Эти предложения тесно связаны с работами Архимеда по геометрии. Примером применения теоретических положений механики к геометрии может также служить определение площади сегмента параболы, основанное на законе рычага и теоремах о центре тяжести плоских фигур, которое приведено в математическом сочинении Архимеда «Квадратура параболы». О тесной связи методов механики и математики в творчестве Архимеда свидетельствует «Эфод, или послание к Эратосфену о механических теоремах». В этом произведении механика рассматривается как средство решения геометрических задач. Правда, Архимед не считал механический метод строгим, он рассматривал его как удобный прием для получения некоторых геометрических результатов, которым после этого надлежало дать строгое геометрическое доказательство.

Среди теорем «Эфода» большой интерес представляет лемма о центре тяжести конуса, для доказательства которой Архимед разбивает конус плоскостями, параллельными основанию, на тонкие диски равной высоты. Нахождение центра тяжести конуса сводится к нахождению центра тяжести сегмента параболы.

Другим замечательным трудом Архимеда по механике является его более поздний трактат «О плавающих телах». Существует предположение, что это была вообще его последняя работа. Согласно легенде, Архимед пришел к открытию своего основного гидростатического закона случайно, решая задачу о составе короны, которую царь Гиерон заказал сделать из золота, но подрядчик изготовил из сплава золота и серебра.

Античная легенда рассказывает о повелении Гиерона и о случайном наблюдении Архимеда, принимавшего в это время ванну.

В действительности же открытие основного закона гидростатики было итогом многовековых эмпирических наблюдений и целой цепи теоретических размышлений.

Представление о частицах жидкости, выталкиваемых более плотными телами, напоминает теории древних атомистов. У Архимеда также находят более правильную и точную формулировку соображения Аристотеля о равновесии и движении тел в различных материальных средах.

В основу всех его выводов положена следующая гипотеза: «Предположим, что жидкость имеет такую природу, что из ее частиц, расположенных на одинаковом уровне и прилежащих друг к другу, менее сдавленные выталкиваются более сдавленными, и что каждая из ее частиц сдавливается жидкостью, находящейся над ней по отвесу, если только жидкость не заключена в каком-нибудь сосуде и не сдавливается еще чем-нибудь другим»{34}.

В первых двух предложениях трактата Архимед устанавливает шарообразность свободной поверхности воды, окружающей Землю, и совпадение центра этого шара с центром Земли. Опираясь на эти предпосылки и исходя из того, что поверхность жидкости имеет сферическую форму, Архимед доказывает следующие положения.

1. Тела, равнотяжелые с жидкостью, будучи опущены в эту жидкость, погружаются так, что никакая их часть не выступает над поверхностью жидкости, и не будут двигаться вниз (предложение III).

2. Тело, более легкое, чем жидкость, будучи опущено в эту жидкость, не погружается целиком, но некоторая часть его остается над поверхностью жидкости (предложение IV).

3. Тело, более легкое, чем жидкость, будучи опущено в эту жидкость, погружается настолько, чтобы объем жидкости, соответствующий погруженной (части тела), имел вес, равный весу всего тела (предложение V).

4. Тела, более легкие, чем жидкость, опущенные в эту жидкость насильственно, будут выталкиваться вверх с силой, равной тому весу, на который жидкость, имеющая равный объем с телом, будет тяжелее этого тела (предложение VI).

5. Тела, более тяжелые, чем жидкость, опущенные в эту жидкость, будут погружаться, пока не дойдут до самого низа, и в жидкости станут легче на величину веса жидкости в объеме, равном объему погруженного тела (предложение VII){35}.

Далее исследуются вопросы равновесия и устойчивости плавающих тел. Основным методом исследования является способ возмущения состояния равновесия.

Все положения трактата доказываются с помощью единого приема определения центра тяжести всего тела и выступающей части и центра тяжести объема погруженной части тела. Условием равновесия тела является расположение этих точек на одной отвесной линии, когда сила тяжести и сила гидростатического давления, действуя в противоположные стороны вдоль одной прямой, взаимно уравновешиваются при погружении тела в жидкость. Равновесие устойчиво, если при отклонении тела от положения равновесия оно стремится возвратиться в это положение.

Во второй части трактата рассматриваются разнообразные случаи равновесия и устойчивости плавающих в жидкости сегментов сферы и параболоида вращения.

«Эта книга, — писал Лагранж, — является одним из прекраснейших памятников гения Архимеда, она содержит в себе теорию устойчивости плавающих тел, к которой современные ученые прибавили лишь очень немного»{36}.

Интересно, что методы, применявшиеся в теории корабля в XVIII в. и позже, имеют немало общего с архимедовским методом изучения плавания сегмента параболоида. Однако Архимед рассмотрел только частные случаи, не создав общей теории.

Несмотря на замечательные исследования Архимеда по гидростатике, мы встречаем в античной науке и после него весьма смутные, а нередко и ложные представления о гидростатических явлениях.

Правильные представления о давлении внутри жидкости были достигнуты лишь в XVI—XVII вв. на основе работ Галилея, Паскаля и Стевина.

Развитие механики в эпоху эллинизма связано прежде всего с именем представителя Александрийской научной школы Герона Александрийского, известного также под именем Герона-Механика. О времени жизни и деятельности этого ученого точных сведений не сохранилось; в настоящее время большинство историков науки считают, что он жил в I — II вв. н. э.

Основное сочинение Герона по механике, обычно называемое «Механикой» Герона, сохранилось только в арабском переводе сирийца Косты ибн-Луки, жившего в конце IX и начале X в. Точное название этого сочинения, согласно Косте ибы-Луке, — «Книга Герона о поднимании тяжелых предметов». Это сочинение появилось в 1894 г. во французском переводе Карра де Во, а в 1900 г. — в немецком переводе Л. Никса. К обоим переводам приложен арабский текст, а к немецкому, кроме того, отрывки греческого текста, сохранившиеся в передаче Паппа Александрийского.

«Механика» Герона состоит из трех книг. Первая книга посвящена теоретическим вопросам. Здесь наряду с некоторыми чисто геометрическими построениями рассматриваются передача движения с помощью зацепленных кругов, сложение движений по правилу параллелограмма, распределение нагрузки между опорами; определяется центр тяжести. Как указывает Герон, он излагает содержание не дошедшей до нас «Книги опор» Архимеда. Герон пишет: «Нам совершенно необходимо разъяснить кое-что о давлении, передаче и переносе с количественной стороны в той мере, в которой это нужно для изучающих»{37}.

Во второй книге «Механики» дается описание пяти простых машин: рычага, ворота, клина, винта и блока. Герои указывает, что в изложении теории рычага он развивает идеи Архимеда из «Книги о равновесии». Помимо описания действия этих машин рассматриваются также соединения рычага, блоков, ворота и винта.

В этой книге даются ответы на 17 вопросов, относящихся к практическому применению простых машин, а также определяются центры тяжести различных фигур. В третьей книге описаны различные конструкции приборов для поднятия тяжестей и прессов, основанных на комбинациях простых машин.

В то же время трактат Герона главным образом представляет собой дальнейшее развитие кинематического варианта статики, восходящего к «Механическим проблемам». Основной метод изучения равновесия у Герона — изучение перемещений, которые получают точки приложения сил при нарушении этого состояния. В результате он вплотную подошел к элементарной форме принципа возможных перемещений — «золотому правилу механики», которое формулирует следующим образом: «Отношение движущей силы ко времени является обратным».

Замечательно следующее рассуждение Герона: «Некоторые люди думают, что тяжести, лежащие на земле, могут быть сдвинуты с места только путем приложения эквивалентной им силы. Этот взгляд ложен. Итак, докажем, что тяжести, лежащие так, как было сказано, могут быть сдвинуты с места посредством силы, меньшей, чем любая известная, и раскроем причину, почему подобное явление не оказывается сразу приметным. Представим себе, стало быть, что груз лежит на земле и что этот груз равномерный, гладкий и плотный. Пусть плоскость, на которой груз лежит, может быть наклонена в обе стороны, а именно вправо и влево. Пусть сначала она будет наклонена вправо. Тогда оказывается, что данный груз скатывается вправо, ибо естественным для грузов является стремление двигаться вниз, если их ничто не подпирает, препятствуя их движению. Если, далее, наклонная сторона опять поднимается до горизонтальной плоскости и вся плоскость придет в состояние равновесия, то тогда груз пребудет в этом положении. А если она наклонится в другую сторону, т. е. в левую, то и груз будет клонить в ту же сторону, даже при самом незначительном наклоне. Следовательно, груз нуждается не в силе, которая его движет, а в силе, которая его подпирает, препятствуя его движению. Допустим теперь, что груз опять приходит в положение равновесия и не склоняется в какую-либо сторону, — тогда он остается в том же положении и пребывает в покое, пока плоскость не наклонится в какую-нибудь сторону, — в последнем случае и он клонит в ту же сторону. Итак, груз, готовый обратиться к любому направлению, нуждается лишь в незначительной силе, чтобы прийти в движение, и притом в соответствии с силой, которая придает ему наклон. Выходит, что груз может быть приведен в движение любой самой малой силой»{38}.

Герону принадлежат также три трактата по прикладной механике: «Пневматика» — о механизмах, приводимых в действие нагретым или сжатым воздухом или паром, «Об автоматах» — о конструкциях самодвижущихся приборов и «Белопойика» — о конструкциях луков, катапульт и других видов оружия. Из многочисленных механизмов, сконструированных Героном, отметим шар, вращающийся под действием пара, автомат для открывания дверей храма при зажигании огня на алтаре, пожарный насос, водяной орган, механический театр марионеток. В «Пневматике» имеются и теоретические рассуждения: Герон объясняет упругость воздуха и пара соударениями мельчайших частиц, из которых, по его мнению, состоят воздух и пар. Некоторые рассуждения Герона показывают, что, хотя он был знаком с гидростатическими законами Архимеда, физическая причина кажущейся потери веса погруженных в жидкость тел была ему не известна; он считал эту потерю веса абсолютной.

Представителем Александрийской школы был римский архитектор эпохи Августа — Марк Поллион Витрувий (1 в. до н. э.). Десятая книга его знаменитого трактата «Об архитектуре» целиком посвящена механике. Витрувий был строителем-практиком. Поэтому механическая часть его трактата содержит главным образом описание различных механизмов для поднятия тяжестей, а также практических правил и строительных рецептов. Специальный раздел посвящен военным машинам. Витрувий дает следующее определение машины: «Машина есть сочетание соединенных вместе деревянных частей, обладающее огромными силами для передвижения тяжестей»{39}.

В 8-й главе X книги трактата рассматривается принцип действия механизмов, основанный на теории равновесия рычага, которую Витрувий излагает согласно «Механическим проблемам» и Герону, придерживаясь, таким образом, кинематического варианта статики.

Механике посвящена и последняя (VIII) книга «Математического собрания» Паппа Александрийского (III в. н. э.). Папп проводит в ней различие между механикой — теоретической наукой и механикой — практическим искусством. Сочинение Паппа представляет собой в основном компилятивный труд, в который включены разнородные сведения из различных источников. В книге приведено большое число отрывков из сочинений Архимеда, некоторые теоремы геометрической статики, относящиеся к определению положения центров тяжести различных фигур, главным образом трапеции и треугольника. Папп рассматривает приложение геометрической статики к конкретным техническим вопросам, например задачу об определении силы, необходимой для того, чтобы на наклонной плоскости сдвинуть груз, который на горизонтальной плоскости сдвигается данной силой. С другой стороны, в трактат включено описание устройства грузоподъемных машин из «Механики» Герона, однако без изложения принципа их действия.

В книге содержатся и собственные исследования автора, например теоремы об объемах тел вращения, которые он выражает через длину окружности, описываемой центром тяжести вращающейся фигуры (теорема Паппа — Гюльдена).

Сочинения Герона и Паппа показывают, что александрийские ученые I—IV вв. н. э. уделяли значительное внимание как теоретическим основам механики (хотя научный уровень их работ был значительно ниже, чем у Архимеда), так и практической механике, конструированию механизмов, оружия и автоматов.

Одним из основных стимулов разработки принципов кинематики и источников развития кинематических представлений в механике была греческая астрономия.

В вавилонской астрономии положения светил на небесной сфере вычислялись арифметическими методами.

Как мы уже упоминали, представители греческой классической философии (Платон, Аристотель) считали круговое движение, свойственное небесным телам, «совершенным». Поэтому греческие астрономы, обращаясь к кинематико-геометрическому моделированию видимых движений небесных тел, представляли эти сложные движения только в виде комбинации нескольких круговых. Первая попытка такого моделирования — теория вращающихся концентрических сфер, предложенная крупнейшим античным математиком и астрономом Евдоксом Книдским (IV в. до н. э.). Теория Евдокса состоит в следующем: вокруг центра, в котором находится покоящаяся Земля, вращаются 27 концентрических сфер. На внешней сфере расположены «неподвижные» звезды. С помощью остальных сфер Евдокс объясняет движение Солнца, Луны и пяти планет. Каждое из упомянутых небесных тел неразрывно связано с некоторой равномерно вращающейся сферой, объемлющей другую, ось которой находится под известным углом к оси первой. Внутренняя вращающаяся сфера увлекается в своем вращении внешней.

Движение Луны описывается с помощью трех сфер. Внешняя сфера Луны, на которой расположена эклиптика, служит для объяснения суточного движения Луны. Она, как и сфера «неподвижных» звезд, совершает один оборот в сутки вокруг полюсов экватора.

Вторая сфера, на которой расположена наклонная к эклиптике орбита Луны, участвуя в движении первой, вращается вокруг полюсов эклиптики, чем объясняется «отступание узлов» лунной орбиты. Третья сфера, на которой расположена Луна, вращается вокруг полюсов лунной орбиты, участвуя, таким образом, в движении обеих внешних сфер.

Движение планет Евдокс объясняет с помощью четырех сфер. Внешняя сфера, совершающая, как и в случае Луны, одно движение, совпадающее с суточным движением «неподвижных» звезд, служит для объяснения суточного движения планет. Вторая сфера, участвуя в движении первой, совершает оборот вокруг полюсов эклиптики за время, равное периоду обращения планеты. Вращения третьей и четвертой сфер служат для объяснения прямого и возвратного движений планет. Третье вращение, полюсами которого служат две неподвижные точки на эклиптике, совершается перпендикулярно ей. Плоскость четвертого вращения наклонена к плоскости третьего. В результате этих двух движений траектория планеты имеет вид петлеобразной кривой в форме лежащей восьмерки — гиппопеды, большая ось которой расположена на эклиптике.

Центр ее вследствие второго вращения проходит за период обращения планеты всю эклиптику.

С помощью системы Евдокса можно было более или менее удовлетворительно описать движение внешних планет (Юпитера и Сатурна).

Астроном Калипп пытался усовершенствовать эту систему, добавив еще по две сферы для Солнца и Луны и по одной для каждой из планет. Аристотель, добавив «(вращающиеся назад» сферы, при помощи движения которых он рассматривал вращение любой сферы независимо от объемлющей ее, увеличил их число до 56.

Основным недостатком как гипотезы Евдокса, так и ее улучшенных вариантов было то, что, согласно концентрической модели, расстояния планет от Земли предполагаются неизменными.

Другая, более совершенная кинематико-геометрическая модель движения небесных тел была предложена Аполлонием и развита затем Гиппархом и Птолемеем.

Кинематико-геометрическое моделирование движения небесных тел тесно связано с общими успехами кинематического метода в греческой математике. Античные математики часто обращались к кинематическому методу при решении многих задач, связанных с построением и исследованием кривых.

Архит Тарентский (IV в. до н. э.) конструировал специальные приборы для вычерчивания кривых. Гиппий Элидский, живший около V в. до н. э., построил путем сложения равномерных поступательного и вращательного движений кривую, называемую квадратрисой, которой воспользовался при рассмотрении задачи о трисекции угла. Аналогичным путем Никомед (II в. до н. э.) определил конхоиду.

К кинематическому методу часто обращался Архимед. Вот, например, его определение спирали: «Если на плоскости проведена прямая линия, которая, сохраняя один свой конец неподвижным и вращаясь с одинаковой скоростью, любое число раз вернется в исходное положение, и если одновременно с вращением этой линии какая-нибудь точка будет с постоянной скоростью перемещаться по этой прямой, начиная движение из неподвижного конца, то эта точка опишет на плоскости спираль»{40}. Заметим, что кинематические расчеты применялись также при изготовлении различного рода автоматов (счетчики проходимых расстояний, часы и т. д.). Так, например, Архимед изготовил знаменитую модель небесной сферы, в которой автоматически воспроизводились видимые движения светил. Архит сконструировал прибор для нахождения двух средних пропорциональных к двум отрезкам (к чему, как известно, может быть сведено решение задачи об удвоении куба). Решение Архита по существу сводится к построению координат точки пересечения трех поверхностей вращения: цилиндра, конуса и тора.

Следует отметить, что применение механических устройств к геометрии встречало осуждение у философов-идеалистов, и прежде всего у Платона. По этому поводу Плутарх в своих «Сравнительных жизнеописаниях» говорит: «Знаменитому и многими любимому искусству построения механических орудий положили начало Евдокс и Архит, стремившиеся сделать геометрию более красивой и привлекательной, а также с помощью чувственных, осязаемых примеров разрешить те вопросы, доказательство которых посредством одних лишь рассуждений и чертежей затруднительно; такова проблема двух средних пропорциональных — необходимая составная часть многих задач, для разрешения которой оба применили механическое приспособление, строя искомые линии на основе дуг и сегментов. Но так как Платон негодовал, упрекая их в том, что они губят достоинство геометрии, которая от бестелесного и умопостигаемого опускается до чувственного и вновь сопрягается с телами, требующими для своего изготовления длительного и тяжелого труда ремесленника, — механика полностью отделилась от геометрии и, сделавшись одною из военных наук, долгое время вовсе не привлекала внимания философии»{41}.

Говоря о механике, Плутарх имел в виду «механическое искусство» (см. начало главы). Однако отделение даже этой «механики» от геометрии и философии не могло не отразиться на последующем развитии и науки, и техники. Одним из итогов развития античной цивилизации было разобщение тех двух традиций, которые теперь в истории науки принято называть ремесленной и теоретической.

Будущей теоретической механике предстояло объединить в достаточной мере разнообразные части античного научного наследия: во-первых, учение о пространстве, времени, движении, материи, целиком принадлежавшее теоретической (философской) традиции, и, во-вторых, математические методы, которые разрабатывались в астрономии. Астрономическая традиция оказалась в известной степени промежуточной между теоретической и ремесленной. Здесь наука входит в соприкосновение с техникой вследствие применения моделей и некоторого инструментария (армиллярная сфера, простейшие угломерные инструменты, плоская астролябия). Именно в астрономии больше всего сказалось непосредственное влияние запросов общественной практики (календарные расчеты, определение наступления начала земледельческих работ и т. д.). Но тем не менее в то время и на том высоком уровне, которого астрономия достигла в эллинистическую эпоху, основным стимулом ее развития была теоретическая мысль. Астрономия изучала и уточняла строение космоса.

Третье направление, античная статика и гидростатика, объединило теоретические исследования Архимеда, проведенные со всей строгостью аксиоматического метода древней геометрии, и практические правила, объясняющие действие различных механических приспособлений («простых машин»), т. е. техническую механику того времени. Разница в научном уровне обоих элементов этого направления — теоретического и технического — огромна. Можно сказать, что между строгим и изящным методом вычисления площади круга у Архимеда и рецептом Витрувия для вычисления этой площади («помножить половину диаметра на себя и утроить результат») лежит пропасть. Статика и гидростатика Архимеда принадлежит, конечно, теоретической традиции, «техническая механика» древних — ремесленной традиции, традиции архитекторов и военных инженеров.

Уже в эпоху расцвета Римской империи и тем более в эпоху ее упадка в механике все более значительную роль начинает играть ремесленная традиция (в ущерб теоретической). В пользу этого свидетельствуют содержание и направленность трактатов Герона, Паппа, Витрувия, в значительной степени носящих компилятивный характер. Утрачивая интерес к теоретическим построениям, и содержание трактатов по механике сводится к набору простейших правил действия «простых машин». После распада Римской империи даже в Византии, на территории которой в большей степени, чем в любой другой ее части, сохранялось античное научное наследие, была утрачена теоретическая традиция и окончательно возобладала ремесленная. Под «механикой» понималось только архитектурно-строительное и инженерное искусство.

Начало возрождения теоретического направления относится к VIII—IX вв. и связано с развитием науки в странах Ближнего и Среднего Востока. Именно ей мы в значительной степени обязаны сохранением античного научного наследия.

II. МЕХАНИКА НА СРЕДНЕВЕКОВОМ ВОСТОКЕ

«Всеобщее обнищание, упадок торговли, ремесла и искусства, сокращение населения, запустение городов, возврат земледелия к более низкому уровню — таков был конечный результат римского мирового владычества»{42}. Эта принадлежащая Энгельсу характеристика раннего западноевропейского средневековья позволяет понять особенности состояния и развития науки в один из наиболее мрачных периодов существования человеческой культуры. Обособленность феодальных хозяйств, натуральный характер производства не способствовали техническому прогрессу. Упадок экономики, сопровождавший переход от античности к средневековью, привел к застою культуры и науки. Наследие греков было утрачено, знания, приобретенные в древности, постепенно терялись. Единственными центрами грамотности оставались монастыри и церкви. «Отсюда, — отмечал Энгельс, — само собой вытекало, что церковная догма являлась исходным пунктом и основой всякого мышления. Юриспруденция, естествознание, философия — все содержание этих наук приводилось в соответствие с учением церкви»{43}. Все научные знания сводились в конечном итоге к теологии.

В руках церкви было сосредоточено и образование. Традиционным и незыблемым было деление науки на семь «свободных» искусств. Первый цикл охватывал тривиум: грамматику — мать и основу семи искусств, риторику — искусство красноречия — и диалектику — элементарную логику. Второй цикл, или квадривиум, составляли арифметика, геометрия, в которую входила своеобразная смесь примитивной геометрии с фантастическими рассказами о чудесах, астрономия — главным образом вопросы календаря и гадание по звездам — и музыка — учение о гармонии.

Под «механикой» понимали, собственно, ряд областей строительства и техники. Длительное время «механическое искусство» ставили ниже «свободных искусств», как род деятельности людей невысокого общественного положения, занимающихся ручным трудом.

Несколько лучше было положение в Византии — восточной части бывшей Римской империи. Здесь в большей мере сохранилась античная научная традиция. Это сказалось и на отношении к механическим искусствам. «Механики» пользовались здесь уважением и занимали видное общественное положение. Известны имена строителя Константинопольского собора в Софии Анфимия Тралльского и его современника Исидора Милетского (VI в.). Они поддерживали связь с александрийскими математиками, например Евтокием, комментатором Архимеда и Аполлония. В Византии были хорошо известны сочинения Геро-на, указаниями которого воспользовался строитель Соломонова трона в Константинополе Лев (IX в.).

Тем не менее носители господствовавшей в Византии идеологии — служители церкви — относились к познанию законов природы с тем же безразличием, как и их коллеги в Западной Европе. Иоанн Дамаскин (VIII в.) писал, что решение различных проблем мироздания не столь уж существенно; важно признавать, что все сущее определяется деятельностью творца. Исторические условия, сложившиеся в Византии, также не способствовали дальнейшему развитию античного научного наследия.

В VI в. после закрытия языческих школ многие греческие ученые эмигрировали в Иран; та же участь несколько раньше постигла сирийских несториан. Это содействовало распространению накопленных в античную эпоху знаний на Ближнем Востоке.

Завоевательные войны арабов, начавшиеся в первой половине VII в., привели к тому, что к концу 30-х годов VIII в. в состав Арабского халифата кроме Аравии вошли Иран, Сирия, Египет, Палестина, Северо-Западная Африка и Пиренейский полуостров (т. е. значительная часть бывшей Римской империи), большая часть территории Средней Азии, Армения, Северо-Западная Индия. Арабское завоевание привело к распространению среди покоренных народов языка и религии арабов (ислама) и в ряде областей сопровождалось массовым уничтожением памятников науки и искусства. Это относится к территории Средней Азии, в особенности Древнего Хорезма. Там были не только физически уничтожены служители домусульманского культа — зороастризма, в руках которых главным образом была сосредоточена научная деятельность, но и погибли многочисленные письменные памятники.

Однако в дальнейшем одновременно с распространением арабского языка и ислама на территории Арабского халифата начала складываться научная традиция, основанная как на античном наследии, проникшем на Ближний и Средний Восток в связи с эмиграцией греческих ученых, так и на научных достижениях покоренных народов. Хотя огромный халифат вскоре распался на ряд отдельных государств, в них сохранился арабский язык, ставший языком науки, которую принято называть арабской.

IX—XII века — период наибольшего подъема развития науки в арабоязычных странах. Багдад, столица халифата, превратился в крупный научный центр со школами, библиотеками и находящимся под покровительством халифа «домом мудрости». В IX—X вв. здесь трудилась большая группа ученых, переводчиков и переписчиков, которая работала над переводом и комментированием произведений Платона, Аристотеля, Гиппократа, Евклида, Архимеда, Птолемея. Переводы с греческого, а также с сирийского языка, на котором до ученых стран ислама дошла значительная часть античной научной литературы, сыграли огромную роль в развитии средневековой науки. Во многих случаях они были единственными источниками, по которым Западная Европа смогла познакомиться с античной наукой.

В науке стран ислама на первый план вышла вычислительного характера математика и в таких областях, как связанная с коммерцией арифметика, алгебра, приближенные вычисления, учение о числе, тригонометрия, был значительно превышен уровень, достигнутый в свое время александрийскими учеными. Значительное развитие на Востоке получили астрономия, оптика и химия.

К IX—XII вв. относится творчество таких крупнейших ученых восточного средневековья, как братья Бану Муса, Сабит ибн-Корра, ал-Бируни, Абу Али ибн-Сина (Авиценна), Омар Хайям, ал-Хазини. Каждый из них, будучи автором трудов по математике и астрономии, в то же время внес известный вклад в механику.

Развитие механики в странах ислама, как и развитие математики, началось с перевода и комментирования сочинений античных авторов (Аристотеля, Герона[5]) и в дальнейшем шло по тем же основным направлениям, что и в античной механике. Это обусловлено не только силой традиции, в некоторых культурных зонах Востока почти непрерывной, но и примерно одинаковым характером и уровнем развития техники. Целый цикл работ, посвященных общим понятиям механики (главным образом сущности движения), ведет начало от перевода и комментирования Аристотеля. Эти вопросы затрагиваются в той или иной степени и в трактатах, посвященных частным вопросам механики.

Это комментирование было в значительной степени тем фундаментом, на который опиралась созданная впоследствии в Западной Европе теория «импетуса». Зачатки этой теории можно найти у александрийского ученого VI в. — неоплатоника Иоанна Филопона (Иоанна-Грамматика). В своем комментарии к «Физике» Аристотеля Филопон, возражая Аристотелю, утверждает, что для объяснения брошенного тела нет необходимости вводить представление о посредствующей роли промежуточной среды. Он говорит о «движущей силе», которая непосредственно, независимо от среды, сообщается телу и поддерживает его движение, когда оно уже не соприкасается с источником этого движения. Повседневная практика показывает, что среда (например, воздух) обычно не помогает, а препятствует движению. Филопон считал, что именно орудие, с помощью которого брошено тело (рука, бросающая камень, лук, из которого выпущена стрела), — источник «движущей силы», но оно сообщает ее не среде (например, воздуху), а самому брошенному телу. И скорость тела (вопреки Аристотелю) как при бросании, так и при падении определяется только «движущей силой». Сопротивление среды только уменьшает эту скорость, так что она становится конечной. В качестве примера движения без сопротивления Филопон приводит движение небесных тел. Теория Филопона послужила объектом нападок со стороны его современника Симпликия. Симпликий возражал ему в «Расхождениях с Иоанном-Грамматиком», которые приложены к его собственным комментариям к «Физике» Аристотеля.

Влияние теории «движущей силы» можно проследить по многочисленным сочинениям ученых стран ислама, посвященным различным разделам механики. Она оказала значительное влияние на формирование соответствующих понятий механики на средневековом Востоке.

АБУ АЛИ ИБН-СИНА (ок. 980-1037)

Среднеазиатский философ, врач, естествоиспытатель и поэт. Ибн-Сина оказал большое влияние на средневековую арабскую и европейскую философию 

Среди комментаторов Аристотеля в первую очередь можно назвать Ибн-Сину и ал-Бируни. До нас дошла переписка Ибн-Сины и ал-Бируни в связи с комментированием сочинений Аристотеля. Она состоит из двух серий вопросов ал-Бируни и ответов Ибн-Сины. Десять из них относятся к трактату Аристотеля «О небе», остальные восемь — к «Физике»{44}.

Ал-Бируни подвергал сомнению и тезис Аристотеля о том, что тело, которому свойственно круговое движение, не может обладать ни тяжестью, ни легкостью, и всю его космологическую систему.

Ибн-Сина, следуя Аристотелю, считал, что небесная сфера не может стремиться вниз или вверх и, находясь в своем «естественном месте», не обладает ни легкостью, свойственной элементам, стремящимся вверх, ни тяжестью, свойственной элементам, стремящимся к центру Вселенной. Ибн-Сина, как и Аристотель, считал, что тяжелые элементы стремятся к центру Земли, а легкие удаляются от него. Ал-Бируни же полагал, что все без исключения тела стремятся к центру. Ибн-Сина противопоставляет круговое движение, как «насильственное», вызванное неким внешним «двигателем», прямолинейному, т. е. «естественному». Однако в своих рассуждениях об этом «первом двигателе» Ибн-Сина считал, что хотя он и необходим, но не может быть в отношении природы причиной «насильственного» движения. Движение как таковое Ибн-Сина определял как постепенное изменение состояния тела, а движение в пространстве, т. е. механическое движение, рассматривал как часть движения вообще.

Интересные мысли о движении высказал Ибн-Сина в физическом разделе своей «Книги знания»: «Тело не может перемещаться с одного места на другое посредством одного толчка, так как тело разделяется на части и частями отделяется от своего места, а то, что отделяется по частям, не может быть в результате одного толчка… Все, что движется, или движется чем-то извне (например, стрела из лука, вода при нагревании огнем), или движется само по себе (например, камень, падающий сам, или горячая вода, которая сама становится холодной). Движение того, что само движется, происходит не в его телесности, а только в его состоянии и форме. Если бы оно происходило в его телесности, то движение должно было бы быть постоянным и равным для всех тел. Стало быть, оно происходит из какой-то силы»{45}.

Ибн-Сина, развивая теорию Филопона, определяет «силу, которая передается брошенному телу», как некое «качество», с помощью которого тело отталкивает все, что мешает ему двигаться в некотором направлении. Он называет ее также «заимствованной» силой. Это качество, которое бросающий передает брошенному телу так же, например, как огонь при нагревании воды передает ей тепло[6].

Ибн-Сина вносит два существенных добавления в теорию Филопона. В то время как Филопон утверждал, что при движении тела в пустоте его «движущая сила» постепенно иссякает, Ибн-Сина считал, что при отсутствии всяких помех этой силе «насильственное» движение, источником которого она является, может продолжаться бесконечно. Ибн-Сина сделал попытку количественно выразить величину «движущей силы», говоря, что тела, движимые данной «силой», перемещаются со скоростями, обратно пропорциональными их весам, а тела, перемещающиеся с заданной скоростью, проходят (несмотря на сопротивление воздуха) расстояния, прямо пропорциональные их «тяжестям».

Эту точку зрения в XII в. развивал продолжатель Ибн-Сины Абу-л-Барага ал-Багдади, который объяснял ускорение падения тел последовательным накоплением «движущей силы» одновременно с последовательным накоплением скорости. Возникает вопрос: каковы пути распространения филопоновской теории «движущей силы» и связанных с ее дальнейшим развитием представлений ученых средневекового Востока в Западной Европе?

Комментарий Филопона не был переведен на латинский язык и остался неизвестным средневековым западноевропейским авторам. «Книга знания» Ибн-Сины была известна в сокращенном переводе, в котором опущены почти все моменты, касающиеся теории «движущей силы». Однако в Западной Европе было хорошо известно астрономическое сочинение ал-Битруджи (Альпетрагия) «Книга об астрономии», переведенное на латинский язык в 1217 г. Ал-Битруджи считал, что движения планет, связанные с движением небесных сфер, происходят под воздействием сил, которые сообщаются им «верховным телом». Он сравнивал их с движением камня или стрелы, которые после отрыва от источника движения продолжают перемещаться благодаря некоторой сообщенной им в начальный момент силе. Эта сила, по его представлению, ослабевает по мере удаления от источника движения. По-видимому, именно это сочинение, написанное под существенным, хотя и не непосредственным влиянием комментария Филопона, послужило источником развития подобных представлений на Западе.

Из более поздних комментаторов Аристотеля широко известен родившийся в Кордове Абу-л-Валид Мухаммед ибн Рошд (Аверроэс, 1126—1198)—наиболее ортодоксальный приверженец аристотелевской теории. По Ибн-Рошду, материальный мир бесконечен во времени, но ограничен в пространстве. Материя — универсальный и вечный источник движения. Движение вечно и непрерывно, так как каждое новое движение имеет причиной предшествующее. Время существует и доступно измерению только благодаря движению. Философское учение Ибн-Рошда резко противоречило официальной мусульманской догматике. Оно получило распространение в Западной Европе в период феодализма и раннего Возрождения и способствовало развитию материалистической стороны философии Аристотеля.

Рассуждая о механизме передачи движения, Ибн-Рошд объяснял его сравнением с волнами, распространяющимися кругами на воде, в которую брошен камень. Он считал, что частицы воды способны к взаимопроникновению. Аналогичное явление, по его мнению, происходит в воздухе при движении в нем брошенного тела. Таким образом, проникновением частиц среды в движущееся тело и поддерживается движение последнего. Однако это взаимопроникновение частично, ибо если бы оно было полным, т. е. среда не обладала бы упругостью, никакой передачи движения не могло быть.

Существенное влияние на формирование указанных представлений в Западной Европе оказала и продолжительная дискуссия (на почве комментирования «Физики») между Ибн-Рошдом и испано-арабским ученым XII в. Ибн-Баджжей (Авемпаце, ум. в 1138 г.), в которой Ибн-Баджжа защищал и развивал точку зрения Филопона. (Теория Ибн-Баджжи была известна на Западе лишь в изложении критиковавшего ее Ибн-Рошда.) Ибн-Баджжа утверждал, что даже в пустоте тело движется с конечной скоростью, так как, несмотря на отсутствие сопротивления, должно всегда пройти некоторое расстояние. Подобно Филопону, он считал движение небесных сфер примером движения без сопротивления с конечной скоростью.

С переводом и комментированием Архимеда и Герона связано дальнейшее развитие как геометрического, так кинематического направления статики. Кинематические исследования стали интенсивно развиваться в связи с переводом и комментированием «Альмагеста» Птолемея и его античного комментатора Теона Александрийского. Изучение Птолемея (наряду с индийскими астрономическими сочинениями, которые написаны в свою очередь под сильным влиянием александрийской астрономии) послужило основой для составления зиджей — собраний таблиц и расчетных правил для вычисления положений светил на небесной сфере. В основе зиджей лежат греческие кинематико-геометрические методы моделирования движений небесных тел. Вообще для механики арабо-язычной науки, как и для ее математики, характерна разработка количественной стороны проблем и развитие в связи с этим вычислительных методов. Это в особенности относится к исследованиям в области статики и гидростатики, которые получили развитие в связи с практикой взвешивания металлов и минералов, игравшей существенную роль в международной торговле.

Следуя античной традиции, ученые стран ислама называли механику «илм ал-хийал», т. е. учением о хитроумных приспособлениях, что представляет собой дословный перевод греческого термина mechane. Как и у античных авторов, в средневековых восточных сочинениях встречается подразделение механики на учение о военных машинах и собственно учение о хитроумных приспособлениях, под которыми имелись в виду главным образом устройства для поднятия тяжестей и воды для поливки полей.

Раздел о механике входит в состав большинства средневековых восточных энциклопедий. Наиболее полным в этом смысле является древнейшее из подобных сочинений «Ключи наук» Абу Абдаллаха ал-Хорезми (IX в.), состоящее из двух книг. Одна из глав второй книги целиком посвящена механике. Это в основном переработка «Механики» Герона.

В книге дано описание простых машин и их комбинаций и приводится руководство по их практическому применению. В нее входит также раздел, посвященный военным машинам; кроме того, содержатся некоторые сведения из «Пневматики», главным образом о механизмах, приводимых в движение с помощью пневматических устройств.

«Механические проблемы» и «Механика» Герона лежат в основе механических глав «Книги знания» Ибн-Сины, где рассматриваются пять простых машин: рычаг, блок, ворот, клин и винт, а также их комбинации — некоторые из последних отсутствуют у Герона. На конкретных примерах рассматривается применение описанных машин и их комбинаций для поднятия грузов.

Известен трактат аналогичного содержания «Книга о механике», принадлежавший знаменитым астрономам и математикам Багдадской школы — трем братьям Бану Муса (IX—X вв.) (некоторые источники приписывают его одному из братьев — Ахмаду, наиболее сведущему в механике). Среди механических устройств, описанных в «Книге о механике», имеется, в частности, приспособление для поддержания постоянного уровня воды в сосуде.

Трактат братьев Бану Муса породил целый ряд комментариев и трактатов, написанных на его основе. Механическим устройством для поднятия воды посвящен трактат Абу-л-Изза Исмаила ал-Джазари (XII—XIII вв.) «Книга о познании инженерной механики». Такого же рода устройства рассматриваются в трактате Мухаммада ибн-Али ал-Хурасани «О водяных колесах и подъеме воды и служащих для этого механических устройствах».

Многочисленные описания всевозможных механических устройств, применявшихся в разных странах ислама, содержатся в географических сочинениях алкинди Якута и Ибн-Халдуна. Ал-Бируни рассматривает их при описании ирригационных сооружений в Хорезме{46}.

В некоторых средневековых восточных энциклопедиях особо выделяется «наука о подъеме воды», которую авторы рассматривают как раздел геометрии.

Перевод и комментирование трудов Архимеда послужили основой дальнейшего развития геометрической статики и гидростатики в странах ислама. Переводчиком Архимеда был, например, крупнейший математик и астроном IX в. Сабит ибн-Корра. Именно в переводах Сабита ибн-Корры сохранились сочинения Архимеда, которые не дошли до нас в греческом оригинале.

Кроме сочинений Архимеда Ибн-Корра перевел на арабский язык «Конические сечения» Аполлония, «Альмагест» Птолемея, а также был комментатором «Начал» Евклида. Его собственные математические трактаты по содержанию и методам близки к сочинениям Архимеда, но включают и оригинальные открытия автора. Трактат «Книга о корастуне», также написанный под сильным греческим влиянием, получил широкое распространение в средние века; в XII в. был переведен в Западной Европе на латинский язык под названием «Liber Charas-tonis».

Ибн-Корра в «Книге о корастуне» излагает теорию взвешивания, следуя главным образом кинематическому направлению статики «Механических проблем» и «Физики» Аристотеля. В использованном (хотя четко не определяемом) Ибн-Коррой понятии «силы движения» некоторые исследователи видят аналогию с работой силы тяжести тела при его возможном перемещении, так как при заданном грузе сила движения считалась пропорциональной перемещению, а при постоянстве последнего — пропорциональной весу груза.

Ибн-Корра не ограничивается изложением теории невесомого рычага. Стремясь приблизиться к практике взвешивания, он пытается учесть вес коромысла и строит теорию весомого рычага. Его рассуждения опираются на два положения: два равных груза можно заменить одним двойным, подвешенным посредине между ними; распределенный равномерно по рычагу вес можно заменить грузом такого же веса, приложенным к середине рычага. Хотя сами по себе эти исходные предпосылки и верны, окончательные результаты не совсем ясны, и приведенное в конце книги правило градуирования весов не вытекает из полученных результатов. Доказательство Ибн-Корры близко к методам геометрической статики Архимеда. По существу это решение задачи определения центра тяжести тяжелого отрезка, значительно более простой, чем определение центров тяжести в работах Архимеда. Ибн-Корра доказывает вначале теорему о равнодействующей двух равных сил и, распространив эту теорему на любое конечное число равных сил, приложенных в точках на равных расстояниях, обобщает ее затем на бесконечное множество (бесконечно много — «ла нихайа», буквально — «без конца») равных сил, т. е. для случая равномерно распределенной нагрузки. При этом Ибн-Корра наряду с операциями над отношениями применяет к непрерывным величинам арифметические действия умножения и сложения. Это сыграло существенную роль в подготовке расширения понятия числа до положительного действительного, которое осуществил впоследствии Омар Хайям.

Целый ряд исследований ученых стран ислама посвящен важной области применения весов — определению удельного веса, преимущественно металлов и драгоценных камней. Отправной точкой для них были античные сочинения по статике, и прежде всего трактат Архимеда «О плавающих телах». Этими проблемами занимались такие крупные ученые, как ал-Бируни, Омар Хайям и его ученик ал-Хазини.

Ал-Бируни в своем минералогическом трактате «Собрание сведений о познании драгоценностей»{47} приводит результаты большого числа точных взвешиваний. В качестве эталона для драгоценных камней он выбирал сапфир, а для металлов — золото.

Определению удельных весов посвящен его специальный трактат «Об отношениях между металлами и драгоценными камнями в объеме», который дошел до нас в передаче ал-Хазини{48}. Среди своих предшественников ал-Бируни называет александрийского математика и астронома Менелая и ряд своих современников, принадлежащих в основном к Багдадской школе: Санада ибн-Али (IX в.), Юханну ибн-Юсуфа (X в.), ар-Рази (XI в.). Своим непосредственным предшественником ал-Бируни считает Ахмада ибн ал-Фадла ал-Бухари (X в.), метод которого основан на сравнении весов равных объемов чистых металлов и сплавов. Аналогичный метод излагается в трактате Абумансура ан-Найризи, посвященном определению удельных весов меди и свинца. Ал-Бируни описывает его под названием «метод Абумансура». Основную проблему ал-Бируни видит именно в «установлении отношений между металлами и минералами в объеме и весе». Для возможно более точного определения объемов изучаемых минералов ал-Бируни пользовался специально сделанным отливным стаканчиком. Удельные веса он приводит с точностью до 1 тасуджа (1/24 мискаля, равного 425 г.). Помимо определения удельных весов металлов и минералов ал-Бируни с помощью специально сконструированного сосуда определял удельные веса ряда жидкостей. Он отмечает различие удельного веса холодной и горячей, пресной и соленой воды, указывает на связь плотности воды с ее удельным весом.

Дальнейшее усовершенствование способов взвешивания и определения удельных весов производит Омар Хайям в трактате «Весы мудростей, или об абсолютных водяных весах»{49}. Хайям излагает способ взвешивания с помощью весов, находящихся в воде и в воздухе, и применяет его для определения количества золота и серебра в сплаве. Удельный вес металлов он определяет, рассматривая отношения их весов в воздухе и в воде. Большой интерес представляет графическая иллюстрация получаемых пропорций с помощью отрезков прямых линий различной длины.

АБУ РАЙХАН БИРУНИ (973-1050)

Среднеазиатский ученый-энциклопедист. Бируни — автор капитальных трудов по математике, астрономии, истории, географии и минералогии 

Методам взвешивания и определения удельных весов посвящена значительная часть трактата ал-Хазини «Весы мудрости». Ал-Хазини подробно излагает способы Менелая, ал-Бируни и его предшественников в странах ислама.

В трактате приведена модификация способа Хайяма, где для определения веса золота в сплаве золота и серебра ал-Хазини прибегает к уравнению первой степени, которое решает с помощью «алгебры и алмукабалы». Следуя Хайяму, ал-Хазини также строит графическую схему для геометрической иллюстрации совершаемых им арифметических операций. Приведенные им числовые данные позволяют судить о точности производимых взвешиваний (около 0,1%). Ал-Хазини определял объемы, пользуясь отливным стаканчиком, изобретенным ал-Бируни. По весам и объемам ал-Хазини находил удельные веса различных веществ.

Интересно сопоставление его данных с современными: удельный вес серебра — 10,30 (современное — 10,49), золота—19,05 (19,27), свинца — 11,32 (11,39), ртути — 13,56 (13,557), меди — 8,66 (8,94), железа — 7,74 (7,87). Как видно, расхождения незначительные. Такая точность позволяла обнаружить различие удельного веса при разных температурах (для кипящей воды дается число 0,958, что совпадает с современными данными). Точное определение удельных весов позволяло решать ряд практических задач: отличать чистый металл от подделок, устанавливать ценность монет, выявлять подлинность драгоценных камней.

Кроме метрологической части «Книга о весах мудрости» содержит теоретический раздел, в котором рассматривается определение центров тяжести, потери веса телами при их погружении в воду, кажущегося веса тел в воздухе, равновесия плавающих тел, сферической формы жидкости, находящейся в равновесии, и др. С определением удельных весов мы встречаемся и в XV в. в «Ключе арифметики» самаркандского ученого Джем-шида ал-Коши{50}.

Развитие кинематических представлений в механике стран ислама остается тесно связанным с разработкой теории движения небесных тел. До нас дошло свыше 100 зиджей VIII—XV вв. Кинематические модели, описывающие движение светил, рассматриваются и в большом количестве специальных трактатов Сабита ибн-Корры, его внука Ибн-Синана, ал-Бируни и многих других.

В «Книге о замедлении и ускорении движения по зодиакальной орбите в соответствии с его расположением относительно эксцентрической орбиты» Ибн-Корра изучает видимое движение Солнца по эклиптике, исходя из античной эксцентрической гипотезы. Свои утверждения он формулирует в виде четырех предложений, два из которых чисто геометрические. С их помощью Ибн-Корра доказывает, что на дуге эклиптики, соответствующей дуге эксцентрической орбиты, расположенной ближе к апогею, движение Солнца медленнее, чем на дуге эклиптики, соответствующей дуге эксцентрической орбиты, расположенной ближе к перигею. А на таких двух дугах эклиптики, вместе взятых, если эти дуги равны, расположены симметрично относительно точек, отстоящих на 90° от апогея и перигея, и имеют общий конец в одной из этих точек, «истинное», т. е. видимое, движение равно среднему равномерному движению по соответствующей дуге эксцентрической орбиты. Свои рассуждения Ибн-Корра приводит для произвольных сколь угодно малых дуг эксцентрической орбиты.

Блестящим образцом кинематического исследования является описание движения Солнца в окрестности апогея и перигея в «Каноне Масуда» ал-Бируни. Рассматривая здесь движение точки по окружности, ал-Бируни подвергает его детальному математическому анализу. Если Ибн-Корра исходил из геометрических представлений, ал-Бируни сводит свое исследование к изучению поведения «уравнения Солнца», т. е. разности между дугами «истинного» и «среднего» движения, и разностей значений этого «уравнения» в концах дуг эксцентрической орбиты. Ал-Бируни показывает, что две указанные выше точки, в которых скорость видимого движения совпадает со скоростью равномерного движения по эксцентрической орбите, являются точками максимума «уравнения». Далее он показывает, что скорость видимого движения Солнца достигает в точках апогея и перигея максимума и минимума и что при перемещении от одного к другому наблюдается непрерывное возрастание и убывание скорости. Ал-Бируни связывает это с непрерывным возрастанием и убыванием «разностей уравнения», которые обращаются в нуль в точках максимума «уравнения».

В «Каноне Масуда» ал-Бируни пишет, что замедление движения Солнца по эклиптике в апогее переходит в его ускорение в перигее только после того, как оно проходит через равенство его и среднего движения в место наибольшего угла для уравнения. Изменение движения по обе стороны от этого места не ощущается, так как разность (уравнений) начинает уменьшаться от апогея до этого упомянутого места, потом как бы исчезает в нем, а затем увеличивается, пока Солнце не достигнет перигея.

Хотя ал-Бируни в своих трудах не выделил еще ни понятия ускорения, ни понятия скорости в общем виде, его исследование было существенным шагом в этом направлении. Эти идеи не получили, однако, дальнейшего развития на средневековом Востоке и возродились уже в Западной Европе три столетия спустя.

III. МЕХАНИКА В СРЕДНЕВЕКОВОЙ ЕВРОПЕ

Сдвиги в науке и технике Запада начались несколько позднее, чем на Востоке, — с конца XI в. Они были вызваны серьезными изменениями в экономике. К этому времени становится более продуктивным сельское хозяйство, возникают ремесла, развивается торговля и денежное обращение, усиливается рост городов. Крестовые походы способствуют знакомству Европы с культурными достижениями Востока. Энгельс писал: «…Со времени крестовых походов промышленность колоссально развилась и вызвала к жизни массу новых механических (ткачество, часовое дело, мельницы), химических (красильное дело, металлургия, алкоголь) и физических фактов (очки), которые доставили не только огромный материал для наблюдений, но также и совершенно иные, чем раньше, средства для экспериментирования и позволили сконструировать новые инструменты. Можно сказать, что собственно систематическая экспериментальная наука стала возможной лишь с этого времени»{51}.

Заметными становятся и успехи техники. В X—XII вв. большое развитие получили водяные мельницы, несколько позже — ветряные. Тогда же в Европе появились механические часы. Немаловажное значение для накопления знаний о законах природы имели изготовление военного снаряжения, кораблестроение, градостроительство, устройство крупных гидротехнических сооружений.

Развитие промышленности и повышение общего культурного уровня вызвали потребность в подготовке специалистов. Возникли светские школы, а в XIII в. были созданы новые университеты в Болонье, Париже, Падуе, Неаполе, Оксфорде. В XIV в. университеты были открыты в Пизе, Павии, Кракове, Вене, Гейдельберге, Ферраре и других городах. Старшими факультетами в большинстве университетов были богословский, медицинский и юридический, младшим — факультет искусства. Преподавание велось на латинском языке, который был общим языком для всех европейских ученых средневековья.

Одновременно возрастало и могущество церкви. Ее представители приспосабливались к изменяющимся условиям быстрее, чем светские феодалы. Богатства католической церкви росли со сказочной быстротой. Иннокентий III, бывший папой в 1198—1216 гг., объявил себя наместником бога на Земле. Теология продолжала играть основную роль в идеологической жизни. Для борьбы с «ересями» были созданы ордена доминиканцев и францисканцев и учреждена инквизиция, жертвой которой пали многие крупные ученые средневековья. Господствовала схоластика. Она основывалась на догматах христианской церкви и отличалась абстрактными, часто совершенно бесплодными и беспредметными рассуждениями. Но и сама схоластика менялась, приспосабливаясь к новым обстоятельствам.

В XII—XIII вв. европейская научная литература обогатилась большим числом латинских переводов с арабского и греческого. Стали доступными сочинения Платона, Аристотеля, Евклида, Архимеда, Птолемея, Герона, ал-Хорезми, Сабита ибн-Корры, Ибн-Сины.

Характерна судьба идей Аристотеля. Вначале его учение казалось опасным для церкви. Против него, как и против его средневекового комментатора Ибн-Рошда (Аверроэса), резко выступили многие влиятельные богословы, а в Парижском и некоторых других университетах было запрещено чтение лекций о «Метафизике» и естественнонаучных сочинениях Аристотеля. Вместе с тем церковь и ее идеологи пытались приспособить Аристотеля к Священному писанию. По выражению В.И. Ленина, «схоластика и поповщина взяли мертвое у Аристотеля, а не живое»{52}. Уже в 1366 г. церковный декрет повелевал изучать «Логику», «Метафизику» и «Физику», без чего нельзя было получить первую ученую степень. А затем естественнонаучные взгляды Аристотеля были догматизированы и всякие возражения против них объявлялись «ересью».

В этих сложных условиях происходило развитие естественных наук, в частности механики. Прежде всего отметим, что термин «механика» по-прежнему понимался в весьма широком смысле. В сочинении саксонца Гуго (1096—1141) «Дидаскалион» в нее включались текстильное дело, изготовление оружия, охота, мореплавание, земледелие и т. п. — фактически вся область технической деятельности человека. Такое же понимание встречается в различных рецептурных сборниках типа «Записок о различных ремеслах» монаха Теофила (X в.). В книгах, носивших название «Механика», рассматривались лишь прикладные вопросы и кроме того элементарная теория пяти простых машин (рычага, полиспаста, клина, винта и ворота).

Однако уже в XII—XIII вв. появляются сочинения, авторы которых обращаются к проблемам собственно механики, главным образом статики и кинематики.

Как и в странах ислама, началу самостоятельной разработки проблем механики в средневековой Европе предшествовал период, когда стали усиленно переводить греческие источники, сохранившиеся главным образом на арабском языке, а затем и сочинения ученых стран ислама. Это в особенности относится к кругу проблем, связанных со статикой.

Мы уже упоминали о «Механике» Герона, которая известна в арабском переводе Косты ибн-Луки. В этот период на латинский язык переведен позднеалександрийский трактат «De canonio», посвященный неравноплечим «римским весам» (безмену), в котором рассматриваются и случаи весомого рычага. Этим же вопросам посвящен другой позднеэллинистический трактат «Книга о весах», сохранившийся только в арабском переводе. Рассмотренный выше трактат Сабита ибн-Корры перевел на латинский язык Герардо Кремонский. Кроме этого перевода «Liber Charastonis» известен в переработанном виде, содержащем только перечень основных предложений без доказательств.

В 1269 г. Вильям Мербеке перевел с греческого трактат Архимеда «О равновесии плоских фигур». Ему же принадлежит перевод с греческого трактата Архимеда «О плавающих телах» с комментариями Евтокия. Упомянем также широко распространенный в Западной Европе в XIII в. трактат «О телах, плавающих в жидкости», представляющий собой либо перевод с арабского, либо переработку арабского оригинала изложения Архимеда.

Сочинения по механике этого периода с известной долей схематизма можно разбить на три группы, посвященные трем основным направлениям, наиболее четко раскрывающим характер средневековой механики Западной Европы. Это: 1) трактаты по статике, 2) трактаты по кинематике, 3) трактаты, в которых разрабатывается понятие «импетуса», связанные с теорией падения тел.

Теоретические исследования в области статики в этот период были дальнейшим развитием кинематического направления, восходящего к «Механическим проблемам» псевдо-Аристотеля. Фундаментальное значение в разработке этих проблем имели труды Иордана Неморария (XII в.) и его школы. Это целый цикл трактатов, посвященных «науке о тяжестях».

Самому Иордану принадлежат трактаты «О тяжестях», «Элементы доказательств, относящихся к тяжестям» (некоторые исследователи считают, что Иордану принадлежат лишь комментарии к «Элементам», тезисы которых восходят к античной эпохе) и «Книга о пропорции тяжестей», наиболее интересное из сочинений Иордана. Относительно авторства этого трактата у ученых имеются различные точки зрения. Одни считают его принадлежащим самому Иордану, другие — ученым, вышедшим из его школы. Основное понятие, которым оперирует Иордан, — «тяжесть соответственно положению» некоторого груза, которая принимает различные значения в зависимости от его места на плече рычага. Это понятие представляет собой дальнейшее развитие положения автора «Механических проблем» о том, что один и тот же груз может проявлять различную «тяжесть», т. е. различно «тянуть» в зависимости от своего положения на конце более длинного или более короткого плеча рычага.

Автор «Проблем», как мы видели выше (см. гл.- I), представлял круговое движение в виде комбинации «естественного» движения «сообразно природе» (тангенциального) и «насильственного» движения «вопреки природе» (центростремительного). В круге большего радиуса отклонение от прямолинейного движения («сообразно природе») меньше, чем в круге меньшего радиуса. Движение «тяжести сообразно природе» происходит по прямой вниз, и груз, опускаемый на конце более длинного плеча рычага, меньше отклоняется под действием центростремительного движения «вопреки природе», т. е. он будет больше «тянуть» книзу или иметь большую «тяжесть соответственно положению». Переходя к сравнению движений по разным дугам одного и того же круга, Иордан указывает, что «плечо, опускаясь в весах из своего высшего положения книзу, описывает круг, радиус которого всегда равен плечу весов… Поскольку большая дуга круга более противоположна прямой линии, чем меньшая, падение тяжелого тела по большей дуге более, чем падение по меньшей дуге, противоположно падению тяжелого тела, которое должно происходить по прямой. Очевидно, следовательно, что большее насилие налично в движении по большей дуге, чем по дуге меньшей; ведь иначе движение не становилось бы более противоположным. Поскольку, следовательно, при опускании получается большая помеха, ясно, что это происходит в соответствии е положением тяжелых тел, в дальнейшем такая тяжесть будет называться тяжестью соответственно положению»{53}.

«Более тяжелым, — говорится во всех трех указанных сочинениях, связанных с именем Неморария, — оказывается то, что при одном и том же положении опускается по линии, менее отклоняющейся от вертикали»{54}.

Таким образом, «тяжесть» тем больше, чем меньше отклонение груза от вертикали. Иными словами, это величина, прямо пропорциональная проекции на вертикаль возможного при данных связях перемещения груза. Поэтому, определив соотношение между проекциями перемещений на вертикаль, можно было тем самым определить соотношение между пропорциональными им «тяжестями согласно положению».

На этом в «Элементах» основано доказательство того, что при равных грузах и разных длинах плеч рычага перевешивает груз, подвешенный к концу большего плеча: при доказательстве сравниваются проекции дуг, описываемых концами рычага, на вертикаль. Аналогичным образом показывается, что «тяжесть соответственно положению» становится тем меньше, чем больше концы рычага отходят от горизонтального положения равновесия.

В трактатах Иордана рассматриваются не только величины дуг, описываемых концами рычага, но и величины подъема и опускания по вертикали. В «Элементах» доказывается, что скорости опускания грузов и их «тяжести находятся друг к другу в одинаковом отношении, а отношение между опусканием грузов и противоположным ему движением подъема — такое же, но обратное»{55}. На этом основывается доказательство основного закона рычага: при неравных плечах и грузах, обратно пропорциональных их длине, «тяжести соответственно положению» будут одинаковы.

Таким образом, условие равновесия рычага сводится к равенству «тяжести соответственно положению». В «Книге о пропорции тяжестей» это формальное геометрическое доказательство закона рычага распространяется на ломаный (коленчатый) рычаг. Условие его равновесия также доказывается с помощью сравнения вертикального подъема и опускания грузов. При доказательстве автор вплотную подходит к понятию о моменте вращения.

Понятие «тяжести соответственно положению» используется и при изучении движения на наклонной плоскости. В результате разложения силы тяжести на нормальную к плоскости и параллельную получается, что если грузы, поднятые на одинаковую высоту, прямо пропорциональны длинам наклона, то скорость в конце движения по наклонной плоскости будет одна и та же.

Далеко не все положения Иордана правильны. Так, в рассуждениях о ломаном (коленчатом) рычаге Иордан сравнивает «тяжести соответственно положению» для двух уравновешивающихся грузов в предположении, что оба груза опускаются, в то время как опускание одного из них ведет к поднятию другого. Подобные ошибки устранены в комментарии анонимного ученика Иордана (XIII в.). Он рассматривает «тяжести соответственно положению» только для таких перемещений грузов, которые одновременно не нарушают связей системы. Далее следует вывод об устойчивости равновесия прямого равноплечего рычага. Автор приходит к правильному выводу при рассмотрении условий равновесия ломаного (коленчатого) неравноплечего рычага. Новой является отсутствующая у Иордана задача о равновесии двух связанных грузов на двух наклонных плоскостях.

Как правило, в трактатах Иордана рассматриваются конечные дуги и их проекция на вертикаль. Однако и в «Элементах», и в «Книге о пропорции тяжестей» в нескольких случаях упоминаются «сколь угодно малые» и «любые» дуги. Впрочем, эти отдельные упоминания не отразились на общем подходе к исследованию всех рассматриваемых случаев равновесия рычага.

«Тяжесть соответственно положению» имеет некоторую аналогию с «силой движений» Сабита ибн-Корры. Это понятие можно рассматривать как дальнейший этап приближения к понятию работы силы тяжести на возможном перемещении.

Вся группа трактатов Иордана представляет собой, таким образом, следующий после арабских механических сочинений шаг на пути к принципу возможных перемещений в форме принципа возможных работ. Содержащиеся в них еще в смутной форме динамические понятия могли стать первыми звеньями связи между статикой и наукой о движении.

Трактаты Иордана и их обработки были широко распространены в Западной Европе в XIII—XV вв. Они известны во множестве копий этого периода. Помимо рукописей самих трактатов сохранилось значительное количество комментариев к ним XIII—XIV вв. Среди них два трактата Биаджо из Пармы (XIV в.), которые содержат как комментарий к трактатам Иордана, так и собственные исследования автора в этом направлении. Наиболее поздний дошедший до нас комментарий к «Элементам», принадлежащий Генри Англегену, относится к XV в.

Уместно поставить вопрос: в какой мере традиция, идущая от «Механических проблем» и разрабатываемая в трактатах Иордана, влияла на исследования по статике более позднего времени?

Среди исследователей на этот счет нет единого мнения. Одни отстаивали положение, что существует непосредственная преемственность между трактатами Иордана и сочинениями Леонардо да Винчи и Кардано; другие считали, что трактаты Иордана уже к концу XIV в. сохраняли лишь исторический интерес. Однако известны и более поздние их издания: Нюрнбергское («О тяжестях» Иордана), предпринятое в 1533 г.; подготовленное Тар тальей издание «О пропорциях тяжести» (Венеция, 1565 г.). Тарталья в своем собственном трактате «Вопросы и различные доказательства» приводит и комментирует многие предложения из трактата «О пропорциях тяжести». Ученик Тартальи, предшественник Галилея, Джованни Бенедетти в своем трактате «Книга различных математических и физических рассуждений» специальное место уделяет критике взглядов Иордана (а также своего учителя Тартальи). Есть основания считать, что влияние трактатов Иордана продолжало сказываться и в XVII в. Галилей был знаком с трактатом «О пропорциях тяжести» по изданию Тартальи.

Геометрическая статика, основанная на архимедовской традиции, на протяжении всего средневековья в Западной Европе развивалась сравнительно слабо. Большинство работ этого периода посвящено гидростатике.

В XIII в. в Европе был хорошо известен в латинском переводе упомянутый выше позднеэллинистический трактат «О телах, плавающих в жидкости», приписываемый Архимеду. Значительное распространение имели латинские переводы восточных трактатов, посвященных определению удельных весов, в частности трактата ал-Хазини «Весы мудрости». В переводах комментариев к этим трактатам уточняется понятие удельного веса, который противопоставляется «численному весу» (весу объема) вещества (в средневековых сочинениях плотность веществе определялась как отношение «количества вещества» к данному его объему, а удельный вес — как отношение «тяжести» к данному объему).

Под влиянием трактата Архимеда «О плавающих телах» Иоганнес де Мурис написал «Трактат о числах, состоящий из четырех частей». Автор пересказывает содержание трактата Архимеда, заменяя математические доказательства числовыми примерами.

К проблемам гидростатики обращается в своих «Вопросах к четырем книгам о Земле и небе Аристотеля» Альберт Саксонский (ум. в 1390 г.). В начале XV в. вопросами гидростатики (проблемой удельного веса) занимается Николай Кузанский. Его взгляды в определенной степени отражают знакомство с трактатом псевдо-Архимеда, хотя текст этого сочинения полностью лишен математических доказательств, столь характерных для этого трактата.

Однако по-настоящему геометрическая статика возрождается лишь в XVI в. в трудах Федериго Командино и его ученика Гвидо Убальди дель Монте, о которых мы расскажем в следующей главе.

Первое исследование по кинематике в средневековой Европе — трактат Герарда Брюссельского «О движении», написанный в конце XII — начале XIII в.

Развитие кинематики в древности связано с кинематико-геометрическим моделированием движения небесных тел в астрономии, применением движения в геометрии (например, у Архимеда) и развитием общих физико-механических теорий, которое следует главным образом аристотелевской традиции. Все это в той или иной мере отразилось на характере трактата Герарда. Основной интерес Герарда направлен на исследование соотношений между движениями линий, площадей и объемов, которые рассматриваются последовательно в его трактате. Заметим, что, следуя античной традиции, под термином «движение» Герард часто понимает скорость. Говоря о «равных движениях на дуге» и «равных движениях в точке», он, очевидно, имеет в виду скорость равномерного движения. Сравнивая линии двух фигур, Герард вводит принцип соответствия между двумя бесконечными множествами элементов. Этот метод обнаруживает большое сходство с приемом Архимеда, который тот применил в «Послании о методе», хотя этот трактат, по всей вероятности, не был известен в средневековой Европе. В согласии с этим приемом Герард рассматривает линии как совокупности точек, площади — как совокупности линий и т. д. «Если поверхности равны и любые их линии, взятые в том же отношении, равны и если ни одна из так взятых линий не имеет большего движения, чем линии другой поверхности, то и сама поверхность не будет иметь большего движения»{56}. Герард всегда сравнивает перемещения, происходящие за равные промежутки времени.

Герард рассматривает круговые движения точек и вращательные движения поверхностей и тел. Определяя линию как совокупность точек, он утверждает, что прямая движется «одинаково с любой своей точкой, а радиус, вращаясь, «движется одинаково со своей серединой».

Некоторые исследователи считают, что в самом предположении Герарда о равенстве средней скорости движения радиуса и скорости движения его средней точки (при вращении) уже содержится доказательство теоремы о средней скорости, которая впоследствии представителями Оксфордской школы была сформулирована следующим образом.

«Равномерно ускоряющееся или замедляющееся движение эквивалентно равномерному движению, происходящему со средней скоростью».

Герард говорит и о неравномерном движении в пространстве. Скорости (круговые пути, описываемые точками вращающегося радиуса) меняются от нулевой (начало радиуса) до максимальной (его конец).

Кинематическое исследование Герарда Брюссельского явилось спустя столетие отправным пунктом для исследований, принадлежащих ученым Мертон-колледжа в Оксфорде. Наибольшая активность мертонцев относится к 1328-1350 гг.

Родоначальником Оксфордской школы был Томас Брадвардин. В «Трактате о пропорциях или о пропорциях скоростей при движении» («Tractatus proportiomim sen proportionibus velocitatum in notibus») Брадвардин критикует мнение Аристотеля, согласно которому скорость v пропорциональна отношению P/R (v ∞ P/R). При P = R скорость равна единице, в то время как она должна равняться нулю, ибо движение прекращается. По Аристотелю, при постоянном R справедлива пропорция V1/V2 = P1/P2, а при постоянном Р — пропорция V1/V2 = R1/R2. Не учитывая указанную выше оговорку Аристотеля, Брадвардин возражает ему, отмечая, что в этом случае при убывании Р до нуля (или возрастании R до бесконечности) скорость также убывает до нуля. Следовательно, любая сколь угодно малая сила P может двигать любое сколь угодно большое тело R, но со скоростью, меньшей в соответствующее число раз. Кроме того, опыт показывает, что два человека могут двигать тело со скоростью, значительно большей, чем двойная скорость, сообщаемая одним человеком.

Брадвардин следующим образом формулирует свой основной закон скоростей: «Отношение скоростей при движениях меняется соответственно отношению движущих сил к силам сопротивления»{57}.

Закон Брадвардина можно записать в виде

По Аристотелю, скорость удвоится, утроится и т. д. при удвоении, утроении и т. д. отношения P/R.

Брадвардин же считал, что закономерность состоит не в простом удвоении, утроении и т. д., а в образовании составного — двойного, тройного и т. д. — отношения P/R, т. е. (P/R)2, (P/R)3 …. Иными словами, скорость изменяется

пропорционально не отношению P/R, а его логарифму. Брадвардин показывает, что при этом устраняется ограничение Аристотеля P > R на возможность возникновения движения. Согласно закону Брадвардина, случай P = R имеет смысл, так как логарифм единицы равен нулю. В «Трактате о континууме», написанном между 1328 и 1335 гг., Брадвардин обращается к понятиям времени и движения. Время он рассматривает как бесконечный, последовательный континуум, который измеряет следование и может быть делим до бесконечности. Движение есть прохождение пространственного континуума во временном: линия может быть проходима с разной скоростью. В то же время, предвидя возможные возражения, Брадвардин проводит различие между «качеством движения», т. е. скоростью, и «количеством движения», т. е. его продолжительностью. Движения могут не различаться по «качеству», но различаться по «количеству» (т. е. по продолжительности или кратковременности).

Закон Брадвардина был с одобрением принят многими, хотя и не всеми учеными XIV в. Подчеркнем, что этот закон содействовал укреплению представления о скорости как об отвлеченном отношении, в определение которого не входит ни понятие времени, ни понятие пути.

Фундаментальные понятия кинематики, такие, как мгновенная скорость и ускорение, появляются в XIV в. в связи с исследованием неравномерного движения. Развитие этих идей связано с новым направлением в науке — учением о «широтах форм» или «конфигурации качеств» (оно называлось также учением «о равномерности и неравномерности интенсивностей» или «об интенсификации и ремиссии качеств»). Истоки этого нового направления были связаны со спорами о логико-философском понятии «формы», восходящими к Аристотелю. Учение о «широтах форм» развивалось и в богословии, где обсуждались вопросы об «интенсификации и ремиссии» благодати, и в математике и механике, в применении к которым это учение содержало прообразы идей функциональной зависимости и ее графического изображения.

Математизация учения «об интенсивности качеств» происходила как в арифметико-алгебраической форме — в том виде, как это делалось учеными Оксфордской школы и в Мертон-колледже XIV в., так и в геометрической форме, как это делали представители Парижской школы. Итальянские ученые XV—XVI вв. сочетали оба эти пути.

Направление Оксфордской школы получило в 30-х годах XIV в. название «учения о калькуляциях», а его авторы — «калькуляторов». «Учение о калькуляциях» разрабатывалось в труде Уильяма Хейтесбери «Правила решения софизмов», в трактате Ричарда Суисета (Суайнсхеда) «О калькуляциях», в работе Джона Дамблтона «Сумма логики и физики».

Представители этого направления движение подразделяли на униформное (равномерное) и дифформное (неравномерное). Униформное движение понималось как такое, при котором в равные времена проходятся равные пути; все остальные движения относятся к дифформным. Понятие «интенсивности качества» применялось к скорости, которая рассматривалась как «интенсивность движения».

Ученые Мертон-колледжа определяли скорость через понятие равного промежутка времени. Существенным моментом здесь является то, что в отличие от Герарда Брюссельского и Брадвардина они ввели в это определение понятие «любой». Так, Суисет приводит следующее определение равномерного движения: «Униформное локальное движение (т. е. движение в пространстве) таково, что в любые равные промежутки времени описываются равные пути».

Хейтесбери дает определение равномерно ускоренного движения как такового, которое, «в любую из равных частей времени приобретает равные приращения скорости».

Мгновенной, или «точечной», скоростью в случае дифформного (неравномерного) движения мертонцы называли скорость, определяемую в любое мгновение по линии, которую прочертила бы наиболее быстро движущаяся точка, если на протяжении времени она стала бы двигаться униформно (равномерно), с тем же градусом скорости, с которым она движется в это мгновение, — какое бы мгновение ни взять.

Ускорение и замедление движения Хейтесбери называл соответственно «интенсивностью» и «ремиссией» «местного движения». Различение ускорения и замедления было связано с тем, что в XIV в. в Европе не располагали понятием отрицательных величин. Общее определение ускорения отсутствовало, но его умели должным образом охарактеризовать в конкретных случаях.

Так, специально рассматривалось униформно-дифформное движение, под которым понималось движение с постоянным ускорением. Согласно Хейтесбери, при униформно ускоренном или замедлендом движении скорость нарастает или уменьшается за равные промежутки времени на равную величину.

Одним из наиболее важных результатов механики была теорема об эквивалентности равномерно ускоренного движения (и вообще изменения) равномерному движению (изменению) со средней скоростью.

Формулировка этой «мертонской теоремы» такова: «Всякое униформно-дифформное изменение, начинающееся с не градуса (нуля), эквивалентно униформному изменению со средним градусом», т. е. в ускоренном движении, начинающемся из состояния покоя, пройденное расстояние s равно vt/2, где v — скорость в рассматриваемый момент времени.

Различные доказательства этой теоремы содержатся в упомянутых трактатах Хейтесбери, Суисета, Дамблтона и относятся к 1330—1340 гг.

Доказательство Хейтесбери начинается следующим утверждением: «Каждое приращение скорости, униформно приобретаемое или теряемое, отвечает средней скорости. Это предполагает, что движущееся тело униформно приобретает или теряет такие приращения, что за данное время проходит расстояния, в точности равные тем, которые оно прошло бы, двигаясь в то же время со средней скоростью». Это утверждение доказывается с помощью рассмотрения симметричных приращений и «потерь» скорости над ее «средним градусом». В своем доказательстве Хейтесбери исходит из свойства непрерывной пропорции a : b = b : c = (a – b) : (b –c) и применяет его к делению на «пропорциональные части» в отношении 2:1; так как первая «пропорциональная часть» равна сумме всех последующих, то разность между первым и вторым членами равна сумме всех последующих разностей. Поэтому, если взять в униформно-дифформной широте «градусы», убывающие в пропорции 2:1, то разность между высшим и средним (вдвое меньшим) «градусами» будет равна сумме разностей («широт») менаду средним «градусом» и «не градусом», т. е. 1/2 = 1/4 + 1/8 + 1/16 + … Далее Хейтесбери замечает, что аналогично можно доказать эквивалентность униформно возрастающей «широты» движения среднему «градусу». Таким образом он приходит к следствию, что тело, двигаясь равномерно замедленно со скоростью, убывающей до нуля, проходит в первую половину времени втрое большее расстояние, чем во вторую, т. е. что при униформном убывании «градусов движения» (т. е. скоростей) на первую половину времени приходится расстояние, втрое большее, чем на вторую.

Суисет приводит четыре различных доказательства этой теоремы, которую он формулирует следующим образом: «Всякая широта движения, униформно приобретаемая или теряемая, соответствует своему среднему градусу… так что столько же в точности будет пройдено благодаря этой так приобретаемой широте, сколько и благодаря ее среднему градусу, если бы тело двигалось все время с этим средним градусом».

Наиболее интересное из них — третье доказательство, которое проводится с помощью суммирования двух бесконечных рядов. Суисет исходит из деления интервала времени на «пропорциональные части» t, t/2r t/4, t/8, …, t/2n-1. В любой момент первой «пропорциональной части» времени тело будет двигаться вдвое быстрее, чем в соответствующий момент второй «пропорциональной части», и т. д. Поскольку первая «пропорциональная часть» времени вдвое больше, чем вторая, то тело пройдет за первую часть вчетверо большее расстояние, чем за вторую, за вторую — вчетверо большее, чем за третью, и т. д.

К задаче суммирования ряда Суисет сводит и примеры движений, в которых скорость меняется скачкообразно.

Представителю геометрического направления в науке XIV в. — Н. Орему (1323—1382) — принадлежит сохранившийся в многочисленных списках (и под различными заголовками) трактат «О конфигурации качеств», написанный в 1371 г.

Орем представлял «интенсивность качества», сосредоточенного в одной точке, в виде отрезка прямой линии. «Качества» могут быть линейными, когда они распределены по различным точкам математического объекта в одном измерении, плоскостными (два измерения) и объемными (три измерения). «Интенсивности» он предлагал изображать линиями, проведенными из точек прямой, характеризующей «экстенсивность». В современной терминологии «экстенсивность качества» соответствует абсциссе, «интенсивность» — ординате. Отрезки линий «интенсивности» Орем называл «широтами» (latitudo) «качеств» или «форм», а отрезки, в концах которых «широты» прилагаются, — «долготами» (longitudo). Длины «широт» пропорциональны «интенсивностям». Таким образом, зависимость между «интенсивностью» и «экстенсивностью» изображалась в виде плоской фигуры, ограниченной сверху некоторой кривой.

Постоянная «интенсивность» соответствует «униформному качеству», которое изображается четырехугольником. «Униформно-дифформному качеству» соответствует треугольник (если это «качество» в начальной или конечной точке равно «не градусу», т. е. нулю) или четырехугольник с двумя непараллельными сторонами. Эту геометрическую интерпретацию Орем применяет для разъяснения кинематических понятий. В этом случае время рассматривается как «экстенсивность», а скорость — как «интенсивность» движения. Понятие ускорения (velocitatio) Орем вводит как «интенсивность» скорости, а затем переходит к рассмотрению различных случаев как постоянного, так и переменного ускорения. Орем пользовался и понятием мгновенной скорости, которую называл точечной (velocitas punctualis).

Доказательство мертонской теоремы у Орема начинается со следующего утверждения: «О скорости следует сказать то же, что о линейном качестве, с той разницей, что вместо средней точки берут среднее мгновение времени, измеряющего скорость движения».

Однако Орем еще не дает самого определения средней, или, как он называл, «суммарной скорости» (velocitas totalis) и нигде прямо не говорит, что площадь рассматриваемой фигуры соответствует пройденному расстоянию, хотя такое понимание лежит в основе его рассуждений. Более четкое установление связи между пройденным расстоянием и площадью фигуры, ординаты которой соответствуют мгновенным скоростям, требовало аппарата бесконечно малых.

Стремление к полной геометризации проблемы помогло Орему в значительной мере избавиться от схоластического стиля Мертонской школы, но вынудило его оставить в стороне ряд тонких вопросов, которые эта школа разрабатывала. Возможно, поэтому в XV—XVI вв. произведения оксфордцев в странах Западной Европы (особенно в Италии) привлекали больше внимания, чем сочинения Орема.

Проникновение теории «широт форм» в Италию началось еще в середине XIV в. Трактат Джованни Казале (около 1355 г.), содержащий доказательство теоремы о средней скорости, — одно из наиболее ранних свидетельств влияния оремовской трактовки этой теории. «Униформно-дифформное качество» он представлял в виде прямоугольного треугольника, эквивалентного «прямолинейному качеству» (т. е. «униформному»). В то же время в основных вопросах он опирался на труды представителей Оксфордской школы, в частности Суисета.

В последнем десятилетии XIV в. появились два трактата о «широтах форм» Биаджо из Пармы: «О движении» и «Об интенсификации и ремиссии форм», написанные под влиянием сочинений «калькуляторов» (например, в доказательстве теоремы о средней скорости рассматривается симметричное возрастание и убывание скорости). В третьем его сочинении — «Вопросы к трактату о широте форм» — заметно влияние Парижской школы.

Казале и Биаджо не единственные проводники влияния Оксфордской и Парижской школ в Италии. Это влияние сказалось на направлении научной деятельности представителей Падуанской школы. В этой связи следует упомянуть сочинения Паоло Венецианского и комментарий Анджело да Фассамбруно к одному из трактатов Хейтесбери.

В середине XV в. (1460) Джованни Марлиани написал комментарий к «Калькулятору» Суисета, а также специальный трактат, в котором дает собственное доказательство основной мертонской теоремы и соображений Суисета о расстояниях, проходимых за «пропорциональные части» в униформно-дифформном движении. Этот результат никто в то время не ставил в связь с проблемой падения тяжелых тел, хотя во второй половине XIV в. учение о «широтах форм» преподавалось в разных странах Европы. Так, для нужд преподавания был составлен трактат «О широтах форм», который иногда неправильно приписывается самому Орему.

До конца XV в. в Италии печатались произведения «калькуляторов», но уже к началу XV в. учение о «широтах форм» перестало развиваться. Причиной этому было, с одной стороны, отсутствие непосредственного контакта с технической традицией естествознания, а с другой — недостаточность математического аппарата. Учение о «широтах форм» осталось не давшим плодов достижением вполне средневековой по своему духу, методам и стремлениям науки, несмотря на то, что содержало ряд моментов, получивших развитие в математике переменных величин и на начальных этапах развития классической механики. «Калькуляторы» были на подступах и к механике Галилея, и к геометрии Декарта и Ферма, и к теории неделимых Кавальери. Учение о «широтах форм» было известно до XVI —начала XVII в., но нет никаких определенных данных о его влиянии в эту эпоху. Можно подметить сходство некоторых положений Галилея и Декарта с положениями авторов XIV в. Однако, с другой стороны, Галилей, например, никогда не упоминает своих «предшественников». Это говорит о том, что, несмотря на знакомство со средневековой литературой, творцы новой механики исходили в своих исследованиях из конкретных запросов бурно развивающихся естествознания и техники, опираясь главным образом на классиков древности, особенно Архимеда, как об этом упоминает и сам Галилей.

Как попытка ответа на вопрос о механизме передачи движения в средневековой Европе появилась теория «импетуса» («импетус» нельзя отождествлять с каким-либо современным термином, но в некоторых случаях его можно считать эквивалентным импульсу).

К XIII в. относится начало формирования понятий, на основе которых впоследствии была создана эта теория. У многих авторов этого периода встречаются соображения об «импульсе», движущей силе и даже само выражение «импетус». Так, Фома Аквинский говорит о силе движущегося, которая сохраняется в брошенном теле, об «импульсе», который передается от бросающего к брошенному телу и позволяет ему сохранять определенное направление на пути к цели. В конце XIII в. Петр Иоанн Оливи представлял механизм передачи движения таким образом, что движущее тело сообщает движущемуся телу «запечатляющуюся в нем силу» как некое качество, которое он определял как «устремление к конечной цели движения».

В начале XIV в. проблемой движения брошенных тел занимался Франческо ди Маркиа, который, комментируя Аристотеля, считал, что некая «сила», или «способность», сообщается как среде, так и самому брошенному телу и сохраняется в нем некоторое время в зависимости от «меры» этой силы.

Однако впервые строго сформулирована теория «импетуса» была парижским номиналистом Жаном Буриданом (ум. в 1358 г.) в «Вопросах к физике Аристотеля», написанных после 1328 г., и в «Вопросах к сочинению Аристотеля «О небе», написанных около 1340 г.

В Париже теорию Буридана развивали Никола Орем, Альберт Саксонский и Марсилиус ван Инген. Благодаря двум последним она позже получила распространение в Германии и Австрии. В Италии ее разрабатывали Биаджо из Пармы и Паоло Венецианский, который отмечал, что эта теория поддерживалась большинством современных ему ученых. Наибольшее применение она имела для изучения движения брошенного тела и свободного падения тела.

Импетусом Буридан называет некую силу, которая исходит от движущегося и запечатлевается в движимом теле. Величина импетуса определяется как скоростью, сообщенной движимому телу, так и его «количеством материи» (т. е. массой). «Количество материи» является «мерой импетуса» в теле. В этом состоит причина того, что «труднее остановить большое быстро движущееся колесо мастера, чем маленькое»{58}. Исчезновению импетуса способствует, во-первых, сопротивление среды, а во-вторых, его «устремление к другому месту», если тело брошено не по вертикали вниз. Буридан утверждал, что «импетус продолжался бы до бесконечности, если бы не уменьшался и не разрушался от противоположности, оказывающей сопротивление, или еще от чего-либо, склоняющего к противоположному движению»{59}. «Движущее, приводя в движение движимое, запечатлевает некий импетус, — говорит Буридан, — т. е. некоторую силу, способную двигать это тело в ту сторону, в которую движущее его двигало: вверх, вниз, в сторону или по кругу»{60}.

Таким образом, он говорит об импетусе и как о «движущей силе», и как о причине продолжения движения. Буридан считал импетус постоянным качеством движущегося тела. Он запечатлен в этом теле таким образом, как магнитные свойства запечатлены в железе. Как постоянное качество импетус растрачивается не сам по себе, а только вследствие сопротивления среды или «противоположного сопротивления» тела.

Почти все сторонники теории импетуса приводили в пример движение точильного камня и волчка, которое нельзя было объяснить с помощью аристотелевской концепции промежуточной среды.

Буридан объяснял отскакивание шарика от земли по аналогии с отражением света, говоря, что начальный импетус сжимает его, когда он стукается об землю, а затем возникает новый импетус, благодаря которому он подпрыгивает вверх. Объясняя сохранение движения наличием некоторого запечатленного в теле качества, Буридан и сторонники его теории фактически не выходили за пределы концепции Аристотеля, которая гласит, что всякое движение нуждается в «движущей силе». Поэтому вряд ли правы те, кто считает теорию «импетуса» предвосхищением закона инерции, имея в виду некоторое сходство между количественным определением импетуса у Буридана и определением импетуса, или момента, у Галилея. Если Буридан и говорит о сохранении импетуса и сохранении движения неизменным, он относит это как к прямолинейному, так и к вращательному движению. Сторонники теории импетуса не проводили никакого различия между прямолинейным и круговым импетусом. Они считали одинаково возможным в любых случаях вводить и тот и другой.

Исторически теория импетуса скорее была заключительным этапом развития теоретических построений, связанных с критикой аристотелизма, чем началом новой линии развития, связанной со становлением классической механики. Она не привела, да и не могла привести, к установлению понятия инерции движения, хотя и содержала некоторые зачатки идеи самодвижения.

Значение теории импетуса состояло, во-первых, в ее приложении к движению небесных тел. При объяснении движения небесных тел с помощью этой теории отпадала необходимость во введении нематериальных так называемых «интеллигенции», или «ангелов», постоянно его поддерживающих. Нематериальному, божественному вмешательству предоставлялась только скромная роль сообщения первоначального импетуса; дальнейшее движение не требовало его участия.

«Бог в момент творения, — говорит Буридан, — сообщил небесам столько же и такие движения, какие существуют и сейчас, и, приводя их в движение, запечатлел в них импетусы, благодаря которым они затем двигаются равномерно, поскольку эти импетусы, не встречая сопротивления, никогда не уничтожаются и не уменьшаются». Согласно Орему, бог, создавая небеса, «наделил их качествами и движущими силами так же, как земные тела наделил тяжестью; и наделил их сопротивлениями этим движущим силам… Бог предоставил небесам двигаться непрерывно и в соответствии с пропорциями между движущими силами и сопротивлениями, в соответствии с установленным порядком»{61}.

Николай Кузанский сравнивает движение небесной сферы с движением шара. «Ведь эта сфера не движется богом-создателем и пе духом божиим, так же как и шар не движется тобою, когда ты видишь его катящимся, и не твоим духом, хотя ты и привел его в движение, совершая бросок рукой, своей волей сообщая ему импетус, и пока сохраняется этот импетус, движется и шар»{62}.

Теория импетуса, таким образом, объединяла движения земных и небесных тел в единую систему, подчиняющуюся общим законам механики. Кроме того, теория импетуса до известной степени освобождала учение о движении от понятия цели, так как в некоторых случаях при рассмотрении «насильственного» движения она не нуждалась в представлении о стремлении к «естественному месту». Но самое главное то, что, отрицая необходимость посредствующей материальной среды при «насильственном движении», она позволяла ставить вопрос о возможности отвергаемого Аристотелем движения в пустоте.

Буридану была хорошо известна теория Авемпаса, который (употребляя вместо скорости и плотности обратные им понятия «медленности» и «тонкости») пришел к выводу о том, что движение в пустоте происходит не мгновенно, а в течение некоторого времени. Сторонники теории импетуса, возражая Аристотелю и следуя за Филопоном, считали, что движение в пустоте возможно и происходит с различной скоростью. Они различали два вида скоростей: существенную и акцидентальную. Первая характеризует движение самого тела, а вторая обусловлена сопротивлением среды. Первая сохраняется при движении тела в пустоте, вторая исчезает. В пустоте тела падают с различной скоростью, сохраняя силу «тяжести» и силу импетуса. Вместо сопротивления среды сторонники теории импетуса вводили сопротивление, возникающее вследствие наличия расстояния между начальной и конечной точками движения, которое является причиной ограничения скорости. Буридан считал, что конечная величина скорости определяется конечной величиной «движущей силы».

Но хотя сторонники теории «импетуса» не смогли подойти к понятию об одинаковой скорости падения тел в пустоте, значительный интерес представляет количественный подход к исследованию этого явления и попытки его формального описания в их сочинениях.

Обращаясь к изучению падения тел, средневековые ученые Западной Европы ставили перед собой два вопроса: какова причина ускорения тел при падении? каким образом описать это ускорение кинематически?

Выше мы рассмотрели приемы кинематического описания равномерно ускоренного движения, однако это не распространялось на изучение свободного падения тела. Филопон, говоря о падении тел в воздухе, критиковал положение Аристотеля об обратной пропорциональности скоростей падения л «тяжестей». Если с одной и той же высоты падают две «тяжести», значительно отличающиеся друг от друга, то отношение между скоростями будет меньше, чем отношение между «тяжестями».

Эта проблема была предметом обсуждения предшественников западных номиналистов — ученых средневекового Востока, в частности упомянутых выше Ибн-Сины и ал-Богдади. Под влиянием учения Филопона они разработали теорию «запечатленной силы» и «устремления». Согласно их представлениям, когда тело начинает падать, оно получает некое «насильственное устремление». Это постоянное «насильственное устремление» противопоставлялось «естественному устремлению», которое управляет движением тела вниз. Хотя «насильственное устремление» постепенно ослабляется, оно в процессе движения тела, в особенности в начальный момент, замедляет свободное падение.

Но существует постоянная причина ускорения. Как только тело выведено из своего «естественного места», его «тяжесть» начинает «запечатлевать» в нем «естественное устремление». В течение всего времени движения это «естественное устремление» все больше и больше проникает в падающее тело, а по мере возрастания «устремления» возрастает его скорость. Аналогичное представление о двух силах, с которыми связано свободное падение тела, мы встречаем в XIII в. у Роджера Бэкона. Одна из этих сил определяется «естественной тяжестью», в то время как другая становится все более и более эффективной по мере приближения тяжелого тела к своему «естественному месту», т. е. тело движется тем быстрее и скорость падения его тем больше, чем ближе оно к «естественному месту» (это утверждение восходит еще к Аристотелю).

Бэкон ставил далее вопрос о характере этой второй силы. Не может ли «естественное место» действовать на тяжелое тело подобно тому, как действует магнит на железо? Но, возражал Бэкон, железо будет притягиваться магнитом, если находится от него на определенном расстоянии, в то время как тяжелое тело стремится к центру Земли «по собственной природе» с любого расстояния.

Существовала и Другая точка зрения: чем дальше тяжелое тело от «естественного места», тем быстрее оно движется. Этой точки зрения придерживался Буридан. Применяя понятие импетуса к изучению падения тел, Буридан объяснял его следующим образом: «Отсюда также становится ясной причина, почему естественное движение тела непрерывно ускоряется. Ведь сначала двигала одна лишь тяжесть, а потому двигала медленно, но в процессе движения она запечатлевала в этом тяжелом теле импетус, каковой импетус уже движет вместе с самой тяжестью, а потому движение становится более быстрым, и чем быстрее это движение становится, тем интенсивнее становится импетус, и таким образом оказывается, что движение становится более быстрым».

Буридан ссылается на пример, использованный Ричардом Мидлтоном еще в конце XIII в. Если некоторое тело A, падая с большой высоты, проходит мимо другого тела B, которое в свою очередь начинает падать именно тогда, когда первое тело находилось на одной высоте с ним, то тело А достигает земли раньше, чем тело B, тогда как по отвергаемой теории они должны были упасть одновременно. По Буридану, скорость падения тем больше, чем дальше от своего «естественного места», т. е. центра Земли, находилось тело в начале падения, ибо оно приобретает больший импетус. Присущая самому телу сила тяжести постоянна. Под действием ее одной тело падало бы с постоянной скоростью. Ускорение связано с действием импетуса, который возрастает по мере движения тела и величина которого зависит от веса последнего. Итак, тело аккумулирует импетус в процессе движения. Таким образом, кроме постоянной «тяжести», которая (согласно Аристотелю) является причиной движения с постоянной скоростью, Буридан ввел переменную «силу импетуса» (так называемую «акцидентальную тяжесть»), которую считал причиной ускорения движения тела. Аналогичную точку зрения высказывал Н. Орем в латинском комментарии к сочинению Аристотеля «О небе». Обращаясь к разъяснению термина «акцидентальная тяжесть», Орем говорил, что это означает «нечто, меняющееся в зависимости от ускорения движения, благодаря чему появляется некая способность — «импетус» и некая укрепляющая сила, позволяющая двигаться быстрее».

Альберт Саксонский в сочинении «О небе» дал систематический обзор различных попыток объяснить причину ускорения падающих тел. Изложив и отвергнув шесть относящихся к этому теорий, он излагает теорию импетуса, которую разделяет сам. «Чем дольше движется… тело, тем больший приобретает импетус. Подобно тому, как импетус приобретается соответственно движению, так соответственно он уменьшается или убывает при уменьшении или убывании движения»{63}.

Траекторию брошенного тела Альберт Саксонский рассматривает как состоящую из трех частей: первая часть— чисто «насильственное» движение, в течение которого «запечатленный» в брошенном теле импетус нейтрализует действие «естественной тяжести»; вторая часть — промежуточная, когда действует «составной» импетус и движение является комбинацией «насильственного» и «естественного»; третья часть — чисто «естественное» движение вертикально вниз под действием «естественной тяжести» и сопротивления воздуха, которые преодолевают действие импетуса. Первая часть траектории имеет вид горизонтальной прямой линии, вторая — криволинейный отрезок, переходящий в вертикальную прямую — третью часть. Эту теорию развивали Биаджо из Пармы, Николай Кузанский, а впоследствии и Леонардо да Винчи. В XVI в. встречаем ее видоизменение у Тартальи.

Орем считал импетус функцией не только скорости, но и ускорения. Рассматривая движение брошенного тела, он полагал, что движущее сообщает движимому начальное ускорение, являющееся причиной импетуса, который в свою очередь движет тело после того, как оно уже перестало находиться в контакте с движимым. Действие импетуса ускоряет движение тела до тех пор, пока он не ослабнет из-за сопротивления движению. После этого наступает замедление движения.

Интересна попытка Орема применить теорию импетуса к объяснению ускорения падения тела, которую он предпринял в своем комментарии к сочинению Аристотеля «О небе». Орем приводит две точки зрения. Согласно одной, постепенное возрастание скорости падения тела может дать только конечную скорость, согласно другой — бесконечную. Он рассматривает два примера бесконечного увеличения скорости: в одном случае это происходит в результате последовательного возрастания ее вдвое, втрое и т. д. за равные промежутки времени; во втором — возрастание скорости происходит последовательно за «пропорциональные части» времени t/2, t/4, t/8 и т. д. Увеличение скорости на конечную величину происходит тогда, когда скорость за равные промежутки времени получает последовательные постепенно убывающие приращения, так что она принимает последовательные значения у, v/2, v + v/2 + v/4 и т. д., а ее величина сходится к конечной величине, равной сумме ряда 1 + ¼ + 1/8 + … Вероятно, сам Орем придерживался точки зрения конечного возрастания скорости, когда она получает постепенно убывающие приращения за «пропорциональные части» времени. Конечное «возрастание скорости» за равные промежутки времени, по мнению Орема, происходит при движении небесных тел.

Аналогичные соображения вслед за Оремом высказывает Альберт Саксонский, который (в соответствии с Аристотелем) придерживался взгляда о бесконечном возрастании скорости падения тел. Он полагал, что движение возрастает вдвое и т. д. в том смысле, что если пройдено вдвое, втрое и т. д. большее расстояние, то соответственно движение становится вдвое, втрое и т. д. быстрее. По Альберту Саксонскому, скорость растет не в соответствии с «пропорциональными частями» расстояния и времени, а увеличивается в соответствии с удвоением, утроением и т. д. того или другого.

Таким образом, у Альберта Саксонского, как, впрочем, и у Орема, еще не было четкого представления о различии между скоростью и путем и между скоростью и временем. И Орем, и Альберт Саксонский объясняют с помощью теории импетуса широко распространенный в литературе XIV в. гипотетический пример камня, брошенного к центру Земли, который пролетает этот центр, а затем совершает вокруг него колебательные движения. «Если бы Земля была просверлена насквозь и в это отверстие было брошено тяжелое тело, то тогда центр тяжести этого падающего тела совпадал бы с центром Мира, это тело продолжало бы двигаться и дальше вследствие импетуса, который бы в нем еще не уничтожался, и при таком подъеме, когда этот импетус ослабел бы, это тяжелое тело, наоборот, опустилось бы и при таком опускании приобрело бы некоторый небольшой импетус, благодаря которому оно вновь двигалось бы за пределы центра, а когда этот импетус уничтожился бы, тело вновь опускалось бы и так двигалось бы оно около центра, качаясь, до тех пор, пока в нем больше не было бы такого импетуса, и тогда оно пришло бы в состояние покоя»{64}.

В дальнейшем это представление развивал Леонардо да Винчи. Некоторые исследователи видят в высказываниях сторонников теории импетуса (в особенности касающихся причин его уничтожения и возможности продолжаться до бесконечности) зародыш понятия об инерционном движении. Об этом можно говорить лишь со значительной степенью модернизации.

Как мы видим, пытаясь в какой-то мере раскрыть количественные связи между величинами, характеризующими движение, сторонники теории импетуса впадали в ту ошибку, которую допустили аристотелианцы: они считали, что скорость падения пропорциональна весу. Ни античные, ни средневековые теории не могли дать математического выражения для закона падения тел; они только намечали связи между скоростью, высотой и временем падения. Не смогло разрешить этой проблемы и упомянутое выше учение о «широтах форм», хотя Орем ввел понятие об ускорении как о постоянной «интенсивности движения» с равномерно возрастающей скоростью.

В заключение следует еще раз подчеркнуть, что большинство проблем механики в средневековье изучалось в плане не столько физическом, сколько общефилософском, в связи с общими понятиями движения (изменения), пространства, времени. Университетская наука была, как правило, оторвана от технической практики. Вместе с тем нельзя рассматривать средневековье только как период умственного застоя, в течение которого наука не развивалась. Тогда были бы совершенно непонятны причины, приведшие к эпохе Возрождения. Критикуя этот неверный подход, Энгельс писал: «В области истории — то же отсутствие исторического взгляда на вещи… На средние века смотрели как на простой перерыв в ходе истории, вызванный тысячелетним всеобщим варварством. Никто не обращал внимания на большие успехи, сделанные в течение средних веков: расширение культурной области Европы, образование там в соседстве друг с другом великих жизнеспособных наций, наконец, огромные технические успехи XIV и XV веков. А тем самым становился невозможным правильный взгляд на великую историческую связь, и история в лучшем случае являлась готовым к услугам философа сборником примеров и иллюстраций»{65}.

IV. МЕХАНИКА ЭПОХИ ВОЗРОЖДЕНИЯ

Начальный этап разложения феодально-крепостнических форм сельского хозяйства, рост городов и существенное увеличение роли городского производства, как следствие этого — бурное развитие техники, расширение международной торговли, бывшее одним из стимулов великих географических открытий, — вот причины тех глубоких социальных сдвигов, которые определяли историю Западной Европы в XV—XVI вв. и породили движение, называемое Возрождением.

Эти социальные сдвиги обусловили и радикальное изменение основного направления науки вообще и естественных наук в частности.

Естественные науки получили обширный материал, нуждавшийся в объяснении и систематизации.

Необходимость решения многочисленных новых технических проблем требовала преодоления существующего разрыва между наукой и практикой. Этому способствовало и приобщение к науке людей, непосредственно связанных с производством, — инженеров, архитекторов, ремесленников, которых не могли удовлетворить абстрактные схоластические рассуждения и теоретические спекуляции.

С другой стороны, в технике наступает такой момент, когда ее дальнейшее развитие становится невозможным без создания некоего теоретического базиса, т. е. техника потребовала широких и интенсивных научных исследований.

Механика оказалась одной из тех наук, которые испытали наиболее сильное влияние этих новых веяний. В исследованиях в области механики нуждались и астрономия, и военное дело (особенно артиллерия), и гидротехника, и строительство, и архитектура.

Но при этом механики эпохи Возрождения опирались в своем творчестве на результаты деятельности своих предшественников — ученых Востока и Западной Европы как в смысле критического освоения античного научного наследия, так и в смысле творческой разработки некоторых проблем механики.

Одним из итогов развития античной цивилизации было разобщение тех двух традиций, которые теперь в истории науки принято считать ремесленной и теоретической. Это в полной мере относится и к характеру античной механики, которая (в нашем современном понимании) объединяла три достаточно разнородные части античного научного наследия[7]. Это, во-первых, учение о пространстве, времени, материи, о движении и его источнике, принадлежащее теоретической (философской) традиции (античная «динамика»). Во-вторых, античная «кинематика»; это главным: образом математические методы, которые разрабатывались в астрономии, а именно кинематико-геометрическое моделирование движения небесных тел. Третье направление — античная статика и гидростатика — объединяет теоретические исследования Архимеда, проведенные со всей строгостью аксиоматического метода, и практические правила, объясняющие действие различных механических приспособлений («простых машин»), т. е. «техническую механику» своего времени. Статика и гидростатика Архимеда, естественно, принадлежат теоретической традиции, «техническая механика» древних — ремесленной традиции, традиции архитекторов, строителей и военных инженеров.

Столь же разобщенными продолжали оставаться три направления механических исследований и в средние века. Это в равной мере относится к развитию механических представлений как на средневековом Востоке, так и позднее в Западной Европе.

Начальным этапом развития механики на средневековом Востоке принято считать перевод и комментирование сочинений античных авторов.

Комментирование Аристотеля лежит в основе цикла трактатов о сущности движения и его источнике («движущей силе», «первом двигателе» и т. д.). Это комментирование послужило тем фундаментом, на который опиралась созданная впоследствии в Западной Европе теория «импетуса». Существенное влияние на формирование представлений о сущности и источнике движения оказала также продолжительная дискуссия в первой половине XII в. между Ибн-Рошдом и Ибн-Баджжей.

На средневековом Востоке интенсивно развивалось и кинематическое направление античной механики. Это было обусловлено необходимостью обработки результатов астрономических наблюдений, которые проводились в многочисленных обсерваториях. В зиджах IX—XV вв. и в большом количестве специальных трактатов разрабатывались принципы кинематико-геометрического моделирования видимого движения небесных тел. Однако, отправляясь от античной традиции, восточные астрономы сделали существенный шаг вперед в разработке представлений о кинематической сущности движения тел, а некоторые из них близко подошли к таким фундаментальным понятиям, как скорость неравномерного движения точки по окружности и мгновенная скорость в точке.

С переводом и комментированием трудов Архимеда связано развитие геометрической статики в странах Ближнего и Среднего Востока. Целый ряд трактатов посвящен теории весомого рычага и теории взвешивания. Значительное развитие получило и кинематическое направление античной статики, восходящее к «Механическим проблемам» псевдо-Аристотеля. В частности, влияние «Механических проблем» сказалось на получившем широкое распространение в средневековой Европе трактате «О корастуне» Сабита ибн-Корры.

В то же время большое значение на средневековом Востоке имела и ремесленная традиция. Содержанием многих специальных трактатов и специальных разделов восточных энциклопедий являются правила действия «простых машин», устройств для поднятия тяжестей, воды для поливки полей и т. д.

Характерной особенностью средневековой европейской механики является то, что большинство ее проблем рассматривалось не столько в механическом, сколько в общефилософском плане. Университетская наука, которая занималась этими проблемами, была, как правило, совершенно оторвана от технической практики.

Теоретические исследования в области статики преимущественно представляли собой дальнейшее развитие кинематического направления, восходящего к «Механическим проблемам» (трактаты «О тяжестях» Иордана Неморария и его школы).

Что касается традиции, связанной с геометрической статикой и гидростатикой Архимеда, то она не получила почти никакого развития и возродилась по-настоящему лишь в XVI в.

Астрономическое направление кинематических исследований в средневековой Европе почти не разрабатывалось.

Исследования в области кинематики, наиболее крупные из которых принадлежат Герарду Брюссельскому и родоначальнику Мертонской школы в Кембридже Томасу Брадвардину, были чисто умозрительными. Зачатки представлений о фундаментальных понятиях кинематики, таких, как скорость и ускорение неравномерного движения, появляются в XIV в. Их развитие связано с учением о «широтах форм», или «конфигурации качеств», истоки которого восходят к логико-философским спорам о понятии формы. Это учение, будучи вполне средневековым по своему духу и методам, оказалось практически бесплодным, несмотря на то что содержало ряд моментов, получивших развитие в математике переменных величин и на ранних этапах классической механики.

В поисках ответа на вопрос о сущности и источнике движения, причине его продолжения и механизме его передачи ученые средневековой Европы пришли к теории «импетуса», наиболее четко сформулированной Жаном Буриданом и применявшейся при изучении падения тела, его движения в пустоте и движения брошенного тела.

Для средневековой механики характерно дальнейшее углубление пропасти между теоретической и ремесленной традициями. Все, что в какой-то мере связано с ремесленной традицией, становится достоянием техники, к которой представители университетской науки относились с пренебрежением.

Таковы те результаты, с которыми механика вступила в эпоху Возрождения.

Наступление нового периода ознаменовано прежде всего новым отношением к механике[8], которая рассматривается как «благороднейшее из искусств, сочетающее с «благородством» величайшую пользу в житейских делах»{66}

Тенденция к возвышению прикладной механики заметна в посвящении Анри Монантейля к изданию «Механических проблем». Обращаясь к королю Генриху IV, он просит не презирать механику как нечто «неблагородное», ибо «наш мир есть машина, и притом машина величайшая, эффективнейшая, прочнейшая, прекраснейшая»{67}.

Когда Леонардо да Винчи говорит, что «механика — рай математических наук, ибо посредством нее достигают математического плода»{68}, то он имеет в виду техническую деятельность, которая реализует на практике теоретические положения «математических наук», под которыми он понимает и собственно математику, и физику, и астрономию.

Рассмотрим основные достижения механики Возрождения (в современном ее понимании), в формирование которой внесли свой вклад такие крупнейшие ученые, как Николай Кузанский, Леонардо да Винчи, Стевин, Коперник, Тарталья, Бенедетти, Кардано, Кеплер и др.

СТАТИКА

Существуют две точки зрения, в соответствии с которыми трактуется вопрос о путях формирования статики эпохи Возрождения.

Согласно одной из них, которой придерживался П. Дюэм, можно говорить о прямой преемственности между средневековой школой Иордана, разрабатывавшей кинематический вариант статики, восходящей к «Механическим проблемам», и статикой таких представителей Возрождения, как Леонардо да Винчи и Джироламо Кардано.

Сторонники другой точки зрения считают, что о такой преемственности говорить нельзя и что трактаты «О тяжестях» уже к XIV в. полностью потеряли свое значение. Однако вряд ли можно согласиться с последней точкой зрения. Известно, что в XV—XVI вв. эти трактаты продолжали переписывать и комментировать, а в XVI в. были дважды изданы трактаты самого Иордана.

Влияние школы Иордана, в частности работ итальянского ее представителя XVI в. Блазиуса из Пармы, можно проследить в опубликованных посмертно работах Леонардо да Винчи: «Трактате о живописи», «О движении и измерении воды» и целом ряде заметок.

Прежде всего Леонардо, как и его предшественники, обращается к закону равновесия рычага, который формулирует следующим образом: «Ту же пропорцию, которая существует между длиной рычага и противорычага, найдешь между величиной их весов и медленностью движения и в величине пути, проходимого каждым из их концов, когда они достигнут постоянной высоты своей точки опоры»{69}.

Этот закон формулируется на основании целой серии экспериментов, которые рассматриваются как промежуточная стадия работы, за которой следует теоретическое обоснование. Леонардо проводит его исходя из понятия «тяжести соответственно положению» школы Иордана[9]. В смысле строгости и логической стройности доказательство Леонардо значительно уступает формулировкам его предшественников; как и все подобные рассуждения, оно отражает свойственный ему инженерный подход к рассматриваемым явлениям. Его обоснование конкретнее физически и свидетельствует о реальном обращении с реальным рычагом. С помощью сформулированного правила Леонардо решает задачи как для линейного, так и для ступенчатого рычага.

ЛЕОНАРДО ДА ВИНЧИ (1452-1519)

Итальянский художник и ученый эпохи Возрождения, великий гуманист. Родился в г. Винчи. Работал во Флоренции, Милане, Риме; умер во Франции. Леонардо да Винчи был не только художником, но и математиком, механиком, физиком и инженером, которому обязаны важными открытиями самые разнообразные отрасли науки и техники 

В более поздних заметках он связывает правило рычага с понятием центра тяжести тела или системы тел, обнаруживая глубокое знакомство с архимедовской теорией равновесия плоских фигур.

Однако Леонардо усвоил лишь общую идею аргументации Архимеда, отбросив саму суть его математического метода. Математику же, без которой он, как и большинство представителей науки Возрождения, считал недостоверным всякое знание, понимает весьма узко: для него это лишь возможность численной проверки какого-либо утверждения; математической он считал такую формулировку, которая устанавливает числовую зависимость между несколькими величинами, обычно в виде пропорции.

Как практик он подходит и к теории весомого рычага.

«Наука о тяжестях, — говорит он, — вводима в заблуждение своей практикой, которая во многих частях не находится в согласии с этой наукой, причем и невозможно привести ее к согласию. И это происходит от осей вращения весов, благодаря которым создается наука об этих тяжестях. Эти оси, по мнению древних философов, имеют природу математической линии и в некоторых случаях являются математическими точками — точками и линиями, которые бестелесны; практика же полагает их телесными»{70}.[10]

Что касается конкретных задач на весомый рычаг, то Леонардо интересовали главным образом две из них. Первая, более простая, — задача о нахождении веса груза,который надо подвесить на меньшем плече весомого рычага (весов), чтобы уравновесить вес большего плеча, не имеющего груза; вторая, более сложная, — нахождение условия равновесия такого рычага, оба неравновесных плеча которого нагружены. Однако Леонардо не смог сформулировать общее правило равновесия такого рычага, хотя и учитывал вес коромысла балансированием его.

Следует отметить введенное им понятие «потенциального» плеча, под которым Леонардо понимал величину перпендикуляра, опущенного из точки опоры на направление силы. Эти представления можно с известной степенью осторожности считать зародышем понятия момента силы относительно неподвижной точки. Пользуясь понятием «потенциального» плеча, Леонардо правильно решает задачу о равновесии рычага, в концах плеч которого закреплены идущие под некоторыми углами нити, перекинутые через блоки и натягиваемые некоторыми грузами.

Опираясь на свои эксперименты с полиспастами и другими сочетаниями подвижных и неподвижных блоков, Леонардо пытался сформулировать правило соотношения сил и скоростей перемещения груза и точки приложения силы тяги, т. е. некий вариант «золотого правила» механики.

Менее удачными были его попытки установить условие равновесия на наклонной плоскости и распределение веса в косо поставленном стержне.

Проблематикой, связанной с дальнейшим развитием традиций школы Иордана, занимались и такие известные математики и механики Возрождения, как Тарталья (1499-1557) и Кардано (1501-1576).

Хотя Тарталью занимали главным образом вопросы динамики (движение брошенных тел), он неоднократно обращался и к проблемам статики. В частности, именно благодаря Тарталье представители Итальянской школы XVI в. получили возможность ознакомиться с основными проблемами статики XIII в. Тарталья обладал анонимным трактатом XIII в., написанным в традициях школы Иордана, который он после некоторой обработки и добавлений передал известному венецианскому издателю Курцию Трояну. Трактат был опубликован в 1565 г. под названием «Сочинения Иордана о тяжестях, изученные и исправленные Николо Тартальей»[11].

Существенное влияние трактатов «О тяжестях» сказалось в работах Кардано. В пользу этого свидетельствуют, в частности, его рассуждения о движении тяжелого тела по окружности, в которых он пользуется понятием «тяжести соответственно положению».

Кроме того, и Тарталья, и Кардано были знакомы с работами Леонардо да Винчи по механике, и это, вероятно, оказало определенное влияние на их творчество.

Но в статике XVI в. намечается и другая тенденция, тенденция к возрождению и развитию архимедовского направления геометрической статики, прочно забытой в средние века.

Началом изучения можно считать конец XV — начало XVI в., когда после взятия турками Константинополя в Западной Европе появились привезенные византийскими беженцами остатки собраний античных рукописей.

Франческо Мавролико (1494—1575) и Федериго Командино (1509—1575) принадлежат первые переводы Архимеда (на латинский язык) и комментарии к ним; причем оба автора помимо комментирования рассматривают и многочисленные собственные задачи на определение центров тяжести различных фигур.

Среди ученых, развивавших методы геометрической статики, следует прежде всего упомянуть ученика Командино Гвидо Убальди дель Монте (1545—1607), который был воинствующим сторонником архимедовской традиции и считал абсолютно несостоятельным направление школы Иордана. В отличие от кабинетных ученых, к которым принадлежало большинство «архимедистов» эпохи Возрождения, дель Монте сам непосредственно занимался инженерной практикой.

Вопросов статики он касается в двух сочинениях: «Книга о механике» и «Замечания по поводу трактата Архимеда «О равновесии плоских фигур». Кроме сочинений Архимеда дель Монте ссылается на Паппа и Герона Александрийского, влияние которых сказалось в его описании «простых машин».

В основе статики дель Монте лежит геометрическая теория равновесия элементарных систем подвешенных тяжелых тел. В своих рассуждениях он исходит из ряда допущений.

1. Центр тяжести подвешенного тяжелого тела находится на вертикали, проведенной через точку подвеса.

2. Моменты сил тяжести и сил тяги (или давления, если они имеются) относительно неподвижной точки равны.

Дель Монте еще не вводит явно понятие момента силы как произведения силы на перпендикуляр, опущенный из неподвижной точки на направление этой силы, но практически неоднократно им пользуется. С помощью геометрического метода он рассматривает задачи о равновесии рычага, весов и грузов на наклонной плоскости. Следует отметить, однако, что в некоторых задачах Дель Монте отступает от геометрической традиции. В задаче о равновесии груза, подвешенного на веревке, перекинутой через блоки, он прибегает к одному из элементарных вариантов принципа возможных скоростей.

Значительный вклад в разработку проблем геометрической статики внес другой крупный представитель науки Возрождения — Джованни Баттиста Бенедетти (1530— 1590). Хотя Бенедетти был учеником Тартальи, в статике он придерживался традиции Архимеда. Более того, в первых главах своего основного труда «Книга различных математических и физических рассуждений» он не только рассматривает ошибочные положения своего учителя, но и подвергает принципиальной критике основные положения школы Иордана, в частности понятие «тяжести соответственно положению».

В своей теории равновесия простейших систем подвешенных тяжелых тел Бенедетти исходит из следующих двух положений: архимедовского закона равновесия рычага и закона равенства моментов сил, т. е. полностью, как мы видим, примыкает к направлению дель Монте.

Понятием момента силы (хотя сам этот термин он еще не вводит) Бенедетти пользуется систематически и формулирует его достаточно четко. Он пишет, что «если хотят сравнить друг с другом величины, которые измеряют действия грузов или движущих сил, то следует каждую из них определять с помощью перпендикуляра, опущенного из центра рычага на направление силы».

С помощью принципа сравнения моментов сил Бенедетти получает окончательное решение поставленной еще Аристотелем задачи об устойчивости Т-образных весов в прямом и перевернутом положениях.

Таким образом, сторонники архимедовской традиции в механике итальянского Возрождения в добавление к архимедовскому принципу равновесия подвешенных тяжелых тел, связанному с понятием центра тяжести тела и системы тел, ввели в геометрическую статику принцип равенства моментов сил.

Хотя в трудах дель Монте и Бенедетти этот принцип представлен в чисто геометрической форме, однако само это понятие появилось под определенным влиянием кинематического направления. Выше упоминалось, что в зачаточной форме оно имеется уже у Леонардо да Винчи, с трудами которого, и в частности с его соображениями по этому поводу, ученик Тартальи Бенедетти был хорошо знаком.

Следует отметить, что и дель Монте, и Бенедетти, в общем далекие от кинематического направления, но связанные с инженерной практикой своего времени[12], проявляли определенную тенденцию к выработке кратких технических правил расчета равновесия тел, в которых сказывается влияние этого направления.

Крупнейшим и наиболее последовательным представителем геометрического направления был фламандец Симон Стевин (1548—1620). Его труды сыграли завершающую роль в развитии геометрического направления элементарной статики и гидростатики эпохи Возрождения.

Стевин был сторонником максимальной строгости и точности расчетов, которых, по его мнению, можно достигнуть лишь с помощью строгих и четких методов геометрической статики. В этом смысле он был наиболее ревностным последователем Архимеда и решительно отвергал традиции кинематической статики, в которой этой четкости не усматривал.

Первые главы его основного труда по механике «Начала статики» (впервые издан в 1586 г. на фламандском языке и переиздан в 1605 г. в собрании «Математических сочинений» Стевина) содержат резкую критику кинематического направления начиная с «Механических проблем».

Свою статику Симон Стевин строит аксиоматически. Вначале дается серия определений, в основу которых положена совокупность основных постулатов геометрической статики Архимеда. Таким образом, закон равновесия рычага Стевин выводит, опираясь на два упомянутых выше архимедовских принципа[13].

Далее этот закон используется для вывода условий равновесия в более сложных случаях. Кроме того, он вводит еще один дополнительный принцип, который можно назвать принципом невозможности вечного движения или принципом невозможности самостоятельного нарушения равновесия в системе, если это нарушение не меняет ни величины, ни расположения в ней грузов.

Руководствуясь этим принципом, Стевин доказывает условие равновесия груза на наклонной плоскости, точнее, в случае двух наклонных плоскостей. Это условие он формулирует в виде следующего предложения: «Пусть мы имеем треугольник, плоскость которого перпендикулярна, а основание параллельно плоскости горизонта; на двух других его сторонах расположены два шара одинаковой величины и одинакового веса; действующая тяжесть левого шара относится к соответствующей ему противолежащей действующей тяжести правого шара, как длина правой стороны треугольника к длине левой».

Приведем его доказательство.

Наклонные стороны рассматриваемого треугольника ABC с вершиной В относятся, как 2 : 1. К двум шарам на этом треугольнике, который представляет собой сечение призмы, Стевин добавляет двенадцать других одинаковых с ними шаров. «Соединим их друг с другом равными нитями, образовав из них ожерелье, в котором наши четырнадцать шаров находятся на равных расстояниях друг от друга. Наденем это ожерелье на наш треугольник так, чтобы на сторону АВ пришлось четыре шара, а на сторону ВС всего два». (Эту цепь с шарами равного веса на равных расстояниях друг от друга можно рассматривать как однородную тяжелую нить.)

Исходя из своего дополнительного принципа, Стевин считает, что рассматриваемая замкнутая цепь будет находиться в равновесии. Перемещение ее в любую из сторон ничего не меняет ни в величине, ни в расположении грузов системы, а цепь сама не проявляет тенденции к перемещению в какую-либо из сторон[14].

Восемь шаров, висящих под основанием треугольника, на равновесие не влияют, так как эта часть нити в состоянии покоя имеет совершенно симметричную форму. Если отбросить эту часть нити, то в состоянии равновесия системы оставшихся двух отрезков нити ничего не изменится. Эти отрезки будут уравновешивать друг друга. Следовательно, грузы уравновешиваются пропорционально длинам сторон.

Термин «действующая тяжесть» Стевин, как мы видим, употребляет для обозначения того, что позже стали называть составляющей силы тяжести вдоль наклонной плоскости. Его утверждение, таким образом, эквивалентно утверждению, что для уравновешивания груза на наклонной плоскости необходимо приложить к нему направленную вдоль этой плоскости силу, обратно пропорциональную ее длине.

Заметим, что еще Леонардо да Винчи принадлежат высказывания о невозможности вечного движения{71}. Аналогичные соображения высказывает Кардано: «Для того чтобы имело место вечное движение, нужно, чтобы передвигавшиеся тяжелые тела, достигнув конца своего пути, могли вернуться в свое начальное положение, а это невозможно без наличия перевеса, как невозможно, чтобы в часах опустившаяся гиря поднималась сама».

Установив правило разложения груза на наклонной плоскости, Стевин использует его для вывода правил разложения данной силы на две взаимно перпендикулярные составляющие и сложения сил, направленных под прямым углом друг к другу.

Заметим, что именно Стевин ввел обозначение сил стрелками и понятие силового треугольника (т. е. установил, что если три силы образуют треугольник, они уравновешиваются).

Существенные результаты Стевин получил, рассматривая задачи, в которых теория наклонной плоскости сочетается с теорией «веревочных машин» (т. е. блоков, полиспастов и др.). Обращение к этим вопросам в значительной степени стимулировалось практикой кораблестроения и техникой погрузки и разгрузки кораблей с помощью наклонной плоскости и «веревочных машин».

Рассматривая случаи, когда три нити образуют между собой углы, среди которых нет ни одного прямого, Стевин пришел к обобщению своего правила разложения силы на две взаимно перпендикулярные составляющие для общего случая ее разложения по правилу параллелограмма.

Насущными вопросами практики можно объяснить и то, что он включил в свою «Статику» особый раздел о блоках и полиспастах.

Значительную роль сыграли исследования Стевина в развитии гидростатики, а именно в области теории равновесия тяжелой жидкости. Особый интерес к вопросам гидростатики можно объяснить его практической деятельностью в должности инспектора плотин и консультанта голландского адмиралтейства.

Гидростатика Стевина (так же как и его статика) представляет собой дальнейшее развитие геометрического метода Архимеда на том уровне, которою требовала техника строительства плотин в Голландии XVI—XVII вв.

Кроме основных законов гидростатики Архимеда Стевин формулирует еще два положения, касающиеся элементарных свойств несжимаемой тяжелой жидкости.

1. О полной потере веса объема жидкости, если его погрузить в эту же жидкость. При выводе его Стевин применяет свой дополнительный принцип статики «о невозможности вечного движения». На основании этого принципа Стевин утверждает, что опускание такого объема внутри жидкости ничего не изменяет в расположении жидкости во всем сосуде.

2. Так называемый «принцип отвердения», смысл которого состоит в утверждении, что давление на поверхность частичного объема жидкости со стороны окружающей жидкости не зависит от того, чем заполнен этот частичный объем. Воображаемую поверхность этого объема, которая предполагается твердой и невесомой, Стевин называет «поверхностным сосудом».

Исходя из этих двух положений, он следующим образом выводит закон гидростатического давления. В силу первого положения «поверхностный сосуд», заполненный водой, не будет иметь веса внутри воды, а если он «пуст», то он испытывает давление вверх, равное весу воды, которая может его наполнить. Если же этот «сосуд» заполнен другим веществом, то в силу второго положения давление воды на него останется тем же самым. Следовательно, вес такого «сосуда» при погружении его в воду уменьшится на вес такого же объема воды.

«Принцип отвердения» используется далее для определения давления воды на дно сосуда произвольной формы, а также для вывода закона равновесия воды в сообщающихся сосудах.

Аналогичным путем подходит Стевин к задаче об определении давления воды на боковые стенки сосуда, задаче, которая имела существенное значение в практической деятельности по расчету плотин.

Говоря в целом о деятельности Стевина в области механики, можно считать его достижения завершающим этапом в развитии геометрического направления элементарной статики и гидростатики.

КИНЕМАТИКА

Выше мы уже упоминали, что астрономическое направление кинематических исследований в средневековой Европе почти не развивалось.

В эпоху Возрождения потребности естествознания и запросы техники, и особенно потребности астрономии, определяют особый интерес к кинематике.

Усовершенствование календаря требует уточнения и пересмотра теории движения небесных тел. Развитие мореплавания и техники определения географических координат с помощью астрономических наблюдений требует проверки и уточнения астрономических эфемерид светил.

Таковы были условия, в которых создавалась гелиоцентрическая система Н. Коперника (1473—1543), изложенная главным образом в его основном астрономическом труде «О вращениях небесных сфер»{72}. Низвергнув Землю до уровня остальных планет, Коперник сделал решительный шаг в установлении нового научного мировоззрения.

Нас в его системе, однако, должно интересовать другое, а именно ее значение в развитии механики.

Система Коперника чисто кинематическая; создавая ее, он исходил из пространственно-временных соотношений, ибо главной своей целью считал рациональное объяснение видимого движения небесных тел. Основой теории Коперника является понятие движения, не вызывающего никаких эффектов в движущей системе.

Размышления об относительности механических движений помогли ему обосновать возможность объяснения видимых движений светил, наблюдаемых земным наблюдателем, с помощью представления о подвижности Земли, ее суточном вращении и годичном обращении вокруг Солнца.

Соображения об относительности движения неоднократно встречались и до Коперника. Они имеются и в индийских астрономических сочинениях средневекового Востока. Намеки такого рода встречаются и у ученых Западной Европы. Таково, например, высказывание Николая Кузан:ского (1401—1464): «Для нас ясно, что Земля действительно находится в движении, хотя нам этого и не кажется, потому что мы замечаем движение по сравнению с чем-нибудь неподвижным… всякий, будет ли он находиться на Земле, или на Солнце, или на другой звезде, полагает, что он находится в неподвижном центре, а все другое движется»{73}.

Однако лишь у Коперника эти идеи оформились в цельную систему. Вот как он сам говорит об относительности механических движений: «Всякое представляющееся нам изменение места происходит вследствие движения наблюдаемого предмета или наблюдателя или, наконец, вследствие неодинаковости перемещений того и другого, так как не может быть замечено движение тел, одинаково перемещающихся по отношению к одному и тому же телу (я подразумеваю движение между наблюдаемым и наблюдателем)»{74}.

Существенное значение в развитии не только кинематики, но и кинетики вообще имеет полемика Коперника со сторонниками птолемеевскои теории о невозможности доказать суточное движение Земли. По их мнению, в случае, если бы Земля вращалась, то все предметы, находящиеся на ней и не связанные жестко с Землей, должны отставать от нее к западу, т. е. в направлении, противоположном ее вращению. Коперник утверждал, что всякое тело, падающее или брошенное с поверхности Земли, помимо присущего ему движения, «естественного» или «насильственного», имеет еще одно движение — кругообразное. «Истинное движение» тела, или «движение относительно Вселенной», складывается из двух движений. Подобные соображения позволяют говорить о том, что Коперник достаточно близко подошел к понятию об относительном и переносном движениях[15].

Как уже отмечалось, система Коперника имеет чисто кинематический характер. Динамика в ней присутствует лишь потенциально.

Дальнейший значительный рост техники, совершенствование изготовления наблюдательных инструментов и повышение точности астрономических наблюдений способствовали развитию небесной механики и связанной с ней кинематики.

НИКОЛАЙ КОПЕРНИК (1473-1543)

Польский астроном, создатель гелиоцентрической системы мира. Коперник совершил переворот в естествознании, отказавшись от принятого в течение многих веков учения о неподвижности Земли и раскрыв истинное строение Солнечной системы 

Открытием законов движения планет наука обязана Иоганну Кеплеру (1571—1630)[16].

Кеплер поставил перед собой задачу обосновать и подкрепить, основываясь на тщательной обработке материала наблюдений, гипотезы, лежащие в основе системы Коперника. Отправным пунктом его исследований послужили данные наблюдений Тихо Браге, которые оказались в распоряжении Кеплера после смерти датского астронома.

Первые два закона движения планет, открытые при обработке данных о движении Марса[17], он опубликовал в своей «Новой астрономии» в 1609 г. Третий закон, т. е. «кубы средних расстояний планет от Солнца пропорциональны квадратам их обращения», или — в формулировке самого Кеплера — «средние расстояния от Солнца состоят в «полуторном отношении» к временам обращения», т. е. (R : r)3/2 = Т: t, он вывел десятью годами позже (в 1619 г.) в «Гармонии мира».

По мере обработки материалов Тихо Браге Кеплер отходил от принятых традиционных методов, часто прибегая к приемам инфинитезимального характера. Данные наблюдений вынуждали его несколько раз менять свою схему и обращаться к различным формам орбиты планеты. Убедившись, что орбита планеты не может быть получена путем сочетания нескольких круговых движений, Кеплер не сразу пришел к эллипсу (сначала он предположил, что орбита представляет собой овал).

Согласно системе Птолемея, видимое движение планеты описывалось с помощью сочетания нескольких гипотетических равномерных круговых движений[18]. Кеплер же открыто признает возможность неравномерных круговых движений. Более того, он исследует вопрос, каким образом изменяется скорость подобных движений. Сначала на основе данных наблюдений он показал, что (с некоторым приближением) линейные скорости в апогее и перигее обратно пропорциональны расстояниям от Солнца, а затем уже распространил это рассуждение на все точки орбиты, т. е. утверждал, что скорости обратно пропорциональны радиусам-векторам.

ИОГАНН КЕПЛЕР (1571-1630)

Немецкий астроном, завершивший дело Коперника по обоснованию учения о движении Земли вокруг Солнца. Кеплер открыл три закона планетных движений, которые послужили Ньютону основой для установления закона всемирного тяготения 

Законы Кеплера явились первым (не только в небесной, но и в механике вообще) примером установления точных количественных законов движения материальных тел на основе обработки данных наблюдений движущегося тела.

Законы Кеплера, таким образом, позволяют определить траекторию и скорость тел на орбите, но и они в свою очередь являются по существу решениями уравнений движения.

Рассмотренные построения Кеплера чисто кинематические. Однако, не ограничиваясь ими, Кеплер размышлял и о динамическом объяснении своих законов. Он искал причину неравномерности движения по кругу.

Как ни велико значение открытии Кеплера для небесной механики и классической механики в целом, ему не удалось отыскать динамические принципы, которые дали бы рациональное объяснение движений планет.

Хотя его объяснения оказались неудовлетворительными, историческое значение поисков Кеплера очень велико, ибо первые попытки динамического объяснения движения планет стали вместе с тем первыми шагами к созданию действительной небесной механики.

Что же касается кинематических исследований, не связанных с астрономией, то почти все они в той или иной степени касаются динамических проблем.

ДИНАМИКА

Итак, в эпоху Возрождения были разрешены многие проблемы элементарной статики, значительные результаты получены в области кинематики. Динамика же фактически начинала делать только первые шаги.

Базой для этих первых шагов было, как и ранее, критическое комментирование представлений Аристотеля, связанных с понятием движения. Для Аристотеля понятие «местного», т. е. механического, движения является только частным случаем понятия изменения вообще. Это изменение должно иметь причину, вследствие которой оно продолжается в течение некоторого времени.

Как известно, аристотелевская традиция различала «естественное» и «насильственное» движения, из которых только второе требует вмешательства причины, внешней природе движущегося объекта. Это представление, господствовавшее в течение всего периода средневековья, стало тем тупиком, из которого следовало найти выход, чтобы механика получила условия для дальнейшего развития. Необходимо было преодолеть понятие о принципиальном различии между «естественным» и «насильственным» движениями и выработать единое представление о причинах движения вообще.

Существенные шаги в этом направлении были сделаны учеными эпохи Возрождения.

Одной из центральных проблем механики становится изучение движения брошенного тела, которое представляет собой сочетание «насильственного» и «естественного» движений[19].

Движение брошенного тела теперь рассматривается как «смешанное», которое начинается с помощью «насилия» и продолжается «естественным образом» лишь после некоторого переходного этапа. В связи с этим появляется представление о «составной» траектории такого движения, состоящей из трех участков: «насильственного» движения, «естественного» движения и переходного участка, промежуточного между ними.

Представление о «смешанном» движении в свою очередь породило многочисленные дискуссии, в основе которых лежали попытки сочетать традиционное понимание импетуса с необходимостью внести новое содержание в это представление.

Что такое импетус «смешанного» движения? Может ли он связать воедино оба эти принципа науки о движении, если для «естественного» движения он внутреннее свойство движущегося тела, а в случае «насильственного» движения он прилагается извне? Возможно ли одновременное существование обоих импетусов в «смешанном» движении и что происходит на промежуточном участке траектории брошенного тела? Традиционное представление исходило из положения, что независимо от того, является ли импетус причиной движения или порождается самим движением, в процессе самого движения он иссякает.

Теперь возникает представление о борьбе импетусов «естественного» и «насильственного» движений. Наиболее прост при этом случай вертикального падения тела, который можно было объяснить борьбой между одинаково направленными импетусами.

Характерным примером в этом смысле являются рассуждения Леонардо да Винчи в его комментарии к исследованию движения шара у Николая Кузанского.

Леонардо говорит о смешении того, что относится к двигателю, с тем, что относится к движущемуся телу, оперируя терминами «составной» и «разлагаемый». Четкого представления о движении брошенного тела он еще не имеет, хотя выдвигает некоторые соображения о составной траектории такого движения. По его представлению, вертикальное падение, которым заканчивается движение брошенного тела, есть признак того, что «насильственное» движение полностью исчерпано и уступило место «чисто естественному» движению. Промежуточную фазу он еще не рассматривает, а только подает мысль о ней.

Существенным вкладом в развитие динамических представлений этой эпохи явилось творчество Тартальи и Бенедетти.

Проблеме движения брошенного тела посвящен основной труд Тартальи «Новая наука» (в двух книгах), которая трижды переиздавалась в самой Италии и была переведена на английский, французский и немецкий языки. В предисловии к «Новой науке» Тарталья уточняет, что трактат посвящен не движению вообще, а движению тяжелого тела, т. е. баллистике.

Тарталью нельзя назвать создателем баллистики (этим занимался еще Леонардо да Винчи). Однако именно ему принадлежит первая попытка математизации этого до сих пор эмпирического искусства. Характерна в этом смысле сама структура «Новой науки»: она написана по образцу «Начал» Евклида.

В I и II предложениях «Новой науки» рассматривается «естественное» движение.

С одной стороны, Тарталья принимает классификацию Аристотеля, утверждая, что единственное «естественное» движение «одинаково тяжелого тела» — его падение. Все остальные (бросание снизу вверх, горизонтально или под углом к горизонту) — «насильственные», вызванные некоторой «движущей силой». Однако далее он подвергает сомнению основное утверждение Аристотеля, что скорость падения такого тела пропорциональна его весу. По мнению Тартальи, скорость падения пропорциональна высоте падения. «Всякое тело, — говорит он, — одинаково тяжелое [во всех своих частях], при естественном движении будет двигаться тем быстрее, чем больше станет удаляться от своего начала или приближаться к своему концу»{75}. Объясняя причину ускорения тела, он приводит образное сравнение со странником, возвращающимся на родину из далекого путешествия. По мере приближения к «родному гнезду» странник стремится идти с большим напряжением, причем тем большим, чем дальше место, из которого он идет. «То же самое, — говорит Тарталья, — делает тяжелое тело, двигаясь к своему гнезду, каковым является центр Мира, и с чем более далекого расстояния от этого центра оно движется, тем быстрее станет двигаться, приближаясь к нему»{76}.

Заметим, что, обращаясь к этому вопросу в I предложении, он еще не может совсем оторваться от традиционных взглядов, считая эквивалентным удаление тела от начала пути и его приближение к «естественному месту». Только во II предложении он формирует его более четко.

Мы видим, таким образом, что новые веяния у Тартальи своеобразно сочетаются со старыми представлениями (согласно Аристотелю) о стремлении тел к своему «естественному месту».

Несколько позже Тарталья в какой-то мере пытается преодолеть эту непоследовательность, рассматривая следующий мысленный опыт (к которому, впрочем, еще до него обращались представители Парижской школы «широт форм» Н. Орем и Альберт Саксонский, а также Леонардо да Винчи): если Землю просверлить насквозь и в это отверстие бросить тяжелое тело, то остановится ли оно в центре Земли, в котором должны останавливаться все тела, как это следует из концепции «естественного места»? Тарталья считает, что «скорость, заключающаяся в теле», заставляет его миновать центр, двигаясь «насильственным движением». Таким образом, по его представлению, «естественное движение» — падение к центру Земли — способно порождать «насильственное» — подъем. Обратное невозможно, так как (опять-таки согласно аристотелевской традиции) «естественное» движение имеет причину в самом себе.

В предложениях III и IV, аналогичных по структуре предложениям I и II, рассматриваются свойства «насильственного» движения, противоположные свойствам «естественного».

Тарталья утверждает, что при «насильственном» движении скорость постоянно уменьшается до тех пор, пока она не достигнет минимума, одного и того же для всех подобных движений. Чем больше пройденный путь, тем большая требуется начальная скорость.

Обращаясь далее к противопоставлению обоих видов движения, Тарталья вводит понятие «эффекта» движения». Эффект «естественного» движения зависит от высоты падения, эффект «насильственного» движения — от близости тела к отправной точке (в случае стрельбы — к стволу орудия). Таким образом, в какой-то степени Тарталья придает понятию «эффекта» смысл скорости.

«Естественное» движение всегда ускоренное, «насильственное» — всегда замедленное. Движение брошенного тела начинается с «насильственного», которое прекращается в точке, где скорость минимальна. Только после этого оно может продолжаться, но уже в виде «естественного».

Вторая книга «Новой науки» посвящена геометрии траекторий брошенных тел. Различие между обоими видами движений, по мнению Тартальи, проявляется в различии их траекторий. Траектория «естественного» движения — всегда вертикальная прямая, траектория «насильственного» движения может быть прямолинейной, криволинейной или составной.

В рассуждениях о составной траектории, состоящей из трех участков, Тарталья исходит из практики стрельбы. При стрельбе прямой наводкой, т. е. когда линия прицела параллельна оси ствола, траектория ядра почти строго прямолинейна на достаточно большом участке. Затем, на переходном участке, она имеет форму дуги круга и в нейтральной точке переходит в вертикаль. При горизонтальной стрельбе переходный участок равен четверти круга и соответственно больше или меньше ее, если прицел взят выше или ниже горизонтали.

Далее следует утверждение, что максимум расстояния, пройденного ядром, достигается при стрельбе под углом в 45° к горизонту. Это правильное утверждение не следует, однако, из предыдущих рассуждений и выдвинуто чисто интуитивно.

Следующая книга Тартальи, посвященная баллистике, — «Различные вопросы и изобретения», написанная в форме диалога между автором и несколькими собеседниками (литературный жанр, к которому впоследствии обратился Галилей), содержит некоторые уточнения его геометрии траекторий. В частности, он показывает, что, строго говоря, траектория «насильственного» движения не имеет никакой прямолинейной части.

Далее следует другое уточнение, что длина квазипрямолинейного участка траектории зависит не только от начальной скорости, но и от наибольшего угла стрельбы.

Современники Тартальи оценили лишь его вклад в геометрию траекторий. Для нас же теперь ясно, что основным его достижением на пути к созданию новой механики является анализ обоих видов движения и вывод об их симметрии, что позволило Тарталье прийти к выводу об их сочетании, хотя и не привело к понятию о единстве этих движений.

Решительный удар аристотелевской теории противопоставления «естественного» и «насильственного» движений нанес ученик Тартальи Джованни Бенедетти.

Обращаясь к проблеме падения тела, Бенедетти уже в своей первой книге «Решение всех задач Евклида, а также других при единственно заданном растворе циркуля» доказывает как истину то, что тела разной величины, но одинакового удельного веса будут падать с одинаковой скоростью[20].

Это новое утверждение Бенедетти отчетливо подразделяет на два момента:

1) падение определяется не весом тела, а избытком этого веса над весом равного ему объема окружающей среды;

2) исходя из понятия центра тяжести тела и его частей, он показывает, что каждая часть совершает при падении то же самое движение, что и все тело.

Вначале Бенедетти доказывает одинаковую скорость движения в пустоте для одинаковых тел того же удельного веса, но разной величины. Затем он переходит к рассмотрению падения тел в разных средах. То, что скорость падения в одной и той же среде разная при разных удельных весах, Бенедетти не доказывает. Из этого предположения он исходит в своих попытках определить величину скорости падения в зависимости от удельного веса (плотности) среды.

Скорости падения, полагает Бенедетти, пропорциональны «силе», т. е. разности веса и потери веса в среде[21]. Сущность рассуждений Бенедетти, как легко видеть, сводится к своеобразному (хотя и неверному) динамическому толкованию статического закона Архимеда: скорость падения пропорциональна весу тела, которое в любой среде теряет в весе столько, сколько весит вытесняемый им объем вещества.

Таким образом, в противоположность Аристотелю Бенедетти характеризует падение тел с помощью разности весов, а не с помощью их отношения. Заметим, что Галилей до открытия своего общего закона падения тел придерживался точки зрения Бенедетти, под существенным влиянием которого он находился в начале своего творческого пути. Таким значительным влиянием обладал уже юношеский труд Бенедетти.

Через тридцать лет после этого он публикует сборник своих трудов под названием «Книга различных математических и физических рассуждений», где излагает разработанное им учение, направленное против Аристотеля. Это учение — усовершенствованная теория «импетуса», которая сама по себе уже была ударом (хотя и нерешительным) по аристотелевской динамике. Согласно Бенедетти, «двигатель» не только не может быть вне движущегося тела, в частности в окружающей среде, но обязательно «вложен» в само тело. Поэтому два различных импетуса, «естественного» и «насильственного» движений, могут быть совместимы в одном и том же теле.

Импетус Бенедетти характеризует направлением, рассматривая его как некий прямолинейный элемент. Так, вращение волчка он объясняет прямолинейностью горизонтального и тангенциального импетусов, уравновешивающих «тяжесть» частей, к которым они приложены. Пока скорость волчка велика, это позволяет ему сохранять свое положение. Расходуясь, импетусы уступают место «тяжести», что ведет к падению волчка. Опираясь на эти рассуждения, Бенедетти показывает, что совершенного «естественного» движения (а им является только вечное и равномерное круговое движение) быть не может.

Таким образом, развивая теорию импетуса, он вплотную подошел к двум фундаментальным положениям: во-первых, совершенное «естественное» движение не существует; во-вторых, что самое существенное, в природе обоих традиционных видов переменного («естественного» и «насильственного») движения нет принципиального различия. Любое движение, возникающее по какой-либо причине или под действием «двигателя», осуществляется при помощи направленного прямолинейного импетуса. Четкой формулировки единства природы движения вообще у Бенедетти еще нет, но мы видим, что он достаточно близко к этому подошел.

Чтобы завершить характеристику творчества Бенедетти, следует остановиться на его критике положения Аристотеля о том, что движение падающего тела тем быстрее, чем оно ближе к «естественному месту». Как мы видели, Тарталья в первой книге «Новой науки» еще придерживался взгляда о формальной эквивалентности между удалением от начальной точки и приближением к конечной точке движения. Бенедетти же совершенно четко формулирует зависимость между скоростью и расстоянием от начальной точки движения. У Бенедетти это представление связано с учением об импетусе. Согласно его представлению, «воздействие» на падающее тело становится тем большим, чем дольше это тело движется. Ускорение при падении вызвано действием последовательных импетусов, непрерывно порождаемых самим движением по мере удаления движущегося тела от исходной точки.

«Прямолинейное движение, называемое естественным, — говорит он, — увеличивает все время свою скорость вследствие непрерывного воздействия, которое получает от причины, постоянно связанной с этим телом и являющейся естественным устремлением двигаться к своему месту по некоему кратчайшему пути»{77}.

По-новому подходит Бенедетти и к траектории «естественного» движения при падении. Для него вертикаль — это уже не путь, который ведет «путника» к «родному гнезду», а кратчайшее расстояние между двумя сферическими поверхностями, центры которых совпадают с центром Земли.

Творчество Бенедетти можно расценивать как существенную веху на пути, который привел к созданию классической механики (существенную именно потому, что его подход к понятию о единстве обоих видов переменного движения указывает, что именно следовало преодолеть, чтобы в ее развитии раскрылись действительно новые перспективы).

Говоря о попытках, предпринятых в XVI в. с целью объяснения закона падения тел, следует упомянуть, что первым, кто занимался систематическим экспериментальным изучением падения тел, был Стевин. Он писал: «Эксперимент, опровергающий Аристотеля, таков: возьми два свинцовых шара… и пусть вес одного в 10 раз больше другого. Дай им падать с одинаковой высоты в 30 футов на подставленную внизу доску или на другой твердый предмет, издающий звонкий звук. Тогда мы вполне убедимся, что более легкий шар не в 10 раз медленнее, чем тяжелый, а одновременно ударяет о доску, так что звук от обоих ударов кажется одним. То же самое бывает в телах равной величины, но весящих одно в 10 раз больше другого. Вот почему соотношение, указываемое Аристотелем, далеко от истины»{78}.

К эпохе Возрождения относятся и первые попытки приблизиться к понятию инерционного движения.

Некоторые соображения в этом смысле высказывал еще Аристотель, который утверждал, что приведенное в движение тело в пустоте должно либо находиться в покое, либо двигаться до бесконечности. Однако Аристотель приводит это соображение лишь как средство для доказательства (от противного) своего утверждения, что пустота в природе невозможна.

В попытках же, о которых идет речь, рассматривается не идеальный случай движения тела в пустоте, а конкретные случаи, когда устранены всякие поводы к изменению движения.

Для Николая Кузанского таким является случай движения идеального шара по идеальной горизонтальной плоскости. «Пусть пол совершенно плоский и шар совершенно круглый… Раз начав двигаться как таковой, такой шар никогда не перестанет двигаться, поскольку он не может менять свое состояние. Ведь движущееся не может перестать двигаться, не изменяя своего состояния в разное время. А потому шар, находясь на плоской и ровной поверхности, пребывая всегда в одинаковом состоянии, будучи однажды приведен в движение, двигался бы всегда»{79}.

В середине XVI в. движение шара по горизонтальной плоскости рассматривал Кардано. Он доказывал, что «всякое сферическое тело, касающееся плоскости в точке, движется в сторону под действием любой силы, способной разделять среду»{80}. Далее он утверждал, что для передвижения шара по горизонтальной плоскости достаточна сколь угодно малая или «никакая» сила. Если, по его мнению, устранить сопротивление воздуха, то тело будет двигаться всегда.

Еще более решительно высказывает эти мысли Стевин: «Любые тяжести, движимые по горизонтали, каковы корабли на воде, телеги на равнинах полей и т. п., не нуждаются для своего движения даже в силе одной мухи, если оставить в стороне те препятствия, которые создает окружающая среда и которые мешают движению, каковы вода, воздух, трение колес, осей, толчки и удары о мостовую дорог и т. п.»{81}.

Характерны размышления Кеплера по этому поводу. Небесное тело, по Кеплеру, имеет «в меру своей материи естественную неспособность переходить из одного места в другое, имеет естественную инерцию или покой и благодаря этому покоится в любом месте, где оно предоставлено самому себе» (дословно: «где оно находится в одиночестве»){82}.

«Всякое телесное вещество, или материя всех вещей, имеет то качество… что оно …неспособно само по себе переходить с одного места на другое, а потому тела должны быть притягиваемы или гонимы чем-то живым или иным»{83}.

Очевидно, что все упомянутые авторы были еще очень далеки от понимания самой сути закона инерции. Даже Кеплер понимает инерцию лишь как сопротивление тела силе, которая стремится вывести его из состояния покоя, но не изменить скорость его движения. Открыть первый закон движения удалось лишь Галилею.

Однако именно Кеплеру принадлежит попытка динамического подхода к объяснению движения небесных тел, которая стала вместе с тем первым шагом к созданию действительной небесной механики. Он еще понимал силу по-аристотелевски, как величину, пропорциональную скорости (а не ускорению). Убывание скорости планеты по мере возрастания ее расстояния от Солнца ассоциируется с формулировкой закона рычага, восходящей к «Механическим проблемам»: если планета дальше от Солнца, она «тяжелее» и поэтому должна двигаться медленнее.

Позже Кеплер ассоциирует свое понятие о силе тяготения с понятием о силе магнитного притяжения, исходя из представления о Земле как о большом магните.

С другой стороны, сила, действующая на планеты, по его мнению, «обнаруживает теснейшее родство со светом».

В то же время (хотя в большинстве случаев он говорил только о притяжении планет Землей) Кеплер высказывает и некоторые соображения о тяготении тел друг к другу. Сила такого тяготения, по Кеплеру, обратно пропорциональна объемам (массам) тел, поэтому при движении друг к другу они должны до встречи пройти расстояния, обратно пропорциональные их массам. Таким образом, и в этом случае он рассматривает скорости и расстояния в линейной зависимости от величины «движущей силы», т. е. еще «по-аристотелевски».

Объяснение движения небесных тел с помощью земной механики стало окончательно возможным только после того, как Декарт сформулировал принцип инерции для прямолинейного движения, а Галилей установил принципы относительности, инерции, независимости действия сил и понятия скорости в данной точке, ускорения, сложения движений. Они, хотя и не были доведены до своего окончательного выражения, составили тот остов, на который могли опираться дальнейшие исследования. В сочетании с законами Ньютона это позволило создать единую механику, объединяющую законы криволинейного движения Кеплера и принципы динамики Галилея.

V. НАЧАЛЬНЫЕ ЭТАПЫ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

ВВЕДЕНИЕ

Генезис новой отрасли механики — динамики — не только совпал по времени с возникновением классической науки в целом, но и был одним из основных условий такого возникновения. Став учением о движении, механика могла претендовать на гегемонию, она начала объяснять всю совокупность явлений природы, логически развивая свои исходные принципы. Впоследствии такое сведение законов мироздания к механическим законам оказалось недостаточным, наука столкнулась с несводимостью более сложных форм движения к механическому перемещению. Но картина мира, нарисованная наукой в XVII в., уже не могла быть отброшена. Ее можно было конкретизировать, дополнять, изменять, но все эти модификации давали сходящийся ряд. Главным направлением науки стало подтверждение и уточнение старых знаний, и старые теории в пределах своей применимости приобрели историческую инвариантность: время могло их изменить, но уже не могло отбросить. Научный прогресс приобрел необратимый характер.

Такая достоверность научных представлений в рамках механической картины мира тесно связана с новым стилем научного исследования. Статика не могла слиться с экспериментальным исследованием. Динамика могла это сделать. Эксперимент исходит из начального состояния системы, подтверждает логический или математический вывод, сделанный на основе представления о механизме изменения, механизме перехода от начального состояния к последующему. Динамика говорит о том, что будет с телом при определенных начальных условиях и при определенных воздействиях. Именно в этом состоит схема эксперимента. Поэтому развитие динамики было условием развития экспериментального исследования. Последнее и придало механическому естествознанию ту необратимость развития и ту достоверность, которые отличают науку XVII в. от научных представлений предыдущего периода.

Основная серия открытий, создавших динамику, охватывает весь XVII в. В первые десятилетия этого столетия в трудах Галилея был сформулирован закон падения тел; Галилей же исследовал законы движения падающих тел и законы качания маятника. В 80-е годы того же столетия появились «Математические начала натуральной философии» Ньютона, в которых проблемы динамики уже получили разностороннюю и глубокую математическую (правда, не аналитическую) разработку. Труд Ньютона был началом нового развития механики на подлинно математической основе, ее совершенствования средствами нового математического аппарата. Основными вехами этого нового периода явились труды Эйлера, прежде всего его двухтомная «Механика» (1736), и «Аналитическая механика» Лагранжа (1788).

Проблема подлинной математизации понятий движения и силы впервые во всей своей широте возникла в XVII в. Правильнее будет сказать, что движение стало в центре внимания не только механиков, но и математиков. «Поворотным пунктом в математике была декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и диалектика, и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление, которое тотчас и возникает и которое было в общем и целом завершено, а не изобретено Ньютоном и Лейбницем»{84}.

В своих «Началах» Ньютон несколько раз настойчиво заявлял, что он рассуждает как математик. Это заявление справедливо в особенности применительно к книге I, где Ньютон пытался формулировать проблемы с наибольшей общностью, лишь намечая те возможные конкретные истолкования, которые они получили в двух последующих книгах «Начал». Однако было бы совершенно неверно всецело доверяться в этом отношении внешней структуре «Начал». Если присмотреться к хронологической последовательности открытий Ньютона, нетрудно убедиться, что наблюдение, эксперимент, обобщенный теоретический вывод находились в сложном непрерывном взаимодействии. За абстрактными определениями, законами и теоремами «Начал» стоят собственно физические концепции, связанные с экспериментальными данными. Они в свою очередь обнаруживают зависимость от механико-математических обобщений. Эта сложная, нелинейная зависимость отнюдь не сводится, как можно было бы думать при чтении «Начал», к простой экспериментальной проверке теоретически выведенных положений, к простой сверке теоретических выводов с данными наблюдений.

Сказанное приложимо ко всей исторической обстановке XVII в. в целом. И здесь налицо сложнейшее взаимодействие между работой теоретической мысли, прогрессом экспериментальной техники, новыми наблюдениями, которые подчас неожиданно врывались в мир ученой мысли, вынуждали менять традиционные представления. В этой связи можно было бы напомнить о том, как первый повод к пересмотру старых представлений о боязни пустоты дало Галилею сообщение флорентийских мастеров о предельной высоте подъема воды при выкачивании ее насосами и как позднее, к 40-м годам XVII в., анализ тех же вопросов был поставлен Торричелли на почву строго продуманного эксперимента.

Для XVII в. характерно последовательное нарастание роли и значения эмпирических истоков механики. Столь же характерно, как и нарастание мощи логического и математического исследования. История начальных этапов классической механики показывает всю условность противопоставления рационалистического и эмпирического постижения истины. Эмпирическое исследование в XVII в. стало экспериментом в более точном смысле, чем раньше: речь шла об освобождении явлений от случайных осложняющих воздействий, о выявлении их механизма, причем механизма в буквальном смысле. С другой стороны, рационалистическое постижение мира оперировало понятиями, допускавшими измерение, наблюдения, количественный эксперимент.

В конечном счете это было связано с характером производства в XVII в. В это время горное дело включало гораздо более разнообразные, чем раньше, конструкции для откачки воды из шахт и подъема руды, в металлургических районах появились большие предприятия с механическими двигателями воздуходувок, с двигателями для дробления руды и обработки металла. Условия установки водяных колес стали настолько разнообразными, что ремесленная эмпирическая традиция стала недостаточной и понадобились теоретические соображения об их оптимальной конструкции. Баллистика и мореплавание также расширяли эмпирическую базу динамики.

В работах Галилея часто появляются прямые и явные ссылки на эмпирические корни динамики. Его «Беседы и математические доказательства» начинаются описанием венецианского арсенала. У Декарта таких картин меньше, но это не означает уменьшения роли эмпирических наблюдений. Декарт всю жизнь интересовался техническими проблемами, развитием мануфактур, разрабатывая планы специальных школ для ремесленников. В «Рассуждении о методе» Декарт писал, что физические идеи «позволяют достичь знаний, очень полезных в жизни, и вместо умозрительной философии, преподаваемой в школах, можно создать практическую, при помощи которой, зная силу и действие огня, воды, воздуха, звезд, небес и всех прочих окружающих нас тел, так же отчетливо, как мы знаем различные ремесла наших мастеров, мы могли бы наравне с последними использовать и эти силы во всех свойственных им применениях и стать, таким образом, как бы господами и владетелями природы»{85}.

Декарт требует от истинной науки отчетливости, которая уже достигнута в производственной технике. Но она была достигнута именно там, где речь шла о динамических задачах ремесла и мануфактуры.

В течение XVII в. эти задачи становились все ближе к другим, навеянным морской торговлей, мореплаванием и астрономическими наблюдениями. Здесь речь шла о теории движения небесных тел. Мысль, которая владела и Галилеем, и Декартом, и всеми основателями динамики, состояла в сближении земной, прикладной динамики с ее явными производственно-техническими истоками с небесной механикой. В конце концов это было достигнуто.

При этом необходима была количественная теория, поэтому в науке стали играть особенно важную роль уже применявшиеся в мореплавании методы точного измерения времени. Можно напомнить об открытии отставания маятниковых часов при изменении географической широты, которое впервые заметил Ж. Рише во время астрономической экспедиции в Кайенну, — неожиданном наблюдении, приведшем впоследствии к уточнению формы Земли, к новым соображениям о соотношении массы и веса, и т. д. С другой стороны, для иллюстрации встречи число теоретических построений и конкретных технических проблем показательно признание Христиана Гюйгенса, который отмечал, что циклоида исследовалась первоначально им, как и многими другими математиками, чисто абстрактно и лишь затем нашла свое применение при построении циклоидального маятника.

Нужно ли говорить, что успешная разработка динамики в XVII в., в частности в трудах Ньютона, была бы невозможна без астрономических наблюдений, сыгравших в становлении новой механики не меньшую (если не большую) роль, чем «земные» эксперименты, зачастую неточные из-за отсутствия хорошей экспериментальной базы и точных приборов. Наблюдения Тихо Браге послужили отправной точкой для Кеплера при открытии законов движения планет, носящих его имя, а эти последние не только получили свое объяснение в трудах Ньютона, но и явились одним из важных эмпирических подтверждений правильности теоретических выводов великого английского ученого. В дальнейшем мы несколько подробнее коснемся того, как, наоборот, неточные эмпирические данные затормозили на время ход теоретической мысли Ньютона, которая получила новый стимул лишь после точных градусных измерений Пикара.

Интересно проследить древние атомистические истоки классической механики.

Известно, что механика Галилея — Ньютона во многом примкнула к физике Демокрита — Эпикура. В основе ньютонова понятия массы лежит атомистическое представление о материи. Атомисты рассматривали тела как совокупность элементарных, однородных и неизменяемых частиц материи. Атомы неуничтожимы и несоздаваемы, они лишены всяких внутренних состояний и обладают единственным свойством — подвижностью. В этом учении уже содержалось по существу классическое представление о массе, которое нашло выражение у Ньютона (масса как мера количества материи определяется через плотность распределения частиц материи, заполняющих данный объем) и в несколько иной формулировке у Герца (масса определяется как относительное число атомов, содержащихся в данном объеме в данный момент времени).

Атомистический взгляд на строение материи Ньютон выразил следующим образом: «Бог вначале дал материи форму твердых, массивных, непроницаемых, подвижных частиц таких размеров и фигур и с такими свойствами и пропорциями в отношении к пространству, которые более всего подходили бы к той цели, для которой он создал их… Природа их должна быть постоянной, изменения телесных вещей должны проявляться только в различных разделениях и новых сочетаниях и движениях таких постоянных частиц».

Постоянство массы вытекает из постоянства атомов: так как атомы однородны и тождественны, то их массы пропорциональны объему. Удельные же веса, или плотности, сложных тел, представляющих собой комплексы одинаковых атомов, могут различаться, так как не все объемы заполнены атомами равномерно. Поэтому Ньютон и определяет массу сложных тел как меру количества материи, устанавливаемую пропорционально плотности ее и объему. Это определение массы, данное Ньютоном в его «Началах», представлялось многим критикам бессодержательным, ибо, по их мнению, само понятие плотности должно определяться через готовое понятие массы. Однако критика эта теряет основание, если согласиться, что в соответствии с атомистической концепцией Ньютон в приведенном выше определении имеет в виду не плотность массы, а плотность распределения атомов. Именно такое понимание массы, принятое Ньютоном, выражено точным образом в определении Герца.

К учению атомистов примыкают в значительной мере также классические представления времени, пространства и движения. Понятия пространства и времени атомисты совершенно отделяли от понятия материи: время и пространство существуют сами по себе, к материальным процессам, протекающим в них, они имеют чисто внешнее отношение. Эту концепцию целиком разделял Ньютон, выразивший ее следующим образом:

«Абсолютное, истинное математическое время само по себе и по самой своей сущности, без всякого отношения к чему-либо внешнему, протекает равномерно и иначе называется длительностью…

Абсолютное пространство по самой своей сущности, безотносительно к чему бы то ни было внешнему, остается всегда одинаковым и неподвижным…

Место есть часть пространства, занимаемая телом…

Абсолютное движение есть перемещение тела из одного его места в другое…

Как неизменен порядок частей времени, так неизменен и порядок частей пространства. Если бы они переместились из мест своих, то они продвинулись бы (так сказать) в самих себя, ибо время и пространство составляют как бы вместилища самих себя и всего существующего. Во времени все располагается в смысле порядка последовательности, в пространстве — в смысле порядка положения»{86}.

Нельзя, впрочем, забывать, что конкретно-исторический генезис идей Ньютона был значительно сложнее и наряду с отражением идей древних атомистов в ньютоновом учении об абсолютном пространстве можно найти отголоски позднеантичных концепций, которые дошли до Ньютона через кембриджских платоников.

Однако не только античная атомистика и позднеантичные концепции пространства воздействовали на развитие механики XVII в. Здесь особенно важно было древне-греческое представление о непрерывном движении. У Галилея эта концепция была тесно связана с воззрениями Архимеда. Дискретная часть вещества — античный атом — движется в непрерывном пространстве, и каждый отрезок его пути может быть разделен на сколь угодно большое число сколь угодно малых отрезков. Эта навеянная механикой Архимеда концепция Галилея открывает дорогу идее непрерывного ускорения и другим фундаментальным идеям классической механики.

В конце жизни Галилей писал о сложении криволинейного и прямолинейного движений у Архимеда как о непосредственном истоке своей теории движения.

«Я не предполагаю ничего иного, кроме определения движения, я хочу трактовать и рассматривать это явление в подражание Архимеду в его «Спиральных линиях», где, заявив, что под движением по спирали он понимает движение, слагающееся из двух равномерных, одного — прямолинейного, а другого — кругового, он непосредственно переходит к демонстрации выводов. Я заявляю о намерении исследовать признаки, присущие движению тела, начинающемуся с состояния покоя и продолжающемуся с равномерно возрастающей скоростью, а именно так, что приращения этой скорости возрастают не скачками, а плавно, пропорционально времени».{87}

Идея непрерывного приращения скорости — это не только исходная идея динамики Галилея, но и исходная идея всей динамики XVII в., «Математических начал» Ньютона и динамики следующего столетия. Более того, это центральная идея классической науки в целом. В механике Аристотеля рассматривалась лишь интегральная схема «естественных мест» и «естественных» движений и «насильственных» движений. Но при этом движение не рассматривали от точки к точке и от мгновения к мгновению. Теперь дело изменилось. В науке появилось дифференциальное представление о движении, об изменении скорости в данной точке, об ускорении. Отсюда изучение проблем динамики с помощью анализа бесконечно малых.

Как уже говорилось, для динамики XVII в. характерно сочетание логико-математического выведения одного понятия из другого и эмпирического изучения мира. Последнее приобретает характер эксперимента, в котором исследуется, проверяется, устанавливается рационально постижимый механизм процесса. В свою очередь логико-математический путь проходит через экспериментально постигаемые понятия.

Такое сочетание выражается в появлении аксиом, которые говорят не о геометрических понятиях, образах и объектах, а о поведении движущихся тел. Это аксиомы механики. К ним ведет долгий путь от интуитивного не-аксиоматизированного положения, молчаливо полагаемого в основу тех или иных выводов, до четко формулированной, логически осознанной аксиомы.

В этом отношении наиболее интересен, пожалуй, принцип сохранения, к которому в разной форме на разных этапах подходили ученые XVII в., принцип инерции как принцип сохранения «состояния», принцип сохранения количества движения, живых сил и т. д.

ИСТОРИЯ ПРИНЦИПОВ СОХРАНЕНИЯ

Современный историк механики не случайно начинает свою общую характеристику развития механики в XVII в. со следующего положения: «От ожерелья, надетого на наклонную плоскость, до первой подлинно математической физики мировой системы, через законы падения и движения брошенных тел в пустоте, законы удара, теорию колебаний маятника, гидростатику и тяжесть воздуха, сопротивление жидкостей и движение в сопротивляющейся среде — таков путь, пройденный механикой XVII века»{88}.

При доказательстве теоремы о равновесии на наклонной плоскости Стевин исходит из верного интуитивного принципа — невозможности вечного движения, возникновения движения из ничего. Мах называл этот еще неаксиоматизированный опыт инстинктивным познанием — определение вряд ли удачно, поскольку здесь налицо некое первичное обобщение повседневного практического опыта, презумпция здравого смысла, лежащая в основе деятельности каждого ремесленника. В этом отношении весьма показательны более ранние высказывания Леонардо да Винчи, проникнутые презрением к искателям вечного движения, а также взгляд Кардано, согласно которому для того, чтобы имело место вечное движение, нужно, чтобы передвигающиеся тяжелые тела, достигнув конца своего пути, могли вернуться в свое начальное положение, а это невозможно без наличия перевеса, как невозможно, чтобы в часах опустившаяся гиря поднималась сама.

ЭВАНДЖЕЛИСТА ТОРРИЧЕЛЛИ (1608-1647)

Итальянский физик и математик, ученик Галилея. Известен открытием давления воздуха и возможности существования вакуума (торричеллиева пустота). Он открыл также закон истечения жидкости из сосуда — первый научно обоснованный закон гидродинамики 

Как нечто само собой разумеющееся (хотя и не возведенное еще в ранг аксиомы) фигурирует тот же принцип у Галилея, ссылающегося на него мимоходом, в ходе аргументации. В его фундаментальном труде «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки», сказано: «Если невозможно, чтобы тяжелое тело или соединение таковых поднялось само по себе вверх, удаляясь от общего центра, к которому стремятся все тяжелые тела, то одинаково невозможно, чтобы оно само по себе стало двигаться, если его собственный центр тяжести не приближается при этом к общему центру».

В 1644 г. ученик Галилея Торричелли (1608—1647) опубликовал труд «О движении естественно падающих и брошенных тел», в котором исходил из следующего принципа, игравшего у него роль аксиомы: «Два груза, соединенные вместе, не могут двигаться сами без того, чтобы их общий центр тяжести не опускался. В самом деле, когда два груза связаны друг с другом так, что движение одного влечет за собой движение другого, — безразлично, получается ли такая связь посредством весов, блока или другого механизма, — оба будут вести себя словно один груз, состоящий из двух частей; но такой груз никогда не придет в движение без того, чтобы его центр тяжести не опускался. Стало быть, если груз расположен так, что его центр тяжести никак не может опускаться, он наверняка пребудет в покое в том положении, которое он занимает».

Из этой аксиомы Торричелли выводит закон равновесия на наклонной плоскости: «Если два груза расположены на двух плоскостях разного наклона, но одинаковой высоты, и если веса этих грузов стоят друг к другу в том же отношении, что и длины этих плоскостей, момент обоих грузов будет одинаковый». «В самом деле, мы покажем, — продолжает Торричелли, — что их общий центр не может опускаться, ибо, какое бы движение ни было придано обоим грузам, этот центр всегда находится на той же горизонтальной линии… Таким образом, два груза, связанные вместе, двигались бы, а их общий центр тяжести не опускался бы. Это было бы противно закону равновесия, выдвинутому нами в качестве принципа».

В несколько иной формулировке Торричелли дал тот же закон равновесия в другом своем сочинении «Об изменении параболы». Он исходил здесь из следующего предположения, служившего одновременно определением понятия центра тяжести. Природа центра тяжести, говорит Торричелли, такова, что «тело, свободно подвешенное в одной из своих точек, не сможет пребывать в покое, если центр тяжести не находится в самой низкой точке сферы, по которой оно движется». Отсюда Торричелли выводит, что в момент равновесия центр тяжести находится на вертикали точки подвеса и ниже этой точки{89}.

Гюйгенс (1629—1695) обобщил аксиому Торричелли на случай движения. В сочинении «Маятниковые часы» (1673) он выдвинул в качестве своего исходного предположения тезис, согласно которому при движении некоторого числа тяжелых тел под действием тяжести общий центр тяжести этих тел не может подняться выше, чем он был в начале движения. Эта гипотеза, по словам Гюйгенса, не означает ничего другого, чем то, что никем не оспаривалось, а именно, что весомые тела не движутся наверх. В отношении одного тяжелого тела нет никакого сомнения, что оно не может двигаться наверх, т. е. центр его тяжести не перемещается кверху. «Однако то же самое должно произойти, если мы будем иметь произвольное число весомых тел, соединенных негнущимися связями, так как ничто не мешает рассматривать их как одно тело. Следовательно, не будет подыматься и их общий центр тяжести». «Если теперь представить себе произвольное число тяжелых тел, не связанных между собой, то мы знаем, что и они имеют общий центр тяжести… Точно так же, как весомые тела, находящиеся в одной горизонтальной плоскости, не могут под влиянием тяжести все подняться выше этой плоскости, так же мало возможно, чтобы центр тяжести каких-либо тел, как бы они ни были расположены, поднялся до большей высоты, чем та, на которой он сейчас находится»{90}.

Свою гипотезу Гюйгенс считал возможным применить к жидкостям и вывести из нее теоремы Архимеда о плавании тел и многие другие теоремы механики. Гипотеза исключает идею вечного двигателя.

Исходя из принципа невозможности вечного двигателя, Стевин в «Прибавлении» к той же «Статике» формулировал применительно к равновесию системы блоков следующее положение: «Путь, проходимый грузом, относится к пути, проходимому грузом, испытывающим воздействие так, как сила этого последнего относится к силе первого».

«Золотое правило» механики было известно древним. У них оно формулировалось применительно к времени или скоростям движения, например у Герона: каково отношение одной силы к другой, таково обратное отношение одного времени к другому. Этот принцип был сформулирован им в отношении колес, блоков и рычага.

Применительно к явлениям равновесия, т. е. в области статики, этот принцип соответствовал, следовательно до некоторой степени позднейшему принципу виртуальных (или возможных) скоростей.

Известно, что в средневековых трактатах по механике выделяются два направления: одни авторы шли по направлению, намеченному в «Механических проблемах» псевдо-Аристотеля, и сравнивали «виртуальные скорости» (например, перемещения обоих концов рычага); другие рассматривали «виртуальные перемещения», т. е. вертикальные линии подъема и опускания.

По первому пути пошел позднее Галилей, сформулировав принцип статики в прямом соответствии с принципом «Механических проблем».

Принцип сохранения работы Декарт (1596—1650) формулировал в небольшом трактате о простых машинах, приложенном к письму К. Гюйгенсу (отцу Христиана) от 5 октября 1637 г., а в следующем году изложил его почти в тех же словах в письме Мерсенну от 13 июля:

«Изобретение всех простых машин основано на одном-единственном принципе, который гласит: та же сила, которая способна поднять груз, скажем, в 100 фунтов на высоту 2 футов, способна также поднять 200 фунтов на высоту 1 фута, или 400 фунтов на высоту 1/2 фута и т. д., если она будет приложена к этому грузу».

Мерсенну он писал о том же в следующих словах, называя этот принцип «основой всей статики»: «Не требуется ни больше, ни меньше силы для того, чтобы поднять тяжелое тело на определенную высоту, и для того, чтобы поднять другое, менее тяжелое, тело на высоту, тем большую, чем менее оно тяжело, или для того, чтобы поднять более тяжелое на высоту, во столько же раз меньшую. Так, например, если сила способна поднять груз в 100 фунтов на высоту 2 фута, она способна также поднять груз в 200 фунтов на высоту 1 фут, или 50 фунтов на высоту 4 фута и т. д., если она будет приложена к этому грузу»{91}.

В обоих случаях (в трактате и в письме, к Мерсенну) Декарт связывал этот принцип с положением, что всякий результат, или эффект, должен всегда быть равен действию, которое его производит.

Самый принцип Декарт считал аксиоматическим: «Он настолько ясен сам по себе, что не нуждается ни в каком доказательстве». Почему же он все-таки способен породить возражения и недоумения? Во-первых, полагал Декарт, люди стали «слишком ученые в механике» и развил в себе придирчивость к принципам, высказываемым другими; впрочем, эти принципы, надо признаться, действительно зачастую оказываются неверными. Во-вторых, полагают возможным доказывать без этого принципа вещи, которые Декарт доказывает при его помощи, например принцип блока. Могло, наконец, ввести в заблуждение и то, что Декарт привел ряд примеров — иллюстраций, способных создать ложное впечатление, будто он стремился доказать свой принцип. Следует добавить: одним из источников споров и недоразумений могло явиться то, что Декарт воспользовался таким неопределенным понятием, как сила, употребив его в новом смысле, расходившемся с повседневным и традиционным. Не мудрено, что ему пришлось объяснить это Мерсенну.

Термин «сила» означает у Декарта не способность производить те или иные действия (в смысле потенции), а действительно реализуемую энергию, или работу.

Работа, которую Декарт называет силой, зависит от двух переменных: от того, что мы теперь называем силой, и от проекции пройденного пути на направление силы. Эти переменные можно рассматривать как прямолинейные координаты, и тогда работа, производимая постоянной силой, будет изображаться посредством прямоугольника. Сам Декарт в письме к Мерсенну воспользовался подобной графической схемой. В этом смысле Декарт говорил, что сила, служащая для подъема груза на какую-либо высоту, имеет всегда два измерения, тогда как сила, служащая для поддержания груза, имеет всего лишь одно измерение, и, таким образом, «обе эти силы отличаются друг от друга настолько же, насколько поверхность отличается от линии».

По примеру Декарта Паскаль (1623—1662) исходит не из принципа возможных скоростей, а из принципа возможных перемещений. Во всех простых машинах — рычаге, блоке, бесконечном винте — «путь увеличивается в той же пропорции, как и сила». В гидростатике же «совершенно безразлично, заставить ли 100 фунтов воды пройти путь в один дюйм или один фунт воды — путь в 100 дюймов»{92}.

В те же годы тем же принципом пользовался Роберваль (1602—1675) в своем трактате по механике.

БЛЕЗ ПАСКАЛЬ (1623-1662)

Французский математик, физик и философ. Изобрел суммирующую машину. Открыл один из основных гидростатических законов, носящий его имя. На законе Паскаля основан гидравлический пресс и другие гидростатические машины 

Прошло, однако, более сорока лет, прежде чем Иоганн Бернулли (1667—1748) сформулировал принципы возможных перемещений в общей форме. Это было сделано им в письме к Вариньону из Базеля, датированном 26 января 1717 г. Вариньон включил его в свою книгу «Новая механика». Заметим, что Бернулли называл возможным перемещения возможными (или виртуальными) скоростями; из текста письма с полной очевидностью явствует, что, говоря «скорость», он подразумевал соответствующий отрезок пути.

Если рассматривать механику XVII в. со стороны ее воздействия на науку в целом, то особенно большое значение приобретает развитие идеи сохранения энергии. Действительно, понятие энергии позволило перенести то, что было создано в механике, в более общую область. При этом принципы механики и расширили и сузили область своего применения. Оказалось (значительно позже рассматриваемого периода), что эти принципы не могут быть применены в физике без существенной модификации, что физика не сводима к механике. Но в модифицированной форме принципы механики оказались чрезвычайно важными для физики. Понятие энергии выросло в механике, но стало оно фундаментальным понятием физики. Наряду с картезианской мерой движения в XVII в. появилась мера движения, которую Лейбниц назвал живой силой. Мы вернемся к этим вопросам ниже, здесь лишь отметим, что наряду с термином «живая сила» в XVII в. уже говорили и об энергии — это слово встречалось у Аристотеля. О сохранении живых сил говорил и Иоганн Бернулли. Он считал такое сохранение самым универсальным законом механики. Его также рассматривал Л. Эйлер, который связал живую силу с работой, измеряя приращение живой силы произведением силы на пройденный путь. Сам термин «работа» в этом смысле стал употребляться только в XIX в. Тогда же (в начале XIX в.) Т. Юнг (1773—1829) начал называть лейбницеву меру движения энергией движущегося тела. В дискуссиях о мерах движения участвовал и Даламбер, который высказал новые для того времени идеи о различной природе двух мер движения и об их применении в различных случаях.

ОСНОВНЫЕ ИДЕИ МЕХАНИКИ ДЕКАРТА

Мы видели, что принцип сохранения работы имел для Декарта характер аксиомы. Такой же характер имел для него принцип постоянства количества движения. В своих «Началах философии» Декарт в сущности не обосновывал его ничем, кроме ссылки на неизменность божественной воли.

Немного подробнее Декарт говорил о принципе сохранения количества движения за несколько лет до издания «Начал философии» в письме к де Бону от 30 апреля 1639 г. Он писал здесь так:

«Я утверждаю, что существует известное количество движения во всей сотворенной материи, которое никогда не возрастает и не убывает. Таким образом, когда одно тело приводит в движение другое, оно столько же теряет в своем движении, сколько отдает. Например, если камень падает с высокого места на Землю, я мыслю, что такая потеря происходит от того, что камень приводит в сотрясение Землю и передает ей тем самым свое движение; но если приводимая в движение Земля содержит в 1000 раз больше материи, чем камень, последний, передавая ей свое движение, сообщает ей лишь 1/1000 своей скорости».

Декарт продолжает: «И поскольку, когда два неравных тела получают одинаковое количество движения, это последнее не сообщает столько же скорости большому, сколько малому, можно в этом смысле сказать, что чем больше тело содержит вещества, тем больше оно имеет природной инертности. К этому можно добавить, что большое тело может лучше передавать свое движение другим телам, нежели малое, и что оно в меньшей мере может быть движимо последними. Таким образом, существует один вид инертности, зависящий от количества вещества, и другой, зависящий от протяжения его поверхности»{93}.

Здесь остается много неясностей, и, чтобы устранить их, нужно точнее раскрыть содержание самого понятия «количество движения».

Прежде всего следует заметить, что когда мы дальше обозначаем в соответствии с установившейся традицией количество движения у Декарта через mv, то обозначение m не должно ассоциироваться с позднейшим ньютоновским понятием массы[22]. Точно так же и обозначение v, как мы увидим, имеет у Декарта своеобразное значение. Итак, рассмотрим подробнее компоненты понятия количества движения у Декарта.

Для Декарта сущность материи заключается в протяженности; поэтому все физические различия и процессы в конечном итоге сводятся к форме pi величине тел и их движению. Природа тел, по Декарту, заключается «не в твердости, какую мы иногда при этом ощущаем, или в весе, теплоте и прочих подобного рода качествах, ибо, рассматривая любое тело, мы вправе думать, что оно не обладает ни одним из этих качеств, но тем не менее постигаем ясно и отчетливо, что оно обладает всем, благодаря чему оно — тело, если только оно имеет протяженность в длину, ширину и глубину».

Декарт ставил себе в заслугу то, что он без предположения, будто «бог вложил тяготение в вещество, составляющее Землю», показал, каким образом все ее частицы тем не менее должны стремиться к центру.

На ранних стадиях развития механики тяжесть рассматривалась по большей части как некое свойство самого тяжелого тела, а не как результат воздействия чего-то внешнего (например, притяжения другим телом). Действие тяжести могло изменяться от взаимодействия с другими факторами; в этом смысле говорили о результирующей «акцидентальной тяжести», о тяжести «соответственно положению» и т. д.

Совершенно иной характер приобрело понятие тяжести в картезианской физике, где все физические различия и процессы, как уже сказано, в конечном итоге должны были быть сведены к форме и величине тел и их движению. В картезианской физике сила тяжести оказывается результатом воздействия окружающих тел, а именно результатом движения тончайшей небесной материи. Поэтому в принципе становятся возможными «невесомые» тела.

«Согласно моему мнению, — писал Декарт Мерсенну, — тяжесть заключается не в чем ином, как в том, что земные тела в действительности толкаются к центру Земли тонкой материей».

По Декарту, представления о том, что материи как таковой свойственна тяжесть, что всякой материи как таковой присуще сопротивление пространственному движению, основаны на предубеждении наших чувств. Он пишет: «…С самого нашего детства мы привыкли переворачивать лишь тела твердые и обладающие тяжестью и, всегда встречая в этом трудность, убедили себя в том, что трудность эта проистекает из самой материи, а следовательно, является общей всем телам; это нам было легче предположить, чем принять во внимание, что в подобных случаях лишь тяжесть тел, которые мы пытались переворачивать, мешала нам их поднимать, а твердость и неровность их частей мешала нам их волочить, откуда вовсе не следует, будто то же самое должно случаться с телами, лишенными и твердости и тяжести»{94}.

Тяжесть, по Декарту, есть результат вихревого движения частиц тонкой материи (первого элемента), своего рода эфира, вокруг центра Земли; благодаря этому движению более крупные и более грубые частицы того вещества, которое Декарт называл землистым, или третьим элементом, обладающие более медленным движением, вынуждаются (поскольку пустота невозможна) заполнять место удаляющихся к периферии частиц тонкой материи, и это создает впечатление, будто тело, состоящее из землистых частиц третьего элемента, стремится к центру Земли.

Гюйгенс, развивший после смерти Декарта подобную же кинетическую теорию, так сформулировал ее принцип: «Вот в чем, вероятно, заключается тяжесть тел, — можно сказать, что это есть усилие тонкой материи, обращающейся вокруг центра Земли по всем направлениям, удалиться от этого центра и толкать на свое место тела, не следующие за этим движением».

Для пояснения своей концепции Декарт придумал следующий опыт. Чтобы понять, писал он, каким образом тонкая материя, кружащаяся вокруг Земли, гонит тяжелые тела к ее центру, наполните какой-нибудь круглый сосуд маленькими кусочками свинца, смешав вместе со свинцом несколько кусков дерева или другого вещества, более легкого, чем свинец, и заставьте сосуд этот быстро вращаться около центра. Увидите, что кусочки свинца будут прогонять куски дерева или камня к центру сосуда, хотя бы они были гораздо объемистее, чем маленькие кусочки свинца, посредством которых я представляю себе тонкую материю.

В 1669 г. в Парижской академии наук Гюйгенс демонстрировал два опыта, аналогичных тому, о котором говорил Декарт.

Первый заключался в следующем. Вода в круглом неподвижном сосуде приводилась во вращательное движение. В воду бросали кусочки немного более тяжелого вещества. Сначала они оставались около поверхности и увлекались водой, находясь у краев сосуда. Затем они падали на дно, вращаясь медленнее, чем вода, и скапливались в центре под действием центробежной силы воды.

Второй опыт производился также с круглым сосудом, наполненным водой. Но на этот раз вода вращалась вместе с сосудом. Поперек сосуда были натянуты две параллельные нити, по которым, как по рельсам, могло перемещаться небольшое тело, погруженное в воду. В первый же момент тело под влиянием центробежной силы оказывалось на конце диаметра. Затем сосуд внезапно останавливали. Вода продолжала вращаться, но тело съезжало по нитям к центру. Все происходило так, как если бы более медленное тело, находясь в более! быстром вихре, притягивалось к центру.

Описания тех же самых опытов можно найти в более позднем сочинении Гюйгенса «Рассуждение о причине тяжести».

На вращающемся диске укреплен цилиндрический сосуд, ось которого совпадает с осью вращения диска. Сосуд наполнен водой и покрыт стеклянной пластинкой.

РЕНЕ ДЕКАРТ (1596-1650)

Французский философ, физик, математик и физиолог. Декарт защищал положения о материальности и бесконечности Вселенной, о неуничтожимости материи и движения. В математике им заложены основы аналитической геометрии, впервые широко использовано понятие о переменной величине, введены многие из применяемых ныне алгебраических обозначений 

В воду погружены кусочки размельченного сургуча. Когда диск приводят в движение, эти кусочки устремляются к краю сосуда. Когда вода приобретает скорость вращения, равную скорости диска, последний останавливают: кусочки сургуча устремляются тогда к середине сосуда, так как движущаяся вода гонит их туда благодаря своей центробежной силе. Поскольку она до некоторой степени продолжает увлекать кусочки, они движутся к оси по спирали; если же устранить эти влияние посредством горизонтально натянутых проволок, кусочки направляются к оси радиально.

Декарт предвидел возражение против своей гипотезы: центробежная сила нормальна к оси вращения, следовательно, нормальна к ней и центростремительная сила.

Поэтому тяжесть должна была бы быть направлена не по радиусам к центру Земли, а по нормалям к земной оси так, что на экваторе она была бы максимальной, а на полюсе — бесконечно малой, будучи направлена по касательной к земному шару. Декарт пытался найти выход из затруднения, предположив, что частицы тонкой материи движутся по всем направлениям и в каждой точке сферы равнодействующая оказывается направленной по радиусу. Точно так же Гюйгенс заменил цилиндрический вихрь Декарта сферическим, предполагая, что частицы тонкой материи движутся по всем возможным направлениям вокруг Земли.

Исходя из своей теории и предположив, что тяжесть тела зависит лишь от той части небесной материи, которая занимает объем, равный объему тела, Декарт следующим образом пытался количественно уточнить понятие тяжести: «Замещая тело, когда последнее опускается, тяжесть любого землистого тела (состоящего из землистых частиц третьего элемента) производится собственно не всей небесной материей, его обтекающей, а лишь той ее частью, которая непосредственно поднимется на его место, когда это тело опускается, и которая потому в точности равна его объему». Но любое землистое тело (твердое тело), как и воздух, заполнено тонкой материей в промежутках между его землистыми (твердыми) частицами. В менее плотных телах такой тонкой материи больше, в более плотных — меньше.

В другом месте «Начал философии» Декарт приводил понятие количества материи в соответствие с плотностью. Это видно из того, что количество движения планет он ставил в зависимость от их плотности, характеризуемой отношением совокупного объема частиц третьего элемента к геометрическому объему планеты.

Отголоски этого картезианского понятия количества материи можно заметить позднее у Ньютона, который начинает свой классический труд со следующего определения: «Количество материи есть мера таковой, устанавливаемая пропорционально плотности и объему ее»{95}. Ньютона упрекали в логическом круге: количество материи определяется на основании плотности, тогда как плотность в свою очередь определяется на основании количества материи в данном объеме. Такого круга не будет, если принять во внимание, что за приведенной фразой «Начал» скрывается другое, неявно подразумеваемое определение количества материи как величины, пропорциональной количеству частиц в данном объеме.

Здесь мы сталкиваемся с характерной чертой творчества Ньютона: за аксиоматизированными определениями стоят собственно физические, часто гипотетические построения (в данном случае атомистические) и обобщенные результаты экспериментов. Корпускулярное определение количества материи неизбежно вело к представлению о постоянстве этого количества: совокупный объем частиц в данном геометрическом объеме не может возрасти или убавиться, новые частицы не могут возникнуть из ничего или обратиться в ничто, для них нет места в пространстве, сплошь заполненном прежними частицами и тонкой флюидной материей. Однако тяжесть, или вес, зависящая, но Декарту, от внешнего воздействия на тело, может измениться, например в том случае, если частицы изменят свою форму, т. е. увеличат или уменьшат величину своих поверхностей, испытывающих воздействие омывающей их флюидной материи.

Видимо, именно в этом смысле следует понимать приведенные выше слова Декарта: существует один вид инертности, зависящий от количества вещества, и другой, зависящий от протяжения его поверхностей. Итак, по Декарту, пропорциональность между количеством материи и тяжестью, или весом, не всегда соблюдается.

В исторической перспективе этой картезианской традиции следует рассматривать позднейшие суждения Ломоносова, который несколько раз весьма решительно заявлял о своем несогласии с ньютоновым принципом пропорциональности количества материи и веса.

Принцип сохранения количества движения был формулирован Декартом в «Началах философии» в теснейшей связи с тремя законами природы, которые он считал основными.

О третьем законе речь будет дальше. Первые два уточняют понятие инерции.

В первом законе в самой общей форме дан универсальный принцип сохранения: «…Всякая вещь продолжает по возможности пребывать в одном и том же состоянии и изменяет его не иначе, как от встречи с другими». Состояние — очень широкое понятие, охватывающее, например, такие отличительные особенности тела, как его форма, или фигура.

Декарт ссылается на пример квадратной частицы материи, которая пребывает квадратной, пока не явится извне нечто, изменяющее ее фигуру. Покой для Декарта есть такое же состояние материи, как и ее движение. Поэтому всякое изменение как покоя, так и движения немыслимо без разумного основания, или причины. Если та или иная часть материи покоится, она сама по себе не начнет двигаться. «Мы не имеем также основания полагать, чтобы, раз она стала двигаться, она когда-либо прекратила это движение или чтобы оно ослабело, пока не встретилось что-либо его прекращающее или ослабляющее». Это последнее утверждение Декарт считал нужным подкрепить ссылкой на то, что «покой противоположен движению, а ничто по влечению собственной природы не может стремиться к своей противоположности, т. е. к разрушению самого себя».

Второй закон уточняет первый и гласит: «Каждая частица материи в отдельности стремится продолжать дальнейшее движение не по кривой, а исключительно по прямой, хотя некоторые из этих частиц часто бывают вынуждены от нее отклоняться…» Здесь Декарт ссылается на неизменность бога, который сохраняет движение «точно таким, каково оно в данный момент, безотносительно к тому, каким оно могло быть несколько ранее».

Итак, покой — такое же «состояние», как и движение. Поэтому, «когда тело находится в покое, оно имеет силу пребывать в покое, стало быть, противостоять всему, что могло бы изменить его; точно так же движущееся тело обладает силой продолжать свое движение с той же скоростью и в том же направлении»{96}.

Иначе говоря, покой, по Декарту, обладает активным сопротивлением тому, что способно нарушить его, и в этом отношении в каком-то смысле компенсирует отсутствующее в картезианской механике понятие массы. Как мы увидим дальше, при разборе законов соударения тел Декарт именно на этом основании утверждал, что малое тело не способно сдвинуть большое, как бы ни была велика скорость движения этого малого тела. Существование состояния покоя у частиц Декарт считал достаточным и для объяснения твердости тел.

Очень важно указание Декарта на то, чем измеряются «сила пребывать в покое» и «сила продолжать свое движение с той же скоростью и в том же направлении». «Судить об этой силе следует по величине тела, в котором она заключена, по поверхности, которой данное тело отделяется от другого, а также по скорости движения и по различным способам, какими сталкиваются различные тела».

Весьма поучительны и показательны в этом отношении позднейшие суждения Мальбранша (1638—1715), воспитанного в атмосфере картезианских идей. Мальбранша не удовлетворяла та концепция Декарта, которая сводила твердость тела к простому покою его частиц. Он прямо и открыто говорил о заблуждениях господина Декарта.

По словам Мальбранша, «этот великий человек» считал, что покой имеет такую же силу, как движение, а потом стал измерять действие силы покоя по величине тел, находящихся в покое.

Для объяснения связанности частиц твердого тела мало одного покоя этих частиц; нужно, полагал Мальбранш, прибегнуть к представлению о движении тонкой материи, окружающей и сжимающей частицы тела. «Мне кажется ясным, — писал он, — что всякое тело само по себе бесконечно мягко, потому что покой вовсе не имеет силы сопротивляться движению, а потому часть тела, испытывающая больший толчок, чем соседняя с ним, должна отделиться от нее.

Таким образом, твердые тела являются таковыми лишь благодаря сжатию невидимой материей, их окружающей и проникающей в поры». Это так называемые «малые вихри», которые впервые именно Мальбранш ввел в картезианскую физику.

Для Мальбранша причина, в силу которой частицы твердых тел так крепко связаны друг с другом, заключается в том, что вне их находятся другие небольшие тела, пребывающие в несравненно более сильном движении, чем грубый воздух, который мы вдыхаем, и эти тела их толкают и сжимают. Не их покой является причиной того, что нам трудно разъединить эти частицы, а движение тех маленьких тел, которые их окружают и сжимают.

По Мальбраншу, тонкая материя необходимо должна быть причиной твердости тел или того противодействия, которое мы чувствуем, когда делаем усилие, чтобы их сломать. В качестве поясняющего примера Мальбранш ссылался на опыты Герике с «магдебургскими полушариями», прижимаемыми друг к другу давлением окружающего воздуха.

Вопреки и вразрез с Декартом, Мальбранш утверждал, что способность и сила всякого тела пребывать в том состоянии, в котором оно находится, относятся лишь к движению, а не к покою, потому что тела сами по себе не имеют никакой силы. По Мальбраншу, «покой не имеет силы, чтобы противостоять движению, и малейшее движение содержит больше способности и больше силы, чем самый большой покой; а значит, и не следует основывать сравнение сил движения и покоя на отношении, существующем между величинами тел, находящихся в движении и покое, как это сделал г-н Декарт»{97}.

Покой для Декарта был противоположностью движения, а потому мог рассматриваться им уже как таковой в качестве некоей силы, активно противодействующей движению. По Мальбраншу, покой есть просто нуль движения. «Движения бывают бесконечно разнообразны, они могут увеличиваться и уменьшаться; покой же есть ничто, а потому состояния покоя не разнятся друг от друга. Один и тот же шар, когда он катится вдвое скорее, имеет вдвое больше силы или движения, чем когда он катится в два раза медленнее; но нельзя сказать, чтобы один и тот же шар в одно время обладал большим покоем, в другое меньшим».

Согласно идеям Мальбранша, тела, находящиеся в движении, обладают движущей силой, а тела, находящиеся в покое, не обладают силой своего покоя. «Ведь отношение движущих тел к окружающим их телам постоянно изменяется, а следовательно, нужна постоянная сила, чтобы вызывать эти постоянные изменения… Для того же, чтобы ничего не делать, не нужна сила. Когда отношение какого-нибудь тела к окружающим его телам остается всегда одним и тем же, то ничего и не происходит»{98}.

Таково развитие, которое идеи Декарта получили в рамках картезианской школы.

Отметим, наконец, что говоря о количестве движения, Декарт не учитывал направление движения. Он совершенно категорически разделял оба понятия. В письме к Мерсенну от 11 марта 1640 г. он писал, что «сила движения» и «сторона, в которую движение совершается», вещи совершенно разные. При этом он ссылается на свою «Диоптрику», где действительно сказано, что «сила, побуждающая продолжать двигать мяч, отличается от той, которая направляет его предпочтительно в одну сторону, а не в другую», и что направление мяча на определенную точку «может быть изменено, даже если не произошло никаких изменений в силе его движения».

Эти рассуждения вплотную подводят к законам удара тел, которые Декарт рассматривает непосредственно вслед за тремя рассмотренными общими законами. Известно, что законы Декарта в большей своей части неверны. Поэтому, казалось бы, нет необходимости рассматривать их подробнее. Однако сделать это необходимо, и не только потому, что это позволяет лучше понять декартовский закон сохранения количества движения, но и потому, что на его примере раскрываются существенные вопросы о соотношении теории и эксперимента в механике XVII в.

ИСТОРИЯ ОТКРЫТИЯ ЗАКОНОВ УДАРА

Вопросами теории удара интересовался уже Галилей. Им посвящен «шестой день» знаменитых «Бесед», оставшийся не вполне законченным[23]. Галилей считал нужным определить прежде всего, «какое влияние на результат удара оказывают, с одной стороны, вес молота, а с другой — большая или меньшая скорость его движения, и найти, если возможно, способ измерения и выражения того и другого вида энергии»{99}.

При решении этих вопросов Галилей полагал необходимым начать с экспериментов. Но если при экспериментальном исследовании законов падения тел он уже имел в качестве ориентира теоретически выведенную формулу униформно-дифформного движения, то здесь, в теории удара, приходилось начинать заново.

Неизвестно, сколько и какие именно эксперименты произвел Галилей. Нет сомнения, что описываемый ниже опыт был им действительно произведен. Однако он разочаровал Галилея. Опыт заключался в следующем. К коромыслу весов были подвешены на одном конце противовес, а на другом два сосуда: первый с водой, а второй, подвешенный под первым на расстоянии двух локтей, пустой. Верхний сосуд имел отверстие, которое можно было закрывать и открывать.

ГАЛИЛЕО ГАЛИЛЕЙ (1564-1642)

Итальянский астроном, механик и физик, один из основоположников точного естествознания. Он открыл закон инерции, законы падения тела, колебаний маятника. С помощью изготовленной им зрительной трубы Галилей впервые наблюдал небесные светила. Открыл горы на Луне, четыре спутника Юпитера, фазы Венеры, звездное строение Млечного Пути, пятна на Солнце 

Галилей предполагал, что при вытекании воды сила удара заставит опуститься плечо коромысла, и величину этой силы можно будет измерить посредством добавочного груза на другом плече. Результат оказался «неожиданным, даже совершенно изумительным»: «Как только отверстие было открыто и вода начала вытекать, весы наклонились, но в сторону противовеса; когда же вытекающая вода достигла дна нижнего сосуда, дальнейшее опускание противовеса прекратилось и он начал равномерно подниматься, пока не достиг прежнего положения и весы не пришли снова в равновесие, не отклонившись и на волос в другую сторону».

Для нас теперь в этом нет ничего удивительного.

До того как первая капля достигнет нижнего сосуда и будет производить давление на его дно, имеет место уменьшение давления в результате того, что исключается вес струи жидкости и, кроме того, сказываемся направленная вверх реакция вытекающей струи. Такова причина того начального отклонения стрелки, которое заметил Галилей. Когда вытекающая струя достигнет нижнего сосуда, давление на дно компенсирует потерю давления, происходящую в результате указанных причин.

Сам Галилей объяснил это явление тем, что «вся вода, содержащаяся в струе, как бы снята с весов»; пока вода вытекает, действует лишь удар, который соответствует скорости, приобретенной при падении с высоту двух локтей. Однако полная, уточненная количественно картина явления осталась ему неизвестной.

Вот почему Галилей счел себя вынужденным избрать другой путь и обратиться к опыту забивки свай. Но характерно, что здесь, прежде чем экспериментировать, он стал обстоятельно, во всех деталях обдумывать, что же могут дать подобные эксперименты, какие привходящие условия могут нарушить точность их показаний. Иначе говоря, вместо того чтобы производить опыты вслепую, Галилей сначала стал, экспериментировать мысленно. Из самого его изложения видно, что для примера были взяты произвольные величины.

Итак, в землю забивают сваю. Вес бабы — 100 фунтов, высота — 4 локтя, глубина, на которую свая входит в землю, — 4 дюйма. Предположим, что для достижения того же результата без удара, путем одного лишь давления «мертвого груза», требуется 1000 фунтов. Исходя из этих условных данных, Галилей вскрывает все возможные трудности эксперимента. Если при каждом новом ударе сопротивление грунта возрастает то ли от его изменения с глубиной, то ли от уплотнения самого грунта при ударе, становится трудным сравнение силы удара и того, что Галилей называл давлением «мертвого груза». Вот почему он пришел к выводу, что нужно начинать с рассмотрения случаев, когда «тело, испытывающее удар, оказывает последнему всегда одно и то же сопротивление».

Однако и новый эксперимент с двумя грузами, соединенными между собой перекинутой через блок нитью, имел свои трудности.

Шестой день «Бесед» остался, как уже сказано, не вполне законченным и обработанным. Вывод, к которому пришел Галилей, в значительной мере неопределенный и предварительный: сила удара имеет бесконечно большой момент, ибо не существует такого большого сопротивления, которое не могло бы быть преодолено силой даже самого незначительного удара. Однако указание на то, что энергия удара слагается из скорости и веса, что удар слагается из элементарных импульсов и что эффект давления мертвого груза отличен от эффекта удара, весьма важно.

На аналогичные трудности сравнения действия мертвого груза и удара указывал Декарт (напомним, что ему не мог быть известен «шестой день» галилеевских «Бесед»). Декарт писал: «Сравнивать силу пресса с силой удара можно только по их эффектам: ибо пресс может действовать всегда ровно на протяжении долгого времени, тогда как сила удара продолжается весьма мало и никогда не бывает одинаковой на протяжении двух моментов подряд»{100}.

Излагая в «Началах философии» законы (или, как он называл их, правила) удара, Декарт заканчивает следующим заявлением: «Все эти доказательства настолько достоверны, что хотя бы опыт и показал обратное, однако мы вынуждены придавать нашему разуму больше веры, нежели нашим чувствам»{101}.

Это отнюдь не значит, что Декарт игнорировал опыт. Подобно Галилею, он пытался сначала осознать и осмыслить данные опыты, и, подобно Галилею, он быстро убедился во всей сложности такой задачи.

Поучительны в этом отношении письма Декарта к Мерсенну, относящиеся к первой половине 1640 г., т. е. написанные четырьмя годами раньше, чем только что цитированные «Начала философии».

Декарт рассуждал здесь, например, о том, как при помощи молотка лучше сплющивать пулю — на мягкой подушке или на твердой наковальне? «Удивляюсь, — писал он, — как вы еще не слыхали, что лучше можно сплющить свинцовую пулю молотком на подушке и на подвешенной наковальне, подающейся под ударом, чем на наковальне, стоящей прочно и неподвижно; ведь этот опыт общеизвестный. И в механике есть бесконечное множество подобных явлений, зависящих от одной и той же причины, а именно: чтобы расплющить свинцовую пулю, недостаточно ударять по ней с большой силой, но нужно также, чтобы эта сила длилась некоторое время, чтобы части этой пули имели время переменить свои положения. Так вот, когда эта пуля положена на неподвижную наковальню, молоток отскакивает кверху почти в то же мгновение, когда он ударил, а потому не имеет достаточно времени расплющить пулю, между тем как в случае, если наковальня или другое тело, поддерживающее эту пулю, уступают удару, это приводит к тому, что молоток дольше прилегает к ней»{102}.

В другом письме Декарт вернулся к деталям тех же операций. «Нужно пользоваться молотком не слишком крупным, потому что если бы он имел достаточную силу, чтобы совершенно расплющить пулю на наковальне, он не мог бы сделать большего на подушке. Кроме того, нужно поместить железную пластинку или какое-нибудь другое тело между пулей и подушкой, дабы она уходила при ударе вглубь настолько, что молоток терял бы свою силу, уходя в подушку». «Но есть и другой, более общеизвестный опыт, сводящийся к тому же принципу, — добавлял Декарт. — Все парижские повара вас уверят, что, когда требуется разрубить кость бараньей ноги, они кладут ее только на свою руку или на салфетку и, ударяя сверху, легче разрубают ее, чем на столе или наковальне».

И, как бы откликаясь на вопрос Галилея, Декарт заявлял о трудностях сравнения давления с ударом. «Я не могу сказать, сколько тяжести требуется, чтобы сравняться с ударом молотком; ибо это вопрос факта, где рассуждение не ведет ни к чему без опыта»{103}. Какой контраст с последующим заявлением в «Началах»!

Впрочем, опыты сталкиваются с множеством трудностей. «Все части молотка или другого ударного инструмента действуют одновременно, а не так, как солдаты, стреляющие один за другим. Однако для расплющивания пули требуется время, которое нужно для того, чтобы части этой пули успели переменить свое расположение, а это они не могут сделать мгновенно; и в зависимости от того, требуют ли части тел большего или меньшего времени для перемены положения под воздействием удара, можно по ним более эффективно ударять на подушке или наковальне деревяшкой, дубинкой или железным молотком и т. п. Стало быть, эти соотношения варьируют бесконечно».

Или еще категоричнее и разочарованнее в том же самом письме: «Кто смог бы произвести точный эксперимент, определив, какой груз и какой удар производят тот же эффект? Тогда можно было бы узнать, с какой скоростью он начинает двигаться при своем движении вниз. Однако я думаю, что такой эксперимент невозможно даже вообразить». О том же тремя месяцами позже Декарт писал тому же Мерсенну: «Я не вникаю здесь, каким образом можно подсчитать, сколько ударов маленького молотка потребовалось бы для того, чтобы сравниться с силой большого, так как при подобных подсчетах нужно принимать во внимание множество обстоятельств, и притом эти подсчеты трудно приводятся в согласие с опытом и приносят мало пользы; вот почему, думается мне, лучше об этом вообще не говорить».

Нельзя браться за выяснение законов удара путем экспериментирования наугад, без предварительного размышления и без ориентирующей абстрактной схемы.

Такую схему Декарт попытался дать в «Началах». Формулированные им законы неверны. Он не проводит различия между телами упругими и неупругими. Он не принимает во внимание направление скорости, рассматривает скорость как скалярную, а не векторную величину. От одного случая нет логически оправданного, непрерывного перехода к другому. Все это так. Но немаловажно выяснить, почему Декарт сделал именно эти ошибки. Ответ на такой вопрос позволит прояснить исходные кардинальные понятия его механики. -

В предыдущем разделе была речь о первых двух законах, которые Декарт считал основными. Третий закон, имеющий непосредственное отношение к сохранению количества движения и законам удара, состоит из двух частей.

Первая его часть гласит: «Если движущееся тело при встрече с другим телом обладает для продолжения движения по прямой меньшей силой, чем второе тело для сопротивления первому, то оно теряет направление, не утрачивая ничего в своем движении». В данном случае Декарт ссылается на опыт: «Твердое тело, будучи брошено и ударившись о более твердое и плотное тело, отскакивает в том направлении, откуда шло, но не теряет ничего в своем движении; наоборот, встречая на пути мягкое тело, тотчас останавливается, так как передает последнему свое движение».

Кроме того, Декарт ссылается на то, что это сопротивление второго тела есть причина, заставляющая первое тело изменить направление движения, однако нет никаких оснований, по Декарту, чтобы это сопротивление было причиной утраты движения: «Причина, заставившая его утратить направление, очевидна, именно — сопротивление тела, препятствующего ему следовать далее; отсюда, однако, для него нет необходимости терять что-либо в своем движении, тем более, что оно у него никогда не отнимается этим телом или какой-либо иной причиной и что движение движению не противоположно»{104}.

Во второй части третьего закона читаем: «Если же движущееся тело имеет большую силу, то движет за собой встречное тело и теряет в своем движении столько, сколько сообщает второму телу». Эту часть закона (т. е. сохранение количества движения при передаче его от одного тела к другому) Декарт в сущности ничем не обосновывает, кроме ссылки на «неизменность действия бога»{105}.

Обратимся теперь к более детальному разбору семи правил удара, сформулированных Декартом. Они относятся к идеальным неупругим, или, как говорит Декарт, твердым, телам, однородным по веществу, рассматриваемым вне соотношения с другими телами, а потому лишенным таких свойств, как тяжесть, порождаемая движением среды. Во внимание принимаются лишь величины тел, скорость их движения, а также сила инерции (т. е. сила, или способность «пребывать в покое и, стало быть, противостоять всему, что могло бы изменить его», и сила продолжать свое движение с той же скоростью и в том же направлении), сила, пропорциональная величине тела и скорости движения{106}.[24] Напоминаем, что в применяемых нами дальше обозначениях m1 и m2 у самого Декарта имеется в виду не масса (четкого понятия которой у него еще не было), а величина тела: Декарт всюду говорит о большем и меньшем теле, равных телах и т. п. Напомним также, что сохранение количества движения для Декарта — исходная аксиома, причем разница алгебраических знаков во внимание не принимается.

Следовательно, анализ семи «правил» (или различных случаев) удара основывается на требовании, чтобы до и после удара сумма количества движения оставалась постоянной:

m1u1 + m2u2 = m1v1 + m2v2.

Из возможных случаев Декарт выбирал такой, при котором перемена в состоянии столкнувшихся тел представлялась ему наименьшей.

Для уяснения всего сказанного важны соображения Декарта, возникшие уже после выхода в свет «Начал философии», а именно в 1645 г. Декарт хотел разъяснить здесь ход мысли, который привел его к ошибочному положению, будто меньшее тело неспособно сообщить движение большому, какова бы ни была скорость этого меньшего.

Декарт писал, что основание, которое заставляет его утверждать, что тело без движения никогда не может быть приведено в движение меньшим телом, с какой бы скоростью это меньшее ни двигалось, заключается в том, что таков закон природы: тело, приводящее в движение другое тело, должно иметь больше силы его двигать, чем это последнее ему сопротивляться. Но этот перевес может зависеть лишь от величины тела, ибо тело без движения имеет столько градусов сопротивления, сколько другое тело имеет градусов скорости. Причина заключается в том, что если такое тело, находящееся в покое, приводится в движение телом, обладающим вдвое большей скоростью, чем прежнее, оно должно получить вдвое больше движения, а такому вдвое большему количеству движение оно сопротивляется вдвое сильнее.

Далее Декарт утверждает в общей форме, что перемена в состоянии должна быть наименьшей: «Если два тела встречаются и их состояния несовместимы, должна произойти перемена в этих состояниях, делающая их совместимыми, и перемена эта должна быть наименьшей, иначе говоря, если определенная мера изменения этих состояний достаточна, чтобы они стали совместимыми, то не произойдет изменения в большей мере, чем она. При этом нужно принимать во внимание в движении два различных состояния: во-первых, движение само по себе, т. е. скорость, и, во-вторых, направленность этого движения в определенную сторону, каковые состояния изменяются одинаково трудно»{107}.

Уже в 1652 г., через восемь лет после выхода «Начал философии» Декарта, 23-летний Гюйгенс высказал свои первые сомнения в правильности законов Декарта, за исключением первого закона, который он признал верным (для упругих тел). Двумя годами позже в письме к ван Скоутену, который ему не советовал тягаться с Декартом, Гюйгенс сознавался, что ему самому было неприятно убедиться в ошибках Декарта. Еще двумя годами позже Гюйгенс написал свой первый трактат «Об ударе тел», не собираясь, однако, публиковать его.

В октябре 1666 г. Лондонское королевское общество объявило конкурс на решение задачи об ударе тел, на который представили свои работы Валлис, Рен и Гюйгенс.

Мемуар Валлиса был доложен 26 ноября 1668 г. Валлис разбирает случаи соударения неупругих тел. Рассматривая «силу» как пропорциональную произведению веса (т) и скорости (v), он дает для скорости и после удара соотношение

при движении обоих тел в одну сторону и

при встречном ударе.

Таким образом, в отличие от Декарта Валлис принял во внимание знаки плюс и минус, стоящие перед количествами движения (mv). При косом ударе Валлис вводит отношение радиуса к секансу угла. Сравнивая удар неупругих тел с ударом упругих, он ограничивается качественной констатацией наличия «восстанавливающей силы» в упругих телах.

Несколько позже, 17 декабря 1668 г., был представлен мемуар знаменитого архитектора Рена. Он подводил итог многочисленным экспериментам над упругими телами, которые Рен произвел совместно с математиком Гуком. Выводы Рена совпадали с выводами Гюйгенса.

Мемуар Гюйгенса был представлен позже других (в первых числах января 1669 г.) и напечатан в Англии через несколько месяцев после мемуаров Валлиса и Рена. Не дождавшись его публикации в Англии, обиженный Гюйгенс опубликовал уже в марте во Франции{108}резюме своих выводов. Мы не будем вдаваться в рассмотрение возникших приоритетных споров и в разбор мемуара 1669 г., обратившись прямо к той более полной редакции, которая увидела свет лишь после смерти Гюйгенса (1695), — в издании его посмертных трудов (1703). Этот трактат — «О движении тел под влиянием удара» — один из шедевров механики XVII в.

Гюйгенс ограничился рассмотрением центрального удара упругих тел, состоящих из одного и того же вещества. Исходной точкой при рассмотрении соударения одинаковых масс является для него следующая аксиома (1-е правило Декарта): если два равных тела (шара) сталкиваются друг с другом с одинаковыми, но противоположно направленными скоростями, направление их движения меняется на противоположное без изменения скорости.

При неодинаковых скоростях (но при равных массах) Гюйгенс, основываясь на относительности движения, прибег к остроумному приему, позволившему свести все далее рассматриваемые случаи к первому аксиоматическому. Именно: он представил себе, что удар происходит в лодке, движущейся с постоянной скоростью вдоль ровного берега. Согласно классическому принципу относительности, в явлениях удара ничего не должно меняться. Величину скорости лодки в каждом новом случае выбирают такой, чтобы для наблюдателя, находящегося на берегу, явление сводилось к первому случаю, уже ранее разобранному.

Вскоре после конкурса, проведенного Лондонским королевским обществом, Мариотт напечатал свой «Трактат об ударе или соударении тел» (1678), выдержавший три издания (1679, 1684). Отправляясь от работ Гюйгенса, Валлиса и Рена, он дополнил их исследования новыми многочисленными экспериментами, производившимися им начиная с 1674 г.

ХРИСТИАН ГЮЙГЕНС (1629—1695)

Нидерландский механик, физик и математик. Создал волновую теорию света. В сочинении «Маятниковые часы» Гюйгенс ввел понятия центробежной и центростремительной силы и моментов инерции, исследовал движение математического и физического маятника 

Для изучения явлений удара Мариотт придумал прибор, состоящий из двух шаров, подвешенных на двух нитях равной длины и находящихся в соприкосновении в состоянии равновесия. Он начал с изучения удара пластичных тел, беря шарики из глины. Скорости он измерял дугами, описываемыми шариками после столкновения.

В 80-х годах XVII в., упомянув о трудах Рена, Валлиса, Гюйгенса и Мариотта, Ньютон посвятил несколько страниц своих «Начал» произведенным им самим экспериментам. Однако главное, что внес Ньютон в изучение удара, это не столько новые эксперименты, сколько та связь, которую он установил между явлениями удара и формулированным им законом равенства действия и противодействия.

Связь законов удара с законом действия и противодействия Ньютон раскрывает в следующих словах: «Если какое-нибудь тело, ударившись в другое тело, изменяет своею силою его количество движения на сколько-нибудь, то оно претерпит от силы второго тела в своем собственном количестве движения то же самое изменение, но обратно направленное, ибо давления этих же тел друг на друга постоянно равны. От таких взаимодействий всегда происходят равные изменения не скоростей, а количества движения, предполагая, конечно, что тела никаким другим усилиям не подвергаются. Изменения скоростей, происходящие также в противоположные стороны, будут обратно пропорциональны массам тел, ибо количества движения получают равные изменения»{109}.

Что касается существа собственных опытов, Ньютон изложил их в следующих словах: «Производя испытания над маятниками длиною 10 футов и над массами, равными и неравными, и пуская тела так, чтобы они встречались, пройдя большие промежутки, например 8, 12, 16 футов, я получал с ошибкою, меньшею 3 дюймов, в измерениях, что при прямом ударе между телами изменения их количеств движения были равны и направлены в стороны противоположные, откуда следует, что действие и противодействие между собой равны… То же самое происходит и при движении тел в одну сторону… Подобное соотношение имеет место и в остальных случаях: полное количество движения, рассчитываемое, взяв сумму количеств движения, когда они направлены в одну сторону, и разность, когда они направлены в стороны противоположные, никогда не изменяется от удара при встрече тел»{110}.

Отсюда отчетливо выявляется неверность декартовской формулировки закона сохранения количества движения, не принимающей во внимание алгебраические знаки.

Ньютон отмечает, что описанные им опыты относятся к неупругим телам, — они «удаются как с телами мягкими, так и с жесткими, и совершенно не зависят от степени твердости их». В случае же тел упругих «необходимо лишь уменьшить скорость отражения сообразно степени упругости тел».

Итак, к 80-м годам уже было прекрасно осознано, что закон сохранения количества движения в том виде, как формулировал его Декарт, неправилен. Более того, если принять его в этом виде, с одинаковым успехом может быть доказано и бесконечное возрастание количества движения, т. е. «вечное движение», и, наоборот, убывание его.

ИСТОРИЯ ОТКРЫТИЯ ЗАКОНА ТЯГОТЕНИЯ

Декарт писал 12 сентября 1638 г. Мерсенну: «Невозможно сказать что-либо хорошее и прочное касательно скорости, не разъяснив на деле, что такое тяжесть и вместе с тем вся система мира»{111}. Это заявление диаметрально противоположно заявлению Сальвиати в «Беседах» Галилея: «Мне думается, что сейчас неподходящее время для занятий вопросом о причинах ускорения естественного движения тел, по поводу которого различными философами было высказано столько различных мнений. Будет достаточно, если мы рассмотрим, как он [Галилей] исследует и излагает свойства ускоренного движения (безотносительно к причинам последнего)»{112}.

С заявлением Галилея небезынтересно сопоставить позднейшее, столь же осторожное высказывание Роберваля, относящееся к 1669 г. Французский ученый указывал, что возможны разные точки зрения на природу тяжести: она заключена в самом тяжелом теле, она — результат взаимодействия между двумя телами, она производится третьим телом, толкающим одно к другому. Роберваль не вдавался в подобные дискуссии и заявлял: «Я всегда по возможности буду стараться подражать Архимеду, который именно в связи с тяжестью выдвигает в качестве принципа или постулата постоянный и во все минувшие до сей поры столетия засвидетельствованный факт: существуют тяжелые тела, отвечающие условиям, о которых он говорит в начале своего трактата на эту тему. На этом основании я построю, как и он, свои рассуждения о механике, не затрудняя себя вопросом, что же такое в конце концов начала и причины тяжести, и довольствуясь тем, что буду следовать истине, если она пожелает когда-либо предстать ясно и отчетливо передо мною. Вот правило, которого я всегда хочу держаться в сомнительных рассуждениях…»

Излишне повторять, как часто Ньютон говорил, что он отказывается вникать в природу тяжести. Напомним лишь некоторые наиболее выразительные высказывания.

«Под словом притяжение, — писал он в «Началах», — я разумею здесь вообще какое бы то ни было стремление тел к взаимному сближению — безразлично, происходит ли это стремление от действия самих тел, которые стараются сблизиться или приводят друг друга в движение посредством испускаемого ими эфира, либо, наконец, оно вызывается материальной или нематериальной средой (эфиром, воздухом и т. п.)»{113}. Аналогично в «Оптике»: «То, что я называю притяжением, может происходить посредством импульса или какими-нибудь другими способами, мне неизвестными. Я применяю здесь это слово для того, чтобы только вообще обозначить некоторую силу, благодаря которой тела стремятся друг к другу, какова бы ни была причина. Ибо мы должны изучить по явлениям природы, какие тела притягиваются и каковы законы и свойства притяжения, прежде чем исследовать причину, благодаря которой притяжение происходит»{114}.

Ньютон утверждал: «Причину… этих свойств силы тяготения я до сих пор не мог вывести из явлений, гипотез же я не измышляю… Довольно того, что тяготение на самом деле существует и действует согласно изложенным нами законам и вполне достаточно для объяснения всех движений небесных тел и моря»{115}.

Формулировка закона тяготения и самое формирование понятия силы тяготения были результатом длительного исторического развития. Здесь незачем прослеживать хронологически все те многочисленные и разнообразные подходы к концепции, которые в конечном итоге привели к формулировке закона тяготения и его приложению к небесной механике. Достаточно отметить некоторые важнейшие вехи.

В ньютоновом законе тяготения мы выделим три наиболее характерных момента. Во-первых, в этом законе сила тяготения есть универсальный принцип. При его выводе из свойств материи принимается во внимание только одно — наличие массы. Масса, по Ньютону, — всеобщая характеристика любой материи. Поэтому закон тяготения, распространяющийся на все тела, безотносительно ко всем другим их свойствам, — это высшее, математизированное выражение идеи единства Вселенной, подготовлявшееся трудами Коперника, Кеплера, Бруно, Галилея. В законе тяготения исчезает противоположность небесного и земного, «подлунного» и «надлунного». Во-вторых, тяготение основано на взаимодействии тел, а не на одностороннем притяжении одного тела другим. И, в-третьих, понятие силы тяготения у Ньютона уточнено количественно.

Первые шаги к математизации силы притяжения были сделаны Кеплером. В своей «Новой астрономии» (1609) Кеплер опубликовал первые два закона движения планет, носящие его имя и открытые им при обработке данных, относящихся к Марсу. Десятью годами позже (1619) в «Гармонии мира» Кеплер дополнил их третьим законом: кубы средних расстояний планет от Солнца пропорциональны квадратам времен их обращения, или, как формулировал сам Кеплер на языке своего времени, — средние расстояния от Солнца стоят в «полуторном отношении» к времени обращения.

Показательно, что уже в 30—40-х годах Декарт задумывался над опытами, которые могли бы позволить определить убывание и возрастание тяжести на разных расстояниях от центра Земли, сознавая вместе с тем всю трудность подобной задачи. Обсуждая в переписке с Мерсенном вопрос о том, имеет ли тело большую или меньшую тяжесть, находясь к центру Земли ближе, чем находясь вдали от него, Декарт замечает: «Единственно, что можно сказать, что природа тяжести есть вопрос факта, т. е. люди не могут определить ее иначе, как производя опыты, а из опытов, производимых здесь, в нашем воздухе, нельзя судить о том, что происходит гораздо ниже, около центра Земли, или гораздо выше, за облаками, ибо если убывание или возрастание тяжести происходит, то маловероятно, чтобы оно происходило везде в одинаковой пропорции»{116}.

Проектируя возможный опыт, Декарт тут же отмечал его трудности. Опыт заключается в следующем: кусок свинца вместе с веревкой взвешивается на вершине башни, а затем прикрепляется одним концом к чашке весов и опускается в колодец. Разность в весе должна свидетельствовать о неравномерности земного притяжения. Декарт понимал, что опыт мог дать результаты лишь в том случае, если разница в весе весьма значительна, между тем глубина колодца и высота башни мала по сравнению с радиусом Земли.

Декарт добавил описания довольно странных для современного читателя опытов или наблюдений над птицами. «Крупным птицам, например журавлям и аистам, гораздо легче летать на высоте в воздухе, чем внизу, и это нельзя целиком отнести на счет силы воздуха, ибо то же самое бывает и в тихую погоду, а это дает основание думать, что их удаленность от Земли делает их более легкими. Подтверждают нам это и бумажные змеи, запускаемые детьми, и весь снег, находящийся в облаках»{117}.

Наконец, Декарт всерьез обсуждал версию об артиллерийских ядрах, якобы пущенных вертикально вверх и не вернувшихся на Землю. В этой же связи Декарт высказал и приведенные выше соображения о том, что планеты упали бы на Землю, если бы «большое расстояние между ними не парализовало этого их стремления», т. е. тяжесть должна убывать с увеличением расстояния.

Не удивительно, если Декарт в конечном итоге оказался вынужденным обратиться от проектируемых конкретных экспериментов к теоретическому рассуждению, произвести чисто мысленный эксперимент или, как выражался он сам, «произвести наши вычисления, подобно тому, как астрономы предполагают средние движения светил равномерными, чтобы легче рассчитывать истинные, которые неравномерны».

Через 11 лет после смерти Декарта, в 1661 г. (еще до своего официального утверждения), Лондонское королевское общество поручило особой комиссии исследовать вопрос о природе тяжести. 14 марта 1666 г. Роберт Гук сделал в Обществе сообщение, в котором писал: «Хотя тяжесть, по-видимому, есть одно из самых универсальных начал в мире, до недавнего времени пренебрегали ее изучением. И тем не менее ученая пытливость наших дней нашла в ней предмет новых размышлений; Гильберт делает из нее способность магнитного притяжения, присущую частям земного шара; благородный лорд Веруламский частично присоединится к этому мнению, а Кеплер, не без оснований, делает из тяжести свойство, присущее всем небесным телам»{118}.

Исходя из подобных же представлений, Гук предполагал, что тяжесть тел должна уменьшаться с возрастанием расстояния от центра Земли. Если Декарт только обдумывал возможности экспериментов, то Гук отважился и на экспериментирование. Он производил опыты на здании Вестминстерского аббатства и на вершине собора св. Павла. Он взвешивал тело вместе с проволокой на вершине башни и у поверхности земли. Опыты не могли дать, по признанию самого Гука, точных результатов как по причине колебаний столь длинной проволоки, так и по причине движения воздуха. Нескольких гранов на весах достаточно было, чтобы привести весы в колебательное движение.

Вслед за тем Гук столь же безуспешно произвел эксперименты в колодцах глубиной от 90 до 330 футов.

В докладе, сделанном 23 мая того же года, Гук вернулся к вопросу о силе тяжести в связи с движением планет. Криволинейность планетных орбит должна вызываться некоторой постоянно действующей силой: либо большей плотностью эфира около Солнца, либо притяжением тела, находящегося в центре. Наконец, восемь лет спустя, в 1674 г., Гук опубликовал мемуар под заглавием «Попытка доказать годовое движение Земли на основе наблюдений».

Излагаемая им здесь система мира основана на трех предположениях. Во-первых, все небесные тела производят притяжение к своим центрам, притягивая не только свои части, как мы это наблюдали на Земле, но и другие небесные тела, находящиеся в сфере их действия. Таким образом, не только Солнце и Луна оказывают влияние на форму и движение Земли, а Земля — на Луну и Солнце, но также Меркурий, Венера, Марс, Юпитер и Сатурн влияют на движение Земли; в свою очередь притяжение Земли действует на движение каждой планеты. Второе предположение Гука — это закон инерции: «Всякое тело, получившее однажды простое прямолинейное движение, продолжает двигаться по прямой до тех пор, пока не отклонится в своем движении другой действующей силой и не будет вынуждено описывать круг, эллипс или иную сложную линию». Наконец, третье предположение заключается в том, что «притягивающие силы действуют тем больше, чем ближе тело, на которое они действуют, к центру притяжения».

«Что касается степени этой силы, — заключает Гук, — то я не мог еще определить ее на опыте; но во всяком случае, как только эта степень станет известной, она чрезвычайно облегчит астрономам задачу нахождения закона небесных движений, без нее же это невозможно… Я хотел бы указать это тем, у которых есть время и достаточная сноровка для продолжения исследования и хватит прилежания для выполнения наблюдений и расчетов»{119}.

Мы не будем останавливаться на спорах о приоритете, которые разгорелись между Гуком и Ньютоном. Можно с уверенностью сказать, что искусный экспериментатор и эмпирик, Гук не смог бы прийти к тем широким математическим обобщениям, к которым пришел Ньютон, самостоятельно размышлявший над проблемами тяготения уже с 1666 г.

Вот подлинные свидетельства самого Ньютона, в целом не вызывающие сомнений. Из письма Ньютона к Галлею (1686) явствует, что уже в 1665 или в 1666 г. Ньютон вывел из законов Кеплера обратную пропорциональность силы тяготения квадрату расстояния между притягивающимися телами. В другом письме к Галлею от того же года он сообщал: «В бумагах, написанных более 15 лет тому назад (точно привести дату я не могу, но во всяком случае это было перед началом моей переписки с Ольденбургом), я выразил обратную квадратичную пропорциональность тяготения планет к Солнцу в зависимости от расстояния и вычислил правильное отношение земной тяжести к conatus recedendi (стремлению) Луны от центра Земли, хотя и не совсем точно».

В бумагах Ньютона, кроме того, имеется такая запись: «В том же году я начал думать о тяготении, простирающемся до орбиты Луны, и нашел, как оценить силу, с которой шар, вращающийся внутри сферы, давит на поверхность этой сферы. Из правила Кеплера о том, что периоды планет находятся в полуторной пропорции к расстоянию от центров их орбит, я вывел, что силы, удерживающие планеты на их орбитах, должны быть в обратном отношении квадратов их расстояния от центров, вокруг коих они вращаются. Отсюда я сравнил силу, требующуюся для удержания Луны на ее орбите, с силой тяжести на поверхности Земли и нашел, что они почти отвечают друг другу. Все это происходило в два чумных года, 1665 и 1666, ибо в это время я был в расцвете моих изобретательских сил и думал о математике и философии больше, чем когда-либо после»{120}.

Мы сказали, что нет оснований сомневаться в свидетельствах Ньютона в целом. Однако в одном существенном пункте они требуют исправления. А именно: при своих первых подсчетах Ньютон исходил из старых (грубых) измерений земного радиуса (ошибка в них достигала 15%); поэтому он мог определить, по его словам, соотношение между силой тяжести и центробежной силой Луны «не совсем точно». Такая неточность, видимо, заставила его отложить публикацию своих вычислений.

Между тем в 1672 г. Пикар произвел новое, более точное градусное измерение меридиана. В том же году соответствующее сообщение было заслушано в Королевском обществе. Находясь в уединении в Кембридже, Ньютон, по-видимому, долго не знал об измерениях Пикара, усиленные занятия оптикой в 1672—1675 гг. отвлекали его от исследования вопросов тяготения. Он вернулся к ним лишь тогда, когда эти же вопросы поднял Гук. Новое градусное измерение Пикара позволило Ньютону пересмотреть свои вычисления и получить желательный результат. Перед нами поучительный пример связи теоретических построений с эмпирическими данными: неверная величина земного радиуса затормозила на много лет правильный в своей основе ход мысли Ньютона!

Впрочем, некоторые исследователи (Ф. Кэджори и др.) предложили другое объяснение: Ньютон испытывал затруднения в вопросе, как именно измерять расстояние между падающим телом и Землей: брать ли его по отношению к поверхности или центру; только к 1685 г. он уточнил понятие о материальной точке, позволившее рассматривать массу Земли сосредоточенной в ее центре.

ИСААК НЬЮТОН (1643-1727)

Английский физик, механик, астроном и математик. В 1687 г. вышел его фундаментальный труд «Математические начала натуральной философии», в котором сформулированы основные законы классической механики. «Математические начала» явились поворотным пунктом всех работ по механике и небесной механике в течение последующих двух веков. Ньютон разработал дифференциальное и интегральное исчисление 

Выводы, касающиеся тяготения, и в частности «падения Луны на Землю», тесно связаны с понятием о цептробежной силе. В этом пункте Ньютон имел предшественника в лице Альфонсо Борелли (1608—1679). Этот итальянский ученый, пытаясь в 1665 г. объяснить, почему планеты не падают на Солнце, ссылался на пример камня, вращаемого по кругу и сильно натягивающего нить, к которой он привязан: чтобы уравновесить силу, с которой планета стремится к Солнцу, эта планета противополагает ей тенденцию каждого тела удалиться от центра вращения.

Выше мы уже упоминали о вкладе Гюйгенса в механику. Кроме всего сказанного с именем Гюйгенса в механике связано много открытий и изобретений: изобретение маятниковых часов, изобретение часов с коническим маятником, устройство циклоидального маятника и т. д. В своих работах он широко пользовался механическим принципом относительности. В этом его механика глубоко отличается от механики Ньютона.

По Гюйгенсу, в механике нельзя оперировать понятиями покоя и движения, отнесенными к бесконечному пустому пространству. Даже вращение он рассматривал как относительное движение частей тела, стремящихся в различные стороны и удерживаемых связью. Но в данном случае нас интересуют не столько принципиальные различия в воззрениях Гюйгенса и Ньютона, сколько значение трудов первого в генезисе закона тяготения.

Сочинение Гюйгенса «Маятниковые часы» вышло в свет в 1673 г., когда Ньютон вновь вернулся к размышлениям о законе тяготения. В приложении к нему были напечатаны (без доказательств) «Теоремы о центробежной силе, вызванной круговым движением». Здесь были формулированы основные закономерности, связывающие центробежные силы с расстоянием и скоростями.

В год выхода в свет «Маятниковых часов» Гюйгенс послал через Ольденбурга экземпляр своего труда Ньютону. Гораздо позднее (в 1714 г.) последний писал: «Все, что с тех пор Гюйгенс опубликовал о центробежных силах, я предполагаю, он знал раньше меня». Это действительно так, ибо Гюйгенс вывел закон центробежной силы уже в 1659 г.

Однако Ньютону не нужно было дожидаться выхода в свет сочинения Гюйгенса для того, чтобы произвести свои собственные расчеты. В приложении к письму Галлею от 14 июля 1686 г. содержится рассуждение, которое Ньютон, как он сам говорит, нашел, разбирая свои старые бумаги. Оно дает основание полагать, что Ньютон уже до 1673 г. мог идти своим путем, независимо от Гюйгенса, и вывести центростремительное ускорение без гюйгенсовского понятия центробежной силы. А именно: Ньютон рассматривает многоугольник, вписанный в окружность. Тело, обладающее заданной скоростью, движется по периметру, отражаясь в каждой вершине о г окружности. Сила отражения пропорциональна скорости, а сумма сил в данное время будет пропорциональна этой скорости и числу отражений вместе. Переходя к пределу, когда длины сторон многоугольника стремятся к нулю, Ньютон определяет силу, с которой движущееся тело давит на окружность, и равное и направленное в противоположную сторону противодействие, оказываемое окружностью на движущееся тело.

В 80-х годах XVII в. над теми же вопросами задумывались и другие английские ученые. По словам Галлея, ему удалось в 1683 г. вывести из третьего закона Кеплера обратную квадратичную пропорциональность тяжести с расстоянием, но он не мог отсюда объяснить и вывести эллиптическое движение светил. Архитектор Рен развивал воззрения, похожие на взгляды Гука, предполагая, что движение планет слагается из их равномерного прямолинейного движения и падения на Солнце. Во время встречи Рена с Гуком и Галлеем Рен предложил премию тому, кто докажет, что под действием силы, убывающей обратно пропорционально квадрату расстояния, возникает движение по эллипсу.

В августе 1684 г. Галлей посетил Ньютона в Кембридже и задал ему прямой вопрос: какова будет траектория планет при предположении, что сила тяготения меняется обратно пропорционально квадрату расстояния их от Солнца? «Эллипс», — без колебания сказал Ньютон. На вопрос, почему, он ответил: «Потому, что я вычислил это». 10 декабря 1684 г. Галлей доложил Королевскому обществу, что Ньютон скоро пришлет важный мемуар «О движении». Этот мемуар был прислан в феврале 1685 г., но не был опубликован, а только зарегистрирован как заявка на приоритет.

В этом мемуаре со всей отчетливостью было формулировано положение, согласно которому сферическое тело однородной плотности во всех точках, одинаково отстоящих от центра; притягивает внешнюю частицу, как если бы вся масса была сосредоточена в центре.

За этим вскоре последовало опубликование классических «Начал». Первая книга была написана почти целиком в период с декабря 1684 по апрель 1686 г. Осенью того же года была закончена вторая книга, а редактирование третьей завершено в марте 1687 г.

Выше мы приводили ньютоново определение количества материи как величины, пропорциональной плотности, указав, что такое определение требует допущения корпускулярного строения материи (плотность подразумевалась как число частиц на единицу объема). Но на той же странице «Начал» Ньютон наметил другое определение, отождествив понятие количества материи с понятием массы. Массу, как и вес, можно мыслить чисто математически, сосредоточенными в одной точке. Именно такое абстрактное рассмотрение позволило Ньютону пойти дальше геометрико-механических моделей картезианства.

Ньютон отмечал, что специфической особенностью силы тяготения является ее происхождение от некоторой причины, которая «действует не пропорционально величине поверхности частиц, испытывающих ее воздействие (как это обыкновенно имеет место для механических причин), но пропорционально количеству твердого вещества», т. е. массе{121}.

Исследуя, по его собственным словам, явления механики «математически», а не «физически», Ньютон попытался придать своим «Началам» строго геометрическую форму по образцу «Начал» Евклида: за определениями и аксиомами следуют предложения, или теоремы, со следствиями (короллариями) и поучениями (схолиями). На первых же страницах ньютоновских «Начал» сделана попытка как бы кодифицировать основные положения, уже открытые ранее (например, закон инерции) или «носившиеся в воздухе». Многое, однако, осталось неполным; многое, предполагаемое само собой разумеющимся, осталось невыясненным, вместо того чтобы быть формулированным в виде аксиом. Присмотримся к общей структуре знаменитых «Начал».

Первая книга, состоящая из 14 отделов, построена в нарочито абстрактном математическом плане. Только в следствиях и поучениях (схолиях) теорем просвечивают иногда те физические или астрономические применения, которые впоследствии эти теоремы находят. Основное содержание книги — движение материальных точек и твердых тел под действием центральных сил.

Вторая книга, состоящая из девяти отделов, рассматривает движения и действия сил с учетом влияния среды. В ней доказываются теоремы важные для гидростатики, гидродинамики и баллистики. Но, кроме того, она имеет завуалированный полемический аспект: в ней Ньютон фактически учиняет разгром картезианской физики, и в частности декартовского учения о вихрях «тончайшей жидкой материи», наполняющей мировое пространство.

Напомним, что, по Декарту, вихревое движение тонкой флюидной материи, происходящее вокруг Солнца, увлекает за собой планеты, вращающиеся и вокруг своей оси, — по аналогии с тем, что можно наблюдать на примере кусков дерева, увлекаемых вихревым движением воды и одновременно приводимых во вращательное движение. До известного расстояния от Солнца величина частиц тонкой материи и их угловая скорость убывают, дальше и та и другая становятся постоянными. Каждая планета имеет свою плотность и соответственно разное количество движения, рассматриваемое как произведение плотности на линейную скорость.

Планета остается на своей орбите там, где количество движения частиц тонкой материи равно количеству ее движения. На более близком расстоянии центробежная тенденция берет верх над центростремительным воздействием частиц тонкой материи, на расстоянии же более далеком, наоборот, перевешивает это центростремительное воздействие.

Ньютон опровергает эту концепцию прежде всего ссылкой на данные гидродинамики: «Если в однородной и беспредельной жидкости вращается равномерно около постоянной оси твердый шар и жидкость приводится во вращательное движение единственно только этим натиском (импульсом) и всякая ее часть продолжает сохранять свое равномерное движение», то тогда «времена оборотов частиц жидкости будут пропорциональны квадратам их расстояний до центра шара»{122}.[25]

Но если времена обращений вихря должны быть пропорциональны квадратам расстояний до центра, т. е. R2 : r2 = T: t, то как привести это в согласие с третьим законом Кеплера, согласно которому R3 : r3 = Т2 : t2? Это возможно, говорит Ньютон, лишь в двух случаях: а) вещество вихря тем более текуче, чем оно дальше; б) сопротивление, «происходящее от недостатка скользкости частей жидкости, при увеличении скорости разделения частей друг от друга возрастает в большем отношении, нежели эта скорость». Однако, по Ньютону, ни то, ни другое не представляется «сообразным разуму»: ведь к периферии стремятся не более, а менее текучие частицы (если только они не тяготеют к центру), а сопротивление возрастает не в большем, а в меньшем отношении, чем скорость.

«Если же вихри, по мнению некоторых, движутся близ центра скорее, затем до некоторого предела медленнее, затем опять быстрее до окружности, то не может быть получено ни полукубическое, ни какое иное определенное отношение. Пусть философы сами посмотрят, при каком условии может быть объяснено вихрями явление, заключающееся в существовании указанного полукубического отношения».

В следующем за тем предложении Ньютон утверждает: «Тела, которые при переносе вихрем описывают постоянно одну и ту же орбиту, должны обладать одинаковою с вихрем плотностью и двигаться по тому же закону скорости и ее направления, как и части самого вихря».

В поучении (схолии) Ньютон делает отсюда общий вывод: планеты не могут быть переносимы материальными вихрями… И далее еще резче: «Таким образом, гипотеза вихрей совершенно противоречит астрономическим явлениям и приводит не столько к объяснению движений небесных тел, сколько к их запутыванию»{123}.

То же самое отмечал Ньютон позднее в «Оптике». Против «заполнения неба жидкими средами, если они только не чрезвычайно разрежены», свидетельствуют «правильные и весьма длительные движения планет и комет в небесном пространстве», показывающие, что «небесное пространство лишено всякого заметного сопротивления, а следовательно, и всякой ощутимой материи».

Антикартезианское «Общее поучение», которым заканчиваются «Начала», звучит весьма сурово: «Гипотеза вихрей подавляется многими трудностями. Чтобы планета могла описывать радиусом, проведенным к Солнцу площади, пропорциональные времени, надо, чтобы времена обращений частей вихря были пропорциональны квадратам расстояний их до Солнца. Чтобы времена обращений планет находились в полукубическом отношении их расстояний до Солнца, и времена обращений частей вихря должны находиться в полукубическом же отношении их расстояний до Солнца. Чтобы меньшие вихри вокруг Сатурна, Юпитера и других планет могли сохранять свое обращение и спокойно плавать в вихре Солнца, времена обращения частей солнечного вихря должны быть между собою равны. Вращение Солнца и планет вокруг своих осей, которое должно бы согласоваться с движениями вихрей, совершенно не согласуется с этими пропорциями. Движения комет вполне правильны и следуют тем же законам, как и движения планет, и не могут быть объяснены вихрями. Кометы переносятся по весьма эксцентрическим орбитам во всех областях неба, чего быть не может, если только вихрей не уничтожить»{124}.

Кульминационным пунктом «Начал» является третья книга, основное содержание которой составляет изложение системы мира. Весьма интересно и важно заявление Ньютона в самом начале этой книги. Из него явствует, что сначала он написал ее, придерживаясь популярного изложения, чтобы она читалась многими. Затем, однако, он переложил сущность этой книги в ряд предложений, по математическому обычаю, так чтобы она читалась лишь теми, кто сперва овладел «Началами». Сделал это Ньютон, по его собственному признанию, для того, чтобы «те, кто, недостаточно поняв начальные положения, а потому совершенно не уяснив силы их следствий и не отбросив привычных им в продолжение многих лет предрассудков, не вовлекли бы дело в пререкания». Интересно также, что Ньютон особо подчеркивал необходимость хорошенько изучить определения, законы движения и первые три отдела первой книги, после чего можно уже прямо переходить к третьей книге и обращаться к другим предложениям, «если того пожелают», лишь в тех местах, где на них сделаны ссылки. Три особо рекомендуемых для понимания третьей книги отдела первой книги посвящены: первый отдел математическому аппарату (методу флюксий, или методу первых и последних отношений, которым, кстати сказать, Ньютон пользуется далеко не везде в своих «Началах»); второй отдел озаглавлен «О нахождении центростремительных сил», и третий — «О движении тел по эксцентричным коническим сечениям». Попробуем последовать указаниям Ньютона и пойти по пути, который он наметил.

Сначала об определениях. Ньютон различает приложенную силу (силу в современном смысле) и силу, которая «врождена» материи или заключена в ней. Первая есть «действие, производимое над телом, чтобы изменить его состояние покоя или равномерного прямолинейного движения», вторая — присущая материи «способность сопротивления, по которой всякое отдельно взятое тело, поскольку оно предоставлено самому себе, удерживает свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения». Эту «силу» Ньютон называет также «инерцией материи», являющейся причиной того, что всякое тело лишь с трудом выводится из своего покоя и движения.

Ньютон говорит, что «эта сила всегда пропорциональная массе и если отличается от инерции массы, то разве только воззрением на нее».

Вслед за тем Ньютон дает определение центростремительной силы, которая составляет главный предмет первой книги «Начал». Это есть та сила, «с которою тела к некоторой точке, как к центру, отовсюду притягиваются, гонятся или как бы то ни было стремятся».

Как математик, Ньютон не вдается, следовательно, в физическую природу силы. Кроме абсолютной величины центростремительной силы Ньютон различает ускорительную и движущую величину ее. Первая есть «мера, пропорциональная той скорости, которую центростремительная сила производит в течение данного времени». Вторая пропорциональна количеству движения, которое производится центростремительной силой в течение данного времени. Отсюда следует, что

или, иначе, движущая сила пропорциональна ускорительной силе, умноженной на массу.

Второй отдел первой книги «Начал» есть «математическая прелюдия» к третьей книге. Первое предложение определяет зависимость между площадями, которые описывают радиусы, и временами (основа для последующего вывода второго закона Кеплера). «Площади, описываемые радиусами, проводимыми от обращающегося тела к неподвижному центру сил, лежат в одной плоскости и пропорциональны времени описания их». Наоборот, «если тело движется по какой-либо плоской кривой так, что радиусом, проведенным к неподвижной точке или к точке, движущейся равномерно и прямолинейно, описываются площади, пропорциональные времени, то это тело находится под действием центростремительной силы, направленной к указанной точке».

В третьем отделе Ньютон рассматривает движение тел по эксцентричным коническим сечениям под действием центростремительной силы, направленной к фокусу кривой. Отдельно для эллипса (предложение 11), гиперболы (предложение 12) и параболы (предложение 13) доказывается, что величина силы обратно пропорциональна квадрату расстояния до центра силы. Отсюда выводится основа второго и третьего законов Кеплера, а именно: «Если несколько тел обращаются около общего центра сил, причем центростремительные силы обратно пропорциональны квадрату расстояния до центра, то главные параметры орбит пропорциональны квадратам площадей, описываемых проведенными к телам радиусами в одно и то же время». И в следующем предложении: «При тех же предположениях утверждаю, что времена оборотов по эллипсам относятся между собою, как большие полуоси в степени 3/2».

Третьей книге предпосланы «Правила философствования», о которых мы скажем позднее, и «Явления», т. е. обобщенные данные астрономических наблюдений. Явление 1 относится к спутникам Юпитера, орбиты которых «не отличаются чувствительно» от кругов с центрами в центре этой планеты; к ним применим закон площадей (второй закон Кеплера) и третий закон Кеплера. Явление 2 — то же относительно спутников Сатурна. В явлениях 3—5 утверждается справедливость второго и третьего законов Кеплера относительно пяти «главных планет» (Меркурия, Венеры, Марса, Юпитера и Сатурна), а в явлении 6 — применимость закона площадей к движению Луны.

Поскольку в первой книге «Начал» законы Кеплера уже были выведены теоретически из закона центростремительной силы, а в только что упомянутых «Явлениях» констатировано, что эти законы распространяются на планеты и их спутники, постольку в первых предложениях третьей книги Ньютону уже не остается ничего другого, как сослаться на уже сказанное. Это сделано в полном соответствии с правилами изложения по обычаю геометров, т. е. по образцу «Начал» Евклида. В качестве примера достаточно привести лишь текст предложения 1 и его доказательства: «Силы, которыми спутники Юпитера постоянно отклоняются от прямолинейного движения и удерживаются на своих орбитах, направлены к центру Юпитера и обратно пропорциональны квадратам расстояний мест до этого центра». Доказательство сводится к фразе: «Первая часть предложения следует из явления 1 и предложения 2 или 3 книги I; последняя часть — из явления 1 и следствия 6 предложения 4 той же книги». Далее Ньютон добавляет: «То же самое разумей и о спутниках Сатурна на основании явления 2».

Центральное место в III книге занимает предложение 4: «Луна тяготеет к Земле и силою тяготения постоянно отклоняется от прямолинейного движения и удерживается на своей орбите».

Отсюда Ньютон делает свой знаменитый вывод, что сила, которая удерживает Луну на ее орбите, есть та самая сила, которая называется тяжестью, или тяготением.

Этот вывод Ньютон основывает на первом и втором правилах философствования, или, как переводит А.Н. Крылов, правилах умозаключений в физике. Первое правило гласит: «Не должно принимать в природе иных причин сверх тех, которые истинны и достаточны для объяснений явлений». В этой связи Ньютон ссылается на старое утверждение философов, что «природа ничего не делает напрасно», что «природа проста и не роскошествует излишними причинами вещей». Отсюда второе правило: «поскольку возможно, должно приписывать те же причины того же рода проявлениям природы».

Следовательно, сила, которая удерживает Луну на ее орбите, и сила тяготения — одна и та же. На основании того же второго правила Ньютон распространяет сказанное на спутники других планет и самые планеты.

Если сопоставить только что сказанное с ранее приведенными положениями Ньютона, нетрудно видеть, что порядок изложения «Начал» — от общих абстрактных выводов к проверке их конкретными эмпирическими данными — вовсе не соответствует историческому ходу мысли самого Ньютона, где обнаруживается сложнейшее переплетение абстрактного и конкретного. Уместно напомнить, что как раз в годы написания «Начал» (1686—1687) Ньютон беспрестанно обращался к астроному Флемстиду с вопросами относительно точных данных, касающихся орбит Юпитера и Сатурна, сплющенности Юпитера у полюсов, расхождений между новыми наблюдениями Сатурна и таблицами Кеплера и т. д.

Ньютон несколько раз решительно заявлял, что в «Началах» он исследует силы не как физик, а как математик. Так, он писал: «Я придаю тот же самый смысл названиям ускорительные и движущие притяжения и натиски (импульсы). Названия же притяжение, натиск (импульс) или стремление я употребляю безразлично одно вместо другого, рассматривая эти силы не физически, а математически». Ньютон заявляет, что не хочет этими названиями определить самый характер действия или физические причины происхождения этих сил или же приписывать центрам (которые суть математические точки) и физические силы, хотя и будет говорить о «силах центров и о притяжении центрами»{125}.

В первой книге «Начал» Ньютон рассматривает центростремительную силу как «притяжение», хотя «следовало бы, если выражаться физически, именовать ее более правильно напором (impulsis)». «Но теперь, — продолжает он, — мы занимаемся математикой и, оставляя в стороне физические споры, будем пользоваться более обычным названием, чтобы быть понятнее читателям-математикам».

В другом месте Ньютон говорит, что в своих «Началах» он исследует не виды сил и физические свойства их, а лишь их величины и математические соотношения между ними. «Математическому исследованию подлежат величины сил и те соотношения, которые следуют из произвольно поставленных условий. Затем, обращаясь к физике, надо эти выводы сопоставить с совершающимися явлениями, чтобы распознать, какие же условия относительно сил соответствуют отдельным видам обладающих притягательною способностью тел. После того, как это сделано, можно будет с большею уверенностью рассуждать о родах сил, их причинах и физических между ними соотношениях»{126}.

Поэтому в известном смысле был прав анонимный рецензент «Начал» (по всей вероятности, ученик Декарта Режи), когда писал вскоре после выхода в свет труда Ньютона, что труд это есть «чистая механика, самая совершенная, какую только можно вообразить». Это значило в глазах рецензента, что Ньютон еще должен доказать физическую правильность своих абстрактных механических положений.

Воспитанный в атмосфере декартовских идей, но все более отходивший от правоверного картезианства, Мальбранш развивал в сущности те же мысли и до и после выхода «Начал». Природа не абстрактна; рычаги и колеса механические — не математические линии и круги. Геометрия, по словам Мальбранша, иногда «бывает для нас поводом к заблуждению». «Мы так увлекаемся очевидными и приятными доказательствами этой науки, что недостаточно наблюдаем природу. Вот главная причина, почему не все изобретенные машины бывают удачны… Почему самые точные астрономические вычисления не предсказывают хорошо продолжительности и времени затмений… В движении планет нет полной правильности; носясь в громадных пространствах, они неравномерно увлекаются жидкой материей, окружающей их».

Мальбранш готов признать, что «заблуждения, в которые мы впадаем в астрономии, механике, музыке и во всех науках, где применяется геометрия, происходят не от геометрии, науки неоспоримой». Дело в ложном применении ее, в истолковании математических и механических абстракций как вполне точных отражений физической действительности. «Так, например, предполагают, что планеты в своих движениях описывают совершенно правильные круги и эллипсы, а это неверно. Такое предположение необходимо для рассуждений, и оно почти верно; но мы должны всегда помнить, что принцип, на основании которого мы рассуждаем, есть только предположение. Точно так же в механике мы предполагаем, что рычаги и колеса совершенно тверды и подобны математическим линиям и кругам, не имеющим тяжести и трения»{127}.

В другом месте Мальбранш указывал, что астрономы Нового времени открыли эллиптическую форму планетных движений. Но если они утверждают, что эти эллипсы вполне правильны, они впадают в заблуждение, и такое заблуждение «тем труднее исправить, что наблюдения, производимые над течением планет, не могут быть ни достаточно точны, ни достаточно верны, чтобы обнаружить неправильность их движения». Только одна физика, заключал Мальбранш, может поправить эту ошибку.

Получалась парадоксальная картина. Картезианцы объявляли отвлеченной гипотезой всю теоретическую механику Ньютона и усматривали в картезианской физике вихрей подлинно физическое объяснение, тогда как Ньютон, наоборот, заявлял, что не измышляет гипотез, и объявлял всю картезианскую физику сплошной гипотезой в самом дурном, порицательном значении слова.

Но то, что картезианцы были склонны поставить Ньютону в упрек, было в действительности основным достоинством его основополагающих «Начал».

Напомним слова В.И. Ленина из его «Философских тетрадей»: «Мышление, восходя от конкретного к абстрактному, не отходит — если оно правильное…— от истины, а подходит к ней. Абстракция материи, закона природы, абстракция стоимости и т. д., одним словом, все научные (правильные, серьезные, не вздорные) абстракции отражают природу глубже, вернее, полнее. От живого созерцания к абстрактному мышлению и от него к практике — таков диалектический путь познания истины, познания объективной реальности»{128}.

Если бы Ньютон последовал советам Мальбранша, можно смело сказать, что не было бы «Математических начал натуральной философии». Как математик, он умел ставить проблемы во всей их абстрактной общности, отвлекаясь от осложняющих моментов, но наряду с этим он же ставил столь же математически вопрос о праве не принимать во внимание до поры до времени подобные «осложняющие» моменты. Так, говоря о взаимодействии Луны и Земли, Ньютон считал возможным пренебречь действием Солнца, но одновременно он выяснял величину этого действия. Именно им были поставлены вопросы о возмущениях близких к круговому движению двух тел (Луны и Земли) под действием третьего, от них весьма далекого (Солнца).

Ньютон озаглавил свой труд «Математические начала натуральной философии». Мы видели, в каком смысле следует понимать слова «математические начала». Но изложил ли он в своем произведении математические начала всей натуральной философии? Он рассмотрел ряд важнейших явлений (небесные движения, приливы моря, удар тел, движение брошенных тел и т. д.). Однако не случайно восклицал он: «О если бы и остальные явления природы можно было также вывести путем того же способа аргументации из начал механики!» В деятельности Ньютона оставались области, которые не подвергались и еще не могли подвергнуться подобной математизации.

Особые усилия прилагал Ньютон к тому, чтобы добиться союза математики и физики в области оптики. В оставшихся забытыми «Лекциях по оптике» он писал: «Так же как астрономия, география, мореплавание, оптика и механика почитаются науками математическими, ибо в них дело идет о вещах физических, небе, земле, кораблях, свете и местном движении, так же точно и цвета относятся к физике, и науку о них следует почитать математической, поскольку она излагается математическим рассуждением. Точная наука о цветах относится к труднейшим из тех, кои желательны были бы философу. Я надеюсь на этом примере показать, что значит математика в натуральной философии, и побудить геометров ближе подойти к исследованию природы, а жадных до естественной науки сначала выучиться геометрии, чтобы первые не тратили все время на рассуждения, бесполезные для жизни человеческой, а вторые, старательно выполнявшие до сих пор свою работу превратным методом, разобрались бы в своих надеждах, чтобы философствующие геометры и философы, применяющие геометрию, вместо домыслов и возможностей, выхваляемых всюду, укрепляли бы науку о природе высшими доказательствами»{129}.

Обращая внимание на эти малоизвестные строки «Лекций», С.И. Вавилов писал: «Сложное учение о цветах Ньютон впервые поставил на почву измерительного физического опыта и математического расчета. Учение о цветах наряду с геометрической оптикой заняло законное место в «quadrivium»{130}.

Нет сомнения, что в этой и в аналогичных областях эксперимент и наблюдение должны были играть совершенно иную роль, чем при математическом исследовании математических начал натуральной философии.

Так наука на рубеже XVIII в. оказалась лицом к лицу с новыми проблемами математико-механического истолкования явлений и новой необозримой областью научного экспериментирования.

Ньютон сформулировал основную задачу, которую решает наука в этой новой области. Он говорил о двух вопросах, ответы на которые содержатся в «Началах натуральной философии». Один вопрос — это вопрос о поведении тел, об их положениях, скоростях и ускорениях, когда заданы действующие на них силы. Это механика в собственном смысле. Второй вопрос о силах, когда заданы положения тел. Как мы видели, этот второй вопрос был центральным вопросом ньютоновой теории тяготения. Последняя стала образцом для появившихся впоследствии концепций магнитного и электрического полей с тем, впрочем, различием, что эти поля зависят, как оказалось, одно от другого. Но такое отличие уже выводило науку за рамки ньютоновой схемы и означало эмансипацию физики от власти механики. Следующим актом этой эмансипации было подчинение самой механики более общим понятиям теории поля.

Но нас сейчас интересует история механики, причем в этой главе — история ее начальных этапов. Сопоставление двух вопросов, поставленных Ньютоном в «Началах натуральной философии» — определения движений и положений тел по заданным силам и определения сил по заданному положению тел, — бросает свет на характерную и важную особенность этих этапов. Классическая механика уже в XVII в. включала понятия и идеи, которые открывали ей дорогу к руководящей роли в науке, к сведению закономерностей природы к механике. И вместе с тем классическая механика содержала понятия и идеи, которые при своем дальнейшем развитии означали эмансипацию физики и, более того, изменении фундаментальных основ классической механики, заложенных в XVII в.

ИДЕЙНЫЕ ИСТОКИ МЕХАНИКИ ЛЕЙБНИЦА

Готфрид Вильгельм Лейбниц родился в 1646 г. — за два года до окончания Тридцатилетней войны. Отец его был профессором философии Лейпцигского университета; он умер, когда Лейбницу было 6 лет. Обучаясь на юридическом факультете того же университета, Лейбниц одновременно изучал философию и математику. После получения (в 20 лет) ученой степени он мог сделаться профессором, но, отказавшись от этого, поступил на службу к майнцскому курфюрсту в качестве юриста бывшего министра курфюрста Бойнебурга. Одновременно он вел научную и литературную работу, интересуясь философией, физикой, математикой. Бойнебург имел многочисленные знакомства в ученом мире, и благодаря ему Лейбницу удалось завести переписку с учеными различных стран. В 1672 г. он отправился за границу, жил несколько лет в Париже, где сблизился с Гюйгенсом, одним из величайших ученых того времени. Там в Академии наук он делал доклады о своих научных исследованиях. Гюйгенс оказал на Лейбница очень большое влияние.

Бойнебург, отправив Лейбница в заграничную командировку, вскоре умер, и Лейбниц оказался не у дел. Однако через некоторое время он был приглашен на службу ко двору ганноверского герцога в качестве библиотекаря с правом жить еще некоторое время за границей.

В конце 1676 г. он переехал в Ганновер, где его служба продолжалась до самой смерти. Здесь он выполнял самые разнообразные поручения в качестве экономиста, историка, дипломата, юриста, технического консультанта.

В 1687—1690 гг. Лейбниц совершил большое путешествие, во время которого посетил Австрию и Италию. В период 1711 —1716 гг. он несколько раз встречался с Петром I, который высоко ценил Лейбница как ученого и беседовал с ним по вопросу организации Академии наук и университетов в России.

В 1700 г., когда по предложению Лейбница в Берлине была учреждена Академия наук, он был назначен ее президентом, но последние годы жизни был мало с ней связан. Лейбниц был также членом Парижской академии наук и Лондонского королевского общества.

Лейбниц отличался необыкновенной работоспособностью. Его литературное наследство поистине огромно: одних только писем Лейбница осталось около 15 тысяч, и почти все они имеют большое научно-историческое значение. В своих произведениях Лейбниц вырисовывается как первоклассный и в высшей степени многосторонний исследователь, не только философ и математик, но и физик, механик, геолог, историк, психолог, экономист, языковед, богослов и правовед.

Служба при дворе отвечала характеру Лейбница: он, как и многие представители немецкого бюргерства его эпохи, свои мечты и чаяния о лучшем устройстве жизни связывал с просвещенным монархом, прилагал немало усилий к тому, чтобы склонить своего повелителя на путь политико-экономических реформ, которые должны были бы обеспечить капиталистическое развитие Германии. Но он мало чего добился: его бессовестно эксплуатировали, третировали, считали вольнодумцем, ему не доверяли. Как он ни старался примирить науку с религией, его подозревали в атеизме. Перед своей смертью, последовавшей в 1716 г., он оказался в полном одиночестве. Смерть Лейбница прошла незамеченной даже Берлинской академией наук, основателем которой он был. Только Парижская академия наук заслушала посвященное Лейбницу «похвальное слово», произнесенное Фонтенелем.

Идеализм считает, что Вселенную нельзя объяснить состоящей из одной только материи: материя мертва, слишком бедна качествами. По этой же самой причине дуализм Декарта основывался на признании двух субстанций — материи и души. Однако, вводя вторую, нематериальную субстанцию для «обогащения» мира, Декарт создавал неразрешимую для себя трудность: он не мог объяснить, каким образом эти две субстанции взаимодействуют. Из этого туцика дуализм выхода указать не мог по самому своему существу. Решения задачи надо было искать на пути монизма. Материалисты XVIII столетия давали монистическое решение вопроса, но они упрощали проблему, желая все богатство красок и жизни реального мира свести к элементарным механическим и геометрическим свойствам материи.

ГОТФРИД ВИЛЬГЕЛЬМ ЛЕЙБНИЦ (1646-1716)

Немецкий ученый, математик, философ, механик. Лейбницу наряду с Ньютоном принадлежит заслуга разработки дифференциального и интегрального исчисления 

Лейбница не удовлетворяло то решение вопроса о материи, которое предлагалось механицистами XVII в., а социальная среда Германии того времени толкала его к идеалистическим позициям. Вместо материи он в основу мироздания ставил духовные субстанции — монады. Монада — это одухотворенный атом, обладающий особой индивидуальностью, движением, активностью и духовными качествами (представлениями). По словам Лейбница, каждая монада есть «мир для себя», каждая монада — «самодовлеющее единство». Роль материи, по Лейбницу, сводится к тому, что материя «нечто вроде инобытия души или киселя, связующего их мирской, плотской связью»{131}.

Лейбниц считал, что вообще в природе нет ничего абсолютно прерывного; все противоположности, все границы пространства и времени, а также своеобразия, исчезают перед абсолютной непрерывностью, перед бесконечной связью Вселенной.

В связи с этим Ленин замечает: «Тут своего рода диалектика и очень глубокая, несмотря на идеализм и поповщину»{132}. Указания на связь частей мира между собой, рассмотрение природы как целостного единства приводит Лейбница к учению о том, что бог в своих действиях следует естественным законам, правда установленным им самим, но в соответствии с его высшим разумом, а не случайными велениями.

Желая максимально возвеличить бога, Лейбниц избирал для этого такой путь, на котором наука не устранялась: он утверждал незыблемость законов природы (хотя в основе этих законов и лежали, по его мнению, изначальные принципы нематериального порядка). Он с презрением отвергал ту «фанатическую философию», которая объясняет «все явления тем, что приписывает их непосредственно богу при помощи чуда», или ту «варварскую философию, которая выдумывала для них специально скрытые качества или способности, считавшиеся похожими на небольших демонов или домовых, способных выполнять беспрекословно все то, что от них требуют, — вроде того как если бы карманные часы указывали время, благодаря некоторой часопоказывающей способности, не нуждаясь ни в каких колесиках, или как если бы мельницы мололи зерна, благодаря некоторой размалывающей способности, не нуждаясь в таких вещах, как жернова»{133}.

Оставаясь целиком на почве идеализма, Лейбниц допускал решительные отступления от него, думая, что этим он только укрепляет идеализм. Это дало Марксу основание видеть его заслугу в том, что он, как потом и Гегель, работал над «ниспровержением бога»{134}.

Лейбниц, подчеркивая, что «бог может сделать более того, что мы в состоянии понять, и что таким образом в догматах веры могут заключаться непостижимые для нас тайны», возражает против того, чтобы «в обычном ходе вещей прибегали к чудесам»{135}. В другом месте он писал: «Нелепым и бессмысленным было бы… чтобы бог повседневно творил чудеса»{136}.

Лейбниц телесную субстанцию понимал не только как протяженную массу, извне приводимую в движение, а как субстанцию, включающую в себя деятельную силу, — по выражению Фейербаха, — как «не знающий покоя принцип деятельности».

Ленин, конспектируя Фейербаха, с очевидной симпатией цитировал это замечание, а в другом месте писал: «Лейбниц через теологию подходил к принципу неразрывной (и универсальной, абсолютной) связи материи и движения»{137}.

Лейбниц вводит в науку элементы принципа действенности и самодвижения субстанции. Этот принцип был особенно ценным в лейбницевой физике и динамике.

Об идеализме XVII столетия и его отличиях от идеализма позднейшего Маркс писал: «Метафизика XVII века еще заключала в себе положительное, земное содержание (вспомним Декарта, Лейбница и др.). Она делала открытия в математике, физике и других точных науках, которые казались неразрывно связанными с нею. Но уже в начале XVIII века эта мнимая связь была уничтожена. Положительные науки отделились от метафизики и отмежевали себе самостоятельные области»{138}.

В динамике Лейбниц приписывал себе открытие двух основных законов мироздания: закона непрерывности и закона сохранения силы. Опираясь на свой закон непрерывности, Лейбниц отрицал возможность существования абсолютно твердых неизменяемых тел и неизменяемых атомов; он утверждал, что покой есть не что иное, как частный случай движения, и т. д. Что касается другого закона, закона сохранения силы (по терминологии Лейбница), то этот закон, разумеется, еще не носил у Лейбница того конкретного характера, который он принял в физике XIX столетия (после открытий Мейера, Джоуля, Гельмгольца и др.). Этому также мешало отсутствие знаний о превращениях энергии. Тем не менее ведущее значение идей Лейбница для наиболее передовых исследований позднейшего времени едва ли нуждается в доказательствах.

Лейбниц не был согласен с Декартом, утверждавшим, что в телах нет ничего, кроме протяженности. Помимо протяженности Лейбниц усматривал в телах «нечто более важное, чем протяженность», а именно «силу природы». Эта сила есть «стремление, или усилие (conatus), проявляющееся в определенном действии, если ему не препятствует противоположное стремление». Эта сила происходит от бога, но, с другой стороны, она составляет, по словам Лейбница, «самую внутреннюю природу тел»{139}.

Указанная «деятельность» телесной субстанции, получающая в дальнейшем наименование «силы», неразрывно связана у Лейбница с движением (механическим движением), но Лейбниц большее значение придает «силе», а не движению. Эта «сила» (vis), или потенция (potentia), соответствует теперешнему понятию энергии. Ее значение Лейбниц видит в том, что «сила представляет собой нечто реальное и абсолютное» (это вытекает из ее сохранения в природе), тогда как движение «принадлежит к разряду относительных феноменов»{140}. Кинетическую относительность движения Лейбниц понимал в духе классической механики, но нетрудно в его рассуждениях видеть прозорливое указание на то, что активность природы не исчерпывается движением механическим.

У Лейбнрща сила не отрывается от движения, и силу он не считает просто «причиной движения». Он говорит: «Всякое телесное действие происходит от движения, а само движение происходит только от движения, существовавшего уже ранее в теле или переданного ему от другого тела»{141}. В отличие от Ньютона Лейбниц считал, что «совершенно покоящееся тело в корне противоречит природе вещей»{142}.

Не ряду с этим «сила» у Лейбница — это «душа», аристотелевская «энтелехия», «субстанциальная форма», о которой так много говорилось в средневековой философии. Лейбниц сам, говоря о силе, или потенции, неоднократно подчеркивал, что при объяснении тех или иных явлений природы не следует апеллировать только лишь к энтелехии; по его словам, она является лишь «общей причиной», которой совершенно недостаточно для этого. Нужпы «особые и частные причины, без чего, говорит он, мы остаемся на позициях схоластического пустословия»{143}.

Лейбниц и Декарт сходились на том, что движение в природе не исчезает и не увеличивается. Различие во взглядах начиналось у них с вопроса, какой формулой измерять величину движения. Что касается Ньютона, он в принципе не допускал сохранения движения в природе, а потому не нуждался не только в решении, но даже в постановке вопроса о мере движения.

Основной мыслью, из которой исходил Лейбниц, было положение, что причина всегда количественно равна своему действию. Поэтому, как бы ни видоизменялись движения в природе, их общая итоговая мера должна быть неизменной, ведь движение имеет свою причину тоже в движении. Эту меру он назвал «живой силой» раньше того, как была найдена математическая формула для ее выражения. «Живая сила» у Лейбница имела и другие названия: «сила движения», «движущая сила», «потенция». Принцип равенства причины и действия приводил Лейбница к принципу сохранения живых сил, или к принципу сохранения силы. Это не математическая теорема, а философское положение, высший постулат разума, без которого мы должны были бы признать беспорядок, хаос во Вселенной. Когда это установлено в качестве общей непререкаемой истины, начинается специальное исследование: как математически правильнее выразить меру движения, чтобы указанная высшая истина смогла быть выражена в виде уравнения, в левой части которого стояла бы функция от величин, характеризующих движущееся тело, а справа постоянная.

Уже бывшая в ходу до Лейбница формула mv — const (mv называли «количеством движения») не отвечала тому назначению, которое давал силе Лейбниц. Правда, формула эта могла быть пригодна для явлений удара, где механическое движение передается от одного тела к другому в качестве механического же движения. Но стоит только взять простейшее явление, где механическое движение переходит в другую форму движения (например, в энергию натянутой пружины или в потенциальную энергию положения), как предположение о сохранении mv приводит к нелепому выводу о возможности «вечного механического движения», т. е. к возможности получения движения из ничего. Поэтому Лейбниц считал ошибкой Декарта, что тот, признавая, что сила движения в мире сохраняется, отождествил ее с величиной mv, тогда как сила движения вовсе не выражается через mv.

Лейбниц приводит целый ряд аргументов, поясняющих и доказывающих его положение, — здесь и Галилеев закон падения, и невозможность вечного механического движения, и т. д. Полемика с Декартом облегчалась еще тем, что тот под «количеством движения» понимал всегда положительное число независимо от направления скорости.

В пользу Декарта видимым образом говорили даже не столько правила удара (истинные правила удара указывают на векторный характер «количества движения»), сколько общепризнанное тогда правило статики — «золотое правило механики», согласно которому грузы при равновесии обратно пропорциональны их возможным перемещениям или скоростям этих перемещений. Так как в то время вес еще не различался от массы, то эта пропорциональность и означала равенство тех произведений, которые Декарт назвал «количеством движения».

Лейбниц разъясняет, что это равенство носит случайный характер, что вообще должно соблюдаться равенство произведений грузов и высот, но что здесь, в частном случае, высоты пропорциональны скоростям. А так как высоты, по закону Галилея, пропорциональны квадратам скоростей, достигнутых при падении (или начальных скоростей при подъеме), то меру движения должно считать пропорциональной квадрату скорости.

После того как Локк выступил с заявлением о своем согласии с Ньютоном, который убедил его, что при помощи толчка нельзя объяснить тяготения, а что здесь нужно привлечь «всемогущество божие и фактическое действие бога», Лейбниц в «Новых опытах» писал: «Я могу лишь воздать хвалу этому скромному благочестию нашего знаменитого автора, признаюшего, что бог может сделать более того, что мы в состоянии понять, и что таким образом в догматах веры могут заключаться непостижимые для нас тайны, но я не хотел бы, чтобы в обычном ходе вещей прибегали к чудесам и допускали абсолютно непонятные силы и воздействия. Ведь в противном случае под предлогом божественного всемогущества мы дадим слишком много воли плохим философам»{144}. Всемогущество божие всемогуществом, по нашей задачей остается отыскивать естественные причины для явлений в телах — такова мысль Лейбница.

Рассматривая Лейбницев закон сохранения энергии с точки зрения современной науки, можно сказать, что его формулировка при строгом подходе к ней оказывается не совсем ясной, расплывчатой. Но иначе и быть не могло. Закон сохранения энергии можно сформулировать со всей строгостью и в соответствии с реальной действительностью только в связи с понятием превращения энергии. Объективный закон НЕ = const включает в себя большое количество слагаемых (видов энергии), из которых во времена Лейбница были в точном смысле известны только кинетическая энергия, потенциальная энергия положения относительно земли и энергия натянутой пружины. Только работы Майера, Джоуля, Гельмгольца и других ученых в 40-х годах XIX столетия расширили понятие об энергии, и тогда вместо двух или трех слагаемых в сумме ΣЕ = const стало возможным говорить о большом числе их, при каком эта сумма только и становится действительно постоянной.

Лейбниц был прав в принципе, когда он считал, что сумма всей потенции (энергии) в природе необходимо остается постоянной, но он ошибался, когда расшифровывал эту сумму: слишком много тайн скрывала от людей в те времена природа, и они не знали, что механическое движение может превращаться в эквивалентное ему количество теплоты, электромагнитной энергии и т. п. Вот почему закон сохранения энергии у Лейбница остается скорее декларацией, чем фактическим завоеванием науки. Плодотворность этого принципа, декларированного Лейбницем, была показана последующим прогрессом научного знания в XIX—XX вв.

VI. МЕХАНИКА В XVIII ВЕКЕ

ТРУДЫ ЭЙЛЕРА ПО МЕХАНИКЕ ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА

Леонард Эйлер (1707—1783) — один из выдающихся ученых, оказавший большое влияние на развитие физико-математических наук в XVIII в. В его творчестве поражает проникновенность исследовательской мысли, универсальность дарования и огромный объем оставленного научного наследия.

Леонард Эйлер родился 15 апреля 1707 г. в Базеле в семье пастора Пауля Эйлера. Отец Эйлера любил математику и в свое время учился у Якоба Бернулли. Первые уроки математики Леонард Эйлер получил у своего отца. Несмотря на исключительные математические способности сына, Пауль Эйлер хотел дать ему богословское образование, но, к счастью для науки, тот не сделался священником. В 1720 г. Эйлер поступил в Базельский университет. Его математическое дарование привлекло внимание Иоганна Бернулли (1667—1748). Под руководством Бернулли Эйлер в короткое время изучил ряд классических трудов по математике и показал замечательные успехи.

Эйлер сделался другом сыновей своего учителя — Николая и Даниила Берпулли, которые также успешно занимались математическими науками. Эта дружба сыграла большую роль в жизни Эйлера.

8 июня 1724 г. Эйлер блестяще окончил университет и получил звание магистра искусств. Молодой ученый занялся поисками работы в Базеле, но безуспешно. Братья Бернулли также не смогли найти на родине применения своим дарованиям.

В 1725 г. Николай и Даниил Бернулли были приглашены для работы в учрежденную в Петербурге Академию наук.[26] Оказавшись в Петербурге, братья Бернулли употребили много усилий, чтобы добиться приглашения туда Леонарда Эйлера. Президент Петербургской академии наук медик Л.Л. Блюментрост (1692—1755) согласился предоставить Эйлеру место адъюнкта. Он принял это предложение.

5 апреля 1727 г. двадцатилетний Эйлер навсегда покинул Базель и 17 мая приехал в Петербург.

С этого времени начинается работа Эйлера в Петербургской академии наук. По своей интенсивности эта работа едва ли имеет равную себе в истории науки. С молниеносной быстротой развернул он неисчерпаемые силы своего математического гения. С неукротимой энергией Эйлер занимается новыми и новыми проблемами математических и прикладных наук. Уже за время первого своего пребывания в Петербурге (1727 —1741) он подготовил более 75 работ.

В эти годы не вышло ни одного тома (за исключением первого) трудов Академии, который не содержал бы нескольких его крупных работ. В результате плодотворной научной деятельности Эйлера и других ученых «Commentarii» стали одним из лучших научных журналов того времени.

Уже тогда Эйлер имел огромный научный авторитет. В этом смысле показательна его переписка с И. Бернулли. Она интересна не только в научном отношении. Бернулли — великий математик, которого называли Нестором геометрии, находившийся уже в преклонных летах, — не стеснялся советоваться с бывшим своим учеником, интересовался его мнением о своих новых трудах.

Наряду с многогранной научной деятельностью Эйлер принимал активное участие и в других работах Академии. Он читал лекции студентам академического университета, принимал экзамены и т. д. Эйлер основательно изучил русский язык и свободно говорил и писал по-русски. В Архиве Академии наук СССР хранятся письма ученого, написанные на русском языке.

Эйлера привлекали в качестве эксперта по вопросам техники; он участвовал в комиссии мер и весов, занимался вопросами устройства пожарных насосов и механических пил и т. д. В течение ряда лет Эйлер работал в Географическом департаменте, которому было поручено составление генеральной карты России. Здесь он был главным консультантом по вопросам математики, руководителем больших циклов работ, вычислителем, сам чертил карты. Впоследствии он писал: «Я уверен, что география российская чрез мои и г. профессора Геинзиуса труды приведена гораздо в исправнейшее состояние, нежели география немецкой земли»{145}.

В 1740 г. в Петербургской академии наук установилась атмосфера деспотизма. Судьба Академии и ее членов зависела от таких невежественных людей, как Бирон, Шумахер и др. Очевидно, это в какой-то мере заставило Эйлера принять приглашение прусского короля Фридриха II переехать в Берлин. Перед отъездом из Петербурга Эйлеру было присвоено звание почетного члена Петербургской академии наук с ежегодной пенсией в 200 рублей.

Берлинский период жизни Эйлера характеризуется прежней высокой научной активностью. В Германии Эйлер опубликовал свыше 235 мемуаров, в том числе такие крупные работы, как «Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума или минимума» (1744), два тома «Введения в анализ бесконечно малых» (1748), два тома «Морской науки» (1749), «Теорию движения Луны» (1753), «Дифференциальное исчисление» (1755), «Теорию движения твердых тел» (1765) и много других классических мемуаров по математической физике, гидродинамике, баллистике, дифференциальной геометрии, тригонометрии, теории чисел и т. д.

Следует заметить, что «Морскую науку» он начал по поручению Петербургской академии наук и вчерне закончил ее еще в 1737 г.; этот труд был издан в Петербурге. Точно так же по особой договоренности с Петербургской академией были написаны им «Дифференциальное исчисление» и «Теория движения Луны», изданные на ее счет в Берлине.

Прусское правительство давало Эйлеру и чисто инженерные поручения. Так, в 1749 г. ему было поручено осмотреть канал между Гавелем и Одером, указать необходимые меры исправления этого водного пути, исправить водоснабжение в Сан-Суси и т. п. Эйлер написал ряд статей, обобщающих эти практические задачи.

Связь Эйлера с Петербургской академией не прекращалась в течение всего времени его пребывания в Берлине. За эти годы он опубликовал в изданиях Петербургской академии наук свыше 100 мемуаров. Он редактировал также математический отдел ее ученых записок и вел с академией весьма оживленную и важную переписку по самым разнообразным научным и научно-организационным вопросам. Он знакомил петербургских академиков с научными новинками Западной Европы, помогал советами в организации конкурсов, подбирал сотрудников на вакантные должности, приобретал для академии книги, инструменты, рецензировал работы студентов академического университета. На квартире у Эйлера годами жили присланные к нему для завершения образования русские адъюнкты Петербургской академии. Таким образом, Эйлер, как выразился его ученик академик Н.И. Фусс, никогда не переставал принадлежать русской академии наук.

ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР (1707—1783)

Математику механик, физик и астроном. Эйлер родился в Швейцарии, но жил и работал в России. Ему принадлежат важные работы по математическому анализу, небесной механике, оптике, баллистике и др. Труды Эйлера оказали огромное влияние на дальнейшее развитие физико-математических наук 

Пребывание в Берлине сопряжено было для Эйлера как с рядом удобств, так и с рядом трудностей. Его отношения с королем Фридрихом, постоянно вмешивавшимся в дела Берлинской академии и недостаточно ценившим великого математика, с годами все ухудшались. Эйлер чаще и чаще задумывался о возвращении в Россию. В середине 60-х годов натянутые отношения с королем переросли в резкий конфликт и по приглашению правительства Екатерины II Эйлер решил вернуться в Россию.

В июле 1766 г. Эйлер вновь прибыл в Петербург, где и прожил до конца жизни.

За последние 17 лет жизни в Петербурге Эйлер опубликовал несколько сот работ по различным вопросам математики, механики, физики. В 1769—1771 гг. он подвел итог своим оптическим работам в трех томах «Диоптрики». В это же время академическая типография напечатала три тома его «Писем к одной немецкой принцессе», три тома «Интегрального исчисления», два тома «Алгебры», астрономические работы, работы по теории мореплавания и др. В академических записках по-прежнему регулярно появлялись статьи Эйлера. Он работал так много, что академические «Commentarii» не успевали помещать его новые статьи и образовывался их запас на много лет. Эйлер шутливо говорил, что его статьи будут печататься в журналах Академии еще двадцать лет после его кончины. И на самом деле, сочинения Эйлера публиковались Петербургской академией наук до 1862 г.

Своими трудами Эйлер прославил Академию наук. Его плодотворная научная деятельность сказалась на дальнейшем развитии физико-математических наук в России. Он оказал неоценимую услугу русской науке, воспитав целую плеяду выдающихся ученых. Многие русские академики: С.К. Котельников, С.Я. Румовский, М.Е. Головин, Н.И. Фусс, С.Е. Гурьев и другие были или непосредственными его учениками, или же воспитывались на его сочинениях.

Эти ученые играли большую роль в деле налаживании преподавания в самой Академии и в первых русских университетах — Московском и Казанском, а также в технических учебных заведениях Петербурга.

Работы Эйлера произвели на современных ему ученых не только глубокое, но, можно сказать, ошеломляющее впечатление. Даламбер в одном из своих писем Лагранжу называет Эйлера «се diable b'homme» («этот диавол»), желая выразить этим, что сделанное Эйлером превышает силы человеческие{146}.

Младший современник Эйлера Лаплас говорил своим ученикам: «Читайте, читайте Эйлера — он наш общий учитель». Эти слова знаменитого французского ученого и по сей день сохраняют свою силу. На трудах Леонарда Эйлера воспитывались все выдающиеся математики и механики второй половины XVIII в. Гаусс писал, что изучение трудов Эйлера является наилучшей школой в самых различных областях математики. Исключительно высоко оценивал работы Эйлера и их влияние на развитие математических наук во всем мире, и в частности в России, М.В. Остроградский. Труды Эйлера и в последующие столетия оставались богатым источником, из которого многие ученые, среди которых следует назвать имена таких знаменитых математиков и механиков, как Лагранж, Лобачевский, Гаусс, Чебышев, Абель, Якоби, Монж, Риман, Остроградский, Пуассон и другие, черпали знания и проблемы для научной работы. Огромные заслуги Эйлера были признаны всем ученым миром. Он был избран академиком восьми стран (в том числе России, Германии, Франции, Англии).

Эйлер дожил до 76 лет и имел многочисленную семью. Сын его Иоганн Альбрехт Эйлер (1734—1800) состоял членом Петербургской академии наук, Карл Эйлер (1740— 1790) был лейб-медиком Екатерины II, Христофор Эйлер (1743—1808) — генералом русской армии и начальником оружейного завода в Сестрорецке. У Эйлера было 38 внуков. Потомки великого ученого и в наши дни живут в Советском Союзе.

Творческая работа Эйлера не прекращалась до 18 сентября 1783 г. — последнего дня его жизни. В этот день он беседовал с академиком Лекселем на астрономические темы, потом играл с внуком, а за чаем, внезапно почувствовав себя плохо, сказал: «Я умираю». Через несколько часов Эйлер, по образному выражению Кондорсе, «перестал вычислять и жить».

Грандиозная творческая сила Эйлера сближает его с такими титанами-творцами, как Леонардо да Винчи и Ми-келанджело. Характеристикой творческого труда Эйлера может служить количество его работ, среди которых помимо статей, как небольших по объему, так и могущих составить целую книгу, есть несколько многотомных сочинений. Эйлеру принадлежит около 850 работ, из которых более половины в изданиях русской Академии наук, и огромное количество писем на различные научные темы. Значительная часть трудов Эйлера посвящена механике, которая вслед за математикой была главной областью его творчества. Первая работа Эйлера, написанная им в 1725 г., когда ему было 18 лет, посвящена изохронным кривым в случае сопротивляющейся среды; она вышла в основанных Лейбницем «Acta eroditorum» за 1726 г. Механике Эйлер посвятил свыше 200 статей и книг, что составляет около четверти всех его публикаций (это без учета его многочисленных работ по небесной механике). Исследования Эйлера охватывали все отделы механики. Более 160 его работ относятся к ее теоретическим проблемам: общим вопросам (учение о пространстве, о природе материи и сил, принципе наименьшего действия), механике точки и твердого тела, давлению и удару, трению, теории упругости и сопротивлению материалов, гидро- и аэромеханике. Остальные работы имеют своим предметом теорию машин, гидравлику, баллистику, теорию корабля и некоторые другие области прикладной механики.

Вскоре после переезда в Петербург Эйлер приступил к исследованию различных механических задач. Он продолжает глубоко изучать творения своих предшественников — от Галилея до Ньютона, Лейбница и его учеников — и одновременно выступает в печати с рядом оригинальных результатов. Начиная со второго тома в записках Петербургской академии наук появляются его статьи о таутохронных кривых и случаях пустоты и сопротивляющейся среды, о колебаниях упругих пластин, об ударе и др. Из 28 работ, представленных им Академии до конца 1734 г., 9 относились непосредственно к механике.

Уже в первые годы научной деятельности Эйлер составил программу грандиозного и всеобъемлющего цикла работ. Эта программа изложена в его первой двухтомной монографии «Механика, т. е. наука о движении, изложенная аналитическим методом», изданной в Петербурге в 1736 г. В ней Эйлер писал: «Итак, разнообразие тел предопределяет для нас первоначальное деление нашей работы. Сначала мы будем рассматривать тела бесконечно малые, т. е. те, которые могут рассматриваться как точки. Затем мы приступим к телам, имеющим конечную величину, — тем, которые являются твердыми, не позволяющими менять своей формы. В-третьих, мы будем говорить о телах гибких. В-четвертых, о тех, которые допускают растяжение и сжатие. В-пятых, мы подвергнем исследованию движение многих разъединенных тел, из которых одни препятствуют другим выполнить свои движения так, как они стремятся это сделать. В-шестых, будет рассматриваться движение жидких тел. По отношению к этим телам мы будем рассматривать не только то, как они, представленные сами себе, продолжают движение, но, кроме того, мы будем исследовать, как на эти тела воздействуют внешние причины, т. е. силы»{147}.

Реализация намеченной программы, естественно, растянулась на десятилетия. Цитированная монография содержала основания динамики точки — под механикой Эйлер разумел науку о движении в отличие от науки о равновесии сил, или статики. Отличительной чертой «Механики» Эйлера явилось широкое использование нового математического анализа, дифференциального и интегрального исчисления. Это нашло отражение уже в названии книги и было особо подчеркнуто в предисловии к ней. Кратко охарактеризовав основные труды по механике, составленные на рубеже XVII—XVIII вв., Эйлер отмечал присущий им синтетико-геометрический стиль всего изложения, чрезвычайно затрудняющий читателей. В такой именно манере были написаны «Математические начала натуральной философии» Ньютона, благодаря которым наука о движении получила наибольшее развитие, и более поздняя «Форономия» (1716) Я. Германа — единственное тогда сочинение, в котором эта наука была изложена как самостоятельная дисциплина. Эйлер заявлял: «Однако если анализ где-либо и необходим, так это особенно относится к механике. Хотя читатель и убеждается в истине выставленных предложений, но он не получает достаточно ясного и точного их понимания, так что, если чуть-чуть изменить те же самые вопросы, он едва ли будет в состоянии разрешить их самостоятельно, если не прибегнет сам к анализу и те же предложения не разрешит аналитическим методом». Тут он ссылается на собственный опыт: познакомившись с обоими упомянутыми трудами Ньютона и Германа, он полагал, что я но понял решение многих задач, но в действительности оказался не в состоянии решить даже мало отличающиеся от них новые проблемы. Тогда Эйлер стал перерабатывать синтетические доказательства в аналитические и, лучше уяснив суть вопроса, перешел к аналитическому изучению новых задач, что в свою очередь привело его к открытию новых методов, обогащающих как механику, так и сам анализ. «Таким образом и возникло это сочинение о движении, в котором я изложил аналитическим методом и в удобном порядке как то, что я нашел у других в их работах о движении тел, так и то, что я получил в результате своих размышлений»{148}.

Чрезвычайные выгоды, связанные с применением в динамике анализа вместо геометрических построений, общеизвестны. Следует заметить, что было бы неверно видеть заслугу Эйлера в одном только переводе динамики Ньютона с синтетико-геометрического языка на более простой аналитический. Эйлер создал принципиально новые методы исследования проблем механики, разработал ее новый математический аппарат и с блеском применил его ко множеству новых трудных задач. Он впервые сделал инструментом механики дифференциальную геометрию, дифференциальные уравнения, вариационное исчисление. Синтетико-геометрический метод не был, вообще говоря, адекватным явлениям динамики, поскольку требовал, как правило, индивидуальных построений, приспособленных к каждой задаче в отдельности. Метод Эйлера, развитый как им самим, так и другими учеными, был единообразным и адекватным предмету.

Обратимся к трактату Эйлера по механике. Первый том содержит учение о свободном движении точки.

В главе 1 даются определения и разъяснения основных понятий динамики. Уже здесь используется аппарат исчисления бесконечно малых. Так, среди прочего время движения по дуге траектории s со скоростью с выражается интегралом

(знаки нижнего и верхнего пределов интегрирования в то время не ставились).

Глава 2 трактует о действии сил на свободную точку. Здесь формулируется основная теорема, соответствующая второму закону Ньютона: «Если направление движения точки совпадает с направлением силы, то приращение скорости будет пропорционально силе, умноженной на промежуточек времени и деленной на материю или на величину точки»{149}.

В главе 3 разобраны конкретные задачи: свободное падение тела и прямолинейное движение свободной точки под действием центральных сил, пропорциональных той или иной степени расстояния. В случае, когда центростремительная сила обратно пропорциональна расстоянию от центра, Эйлер выражает время полного падения через знаменитый интеграл

незадолго перед тем исследованный им и названный впоследствии эйлеровым интегралом второго рода.

Глава 4 посвящена разбору задач о прямолинейном движении точки в однородной среде с сопротивлением, пропорциональным какой-либо степени скорости.

В главе 5 Эйлер переходит к плоскому криволинейному движению свободной точки в пустоте. Он разлагает действующую силу на две составляющих — по касательной и по нормали к траектории — и, используя такие же разложения ускорения, получает два уравнения движения. Обширное место отведено движению точки под действием центральной силы, в частности силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния. Тут Эйлер дает аналитическую переработку посвященных тому же предмету параграфов «Математических начал натуральной философии» Ньютона и закладывает основы последующих работ по небесной механике.

Первый том «Механики» заканчивается главой о криволинейном движении в сопротивляющейся среде. Специальное внимание Эйлер уделяет важному по внешней баллистике случаю, когда сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости. Задачу эту ранее рассматривали Ньютон, Герман, И. Бернулли, но решение Эйлера отличалось и оригинальностью, и большей полнотой.

Во втором томе «Механики» Эйлер исследует несвободное движение точки, когда, как он выражается, тела встречают препятствия тому, чтобы продвигаться в том направлении, в котором они стремятся двигаться, как, например, маятники. При рассмотрении движения в пространстве он пользуется разложением сил по трем взаимно перпендикулярным направлениям подвижного естественного трехгранника, связанного с точками траектории, т. е. проектированием на касательную, главную нормаль и бинормаль. Это дает соответственно три уравнения движения.

Особое значение в развитии механики и математики имеет последняя глава второго тома о движении точки на данной поверхности, в которой Эйлер развил учение о кривизне плоских сечений поверхностей и о геодезических линиях на поверхности.

«Механика» Эйлера сразу привлекла к себе внимание ученого мира. С высокой похвалой отозвался о ней в письме 6 ноября 1737 г. к автору И. Бернулли. В том же году появилось подробное изложение книги в издававшейся группой немецких ученых «Bibliotheque germanique» (т. 39), а еще год спустя восторженный отзыв был опубликован в лейпцигских «Nova acta eroditorum».

Через восемь лет после выхода «Механики» Эйлер обогатил эту науку первым точным выражением принципа наименьшего действия.

Принцип наименьшего действия, как известно, состоит в том, что для каждой физической системы существует некоторая величина, именуемая действием, которая принимает экстремальное значение при действительно происходящем движении. Идея принципа зародилась в оптике. П. Ферма (1601 — 1665) дал в 1662 г. вывод закона преломления света, исходя из принципа кратчайшего времени. Затем эта идея была подхвачена И. Бернулли, а в 1744—1746 гг. ее развил применительно к механике П. Мопертюи (1698—1759). Принцип Мопертюи гласит: «Когда в природе происходит некоторое изменение, количество действия, необходимое для этого изменения, является наименьшим возможным»{150}. Свой принцип Мопертюи обосновывал с помощью метафизических и теологических доводов и пытался найти в нем новые аргументы в пользу существования бога как творца целесообразных законов природы. В случае механического движения Мопертюи понимал под действием величину mvs, т. е. произведение массы, скорости и пути, проходимого телом. Эта величина должна быть минимальна при движении; при покое же, т. е. равновесии, тела должны располагаться так, что если бы они совершили малое движение, то возникшее при этом количество действия было бы наименьшим. Из этих принципов Мопертюи выводил законы рычага и удара.

Математическое выражение принципа Мопертюи было весьма ограниченным. Эйлер самостоятельно пришел к собственной формулировке принципа наименьшего действия в ходе занятий проблемами вариационного исчисления. Уже в конце 20-х годов XVIII в. он приступил к систематической работе в этой новой области математики, успешно продолжив исследования, начатые тридцатью годами ранее Иоганном и Якобом Бернулли. Результаты, полученные Эйлером на протяжении 15 лет и частью публиковавшиеся в записках Петербургской академии, были суммированы в большом трактате «Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума или минимума», вышедшем в 1744 г. В этой работе содержится первая научная формулировка принципа наименьшего действия. Эйлер был уверен в существовании экстремальных законов, характерных для всех физических явлений. И он, подобно Мопертюи, еще соединял это положение с теологическими и телеологическим» соображениями: великий математик был верующим человеком. «Так как, — писал Эйлер, — все явления природы следуют какому-нибудь закону максимума или минимума, то нет никакого сомнения, что и для кривых линий, которые описывают брошенные тела, если на них действуют какие-нибудь силы, имеет место какое-то свойство максимума или минимума»{151}. Далее он замечает, что определить подобное свойство «из принципов метафизики a priori» не так легко. Однако, поскольку те же кривые линии можно определить с помощью прямого метода, то, «приложив должное внимание, можно будет заключить о том, что в этих кривых является максимумом или минимумом»{152}. Рассуждения Эйлера привели его к выводу, что для траекторий, описываемых под действием центральных сил, экстремальное значение должен иметь интеграл

∫mvds = ∫mv2dt,

или, как писал сам Эйлер, «для кривой, описываемой брошенным телом, сумма всех живых сил, находящихся в теле в отдельные моменты времени, будет наименьшей»{153}. Принцип наименьшего действия оказывается связанным с законом живых сил, а его применение ограничивается случаями, в которых силы имеют потенциал. Публично Эйлер признал первенство Мопертюи в открытии принципа наименьшего действия. На самом деле оба они пришли к своим результатам самостоятельно и одновременно. Но для дальнейшего развития вариационных принципов механики отправным пунктом стал именно принцип Эйлера, применимый к непрерывным движениям и дававший дифференциальные уравнения траекторий, между тем как принцип Мопертюи относится лишь к случаям конечных и мгновенных изменений скорости. Преимущество Эйлера в обосновании и применении принципа признавал сам Мопертюи. На протяжении 1746— 1749 гг. Эйлер написал еще несколько работ о фигурах равновесия гибкой нити, в которых принцип наименьшего действия получил применение к задачам, связанным с действием упругих сил. Больше он в этом направлении не работал, и новое продвижение вперед было достигнуто прежде всего Лагранжем.

Мы не будем останавливаться на шумном споре о принципе наименьшего действия, развернувшемся в середине XVIII в. Заметим лишь, что в этой дискуссии, начавшейся в связи с тем, что швейцарский ученый С. Кениг (1712—1757) подверг сомнению приоритет Мопертюи[27], нашла яркое выражение идеологическая борьба сторонников детерминистической и материалистической картины мира с приверженцами телеологических и теологических концепций. Эйлер здесь поддерживал Мопертюи; на противоположной стороне стояли Вольтер, Даламбер и другие ученые[28]. Положительным результатом спора явилось освобождение принципа наименьшего действия от метафизических привесков. В статье «Космология», напечатанной в четвертом томе знаменитой «Энциклопедии» в 1754 г., Даламбер, подводя итоги спору, писал, что принцип минимальности действия «сам по себе полезен для механики и мог бы облегчить разрешение некоторых проблем», особенно подчеркивая, что он «есть только математический принцип»{154}.

Берлинский период жизни Эйлера (1741—1766) отмечен высокой интенсивностью работы в области механики, особенно небесной механики, теории движения твердого тела и гидромеханики. История небесной механики представляет собой часть истории астрономии, а исследования Эйлера в этой области явились недавно предметом специального подробного анализа{155}. Мы скажем лишь несколько слов о роли Эйлера в утверждении закона всемирного тяготения Ньютона.

Одной из трудностей, которые должна была преодолеть механика Ньютона, была проблема фигуры Земли. Не меньшие трудности возникали при изучении движения планет Солнечной системы, и прежде всего Луны. Основанные на законе тяготения расчеты Клеро и Даламбера, произведенные в 1745 г., дали для апогея лунной орбиты период обращения в 18 лет — величину, вдвое превосходившую результаты наблюдений. Это ставило под удар всю систему Ньютона. Многие, в том числе Клеро и Эйлер, склонялись к тому, что необходимо внести поправки в самый закон притяжения. Но в 1749 г. Клеро сообщил Эйлеру, что обнаружил недостаточность метода, применявшегося в прежних вычислениях. Ранее Клеро ограничился первым приближением решения соответствующих дифференциальных уравнений, и этим-то объяснялось указанное расхождение. Между тем привлечение второго приближения, по утверждению Клеро, дает численный результат, согласный с наблюдаемым. Этим же Клеро объяснял расхождение с действительностью данных, полученных Эйлером. В письме от 10 июля 1749 г. Клеро писал Эйлеру: «Я предполагаю, что Вы не пришли к правильному результату потому, что пренебрегли в своем вычислении при интегрировании первых дифференцио-дифференциальных уравнений (т. е. уравнений второго порядка. — А. Г.) членами, происходящими от квадратов возмущающих сил. По крайней мере, именно после того, как я учел эти члены, я и получил почти действительное движение апогея»{156}.

Эйлер не был убежден доводами Клеро и для решения вопроса посоветовал Петербургской академии объявить конкурс на тему: «Согласуются или же нет все неравенства, наблюдаемые в движении Луны, с теорией Ньютона? И какова истинная теория этих неравенств, которая позволила бы точно определить местоположение Луны для любого времени?» Конкурс был объявлен в конце 1749 г., Эйлер вошел в состав жюри. Клеро представил на конкурс свое сочинение. Ознакомившись с ним, Эйлер с полным беспристрастием отказался от своей прежней точки зрения. Он оценил труд Клеро как великолепный, и в 1751 г. премия была присуждена французскому ученому за «Теорию Луны, выведенную из одного только принципа притяжения, обратно пропорционального квадратам расстояний».

Но Эйлер не ограничился разбором теории Клеро. Чтобы проверить ее, он дополнительно исследовал вопрос с помощью другого, собственного, метода, который изложил в «Теории движения Луны, выявляющей все ее неравенства», опубликованной в Берлине в 1753 г.

Так Клеро и Эйлер утвердили теорию тяготения Ньютона{157}. Расчетные приемы Эйлера получили и практическое применение. На основе его формул немецкий астроном И.-Т. Майер (1723—1762) составил таблицы видимого движения Луны, которые были вскоре использованы в справочниках для мореплавателей для определения долготы в открытом море по угловым расстояниям Луны от Солнца и еще некоторых удобных для наблюдения ярких светил. Такой способ определения долготы корабля применялся на практике более ста лет наряду с изобретенным в 1761 г. Т. Гаррисоном (1693—1776) морским хронометром. Тогда же английский парламент выдал установленную в 1714 г. премию (за способ определения долготы в море с точностью 1/2 градуса): 20 000 ф. ст. — Гаррисону, 3000 ф. ст. — наследникам скончавшегося Майера и 300 ф. ст. — Эйлеру, выведшему формулы, использованные при вычислении майеровских лунных таблиц.

Не останавливаясь на других работах Эйлера по небесной механике, в частности по движению планет, и на его позднейшей новой теории Луны, заметим еще, что в них содержатся и важные результаты по общей механике, специально по динамике системы точек. Эти результаты были подытожены вместе с его открытиями по теории движения твердого тела в большом труде, законченном в 1760 и опубликованном в 1765 г.

Своему труду по динамике твердого тела — «Трактату о движении твердых тел» — Эйлер предпосылает большое введение из шести глав, в котором вновь излагает динамику точки. Это позволяет читателю не обращаться к «Механике», вышедшей почти тридцатью годами ранее. В отличие от прежнего изложения Эйлер приводит уравнения движения точки, пользуясь проектированием на оси неподвижных прямоугольных координат. Следующий за введением «Трактат о движении твердых тел» состоит из 19 глав. В основу положен принцип Даламбера, высказанный французским математиком в «Трактате о динамике» (1743). Принцип Даламбера, сводящий задачи динамики несвободной системы к рассмотрению равновесия некоторой системы действительных и фиктивных сил, Эйлер формулирует в первой главе своего «Трактата». Он вводит понятие элементарной силы, приложенной к точке тела в любой момент его движения, как силы, которую следовало бы к ней приложить, чтобы, будучи свободной, она совершила то же самое движение. Принцип Даламбера выступает при этом как положение о равновесии между элементарными силами и данными внешними силами.

Коротко остановившись на поступательном движении твердого тела и введя понятие центра инерции, Эйлер переходит к рассмотрению вращения вокруг неподвижной оси и вокруг неподвижной точки. Здесь подробно разработан аппарат разнообразных формул для проекций мгновенной угловой скорости, углового ускорения на оси координат, используются так называемые углы Эйлера (впервые введенные им в 1748 г.). Далее изучены свойства момента инерции и вычислены моменты инерции ряда плоских и пространственных фигур. Главные оси определяются с помощью их экстремальных свойств (эллипсоид инерции еще отсутствует). В следующих главах разработана самая динамика твердого тела. Особый интерес представляет X глава, где рассмотрена задача о вращении твердого тяжелого тела вокруг его неподвижного центра тяжести при отсутствии внешних сил.

В двух следующих главах Эйлер решает задачу для случаев трех или двух равных главных моментов инерции. В случае попарно неравных моментов при отсутствии внешних сил он выражает закон движения через дуги конических сечений, т. е. через эллиптические интегралы, и рассматривает условия, при которых дело сводится к элементарным интегралам. Мы не будем останавливаться на дальнейшей истории этой основополагающей в теории гироскопа задачи, ставшей предметом изысканий многих ученых. Скажем лишь, что первый шаг вперед сделал вскоре Лагранж, давший решение для случая, когда два главных момента инерции равны, а центр тяжести тела лежит на оси третьего момента (в дифференциальные уравнения входят тогда дополнительные члены, зависящие от координат центра тяжести). Новые глубокие исследования проведены были лишь через сто лет С.В. Ковалевской.

В последних главах работы Эйлера по теории движений твердого тела содержатся некоторые приложения общей теории к вращению небесных тел, в частности к явлениям либрации и нутации, к движению волчка на горизонтальной плоскости и другим вопросам, а в обширном приложении рассмотрен еще вопрос о движении с трением.

Влияние трудов Эйлера по механике точки и твердого тела на все последующее развитие этой науки и на ее преподавание было огромным. Как и в области математики, он был здесь, по выражению Лапласа, «общим учителем всех нас».

Особенно велики заслуги Эйлера в развитии науки в России. «Вместе с Петром I и Ломоносовым, — писал академик С.И. Вавилов, — Эйлер стал добрым гением нашей Академии, определившим ее славу, ее крепость, ее продуктивность».

РАБОТЫ БЕРНУЛЛИ И ЭЙЛЕРА ПО МЕХАНИКЕ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ

Проблема взаимодействия между жидкостью и частично или полностью погруженным в нее телом возникла из нужд практики в древности. Еще Архимед открыл закон, выражающий подъемную силу, которая поддерживает плавающее тело, и первый исследовал проблему устойчивости плавающих тел для некоторых фигур вращения. В XVI—XVII вв. строительство каналов, плотин, шлюзов, фонтанов, развитие судостроения и мореплавания с гораздо большей силой, чем прежде, поставило перед инженерами и учеными передовых европейских стран разнообразные задачи гидромеханики. В исследовании давления жидкости на дно и стенки сосудов значительные успехи достигнуты были голландским инженером и математиком С. Стевином (1548—1620) и независимо от него французским ученым Б. Паскалем (1623—1662), который пошел далее, открыв, в частности, принцип работы гидравлических прессов. Галилей, используя принцип возможных перемещений, вновь подверг изучению вопрос о плавающих телах.

Параллельно экспериментально и теоретически разрабатывалось учение об атмосферном давлении. Здесь важные результаты были получены Торричелли и Паскалем. Отто фон Герике (1602—1686) провел первые опыты с изобретенным им воздушным насосом, который значительно усовершенствовал английский физик Р. Бойль (1627— 1691). В 1662 г. Бойль же открыл закон обратной пропорциональности между силой давления и объемом сжигаемого воздуха (при постоянной температуре), закон, который был самостоятельно получен п убедительно подтвержден в 167 6 г. французским физиком Э. Мариоттом (1620—1684). В сравнении с этими достижениями гидро- и аэростатики успехи в области динамики жидких сред были незначительны. Б. Кастелли (1577—1644), учеником которого, как и Галилея, был Торричелли, в 1628 г. опубликовал сочинение о движении воды в реках и каналах. Он установил, что скорость течения обратно пропорциональна площади соответствующего поперечного сечения, но допустил ошибку, приняв, что скорость истечения жидкости из бокового отверстия сосуда пропорциональна высоте ее уровня. Правильный закон истечения жидкости вывел как отмечалось ранее, Торричелли. Ньютон в «Математических началах» приступил к анализу внутреннего трения в движущейся жидкости, введя понятие о вязкости. Но все это были только первые подступы к созданию гидродинамики. Энгельс в «Диалектике природы» писал, что механика жидких и газообразных тел была в более значительной степени разработана лишь в середине XVIII в. Главная заслуга в этом деле принадлежит Д. Бернулли и Л. Эйлеру.

Даниил Бернулли, второй сын Иоганна Бернулли, родился 29 января 1700 г. в Гренингене (Голландия), где работал в то время его отец. Вместе с родителями мальчик в 1705 г. переехал в Базель и здесь окончил в 1713 г. гимназию, а в 1716 г. — университет, получив звание магистра философии. Отец предназначал Д. Бернулли для работы в торговле, но юношу неудержимо интересовали науки. Он принялся изучать медицину. Однако, как писал Д. Бернулли в автобиографии, «пример членов его семьи, а именно его отца и старшего брата Николая, а также наклонности его собственной души влекли его к математическим наукам и к изучению природы. Он почти целиком отдался этим знаниям»{158}.

В 1724 г. его избрали членом Болонской академии наук. Генуя также собиралась основать академию, и с Даниилом Бернулли вступили в переговоры, предлагая ему возглавить это ученое общество. Пока он колебался, пришло приглашение на службу в Петербургскую академию наук, и молодой ученый выбрал Петероург. В русскую столицу он приехал в октябре 1725 г.

Д. Бернулли проработал в России почти восемь лет, заполненных интенсивными научными занятиями по математике и механике. В это время был подготовлен и первый вариант его «Гидродинамики». Летом 1733 г. он возвратился в Базель.

Тесную связь с Петербургской академией Д. Бернулли поддерживал до конца жизни. Перед отъездом ему было присвоено звание почетного (иностранного) члена Академии с ежегодной пенсией в 200 руб. В записках Петербургской академии наук напечатана большая часть работ Бернулли: 50 из 75. Все 20 работ, написанных Бернулли в последние годы жизни, тоже вышли в изданиях Петербургской академии наук. Помимо того, Д. Бернулли поддерживал с академией оживленную научную переписку, более всего с Л. Эйлером. Эта переписка имеет выдающийся научный и исторический интерес.

Труды Д. Бернулли принесли ему очень широкую известность. Он был избран членом академий (помимо ранее названных) в Париже, Берлине, Лондоне. Десять раз его сочинения получали премии на конкурсах Парижской академии. Скончался Д. Бернулли в Базеле 17 марта 1782 г.

Первые важные открытия Д. Бернулли относились к математике. И, впоследствии он не раз обращался к различным математическим вопросам. Так, в третьем томе «Gommentarii» за 1728 г. он приложил рекуррентные ряды к приближенному решению численных алгебраических уравнений; в пятом томе за 1730—1731 гг. он распространил свой прием на некоторые классы трансцендентных уравнений. Большую важность имеют его исследования по теории вероятностей, к решению задач которой он применил исчисления бесконечно малых, и по статистике. В отличие от Эйлера, который был прежде всего математиком, Д. Бернулли был в первую очередь физиком и механиком, а математика являлась для него только одним из важных средств для раскрытия законов природы. «Даниил Бернулли, — пишет академик В.И. Смирнов, — был по существу не математиком, а естествоиспытателем в широком смысле этого слова. Математическим аппаратом он пользовался в очень скромном масштабе. Математика в его работах — очень простая. Поражает его необыкновенная интуиция при рассмотрении различных задач механики и физики. Это та «первооснова», на которой он строил свои работы. Характерным является и тот факт, что он обычно сопровождает свои теоретические работы экспериментом. Иногда он любил и порисоваться своим пренебрежительным отношением к формальному математическому аппарату»{159}. Увлечение более абстрактными вопросами математики ему было чуждо, и, например, по поводу работ Эйлера по теории чисел он в письме к Н. Фуссу от 18 марта 1778 г. высказывался так: «…Не находите ли Вы, что простым числам уделяется слишком большая честь тем, что на них истрачено столько богатств ума; не есть ли это дань утонченному вкусу нашего века?»{160}

ДАНИИЛ БЕРНУЛЛИ (1700-1782)

Швейцарский физик, математик и механик, действительный член Петербургской академии наук. В 1738 г. вышел в свет его классический труд «Гидродинамика». Д. Бернулли вывел основное уравнение стационарного движения идеальной жидкости, носящее его имя, разрабатывал кинетические представления о газах

С самого начала своей деятельности в Петербургской академии наук Д. Бернулли приступил к работе над различными вопросами механики. Результаты этой работы отражены уже в первых томах «Commentarii»: в первом томе появляется статья «Исследование принципов механики и геометрические доказательства относительно сложения и разложения сил; во втором томе — «Новая теория движения текущих по каким-либо каналам вод», «Геометрические доказательства о взаимных связях между центром сил, центром колебания и центром тяжести» и «Рассуждение о действии жидкостей на твердые тела и о движении твердых тел в жидкостях»; в третьем томе — продолжение последней статьи и т. д. Но главным делом его явилась подготовка обширной монографии по гидродинамике, к которой он приступил в конце 1728 или начале 1729 г. К 1733 г. он написал черновой вариант текста, который оставил в Академии, покидая Петербург[29]. В Базеле Бернулли, текст переработал и дополнил. Книга вышла в Страсбурге в 1738 г. На титульном листе — в переводе с латинского на русский — стоит: «Даниила Бернулли, сына Иоганна, проф. мед. в Базеле, ранее ордин. проф. высшей математики, ныне члена и почетн. проф. имп. Петербургской академии наук Гидродинамика, или Записки о силах и движениях жидкостей. Академический труд, составленный автором в период пребывания его в Петербурге». За это сочинение автор получил от издателя 100 талеров гонорара и 30 бесплатных экземпляров, а от человечества — бессмертную славу.

«Гидродинамика» представляет собой обширный труд в 13 частях, русский перевод ее содержит более 400 страниц.

В 1-й части автор излагает основные результаты своих предшественников, высказывает свои общие воззрения и кратко характеризует содержание труда. В заключительных строках этой части Д. Бернулли писал: «Я рассматриваю настоящий трактат скорее как физический, чем как математический»{161}. Действительно, в книге свободно перемежаются описание многочисленных экспериментов, проведенных самим Бернулли или другими учеными, изложение физических гипотез и моделей, на которых он основывает свои выводы, математические выкладки и общие рассуждения, чисто теоретические рассмотрения и разбор действия различных гидравлических и иных устройств. В основу всего кладется восходящий к Лейбницу принцип сохранения живых сил: «Важнейшим началом является сохранение живых сил, или, как я выражаюсь равенство между действительным опусканием и потенциальным подъемом»{162}.

Автор весьма подробно останавливается на смысле и значении принципа сохранения живых сил, ссылаясь также и на свою статью в первом томе «Commentarii», где он ранее изложил соображения по этому вопросу. Лагранж особенно отмечал заслугу Д. Бернулли в применении названного принципа: «Впоследствии Даниил Бернулли расширил этот принцип и вывел из него законы движения жидких тел, заключенных в сосуды; до него эта проблема всегда исследовалась довольно поверхностно и произвольно»{163}.[30]

В самом начале своего труда Д. Бернулли пишет, что под гидродинамикой он понимает механику жидкостей в целом, состоящую из двух частей — гидростатики, т. е. учения о равновесии покоящихся жидкостей, и гидравлики, в которой рассматривается движение жидкостей. Обе части не могут быть самостоятельными, и автор «не усумнился их соединить, поскольку этого требует порядок вещей, под более общим названием гидродинамики»{164}.[31] Мы рассмотрим лишь отдельные важнейшие результаты, относящиеся к гидродинамике в нашем смысле слова. Обращает на себя внимание введение понятия работы, правда, под другим наименованием, в 9-й части, посвященной изучению действия гидравлических машин. Сперва Бернулли вводит понятие движущей силы, а затем определяет «абсолютную мощь» как «произведение… этой движущей силы на ее скорость, а также на время, в течение которого она развивает свое давление»{165}, или, что то же, как произведение движущей силы на пробегаемое ею расстояние. Это понятие используется для взаимного сравнения достоинств различных машин, причем фактически употребляется — без точного определения — понятие коэффициента полезного действия.

В 10-й части закладываются основания кинетической теории газов. В этой же части рассмотрены свойства движения атмосферного воздуха и отдельные вопросы внутренней баллистики. Дальнейшее глубокое развитие общие идеи Бернулли получили в кинетической теории тепла Ломоносова. К сожалению, эти воззрения как Бернулли, так и Ломоносова привлекли интерес ученых лишь с опозданием на полтора столетия — тогда, когда была разработана современная кинетическая теория газов.

Наконец, в 12-й части решается важная задача об определении давления р в установившемся потоке несжимаемой жидкости постоянной плотности р, движущемся со скоростью и. С помощью простых и наглядных физических соображений здесь выводится знаменитое уравнение Бернулли, которое теперь пишется в виде

v2/2 + p/ρ + gh = const,

где g — ускорение силы тяжести, h — высота относительно горизонтальной плоскости. Уравнение это выражает закон сохранения энергии, что сразу видно, если умножить его части на ρ (первый член дает кинетическую энергию, сумма второго и третьего — потенциальную энергию, соответствующую давлению и внешним силам). Отметим, что Бернулли впервые проводит различие между гидростатическим и гидродинамическим давлением. Как известно, уравнение Бернулли с соответствующим учетом сил трения получило широкое применение в гидротехнике и является одним из основных в динамике газов.

Следующий этап развития гидродинамики связан с именем Леонарда Эйлера.

Эйлер подходил к своим основополагающим исследованиям по гидродинамике постепенно. Уже в первые годы работы в Петербургской академии наук он занялся изучением вопросов истечения жидкости по примеру Д. Бернулли, с которым поддерживал самые дружеские отношения. После отъезда Бернулли в Швейцарию они регулярно обменивались мнениями по различным научным вопросам, в том числе и по механике. Д. Бернулли держал Эйлера в курсе работы над «Гидродинамикой». Сам Эйлер с середины 30-х годов занимался подготовкой большого труда по теории корабля. В этой связи в его переписке с Иоганном и Даниилом Бернулли, а также другими лицами не раз обсуждаются вопросы устойчивости плавающих тел.

Интерес к теоретическим проблемам кораблестроения, зародившийся в древности — его можно усмотреть уже у Архимеда, — особенно возрос в новое время. Когда Россия обзавелась большим собственным флотом и стала могущественной морской державой, эти проблемы возникли и здесь. Работу по теории корабля Эйлер предпринял по прямому поручению Петербургской академии. Он значительно продвинулся вперед еще до отъезда в Берлин, а уезжая, обещал завершить труд на новом месте. Книга была закончена в 1743 г. и вышла под названием «Морская наука, или трактат о постройке кораблей и управлении ими» в издании Петербургской академии наук в 1749 г.

«Морская наука» состоит из двух томов. В первом изложена общая теория равновесия и устойчивости плавающих тел, во втором теория применяется к анализу вопросов, связанных с конструкцией и нагрузкой кораблей. Это сочинение занимает видное место как в развитии теории устойчивости и теории малых колебаний, так и в кораблестроении. Впоследствии для нужд морских школ Эйлер выпустил сокращенное руководство, сперва изданное в 1773 г. на французском языке, а затем в 1778 г. на русском под названием «Полное умозрение строения и вождения кораблей, сочиненное в пользу учащихся навигации»; тогда же были выпущены английское и итальянское издания.

В 40-е годы Эйлеру пришлось не раз сталкиваться с вопросами гидро- и аэромеханики. Такие вопросы вставали, в частности, в области баллистики.

Впервые Эйлер занялся баллистикой еще в 1727 или 1728 г. в связи с опытами Д. Бернулли, изучавшего движение сферического снаряда, выпущенного в вертикальном направлении. Затем, как уже упоминалось, Эйлер рассмотрел в своей «Механике» вопрос о движении тела в среде, сопротивление которой пропорционально той или иной степени скорости. В 1742 г. англичанин Б. Робине (1707—1751) выпустил книгу «Новые принципы артиллерии». Вопросами артиллерии интересовался прусский король Фридрих II; когда он обратился к Эйлеру с просьбой назвать лучшее сочинение на эту тему, тот с похвалой отозвался о книге английского ученого и выразил согласие перевести ее на немецкий язык с необходимыми пояснениями и дополнениями. Так возник большой совместный труд Робинса — Эйлера в 720 страниц, полное заглавие которого гласило: «Новые принципы артиллерии, содержащие определение силы пороха вместе с исследованием различия в сопротивлении воздуха при быстрых и медленных движениях». В этом немецком издании основное место заняли исследования Эйлера, далеко превосходящие результаты английского ученого по значению и объему: текст Эйлера впятеро больше, чем текст Робинса. Книга долгое время являлась лучшей по данному вопросу и в 1777 г. была издана на английском языке, а в 1783 г. — на французском.

В сочинении Робинса и дополнениях Эйлера разобраны основные задачи внешней и внутренней баллистики. Отсылая за подробностями к уже имеющейся литературе{166}, мы ограничимся указаниями на разработку Эйлером собственной теории обтекания твердого тела идеальной жидкостью и на его анализ движения снаряда в канале ствола орудия, основанный на модели структуры воздуха, предложенной Эйлером еще в 1727 г.

Заметим, что работа Эйлера по упругости воздуха привлекла внимание Ломоносова. Исследуя свойства селитры, Ломоносов, естественно, встретился с вопросом об упругой силе пороха и в этой связи писал 5 июля 1748 г. Эйлеру: «Я читаю с большой пользой для себя «Артиллерию» Робинса, снабженную Вами превосходными замечаниями»{167}. Далее Ломоносов говорил о разработке им собственной теории упругости воздуха.

С задачами механики жидкостей Эйлер вновь встретился в 1749 г. при консультировании работ по проведению канала между Гавелем и Одером, а затем после изобретения Сегнером (1704—1777) гидравлической машины, известной теперь каждому школьнику под именем «Сегнерова колеса». Анализу устройства и действия этой машины и попыткам ее практического применения посвящена обширная переписка между Эйлером и Сегнером за 1750— 1754 гг.{168} и ряд их статей. Эйлер внес в первоначальный вариант машины Сегнера столь важные усовершенствования (присоединение так называемого направляющего аппарата и др.), что именно машина Эйлера, а не Сегнера является прообразом реактивных гидравлических турбин, строить которые начали три четверти века спустя. Вместе с тем в работе «Более полная теория машин, проводимых в движение реакцией воды», напечатанной в 1754 г. в 10-м томе «Мемуаров Берлинской академии наук», Эйлер впервые разработал общую теорию движения несжимаемой идеальной жидкости в узких трубах двоякой кривизны, вращающихся около неподвижной оси. При этом он фактически оперировал с понятием ускорения Кориолиса, которое французский механик ввел в 1831 г.

Методы расчета гидравлических турбин Эйлера, покоящихся на струнной теории, сохранили с соответствующими улучшениями свое значение в практическом машиностроении. Известный немецкий специалист по прикладной математике профессор К. Шредер пишет: «Можно сказать, что эти выдающиеся работы характеризуют Эйлера как ученого-инженера в современном смысле слова»{169}.

В 50-е годы Эйлер подготовил несколько больших работ по гидромеханике. Первая из них «Начала движения жидкостей» была напечатана в VI томе «Novi Commen-tarii» за 1756—1757 гг. В ней излагались общие начала гидро- и аэростатики, выводилось уравнение неразрывности для жидкости с постоянной плотностью. Значительная часть материала этой статьи нашла свое отражение в других работах Эйлера, написанных позднее, но вышедших раньше. Это были следующие три работы Эйлера: «Общие начала состояния равновесия жидкостей», «Общие начала движения жидкостей» и «Продолжение исследований по теории движения жидкостей», напечатанные в 1753—1755 гг. во 2-м томе «Мемуаров Берлинской академии наук». Эти классические работы составили основополагающий трактат по гидродинамике.

Первая из этих трех работ содержит глубокий анализ понятия давления, его свойств и приложений, а также вывод дифференциального условия равновесия жидкостей и газов.

Вторая статья имела решающее значение для всего последующего развития гидро- и аэродинамики, ибо именно в ней был впервые опубликован вывод уравнения неразрывности для сжимаемой жидкости и общих уравнений гидродинамики, называемых теперь уравнениями Эйлера.

В третьей статье приведены некоторые теоремы о движении жидкостей и газов в узких трубках произвольной формы.

Из других гидродинамических работ Эйлера упомянем еще ряд статей о распространении звука, о малых колебаниях воздуха в трубах постоянного и переменного сечения с применениями к теории музыки и т. д. Эти работы переплетались с аналогичными исследованиями Д. Бернулли. Математическим аппаратом этих исследований являются уравнения в частных производных второго и высшего порядков, большей частью линейные. Именно той ролью, которую играют уравнения в частных производных в гидромеханике, а также в математической физике, определялся глубокий интерес Эйлера к этой новой тогда отрасли анализа. Эйлер выработал целый ряд приемов интегрирования различных уравнений в частных производных и впервые ввел в рассмотрение некоторые их типы. Мы упомянем здесь лишь весьма важное в газовой динамике и дифференциальной геометрии уравнение

впервые изученное Эйлером, а затем С. Пуассоном (1781-1840), Б. Риманом (1826-1866), Ж.-Г. Дарбу (1842-1917). В настоящее время это уравнение встречается, в частности, в задачах о движениях газа с околозвуковыми или сверхзвуковыми скоростями.

МЕХАНИКА УПРУГИХ И ГИБКИХ ТЕЛ

Еще в древности были установлены некоторые эмпирические правила, соблюдение которых обеспечивало прочность и надежность сооружений. В XIII в. Иордан Неморарий предпринял первую попытку определить форму кривой, которую принимает под действием нагрузки ось закрепленного стержня, т. е. упругой линии. В XVI в. Леонардо да Винчи изучал вопрос о сопротивлении балок изгибу; он занимался, вероятно, и задачей о сопротивлении колонн. Галилей в «Беседах и математических доказательствах, касающихся двух новых наук» (1638) положил начало учению о сопротивлении материалов. В 1678 г. Гук нашел основной закон линейной зависимости между силой и деформацией при растяжении пружин, струн, тонких стержней и произвел ряд соответствующих опытов. Так были заложены основы теории упругости{170}.

В 1691 г. Я. Бернулли начал серию исследований, посвященных проблеме упругой линии. Некоторые предпосылки и выводы его неточны, но в целом он значительно продвинулся вперед. В частности, он вывел дифференциальное уравнение задачи и доказал, что кривизна линии изгиба пропорциональна изгибающему моменту в точке, — положение, которое использовали затем другие ученые, и среди них Эйлер.

Эйлер рассмотрел задачу об упругих кривых в большом приложении к «Методу нахождения кривых линий» (1744); в русском переводе оно занимает 125 страниц. Работа эта была вызвана замечанием, сделанным Д. Бернулли в письме Эйлеру от 22 октября 1742 г. Бернулли предложил применить к задаче изопериметрический метод, т. е. свести ее к задаче о минимуме некоторого интеграла. Реализуя эту идею, Эйлер по-новому вывел дифференциальное уравнение Я. Бернулли и решил его при различных граничных условиях. В другом отделе того же приложения Эйлер рассмотрел продольный изгиб колонны под действием осевой сжимающей силы и получил выражение для предельной нагрузки, превышение которой приводит к изгибу; эта формула имеется теперь во всех справочниках. Затем Эйлер переходит к изучению колебаний стержней, начиная со стержня, в естественном состоянии прямого и с жестко заделанным в вертикальном положении верхним концом. Эта задача приводится к интегрированию обыкновенного линейного однородного дифференциального уравнения четвертого порядка. В заключение разобраны задачи о колебании стержней при других предположениях о закреплении их концов.

Исследования Д. Бернулли по колебаниям стержней изложены главным образом в двух его статьях: «Физико-геометрические рассуждения о колебании и звучании стержней» и «Механико-геометрические исследования о многообразных звуках, различным образом издаваемых упругими стержнями, иллюстрированные и подкрепленные акустическими опытами». Обе статьи были написаны в самом начале 40-х годов, но увидели свет только в XIII томе «Commentarii» Петербургской академии наук, вышедшем в 1751 г. Д. Бернулли вывел линейное дифференциальное уравнение четвертого порядка для гармонических колебаний горизонтального стержня и дал его общее решение, разобрал несколько задач с различными граничными условиями, соответствующими защемленному, опертому и свободному концам, и вывел уравнения частот колебаний. Теоретические выводы Бернулли сопоставлял с данными опытов над тонкими длинными стержнями. Во второй статье рассмотрена акустическая сторона вопроса.

Д. Бернулли принадлежат и другие важные работы по колеблющимся системам. Отметим из них две тесно связанные между собой статьи: «Теоремы о колебаниях тел, соединенных гибкой нитью и вертикально подвешенных к цепи» и «Доказательства своих теорем о колебаниях тел, соединенных гибкой нитью и вертикально подвешенных к цепи», помещенные соответственно в VI томе «Commentarii» за 1732—1733 гг. и в VII томе за 1734—1735 гг. В них рассмотрены малые колебания дискретных систем грузов, связанных с вертикально подвешенными невесомыми гибкими нитями, а затем как предельный случай — малые колебания однородной тяжелой гибкой цепи (каната).

Особое значение имели работы Эйлера и Д. Бернулли о малых колебаниях натянутой однородной струны, закрепленной на концах. Линейное дифференциальное уравнение в частных производных этой задачи записал впервые Даламбер, выразивший общее решение задачи в виде суммы двух произвольных функций, которые можно полностью определить, зная начальную форму струны и начальное распределение скоростей ее точек (1747). Эйлер немедленно развил далее метод Даламбера (метод характеристик) и показал, как графически строить форму струны в любой момент времени по начальным условиям (1748). Д. Бернулли предложил представлять колебание струны в виде суммы бесконечного числа главных синусоидальных колебании (принцип суперпозиции), т. е. выражать решение в форме тригонометрического ряда (1753).

Не касаясь долгого «спора о струне», в котором участвовали все трое названных ученых, а затем и многие другие ученые XVIII в.[32], мы заметим только, что исследование этой задачи положило начало в высшей степени плодотворной разработке приемов интегрирования дифференциальных уравнений с частными производными, с одной стороны, и теории тригонометрических рядов — с другой. Задача о струне обыкновенно относится к области математической физики, дисциплины, во многом пересекающейся с теоретической механикой. Д. Бернулли и Эйлер рассмотрели и другие важные задачи математической физики. Так, в статье «О колебательном движении тимпанов», напечатанной в X томе «Novi Commentarii» за 1764 г., Эйлер исследовал малые колебания и провисание идеальной гибкой мембраны прямоугольной или круговой формы. Используя идеи этой работы Эйлера, племянник Д. Бернулли Якоб II Бернулли (1759—1789), состоявший членом Петербургской академии наук в 1786—1789 гг., исследовал задачу о малых колебаниях пластинки. Математическим результатом здесь, как и в гидродинамике, являлось введение новых типов дифференциальных уравнений, новых приемов их решения, различных специальных функций и их разложений в ряды и т. д.

Наконец, Эйлеру и Д. Бернулли принадлежит решение нескольких трудных задач о малых колебаниях воздуха в трубах, которыми занимался также Лагранж{171}.

ТРУДЫ ДАЛАМБЕРА ПО МЕХАНИКЕ

Жан Лерон Даламбер (1717—1783) был крупным французским математиком, механиком и философом периода подготовки Великой французской революции. Незаконнорожденный сын аристократки, он был найден на паперти церкви св. Иоанна Круглого (Jean le Rond), откуда и его имя, и воспитан бедным стекольщиком Аламбером — откуда его фамилия d'Alembert.

Выдвинувшись благодаря своим исключительным способностям, он уже в 1741 г. за работы по математике и механике был избран членом Парижской академии наук; с 1772 г. Даламбер занимал пост непременного секретаря Академии. Он был членом многих иностранных академий, в том числе с 1764 г. почетным членом Петербургской академии наук.

Мы здесь не касаемся философско-просветительской деятельности Даламбера, сыгравшей существенную роль в социологической подготовке Великой французской революции; упомянем только, что по своим философским воззрениям Даламбер был сторонником механистического материализма и что в 1751 г. он вместе с Д. Дидро (1713— 1784) основал знаменитую «Энциклопедию наук, искусств и ремесел». Даламберу принадлежит вступительная статья в «Энциклопедии», озаглавленная «Очерк происхождения и развития наук», где приведена классификация наук. В первых томах «Энциклопедии» он опубликовал важные статьи по математике и механике — «Предел», «Дифференциалы», «Уравнения», «Динамика», «Геометрия».

Мы не будем также останавливаться на математических работах Даламбера, лишь отметим, что его труды в этой области часто были связаны с его исследованиями по механике. Например, изучение теории функция комплексного переменного понадобилось Даламберу для его исследований по гидромеханике. Рассмотренные им дифференциальные уравнения также большей частью связаны с механикой (таково, например, «уравнение струны»).

Остановимся на работах Даламбера по механике. К середине XVIII в. его работы вместе с исследованиями Леонарда Эйлера и Даниила Бернулли совершенно преобразовали механику. По содержанию она стала наукой, охватывающей все виды движения материальных точек и их систем, а по форме превратилась в аналитическую дисциплину, в которой применялись все достижения математического анализа.

Даламберу принадлежат работы как по общим проблемам механики, так и по гидродинамике, теории колебаний и волн, теории движения твердого тела, небесной механике и др.

В 1743 г. был опубликован основной труд Даламбера по механике — его знаменитый «Трактат о динамике». Первая часть «Трактата» посвящена построению аналитической статики. Здесь Даламбер формулирует «основные принципы механики», которыми он считает «принцип инерции», «принцип сложения движений» и «принцип равновесия». «Принцип инерции» сформулирован отдельно для случая покоя и для случая равномерного прямолинейного движения. «Принцип сложения движений» представляет собой закон сложения скоростей по правилу параллелограмма. «Принцип равновесия» сформулирован в виде следующей теоремы: «Если два тела, обладающие скоростями, обратно пропорциональными их массам, имеют противоположные направления, так что одно тело не может двигаться, не сдвигая с места другое тело, то между этими телами будет иметь место равновесие». Во второй части трактата, называемой «Общий принцип для нахождения движения многих тел, произвольным образом действующих друг на друга, а также некоторые применения этого принципа», Даламбер предложил общий метод составления дифференциальных уравнений движения любых материальных систем, основанный на сведении задачи динамики к статике. Здесь для любой системы материальных точек формулируется правило, названное впоследствии принципом Даламбера, согласно которому приложенные к точкам системы силы можно разложить на «действующие», т. е. вызывающие ускорение системы, и «потерянные» необходимые для равновесия системы.

Даламбер считает, что силы, соответствующие «потерянным» ускорениям, образуют такую совокупность, которая не влияет на фактическое поведение системы.

ЖАН ЛЕРОН ДАЛАМБЕР (1717—1783)

Французский математик, механик и философ. Даламбер сформулировал принцип механики, носящий его имя 

Иными словами, если к системе приложить только совокупность «потерянных» сил, то система останется в покое.

Далее в «Трактате» рассматриваются задачи, для решения которых, по мнению Даламбера, необходим этот принцип. К таким задачам он причисляет движение тел, соударяющихся произвольным образом, движение системы тел, связанных стержнями и нитями, и др. В «Трактате о динамике» Даламбер не вводит понятия связей, хотя и отличает, например, тяготеющие тела от «тел, которые тянут друг друга при помощи нитей или жестких стержней». Отметим, что сам Даламбер при изложении своего принципа не пользовался ни понятием силы (считая, что оно не обладает достаточной ясностью, чтобы входить в круг основных понятий механики), ни тем более понятием силы инерции. Изложение принципа Даламбера с применением термина «сила» принадлежит Лагранжу, который в своей «Аналитической механике» дал его аналитическое выражение в форме принципа возможных перемещений. В дальнейшем (с начала XIX в.) вектор m1w1 стали называть силой инерции материальной точки, а уравнение, выражающее принцип Даламбера, трактовать как утверждение о равновесии между приложенными к системе силами и силами инерции.

Значение принципа Даламбер видел в общности подхода к задачам механики. Высокую оценку труду Даламбера дал Лагранж, по мнению которого, хотя «…этот принцип не дает непосредственно уравнений, необходимых для решения проблем динамики, но он показывает, каким образом они могут быть выведены из условий равновесия».

Существенные результаты получил Даламбер в динамике твердого тела и небесной механике. В 1749 г. был опубликован его мемуар «Исследования о предварении равнодействий и нутаций оси Земли», в котором рассматривается задача о вращении Земли около ее центра масс под воздействием сил притяжения к Солнцу и Луне. Оперируя понятиями моментов инерции и вводя главные оси инерции вращающегося тела, Даламбер рассмотрел малые колебания Земли (нутационные движения) около движущейся по конусу прецессии оси вращения и привел полное динамическое объяснение. В 1751 г. в работе «О движении тела произвольной формы под действием любых сил» Даламбер дал более систематическое изложение вопроса о малых колебательных движениях твердого тела относительно центра инерции. А. Клеро в работе «Теории фигуры Земли» дал формулы для притяжения эллипсоида, близкого к сфере. Даламбер в третьей части «Исследований по различным важным вопросам, относящимся к системе мира» (1756) получил более общие формулы такого рода для тел, близких к сфере, но не обязательно имеющих форму эллипсоида.

Даламберу (наряду с Д. Бернулли и Эйлером) принадлежат основополагающие работы по гидромеханике, следствием которых были обобщающие работы Лагранжа по механике идеальной жидкости. В 1744 г. выходит сочинение Даламбера «Трактат о равновесии движения жидкостей», в котором он применяет свой принцип к разнообразным вопросам движения жидкостей в трубах и сосудах. Даламбер исследовал также законы сопротивления при движении тел в жидкости. Процесс образования вихрей и разреженности за движущимся телом он объяснил вязкостью жидкости и ее трением о поверхность обтекаемого тела. В этом же сочинении Даламбер (почти одновременно с Эйлером) выдвинул положение об отсутствии сопротивления телу, движущемуся равномерно и прямолинейно в покоящейся идеальной жидкости (так называемый парадокс Эйлера — Даламбера). Этот факт доказывается математически как для сжимаемой, так и для несжимаемой жидкости. В действительности же тело при своем движении в жидкости или газе всегда испытывает сопротивление. Это объясняется тем, что в реальной среде не выполняются предположения, на которых построено доказательство парадокса, т. е. всегда проявляются и вязкость, и вихри, в результате чего возникает поверхность разрыва скоростей. Все это вызывает сопротивление жидкости движению тела со стороны жидкости.

В 1748 г. Берлинская академия наук объявила конкурс на лучшее исследование о сопротивлении жидкостей. Даламбер представил работу, озаглавленную «Опыт новой теории сопротивления жидкостей» (опубликована в 1752 г.), где, пользуясь своим принципом, выводит уравнения движения жидкостей как несжимаемых, так и сжимаемых и упругих. В гидростатике Даламбер использовал уравнения равновесия идеальной жидкости в частных производных, введенные Клеро. Однако его уравнения еще не обладали, по словам Лагранжа, «всей той общностью и простотой, которые им могут быть приданы» и которые столь характерны для результатов Эйлера. Оригинальным решением Даламбера здесь является введение комплексной скорости как функции комплексной координаты точки для плоского безвихревого течения несжимаемой жидкости. Труды Даламбера в области гидромеханики (вместе с трудами Эйлера, Д. Бернулли) в XIX в. послужили фундаментом для тех обобщений, в результате которых механика сплошной среды была выделена в самостоятельную дисциплину со своими специфическими понятиями и математическим аппаратом.

Даламбер занимался и экспериментальным исследованием сопротивления движению тел в жидкости в связи с запросами кораблестроения. В 1775—1777 гг. он вместе с А. Кондорсе (1743-1794) и Ш. Боссю (1730-1814) провел серию опытов над сопротивлением плавающих тел в безграничной жидкости и узких каналах.

Даламбер принимал активное участие в споре о «живой силе», начатом Декартом и Лейбницем и связанном с разработкой понятия о «мере силы», и в споре о принципе наименьшего действия. Спор о «живой силе» был полностью разрешен в «Трактате о динамике». Вопросу о принципе наименьшего действия Даламбер посвятил статью в «Энциклопедии». Отвергая претензии Мопертюи, считавшего этот принцип неким универсальным законом — непосредственным выражением могущества бога, Даламбер подчеркнул его чисто механическое значение: глубокую связь с принципом живых сил и возможность его применения для решения отдельных задач механики.

АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛАГРАНЖА

Жозеф Луи Лагранж родился в Турине 25 января 1736 г. в семье обедневшего чиновника. Семнадцатилетним юношей Лагранж увлекся математическими науками, а в 1754 г. он уже профессор артиллерийской школы в Турине. Здесь он объединяет своих слушателей и образует научное общество, в дальнейшем превратившееся в знаменитую Туринскую академию.

Эйлер и Даламбер высоко оценили работы Лагранжа. В 1759 г. по их представлению Лагранж был избран членом Берлинской академии наук. С 1776 по 1787 г. он был директором физико-математического класса Берлинской академии наук. В этот период сборники Берлинской академии обогатились целым рядом блестящих работ Лагранжа как по математике, так и по общей и небесной механике.

В 1787 г. Лагранж переехал в Париж, где он в 1788 г. издал свою знаменитую книгу «Аналитическая механика». Элегантность и внутренняя гармоничность методов «Аналитической механики» вполне оправдывает мнение У.Р. Гамильтона, называвшего эту книгу научной поэмой (a kind of scientific poem).

В развитии механики появление «Аналитической механики» Лагранжа было выдающимся событием. В 1813— 1815 гг. этот труд вышел вторым, дополненным изданием и с тех пор несколько раз в течение XIX столетия переиздавался с дополнениями и примечаниями других ученых. Русский перевод в двух томах появился в 1950 г.{172}

Жозефу Лагранжу принадлежат многие выдающиеся работы по механике. С его именем до первого издания «Аналитической механики» связаны исследования о задаче трех тел, о применении в механике принципа наименьшего действия, о задаче вращения твердого тела вокруг неподвижной точки («гироскоп Лагранжа»), по теории волн на поверхности жидкости и др.

Как в этот период, так и после первого издания своего трактата Лагранж занимался небесной механикой и получил в этой области немало важных результатов: по расчету орбит планет и комет, по общим методам решения уравнений, определяющих движение тел Солнечной системы. В «Аналитическую механику» включены многие замечательные достижения Лагранжа, но она вошла бы в историю науки даже без них, благодаря оригинальности системы изложения и единству метода, использованного ее автором. В предисловии к первому изданию Лагранж с полным основанием писал, что «существует уже много трактатов по механике, но план настоящего трактата является совершенно новым. Я поставил себе целью свести теорию механики и методы решения связанных с нею задач к общим формулам, простое развитие которых дает все уравнения, необходимые для решения каждой задачи». И с законным удовлетворением Лагранж добавил к этому: «Я надеюсь, что способ, каким я постарался этого достичь, не оставляет желать чего-либо лучшего». Поэтому особенно поучительно познакомиться с тем, на основе каких исходных положений и какими средствами Лагранж создал стройную систему своей (аналитической) механики.

Сам Лагранж характеризовал свои методы таким образом: они «не требуют ни построений, ни геометрических или механических рассуждений; они требуют только алгебраических операций, подчиненных планомерному и однообразному ходу. Все, любящие анализ (подразумевается математический анализ, анализ бесконечно малых. — А. Г.), с удовольствием убедятся в том, что механика становится новой отраслью анализа, и будут мне благодарны за то, что этим путем я расширил область его применения»{173}. Эта характеристика, если принять ее безоговорочно, означает, что аналитическая механика Лагранжа является ветвью анализа, что она механика, лишенная «механических рассуждений», так как в ней указаны общие методы для составления уравнений любой задачи механики, после чего решение становится чисто математической проблемой.

Изданием в 1736 г. «Механики» Эйлер заложил основы аналитической механики, которой затем много занимались он сам, Клеро, Даламбер, Д. Бернулли и другие ученые XVIII в. Но у Эйлера задачи механики хотя pi решаются средствами анализа бесконечно малых, однако каждая сводится к решению уравнений по-своему. Кроме того сочинение Эйлера 1736 г. — это механика материальной точки. В своих дальнейших трудах, как мы уже знаем, Эйлер и другие ученые развили динамику твердого тела. Лагранж охватил механику системы материальных точек и тел и создал единообразный и общий метод сведения механических задач к решению соответствующих математических задач. Но ясно, что при этом ему приходилось исходить из каких-то физических, экспериментальных положений. Каковы эти положения? И насколько общими являются методы Лагранжа, действительно ли они охватывают все задачи механики?

ЖОЗЕФ ЛУИ ЛАГРАНЖ (1736-1813)

Французский математик и механик. Он заложил основы аналитической механики. Ему принадлежат выдающиеся исследования во многих областях математики 

Ответы на эти вопросы познакомят нас с тем, что действительно можно назвать механикой Лагранжа. Эта механика делится на две части: статику и динамику. Статика у Лагранжа основана на принципе виртуальных (возможных) скоростей. «Под виртуальной скоростью следует понимать скорость, которую тело, находящееся в равновесии, готово принять в тог момент, когда равновесие нарушено, т. е. ту скорость, какую тело фактически получило бы в первое мгновение своего движения». Принцип виртуальных скоростей формулируется так: «Если какая-либо система любого числа тел, или точек, на каждую из которых действуют любые силы, находится в равновесии и если этой системе сообщить любое малое движение, в результате которого каждая точка пройдет бесконечно малый путь, представляющий ее виртуальную скорость, то сумма сил, помноженных каждая соответственно на путь, проходимый по направлению силы точкой, в которой она приложена, будет всегда равна нулю, если малые пути, проходимые в направлении сил, считать положительными, а проходимые в противоположном направлении считать отрицательными»{174}.

Вводя этот принцип, Лагранж ссылался на данные опыта. Он указывал на общий закон равновесия машин: отношение сил друг к другу обратно отношению скоростей точек, к которым они приложены, причем скорости должны измеряться в направлении сил. Это положение, взятое в общем виде, и составляет принцип виртуальных скоростей, который «можно рассматривать как своего рода аксиому механики». Впрочем, Лагранж дал и два доказательства принципа виртуальных скоростей, но, разумеется, эти доказательства состоят в том, что этот принцип сводится к другим положениям статики. Наиболее известно доказательство, приведенное во втором издании «Аналитической механики». Оно основано на «принципе блоков». Считая последний принцип вполне наглядным, Лагранж рассматривал его как естественное основание для принципа виртуальных скоростей.

В динамике Лагранж исходит из двух законов: закона инерции и закона сложения движений (по правилу параллелограмма). Второй закон механики Ньютона Лагранж как бы выводит из этих двух следующим образом. В равномерно ускоренном движении существует постоянное отношение между скоростями и временами. Это отношение принимается за меру ускоряющей силы, непрерывно действующей на тело, — ведь эта сила может быть измерена только по такому ее действию. В общем же случае, «каковы бы ни были движение тела и закон его ускорения, но, согласно природе дифференциального исчисления, мы можем признать постоянным действие каждой ускоряющей силы в течение бесконечно малого времени, таким образом всегда можно определить величину силы, действующей на тело в любое мгновение, если вызванную в это мгновение скорость сравнить с продолжительностью этого мгновения…»{175} Эту схему перехода от равномерно ускоренного движения (Галилей) к общему случаю Лагранж связывает с именем Гюйгенса, построившего теорию центробежных сил. Ньютон, по Лагранжу, обобщил эту теорию Гюйгенса на все кривые линии и тем дополнил учение о неравномерных движениях и об ускоряющих силах, способных их вызвать. Сам Ньютон постоянно пользовался геометрическим методом, но «в настоящее время это учение сводится лишь к нескольким очень простым дифференциальным формулам».

Аналитическая динамика Лагранжа основана на общей формуле, которую сейчас называют уравнением Даламбера—Лагранжа или общим уравнением динамики. «Развитие» этой формулы, если при этом принять во внимание условия, зависящие от природы системы, дает все уравнения, необходимые для определения движения каждого тела, после этого остается только эти уравнения интегрировать, что является уже задачей анализа»{176}.

Исходя из своего общего уравнения динамики, Лагранж вывел дифференциальные уравнения движения в двух видах, соответствующих двум видам уравнений статики. Это знаменитые уравнения движения Лагранжа первого и второго рода. Уравнения движения второго рода замечательны тем, что для систем, при движении которых не изменяется их полная механическая энергия (консервативные системы), эти уравнения можно составить, зная общее выражение только двух величин: кинетической энергии системы и ее потенциальной энергии. Число этих уравнений минимально, оно равно числу степеней свободы системы. Вместе с тем уравнения Лагранжа весьма общи: их можно использовать для разных физических систем, если состояние таких систем характеризуется значениями их кинетической и потенциальной энергии. Кроме того, уравнения движения в форме Лагранжа второго рода имеют определенную структуру с математической точки зрения. Поэтому задача их решения (интегрирование) в общем виде является достаточно определенной, чтобы исследовать ее чисто математически. Знаменитый физик Максвелл имел все основания писать в своем «Трактате об электричестве и магнетизме», касаясь значения «Аналитической механики» Лагранжа:

«Так как благодаря созданию математической теории динамики развитие идей и методов чистой математики сделало возможным выявление многих истин, которые нельзя было бы открыть, не обучившись математике, то, если мы хотим создать динамическую теорию других наук, мы должны воспринять и эти динамические истины, и математические методы.

Формулируя идеи и термины любой науки, имеющей дело, как паука об электричестве, с силами и с их действиями, мы должны постоянно иметь в виду идеи, являющиеся достоянием основной пауки — динамики, чтобы мы могли с самого начала развития науки избежать противоречий с тем, что уже установлено, а также для того, чтобы с уточнением наших взглядов принятый нами язык нам помогал, а не мешал»{177}.

Принципом наименьшего действия Лагранж много занимался в первые годы своей научной деятельности в связи с работами по вариационному исчислению. При систематическом изложении механики этот принцип отходит у Лагранжа на второй план. Все же существенно было то, что Лагранж формулировал этот принцип с полной определенностью как чисто механическую теорему, справедливую при соблюдении определенных условий. Эта формулировка такова: при движении любой системы тел, находящихся под действием взаимных сил притяжения или сил, направленных к неподвижным центрам и пропорциональных каким-либо функциям расстояний, кривые, описываемые различными телами, а равно их скорости необходимо таковы, что сумма произведений отдельных масс на интеграл скорости, умноженной на элемент кривой, является максимумом или минимумом — при условии, что первые и последние точки каждой кривой рассматриваются как заданные.

Эта формулировка, как видим, приводит к уже знакомой нам записи: обращается в нуль вариация суммы величин вида

m∫vds,

где m — масса одной из точек системы, v — ее скорость, ds — элемент пути, или, иначе говоря, бесконечно малый отрезок траектории точки т. К этому Лагранж добавляет, что ds = vdt (dt обозначает тот бесконечно малый промежуток времени, в течение которого точка т проходит путь ds), поэтому вместо m∫vds можно написать m∫v2dt или ∫mv2dt. Тут под знаком интеграла мы видим (удвоенную) живую силу точки, а так как нам надо взять сумму таких величин для всей рассматриваемой механической системы, то в итоге под знаком интеграла окажется (удвоенная) живая сила всей системы в любое мгновение. Таким образом, говорит Лагранж, рассматриваемый принцип сводится собственно к тому, что сумма живых сил всех тел от момента, когда они выходят из заданных точек, до того момента, когда они приходят в другие заданные точки, является максимумом или минимумом. Следовательно, этот принцип можно было бы с большим основанием назвать принципом наибольшей или наименьшей живой силы.

По мнению Лагранжа, такая формулировка имела бы то преимущество, что она была бы общей как для движения, так и для равновесия, поскольку в статике Лагранж доказывал, что при прохождении положения равновесия живая сила системы бывает наибольшей или наименьшей.

Лагранжу принадлежат также многочисленные работы по механике сплошной среды. В «Аналитической механике» немало места уделено гидростатике, гидродинамике, теории упругости. В этих разделах Лагранж систематизировал все результаты, полученные им и его предшественниками. В теории упругости Лагранж не располагал общими уравнениями (они были выведены позже, в 20-е годы XIX в.) и рассматривал равновесие и колебания около положения равновесия упругих тел одномерных или двумерных — типа нити, струны, мембраны. В гидродинамике Лагранж оперировал уравнениями для идеальной жидкости (т. е. совершенно лишенной внутреннего трения), выведенными для него Эйлером.

Математические трудности тут оказались настолько большими, что в общем случае Лагранж мог предложить только приближенный способ решения уравнения движения. Понадобилось немало времени, чтобы с помощью новых математических методов добиться дальнейших результатов там, где вынужден был остановиться такой гениальный ученый, как Лагранж.

ИССЛЕДОВАНИЯ ПУАССОНА ПО МЕХАНИКЕ

Симеон Дени Пуассон (1781 —1840) — выдающийся французский механик, математик и физик, научная деятельность которого тесно связана с традициями Политехнической школы. Эта школа была ведущим высшим учебным заведением Франции, поступающие в нее отбирались по жесточайшему конкурсу, а к преподаванию были привлечены лучшие ученые Франции, среди них Монж, Лагранж, Лаплас, Лакруа, Фурье. С.Д. Пуассон в 1798 г. в возрасте 17 лет поступил в эту школу, пройдя первым по конкурсу. Еще будучи учеником школы, он представил свою первую научную работу «О числе полных интегралов уравнений с конечными разностями», которая по предложению академиков Лежандра и Лакруа была опубликована. По окончании в 1800 г. Политехнической школы Пуассон был оставлен при кафедре математического анализа, руководителем которой он стал в 1806 г. В 1809 г. Пуассон был назначен профессором рациональной механики в Сорбонне.

С момента окончания Политехнической школы и до конца жизни Пуассон вел преподавательскую работу в высших учебных заведениях Франции. В 1837 г. ему как члену Королевского совета было поручено руководство преподаванием математики во всех колледжах Франции. За выдающиеся научные заслуги Пуассон в 1812 г. был избран действительным членом Парижской академии наук, а в 1826 — почетным членом Петербургской академии наук. Многочисленные исследования Пуассона охватывают все области науки, которая в то время называлась чистой и прикладной математикой. Список его сочинений составляет свыше 350 работ (не считая отдельно изданных сочинений) — это значит, что с 1800 по 1840 г. он публиковал в среднем по девять работ в год. В отношении стиля и характера своих работ Пуассон следовал Эйлеру и Лагранжу, труды которых он знал в совершенстве.

В области математики большой интерес представляют работы Пуассона по определенным интегралам, по уравнениям в конечных разностях, по теории дифференциальных уравнений с частными производными (уравнение Пуассона, интеграл Пуассона), по теории вероятностей (распределение Пуассона, теорема Пуассона). Чрезвычайно велик был диапазон его интересов в области механики. Многочисленные работы Пуассона охватывают разнообразные проблемы теоретической и небесной механики, теории притяжения, гидродинамики, теории упругости, теории колебаний, баллистики и теории механизмов и машин.

Наиболее фундаментальные его труды посвящены вопросам аналитической механики и математической физики. В исследованиях Пуассона этого цикла сказалось влияние и аналитических методов Лагранжа (в особенности в небесной механике), молекулярных представлений Лапласа (гидродинамика, механика деформируемых сред) и научного наследия Эйлера.

В области небесной механики наибольший интерес представляют его труды, в которых рассматриваются вопросы устойчивости Солнечной системы и выводятся дифференциальные уравнения возмущенного движения. При выводе этих уравнений Пуассон применил метод, в котором ввел выражение, названное впоследствии скобками Пуассона, которое получило широкое применение во многих вопросах теории уравнений с частными производными и аналитической механики. Развив методы вариации произвольных постоянных Лагранжа, Пуассон получил в явном виде выражение вариации элементов орбиты небесного тела через производные пертурбационной функции по координатам для одного из шести элементов его орбиты.

В теории притяжения особый интерес представляют его статья «Замечания об уравнении теории притяжений» (1813) и два мемуара — «О притяжении сфероидов» (1829) и «О притяжении однородных эллипсоидов» (1835), в которых он выводит свое знаменитое уравнение с частными производными Δu = f, (где Δ — оператор Лапласа) — одну из основ теории потенциала.

СИМЕОН ДЕНИ ПУАССОН (1781—1840)

Французский математику механик, физик. Пуассону принадлежат важные работы по аналитической и небесной механике, теории упругости, математической физике и по различным разделам математики 

Пуассон был одним из основоположников математической теории упругости. В 1819 г. он нашел решение уравнения теории упругости для одномерного случая, а в 1829—1831 гг. — для двумерного и трехмерного случаев. Его имя носит одна из основных констант теории упругости изотропных тел — коэффициент Пуассона, т. е. абсолютное значение отношения величины относительной поперечной деформации элемента тела к его относительной продольной деформации. Его вывод общего уравнения теории упругости сыграл существенную роль в теории колебаний и волн вообще и в исследовании звуковых волн в частности. В «Мемуаре об общих уравнениях равновесия и движения твердых тел и жидкостей» Пуассон впервые включил в систему дифференциальных уравнений движения жидкости уравнение теплопроводности. Его имя носит кривая, характеризующая обратимый адиабатический процесс в идеальном газе (адиабата Пуассона), уравнение которой Пуассон вывел в 1823 г.

Достижения Пуассона в области аналитической механики наиболее полно изложены в его двухтомном «Курсе механики», первое издание которого вышло в 1811 г. Этот труд, основанный на традициях Лагранжа и Лапласа, отличается в то же время большей доступностью и примерами из многих областей механики и смежных с ней разделов физики. Долгое время он был одним из лучших руководств по механике.

«Курс механики» состоит из четырех частей: статики, динамики, гидростатики и гидродинамики. В разделе статики Пуассон рассматривает условие равновесия «простых машин», с помощью которого переходит к общему закону равновесия тел. Этот закон он выводит, пользуясь принципом виртуальных перемещений, рассматривая как сами перемещения, так и проекции малых путей, описываемых точками приложения сил, на их направления. При изложении динамики Пуассон исходит из основных ее принципов: сохранения движения центра тяжести, сохранения площадей и живых сил. Исходя из последнего он показывает, почему при устройстве машин следует избегать явлений трения и удара тел. Пуассону аналитическая механика обязана и переходом от понятия обобщенных скоростей

к их линейной комбинации — обобщенным импульсам

которые он впервые ввел в «Мемуаре о вариации произвольных постоянных в вопросах механики» (1809). В «Курсе механики» он использует это новое соотношение в виде

Многие вопросы статики и динамики разработаны в нем в виде, удобном для приложений.

«Курс механики» неоднократно переиздавался, и в него были введены разделы, посвященные прикладной механике. В частности, в издание 1833 г. включен раздел, посвященный механике машин «О применении принципа живых сил к вычислению движения машин», в котором Пауссон рассматривает построение уравнения движения машины в общем виде. «Машины, по его определению, суть приспособления или системы твердых тел, предназначенные для переноса сил от одной части этих приспособлений к любой из иных частей». Заметим, что до Пуассона вопросами механики машин обычно занимались представители геометрического направления в механике, а представители аналитического направления обходили их стороной. Пуассон впервые применил аналитические методы к разработке подобных прикладных проблем, и в этом смысле его «Курс механики» явился одним из камней, заложенных в фундамент прикладной механики. Труды Пуассона, и в частности «Курс механики», на котором было воспитано не одно поколение французских ученых, сыграли значительную роль в развитии многих узловых проблем механики.

Закончим наш краткий обзор следующим диалогом Лагранжа с Пуассоном. «Я стар, — сказал однажды Лагранж Пуассону, — во время моих бессонных ночей я развлекаюсь числовыми сравнениями; выслушайте меня, это любопытно. Гюйгенс тринадцатью годами был старше Ньютона; я тринадцатью годами старше Лапласа; Лаплас тридцатью двумя годами старше вас»{178}.

Гениальный Лагранж весьма тонко и деликатно включил Пуассона в число великих творцов механики.

VII. МЕХАНИКА В XIX ВЕКЕ

РОЛЬ ГАМИЛЬТОНА В РАЗВИТИИ ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПОВ МЕХАНИКИ И ТЕОРИИ КВАТЕРНИОНОВ

Уильям Роуан Гамильтон (1805—1865) был одним из гениальных людей своего времени. Уже в ранние годы он поражал окружающих исключительными разнообразными способностями. В четырехлетнем возрасте он неплохо знал географию и свободно читал литературу на английском языке, а восьми лет овладел итальянским и французским языками, изучал арабский, санскрит и латынь. Особенно большую склонность проявлял юноша к математике.

В 1824 г. Гамильтон поступил в Тринити-колледж Дублинского университета, где успешно изучал математические науки и разрабатывал геометрическую оптику, или теорию лучей. В возрасте 22 лет молодой ученый был назначен профессором астрономии колледжа св. Андрея Дублинского университета и королевским астрономом Ирландии. В течение ряда лет он возглавлял также Дублинскую астрономическую обсерваторию и читал лекции по астрономии.

В 1837 г. Гамильтон был избран президентом Ирландской академии наук. Научные заслуги его нашли широкое признание во всем мире. В частности, в 1838 г. он был избран членом-корреспондентом Петербургской академии наук.

В 1828 г. в «Известиях» Ирландской академии наук Гамильтон опубликовал одну из своих самых знаменитых работ — «Теорию систем лучей». Исследуя системы оптических лучей, он исходил прежде всего из практических запросов их применения в оптических приборах. В третьем добавлении к этому труду ученый на основании сложных математических вычислений предсказал существование нового, до тех пор неизвестного явления — внешней и внутренней конической рефракции в двухосных кристаллах. Открытие Гамильтона вызвало огромный интерес и впоследствии сравнивалось с открытием планеты Нептун на основе вычислений Леверье.

Руководствуясь идеей оптико-механической аналогии, усматривая ее прежде всего в единой математической форме законов движения лучей и материальных частиц, Гамильтон использует в механике так называемый принцип наименьшего действия. Применяя этот принцип к определенным явлениям, Гамильтон исходил из того, что для действительного, осуществляющегося движения тел величина, равная произведению энергии на время и названная им «действием», должна иметь некоторое минимальное значение. Несколько позже Гамильтона и независимо от него принцип наименьшего действия был разработан русским ученым М.В. Остроградским, который распространил его на значительно более широкий круг явлений. Этот принцип теперь справедливо называется принципом Гамильтона — Остроградского. Он оказался мощным математическим оружием физики и был широко использован в работах Максвелла, Гельмгольца, Умова, Эйнштейна, де Бройля, Шредингера и других ученых.

Перейдя к механике, Гамильтон показал значение в ней своего нового вариационного принципа, а его характеристическая функция для задач механики (функция Гамильтона Н) оказалась при довольно широких условиях совпадающей с энергией механической системы. Зная, как выражается функция Н через координаты и импульсы составляющих систему материальных точек, можно сразу составить дифференциальные уравнения, определяющие координаты и импульсы. Получающаяся система дифференциальных уравнений («канонические уравнения») равносильна системе уравнений движения, в частности — системе уравнений Лагранжа второго рода, но обладает некоторыми особыми свойствами, облегчающими ее исследование.

Наконец, Гамильтон связал свою каноническую систему дифференциальных уравнений первого порядка с соответствующим дифференциальным уравнением в частных производных, которому, как выяснилось, удовлетворяет его характеристическая функция Н. Получилась обширная теория. Она дала новую удобную форму уравнений движения, новый подход к проблеме их решения (интегрирования). Она вскрывала более полно и глубоко аналогии между механикой и оптикой, выявила новые возможности геометрической интерпретации, наконец, она вела к выявлению связи между волновыми и корпускулярными представлениями, но последнее достаточно полно раскрылось лишь через столетие.

Необходимо сказать, что описанная выше теория не была дана Гамильтоном в достаточно общем и законченном виде: он вел свои исследования, переходя к механике, преимущественно в предположении, что имеет дело с системой свободных материальных точек, взаимодействующих с силами, зависящими только от взаимных расстояний. Обобщение результатов и методов Гамильтона, устранение излишних ограничений, тщательная разработка математических методов является заслугой К. Якоби и М.В. Остроградского. Поэтому часто можно встретить в литературе термин «теория Гамильтона — Якоби», но исторически более справедливо говорить о теории Гамильтона — Якоби — Остроградского.

Эта теория является основным достижением аналитической механики XIX в. Поначалу казалось, что ее главное значение в развитии аналитических методов. Но более глубокое выявление связи механики с оптикой и раскрытие возможности нового геометрического истолкования механических проблем имели принципиальное значение. Во второй половине XIX в. накопление новых фактов и разработка новых методов в аналитической механике шло главным образом по линии геометризации. В начале XX столетия, когда это направление сочеталось с новыми течениями в физике, именно на созданной им основе были пересмотрены основные понятия классической механики.

УИЛЬЯМ РОУАН ГАМИЛЬТОН (1805—1865)

Английский математик и механик. Гамильтон внес большой вклад в развитие вариационных принципов механики. Построил систему комплексных чисел, так называемых кватернионов 

Труды Гамильтона по механике получили высокую оценку. В 1842 г. па ежегодном собрании Британской ассоциации в Манчестере К. Якоби сказал: «Гамильтон — это Лагранж вашей страны». В 1866 г. Тэт охарактеризовал работу Гамильтона по динамике как «крупнейшее дополнение, полученное теоретической динамикой с тех пор, как были достигнуты великие успехи Ньютоном и Лагранжем». В 1835 г. Гамильтон был награжден золотой медалью Английского королевского общества.

Гамильтона всегда привлекала проблема мнимых величин, значение и геометрическая природа которых не были ясны математикам того времени. Замечательным вкладом в науку явилось открытие им в 1843 г. исчисления кватернионов — своеобразной системы чисел, представляющей собой обобщенную комплексную величину, которая состоит из суммы четырех членов. Первый член был назван ученым скаляром, три остальных — векторами (термин, введенный Гамильтоном и получивший широкое распространение в физике, механике и технических науках). В основе арифметики кватернионов лежат не две единицы, как в арифметике комплексных чисел (т. е. действительная и мнимая единицы), а четыре, операции над которыми подчинены определенным законам. Особые трудности представило для Гамильтона установление закона умножения кватернионов, который он нашел много времени спустя после того, как разработал правила их сложения и вычитания.

Гамильтон с большой глубиной и подробностью разработал теорию кватернионов, ее приложения в геометрии и механике, а также кватернионный и векторный анализы. Развитию этой теории он посвятил почти целиком последние 22 года своей жизни. В 1853 г. был опубликован капитальный труд Гамильтона по этой теории под названием «Лекции о кватернионах».

Историческая роль этой работы велика: во-первых, в ней заложены основы нынешнего векторного исчисления; во-вторых, теория кватернионов Гамильтона является одним из главных источников развития такой отрасли математики, как некоммутативная алгебра, т. е. алгебра, в которой не действует переместительный закон умножения. Такая некоммутативная алгебра получила широкое применение в современной теоретической физике.

ВКЛАД ЯКОБИ В РАЗВИТИЕ ДИНАМИКИ

Карл Густав Якоби (1804—1851) — один из крупнейших немецких математиков и механиков первой половины XIX в. Он был профессором математики сначала в Кенигсбергском, а затем в Берлинском университетах. В 1829 г. Якоби был избран членом-корреспондентом, а в 1836 г. действительным членом Берлинской академии наук. За свои выдающиеся научные заслуги он был избран членом многих зарубежных академий наук. Русские ученые одними из первых оценили огромное значение его исследований по математике и механике и уже в 1830 г. избрали его членом- корреспондентом Петербургской академии наук; три года спустя (в 1833 г.) ему было присвоено звание почетного члена Петербургской академии наук. Следует отметить, что Карл Якоби живейшим образом интересовался деятельностью Петербургской академии наук. Укреплению связей К.Г. Якоби с русскими научными кругами, в частности с М.В. Остроградским, благоприятствовал личный момент: его брат Мориц, крупный физик (известный в России как Борис Семенович Якоби), был русским академиком (с 1837 г.). К.Г. Якоби — один из создателей теории эллиптических функций, ему принадлежат крупные достижения в области теории чисел, линейной алгебры, интегрального исчисления, теории дифференциальных уравнений, вариационного исчисления. Он ввел в математику функциональные определители, которые часто называют в его честь якобианами. Основной труд Якоби по механике — его замечательные «Лекции по динамике», выполненные в 1842—1843 гг. и изданные его учеником А. Клебшем (1839—1894) после смерти Якоби в 1866 г. Эти лекции представляют собой развитие классической аналитической механики Лагранжа и содержат много новых идей как по математике (теория дифференциальных уравнений в частных производных, вычисление геодезических линий на эллипсоиде), так и по механике.

Исходным моментом исследований Якоби по механике является принцип Гамильтона — Остроградского, предложенный в первоначальной форме ирландским механиком и математиком У.Р. Гамильтоном и в окончательной ферме русским ученым М.В. Остроградским.

В своих «Лекциях» Якоби значительно развил теорию канонических уравнений Гамильтона, существенно расширив класс механических систем, к которым она применима. Изложив принцип Гамильтона и выведя канонические уравнения для любых механических систем, обладающих силовой функцией, в которую может входить время, Якоби применяет к этим уравнениям теорему С. Пуассона, открытую им в связи с другими задачами механики.

КАРЛ ГУСТАВ ЯКОБИ (1804-1851)

Немецкий математик. К. Якоби сделал ряд важных открытий в области теории эллиптических функций, вариационного исчисления, дифференциальных уравнений, теоретической механики и других математических дисциплин 

В дальнейшем Якоби находит много различных случаев получения интегралов уравнений движения. Например, рассматривая системы с силовой функцией, Якоби показывает, что в случае, когда можно выбрать такие обобщенные координаты qi, где силовая функция не зависит от координаты qs, а живая сила зависит от нее, можно получить интеграл данной системы уравнений в виде os = const (при этом говорят, что координата qs циклическая).

Важнейший результат К. Якоби — его теорема о том, что канонические уравнения являются уравнениями характеристик некоторого дифференциального уравнения в частных производных первого порядка, т. е. интегральные поверхности указанного уравнения в частных производных состоят из интегральных кривых системы канонических уравнений, определяющих движение механической системы. Тем самым интегрирование канонических уравнений сводится к разысканию полного интеграла уравнений в частных производных.

Дальнейшее обобщение метода Гамильтона — Якоби было осуществлено М.В. Остроградским.

ТРУДЫ ОСТРОГРАДСКОГО ПО МЕХАНИКЕ

За свою почти сорокалетнюю научную деятельность Михаил Васильевич Остроградский (1801 —1861) создал ряд ценных трудов по основным проблемам механики. Ему принадлежат первоклассные исследования по методам интегрирования уравнений аналитической механики и разработке обобщенных принципов статики и динамики.

Многочисленные исследования М.В. Остроградского по механике можно разбить, как это сделал Н.Е. Жуковский, на три группы: 1) работы по началу возможных перемещений, 2) работы по дифференциальным уравнениям механики и 3) работы по решению частных механических задач.

Наиболее выдающиеся исследования Остроградского относятся к обобщениям основных принципов и методов механики. Он внес существенный вклад в развитие вариационных принципов. Вариационные принципы механики входят в круг вопросов, интересовавших Остроградского в течение всей его жизни. Постоянное возвращение к вариационному исчислению и вариационным принципам механики роднит его с Лагранжем — одним из создателей вариационного исчисления и творцом аналитической механики. Ранее нами указывалось, что вариационными принципами механики занимались такие корифеи науки, как Ферма, Мопертюи, Эйлер, Лагранж, Гамильтон. Мы также отметили, что новый этап в разработке принципа наименьшего действия связан с именем Лагранжа, который поставил целью свести динамику к чистому анализу. В работах Лагранжа проблемы механики представляют собой лишь определенный класс задач вариационного исчисления.

Такой же подход к механике характерен и для Остроградского, который рассматривал ее проблемы, как правило, в самом общем виде. Общая постановка вопроса вела в свою очередь к изучению вариационного исчисления, в которое как частный случай входит динамика. Поэтому мемуар Остроградского «О дифференциальных уравнениях, относящихся к задаче изопериметров» (1850) принадлежит в равной мере как механике, так и вариационному исчислению. В силу такого сугубо математического подхода (как у Лагранжа) исследования Остроградского значительно обогатили, развили и углубили понимание вариационных принципов прежде всего с математической точки зрения.

МИХАИЛ ВАСИЛЬЕВИЧ ОСТРОГРАДСКИЙ (1801-1861)

Русский математик и механик, основатель аналитической механики в России. М.В. Остроградский разрешил ряд важных задач в области гидродинамики, гидростатики, теории упругости, теории теплоты, баллистики. Автор многочисленных трудов по математике и небесной механике 

В названном мемуаре Остроградский рассматривает вариационную задачу, в которой подынтегральная функция зависит от произвольного числа неизвестных функций и их производных сколь угодно высокого порядка, и доказывает, что задача может быть сведена к интегрированию канонических уравнений Гамильтона, которые можно рассматривать как такую форму, в которую можно преобразовать любые уравнения, возникающие в вариационной задаче. Это преобразование не требует никаких операций, кроме дифференцирования и алгебраических действий. Заслуга такого обобщения задачи динамики принадлежит М.В. Остроградскому.

Кроме того, Остроградский ослабил ограничения на связи, всегда считавшиеся до него стационарными, и тем самым существенно обобщил проблему.

В 1850 г. Остроградский опубликовал еще один мемуар, содержащий важные результаты по математической теории уравнений движения, — «Об интегралах общих уравнений динамики» (представлен в 1848 г.). Он показал, что и в более общем случае, когда связи и силовая функция содержат время (этот случай был оставлен в стороне Гамильтоном и Якоби), уравнения движения также могут быть преобразованы в гамильтонову форму.

Одним из важных вопросов механики является задача интегрирования уравнений движения, которые составляют вариационный принцип. Разработка теории интегрирования канонических уравнений принадлежит Гамильтону, К. Якоби и Остроградскому.

Эта теория состоит из трех основных этапов. Прежде всего необходимо было найти наиболее простую возможную форму дифференциальных уравнений движения. Такой формой оказались канонические уравнения; они получили свое название благодаря замечательному свойству инвариантности относительно некоторых преобразований координат. Термины «канонические уравнения», «канонические преобразования» были введены Якоби.

Следующим этапом является установление общих законов подобных преобразований. Так была развита теория канонических преобразований и их инвариантов. Отсюда видно, что существует глубокая внутренняя связь между аналитической динамикой и общей теорией групп преобразований. Впоследствии эта связь была открыта норвежским математиком Софусом Ли (1842—1899), и вся теория приняла удивительно стройный и красивый вид: в механику вошли новые идеи, характерные для математики конца XIX в. Якоби показал, что существует такое каноническое преобразование, которое приводит исходные уравнения к новым, легко интегрируемым уравнениям. Таким образом, задача прямого интегрирования канонических уравнений заменяется другой математической задачей: найти вид соответствующего канонического преобразования. Наконец, остается задача интегрирования канонических уравнений. Оказалось, что интегрирование этих уравнений равносильно интегрированию уравнения в частных производных, так называемого уравнения Гамильтона — Якоби.

В разработку всей этой теории существенный вклад внес М.В. Остроградский. В исследованиях по уравнениям динамики он дал каноническую форму уравнений динамики и установил теоремы о характеристической функции, принимая связи системы зависящими от времени. В работах этого цикла независимо от Гамильтона и Якоби он развивает также и теорию того уравнения в частных производных, которое обычно называется уравнением Гамильтона — Якоби. Независимо от Гамильтона и Якоби Остроградский доказал, что задача определения интегралов канонических уравнений эквивалентна нахождению полного интеграла некоторого дифференциального уравнения в частных производных. Все искомые интегралы канонических уравнений можно найти дифференцированием полного интеграла уравнения в частных производных.

«По своей ясности, — писал Н.Е. Жуковский, — рассматриваемый мемуар Остроградского («Об интегралах общих уравнений динамики». — А. Г.) являлся по тогдашнему времени весьма ценным изложением теории интегрирования уравнений динамики и может с успехом служить для лекционных целей и в настоящее время»{179}.

Остроградский придавал большое значение изучению величин, инвариантных относительно преобразований координат. Он отмечает свойство инвариантности канонических уравнений и дает этому факту совершенно правильное объяснение: причина заключается в том, что само движение не зависит от выбора системы координат.

Работы Остроградского по динамике являются основополагающими. Их значение состоит еще в том, что они послужили источником для ряда дальнейших исследований по выяснению основ вариационных принципов механики.

Под влиянием работ Остроградского многие русские ученые внесли большой вклад в развитие вариационных принципов механики. В работах Н.Д. Брашмана, И.И. Сомова, М.И. Талызина, Ф.А. Слудского, Н.Е. Жуковского, Г.К. Суслова, Д.К. Бобылева и других ученых был решен комплекс вопросов о характере вариации в принципе наименьшего действия в форме Лагранжа и о методе вывода из него уравнений движения механики. Глубоко изучена была также строгая математическая форма самого принципа наименьшего действия и его связь с уравнениями движения. Выяснение этих вопросов было необходимо для того, чтобы принцип наименьшего действия стал не только безупречным основанием аналитической механики, но и мощным методом исследования в различных областях физики.

Действительно, роль принципа Гамильтона — Остроградского в дальнейшем развитии физико-математических наук оказалась весьма значительной. Теперь трудно указать такую область механики, физики, где мы не встретились бы в той или иной форме с применением принцип на Гамильтона — Остроградского.

Из других важных трудов Остроградского по механике следует отметить его исследование о принципе возможных перемещений «Общие соображения относительно моментов сил» (1834 г., опубликовано в 1838 г.). Эта работа значительно расширила область применения принципа возможных перемещений, распространила его на так называемые освобождающие (или неудерживающие) связи.

Исследования Остроградского по принципу возможных перемещений являются непосредственным продолжением работ Лагранжа и обобщением его идей. Так считал и сам Остроградский, писавший: «Лагранж не удовлетворился тем, что вывел следствия из принципа И. Бернулли, но расширил и обобщил самый принцип и приложил его к решению труднейших вопросов равновесия и движения систем. Затем вопрос сочли исчерпанным и полагали, что ничего нельзя уже прибавить к теориям, установленным Лагранжем. Однако принцип виртуальных скоростей еще шире, чем предполагал сам Лагранж, который, как и Бернулли, считал, что для равновесия системы необходимо, чтобы полный момент, т. е. сумма моментов всех сил, был равен нулю для всех перемещений, которым может быть подвержена система»{180}.

Под моментом сил Остроградский подразумевал работу сил. Итак, здесь ученый развивает мысль о распространении метода возможных перемещений на системы с освобождающими связями, поставив условием равновесия требование, чтобы полный момент сил был равен нулю или меньше нуля. Этот же метод был применен Остроградским для вывода дифференциальных уравнений движения, причем эти уравнения были выведены Остроградским и для случая голономных освобождающих связей, и для дифференциальных (неголономных) связей линейного вида.

В работах «О мгновенных перемещениях систем, подчиненных переменным условиям» (1838) и «О принципе виртуальных скоростей и о силе инерции» (1841 г., опубликована в 1842 г.) Остроградский дал строгое доказательство формулы, выражающей принцип возможных перемещений, для случая нестационарных связей. Во второй работе указаны некоторые неточности, допущенные Пуассоном в курсе механики.

Лагранж в «Аналитической механике» рассмотрел многие вопросы этой науки, но одна интересная задача теории удара была оставлена им в стороне; частный случай ее был изучен вскоре Л. Карно. В мемуаре «К общей теории удара» (1854 г., опубликован в 1857 г.) Остроградский исследовал удар систем в предположении, что возникающие в момент удара связи сохраняются и после него. Он распространил здесь принцип возможных перемещений на явление неупругого удара и получил основную формулу аналитической теории удара, из которой легко получается ряд теорем, решение упомянутой задачи, и в частности обобщение одной теоремы Карно. М.В. Остроградский читал лекции по аналитической механике. Курс, читанный им в Институте инженеров путей сообщения, был литографирован в 1834 г. По словам коллеги Остроградского, известного математика В.Я. Буняковского, выход этого сочинения ожидался с нетерпением. Позднее, в 1852 г., вышли в литографическом издании лекции по аналитической механике, читанные Остроградским в Главном педагогическом институте. Эти лекции Остроградского, составленные на основе классических работ Лагранжа, а также новейших работ Фурье (1768—1830), С. Пуассона (1781—1840), Гамильтона и самого лектора, имели большое значение для распространения физико-математических наук в России. Изложение Остроградского во многом оригинально. Он искал в механике наиболее простые и общие принципы, позволяющие доказывать ее теоремы изящно, кратко и просто.

Выдающийся советский ученый академик Алексей Николаевич Крылов в своем предисловии к новому изданию этих лекций говорил о богатстве их содержания и своеобразии изложения. В докладе Президиуму АН СССР Крылов писал: «Эта книга не только будет служить некоторым памятником знаменитому ученому, но принесет большую пользу как пособие для вузов и втузов».

Остроградскому принадлежат не только общие теоретические труды широкого охвата, но и работы, содержащие решения конкретных частных задач механики, возникших в технической практике того времени. Особого упоминания заслуживает серия его работ по баллистике, предпринятая по заданию русского артиллерийского ведомства. Плодом этих занятий явились следующие его мемуары в этой области: «Заметка о движении сферического снаряда в сопротивляющейся среде» и «Мемуар о движении сферического снаряда в воздухе» (1840 г., опубликован в 1841 г.), а также «Таблицы для облегчения вычисления траектории тела в сопротивляющейся среде» (1839 г., опубликовано в 1841 г.). В первых двух работах Остроградский исследовал актуальный для артиллерии того времени вопрос о движении центра тяжести, о вращении сферического снаряда, геометрический центр которого не совпадает с центром тяжести. Здесь был сделан существенный шаг вперед по сравнению с несколько более ранними исследованиями Пуассона, который изучил движение сферических снарядов в допущении, что эти два центра совпадают.

Третье упомянутое сочинение заключает в себе вычисленные Остроградским таблицы функции

которая играет весьма важную роль в баллистике. Эти работы послужили одной из основ для создания во второй половине XIX в. русской школы баллистики, блестящими представителями которой впоследствии явились П.Л. Чебышев, Н.В. Маиевский, Н.А. Забудский и др.

Стоит отметить также, что в последние годы жизни М.В. Остроградский дважды прочитал курс баллистики в Артиллерийской академии. Подчеркнем также, что труды Остроградского по баллистике и по небесной механике привели его к открытию важных формул в области приближенных вычислений.

Подведем итог краткому разбору основных трудов Остроградского по механике выразительной характеристикой, принадлежащей Н.Е. Жуковскому: «Большая часть ученых работ М.В. Остроградского относится к его любимому предмету — аналитической механике. Он писал по разнообразным вопросам этого предмета: по теории притяжения, по колебанию упругого тела, по гидростатике и гидродинамике, по общей теории удара, по моменту сил при возможных перемещениях и т. д. Во всех его работах главное внимание сосредоточивалось не на решении частных задач, а на установлении общих теорий. Он с особенной любовью занимался расширением метода Лагранжа о возможных скоростях и установлением на самых общих началах теорем динамики. Его обширная работа «Об изопериметрах» заключает в себе как частные случаи различные предположения Лагранжа, Пуассона, Гамильтона и Якоби об интегрировании уравнений динамики. С именем М.В. Остроградского всегда будет связано распространение способа возможных перемещений на системы с освобождающими связями и изложение теорем динамики с помощью вариаций координат, происходящих от изменения произвольных постоянных»{181}.

МЕХАНИКА ГЕРЦА

В XVII в. трудами Галилея и Ньютона были заложены принципиальные основы классической механики.

В XVIII и XIX вв. Эйлер, Даламбер, Лагранж, Гамильтон, Якоби, Остроградский, исходя из этих основ, построили великолепное здание аналитической механики и разработали ее мощные математические методы.

Казалось, что механика — этот «рай математических наук», как назвал ее Леонардо да Винчи, — достигла высокой степени совершенства и своей завершенности. Но завершенность эта была лишь кажущейся, ибо в самих основных понятиях и законах механики заключались многочисленные трудности, которые были только временно отодвинуты, а отнюдь не разрешены мощным прогрессом аналитической механики.

Еще до коренного пересмотра физического содержания основных принципов классической механики, осуществленного теорией относительности и квантовой теорией, появился ряд работ, пытавшихся по-новому осмыслить эти принципы. Эти попытки были связаны прежде всего с тем, что наряду с физикой дискретных тел возникла физика континуума поля, потребовавшая критического пересмотра основ классической механики.

Такой попыткой была, в частности, замечательная книга Генриха Герца «Принципы механики, изложенные в новой связи»{182}, которая сыграла важную роль не только в развитии классической механики, но и в исторической подготовке теории относительности Эйнштейна.

Философские основы механики Герца. Предсмертное сочинение Герца «Принципы механики» не ставило целью решение практических задач или разработку методов механики. Цель этого сочинения — показать, что общие теоремы механики и весь ее математический аппарат могут быть последовательно развиты исходя из единого принципа.

ГЕНРИХ ГЕРЦ (1857—1894)

Немецкий физик и механик. Герц занимался главным образом вопросами электродинамики. Опубликовал интересную работу по механике — «Принципы механики, изложенные в новой связи» 

В свете марксистско-ленинской философии и успехов новой физики ясно, что решение Герцем указанной проблемы имело механистический характер. Однако в его основе лежала правильная материалистическая тенденция рассматривать все явления природы как проявления движения материи. Ограниченность материализма Герца рамками механистического мировоззрения и некоторое влияние на него многочисленных разновидностей кантианской философии явились причиной его непоследовательности, колебаний между кантианством и материализмом.

Используя эти колебания и отдельные отклонения от последовательного материалистического мировоззрения, идеалисты различных направлений пытались, извращая факты, доказать, что философская концепция, лежащая в основе «Принципов механики» Герца, имеет кантианский или махистский характер. В книге «Материализм и эмпириокритицизм» В.И. Ленин критикует эти маневры идеалистов и защищает материалистическую основу «Принципов механики» замечательного немецкого физика. «Г. Коген, — пишет Ленин, — старается завербовать себе в союзники знаменитого физика Генриха Герца. Герц наш, он кантианец, у него попадается допущение априори! Герц наш, он махист, — спорит махист Клейнпетер, — ибо у Герца проглядывает «тот же субъективистский взгляд, как и у Маха, на сущность наших понятий». Этот курьезный спор о том, чей Герц, дает хороший образчик того, как идеалистические философы ловят малейшую ошибку, малейшую неясность в выражении у знаменитых естествоиспытателей, чтобы оправдать свою подновленную защиту фидеизма. На самом деле, философское введение Г. Герца к его «Механике» показывает обычную точку зрения естествоиспытателя, напуганного профессорским воем против «метафизики» материализма, но никак не могущего преодолеть стихийного убеждения в реальности внешнего мира. Это признает сам Клейнпетер, с одной стороны, бросающий в массу читателей насквозь лживые популярные брошюрки о теории познания естествознания, причем Мах фигурирует рядом с Герцем, — с другой стороны, в специальных философских статьях признающийся, что «Герц, в противоположность Маху и Пирсону, держится все еще предрассудка насчет возможности механически объяснить всю физику», что он сохраняет понятие вещи в себе и «обычную точку зрения физиков», что Герц «все еще держался за существование мира в себе» и т. д.{183}.

Подчеркивая непоследовательность Герца, В.И. Ленин в то же время настойчиво выделяет основную материалистическую линию «Механики» Герца, противопоставляя ее кантианскому априоризму и махистскому субъективизму. Ленин пишет: «Рей тоже абсолютно не знаком с диалектикой. Но и он вынужден констатировать, что среди новейших физиков есть продолжатели традиций «механизма» (т. е. материализма). По пути «механизма», говорит он, идут не только Кирхгоф, Герц, Больцман, Максвелл, Гельмгольц, лорд Кельвин»{184}. И далее: «…Герцу даже и не приходит в голову возможность нематериалистического взгляда на энергию. Для философов энергетика послужила поводом к бегству от материализма к идеализму. Естествоиспытатель смотрит на энергетику как на удобный способ излагать законы материального движения в такое время, когда физики, если можно так выразиться, от атома отошли, а до электрона не дошли»{185}.

Во введении к своей «Механике» Герц выдвигает в качестве ближайшей и важнейшей цели научного познания предвидение полезных будущих открытий и организацию в соответствии с ними практических и теоретических усилий в настоящем.

В процессе познания, по мнению Герца, исходят из уже накопленного опыта. Метод же выведения (предвидения) будущего из прошлого состоит в следующем: из накопленного и многократно проверенного в процессе практики опытного материала создаются «внутренние образы» (т. е. понятия) внешних предметов. К этим «образам» предъявляется следующее основное требование: логически необходимые следствия этих «образов», или понятий, должны являться «образами» естественно необходимых следствий свойств внешних предметов. Чтобы это требование могло быть осуществимо, очевидно, должно быть известное согласие между природой и нашим мышлением. Практика показывает, что такое согласие существует в действительности. Согласованность, в основе которой лежит общность законов мышления и внешнего мира, объясняет, почему логически необходимые следствия правильных научных понятий непременно осуществляются независимо от человека или при его содействии, как только появляются все необходимые условия.

Эти основные гносеологические положения Герца выражают его материалистический взгляд на цели и метод научного познания природы. Как естествоиспытатель, Герц убежден в объективности природы. Познав объективные закономерности развития внешних предметов, можно сознательно ускорить наступление будущего, т. е. использовать объективные законы природы в интересах человека.

Книга Герца «Принципы механики» и ее место в развитии механики. Особое место среди вариационных принципов механики, которые должны указать интегралы или функции, имеющие экстремум в действительном движении системы, занимает принцип наименьшего принуждения Гаусса. Этот принцип является общим началом и может быть выражен одной из самых простых аналитических формулировок, в которой нахождение уравнений движения любой системы, голономной или неголономной, сводится к нахождению минимума функции второй степени.

Установление этого принципа, опубликованного Гауссом в 1829 г., связано, как он сам указывает, с его работами по способу наименьших квадратов.

В короткой заметке{186} Гаусс с изумительной ^ясностью и лаконичностью не только осветил вопросы, связанные с формулируемым им принципом, но также высказал весьма интересные методологические соображения и кратко остановился на существовавших тогда принципах механики. Рассматривая вопрос о значении принципов механики, он писал: «Если для прогрессивного развития науки и для индивидуального исследования представляется более удобным идти от легкого к тому, что кажется более трудным, а от простых законов к более сложным, то, с другой стороны, наш ум, дойдя до более высокой точки зрения, требует обратного движения, в свете которого вся статика представляется ему в качестве частного случая динамики. И упомянутый нами геометр (речь идет о Лагранже. — А. Г.), по-видимому, оценил это обратное движение, представляя в качестве преимущества принципа наименьшего действия возможность охватить одновременно законы движения и законы равновесия, если его рассматривать в качестве принципа наибольшей или наименьшей живой силы. Но надо признать, что эта мысль является более остроумной, чем верной, так как в этих двух случаях минимум имеет место при совершенно различных условиях»{187}. Такая точка зрения Гаусса, естественно, приводит его к формулировке общего принципа механики — принципа наименьшего принуждения.

Строгая формулировка принципа Гаусса такова: для материальной системы со связями без трения, находящейся под действием каких угодно сил, естественное движение отличается от всех остальных, совместных со связями, тем, что для него принуждение со стороны связей (так же как и давление на связь) имеет наименьшее значение, если исключить свободное движение.

Глубокое развитие идей Гаусса в связи с идеей Гельмгольца о кинетическом объяснении всех видов энергии при помощи «скрытых движений» дал в 90-х годах XIX в. Генрих Герц, разработавший принцип прямейшего пути. Познавательная ценность этого принципа состоит в том, что он сводит задачи механики к проблеме геодезических линий, коренным образом геометризует классическую динамику.

Во введении к «Принципам механики» Герц характеризует существующие картины механических процессов. Он считает, что до середины XIX в. полным объяснением явлений природы считалось сведение этих явлений к бесчисленным, действующим на расстоянии силам между атомами материи. Но в конце XIX в. под влиянием резко возросшего значения принципа сохранения энергии физика предпочитает рассматривать «относящиеся к ее области явления как превращения одной формы энергии в другую и считать своей конечной целью сведение явлений к законам превращения энергии»{188}. Тогда в механике понятие силы уступает место понятию энергии. Однако если картина, основанная на силе, была построена, «то о второй картине этого, разумеется, сказать нельзя»{189}.

По мнению Герца, при этом исходят из четырех независимых друг от друга основных понятий, отношения между которыми должны составить содержание механики. Два из них, по Герцу, носят математический характер — пространство и время; два других — масса и энергия — вводятся как две физические сущности, являющиеся определенными неуничтожаемыми количествами. Из анализа результатов опыта выводится следствие, что энергию можно разделить на две части, одна из которых зависит только от скорости изменения обобщенных координат, а другая — от самих координат. Здесь связаны между собой понятия пространства, массы и энергии. Для того же чтобы связать все четыре понятия, а вместе с тем и течение во времени, воспользуемся одним из интегральных принципов обыкновенной механики, пользующихся понятием энергии. «Какой из принципов мы используем, практически безразлично; можно воспользоваться принципом Гамильтона, что мы имеем полное право сделать»{190}.

В каком отношении эта картина находится к картине классической механики? Прежде всего она охватывает значительно больше особенностей движения, чем классическая, основанная на понятии силы.

Основные понятия этой картины могут быть связаны принципом Гамильтона, смысл которого Герц усматривает в том, что разность между кинетической и потенциальной энергией должна быть возможно малой на протяжении всего времени движения.

Хотя этот закон и не является простым по форме, все же он в одном-единственном определении однозначно воспроизводит все естественные превращения энергии из одной формы в другую и тем самым позволяет полностью предвидеть будущее развитие физических явлений (по крайней мере обратимых). Однако принцип Гамильтона в обычной его форме не охватывает движение систем с не-голономными связями.

Герц выдвигает третью систему принципов механики, которая отличается от первых двух главным образом тем, что она пытается исходить только из трех независимых основных представлений: времени, пространства и массы. Герц ссылается при этом на Г. Кирхгофа{191} (1824—1887), который в своем курсе механики еще раньше отметил, что эти три независимые друг от друга понятия необходимы, но также и достаточны для развития механики. Вместо понятий силы и энергии, исключаемых Герцем из основных понятий, он вводит представление о скрытых связях, скрытых массах и скрытых движениях.

Основной закон, связывающий фундаментальные понятия пространства, времени и массы воедино, Герц выражает в форме, представляющей весьма тесную аналогию с обычным законом инерции: «Каждое естественное движение самостоятельной материальной системы состоит в том, что система движется с постоянной скоростью по одному из своих прямейших путей»{192}.

Это положение объединяет закон инерции и принцип наименьшего принуждения Гаусса в одно единое утверждение.

Прямым путем Герц называет такой, для которого все его элементы имеют одинаковое направление, а кривым — такой, когда направление его элементов изменяется. В качестве критерия кривизны, как и в геометрии точки, вводится скорость изменения направления при изменении положения. Из всех возможных путей в тех случаях, когда движение системы ограничено связями, выделяются некоторые, обладающие особенно простыми свойствами. Это прежде всего пути, которые во всех положениях искривлены так незначительно, как это только возможно. Именно их Герц называет прямейшими путями системы. Затем идут пути кратчайшие. При известных условиях понятия прямейших и кратчайших путей совпадают: «Это соотношение, — говорит Герц, — будет нам вполне понятно, если мы вспомним теорию поверхностей… Перечисление и систематизация всех возникающих при этом соотношений относится к геометрии системы точек… Так как система n точек выражает 3n многообразие движения, которое, однако, может быть уменьшено связями системы до любого произвольного числа, то в результате возникает большое число аналогий с геометрией многомерного пространства, причем эти аналогии заходят отчасти так далеко, что те же самые положения и обозначения могут иметь место как здесь, так и там»{193}.

Смысл такого метода изложения, по мнению Герца, состоит прежде всего в том, что он устраняет искусственное разделение механики точки и механики системы, позволяя рассматривать любое движение как движение системы. Кроме того, такой геометризованный метод выражения «ярко оттеняет тот факт, что метод изложения Гамильтона скрывает свои корни не в особых физических основах механики, как это обычно принимают, но что он, собственно говоря, является чисто геометрическим методом, который может быть обоснован и развит совершенно независимо от механики и который не находится с ней в более тесной связи, чем любое другое используемое механикой геометрическое познание»{194}. Это нашло свое выражение в аналогиях, которые обнаружены при сопоставлении идей Гамильтона в механике и геометрии многомерного пространства.

Герц доказывает, что для голономных систем каждый прямейший путь есть геодезический и наоборот, причем геодезическим путем материальной системы он называет путь, длина которого между двумя любыми положениями отличается лишь на бесконечно малую величину высшего порядка от длины любого другого бесконечно близкого соседнего пути между теми же положениями (в неголономных системах это не имеет места).

Кратчайший путь между двумя положениями есть геодезический, но геодезический путь не есть обязательно кратчайший, хотя он всегда есть кратчайший между любыми двумя достаточно близкими соседними его положениями, находящимися на конечном удалении друг от друга.

Необходимым и достаточным аналитическим условием геодезического пути является требование, чтобы интеграл между какими-либо двумя положениями пути имел вариацию, равную нулю, причем вариации должны исчезать на пределах интеграла и вариации координат и их дифференциалы должны удовлетворять уравнениям — условия системы. Исчезновение вариации интеграла не есть, однако, достаточное условие того, чтобы путь между конечными положениями был кратчайшим; для этого необходимо, чтобы его вторая вариация была существенно положительной. Для достаточно близких соседних положений пути это условие всегда выполняется.

Уже из этого изложения можно видеть две особенности механики Герца, связанные с тем, что в исходных предпосылках он ограничивается тремя, а не четырьмя (как это имеет место у Ньютона и Гамильтона) понятиями. Во-первых, отсутствие среди основных понятий понятия силы (или энергии), что приводит к усложнению изложения и не дает простого пути для решения конкретных задач. Во-вторых, особо важная роль, отводящаяся геометрическим образам. Если первая особенность ограничивала практическое значение его механики, то вторая была чрезвычайно важным этапом на пути синтеза аналитического и геометрического аспектов механики.

Затем Герц доказывает теорему, в которой выражена, по существу говоря, глубокая связь его механики с геометрической оптикой и теоремой Бельтрами — Липшица. Теорема Герца гласит: если построить во всех положениях некоторой поверхности прямейшие пути (а следовательно, в случае голономной системы — геодезические), перпендикулярные к этой поверхности, и отложить вдоль этих путей равные длины, то получим новую поверхность, которая будет пересекать эти прямейшие пути также перпендикулярно.

Таким образом, в самой сердцевине механики Герца заключаются геометрические соотношения, которые связывают ее с общей теорией поверхностей. Пространственные формы механического движения материальных тел играют поэтому у Герца основную роль.

Естественно возникает вопрос об отношении принципа Герца к принципу наименьшего действия Эйлера — Лагранжа в его классической форме и в форме, которую придал ему Якоби, и к принципу Гамильтона.

Герц посвятил этому вопросу несколько разделов своей книги. Так как в голономной системе прямейший путь между двумя достаточно близкими положениями является одновременно кратчайшим, то естественный путь такой системы между указанными положениями короче, чем какой-нибудь другой возможный путь между теми же положениями. Эта теорема сразу приводит к принципу наименьшего действия в форме Якоби. Согласно обычному пониманию механики, отмечает Герц, приведенная теорема представляет собой частный случай теоремы Якоби, а именно случай, когда силы отсутствуют. Однако, «по нашему мнению, наоборот, предпосылки полной теоремы Якоби следует считать более узкими, а теорема Якоби является специальной формой выражения нашей теоремы»{195}. Такая точка зрения Герца основана на том, что Якоби для получения своего выражения принципа наименьшего действия должен был воспользоваться законом сохранения энергии, чтобы с его помощью исключить время, в то время как принцип Герца совершенно не зависит от этого закона. Кроме того, выражение Якоби в отличие от принципа Герца справедливо лишь для голономных систем.

Легко показать, далее, следуя Герцу, что естественное движение свободной голономной системы переводит систему из данного начального в достаточно близкое конечное положение за более короткое время, чем какое-либо другое возможное движение с одинаковым постоянным значением энергии, так как в этом случае энергия и скорость одинаковы и время перехода пропорционально длине пути. В этом случае интеграл по времени от энергии равен произведению данного постоянного значения энергии на промежуток времени перехода. Таким образом получается принцип наименьшего действия Эйлера — Лагранжа. Отношение этого принципа к принципу Герца такое же, как принципа наименьшего действия в форме Якоби.

Аналогичные рассуждения могут быть приведены и для принципа Гамильтона.

Герц рассматривает, наконец, вопрос о том, в какой степени телеологические умозаключения на самом деле связаны с этими принципами. По его мнению, такая связь не вытекает с необходимостью из рассмотрения якобы будущих целей движения. Более того, представление о таком телеологизме даже недопустимо. То, что «такое понимание этих принципов не необходимо, вытекает из того, что свойства естественного движения, являющиеся как бы проявлениями цели, на самом деле устанавливаются нами как необходимые следствия закона (т. е. принципа Герца. — А. Г.), в котором не содержится никакого выражения предвидения будущего»{196}. Недопустимость же такого представления вытекает из того, что «если бы природа действительно имела цель достигать кратчайшего пути, наименьшей затраты энергии, кратчайшего времени, то невозможно было бы понять, как могут существовать системы, в которых эта цель хотя и достижима, но природа постоянно терпит неудачу»{197}.

Таким образом, Герц со своих материалистических позиций полностью отвергает какие-либо телеологические домыслы, связываемые без должного обоснования с рассматриваемыми принципами.

Выведя далее гамильтонову характеристическую и главную функции, Герц отмечает, что в них, по его мнению, «содержится только слегка завуалированный простой смысл прямейшего расстояния…»{198}

Принцип Герца был бы просто частным случаем принципа Гаусса, если бы он не заменил силы, действующие на систему, связями ее с другими системами, находящимися с ней во взаимодействии. Этим самым Герц как бы изучал только свободные системы. Для своего геометрического рассмотрения Герц должен был считать все массы как кратные некоторой условной единичной массе.

Зоммерфельд справедливо отметил, что «механика Герца построена в высшей степени увлекательно и последовательно, но в силу сложности замены сил связями оказалась малоплодотворной»{199}.

Понятие силы в механике Герца. Механику Герца часто называют «механикой без силы». Понятие силы хотя и вводится Герцем, однако оно не является основным, исходным понятием его механики. В этом состоит прежде всего резкое отличие механики Герца от обычного ее изложения. Сложность понятия силы в классической механике, абсолютизация его многими крайними ньютонианцами и заманчивая возможность объяснить силу движением некоторых (хотя бы и скрытых) масс привели многих физиков второй половины XIX в. к попыткам пересмотреть смысл и место понятия силы в системе механики.

Важнейшим стимулом в этом отношении было развитие континуарной физики поля, в первую очередь электромагнитного.

Классическое понятие силы, которое возникло из изучения непосредственного контакта (удара) двух масс, постепенно стало рассматриваться не как выражение взаимодействия тел в процессе движения, а как нечто, не зависящее от движения материи. Физика поля, напротив того, по самому своему характеру подсказывала возможность рассматривать силу как вторичное понятие, выражающее взаимодействие среды (эфира) и весомых тел.

В том же направлении влияло и введение Гельмгольцем понятия скрытых масс и скрытых движений для отнесения не специфического, не укладывающегося в рамки обычной механики характера тепловых процессов. Естественно поэтому было попытаться отказаться в механике от сложного понятия силы как исходного понятия, положив в основу взаимодействие скрытых и наблюдаемых масс. Принципиально эта концепция была прогрессивной, так как стремилась выразить все основные понятия механики через движение масс, рассматриваемое как исходный пункт. Но в силу исторической ограниченности физики XIX в. в этой концепции характер и поведение скрытых объектов рассматривались как чисто механический комплекс взаимодействий. Кроме того, скрытые массы оставались скрытыми, непознаваемыми элементами этой картины, что неизбежно приводило к агностическим выводам.

Герц был не первым ученым, разрабатывавшим во второй половине XIX в. «механику без силы». До него это в наиболее отчетливой форме пытался сделать Кирхгоф, который не отвергал совершенно понятие силы, а только отказывал ему в первичности. Однако всесторонне развил и последовательно изложил эту точку зрения только Герц.

Путь к исключению понятия силы подсказывает уже сама механика Галилея — Ньютона. Рядом с собственно силами, являющимися причинами изменения состояния движения, эта механика поставила другой вид сил, а именно силы условий связи системы, ограничивающие степени свободы движения последней. Направление этих сил определяется чисто геометрическими условиями, а величина остается, строго говоря, неизвестной.

Элементарная механика в обычном изложении смешивает эти два вида сил, рассматривая силы условий как собственно силы, величина которых вначале неизвестна. Она сводит, следовательно, силы ограничения движения к собственно силам. Однако уже в аналитической механике различие этих сил выступает очень резко, гораздо резче, чем в элементарной механике. В уравнениях аналитической механики силы условий движения имеют совсем другой вид, чем собственно силы, будучи определены только геометрическими условиями движения.

Герц поставил перед собой задачу, обратную той, которую так или иначе решает элементарная механика: нельзя ли все собственно силы свести к силам ограничения движения? Возможно, что вообще все наблюдаемые изменения скорости, которые не требуются как будто с точки зрения геометрических связей, вызваны на самом деле не силами, а именно какими-то, может быть, еще не исследованными геометрическими связями. Сама сила есть лишь способ описания этих связей, применимый при известных допущениях, но отнюдь не являющийся необходимым для однозначного и ясного научного познания мира. Понятие о силе как о причине замедления или ускорения в механике Г. Герца исчезает бесследно. Сила, с точки зрения Герца, является только мерой переноса или взаимопреобразования движения между «прямо связанными» системами. Загадочная потенциальная энергия консервативных систем обычной механики оказывается обычной кинетической энергией скрытых материальных систем. В основе действий, наблюдаемых между удаленными телами (например, планетами), лежит материальный процесс, протекающий в скрытых материальных системах, связывающих обычные или «наблюдаемые» системы.

Механика Герца представляет в высшей степени ясную, математически обоснованную картину механики. Единственным недостатком этой картины является ее… иллюзорность. Герц доказал лишь, что скрытые или адиабатически-циклические системы, дополняющие обычную систему до свободной, обладают всеми свойствами обычных консервативных систем. Но отсюда еще не следует, что реальные консервативные системы являются такими, какими они представляются в механике Герца.

Носителем скрытых циклических систем, по мнению Герца, является мировой эфир, но так как скрытым системам Герц приписывает общепринятые свойства механических движений, то эфир в механике Герца имеет характер чисто механической системы; частицам эфира приписываются свойства обычной инертной материи, обычные механические движения и кинетическая энергия, движения частиц эфира подчиняются законам классической механики и т. д.

Главный недостаток механики Герца не в ее конкретных механических конструкциях, а в универсализации развитой им интерпретации сил. Утверждение Герца, что мнимое действие сил на расстоянии сводится исключительно к процессам механического движения в наполняющей пространство среде, Между мельчайшими частицами которой существуют неподвижные связи, было опровергнуто последующим развитием физики, и прежде всего механикой Эйнштейна. Механическая теория эфира, на которой основана система Герца, оказалась несостоятельной. Однако в некоторых важных идеях теории относительности и механики Герца имеется много общего. В теории относительности движение планет вокруг Солнца объясняется без привлечения действующих сил, при помощи представления об инерции как о фундаментальном свойстве тел. В механике Герца планеты движутся аналогично телам по кратчайшим линиям в римановом пространстве. В этом отношении отличие теории относительности от механики Герца состоит в том, что в первой материальные движущиеся тела определяют метрику пространства — времени, его геометрию, в то время как у Герца такое движение определяется кинематическими условиями, создаваемыми скрытыми массами системы. Несмотря на историческую ограниченность, связанную с механической картиной мира, механика Герца сыграла значительную роль в развитии одной из основных проблем физики — проблемы пространственно-временной формы движения материи.

VIII. ПОНЯТИЯ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ В ОЦЕНКЕ ЭЙНШТЕЙНА

После Лагранжа, в течение всего XIX столетия, шло совершенствование аналитического аппарата механики, но система ее основных понятий и законов оставалась неизменной. Развитие кинематики, оформившейся под влиянием запросов техники в самостоятельную дисциплину, и создание векторного исчисления, т. е. векторной алгебры и векторного анализа, дали возможность отчетливее формулировать и компактнее излагать основы механики. Во второй половине XIX в. анализ основ механики, которым физики занялись главным образом под влиянием затруднений, с которыми они сталкивались в попытках ввести в русло механических представлений электродинамику, привел к уточнению представлений об инерциальных системах отсчета и о методах измерения времени. По-прежнему загадочной была природа силы тяготения, необъяснимым был факт совпадения инертной массы и тяжелой массы, но ньютоновы законы движения оставались непоколебленными. Непоколебленными оставались и представления о пространстве и о безоговорочной справедливости для реального пространства геометрии Евклида, и о времени, течение которого никак не могло зависеть от физических процессов, происходящих в рассматриваемой системе тел, что давало возможность, не задумываясь, оперировать «наивным» понятием одновременности. Можно сказать, что на рубеже XIX и XX в. еще сохранилось представление о ньютоновых законах движения как об окончательном решении коренных вопросов бытия. «В начале (если таковое было) бог создал ньютоновы законы движения вместе с необходимыми массами и силами. Этим все и исчерпывается; остальное должно получиться дедуктивным путем, в результате разработки надлежащих математических методов»[33].

По мнению Эйнштейна, XIX век дал достаточно оснований для такого взгляда на ньютоновы законы движения. Особенно поразительными были успехи теорий, в которых применялись уравнения в частных производных. Первым классическим примером применения дифференциальных уравнений в частных производных была ньютонова теория распространения звука. Далее Эйлер написал дифференциальные уравнения гидродинамики. Но это были теории распространения деформаций в непрерывной среде. Для XIX в., по мнению Эйнштейна, характерно систематическое и детальное исследование движения дискретных тел, причем механика дискретных тел оказалась основой всей физики в целом.

Когда Эйнштейн познакомился с основами классической физики, наибольшее впечатление на него произвели не столько структура механики Ньютона и методы решения механических задач, сколько применение механики к собственно физическим и физико-химическим задачам. Эйнштейн перечисляет результаты механических концепций в физике: оптику как механику квазиупругого эфира, кинетическую теорию газов и атомистическую химию (которая, впрочем, в механическом естествознании XIX в. стояла особняком).

Эйнштейн писал о себе и о своих сотоварищах студенческих лет: «На студента наибольшее впечатление производило не столько построение самого аппарата механики и решение сложных задач, сколько достижения механики в областях, на первый взгляд совсем с ней не связанных: механическая теория света, которая рассматривала свет как волновое движение квазитвердого упругого эфира, и прежде всего кинетическая теория газов. Здесь следует упомянуть независимость теплоемкости одноатомных газов от атомного веса, вывод уравнения состояния газа и его связь с теплоемкостью, а главное, численную зависимость между вязкостью, теплопроводностью и диффузией газов, которая давала и абсолютные размеры атома. Эти результаты служили одновременно подтверждением механики как основы физики и подтверждением атомной гипотезы, которая тогда уже твердо укрепилась в химии.

Однако в химии играли роль только отношения атомных масс, а не их абсолютные величины, поэтому там атомную теорию можно было рассматривать скорее как наглядную аналогию, а не как познание действительного строения материи»{200}.

Классическая механика может служить основой термодинамики. Правда, для этого необходимо взять статистическую совокупность молекул, движения которых подчиняются соотношениям классической механики. Но факт остается фактом: за статистическими закономерностями термодинамики стоят непреложные законы движения и соударения тел, установленные механикой Ньютона. Поэтому классическая термодинамика считалась — да и действительно была — свидетельством универсального характера механики Ньютона. Эйнштейн пишет, что «глубочайший интерес вызывало и то, что статистическая теория классической механики была в состоянии вывести основные законы термодинамики; по существу это было сделано уже Больцманом»{201}.

Классическую механику Ньютона считали основой и электродинамики. Это было вполне естественным результатом универсального понимания классической механики. Сознательной тенденцией Максвелла и Герца было механическое обоснование электродинамики. В то же время объективная историческая тенденция, пробивавшая себе дорогу в классической электродинамике, состояла в отрицании классической механики как основы физических представлений.

«Нельзя поэтому удивляться, — пишет Эйнштейн, — что физики прошлого века видели в классической механике незыблемое основание для всей физики и даже для всего естествознания; они неустанно пытались обосновать на механике и максвелловскую теорию электромагнетизма, медленно пробивавшую себе дорогу. Максвелл и Герц и своем сознательном мышлении также считали механику надежной основой физики, хотя в исторической перспективе следует признать, что именно они и подорвали доверие к механике как основе основ всего физического мышления»{202}.

АЛЬБЕРТ ЭЙНШТЕЙН (1879—1955)

Один из создателей теории относительности; провел важные исследования в области квантовой теории света. Дал объяснение закономерностей фотоэлектрического эффекта, разработал теорию броуновского движения. 

Сознательную ревизию классической механики Эйнштейн увидел в книге Маха «История механики». Здесь необходимо строго разграничить: 1) мысль о невозможности построить здание науки на фундаменте классической механики; 2) так называемый принцип Маха, согласно которому силы инерции зависят от взаимодействия масс, и 3) философские взгляды Маха.

В части отказа от догматического и универсального понимания классической механики Эйнштейн прочел в «Истории механики» больше того, что в ней содержалось. Мах оспаривал идею абсолютно ускоренного движения в том виде, в каком эта идея была высказана в «Началах» Ньютона. Знаменитый пример с вращающимся ведром казался Маху неубедительным. Но замечания Маха не содержали, хотя бы в неявной форме, мысли о других, неклассических закономерностях механики и не приводили к мысли о немеханических исходных закономерностях природы.

В своей критике ньютоновой механики Эйнштейн исходил из принципиально иных критериев, чем Мах. Для Эйнштейна первым критерием всякой физической теории служило ее соответствие данным опыта, под которым Эйнштейн понимал познание объективных процессов в природе. Физическая теория должна соответствовать опыту. Но это еще непосредственно не гарантирует правильности теории; данным опыта могут соответствовать различные концепции, причем очень часто существующую концепцию можно привести в соответствие с опытом с помощью дополнительных гипотез. Действительно, концепция, объясняющая непротиворечивым образом ряд экспериментальных результатов, еще не имеет гарантированной единственности, она может быть заменена иной, иногда более общей концепцией, объясняющей более широкий круг фактов.

Речь здесь идет, однако, не о расширении, уточнении и обобщении теории в связи с переходом к иному, более широкому кругу явлений. «Относительно «области применимости» теорий мне можно здесь не говорить ничего, поскольку мы рассматриваем только такие теории, предметом которых является вся совокупность физических явлений»{203}. Таким образом, первый эйнштейновский критерий допускает лишь альтернативную оценку: данная теория либо соответствует всей совокупности известных физических явлений, либо не соответствует ей. Разумеется, такое соответствие не гарантировано на будущее, поскольку объем эмпирических физических знаний непрерывно растет. Именно поэтому критерий соответствия фактам (Эйнштейн называет его критерием внешнего оправдания) всегда сохраняет свое значение при оценке научной теории.

Второй критерий Эйнштейн назвал критерием внутреннего совершенства. Речь идет о следующем.

Каждая теория может быть охарактеризована — подчас интуитивно, подчас сравнительно строгим образом — степенью ее логической стройности. Эйнштейн формулирует этот критерий с большой осторожностью, указывая на его неточность.

«Во втором критерии речь идет не об отношении к опытному материалу, а о предпосылках самой теории, о том, что можно было бы кратко, хотя и не вполне ясно, назвать «естественностью» или «логической простотой» предпосылок (основных понятий и основных соотношений между ними). Этот критерий, точная формулировка которого представляет большие трудности, всегда играл большую роль при выборе между теориями и при их оценке»{204}.

Нельзя свести этот критерий к определению числа независимых допущений, из которых исходит теория. Эйнштейн говорит о несопоставимости логического качества одной теории с логическим качеством конкурирующей с ней иной теории. Кроме числа независимых предпосылок здесь существенна их сила, т. е. возможность однозначным образом определить вытекающие из них утверждения, исключив иные.

«Речь идет здесь не просто о каком-то перечислении логически независимых предпосылок (если таковое вообще возможно однозначным образом), а о своего рода взвешивании и сравнении несоизмеримых качеств. Далее, из двух теорий с одинаково «простыми» основными положениями следует предпочесть ту, которая сильнее ограничивает возможные a priori качества систем (т. е. содержит наиболее определенные утверждения)».

К естественности (логической простоте) теории и ее определенности присоединяется еще одна составляющая внутреннего совершенства. Теория совершеннее, если она выбрана с максимальной принудительностью, с наименьшим произволом. «К внутреннему совершенству теории я причисляю также и следующее: теория представляется нам более ценной тогда, когда она является логически произвольным образом выбранной среди приблизительно равноценных и аналогично построенных теорий»{205}.

Эйнштейн не претендовал на точность сформулированных им критериев: «Недостаточную определенность моих утверждений в двух последних абзацах я не буду оправдывать недостатком отведенного мне в печати места; я прямо признаю, что так сразу я не могу, а может быть и вообще не в состоянии, заменить эти наметки точными определениями. Однако я считаю, что более точная формулировка возможна. Во всяком случае мы видим, что между «авгурами» большею частью наблюдается полное согласие в суждении о «внутреннем совершенстве» теорий и в особенности о степени их «внешнего оправдания»»{206}.

С указанными критериями Эйнштейн подошел прежде всего к вопросу: может ли классическая механика быть основой физики в целом? «Внешнее оправдание» для этого становится сомнительным в оптике. Прежде всего механическая картина эфира противоречила фактам. История учения об эфире завершилась окончательной дискредитацией механических моделей эфира. Решающим аргументом, поколебавшим традиционную оценку механики как основы физики, была электродинамика Максвелла и подтвердившие ее опыты Герца.

Механическая интерпретация электродинамики Максвелла становилась все более затруднительной по мере того как процессы, в которых не участвовали весомые массы, оказывались объектами электродинамики. Вместе с тем такая интерпретация становилась все менее плодотворной. «Так почти незаметно взгляд на механику как на основу физики был оставлен; это произошло потому, что приспособление механики к опытным фактам оказалось безнадежным. С тех пор существуют две системы элементарных понятий: с одной стороны, взаимодействующие на расстоянии материальные точки, а с другой стороны — непрерывное поле. Это состояние физики, в котором отсутствует единая ее основа, является как бы переходным; при всей его неудовлетворенности оно далеко еще не преодолено»{207}.

Однако основное содержание характеристики ньютоновой механики в «Автобиографии» Эйнштейна связано с критерием «внутреннего совершенства». Здесь мишенью критики служат основные понятия «Математических начал натуральной философии». Ведь критерий «внутреннего совершенства» относится к исходным положениям теории, и в данном случае не может быть выделен частный случай — движение по инерции. Вспомнив, что говорил Эйнштейн о критерии «внутреннего совершенства», мы понимаем, почему этот критерий применяется к основам учения о движении в общем случае, т. е. к учению об ускоренном движении.

Ньютон относит ускоренное движение к абсолютно пустому пространству и видит доказательство абсолютного характера ускоренного движения в появлении сил инерции. Напомним читателю строки «Начал», излагающие эту концепцию.

«Проявления, которыми различаются абсолютное и относительное движение, состоят в силах стремления удалиться от оси вращательного движения, ибо в чисто относительном вращательном движении эти силы равны нулю, в истинном же и абсолютном они больше или меньше, сообразно количеству движения»{208}.

«Если на длинной нити подвесить сосуд и, вращая его, закрутить нить, пока она не станет совсем жесткой, затем наполнить сосуд водой и, удержав сперва вместе с водой в покое, пустить, то под действием появляющейся силы сосуд начнет вращаться, и это вращение будет поддерживаться достаточно долго раскручиванием нити. Сперва поверхность воды будет оставаться плоской, как было до движения сосуда. Затем сосуд силою, постепенно действующей на воду, заставит и ее участвовать в своем вращении. По мере возрастания вращения вода будет постепенно отступать от середины сосуда и возвышаться по краям его, принимая впалую форму поверхности (я сам это пробовал делать); при усиливающемся движении она все более и более будет подниматься по краям, пока не станет обращаться в одинаковое время с сосудом и придет по отношению к сосуду в относительный покой. Этот подъем воды указывает на стремление ее частиц удалиться от оси вращения, и по этому стремлению обнаруживается и измеряется истинное и абсолютное вращательное движение воды, которое, как видно, во всем совершенно противоположно относительному движению. Вначале, когда относительное движение воды в сосуде было наибольшее, оно совершенно не вызывало стремления удалиться от оси — вода не стремилась к окружности и не повышалась у стенок сосуда, а ее поверхность оставалась плоской, и истинное вращательное ее движение уменьшалось, повышение ее у стенок сосуда обнаруживало ее стремление удалиться от оси, и это стремление показало ее постепенно возрастающее истинное вращательное движение, и когда оно стало наибольшим, то вода установилась в покое относительно сосуда.

Таким образом, это стремление не зависит от движения воды относительно окружающего тела, следовательно, по таким движениям нельзя определить истинное вращательное движение тела. Истинное круговое движение какого-либо тела может быть лишь одно, в полном соответствии с силою стремления его от оси, относительных же движений в зависимости от того, к чему они относятся, тело может иметь бесчисленное множество; но независимо от этих отношений эти движения совершенно не сопровождаются истинными проявлениями, если только это тело не обладает кроме этих относительных и сказанным единственным истинным движением»{209}.

Появление сил инерции означает, что основа классической механики — принцип, согласно которому ускорения зависят от взаимодействия тел, — нарушена.

Назвав инерцию силой, мы сохранили связь ускорения тела (вызванного ускорением системы и доказывающего абсолютный характер ускорения системы) с «силой», но последняя перестала выражать взаимодействие тел.

Мах, объявив взаимодействие масс причиной сил инерции, хотел спасти основу классической механики — зависимость ускорений от такого взаимодействия. По существу он выступил против ньютонова абсолютного пространства с классических позиций. Эйнштейн первоначально считал принцип Маха существенным элементом общей теории относительности. Впоследствии он изменил эту оценку. В «Автобиографии» он пишет:

«По мнению Маха, в действительно рациональной теории инертность должна, подобно другим ньютоновским силам, происходить от взаимодействия масс. Это мнение я долгое время считал в принципе правильным. Оно неявным образом предполагает, однако, что теория, на которой все основано, должна принадлежать тому же общему типу, как ньютонова механика: основными понятиями в ней должны служить массы и взаимодействия между ними. Между тем нетрудно видеть, что такая попытка решения не вяжется с духом теории поля»{210}.

Приведенные строки имеют первостепенное историческое значение. Характеристика принципа Маха связана с исторической трактовкой классической механики.

Во всех своих работах по общей теории относительности Эйнштейн критиковал теорию Ньютона с позиций иной теории, также исходящей из картины масс, движущихся в пространстве и взаимодействующих друг с другом. В своей «Автобиографии» он подходит к оценке ньютоновой механики с иной, более радикальной позиции.

Далее Эйнштейн указывает на другие существенные дефекты классической механики как основы физики с точки зрения «внутреннего совершенства» механики. Среди них существование независимых один от другого: 1) закона движения и 2) выражения для силы или же для потенциальной энергии. Закон движения в классической механике независим от законов поля. Он вместе с тем бессодержателен, если не заданы силы. Но выражение для силы выбирается с широким произволом, который особенно усугубляется требованием, чтобы силы зависели от положения тел, но не зависели от их скоростей. Это требование не вытекает сколько-нибудь однозначным образом из основ классической механики и отнюдь не является очевидным. Общность, однозначная связь с наименьшим числом исходных принципов, отсутствие произвола — эти критерии «внутреннего совершенства» заставляют отказать ньютоновой механике во внутренней простоте и естественности.

Произвольной для классической механики является и потенциальная функция 1/r, определяющая действие сил тяготения и сил электрического притяжения и отталкивания к точечной массе или точечному заряду, создающим соответствующие силовые поля. Эйнштейн связывает этот дефект классической механики с идеей дальнодействия. Потенциальная функция 1/r является центрально-симметричным решением инвариантного по отношению к вращениям дифференциального уравнения Δφ = 0. Потенциальная функция не будет произвольной, если она вытекает из некоторого закона, указывающего ее распределение в пространстве. Но такой закон не может быть исходным принципом ньютоновой механики. Он появился в качестве описания реальных процессов в физической среде под влиянием фактов и был направлен против дальнодействия.

Перечисленные дефекты классической механики, как и другие, указанные дальше в «Автобиографии» Эйнштейна, нарушают ее «внутреннее совершенство». Если для специальной теории относительности первостепенное значение имел другой критерий («внешнее оправдание»), то при дальнейшем расширении этой теории — переходе к общей теории относительности — важнейшую роль играл критерий «внутреннего совершенства» — простоты, естественности и однозначности. Для нас существенно выяснить действительный смысл этого критерия. Вглядевшись в него, можно отметить некоторую аналогию между собственно научным методом Эйнштейна и его историко-научным методом, сформулированным в «Автобиографии».

Если самым общим образом определить собственно научный метод Эйнштейна, то его можно назвать методом инвариантов. Теория относительности была великим торжеством этого метода, и дальнейшее развитие этой теории показало очень отчетливо роль инвариантно-аналитических представлений в ее внутренней структуре. Эйнштейн стремился выразить объективные закономерности природы с помощью величин, инвариантных по отношению к координатным преобразованиям.

Та же тенденция, обращенная в прошлое, лежит в основе оценки, данной Эйнштейном ньютоновой механике.

Простота теории — критерий ее истинности. Что собственно означает слово «простота»? Нетрудно видеть, что у Эйнштейна здесь нет ничего от старых критериев «простоты», с которой действует природа. Речь идет о том, что картина мира в своем развитии лишается антропоморфных представлений и выражает объективную действительность все более объективными методами, не зависящими, в частности, от методов измерения, инвариантными по отношению к выбору методов измерения и систем отсчета. К этому же сводится требование «естественности» и уже явным образом — требование об исключении произвола при получении выводов из исходных посылок.

Изложенная выше оценка классической механики, принадлежащая величайшему физику нашего столетия, данная с позиций современной науки, характеризует роль и значение классической механики как всеобщей физической теории. При этом остается в стороне вопрос о ее практической применимости. Теория, которая не в состоянии охватить вполне удовлетворительным образом все факты, может быть превосходным приближением к действительности в более узких пределах.

В таких пределах она может оставаться основой для понимания и расчета явлений и процессов. Не нужно доказывать, что это в полной мере относится к классической механике: достаточно сослаться на тот факт, что в течение столетий она фактически была основой всей физики. Создание теории относительности не отменило классическую механику, а показало, что ее применимость ограничена условием, чтобы скорости рассматриваемых тел были малы по сравнению со скоростью света. Появление квантовой механики показало, что классическая механика неприменима в микромире при изучении элементарных частиц современной физики. Но классическая механика остается превосходным приближением в огромной области явлений, более того, область ее применения продолжает расширяться.

Продолжается совершенствование аналитического аппарата классической механики, и она, сохраняя свои основы, продолжает обогащаться новыми методами и представлениями. Оказались несостоятельными стремления сделать классическую механику универсальной основой наук о природе, но соответствующее ограничение ее применимости позволило гораздо точнее, чем раньше, определить ту область, где она является надежной основой. И эта область охватывает огромное число технических процессов и явлений природы.

В заключение приведем следующие слова Эйнштейна о классической механике Ньютона: «Ньютон, прости меня! В твое время ты нашел тот единственный путь, который был пределом возможного для человека величайшего ума и творческой силы… Пусть никто не думает, что великое создание Ньютона может быть ниспровергнуто теорией относительности или какой-нибудь другой теорией. Ясные и широкие идеи Ньютона навечно сохранят свое значение фундамента, на котором построены наши современные физические представления»{211}.

IX. МЕХАНИКА В РОССИИ ВО ВТОРОЙ ПОЛОВИНЕ XIX-НАЧАЛЕ XX ВЕКА

ОБЩИЕ УСЛОВИЯ РАЗВИТИЯ МЕХАНИКИ

Во второй половине XIX — начале XX в. характер теоретической механики несколько изменился. Предыдущее поколение непосредственно примыкало к основателям аналитической механики, особенно к Эйлеру и Лагранжу Новое поколение механиков исходило из результатов, по лученных в первой половине века главным образом Гамильтоном, Остроградским и Якоби. Оно пользовалось гораздо более разветвленным математическим аппаратом, воспринимало новые физические идеи, связанные в первую очередь с законом сохранения энергии, и отражало в своих работах более сложные требования практики.

В целом развитие механики во второй половине XIX в. отличается еще большей дифференциацией и широтой размаха мысли, чем в предыдущий период. Теперь задачи механики все чаще приводят к созданию новых математических понятий и к проникновению в механику понятий, появившихся в физике; при этом в рамках классической механики возникают некоторые предпосылки релятивистских идей, принадлежащих нашему столетию.

В десятилетия, протекшие с середины XIX в. до Великой Октябрьской революции, русские ученые принимали деятельное участие в разработке многих актуальных проблем механики, а в решение некоторых из них внесли основной вклад.

В рассматриваемое время продолжались исследования по теории гидроскопа, восходящие к Эйлеру. Завершающим в известном смысле явилось открытие в 1888 г. С.В. Ковалевской нового случая вращения твердого тела вокруг неподвижной точки, породившее обширную литературу.

Гораздо более широкий размах и глубину получили работы по устойчивости равновесия и движения материальных систем. Английский ученый Э. Раус (1831—1907) в 1877 г. успешно применил к рассмотрению устойчивости движения метод малых колебаний, использованный еще Лагранжем в задаче об устойчивости равновесия. Вскоре результаты Рауса были далеко перекрыты фундаментальными исследованиями А.М. Ляпунова (1892). Несколько ранее с другой точки зрения подошел к задаче об устойчивости движения Н.Е. Жуковский (1882). Постановка задачи об устойчивости движения и строгие методы ее решения, предложенные Ляпуновым, приобрели затем большое значение и в технике. Во Франции в 80-е и 90-е годы той же проблематикой успешно занимался А. Пуанкаре (1854—1912).

Теория малых колебаний находила все более и более важные приложения в технике. В этой связи упомянем пока лишь работы по динамике процессов регулирования И.А. Вышнеградского (1877 г. и позднее) и широко известные труды А.Н. Крылова по качке корабля и другим техническим вопросам.

В самом конце XIX в. И.В. Мещерский положил начало новому направлению в механике переменных масс, все значение которого выявилось уже в наше время — в эпоху развитого ракетостроения, искусственных спутников и космических кораблей. Созданная Мещерским динамика переменной массы лежит в основе современной теории реактивного движения. В это же время, на рубеже XIX—XX вв., замечательный вклад в теорию ракет внес К.Э. Циолковский. Крупные и разнообразные изыскания проведены были по механике жидкостей и газов. Так, было продолжено изучение задачи об обтекании твердого тела (Г. Кирхгоф, Д. Ж. Рэлей, Д.К. Бобылев, Н.Е. Жуковский, В.А. Стеклов и др.) и задачи Дж. Стокса о движении твердого тела, содержащего внутри жидкие массы (Гельмгольц, Нейман, Жуковский, Стеклов); рассмотрено явление гидравлического удара (Жуковский); создана гидродинамическая теория смазки (Петров, Рейнольдс). Решающую роль в дальнейшем развитии аэродинамики сыграла разработка учения о вихревых движениях (Гельмгольц и др.)» широко развитого и использованного рядом русских ученых. Н.Е. Жуковский и С.А. Чаплыгин получили первые фундаментальные результаты в изучении подъемной силы крыла для случая идеальной жидкости, результаты, которые легли в основу авиационной науки. Эти же два ученых явились создателями крупнейшей советской школы аэродинамики и газовой динамики.

Большой цикл работ был посвящен фигурам равновесия вращающейся жидкости и вопросу их устойчивости — проблемам, которые изучали еще Клеро и другие ученые XVIII в. В рассматриваемое время ими занимались А. Пуанкаре и А.М. Ляпунов, причем последний получил наиболее полные и точные результаты. Мы бегло очертили только некоторые основные направления развития механических наук, оставив пока в стороне замечательные работы по теории упругости и ее приложениям, по баллистике и другие, к которым еще вернемся.

Эволюция механики во второй половине XIX в. отражала происшедшие в это время и несколько ранее сдвиги в производстве. Новые исследования в теории упругости и сопротивления материалов были вызваны интенсивным строительством мостов, железных дорог и развитием машиностроения. Конструирование и распространение все более сложных механизмов и машин создало возможность развития новых методов экспериментальной и прикладной механики. Важные механические задачи встали при строительстве военного и торгового флота.

В начале XX в. бурный рост исследований по аэродинамике был обусловлен развитием авиации и выдвинутых ею проблем физического, расчетного и конструкторского характера. Изучение процессов, происходящих при движении со звуковыми и сверхзвуковыми скоростями, диктовалось ростом дальности артиллерийской стрельбы. Возникновение газовой динамики также связано с баллистикой, хотя расцвет этой науки падает уже на наше время и вызван в первую очередь тем, что скорости реактивных самолетов стали превышать скорость звука в воздухе. Вместе с тем выдвинутые в процессе развития науки новые глубокие, граничащие с физикой и астрономией проблемы механики потребовали дальнейшей разработки как принципиальных основ этой науки, так и методов математического исследования.

Во второй половине XIX в. механика, весьма разнообразная по своей проблематике, более или менее отчетливо разделяется на теоретическую и прикладную. Теоретическая механика разрабатывалась в России главным образом на университетских кафедрах прикладной математики и в Академии наук, прикладная (техническая) механика — преимущественно в высших технических учебных заведениях и меньше в университетах. Что касается принципиальных положений механики и основных ее понятий, то они рассматривались только спорадически, и важнейшие работы по этим вопросам принадлежат физикам.

Расширение круга конкретных задач потребовало прежде всего разработки математического аппарата. Не случайно поэтому проблемы общей механики разрабатывались именно на кафедрах прикладной математики. Многие проблемы механики, после того как было осмыслено их физическое содержание, стали задачами чисто математическими. Не удивительно, что им уделяли внимание математики, однако специфика задач механики подчас их интересовала мало. Во многих случаях проблемы механики явились лишь толчком к разработке новых и углублению старых математических методов. Этим и объясняется то, что в рассматриваемый период, когда речь идет о решении частных задач, трудно указать грань между математикой и механикой.

Таким образом, исследования в области механических наук развивались под воздействием: 1) запросов практики и техники, 2) внутренней логики развития механики, 3) влияния научных школ и традиций на кафедрах, 4) запросов смежных наук.

Удельный вес указанных факторов в конкретном развитии, постановке и решении каждой отдельной проблемы был различным. Однако если рассматривать механику как науку о некоторых явлениях (т. е. оставив вне поля зрения техническую механику, которая применяет результаты механики к конкретным задачам техники), то можно отметить вполне закономерную тенденцию.

Начальная стадия развития механики, точно так же как и других наук о природе, была связана прежде всего с конкретной технической (в широком смысле слова) проблематикой, определявшейся данными историческими условиями. В дальнейшем направление и характер этого процесса стали зависеть не только от запросов техники, но и от внутренней логики развития науки, обусловленной самим предметом познания и спецификой применяемых методов исследования. В этот единый, внутренне связанный процесс развития механики ученые отдельных стран в зависимости от уровня развития этой науки в той или иной стране вносили тот или иной вклад.

Чтобы понять процесс развития механики в России, необходимо рассмотреть его в этом общем потоке мирового развития.

При всей специфичности русских условий русские механики работали не изолированно, а в неразрывной связи с мировой наукой.

В течение всего XIX в. международные связи русских ученых, работавших в области теоретической и прикладной механики, были весьма разнообразны. Это были личные контакты, осуществлявшиеся при поездках М.В. Остроградского во Францию или научных командировках П.Л. Чебышева, Н.П. Петрова и других во Францию, Англию, Германию, профессорская деятельность С.В. Ковалевской в Стокгольме, участие Н.Е. Жуковского и А.М. Ляпунова в международных съездах, участие А.Н. Крылова в работах Английского общества инженеров-судостроителей, а также переписка русских ученых со многими учеными Западной Европы.

Ученые России принимали участие в международных дискуссиях по спорным проблемам. Упомянем дискуссию последователей И.А. Вышнеградского с французским ученым Лекорню по вопросам автоматического регулирования, дискуссию А.М. Ляпунова и Дж. Дарвина, закончившуюся победой первого, выяснение основ аэродинамики Н.Е. Жуковским совместно с Л. Прандтлем, Т. Карманом и т. д.

Иностранные ученые высоко ценили многие работы русских механиков. Укажем хотя бы на премию, присужденную Французской академией наук С.В. Ковалевской за работу о вращении твердого тела, оценку трудов А.М. Ляпунова о фигурах равновесия вращающейся жидкости, данную А. Пуанкаре и Дж. Джинсом, исключительно высокую оценку гидродинамиками всего мира работ Н.П. Петрова по гидродинамической теории смазки (данную А. Зоммерфельдом), награждение Английским обществом судостроителей золотой медалью А.Н. Крылова за его основополагающие исследования по теории корабля. Нередко, однако, работы русских ученых оставались либо вовсе неизвестными, либо малоизвестными на Западе, а это порой приводило к повторному открытию западноевропейскими учеными того, что уже было найдено в России. Так было с рядом работ Остроградского, с исследованиями Циолковского, Мещерского и некоторыми другими.

Быстро развивавшаяся в России механика, уверенно завоевавшая почетное место в мировой науке, сталкивалась с серьезными препятствиями. Царское правительство и его учреждения крайне скупо субсидировали научно-исследовательские работы, тормозя тем самым в первую очередь развитие экспериментальных исследований. Не случайно поэтому экспериментальные исследования выполнялись главным образом на средства частных лиц или обществ. П.Л. Чебышев тратил собственные средства на то, чтобы конструировать механизмы, Н.Е. Жуковский проводил многие опыты в Московском техническом училище на свои личные средства и на средства Общества содействия успехам опытных наук и их практических применений им. X. С. Леденцова. Некоторые лаборатории по аэродинамике были созданы благодаря материальной поддержке отдельных частных лиц и общественных научных организаций.

Положительное влияние на развитие механики в России оказала деятельность научных обществ, возникших в рассматриваемый период в университетских городах: Московское и другие математические общества, общества естествоиспытателей, Русское техническое общество, всероссийские съезды естествоиспытателей и врачей и другие способствовали коллективному обсуждению вопросов.

Промышленность и транспорт во второй половине XIX в. настоятельно нуждались в руководителях и инженерах высокой квалификации. Это способствовало росту специального технического и университетского образования. В конце XIX в. в России было 11 высших технических учебных заведений, в которых обучалось 5500 студентов; военных инженеров готовили в основанных в 1855 г. Артиллерийской и Инженерной академиях. В первой половине XIX в. в России было всего три специальных высших технических учебных заведения. В результате развития высшего технического и университетского образования возросло число лиц, занимающихся научно-педагогической деятельностью в области естественных и технических наук, а также объем исследовательских работ, в частности в области механики. Появлялись новые журналы, формировались отдельные школы, обеспечившие внутреннюю преемственность в развитии идей и проблематики.

Эти общие черты развития механики во второй половине XIX — начале XX в. создали необходимые условия для дальнейшего улучшения постановки преподавания механики в высших учебных заведениях России.

МЕХАНИКА В ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ

С 30-х годов XIX в. начал быстро повышаться уровень преподавания механики в Московском университете, стала вестись исследовательская работа. В Петербургском университете курс механики с 1819 по 1846 г. читал профессор Д.С. Чижов (1785—1853), лекции которого не отличались ни глубиной, ни яркостью. Не лучше было поставлено и преподавание математики. Положение дел на физико-математическом факультете резко изменилось с приходом в Петербургский университет И.И. Сомова и несколько позднее — В.Я. Буняковского (1804—1889) и П.Л. Чебышева.

Иосиф Иванович Сомов (1815—1876) учился в московской гимназии, а затем поступил на физико-математический факультет Московского университета, который окончил в 1835 г. В студенческие годы Сомов начал подготовку кандидатской работы «Теория определенных алгебраических уравнений высших степеней», которая была издана в Москве в 1838 г. С 1839 г. началась педагогическая деятельность Сомова. После защиты в Москве магистерской диссертации «Об интегралах алгебраических иррациональных дифференциалов с одной переменной» (1841) он был приглашен в Петербургский университет, где в течение 35 лет вел различные математические и механико-математические курсы. В 1847 г. Сомов защитил в Петербургском университете докторскую диссертацию «Аналитическая теория волнообразного движения эфира» и был утвержден в звании профессора прикладной математики.

За эту работу ему была присуждена Демидовская премия Академии наук, которую он получил также ранее за упомянутую монографию по алгебре. Демидовской премии удостоено было и его сочинение «Основания теории эллиптических функций» (1851).

Избранный в 1862 г., после смерти Остроградского, на место последнего в число ординарных академиков, Сомов опубликовал в изданиях Академии наук большое число мемуаров, главным образом по теоретической механике.

В своем творчестве И.И. Сомов последовательно переходил от математики к проблемам теоретической механики и обратно, применял результаты, полученные в области аналитической механики, к собственно математическим проблемам. Целый ряд его работ, опубликованных в 60-е годы в «Записках» Академии наук, в равной мере интересен для механики и для дифференциальной геометрии. Это статьи «Об ускорениях различных порядков» (1864), «Прямой способ для выражения дифференциальных параметров первого и второго порядка и кривизны поверхности в каких-либо координатах ортогональных или косоугольных» (1865) и некоторые другие. В геометрию и механику Сомов успешно вводил приемы векторного исчисления. Применяя к проблемам механики результаты своих исследований по теории эллиптических функций, Сомов провел до конца все вычисления в задаче о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки в рассмотренных ранее случаях. Сомову принадлежат ценные результаты в теории малых колебаний системы около положения устойчивого равновесия. Изучая этот вопрос в статье «Об алгебраическом уравнении, с помощью которого определяются малые колебания материальных точек» (1859), он исправил ошибку, допущенную ранее Даламбером и Лагранжем.

Стержневая идея научного творчества Сомова — объединение чистой математики и проблем теоретической механики — была центральной и в его педагогической деятельности. Он говорил, что «для современного преподавания нужно устранить навсегда разделение науки на математику чистую и математику прикладную». Эта идея Сомова получила воплощение в его курсе «Рациональной механики» (СПб., 1872—1874), в предисловии к которому и содержатся приведенные слова.

В учебнике Сомова впервые в нашей литературе проведено общепринятое теперь разделение механики последовательно на кинематику, статику и динамику (ранее механику делили на две части: статику и динамику). Выделение кинематики имело большое значение для развития теории механизмов. В курсе Сомова подробно рассмотрен метод криволинейных координат, притяжение эллипсоидом внутренней и внешней точки и т. д. В 1878 г. это руководство появилось в немецком переводе.

Второй большой «Курс аналитической механики» (т. 1—2. СПб., 1880—1884), также вышедший из стен Петербургского университета, принадлежит Дмитрию Константиновичу Бобылеву (1842—1917), обучавшемуся в Михайловской артиллерийской академии. В 1876 г. Бобылев был приглашен доцентом механики в Петербургский университет; два года спустя, после защиты докторской диссертации по электростатике, его утвердили в звании профессора. С 1878 г. он преподавал механику также и в Институте инженеров путей сообщения. В 1896 г. научные заслуги Бобылева были отмечены избранием его в члены-корреспонденты Академии наук. Из оригинальных работ Бобылева особенно интересны исследования по гидродинамике. Он рассмотрел гидродинамическое давление жидкости (1873), дал с помощью метода Кирхгофа решение «задачи Бобылева» о давлении струйного потока на стенки обтекаемого клина (1881); ему принадлежит оригинальная формулировка теоремы живых сил для вязкой жидкости и обобщение теоремы Кориолиса на случай подвижной среды. Д.К. Бобылев был талантливым педагогом. Среди многих выдающихся механиков и инженеров, им воспитанных, особенно выделяются А.М. Ляпунов, И.В. Мещерский и Г.К. Суслов.

Курс практической механики с 1866 г. в Петербургском университете читал М.Ф. Окатов (1829—1901), окончивший в 1848 г. Московский университет. Магистерская диссертация Окатова, защищенная в 1865 г. в Москве, была посвящена аналитической теории равновесия различных механических систем, докторская (1867), как и большинство его последующих работ, — теории упругости.

В Московском университете, после выхода в 1864 г. в отставку Брашмана курс теоретической механики недолго читал В.Я. Цингер (1836—1907), а с 1866 г. Ф.А. Слудский (1841—1897). Слудский окончил университет в 1860 г. и был оставлен при кафедре астрономии. В 1865 г. он представил две докторские диссертации: одну по астрономии и другую — «О равновесии и движении жидкости при взаимодействии ее частиц». Лекции по теоретической механике Слудский вел в течение 20 лет — до 1886 г. На этих лекциях сказалось влияние Остроградского, Брашмана и Сомова. В предисловии к своему «Курсу теоретической механики» (М., 1881) Слудскийсам подчеркивал, что, высоко ценя аналитический метод изложения, он следовал в преподавании примерам Остроградского и Брашмана. Впрочем, Слудский вводил и чисто геометрические представления, признавая некоторую ограниченность аналитического метода.

Курс практической механики в Московском университете вел с 1874 г. ученик Брашмана и Давыдова профессор Ф.Е. Орлов (1843—1892). В свою очередь учеником Слудского и Орлова был Н.Е. Жуковский, сменивший Слудского на кафедре теоретической механики в 1886 г.

Воспитанники Московского и Петербургского университетов работали в других высших учебных заведениях России. Наиболее выдающимися механиками Киевского университета, открытого в 1835 г., были И.И. Рахманинов, Г.К. Суслов и П.В. Воронец. И. И Рахманинову принадлежит курс «Основания теоретической динамики», опубликованный в 1872—1873 гг.

Большой курс теоретической механики был написан Г.К. Сусловым (1857—1935). По окончании Петербургского университета Суслов был оставлен при университете для подготовки к профессорской деятельности. В 1888 г., после защиты магистерской диссертации «Об уравнениях с частными производными для несвободного движения», Суслов был избран экстраординарным профессором механики Киевского университета. В 1891 г. он защитил при Московском университете докторскую диссертацию «О силовой функции, допускающей данные частные интегралы». В этой работе Суслов изучал так называемую прямую задачу динамики — определение сил по заданным свойствам движения. В работе Суслова дается общий прием решения этой задачи для систем с произвольным числом степеней свободы при условии, что заданные силы обладают силовой функцией. П.В. Воронец (1871—1922), развивая идеи Чаплыгина, дал обобщенное дифференциальное уравнение движения неголономных систем.

В Киеве же работал с 1858 г. на кафедре физики М.И. Талызин (родился в 1819 г. — год смерти неизвестен), в 1840 г. окончивший Петербургский университет. Темой магистерской диссертации его была теория приливов и отливов (1843); ему принадлежат также исследования по общим принципам механики.

В Харьковском университете преподавание механики началось только в 1807 г., причем согласно уставу 1804 г., руководство всеми разделами механики выполнялось кафедрой прикладной математики; этим объясняется тот факт, что из всех русских университетских кафедр механики кафедра Харьковского университета была наиболее математической. В рассматриваемый период механику здесь читали И.Д. Соколов и воспитанник Казанского университета В.Г. Имшенецкий (1832—1892). Основная работа Имшенецкого по механике посвящена задаче Ж. Бертрана (1822—1900), которую он решил до конца в статье «Определение силы, движущей по коническому сечению материальную точку, в функции ее координат» (1879). В 1882 г. Имшенецкий был избран академиком и переехал в Петербург. Возглавлявшаяся им кафедра теоретической механики была замещена лишь в 1885 г. А.М. Ляпуновым. В 1902 г. Ляпунова сменил его ученик по Харьковскому университету В.А. Стеклов.

В Казанском университете лекции по теоретической механике долгое время читал Николай Иванович Лобачевский (1792—1856). В 1885 г. созданную в то время кафедру прикладной математики занял профессор П.И. Котельников (1809—1879), который начал читать лекции по аналитической механике и статике. С 1879 по 1889 г. преподавание теоретической механики в Казанском университете вел ученик Слудского И.С. Громека (1851—1889), работа которого «Некоторые случаи движения несжимаемой жидкости» (1881) содержит новую форму уравнений гидродинамики, выраженных через компоненты вихря. С 1889 по 1893 г. теоретическую механику преподавал Г.Н. Шебуев — горячий сторонник векторного изложения, а с 1892/1893 учебного года — Д.Н. Зейлигер и А.П. Котельников.

Если в университетах основное внимание обращалось на проблемы теоретической механики, то в научной работе, проводившейся в технических учебных заведениях, нашли отражение вопросы промышленной, а также военной техники.

В Московском техническом училище многие годы исключительно плодотворно работал Н.Е. Жуковский. В Петербургской артиллерийской академии исследованиями по баллистике занимался профессор Н.В. Маиевский, окончивший в 1843 г. Московский университет. Основная работа Маиевского относится к изучению законов движения вращающихся продолговатых снарядов. В той же Артиллерийской академии и в Петербургском технологическом институте работал профессор И.А. Вышнеградский, много сделавший для развития технического обучения в России. Ему, как уже говорилось, принадлежит ряд работ по теории автоматического регулирования. С Военно-морской академией связаны работы замечательного механика, судостроителя и математика А.Н. Крылова. В Петербургском и Киевском политехнических институтах работал крупный специалист по теории упругости и сопротивлению материалов С.П. Тимошенко, в 1900 г. окончивший Петербургский университет.

После этого краткого обзора состояния преподавания механики в высшей школе перейдем к рассмотрению важнейших достижений русских ученых в области теоретической и прикладной механики.

ТЕОРИЯ МЕХАНИЗМОВ

В рассматриваемый период в России было положено начало теории одного из важнейших отделов прикладной механики — теории механизмов. Это было сделано в середине XIX в. П.Л. Чебышевым. В области математики ему принадлежат основополагающие результаты по теории чисел, теории вероятностей, интегрированию иррациональных функций и созданию новой теории наилучшего приближения функций. К этой теории Чебышев пришел, отправляясь от некоторых практических задач теории механизмов. Для механика имя Чебышева связано прежде всего с его работами в этом направлении и в меньшей степени — с работами по баллистике.

Пафнутий Львович Чебышев (1821—1894) родился в с. Окатове Калужской губернии, учился дома, а затем поступил в Московский университет, где слушал лекции Н.Д. Брашмана, привлекшего талантливого студента к самостоятельной научной работе. В 1841 г. Чебышев окончил университет, через два года вышла в свет его первая научная работа, а в 1845 г. он защитил магистерскую диссертацию по теории вероятностей. С 1847 г. Чебышев начал читать лекции в Петербургском университете. Здесь он сблизился с В.Я. Буняковским и знакомым ему ранее И.И. Сомовым. Им троим (и более всего Чебышеву) обязаны своим расцветом математические науки в Петербургском университете. В университете Чебышев работал 35 лет, до 1882 г., и воспитал здесь/ плеяду замечательных учеников, составивших ядро знаменитой Петербургской математической школы.

Вскоре после приезда в Петербург Чебышев защитил докторскую диссертацию — «Теория сравнения» (1849). После этого в «Записках Академии наук» и других журналах стали регулярно появляться статьи Чебышева, которые быстро принесли ему широкую известность. В 1853 г. он был избран членом Петербургской академии наук, затем иностранным членом Берлинской и Парижской академий (первый из русских после Петра I), Лондонского королевского общества и т. д.

Чебышев не ограничивался интенсивной деятельностью в Академии наук и университете. Он много лет активно работал в Артиллерийском отделении Военно-ученого комитета и в Ученом комитете министерства народного просвещения. Научное творчество он не прекращал почти до самой смерти.

Для творчества Чебышева характерно органическое сочетание прикладных и собственно теоретических интересов. Как отмечал В.А. Стеклов, большой интерес к вопросам практики иногда приводил в удивление лиц, знавших Чебышева как ученого, работавшего в области отвлеченного знания: теории вероятностей, интегрирования функций, теории чисел. Но это обстоятельство получает естественное объяснение, если вникнуть в основы тех руководящих идей, которые служили первоисточником открытий Чебышева. Сам Чебышев писал: «Сближение теории с практикой дает самые благотворные результаты, и не одна только практика от этого выигрывает; сами науки развиваются под влиянием ее, она открывает им новые предметы для исследования или новые стороны в предметах, давно известных».{212}

В XIX в. в связи с ростом промышленности в странах Западной Европы и в России возникли новые проблемы в области конструирования и усовершенствования машин. Частично эти проблемы решались опытным путем, упорными многократными поисками, нащупыванием лучших технических решений. Однако уже сама широта поставленных задач в связи с возникновением новых областей техники требовала теоретических обобщений. Появилась потребность в разработке общих методов проектирования отдельных механизмов и узлов, превращающих движение одного вида в движение другого вида, в совершенствовании известных и создании новых шарнирных механизмов, а также способов конструирования направляющих механизмов разного типа.

ПАФНУТИЙ ЛЬВОВИЧ ЧЕБЫШЕВ (1821-1894)

Русский математик и механик. Ему принадлежат классические открытия в теории чисел, теории вероятностей, в теории механизмов. Для всей его научной деятельности характерно стремление тесно связать решение математических проблем с принципиальными вопросами естествознания и техники. П.Л. Чебышев является основателем Петербургской математической школы 

Именно с успехами в технике было непосредственно связано появление в России во второй половине XIX в. фундаментальных работ по теории механизмов, и прежде всего работ П.Л. Чебышева. Интерес к этому кругу проблем Чебышев вынес еще из Московского университета под влиянием Брашмана и отчасти Ершова. Чебышев неустанно знакомился с различными производствами, беседовал с виднейшими инженерами и подбирал материал для курса практической механики, который читал в университете, а также в Александровском лицее.

Чебышев был непревзойденным мастером решения конкретных задач и выполнял их с исключительной ясностью и строгостью. Он искал — и находил — не только общее решение вопроса, но и указывал эффективные практические методы его выполнения. Свои результаты он доводил до числа, проводил конкретные числовые расчеты, и, если требовалось, составлял таблицы.

Чебышев понимал, что внедрение машин в русскую технику, которая в то время значительно отставала от западной, имеет огромное значение. Именно поэтому он с особым интересом изучал паровые двигатели, турбины и т. п. Из программы его курса практической механики в Петербургском университете видно, что его особенно интересовали теория зубчатых передач, динамика машин, удары в частях механизмов и т. д.

В качестве объекта научного исследования Чебышев выбрал одну из труднейших задач теории механизмов, проблему синтеза механизмов, т. е. построения механизмов, выполняющих заданное движение, — задачу, решение которой не может считаться законченным и в настоящее время. В этой области он взял самую сложную и почти не изученную в то время проблему синтеза шарнирных механизмов. П.Л. Чебышев создал новую школу синтеза механизмов. Работы его в этой области далеко опередили свое время и сохранили важное значение до сих пор. В этих работах блестяще проявилась особенность научного гения Чебышева, состоявшая в умении сочетать самые отвлеченные области математического анализа с рассмотрением непосредственно технических задач. Именно так возник в теории механизмов метрический синтез по Чебышеву.

Из пятнадцати исследований Чебышева по теории механизмов большая часть посвящена вопросам синтеза механизмов. Общая его идея была такова. Если некоторый механизм удовлетворяет заданным условиям в точности лишь приближенно, то следует подобрать его звенья так, чтобы наибольшая получающаяся погрешность была наименьшей из всех, какие возможны для механизма данного типа. Руководствуясь этой идеей и отправляясь от свойств так называемого параллелограмма Уатта, применяемого в паровых машинах для преобразования прямолинейного движения поршня во вращательное движение вала, Чебышев создал новую отрасль математического анализа — теорию наилучшего приближения функций (или теорию функций, наименее отклоняющихся от нуля).

В исследовании «Теория механизмов, известных под названием параллелограммов» (1853) Чебышев дал рациональные основания для определения размеров прямолинейно-направляющих механизмов, которые в течение 75 лет, начиная с Уатта, подбирались инженерами эмпирически.

Кроме направляющих механизмов Чебышев синтезировал и построил ряд других. Наиболее интересные из них: механизм для превращения вращательного движения кривошипа в колебательное движение коромысла с двумя качаниями за один оборот кривошипа; кулисный механизм паровой машины; механизм для измерения кривизны; механизм сортировочной машины для зерна; механизм самокатного кресла и велосипеда; гребной механизм лодки и т. д. Очень остроумен механизм, известный под названием «стопоходящей машины», которая имитирует движение лошади.

Среди построенных Чебышевым механизмов выделяется так называемый парадоксальный механизм, состоящий из шести звеньев, соединенных шарнирами. Как показал Чебышев, можно подобрать такие размеры звеньев, что если ведущему звену давать вращение по часовой стрелке, то ведомое звено будет делать два оборота, а если вращать ведущее звено против часовой стрелки, то ведомое звено будет делать четыре оборота.

Изучая те части траекторий, описываемых различными точками шатуна, которые мало отличаются от окружностей, и присоединяя дополнительные звенья, Чебышев создал механизмы с остановками, у которых отдельные звенья на некоторое время останавливаются, хотя ведущее звено продолжает вращаться.

Таков краткий и далеко не полный перечень работ Чебышева по синтезу механизмов.

В 1870 г. в работе «О параллелограммах» Чебышев исследовал ту же проблему и впервые дал так называемую структурную формулу механизмов.

Добавим к этому, что Чебышев построил новый арифмометр с непрерывным движением.

В некрологе, посвященном П.Л. Чебышеву, А.М. Ляпунов писал: «Гениальные идеи, рассеянные в трудах П.Л. Чебышева, без сомнения, не только не исчерпаны во всех своих выводах, но могут принести надлежащие плоды лишь в будущем, и тогда только явится возможность получить правильное представление о великом значении ученого, которого лишилась недавно наука»{213}.

Идеи П.Л. Чебышева действительно могли быть оценены в свете дальнейшего их развития. Такое развитие происходило во всех научных центрах мира, и особенно в России. Мы не будем здесь останавливаться на истории теории механизмов в России в последней четверти XIX— начале XX в., а отметим только немногие работы.

Интересный цикл исследований в этом направлении был проведен в Новороссийском (ныне Одесском) университете, основанном в 1865 г. Ряд книг и статей по кинематике систем с приложениями к техническим задачам опубликовал профессор механики В.Н. Лигин (1846—1900). Ученик Лигина доцент X. И. Гохман дал в «Кинематике машин» (Одесса, 1890) классификацию кинематических пар по степеням свободы и разделение механизмов на шесть разрядов в зависимости от числа возможных движений. Сохранила интерес и несколько более ранняя работа Гохмана «Теория зацеплений, обобщенная и развитая путем анализа» (Одесса, 1886). В Одесском же университете защитил магистерскую диссертацию «Передача вращения и механические черчения кривых шарнирно-рычажными механизмами» (1894) воспитанник Московского университета Н.Б. Делоне (1856—1931), с 1906 г. занимавший кафедру механики в Киевском политехническом институте. Для более широкой популяризации работ Чебышева по шарнирным механизмам за рубежом Делоне в 1900 г. издал в Лейпциге на немецком языке книгу «Работы Чебышева по теории шарнирных механизмов».

Особые заслуги в теории механизмов принадлежат Ивану Алексеевичу Вышнеградскому (1831—1895), ученику Остроградского по Главному педагогическому институту в Петербурге, физико-математическое отделение которого он окончил в 1851 г. После защиты магистерской диссертации «О движении системы материальных точек, определяемой полными дифференциальными уравнениями» (1854) Вышнеградский преподавал математику и прикладную механику в Артиллерийской академии, а затем начал работать и в Петербургском технологическом институте. Помимо названных курсов он читал и другие, теорию упругости, термодинамику, различные части машиностроения и т. д. В 1862 г. он был утвержден профессором механики, в 1888 г. избран почетным членом Академии наук.

Вышнеградский был выдающимся инженером-конструктором и теоретиком. Главным вкладом его в науку явилось создание теории автоматического регулирования, основания которой он изложил в двух сочинениях — «О регуляторах прямого действия» (1877) и «О регуляторах непрямого действия» (1878). Свои открытия Вышнеградский тогда же опубликовал во французских и немецких журналах.

Введенные Вышнеградским понятия и методы получили широкое применение в современной теории регулирования, приобретающей все большее и большее значение в самых различных областях производства. Имя Вышнеградского носит, например, критерий устойчивости системы регулирования.

В 1909 г. было опубликовано исследование Н.Е. Жуковского «Сведение динамических задач о кинематической цепи к задачам о рычаге». Она заключает в себе теорему, имеющую глубокое принципиальное значение. Сущность этой теоремы состоит в том, что вопрос о равновесии механизма, т. е. системы тел, сводится к более простой задаче равновесия одного твердого тела, вращающегося вокруг данного центра. Метод Жуковского давал возможность решить общую задачу динамики механизмов (для механизмов с одной степенью свободы), состоящую в определении движения механизмов под действием заданных сил, т. е. позволял произвести кинетостатическии расчет механизма с учетом сил инерции.

В 1914—1917 гг. появились работы профессора Петербургского политехнического института Л.В. Ассура (1878—1920), давшего новую общую систему классификации плоских кинетических цепей, на которой основывается методика исследования плоских механизмов, причем каждому классу соответствует свой метод анализа. Классификация Ассура и ряд введенных им понятий («точки Ассура» и др.) играют важную роль в современной теории механизмов и машин.

ЗАДАЧА О ВРАЩЕНИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ

Проблема вращения твердого тела — характерный пример тех механико-математических проблем, которые стояли в центре теоретической механики во второй половине XIX в. Начиная с С.В. Ковалевской (1850—1891), русские ученые вносят крупный вклад в решение этой проблемы. Факты богатой событиями биографии Ковалевской и оценку ее математических работ можно почерпнуть из весьма обширной литературы. Мы остановимся лишь на главных вехах ее жизни.

С 1868 г. С.В. Ковалевская, жившая до того в Москве, вступила в брак с В.О. Ковалевским (впоследствии знаменитым палеонтологом) и уехала с ним в Петербург, где обратилась к П.Л. Чебышеву с просьбой разрешить ей слушать его лекции в университете. Но в силу законов того времени она, будучи женщиной, не могла быть допущена на эти лекции. В 1869 г. Ковалевские уехали за границу. Здесь Ковалевская систематически изучала математику и физику, посещая в Гейдельбергском университете лекции крупнейших ученых того времени. Через два года она переехала в Берлин, где преподавал Карл Вейерштрасс (1815—1897).

СОФЬЯ ВАСИЛЬЕВНА КОВАЛЕВСКАЯ (1850-1891)

Русский математик и механик, первая в мире женщина-профессор, член-корреспондент Петербургской академии наук. Ей принадлежат фундаментальные работы по теории дифференциальных уравнений и по механике. С.В. Ковалевская внесла крупный вклад в решение задачи твердого тела 

В Берлинский университет женщин тогда тоже не допускали, и Вейерштрасс начал заниматься с Ковалевской частным образом.

Вейерштрасс был очень высокого мнения о математическом даровании своей ученицы. «Что же вообще касается уровня математического образования г-жи Ковалевской, — писал он геттингенскому математику Л. Фуксу в письме от 27 июня 1874 г., — то я могу с уверенностью сказать, что у меня было очень мало учеников, которые могли бы сравниться с ней в том, что касается ее способностей, суждений, прилежания и любви к науке»{214}.

Ковалевская становится любимой ученицей Вейерштрасса. Он не только повторяет ей одной лекции, читаемые им в университете, но знакомит ее также со своими неопубликованными работами и обсуждает животрепещущие научные проблемы.

В 1874 г. Геттингенский университет заочно присуждает С.В. Ковалевской ученую степень доктора философии. В качестве докторской диссертации Ковалевская представила три работы, из которых особенно замечательна работа «К теории уравнений в частных производных». Здесь была доказана классическая теорема существования голоморфного решения системы дифференциальных уравнений в частных производных нормального вида. В современных курсах математического анализа эта теорема называется ее именем.

В 1874 г. С.В. Ковалевская возвратилась в Россию. Начался самый тяжелый период ее жизни. Ковалевская, уже признанный за границей математик, хотела приложить свои знания на родине, но в царской России женщина не могла получить кафедру в университете.

В конце 1879 г. П.Л. Чебышев предложил Ковалевской сделать сообщение о ее математических работах на VI съезде русских естествоиспытателей в Петербурге. В том же году Ковалевские переехали в Москву. Софья Васильевна решила сдать в Московском университете магистерские экзамены, но не была к ним допущена.

В 1881 г. Ковалевская снова у Вейерштрасса, полная творческого энтузиазма и страстного желания подготовить как можно больше математических работ. В течение двух лет она занимается проблемой света в кристаллах.

В августе 1883 г. Ковалевская делает доклад на VII съезде русских естествоиспытателей о преломлении света в кристаллах. На этом съезде она познакомилась с Н.Е. Жуковским.

В ноябре 1883 г. профессор Стокгольмского университета выдающийся математик Г. Миттаг-Леффлер (1846—1927) предложил Софье Васильевне место доцента. Она согласилась и переехала в Стокгольм. В 1884 г. Ковалевская стала профессором в том же университете. За восемь лет своей работы в Стокгольме Софья Васильевна прочитала двенадцать курсов по различным разделам математики и механики. В Швеции она пользовалась большой популярностью не только как выдающийся математик, но и как незаурядная писательница.

В 1888 г. С.В. Ковалевская написала свою знаменитую работу «Задача о вращении твердого тела около неподвижной точки». Выше уже говорилось об истории этой задачи. Еще в 1758 г. Эйлер рассмотрел случай движения твердого тела вокруг неподвижной точки (полюса), когда центр тяжести совпадает с полюсом, а все силы сводятся к равнодействующей, проходящей через эту неподвижную точку. Л. Пуансо (1777—1859) в 1834 г. дал геометрическую интерпретацию этого случая. В 1788 г. Лагранж (и независимо от него в 1815 г. Пуассон) рассмотрел случай, когда тело имеет ось симметрии, проходящую через неподвижную точку, и движется под действием только силы тяжести, точка приложения которой лежит на оси симметрии и не совпадает с полюсом. Обе задачи сводятся в общем случае к квадратурам, и решения выражаются через эллиптические функции. Все вычисления были выполнены до конца И.И. Сомовым в 1851 г.

После исследований Эйлера, Лагранжа и Пуассона проблема движения тела вокруг неподвижной точки длительное время не получала дальнейшего развития. Ввиду важности этой проблемы французская Академия наук назначила премии за какое-либо существенное продвижение в исследовании задачи. Два проведенных конкурса не дали результатов. В 1888 г. конкурс был объявлен в третий раз. Из пятнадцати представленных работ получила премию работа С.В. Ковалевской, имевшая девиз: «Говори, что знаешь; делай, что обязан; будь, чему быть». Конкурсная комиссия, в состав которой входили крупнейшие ученые, увеличила премию с 3000 до 5000 франков, так как, по заключению комиссии, работа Ковалевской является «замечательным трудом, который содержит открытие нового случая …автор не удовольствовался прибавлением результата к тем решениям, какие перешли к нам по этому предмету от Эйлера и Лагранжа, а сделал из своего открытия углубленное исследование с применением всех возможностей современной теории функций»{215}.

В начале своей работы Ковалевская ставит вопрос: не существует ли кроме случаев, рассмотренных Эйлером и Лагранжем, еще других случаев движения твердого тела вокруг неподвижной оси, которые могли бы быть выражены при помощи каких-либо функций времени, аналогичных функциям, примененным для исследования первых двух задач? В результате своих изысканий она находит, что применение подобных функций позволит разрешить только один новый случай движения твердого тела. В этом случае центр тяжести тела лежит в плоскости экватора эллипсоида инерции, построенного для неподвижной точки.

В работе Ковалевской о вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки необходимо отметить следующие существенно новые для механики и математики особенности. Ею открыт новый случай вращения твердого тела вокруг неподвижной оси, для которого она нашла общий интеграл. Этот случай справедливо получил ее имя. В своем труде С.В. Ковалевская впервые привлекла к исследованию подобных задач прекрасно разработанный аппарат теории функций комплексного переменного. Наконец, ее работа поставила некоторые новые общие математические проблемы. Н.Е. Жуковский построил наглядные модели волчков для всех трех решенных в конечном виде случаев вращения твердого тела: первый из приведенных рисунков характеризует случай Эйлера — Пуансо, второй — случай Лагранжа — Пуассона, и третий — случай Ковалевской (см. рисунок).

Работы С.В. Ковалевской, посвященные движению твердого тела, стали исходным пунктом многочисленных исследований. Мы можем назвать русских ученых, так или иначе дополнивших анализ Ковалевской: московских профессоров Г.Г. Аппельрота (1866—1943), П.А. Некрасова, Б.К. Млодзеевского (1859—1923), Н.Е. Жуковского, а также А.М. Ляпунова и Н.Б. Делоне.

ПРОБЛЕМА УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ

Одним из крупнейших достижений механики в конце XIX в. явилось создание теории устойчивости движения систем с конечным числом степеней свободы. Основоположником этой теории был А.М. Ляпунов, которому наука обязана и многими другими важными исследованиями, особенно по фигурам равновесия вращающейся жидкости. Мы остановимся преимущественно на разработке Ляпуновым проблемы устойчивости движения.

Александр Михайлович Ляпунов родился 6 июня 1857 г. в Ярославле. Первоначальное математическое образование он получил под руководством отца, М.В. Ляпунова, известного астронома, работавшего ряд лет в Казани, а с 1855 по 1863 г. бывшего директором Демидовского лицея в Ярославле. В 1870 г. семья Ляпуновых переехала в Нижний Новгород. В 1876 г. А.М. Ляпунов окончил здесь гимназию и поступил в Петербургский университет на отделение естественных наук физико-математического факультета; вскоре он перешел на математическое отделение. Особенно большое влияние оказали на Ляпунова курсы лекций П.Л. Чебышева, а также Д.К. Бобылева.

Под руководством Бобылева А.М. Ляпунов начал свои первые научные исследования. В 1880 г. Ляпунову была предложена для сочинения тема по гидростатике «О равновесии тяжелых тел в тяжелых жидкостях». За это сочинение он получил золотую медаль. По окончании университета в 1880 г. Ляпунов был оставлен при кафедре механики Петербургского университета для подготовки к профессорскому званию. Одновременно он был назначен на должность хранителя механического кабинета.

В 1882 г. Ляпунов сдал магистерские экзамены и обратился за советом к Чебышеву относительно выбора темы для магистерской диссертации. Чебышев предложил ему задачу, определившую выбор темы магистерской диссертации Ляпунова «Об устойчивости эллипсоидальных форм равновесия вращающейся жидкости», которую он защитил в 1885 г. в Петербургском университете. К задаче Чебышева и магистерской диссертации Ляпунова мы возвратимся позже.

В 1885 г. Ляпунов был приглашен приват-доцентом в Харьковский университет и приступил здесь к чтению лекций по механике.

В Харькове Ляпунов занимался проблемой устойчивости движения, математической физикой, особенно теорией потенциала, а также гидродинамикой. К работам по математической физике и механике жидкостей он привлек своего ученика В.А. Стеклова. Кратким, но важным эпизодом в научной деятельности Ляпунова явились его занятия теорией вероятностей: вслед за Чебышевым и А.А. Марковым (1856—1922) он далеко и оригинально продвинул исследование предельной теоремы Лапласа. Активно участвовал Ляпунов в работе Харьковского математического общества: в 1891—1898 гг. — в должности товарища председателя и в 1899—1902 гг. — в должности председателя и редактора научного органа.

АЛЕКСАНДР МИХАЙЛОВИЧ ЛЯПУНОВ (1857-1918)

Русский математик и механик. Основоположник современной теории устойчивости движения. А.М. Ляпунову принадлежат важнейшие исследования по теории фигур равновесия вращающейся жидкости и устойчивости этих фигур 

Свою первую работу по устойчивости движения Ляпунов напечатал в 1888 г. в «Сообщениях Харьковского математического общества». Это была статья «О постоянных винтовых движениях твердого тела в жидкости». Вопрос об устойчивости постоянных винтовых движений, как писал в этой статье Ляпунов, представляет хороший пример для общей теории устойчивости движения. В 1889 г. Ляпунов напечатал вторую статью на эту тему — «Об устойчивости движения в одном частном случае задачи о трех телах».

Разработка вопросов общей теории устойчивости, проводившаяся Ляпуновым в эти годы, завершилась опубликованием в 1892 г. в Харькове замечательного труда «Общая задача об устойчивости движения», который он защитил в качестве диссертации на степень доктора прикладной математики в 1893 г. Защита состоялась в Московском университете, причем оппонентами были Н.Е. Жуковский и Б.К. Млодзеевский. После защиты Ляпунову было присвоено звание ординарного профессора. В течение ряда лет Ляпунов продолжал исследования в том же направлении, существенно дополнив результаты докторской диссертации.

В 1900 г. Ляпунов был избран членом-корреспондентом Академии наук, а в конце 1901 г. — академиком по кафедре прикладной математики, которая оставалась незанятой с 1894 г., после смерти Чебышева. В 1902 г. Ляпунов переехал в Петербург. Здесь он уже не преподавал, а целиком отдался научной работе. Он возобновил занятия фигурами равновесия жидкости и их приложениями к теории фигур небесных тел. В этой области ему принадлежат исключительно глубокие открытия.

Летом 1917 г. в связи с болезнью жены Ляпунов переехал в Одессу. В сентябре следующего года он начал в Одесском университете чтение курса «О форме небесных тел». Этот курс ему закончить не удалось: 3 ноября 1918 г. он скончался.

Научные заслуги Ляпунова были широко оценены на родине и за рубежом. Он был избран почетным членом многих русских университетов, членом-корреспондентом Парижской академии наук, иностранным членом Римской академии наук и т. д.

Обратимся к проблеме устойчивости движения, имеющей важное значение для теоретической механики, астрономии, аэромеханики, прикладной механики, теории механизмов и других областей техники.

В механических задачах, как правило, для упрощения анализа приходится пренебрегать влиянием некоторых факторов, пренебрегать силами, действие которых мало по сравнению с основными силами, определяющими движение. Однако в ряде случаев эти хотя бы и незначительные силы, действуя достаточно долго или возобновляясь периодически, могут частично и даже полностью изменить характер первоначального движения. Таким образом, это движение окажется неустойчивым.

Если точное решение задачи получено в конечном виде, можно судить об устойчивости или неустойчивости движения. Но не всегда такое решение можно найти. Отсюда вытекает необходимость найти метод, позволяющий, не решая полностью уравнений движения, определять, будет ли данное движение устойчивым или нет. Проблема устойчивости была поставлена в XVIII в. в связи с исследованием проблемы устойчивости Солнечной системы. Если пренебречь взаимными притяжениями планет и считать, что планеты притягиваются только Солнцем, то аналитическая механика дает однозначное решение, полностью определяющее основную траекторию движения планеты. Однако в действительности на каждую планету кроме силы притяжения Солнца действуют также силы притяжения других планет, которые возмущают движение рассматриваемой планеты по найденной основной орбите. Влияние этих возмущений может накапливаться и с течением времени полностью разрушить основное движение. Исследуя этот вопрос, Лаплас и Лагранж пришли к выводу, что для Солнечной системы возмущения больших полуосей и эксцентриситетов орбит не возрастают монотонно с течением времени, но периодически колеблются, достигая максимального и минимального значений; следовательно, движение больших планет Солнечной системы устойчиво. Но эта устойчивость не всегда имеет место (например, движение частиц в кольцах Сатурна). Как известно, кольца Сатурна состоят из частиц, вращающихся вокруг планеты. В этих кольцах на некоторых расстояниях от центра планеты имеются щели, разделяющие их на ряд концентрических колец и представляющие собой области, где движение находившихся там некогда частиц было неустойчиво.

Весьма существенное значение вопрос об устойчивости движения имеет в баллистике при исследовании законов движения продолговатого снаряда. Задача об устойчивости движения возникла также в связи с развитием машиностроения в XIX в. Решение вопроса об устойчивости движения важно для определения режима работы машин и механизмов.

Общая задача об устойчивости движения сводится к исследованию систем дифференциальных уравнений вида

где Xk — заданные функции времени t и xk, при достаточно малых xk аналитические; для простоты можно принять, что эти функции обращаются в нуль, когда все xk равны нулю. Если во все время движения, т. е. при любых t, функции xk, зависящие от t, остаются меньше заранее данных сколь угодно малых положительных величин, движение называется устойчивым (по Ляпунову). Если система уравнений интегрируется в конечном виде, то по найденному решению можно в принципе судить об устойчивости или неустойчивости движения. Но такое интегрирование удается сравнительно редко, и требуется дать ответ, не имея точного решения системы уравнений, определяющей движение системы.

Ученые издавна применяли в этом случае приближенные методы решения, причем ограничивались так называемым первым приближением, отбрасывая в степенных рядах, выражающих функции Xk, все члены выше первой степени относительно xk и исследуя возникающую при этом систему линейных уравнений. Однако движение, устойчивое в первом приближении, нередко бывает на самом деле неустойчивым. Привлечение второго (или даже более высокого) приближения также, вообще говоря, недостаточно. Возникал вопрос: когда первое приближение достаточно для суждения об устойчивости? Единственная попытка решить этот вопрос была незадолго до Ляпунова сделана А. Пуанкаре. В предисловии к работе «Общая задача об устойчивости движения» Ляпунов писал: «Хотя Пуанкаре и ограничивается очень частными случаями, но методы, которыми он пользуется, допускают значительно более общие приложения и способны привести еще ко многим новым результатам. Идеями, заключающимися в названном мемуаре, я руководствовался при большей части моих изысканий»{216}. В этом исследовании, опубликованном в 1892 г. в издании Харьковского математического общества, Ляпунов поставил следующую задачу: указать те случаи, в которых первое приближение полностью решает вопрос об устойчивости или неустойчивости движения, и дать способы, позволяющие решать этот вопрос по крайней мере в некоторых из тех случаев, когда по первому приближению нельзя судить об устойчивости.

Ляпунов дал строгое решение вопроса о том, когда при исследовании задачи об устойчивости движения можно ограничиваться рассмотрением первого приближения. Он установил особые случаи, при которых использование первого приближения не решает задачу об устойчивости. Большой заслугой его явилось подробное исследование уравнений, в которых коэффициентами являются периодические функции с одним и тем же периодом. Он указал признаки устойчивости и неустойчивости для периодических движений. Отметим еще, что он впервые доказал теорему, согласно которой положение равновесия при некоторых дополнительных условиях неустойчиво, если в положении равновесия потенциальная энергия не минимальна.

После докторской диссертации Ляпунов напечатал еще ряд работ в дополнение к ней, на которых мы останавливаться не будем.

Ценность трудов Ляпунова по теории устойчивости движения не только в непосредственно полученных им результатах, но и в разработке новых оригинальных математических приемов изучения дифференциальных уравнений. Последующие исследования по теории устойчивости в значительной мере опирались на идеи и методы Ляпунова. Его докторская диссертация была издана на французском языке в 1907 г. О значении этого труда в наше время свидетельствуют четыре переиздания его на русском языке после 1935 г. и перепечатка французского перевода в США в 1947 г.

МЕХАНИКА ТЕЛ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ И ТЕОРИЯ РЕАКТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ

На рубеже XIX—XX вв. в России была создана новая область механики, первые стимулы к разработке которой возникли в теоретическом естествознании и которая приобрела исключительно важное значение в технике середины XX в. Это динамика тел переменной массы И.В. Мещерского.

Иван Всеволодович Мещерский (1859—1935) родился в Архангельске. Учился он сначала в приходском училище, затем в уездном. В 1871 г. поступил в Архангельскую гимназию, курс которой окончил в 1878 г. с золотой медалью, причем в аттестате была отмечена «любознательность весьма похвальная, и особенно к древним языкам и математике». В той: же году И.В. Мещерский поступил на математическое отделение физико-математического факультета Петербургского университета. Это было время расцвета Петербургской математической школы, созданной П.Л. Чебышевым. Здесь он с восторгом слушал лекции как самого П.Л. Чебышева, так и известных в то время профессоров А.Н. Коркина (1837— 1908), К.П. Поссе (1847—1928) и многих других.

В студенческие годы Мещерский с особым интересом занимался механикой, которую читали Д.К. Бобылев и Н.С. Будаев. Влияние их сказалось на всей дальнейшей научной деятельности И.В. Мещерского. Особенно значительную роль в его жизни сыграл Д.К. Бобылев, автор крупных работ по гидродинамике и замечательный педагог. По окончании университета в 1882 г. Мещерский был оставлен при университете для подготовки к профессорскому званию.

ИВАН ВСЕВОЛОДОВИЧ МЕЩЕРСКИЙ (1859—1935)

Советский ученый в области механики, основоположник механики тел переменной массы. Работы И.В. Мещерского явились основой для решения многих проблем реактивной техники 

В 1889 г. И.В. Мещерский выдержал при Петербургском университете экзамены на ученую степень магистра прикладной математики и получил право на чтение лекций. В ноябре 1890 г. И.В. Мещерский начал преподавание в Петербургском университете в качестве приват-доцента. В 1891 г. он получил кафедру механики на Петербургских высших женских курсах, которую занимал до 1919 г., т. е. времени слияния этих курсов с университетом. В 1897 г. Мещерский успешно защитил в Петербургском университете диссертацию на тему «Динамика точки переменной массы», представленную им для получения степени магистра прикладной математики.

В 1902 г. он был приглашен заведовать кафедрой в незадолго перед тем основанный Петербургский политехнический институт. Здесь и протекала до конца жизни его основная научно-педагогическая работа. И.В. Мещерский 25 лет вел педагогическую работу в Петербургском университете и 33 года в Политехническом институте. Многие слушатели Мещерского стали крупными учеными. Так, например, среди слушателей курса «Интегрирование уравнений механики», прочитанного Мещерским, были такие выдающиеся русские ученые, как академик А.Н. Крылов, профессор Г.В. Колосов и др. В архиве АН СССР хранится тетрадь А.Н. Крылова с записями лекций Мещерского, прочитанных последним в 1890/1891 учебном году в Петербургском университете. Широко известен его курс теоретической механики и особенно прекрасный задачник по механике, выдержавший более двух десятков изданий и принятый в качестве учебного пособия для высших учебных заведений не только в СССР, но и в ряде зарубежных стран.

Основным предметом научных исследований И.В. Мещерского явилась проблема движения тел с переменной массой. Всю свою творческую жизнь он посвятил созданию основ механики переменных масс и достиг в этом выдающихся результатов. Классический закон движения Ньютона, выражаемый дифференциальным уравнением

где m — масса точки, V — скорость, F — равнодействующая приложенных сил, перестает, вообще говоря, быть верным, если масса меняется со временем. Между тем в ряде важных случаев приходится иметь дело с движущимися телами переменной массы. Сам Мещерский в своей работе «Динамика точки переменной массы» писал: «Такие случаи нам представляет сама природа: масса Земли возрастает вследствие падения на нее метеоритов; масса метеорита, движущегося в атмосфере, убывает вследствие того, что некоторые частицы его или отрываются, или сгорают; масса падающей градины или снежинки возрастает в тех частях пути, где на нее оседают пары из окружающей атмосферы, и убывает вследствие испарения там, где она проходит через слои воздуха, более теплые и более сухие; плавающая льдина представляет пример, где масса возрастает вследствие намерзания и убывает вследствие таяния и т. д.

В некоторых случаях изменение массы вызывается искусственно: убывает масса летящей ракеты вследствие сгорания; убывает масса аэростата при выбрасывании балласта; возрастает масса привязного аэростата, когда он, поднимаясь, вытягивает за собой канат; возрастает масса корабля при нагрузке и убывает при разгрузке и т. д. Вообще, если тело находится в воздухе, масса его может возрастать вследствие оседания пыли и паров, вследствие присоединения частиц других тел, с которыми оно приходит в соприкосновение; масса может убывать вследствие сгорания, испарения, распыления.

Если тело находится в жидкости, его масса может возрастать вследствие оседания на поверхности некоторых частиц из этой жидкости, вследствие намерзания и может убывать вследствие размывания тела жидкостью, вследствие растворения или таяния»{217}.

До Мещерского были разобраны лишь немногие частные задачи такого рода, и к тому же решения их иногда были ошибочными. Можно утверждать, что на рубеже XIX и XX вв. трудами И.В. Мещерского были заложены основы динамики точки переменной массы и создан новый большой раздел теоретической механики — механика переменных масс. И.В. Мещерский начал заниматься вопросами движения тел переменной массы в 1893 г. 27 января этого года на заседании Петербургского математического общества он доложил о первых своих результатах в этом направлении.

В магистерской диссертации «Динамика точки переменной массы» Мещерский установил, что если масса точки изменяется во время движения, то основное дифференциальное уравнение движения Ньютона заменяется следующим фундаментальным уравнением движения точки переменной массы:

где F и R = dm/dt∙Ur — заданная и реактивная силы.

Это уравнение называют уравнением Мещерского. В диссертации Мещерский дал общую теорию движения точки переменной массы для случая отделения (или присоединения) частиц. В 1904 г. в «Известиях Петербургского политехнического института» был напечатан второй труд И.В. Мещерского «Уравнения движения точки переменной массы в общем случае». В этой работе теория Мещерского получила окончательное и в высшей степени изящное выражение. Здесь он устанавливает и исследует общее уравнение движения точки, масса которой изменяется от одновременного процесса присоединения и излучения материальных частиц. И.В. Мещерский не только разработал теоретические основы динамики переменной массы, но и рассмотрел большое количество частных задач о движении точки переменной массы, например восходящее движение ракеты и вертикальное движение аэростата. Он подверг весьма обстоятельному исследованию движение точки переменной массы под действием центральной силы, заложив тем самым основания небесной механики тел переменной массы. Он исследовал также и некоторые проблемы комет. И.В. Мещерский впервые сформулировал и так называемые обратные задачи, когда по заданным внешним силам и траектории определяется закон изменения массы.

Заслуги И.В. Мещерского в науке чрезвычайно велики. Однако лишь в последнее время с достаточной полнотой выяснилось огромное практическое значение его исследований по механике переменных масс. После второй мировой войны стало появляться большое число глубоких теоретических исследований, посвященных как специальным проблемам ракетодинамики и динамики тел переменной массы, так и обобщению результатов исследований И.В. Мещерского. Опираясь на труды И.В. Мещерского, советские ученые разработали основные вопросы динамики твердого тела и произвольных изменяемых систем переменной массы.

В историю отечественной науки Мещерский вошел как основоположник механики тел переменной массы. Его исследования в этой области явились теоретической основой современной ракетодинамики. Имя И.В. Мещерского неразрывно связано с именем создателя научных основ космонавтики К.Э. Циолковского.

Константин Эдуардович Циолковский является пионером ракетодинамики, теории реактивных двигателей и учения о межпланетных сообщениях. Он один из основателей экспериментальной аэродинамики в России, создатель первого проекта конструкции и теории цельнометаллического дирижабля, автор многих ценных изобретений в технике летания.

Жизнь Циолковского полна подлинного драматизма. Его трагическая судьба в дореволюционной России и затем великий триумф в Советском Союзе отразили исторический перелом в судьбах отечественной научно-технической мысли.

Напряженная, наполненная непрестанными поисками, до предела насыщенная внутренним содержанием, жизнь Циолковского небогата внешними событиями. Его биография резко отличается от обычных жизнеописаний ученых. Здесь нет студенческих лет, непосредственного общения с представителями предшествующего поколения ученых, разрабатывавшими такие же или сходные проблемы, нет кафедры, научных рангов и т. д.

Константин Эдуардович Циолковский родился 17 сентября 1857 г. в с. Ижевском Спасского уезда Рязанской губернии в семье ученого-лесовода. Девяти лет Циолковский в результате осложнения, полученного после скарлатины, почти полностью потерял слух. Глухота не позволила продолжать учебу в школе. Чтобы восполнить пробел в своем образовании, он, занимаясь самостоятельно, прошел полный курс средней школы и значительную часть университетского курса.

В своей автобиографии К.Э. Циолковский писал: «…Учителей, кроме ограниченного количества и сомнительного качества книг, у меня не было, и меня можно считать самоучкой чистой крови. Я так привык к самостоятельной работе, что, читая учебники, считал более легким для себя доказать теорему без книги, чем вычитывать из нее доказательства».

В 1879 г. Константин Эдуардович сдал экстерном экзамен на звание учителя средней школы и начал преподавать математику в Боровском уездном училище Калужской губернии. Все свободное от школьных занятий время он посвящал научным исследованиям.

Творчество Циолковского отличают разносторонность и широта научных интересов. Его интересовали самые разнообразные области знания — естествознание, техника, философия. Однако основные его работы связаны с решением трех крупнейших технических проблем: воздухоплавание, авиация и межпланетные сообщения.

В середине 80-х годов Циблковский начал проводить серьезные исследования по проблеме создания управляемого аэростата. В результате он пришел к выводу, что целесообразно создавать аэростаты только металлические и больших размеров. Кроме того, Циолковский показал, что возможно осуществить управление аэростатами. Он разработал проект цельнометаллического дирижабля с гофрированной оболочкой, у которого в полете мог изменяться объем и производиться подогрев газа.

Изменение объема аэростата давало возможность сохранить неизменной подъемную силу при изменении температуры и давления окружающего воздуха. Подогрев газа внутри корпуса аэростата Циолковский предполагал производить за счет тепла отработанных продуктов сгорания. Идея подогрева газа преследовала цель регулировать изменение подъемной силы дирижабля при перемене метеорологических условий, при подъеме и спуске, сохраняя газ и балласт.

КОНСТАНТИН ЭДУАРДОВИЧ ЦИОЛКОВСКИЙ (1857—1935)

Советский ученый и изобретатель, основоположник современной ракет о динамики, теории реактивных двигателей и учения о межпланетных сообщениях 

Другой важной технической проблемой, которой Циолковский уделял большое внимание, является разработка вопросов аэродинамики и авиации. Уже в работе по теоруии аэростата, законченной в 1886 г., он затрагивает вопросы аэродинамики в связи с определением, формы аэростата наименьшего сопротивления. Непосредственно аэродинамическим исследованиям посвящена его работа «Давление жидкости на равномерно движущуюся плоскость» (опубликована в 1891 г.).

В 1894 г. появляется его работа по теории самолета «Аэроплан или птицеподобная (авиационная) летательная машина».

Анализируя возможные схемы летательных аппаратов (с машущими и с неподвижными крыльями), Циолковский приходит к идее создания летательной машины, близкой по схеме к современному самолету-моноплану. Циолковский разработал схему самолета, представлявшего собой моноплан со свободнонесущими крыльями, обтекаемой формы фюзеляжем, горизонтальным и вертикальным оперениями, винтомоторной группой (с двигателем внутреннего сгорания), колесным шасси. Крыло самолета имело вогнутый профиль (с острой задней кромкой), толщина которого уменьшалась при приближении к задней кромке.

В 1897 г. Циолковский сконструировал аэродинамическую трубу — первую в России трубу, примененную для исследований в области авиации и воздухоплавания. Опыты в аэродинамической трубе позволили Циолковскому установить важнейшие законы сопротивления среды, провести систематическое исследование лобового сопротивления и подъемной силы тел различной формы, в том числе пяти моделей крыльев (плоских и вогнутых пластинок различного удлинения) и оболочек дирижаблей. Результаты своих первых исследований в аэродинамической трубе Циолковский изложил в работе «Давление воздуха на поверхности, введенные в искусственный воздушный поток», напечатанной в «Вестнике опытной физики и элементарной математики» в 1898 г.

В этой работе Циолковский дал анализ влияния удлинения крыла и тела вращения на их аэродинамические характеристики, нашел формулу для сопротивления трению и установил зависимость его от величины скорости и характерного размера тела (причем эти величины входят в формулу в одной и той же степени), дал сравнительную оценку сопротивления тел различной формы, указал на важное влияние формы кормовой части тела на величину его сопротивления.

Третьим крупнейшим циклом работ Циолковского являются его исследования в области реактивного движения и межпланетных сообщений. В 1883 г. он написал книгу «Свободное пространство», в которой рассматривает явления, происходящие в среде при отсутствии силы тяжести. В этой работе он высказывает мысль о возможности использования реактивного движения для полетов в безвоздушном пространстве.

В 1898 г. Циолковский вывел формулу, связывающую скорость ракеты, скорость истечения продуктов горения, массу ракеты и массу израсходованного горючего.

Результаты своих исследований по теории движения ракет, проводившихся в 1896—1898 гг., Циолковский опубликовал лишь в 1903 г. в знаменитом труде «Исследование мировых пространств реактивными приборами». Циолковский впервые обосновал возможность осуществления межпланетных сообщений с помощью ракетных аппаратов и установил законы движения ракет.

В основе теории движения ракет лежит гипотеза о постоянстве относительной скорости истечения газа из сопла. Эта гипотеза называется в современной литературе гипотезой Циолковского и составляет основу всех расчетов, связанных с изучением движения ракет. Вначале Циолковский решает задачу о движении ракеты в среде, где отсутствуют внешние силы. С качественной стороны эта задача была проанализирована Циолковским еще в 1883 г. в работе «Свободное пространство». Дав научное обоснование теории полета ракет, разработав теорию прямолинейного реактивного движения тел переменной массы, Циолковский стал основоположником ракетодинамики.

В литературу по ракетодинамике вошли теоремы, доказанные Циолковским. Первая теорема представляет собой формулу

Vmax = c∙ln(1+z)

где Vmax — скорость полета ракеты в среде без атмосферы и сил тяготения, с — относительная скорость истечения газов, z = т/М (т — масса топлива, М — масса ракеты без топлива). Отношение т/М = z называется числом Циолковского.

Вторая теорема утверждает, что

u = 1/2∙[ln(1 + z)]2,

где

u = T/T’ = 1/2∙ Vmax2∙M : 1/2∙c2∙m

— утилизация по Циолковскому, собственно коэффициент полезного действия ракеты (Т — работа, производимая при движении ракеты, Т — работа взрывчатых веществ, т. е. работа, обусловленная истечением газов).

Первая теорема, или формула Циолковского (так она называется в современной технической литературе), применяется в некоторых случаях при расчете параметров космических аппаратов.

Заслуги Циолковского признаны и в других странах, где имя его пользуется большим уважением. Известный немецкий ученый и исследователь реактивного движения в космическом пространстве профессор Герман Оберт писал в 1929 г. К.Э. Циолковскому: «Я, разумеется, самый последний, кто стал бы оспаривать Ваше первенство и Ваши заслуги в области ракет, и я только сожалею, что не услышал о Вас раньше 1925 г. Я был бы, наверное, в моих собственных работах сегодня гораздо дальше и обошелся бы без многих напрасных трудов, зная Ваши превосходные работы»{218}.

Французский аэроклуб, одна из старейших воздухоплавательных организаций, желая посмертно отметить выдающиеся заслуги Циолковского как патриарха звездоплавания и основоположника теории реактивных летательных аппаратов, в 1952 г. изготовил в его честь большую золотую медаль.

За шесть дней до своей смерти, 13 сентября 1935 г., К.Э. Циолковский писал, что его мечта не могла осуществиться до революции. После Октября, говорит Циолковский, «я почувствовал любовь народных масс, и это давало мне силы продолжать работу, уже будучи больным… Все свои труды по авиации, ракетоплаванию и межпланетным сообщениям передаю партии большевиков и Советской власти — подлинным руководителям прогресса человеческой культуры. Уверен, что они успешно закончат мои труды». И он не ошибся. Идеи Циолковского успешно претворяются в жизнь.

Труды К.Э. Циолковского по аэродинамике, авиации, ракетной технике и астронавтике вошли в золотой фонд мировой науки.

НЕЕВКЛИДОВА МЕХАНИКА

Неевклидова механика, т. е. классическая механика в неевклидовом пространстве, и прежде всего в пространстве Лобачевского, возникла в конце 60-х годов XIX в., когда идеи Лобачевского начали получать признание математиков.

Основным стимулом развития неевклидовой механики послужило желание выяснить, не противоречит ли неевклидова геометрия принципам классической механики. В случае такого противоречия можно было бы сделать вывод, что в реальном мире имеет место евклидова, а не неевклидова геометрия.

Мысль о развитии неевклидовой механики с этой целью была высказана еще самим Н.И. Лобачевским в его основополагающем труде «О началах геометрии» (1829— 1830). Называя открытую им новую систему «воображаемой геометрией», Лобачевский писал:

«Оставалось бы исследовать, какого рода перемена произойдет от введения воображаемой Геометрии в Механику и не встретится ли здесь принятых уже и несомнительных понятий о природе вещей, но которые принудят нас ограничивать или совсем не допускать зависимости линий от углов»{219}.

В 1869—1870 гг. работы по неевклидовой механике появились в следующих странах: в Италии — Анджело Дженокки (1817—1889); в Германии — Эрнест Шеринг (1833—1897), в Бельгии — Жозеф де Тийи (1837— 1906). Если Дженокки и Шеринг задавали силы точками приложения и величинами, то де Тийи в своих «Этюдах по абстрактной механике» впервые изображал силы в неевклидовом пространстве ориентированными отрезками.

В России исследования по неевклидовой механике начались в 90-х годах XIX в. Первой работой была статья П.С. Юшкевича (1873—1945) «О сложении сил в гиперболическом пространстве»{220}, написанная в 1892, опубликованная в 1898 г. П. С. Юшкевич рассматривал силы в пространстве Лобачевского, причем, следуя де Тийи, изображал их ориентированными отрезками. В работе определяется сложение сил, когда они направлены по пересекающимся прямым, и в тех случаях, когда они направлены по параллельным и расходящимся прямым.

В широком плане предпринял разработку неевклидовой механики Александр Петрович Котельников (1865—1944). Он родился, вырос и сложился как ученый на родине геометрии Лобачевского — в Казани. Его отец П.И. Котельников (1809—1879) работал в Казанском университете вместе с Н.И. Лобачевским и был единственным из его коллег, который публично выступил при жизни Лобачевского с высокой оценкой его геометрического открытия. В 1884 г. А.П. Котельников окончил Казанский университет, где его учителями были известные математики А.В. Васильев (1853—1929), Ф.М. Суворов (1845—1911) и механики И.С. Громека (1851—1889) и Г.Н. Шебуев (1850—1900). После окончания университета А.П. Котельников работал учителем математики в одной из гимназий г. Казани, а затем был принят на кафедру механики Казанского университета для подготовки к профессорскому званию. С 1893 г. он начинает свою преподавательскую деятельность в Казанском университете и в 1806 г. защищает магистерскую диссертацию «Винтовое исчисление и некоторые применения его К геометрии и механике».

Винтовое исчисление А.П. Котельникова — обобщение векторного исчисления; оно описывает силовые винты статики и винтовые перемещения кинематики. Заметим, что в конце XIX в. векторные методы в механике все еще оставались новинкой.

В 1899 г. А.П. Котельников защитил диссертацию «Проективная теория векторов», за которую получил сразу две ученые степени — доктора чистой математики и доктора прикладной математики. Эта работа имеет большое значение в развитии неевклидовой механики. Котельников дал определение и метод сложения векторов, пригодных для всех неевклидовых пространств, определил эквивалентность систем векторов, показал, что всякая система векторов эквивалентна «канонической системе», состоящей из двух векторов, направленных по двум взаимно полярным прямым, и, нашел необходимое и достаточное условие эквивалентности двух систем векторов. Последнее условие состоит в равенстве определяемых системами векторов величин особого рода «винтов» («моторов», «динам»), тесно связанных с комплексными числами различного вида. Котельников глубоко разработал алгебру винтов, аналогичную векторной алгебре, и ее применения к геометрии, в особенности линейчатой геометрии, и механике (теория винтовых интегралов). Уже в советское время А.П. Котельников дал изящное изложение своих идей в статье «Теория векторов и комплексные числа» (опубликована посмертно в 1950 г.). Из работ А.П. Котельникова помимо диссертаций особо следует отметить статью «Принцип относительности и геометрия Лобачевского», посвященную связям между физикой и геометрией, и «Теория векторов и комплексные числа»{221}, в которой снова рассматриваются обобщения векторного исчисления и вопросы неевклидовой механики.

В 1927 г. казанский геометр П.А. Широков (1895— 1944), находящийся под сильным влиянием А.П. Котельникова, дал весьма наглядную геометрическую конструкцию действий над векторами в неевклидовых пространствах. Эта конструкция была предложена им в работе «Преобразование винтовых интегралов в пространствах постоянной кривизны». Широков был автором еще нескольких работ по неевклидовой механике. В частности, вопросам связи между физикой и неевклидовой геометрией в несколько другом аспекте, чем работы Котельникова по неевклидовой механике, посвящена работа Широкова «Принцип относительности и геометрия Лобачевского». В этой работе получили развитие идеи известной работы Германа Минковского (1864—1909) «Время и пространство»{222}, в которой была дана геометрическая интерпретация пространства—времени специальной теории относительности Эйнштейна.

К работам Котельникова непосредственно примыкают исследования Д.Н. Зейлигера (1864—1936), впоследствии объединенные в книге «Комплексная линейчатая геометрия»{223}. Зейлигер работал сначала в Одессе, а затем в Казани вместе с Котельниковым. Еще до приезда в Казань Зейлигер был известным механиком, одним из основоположников механики подобно изменяемого тела. Однако под влиянием Котельникова Зейлигер изменил тематику своих работ и последние десятилетия жизни занимался только развитием идей Котельникова, главным образом в их применении к геометрии.

Почти одновременно с Котельниковым, но в другом направлении вопросами неевклидовой механики заинтересовался Н.Е. Жуковский, посвятивший в 1902 г. этому вопросу работу «О движении материальной псевдосферической фигуры по поверхности псевдосферы»{224}, однако большинство исследований по неевклидовой механике, произведенных в России, было посвящено развитию идей Котельникова.

БАЛЛИСТИКА

Вопросами баллистики в России занимались еще Л. Эйлер и Д. Бернулли, а в 40-е годы — Остроградский. Крымская война 1853—1856 гг. поставила перед отечественной артиллерией ряд задач, важнейшие из которых были обусловлены переходом от сферических снарядов к продолговатым, иными словами, от гладкоствольных к нарезным. К решению этих задач были привлечены многие специалисты, среди них П.Л. Чебышев, который с 1855 г. в течение более десяти лет работал в артиллерийском отделении Военно-ученого комитета, преобразованном затем в Артиллерийский комитет.

В 1867 г. Чебышев предложил формулу для определения дальности полета снарядов в воздухе, принимая, что сопротивление воздуха пропорционально кубу скорости, и делая другие допущения. Эта формула давала вполне удовлетворительные результаты при отлогой стрельбе сферическими снарядами с начальными скоростями не более 1200 фут/сек.

Работая в Артиллерийском комитете, Чебышев находился в тесном контакте с выдающимся баллистиком Н.В. Маиевским.

Николай Владимирович Маиевский (1823—1892) в 1843 г. окончил физико-математическое отделение Московского университета и, прослужив некоторое время в артиллерийских частях, поступил в офицерские классы Михайловского артиллерийского училища. В 1846 г. Маиевский окончил училище и с 1850 г. в течение многих лет работал в Артиллерийском комитете. С 1858 г. он начал в звании профессора читать лекции по баллистике в Михайловской артиллерийской академии (ныне Военная академия им. Ф.Э. Дзержинского).

Маиевский был первым артиллеристом, который читал лекции по баллистике в этой академии, — до него курс читался математиками. Маиевский был признанным главой мировой баллистической школы, «первым баллистиком в Европе». Научные достижения Маиевского послужили основанием для того, чтобы в 1870 г. Московский университет присвоил ему ученую степень доктора прикладной математики. В 1878 г. Маиевский был избран членом-корреспондентом Академии наук; он имел также военное звание генерала от артиллерии.

После Крымской войны, когда выявилась недостаточность экспериментальной и теоретической базы русской артиллерии, Маиевский начал систематические работы по внешней баллистике. В 1858 г. он провел экспериментальные исследования по определению закона сопротивления воздуха движению сферических снарядов. При этом сопротивление снаряда определялось двойным дифференцированием уравнения траектории центра массы снаряда, определяемой экспериментально, т. е. решением обратной задачи внешней баллистики.

Маиевский получил эмпирическую формулу для определения сопротивления сферических снарядов, расчет по которой приводил к результатам, близким к действительным. Описание этих опытов и их результаты он дает в статье «О выражении сопротивления воздуха при движении сферических снарядов», опубликованной в «Бюллетене Петербургской академии наук» за 1858 г. и в 1859 г. в «Артиллерийском журнале». В 1859 г. Маиевский обработал результаты опытов, проведенных в г. Меце, и получил новый, зональный закон сопротивления сферических снарядов, согласно которому интервал скоростей разбивался на ряд зон, при этом для каждой зоны устанавливался свой закон сопротивления. Эти формулы впервые были опубликованы в 1859 г. в литографированном курсе внешней баллистики Маиевского. Таким образом, он установил новый закон сопротивления, достаточно хорошо соответствующий действительности и долгие годы применявшийся во внешней баллистике.

В 1858 г. Маиевский занялся другим важным для артиллерии того времени вопросом, а именно проектированием нарезных орудий. Артиллерийское отделение Военно-ученого комитета приступило к проектированию нарезных орудий и продолговатых снарядов и возложило руководство опытами на Маиевского. Маиевский поставил опыт с целью изучения движения продолговатых снарядов, определения их кучности, составления таблиц стрельбы, определения наибольшей крутизны нарезки ствола при стрельбе продолговатыми снарядами из четырехфунтовых нарезных пушек. При обработке результатов опытов он использовал работу П.Л. Чебышева «Об интерполировании по методу наименьших квадратов», которая позволяла эмпирическим путем на основе формул интерполирования установить траекторию центра массы снаряда. Это был единственный практический метод обработки опытных данных, так как в то время не был известен закон сопротивления воздуха движению продолговатых снарядов, и Маиевскпй первым из артиллеристов России применил метод наименьших квадратов к обработке результатов стрельбы. Вместе с Чебышевым Маиевский также впервые в России использовал для этой цели теорию вероятностей.

В 1859 г. были закончены испытания четырехфунтовой нарезной пушки — сравнение ее с двенадцатифунтовой гладкостенной пушкой показало преимущества нарезных орудий.

Результаты своих исследований баллистических свойств нарезных орудий Маиевский опубликовал в «Артиллерийском журнале» в 1860 г. Глубокое изучение баллистических свойств нарезных орудий привело его к выводу о необходимости вооружения русской армии новым видом орудий. В своих лекциях и статьях он неизменно проводил эту мысль, неустанно пропагандировал новые идеи среди широкого круга артиллеристов. Маиевский непосредственно руководил переделкой существовавших гладкостенных орудий в нарезные.

Первоклассные береговые системы, спроектированные Маиевским, были приняты на вооружение береговой артиллерии не только в России (1876), но и в других странах — Австрии, Бельгии и Пруссии.

Работая над проектированием новых орудий, Маиевский продолжал свои исследования по давлению в канале ствола и сопротивлению воздуха движению вращающихся продолговатых снарядов. В 1865 г. он опубликовал в «Артиллерийском журнале» работу «О влиянии вращательного движения на полет продолговатых снарядов в воздухе», где впервые решил сложную задачу о движении вращающихся продолговатых снарядов. Это была первая крупная работа в области исследования баллистических свойств парезных орудий. В 1866 г. в «Артиллерийском журнале» появился труд Маиевского «О влиянии вращательного движения на углубление продолговатого снаряда в твердые среды». Эти две работы вскоре были переведены на французский язык и получили широкое распространение в Европе.

Дальнейшее развитие исследования Маиевского в области теории вращательного движения снаряда получили в его фундаментальном «Курсе внешней баллистики» (1870). Отличительной особенностью этого труда является органическая связь теоретических исследований с практическим применением результатов исследований в артиллерии. «Курс внешней баллистики» получил мировую известность и через два года был издан во французском переводе.

В 1872 г. Маиевский получил более общее, чем в 1870 г., решение задачи о движении оси снаряда в воздухе, проинтегрировав соответствующие уравнения аналитически при более общих предположениях. Он пришел к выводу, что плоскость нутации совершает колебательное движение вокруг среднего положения не только при настильной, но и при навесной стрельбе.

Исследования Маиевского по теории вращательного движения продолговатого снаряда получили широкое развитие. Они были продолжены его учеником Н.А. Забудским и многими другими учеными России и других стран. Н.А. Забудский (1853—1917) учился в Михайловском артиллерийском училище и Артиллерийской академии и начал преподавать в ней после защиты магистерской диссертации в 1880 г. Через десять лет ему было присвоено профессорское звание, а в 1911 г. он был избран членом-корреспондентом Парижской академии наук. Забудский является автором ряда работ: «Об угловой скорости вращения продолговатого снаряда» (1891), «Влияние вращательного движения Земли на полет снарядов» (1894), «Исследование о движении продолговатого снаряда» (1908) и др. Он издал также весьма обстоятельный курс «Внешней баллистики» (СПб., 1895).

Из Михайловского артиллерийского училища вышел также К.И. Константинов (1817—1871) — талантливый конструктор и автор работ по расчету и проектированию ракет.

Большой вклад в баллистику внес А.Н. Крылов, о творческом пути которого будет сказано несколько далее. Здесь мы отметим только, что А.Н. Крылов провел аналогию между колебаниями оси вращающегося снаряда и движением мачты корабля при качке. Для рассмотрения движения вращающегося снаряда он ввел вместо обычно применяемых так называемых эйлеровых углов угол между осью снаряда и плоскостью стрельбы, а также угол между касательной к траектории и проекцией оси снаряда на плоскость стрельбы, так как эти углы остаются малыми во все время движения снаряда. Воспользовавшись уравнениями Лагранжа, Крылов пришел к уравнению хорошо известного вида, которым в то время много занимались в связи с другими задачами. Однако в отличие от прежних задач баллистики функции, входящие в это уравнение, заданы не аналитически, а графически или в виде таблиц. Поэтому Крылов разработал специальный приближенный метод интегрирования этого дифференциального уравнения. Результаты интегрирования с достаточной для практики точностью дают картину движения снаряда. Сравнение уравнений Крылова с применявшимися ранее приближенными уравнениями Маиевского и других ученых показывает большую точность уравнений Крылова, они полнее охватывают всю картину полета снаряда и действующих при этом сил.

На основе анализа решения основного уравнения Крылов пришел к выводу, что вынужденные колебания снаряда, не зависящие от начальных условий, таковы: ось снаряда совершает прецессионное движение вокруг некоторой динамической оси, отклоненной от плоскости стрельбы вправо, если, глядя от данной части снаряда к его головной части, мы наблюдаем вращение его по часовой стрелке. Отсюда вытекает отклонение вращающегося снаряда от плоскости стрельбы — так называемая девиация. Крылов предложил специальный прибор для воспроизведения движения оси снаряда. Вычисления на основе теории, развитой Крыловым, прекрасно подтверждаются опытом.

Работы А.Н. Крылова по динамике вращательного движения продолговатого снаряда имеют большое теоретическое и практическое значение. Теория устойчивости движения снаряда и кучности стрельбы в значительной степени основывается на этих классических работах.

ТЕОРИЯ КОРАБЛЯ

Наряду с баллистикой другой важной областью прикладной механики, в развитии которой сыграли весьма значительную роль ученые России, является теория корабля. В рассматриваемый период теория корабля разрабатывалась главным образом в Военно-морской академии (ныне Военно-морская академия им. А.Н. Крылова). Основная заслуга в научном обосновании проектирования и строительства кораблей принадлежит А.Н. Крылову.

Алексей Николаевич Крылов родился 15 августа 1863 г. в Симбирской губернии в семье известного в то время литератора и общественного деятеля. В 1878 г. он поступил в Морское училище в Петербурге, особенно он интересовался механикой, математикой, физикой и химией. В 1884 г., по окончании училища, он был произведен в мичманы и назначен в компасную часть Главного гидрографического управления, где работал под руководством А.П. де Колонга (1839—1901) — выдающегося специалиста по компасному делу. В связи с этим первые теоретические работы и изобретения А.Н. Крылова относились к компасам. Вместе с тем уже в эти годы Крылова заинтересовали работы по кораблестроению, и в 1888 г. он был зачислен слушателем на кораблестроительное отделение Морской академии, которое закончил в 1890 г., после чего начал вести в академии курсы теории корабля. Вскоре он разработал оригинальную теорию килевой качки, которую включил в свой курс теории корабля.

АЛЕКСЕЙ НИКОЛАЕВИЧ КРЫЛОВ (1863-1945)

Советский математик, механик и кораблестроитель А.Н. Крылов — основоположник теории корабля, автор многих важных работ по теории магнитных и гироскопических компасов, по артиллерии, математике и по истории физико-математических наук

А.Н. Крылов принимал активное участие в создании Петербургского политехнического института и в нем кораблестроительного отделения. Он ввел в институте созданный им курс «Вибрация судов», который впервые начал читать в Морской академии в 1901 г.

В 1900—1908 гг. Крылов заведовал Опытовым бассейном. Работу в бассейне Крылов проводил до начала войны с Японией в тесном сотрудничестве с адмиралом С.О. Макаровым (1848—1904). Приступив к этой работе, Крылов сразу же поставил вопрос о необходимости проведения испытаний всех судов и параллельно с этим испытаний их моделей.

В конце 1900 г. Крылов начал заниматься проблемой непотопляемости судов и составил таблицы непотопляемости броненосца «Петропавловск». В ноябре 1901 г. он представил в Морской технический комитет предложение о необходимости снабжения боевых кораблей таблицами непотопляемости.

Помимо вопроса о непотопляемости судов Крылов занимался вопросами создания оптических прицелов для установки на военных кораблях (с 1904 г.) и бронирования линейных кораблей (с 1905 г.), изучением меткости артиллерийской стрельбы во время качки корабля (с 1906 г.). Будучи главным инспектором кораблестроения и председателем Морского технического комитета (1908—1910), он принимал активное участие в проектировании и постройке первых русских линкоров типа «Севастополь».

Наряду с научной и научно-организационной работой Крылов продолжал и преподавательскую деятельность. Он по-прежнему читал лекции по теории корабля в Морской академии, а с 1900 г. — по дифференциальному и интегральному исчислению. Крылов создал курс «Приближенные вычисления» и в 1906 г. читал его на математическом факультете Петербургского университета.

В 1912 г. Крылов читал в Морской академии курс дифференциальных уравнений математической физики. Из этих курсов сложились две монографии А.Н. Крылова: «Лекции о приближенных вычислениях» (СПб., 1912) и «О некоторых дифференциальных уравнениях математической физики, имеющих приложение в технических вопросах» (СПб., 1913). Обе эти книги неоднократно переиздавались и были долгие годы настольными руководствами многих инженеров и ученых.

В ноябре 1914 г. А.Н. Крылов был избран членом-корреспондентом Академии наук по разряду физических наук и в этом же году по представлению П.Е. Жуковского — почетным доктором прикладной математики Московского университета. В 1916 г. Крылов был избран действительным членом Академии наук. В это же время он был назначен на должность директора Главной физической обсерватории. В октябре 1917 г. Крылов был назначен директором физической лаборатории, впоследствии — Физического института Академии наук. Мы не касаемся здесь научной и организационной деятельности А.Н. Крылова в советский период, которую он неутомимо продолжал до самой кончины, последовавшей 26 октября 1945 г. А.Н. Крылов был инженером и ученым-механиком и математиком. В его творчестве прекрасно сочетались прикладные интересы с глубоким пониманием исходных принципов классической механики и с удивительным умением интерпретировать и комментировать идеи ее основателей. Однако центральное место в исследованиях Крылова, несомненно, занимают его работы по теории корабля, принесшие ему мировую известность.

Вскоре после первых научных исследований по девиации компаса Крылов начал заниматься весьма широкой проблемой — проблемой теории корабля, которая, как он писал, составляет часть прикладной механики. Задачу о корабле он начал решать в самой общей постановке, вместе с тем ставя целью получить наиболее простое решение, которое было бы пригодно при рассмотрении конкретных задач.

В 1894 г. Крылов опубликовал «Новый метод вычисления элементов подводной части корабля». Здесь он предложил весьма простые и удобные приемы вычисления основных характеристик корабля — плавучести и остойчивости, ставшие общепринятыми в области кораблестроения. Особенно важно исследовать плавучесть и остойчивость при наличии подводных пробоин, такие исследования составляют предмет особого раздела теории корабля — непотопляемости.

Вслед за работами по теории плавучести и остойчивости Крылов занялся исследованиями качки корабля на волнующейся поверхности моря. Вопросами килевой качки, когда движение корабля по курсу перпендикулярно набегающим волнам, он начал заниматься в 1895 г. В этом же году появилась его первая печатная работа по качке корабля.

В 1896 г. Крылов прочитал в Обществе корабельных инженеров в Лондоне доклад на тему «Теория килевой качки корабля на волнении». Он указал, что до настоящего времени теории килевой качки не было, так как предположения, на которых основывается теория боковой качки, разработанная английским ученым В. Фрудом еще в 1871 г., здесь неприменима. Фруд допускал, что размерами корабля по сравнению с расстоянием между соседними гребнями волн можно пренебречь, когда направление движения корабля параллельно гребням. Один из важных вопросов в области килевой качки — вопрос о величине напряжений различных частей корабля, возникающих при качке, пытался решить в 1758 г. Эйлер, однако его идеи были подхвачены лишь через сто лет Э. Ридом, главным инженером Британского флота, знаменитым английским конструктором.

Крылов вначале рассмотрел случай чисто килевой качки корабля, идущего под прямым углом к гребням волн, и вывел уравнения движения корабля. Он предполагал, что на корпус корабля действует гидростатическое давление и профиль волны синусоидальный. При решении этой сложнейшей задачи динамики Крылов использовал достижения своих предшественников в области механики и математики — работы Эйлера о движении твердого тела, Лагранжа — по составлению уравнений движения любой системы в любых координатах, Лапласа — о движении небесных тел, Остроградского — по интегрированию уравнений динамики и пр.

Огромная эрудиция позволила Крылову разработать математическую теорию килевой качки не только при указанных выше предположениях, но и при более общих условиях — когда давление воды гидродинамическое, а профиль волны циклоидальный, и создать общую теорию качки, в которой рассматриваются все виды колебательных движений корабля на волнении. Крылов вывел дифференциальные уравнения для определения колебания корабля на волнении и, пользуясь методами небесной механики, дал решение этих уравнений.

Общая теория килевой качки также была доложена Крыловым в Английском обществе корабельных инженеров (1898). В том же году Крылов доложил в Обществе работу «Об усилиях, испытываемых кораблем на волне». Эта работа содержит одно из применений общей теории качки корабля. В ней дан оригинальный метод определения динамических изгибающих моментов и перерезывающих сил, действующих на корпус корабля. Задача, казавшаяся многим кораблестроителям неразрешимой, была решена Крыловым аналитически, притом в легкой и пригодной для практических применений форме. За этот второй доклад Крылову была присуждена золотая медаль Общества, впервые врученная иностранцу.

Наряду с исследованием килевой качки Крылов развил и усовершенствовал теорию боковой качки корабля.

С исследованиями Крылова по качке корабля непосредственно связаны его работы по теории стабилизации корабля, именно по созданию устройств для уменьшения качки корабля.

Методы исследования, развитые Крыловым в области теории корабля, могут быть применены при решении задач в различных областях механики, как, например, в теории гироскопов, в баллистике.

Работами Крылова о качке корабля было положено начало новой науки — строительной механики корабля. Крылов является создателем основ этой пауки, разработка которой велась его учеником И.Г. Бубновым (1872— 1919), П.Ф. Папковичем (1887—1946) и др.

Крылов исследовал также весьма важный в строительной механике корабля Еопрос о вибрации, вызываемой работой машины. Этот вопрос возник после обнаружения значительной вибрации крейсеров «Громобой» и «Баян». В 1901 г. Крылов разработал теорию вибрации корабля. Он впервые применил теорию колебаний к расчету корабельных конструкций и в 1908 г. издал курс «Вибрации судов», в котором даны систематическое изложение теории колебаний систем с одной или несколькими степенями свободы, приложение теории колебаний к расчетам корпусных конструкций, общая теория вынужденных колебаний корабля под воздействием возмущающих сил, вызывающих его вибрацию. Этот курс был издан на основе лекций, прочитанных в 1907 г. в Петербургском политехническом институте, и явился первым в мире курсом по вибрации корабля.

Примененные Крыловым методы математического анализа в работах по вибрации корабля могут быть использованы и в других областях прикладной математики и механики. Основой этих методов является численное интегрирование дифференциальных уравнений, к которым сводятся различные задачи математической физики и задачи кораблестроения.

Крылов заложил основы не только теоретических, но и экспериментальных исследований по строительной механике корабля. Им был создан прибор для регистрации напряжений, возникающих в связях корабля во время плавания. Первые записи с помощью этого прибора были произведены в 1902 г. Крылов провел также опыты по определению нагрузок, действующих в условиях льда. Опыты показали, что изгибающие моменты в корпусе ледокола в условиях льда могут в 1,5 раза превысить расчетные моменты на волне.

Таким образом, Крылов положил начало исследованиям основных вопросов строительной механики корабля, причем его работы в этой области имеют значение не только для решения вопросов, связанных с проектированием корабля, но и для развития механики в целом. Здесь в первую очередь следует отметить исследования Крылова по теории колебаний, по решению статических и динамических задач механики.

Большое внимание А.Н. Крылов уделил теории гироскопов, которой начал заниматься в связи с изучением качки корабля, магнитных компасов, а затем полета снарядов. В 1907 г. он написал работу «Теория и расчет гироскопического успокоителя качки системы О. Шлика», которую доложил в 1908 г. в Петербургском политехническом институте и опубликовал в 1909 г. В этой работе Крылов разработал общую теорию гироскопического стабилизатора для уменьшения боковой качки корабля. Он рассмотрел гироскопы с двумя и тремя степенями свободы, гироскопический маятник, гирокомпас, гироскопический стабилизатор корабля и дал описание некоторых гироскопических приборов, причем для гирокомпаса исследовал его курсовую и баллистическую девиации.

ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ И СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

Связь между прикладными задачами и теоретическими обобщениями в русской механике второй половины XIX — начала XX в. получила также яркое выражение в работах по теории упругости и сопротивлению материалов.

Задачи теории упругости и сопротивления материалов решались еще в XVII—XVIII вв.; выше говорилось, в частности, о некоторых работах в этой области, выполненных Эйлером.

В России развитие теории упругости тесно связано прежде всего с именем М.В. Остроградского, который опубликовал две статьи о малых колебаниях неограниченной изотропной упругой среды при данном начальном ее возмущении. Эти работы — «Об интегрировании уравнений в частных дифференциалах, относящихся к малым колебаниям упругой среды» и «Мемуар об интегрировании уравнений в частных дифференциалах, относящихся К малым колебаниям упругих тел» — были напечатаны в 1-м и 2-м томах «Мемуаров Петербургской академии наук» в 1831—1833 гг.

После работ М.В. Остроградского большой вклад в дальнейшее развитие теории упругости и сопротивления материалов внесли его ученики Д.И. Журавский, Г.В. Паукер, а также А.В. Гадолин, X. С. Головин, В.Л. Кириичев, Ф.С. Ясинский и многие другие. Д.И. Журавский (1821 — 1891) — воспитанник Института инженеров путей сообщения — был замечательным ученым и инженером, основоположником русской школы мостостроения. В работе «О мостах раскосной системы Гау» (СПб., 1855—1856) он первый дал теорию расчета мостовых ферм и формулу для расчета изогнутых балок на изгиб при наличии скалывающих напряжений в них. Крупнейшие иностранные ученые-механики, в том числе Сен-Венан, отметили значение работ Журавского как первого ученого, пополнившего теорию изгиба новым открытием. В ряде курсов вывод, полученный Журавским, называется теоремой Журавского.

Позднее, во второй половине XIX — начале XX в., среди русских мостостроителей особо выделялись профессора Н.А. Белелюбский (1845—1922) и Л.Д. Проскуряков (1858-1926).

Белелюбский построил первую в России лабораторию по испытанию материалов и провел большие работы по определению механических характеристик цемента и бетона. Проскуряков первым в России начал применять фермы с треугольной решеткой. Кроме того, он опубликовал несколько курсов по сопротивлению материалов, получивших широкое распространение в высших технических заведениях России.

Профессор Инженерной академии и почетный член Петербургской академии наук Г.Е. Паукер (1822—1889) был создателем первоклассных военных и портовых сооружений и большого числа гражданских зданий, а также автором первого в России курса «Строительной механики» (СПб., 1891). Ему принадлежит ряд исследований по расчету сводов и глубины залегания мостовых опор. В 1849 г. Паукер опубликовал большую работу «О проверке устойчивости цилиндрических сводов».

С именем профессора Артиллерийской академии А.В. Гадолина (1828—1892) связаны многочисленные усовершенствования в артиллерии. В работе «О сопротивлении стен орудия давлению пороховых газов при выстреле» («Артиллерийский журнал», 1861) он указал на необходимость руководствоваться при проектировании орудийных стволов началами теории упругости, в частности использовать для этого задачу Ламе (1795—1870) о равновесии полого цилиндра под действием равномерного внешнего и внутреннего давления. Он получил формулу Ламе для определения сопротивления стен цилиндра, подвергающихся внутреннему давлению. Формула, как показал Гадолин, давала величину наибольшего значения истинного давления; для определения нижней границы давления дается особая формула.

Значение другого исследования Гадолина — «Теория орудий, скрепленных обручами» («Артиллерийский журнал», 1861) — заключалось в предложенном впервые методе расчета упругопрочного сопротивления орудийных стволов при скреплении их стальными кольцами. За эту работу в 1864 г. автору была присуждена Большая Михайловская премия.

Разработкой прикладных вопросов теории упругости занимался военный инженер X. С. Головин (1844—1904). В работе «Одна из задач статики упругого тела» (1880— 1881) он впервые дал расчет упругой арки методами теории упругости. В этой работе Головин рассматривает плоскую задачу об изгибе бруса, на внешнем радиусе которого приложены силы, распределенные по определенному закону, а на внутреннем радиусе внешние силы отсутствуют.

Большая заслуга в развитии механики и сопротивления материалов принадлежит В.Л. Кирпичеву (1845— 1913). Кирпичев учился в Михайловской артиллерийской академии и в ней же начал в 1868 г. преподавательскую деятельность. Позднее Кирпичев преподавал также в Петербургском технологическом институте (с 1876 г. — в качестве профессора). В 1885 г. он был поставлен во главе вновь учрежденного Харьковского технологического института, а в 1898 г. — Киевского политехнического института; в организации обоих он принял решающее участие. С 1903 г. Кирпичев работал в Петербургском политехническом институте. Здесь он создал лабораторию прикладной механики, где под его руководством проводились научные исследования, в частности изучение деформаций оптическим методом. Кирпичев читал многие курсы — механику, сопротивление материалов, графическую статику, детали машин и др. Он написал ряд учебников, среди них «Сопротивление материалов» (СПб., 1884), «Основания графической статики» (1902) и широко известные «Беседы о механике» (1907). В статье «О подобии при упругих явлениях» («Журнал Русского физико-химического общества», 1874) Кирпичев вывел условия подобия упругих тел, сделанных из одного материала: два таких тела, подобные до приложения к ним внешних сил, остаются подобными и после их действия, если силы распределены по поверхностям обоих тел подобным образом и величины соответствующих сил на единицу поверхности каждого из тел одинаковы.

Значительный вклад в развитие теории упругости, сопротивления материалов, статики сооружений внес Ф.С. Ясинский (1856—1899). По окончании Петербургского института инженеров путей сообщения Ясинский работал на железных дорогах. В 1896 г. он был избран профессором Петербургского института инженеров путей сообщения. Большая часть научных исследований Ясинского связана с его инженерной деятельностью. В 1893 г. он опубликовал большую работу «Опыт развития теории продольного изгиба». Кроме того, ему принадлежит ряд важных работ по теории устойчивости упругих стержней. В начале своей научной деятельности теорией упругости успешно занимался выдающийся математик

B. А. Стеклов, имя которого нам еще встретится далее. В 1893 г. он напечатал три работы: «Одна задача из теории упругости», «О равновесии упругих цилиндрических тел», «О равновесии упругих тел вращения», а в 1899 г. появилась его четвертая работа «К задаче о равновесии упругих изотропных цилиндров». Все они были опубликованы в «Сообщениях Харьковского математического общества».

Вопросы устойчивости упругих систем приобрели в начале XX в. огромное значение в различных областях техники, поэтому многие русские ученые весьма серьезно занимались решением связанных с этой проблемой задач.

В этой области важные результаты были получены

C. П. Тимошенко (родился в 1878 г.), который до 1919 г. преподавал в Петербургском и Киевском политехнических институтах; в 1920 г. Тимошенко выехал за границу. До отъезда из России он написал много работ по теории устойчивости упругих систем (стержней, пластин, оболочек). За работу «Об устойчивости упругих систем» («Известия Киевского политехнического института», 1910) Тимошенко был удостоен премии Д.И. Журавского. В этой работе он оригинально развил приближенный метод Дж. Рэлея и В. Ритца для определения частот колебаний в упругих системах; прием Тимошенко основан на рассмотрении энергии системы. Помимо большого числа научных исследований Тимошенко написал замечательные учебники: «Курс сопротивления материалов» (изд. 1. Киев, 1911), «Курс теории упругости» (СПб., 1914) и др. Учебниками Тимошенко до сих пор пользуются в высших учебных заведениях.

Новый приближенный метод интегрирования дифференциальных уравнений теории упругости был разработан профессором Петербургского политехнического института и Морской академии И.Г. Бубновым (1872—1919). Впервые этот метод, не связанный с вычислением энергии системы, Бубнов описал в 1911 г. в отзыве на упомянутое выше сочинение Тимошенко, представленное на премию имени Журавского. Затем Бубнов использовал этот метод для решения задач на устойчивость пластин, важных в расчетах обшивки корабельного корпуса. Задачи на расчет жестких и гибких пластин разобраны в известном курсе Бубнова «Строительная механика корабля» (СПб., 1912). Бубнову принадлежат очень большие заслуги в теории и практике кораблестроения, в частности он явился в России пионером строительства подводных лодок, первая из которых была спущена на воду в 1903 г.

Дальнейшее развитие метод Бубнова получил в трудах Б.Г. Галеркина (1871—1945), прежде всего в статье «Стержни и пластинки» («Вестник инженеров», 1915). Воспитанник Петербургского политехнического института, Галеркин начал преподавательскую и научную деятельность в 1909 г. Особенно широко развернулось его научное творчество уже после Октябрьской революции.

Метод Бубнова — Галеркина, в некоторых отношениях более общий и простой, чем метод Рэлея—Ритца—Тимошенко, получил очень широкое распространение, применяется он и теперь к ряду задач вариационного исчисления, функционального анализа и математической физики.

В связи с потребностями кораблестроения теорией упругости занимался и А.Н. Крылов. В частности, ему принадлежит подробное исследование вынужденных колебаний стержней постоянного сечения, сперва напечатанное в «Mathematische Annalen» за 1905 г. и затем включенное в упоминавшийся курс дифференциальных уравнений математической физики. Обобщенный для этой задачи метод Пуассона, примененный Пуассоном к свободным колебаниям, Крылов применил к вынужденным колебаниям груза, подвешенного к концу растяжимой нити, и к связанным с этой задачей вопросам — теории индикатора паровой машины, измерению давления газа в канале орудия и к крутильным колебаниям вала с маховиком на конце.

Целый ряд задач теории упругости — по устойчивости стержней и пластин, вибрациям стержней и дисков и пр. — решил в 1911—1913 гг. А.Н. Дынник (1876— 1950). Дынник окончил Киевский политехнический институт в 1899 г. и с 1911 г. состоял профессором Горно-металлургического института в Днепропетровске. Он продолжал успешные изыскания по теории упругости и в советский период.

К 1914 г. относится начало работ по теории упругости Л.С. Лейбензона (1879—1951) — прежде всего по устойчивости упругого равновесия длинных сжатых стержней с первоначальным кручением около прямолинейной оси стержня, а затем по устойчивости сферической и цилиндрической оболочек. Практическое значение первой задачи ясно из того, что всем известные теперь сетчатые башни системы В.Г. Шухова составлены из закрученных прямолинейных образующих.

Исследованиями в области теории упругости занимался в начале XX в. и С.А. Чаплыгин. К 1900 г. относятся его рукописи «Деформация в двух измерениях» и «Давление жесткого штампа на упругое основание», которые впервые были напечатаны лишь в 1950 г. В этих статьях Чаплыгин разработал метод решения плоской задачи теории упругости, основанный на применении теории функций комплексного переменного, и использовал его при решении задачи об эллиптическом отверстии в бесконечной плоскости и задачи о вдавливании прямоугольного штампа в упругую полуплоскость.

Аналогичный метод решения плоской задачи теории упругости был разработан Г.В. Колосовым (1867—1936). В 1909 г. Колосов опубликовал весьма важную работу «Об одном приложении теории функций комплексного переменного к плоской задаче математической теории упругости», где им были установлены формулы, выражающие компоненты тензора напряжений и вектора смещения через две функции комплексного переменного, аналитические в области, занимаемой упругой средой. В 1916 г. метод Колосова был применен к тепловым напряжениям в плоской задаче теории упругости Н.И. Мусхелишвили. Деятельность Мусхелишвили, как и некоторых других названных здесь ученых, развернулась во всей широте уже после Октябрьской революции.

ФИГУРЫ РАВНОВЕСИЯ ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ

Вкратце остановимся на проблеме фигур равновесия вращающейся жидкости, в разработку которой основной вклад внес А.М. Ляпунов.

Ньютон показал, что под влиянием центробежных сил и взаимного притяжения своих частиц однородная жидкость при малой угловой скорости принимает форму сжатого эллипсоида вращения. Вопрос о форме, принимаемой равномерно вращающейся вокруг неподвижной оси жидкой массой, все частицы которой взаимно притягиваются по закону Ньютона, приобрел весьма важное значение при исследовании проблем космогонии.

В XVIII—XIX вв. при решении этой проблемы исходили из гипотезы о том, что на некоторой стадии развития небесные тела были жидкими. А. Клеро показал, что если скорость вращения жидкой массы очень мала, то за поверхности уровня с достаточной степенью точности могут быть приняты поверхности эллипсоидов вращения. Но этот результат справедлив лишь в первом приближении, а теория Клеро не позволяла найти более высокие приближения. Затем А. Лежандр и П. Лаплас предложили методы, которые позволяли находить последовательные приближения.

В 1829 г. Пуассон отметил, что результаты Лежандра и Лапласа также оставляют желать много лучшего, поскольку не был исследован вопрос, будут ли сходящимися ряды, к которым приводят их методы. Создавшаяся ситуация и побудила Ляпунова продолжить исследования. Ляпунов в отличие от Лежандра, Лапласа и Пуассона не пользовался разложением в ряд, а рассмотрел уравнения задачи (из которых первое является уравнением Клеро) при весьма общих предположениях о законе распределения плотности вращающейся жидкой массы.

Ляпунов поставил вопрос в общей форме и, основываясь на положении Лагранжа о минимуме потенциала, дал строгое решение задачи.

В магистерской диссертации «Об устойчивости эллипсоидальных форм равновесия вращающейся жидкости» (1884) Ляпунов впервые дал точное определение понятия устойчивости вращающейся жидкости. Он доказал, что признак устойчивости системы, обладающей конечным числом степеней свободы, не может быть перенесен на случай движения жидкости, имеющей бесконечное число степеней свободы. Далее Ляпунов установил достаточный критерий устойчивости фигур равновесия и показал, что эллипсоид вращения является устойчивой фигурой равновесия, если его эксцентриситет не превышает некоторой, определенной Ляпуновым величины.

В 1901 г. Ляпунов, преодолев огромные математические трудности и разработав ряд новых аналитических методов, выполнил строгое исследование вопроса о существовании новых фигур равновесия жидкости, равномерно вращающейся вокруг некоторой оси, если частицы жидкости взаимно притягиваются по закону Ньютона.

«Даже с внешней стороны серия мемуаров и отдельно изданных книг [Ляпунова] по вопросу о фигурах равновесия вращающейся жидкости поражает своей грандиозностью», — отмечал Стеклов{225}.

Основной результат исследования Ляпунова таков: при наложении определенных требований на плотность жидкости для всех значений угловой скорости вращения, не превосходящих некоторого определенного предела, существует фигура равновесия вращающейся массы неоднородной жидкости, находящейся в поле своего собственного тяготения.

Работы Ляпунова по фигурам равновесия вращающейся жидкости вызвали длительную дискуссию Ляпунова с английским ученым Дж. Дарвином (1845—1912).

Дж. Дарвин исследовал вопрос об устойчивости форм равновесия вращающейся жидкости, которым А. Пуанкаре (1854—1912) дал название грушевидных (для случая вязкой жидкости). По формулам Пуанкаре, которыми пользовался английский ученый, устойчивость или неустойчивость зависит от знака некоторой величины А.

Пользуясь методом приближенных вычислений, Дарвин после весьма сложных расчетов нашел А < 0, откуда следовало, что эти формы устойчивы. На этом Дж. Дарвин построил свою космогоническую гипотезу развития двойных звезд.

Однако грушевидные фигуры равновесия получаются как частный случай из бесчисленного множества других фигур равновесия, строго выведенных Ляпуновым, причем для А получается точное выражение в виде алгебраической функции двух аргументов. Это позволило Ляпунову в результате довольно сложных вычислений, проверенных несколькими способами, показать, что А > 0, т. е. грушевидные формы неустойчивы. Иными словами, воспользовавшись без достаточной математической осторожности приближенными формулами, Дж. Дарвин получил ошибочный результат.

Об этом разногласии Ляпунов писал в работе «Об одной задаче Чебышева» (1905) и в серии мемуаров «О фигурах равновесия вращающейся и однородной жидкой массы, мало отличных от эллипсоидов», печатавшейся в «Записках Академии наук» в 1906—1914 гг. В третьей части этой работы, вышедшей в 1912 г., он подробно изложил выводы своих точных формул и все вычисления.

Пуанкаре утверждал в 1911 г., что «грушевидная форма, может быть, устойчива, но нет уверенности, что это действительно так». Дж. Дарвин считал эту фигуру устойчивой; Ляпунов же пришел к противоположному результату. Чтобы окончательно доказать правильность своей точки зрения, Ляпунов опубликовал ряд фундаментальных работ, в которых дал безукоризненное математическое доказательство своего утверждения. Таким образом, возникшая между А.М. Ляпуновым и Дж. Дарвином полемика закончилась полной победой русского ученого. Впрочем, на Западе отдельные ученые продолжали сомневаться, на чьей стороне истина. Только в 1917 г., после опубликования работы Дж. Джинса (1877—1946), зарубежные ученые окончательно признали полную правоту Ляпунова. Джине обнаружил ошибку в вычислениях Дж. Дарвина, приведшую к неверному выводу об устойчивости грушевидных фигур.

Труды Ляпунова по фигурам равновесия вращающейся жидкости до сих пор остаются непревзойденными. Все работы отечественных и зарубежных ученых, выполненные после смерти Ляпунова, в той или иной степени основаны на его идеях и методах.

ГИДРОДИНАМИКА И ГИДРАВЛИКА

Важнейшим результатом развития механико-математической мысли в России в конце XIX и в начале XX в. было появление классических работ по гидродинамике и гидравлике, принадлежащих Н.Е. Жуковскому.

Николай Егорович Жуковский (1847—1921), сын инженера, окончил физико-математический факультет Московского университета в 1868 г. С 1872 г. он преподавал в Московском техническом училище сначала математику, а затем — с 1874 по 1919 г. — механику. В 1886 г. Жуковский возглавил кафедру механики в Московском университете и в течение многих лет руководил Московским математическим обществам, с 1903 г. как его вице-президент и с 1905 г. — как президент.

Преподавательская работа в двух крупнейших учебных заведениях России отражала в некоторой мере основное направление научной деятельности Жуковского, его стремление увязать развитие научных и технических идей и на основе общих теоретических построений получать решения задач, выдвигаемых практикой.

Жуковского особенно привлекал своей наглядностью геометрический метод изложения механики. В своей магистерской диссертации «Кинематика жидкого тела» (1876) он наряду с аналитическим методом широко использует геометрический метод исследования, что дало ему возможность представить ясную картину законов движения частицы жидкости в потоке. Эта работа открыла ряд его исследований в области гидродинамики.

НИКОЛАЙ ЕГОРОВИЧ ЖУКОВСКИЙ (1847—1921)

Русский ученый, основоположник современной гидродинамики и аэродинамики. Под его руководством в 1918 г. был создан Центральный аэрогидродинамический институт (ЦАГИ) 

Уже в первые годы научной деятельности Н.Е. Жуковский исследует широкий круг вопросов в области общей механики, механики твердого тела, гидродинамики, астрономии. Он изучает вопрос об ударе твердых тел (1878—1885), о гироскопических приборах и маятниках (1881—1895), дает геометрическую интерпретацию общего случая движения твердого тела вокруг неподвижной точки (1892). Особое место среди его работ по общей механике занимает докторская диссертация «О прочности движения», которую Жуковский защитил в 1882 г. В этом исследовании, посвященном одной из кардинальных проблем механики, Жуковский впервые ввел понятие о мере устойчивости движения, разработал метод оценки устойчивости движения.

В этом разделе мы рассмотрим работы Жуковского в области гидродинамики и гидравлики. В 1885 г. он опубликовал капитальный труд «О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородной капельной жидкостью». Во введении он отмечает, что в первой и второй части работы рассмотрена общая теория движения тела и заключенных в нем твердых и жидких масс при условии отсутствия трения и в предположении, что скорости жидкостей имеют потенциал. Жуковский указывал, что в этом случае поступательное движение твердого тела с полостями, наполненными жидкостями, не будет отличаться от движения сплошного твердого тела, так как оно не вызывает движения частиц относительно тела. Вращательное же движение тела вызывает и полностью определяет относительное движение жидкости в полостях. В этой работе, получившей в Московском университете премию имени Брашмана, проявились основные черты научного творчества Жуковского.

В 1887 г. были изданы лекции Жуковского по гидродинамике, которые он читал в Московском университете. Во введении к лекциям он отметил, что гидродинамика является одной из блестящих глав механики, дал анализ ее развития, начиная с работ Даниила Бернулли, Даламбера, Эйлера.

В этой работе Жуковский, по-прежнему используя геометрический метод исследования, дал картину движения с образованием струй. Метод Жуковского можно было применить к исследованию турбин, удара бесконечного потока о тела, ограниченные кривыми контурами, истечения жидкости из сосудов с кривыми стенками.

При решении вопроса о течениях с отрывом струй Жуковский использовал математический аппарат теории функций комплексного переменного, который впоследствии нашел широкое развитие и применение в работах русских механиков. Жуковский развил также и фрикционную теорию сопротивления среды движущимся в ней телам. В 1887—1890 гг. он распространяет эту теорию на случай определения сопротивления судов и в работе «О форме судов», опубликованной в 1890 г., четко формулирует понятие о пограничном слое. Таким образом, в 70—80-е годы XIX в. Н.Е. Жуковский исследует задачи классической теоретической механики и гидродинамики и создает новые методы исследования в этой области.

В конце 80-х годов XIX в. характер и направление работ Жуковского несколько изменяются: появляются исследования, непосредственно связанные с требованиями техники, и они начинают занимать все большее место. Следует отметить, что на работах Жуковского сказалось развитие не столько старых, «классических», отраслей промышленности, но преимущественно новых тенденций в развитии техники. Вернее, в творчестве Жуковского мы видим переход от проблем, навеянных старыми отраслями техники (водопровод, железнодорожный транспорт и др.), к проблемам, связанным с новыми отраслями (авиация).

В области гидравлики Жуковский выполнил крупные исследования, связанные с течением грунтовых вод; непосредственным поводом здесь послужили задачи, возникшие при реконструкции московского водопровода. В работах «Теоретическое исследование о движении подпочвенных вод» (1888) и «О влиянии давления на насыщенные водою пески» (1888) Жуковский установил связь между изменением уровня подпочвенных вод и изменением барометрического давления. Он показал, что величина колебания уровня подпочвенных вод зависит от толщины водоносного слоя, и вывел формулы для определения запаса воды, имеющегося под землей. При решении этих вопросов Жуковский широко пользовался экспериментальными данными.

Эти исследования Жуковского были подытожены в 1898 г. опубликованием капитального труда «О гидравлическом ударе в водопроводных трубах». В то время никак не могли решить весьма сложный вопрос о причинах аварий магистральных труб Рублевского водопровода. Жуковский установил, что причиной этих аварий является гидравлический удар, т. е. явление резкого повышения давления в трубах при быстром закрытии задвижки в трубе. На основании многих опытов он выявил физическую сущность явления гидравлического удара и дал формулы для определения времени, необходимого для безопасного закрытия водопроводных труб (без появления гидравлического удара), а также способ предохранения водопровода от повреждений вследствие гидравлического удара. Теория гидравлического удара, уже в первые годы своего появления ставшая известной за рубежом, принесла Жуковскому мировую славу; до настоящего времени она является основой решения задач, связанных с явлениями гидравлического удара.

Исследованиями по гидравлическому удару Жуковский показал, какие широкие возможности открывает эксперимент. Сочетание теоретических и экспериментальных исследований и в дальнейшем является характерной чертой научного творчества Жуковского. Н.Е. Жуковский возвращался к тому же кругу вопросов и позднее, в статьям «К вопросу о величине диаметра водонапорной колонны, соединенной длинной трубой с открытым резервуаром» (1902) и «О повреждении водопроводных труб, случившемся 7 февраля 1914 г.».

Несколько работ Жуковского посвящено изучению вопросов речной гидравлики. Таковы статьи «О движении воды на повороте реки» (1914), которая имеет существенное значение для изучения основных процессов формирования речного русла, и «К вопросу о выборе на реке мест забора и выпуска воды для охлаждения машин больших силовых станций» (1915).

Коротко остановимся еще на одном отделе гидродинамики, созданном в связи с новыми потребностями промышленного производства. Мы имеем в виду гидродинамическую теорию смазки, разработанную Н.П. Петровым (1836-1920).

В Инженерной академии занятиями Николая Павловича Петрова по прикладной механике руководил Вышнеградский, а по математике — Остроградский. Работал Петров главным образом в области железнодорожного транспорта, занимая ответственные должности в Министерстве путей сообщения. Он был также профессором Инженерной академии и Петербургского политехнического института.

Определяющими в творчестве Петрова были задачи техники, которые он подвергал глубокой научной трактовке. Таковы, например, его важные исследования, посвященные прочности рельсов, давлению колес на них, устойчивости железнодорожных путей, тормозным системам и пр. Таковы были и его исследования по гидродинамической теории смазки, доставившие ему мировую известность. Петров сам указывал, что они были вызваны нуждами современной промышленности, переходившей от применения органических смазывающих веществ к минеральным. Последние начала производить возникшая тогда в России нефтяная промышленность. Минеральные вещества были значительно дешевле, чем органические, однако первоначально вследствие неумелого применения использование их давало плохие результаты.

Первая печатная работа Петрова по гидродинамической теории смазки вышла в 1883 г. в «Инженерном журнале» под заглавием «Трение в машинах и влияние на него смазывающей жидкости» и была удостоена Ломоносовской премии Академии наук. За ней последовала работа «О трении хорошо смазанных твердых тел и о главных результатах опытов над внутренним и внешним трением некоторых смазывающих жидкостей» (1884).

Для проверки предложенной теории Петров произвел разнообразные опыты.

Основные законы сухого трения были установлены французским ученым Ш. Кулоном (1736—1806) еще в конце XVIII в., но действие смазывающих веществ оставалось непонятным, несмотря на то, что предпринималось много попыток разрешить этот вопрос экспериментально. Оказалось, что при различных условиях смазки сила трения могла сильно меняться. Величина же силы трения при наличии смазки зависит от закона движения смазывающей вязкой жидкости (например, машинного масла). Поскольку в 80-х годах XIX в. гидродинамика вязкой жидкости была разработана очень слабо, причина возникновения трения и обусловливающие его величину физико-механические факторы оставались неясными. Именно Петров сформулировал законы изучаемых явлений, могущие лечь в основу расчета элементарных сил трения.

Как указывает известный немецкий ученый А. Зоммерфельд, « Н.П. Петров первый поднял вопрос о том, что явление трения в подшипнике подчиняется закону внутреннего трения смазочного материала, и подкрепил свою точку зрения теорией и опытом»{226}. Почти одновременно (1884—1886) и независимо от него основы гидродинамической теории смазки разработал также английский ученый О. Рейнольдс (1842—1912). В 1900 г. Петров в работе «Трение в машинах» значительно продвинул исследования в этой области. Н.Е. Жуковский также занимался изучением теории смазки и посвятил ей несколько работ. В первой из них, «О гидродинамической теории трения хорошо смазанных твердых тел» (1886), он ставит вопрос: «Откуда же берется сила, уравновешивающая давление шипа на подшипник?»{227} Он решает эту задачу, считая, что возрастание давления в слое… «могло бы быть получено при рассматривании движения весьма тонкого жидкого слоя, заключенного между двумя неконцентрическими цилиндрическими поверхностями»{228}. Таким образом, Рейнольдс и Жуковский почти одновременно и независимо друг от друга установили главную причину несущей способности вращающегося шипа в подшипнике.

В статье «О трении смазочного слоя между шипом и подшипником» (1906), написанной Жуковским совместно с Чаплыгиным, дано точное решение задачи о движении смазочного слоя. Эта классическая работа Жуковского и Чаплыгина имеет большое практическое значение; она вызвала ряд теоретических и экспериментальных исследований.

В рассматриваемый период большой вклад в развитие гидродинамики внес В.А. Стеклов. Скажем несколько слов о жизненном пути этого выдающегося ученого. Владимир Андреевич Стеклов (1864—1926) родился в Нижнем Новгороде. В 1883 г. он поступил на физико-математический факультет Харьковского университета. Два года спустя научным руководителем его здесь стал Ляпунов, оказавший сильное влияние на интересы молодого Стеклова. Под влиянием Ляпунова Стеклов занялся вопросами гидромеханики и математической физики, а также связанными с ними проблемами математики. В 1894 г. Стеклов защитил диссертацию «О движении твердого тела в жидкости» па степень магистра прикладной математики, а в 1902 г. — диссертацию «Общие методы решения задач математической физики» на степень доктора прикладной математики. С 1906 г. он возглавил кафедру математики в Петербургском университете, где воспитал целую плеяду последователей. В 1910 г. он был избран академиком (членом-корреспондентом Академии наук он состоял с 1903 г.). После Октябрьской революции Стеклов в числе других представителей русской интеллигенции стал на сторону Советской власти. В качестве вице-президента Академии наук он вел большую и чрезвычайно плодотворную научно-организационную работу.

Приступая к исследованию того или иного вопроса, Стеклов обычно исходил из общих уравнений и намечал общий метод решения. Если же на пути встречались непреодолимые трудности, он или указывал способ приближенного решения, или ставил точно определенные, ограничивающие условия и затем подробно исследовал частные случаи. Так он поступил в 1890—1891 гг. в ряде статей, а также в магистерской диссертации «О движении твердого тела в жидкости». В диссертационной работе он вывел уравнения движения тела в жидкости при весьма общих предположениях относительно твердого тела: 1) тело ограничено поверхностью произвольного порядка связности; 2) внутри тела имеется конечное число наполненных жидкостью полостей; 3) силы, приложенные к телу, могут быть какими угодно, а для сил, приложенных к жидкости, существует силовая функция; 4) жидкость, предполагающаяся идеальной и несжимаемой, вне тела безгранична и на бесконечности имеет скорость, равную нулю; 5) скорости точек жидкости в полостях тела и вне его имеют потенциал.

Для интегрирования уравнений движения в случае, когда отношение плотности жидкости, окружающей тело, к плотности тела и той жидкости, которая заключается в его полостях, достаточно мало, Стеклов применяет метод последовательных приближений. При этом предполагается, что поверхность тела односвязная и движение происходит по инерции. В этой же работе намечен интересный вопрос о возможности периодических решений.

Далее Стеклов описывает различные возможные случаи движения тела в жидкости: им рассматриваются постоянные винтовые движения и колебательные движения тела, имеющего плоскость симметрии. Наиболее важной является глава, в которой устанавливается случай полной интегрируемости уравнений движения при любых начальных условиях в предположении односвязной поверхности тела и отсутствия внешних сил, приложенных к телу или жидкости. Дальнейшим развитием диссертационной работы Стеклова и других его более ранних исследований явилась статья «О движении твердого тела в бесконечной жидкости» (1902).

Из других работ Стеклова, посвященных гидродинамике, надо указать также статьи «Один случай движения вязкой несжимаемой жидкости» (1896) и «О теории вихрей» (1908). В работе «Проблема движения жидкой несжимаемой массы эллипсоидальной формы, части которой притягиваются по закону Ньютона» (1908—1909), им рассмотрены все возможные случаи движения жидкого эллипсоида.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРИКЛАДНАЯ АЭРОДИНАМИКА. НАЧАЛО РАЗВИТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ

В разработку теоретических основ авиации огромный вклад внесли Н.Е. Жуковский и С.А. Чаплыгин. Вопросами полета на аппаратах тяжелее воздуха Жуковский заинтересовался еще в конце 80-х годов. В эти годы одной из основных проблем при решении задачи полета на аппаратах тяжелее воздуха являлась проблема подъемной силы. Исследователи ощупью, главным образом на основе эксперимента, стремились в то время решить задачу о подъемной силе крыла. Было получено большое число экспериментальных данных, годных для оценки величины подъемной силы только в частных случаях. Попытки оценить величину подъемной силы на основе теоретических предпосылок, и в частности на основе господствовавшей в то время теории струйного течения, приводили к результатам, значительно отличающимся от опытных.

Жуковский считал необходимым первоначально установить физическую картину появления подъемной силы. В работе «К теории летания» (1890) он высказал мысль, что подъемная сила может явиться результатом некоторого вихревого движения, обусловленного вязкостью жидкости.

В 1890—1891 гг. он поставил интересные опыты с пластинкой, вращающейся в потоке воздуха, которые предвосхитили его идею о присоединенных вихрях, положенную им в основу создания теории подъемной силы.

В эти годы Жуковский изучает целый комплекс вопросов, связанных с решением задачи полета на аппаратах тяжелее воздуха. Уже в то время он обратил внимание на необходимость изучения вопросов устойчивости самолета. В статье «О парении птиц» (1891) он впервые рассмотрел задачу о динамике полета на аппаратах тяжелее воздуха. Жуковский теоретически обосновал возможность осуществления сложных движений самолета в воздухе, в частности «мертвой петли». Впервые «мертвая петля» была выполнена в 1913 г. русским военным летчиком П.Н. Нестеровым (1887—1914). В той же статье Жуковский исследовал также вопрос о центре давления аэродинамических сил и показал, что положение центра давления изменяется с изменением угла атаки.

В 1890—1891 гг. Жуковский ставит эксперименты с целью изучения закона изменения положения центра давления крыла с простейшим профилем — плоской пластинки. Уже тогда он обратил внимание на важность исследования вопросов устойчивости посредством испытаний планеров и змеев.

Жуковский изучает также вопрос о тяге винта. Он рассматривает вопрос о возможности создания летательных аппаратов тяжелее воздуха с машущими крыльями, о целесообразности применения многовинтовых геликоптеров, о прочности гребных винтов («К теории летания» — 1890, «О крылатых пропеллерах» — 1898, «О полезном грузе, поднимаемом геликоптером» —1904). Он определяет условия наиболее экономичного полета самолета и в 1897 г. дает метод вычисления наивыгоднейшего угла атаки («О наивыгоднейшем угле наклона аэроплана»).

Жуковский придавал большое значение постановке опытов в аэродинамических трубах. В его университетской лаборатории в 1902 г., а затем в 1905—1906 гг. были построены аэродинамические трубы. В 1904 г. по идее Жуковского был основан Аэродинамический институт в Кучино, оборудованный новейшими по тому времени приборами.

Наблюдения над полетом моделей самолетов и змеев, многосторонние экспериментальные исследования аэродинамических сил, действующих на простейшее крыло — пластинку, изучение динамики взаимодействия поступательного и вращательного движений тела и, конечно, глубокие изыскания в области классической гидродинамики позволили Жуковскому в 1905 г. дать исчерпывающее решение задачи о подъемной силе. В замечательной работе «О присоединенных вихрях» (1906) он установил, что подъемная сила возникает в результате обтекания потоком неподвижного присоединенного вихря или системы вихрей, которыми можно заменить тело, находящееся в потоке жидкости. Основываясь на этом, Жуковский доказал знаменитую теорему, позволяющую вычислить величину подъемной силы. По формуле Жуковского, величина подъемной силы равняется произведению плотности воздуха, циркуляции скорости потока вокруг обтекаемого тела и скорости движения тела. Правильность теоремы была подтверждена на основе экспериментов с вращающимися в потоке воздуха продолговатыми пластинками, поставленных по идее Жуковского в 1905—1906 гг. в аэродинамической лаборатории Кучинского института.

Однако применить теорему Жуковского к решению задачи о подъемной силе крыла сразу не удалось, так как еще неизвестно было, как определять величину циркуляции скорости по замкнутому контуру, охватывающему тело, входящую в формулу Жуковского.

В 1910 г. Н.Е. Жуковским и С.А. Чаплыгиным была решена задача о силах, действующих на крыло бесконечного размаха.

Введение Жуковским и Чаплыгиным постулата о сходе с задней кромки струй от верхней и нижней поверхностей крыла, так называемого постулата Жуковского — Чаплыгина, позволило полностью решить задачу о подъемной силе крыла, определить момент этой силы, разработать профиль для крыльев самолетов (профили Жуковского—Чаплыгина). Вместе с тем Жуковский впервые исследовал вопрос о профильном сопротивлении крыла и установил, что существует сопротивление, обусловленное сбеганием вихрей с острой передней кромки крыла.

Этим исследованиям крыла бесконечного размаха посвящен ряд работ Жуковского 1910—1911 гг.: «О контурах поддерживающих поверхностей аэропланов», «Геометрические исследования о течении Кутта», «О поддерживающих планах типа Антуанетт», «Определение давления плоскопараллельного потока жидкости на контур, который в пределе переходит в отрезок прямой».

Исследования Н.Е. Жуковского о подъемной силе составляют основу современной аэродинамики, его теорема о подъемной силе имеет фундаментальное значение для теории крыла.

В связи с развитием работ по аэродинамике по инициативе Жуковского создаются новые лаборатории, расширяются старые. В 1910 г. была основана аэродинамическая лаборатория в Московском техническом училище, где появился, в частности, новый тип труб с плоским потоком, широко применяемый ныне; расширена аэродинамическая лаборатория в Московском университете, в которой была построена новая труба, создан прибор для исследования гребных винтов, а также установка для изучения законов истечения газа. Необходимость изучать течение сжимаемой жидкости была ясна Жуковскому еще в начале его деятельности. Уже в работе «Кинематика жидкого тела» (1876) он разбирал одновременно свойства сжимаемой и несжимаемой жидкости.

В 1908 г. Жуковский обратил внимание на то, что коэффициент сопротивления начинает быстро возрастать при приближении скорости потока к скорости звука. На установке для изучения истечения газа по его идее проводились опыты для определения скорости истечения и силы удара вытекающей струи на маленькие тела.

В области аэродинамики больших скоростей Жуковский написал ряд статей: «Аналогия между движением тяжелой жидкости в узком канале и движением газа в трубе с большой скоростью» (1912); «О движении воды в открытом канале и о движении газов в трубах» (1917); «Движение волны со скоростью, большей скорости звука» (1919) и др. В последней работе Жуковский изложил теорию распространения плоской и сферической волн при больших скоростях и показал возможность применения ее к определению сопротивления снарядов.

В аэродинамических лабораториях Московского университета и Московского технического училища в 1910—1911 гг. были поставлены эксперименты с целью проверки результатов теоретических исследований Жуковского об аэродинамических профилях. С той точностью, какую мог дать в то время эксперимент, теория Жуковского была подтверждена. Вместе с этим опыты с профилями Жуковского позволили установить их ценные аэродинамические свойства, указать направление, в котором должны проводиться изыскания при проектировании различных профилей.

Мысль Жуковского о присоединенных вихрях послужила основой для дальнейшего развития теории крыла и создания вихревой теории винта. Возможность перехода от схемы присоединенного вихря крыла бесконечного размаха к вихревой системе крыла конечного размера и лопасти винта была логически обоснована Жуковским с помощью теоретических исследований Гельмгольца о вихрях, а также на основании экспериментальных данных об образовании вихрей за винтом. Идея замены крыла конечного размаха вихревой схемой лежит в основе исследований С.А. Чаплыгина о подъемной силе и сопротивлении крыла конечного размаха (1913).

Жуковский, предполагая, что лопасть винта эквивалентна П-образному вихрю, создал вихревую теорию винта. Эта теория была опубликована в четырех статьях в 1912, 1913, 1915 и 1918 гг. под одним и тем же названием: «Вихревая теория гребного винта». Теория Жуковского позволяет проектировать и строить воздушные винты всех типов: самолетные винты, вентиляторы аэродинамических труб, несущие винты геликоптеров и т. д. На основе этой теории были построены винты Жуковского — «винты НЕЖ», которые имели значительно лучшие характеристики, чем винты, построенные в то время за границей.

Разработка теории винта является одним из вопросов того широкого круга задач в области аэродинамики и авиации, которым занимался Жуковский. В поле зрения Жуковского были все основные вопросы, выдвигавшиеся быстро развивающейся авиацией, а также вопросы, перспективность развития которых он предвидел.

Придавая большое значение исследованию сопротивления среды, Жуковский уже в 1907—1908 гг. поставил ряд опытов по определению сопротивления шара при малых скоростях и установил, что коэффициент сопротивления шара изменяется в зависимости от величины скорости — результат, позднее полученный А. Эйфелем (1832— 1923), Л. Прандтлем (1875—1953) и др. Причины этого изменения Жуковский на основе анализа спектров обтекания шара объяснил изменением характера обтекания шара при увеличении скорости.

Жуковский считал, что причиной сопротивления тел, движущихся в жидкости, являются «убегающие» с поверхности тела вихри. Поэтому, когда в 1911—1913 гг. появилась теория Кармана — Прандтля, в которой определение сопротивления тел основывалось на рассмотрении вихревой картины, образующейся за обтекаемым телом, Жуковский посвятил ей свое сообщение, сделанное в 1913 г. в Отделении физических наук Общества любителей естествознания («Вихревая теория лобового сопротивления, данная проф. Карманом», 1914).

Особое значение придавал Жуковский изучению устойчивости самолета. Читая в Московском техническом училище лекции по теории авиации, Жуковский в 1912 г. касался вопросов статической продольной устойчивости самолета, в 1913 г. офицерам-летчикам прочел специальную лекцию по динамике самолета «Динамика аэропланов в элементарном изложении (статья первая)», а в 1916 г. под тем же названием была опубликована вторая статья Жуковского. В этих лекциях рассматривается продольная и поперечная устойчивость, дается расчет различных фигур: виража, «мертвой петли» и др., изложены также методы аэродинамического расчета.

Жуковский создал первые научно обоснованные и точные методы аэродинамического расчета самолетов. В 1910—1912 гг. он разработал теорию, в которой имелись основные элементы графоаналитических методов аэродинамического расчета самолета по кривым располагаемых и потребных тяг и мощности (теория глиссад). В 1915—1917 гг. Жуковский развил разработанные им методы аэродинамического расчета самолетов и ввел новые диаграммы, впоследствии получившие название сеток Жуковского.

В 1916—1917 гг. Жуковский и его ученики А.Н. Туполев (1888—1972) и А.И. Некрасов (1883—1957) значительно усовершенствовали указанный метод аэродинамического расчета и предложили ряд новых приемов расчета. В 1917 г. была опубликована работа Жуковского «Аэродинамический расчет аэропланов».

Жуковский исследовал также вопросы прочности самолета. В 1918 г. появилась его большая работа «Исследование устойчивости конструкции аэропланов», в которой рассматривалась «задача о прочности конструкции аэропланов в предположении, что лонжероны обременены равномерной нагрузкой, происходящей от силы давления воздуха на крылья аэроплана и от веса крыльев».

Впервые в России Жуковский положил начало теории бомбометания с аэропланов. В 1915 г. в статьях «Бомбометание с аэропланов», в «Лекциях по баллистике» и «Теории бомбометания с аэропланов» (последние две работы впервые опубликованы в Собрании сочинений, 1950) Жуковский разработал метод определения траектории и скорости бомбы, когда сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости, дал способ учета изменения плотности воздуха с высотой. В этих работах рассмотрены различные практические способы бомбометания и прицельные устройства.

СЕРГЕЙ АЛЕКСЕЕВИЧ ЧАПЛЫГИН (1869—1942)

Советский ученый в области аэро- и гидродинамики, основоположник современной газовой динамики. После смерти Жуковского стал научным руководителем ЦАГИ 

Таким образом, Жуковский разрешил важнейшие вопросы в области аэродинамики и авиации, разработал теоретические основы авиационной техники. Н.Е. Жуковский воспитал поколение ученых, инженеров в различных областях механики. Именно Жуковскому принадлежит идея введения в высших учебных заведениях специальных курсов: «Теория притяжения», «Теория регулирования», «Теоретические основы воздухоплавания», на которых воспитывались кадры специалистов в соответствующих областях знаний. Особенно велики заслуги Жуковского в воспитании авиационных специалистов.

В 1909—1910 гг. в Московском техническом училище и в 1910—1911 гг. в Московском университете Жуковский ввел курс «Теоретические основы воздухоплавания». С 1913 г. Жуковский читает лекции по динамике аэропланов на теоретических курсах для летчиков-добровольцев авиационной школы Московского общества воздухоплавания, которыми он заведовал в 1914—1917 гг.

В 1916 г. Жуковскому удалось организовать при Аэродинамической лаборатории Московского технического училища расчетно-испытательное бюро, в котором была сосредоточена экспериментально-теоретическая работа по созданию самолетов.

Если говорить о творчестве Н.Е. Жуковского во второй половине 90-х годов и в 900-е годы, то нельзя его отделить от деятельности С.А. Чаплыгина.

Сергей Алексеевич Чаплыгин родился 5 апреля 1869 г. в г. Раненбурге (теперь г. Чаплыгин) Рязанской губернии; учился на математическом отделении физико-математического факультета Московского университета. В университете он слушал лекции В.Я. Цингера, А.Г. Столетова, Н.Е. Жуковского и других выдающихся ученых. Под влиянием работ Жуковского по гидродинамике Чаплыгин, еще будучи студентом, написал статью «О движении тяжелых тел в несжимаемой жидкости». В 1890 г. Чаплыгин окончил университет и по ходатайству Жуковского был оставлен для подготовки к профессорскому званию.

Преподавательская деятельность Чаплыгина в высших учебных заведениях началась с 1894 г., когда он стал приват-доцентом Московского университета. В 1895— 1901 гг. он преподавал математику и механику в Межевом институте, в 1896—1906 гг. — механику в Московском техническом училище, а с 1901 г. являлся профессором механики Московских высших женских курсов, которыми заведовал в 1905—1918 гг. Первые научные работы С.А. Чаплыгина были посвящены гидромеханике. В 1893 г. он написал большой мемуар «О некоторых случаях движения твердого тела в жидкости», который был удостоен премии имени Брашмана. В 1897 г. появился второй мемуар под тем же названием — магистерская диссертация Чаплыгина. В отличие от Стеклова, решение которого носило чисто аналитический характер, Чаплыгин дал геометрическую интерпретацию движения твердого тела в жидкости. По этому поводу Жуковский писал, что Чаплыгин «в двух своих прекрасных работах показал, какой силой могут обладать остроумно поставленные геометрические методы исследования». В этих работах Чаплыгина сказалось влияние геометрического направления в решении механических задач, характерного для работ Жуковского.

Уже в начале своей научной деятельности Чаплыгин уделял основное внимание разработке общих методов классической механики. Целый ряд его работ, вышедших на самом рубеже XIX—XX вв., имеет своим предметом задачу о движении тела при наличии неинтегрируемых связей, другие были посвящены движению твердого тела вокруг неподвижной точки. В частности, в статье «О движении твердого тела вращения на горизонтальной плоскости» (1897) были впервые получены общие уравнения движения неголономных систем, служащие обобщением уравнения Лагранжа. Работы Чаплыгина по динамике неголономных систем были продолжены Г.К. Сусловым, П.В. Воронцом, Н.Е. Кочиным и др.

Особое место среди работ Чаплыгина занимают его исследования по механике жидкости и газа. Уже в 90-е годы Чаплыгин проявляет большой интерес к исследованиям струйных течений. В то время струйная теория являлась основой при изучении законов движения тел в жидкости. В 1890 г. Жуковский разработал общий метод решения задач о струйных течениях несжимаемой жидкости. В 1899 г. Чаплыгин, основываясь на исследованиях Жуковского, несколько иным способом решил задачу о струйном обтекании пластинки потоком несжимаемой жидкости («К вопросу о струях в несжимаемой жидкости»). Особенно привлекала Чаплыгина задача о струйном обтекании тел газом, которая, как он писал, была «едва затронута».

В XIX в. был опубликован ряд работ русских и зарубежных ученых по теории газового потока с большими скоростями. Так, например, Сен-Венан в 1839 г. исследовал явление истечения газа из отверстия при больших скоростях течения. Н.В. Маиевский в 1858 г. установил влияние сжимаемости воздуха на сопротивление движению снаряда при скорости полета снарядов, близкой к скорости звука.

В 1902 г. Чаплыгин опубликовал свою знаменитую работу «О газовых струях», в которой он разработал метод, позволяющий во многих случаях найти решение ранее поставленной задачи о прерывном течении сжимаемого газа. Трудность решения состояла в том, что для случая сжимаемой жидкости получаются сложные нелинейные уравнения движения.

В этой работе Чаплыгин писал, что П. Моленброк (1890) составил «дифференциальные уравнения, от которых зависит вопрос о струевых течениях газов», и указал «некоторые частные интегралы этих уравнений, едва ли, впрочем, соответствующие даже теоретически мыслимому движению газа».

Чаплыгин ввел те же независимые переменные, что и Моленброк, а именно вектор скорости и угол, образуемый этим вектором с некоторым направлением, но он выбрал функции, которые «выгоднее рассматривать», а именно: функцию тока и потенциал скоростей, и ввел так называемое преобразование годографа, что позволило нелинейные в физической плоскости уравнения газовой динамики преобразовать в линейные уравнения в системе годографа. Метод, разработанный Чаплыгиным, давал возможность решить задачу о струйном течении газа, если при тех же граничный условиях известно решение соответствующей задачи для несжимаемой жидкости.

Уравнения движения сжимаемой жидкости, полученные Чаплыгиным, справедливы для случая, когда скорость потока нигде не превышает скорости звука.

Чаплыгин применил свою теорию к решению двух задач струйного течения сжимаемой жидкости: истечения из сосуда и обтекания пластинки, перпендикулярной к направлению потока на бесконечности, и нашел точные решения. Это до настоящего времени единственный случай точного решения задач в газовой динамике. Результаты своих теоретических исследований об истечении газа и об обтекании пластинки Чаплыгин сравнил с опытными данными и получил качественное подтверждение своей теории.

Чаплыгин разработал также приближенный метод решения задач газовой динамики, отличающийся своей простотой. Однако его можно применять только для случая течения газа со скоростью, не превышающей примерно половины скорости звука.

Работа Чаплыгина «О газовых струях» является его докторской диссертацией. В свое время она не получила широкого признания. Одной из причин этого было то обстоятельство, что при скоростях, которые тогда использовались в авиации, не возникала необходимость в учете влияния сжимаемости воздуха, а в артиллерии наибольший интерес представляли исследования при скоростях, больших скорости звука. Все значение этой работы для задач авиации раскрылось в начале 50-х годов, когда скорости самолетов возросли настолько, что вопрос об учете влияния сжимаемости воздуха стал важнейшей проблемой. С 1910 г. начинается цикл работ С.А. Чаплыгина по теории крыла. В феврале 1910 г. в Московском математическом обществе Чаплыгин сделал доклад об аэродинамических силах, действующих на крыло самолета. Результаты этих исследований Чаплыгина изложены в его работе «О давлении плоскопараллельного потока на преграждающие тела (к теории аэроплана)», опубликованной в этом же году, а также в его докладе «Результаты теоретических исследований о движении аэропланов», сделанном в ноябре 1910 г. на заседании Научно-технического комитета Московского общества воздухоплавания и изданном в 1911 г, Чаплыгин указал, что источником возникновения сил, действующих на крыло, могут быть «образование поверхностей раздела, присоединенные вихри и особенности бесконечно удаленной точки и связанная с нею многозначность потенциальной функции скоростей». Применение теории струй позволило оценить величину сил, действующих на простейшее крыло — пластинку. Чаплыгин ссылается на соответствующие работы Рэлея, Жуковского и на свою работу «О газовых струях», в которой он дал формулы для определения распределения скоростей и указал путь для вычисления давления в случае обтекания пластинки со срывом струй. Однако величина силы, действующей на пластинку, определенная по формулам теории струй, была значительно меньше опытных данных и «далеко не достаточна, чтобы объяснить явление полета».

Чаплыгин отмечает, что Жуковский установил замечательный закон, позволяющий определять величину подъемной силы, введя понятие циркуляции скорости. Чаплыгин исследует вопрос о подъемной силе, основываясь на том, что появление циркуляции и подъемной силы связано с многозначностью потенциала скоростей, причем рассматривает циркуляцию скорости вокруг бесконечно удаленной точки.

Чаплыгин изучает обтекание изогнутой пластинки при нулевом угле атаки, сложного крыла — изогнутой пластинки с насадкой на переднем конце — и крыльев, «напоминающих крылья птиц, лишь с одною точкою заострения», при различных углах атаки. Он выдвигает положение относительно распределения скоростей по обтекаемому контуру, а именно, что величина скорости должна быть «всюду конечная и непрерывная», т. е. что острая кромка является линией схода потока с верхней и нижней сторон крыла, так как в противном случае на острой кромке профиля была бы бесконечная скорость. Это положение было выдвинуто в этом же году Жуковским в его работе «Geometrische Untersuchungen über die Kuttasche Stromung», в которой он, рассматривая конформное преобразование потока жидкости, указывал, что критическая точка C преобразуемого потока переходит в «точку C с конечной скоростью» потока вокруг профиля (С располагается на задней кромке профиля). Приведенное положение Жуковского и Чаплыгина составляет содержание знаменитого постулата Жуковского—Чаплыгина, который позволил однозначно определить величину циркуляции скорости около профиля крыла. Введение этого постулата указало правильный технический путь для создания профилей крыльев.

Метод, разработанный Чаплыгиным, позволил найти рациональную форму профилей, доказать, что профили для крыльев самолетов должны иметь закругленную переднюю и острую заднюю кромки, получить формулы для определения подъемной силы и момента теоретических профилей. Форма профилей, разработанных Чаплыгиным, получалась инверсированием параболы, и поэтому они назывались профилями инверсии параболы. Как показал в 1911 г. Жуковский, профили, разработанные Чаплыгиным, были идентичны профилям, созданным Жуковским, и впоследствии в советской литературе эти теоретические профили, разработанные в 1910 г. русскими учеными, стали называться профилями Жуковского—Чаплыгина.

В своей работе 1910 г. Чаплыгин получил еще ряд замечательных результатов. Он впервые изучил вопрос о величине продольного момента, действующего на крыло, считая этот вопрос существенным элементом теории крыла. На основе исследования общей формулы для момента подъемной силы он установил простую зависимость продольного момента от угла атаки, которая лишь через несколько лет была получена экспериментально и явилась впоследствии одной из основных аэродинамических характеристик крыла. Чаплыгин показал, что коэффициент продольного момента при больших углах атаки положителен и уменьшается с уменьшением угла атаки, имея отрицательную величину при угле атаки, соответствующем нулевой подъемной силе. При отрицательных углах атаки момент, оставаясь отрицательным, увеличивается по абсолютной величине при увеличении абсолютного значения угла атаки крыла.

Чаплыгин указывал на наличие значительного опрокидывающего момента, действующего на самолет, и предупреждал об опасности быстрого изменения утла атаки. В этих своих работах Чаплыгин вывел интересное свойство изогнутых пластинок, показав, что при нулевом угле атаки подъемная сила пластинок зависит лишь от стрелки прогиба и не зависит от хорды пластинки.

Решив задачу о крыле бесконечного размаха, Чаплыгин отмечал необходимость и важность решения задачи о крыле конечного размаха и при этом полагал, что крыло конечного размаха может быть моделировано вихревой схемой в виде П-образного вихря.

Основываясь на своей работе «О газовых струях», Чаплыгин показал, что результаты его исследований крыла бесконечного размаха, выполненные при условии обтекания тел несжимаемым потоком, могут быть применены к определению аэродинамических характеристик крыльев самолетов того времени. Вместе с тем он отмечал, что при некоторых скоростях полета и углах атаки могут возникнуть местные звуковые скорости, когда может наступать новое явление — течение с разрывом сплошности, и тогда полученные результаты не могут быть применимы.

Идеи С.А. Чаплыгина нашли свое дальнейшее развитие в многочисленных работах советских и зарубежных ученых.

Деятельность Н.Е. Жуковского и С.А. Чаплыгина продолжалась и в советское время. Она будет рассмотрена в следующей главе этой книги.

X. РАЗВИТИЕ НЕКОТОРЫХ НАПРАВЛЕНИЙ МЕХАНИКИ В СССР.{229}

СОСТОЯНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ К НАЧАЛУ 20-х ГОДОВ XX ВЕКА

К началу 20-х годов XX в. в теоретической механике создалось своеобразное положение. Развитие физики к этому времени показало, что нет никаких перспектив создать механистическую картину мира, и механика потеряла свои позиции ведущей физической дисциплины. Вместе с тем в такой области, как механика системы материальных точек и твердого тела, в разработке общих методов аналитической динамики продвижение существенно замедлилось. Многие ученые подходили к решению методологических вопросов с позиций метафизических, с позиций идеалистической философии, мало кто пытался диалектически, с материалистических позиций осмыслить процесс развития науки. Весьма ощутим был отрыв теории от практики, отрыв «университетской науки» от технических применений механики. В этих условиях могло казаться основательным и оправданным мнение, что классическая механика себя исчерпала, превратившись в чисто формальную математическую дисциплину.

Однако, как показало дальнейшее развитие, и в упомянутых выше относительно «застойных» областях, и в других областях механики было много назревших фундаментальных проблем и были средства для продолжения исследований.

В области основ классической механики назрел вопрос об углублении анализа ее аксиом и об ее аксиоматическом построении. К началу XX в. проблемы аксиоматизации ставились на более высоком уровне абстрактности и логической строгости, чем это было раньше. Этот процесс, естественно, прежде всего коснулся математики и был тесно связан с развитием математической логики. Вместе с тем пересмотр, например, основ геометрии, начатый в XIX в. Лобачевским и Риманом, исторически и логически был неотделим от исследования основ физики и механики.

Геометризация механики, которой усиленно занимались во второй половине XIX в., не могла не означать и «механизации» геометрии — более тесного переплетения геометрии и механики. Геометрия Лобачевского привела к разработке механики гиперболического пространства, теория относительности вдохнула новую жизнь в геометрию Римана. Д. Гильберт, так много сделавший в области основ геометрии, в математической логике, принимал участие и в разработке проблем теоретической физики, и не случайно, что в своем известном докладе на Международном конгрессе математиков в Париже (1900) он включил в перечень актуальных проблем аксиоматизацию классической механики. Работы по этой проблеме до 1920 г. были немногочисленны (ею занимался главным образом Гамель), здесь открывалось широкое поле для исследований, причем имелись и новые средства исследования — можно было использовать работы по математической логике и по аксиоматическому методу в математике.

В аналитической механике системы материальных точек и твердых тел были свои назревшие вопросы. Теория Гамильтона — Якоби — Остроградского, казалось, получила законченную формулировку на языке теории непрерывных групп (С. Ли) — интегрирование уравнений динамики оказалось равнозначным построению группы контактных преобразований. Но, как обычно, и формально завершенная теория, если она в известной степени правильно отображает действительность, с неизбежностью приводит к новым постановкам вопроса. Задачи динамики были сформулированы на языке теории групп — значит, должен был возникнуть вопрос о придании уравнениям динамики такой формы, в которой явно были бы использованы величины, характеризующие соответствующую группу преобразований. Первые результаты в этом направлении были получены А. Пуанкаре: он вывел для консервативных систем уравнения «в групповых переменных» (1900), что открыло новую главу аналитической механики. К 1920 г. дальше Пуанкаре в этом направлении никто не пошел.

Значительно энергичней разрабатывалась в первые десятилетия XX в. неголономная механика, но и здесь (к 1920 г.) оставалось сделать еще очень многое. Не были приведены в систему уже полученные результаты (Чаплыгина, Больцмана, Аппеля, Гамеля, Воронца, Вольтерра), не была выяснена степень общности предположений, из которых исходили при выводе различных форм уравнений движения неголономных систем. Вопрос о нелинейных неголономных связях едва был затронут. Между тем если вопросы аксиоматизации и построение аналитической динамики в групповых переменных представлялись в достаточной мере «теоретическими», то исследование неголономных систем все чаще рассматривалось как злободневная техническая задача. Механика велосипеда, автомобиля, вычислительных приборов, позже различных автоматических и следящих систем все настойчивее и обильнее ставила задачи на неголономные системы.

Следует особо остановиться на проблеме вращения твердого тела вокруг неподвижной точки — одной из «сквозных» проблем классической механики. Замечательное открытие С.В. Ковалевской не только обогатило науку еще одним случаем интегрируемости уравнений движения в этой задаче, не только вызвало ряд исследований (преимущественно отечественных ученых), которые дали еще несколько (более частных) случаев интегрируемости, но и указало на определенные границы применимости в этой задаче средств математического анализа, разработанных в XIX в. Как и в задаче трех (и большего числа) тел, выяснилось, что случаи интегрируемости только изолированные пункты в области, для исследования которой нужны новые методы. Такие методы могла и должна была дать качественная теория дифференциальных уравнений, которая оформилась в самостоятельную дисциплину в конце XIX в. Но решение технически важных задач нельзя было откладывать в ожидании решительных успехов теории; не приходилось сомневаться, что для достижения таких успехов необходимо проделать огромную предварительную работу. Практический подход должна была подсказать история «задачи п тел»: в небесной механике пошли по пути создания вычислительных методов достаточной силы, чтобы проводить необходимые расчеты с высокой степенью точности. Между тем в задаче о вращении твердого тела вокруг точки собственно вычислительные методы применялись до XX в. в ограниченных размерах.

После первой мировой войны сложность гироскопических приборов возрастает, область их применений расширяется. Гироскопы приобретают важное значение в технике. Поэтому к началу 20-х годов при решении проблемы вращения твердого тела вокруг точки появляется необходимость в применении целесообразных вычислительных методов, в исследовании новых, более сложных случаев с привлечением тонких математических средств и с использованием наводящих и контролирующих данных эксперимента. Теория движения твердого тела с закрепленной точкой становится основой для стремительно развивающейся прикладной теории гироскопов.

Выше речь шла о механике системы материальных точек и механике твердого тела; естественно было бы говорить о них как о частных случаях механики системы твердых тел. Аппарат аналитической механики в том виде, в каком он был у Лагранжа, достаточен для трактовки задач механики системы в такой общности. Однако историческим фактом является то, что «земная» механика системы твердых тел не выделилась в особый раздел классической механики в течение всего XIX в. Уравнения Лагранжа второго рода стали рабочим аппаратом в теоретической физике лишь во второй половине века, а при исследовании технических задач — в самом конце века. Но повышение требований к точности и полноте анализа в динамике машин заставило и здесь перейти к применению методов аналитической механики.

В связи с этим стало выявляться то специфическое, что характеризует задачи механики системы тел, в частности, в связи с методикой определения реакций связей. Работа в этой области развернулась лишь в начале XX в., и к 1920 г. в механике системы тел многое еще оставалось нерешенным. Аналитические трудности в конкретных задачах, конечно, были велики, но опыт, накопленный в более разработанных областях, показал, что можно получать решения, которые удовлетворяли бы технику полнотой и точностью, сочетая экспериментальные исследования с применением новых математических методов и использованием новейшей вычислительной аппаратуры.

Добавим к сказанному, что значение и роль вариационных принципов в механике (и теоретической физике вообще) были освещены с новой точки зрения благодаря работам, относящимся к первым десятилетиям XX в. (Д. Гильберт, Э. Нетер), что принципиально важные вопросы были подняты в такой области, как теория трения (Пенлеве), что к началу 20-х годов опять-таки под влиянием технических запросов резко повышается интерес к теории устойчивости (прежде всего к методам А.М. Ляпунова), тогда же начинается бурное развитие теории нелинейных колебаний, т. е. состояние теоретической механики примерно к 1920 г. (даже если оставить пока в стороне механику сплошных сред) не давало оснований говорить о ее застое и самоисчерпании.

Таким образом, на всех основных направлениях механики запросы техники и других наук, равно как и внутренняя логика развития исследований, ставили проблемы кардинальной важности, и там, где эти проблемы не поддавались разрешению при использовании прежних методов, можно было применить достаточно перспективные новые средства. По-видимому, пессимистические оценки перспектив классической механики вызывались тогда неизбежной в условиях беспланового капиталистического общества разобщенностью исследователей, сосредоточением теоретических изысканий в учреждениях и организациях, далеких от практических нужд техники, узостью подхода к научно-техническим проблемам.

Если обратиться к механике сплошных сред, можно увидеть подобную картину, только здесь ощутимее запросы техники, влияние эксперимента и заметнее движение вперед.

Создание летательных аппаратов тяжелее воздуха стало переломным событием в истории гидромеханики и аэродинамики. Первая мировая война дала новый мощный импульс для работ, связанных с авиацией (теория крыла самолета, теория винта и пр.), но была помехой для научного общения. После 1918 г. снова стал возможен интенсивный обмен опытом, наступила фаза критической переработки того, что было достигнуто в отдельных странах, началась и работа «в задел», поскольку пути развития авиации обозначались достаточно четко, а средств для этих работ не жалели.

Скорости самолетов были еще сравнительно малы, и при таких скоростях можно было оставаться в рамках теории несжимаемой жидкости. Широко используется модель идеальной жидкости: замечательные работы Н.Е. Жуковского (теория крыла и винта) и Л. Прандтля (теория пограничного слоя) показали, каких значительных результатов можно добиться, усложняя эту модель только в самой необходимой мере, причем поправки подсказывал эксперимент. Для объяснения сопротивления, подъемной силы, процесса вихреобразования и т. д. имелись исходные физические схемы, поддававшиеся теоретической разработке. Но уже тогда было видно, что лишь этими схемами нельзя будет обойтись, — рост скоростей в авиации и в турбинной технике подсказывал, что следует переходить к учету сжимаемости, что для уточнения расчетов надо принимать во внимание конечность размеров крыла, т. е. переходить от задач двумерных к трехмерным, и т. д. Во многих явлениях приходилось учитывать влияние турбулентности. Выявленная многозначность решений в задачах теории струй и неустойчивость постулируемой в ней «зоны застоя» не оказались препятствием для применения этой теории к изучению кавитации, что становилось технически важной задачей вследствие повышения скоростей движения лопаток турбин и лопастей винтов.

Число таких примеров легко умножить. Они показывают общую тенденцию; теоретические схемы видоизменяются сравнительно мало, эти видоизменения появляются в результате анализа экспериментального материала; применение видоизмененной схемы и теоретические выводы, сделанные на ее основе, в свою очередь контролируются с помощью экспериментов. В невиданных ранее масштабах организуются коллективная работа инженеров, механиков-экспериментаторов и механиков-теоретиков с концентрацией их усилий на технически назревших проблемах. В начале 20-х годов такими проблемами были аэродинамика самолета, турбулентность, фильтрация, а несколько позже — газовая динамика и различные схемы «неньютоновских» жидкостей. Многочисленные относящиеся к этим областям направления связаны между собой лишь общностью подхода к своим задачам, в своих частных методах они весьма отличны — специализация отдельных областей становится более заметной.

Наряду с этим проводится (преимущественно силами математиков) работа по анализу аппарата классической гидромеханики: рассматривается вопрос о существовании решений и вообще о корректности краевых задач динамики идеальной и вязкой жидкости (к началу 20-х годов в этом направлении были получены некоторые результаты, что стимулировало продолжение исследований).

Чисто теоретическими средствами удалось добиться новых успехов в некоторых задачах теории волн, что оживило развитие в этой области. Для таких собственно теоретических исследований характерно обновление математического аппарата: применение новых теорем существования из теории функций комплексного переменного, использование интегральных уравнений и т. д.

В теории упругости положение несколько иное. Здесь удельный вес чисто теоретических исследований больше, чем в гидромеханике и аэромеханике, так как в основном применяются прежние модели. К началу 20-х годов в связи с разработкой новых конструкций актуальной становится теория оболочек. Одновременно продолжается работа над решением задач, которые ставятся в соответствии с другими упрощенными схемами: для тонких стержней, для пластин и т. п. Начинает широко применяться теория функций комплексного переменного при исследовании плоской задачи теории упругости (в гидромеханике это произошло примерно на полвека раньше). Заметно повышается интерес к исследованию необратимых деформаций — явления упрочнения, пластического — состояния — все это под прямым влиянием технических запросов. И там, где начинают работать с новыми моделями, мы снова видим ту же методику последовательного применения и сочетания теоретических и экспериментальных методов, что и в исследованиях по аэродинамике и в гидродинамических исследованиях.

ТРАДИЦИИ ОТЕЧЕСТВЕННОЙ МЕХАНИКИ

Развитие механики в СССР после Великой Октябрьской революции определялось помимо других важных факторов традициями отечественной науки и теми научными кадрами, которые были носителями этих традиций. В течение первых двух десятилетий после 1917 г. ученые, сформировавшиеся в дореволюционную эпоху, вносили весьма весомый вклад в воспитание первого советского поколения деятелей науки, сами перевоспитываясь в ходе строительства нового общества.

Важнейшими традициями отечественной механики было стремление к сближению теории и практики и трезвый материалистический подход к принципиальным вопросам. Такие взгляды и убеждения были господствующими у механиков — учеников и последователей М.В. Остроградского, составивших две школы — Московскую и Петербургскую.

В начале XX в. на методологические взгляды некоторых ученых (например, физиков, занимавшихся механикой) влияют идеалистические течения — преимущественно махизм, но материалистический подход к основам науки остается преобладающим. Одновременно с ростом специализации происходит дробление Московской и Петербургской школ и начинают складываться новые научные школы в других университетских центрах: в Казани, Киеве, Одессе и т. д.

В области основ и принципов механики и ее общих аналитических методов десятилетия, непосредственно предшествовавшие советскому периоду, дали немного. Систематически к таким общим вопросам обращался один из представителей школы Остроградского Г.К. Суслов (1857—1935), деятельность которого протекала в Киеве (после революции — в Одессе). Суслов, обладавший широкой эрудицией и живо откликавшийся на все новое, систематически выступал в печати с освещением работ в области аналитической механики, которые появлялись за рубежом. Заслугой Суслова является то, что в своих курсах, статьях он знакомил с достижениями мировой науки и своих многочисленных непосредственных учеников, и более широкий круг читателей. Ученик Суслова П.В. Воронец (1871—1923) опубликовал важные работы по неголономной механике.

К началу советского периода работа в области аналитической механики оживилась в Казани. Здесь под влиянием традиционных геометрических интересов обратились к общим методам механики, которые можно рассматривать и в геометрической трактовке. Работы А.П. Котельникова были важным вкладом в общую теорию векторов и неевклидову механику. Д.Н. Зейлигер разрабатывал теорию движения подобно изменяемого тела. Е.А. Болотов (1872—1921) занимался вариационным принципом Гаусса. Его исследования были продолжены Н.Г. Четаевым (1902—1959).

Таким образом, работа по основам механики и в области аналитической механики (системы материальных точек и твердых тел) велась многочисленными группами ученых. К этому надо добавить, что задача о вращении твердого дела вокруг неподвижной точки, интерес к которой усилился с открытием С.В. Ковалевской (это открытие нашло отклик и развитие прежде всего у отечественных механиков), продолжала оставаться предметом занятий ряда ученых, например Г.Г. Аппельрота (1866—1943) и Н.И. Мерцалова (1866-1948).

В Москве к началу советского периода сформировалась научная школа в области гидромеханики и аэромеханики во главе с Н.Е. Жуковским. Этот замечательный ученый на закате своего жизненного пути имел много выдающихся учеников и последователей, разрабатывавших такие актуальные проблемы механики жидкостей, как теоретические и экспериментальные методы определения сопротивления и подъемной силы при движении твердого тела в жидкости и вихревая теория гребного винта. Самым видным представителем школы Жуковского был С.А. Чаплыгин. В этой школе выросли и крупные теоретики, такие, как А.И. Некрасов (1883—1957), Л.С. Лейбензон (1879—1951), и выдающиеся представители экспериментального и инженерного направления — В.П. Ветчинкин (1888—1950), Б.Н. Юрьев (1889—1957), А.Н. Туполев (1888—1972).

Сочетание теоретических исследований большого размаха с опытом, накопленным Н.Е. Жуковским и его учениками при проектировании и конструировании первых аэродинамических труб в России и экспериментальных установок для работ по газовой динамике, позволило сразу придать верное направление и необходимый масштаб работе Центрального аэрогидродинамического института (ЦАГИ), основанного в Москве в трудный для Советской России 1918-й год. Коллегию ЦАГИ возглавлял вплоть до своей кончины Жуковский, его сменил на этом посту Чаплыгин.

В механике жидкостей и газов отечественная наука имела большие традиции и заслуги не только в разработке уже упомянутых проблем, непосредственно связанных с теорией авиации. Необходимо указать еще на исследования по теории струй в идеальной несжимаемой ( Н.Е. Жуковский и др.) и сжимаемой ( С.А. Чаплыгин) жидкости, на работы о движении твердого тела в идеальной жидкости ( В.А. Стеклов, А.М. Ляпунов, С.А. Чаплыгин), о движении твердого тела с полостями, имеющими жидкое заполнение ( Н.Е. Жуковский, В.А. Стеклов), по различным проблемам теории вязкой жидкости ( Н.Е. Жуковский, С.А. Чаплыгин, В.А. Стеклов, Н.П. Петров), по теории фигур равновесия вращающейся жидкой массы (знаменитые исследования А.М. Ляпунова, частично опубликованные лишь посмертно), по теории фильтрации ( Н.Е. Жуковский). В этих исследованиях принимали участие крупнейшие представители как Московской, так и Петербургской школ механики.

Центром исследований по теории упругости в годы, предшествовавшие Великой Октябрьской социалистической революции, был Петербург. Основы и здесь были заложены М.В. Остроградским, Его учениками были крупные инженеры, внесшие заметный вклад в строительную механику ( Д.И. Журавский, Г.В. Паукер и др.). Вообще со времен Остроградского в Петербурге теория упругости и сопротивления материалов постоянно была представлена выдающимися учеными (X. С. Головин, В.Л. Кирпичев, Ф.С. Ясинский и др.). В последние годы дореволюционной эпохи Петербургская школа теории упругости и сопротивления материалов выдвинула ряд крупных деятелей. Знаменитый кораблестроитель А.Н. Крылов дал важные работы по теории колебаний упругих систем — работы, возникшие в связи с решением технических вопросов. Устойчивостью упругих систем — проблемой, выдвинутой развитием техники на передний план, — плодотворно занимался С.П. Тимошенко (с 1920 г. за границей). Работами по теории устойчивости равновесия упругих систем (стержней и оболочек) начал свою многолетнюю деятельность в этой области и Л.С. Лейбензон. Устойчивостью упругих, преимущественно одномерных, систем занимался Е.Л. Николаи (1880—1951). По теории пластинок и стержней работали И.Г. Бубнов, Б.Г. Галеркин, предложившие новый метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений теории упругости.

Но этим не исчерпываются направления в теории упругости, представленные в предреволюционные годы. Примыкавший идейно к Петербургской школе Г.В. Колосов (1867—1936) в 1909 г. опубликовал основополагающую работу, в которой было показано применение методов теории функций комплексного переменного к плоской задаче теории упругости. Работу в этом направлении продолжал Н.И. Мусхелишвили, чьи основные исследования относятся уже к советскому периоду. В Киеве и Екатеринославе работал А.Н. Дынник по весьма широкой тематике: удар и сжатие упругих тел, колебания стержней и дисков, устойчивость стержней и пластин.

Особое место надо уделить теории корабля. Несколько работ по теории корабля дал Н.Е. Жуковский (о форме судов, о качке корабля на волнении и др.), но наибольший вклад в эту теорию внес А.Н. Крылов, автор фундаментальных исследований по этому своеобразному разделу механики, имевший многочисленных учеников — от рядовых инженеров до выдающихся ученых.

В науке предреволюционных лет мы видим и пионеров новой области механики — движения тел переменной массы и теории реактивного движения К.Э. Циолковского и И.В. Мещерского. Своеобразный путь к науке и в науке Циолковского хорошо известен; его работы получили признание только после Октябрьской революции. И.В. Мещерский прошел обычный путь ученого — возглавлял кафедру механики в высших учебных заведениях, но прямых учеников по своей основной тематике — динамике тел переменной массы — не имел. Только в советский период его основные работы получили правильную оценку и признание.

Мы не будем подробно касаться кинематики механизмов, так как в предоктябрьский период это была уже вполне оформившаяся самостоятельная прикладная дисциплина. Вклад в нее деятелей русской науки велик — достаточно вспомнить труды П.Л. Чебышева, В.Н. Лигина, Л.В. Ассура и др. С этой дисциплиной связана на своем первом этапе теория автоматического регулирования, представленная в России замечательными исследованиями И.А. Вышнеградского. Работы Вышнеградского появились в конце 70-х годов XIX в., но как в отечественной, так и в мировой науке вопросы теории регулирования начинают широко разрабатываться много позже. Поэтому работы Вышнеградского, как и работы А.М. Ляпунова по теории устойчивости, явились как бы эстафетой, которую советская наука принимала у науки предреволюционных лет.

Положение в механике тех лет нельзя правильно представить, если не остановиться еще на одном моменте. В механике, как и во многих других отраслях отечественной науки досоветского периода, было не так уж мало «генералов», но явно не хватало «офицеров» и «рядовых». Университетские ученые, тяготевшие, как правило, к теоретическим исследованиям, были работниками кафедр, почти полностью лишенных лабораторной базы и имевших штаты, определявшиеся исключительно педагогической нагрузкой. Удельный вес практических занятий был незначителен, на двух-трех профессоров и доцентов в лучшем случае приходился один ассистент. В технических учебных заведениях лабораторная база была сильнее, но лабораторий преимущественно исследовательского направления было очень немного, и они были ограничены в средствах и штатах. Сравнительно широкий размах работ по экспериментальной аэродинамике объясняется тем, что эта весьма популярная после первых успехов авиации область привлекала особое внимание и получала общественные и частные ассигнования.

Надо учесть и то, что многих выдающихся инженеров отвлекала от науки практическая деятельность, которая лучше оплачивалась. Поэтому механики в высших технических учебных заведениях тоже были немногочисленны и часто «недолговечны». Специализированные научно-исследовательские учреждения в этой области практически отсутствовали: Аэродинамический институт в Кучино существовал на частные средства и работал только несколько лет, учреждения Академии наук располагали очень скромными, даже по тем временам, возможностями. Поэтому кадры отечественной механики были высокой квалификации, но весьма немногочисленны.

Возможности научного общения в предреволюционную эпоху были ограничены. Всероссийских съездов или специализированных конференций по механике не было, их заменяли секции Всероссийских съездов естествоиспытателей и врачей, проводившиеся один раз в несколько лет[34]. Не было ни одного журнала собственно по механике, и научные работы по вопросам механики могли увидеть свет только в журнале «Математический сборник» и в нерегулярно выходивших «Трудах», «Записках» немногочисленных научных обществ и высших учебных заведений.

Чтобы составить верное представление о стартовых условиях советской механики, надо еще иметь в виду, что в годы первой мировой и гражданской войн (1914—1920) наука понесла большие потери в кадрах и материальных средствах.

ПЕРЕСТРОЙКА СИСТЕМЫ ПОДГОТОВКИ КАДРОВ И ФОРМ НАУЧНОЙ РАБОТЫ

Для механики, как и для всей советской науки, первостепенное значение имела та кардинальная перестройка системы образования и организации научных исследований, которая была непосредственным следствием победы Великой Октябрьской социалистической революции и утверждения нового социалистического общественного строя. Впервые в истории образование всех ступеней стало доступным для народных масс. Уже в начале 20-х годов значительное большинство студентов были детьми рабочих и крестьян. Они принесли в стены старых вузов энтузиазм молодых строителей нового общества, сознание ответственности перед народом, стремление к практическому применению теоретических методов.

Изучение марксистской диалектики и вся воспитательная работа партийных и комсомольских организаций формировали специалиста нового типа. Не могло быть места игнорированию идеологических вопросов, нельзя было остаться в стороне от борьбы с буржуазной идеологией, необходимо было осознать смысл и значение огромных задач, стоящих перед страной.

Развитие науки приобретало особое значение: построение социалистического общества немыслимо без самого широкого использования достижений науки, освоение этих достижений должно было ускорить технический прогресс Советской страны, утверждение новой идеологии должно было основываться на критическом освоении и дальнейшем развитии научного наследия прошлого. Наука впервые в истории стала приобретать общенародный характер, на ее развитие ускоряющим образом начало действовать общегосударственное планирование, становившееся все более важным фактором научного прогресса.

Все эти процессы находили свое выражение и в ходе развития советской механики. Как упоминалось выше, уже в 1918 г. был создан Центральный аэрогидродинамический институт (ЦАГИ) в Москве. Дореволюционная Россия не знала научных учреждений такого типа. Впервые в стране был создан исследовательский институт с большим коллективом сотрудников, в котором велись как экспериментальные, так и теоретические работы, который должен был решать как чисто научные, так и технические проблемы в обширной отрасли знаний. Успех этой новой формы организации научной работы был несомненен. Благодаря сочетанию усилий специалистов различного профиля, что обеспечивалось высоким качеством научного руководства, благодаря тому, что систематически расширялся коллектив и укреплялась материальная база, ЦАГИ неизменно давал важные для науки и практики результаты и воспитывал новые кадры ученых. Уже к концу 20-х годов ЦАГИ занимал передовые позиции в мировой науке, а к 1968 г. число выпусков его трудов составило около тысячи — они охватывали не только все актуальные проблемы теоретической и прикладной гидро- и аэромеханики, но и многие вопросы теории упругости, сопротивления материалов и других разделов механики. Формы организации работы ЦАГИ и во многом сходного с ним Физико-технического института, открытого в Петрограде, служили образцом при создании многих советских научно-исследовательских учреждений. Конечно, ограниченность материальных средств и немногочисленность кадров в первые годы после Октябрьской революции не давали возможности сразу начать широкое развертывание сети научно-исследовательских учреждений. В высших учебных заведениях перестройка учебных планов и увеличение объема лабораторных и вообще практических занятий, введение производственной практики требовали больших усилий профессорско-преподавательского состава. Привлечение молодежи к научной работе во все более широких размерах стало осуществляться через семинары при кафедрах — форма работы, мало распространенная в дореволюционное время, затем через аспирантуру (причем число аспирантов сразу превысило число тех, кого оставляли до 1917 г. «для приготовления к профессорскому званию»). На кафедрах преобладали индивидуальные формы работы, к тому же должно было пройти несколько лет, чтобы молодежь стала в науке на «собственные ноги». Поэтому меры, которые принимались в общегосударственном масштабе, чтобы сделать вузовскую кафедру научно-исследовательским коллективом, могли дать определенные результаты не сразу, и их воздействие стало ощутимым примерно к середине 20-х годов.

Дореволюционная Академия наук объединяла небольшое число ученых и располагала очень скромными средствами. Сразу организовать коллективную исследовательскую работу в области механики в Академии наук не было возможности. Здесь тоже надо было потратить несколько лет для воспитания новых кадров. При Академии наук была создана аспирантура, постепенно учреждались научные комиссии, в том числе по механике; в 30-е годы приток новых сил уже позволил организовать в системе Академии наук Институт механики. До середины 30-х годов ЦАГИ оставался единственным научным учреждением большого масштаба в области механики, но постепенно в Академии наук СССР, на кафедрах механики в крупных вузах, в академиях наук союзных республик формировались научные коллективы в области механики, их количество и средняя численность неизменно росли. Благодаря национальной политике советского государства эти коллективы возникали не только в старых научных центрах, но и в новых, на периферии. Один из примеров — Тбилисская школа механиков и математиков, возглавляемая Н.И. Мусхелишвили.

Примерно к 20-летию Октябрьской революции советская механика была внушительным образом представлена во всех достаточно многочисленных областях этой науки. Советские механики работали над наиболее злободневными и фундаментальными проблемами (вне их внимания оставались, пожалуй, только вопросы аксиоматизации механики, имевшие чисто теоретический интерес). Это показывает следующая краткая характеристика основных направлений развития механики.

АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА СИСТЕМ ТОЧЕК И ТВЕРДЫХ ТЕЛ В ДОВОЕННЫЙ ПЕРИОД

Более интенсивно, чем где бы то ни было за рубежом, в Советском Союзе развивались вариационные методы, велась работа по построению аналитической механики в новых переменных (групповых, неголономных). В этих исследованиях сказывалось влияние геометрических традиций, идущих от Лобачевского. Они складывались в новое своеобразное направление, возникшее первоначально в Казани, затем в Москве (школа Н.Г. Четаева).

Остановимся сначала на некоторых направлениях исследований в области неголономной механики.

На основе разработанной дифференциальной геометрии неголономных многообразий можно получить уравнения движения механической системы. Эти уравнения были выведены советским ученым В.В. Вагнером в локальных координатах. Следующим этапом было решение двух вопросов: о допустимых траекториях неголономной механической системы и о методах интеграции ее уравнений движения. Ответ на первый вопрос таков: всегда существует такая траектория в неголономном многообразии, которая соединяет любые две его точки. В порядке ответа на второй вопрос было показано, что всегда возможен такой выбор локальных координат, который принципиально упрощает интеграцию уравнений движения. Например, в случае инерциального движения система локальных координат может быть выбрана так, что все первые интегралы задачи получаются из условия постоянства компонентов скорости в этой системе.

Эти результаты не остались без применения к традиционным задачам механики. В.В. Вагнер успешно исследовал такими методами задачу С.А. Чаплыгина о плоском неголономном движении, изучал свойства фазового пространства в эйлеровом случае движения твердого тела вокруг неподвижной точки, рассмотрел и новые задачи неголономной механики. В.В. Добронравов подробно рассмотрел вопрос о применении неголономных координат и последовательно провел все построение аналитической механики в этих координатах. Ряд основных результатов прежней теории остался в силе, некоторые из них оказались верными только с известными ограничениями. Такие ограничения выделяют классы механических систем, имеющие определенный интерес.

К рассматриваемому направлению относятся многочисленные работы, в которых либо исследуются возможности обобщения результатов и методов голономной механики на неголономные системы, либо методы неголономной механики применяются для углубленного исследования голономных систем. Значительное внимание было уделено анализу понятия виртуального перемещения и вопросу об условиях перестановочности операций виртуального и действительного перемещений.

В значительной мере смыкаются с неголономной механикой важные исследования Н.Г. Четаева (1902—1959), связанные с применением и обобщением вариационного принципа Гаусса.

В 1932—1933 гг. в небольшой статье «О принципе Гаусса» Четаев обобщил понятие о возможных перемещениях, что позволило устранить противоречие между принципом Гаусса и принципом Даламбера—Лагранжа, возникшее в аналитической механике при переходе от исследований линейных неголономных систем к нелинейным неголономным системам.

Четаев обобщил также понятие освобождение материальных систем от связей, лежащее в основе принципа Гаусса. Четаев высказал новую точку зрения на освобождение материальных систем, понимая под освобождением системы всякое ее преобразование, подчиняющееся определенному математическому алгоритму. В дальнейших работах Н.Г. Четаева и его школы с этой точки зрения был рассмотрен широкий круг вопросов. Укажем в качестве примера работы Н.Г. Четаева и Т.Н. Пожарицкого о механических системах с неидеальными связями. Эти исследования находят применение в теории автоматического регулирования.

Основополагающими работами в области аналитической механики являются исследования советских ученых по уравнениям динамики в групповых переменных. В 1927— 1928 гг. Четаев вывел уравнения Пуанкаре в новой, канонической форме и обобщил их на случай нестационарных связей. Эти результаты были им развиты в 1941 г. Было показано, писал Четаев, что «весьма интересная мысль Пуанкаре о применении групп Ли в динамике может быть развита на случай зависимых переменных, когда группа возможных перемещений интранзитивна».

К исследованиям Четаева примыкают интересные работы советских ученых М. Ш. Аминова и А.А. Богоявленского.

Еще одно направление, в котором развивались исследования по аналитической механике, — применение понятия теоретически устойчивых движений к исследованию действительных движений механики. Основные работы и здесь принадлежат Н.Г. Четаеву, который высказал и развил идею о возможности создания аналитической механики на основе отбора истинных состояний движения из всех возможных движений, обладающих устойчивостью того или иного характера. Эта идея была развита Четаевым в работах 1931—1945 гг. Сформулировав задачу об устойчивости механических систем, Четаев дает строгое доказательство того, что для невозмущенных движений в случае их устойчивости в первом приближении уравнения Пуанкаре в вариациях будут иметь лишь нулевые характеристические числа. Если невозмущенное движение устойчиво, то соответствующие уравнения в вариациях приводятся к системе уравнений с постоянными коэффициентами.

В механике твердого тела в мировой науке на первый план выдвигались вопросы, связанные с гироскопией. Советская механика была представлена в этой области

A. Н. Крыловым и большой группой ученых, сформиро-вавшихся уже в советское время ( Е.Л. Николаи,

B. В. Булгаков, А.Ю. Ишлинский и др.) Принимая во внимание достижения в годы Великой Отечественной вой-ны и блестящие успехи в мирное время в освоении космического пространства, можно считать неоспоримым, что как советская гироскопическая техника, так и подкреплявшая ее теория уже тогда занимали то выдающееся положение, которое они сохраняют по сей день. Это верно и для такой почти сливающейся с математикой области, как теория динамических систем. Благодаря работам Московской математической школы по качественной теории дифференциальных уравнений в СССР были быстро освоены новые топологические методы исследования, и в 30е годы советские ученые создали ряд выдающихся работ по общей теории динамических систем.

В теории устойчивости тоже тесно переплетаются разработка общих математических методов и исследование более конкретных механических проблем. Задачи, выдвигаемые различными областями техники, заставили заняться помимо статической и динамической устойчивостью не только в рамках аналитической механики неизменяемых систем, но и в теории упругости, в механике жидкостей и газов. Потребовалось применение более строгих математических методов, поэтому были широко использованы замечательные результаты Ляпунова, и началось дальнейшее развитие его методов. Оказалось целесообразным применение в различных вопросах разных характеристик устойчивости. Формируется новая научная школа, разрабатывающая этот обширный цикл вопросов; в нее входят и специалисты по небесной механике, для которых устойчивость по Ляпунову, т. е. по отношению к возмущениям начальных данных, имеет особо важное значение (Московская школа — Н.Д. Моисеев, Г.Н. Дубошин, Н.Ф. Рейн и др.), и ученые, занимавшиеся общими методами аналитической механики и теории дифференциальных уравнений (Казанская школа — Н.Г. Четаев, Г.В. Каменков, И.Г. Малкин, К.П. Персидский и др.).

Особенно бурно и широко развивалась теория колебаний, в которой методы Ляпунова тоже нашли плодотворное применение. Нелинейные колебания, изучение которых стало первоочередной задачей к началу 20-х годов, стали в сущности предметом новой научной дисциплины, получившей название (пожалуй, не совсем точное) нелинейной механики. Уже к началу 30-х годов советская механика занимает в этой области ведущее положение благодаря трудам школы Л.И. Мандельштама (1879— 1944), Н.Д. Папалекси (1880—1947), А.А. Андронова (1901—1952), широко применявшей методы Ляпунова и Пуанкаре, и трудам Н.М. Крылова (1879—1955) и Н.Н. Боголюбова, использовавших главным образом асимптотические методы, родственные методам небесной механики. Развитие современной теории нелинейных колебаний в ряде других стран, например в США, началось с изучения переводных трудов советских ученых.

МЕХАНИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ В ДОВОЕННЫЙ ПЕРИОД

В теории упругости выдающиеся результаты были получены при разработке общих методов интегрирования дифференциальных уравнений равновесия упругого тела, приближенных методов их решения и в исследовании многочисленных частных задач. Это было продолжением и расширением исследований русских механиков дореволюционного периода. Но сложились также новые школы и направления. Систематически велись исследования по плоской задаче теории упругости с помощью методов теории функций комплексного переменного, большая группа ученых работала по теории пластинок и оболочек, приобретавшей все большее значение для техники. Меньше внимания уделялось контактным задачам, но и они стали постоянным предметом исследований. Впервые после трудов Остроградского значительные результаты были получены в теории распространения упругих волн, которая разрабатывалась в связи с запросами сейсмологии. К этому списку надо добавить исследование устойчивости упругих систем, теорию стержневых систем, графические методы. Тут мы находимся на стыке теории упругости и таких прикладных дисциплин, как строительная механика и сопротивление материалов.

Впервые полноправным разделом механики стала теория пластичности. Наряду с определенными результатами, полученными на основе ранее разрабатывавшихся статических теорий, были начаты обширные исследования новых моделей пластического и вязкопластического состояний. Это сочеталось с интенсивной работой в таких практически важных и специфических областях, как механика сыпучей массы и механика грунтов.

В гидро- и аэромеханике больше всего усилий потребовала теория крыла и винта самолета в связи с переходом к исследованию неустановившихся движений и к учету сжимаемости. Приближение скоростей в авиации к звуковым, а также задачи баллистики выдвинули столько новых вопросов, что в особую дисциплину выделилась газовая динамика. Многочисленные работы были посвящены теории пограничного слоя. Широко разрабатывалась теория волн (ранее представленная только работами Остроградского и Жуковского), включая теорию волнового сопротивления. Возникли новые имеющие фундаментальное значение исследования по теории турбулентности с применением вероятностных методов. Теория фильтрации именно в трудах советских механиков этого периода из инженерной дисциплины, представляющей одну из глав гидравлики, превратилась в отдел гидродинамики. Также новаторскими были исследования по динамике смесей жидкостей и газов — здесь мы переходим в область неньютоновых жидкостей.

Сравнительно мало разрабатывались специфические проблемы теории вязкой жидкости, но и тут были получены заметные результаты. Выдающиеся результаты были достигнуты при исследовании существования и единственности решений общих уравнений гидродинамики идеальной жидкости.

Таким образом, к исходу 30-х годов советская наука была представлена во всех областях механики того периода, притом не единичными исследователями, а коллективами, целыми научными школами и направлениями. Полнокровными стали новые институты и лаборатории Академии наук СССР, в том числе Институт механики, Сейсмологический институт, Математический институт им. В.А. Стеклова (его отдел механики) и др. Механика заняла уже заметное место и в республиканских академиях.

Убедительным доказательством того, насколько многочисленны стали кадры механиков и как выросла потребность в них, является выделение во многих университетах механико-математических факультетов и организация при них научно-исследовательских институтов (например, в МГУ). О том же свидетельствует и факт систематического проведения совещаний и конференций, например Всесоюзной конференции по колебаниям (1931), всесоюзных конференций по аэродинамике (1931, 1933), конференции по волновому сопротивлению (1937), Всесоюзного совещания по строительной механике и теории упругости (1939). На конец 1941 г. были запланированы Второе всесоюзное совещание по строительной механике и теории упругости и Первое всесоюзное совещание по аэродинамике и общей механике. Оба они не состоялись из-за начавшейся войны, но интересна намеченная программа их работы, выявляющая преобладавшие в то время направления.

На совещании по строительной механике и теории упругости должны были работать такие секции: а) пластинки, оболочки и тонкостенные конструкции; устойчивость конструкций; динамические задачи строительной механики; нелинейные задачи теории упругости; стержневые системы и несущая способность сооружений; б) пластичность, ползучесть и прочность; механика грунтов и сыпучих тел; в) экспериментальные методы измерения напряжений.

На совещании по аэродинамике и общей механике должны были быть поставлены и обсуждены обзорные доклады по таким темам: проблема гидродинамического сопротивления; проблема больших скоростей в сжимаемом газе; современные проблемы теории крыла; фильтрация жидкостей и газов через пористые среды; проблемы внешней баллистики; проблемы гироскопии; устойчивость движения; проблемы теории регулирования и др.

Созыв таких конференций и совещаний не только отвечал потребностям научного общения, но и служил в известной мере целям планирования. Планирование в довоенный период осуществлялось в масштабах кафедры, вуза, института с учетом тех заявок и предложений, которые поступали преимущественно от отдельных предприятий, заводских лабораторий и т. п. Координация научных работ в масштабе республики и всего Союза систематически еще не проводилась, и в этом отношении научные конференции и совещания имели большое значение.

Наряду с гораздо более многочисленными и регулярнее издававшимися, чем в предреволюционную эпоху, «Трудами», «Записками» вузов и научно-исследовательских институтов было начато издание журнала «Прикладная математика и механика» (с 1937 г.). Работы по механике систематически печатались в «Известиях Отделения технических наук» Академии наук СССР и в журналах республиканских академий. Литература по механике публиковалась в масштабах, совершенно несравнимых с прошлым. Это были и специальные монографии, и комментированные издания классиков науки, и учебники разного назначения и объема. Советскими механиками были созданы учебные курсы, получившие мировое признание и переведенные на многие языки. Этой важной для дальнейшего развития науки работе отдали немало сил крупные советские механики, продолжая традицию Остроградского и Жуковского. В этот период впервые было издано полное собрание сочинений Жуковского, в которое вошли многие ранее не публиковавшиеся работы. Это издание стало событием в истории советской механики и явилось первым в ряду последовавших за ним изданий трудов выдающихся механиков нашей страны.

МЕХАНИКА ТЕЛ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ И ТЕОРИЯ РЕАКТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ В ДОВОЕННЫЙ ПЕРИОД

В советское время идеи Мещерского и Циолковского получили широкое развитие. В работах Мещерского дальнейшее развитие получила его идея «отображения» движения, высказанная им еще в 1897 г. В 1918 г. он опубликовал статью «Задача из динамики переменных масс», в которой рассматривается движение механической системы из п точек, лежащих на прямой линии, массы которых изменяются с течением времени по некоторому закону. При этом точки системы взаимно притягиваются или отталкиваются силами, пропорциональными произведениям масс рассматриваемых точек на расстояние между ними. К.Э. Циолковский свои исследования по ракетной технике и межпланетным сообщениям развил в ряде работ, относящихся к началу 20-х годов. В брошюре «Вне Земли», изданной в 1920 г., он ввел понятие о составной (состоящей из двух вагонов) ракете, описал взлет с Земли, Луны, астероида и спуск на Землю. В 1926— 1929 гг. Циолковский предложил для достижения космических скоростей использовать многоступенчатую ракету. В 1929 г. в Калуге появилась его работа «Космические ракетные поезда», в которой выдвинута идея, что межпланетный корабль должен представлять собой ряд последовательно соединенных ракет, отделяющихся одна от другой по мере израсходования горючего. Циолковский создал теорию многоступенчатых ракет, математически обосновал возможность достижения космических скоростей на ракете. Идея полета на ракете в мировое пространство является величайшим достижением Циолковского. Ему принадлежит также идея создания реактивного самолета для полета в высоких слоях атмосферы и с такими большими скоростями, которые не могут быть достигнуты самолетами с поршневыми двигателями. Эта идея была изложена им в работе «Реактивный аэроплан», изданной в 1930 г. в Калуге. Придавая большое значение экспериментальным исследованиям, Циолковский в 1927 г. разработал схему лабораторной установки для испытания реактивных двигателей («Космическая ракета. Опытная подготовка», 1929).

Помимо указанных работ были изданы с некоторыми дополнениями и изменениями результаты исследований, изложенные в его трудах 1903—1912 гг. Мы имеем в виду следующие две работы: «Ракета и космическое пространство» (1924), «Исследование мировых пространств реактивными приборами» (1926).

Дав научное обоснование теории полета ракет, разработав теорию прямолинейного реактивного движения тел переменной массы, К.Э. Циолковский стал признанным основоположником ракетодинамики.

Работы Циолковского оказали большое влияние на развитие исследований по ракетодинамике в СССР. Они открыли путь исследованиям Ф.А. Цандера (1887—1933) и Ю.В. Кондратюка (1897—1942), которые рассмотрели ряд важных задач ракетодинамики и теории реактивных двигателей. Цандер начал заниматься вопросами межпланетных сообщений еще в студенческие годы (с 1908 г.). Он исследовал в 1917 г. задачу перелета на другие планеты при помощи ракет и разработал проект межпланетной ракеты с крыльями и реактивного двигателя для нее.

Первая публикация исследований Ф.А. Цандера относится к 1924 г., когда в журнале «Техника и жизнь» появилась его статья «Перелеты на другие планеты».

В 1932 г. была издана его капитальная монография «Проблема полета при помощи реактивных аппаратов». Затем были опубликованы результаты исследования Цандером ракетных двигателей на жидком топливе. Несколько позднее, чем Цандер, примерно в 1916 г., теорией реактивного движения начал заниматься Ю.В. Кондратюк. В 1929 г. он опубликовал работу «Завоевание межпланетных пространств».

Под влиянием исследований пионеров ракетной техники в СССР уже в 20-х годах стали создаваться группы и организации по изучению различных вопросов реактивного движения. Было организовано Общество межпланетных сообщений.

В 1929 г. в Ленинграде была создана Газодинамическая лаборатория (ГДЛ). Особенно важное значение для развития механики переменной массы имели группы по изучению реактивного движения (ГИРД) в Москве и в Ленинграде, созданные в 1931 г. Центральным советом Осоавиахима СССР. В 1933 г. был организован Реактивный научно-исследовательский институт (РНИИ). В этих организациях начинали свою работу многие инженеры, конструкторы, ставшие впоследствии крупными теоретиками реактивного движения, выдающимися конструкторами космических кораблей.

В московской группе по изучению реактивного движения работал С.П. Королев (1906—1966), который впоследствии прославился как выдающийся конструктор и ученый в области ракетной и космической техники. В 1930 г. С.П. Королев окончил факультет аэромеханики Высшего технического училища и школу летчиков. Еще студентом он стал автором нескольких оригинальных конструкций.

В 1929 г. Королев на Всесоюзных планерных состязаниях выступает в качестве одного из конструкторов планера «Коктебель». В 1930 г. он спроектировал и построил планер «Красная звезда», на котором впервые в истории авиации выполнялись фигуры высшего пилотажа. В том же 1930 г. он построил легкомоторный самолет «СК-4» и сам совершил свой первый полет. В 1935 г. Королев принимал участие во Всесоюзном слете планеристов в качестве летчика и конструктора двухместного планера «СК-9», на котором им впоследствии был установлен жидкостный ракетный двигатель.

СЕРГЕЙ ПАВЛОВИЧ КОРОЛЕВ (1906-1966)

Советский ученый в области ракетной и космической техники. С.П. Королев внес неоценимый вклад в развитие мировой науки и техники в области космонавтики 

Познакомившись с К.Э. Циолковским и его основополагающими трудами, С.П. Королев, благодаря своему могучему таланту и неиссякаемой энергии, внес огромный вклад в дело освоения космического пространства — вклад, значение которого трудно переоценить.

В 1934 г. С.П. Королев издал книгу «Ракетный полет в стратосфере», которая сыграла важную роль в развитии ракетной техники в то время. «Книжка разумная, содержательная и полезная», — писал о ней К.Э. Циолковский.

В годы Великой Отечественной войны Королев работал над установкой жидкостных ракетных ускорителей на истребителях и пикирующих бомбардировщиках, принимал участие в испытательных полетах.

Слава С.П. Королева, крупнейшего ученого и конструктора в области ракетной техники и исследования космического пространства, достигла своего апогея после войны. Мы рассмотрим его творчество этого периода в следующем разделе главы.

С оформлением организаций энтузиастов ракетного дела появилась потребность в публикации исследований в области реактивного движения.

Реактивная секция Стратосферного комитета Центрального совета Осоавиахима СССР начиная с 1935 г. стала издавать сборник «Реактивное движение», посвященный проблемам движения тел переменной массы, а также проблемам реактивного полета. Основное внимание уделялось исследованию вертикального движения ракет, движению точки переменной массы при различных гипотезах относительно отделения и присоединения частиц, динамике реактивного самолета. Так, например, В.П. Ветчинкин в работе «Вертикальное движение ракеты» (1935) исследовал вертикальное движение точки переменной массы в среде, сопротивление которой изменяется по квадратичному закону, а плотность среды изменяется с высотой. Для решения полученного движения ракеты был применен метод численного интегрирования. М.К. Тихонравов в работе «Формула Циолковского» (1936) проанализировал основное уравнение движения точки переменной массы при различных предположениях относительно характера отделения и присоединения частиц. Он показал, что изменение скорости точки, происходящее при отделении частиц, можно определить, применяя закон сохранения количества движения и закон сохранения кинетической энергии.

Интересные результаты в области механики переменных масс были получены при решении астрономических проблем. Здесь основным предметом исследований была задача двух тел. Г.Н. Дубошин в 1926—1930 гг. опубликовал серию статей «О форме траекторий в задаче о двух телах с переменными массами». Эта задача сводится к изучению интегро-дифференциального уравнения, решение которого выражается с помощью рядов, расположенных по степеням малого параметра. В.В. Степанов (1889—1950) в работе «О форме траекторий материальной точки в случае притяжения по закону Ньютона переменной массой» (1930) исследовал вопрос о форме орбиты точки постоянной массы, находящейся под действием переменной центральной массы. Он показал, что при некотором законе изменения массы притягивающей точки орбитой движущейся точки может быть любая кривая, обращенная вогнутостью к центру. А.С. Лапин в работе «Задача двух тел с переменными массами» (1944) исследовал случаи интегрируемости уравнений движения двух тел переменной массы, пользуясь методом замены переменных, введенным И.В. Мещерским. Таким образом, он свел задачу о движении точки переменной массы к задаче движения точки постоянной массы, воспользовавшись специальным прибором преобразования относительно радиуса-вектора и времени. Оказалось, что если массы взаимопритягивающихся по закону Ньютона материальных точек возрастают с течением времени, то задача о движении двух точек переменной массы сводится к изучению движения точки постоянной массы, притягивающейся по закону Ньютона и находящейся под действием силы сопротивления, равной произведению скорости на некоторую функцию времени.

ПОСЛЕВОЕННЫЙ ПЕРИОД

В годы Великой Отечественной войны работа советских механиков была подчинена главной цели — содействовать повышению боевой мощи вооруженных сил и решать самые насущные задачи, выдвигаемые промышленностью в условиях военного времени. Но сил хватало и на продолжение теоретических исследований во многих направлениях. Не удивительно, что сразу же после войны исследования по механике ведутся по всем прежним направлениям, только с еще большим размахом, а вскоре начинается разработка новых направлений.

В аналитической механике в послевоенный период усиленно развивалась теория неголономных систем — как общие вопросы, так и решение частных задач. По-прежнему много внимания уделялось гироскопии. В теории динамических систем перешли к исследованию вопросов такой общности, что это направление можно отнести скорее к математике, чем к механике. Здесь происходит тот закономерный переход к более высокой степени общности, который со временем приведет к конкретизации получаемых результатов — при их применении к решению более сложных практических проблем.

Теория колебаний (преимущественно нелинейных) стала обширной дисциплиной, новые успехи которой были достигнуты на пути дальнейшего развития и взаимного влияния асимптотических, топологических и функциональных методов. Проведенный в Киеве в 1961 г. Международный симпозиум по нелинейным колебаниям показал, что советская наука сохраняет здесь свое ведущее положение. Направление Н.М. Крылова и Н.Н. Боголюбова стало большой научной школой, значительные коллективы работают в Горьком и в Москве (школы Мандельштама, Папалекси, Андронова), заметный вклад вносят в нелинейную механику многочисленные исследователи других научных центров. Теория устойчивости по-прежнему занимает одно из первых мест по числу исследований и исследователей, занимающихся ее проблемами. В ней постепенно происходит переход от разработки общих методов к анализу сравнительно частных, но практически весьма важных задач, выдвигаемых смежными областями — теорией колебания и теорией регулирования.

Возможно, что со временем будет принята такая классификация наук, согласно которой теория регулирования не будет включена в механику. Однако эта теория очень близка к механике по своим методам, многое у нее заимствует, и поэтому пока нет оснований отделять ее от механики. Начиная с 40-х годов теория регулирования развивается в нарастающем темпе, что естественно в эпоху автоматизации производственных процессов и внедрения различных кибернетических устройств, следящих систем, систем с дистанционным управлением и т. д.

В теории деформируемых твердых тел, несмотря на широкое развитие всех прежних направлений, центр тяжести стал смещаться в сторону новых схем: упругопластическое, вязкопластическое состояние, явления упрочнения (наклеп), ползучесть, нелинейные упругопластические колебания, механика сыпучей среды и грунтов. В настоящее время эти направления в своей совокупности превосходят по числу посвященных им работ и численности занимающихся ими исследователей классические разделы теории упругости. Во всех этих направлениях шла работа и над принципиальными основами, и над решением частных задач.

В механике жидкостей и газов наблюдается сходный процесс. Необходимость учета сжимаемости среды при движениях с большими дозвуковыми, затем околозвуковыми и сверхзвуковыми скоростями, когда термодинамика процесса играет первостепенную роль, заставляет все больше усилий уделять газовой динамике — дисциплине, в начале века составлявшей небольшую главу механики, а теперь соперничающей по объему материала и размаху исследований с классической аэродинамикой. Изучаются движения в газообразной среде и с так называемыми гиперзвуковыми скоростями — скоростями космических кораблей и метеоров, когда надо принимать во внимание и диссоциацию молекул газа. В гидромеханике схема идеальной жидкости в двумерных стационарных задачах при современных возможностях математического аппарата представляется почти исчерпанной. Больше внимания привлекают нестационарные задачи плоского движения идеальной жидкости и трехмерные задачи, особенно механика вязкой (несжимаемой) жидкости. Статистические методы остаются основными в теории турбулентности, где еще предстоит решить ряд кардинальных проблем. Очень большое место занимают теперь такие разделы, как движение жидкости и газа в пористых средах, теория взрывных процессов на основе гидродинамической схемы, теплопередача при движении жидкостей и газов.

Число новых моделей и схем в механике деформируемых сред быстро растет, и сами эти модели и схемы становятся уже объектом классификации и изучения. Выявляются некоторые новые, заслуживающие внимания тенденции. Хорошо разработанные схемы находят новое применение вне области, для которой они были первоначально созданы (например, поведение металла при пробивании брони кумулятивным снарядом начали изучать, рассматривая его как идеальную жидкость). В других случаях используют при исследовании одной и той же среды разные схемы в соответствии с теми условиями, в каких эта среда находится (например, некоторые тела, ведущие себя при кратковременных нагрузках как твердые, при долговременных малых нагрузках можно считать весьма вязкими жидкостями). Идет также процесс выделения ряда общих понятий в механике и значительное расширение и видоизменение применяемого математического аппарата. Многие ученые характеризуют это как часть происходящей перестройки всей математической физики.

В развитии механики тел переменной массы и теории реактивного движения после Великой Отечественной войны можно наметить два этапа. Первый из них — примерно до середины 50-х годов, — когда основное внимание уделяется движению с отбрасыванием частиц, притом главной целью является уже не столько решение отдельных задач, сколько систематическое построение теории. В значительной мере это было выполнено А.А. Космодемьянским. В его работе «Общие теоремы механики тел переменной массы» (1946) исходным является уравнение Мещерского, которое удовлетворяется для каждой из точек системы переменной массы. Отсюда получены законы изменения главного вектора количества движения, кинетического момента и кинетической энергии для тела переменной массы.

В работе Космодемьянского «Общие теоремы динамики тел переменной массы» (1951) опубликованы результаты, относящиеся к уравнениям Лагранжа в обобщенных координатах и к каноническим уравнениям. Доказано, что в случае, когда абсолютные скорости отбрасывания частиц равны нулю и внешние силы, действующие на тело переменной массы, имеют потенциал, канонические уравнения движения для тела переменной массы принимают форму уравнений Гамильтона для механической системы постоянной массы, а уравнения Лагранжа второго рода для тела переменной массы имеют такую же форму, как и для тела постоянной массы.

При изучении абсолютного движения тела переменной массы необходимо учитывать не только изменение массы тела, но и перемещение центра инерции внутри тела. Абсолютное движение центра инерции тела переменной массы подробно рассмотрено в изданных в 1952 г. лекциях А.А. Космодемьянского «Лекции по механике тел переменной массы». Там же приведено доказательство общих теорем механики тел переменной массы, когда центр масс не перемещается внутри тела. Указанные работы опираются на исследования Мещерского, в которых применяются методы аналитической динамики системы материальных точек и твердых тел. Другое направление в механике переменной массы представляют работы, в которых используются методы, близкие к методам механики сплошных сред. Такое направление можно условно назвать гидродинамическим. Ф.Р. Гантмахер и Л.М. Левин в работе «Об уравнениях движения ракеты» (1947) для случая движения ракеты и вообще тела переменной массы вывели теоремы количества движения и кинетического момента, исходя не из специально развитых положений механики переменной массы, а непосредственно из законов изменения главного вектора количества движения и кинетического момента для некоторой системы частиц постоянной массы. Аналогична постановка вопроса в ряде работ В.С. Новоселова.

В работе В.С. Новоселова «Некоторые вопросы механики переменных масс с учетом внутреннего движения частиц» (1957) выведены законы изменения главного вектора количества движения и кинетического момента для систем и тел переменной массы при возможном относительном движении частиц, рассмотрен закон изменения кинетической энергии для системы и тела переменной массы, получены уравнения Лагранжа второго рода для голономных систем с переменными массами в общем случае возможного относительного движения частиц, указаны необходимые и достаточные условия, при выполнении которых в механике переменных масс справедлив принцип Гамильтона — Остроградского. В другой работе Новоселова «Уравнения движения нелинейных неголономных систем с переменными массами» (1959) строится неголономная механика тел переменной массы: рассмотрены уравнения движения тел с неопределенными множителями Лагранжа, уравнения вида С.А. Чаплыгина, П.В. Воронца, Г. Гамеля (1877—1954), обобщается принцип Гаусса и выводятся уравнения, аналогичные уравнениям П. Аппеля (1855—1930). В работе «Движение механических систем со связями, зависящими от процесса изменения масс» (1960) В.С. Новоселов рассмотрел системы, на которые наложены связи, изменяющиеся вместе с изменением масс.

С середины 50-х годов начинается новый этап, когда аналитическая механика точки и тела переменной массы развивается главным образом в более общей постановке — исходя из предположения, что одновременно происходит и отделение и присоединение частиц[35]. Вместе с тем начинают разрабатываться и вопросы устойчивости.

В работе В.Ф. Котова «Основы аналитической механики для систем переменной массы» (1955) выведены принципы виртуальных перемещений, уравнения Лагранжа второго рода, канонические уравнения, уравнения Аппеля, уравнения движения свободной точки переменной массы, уравнения движения свободного тела переменной массы, принцип наименьшего действия. В.А. Сапа в статье «Вариационные принципы в механике переменной массы» (1956) сформулировал принцип виртуальных перемещений для общего случая системы точек переменной массы, получил принципы Даламбера, Гаусса, Гамильтона—Остроградского и из этих принципов вывел соответствующие уравнения движения системы переменной массы.

В другой его работе «Движение материальной точки переменной массы в случаях одновременного отделения и присоединения частиц» (1957) выведены общие теоремы механики для абсолютного и относительного движений точки переменной массы в случае одновременного отделения и присоединения частиц. Там же выведены уравнения движения голономной системы переменной массы в неголономных координатах (в квазикоординатах), уравнения движения в неголономных координатах системы переменной массы с линейными неголономными связями, уравнения движения систем переменной массы в обобщенных координатах (уравнения Лагранжа второго рода, уравнения Рауса, Аппеля). В других работах Сапа движение тела переменной массы вокруг неподвижной точки исследуется с учетом как вращения главных осей инерции, так и перемещения центра масс в теле.

В статье В.М. Карагодина «Некоторые вопросы механики тела переменной массы» (1956) и в его монографии «Теоретические основы механики тела переменного состава» (1963) дано обобщение теоремы Кенига на случай тела переменной массы, центр инерции которого в процессе движения самого тела перемещается с некоторой скоростью по отношению к точкам тела, и сформулирована для этого случая теорема о кинетической энергии тела переменной массы. Там же дано обобщение уравнений Эйлера на случай тела переменной массы с переменными моментами инерции, когда центр масс перемещается внутри тела, а центральная система осей координат вращается по отношению к телу с определенной угловой скоростью.

Как отмечалось выше, в рассматриваемый период достаточно видное место в механике переменных масс заняли задачи об устойчивости движения. В работе А.С. Галиуллина «Об одной задаче устойчивости движения точки переменной массы на конечном интервале времени» (1954) устойчивость движения исследована в предположении, что сопротивление прямо пропорционально квадрату скорости точки, при этом коэффициент пропорциональности явно зависит от времени (кроме того, допускалось, что скорость изменяющейся массы и скорость самой точки коллинеарны).

В двух работах М. Ш. Аминова: «Об устойчивости вращения твердого тела переменной массы вокруг неподвижной точки» (1958) и «Некоторые вопросы движения и устойчивости твердого тела переменной массы» (1959) — содержатся некоторые общие результаты: для системы п материальных точек переменной массы, подчиненной идеальным голономным связям, формулируется принцип Гамильтона-Остроградского, который затем применяется к выводу дифференциальных уравнений движения твердого тела переменной массы вокруг неподвижной точки и для свободного движения тела переменной массы. Устойчивость вращения тяжелого тела переменной массы с одной закрепленной точкой исследуется в предположениях, аналогичных тем, которые характеризуют классический случай Лагранжа. Были получены достаточные условия устойчивости равномерного вращения вокруг вертикальной оси симметричного тела переменной массы.

В течение ряда лет в области ракетодинамики значительное место занимали задачи, которые можно охарактеризовать как задачи внешней баллистики неуправляемых ракет. Над такими проблемами работали и за рубежом. Военные годы, естественно, вызвали повсеместно задержку публикаций. Когда же стали появляться журнальные статьи и книги по теории неуправляемых ракет, то выяснилось, что методы исследования и способы расчета применялись разные, но по сути в советских работах были получены все существенные результаты, какие удалось найти зарубежным ученым. Для решения первой основной проблемы внешней баллистики неуправляемых ракет — в расчете траекторий — были использованы общие положения механики тел переменной массы. Для вывода уравнений движения в общем случае достаточен восходящий к Мещерскому принцип затвердевания для системы переменной массы с твердой оболочкой. Вторая основная проблема внешней баллистики неуправляемых ракет — проблема рассеяния, или проблема кучности, — требует, разумеется, привлечения вероятностных методов. Советские исследования в этой области в основном подытожены в книге Ф.Р. Гантмахера и Л.М. Левина «Теория полета неуправляемых ракет», изданной в 1959 г.

Особый интерес в механике переменных масс представляют экстремальные задачи. А.А. Космодемьянский в работе «Механика тела переменной массы» отмечает, что вариационные методы решения задач внешней баллистики для тел переменной массы являются наиболее естественными и адекватными механической сущности поставленной проблемы. В самом деле, дифференциальные уравнения движения на активном участке полета (т. е. пока работает двигатель) содержат в качестве коэффициентов некоторую функцию и ее первую производную. Интегралы этих уравнений, следовательно, будут зависеть не только от произвольных постоянных, но и от вида некоторой функции и ее первой производной, т. е. будут функционалами. Следует думать, что применение мощного аппарата вариационного исчисления обеспечит значительный прогресс в механике переменной массы. Еще в 1934 г. на- Всесоюзной конференции по изучению стратосферы М.В. Мачинский и А.Н. Штерн в докладе «Научные проблемы ракетного движения» рассмотрели задачу о прямолинейном вертикальном полете ракеты, пользуясь вариационным методом. В докладе приведен вывод уравнения, решающего вопрос о полете ракеты с наименьшей затратой горючего.

Систематически применялись вариационные методы А.А. Космодемьянским. В частности, в работе «Экстремальные задачи динамики точки переменной массы» (1946) им поставлены и решены задачи определения максимальной высоты подъема ракеты и задача достижения ракетой заданной высоты в минимальное время (при наличии сил сопротивления среды). А.Ю. Ишлинский еще в 1944 г. в работе «Два замечания к теории движения ракет» показал, что для однородной атмосферы задачу о максимальной высоте подъема ракеты можно привести к простейшей задаче вариационного исчисления с помощью соответствующей замены переменных.

Эта идея была развита в работах Д.Е. Охоцимского и А.А. Космодемьянского.

Задача о максимальной горизонтальной дальности ракеты в среде без сопротивления и задача о подъеме ракеты на максимальную высоту при наличии сопротивления воздуха с учетом изменения плотности воздуха и его температуры с высотой решена в работе Д.Е. Охоцимского «К теории движения ракет» (1946) методом вычисления первой вариации. Особенностью этих двух вариационных задач является то, что искомые характеристики движения представляют собой функционалы, заданные неявно посредством дифференциальных уравнений движения и некоторых начальных условий, при этом нельзя получить явное выражение этих функционалов через функцию, выражающую зависимость изменения массы от времени и их первых вариаций при варьировании этой функции. Кроме того, экстремальное значение достигается на кривых, имеющих угловые точки. А.А. Космодемьянский в своем курсе «Лекции по механике тел переменной массы» упростил решение задачи о максимальной высоте подъема ракеты в неоднородной атмосфере, показав, что ее можно рассматривать как вариационную задачу с неголономными связями.

В непосредственной связи с работой Ф.А. Цандера «Перелеты на другие планеты» (1924) находится решение задачи о выведении искусственного спутника Земли на орбиту, которая стала предметом ряда исследований. Например, в работе Д.Е. Охоцимского и Т.М. Энеева «Некоторые вариационные задачи, связанные с запуском искусственного спутника Земли» (1957) рассмотрен вопрос о том, как должно изменяться во времени направление тяги реактивных двигателей, чтобы было обеспечено выведение спутника на заданную орбиту с минимальным расходом топлива. При этом предполагается, что выведение спутника на орбиту осуществляется при помощи ракетного ускорителя, состоящего из одной или нескольких ступеней. Исследование проводилось в предположении, что отсутствуют аэродинамические силы и поле земного тяготения является плоскопараллельным.

Предметом работы И.Ф. Верещагина «К решению экстремальной задачи движения точки переменной массы» (1960) является достаточно общая экстремальная задача — определение оптимальной в том или ином смысле кривой выведения искусственного спутника Земли на орбиту: указан метод построения уравнений, дополнительных к уравнению Мещерского, и с помощью выведенных дифференциальных уравнений экстремалей находится оптимальный угол старта ракеты.

Развитие космической ракетной техники привело к выделению двух классов задач: о полете ракет с двигателями на химическом топливе, т. е. задач о полете с большой тягой (в этом случае на единицу тяги приходится малый вес), и о полете ракет с двигателями малой тяги. Двигатели малой тяги характеризует то, что на единицу тяги приходится большой вес, но этот недостаток компенсируется продолжительностью действия тяги при малом расходе массы (для электрореактивных двигателей) или даже нулевом (для «солнечного паруса»).

Вариационные проблемы для полета с двигателем малой тяги имеют свою специфику. Ф.А. Цандер в работе «Перелеты на другие планеты» первым показал принципиальную возможность межпланетного полета с двигателем малой тяги — солнечным парусом. Установка паруса на движущемся аппарате должна меняться при его движении. Задача об оптимальной программе для угла установки паруса при перелете с одной орбиты на другую решается Г.Л. Гродзовским, Ю.Н. Ивановым и В.В. Токаревым в работе «Механика космического полета с малой тягой» (1963) методом численного интегрирования. Ряд вариационных задач для движения с малой тягой решен Д.Е. Охоцимским. Общая постановка проблемы оптимизации в механике космического полета с малой тягой дана в его работе «Некоторые вариационные задачи, связанные с запуском искусственного спутника Земли». Там же содержится обзор исследований в этой области.

Другие задачи, решенные в трудах советских механиков, по постановке и методам решения в значительной мере тоже относятся к теории регулирования или оптимального управления. В них рассмотрено движение тела переменной массы в гравитационном поле с постоянной и убывающей мощностью, исследован вопрос о влиянии случайных отклонений от оптимальной (в том или другом отношении) программы движения, об учете ограниченности мощности тяги и т. д.

Некоторые из этих задач потребовали разработки принципиально новой методики. Один из примеров, приобретающий все большее значение, — вопрос об оптимальном регулировании тяги летательного аппарата. Оптимальность означает экстремизацию того или иного функционала, выражающего либо дальность, либо время полета, либо затрату горючего и т. п. Оказалось, что решение часто надо искать не в классе гладких или кусочно-гладких функций, что соответствовало бы обычной постановке вопроса в вариационном исчислении, а в классе разрывных функций. Так, например, решается вопрос об оптимальном регулировании тяги для достижения максимальной дальности при горизонтальном полете самолета с реактивным двигателем. Абсолютный максимум дальности достигается, как было доказано, на так называемом пунктирном режиме: вылет из положения, для которого заданы масса и скорость самолета, происходит или с выключенными двигателями, или с максимальной тягой, а затем участки разгона последовательно сменяются участками полета с выключенными двигателями.

Для определения таких пунктирных режимов В.Ф. Кротов в 1961 г. в своих работах «Об оптимальном режиме горизонтального полета самолета» и «Простейший функционал на совокупности разрывных функций» разработал методику отыскания разрывных решений вариационных задач. Приближенное решение вариационных задач дано в работе А.А. Космодемьянского «Некоторые вариационные задачи теоретической ракетодинамики». Ряд существенных результатов по динамике движения самолета с реактивным двигателем, полученных Б.И. Рабиновичем, вошел в его монографию «Вариационные режимы полета крылатых летательных аппаратов» (1962).

За последние два десятилетия в связи с развитием ракетной техники, а особенно после 1957 г. — года запуска первого искусственного спутника Земли, — механика тела переменной массы значительно расширила свою тематику. Развиваются методы решения вариационных задач динамики ракет и самолетов в неклассической постановке. Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко по этому вопросу издали ценную монографию «Математическая теория оптимальных процессов» (1962). Уже упомянутый В.Ф. Кротов, изучая достаточные условия сильного экстремума, разработал новые методы решения вариационных задач и в 1963 г. опубликовал интересную работу «Метод решения вариационных задач на основе достаточных условий абсолютного минимума».

Интересные результаты при решении новых задач ракетодинамики получены Д.Е. Охоцимским, Т.М. Энеевым, В.А. Егоровым и др. Больших успехов советские ученые добились в развитии теории и практики ракетного дела. Здесь прежде всего следует назвать имя выдающегося советского ученого С.П. Королева. С.П. Королев был главным конструктором ракетно-космических систем, на которых были осуществлены запуски искусственных спутников Земли, доставлен советский вымпел на Луну, совершен облет и фотографирование обратной стороны Луны, невидимой с Земли. Под его руководством были созданы корабли-спутники, на которых была отработана аппаратура для полета человека в космос и возвращение космического аппарата на Землю, а также пилотируемые космические корабли «Восток» и «Восход», на которых человек впервые в истории совершил полет в космос и осуществил выход в космическое пространство.

Оценивая роль С.П. Королева в зарождении и становлении советской ракетной техники, президент Академии наук СССР академик М.В. Келдыш сказал, что с именем С.П. Королева «навсегда будет связано одно из величайших завоеваний науки и техники всех времен — открытие эры освоения человечеством космического пространства», что академик Королев «принадлежит к числу тех замечательных ученых нашей страны, которые внесли неоценимый вклад в развитие мировой науки и культуры».

Большой вклад в развитие отечественной космонавтики внес М.В. Келдыш. Начиная с 1947 г. он принимал активное участие в исследованиях по теории движения ракет и космических кораблей. Под его руководством велись работы по изучению динамики полета межконтинентальных баллистических ракет. М.В. Келдышу принадлежит постановка задач о влиянии на эволюцию орбит гравитационного поля геоида и точного численного определения траекторий первых искусственных спутников Земли и «лунников». С именем М.В. Келдыша неразрывно связаны блестящие достижения советской космической науки и техники. В их числе полеты автоматических станций к Луне и вокруг Луны, спутники Луны, полеты к планетам Солнечной системы, первый космический полет человека pi дальнейшие полеты пилотируемых кораблей, полет и возвращение с лунным грунтом станции «Луна-16», полет аппарата «Луна-17», доставившего на поверхность Луны первую автоматическую станцию «Луноход-1».

В послевоенный период в связи с решением проблемы исследования космического пространства и создания средств межпланетных сообщений появились новые разделы науки — космическая аэродинамика и магнитная гидродинамика, в развитие которых советские ученые внесли крупный вклад.

Многочисленные работы советских ученых в области механики создали серьезную научную базу для успехов авиационной техники, а также производства ракет дальнего действия.

Здесь следует отметить таких талантливых конструкторов, как А.Н. Туполев, С.В. Ильюшин, А.И. Микоян, А.С. Яковлев, С.А. Лавочкин, О.К. Антонов, А.А. Микулин, В.Я. Климов, П.О. Сухой, В.М. Петляков и др.

* * *

Советская механика начинала свой путь как наука, применяющая преимущественно математические методы и пользующаяся небольшим числом испытанных схем (абсолютно твердое тело, идеальная жидкость — несжимаемая или сжимаемая, упругое тело, подчиняющееся закону Гука, и пр.). Сейчас она охватывает все жизненно важные современные проблемы: все более весомой становится ее доля в развитии мировой науки.

Труд советских механиков вложен и в расчет траекторий космических кораблей, и в приборы, управляющие их движением, и в те многообразные устройства и конструкции, без которых немыслимо существование нашего общества и его дальнейшее развитие. Строительство и транспорт издавна связаны с механикой, а теперь на нее опирается и технология всевозможных производственных процессов, в том числе химическая. Механику использует медицина при диагностике болезней и создании искусственных органов, основательнее опираются на механику и все больше ставят перед ней новых проблем науки о Земле. Все шире использует советская механика эксперимент со всеми возможностями, которые представляет современная техника, все больше обогащается она новыми теоретическими схемами, позволяющими путем расчета предсказывать ход различных процессов и управлять ими.

Перед механикой постоянно возникают новые задачи, и в ней есть немало старых, еще недостаточно исследованных и важных вопросов. Мощное развитие советской механики является убедительным доказательством жизнеспособности классической механики, плодотворности ее связей с современной физикой и техникой.

ВКЛАД СОВЕТСКИХ УЧЕНЫХ В РАЗВИТИЕ ИСТОРИИ МЕХАНИКИ

История механики сравнительно поздно стала самостоятельной дисциплиной. Отчасти это объясняется промежуточным положением механики на стыке математики, физики и технических наук. Историю механики чаще всего рассматривают как раздел истории физики. Примером могут служить многотомные сочинения Розенбергера (по истории физики) и Даннемана (по истории естествознания в целом); в трудах Рюльмана развитие механики исследуется как развитие технической дисциплины.

Вместе с тем такие ученые, как Даламбер, Эйлер, Лагранж, Гамильтон, Якоби, Остроградский, входят в историю науки прежде всего как математики, потому что их труды изучают и о них пишут прежде всего математики. В известной мере это относится даже к Ньютону.

Лишь к концу XIX — началу XX в. история собственно механики становится самостоятельным предметом исследования, что объясняется ростом интереса к проблемам обоснования механики, развитием историко-критического анализа ее принципов. Именно эти вопросы стали предметом исследования, послужили стимулом для авторов наиболее известных произведений того периода по истории механики — Дюринга, Маха, Дюгема. Именно поэтому философские установки этих авторов наложили на их работы особо явственный отпечаток. И если у Маха и Дюгема, выдающихся физиков и знатоков истории своей науки, можно найти много интересного при разборе трудов классиков механики, то у Дюринга в сущности все сводится к поверхностному анализу нарочито подобранного материала с целью обосновать предвзятые установки автора.

В нашей стране в досоветский период историей механики почти не занимались, хотя интерес к ней, несомненно, был, что доказывают переводы книг Дюринга и Маха. Кроме них можно отметить некоторые обзоры и юбилейные статьи, например обзор Д.К. Бобылева о развитии гидродинамики, статью Н.Е. Жуковского об Остроградском и фундаментальный труд А.Н. Крылова — перевод с комментариями «Математических начал натуральной философии» Ньютона. Интерес Жуковского и Крылова к истории механики не был преходящим, но они не занимались ею систематически. Да и вообще среди ученых дореволюционного времени нельзя назвать ни одного человека, для которого история механики была бы постоянным предметом занятий. И это не удивительно — представителей механики как науки было в то время немного, к тому же они в значительной мере были заняты инженерной деятельностью.

После Октябрьской революции положение изменилось. Существенное влияние оказал поворот к методологическим вопросам, который произошел в процессе овладения советской интеллигенцией идеологией марксизма-ленинизма. Изучение, осмысливание и переосмысливание истории науки было составной частью этого процесса. Сначала только немногие ученые полностью посвятили себя истории науки, но постепенно «вкус» к ней прививался, и число историков науки все увеличивалось.

Советские историки механики немного нашли в трудах своих предшественников. Механика древности и средневековья была изучена недостаточно, и изучалась она преимущественно как история идей, без учета общественных условий и в отрыве от истории техники. В значительной мере это относится и к работам по механике нового времени: почти не было работ по истории отечественной механики; отсутствовал анализ тех течений и тенденций в развитии механики, которые подготавливали пересмотр ее основ в начале XX в. Конечно, и сейчас нельзя считать все эти проблемы исчерпанными, но уже выполнена большая работа, и вклад наших ученых в историю механики значительно превышает сделанное в этой области за последние 50 лет историками науки любой другой страны.

Советские историки механики много поработали над изданием и переизданием трудов классиков науки, определявших развитие той или иной области механики. Такие книги обычно являются итогом большой историко-научной работы по изучению эпохи, отраженной в комментариях и примечаниях, в выводах и заключительных статьях.

На высоком научном уровне подготовлены весьма трудоемкие издания трудов Архимеда (1962, перевод, вступительная статья и комментарии И.Н. Веселовского), где впервые с такой полнотой использованы арабские тексты (в переводе Б.А. Розенфельда), и естественнонаучных произведений Леонардо да Винчи (статьи и комментарии В.П. Зубова). Такой же оценки заслуживает издание трудов Коперника (1965, перевод И.Н. Веселовского, статья А.А. Михайлова), значение которых для развития механики оценено, пожалуй, еще не в полной мере.

Основные работы Галилея по механике были изданы в 30-е годы (статьи и примечания А.Н. Долгова), а затем переизданы в 1964 г. (под редакцией А.Ю. Ишлинского) в виде двухтомника его избранных трудов с расширенными и обновленными примечаниями и комментариями (статьи Б.Г. Кузнецова и др., примечания Ю.Г. Переля, И.Б. Погребысского, Е.Н. Ракчеева). Собрание сочинений А.Н. Крылова при переиздании обогатилось его переводом «Начал» Ньютона и «Новой теории движения Луны» Эйлера (частичный перевод). Впервые на русском языке появились мемуары по механике Гюйгенса и Иоганна Бернулли, «Гидродинамика» Даниила Бернулли и «Теория фигуры Земли» Клеро, «Механика» Даламбера и «Аналитическая механика» Лагранжа, исследования Эйлера по механике точки и по баллистике, «Механика» Кирхгофа и «Механика» Герца, основные работы по механике М.В. Остроградского (впервые они были опубликованы автором на французском языке).

В подготовке этих изданий, выпущенных в 30—50-е годы, принимали участие в качестве редакторов и комментаторов К.К. Баумгарт, А.Т. Григорьян, Г.Н. Дубошин, B. П. Егоршин, Н.И. Идельсон, Л.Г. Лойцянский, C. И. Лурье, А.И. Некрасов, Б.Н. Окунев, И.Б. Погребысский, Л.С. Полак и др.

Переизданы едва ли не все значительные работы, относящиеся к истории отечественной механики. Кроме упомянутых работ Эйлера и Остроградского — это собрания трудов С.В. Ковалевской, А.М. Ляпунова, И.С. Громека, И.Г. Бубнова, Ф.С. Ясинского, И.В. Мещерского, К.Э. Циолковского, А.Н. Крылова, Н.Е. Жуковского, С.А. Чаплыгина. Опубликованы материалы по исследованиям П.Л. Чебышева в области кинематики механизмов, переиздан основной труд Л.В. Ассура. Редакторами и комментаторами этих книг были И.И. Артоболевский, В.П. Ветчинкин, В.В. Голубев, А.А. Космодемьянский, П.Я. Кочина, Н.И. Левитский, В.И. Смирнов, Л.Н. Сретенский, С.А. Христианович, Н.Г. Четаев, Ю.А. Шиманский.

Хорошей традицией советских историков науки стала публикация сочинений выдающихся современных ученых. Каждое такое издание, способствуя разработке актуальных проблем, много дает и для истории науки. Таковы собрания трудов А.А. Андронова, Н.М. Беляева, В.П. Ветчинкина, В.Г. Власова, В. 3. Власова, Б.Г. Галеркина, В.В. Голубева, Д.Н. Горячкина, А.Н. Дынника, Н.М. Крылова, Л.С. Лейбензона, Л.И. Мандельштама, А.И. Некрасова, Е.Л. Николаи, Н.Н. Павловского, П.Ф. Папковича, А.А. Фридмана, Н.Г. Четаева, Б.Н. Юрьева.

Значительную ценность имеют тематические сборники по отдельным проблемам. Классические работы по основам гидростатики были собраны и прокомментированы А.Н. Долговым. В обширный сборник работ по вариационным принципам механики и физики, подготовленный Л.С. Полаком, включена большая и содержательная статья составителя об истории этих принципов. Более узкий по теме сборник классических работ по гидродинамической теории смазки сыграл заметную роль в развитии этого теоретически и практически важного раздела динамики вязкой жидкости; сборник подготовлен Л.С. Лейбензоном, включившим в него свою статью с оригинальной трактовкой ряда вопросов. Труды ученых XIX в., заложивших основы теории автоматического регулирования, собраны и прокомментированы в томе, изданном А.А. Андроновым и И.П. Вознесенским. Во многих отношениях образцовым является их историко-научное исследование, включенное в это издание. На основе тщательного и глубокого анализа научного и технического материала авторам удалось объяснить причины известного разрыва между теорией и практикой автоматического регулирования в начальный период его развития.

Число трудов по истории механики в древние и средние века сравнительно невелико, но среди них есть значительные работы. Много занимался историей античной и средневековой механики В.П. Зубов. Эрудиция, тщательный анализ первоисточников и широта подхода помогли ему плодотворно использовать обширный материал по истории философии и истории техники. Большое значение имела (и имеет) его критика историко-научных концепций Дюгема («Концепции Дюгема в свете новейших исследований по истории естествознания». — Труды совещания по истории естествознания 24—26 декабря 1946 г. М.—Л., 1948). Особо следует выделить статьи Зубова, изданные под общим названием «У истоков механики» (в написанной в соавторстве с А.Т. Григорьяном книге «Очерки развития основных понятий механики», 1961), и работы о физических идеях древности, средневековья и Ренессанса, напечатанные в сборнике «Очерки развития основных физических идей» (1959).

Если В.П. Зубов шел от науки древности к науке Нового времени, то В.Ф. Котов шел по тому же пути в противоположном направлении. Руководящей идеей в его содержательной работе о механике Герца является противопоставление в истории классической механики XVII—XIX вв. кинетического и динамического направлений (или подходов).

Доказательство наличия этих подходов (в соответствующих видоизменениях) в античной науке — основная цель работы Котова и Григорьяна «О некоторых вопросах античной механики» («Историко-математическое исследование», вып. 10, 1957).

Рассмотрение истории механики в связи с эволюцией физических понятий и представлений, с учетом «мировоззренческих» проблем характерно и для работ Б.Г. Кузнецова. В его книгах анализ понятий и тенденций античной науки используется для выявления характерных черт механики нового времени — классической механики XVII—XIX вв. (см., например, «Принцип относительности в античной и квантовой физике», 1959).

Велика доля исследований, посвященных эпохе формирования классической механики — XVII в. Как и в только что упомянутых работах, здесь тоже было стремление рассматривать историю механики в связи с эволюцией физики и естествознания в целом и с учетом экономических и социальных условий. Это относится к работам по истории механики, а также к тем, в которых вопросы этой истории затрагиваются попутно. Укажем, например, книгу Б.М. Гессена «Социально-экономические корни механики Ньютона» (1933), отличающуюся новизной трактовки и привлечением обширного материала, который до того оставался вне поля зрения историков науки; книгу С.И. Вавилова о Ньютону (1943, изд. 2, 1948), по-новому освещающую многое в научной методологии Ньютона; монографию Б.Г. Кузнецова о Галилее (1964), две монографии о Гюйгенсе — И.Н. Веселовского (1959), У.И. Франкфурта и А.М. Френка (1962).

В ряде монографий и статей Б.Г. Кузнецов исследовал формирование и развитие основных принципов классической механики, и прежде всего принципа относительности, начиная с XVII и до XX в. («Принципы классической физики», 1958; «Развитие физических идей от Галилея до Эйнштейна», 1963, и др.). Вариационные принципы механики и физики обсуждаются в обширной, охватывающей тот же период монографии Л.С. Полака «Вариационные принципы механики, их развитие и применение в физике» (1960). Все эти работы объединяет стремление выявить в истории науки сквозные линии развития, связывающие ее воедино, несмотря на все изломы я скачки исторического процесса.

История механики XVIII в. представлена прежде всего трудами об Эйлере и Лагранже. Об их научном творчестве писали А.Н. Крылов, Н.И. Идельсон (о Лагранже), Я.С. Фрейман («Петербургский принцип»), Л.Н. Сретенский (работы Эйлера по механике твердого тела), Е.Л. Николаи (работы Эйлера по продольному изгибу) и др. Изучалась также деятельность Д. Бернулли ( К.К. Баумгарт, А.И. Некрасов, Т.И. Райков), Клеро ( Н.И. Идельсон), Даламбера ( В.П. Егоршин), связанные с механикой труды Ломоносова ( В.Ф. Котов). Несколько работ посвящено малоизвестным или забытым отечественным ученым-механикам XVIII в. Но здесь следует отметить, что огромное наследие Эйлера в области механики и, добавим, физики еще не исследовано с достаточной полнотой, хотя новый и весьма ценный материал стал доступен благодаря Г.К. Михайлову, изучившему и частично опубликовавшему (1965) научные дневники («Записные книжки») и рукописи ряда работ Эйлера по механике.

Среди работ по механике XIX и XX в. преобладающее место занимают исследования по истории отечественной механики.

Во введении к своим статьям «У истоков механики» В.П. Зубов, характеризуя общие установки советских историков науки, писал: «В наше время никто уже не думает, что история науки — это простой каталог открытий, расположенный в хронологическом порядке. После вопроса, когда и кто сделал то или иное открытие, неизбежно и настоятельно встает гораздо более сложный и более важный вопрос — каким образом, в каких условиях было сделано (и может быть сделано) то или иное открытие, в какой связи оно стоит с общим ходом развития науки всей истории человечества, а соответственно — что именно тормозило и задерживало возможность этого открытия, появления той или иной идеи, теории. При такой постановке вопроса приобретает самостоятельное значение исследование исторических корней научных понятий уже не в порядке изучения чего-то отжившего и давно заброшенного, каких-то «преданий старины глубокой», а как уяснение логических и исторических этапов закономерного генезиса, позволяющих полнее и глубже понять структуру и прогресс научной мысли».

Однако из-за совершенно недостаточной изученности истории отечественной механики здесь прежде всего надо было бы ответить на многие вопросы — «когда» и «кто». Поэтому не удивительно, что у нас появилось немало работ описательного, «фактологического» характера. Ведь без них нельзя было бы дать то последовательное изложение развития отечественной механики, которое мы имеем в главах по истории механики в «Истории естествознания в России», написанных А.А. Космодемьянским, А.Т. Григорьяном и Л.С. Полаком, в «Очерках по истории теоретической механики в России» ( А.А. Космодемьянский, 1948) и в «Очерках истории механики в России» ( А.Т. Григорьян, 1961).

Кроме того, появилось немало исследований о деятельности видных представителей отечественной науки, в которых ставятся важные принципиальные вопросы истории механики. Это работы Я.Л. Геронимуса («Очерки о работах корифеев русской механики», 1952), В.В. Голубева и Л.С. Лейбензона о Жуковском (соотношение теории и эксперимента), ряд монографий и статей об Остроградском, Лобачевском, Ковалевской, Ляпунове, Крылове и др.

Много ценного для истории механики советского периода содержат юбилейные сборники: «Механика в СССР за XV лет», «Механика в СССР за тридцать лет», «Механика в СССР за пятьдесят лет», «Строительная механика в СССР (1917—1957 гг.)». Эти сборники в известной мере восполняют явный пробел в исследованиях развития отдельных областей механики в нашей стране за последние 50 лет. Следует также выделить статьи И.И. Артоболевского о развитии кинематики механизмов, а из монографий — книгу Н.М. Меркуловой «Развитие газовой динамики в СССР» (1966). Отдельную группу составляют работы о развитии механики в советских республиках и в ряде высших учебных заведений; наиболее полно и систематически рассмотрена история механики в Московском университете ( В.В. Голубев, И.А. Тюлина). Развитие исследований по математике и механике в Академии наук СССР рассматривается в «Истории Академии наук» (т. I и II; главы, написанные А.П. Мандрыкой, В.И. Смирновым, А.П. Юшкевичем).

Работ о зарубежной механике XIX и XX вв. значительно меньше. Больше всего внимания привлекли такие фигуры, как Гамильтон, Гельмгольц, Герц. Об этом свидетельствует книга Л.С. Полака « В.Р. Гамильтон и принцип стационарного действия» (1936), его же статья «Уильям Роуэн Гамильтон» (1956), книга А.В. Лебединского, У.И. Франкфурта, А.М. Френка «Гельмгольц» (1966), книга А.Т. Григорьяна и А.Н. Вяльцева «Генрих Герц» (1968), статья А.Т. Григорьяна и Л.С. Полака «Основные идеи механики Г. Герца» (1958) и др. Основные тенденции развития механики в XIX в. являются темой монографии И.Б. Погребысского «От Лагранжа к Эйнштейну» (1966).

Можно выделить в особую рубрику исследования по истории отдельных проблем или областей науки. Здесь мы имеем фундаментальную, хотя во многом спорную, монографию Н.Д. Моисеева «Очерки развития теории устойчивости» (1949), указанную выше книгу Л.С. Полака о вариационных принципах, «Историю механики машин» А.Н. Боголюбова (1964), а также работы Б.Н. Фрадлина по истории неголономной механики, И.Б. Погребысского о механике систем с неудерживающими связями, Н.С. Аржаникова о развитии аэродинамики и др.

За последние годы советские ученые провели большую работу по созданию марксистской истории механики, дающей полную картину развития этой науки в связи с изменением общественных условий и в ее многообразных связях с техникой. В 1971 г. вышла в свет книга «История механики с древнейших времен до конца XVIII века» — коллективный труд под редакцией А.Т. Григорьяна и И.Б. Погребысского. Монография охватывает историю одной из важнейших естествоведческих наук от ее зарождения и в течение двух тысячелетий, основанную на результатах историко-научных исследований последних десятилетий:

В 1972 г. опубликована вторая книга: «История механики с конца XVIII века до середины XX века». В этой монографии дана история основных направлений механики за последние полтора столетия, показано развитие механики как теоретической науки в различных общественных условиях, в связи с развитием других наук, запросами практики и техническими приложениями. Изложение основано на оригинальных работах отечественных и иностранных авторов и на исследованиях по истории механики, изданных в СССР и за рубежом до конца 60-х годов нашего века. Книга разбита на главы, которые соответствуют основным направлениям механики; отдельная глава посвящена взаимосвязи механики и физики.

Теоретическим результатом является периодизация в развитии некоторых направлений механики, выявление роли научных школ, особенностей развития механики в отдельных странах.

В современной литературе «История механики» представляет первую книгу, в которой история механики изложена с достаточной широтой и полнотой, даны историко-научные обобщения, а период исследования доведен почти до наших дней.

В заключение следует отметить, что в конце 1973 г. вышла в свет большая монография «Развитие механики гироскопических и инерциальных систем». В подготовке этой монографии приняли участие ведущие гироскописты СССР, иностранные ученые из США и ФРГ. Книга имеет девять разделов. Первый раздел посвящен обзору развития гироскопических и инерциальных систем, остальные восемь — истории, современному состоянию и перспективам развития основных направлений в гироскопии, в теории гироскопических и навигационных систем, причем в отдельном разделе рассматриваются в историческом плане вопросы теории, такие, как особенности составления уравнений гироскопических систем, аналитические и приближенные методы их решения, нелинейные задачи и т. д. Существенное внимание уделено принципам, определяющим функционирование современных гироскопических и навигационных приборов и методам их проектирования и исследования.

ПРИЛОЖЕНИЕ

НАУЧНОЕ НАСЛЕДИЕ ЛЕОНАРДО ДА ВИНЧИ В РАБОТАХ СОВЕТСКИХ УЧЕНЫХ{230}

В России интерес к научному наследию Леонардо да Винчи, в частности интерес к тому, что сделано великим ученым в области физико-математических наук и в технике, возник в XIX столетии, немногим позже, чем в Западной Европе. Собрание и издание рукописей Леонардо да Винчи в России было осуществлено благодаря деятельности Ф. Сабашникова. Очень интересен и в настоящее время не потерял своей ценности этюд о Леонардо да Винчи как естествоиспытателе, написанный в 1895 г. А.Г. Столетовым{231}. И другие стороны наследия Леонардо, в частности его творчество как художника, интересовали многих русских писателей и ученых. Но несомненно, что в послереволюционный период Леонардо да Винчи уделялось гораздо больше внимания, чем за предыдущее столетие, а творчество Леонардо в области науки в советское время стало изучаться и оцениваться с новых позиций, причем вся его деятельность начала рассматриваться в ее социальном и культурном контексте и как единое целое. Свидетельством тому является активное участие советских ученых в проведении юбилея Леонардо да Винчи в 1952 г.

Леонардо да Винчи, и как ученому, и как художнику, посвящена значительная часть многолетней научной деятельности профессора М.А. Гуковского. Автор многочисленных работ по истории и по истории культуры Италии эпохи Возрождения{232}, он пожалуй, больше и обстоятельнее других занимался творчеством великого художника и ученого. В предисловии к первому изданию своей превосходно написанной и отлично изданной книги «Леонардо да Винчи. Творческая биография» Гуковский с полным основанием писал: «Настоящая книга — результат более чем тридцатилетнего труда над изучением жизни и творчества Леонардо да Винчи. Результат этот автору хотелось изложить так, чтобы он был понятен и интересен самому широкому кругу советских читателей, проявляющих живой интерес к яркой и своеобразной личности и замечательному творчеству художника, ученого и техника из Винчи, пятисотлетие со дня рождения которого, отмечавшееся согласно решению Всемирного Совета Мира в 1952 г., превратилось в нашей стране в большой всенародный праздник. И в то же время автор решил не включать в изложение своей предназначенной для массового читателя книги ни одного слова, ни одного сведения, которое не было более или менее несомненно установлено источниками или новейшей исследовательской литературой. То есть книга по существу своему является научной, или, вернее, построенной на длительной научной работе»{233}.

Здесь мы говорили о работах, в которых исследуется научное наследие Леонардо да Винчи, но отделение Леонардо-художника от Леонардо-ученого не может не быть искусственным, и всякий исследователь его научного наследия должен достаточно глубоко понимать и знать жизнь Леонардо в искусстве. Профессор Гуковский счастливо сочетает в себе данные для такого подхода. Он автор монографии «Мадонна Литта. Картина Леонардо да Винчи в Эрмитаже» (1959) и обширного исследования «Механика Леонардо да Винчи» (1947). Хотя ряд статей М.А. Гуковского напечатан за пределами СССР{234}, его фундаментальная монография о механике Леонардо, изданная на русском языке, не получила той известности, которую она заслуживает. Между тем в этой книге подведен итог главного, что сделано М.А. Гуковским в изучении научного наследия Леонардо, поэтому мы хотим хотя бы вкратце остановиться на ней.

Характерно то, что механику Леонардо да Винчи М.А. Гуковский исследует в порядке изучения проблемы возникновения современной науки. Он ведет свое исследование в широком плане, сопоставляя механику Леонардо с античной и средневековой наукой и тщательно изучая экономические, политические и общественные отношения в Италии той эпохи.

Достаточно указать, что первая часть работы (о механике античности и эпохи феодализма) представляет собой в сущности монографию по истории механики этого периода (объемом 180 стр.), а вторая часть работы (около 120 стр.) целиком посвящена анализу и характеристике общественных условий, техники и науки итальянского Возрождения, и многое из третьей части работы (биографической) тоже относится к этой теме. Собственно же исследование механики Леонардо содержится в последней, четвертой, части, которая в отдельном издании составила бы том в 400 страниц.

Оценивая исследование М.А. Гуковского, надо помнить, что оно было выполнено в основном до 1940 г. (подготовленный к печати набор погиб во время войны, в 1941 г.). Эту работу надо сопоставлять не с последующими, а с предшествующими ей работами о механике Леонардо да Винчи. М.А. Гуковский основательнее и глубже, чем это было сделано до него, изучил существовавшую в эпоху Возрождения связь между изменениями в области общественных отношений, с одной стороны, и в важных для механики областях науки и техники — с другой. Он четко определил своеобразие облика тех, кто представлял механику раннего Возрождения и был истинным предшественником Леонардо. Ими были, по Гуковскому, техники-специалисты, сначала занимающиеся своим делом эмпирически, затем пишущие и публикующие сборники эмпирически полученных рецептов, а затем пытающиеся обосновать свои рецепты, создавая известное подобие теории. Теоретический уровень здесь еще ниже уровня античной и средневековой механики, которые генетически опирались на техническую практику, но впоследствии оказались оторваны от нее, что не позволило ее использовать для проверки выводов механики{235}. В механике Леонардо да Винчи техническая практика объединена с теорией. Гуковский трактует механику Леонардо как систему. Основной методологический принцип Леонардо, связывающий его с истоками новой науки, состоит в формулировке следующей линии: от эксперимента через математические обобщения — к техническому использованию.

Из отдельных элементов, созданных предыдущими механиками (так формулирует свой вывод Гуковский), Леонардо строит принципиально отличное от них целое, отказываясь от тонких, чисто теоретических доказательств, заменяя их экспериментом и направляя это целое на службу технической практике.

Эти общие тезисы подкреплены подробным и полным анализом всего творчества Леонардо, относящегося к механике. При рассмотрении некоторых рассуждений Леонардо да Винчи Гуковский выявляет наличие в них как бы смеси аргументов античных, схоластических и экспериментальных, вводимых Леонардо. М.А. Гуковским тщательно изучено все, что относится к проблеме трения. Вообще, технические истоки вопросов, которые ставил Леонардо, а также и ответов, которые он на них давал, рассмотрены особенно детально. И, повторяем, существенно то, что механика Леонардо да Винчи дана как система[36]. Отдельные пункты у Гуковского можно оспаривать, но в целом его конструкция проведена основательно, и, вероятно, он первый изложил ее столь систематизированно и детально и дал ей столь высокую научную оценку[37].

Говоря об исследованиях, посвященных механике Леонардо да Винчи, необходимо еще хотя бы вкратце сказать о некоторых примыкающих к ним работах о Леонардо — технике и изобретателе, так как в этих работах содержится много ценного для понимания Леонардо-механика. Мы ограничимся самым скупым перечнем. Известный специалист по кинематике механизмов, уделяющий притом немало внимания истории техники, академик И.И. Артоболевский в статье «Леонардо да Винчи как конструктор» (1952) дал немало интересных характеристик различных изобретений Леонардо. Например, он указывает, что один из эскизов Леонардо, который рассматривался как изображение колеса с зубцами трапецеидальной формы, на самом деле изображает процесс нарезания колеса. Вывод таков: Леонардо пришел к мысли о возможности нарезания зубцов червячного колеса сопряженным с ним червяком-инструментом, т. е. предвосхитил современный метод нарезания зубчатых колес.

О работах Леонардо в области воздухоплавания литература обширна. К ней также относится содержащая некоторые оригинальные трактовки статья Б.Н. Юрьева и Б.Н. Воробьева «Работа Леонардо да Винчи в области механики и авиации» (1952) и, наконец, совершенно уникальной работой было в свое время интереснейшее исследование профессора Р.А. Орбели «Леонардо да Винчи и его работы по изысканию способов подводного плавания и спусков на воду»{236}. Пионер подводной археологии, Р.А. Орбели стал историком водолазного дела и написал несколько блестящих этюдов на эту тему, начав некоторые с изучения вклада Леонардо в эту область. Достаточно сказать, что он дал убедительную расшифровку эскизов Леонардо на листах 333—346 Атлантического кодекса, относящихся к ним текстов и объяснений и реконструировал дыхательный аппарат, изобретенный Леонардо.

Вообще, как справедливо указано в авторском резюме, Р.А. Орбели установил, как Леонардо разрабатывал свои аппараты, идя от известных до него простых конструктивных элементов к новым конструкциям. Им руководила интуиция, но он проверял ее экспериментом и пришел к решению основной проблемы подводного плавания.

Стоит также указать, что Р.А. Орбели написал небольшой, но содержательный этюд «Альпинизм Леонардо да Винчи»{237}.

С особенной широтой и глубиной жизнь и творчество Леонардо да Винчи были изучены В.П. Зубовым (1899— 1963). Зубов был блестящим знатоком культуры средних веков и эпохи Возрождения в самых различных ее проявлениях, а к тому же обладал душой художника и ученого. Не удивительно, что именно образ Леонардо привлекал его на протяжении всех последних тридцати лет жизни, отданных истории науки. Великому винчианцу В.П. Зубов посвятил десять специальных работ, среди них три публикации его сочинений и большую биографию, но, кроме того, он неоднократно обращался к образу Леонардо и в других случаях. Например, доклад В.П. Зубова на Международном конгрессе по истории науки в Итаке (США, 1962) пестрит ссылками на различные тексты Леонардо да Винчи как одного из наиболее типичных представителей своей эпохи. И именно на примере Леонардо Зубов противопоставлял свой метод исторического исследования методам других ученых, например П. Дюэма, Л. Ольшки, Э. Кассирера и т. д. В.П. Зубов впервые выступил в печати как исследователь научного наследия Леонардо да Винчи в 1935 г., когда на русском языке были опубликованы два тома «Избранных произведений» гениального мастера, один — содержащий фрагменты научного и технического характера, другой — высказывания об искусстве и литературные произведения. Это издание вышло под редакцией историка и искусствоведа А.К. Дживелегова (1875—1952), написавшего вступительную статью{238}, и искусствоведа и театроведа А.М. Эфроса (1889—1954). В подготовке издания участвовали искусствоведы А.А. Губер и В.К. Шилейко. Переводы всех научных фрагментов в первом томе сделаны В.П. Зубовым, который составил также подробный комментарий к ним и предпослал этому тому статью «Леонардо-ученый».

Уже в этой статье В.П. Зубов дал анализ научного творчества Леонардо, исходя из того, что Леонардо — мыслитель, ученый и инженер — неотъемлем от Леонардо-художника, что искусство, техническое изобретательство и наука соединились в его деятельности в одно органичное целое. Этим положением Зубов руководствовался и в последующих изысканиях. Характеризуя публикуемые отрывки, Зубов подчеркивал своеобразное сочетание в них старой науки с ростками новой. «Не случайно, — писал он, — Леонардо не оформил всю массу фрагментов и мимолетных заметок в стройный трактат…» и «… не из-за недостатка времени не сумел он действительно написать их. То была бродящая эпоха, когда создавать систему было и слишком рано, и слишком поздно. Записные книжки — именно то, что мог дать Леонардо и что он дал»{239}.

Эта же мысль была развита В.П. Зубовым четверть века спустя в упомянутом выше докладе в Итаке, где среди прочего подчеркнуто, что большинство заметок Леонардо фактически посвящено отдельным случаям, анализируемым в их общности, в изложении же общие положения часто формулируются в начале, а отправные конкретные наблюдения выступают в конце как иллюстрации. Поэтому: «Если его [Леонардо] нужно читать наоборот, справа налево, то, чтобы понять происхождение его фрагментов, их надо читать в обратном направлении, начиная с конца и завершая началом»{240}.

Впоследствии В.П. Зубов еще дважды выступал как составитель сочинений Леонардо да Винчи. В 1952 г. в связи с отмечавшимся тогда во всем мире 500-летием со дня рождения Леонардо под редакцией А.К. Дживелегова был выпущен в свет однотомник «Избранное» со вступительной статьей Г.А. Недошивина. Суждения Леонардо об искусстве были даны в переводе и с примечаниями А.А. Губера, художественная проза — А.М. Эфроса, а научные фрагменты — В.П. Зубова (собственно, это издание явилось сокращенным вариантом двухтомника 1935 г.). В том же 1952 г. В.П. Зубов опубликовал две юбилейные статьи, а в следующем году вышла написанная им вместе с искусствоведом В.Н. Лазаревым биография Леонардо в 24-м томе 2-го издания Большой советской энциклопедии. В то же время В.П. Зубов уже подготавливал «Избранные естественнонаучные произведения» Леонардо да Винчи, опубликованные в серии «Классики науки» (1955). В новой книге выбор фрагментов и рисунков, комментарий и статья «Леонардо да Винчи и его естественнонаучное наследие» принадлежали одному В.П. Зубову. По богатству материала и научному уровню аппарата это издание значительно превосходит издание 1935 г. Достаточно указать, что раздел о науке в двухтомнике 1935 г. занимал 363 страницы, а в новом издании — 1027 страниц, из которых около 150 приходится на статью и комментарии. Можно выразить сожаление, что множество тонких замечаний и наблюдений В.П. Зубова остается недоступным тем исследователям научного творчества Леонардо, которые не владеют русским языком. Укажем отделы, на которые разбиты фрагменты: об истинной и ложной науке; математика; гидромеханика; геология и физическая география; метеорология; о летании и движении тела в воздухе; химия; о свете, зрении и глазе; астрономия; анатомия и физиология человека и животных; ботаника.

Прекрасным образцом исследовательской манеры В.П. Зубова может служить относящаяся к тому же времени статья «Леонардо да Винчи и работа Вителло “Перспектива”»{241}. Тщательно сравнивая соответственные тексты Вителло и Леонардо, свидетельствующие о совпадении многих их положений и объяснений, Зубов прослеживал и многообразные различия между ними, обусловленные в конечном счете различием поставленных задач. Вителло, вслед за Алхазеном (Ибн-ал-Хайсамом) трактовал оптические явления под углом зрения интересов астронома, для которого важно элиминировать «обманы зрения» путем тех или иных поправок, чтобы выяснить истинные свойства предмета. Задача Леонардо-художника не элиминировать среду, видоизменяющую восприятие предмета, но изучить влияние среды с тем, чтобы изобразить на картине тело в его положении относительно зрителя. Поэтому художник-практик превращается в ученого, изучающего цвета теней, получающихся от различных источников света, окраску тел при наличии других цветных тел, отражающих свет, и т. д. Наблюдения и эксперимент ученого помогают лучше использовать свет и тени, различные света и их нюансы для достижения необходимого живописного эффекта. Вместе с тем сопоставление картин Леонардо с его заметками показывает, что он как ученый экспериментировал гораздо больше, чем требовалось для него как художника, т. е. он шел дальше непосредственных потребностей практики своего дела.

Заслуживает упоминания и общее заключение, содержащееся в этой статье. Как известно, Вителло во многом опирался на «Оптику» Алхазена. В этой связи Зубов писал: «Рассмотренная страница из творческой биографии Леонардо-художника и ученого показывает на частном примере связующие нити преемственности между наукой Востока и Запада. Исторически связанный с почвой взрастившей его Италии, Леонардо творчески осваивал культурное наследие ученых других стран; ряд общих моментов сближает его с египетским ученым Алхазеном и польским ученым Вителло»{242}.

В 1961 г. В.П. Зубов опубликовал большую биографию Леонардо да Винчи, в которой подвел итоги многим предыдущим исследованиям. В предисловии он четко охарактеризовал свой подход к задаче — дать литературный портрет великого итальянца, от которого нас отделяют пять столетий. «Важно, — писал Зубов, — прежде всего осветить его [Леонардо] лицо, не столько подвести итоги и баланс открытиям, сколько уяснить по возможности, как он эти открытия делал, осветить приемы его работы, его стиль, его «почерк»»{243}. Естественно и необходимо показать фигуру Леонардо на широком историческом фоне прошлого и будущего. «Однако, — продолжал автор, — нам хотелось бы избежать той ошибки, в которую впадали исследователи, недоучитывающие своеобразие эпохи самого Леонардо. Если Дюэм попытался на Леонардо смотреть из прошлого, придя по меньшей мере к удивительной аберрации зрения и усмотрев в Леонардо да Винчи «наследника парижской схоластики», без учета всего того действительно нового, что внес гений Леонардо, то другие нередко смотрели на него только с позиции последующего времени, невольно внося в его облик черты позднее живших ученых. Но ведь Леонардо не был только чьим-либо предшественником, как и не был только наследником»{244}.

И в других своих трудах Зубов постоянно стремился избежать как архаизации, так и модернизации прошлого культуры и науки.

Существенно заключительное замечание цитируемого предисловия. «Слишком часто, — отмечал Зубов, — сводили трагедию Леонардо к конфликту с окружением, объясняя этим и его одиночество, и забвение его научных и технических открытий. Мы ставили себе задачей раскрыть наряду с этим те внутренние конфликты, ту борьбу противоречий, которые делают титаническую фигуру Леонардо да Винчи подлинно трагичной. Такую борьбу можно показать лишь в динамике, последовательно раскрывая различные ее аспекты. Поэтому отдельные главы мыслились нами как часть целого — их нельзя читать порознь, вразбивку, не искажая общей перспективы»{245}.

Мы не можем входить здесь в подробности этой книги, имевшей большой успех у советских читателей и недавно переведенной на английский язык. Она разделена на семь глав, рисующих как жизненный путь, так и достижения Леонардо да Винчи в сферах науки, техники и искусства. Разумеется, здесь подводится итог открытиям Леонардо и дается их оценка в исторической перспективе. К каждой главе подобран эпиграф из высказываний самого Леонардо. Так, к первой главе, в которой описана жизнь мастера, дан эпиграф «Скорее смерть, чем усталость», а к последней — «Там, где природа кончает производить свои виды, там человек начинает из природных вещей создавать с помощью этой же самой природы бесчисленные виды новых вещей».

Эта книга не была последней работой В.П. Зубова, посвященной Леонардо. Он вернулся к своему любимому герою еще раз в докладе, написанном для международного коллоквиума в Брюсселе (1963). Там В.П. Зубов дал тонкий анализ разрозненных высказываний Леонардо о системе мира, и в частности о Солнце, — высказываний, которых он более коротко касался ранее. Не относя Леонардо ни к коперниканцам, ни к неоплатоникам, Зубов вновь подчеркивал сложный, нередко противоречивый характер его воззрений, типичных для перехода от науки средних веков к науке Нового времени. В.П. Зубов приходит к выводу о том, что в формировании научных идей, как и в живописи, существует сфумато, которое нельзя игнорировать. Неопределенное и следует трактовать как таковое. Так же как невозможно определить со всей строгостью природу улыбки Джоконды.

Этот доклад стал не только последней работой В.П. Зубова о Леонардо да Винчи, но и последним его трудом вообще. В тот самый день, когда текст сообщения был зачитан на Брюссельском коллоквиуме, автора не стало.

Мы постарались коротко охарактеризовать тот вклад, который был внесен учеными нашей страны в изучение жизни и научного творчества Леонардо да Винчи за 50 лет, истекших после Великой Октябрьской социалистической революции. Мы надеемся, что сумели, по крайней мере, показать, какой интерес и симпатии неизменно вызывает в Советском Союзе фигура Леонардо да Винчи — замечательного представителя Возрождения — эпохи, о которой Фридрих Энгельс писал: «Это был величайший прогрессивный переворот из всех пережитых до того времени человечеством, эпоха, которая нуждалась в титанах и которая породила титанов по силе мысли, страсти и Характеру, по многосторонности и учености»{246} — титанов, к которым и сам автор цитированных строк относил прежде всего Леонардо — великого художника, ученого и великого инженера.

ЖИЗНЬ И ТВОРЧЕСТВО ГАЛИЛЕЯ В РУССКОЙ И СОВЕТСКОЙ ЛИТЕРАТУРЕ[38]

Влияние, оказанное трудами Галилея на развитие естествознания во всем мире, и в частности в России, огромно. Проследить за распространением и развитием его идей в России означало бы в сущности дать историю многих отделов астрономии, механики и физики в этой стране. Как исследования Л. Эйлера по механике и сопротивлению материалов, так и труды М.В. Ломоносова по оптике и оптической технике — мы называем для примера двух крупнейших петербургских академиков XVIII в. — опирались на гигантскую предварительную работу, проделанную примерно за сто лет до того Галилеем.

Эйлер в предисловии к своей «Механике» (1736) сам указывал, что первые основы механики как науки о движении были заложены только Галилеем, его исследованиями о падении тяжелых тел. Можно было бы выделить собственно «галилеевские» моменты в творчестве только что названных и других русских ученых, можно было бы выяснить, как дополнялись и уточнялись принципы и теоремы великого итальянца в России вплоть до наших дней. Мы не ставим перед собой столь обширную задачу. Наше сообщение посвящено более частному сюжету: освещению жизни и творчества Галилея в русской и советской литературе.

Эта литература очень велика и насчитывает многие сотни сочинений, либо специально посвященных великому итальянскому ученому, либо характеризующих его личность и творчество в связи с рассмотрением каких-либо других вопросов. Можно заметить, что число специальных трудов о Галилее — статей, брошюр, книг — со временем все увеличивается, особенно после Октябрьской революции, когда начал возрастать в широких кругах интерес к истории науки. При этом выдающуюся ценность имеют публикации последних двух десятилетий.

Сведения об астрономических наблюдениях Галилея проникли в Россию сравнительно быстро. Во всяком случае, в одной астрологической рукописи 1633 г. уже упоминается в не вполне ясных выражениях о четырех спутниках Юпитера, а Сатурн описан как раз таким, каким его увидел Галилей в 1610 г.{247} Между 1672 и 1682 г. на русский язык по специальному распоряжению царя Алексея Михайловича была переведена «Selenographia» польского астронома И. Гевелия (1647), в которой подробно изложены наблюдения Галилея над Луной и другими небесными светилами и его имя упоминается неоднократно{248}. Рукопись этого перевода, хранившуюся в царской библиотеке, читал в юности царевич Петр — впоследствии император Петр Великий.

При Петре впервые на русском языке создается обширная печатная учебная литература и начинается печатная пропаганда гелиоцентрической системы мира. Видную роль в том и другом сыграл выдающийся сподвижник Петра генерал Яков Брюс (1670—1735), человек редкой в те времена образованности, хорошо знавший физико-математические науки. Под руководством Брюса было издано несколько сочинений, знакомивших русских читателей с астрономией того времени. В частности, он по желанию Петра перевел на русский язык и снабдил предисловием книгу Хр. Гюйгенса «Космотеорос», вышедшую в 1698 г. Перевод Брюса вышел под названием «Книга мирозрения» в Петербурге в 1717 г. и вторым изданием в Москве в 1724 г. В этой книге Гюйгенс в общедоступной форме описывает учение Коперника, широко используя аргументацию Галилея. Любопытно, что директор Петербургской типографии М. Аврамов, человек весьма консервативных взглядов, был так испуган изложением системы мира, противоречащей Библии, что вместо намеченных 1200 экземпляров книги выпустил в свет только 30. До сих пор обнаружен только один экземпляр первого издания{249}. Через год после книги Гюйгенса вышла в русском переводе «Geographia generalis», работавшего в Голландии немецкого врача и географа Б. Варения. Эта книга вышла в русском переводе под названием: «География генеральная, небесный и земноводный круги купно с их свойствы и действы в трех книгах описующая» (Москва, 1718). В этом объемистом труде, пользовавшемся в те времена большой известностью, также излагается гелиоцентрическое учение и для борьбы с его противниками применяются многие аргументы Галилея, имя которого упоминается наряду с именами Коперника и Кеплера.

Что касается механических открытий Галилея, то первое беглое упоминание о них — именно о траектории пушечного ядра — встречается в руководстве по артиллерии «Рассуждение о метании бомбов и стрелянии из пушек» (Москва, 1708).

В 1725 г. начала свою деятельность знаменитая Петербургская академия наук. Члены Академии продолжили во многих направлениях исследования Галилея и вместе с тем содействовали популяризации его имени и идей. Здесь следует прежде всего указать на речи академиков в торжественных публичных собраниях Академии. В таких речах нередко пропагандировалась польза науки и просвещения и с этой целью обычно производились более или менее подробные исторические экскурсы. Так, в речи, произнесенной в первом публичном собрании Академии 27 декабря 1725 г. (7.I 1726) физик Г.Б. Бильфингер, рисуя пути развития науки и назначение самой Академии, указывал, что Возрождение сперва породило отдельные яркие индивидуальности, как Кеплер, Галилей, Декарт, а затем привело к возникновению научных обществ и после того к организации академий{250}. Несколько месяцев спустя математик Я. Герман в речи о развитии геометрии охарактеризовал вклад Галилея в механику{251}. В 1728 г. астроном Ж. Делиль выступил с речью об истинной системе мира и о движении Земли, в которой излагал учение Коперника; отвечая, согласно обычаю, Двлияю, — вернее, развивая те же мысли, другой академик, Д. Вернул ли, подчеркивал, что теперь движение наук не стеснено, как это было прежде, когда о гелиоцентрической системе можно было говорить только на ухо. В этой связи Бернулли вспоминал пример Галилея, заточение которого произвело в свое время «слишком сильное впечатление» на умы ученых{252}. Вероятно, это первое публичное упоминание о преследованиях, которым Галилей подвергся со стороны Ватикана. Упомянем, что Д. Бернулли внимательно изучил труды Галилея по механике, о чем свидетельствуют многочисленные ссылки в его классической «Гидродинамике» (1738).

Указания на открытия и заслуги Галилея имеются и в речах других академиков, например А.Н. Гришова{253},[39] С.Я. Румовского{254}. Аналогичные сведения мы находим в статьях научно-популярного журнала «Исторические, генеалогические и географические примечания в Ведомостях», выходившего в качестве приложения к газете «Санкт-Петербургские ведомости», издававшейся Академией наук. Для примера приведем статью «О зрительных трубах» 1732 г., перепечатанную в 1787 г., и большую статью «О Земле», печатавшуюся во многих номерах журнала за 1732 г., написанную академиком Г.В. Крафтом. В статье «О Земле» решительно отстаивалась коперниканская система. О Галилее сообщалось, что он первый применил зрительную трубу в астрономии и что он защищал учение о движении Земли, от которого его принудило отречься римское духовенство. Эта статья была перепечатана в 1791 г.

Имя Галилея попадает и в учебную литературу — впервые в предисловии М.В. Ломоносова к его переводу книги Л. Тюммига «Institutiones philosophiae Wolfianae» (1725).

Ломоносов писал: «Едва понятно, коль великое приращение в астрономии неусыпными наблюдениями и глубокомысленными рассуждениями Кеплер, Галилей, Гугений, де ла Гир и великий Невтон в краткое время учинили…»{255} Вслед за тем открытия Галилея отмечаются в «Руководстве к физике» (С. Петербург, 1793) профессора Главного педагогического училища П.И. Гиларовского; в «Начальных основаниях физики» для гимназий (С. Петербург, ч. 1—2, 1807—1808 и другие издания); в «Начальных основаниях умозрительной и опытной физики» профессора Харьковского университета А.И. Стойковича (ч. I, Харьков, 1809) и многочисленных позднейших учебниках физики, а также астрономии вплоть до наших дней.

Еще в XVIII в. образ Галилея, как великого борца за истину, которого преследовали обскуранты и невежды, стал близким для русской интеллигенции. Замечательный революционный мыслитель А.Н. Радищев, воспевая в оде «Вольность» (1781—1783) свободу вообще и свободную творческую мысль в частности, писал о мощном потрясении, испытанном человечеством начиная с эпохи Возрождения и Реформации. При этом рядом с именем смелого Колумба, решившегося на плавание в неведомые страны, Радищев ставит имя Галилея, который сумел

Зиждительной своей рукою Светило дневно утвердить,

т. е. укрепить гелиоцентрическую систему{256}.

Все же в русской литературе XVIII в. нет ни одного специального сочинения о Галилее, а общие обзоры его трудов мы находим только в переводе «Histoire des Mat-hematiques» (1758) Ж. Монтюкла{257}, где несколько страниц отведено открытиям Галилея в астрономии и механике, а также в переводе одной французской книги по истории астрономии{258}. Положение дел меняется в XIX в., особенно второй его половине, и в начале XX в. Наряду с краткими упоминаниями и характеристиками открытий Галилея в учебной и популярной литературе появляются сперва переводные, а затем и оригинальные его биографии, а также специальные историко-научные исследования. Из таких переводов назовем биографии, составленные Г. Либри{259} и Ф. Араго{260}, и обзоры творчества Галилея в книгах Ф. Розенбергера{261}, О. Лоджа{262} и Ф. Даннемана{263}. Вместе с тем выходят жизнеописания Галилея, составленные В. Ассоновым{264},- Е.А. Предтеченским{265} и Н.Н. Маракуевым{266}. Профессор Московского университета Н.А. Любимов посвятил анализу творчества Галилея значительный отдел своего труда по истории физики{267}. Для юношества написал о Галилее увлекательную повесть А. Алтаев{268} — под этим псевдонимом выпускала свои книги талантливая писательница А. Ямщикова.

Многое сделал для популяризации творчества Галилея в России крупнейший русский философ, публицист и революционер XIX в. А.И. Герцен. Астроном по образованию, Герцен посвятил свое кандидатское сочинение анализу учения Коперника и в нем уделил большое место борьбе Галилея за торжество гелиоцентрической планетной системы. Впрочем, этот юношеский труд, «Аналитическое изложение солнечной системы Коперника», был опубликован лишь недавно{269}. Гораздо большее значение имеют многочисленные высказывания о Галилее, которые мы находим в философских трудах Герцена, особенно в его блестящих «Письмах об изучении природы» (1845). Герцен придавал очень большое познавательное и методологическое значение истории науки. «Не зная истории науки, — писал он, — не зная судеб ее, трудно понять ее современное состояние; логическое развитие не передает с тою жизненностью и очевидностью положения науки, как история»{270}. Поэтому исторические экскурсы и примеры занимают большое место в философских произведениях Герцена. В «Письмах об изучении природы» он с замечательной яркостью и меткостью рисует основные направления философской и научной мысли в их развитии и взаимосвязях. И когда речь заходит о естествознании XVII в., Герцен особо подчеркивает основополагающие заслуги Галилея в развитии «механического воззрения», начинающегося с великого итальянца и достигающего полноты у Ньютона, продолжившего его дело. К Галилею Герцен обращается в статье «Дилетантизм в науке»{271}, а также в ряде других сочинений.

Необходимо особо упомянуть сжатую и вместе с тем весьма выпуклую характеристику заслуг Галилея в механике, которую дал в статье, посвященной Ньютону, знаменитый русский механик и теоретик воздухоплавания Н.Е. Жуковский{272}.

Особо укажем, что в 1860—1861 гг. вышел первый русский перевод «Discorsi» Галилея, выполненный А. Сомовым{273}.

Литература о Галилее значительно обогащается после Великой Октябрьской социалистической революции. В 20-е и 30-е годы выходит несколько новых биографий великого ученого, и первой среди них — брошюра крупного математика, вице-президента Академии наук СССР В.А. Стеклова «Галилео Галилей» (Берлин, 1923), а вслед за ней краткое жизнеописание в книге видного физика Б.Л. Розинга «На заре положительного знания (Галилей, Гюйгенс и Ньютон)» (Петроград, 1924). Другой выдающийся физик-оптик и вместе с тем историк науки академик С.И. Вавилов, впоследствии президент Академии наук СССР, опубликовал превосходную статью о жизни и творчестве Галилея в 14-м томе Большой советской энциклопедии (1929); в переработанном и дополненном виде эта статья была вновь напечатана во втором издании Энциклопедии (т. 10, 1952).

Специальное внимание некоторых авторов привлекали до сих пор не вполне ясные обстоятельства инквизиционного суда над Галилеем. Этой теме посвятил свою незаконченную работу М.Я. Выгодский{274}, выводы которого, впрочем, вызвали существенные возражения со стороны других советских историков науки, как, например, 3.А. Цейтлина{275}. 3.А. Цейтлин, известный специалист по истории физики, опубликовал в 1933—1941 гг. восемь работ о Галилее и среди них большую, очень живо написанную биографию «Галилей», которая увидела свет в серии «Жизнь замечательных людей» (5—6-й вып. М, 1935).

В 30-е годы вновь начинают появляться цереводы трудов Галилея. Сборник отрывков из его основных сочинений был опубликован в 1931 г. Я.И. Перельманом, автором многих научно-популярных книг, пользующихся до сих пор большой любовью юношества{276}. Вскоре за тем инженер А.Н. Долгов, превосходный знаток Галилея, опубликовал его работу по гидростатике{277}. Под редакцией и с комментариями того же А.Н. Долгова вышел год спустя новый полный перевод «Discorsi», выполненный его братом С.Н. Долговым{278}.

Вклад Галилея в развитие отдельных наук и миропознание был освещен в целом ряде популярных книг и статей (в частности, в 1939 г., в котором отмечалось 375-летие со дня рождения Галилея). В середине 30-х годов вышло также несколько переводов: известное исследование Леонардо Ольшки{279}, 2-й том четырехтомной истории естествознания Ф. Даннемана{280} и новое издание истории физики Ф. Розенбергера{281}.

Ярким событием в изучении научного наследия Галилея явилось издание Академией наук СССР в самый разгар второй мировой войны сборника памяти великого ученого. Сборник был подготовлен в связи с 300-летием со дня смерти Галилея, исполнившимся в 1942 г.{282} Он открывается большой статьей академика С.И. Вавилова «Галилей в истории оптики». Подчеркивая, что за все время существования оптики как науки наибольший стимул к дальнейшему теоретическому и техническому росту она получила от Галилея и что вместе с тем оптическое наследие его весьма мало изучено, С.И. Вавилов рассматривает свою работу как «предварительную попытку» восстановить дела и мысли Галилея в области учения о свете. В следующей статье «Галилей как основатель механики» академик А.Н. Крылов, крупнейший специалист по прикладной математике, дал сжатое сопоставление законов падения тел, установленных Галилеем, со взглядами античных авторов, в частности Аристотеля. Центральное место в сборнике занимает обширное исследование «Галилей в истории астрономии», принадлежащее перу Н.И. Идельсона, профессора астрономии в Ленинградском университете и талантливого историка науки. Работа Н.И. Идельсона — одна из лучших в мировой литературе работ по рассматриваемому вопросу, и, пожалуй, за последующие 20 лет к сказанному в ней было добавлено немногое. Очень интересен анализ отношения Галилея к законам движения планет, открытым Кеплером, которые Галилей не включил в защищаемую им систему мира, в силу чего не смог дать правильного объяснения неравномерного движения планет. Н.И. Идельсон объясняет позицию Галилея той ролью, какую продолжали играть у него равномерные круговые движения и высказанным в «Диалоге» принципом инерционного кругового движения. Точно так же важны замечания Н.И. Идельсона о применении Галилеем принципа относительности, носящего теперь его имя, к явлениям на вращающейся Земле, о галилеевой теории приливов и отливов и т. д. Сборник завершался сделанным Н.И. Идельсоном переводом послания Галилея к Фр. Инголи, которое было написано в 1624 г., но увидело свет лишь в 1814 г.

Другим крупным явлением в советской литературе о Галилее явился выход в 1948 г. русского перевода «Диалога», выполненного уже упоминавшимся А.Н. Долговым{283}.

В том же 1948 г. появился курс истории физики профессора Тамбовского педагогического института П.С. Кудрявцева, в I томе которого весьма подробно рассмотрены соответствующие труды Галилея. Через несколько лет потребовалось переиздание этой книги{284}. Укажем здесь же, что несколько более сжато физические открытия Галилея анализируются и в другом руководстве по истории физики, написанном профессором Московского университета Б.И. Спасским{285}. В 40-е и 50-е годы вышел также ряд книг по истории астрономии, содержащих более или менее обширные отделы о Галилее{286}. Наконец, отметим коллективный труд по истории философии, в котором отведено место и роли Галилея в развитии научного мировоззрения{287}.

В это же время было опубликовано несколько более специальных исследовательских работ. Так, выдающийся специалист по теории относительности академик В.А. Фок охарактеризовал значение работ Галилея в развитии учения о пространстве и времени{288}. Профессор Б.Г. Кузнецов с большой подробностью изучил различные аспекты галилеева учения о движении Земли{289}. Вслед за тем в нескольких тесно связанных между собой книгах Б.Г. Кузнецов осветил роль Галилея в эволюции картины мира и в создании современного учения о пространстве, времени, веществе и его движении{290}; с большей полнотой Б.Г. Кузнецов это сделал в другой книге, о которой говорится несколько далее. Крупный знаток эпохи Возрождения профессор В.П. Зубов сопоставил трактовку основных понятий механики у Галилея и у античных и средневековых ученых, причем подверг критике попытки чрезмерного идейного сближения новой механики Галилея со взглядами его предшественников{291}. Результаты исследований об оптике Галилея, произведенных выдающимся итальянским оптиком и историком науки профессором В. Ронки, были изложены в русском переводе одной из его работ, напечатанном в 1959 г.{292}

Новые успехи в галилеоведении были достигнуты в связи с подготовкой и проведением торжеств, которыми было отмечено в СССР 400-летие со дня его рождения. В январе, феврале и марте 1964 г. были проведены в Москве, Ленинграде и других городах специальные научные заседания, во многих газетах и журналах появились статьи, состоялись передачи по радио и телевидению. 29 января 1964 г. перед участниками II Всесоюзного съезда механиков выступил с докладом академик Л.И. Седов{293}, а на торжественном юбилейном собрании, состоявшемся 20 марта в актовом зале Московского университета, речь «Галилей и современная наука» произнес академик А.Ю. Ишлинский. Вскоре за тем вышел из печати 16-й выпуск (издаваемого Институтом истории естествознания и техники АН СССР) сборника «Вопросы истории естествознания и техники», целиком посвященный Галилею. В нем опубликованы первый полный русский перевод «Звездного вестника», выполненный профессором И.Н. Веселовским, и несколько статей советских и зарубежных авторов. Из числа первых укажем работу В.П. Зубова «Атомистика Галилея» с разбором воззрений Галилея и его ближайших учеников — Кавальери и Торричелли — на взаимоотношения между континуумом и неделимыми, а также сотрудника Института истории естествознания и техники Л.Е. Майстрова «Элементы теории вероятностей у Галилея». Л.Е. Майстров, по-видимому, впервые подробно рассматривает чрезвычайно интересные мысли, высказанные в «Диалоге» о законе распределения случайных ошибок, а также данное Галилеем решение задачи, в которой ищутся вероятности выпадения того или иного числа очков при бросании трех игральных костей (соответствующая небольшая статья Галилея увидела свет в 1718 г.). В. Ронки прислал для этого выпуска «Вопросов» статью «Влияние оптики XVII в. на общее развитие науки и философии», а швейцарский астроном и историк науки О. Флекенштейн — статью «От новой науки Ренессанса к новому методу барокко».

Весной 1964 г. вышла новая большая биография Галилея, написанная Б.Г. Кузнецовым. Освещение жизненного пути Галилея здесь непосредственно и живо переплетается с анализом научного творчества, который произведен в свете состояния науки в середине XX в. «В таком свете становится более яркими некоторые стороны мировоззрения, стиля и жизни Галилея. Мы приходим к неожиданному выводу. Черты гения, которые сверкают под прожектором современных оценок, черты, которые выделила и подчеркнула историческая ретроспекция, это черты, в наибольшей степени запечатлевшие отблеск Возрождения. Когда Галилея рассматривают через Эйнштейна, становится более явным то, что связывает его с Данте{294}. В данной книге Б.Г. Кузнецов развивает взгляды, излагавшиеся в уже названных его работах по истории физики. Эти взгляды можно коротко выразить словами автора: «Картина мира, нарисованная в «Диалоге», в «Беседах» и в других трудах Гглилея, это первый, выполненный живыми и мягкими «утренними» красками, вариант классической концепции, стержнем которой служит понятие бесконечного множества точек и мгновений, составляющих мировую линию движущейся частицы. Указанная констатация позволяет разъяснить многое в творчестве Галилея…»{295} Упомянем, что почти одновременно с этой книгой Б.Г. Кузнецова вышла брошюра Ф.Д. Бублейникова «Галилео Галилей» (М., 1964).

Как бы в качестве завершающего аккорда в организации юбилейных галилеевских торжеств подготовлено новое издание всех имеющихся русских переводов сочинений Галилея. «Избранные сочинения» Галилея выходят на этот раз в двух томах в серии «Классики науки», издаваемой Академией наук СССР. Главным редактором является академик А.Ю. Ишлинский; переводы заново проверены сотрудником Института истории естествознания и техники И.Б. Погребысским. В 1-й том вошли «Звездный вестник», «Послапие к Франческо Инголи» и «Диалог о двух главных системах мира»; во 2-й том — «Механика», «О телах, пребывающих в воде» и «Беседы и математические доказательства».

НЬЮТОНОВЕДЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ А.Н. КРЫЛОВА

Среди многочисленных ученых, занимавшихся в России изучением творчества Ньютона, одно из видных мест принадлежит академику Алексею Николаевичу Крылову (1863—945).

Выдающийся математик, механик и кораблестроитель, Крылов связывает начало своего обстоятельного изучения трудов Ньютона с работами в Опытовом бассейне в Петербурге в 1900—1907 гг. «Испытание моделей в Опытовом бассейне основано на законе механического подобия, который дан Ньютоном в его знаменитейшем сочинении «Philosophiae naturalis principia mathematica», являющемся незыблемым основанием теоретической механики. Заведуя бассейном, естественно было обстоятельно изучить ньютоново учение о сопротивлении жидкостей, а значит, и его «Principia» вообще»{296}.[40] Нет сомнения, что в этом автобиографическом свидетельстве Крылов чрезмерно упростил действительность. Разумеется, не одна лишь потребность решить определенную практическую задачу заставила его обратиться к более глубокому изучению Ньютона, но и убеждение, что «Principia» являются «незыблемым основанием теоретической механики». В последнем своем труде, посвященном Ньютону (1943), Крылов писал, что «это сочинение в продолжение 250 лет служило главным первоисточником дальнейших открытий в общей механике, в небесной механике, в физике и в технике, преобразовавших всю жизнь культурного человечества»{297}.

Через несколько лет после первого углубленного изучения «Начал» (1909—1910) Крылов вновь обратился к этому произведению. Судя по его «Мемуарам», поводом опять было внешнее событие. В 1910 г. «предстояло третье предвычисленное возвращение кометы Галлея (Hal-ley), а так как данный Ньютоном способ определения орбиты кометы по трем наблюдениям ее представляет едва ли не самое наглядное доказательство его учения о системе мира, то я решил прочесть в Морской академии четыре лекции… подробно остановившись на методе Ньютона и сопоставив с ним позднейшие методы Лапласа (Laplace), Ольберса (Olbers) и Гаусса (Gauss)»{298}. Эти лекции были затем изданы в расширенном виде в «Известиях Морской академии» за 1911 г.

Вопреки многочисленным утверждениям, Крылов доказал, что ньютоновский метод определения параболической орбиты есть метод, как он сам говорит, абсолютно точный, полный и столь же совершенный, как и другие творения этого величайшего гения[41]. «Но, — продолжает Крылов, — его творения требуют и достаточного внимания и тщательности при изучении, не упуская из виду ни единой буквы, ни единой цифры»{299}. О тщательности самого Крылова свидетельствует то, что он перевычислил один из ньютоновских примеров (комета 1680) три раза, вычисляя каждую величину для контроля двумя совершенно различными способами.

В позднейшей статье{300} Крылов подробнее проследил судьбу теоремы Ньютона, позволяющей определять параболическую орбиту кометы по трем наблюдениям, и ее выражение уже в аналитической форме у Эйлера, Ламберта (1728—1777) и др.

В стенах Морской академии был выполнен и другой большой труд Крылова — полный русский перевод «Principia» Ньютона. Он издан в 1915—1916 гг. в «Известиях» той же Академии. Интересно и показательно, что, рассказывая впоследствии в своих «Воспоминаниях» о работе над переводом, Крылов поставил ее в прямую связь с запросами своих слушателей. «Имя Ньютона как основоположника механики и анализа бесконечно малых беспрестанно встречается в различных трудах Морской академии. Но его сочинения, написанные на латинском языке, были совершенно недоступны слушателям Морской академии, поэтому я перевел важнейшее из них — «Philosophiae naturalis principia mathematica» на русский язык, снабдив текст 207 примечаниями и пояснениями для обеспечения изучения этого творения Ньютона. Это потребовало два года упорной работы»{301}. В другом месте Крылов сообщает некоторые подробности о своей работе: «Я работал аккуратно ежедневно по три часа утром и по три часа вечером. Сперва я переводил текст почти буквально и к каждому выводу тотчас писал комментарий, затем, после того, как заканчивался отдел, я выправлял перевод так, чтобы смысл сохранял точное соответствие латинскому подлиннику, и вместе с тем мною соблюдались чистота и правильность русского языка; после этого я переписывал все начисто, вставляя в свое место комментарий, и подготовлял к набору»{302}. В предисловии к переводу Крылов подчеркивал, что старался «избегнуть употребления латинских слов вроде impulsis, effectus, factum и т. д., которые от написания их русскими буквами не становятся русскими»{303}. И в самом деле, перевод сделан прекрасным русским языком, большим знатоком которого был Крылов{304}.

Существенное место в комментариях Крылова занимает перевод доказательств Ньютона на современный математический язык. «Геометрическое изложение, соответствовавшее обычаю и состоянию науки того времени, — писал он позднее, — для большинства теперешних читателей, при старинном начертании формул, с показателями степеней, обозначенными словами, а не числами, представляет при чтении излишнюю трудность; эта трудность увеличивается еще тем, что Ньютон в целях сжатости изложения идет, так сказать, крупными шагами, пропуская многие промежуточные рассуждения»{305}. Поэтому Крылов счел необходимым не только придать формулам их современный вид, но и восстановить промежуточные звенья, всюду заменяя ньютоновские доказательства алгебраическими (аналитическими).

Иногда примечания разрастались в обширные экскурсы. Так, в конце первой книги Крылов добавил вывод аналитических уравнений возмущенного движения, вытекающих из геометрических соображений Ньютона{306}.

Вместе с тем Крылов отдавал должное своеобразию ньютоновских доказательств, никогда, однако, не модернизируя их. Вопреки мнению тех, кто полагал, будто Ньютон пользовался методом флюксий в гораздо большей мере, чем он это показал в своих «Началах», Крылов пришел к заключению, что «Ньютон рассуждал, получал и доказывал свои выводы именно так, как это в его «Началах» сказано», и что сочинение «не подвергалось никакой обработке», имевшей целью заменить доказательства, основанные на методе флюксий, доказательствами традиционными{307}.

Впоследствии Крылов несколько раз возвращался к «Началам» Ньютона[42]. Анализу 91-й пропозиции первой книги была посвящена специальная статья на английском языке. Крылов вывел здесь ньютоновскую формулу, пользуясь современными обозначениями, но придерживаясь ньютоновских методов. В основе лежат примечания 125 и 189 к русскому переводу «Начал»[43].

Большой интерес представляет реконструкция ньютоновской теории астрономической рефракции, произведенная Крыловым{308}. Крупный советский физик Т.П. Кравец имел полное право назвать этот труд «настоящим шедевром реконструктивной математической работы{309}.

Отправной точкой для Крылова послужили письма Ньютона к английскому астроному Дж. Флемстиду (1646 -1719). В 1694 г. Ньютон послал ему две таблицы астрономической рефракции. Первая из них вычислена исходя из предположения, что атмосфера имеет ограниченную высоту и плотность ее убывает равномерно с высотой. Вторая исходит из предположения, что высота безгранична и плотность убывает соответственно экспоненциальному закону, установленному Ньютоном в «Началах».

Первая таблица помещена в указанном издании, и для вывода ее Ньютон дал (без доказательства) теорему,позволяющую вычислить рефракцию на основе «приближенных квадратур». Вторая таблица была опубликована лишь в 1721 г. Галлеем без всякого указания на способ ее вычисления. В свое время французский астроном Ж. Б. Био (1775—1862) попытался восстановить метод Ньютона и доказал его теорему современными аналитическими методами. Крылов дал более простое доказательство, основанное на методе флюксий, известном Ньютону, заменив лишь современными обозначениями ньютоновские обозначения квадратур. На основе ньютоновской формулы Крылов пересчитал таблицы, пользуясь методом «приближенных квадратур». В результате он пришел к выводу: «Если развить, как это сделано здесь, ньютонову теорию теми элементарными методами анализа, которыми Ньютон обладал, и сравнить ее с современными теориями, то сразу можно заметить, сколь простое и естественное получается изложение и сколь мало к нему, по существу, за 240 лет прибавлено». Отсюда он делал вывод о необходимости «подробного и внимательного изучения этой теории, а не того беглого о ней упоминания или полного умолчания, как это обычно делается в учебных руководствах по астрономии»{310}.

Академик В.И. Смирнов очень верно заметил, что Крылов был не только выдающимся знатоком эпохи от Ньютона до середины XIX в. и знал ее до мельчайших подробностей, но что он «чувствовал ее стиль, который был так родственен ему самому»{311}.

И действительно, Крылов оставался убежденным «ньютонианцем» в тех областях, которые были ему наиболее близки. Для Крылова-практика и для Крылова-педагога классическая ньютонианская механика оставалась высшим достижением. «Механика Эйнштейна, — писал он в 1943 г., — имеет приложение при движении электронов, нейтронов и пр., но в физике «материальных» систем вносимая ею поправка столь мала, что механика Ньютона для всех физических и технических приложений может считаться абсолютно верной»{312}. Говоря о педагогическом значении классической механики, Крылов указывал, что физика не «роман, и читать, а тем паче изучать физику надо с начала, а не с конца»{313}. Излишне подчеркивать, что этим началом оставались для него «Начала» Ньютона.

Говоря о задачах преподавания математических наук в технической школе, Крылов указывал, что первая задача «вырабатывать сметку, глазомер, решимость, веру в чертеж и в свидетельство чувств, а не ту как бы умственную трусость, которая заставляет изыскивать доказательства таких истин, которые технику кажутся до доказательства яснее, нежели после такового»{314}. «Не надо ли поступиться, — спрашивал он, — в требованиях безукоризненной строгости, не следует ли несколько более сообразоваться с практическими целями». И опять в этой связи появлялся образ Ньютона. «Не следует ли обратиться к самым великим творцам науки и посмотреть, как они излагали, и не считать недостаточно строгим для 16-летнего гимназиста, например, то, на чем сам Ньютон обосновал все современное учение о мироздании и что он положил в основу своих неопровержимых доказательств строения системы мира». Далее следует текст первого отдела первой книги «Начал».

Очень образную характеристику педагогов-математиков дал Крылов в своем выступлении о значении математики для кораблестроителя{315}. Он уподобил геометра «некоему воображаемому универсальному инструментальщику, который готовит на склад инструменты на всякую потребу», который «делает все, начиная от кувалды и кончая тончайшим микроскопом и точнейшим хронометром». Когда инженер приходит на такой грандиозный склад, он видит ряд, «видимо, издавна систематически подобранных ассортиментов, остающихся почти неизменными в течение 150 лет», к тому же и кладовщик подтверждает, что «их так часто требуют, что и не напасешься, а за остальным заходят лишь знатоки — мастера и любители». «Кладовщики и инструментальщики» — это профессора, а «систематические ассортименты» — это курсы.

В этом образном сравнении ярко отразился взгляд Крылова на математический аппарат естествознания как некую совокупность инструментов, находящих в умелых руках разнообразное и зачастую неожиданное применение. Крылов ставил в заслугу Лагранжу, что своему изложению тот придал самую общую аналитическую форму, поэтому его методы «одинаково приложимы и к расчету движения небесных тел, и к качаниям корабля на волнении, и к расчету гребного вала на корабле, и к расчету полета 16-дюймового снаряда, и к расчету движения электронов в атоме»{316}. Точно так же «вид дифференциальных уравнений, рассмотренных Эйлером, настолько общий, что подобного рода уравнения, но гораздо более простые, встречаются во множестве прикладных и технических вопросов»{317}.

Подобная способность усмотреть на «универсальном складе» нужный инструмент и притом не только оценить его применительно к одной какой-нибудь в данный момент поставленной цели, но понять его во всей широте возможных применений отличала в значительной мере самого Крылова. Если в своих «Воспоминаниях», как мы уже видели, он подчас слишком односторонне и прямолинейно связывал свои ньютоноведческие исследования с решением какой-то одной практической или педагогической задачи, то в других случаях умел показать теоретическую широту математических и механических проблем, охватывающих много практических приложений. Он писал, например, о себе, что в 1895 г. разработал теорию килевой качки на волнении, применив методы, подобные тем, которые применяли Лагранж и Лаплас при изучении движения планет{318}. В «Воспоминаниях» он рассказывает, что случайно ему на глаза попался громадный том Биркеланда «Наблюдение северных сияний». Помещенная в нем статья норвежского ученого К. Штермера «Теория северных сияний» заинтересовала Крылова изложенным методом приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. «Работу Штермера я изучил самым основательным образом, сопоставляя с работами Адамса и Башфорда о капиллярных явлениях, и развил как для курса Военно-морской академии, так и для других целей, например для вычисления траектории снарядов в ряде работ»{319}.

Теоретически и практически важные проблемы и их решение — вот что прежде всего привлекало внимание Крылова в классических произведениях прошлого. Мы видели, что именно с этих позиций он подходил к трудам Ньютона, не только дав их истолкование, но и восстановив ряд утраченных звеньев.

  

Примечания

1

Вообще движение тел в земных условиях получило название местного.

(обратно)

2

В силу логического принципа «с прекращением причины прекращается ее действие». При этом под прекращением действия понималось и исчезновение результата предыдущего действия причины.

(обратно)

3

Различия между массой и весом в античной физике нет.

(обратно)

4

Надо только иметь в виду, что такая запись недопустима для греческих ученых: то же содержание выражалось с помощью пропорций, т. е. приравниванием отношений только однородных величин.

(обратно)

5

Выше упоминалось, что только в арабских переводах до нас дошли некоторые трактаты Архимеда и «Механика» Герона. Только в арабском переводе известна и «Пневматика» византийца Филона.

(обратно)

6

Отметим, что еще до Ибн-Сины теорию «движущей силы» развивал, следуя Филопону, багдадский ученый Яхья ибн-Ади (ум. в 975 г.). Он считал, что движение брошенного тела происходит вследствие того, что от бросающего к этому телу передается некоторая сила, которая дает ему возможность достичь конца движения, после чего она рассеивается.

(обратно)

7

Следует иметь в виду, что практически вплоть до середины XVII в. термин «механика» применялся лишь к узкому кругу проблем прикладной механики и элементарной теории пяти «простых машин».

(обратно)

8

Т. е. к ее технической традиции.

(обратно)

9

Это понятие представляет собой дальнейшее развитие положения «Механических проблем» о том, что один и тот же груз может проявлять различную «тяжесть», т. е. различно «тянуть», в зависимости от своего положения на конце более длинного иди более короткого плеча рычага.

(обратно)

10

Заметим, что теория весомого рычага начала разрабатываться задолго до Леонардо да Винчи: ею занимались, например, Герон, Сабит ибн-Корра («Трактат о корастуне»).

(обратно)

11

Заметим, однако, что Тарталья занимался и проблемами архимедовского направления геометрической статики. В 1543 г. он издал в латинском переводе трактат Архимеда «О плавающих телах». Характерно, что Курций Троян включил в свое издание и данные об определении удельных весов некоторых жидкостей, полученные самим Тартальей.

(обратно)

12

Бенедетти занимал должность математика герцога Савойского, но обязан был заниматься многочисленными прикладными вопросами.

(обратно)

13

Характерно, что его доказательство правила равновесия прямого неравноплечего рычага впоследствии было воспроизведено в «Беседах» Галилея.

(обратно)

14

Согласно Стевину, если бы она проявляла эту тенденцию в какой-то момент, это значит, что она имела бы ее всегда, а это привело бы к вечному движению нити, что невозможно.

(обратно)

15

Соображения о сложении Движений имеются у Леонардо да Винчи,

(обратно)

16

Творчество Кеплера сыграло существенную роль в развитии естествознания вообще. В математике ему принадлежат значительные достижения в развитии интегрального исчисления, в физике — в области геометрической оптики. Однако основной областью деятельности Кеплера была астрономия.

(обратно)

17

Закон, который теперь называется первым (планеты движутся по эллипсам, в фокусе которых находится Солнце), Кеплер сформулировал после второго закона — закона площадей.

(обратно)

18

Однако уже Птолемею для согласования своего объяснения с данными наблюдений пришлось внести поправку в эту гипотезу. Он ввел понятие «экванта», с принятием которого верность требованию строить видимое движение из комбинации равномерных круговых движений становится по существу чисто внешней.

(обратно)

19

Известно, что понятие импетуса было введено в XIV в. парижскими номиналистами с целью объяснения причин этого явления.

(обратно)

20

Это положение он выдвигает в предисловии к упомянутой книге, которую переиздает в следующем году под характерным заглавием «Доказательство отношений местных движений против Аристотеля»..

(обратно)

21

В рассуждениях Бенедетти можно заметить влияние средневековых критиков Аристотеля Филопона и Ибн-Баджжи.

(обратно)

22

Напомним, что, по Ньютону, «количество движения есть мера такового, устанавливаемая пропорционально скорости и массе». Ньютон. Начала, стр. 24.

(обратно)

23

Как известно, первое издание «Бесед», выпущенное в 1638 г., содержало лишь беседы четырех первых дней. Отрывки, касающиеся «силы удара» и составившие «шестой день», увидели впервые свет в 1718 г.

(обратно)

24

Далее, цитируя других авторов, мы вводим и унифицируем буквенные обозначения, обозначая как объемы, так и соответствующие массы тел через m1 и m2, скорости до удара через u1 и u2, скорости после удара через и v1 и v2.

(обратно)

25

В примечании А. Н. Крылова указано на ошибку Ньютона. Должно быть: кубам.

(обратно)

26

Николай Бернулли (1695—1726) проработал в Петербургской академии наук всего 8 месяцев. Он умер в расцвете сил, успев опубликовать лишь две статьи в первом томе «Gommentarii» — одну по теории удара, другую о решении обыкновенных дифференциальных уравнений.

(обратно)

27

Кениг утверждал, что идею принципа высказал еще Лейбниц.

(обратно)

28

Подробнее об этом — в послесловии Л. С. Полака к сб. «Вариационные принципы механики», стр. 784 и ел.

(обратно)

29

Эта рукопись хранится в Архиве АН СССР, и некоторые сведения о ее содержании и отличиях от напечатанной книги имеются в примечаниях к русскому переводу «Гидродинамики».

(обратно)

30

Заметим, что в одной статье, напечатанной в «Мемуарах Берлинской академии наук» за 1748 г., Д. Бернулли приложил закон сохранения живых сил, записанный вполне по-современному, к анализу движения тел, притягиваемых неподвижным центром, с силой, пропорциональной любой функции расстояния. Лагранж отмечает в указанном месте и эту заслугу Д. Бернулли.

(обратно)

31

Терминология Д. Бернулли не совпадает полностью с употребляемой ныне.

(обратно)

32

Спор этот вращался главным образом вокруг вопросов о том, каков объем класса допустимых решений задачи, представима ли «произвольная» функция тригонометрическим рядом, и об аналитической представимости функций вообще.

(обратно)

33

См. статью Эйнштейна «Творческая автобиография» в сб. «Эйнштейн и современная физика» (М., Гостехиздат, 1956, стр. 26—71). В сборнике помещена также статья В. А. Фока «Замечания к «Творческой автобиографии» Альберта Эйнштейна», которая содержит весьма важные критические замечания, относящиеся к эйнштейновской трактовке абсолютного пространства и других исходных понятий ньютоновой механики.

(обратно)

34

Можно еще указать всероссийские воздухоплавательные съезды 1911, 1912 и 1914 г./ в которых принимали участие Н. Е. Жуковский, С. А. Чаплыгин и др.

(обратно)

35

В связи с этим входит в употребление термин «механика тел переменного состава» как более общий, чем «механика тел переменной массы»; при одновременном отделении и присоединении частиц масса рассматриваемой системы может сохраняться.

(обратно)

36

Создал ли сам Леонардо да Винчи трактат по механике — этот вопрос Гуковский, естественно, оставляет открытым, но он не сомневается в том, что Леонардо имел в виду создание такого трактата, раз сохранился его план и в записках Леонардо есть ссылки на его части и главы.

(обратно)

37

Гуковский выступает против тенденций как к недооценке, так и к переоценке творчества Леонардо да Винчи.

(обратно)

38

Доклад, сделанный совместно с А. П. Юшкевичем на Международном конгрессе, посвященном 400-летию со дня рождения Галилея (Италия, 1964).

(обратно)

39

Здесь, в частности, говорится о способе определения годичного параллакса неподвижных звезд, идею которого выдвинул Галилей.

(обратно)

40

В своей написанной незадолго до смерти статье «Ньютон и его значение в мировой науке» (сб. «Исаак Ньютон», под ред. С. И. Вавилова. М. — Л., 1943, стр. И) Крылов особо выделил изложение закона механического подобия.

(обратно)

41

Впоследствии астроном А. Д. Дубяго писал, что «наши методы бессильны дать большую точность, чем та, которая достигается, если должным образом переложить на язык формул графические построения Ньютона, как это выполнил и подтвердил примерами А. Н. Крылов. См. А. Д. Дубяго. Кометы и их значение в общей системе ньютоновых «Principia». — В кн.: Исаак Ньютон, под ред. С. И. Вавилова. М. — Л., 1943, стр. 255.

(обратно)

42

В уже указанной статье о «Началах» (1927), где даны изложение и анализ этого произведения шаг за шагом, книга за книгой. Еще позднее —: в статье «Ньютон и его значение в мировой науке» (см. сб.: Исаак Ньютон, под ред. С. И. Вавилова. М. — Л., 1943, стр. 5—32).

(обратно)

43

Отметим еще страницы, посвященные Ньютону, в «Очерке истории установления основных начал механики». — Усп. физ. наук, 1921, т. 2, вып. 2, стр. 143—161. Этот очерк позднее был включен в книгу Крылова «Мысли и материалы о преподавании механики в высших технических учебных заведениях СССР» (М. — Л., 1943).

(обратно)

Ссылки

1

В. И. Ленин. Полное собрание сочинений, т. 29, стр. 311.

(обратно)

2

Аристотель. Физика, кн. VIII, гл. 5, стр. 149. Цит. по переводу В. П. Карпова (изд. 2. М., Соцэкгиз, 1937).

(обратно)

3

Там же, гл. 3, стр. 142.

(обратно)

4

Аристотель. Физика, кн. VIII, гл. 5, стр. 153. Цит. по переводу В. П. Карпова (изд. 2. М., Соцэкгиз, 1937).

(обратно)

5

Аристотель. Физика, кн. VII, гл. 5, стр. 135.

(обратно)

6

Там же, кн. VII, гл. 4, стр. 134. Приведено по более точному переводу D. П. Зубова. См. А. Т. Григорьян, В.П.Зубов. Очерки развития основных понятий механики. М., Изд-во АН СССР, 1962, стр. 61.

(обратно)

7

Аристотель. Физика, кн. IV, гл. 8, стр. 71.

(обратно)

8

Там же, кн. VII, гл. 5, стр. 136.

(обратно)

9

Там же, кн. IV, гл. 8, стр. 71.

(обратно)

10

Там же.

(обратно)

11

Аристотель. Физика, кн. IV, гл. 8, стр. 72.

(обратно)

12

Аристотель. Физика, кн. IV, гл. 8, стр. 67.

(обратно)

13

Там же, гл. 7, стр. 69.

(обратно)

14

Аристотель. Физика, кн. IV, гл. 8, стр. 71.

(обратно)

15

Там же, стр. 70.

(обратно)

16

Там же, кн. VIII, гл. 3, стр. 142—143.

(обратно)

17

Аристотель. Физика, кн. IV, гл. II, стр. 78.

(обратно)

18

«Механические проблемы», § 27 (цит. по переводу в кн.: В. П. Зубов, Ф. А. Петровский. Архитектура античного мира. М., 1940, стр. 273—274).

(обратно)

19

«Механические проблемы», § 27 (цит. по переводу в кн.: В. П. Зубову Ф. А. Петровский. Архитектура античного мира. М., 1940, стр.850).

(обратно)

20

Там же, стр. 847.

(обратно)

21

«Архитектура античного мира», стр. 848.

(обратно)

22

Архимед. Сочинения. Перевод, вступительная статья и комментарии И. Н. Веселовского. М., Физматгиз, 1962, стр. 518—527.

(обратно)

23

Архимед. Сочинения, стр. 64—76.

(обратно)

24

Там же, стр. 70.

(обратно)

25

Там же, стр. 69.

(обратно)

26

Там же, стр. 63—64.

(обратно)

27

Архимед. Сочинения, стр. 272.

(обратно)

28

Там же, стр. 273.

(обратно)

29

Там же.

(обратно)

30

Там же, стр. 274.

(обратно)

31

А. Н. Крылов. Мысли и материалы о преподавании механики в высших технических учебных заведениях СССР. М.—Л., Изд-во АН СССР, 1943, стр. 6.

(обратно)

32

Архимед. Сочинения, стр. 283.

(обратно)

33

Там же, стр. 289,

(обратно)

34

Архимед. Сочинения, стр. 328.

(обратно)

35

Там же, стр. 329—332.

(обратно)

36

Ж. Лагранж. Аналитическая механика, т. I, 2-е изд. М.—Л., 1950, стр. 236.

(обратно)

37

Цит. по кн.: Архимед. Сочинения, стр. 64.

(обратно)

38

Herons von Alexandria. Mechanik und Katoptrik herausgegeben und übersetzt von L. Nix… Leipzig, 1900, S. 54—56.

(обратно)

39

Витрувий Марк Поллион. Десять книг об архитектуре. Перевод Ф. А. Петровского. М., 1936, стр. 190.

(обратно)

40

Архимед. Сочинения, стр. 241.

(обратно)

41

Плутарх. Сравнительные жизнеописания, т. I. M., Изд-во АН СССР, 1961, стр. 391.

(обратно)

42

К. Маркс и Ф. Энгельс. Сочинения, т. 21, стр. 148.

(обратно)

43

Там же, стр. 495.

(обратно)

44

«Десять вопросов Бируни относительно «Книги о небе» Аристотеля и ответы Ибн-Сины. Восемь вопросов Бируни относительно «Физики» Аристотеля и ответы Ибн-Сины». Перевод Ю. Н. Завадовского. — В. сб.: Материалы по истории прогрессивной мысли в Узбекистане. Под ред. И. М. Муминова. Ташкент, 1957, стр. 128—162,

(обратно)

45

Ибн-Сина. Даниш-Намэ — Книга знания. Пер. и статья А. М. Богоутдинова. Душанбе, 1957, стр. 232—233.

(обратно)

46

Вируни. Сочинения, т. III. Геодезия. Ташкент, 1966, стр. 94—95,

(обратно)

47

А6у-р-Райхан Мухаммед ибн-Ахмед ал-Бируни. Собрание сведений для познания драгоценностей (Минералогия). Пер. А. М. Беленицкого. М., Изд-во АН СССР, 1963.

(обратно)

48

«Об отношениях между металлами и драгоценными камнями в объеме»— отрывок из трактата Абд ар-Рахмана ал-Хазини «Beсы мудрости». — В кн.: Абу-р-Райхан Мухаммед ибн-Ахмед ал-Бируни. Собрание сведений для познания драгоценностей (Минералогия), стр. 249—270.

(обратно)

49

Омар Хайям. Трактаты. Пер. Б. А. Розенфельда, вступительная статья и комментарии Б. А. Розенфельда и А. П. Юшкевича. М., 1961, стр. 147—151.

(обратно)

50

Джемшид ал-Коши. Ключ арифметики. Трактат об окружности. Пер. с арабского Б. А. Розенфельда, под ред. В. С. Сегаля и А. П. Юшкевича, комментарий А. II. Юшкевича и Б. А. Розенфельда. М., Гостехтеоретиздат, 1966.

(обратно)

51

К. Маркс и Ф. Энгельс. Сочинения, т. 20, стр. 501.

(обратно)

52

В. И. Ленин. Полное собрание сочинений, т. 29, стр. 326,

(обратно)

53

А. Т. Григоръян, В. П. Зубов. Очерки развития основных понятий механики. М., Изд-во АН СССР, 1962, стр. 50.

(обратно)

54

Там же, стр. 51.

(обратно)

55

А. Т. Григорьян, В. П. 3убов. Очерки развития основных понятий механики. М., Изд-во АН СССР, 1962, стр. 54.

(обратно)

56

В. П. Зубов. Об архимедовской традиции в средние века. Историко-математические исследования, вып. XVI. М., 1965, стр. 27,

(обратно)

57

А. Т. Григорьян, В. П. Зубов. Очерки…, стр. 65.

(обратно)

58

А. Т. Григорьян, В. П. Зубов. Очерки…, стр. 120.

(обратно)

59

А. Т. Григорьян, В. П. Зубов. Очерки…, стр. 120.

(обратно)

60

Там же, стр. 81.

(обратно)

61

А. Т. Григорьян, В. П. Зубов. Очерки…, стр. 65.

(обратно)

62

Там же, стр. 83.

(обратно)

63

А. Т. Григорьян, В. П. Зубов. Очерки…, стр. 112.

(обратно)

64

А. Т. Григорьян, В. П. Зубов. Очерки…, стр. 120

(обратно)

65

К. Маркс и Ф. Энгельс. Сочинения, т. 21, стр. 287—288.

(обратно)

66

Цит. по кн.: А. Т. Григорьян, В. П. Зубов. Очерки развития основных понятий механики. М., 1962, стр. 9.

(обратно)

67

Там же, стр. 9.

(обратно)

68

Леонардо да Винчи. Избранные естественнонаучные произведения. М., 1955, стр. 84,

(обратно)

69

Цит. по кн.: М. А. Гуковский. Механика Леонардо да Винчи. М.—Л., Изд-во АН СССР, 1947, стр. 570.

(обратно)

70

Леонардо да Винчи. Избранные естественнонаучные произведения, стр. 127.

(обратно)

71

См. Леонардо да Винчи. Избранные естественнонаучные произведения, стр. 14.

(обратно)

72

Николай Коперник. О вращениях небесных сфер. Перевод И. Н. Веселовского. М., изд-во «Наука», 1964.

(обратно)

73

Николай Кузанский. Избранные философские сочинения. М., 1937, стр. 99.

(обратно)

74

Николай Коперник. О вращениях небесных сфер, стр. 22.

(обратно)

75

Цит. по кн.: Л. Т. Григорьян, В. П. Зубов. Очерки…, стр. 108.

(обратно)

76

Там же.

(обратно)

77

Цит. по кн.: А. Т. Григорьян, В. П. Зубов. Очерки…, стр. 111.

(обратно)

78

Цит. по кн.: А. Т. Григорьян, В. П. Зубов. Очерки…, стр. 30.

(обратно)

79

Цит. по кн.: А. Т. Григорьян, В. П. Зубов. Очерки…, стр. 30.

(обратно)

80

Там же, стр. 31.

(обратно)

81

Там же.

(обратно)

82

Там же, стр 29.

(обратно)

83

Там же, стр. 30.

(обратно)

84

Ф. Энгельс. Диалектика природы. Госполитиздат, 1952, стр. 206,

(обратно)

85

Р. Декарт. Рассуждение о методе. М. — Л., Изд-во АН СССР, 1953, стр. 54.

(обратно)

86

И. Ньютон. Математические начала натуральной философии. Поучения. — В кн.: А. Н. Крылов. Собрание трудов, т. 7. М.—Л., Изд-во АН СССР, 1936, стр. 30—32 (далее: Ньютон. Начала).

(обратно)

87

Galilei le Opere. Ed. Naz., XVIII. Firenze, 1937, p. 11—12.

(обратно)

88

R. Dugas. La mecanique au XVII siècle. Neuchatel, 1954, p. 608 (далее: Дюга).

(обратно)

89

См. P. Duhem. Les Origines de la statique, t. II. Paris, 1905, p. 1—6 (далее: Дюэм).

(обратно)

90

X. Гюйгенс. Три трактата по механике. М.—Л., Изд-во АН СССР, 1951, стр. 122-124

(обратно)

91

Цит. по кн.: А. Т. Григорьян, В. П. Зубов. Очерки…, стр. 184.

(обратно)

92

В. Паскаль. Трактат о равновесии жидкостей (1663). — См. «Начала гидростатики. Архимед, Стевин, Галилей, Паскаль». М.—Л., 1932, стр. 237.

(обратно)

93

Цит. по кн.: А. Т. Григорьян, В. П. Зубов. Очерки…, стр. 189.

(обратно)

94

R. Descartes. Oeuvres, publiées par Gh. Adam et P. Tannery, t. 1—12 et suppl. Paris, 1897—1913; t. 2, 1898, p. 9—10 (далее: Декарт. Сочинения).

(обратно)

95

Ньютон. Начала, стр. 23.

(обратно)

96

Р. Декарт. Избранные произведения. М., Изд-во АН СССР, 1950, стр. 486-487, 490-491.

(обратно)

97

Н. Мальбранш. Разыскания истины, кн. VI, т. II, СПб., 1906, стр. 433—439.

(обратно)

98

Там же, стр. 426—427.

(обратно)

99

Галилей. Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки, относящихся к механике и местному движению. М.—Л., Гостехтеоретиздат, 1934, стр. 566— 567.

(обратно)

100

Декарт. Сочинения, т. III, стр. 11 (письмо Мерсенну от 29 января 1640 г.).

(обратно)

101

Р. Декарт. Начала философии, стр. 496.

(обратно)

102

Декарт. Сочинения, т. III, стр. 10.

(обратно)

103

Там же, стр. 34.

(обратно)

104

Р. Декарт. Избранные произведения, стр. 489—490.

(обратно)

105

Там же, стр. 490.

(обратно)

106

Р. Декарт. Избранные произведения, стр. 492—496.

(обратно)

107

Цит. по кн.: А. Т. Григорьян, В. П. Зубов, Очерки…, стр. 204.

(обратно)

108

Русский перевод — X. Рюйгенс. Три трактата по механике. М.—Л., 1961, стр. 211—245.

(обратно)

109

Ньютон. Начала, стр. 41.

(обратно)

110

Там же, стр. 52—53.

(обратно)

111

Декарт. Сочинения; т. II, стр. 335.

(обратно)

112

Галилей. Беседы, стр. 301—302.

(обратно)

113

Ньютон. Начала, кн. I, стр. 244.

(обратно)

114

Ньютон. Лекции по оптике. Перевод, комментарии и редакция академика С. И. Вавилова. М.—Л., Изд-во АН СССР, 1946, стр. 292 (далее: Ньютон. Оптика).

(обратно)

115

Ньютон. Начала, кн. III, стр. 662.

(обратно)

116

Декарт. Сочинения, т. II, стр. 224—225.

(обратно)

117

Там же, стр. 226.

(обратно)

118

Декарт. Сочинения, т. II, стр. 227.

(обратно)

119

Цит. по кн.: С. И. Вавилов. Исаак Ньютон. М., Изд-во АН СССР, 1961, стр. 102—103/

(обратно)

120

Цит. по кн.: С. И. Вавилов. Исаак Ньютон, стр. 102—103.

(обратно)

121

Ньютон. Начала, кн. III, стр. 662.

(обратно)

122

Ньютон. Начала, кн. II, стр. 489—490.

(обратно)

123

Ньютон. Начала, кн. II, стр. 496—499.

(обратно)

124

Там же, стр. 658.

(обратно)

125

Ньютон. Начала, кн. II, стр. 29—30.

(обратно)

126

Там же, стр. 44.

(обратно)

127

Н. Мальбранш. Разыскания истины, кн. VI, стр. 290.

(обратно)

128

В. И. Ленин. Полное собрание сочинений, т. 29, стр. 152—153.

(обратно)

129

Ньютон. Оптика, стр. 146.

(обратно)

130

49 Ньютон. Оптика, стр. 290.

(обратно)

131

В. И. Ленин. Полное собрание сочинений, т. 29, стр. 60.

(обратно)

132

Там же, стр. 70.

(обратно)

133

Г. В. Лейбниц. Новые опыты о человеческом разуме. М., 1936, стр. 63—64 (далее: Лейбниц).

(обратно)

134

К. Маркс и Ф. Энгельс. Сочинения, т. 8, стр. 433.

(обратно)

135

Лейбниц, стр. 57.

(обратно)

136

Там же, стр. 62.

(обратно)

137

В. И. Ленин. Полное собрание сочинений, т. 29, стр. 67.

(обратно)

138

К. Маркс и Ф. Энгельс. Сочинения, т. 2, стр. 141.

(обратно)

139

Лейбниц, стр. 83.

(обратно)

140

Лейбниц, стр. 101.

(обратно)

141

Там же.

(обратно)

142

Там же.

(обратно)

143

Там же.

(обратно)

144

63 Лейбниц, стр. 57.

(обратно)

145

Цпт. по кн.: П. Пекарский. История имп. Академии наук в Петербурге, т. I, СПб., 1870, стр. 255.

(обратно)

146

А. Н. Крылов. Леонард Эйлер. — В кн.: Сборник статей и материалов к 150-летию со дня смерти Л. Эйлера. М.—Л., Изд-во АН СССР, 1935, стр. 18.

(обратно)

147

Л. Эйлер. Основы динамики точки. М. — Л., ОНТИ, 1938, стр. 89— 90.

(обратно)

148

Л. Эйлер. Основы динамики точки, стр. 33—34.

(обратно)

149

Л. Эйлер. Основы динамики точки, стр. 124.

(обратно)

150

См. сб. «Вариационные принципы механики». М., Физматгиз, 1959, стр. 53.

(обратно)

151

Л. Эйлер. Методы нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума или минимума. М.—Л., ОНТИ, 1934, стр. Г>73.

(обратно)

152

Там же.

(обратно)

153

Там же, стр. 575.

(обратно)

154

«Вариационные принципы механики», стр. 114—115.

(обратно)

155

См. М. Ф. Субботин. Астрономические работы Леонарда Эйлера. — В кн.: Леонард Эйлер. Сборник статей в честь 250-ле-тия со дня рождения, представленных Академии наук СССР. М., Изд-во АН СССР, 1958.

(обратно)

156

Цит. по ст.: А. 77. Юшкевич и Э. Винтер. О переписке Леонарда Эйлера с Петербургской академией наук в 1741—1757 гг. — Труды Института истории естествознания и техники, т. 34. М., Изд-во АН СССР, I960, стр. 456.

(обратно)

157

Подробнее — Н. И. Идельсон. Закон всемирного тяготения и теория движения Луны. — В кн.: Исаак Ньютон. 1642—1727. Сборник статей к трехсотлетию со дня рождения. М.—Л., 1943

(обратно)

158

Автобиография написана в третьем лице. — См. Д. Бернулли. Гидродинамика, или Записки о силах и движениях жидкостей Изд-во АН СССР, 1959, стр. 428.

(обратно)

159

Цит. по статье В. И. Смирнова в кн.: Д. Бернулли. Гидродинамика, стр. 450—451.

(обратно)

160

Там же, стр. 452.

(обратно)

161

Д. Бернулли. Гидродинамика, стр. 34.

(обратно)

162

Там же, стр. 27.

(обратно)

163

Ж. Лагранж. Аналитическая механика, т. I, стр. 315—316.

(обратно)

164

Д. Бернулли. Гидродинамика, стр. 11

(обратно)

165

Там же, стр. 282.

(обратно)

166

См. А. П. Мандрыка. Баллистические исследования Леонарда Эйлера. М.—Л., 1958.

(обратно)

167

М. В. Ломоносов. Труды по физике и химии (1747—1752), т. 2. М.—Л., 1951, стр. 171—173.

(обратно)

168

См. Н. М. Раскин. Вопросы техники у Эйлера. — В кн.: Леонард Эйлер. Сборник статей в честь 250-летия со дня рождения, представленных Академии наук СССР, стр. 509—536.

(обратно)

169

К. Шредер. О трудах Леонарда Эйлера в области прикладных наук. — В кн.: Леонард Эйлер. Сборник статей в честь 250-летия…, стр. 38.

(обратно)

170

Подробнее—С. П. Тимошенко. История науки о сопротивлении материалов с краткими сведениями из истории теории упругости и теории сооружений. М., Физматгиз, 1957, стр. 9—36.

(обратно)

171

См. о них статью В. И. Смирнова в кн.: Д. Бернулли. Гидродинамика; Ф. И. Франкль. Об исследованиях Л. Эйлера в области теории уравнений в частных производных. «Историко-математические исследования», вып. VII. М., Гостехтеоретиздат, 1954.

(обратно)

172

См. Ж. Лагранж. Аналитическая механика, т. I (под ред. и с прим. Л. Г. Лойцянского и А. И. Лурье); т. II (под ред. и с прим. Г. Н. Дубошина). М.—Л., Гостехтеоретиздат, 1950.

(обратно)

173

Ж. Лагранж. Аналитическая механика, т. I, стр. 9—10.

(обратно)

174

Ж. Лагранж. А политическая механика, т. I, стр. 39—42.

(обратно)

175

Там же, стр. 294—295.

(обратно)

176

Ж. Лагранж. Аналитическая механика, т. I, стр. 314.

(обратно)

177

Д. К. Максвелл. Трактат об электричестве и магнетизме, т. II. Оксфорд, 1872, стр. 194.

(обратно)

178

Ф. Араго. Биографии знаменитых астрономов, физиков и геометров, пер. Д. М. Перевощикова, т. 3, 1861, стр. 56.

(обратно)

179

Н. Е. Жуковский. Собрание сочинений, т. IX. М. — Л., ОНТИ, 1937, стр. 141.

(обратно)

180

М. В. Остроградский. Избранные труды. М., Изд-во АН СССР, 1958, стр. 205.

(обратно)

181

И. Е. Жуковский. Собрание сочинений, т. VII, стр. 221.

(обратно)

182

H. Hertz. Die Prinzipien der Mechanik in neuem Zusammenhange dargestellt. Gesam. Werk, Bd. III. Leipzig, 1910 (далее: Г. Герц. Принципы механики).

(обратно)

183

В. И. Ленин. Полное собрание сочинений, т. 18, стр. 300—301.

(обратно)

184

Там же, стр. 279.

(обратно)

185

Там же, стр. 302.

(обратно)

186

К. Гаусс. Об одном новом общем принципе механики. Цит. по приложению к кн.: Лагранж. Аналитическая механика, т. 2. М.—Л., Гостехтеоретиздат, 1950, стр. 411—414.

(обратно)

187

Там же, стр. 412.

(обратно)

188

Г. Герц. Принципы механики, стр. 28.

(обратно)

189

Там же.

(обратно)

190

Там же, стр. 30.

(обратно)

191

G. Kirchhoff. Vorlesungen fiber theoretische Physik, Bd. I, Mechanik. Leipzig, 1872, S. 1.

(обратно)

192

Г. Герц. Принципы механики, стр. 33.

(обратно)

193

Г. Герц. Принципы механики, стр. 38—39.

(обратно)

194

Там же.

(обратно)

195

Г. Герц. Принципы механики, стр. 175.

(обратно)

196

Там же, стр. 178.

(обратно)

197

Там же, стр. 196.

(обратно)

198

Там же.

(обратно)

199

Л. Зоммерфельд. Механика. М.—Л., ИЛ, 1947, стр. 298.

(обратно)

200

«Эйнштейн и современная физика», стр. 35.

(обратно)

201

Там же, стр. 36.

(обратно)

202

«Эйнштейн и современная физика», стр. 36,

(обратно)

203

Там же, стр. 37.

(обратно)

204

Там же.

(обратно)

205

«Эйнштейн и современная физика», стр. 37.

(обратно)

206

Там же.

(обратно)

207

Там же, стр. 38.

(обратно)

208

Ньютон. Начала, стр. 34.

(обратно)

209

Ньютон. Начала, стр. 34—35.

(обратно)

210

«Эйнштейн и современная физика», стр. 39—40.

(обратно)

211

А. Эйнштейн. Собрание научных трудов, т. IV. М.% изд-во «Наука», 1967, стр. 270.

(обратно)

212

П. Л. Чебышев. Поли. собр. соч., т. V. М.—Л., Изд-во АН СССР, 1951, стр. 150.

(обратно)

213

А. М. Ляпунов. Пафнуий Львович Чебышев. — «Сообщения Харьковского математического общества», 1895, 2-я серия, т. 4, № 5-6, стр. 263-264.

(обратно)

214

Цит. по кн.: С. В. Ковалевская. Научные работы. М. Изд-во АН СССР, 1948, стр. 346.

(обратно)

215

Цит. по кн.: Я. Л. Геронимус. Очерки о работах корифеев русской механики. М., Гостехиздат, 1952, стр. 202.

(обратно)

216

А. М. Ляпунов. Избранные труды. М., Изд-во АН СССР, 1948, стр. 11.

(обратно)

217

И. В. Мещерский. Работы по механике тел переменной массы. М., Гостехиздат, 1952, стр. 38,

(обратно)

218

Архив АН СССР, ф. 555, оп. 4, № 457.

(обратно)

219

Н. И. Лобачевский. О началах геометрии. Поли. собр. соч., т. I. М.-Л., Гостехиздат, 1946, стр. 261.

(обратно)

220

П. С. Юшкевич. О сложении сил в гиперболическом пространстве. «Вестник опытной физики и элементарной математики», сем. 22. М., 1898.

(обратно)

221

А. П. Котельников. Теория векторов и комплексные числа (Начала механики в неевклидовом пространстве). — В кн.: А. Л. Котельников, В. А. Фок. Некоторые применения геометрии Лобачевского к механике и физике. М.—Л., 1950, стр. 7—47.

(обратно)

222

Г. Минковский. Время и пространство. — В кн.: Г. А. Лоренц, А. Пуанкаре, А. Эйнштейн, Г. Минковский. Принцип относительности. М.—Л., 1935, стр. 181—203.

(обратно)

223

Д. Н. Зейлигер. Комплексная линейчатая геометрия. Л. —М., 1934.

(обратно)

224

Н. Е. Жуковский. Собр. соч., т. I. M.-Л., ОНТИ, 1935, стр. 375—418.

(обратно)

225

В. А. Стеклов. Александр Михайлович Ляпунов. 1857—1918. Некролог. — «Известия Российской академии наук», 1919, т. 13, №8—11, стр. 379.

(обратно)

226

«Гидродинамическая теория смазки». Сб. статей. М.—Л., Гостехиздат, 1934, стр. 365.

(обратно)

227

И. Е. Жуковский. Собр. соч., т. III, стр. 112.

(обратно)

228

Там же, стр. 113.

(обратно)

229

Более подробно см.: «Развитие механики в СССР». М., изд-во «Наука», 1967; «Механика в СССР за 50 лет», т. 1—3. М., изд-во «Наука», 1968—1972.

(обратно)

230

Доклад, сделанный совместно с И. Б. Погребысским и А. П. Юшкевичем на Международном конгрессе, посвященном 450-летию со дня смерти Леонардо да Винчи (Италия, 1969).

(обратно)

231

Л. Г. Столетов. Собр. соч., т. П. М. — Л., Гостехиздат, 1941, стр. 341—370.

(обратно)

232

Укажем здесь только на его труд «Итальянское Возрождение», т. I (Италия, 1250—1380). Изд-во ЛГУ, 1947; т. II (Италия, 1380—1450). Изд-во ЛГУ, 1961.

(обратно)

233

М. А. Гуковский. Леонардо да Винчи. Л. —М., изд-во «Искусство», 1958, стр. 3; изд. 2. Л. — М., изд-во «Искусство», 1967.

(обратно)

234

См., например, «Raccolta Vinciana», XIX, 1962; XX, 1964.

(обратно)

235

См. М. А. Гуковский. Механика Л. Альберти и механика Леонардо да Винчи. «Архив истории науки и техники», 1935, вып. 7, стр. 105—128.

(обратно)

236

Р. А. Орбели. В кн.: Исследования и изыскания. М. — Л. Речиздат, 1947, стр. 143—190.

(обратно)

237

Р. Л. Орбели. В кн.: Исследования и изыскания. М. — Л., Речиздат, 1947, стр. 190—195.

(обратно)

238

Тогда же А. К. Дживелегов опубликовал биографию «Леонардо да Винчи». М., Журн.-газ. объединение, 1935; изд. 2. М., изд-во «Искусство», 1969.

(обратно)

239

Леонардо да Винчи. Избранные произведения, т. 1. М.—Л., «Academia», 1935, стр. 14—15.

(обратно)

240

Там же, стр. 15.

(обратно)

241

Труды Института истории естествознания и техники, т. I. М., Изд-во АН СССР, 1954, стр. 219—248.

(обратно)

242

В. П. Зубов. Леонардо да Винчи и работа Вителло «Перспектива)). — Труды Института истории естествознания и техники АН СССР, т. I, стр. 248.

(обратно)

243

В. П. Зубов. Леонардо да Винчи. М.-Л., Изд-во АН СССР, 1961, стр. 3—4.

(обратно)

244

Там же, стр. 4.

(обратно)

245

В. П. Зубов. Леонардо да Винчи. М.- Л., Изд-во АН СССР. 1961, стр. 3—4.

(обратно)

246

К. Маркс и Ф. Энгельс. Сочинения, т. 20, стр. 346.

(обратно)

247

См. Д. О. Святский. Сказание о Чигирь-Звезде и телескопические наблюдения Галилея. — Мироведение, 1928, № 1 (60).

(обратно)

248

Ср. С. Л. Соболь. Оптические инструменты и сведения о них в допетровской Руси. — Труды Института истории естествознания, т. III. M. — Д., Изд-во АН СССР, 1949,

(обратно)

249

См. В. Е. Райков. Очерки по истории гелиоцентрического миро воззрения в России. М.—Л., 1937, стр. 112.

(обратно)

250

Sermones in primo solenni Academiae Scientiarum imperialis conventu die XXVII decembris anni MDCCXXV publice recitati. Petro-poli, 1726.

(обратно)

251

J. Hermann. De ortu et progressu Geometriae. Sermones in secundo solenni Academiae Scientiarum imperialis conventu die 1 augusti anni MDCCXXVI publice recitati. Petropoli, 1728.

(обратно)

252

Discours lu dans l’Assemblée publique de l’Académie des Scienses le 2 mars 1728 par Mr de l’Isle, avec la Réponse de Mr Bernoulli. St.-Pétersbourg, 1728.

(обратно)

253

А. Я. Гришов. Речь о величине Земли, видимой с планет, и о величине ее пути около Солнца, видимой со звезд неподвижных, или о употребительнейшем у астрономов способе, как находить подлинные величины и расстояния тел небесных от Земли нашей. СПб., 1755.

(обратно)

254

С. Я. Румовский. Речь о начале и приращении оптики до нынешних времен. СПб., 1763.

(обратно)

255

Предисловие к «Волфианской экспериментальной физике» (4746). — В кн.: М. В. Ломоносов. Полное собрание сочинений, т. I. М. — Л., 1950, стр. 424.

(обратно)

256

А. Н. Радищев. Избранные философские и общественно-политические произведения. М., 1952, стр. 485.

(обратно)

257

«История о математике». Пер. с франц. П. Богдановича. — Академические известия, ч. VII. СПб., 1781.

(обратно)

258

«История о звездословии». Пер. с франц. И. Иванова. — Новые ежемесячные сочинения, 1796, ч. 115.

(обратно)

259

Г. Либри. Галилей. — Отечественные записки, 1841, т. 18, отд. 2.

(обратно)

260

Ф. Араго. Биографии знаменитых астрономов, физиков и геометров. Пер. Д. М. Перевощикова, т. I. СПб., 1859.

(обратно)

261

Ф. Розенбергер. Очерк истории физики, ч. 1—3. Пер. с нем. под ред. И. Сеченова. СПб., 1883—1894.

(обратно)

262

О. Лодж. Пионеры науки. Лекции по истории астрономии. Пер. С. А. Займовского. СПб., 1901.

(обратно)

263

Ф. Даннеман. История естествознания. Пер. под редакцией И. И. Боргмана. Одесса, 1913.

(обратно)

264

В. Ассонов. Галилей перед судом инквизиции. Очерк его жизни и трудов. М., 1870. Его же. Галилей и Ньютон. Биографии. М., 1871.

(обратно)

265

Е. А. Предтеченский. Галилей. Его жизнь и научная деятельность. СПб., 1891.

(обратно)

266

Й. Н. Маракуев. Галилей, его жизнь и ученые труды. М., 1885; изд. 2 — 1888; изд. 3 — 1907.

(обратно)

267

В. А. Любимов. История физики, т. 1—3. СПб., 1892—1896.

(обратно)

268

А. Алтаев. Апостол истины. Историческая повесть о жизни одного из великих героев науки. СПб., 1908.

(обратно)

269

А. И. Герцен. Собрание сочинений в тридцати томах, т. I. M., 1954.

(обратно)

270

Там же, т. III, стр. 173.

(обратно)

271

Там же.

(обратно)

272

Н. Е. Жуковский. Ньютон как основатель теоретической механики. — В кн.: Двухсотлетие памяти Ньютона. М., 1888.

(обратно)

273

Г. Галилей. Разговоры и математические доказательства о двух новых учениях в механике и движении. Пер. с итальянского А. Сомова. — Журнал Главного управления путей сообщения и публичных зданий, т. 31—34, отд. II, 1860—1861.

(обратно)

274

М. Я. Выгодский. Галилей и инквизиция, ч. I. Запрет пифагорийского учения. М. — Л., 1934.

(обратно)

275

См. З. А. Цейтлин. Новейшая апология папизма. Его же. Политическая сторона инквизиционного процесса Галилея. — Мироведение, 1935, т. 24, № 1—2.

(обратно)

276

Г. Галилей. Звездный Вестник; Разговоры о двух великих мировых системах; Рассуждения о двух новых учениях в механике. (Избранные места). Составил Я. И. Перельман. Со вступительной статьей Ю. П. Шейно. Л., 1931.

(обратно)

277

Г. Галилей. Рассуждение о телах, пребывающих в воде, и о тех, которые в ней движутся. — В кн.: Начала гидростатики. Архимед, Стэвин, Галилей, Паскаль. Пер. и примечания А. Н. Долгова. М. — Л., 1932.

(обратно)

278

Г. Галилей. Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки, относящихся к механике и к местному движению… с приложением о центрах тяжести различных тел. Пер. С. Н. Долгова. Редакция, предисловие и примечания А. Н. Долгова. М.—Л., 1934.

(обратно)

279

Л. Ольшки. История научной литературы на новых языках. Т. 3. Галилей и его время. Пер. с нем. Ф. А. Коганбернштейн и П. С. Юшкевича. Предисловие С. Ф. Васильева. М. — Л., 1933.

(обратно)

280

Ф. Даннеман. История естествознания. Естественные науки в их развитии и взаимодействии, т. II. От эпохи Галилея до середины XVIII века. Пер. со 2-го нем. издания П. С. Юшкевича. М. — Л., 1935.

(обратно)

281

Ф. Розенбергер. История физики. Пер. с нем., вновь проверенный и переработанный В. С. Гохманом. Предисловие С. Ф. Васильева, Ч. 1—3. М.—Л., 1934—1936 (о Галилее говорится главным образом во 2-й части).

(обратно)

282

Галилео Галилей. 1564—1642. Сборник, посвященный 300-летней годовщине со дня смерти Галилео Галилея. Под редакцией академика А. М. Деборина. М. — Л., 1943.

(обратно)

283

Г. Галилей. Диалог о двух главнейших системах мира, птолемеевой и коперниковой. Пер. и предисловие А. Н. Долгова. М. — Л., 1948.

(обратно)

284

П. С. Кудрявцев. История физики, т. I. М., 1948, 2-е изд., 1956.

(обратно)

285

Б. И. Спасский. История физики, ч. I. Учебное пособие для университетов. М., 1963.

(обратно)

286

Г. А. Гурев. Системы мира от древнейших времен до наших дней. М., 1950. Его же. Учение Коперника и религия. Из истории борьбы за научную истину в астрономии. М., 1961.

(обратно)

287

«История философии», т. I. Под ред. М. А. Дынника, М. Т. Иовчука, Б. М. Кедрова, М. Б. Митина, О. В. Трахтенберга. М., 1957.

(обратно)

288

В. А. Фок. Современная теория пространства и времени. — Природа, 1953, № 12.

(обратно)

289

В. Г. Кузнецов. Проблема истинного движения Земли в «Диалоге» Галилея. — Труды Института истории естествознания и техники АН СССР, т. I. M., 1954.

(обратно)

290

В. Г. Кузнецов. Развитие научной картины мира в физике XVII—XVIII вв. М., 1955. Его же. Развитие Физических идей от Галилея до Эйнштейна в свете современной науки. М., 1963.

(обратно)

291

В. П. Зубов. У истоков механики. — В кн.: А. Т. Григорьян и В. П. Зубов. Очерки развития основных понятий механики. М., 1962.

(обратно)

292

В. Ронки. Галилей и Торричелли — мастера точной оптики. — Труды Института истории естествознания и техники АН СССР, т. 28. М., 1964.

(обратно)

293

Л. И. Седов. Галилей и основы механики. М., 1964.

(обратно)

294

Б. Г. Кузнецов. Галилей. М., 1964, стр. 6.

(обратно)

295

Там же, стр. 6.

(обратно)

296

А. Н. Крылов. Воспоминания и очерки. М., 1956, стр. 321.

(обратно)

297

А. Я. Крылов. Ньютон и его значение в мировой науке, стр. 242.

(обратно)

298

А. Н. Крылов. Воспоминания и очерки, стр. 321.

(обратно)

299

А. Н. Крылов. Воспоминания и очерки, стр. 99.

(обратно)

300

А. Н. Крылов. Судьба одной знаменитой теоремы. — Архив истории науки и техники, 1936, вып. 8, стр. 281—299; перепечатано в «Собрании трудов», т. VI, стр. 227—248.

(обратно)

301

А. Н. Крылов. Воспоминания и очерки, стр. 321.

(обратно)

302

Там же, стр. 228.

(обратно)

303

А. Н. Крылов. Собр. трудов, т. VII, стр. VI.

(обратно)

304

Ср. А. С. Орлов. Академик А. Н. Крылов — знаток и любитель русской речи. — Вестник АН СССР, 1946, № 1, стр. 78—83.

(обратно)

305

А. Н. Крылов. «Principia» Ньютона. — Сб.: Ньютон. 1727—1927. Л., 1927, стр. 21.

(обратно)

306

А. Н. Крылов. Собр. трудов, т. VII, стр. 288—309. Значительная часть этого экскурса с некоторыми модификациями напечатана в «Собрании трудов», т. VI, стр. 249—266.

(обратно)

307

А. Н. Крылов. Воспоминания и очерки, стр. 228.

(обратно)

308

Первоначально в «Архиве истории науки и техники», 1935, вып. 5, стр. 183—250, а также в «Собрании трудов», т. VI, стр. 151—225.

(обратно)

309

Т. П. Кравец. Ньютон и изучение его трудов в России. — Сб.: Иссак Ньютон, стр. 325.

(обратно)

310

А. Н. Крылов. Собр. трудов, т. VI, стр. 224.

(обратно)

311

В. Смирнов. Научное творчество А. Н. Крылова. — Усп. матем. наук, 1964, т. I, вып. 3—4, стр. 11.

(обратно)

312

А. Я. Крылов. Ньютон и его значение в мировой науке. — Сб.: Исаак Ньютон, стр. 7.

(обратно)

313

А. Н. Крылов. Мысли и материалы о преподавании механики в высших технических учебных заведениях СССР. М. — Л., 1943, стр. 36.

(обратно)

314

А. И. Крылов. Учение о пределах, как оно изложено у Ньютона. Пг., 1916; перепечатано в «Собрании трудов», т. I, ч. 2. М.—Л., 1951, стр. 31—32; см. также: А. Н. Крылов. Воспоминания и очерки, стр. 549.

(обратно)

315

А. Н. Крылов. Значение математики для кораблестроителя (1935). Собр. трудов, т. I, ч. 2, стр. 11—12; см. также: А. Н. Крылов. Воспоминания и очерки, стр. 607—608.

(обратно)

316

А. Н. Крылов. Жозеф Луи Лагранж. Сборник статей к 200-ле-тию со дня рождения Лагранжа. М.—Л., 1937; см. также: «Собрание трудов», т. I, ч. 2, стр. 278.

(обратно)

317

А. Н. Крылов. Леонард Эйлер. — Сб.: Леонард Эйлер. 1707—1783. Л., 1935, стр. 28.

(обратно)

318

А. Н. Крылов. Воспоминания и очерки, стр. 322.

(обратно)

319

А. Н. Крылов. Воспоминания и очерки, стр. 252

(обратно)

Оглавление

ОТ АВТОРА

I. АНТИЧНАЯ МЕХАНИКА

II. МЕХАНИКА НА СРЕДНЕВЕКОВОМ ВОСТОКЕ

III. МЕХАНИКА В СРЕДНЕВЕКОВОЙ ЕВРОПЕ

IV. МЕХАНИКА ЭПОХИ ВОЗРОЖДЕНИЯ

  СТАТИКА

  КИНЕМАТИКА

  ДИНАМИКА

V. НАЧАЛЬНЫЕ ЭТАПЫ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

  ВВЕДЕНИЕ

  ИСТОРИЯ ПРИНЦИПОВ СОХРАНЕНИЯ

  ОСНОВНЫЕ ИДЕИ МЕХАНИКИ ДЕКАРТА

  ИСТОРИЯ ОТКРЫТИЯ ЗАКОНОВ УДАРА

  ИСТОРИЯ ОТКРЫТИЯ ЗАКОНА ТЯГОТЕНИЯ

  ИДЕЙНЫЕ ИСТОКИ МЕХАНИКИ ЛЕЙБНИЦА

VI. МЕХАНИКА В XVIII ВЕКЕ

  ТРУДЫ ЭЙЛЕРА ПО МЕХАНИКЕ ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА

  РАБОТЫ БЕРНУЛЛИ И ЭЙЛЕРА ПО МЕХАНИКЕ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ

  МЕХАНИКА УПРУГИХ И ГИБКИХ ТЕЛ

  ТРУДЫ ДАЛАМБЕРА ПО МЕХАНИКЕ

  АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛАГРАНЖА

  ИССЛЕДОВАНИЯ ПУАССОНА ПО МЕХАНИКЕ

VII. МЕХАНИКА В XIX ВЕКЕ

  РОЛЬ ГАМИЛЬТОНА В РАЗВИТИИ ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПОВ МЕХАНИКИ И ТЕОРИИ КВАТЕРНИОНОВ

  ВКЛАД ЯКОБИ В РАЗВИТИЕ ДИНАМИКИ

  ТРУДЫ ОСТРОГРАДСКОГО ПО МЕХАНИКЕ

  МЕХАНИКА ГЕРЦА

VIII. ПОНЯТИЯ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ В ОЦЕНКЕ ЭЙНШТЕЙНА

IX. МЕХАНИКА В РОССИИ ВО ВТОРОЙ ПОЛОВИНЕ XIX-НАЧАЛЕ XX ВЕКА

  ОБЩИЕ УСЛОВИЯ РАЗВИТИЯ МЕХАНИКИ

  МЕХАНИКА В ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ

  ТЕОРИЯ МЕХАНИЗМОВ

  ЗАДАЧА О ВРАЩЕНИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ

  ПРОБЛЕМА УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ

  МЕХАНИКА ТЕЛ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ И ТЕОРИЯ РЕАКТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ

  НЕЕВКЛИДОВА МЕХАНИКА

  БАЛЛИСТИКА

  ТЕОРИЯ КОРАБЛЯ

  ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ И СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

  ФИГУРЫ РАВНОВЕСИЯ ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ

  ГИДРОДИНАМИКА И ГИДРАВЛИКА

  ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРИКЛАДНАЯ АЭРОДИНАМИКА. НАЧАЛО РАЗВИТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ

X. РАЗВИТИЕ НЕКОТОРЫХ НАПРАВЛЕНИЙ МЕХАНИКИ В СССР.{229}

  СОСТОЯНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ К НАЧАЛУ 20-х ГОДОВ XX ВЕКА

  ТРАДИЦИИ ОТЕЧЕСТВЕННОЙ МЕХАНИКИ

  ПЕРЕСТРОЙКА СИСТЕМЫ ПОДГОТОВКИ КАДРОВ И ФОРМ НАУЧНОЙ РАБОТЫ

  АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА СИСТЕМ ТОЧЕК И ТВЕРДЫХ ТЕЛ В ДОВОЕННЫЙ ПЕРИОД

  МЕХАНИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ В ДОВОЕННЫЙ ПЕРИОД

  МЕХАНИКА ТЕЛ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ И ТЕОРИЯ РЕАКТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ В ДОВОЕННЫЙ ПЕРИОД

  ПОСЛЕВОЕННЫЙ ПЕРИОД

  ВКЛАД СОВЕТСКИХ УЧЕНЫХ В РАЗВИТИЕ ИСТОРИИ МЕХАНИКИ

ПРИЛОЖЕНИЕ

  НАУЧНОЕ НАСЛЕДИЕ ЛЕОНАРДО ДА ВИНЧИ В РАБОТАХ СОВЕТСКИХ УЧЕНЫХ{230}

  ЖИЗНЬ И ТВОРЧЕСТВО ГАЛИЛЕЯ В РУССКОЙ И СОВЕТСКОЙ ЛИТЕРАТУРЕ[38]

  НЬЮТОНОВЕДЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ А.Н. КРЫЛОВА Fueled by Johannes Gensfleisch zur Laden zum Gutenberg