«2a. Пространство. Время. Движение»

2a. Пространство. Время. Движение (fb2) - 2a. Пространство. Время. Движение [calibre 0.8.45] 837K (книга удалена из библиотеки) скачать: (fb2) - (epub) - (mobi) - Ричард Филлипс Фейнман

2a. Пространство. Время. Движение

Глава 21 ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР

§ 1. Линейные дифференциаль­ные уравнения

§ 2. Гармонический осциллятор

§ 3. Гармоническое движение и движение по окружности

§ 4. Начальные условия

§ 5. Колебания под действием внешней силы

§ 1. Линейные дифференциальные уравнения

Обычно физику как науку делят на не­сколько разделов: механику, электричество и г. п., и мы «проходим» эти разделы один за дру­гим. Сейчас, например, мы «проходим» в основ­ном механику. Но то и дело происходят стран­ные вещи: переходя к новым разделам физики и даже к другим наукам, мы сталкиваемся с уравнениями, почти не отличающимися от уже изученных нами ранее. Таким образом, многие явления имеют аналогию в совсем других об­ластях науки. Простейший пример: распро­странение звуковых волн во многом похоже на распространение световых волн. Если мы достаточно подробно изучим акустику, то обна­ружим потом, что «прошли» довольно большую часть оптики. Таким образом, изучение явле­ний в одной области физики может оказаться полезным при изучении других ее разделов. Хорошо с самого начала предвидеть такое воз­можное «расширение рамок раздела», иначе мо­гут возникнуть недоумения, почему мы тратим столько времени и сил на изучение небольшой задачи механики.

Гармонический осциллятор, к изучению ко­торого мы сейчас переходим, будет встречаться нам почти всюду; хотя мы начнем с чисто меха­нических примеров грузика на пружинке, ма­лых отклонений маятника или каких-то других механических устройств, на самом деле мы бу­дем изучать некое дифференциальное уравне­ние. Это уравнение непрестанно встречается в физике и в других науках и фактически описы­вает столь многие явления, что, право же, стоит того, чтобы изучить его получше. Такое уравне­ние описывает колебания грузика на пружинке, колебания заряда, текущего взад и вперед по электрической цепи, колебания камертона, порождающие звуковые волны, аналогичные колебания электронов в атоме, порождающие световые волны. Добавьте сюда уравнения, описывающие дей­ствия регуляторов, например поддерживающих заданную температуру термостата, сложные взаимодействия в химиче­ских реакциях и (уже совсем неожиданно) уравнения, от­носящиеся к росту колонии бактерий, которых одновременно и кормят и травят ядом, или к размножению лис, питаю­щихся кроликами, которые в свою очередь едят траву, и т. д. Мы привели очень неполный список явлений, которые описы­ваются почти теми же уравнениями, что и механический осцил­лятор. Эти уравнения называются линейными дифференциаль­ными уравнениями с постоянными коэффициентами. Это урав­нения, состоящие из суммы нескольких членов, каждый из которых представляет собой производную зависимой величины по независимой, умноженную на постоянный коэффициент. Таким образом,

называется линейным дифференциальным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами (все аn — посто­янные).

§ 2. Гармонический осциллятор

Пожалуй, простейшей механической системой, движение которой описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, является масса на пружинке. После того как к пружинке подвесят грузик, она немного рас­тянется, чтобы уравновесить силу тяжести. Проследим теперь за вертикальными отклонениями массы от положения равнове­сия (фиг. 21.1).

Фиг. 21.1. Грузик, подвешенный на пружинке.

Простой пример гармонического ос­циллятора.

Отклонения вверх от положения равновесия мы обозначим через х и предположим, что имеем дело с абсо­лютно упругой пружиной. В этом случае противодействующие растяжению силы прямо пропорциональны растяжению. Это означает, что сила равна -kx (знак минус напоминает нам, что сила противодействует смещениям). Таким образом, умно­женное на массу ускорение должно быть равно -kx

m(d2x/dt2)=-kx. (21.2)

Для простоты предположим, что вышло так (или мы нужным образом изменили систему единиц), что k/m = 1. Нам предстоит решить уравнение

d2x/dt2=-x. (21.3)

После этого мы вернемся к уравнению (21.2), в котором k и m содержатся явно.

Мы уже сталкивались с уравнением (21.3), когда только начи­нали изучать механику. Мы решили его численно [см. вып. 1, уравнение (9.12)], чтобы найти движение. Численным интегри­рованием мы нашли кривую (см. фиг. 9.4, вып. 1), которая пока­зывает, что если частица mв начальный момент выведена из рав­новесия, но покоится, то она возвращается к положению рав­новесия. Мы не следили за частицей после того, как она достиг­ла положения равновесия, но ясно, что она на этом не остано­вится, а будет колебаться (осциллировать). При численном ин­тегрировании мы нашли время возврата в точку равновесия: t=1,570. Продолжительность полного цикла в четыре раза боль­ше: t0=6,28 «сек». Все это мы нашли численным интегрирова­нием, потому что лучше решать не умели. Но математики дали в наше распоряжение некую функцию, которая, если ее про­дифференцировать дважды, переходит в себя, умножившись на -1. (Можно, конечно, заняться прямым вычислением таких функций, но это много труднее, чем просто узнать ответ.)

Эта функция есть: x=cost. Продифференцируем ее: dx/dt=-sint, a d2x/dt2 =-wt=-x. В начальный момент t=0, x=1, а начальная скорость равна нулю; это как раз те пред­положения, которые мы делали при численном интегрирова­нии. Теперь, зная, что x=cost, найдем точное значение вре­мени, при котором z=0. Ответ: t=p/2, или 1,57108. Мы ошиб­лись раньше в последнем знаке, потому что численное интег­рирование было приближенным, но ошибка очень мала!

Чтобы продвинуться дальше, вернемся к системе единиц, где время измеряется в настоящих секундах. Что будет реше­нием в этом случае? Может быть, мы учтем постоянные k и т, умножив на соответствующий множитель cost? Попробуем. Пусть x=Acost, тогда dx/dt=-Asint и d2t/dt2=-Acost=-x. К нашему огорчению, мы не преуспели в решении уравнения (21.2), а снова вернулись к (21.3). Зато мы открыли важнейшее свойство линейных дифференциальных уравнений: если умно­жить решение уравнения на постоянную, то мы снова получим решение. Математически ясно — почему. Если х есть решение уравнения, то после умножения обеих частей уравнения на А производные тоже умножатся на A и поэтому Ах так же хорошо удовлетворит уравнению, как и х. Послушаем, что скажет по этому поводу физик. Если грузик растянет пружинку вдвое больше прежнего, то вдвое возрастет сила, вдвое возрастет ус­корение, в два раза больше прежней будет приобретенная ско­рость и за то же самое время грузик пройдет вдвое большее рас­стояние. Но это вдвое большее расстояние — как раз то самое расстояние, которое надо пройти грузику до положения равно­весия. Таким образом, чтобы достичь равновесия, требуется столько же времени и оно не зависит от начального смещения. Иначе говоря, если движение описывается линейным уравне­нием, то независимо от «силы» оно будет развиваться во вре­мени одинаковым образом.

Ошибка пошла нам на пользу — мы узнали, что, умножив решение на постоянную, мы получим решение прежнего уравне­ния. После нескольких проб и ошибок можно прийти к мысли, что вместо манипуляций с х надо изменить шкалу времени. Иначе говоря, уравнение (21.2) должно иметь решение вида

x=cosw0t. (21.4)

(Здесь w0 — вовсе не угловая скорость вращающегося тела, но нам не хватит всех алфавитов, если каждую величину обозна­чать особой буквой.) Мы снабдили здесь w индексом 0, потому что нам предстоит встретить еще много всяких омег: запомним, что w0 соответствует естественному движению осциллятора. Попытка использовать (21.4) в качестве решения более успешна, потому что dx/dt=-(w0sinw0t и d2x/dt2=-w20wsw0t=-w20x. На­конец-то мы решили то уравнение, которое и хотели решить. Это уравнение совпадает с (21.2), если w20=k/m.

Теперь нужно понять физический смысл w0. Мы знаем, что косинус «повторяется» после того, как угол изменится на 2я. Поэтому x=cosw0t будет периодическим движением; полный цикл этого движения соответствует изменению «угла» на 2p. Величину w0t часто называют фазой движения. Чтобы изменить w0t на 2p, нужно изменить t на t0 (период полного колебания); конечно, t0находится из уравнения w0t0=2p. Это значит, что w0t0 нужно вычислять для одного цикла, и все будет повто­ряться, если увеличить t на t0; в этом случае мы увеличим фазу на 2p. Таким образом,

Значит, чем тяжелее грузик, тем медленнее пружинка будет ко­лебаться взад и вперед. Инерция в этом случае будет больше, и если сила не изменится, то ей понадобится большее время для разгона и торможения груза. Если же взять пружинку пожест­че, то движение должно происходить быстрее; и в самом деле, период уменьшается с увеличением жесткости пружины.

Заметим теперь, что период колебаний массы на пружинке не зависит от того, как колебания начинаются. Для пружинки как будто безразлично, насколько мы ее растянем. Уравнение движения (21.2) определяет период колебаний, но ничего не го­ворит об амплитуде колебания. Амплитуду колебания, конеч­но, определить можно, и мы сейчас займемся этим, но для этого надо задать начальные условия.

Дело в том, что мы еще не нашли самого общего решения уравнения (21.2). Имеется несколько видов решений. Реше­ние x=acosw0t соответствует случаю, когда в начальный мо­мент пружинка растянута, а скорость ее равна нулю. Можно иначе заставить пружинку двигаться, например улучить момент, когда уравновешенная пружинка покоится (х=0), и резко ударить по грузику; это будет означать, что в момент t=0 пружинке сообщена какая-то скорость. Такому движению будет соответствовать другое решение (21.2) — косинус нужно заменить на синус. Бросим в косинус еще один камень: если x=cosw0t—решение, то, войдя в комнату, где качается пружин­ка, в тот момент (назовем его «t=0»), когда грузик проходит через положение равновесия (x=0), мы будем вынуждены заме­нить это решение другим. Следовательно, x=cosw0t не может быть общим решением; общее решение должно допускать, так сказать, перемещение начала отсчета времени. Таким свойст­вом обладает, например, решение x=acosw0(t-t1), где t1 — какая-то постоянная. Далее, можно разложить

cos(w0t+D)=cosw0tcosD-sinw0tsinD и записать

x=Acosw0t+Вsinw0t,

где A=acosD и В=-asinD. Каждую из этих форм можно ис­пользовать для записи общего решения (21.2): любое из су­ществующих в мире решений дифференциального уравнения

d2x/dt2 =-w20x можно записать в виде

x=acosw0(t-t1), (21.6а)

или

x=acos(w0t+D), (21.6б)

или

х=Acosw0t+B sinw0t. (21.6в)

Некоторые из встречающихся в (21.6) величин имеют наз­вания: w0 называют угловой частотой; это число радианов, на которое фаза изменяется за 1 сек. Она определяется дифферен­циальным уравнением. Другие величины уравнением не опре­деляются, а зависят от начальных условий. Постоянная а слу­жит мерой максимального отклонения груза и называется ам­плитудой колебания. Постоянную D иногда называют фазой колебания, но здесь возможны недоразумения, потому что другие называют фазой w0t+D и говорят, что фаза зависит от времени. Можно сказать, что D — это сдвиг фазы по сравнению с некоторой, принимаемой за нуль. Не будем спорить о словах. Разным D соответствуют движения с разными фазами. Вот это верно, а называть ли D фазой или нет — уже другой вопрос.

§ 3. Гармоническое движение и движение по окружности

Косинус в решении уравнения (21.2) наводит на мысль, что гармоническое движение имеет какое-то отношение к движению по окружности. Это сравнение, конечно, искусственное, потому что в линейном движении неоткуда взяться окружности: грузик движется строго вверх и вниз. Можно оправдаться тем, что мы уже решили уравнение гармонического движения, когда изуча­ли механику движения по окружности. Если частица движется по окружности с постоянной скоростью v, то радиус-вектор из центра окружности к частице поворачивается на угол, величина которого пропорциональна времени. Обозначим этот угол q=vt/R (фиг. 21.2).

Фиг. 21.2. Частица, движу­щаяся по кругу с постоянной скоростью.

Тогда dq/dt=w0=v/R. Известно, что ускоре­ние а=v2/R=w20R и направлено к центру. Координаты движу­щейся точки в заданный момент равны

х=Rcosq, y=Rsinq.

Что можно сказать об ускорении? Чему равна x-составляющая ускорения, d2x/dt2. Найти эту величину можно чисто гео­метрически: она равна величине ускорения, умноженной на ко­синус угла проекции; перед полученным выражением надо пос­тавить знак минус, потому что ускорение направлено к центру:

ах=-acosq=-wRcosq=-w20х. (21.7)

Иными словами, когда частица движется по окружности, гори­зонтальная составляющая движения имеет ускорение, пропор­циональное горизонтальному смещению от центра. Конечно, мы знаем решения для случая движения по окружности: x=Rcosw0t. Уравнение (21.7) не содержит радиуса окружности; оно оди­наково при движении по любой окружности при одинаковой w0.

Таким образом, имеется несколько причин, по которым следует ожидать, что отклонение грузика на пружинке окажется пропор­циональным cosw0t и движение будет выглядеть так, как если бы мы следили за x-координатой частицы, движущейся по окружно­сти с угловой скоростью w0 . Проверить это можно, поставив опыт, чтобы показать, что движение грузика вверх-вниз на пружинке в точности соответствует движению точки по окружности. На фиг. 21.3 свет дуговой лампы проектирует на экран тени дви­жущихся рядом воткнутой во вращающийся диск иголки и вер­тикально колеблющегося груза.

Фиг. 21.3. Демонстрация экви­валентности простого гармони­ческого движения и равномерного движения по окружности.

Если вовремя и с нужного места заставить грузик колебаться, а потом осторожно подобрать скорость движения диска так, чтобы частоты их движений сов­пали, тени на экране будут точно следовать одна за другой. Вот еще способ убедиться в том, что, находя численное реше­ние, мы почти вплотную подошли к косинусу.

Здесь можно подчеркнуть, что поскольку математика равно­мерного движения по окружности очень сходна с математикой колебательного движения вверх-вниз, то анализ колебатель­ных движений очень упростится, если представить это движе­ние как проекцию движения по окружности. Иначе говоря, мы можем дополнить уравнение (21.2), казалось бы, совершенно лишним уравнением для у и рассматривать оба уравнения совместно. Проделав это, мы сведем одномерные колебания к движению по окружности, что избавит нас от решения дифферен­циального уравнения. Можно сделать еще один трюк — ввести комплексные числа, но об этом в следующей главе.

§ 4. Начальные условия

Давайте выясним, какой смысл имеют А и В или а и D. Конечно, они показывают, как началось движение. Если движе­ние начнется с малого отклонения, мы получим один тип коле­баний; если слегка растянуть пружинку, а потом ударить по грузику — другой. Постоянные А и В или а и D, или какие-нибудь две другие постоянные определяются обстоятельствами, при которых началось движение, или, как обычно говорят, начальными условиями. Нужно научиться определять постоян­ные, исходя из начальных условий. Хотя для этого можно использовать любое из соотношений (21.6), лучше всего иметь дело с (21.6в). Пусть в начальный момент t=0 грузик смещен от положения равновесия на величину х0и имеет скорость v0. Это самая общая ситуация, какую только можно придумать. (Нельзя задать начального ускорения, потому что оно зависит от свойств пружины; мы можем распорядиться только величи­ной х0.) Вычислим теперь А и В. Начнем с уравнения для

х=Acoswot+Bsinw0t;

поскольку нам понадобится и скорость, продифференцируем х и получим

v=-w0Asinw0t+w0Bcosw0t.

Эти выражения справедливы для всех t, но у нас есть допол­нительные сведения о величинах х и v при t=0. Таким образом, если положить t=0, мы должны получить слева х0и v0, ибо это то, во что превращаются х и v при t=0. Кроме того, мы знаем, что косинус нуля равен единице, а синус нуля равен нулю. Следовательно,

х0=А·1+В·0=А

и

vu=-w0A·0+w0B·1=w0B.

Таким образом, в этом частном случае

А=х0, В=v0/w0.

Зная А и В, мы можем, если пожелаем, найти а и D.

Итак, задача о движении осциллятора решена, но есть одна интересная вещь, которую надо проверить. Надо выяснить, сохраняется ли энергия. Если нет сил трения, то энергия долж­на сохраняться. Сейчас нам удобно использовать формулы

х=acos(wot+D) и v=-w0asin(w0t+D).

Давайте найдем кинетическую энергию Т и потенциальную энергию U. Потенциальная энергия в произвольный момент времени равна 1/2kx2, где х — смещение, a k — постоянная упругости пружинки. Подставляя вместо х написанное выше выражение, найдем

U=1/2kx2=1/2ka2cos2 (w0t+D).

Разумеется, потенциальная энергия зависит от времени; она всегда положительна, это тоже понятно: ведь потенциальная энергия — это энергия пружины, а она изменяется вместе с х. Кинетическая энергия равна 1/2mv2; используя выражение для v, получаем

Т = 1/2mv2=1/2mw20a2sin2(w0t+D).

Кинетическая энергия равна нулю при максимальном х, ибо в этом случае грузик останавливается; когда же грузик прохо­дит положение равновесия (x=0), то кинетическая энергия до­стигает максимума, потому что именно тогда грузик движется быстрее всего. Изменение кинетической энергии, таким обра­зом, противоположно изменению потенциальной энергии. Пол­ная энергия должна быть постоянной. Действительно, если вспомнить, что k=mw20, то

T+U=1/2mw20а2 [cos2 (w0t+D)+sin2 (w0t+D)] =1/2rnw20a2.

Энергия зависит от квадрата амплитуды: если увеличить амп­литуду колебания вдвое, то энергия возрастет вчетверо. Средняя потенциальная энергия равна половине максимальной и, сле­довательно, половине полной; средняя кинетическая энергия также равна половине полной энергии.

§ 5. Колебания под действием внешней силы

Нам остается рассмотреть колебания гармонического осцил­лятора под действием внешней силы. Движение в этом случае описывается уравнением

md2x/dt2=-kx+F(t). (21.8)

Давайте подумаем, как будет вести себя грузик при этих об­стоятельствах. Внешняя движущая сила может зависеть от времени каким угодно образом. Начнем с простейшей зависимо­сти. Предположим, что сила осциллирует

F(t)=F0coswt. (21.9)

Обратите внимание, что w — это не обязательно w0: будем считать, что можно изменять w, заставляя силу действовать с разной частотой. Итак, надо решить уравнение (21.8) в случае специально подобранной силы (21.9). Каким будет решение (21.8)? Одно из частных решений (общим решением мы еще зай­мемся) выглядит так:

z=Ccoswt, (21.10)

где постоянную С еще надо определить. Иначе говоря, пытаясь найти решение в таком виде, мы предполагаем, что, если тянуть грузик взад и вперед, он в конце концов начнет качаться взад и вперед с частотой действующей силы. Проверим, может ли это быть. Подставив (21.10) в (21.9), получим

—mw2Сcoswt=-mw20Сcoswt+F0coswt. (21.11)

Мы уже заменили k на mw20, потому что удобнее сравнивать две частоты. Уравнение (21.11) можно поделить на содержащийся в каждом члене косинус и убедиться, что при правильно подоб­ранном значении С выражение (21.10) будет решением. Эта ве­личина С должна быть такой:

Таким образом, грузик т колеблется с частотой действующей на него силы, но амплитуда колебания зависит от соотношения между частотой силы и частотой свободного движения осцил­лятора. Если со очень мала по сравнению с w0, то грузик дви­жется вслед за силой. Если же чересчур быстро менять направ­ление толчков, то грузик начинает двигаться в противополож­ном по отношению к силе направлении. Это следует из равенства (21.12), которое говорит нам, что величина С отрицательна, если w больше собственной частоты гармонического осцилля­тора w0. (Мы будем называть w0 собственной частотой гармо­нического осциллятора, а w — приложенной частотой.) При очень высокой частоте знаменатель становится очень большим и грузик практически не движется.

Найденное нами решение справедливо только в том случае, когда уже установилось равновесие между осциллятором и дей­ствующей силой; это происходит после того, как вымрут дру­гие движения. Эти вымирающие движения называют переход­ным откликом на силу F(t), а движение, описываемое (21.10) и (21.12),— равновесным откликом.

Приглядевшись к формуле (21.12), мы заметим любопытную вещь: если частота со почти равна w0, то С приближается к бес­конечности. Таким образом, если настроить силу «в лад» с соб­ственной частотой, отклонения грузика достигнут гигантских размеров. Об этом знает всякий, кому когда-либо приходилось раскачивать ребенка на качелях. Это довольно трудно сделать, если закрыть глаза и беспорядочно толкать качели. Но если найти правильный ритм, то раскачать качели легко, однако, как только мы опять собьемся с ритма, толчки начнут тормо­зить качели и от такой работы будет мало проку.

Если частота со будет в точности равна w0, то амплитуда должна стать бесконечной, что, разумеется, невозможно. Мы ошиблись, потому что решали не совсем верное уравнение. Составляя уравнение (21.8), мы забыли о силе трения и о мно­гих других силах. Поэтому амплитуда никогда не достигнет бесконечности; пожалуй, пружинка порвется гораздо раньше!

Глава 22 АЛГЕБРА

§ 1. Сложение и умножение

§ 2. Обратные операции

§ 3. Шаг в сторону и обобщение

§ 4. Приближенное вычисление иррациональ­ных чисел

§ 5. Комплексные числа

§ 6. Мнимые экспоненты

§ 1. Сложение и умножение

Изучая осциллятор, нам придется восполь­зоваться одной из наиболее замечательных, по­жалуй самой поразительной из формул, какие можно найти в математике. Физик обычно рас­правляется с этой формулой примерно за две минуты, даже не обратив на нее внимания. Но наука ведь не только приносит практическую пользу, а служит источником удовольствия, поэтому давайте не будем торопиться проходить мимо этой драгоценности, а посмотрим, как она выглядит в великолепном окружении, ко­торое обычно называют элементарной алгеброй.

Вы можете спросить: «Зачем нужна матема­тика в книге по физике?» Вот несколько ува­жительных причин: прежде всего математика— очень важный рабочий инструмент, но этим мож­но оправдать затрату всего лишь двух минут на вывод этой формулы. Однако при изучении теоретической физики мы обнаруживаем, что все физические законы можно записать в виде математических формул, именно это придает законам простоту и красоту. Таким образом, глубокое понимание математических соотноше­ний в конце концов необходимо для понимания природы. Но главная причина — это красота темы: ведь хотя люди разрезали природу на много кусков и продолжают кромсать ее, изучая очень много предметов на различных факульте­тах, такое разделение искусственно, и мы всегда будем получать наслаждение, собирая вместе отдельные куски.

Еще одна причина, по которой следует за­няться поглубже алгеброй: хотя многие из вас уже знакомились с алгеброй в средней школе, но это было только первым знакомством и многие формулы еще непривычны, поэтому стоит еще раз вспомнить алгебру, чтобы не тратить на формулы столько же сил, сколько их уйдет на изучение самой физики.

То, чем мы займемся, с точки зрения математики, не будет настоящей алгеброй. Математик главным образом интересуется тем, как изложить то или иное математическое утверждение и какие предположения обязательны при выводе теоремы, а какие нет. Для нас важнее результат доказательства. Например, тео­рема Пифагора интересна для нас потому, что в ней сообщается, что сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы; это очень интересный факт, и мы будем использовать его, не заботясь о том, действительно ли это доказанная Пифагором теорема или просто аксиома. В том же самом духе мы изложим элементарную алгебру, по возмож­ности чисто качественно. Мы говорим элементарная алгебра потому, что существует ветвь математики, называемая высшей алгеброй, где может оказаться неверным, что ab=ba, но таких вещей мы касаться не будем.

Изучение алгебры начнем с середины. Предположим, что нам уже известно, что существуют целые числа, что есть нуль и что значит увеличить число на единицу. Не говорите, пожалуй­ста: «Вот так середина!», потому что для математика это сере­дина, ведь он знает теорию множеств и может вывести все эти свойства целых чисел. Но мы не будем вторгаться в область философии математики и математической логики, а ограни­чимся предположением, что нам известны целые числа и мы умеем считать. Если взять целое число а и прибавить к нему b раз по единице, мы получим число а+b; этим определяется сложение целых чисел.

Определив сложение, проделаем вот что: начнем с нуля и прибавим к нему bраз число а; таким образом мы определим умножение целых чисел и будем называть результат произве­дением а на b.

Теперь можно проделать ряд последовательных умножений: если умножить единицу bраз на число а, то мы возведем а в сте­пень b и запишем результат в виде аb.

Исходя из этих определений, легко доказать такие соотношения

Эти результаты хорошо известны, мы не хотим долго на них останавливаться, а выписаны они больше для порядка. Конечно, 1 и 0 обладают особыми свойствами, например а+0=а, а·1=а и а в первой степени равно а.

Составляя табличку формул (22.1), мы пользовались такими свойствами, как непрерывность и соотношение порядка; дать им определение очень трудно: для этого создана целая наука. Кроме того, мы выписали, конечно, слишком много «правил»; некоторые из этих правил можно вывести из других, но не будем на этом останавливаться.

§ 2. Обратные операции

Кроме прямых операций сложения, умножения и возведе­ния в степень, существуют обратные операции. Их можно определить так. Предположим, что нам заданы а и с; как найти b, удовлетворяющее уравнениям а+b=с, ab=c, ba=с? Если а+b=с, то bопределяется при помощи вычитания: b=с-а. Столь же проста операция деления: если ab=c, то b=с/а; это решение уравнения ab=c «задом наперед». Если вам встретится степень: ba=с, то надо запомнить, что bназывается корнем а-й степени из с. Например, на вопрос: «Какое число, будучи возведенным в куб, дает 8?» — следует отвечать: «Кубический ко­рень из 8, т. е. 2». Обратите внимание, что, когда дело доходит до степени, появляются две обратные операции. Действительно, ведь раз аbи bа— различные числа, то можно задать и такой вопрос: «В какую степень надо возвести 2, чтобы получить 8?» В этом случае приходится брать логарифм. Если аb=с, то b=logac. He надо пугаться громоздкой записи числа bв этом слу­чае; находить его так же просто, как и результаты других обрат­ных операций. Хотя логарифм «проходят» гораздо позже корня, это такая же простая вещь: просто-напросто это разного сорта решения алгебраических уравнений. Выпишем вместе прямые и обратные операции:

В чем же идея? Выписанные соотношения верны для целых чисел, потому что они выводятся из определений сложения, ум­ножения и возведения в степень. Подумаем, нельзя ли расши­рить класс объектов, которые по-прежнему будут обозначаться буквами а, b и с и для которых по-прежнему будут верны все сформулированные нами правила, хотя сложение уже нельзя будет понимать как последовательное увеличение числа на единицу, а возведение в степень — как последовательное пе­ремножение целых чисел.

§ 3. Шаг в сторону и обобщение

Если кто-нибудь, усвоив наши определения, приступит к решению алгебраических уравнений, он быстро натолкнется на неразрешимые задачи. Решите, например, уравнение b=3-5. Вам придется в соответствии с определением вычитания найти число, которое дает 3, если к нему добавить 5. Перебрав все целые положительные числа (а ведь в правилах говорится только о таких числах), вы скажете, что задача не решается. Однако можно сделать то, что потом станет системой, великой идеей: наткнувшись на неразрешимую задачу, надо сначала отойти в сторону, а затем обобщить. Пока алгебра состоит для нас из правил и целых чисел. Забудем о первоначальных определениях сложения и умножения, но сохраним правила (22.1) и (22.2) и предположим, что они верны вообще не только для целых положительных чисел (для них эти правила были выведены), а для более широкого класса чисел. Раньше мы за­писывали целые положительные числа в виде символов, чтобы вывести правила; теперь правила будут определять символы, а символы будут представителями каких-то более общих чисел. Манипулируя правилами, можно показать, что 3-5=0-2. Давайте определим новые числа: 0-1, 0-2, 0-3, 0-4 и т. д. и назовем их целыми отрицательными числами. После этого мы сможем решить все задачи на вычитание. Теперь вспомним и о других правилах, например a(b+c)=ab+ac; это даст нам правило умножения отрицательных чисел. Перебрав все пра­вила, мы увидим, что они верны как для положительных, так и для отрицательных чисел.

Мы значительно расширили область действия наших пра­вил, но достигли этого ценой изменения смысла символов.

Уже нельзя, например, сказать, что умножить 5 на -2 - значит сложить 5 минус два раза. Эта фраза бессмысленна. Тем не менее, пользуясь правилами, вы всегда получите вер­ный результат.

Возведение в степень приносит новые хлопоты. Кто-нибудь обязательно захочет узнать, что означает символ а(3-5). Мы зна­ем, что 3-5 это решение уравнения (3-5)+5=3. Следовательно, мы знаем, что а(3-5)а5=а3. Теперь можно разделить на а5, тогда а(3-5)=а3/а5. Еще одно усилие, и вот окончательный ре­зультат: а(3-5) =1/а2. Таким образом, мы установили, что воз­ведение числа в отрицательную степень сводится к делению единицы на число, возведенное в положительную степень. Все было бы хорошо, если бы 1/а2не было бессмысленным символом. Ведь а — это целое положительное или отрицательное число, значит, а2 больше единицы, а мы не умеем делить единицу на числа, большие чем единица!

Система так система. Натолкнувшись на неразрешимую за­дачу, надо расширить царство чисел. На этот раз нам трудно делить: нельзя найти целого числа ни положительного, ни от­рицательного, которое появилось бы в результате деления 3 на 5. Так назовем это и другие подобные ему числа рациональ­ными дробями и предположим, что дроби подчиняются тем же правилам, что и целые числа. Тогда мы сможем оперировать дробями так же хорошо, как и целыми числами.

Еще один пример на степень: что такое а3/5? Мы знаем толь­ко, что (3/5) 5=3, ибо это определение числа 3/5, и еще, что (а3/5)5 =a(3/5)5, ибо это одно из правил. Вспомнив определение

корня, мы получим а(3/5)= . Определяя таким образом дро­би, мы не вводим никакого произвола. Сами правила следят за тем, чтобы подстановка дробей вместо написанных нами сим­волов не была бессмысленной процедурой. Замечательно, что эти правила справляются с дробями так же хорошо, как и с целыми числами (положительными и отрицательными)!

Пойдем дальше по пути обобщения. Существуют ли еще урав­нения, которых мы не научились решать? Конечно. Например, нам не под силу уравнение b=21/2=Ц2. Невозможно найти рациональную дробь, квадрат которой равен 2. В наше время это выяснить довольно просто. Мы знаем десятичную систему и не пугаемся бесконечной десятичной дроби, которую можно использовать для приближения корня из двух. Хотя идея та­кого приближения появилась еще у древних греков, однако усваивалась она с большим трудом. Чтобы точно сформули­ровать суть такого приближения, надо постичь такие высокие материи, как непрерывность и соотношения порядка, а это очень трудный шаг. Это сделал Дедекинд очень точно и очень формально. Однако, если не заботиться о математической стро­гости, легко понять, что числа типа Ц2 можно представить в виде целой последовательности десятичных дробей (потому что если остановиться на какой-нибудь десятичной дроби, то получится рациональное число), которая все ближе и ближе подходит к желанному результату. Этих знаний нам вполне до­статочно; они позволят свободно обращаться с иррациональ­ными числами и вычислять числа типа Ц2 с нужной точностью.

§ 4. Приближенное вычисление иррациональных чисел

Теперь такой вопрос: как возвести число в иррациональную степень? Например, нам хочется узнать, что такое 10Ц2 . Ответ в принципе очень прост. Возьмем вместо Ц2 его прибли­жение в виде конечной десятичной дроби — это рациональное число. Возводить в рациональную степень мы умеем; дело сво­дится к возведению в целую степень и извлечению корня. Мы получим приближенное значение числа 10Ц2 . Можно взять десятичную дробь подлиннее (это снова рациональное число). Тогда придется извлечь корень большей степени; ведь знамена­тель рациональной дроби увеличится, но зато мы получим бо­лее точное приближение. Конечно, если взять приближенное значение Ц2 в виде очень длинной дроби, то возведение в сте­пень будет делом очень трудным. Как справиться с этой задачей?

Вычисление квадратных корней, кубичных корней и других корней невысокой степени — вполне доступный нам арифмети­ческий процесс; вычисляя, мы последовательно, один за дру­гим, пишем знаки десятичной дроби. Но для того, чтобы воз­вести в иррациональную степень или взять логарифм (решить обратную задачу), нужен такой труд, что применить прежнюю процедуру уже не просто. На помощь приходят таблицы. Их называют таблицами логарифмов или таблицами степеней, смотря по тому, для чего они предназначены. Они экономят время: чтобы возвести число в иррациональную степень, мы не вычисляем, а только перелистываем страницы.

Хотя вычисление собранных в таблицы значений — проце­дура чисто техническая, а все же дело это интересное и имеет большую историю. Поэтому посмотрим, как это делается. Мы

вычислим не только x=10 V2 , но решим и другую задачу: 10x=2, или x=log102. При решении этих задач мы не откроем новых чисел; это просто вычислительные задачи. Решением будут иррациональные числа, бесконечные десятичные дроби, а их как-то неудобно объявлять новым видом чисел.

Подумаем, как решить наши уравнения. Общая идея очень проста. Если вычислить 101 и 101/10, и 101/100, и 101/1000, и т. д., а затем перемножить результаты, то мы получим 101,414..., или 10 Ц2 . Поступая так, мы решим любую задачу такого рода. Од­нако вместо 101/10 и т. д. мы будем вычислять 101/2, 101/4 и т. д. Прежде чем начинать вычисления, объясним еще, почему мы об­ращаемся к числу 10 чаще, чем к другим числам. Мы знаем, что значение таблиц логарифмов выходит далеко за рамки математи­ческой задачи вычисления корней, потому что

logb(ac)= logba+logbc. (22.3)

Это хорошо известно всем, кто пользовался таблицей логариф­мов, чтобы перемножить числа. По какому же основанию b брать логарифмы? Это безразлично; ведь в основу таких вычис­лений положен только принцип, общее свойство логарифмиче­ской функции. Вычислив логарифмы один раз по какому-ни­будь произвольному основанию, можно перейти к логарифмам по другому основанию при помощи умножения. Если умножить уравнение (22.3) на 61, то оно останется верным, поэтому если перемножить все числа в таблице логарифмов по основанию b на 61, то можно будет пользоваться и такой таблицей. Предпо­ложим, что нам известны логарифмы всех чисел по основанию b. Иначе говоря, можно решить уравнение bа=с для любого с; для этого существует таблица. Задача состоит в том, как найти логарифм этого же числа с по другому основанию, например х. Нам нужно решить уравнение ха'=с. Это легко сделать, пото­му что х всегда можно представить так: x=bt. Найти t, зная х и b, просто: t=logbx. Подставим теперь х=btв уравнение xa' =с; оно перейдет в такое уравнение: (bt)а'=bta'=с. Иными словами, произведение ta' есть логарифм с по основанию b. Значит, a'=a/t. Таким образом, логарифмы по основанию х равны произведениям логарифмов по основанию bна по­стоянное число 1/t. Следовательно, все таблицы логарифмов эквивалентны с точностью до умножения на число 1/logbx. Это позволяет нам выбрать для составления таблиц любое осно­вание, но мы решили, что удобнее всего взять за основание число 10. (Может возникнуть вопрос: не существует ли все-таки какого-нибудь естественного основания, при котором все выглядит как-то проще? Мы попытаемся ответить на этот вопрос позднее. Пока все логарифмы будут вычисляться по ос­нованию 10.)

Теперь посмотрим, как составляют таблицу логарифмов. Работа начинается с последовательных извлечений квадрат­ного корня из 10. Результат можно увидеть в табл. 22.1. Показатели степеней записаны в ее первом столбце, а числа 10S— в третьем. Ясно, что 101=10. Возвести 10 в половинную степень легко — это квадратный корень из 10, а как извлекать квадратный корень из любого числа, знает каждый. Итак, мы нашли первый квадратный корень; он равен 3,16228. Что это дает? Кое-что дает.

Таблица 22.1 · последовательные извлечения

КВАДРАТНОГО КОРНЯ ИЗ 10

Мы уже можем сказать, чему равно 100,5, и знаем по крайней мере один логарифм. Логарифм числа 3,16228 очень близок к 0,50000. Однако нужно еще приложить неболь­шие усилия: нам нужна более подробная таблица. Извлечем еще один квадратный корень и найдем 101/4,что равно 1,77828. Теперь мы знаем еще один логарифм: 1,250— это логарифм числа 17,78; кроме того, мы можем сказать, чему равно 100,75: ведь это 10(0,5+0,25), т. е. произведение второго и третьего чисел из третьего столбца табл. 22.1. Если сделать первый столбец таблицы достаточно длинным, то таблица будет содержать поч­ти все числа; перемножая числа из третьего столбца, мы полу­чаем 10 почти в любой степени. Такова основная идея таблиц. В нашей таблице содержится десять последовательных корней из 10; основной труд по составлению таблицы вложен в вычис­ления этих корней.

Почему же мы не продолжаем повышать точность таблиц дальше? Потому что мы кое-что уже подметили. Возведя 10 в очень малую степень, мы получаем единицу с малой добавкой. Это, конечно, происходит потому, что если возвести, например, 101/1000 в 1000-ю степень, то мы снова получим 10; ясно, что `01/1000 не может быть большим числом: оно очень близко к еди­нице. Более того, малые добавки к единице ведут себя так, буд­то их каждый раз делят на 2; поглядите-ка на таблицу повни­мательнее: 1815 переходит в 903, потом в 450, 225 и т. д. Таким образом, если вычислить еще один, одиннадцатый, квадратный корень, он с большой точностью будет равен 1,00112, и этот результат мы угадали еще до вычисления. Можно ли сказать, какова будет добавка к единице, если возвести 10 в степень D/1024, когда D стремится к нулю? Можно. Добавка будет приблизительно равна 0,0022511D. Конечно, не в точности 0,0022511 D; чтобы вычислить эту добавку поточнее, делают та­кой трюк: вычитают из 10Sединицу и делят разность на показа­тель степени s. Отклонения полученного таким образом част­ного от его точного значения одинаковы для любой степени s. Видно, что эти отношения (см. четвертый столбец табл. 22.1) примерно равны. Сначала они все-таки сильно отличаются друг от друга, но потом все ближе подходят друг к другу, явно стремясь к какому-то числу. Что это за число? Проследим, как меняются числа четвертого столбца, если опускаться вниз по столбцу. Сначала разность двух соседних чисел равна 0,0211, потом 0,0104, потом 0,0053 и, наконец, 0,0026. Разность каждый раз убывает наполовину. Сделав еще один шаг, мы доведем ее до 0,0013, потом до 0,0007, 0,0003, 0,0002 и, наконец, примерно до 0,0001; надо последовательно делить 26 на 2. Таким обра­зом, мы спустимся еще на 26 единиц и найдем для предела

2.3025. (Позднее мы увидим, что правильнее было бы взять

2.3026. но давайте возьмем то, что у нас получилось.) Пользуясь этой таблицей, можно возвести 10 в любую степень, если ее показатель каким угодно способом выражается через 1/1024. Теперь легко составить таблицу логарифмов, потому что все необходимое для этого мы уже припасли. Процедура этого изо­бражена в табл. 22.2, а нужные числа берутся из второго и третьего столбцов табл. 22.1.

Таблица 22.2 · ВЫЧИСЛЕНИЯ log102

Предположим, что мы хотим знать логарифм 2. Это значит, что мы хотим знать, в какую степень надо возвести 10, чтобы получить 2. Может быть, возвести 10 в степень 1/2? Нет, полу­чится слишком большое число. Глядя на табл. 22.1, можно ска­зать, что нужное нам число лежит между 1/4 и 1/2. Поиск его начнем с 1/4;разделим 2 на 1,788..., получится 1,124...; при де­лении мы отняли от логарифма двух 0,250000, и теперь нас интересует логарифм 1,124.... Отыскав его, мы прибавим к результату 1/4=256/1024. Найдем в табл. 22.1 число, которое бы при движении по третьему столбцу сверху вниз стояло сразу за 1,124... . Это 1,074607. Отношение 1,124... к 1,074607 равно 1,046598. В конце концов мы представим 2 в виде произведения чисел из табл. 22.1:

2=(1,77828)·(1,074607)·(1,036633) · (1,0090350)·(1,000573).

Для последнего множителя (1,000573) в нашей таблице места не нашлось; чтобы найти его логарифм, надо представить это число в виде 10D/1024»1+2,3025D/1024. Отсюда легко найти, что D=0,254. Таким образом, наше произведение мож­но представить в виде десятки, возведенной в степень 1/1024 (256+32+16+4+0,254). Складывая и деля, мы полу­чаем нужный логарифм: log102=0,30103; этот результат верен до пятого десятичного знака!

Мы вычисляли логарифмы точно так же, как это делал мистер Бриггс из Галифакса в 1620 г. Закончив работу, он сказал: «Я вычислил последовательно 54 квадратных корня из 10». На самом деле он вычислил только 27 первых корней, а потом сделал фокус с D. Вычислить 27 раз квадратный корень из 10, вообще-то говоря, немного сложнее, чем 10 раз, как это сделали мы. Однако мистер Бриггс сделал гораздо большее: он вычислял корни с точностью до шестнадцатого десятичного знака, а когда опубликовал свои таблицы, то оставил в них лишь 14 десятичных знаков, чтобы округлить ошибки. Соста­вить таблицы логарифмов с точностью до четырнадцатого деся­тичного знака таким методом — дело очень трудное. Зато це­лых 300 лет спустя составители таблиц логарифмов занимались тем, что уменьшали таблицы мистера Бриггса, выкидывая из них каждый раз разное число десятичных знаков. Только в последнее время при помощи электронных вычислительных ма­шин оказалось возможным составить таблицы логарифмов не­зависимо от мистера Бриггса. При этом использовался более эффективный метод вычислений, основанный на разложении логарифма в ряд.

Составляя таблицы, мы натолкнулись на интересный факт: если показатель степени e очень мал, то очень легко вычислить 10e; это просто 1+2,3025е. Это значит, что 10n/2,3025 =1+n для очень малых n. Кроме того, мы говорили с самого начала, что вычисляем логарифмы по основанию 10 только потому, что у нас на руках 10 пальцев и по десяткам нам считать удобнее. Логарифмы по любому другому основанию получаются из ло­гарифмов по основанию 10 простым умножением. Теперь на­стало время выяснить, не существует ли математически выде­ленного основания логарифмов, выделенного по причинам, не имеющим ничего общего с числом пальцев на руке. В этой есте­ственной шкале формулы с логарифмами должны выглядеть проще. Составим новую таблицу логарифмов, умножив все логарифмы по основанию 10 на 2,3025.... Это соответствует пере­ходу к новому основанию — натуральному, или основанию е. Заметим, что loge (l+n)»n или еn»1+n, когда n®0.

Легко найти само число е; оно равно 101/2,3025 или 100,434294... Это 10 в иррациональной степени. Для вычисления е можно воспользоваться таблицей корней из 10. Представим 0,434294... сначала в виде 444,73/1024, а числитель этой дроби в виде суммы 444,73=256+128+32+16+2+0,73. Число е поэтому равно произведению чисел

(1,77828)·(1,33352)·(1,074607)·(1,036633)·(1,018152)X(1,009035)(1,001643) =2,7184.

(Числа 0,73 нет в нашей таблице, но соответствующий ему ре­зультат можно представить в виде 1+2,3025D и вычислить, чему равна D.) Перемножив все 7 сомножителей, мы получим 2,7184 (на самом деле должно быть 2,7183, но и этот результат хорош). Используя такие таблицы, можно возводить число в иррациональную степень и вычислять логарифмы иррацио­нальных чисел. Вот как надо обращаться с иррациональностями.

§ 5. Комплексные числа

Хотя мы хорошо поработали, все-таки есть еще уравнения, которые нам не под силу! Например, чему равен квадратный ко­рень из -1? Предположим, что это х, тогда х2=-1. Нет ни ра­ционального, ни иррационального числа, квадрат которого был бы равен -1. Придется снова пополнить запас чисел. Предполо­жим, что уравнение х2=-1 все же имеет решение, и обозначим это решение буквой i; число i имеет пока только одно свойство: будучи возведенным в квадрат, оно дает -1. Вот пока и все, что можно о нем сказать. Однако уравнение х2=-1 имеет два корня. Буквой i мы обозначили один из корней, но кто-нибудь может сказать: «А я предпочитаю иметь дело с корнем -i; моя буква i просто минус ваша i». Возразить ему нечего, пото­му что число i определяется соотношением i2=-1; это соотно­шение останется верным, если изменить знак i. Значит, любое уравнение, содержащее какое-то количество i, останется вер­ным, если сменить знаки у всех i. Такая операция называется комплексным сопряжением. Далее, ничто не мешает нам полу­чать новые числа вот так: сложить i несколько раз, умножить i на какое-нибудь наше старое число, прибавить результат умно­жения к старому числу и т. д. Все это можно сделать, не на­рушая ранее установленных правил. Таким образом мы при­ходим к числам, которые можно записать в виде p+iq, где pи q — числа, с которыми мы имели дело ранее, их называют действительными числами. Число i называют мнимой единицей, а произведение действительного числа на мнимую единицу — чисто мнимым числом. Самое общее число а имеет вид a=p+iq, и его называют комплексным числом. Обращаться с комплекс­ными числами несложно; например, нам надо вычислить произ­ведение (r+is)(p+q). Вспомнив о правилах, мы получим

(r+is)(p+iq)=rp+r(iq)+(is)p+(is)(iq)=rp+i(rq)+i(sp)+(ii)(sq)=(rp-sq)+i(rq+sp), (22.4)

потому что ii=i2=-1. Теперь мы получили общее выражение для чисел, удовлетворяющих правилам (22.1).

Умудренные опытом, полученным в предыдущих разделах, вы скажете: «Рано говорить об общем выражении, надо еще оп­ределить, например, возведение в мнимую степень, а потом мож­но придумать много алгебраических уравнений, ну хотя бы x6+3x2=-2, для решения которых потребуются новые числа». В том-то и дело, что, кроме действительных чисел, достаточно изобрести только одно число — квадратный корень из -1, после этого можно решить любое алгебраическое уравнение! Эту удивительную вещь должны доказывать уже математики. Дока­зательство очень красиво, очень интересно, но далеко не само­очевидно. Действительно, казалось бы, естественнее всего ожи­дать, что по мере продвижения в дебри алгебраических уравнений придется изобретать снова, снова и снова. Но самое чудесное, что больше ничего не надо изобретать. Это последнее изобре­тение. Изобретя комплексные числа, мы установим правила, по которым с этими числами надо обращаться, и больше ничего изобретать не будем. Мы научимся возводить комплексные числа в комплексную степень и выражать решение любого алгебраи­ческого уравнения в виде конечной комбинации уже известных нам символов. К новым числам это не приведет. Например, квадратный корень из i, или ii— опять те же комплексные числа. Сейчас мы рассмотрим это подробнее.

Мы уже знаем, как надо складывать и умножать комплекс­ные числа; сумма двух комплексных чисел (р+iq)+(r+is) — это число (p+r)+i(q+s). Но вот возведение комплексных чисел в комплексную степень — уже задача потруднее. Однако она оказывается не труднее задачи о возведении в комплексную сте­пень действительных чисел. Посмотрим поэтому, как возводит­ся в комплексную степень число 10, не в иррациональную, а комплексную; нам надо знать число 10(r+is). Правила (22.1) и (22.2) несколько упрощают задачу

10(r+is)=10r10is (22,5)

Мы знаем, как вычислить 10r, перемножить числа мы тоже умеем, не умеем только вычислить 10is. Предположим, что это комплексное число x+iy. Задача: дано s, найти х и у. Если

10is=x+ iy,

то должно быть верным и комплексно сопряженное уравнение

l0-is=x-iy,

(Некоторые вещи можно получить и без вычислений, надо про­сто использовать правила.) Перемножая эти равенства, можно получить еще один интересный результат

10is10-is=100=1=(x+iy)(x-iy)=x2+y2(22.6)

Если мы каким-то образом найдем х, то определить у будет очень легко.

Однако как все-таки возвести 10 в мнимую степень? Где искать помощи? Правила нам уже не помогут, но утешает вот что: если удастся возвести 10 в какую-нибудь одну мнимую степень, то ничего не стоит возвести 10 уже в любую степень. Если из­вестно 10is для одного значения s, то вычисление в случае вдвое большего s сводится к возведению в квадрат и т. д. Но как же возвести 10 в хотя бы одну мнимую степень? Для этого сделаем дополнительное предположение; его, конечно, нельзя ставить в один ряд с правилами (22.1) и (22.2), но оно приведет к разумным результатам и позволит нам шагнуть далеко впе­ред. Предположим, что «закон» 10e=1+2,3025e (когда e очень мало) верен не только для действительных, но и для комплекс­ных e. Если это так, то 10is=l +2,3025·is при s®0. Предполагая, что s очень мало (скажем, равно 1/1024), мы получаем хорошее приближение числа 10is.

Теперь можно составить таблицу, которая позволит вычис­лить все мнимые степени 10, т. е. найти числа x и y. Надо посту­пить так. Начнем с показателя 1/1024, который мы считаем равным примерно 1+2,3025 i/1024. Тогда

10i/1024=1,00000+0,0022486i. (22.7)

Умножая это число само на себя много раз, мы дойдем до сте­пеней более высоких. Мы просто-напросто перевернули про­цедуру составления таблицы логарифмов и, вычислив квадрат, 4-ю степень, 8-ю степень и т. д. числа (22.7), составили табл. 22.3. Интересно, что сначала все числа х были положительными, а потом вдруг появилось отрицательное число. Это значит, что существует число s, для которого действительная часть 10is равна нулю. Значение у в этом случае равно i, т. е. 10is=i, или is=log10i. В качестве примера (см. табл. 22..3) вычислим с ее помощью Iog10i. Процедура поиска Iog10i в точности повторяет то, что мы делали, вычисляя log102.

Произведение каких чисел из табл. 22.3 равно чисто мнимому числу? После нескольких проб и ошибок мы найдем, что лучше всего умножить «512» на «128». Их произведение равно 0,13056+0,99144i. Приглядевшись к правилу умножения ком­плексных чисел, можно понять, что надежду на успех сулит ум­ножение этого числа на число, мнимая часть которого прибли­зительно равна действительной части нашего числа. Мнимая часть «64» равна 0,14349, что довольно близко к 0,13056. Произведение этих чисел равно -0,01350+0,99993i. Мы пе­рескочили через нуль, поэтому результат нужно разделить на 0,99996+0,00900 i. Как это сделать? Изменим знак i и умно­жим на 0,99996-0,00900 i (ведь x2+y2=1). В конце концов обнаружим, что если возвести 10 в степень i(1/1024) (512+128 + +64-4-2+0,20) или 698,20i/1024, то получится мнимая единица. Таким образом, Iog10i=0,068226i.

Таблица 22.3 · последовательное: вычисление квадратов

10i/1024 =1+0,0022486i

§ 6. Мнимые экспоненты

Фиг. 22.1. Вещественная и мнимая части функции 10is.

Чтобы лучше понять, что такое число в мнимой степени, вычислим последовательные степени десяти. Мы не будем каж­дый раз удваивать степень, чтобы не повторять табл. 22.3, и по­смотрим, что случится с действительной частью после того, как она станет отрицательной. Результат можно увидеть в табл. 22.4.

В этой таблице собраны последовательные произведения чис­ла 10i/8. Видно, что x уменьшается, проходит через нуль, дости­гает почти -1 (в промежутке между р=10 и р=11 величина точно равна -1) и возвращается назад. Точно так же величина у ходит взад-вперед.

Точки на фиг. 22.1 соответствуют числам, приведенным в табл. 22.4, а соединяющие их линии помогают следить за из­менением х и у. Видно, что числа х и у осциллируют; 10isповторяет себя. Легко объяснить, почему так происходит.

Таблица 22.4 · ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЧИСЛА 10i/8

Ведь i в четвертой степени — это i2 в квадрате. Это число равно единице; следовательно, если 100,68i равно i, то, возведя это число в четвертую степень, т. е. вычислив 102,72i, мы получим +1. Если нужно получить, например, 103,00i, то нужно умно­жить 102,72i на 100,28i. Иначе говоря, функция 10is повторяется, имеет период. Мы уже знаем, как выглядят такие кривые! Они похожи на график синуса или косинуса, и мы назовем их на время алгебраическим синусом и алгебраическим косинусом. Теперь перейдем от основания 10 к натуральному основанию. Это только изменит масштаб горизонтальной оси; мы обозначим 2,3025s через t и напишем 10is=eit, где t — действительное число. Известно, что eit=x+iy, и мы запишем это число в виде

eit=cost+isint. (22.8)

Каковы свойства алгебраического косинуса cost и алгебраи­ческого синуса sint? Прежде всего x2+y2=1; это мы уже до­казали, и это верно для любого основания, будь то 10 или е. Следовательно, cos2t+sin2t=l. Мы знаем, что eit=1+it для малых t; значит, если t — близкое к нулю число, то cost близок к единице, a sint близок к t. Продолжая дальше, мы придем к выводу, что все свойства этих замечательных функций, получаю­щихся в результате возведения в мнимую степень, в точности совпадают со свойствами тригонометрического синуса и триго­нометрического косинуса.

А как обстоит дело с периодом? Давайте найдем его. В ка­кую степень надо возвести е, чтобы получить i? Иными словами, чему равен логарифм i по основанию е? Мы вычислили уже ло­гарифм i по основанию 10; он равен 0,68226i; чтобы перейти к основанию е, мы умножим это число на 2,3025 и получим 1,5709. Это число можно назвать «алгебраическим p/2». Но по­глядите-ка, оно отличается от настоящего p/2 всего лишь послед­ним десятичным знаком, и это просто-напросто следствие на­ших приближений при вычислениях! Таким образом, чисто ал­гебраически возникли две новые функции — синус и косинус; они принадлежат алгебре и только алгебре. Мы пошли по их сле­дам и обнаружили, что это те же самые функции, которые так естественно возникают в геометрии. Мы отыскали мост между алгеброй и геометрией.

Подводя итог нашим поискам, мы напишем одну из самых замечательных формул математики

eiq=cosq+isinq. (22.9)

Вот она, наша жемчужина.

Связь между алгеброй и геометрией можно использовать для изображения комплексных чисел на плоскости; точка на плос­кости определяется координатами х и у (фиг. 22.2).

Фиг. 22.2. Комплексное число как точка на плоскости.

Представим каждое комплексное число в виде x+iy. Если расстояние точки от начала координат обозначить через r, а угол радиуса-вектора точки с осью x — через q, то выражение x+iy можно представить в виде rei9. Это следует из геометрических соотношений между х, у, r и q. Таким образом, мы объединили алгебру и геометрию. Начиная эту главу, мы знали только целые числа и умели их считать. Зато у нас была небольшая идея о могуществе шага в сторону и обобщения. Используя алгебраические «законы», или свойства чисел, сведенные в уравнения (22.1), и определения обратных операций (22.2), мы смогли создать не только новые числа, но и такие полезные вещи, как таблицы логарифмов, степеней и тригонометрические функции (они возникли при возведении действительных чисел в мнимые степени), и все это удалось сделать, извлекая много раз квадратный корень из десяти!

* Квадратный корень лучше всего извлекать не тем способом, кото­рому обычно учат в школе, а немного иначе. Чтобы извлечь квадратный корень из числа N, выберем достаточно близкое к ответу число а, вы­числим N/a и среднее а'=1/2[а+(N/а)]; это среднее будет новым числом а, новым приближением корня из N. Этот процесс очень быстро приводит к цели: число значащих цифр удваивается после каждого шага.

Глава 23 РЕЗОНАНС

§ 1. Комплексные числа и гармоническое движение

§ 2. Вынужденные колебания с торможением

§ 3. Электрический резонанс

§ 4. Резонанс в природе

§ 1. Комплексные числа и гармоническое движение

Мы снова будем говорить в этой главе о гармоническом осцилляторе, особенно об ос­цилляторе, на который действует внешняя си­ла. Для анализа этих задач нужно развить новую технику. В предыдущей главе мы ввели понятие комплексного числа, которое состоит из действительной и мнимой частей и которое можно изобразить на графике. Действительная часть числа будет изображаться абсциссой, а мнимая — ординатой. Комплексное число а можно записать в виде a=ar+iai; при такой записи индекс r отмечает действительную часть а, а индекс i — мнимую. Взглянув на фиг. 23.1, легко сообразить, что комплексное число a=x+iy можно записать и так: x+iy=rexp(iq), где r2=x2+y2=(x+iy)(x-iy)=aa * (а* — это комплексно сопряженное к а число; оно полу­чается из а изменением знака i).

Фиг. 23,1. Комплексное число, изображенное точкой на «комплек­сной плоскости».

Итак, комп­лексное число можно представить двумя спо­собами: явно выделить его действительную и мнимую части или задать его модулем rи фазо­вым углом q. Если заданы r и q, то х и у равны rcosq и rsinq, и, наоборот, исходя из числа x+iy, можно найти r=Ц(x2+y2)и угол q; tgq равен у/х (т. е. отношению мнимой и действи­тельной частей).

Чтобы применить комплексные числа к ре­шению физических задач, проделаем такой трюк. Когда мы изучали осциллятор, то имели дело с внешней силой, пропорциональной coswt. Такую силу F=F0coswt можно рас­сматривать как действительную часть комп­лексного числа F = F0exp(iwt), потому что exp(iwt)=coswt+isinwt. Такой переход удобен: ведь иметь дело с экспонентой легче, чем с косинусом. Итак, трюк состоит в том, что все относящиеся к осциллятору функции рассматриваются как действительные части каких-то комплексных функций. Найденное нами ком­плексное число F, разумеется, не настоящая сила, ибо физика не знает комплексных сил: все силы имеют только действитель­ную часть, а мнимой части взяться просто неоткуда. Тем не менее мы будем говорить «сила» F0exp(iwt), хотя надо помнить, что речь идет лишь о действительной ее части.

Рассмотрим еще один пример. Как представить косинусоидальную волну, фаза которой сдвинулась на D? Конечно, как действительную часть F0exp[i((wt-D2)]; экспоненту в этом слу­чае можно записать в виде exp[i(wt-D)]=ехр(iwt)exp(-iD). Алгебра экспонент гораздо легче алгебры синусов и косинусов; вот почему удобно использовать комплексные числа. Часто мы будем писать так:

Шляпка над буквой будет указывать, что мы имеем дело с комп­лексным числом, т. е.

Однако пора начать решать уравнения, используя комплексные числа, тогда мы увидим, как надо применять комплексные чи­сла в реальных обстоятельствах. Для начала попытаемся решить уравнение

где F — действующая на осциллятор сила, а х — его смещение. Хотя это и абсурдно, предположим, что х и F — комплексные числа. Тогда х состоит из действительной части и умноженной на i мнимой части; то же самое касается и F. Уравнение (23.2) в этом случае означает

или

Комплексные числа равны, когда равны их действительные и мнимые части; следовательно, действительная, часть х удовлет­воряет уравнению, в правой части которого стоит действительная часть силы. Оговорим с самого начала, что такое разделение действительных и мнимых частей возможно не всегда, а только в случае линейных уравнений, т. е. уравнений, содержащих х лишь в нулевой и первой степенях. Например, если бы уравне­ние содержало член lх2, то, сделав подстановку xr+ixt, мы полу­чили бы l(xr+ixi)2, и выделение действительной и мнимой час­тей привело бы нас к l(х2r-x2i) и 2ilxrxi. Итак, мы видим, что действительная часть уравнения содержит в этом случае член -lx2i. Мы получили совсем не то уравнение, какое собирались решать.

Попытаемся применить наш метод к уже решенной задаче о вынужденных колебаниях осциллятора, т. е. об осцилля­торе, на который действует внешняя сила. Как и раньше, мы хотим решить уравнение (23.2), но давайте начнем с уравнения

где — комплексное число. Конечно, х — тоже комп­лексное число, но запомним правило: чтобы найти интересую­щие нас величины, надо взять действительную часть х. Найдем решение (23.3), описывающее вынужденные колебания. О дру­гих решениях поговорим потом. Это решение имеет ту же час­тоту, что и внешняя (приложенная) сила. Колебание, кроме того, характеризуется амплитудой и фазой, поэтому если пред­ставить смещение числом , то модуль его скажет нам о размахе колебаний, а фаза комплексного числа — о временной задержке колебания. Воспользуемся теперь замечательным свойством экс­поненты:

Дифференцируя экспо­ненциальную функцию, мы опускаем вниз экспоненту, делая ее простым множителем. Дифференцируя еще раз, мы снова при­писываем такой же множитель, поэтому очень просто написать уравнение для : каждое дифференцирование по времени надо заменить умножением на iw. (Дифференцирование становится теперь столь же простым, как и умножение! Идея использовать экспоненциальные функции в линейных дифференциальных уравнениях почти столь же грандиозна, как изобретение лога­рифмов, которые заменили умножение сложением. Здесь дифференцирование заменяется умножением.) Таким образом, мы получаем уравнение

[Мы опустили общий множитель eiwt.]Смотрите, как все просто! Дифференциальное уравнение немедленно сводится к чисто алгебраическому; сразу же можно написать его решение

поскольку (iw)2=-w2. Решение можно несколько упростить, подставив k/m=w20, тогда

Это, конечно, то же самое решение, которое уже было нами по­лучено ранее. Поскольку m(w20-w2) — действительное число, то фазовые углы F и х совпадают (или отличаются на 180°, если (w2>w20). Об этом тоже уже говорилось. Модуль х, который определяет размах колебаний, связан с модулем F множителем 1/m(w20-w2); этот множитель становится очень большим, если w приближается к w0. Таким образом, можно достичь очень сильного отклика, если приложить к осциллографу нужную ча­стоту w (если с нужной частотой толкать подвешенный на ве­ревочке маятник, то он поднимается очень высоко).

§ 2. Вынужденные колебания с торможением

Итак, мы можем решить задачу о колебательном движении, пользуясь изящной математикой. Однако изящество немногого стоит, когда задача и так решается просто; математику на­до использовать тогда, когда решаются более сложные зада­чи. Перейдем поэтому к одной из таких задач, которая, кроме того, ближе к действительности, чем предыдущая. Из уравне­ния (23.5) следует, что, если w в точности равна w0, амплитуда колебания становится бесконечной. Этого, конечно, не может быть, потому что многие вещи, например трение, ограничи­вают амплитуду, а мы их не учитывали. Изменим теперь (23.2) так, чтобы учесть трение.

Сделать это обычно довольно трудно, потому что силы тре­ния очень сложны. Однако во многих случаях можно считать, что сила трения пропорциональна скорости движения объекта. Именно такое трение препятствует медленному движению тела в масле или другой вязкой жидкости. Когда предмет стоит на месте, на него не действуют никакие силы, но чем скорее он движется и чем быстрее масло должно обтекать этот предмет, тем больше сопротивление. Таким образом, мы предположим, что в (23.2), кроме уже написанных членов, су­ществует еще один — сила сопротивления, пропорциональная скорости: Ff=-c(dx/dt). Удобно записать с как произведение m на другую постоянную g, это немного упростит уравнение.

Мы уже проделывали такой фокус, когда заменяли k на mw20, чтобы упростить вычисления. Итак, наше уравнение имеет вид

или, если положить с=mg и k=mw20 и поделить обе части на m,

Это самая удобная форма уравнения. Если g очень мало, то мало и трение, и, наоборот, большие значения g соответствуют громадному трению. Как решать это новое линейное уравнение? Предположим, что внешняя сила равна F0cos(wt+D); можно было бы подставить это выражение в (23.6а) и попытаться ре­шить полученное уравнение, но мы применим наш новый метод. Представим F как действительную часть , a x — как действительную часть и подставим эти комплексные числа в (23.6а). Собственно говоря, и подставлять-то нечего; внимательно посмотрев на (23.6а), вы тут же скажете, что оно превратится в

[Если бы мы попытались решить (23.6а) старым прямолиней­ным способом, то оценили бы по достоинству магический «комп­лексный» метод.] Поделив обе части уравнения на exp(iwt), найдем отклик осциллятора на силу

Итак, отклик x равен силе F, умноженной на некоторый множи­тель. Этот множитель не имеет ни названия, ни какой-то своей собственной буквы, и мы будем обозначать его буквой R:

тогда

Этот множитель можно записать либо как p+iq, либо как рехр(iq). Запишем его в виде рехр(iq) и посмотрим, к чему это приведет. Внешняя сила — это действительная часть числа F0ехр(iD)ехр(iwt), она равна F0cos(wt+D). Уравне­ние (23.9) говорит нам, что отклик равен ; мы условились

писать R в виде R=rехр(iq); следовательно,

Вспомним (об этом уже говорилось), что физическое значение х, равное действительной части комплексного числа х, равно дей­ствительной части rF0exp[i(q+D)]exp(iwt). Но r и F0 — действительны, а действительная часть ехр[i(q+D+wt)] — это просто cos(wt+D+q). Таким образом,

x=rF0cos(wt+D+q). (23.10)

Это значит, что амплитуда отклика равна амплитуде силы F, умноженной на коэффициент усиления r; мы нашли «размах» колебаний. Но это еще не все: видно, что х колеблется не в такт с силой; фаза силы равна D, а у x; она сдвинута на дополни­тельную величину q. Следовательно, r и q — это величина и фазовый сдвиг отклика.

Найдем теперь значение r. Квадрат модуля любого комп­лексного числа равен произведению этого числа на комплексно сопряженное, т. е.

Можно найти и фазовый угол q

значит,

Знак минус возник оттого, что tg(-q) =-tgq. Угол q отрицате­лен при всех значениях w, т. е. смещение х отстает по фазе от силы F.

На фиг. 23.2 показано, как изменяется r2 при изменении час­тоты (r2 для физика интереснее, чем r, потому что r2 пропорцио­нально квадрату амплитуды, а значит, и той энергии, которую передает осциллятору внешняя сила).

Фиг.23.2. График зависимости r2 от w.

Очевидно, что если gмало, то основной член в (23.11) — это 1/(w20-w2)2, и отклик стремится к бесконечности, если w приближается к w0. Но эта «бесконеч­ность» — не настоящая бесконечность, потому что даже если w=w0, то все еще остается слагаемое 1/g2w2. Зависимость сдвига фазы от частоты изображена на фиг. 23.3.

Фиг. 23.3. График зависимости q от w.

Иногда приходится иметь дело с формулой, немного отли­чающейся от (23.8); она тоже называется «резонансной» и, не­смотря на некоторое отличие от (23.8), описывает те же самые явления. Дело в том, что если значение g очень мало, то наи­более интересная область резонансной кривой лежит около частоты w=w0, а здесь при малых g формулу (23.8) с большой степенью точности можно заменить приближенной формулой. Поскольку w20-w2=(w0-w)(w0+w), то для w, очень близких к w0, разность квадратов почти равна 2w0(w0-w), a gw можно заменить на gw0. Значит, w20-w2+gw»2w0(w0-w+ig/2) и

Легко найти и r2:

А теперь решите сами такую задачу: с увеличением частоты зна­чение r2 сначала растет, достигает при w0 максимума, а потом снова убывает. На каком расстоянии от w0 расположены часто­ты, которым соответствуют значения r2, вдвое меньшие мак­симального? Покажите, что при очень малом g эти точки от­стоят друг от друга на расстояние Dw=g. Это значит, что ре­зонанс делается более острым по мере того, как влияние тре­ния становится все слабее и слабее.

Другой мерой ширины резонанса может служить «доброт­ность» q=wo/g (чем уже резонанс, тем больше Q); если Q=1000, то по шкале частот ширина резонансной кривой равна всего 0,001. Резонансной кривой на фиг. 23.2 соответствует Q=5.

Явление резонанса важно потому, что оно проявляется доволь­но часто; описанию некоторых видов этих проявлений мы посвя­тим остаток главы.

§ 3. Электрический резонанс

Простейшие и самые широкие технические применения резо­нанс нашел в электричестве. Имеется довольно много устройств, из которых собираются электрические цепи. Их часто называют пассивными элементами цепи, и бывают они трех типов, хотя в каждый элемент одного типа всегда примешано чуточку эле­ментов других типов. Прежде чем подробно описать эти элементы, заметим, что наше представление о механическом осцилляторе как о массе, подвешенной к концу пружины, всего лишь приближение. В «массе» сосредоточена вовсе не вся масса системы: пружина тоже обладает какой-то массой, пружина тоже инерционна. Точно так же «пружина» не состоит из одной пружины, масса тоже немного упруга, а не абсолютно тверда, как это может показаться. Подпрыгивая вверх и вниз, она слегка изгибается под толчками пружины. Так же обстоит дело и в электричестве. Расположить все предметы по «элемен­там цепи» с чистыми, идеальными характеристиками можно только приближенно. Так как у нас нет времени обсуждать пре­делы таких приближений, мы просто предположим, что они до­пустимы.

Итак, о трех элементах цепи. Первый называется емкостью (фиг. 23.4); в качестве примера емкости могут служить две ме­таллические пластинки, разделенные тонким слоем диэлект­рика.

Фиг. 23.4. Три пассивных элемента цепи.

Если пластинки зарядить, то между ними возникает раз­ность потенциалов. Та же самая разность потенциалов будет между точками А и В, потому что при любой дополнительной разности потенциалов вдоль соединительных проводов заряды стекут по проводам. Таким образом, заданной разности потен­циалов V между пластинками соответствуют определенные заряды +q и -q на каждой пластинке. Между пластинками существует некое электрическое поле; мы даже вывели соответствующую формулу для него (см. гл. 13 и 14)

V=sd/e0=qd/e0A , (23.14)

где d — расстояние между пластинками, А — площадь пласти­нок. Заметим, что разность потенциалов линейно зависит от за­ряда. Если построить емкость не из параллельных пластин, а придать отдельным электродам какую-нибудь другую форму, разность потенциалов будет по-прежнему пропорциональна заряду, но постоянную пропорциональности не так-то легко будет рассчитать. Однако надо знать только одно: разность по­тенциалов между концами емкости пропорциональна заряду V=q/C; множитель пропорциональности равен 1/С (С и есть емкость объекта).

Второй элемент цепи называется сопротивлением; этот эле­мент оказывает сопротивление текущему через него электриче­скому току. Оказывается, что все металлические провода, а так­же многие другие материалы сопротивляются току одинаково; если к концам куска такого материала приложить разность по­тенциалов, то электрический ток в куске I=dq/dt будет пропор­ционален приложенной разности потенциалов

V=RI=R(dq/dt). (23.15)

Коэффициент пропорциональности называют сопротивлением R. Соотношение между током и разностью потенциалов вам, на­верное, уже известно. Это закон Ома.

Если представлять себе заряд, сосредоточенный в емкости, как нечто аналогичное смещению механической системы х, то электрический ток dq/dt аналогичен скорости, сопротивление R аналогично коэффициенту сопротивления g, а 1/С аналогично постоянной упругости пружины k. Самое интересное во всем этом, что существует элемент цепи, аналогичный массе! Это спираль, порождающая внутри себя магнитное поле, когда через нее проходит ток. Изменение магнитного поля порождает на концах спирали разность потенциалов, пропорциональную dI/dt. (Это свойство спирали используется в трансформаторах.) Магнитное поле пропорционально току, а наведенная разность потенциалов (так ее называют) пропорциональна скорости из­менения тока

V=L(dI/dt)=L(d2q/dt2). (23.16)

Коэффициент L — это коэффициент самоиндукции; он является электрическим аналогом массы.

Предположим, мы собираем цепь из трех последовательно соединенных элементов (фиг. 23.5); приложенная между точ­ками 1 и 2 разность потенциалов заставит заряды двигаться по цепи, тогда на концах каждого элемента цепи тоже возникает

разность потенциалов: на концах индуктивности VL=L(d2q/dt2), на сопротивлении VR=R(dq/dt), а на емкости Vc=q/C.

Фиг. 23.5. Электрический ко­лебательный контур, состоящий из сопротивления, индуктивности и емкости.

Сумма этих напряжений дает нам полное напряжение

Мы видим, что это уравнение в точности совпадает с механиче­ским уравнением (23.6); будем решать его точно таким же спо­собом. Предположим, что V(t) осциллирует; для этого надо со­единить цепь с генератором синусоидальных колебаний. Тогда можно представить V(t) как комплексное число V, помня, что для определения настоящего напряжения V(t) это число надо еще умножить на exp(iwt) и взять действительную часть. Анало­гично можно подойти и к заряду q, а поэтому напишем уравнение, в точности повторяющее (23.8): вторая производная q— это (iw)2q, а первая — это (iw)q. Уравнение (23.17) перейдет в

или

последнее равенство запишем в виде

где w20=1/LC, a g=R/L. Мы получили тот же знаменатель, что и в механической задаче, со всеми его резонансными свойст­вами! В табл. 23.1 приведен перечень аналогий между элект­рическими и механическими величинами.

Таблица 23.1 · МЕХАНИЧЕСКИЕ И ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ

Еще одно чисто техническое замечание. В книгах по электри­честву используют другие обозначения. (Очень часто в книгах на одну и ту же тему, написанных людьми разных специаль­ностей, используются различные обозначения.) Во-первых, для обозначения Ц-1 используют букву j, а не i (через i должен обозначаться ток!). Во-вторых, инженеры предпочитают соотношение между V и I, а не между V и q. Они так больше привыкли. Поскольку I=dq/dt=iwq, то вместо q можно под­ставить I/iw, и тогда

Можно слегка изменить исходное дифференциальное уравнение (23.17), чтобы оно выглядело более привычно. В книгах часто попадается такое соотношение:

Во всяком случае, мы находим, что соотношение (23.19) между напряжением V и током I то же самое, что и (23.18), и от­личается только тем, что последнее делится на iw. Комп­лексное число R +iwL+1/iwC инженеры-электрики часто называют особым именем: комплексный импеданс Z. Введение новой буквы позволяет просто записать соотношение между током и сопротивлением в виде V=ZI. Объясняется это при­страстие инженеров тем, что в юности они изучали только цепи постоянного тока и знали только сопротивления и закон Ома: V=RI. Теперь они более образованы и имеют уже цепи перемен­ного тока, но хотят, чтобы уравнения были те же самые. Вот они и пишут V=ZI, и единственная разница в том, что теперь со­противление заменено более сложной вещью: комплексным чис­лом. Они настаивают на том, что они не могут использовать принятого во всем мире обозначения для мнимой единицы и пишут j; поистине удивительно, что они не требуют, чтобы вме­сто буквы Z писали букву R! (Много волнений доставляют им разговоры о плотности тока; ее они тоже обозначают буквой j. Сложности науки во многом связаны с трудностями в обозна­чениях, единицах и прочих выдумках человека, о чем сама при­рода и не подозревает.)

§ 4. Резонанс в природе

Хотя мы детально разобрали вопрос о резонансе в электри­ческих цепях, можно приводить пример за примером из любых наук и отыскивать в них резонансные кривые. В природе очень часто что-нибудь «колеблется» и так же часто наступает резо­нанс. Об этом уже говорилось в одной из предыдущих глав; приведем теперь некоторые примеры. Зайдите в библиотеку, возьмите с полки несколько книг, полистайте их; вы обнаружите кривые, похожие на кривые фиг. 23.2, и уравнения, по­хожие на уравнения, приведенные в этой главе. Много ли най­дется таких книг? Для убедительности возьмем всего пять-шесть книг, и они обеспечат вас полным набором примеров резонансов.

Первые два относятся к механике. Самый первый грандио­зен — речь идет о колебаниях атмосферы. Если бы атмосфера, ко­торая, по нашим представлениям, шарообразна и обволакивает нашу Землю равномерно со всех сторон, под влиянием Луны вы­тянулась бы в одну сторону, то атмосфера приняла бы форму вы­тянутой дыни. Если предоставить атмосферу, имеющую форму дыни, самой себе, то возникнут колебания. Так получается осцил­лятор. Этими колебаниями управляет Луна, которая вращается вокруг Земли. Чтобы понять, как это происходит, представим се­бе, что Луна стоит неподвижно на каком-то расстоянии от Земли, а Земля вращается вокруг своей оси. Поэтому проекция силы, скажем, на ось х имеет периодическую составляющую. Отклик атмосферы на приливно-отливные толчки Луны будет обычным откликом осциллятора на периодическую силу. Кривая bна фиг. 23.6 изображает ожидаемый отклик атмосферы (кривая а приведена на заимствованном нами рисунке из книги Мунка и Мак-Дональда по другому поводу и нас не касается). Может показаться странным, что удалось начертить эту кривую: ведь Земля вращается с постоянной скоростью, и поэтому мож­но получить только одну точку на кривой — точку, приблизи­тельно соответствующую периоду 12 — 12,7 час (приливы бывают дважды в сутки) плюс еще немного, потому что надо учесть движение Луны. Но, измеряя величину атмосфер­ных приливов и время их задержки — фазу, можно найти обе характеристики отклика r и q. По ним можно вычислить w0 и g а затем начертить уже всю кривую! Вот пример чистой науки. Из двух чисел получают два числа, по этим двум числам чертят очень красивую кривую, которая, конечно, прохо­дит через ту же точку, по которой построена кривая! Кривая эта, конечно, бесполезна, пока нельзя измерить еще чего-нибудь, а в геофизике сделать это зачастую очень трудно. В нашем слу­чае тем, что нужно было бы еще измерить, могут служить колебания атмосферы с собственной частотой w0; необходимо какое-то возмущение, которое бы заставило атмосферу коле­баться с частотой w0. Такой случай однажды представился. В 1883 г. произошло извержение вулкана Кракатау, в резуль­тате которого в атмосферу взлетело пол-острова. Взрыв был такой, что удалось измерить период колебаний атмосферы. Он оказался равным 101/2 час. Собственная частота w0, получен­ная из кривой фиг. 23.6, была равна 10 час 20 мин; таким об­разом было получено по крайней мере хоть одно подтверждение правильности наших представлений об атмосферных приливах.

Фиг. 23.6. Влияние внешнего возбуждения на атмосферу.

Во втором примере речь пойдет о совсем малых колебаниях. Мы рассмотрим кристалл хлористого натрия, который со­стоит из расположенных друг возле друга ионов натрия и хлора (мы об этом говорили ранее). Ионы эти несут электрический заряд: первый — положительный, второй — отрицательный. Посмотрим, какие интересные колебания могут возникнуть в кристалле. Если отодвинуть все положительные заряды впра­во, а отрицательные — влево и предоставить их самим себе, то они начнут колебаться взад и вперед: решетка ионов натрия против решетки ионов хлора. Но как растащить эти заряды? Очень просто: если внести кристалл в электрическое поле, оно отодвинет положительные за­ряды в одну сторону, а отри­цательные — в другую! Зна­чит, имея внешнее электриче­ское поле, можно, пожалуй, вызвать колебания кристалла. Но для этого частота электриче­ского поля должна быть столь большой, что она соответствует инфракрасному излучению! Таким образом попытаемся построить резонансную кривую, измеряя поглощение инфракрасного света хлористым натрием. Такая кривая изображена на фиг. 23.7.

Фиг. 23.7. Прохождение инфра­красного излучения через тонкую (0,17 мк) пленку поваренной соли.

По абсциссе отложена не частота, а длина волны, но это техни­ческая деталь; между частотой и длиной волны существует стро­го определенное соотношение, так что мы все-таки имеем дело со шкалой частот, и одна из этих частот— резонансная ча­стота.

Ну, а что можно сказать о ширине резонансной кривой? Чем эта ширина определяется? Очень часто кривая выглядит гораздо шире, чем ей предписывается теоретическим значением g (эта ширина называется естественной шириной). Есть две причины уширения резонансной кривой. Мы наблюдаем колеба­ния многих осцилляторов сразу, а их частоты могут немного от­личаться. К этому приводят, например, натяжения в отдельных частях кристалла. Поэтому мы видим сразу много резонансных кривых, проходящих рядом. Они сливаются в одну кривую с большей шириной. Вторая причина очень проста — не всегда можно точно измерить частоту. Сколько со спектрометром ни возись, он всегда зарегистрирует не одну частоту, а целый спектр частот Dw. Поэтому может оказаться, что разрешающая сила спектрометра недостаточна для определения точной формы кри­вой. Так или иначе, но, глядя на фиг. 23.7, трудно сказать, что там за ширина — естественная или та, что соответствует неоднородностям кристалла или разрешающей силе спектрометра.

Еще один пример —более хитрый. Посмотрим, как качает­ся магнит. Если поместить магнит в постоянное магнитное поле, то северный полюс захочет повернуться в одну сторону, а юж­ный — в другую, и если магнит может поворачиваться вокруг оси, он будет колебаться около положения равновесия, как это делает стрелка компаса. Однако магниты, о которых пойдет речь,— это атомы. Они обладают моментом количества движе­ния, и вращение порождает не простое движение в направле­нии поля, а прецессию. Посмотрим со стороны на какую-нибудь составляющую «шатаний», а потом возмутим колебания или по­пробуем управлять ими, чтобы затем измерить поглощение.

На фиг. 23.8 изображена кривая поглощения — типично резонансная кривая.

Фиг. 23.8. Зависимость потери, магнитной энергии в парамаг­нитном органическом соединении от напряженности приложенного поля.

Только получена она немного не так, как предыдущая. Частота горизонтального поля, управляющего ко­лебаниями, все время остается постоянной, хотя, казалось бы, экспериментатор, чтобы получить кривую, должен менять ча­стоту. Можно поступить и так, но технически легче оставить и неизменной, а менять напряженность постоянного поля, что соответствует изменению w0 в нашей формуле. Таким образом мы имеем дело с резонансной кривой для w0. Тем не менее мы получаем резонанс с определенными w0 и g.

Пойдем дальше. Следующий наш пример связан с атомным ядром. Движение протонов и нейтронов в ядре — в некотором смысле колебательное движение. Убедиться в этом можно при помощи такого эксперимента: давайте обстреливать ядра лития протонами. Мы обнаружим, что в ядрах при этом будут происхо­дить какие-то реакции, в результате которых возникает g-излучение. Кривая, изображающая количество испущенного из­лучения, имеет очень острый, типично резонансный максимум. Это изображено на фиг. 23.9. Однако приглядитесь к рисунку повнимательнее: на горизонтальной шкале отложена не частота, как обычно, а энергия! Дело в том, что та величина, которую в классической физике мы привыкли считать энергией, в кван­товой механике оказывается определенным образом связанной с частотой некоторой волны. Если в привычной нам крупномас­штабной физике при анализе какого-нибудь явления приходится иметь дело с частотой, то в квантовомеханических явлениях, связанных с атомным веществом, аналогичные кривые будут зависеть от энергии. Кривая на фиг. 23.9 иллюстрирует эту связь. Размышляя над этой кривой, можно прийти к мысли, что частота и энергия имеют глубокую взаимосвязь; так оно и есть на самом деле.

Вот еще одна резонансная кривая, полученная в результате опытов с атомными ядрами; она очень узкая, уже всех предыду­щих. На фиг. 23.10 величина w0 соответствует энергии 10 000 эв, а ширина g равна приблизительно 10-5 эв; иначе говоря, Q=1010!

Фиг. 23.10. Кривая поглощения g-излучения, полученная Р. Мёссбауэром.

Построив такую кривую, экспериментатор измерил Q самого добротного из ныне известных осцилляторов. Это проделал Р. Мёссбауэр, получивший за свои работы Нобелевскую пре­мию. На горизонтальной шкале отложена скорость, потому что для сдвига частоты использовался эффект Допплера, получаю­щийся в результате относительного движения источника и по­глотителя. Цифры дают некоторое представление о тонкости эксперимента — пришлось измерять скорости в несколько сан­тиметров в секунду! Если продолжить горизонтальную шкалу влево, то нулевую частоту мы найдем на расстоянии 1010 см! Страницы для этого, пожалуй, не хватит!

Наконец, возьмем какой-нибудь выпуск журнала Physical Review, скажем, за 1 января 1962 г. Найдется ли в нем резонансная кривая? Резонансные кривые имеются непременно в каждом выпуске этого жур­нала, и на фиг. 23.11 изоб­ражена одна из таких кри­вых.

Фиг. 23.11. Зависимость эф­фективных сечений реакций от величины момента количества дви­жения.

Нижняя кривая описывает нерезонанс­ный фон; верхняя кривая показывает, что на зтот фон наложено резонансное сечение.

Это очень интересная кривая. Она соответствует ре­зонансу в реакциях со стран­ными частицами (K--мезоны и протоны). Резонанс был об­наружен при измерении ко­личества частиц разных сор­тов, получающихся в резуль­тате реакции. Разным про­дуктам реакции соответствуют разные кривые, но в каждой из них при одной и той же энергии есть пики примерно одинаковых очертаний. Зна­чит, при определенной энергии K--мезона существует резо­нанс. При столкновении К--мезонов и протонов, наверное, создаются благоприятные для резонанса условия, а может быть, даже новая частица. Сегодня мы еще не можем сказать, что такое эти выбросы в кривых — «частица» или просто ре­зонанс. Очень узкий резонанс соответствует очень точно от­меренному количеству энергии; это бывает тогда, когда мы имеем дело с частицей. Когда резонансная кривая уширяется, то становится трудно сказать, с чем мы имеем дело — с части­цей, которая живет очень мало, или просто с резонансом в реак­ции. В гл. 2 мы отнесли эти резонансы к частицам, но когда писалась та глава, об этом резонансе еще не было известно, по­этому нашу таблицу элементарных частиц можно дополнить!

Глава 24 ПЕРЕХОДНЫЕ РЕШЕНИЯ

§ 1. Энергия осциллятора

§ 2. Затухающие колебания

§ 3. Переходные колебания в электрических цепях

§ 1. Энергия осциллятора

Хотя глава названа «Переходные решения», речь здесь все еще в основном идет об осцил­ляторе, на который действует внешняя сила. Мы еще ничего не говорили об энергии колеба­ний. Давайте займемся ею.

Чему равна кинетическая энергия осцил­лятора? Она пропорциональна квадрату скоро­сти. Здесь мы затронули важный вопрос. Пред­положим, что мы изучаем свойства некоторой величины А; это может быть скорость или еще что-нибудь. Мы обратились к помощи ком­плексных чисел: A==Вехр(iwt), но в физике праведна и чтима только действительная часть комплексного числа. Поэтому если вам для чего-нибудь понадобится получить квадрат А, то не возводите в квадрат комплексное число, чтобы потом выделить его действительную часть.

Действительная часть квадрата комплексно­го числа не равна квадрату действительной ча­сти, она содержит еще и мнимую часть первона­чального числа. Таким образом, если мы захо­тим найти энергию и посмотреть на ее превра­щения, нам придется на время забыть о комп­лексных числах.

Итак, истинно физическая величина А — это действительная часть A0exp[i(wt+D)], т. е.

A=A0соs(wt+D), а комплексное число А — это j4oexp(iD). Квадрат этой физической величины равен A20cos2(wt+D). Он изменяется от нуля до максимума, как это предписывается квадра­том косинуса. Максимальное значение квадрата косинуса равно 1, минимальное равно 0, а его среднее значение — это 1/2.

Зачастую нас совсем не интересует энергия в каждый дан­ный момент колебания; во многих случаях достаточно знать лишь среднюю величину A2 (среднее значение квадрата А в те­чение времени, много большего, чем период колебаний). При этих условиях можно усреднить квадрат косинуса и доказать теорему: если А представляется комплексным числом, то сред­нее значение А2 равно 1/2A20. Здесь А20 — это квадрат модуля комплексного числа А. (Квадрат модуля В записывают по-раз­ному;

|В |2 или ВВ *— в виде произведения числа В на комплек­сно сопряженное.) Эта теорема пригодится нам еще много раз.

Итак, речь идет об энергии осциллятора, на который дейст­вует внешняя сила. Движение такого осциллятора описывается уравнением

Мы, конечно, предполагаем, что F(t) пропорциональна coswt. Выясним теперь, много ли приходится этой силе работать. Ра­бота, произведенная силой в 1 сек, т. е. мощность, равна произ­ведению силы на скорость. [Мы знаем, что работа, совершаемая за время dt, равна Fdx, а мощность равна F(dx/dt).] Значит,

Как легко проверить простым дифференцированием, первые два члена можно переписать в виде (d/dt)][l/2m(dx/dt)2+1/2mw2x2]. Выражение в квадратных скобках — производная по времени суммы двух членов. Это понятно; ведь первый член суммы — кинетическая энергия движения, а второй — потенциальная энергия пружины. Назовем эту величину запасенной энергией, т. е. энергией, накопленной при колебаниях. Давайте усред­ним мощность по многим циклам, когда сила включена уже давно и осциллятор изрядно наколебался. Если пробег длится долго, запасенная энергия не изменяется; производная по вре­мени дает эффект, в среднем равный нулю. Иными словами, если усреднить затраченную за долгое время мощность, то вся энергия поглотится из-за сопротивления, описываемого членом gm(dx/dt)2. Определенную часть энергии осциллятор, конечно, запасет, но если усреднять по многим циклам, то количество ее не будет меняться со временем. Таким

образом, средняя мощ­ность <P> равна

Применяя метод комплексных чисел и нашу теорему о том, что <А2>=1/2A20, легко найти эту среднюю мощность. Так как

, то . Следовательно, средняя мощность равна

<P>=1/2gw2x20. (24.4)

Если перейти к электрическим цепям, то dx/dt надо заменить на ток I (I — это dq/dt, где q соответствует х), а gm — на сопро­тивление R. Значит, скорость потери энергии (мощности силы) в электрической цепи равна произведению сопротивления на средний квадрат силы тока

<Р>=R<I2>=Rl/2I20. (24.5)

Энергия, естественно, переходит в тепло, выделяемое сопро­тивлением; это так называемые тепловые потери, или джоулево тепло.

Интересно разобраться также в том, много ли энергии может накопить осциллятор. Не путайте этого вопроса с вопросом о средней мощности, ибо хотя выделяемая силой мощность сна­чала действительно накапливается осциллятором, потом на его долю остается лишь то, что не поглотило трение. В каждый мо­мент осциллятор обладает вполне определенной энергией, по­этому можно вычислить среднюю запасенную энергию <E>. Мы уже вычислили среднее значение (dx/dt)2, так что

Если осциллятор достаточно добротен и частота w близка к w0, то ЅхЅ — большая величина, запасенная энергия очень велика и можно накопить очень много энергии за счет небольшой силы. Сила производит большую работу, заставляя осциллятор рас­качиваться, но после того, как установилось равновесие, вся сила уходит на борьбу с трением. Осциллятор располагает большой энергией, если трение очень мало, и потери энергии невелики даже при очень большом размахе колебаний. Доб­ротность осциллятора можно измерять величиной запасенной энергии по сравнению с работой, совершенной силой за период колебания.

Что это за величина — накопленная энергия по сравнению с работой силы за цикл? Ее обозначили буквой Q. Величина Q — это умноженное на 2pотношение средней запасенной энер­гии к работе силы за один цикл (можно рассматривать работу не за цикл, а за радиан, тогда в определении Q исчезнет 2p)

Пока Q не слишком велика — это плохая характеристика системы, если же Q довольно большая величина, то можно сказать, что это мера добротности осциллятора. Многие пыта­лись дать самое простое и полезное определение Q; разные оп­ределения немногим отличаются друг от друга, но если Q очень велика, то все они согласуются друг с другом. При самом общем определении по формуле (24.7) Q зависит от w. Если мы имеем дело с хорошим осциллятором вблизи резонансной частоты, то (24.7) можно упростить, положив w = w0, тогда Q=w0/g, такое определение Q было дано в предыдущей главе. Что такое Q для электрической цепи? Чтобы найти эту ве­личину, надо заменить mна L, mg на R и mw20на 1/С(см. табл. 23.1). Тогда q в точке резонанса равна Lw/R, где w — ре­зонансная частота. В цепи с большой Q запасенная цепью энергия велика по сравнению с работой за один цикл, произ­водимой поддерживающей колебания в цепи машиной.

§ 2. Затухающие колебания

Вернемся к основной теме — переходным решениям. Пе­реходными решениями называются решения дифференциаль­ного уравнения, соответствующие ситуации, когда внешняя сила не действует, но система тем не менее не находится в покое. (Конечно, лучше всего решать задачу, когда сила не действует, а система покоится, покоится — ну и пусть покоится!) Соответ­ствующие переходным решениям колебания можно вызвать так: заставить силу поработать, а потом выключить ее. Что тогда случится с осциллятором? Сначала подумаем, как будет вести себя система с очень большой Q. Если сила действовала долго, то запасенная энергия была постоянной и работа тратилась лишь для того, чтобы поддержать ее. Предположим теперь, что мы выключили силу, тогда трению, которое раньше поглощало энергию поставщика, питаться больше нечем — кормильца-то нет. И трение начинает пожирать запасенную осциллятором энергию. Пусть добротность системы Q/2p=1000. Это значит, что работа, произведенная за цикл, равна 1/1000 запасенной энергии. Пожалуй, разумно предположить, что при не поддерживае­мых внешней силой колебаниях за каждый цикл будет теряться одна тысячная часть имеющейся к началу цикла энергии. Будем считать, что при больших Q изменение энергии описывается угаданным нами приближенным уравнением (мы еще вернемся к этому уравнению и сделаем его совсем верным!)

Уравнение это приближенное, потому что оно справедливо только для больших Q. За каждый радиан система теряет 1/Q часть запасенной энергии Е. Значит, за промежуток времени dt энергия уменьшится в (wdt/Q раз (частота появляется при переводе радианов в настоящие секунды). А какая это частота? Предположим, что система устроена очень жестко, поэтому даже при действии силы она сколько-нибудь заметно колеблется толь­ко со своей собственной частотой. Поэтому будем считать, что w — это резонансная частота w0. Таким образом, из уравнения (24.8) следует, что запасенная энергия меняется

следующим образом:

Теперь нам известно значение энергии в любой момент. Какой будет приближенная формула, определяющая амплитуду коле­баний как функцию времени? Той же самой? Нет! Потенциаль­ная энергия пружины изменяется как квадрат смещения, кинетическая энергия — как квадрат скорости; это приводит к тому, что полная энергия пропорциональна квадрату сме­щения. Таким образом, смещение (амплитуда колебаний) будет уменьшаться с половинной скоростью. Иначе говоря, мы ожидаем, что решение в случае затухающего переходного дви­жения будет выглядеть как колебание с частотой, близкой к ре­зонансной частоте w0; амплитуда этого колебания будет умень­шаться как ехр(-gt/2)

Эта формула и фиг. 24.1 дают представление о том, чего следует ожидать, а теперь приступим к точному анализу движе­ния, т. е. к решению дифференциального уравнения движения.

Фиг. 24.1. Затухающие колебания.

Как же решить уравнение (24.1), если выкинуть из него внешнюю силу? Будучи физиками, мы интересуемся не столько методом, сколько самим решением. Поскольку мы люди уже опытные, попытаемся представить решение в виде экспоненци­альной кривой, х=Аexp(iat). (Почему мы так поступили? Оттого, что экспоненту легче всего дифференцировать!) Подставим это выражение в (24.1), помня о том, что каждое дифференцирование х по времени сводится к умножению на ia [напомним, что F(t)=0]. Сделать это очень легко, и наше уравнение примет вид

( -a2+iga+w20)Аеiat=0. (24.11)

Левая часть равенства должна быть равна нулю все время, но это возможно только в двух случаях: а) А=0, однако это даже и не решение: ведь тогда все покоится, или б)

Если мы сможем решить это уравнение и найти a, то мы найдем и решение, амплитуда которого А не обязательно равна нулю!

Чтобы не думать о том, как извлечь квадратный корень, предположим, что g меньше w0, и поэтому w20-g2/4 — положи­тельная величина. Беспокоит другое: почему мы получили два решения! Им соответствуют

и

Займемся пока первым решением, предположив, что мы ничего не знаем о том, что квадратный корень принимает два значе­ния. В этом случае смещение х равно x1=Aexp(ia1t), где А — произвольная постоянная. Чтобы сократить запись, введем специальное обозначение для входящего в at квадратного корня:

Так, и , или, если воспользоваться замечательным свойством экспоненты,

Итак, система осциллирует с частотой wg , которая в точности не равна частоте w0, но практически близка к ней, если система достаточно добротна. Кроме того, амплитуда колебаний экспо­ненциально затухает! Если взять действительную часть (24.16), то мы получим

Это решение очень напоминает угаданное нами решение (24.10), вот только частота немного другая, wg. Но это лишь небольшая поправка, значит, первоначальная идея была правильной.

И все-таки не все благополучно! А не благополучно то, что су­ществует второе решение.

Этому решению соответствует a2, и оно отличается от пер­вого лишь знаком wg

Что все это значит? Скоро мы докажем, что если x1и х2— воз­можные решения (24.1) при F(t)=0, то х1+х2—тоже решение этого уравнения! Таким образом, общее решение имеет вид

Теперь можно спросить: «А, собственно, зачем нам беспокоить себя еще одним решением, если нас вполне устраивало первое? К чему эти дополнительные решения, если мы все равно должны взять только действительную часть?» Мы знаем, что нужно взять действительную часть, но откуда математика знает, что мы хо­тим взять действительную часть? Когда у нас была внешняя сила F(t), то мы ее дополнили искусственной силой, и она каким-то образом управляла мнимой частью уравнения. Но когда мы по­ложили F(t)=0, то соглашение о том, что, каково бы ни было х, нужно взять только его действительную часть, стало нашим лич­ным делом, и математическое уравнение об этом ничего не знало. В мире физики есть только действительные решения, но реше­ние, которому мы так радовались, комплексно. Уравнению не из­вестно, что мы делаем совершенно неожиданный шаг и отбираем только действительную часть, и оно предлагает нам еще, так сказать, комплексно сопряженное решение, чтобы, сложив оба решения, мы получили настоящее действительное решение; вот для чего мы взяли еще и a2. Чтобы х было действительным, Ввхр(-iwgt) должно быть комплексно сопряженным к Aexp(iwgt) числом, тогда мнимая часть исчезнет. Таким образом, В долж­но быть комплексно сопряжено с А, поэтому наше решение имеет вид

Значит, наши колебания — это колебания с фазовым сдвигом и, как полагается, с затуханием.

§ 3. Переходные колебания в электрических цепях

Посмотрим, как выглядят переходные колебания. Для этого соберем цепь, изображенную на фиг. 24.2.

Фиг. 24,2. Электрическая цепь для демонстраций переходных колебаний.

В этой цепи разность потенциалов между концами индуктивности L поступает в осцил­лоскоп. Неожиданное включение рубильника S включает допол­нительное напряжение и вызывает в осцилляторной цепи переходные колебания. Эти колебания аналогичны колебаниям механического осциллятора, вызванными неожиданным ударом. Сама цепь представляет собой электрический аналог механи­ческого осциллятора с затуханием, и мы можем наблюдать коле­бания при помощи осциллоскопа. Он покажет нам кривые, анализом которых мы и займемся. На фиг. 24.3—24.6 представ­лены кривые затухающих колебаний, полученные на экране осциллоскопа. На фиг. 24.3 показаны затухающие колебания в цепи с большой Q, т. е. с малым значением g.

Фиг. 24.3. Затухающие коле­бания.

В такой цепи ко­лебания затухают не очень быстро; мы видим довольно длинную синусоиду с медленно убывающим размахом.

Теперь давайте посмотрим, что произойдет, если мы будем уменьшать Q, так что колебания должны затухать быстрее. Чтобы уменьшить Q, увеличим сопротивление цепи R. При повороте ручки сопротивления колебания действительно зату­хают скорее (фиг. 24.4).

Фиг. 24.4. Колебания затухают быстрее.

Если еще увеличить сопротивление, то колебания затухнут еще быстрее (фиг. 24.5).

Фиг, 24.5. Колебания почти исчезли.

Но если сопротив­ление увеличить сверх некоторого предела, колебаний мы вооб­ще не увидим. А может быть, нам просто отказывают глаза? Увеличим еще сопротивление и получим тогда кривую, пред­ставленную на фиг. 24.6; по ней можно лишь с натяжкой сказать, что в цепи произошли колебания, ну разве что одно.

Фиг. 24.6. Колебаний нет.

Можем ли мы математически объяснить это явление?

Сопротивление механического осциллятора, конечно, про­порционально g. В нашем случае g— это R/L. Теперь, если уве­личивать g, то в столь приятных нам решениях (24.14) и (24.15) наступает беспорядок; когда g/2 становится больше w0, реше­ния приходится записывать по-другому:

Это снова два решения, которые приводят нас к решениям exp(ia1t) и ехр(ia2t). Подставив теперь a1, получим

Никаких колебаний. Чисто экспоненциальное убывание. То же самое дает и второе решение

Заметим, что квадратный корень не может превысить g/2; даже если w0=0, оба члена равны. Если же w20 отличается от g/2/4, то квадратный корень меньше g//2 и выражение в круглых скобках всегда положительно. Это очень хорошо! Почему? Да потому что если бы это выражение было отрицательным, то е пришлось бы возводить в положительную степень и мы по­лучили бы возрастающее со временем решение. Но при увели­чении в цепи сопротивления колебания не могут возрастать, зна­чит, мы избегли противоречия. Итак, мы получили два решения; оба решения экспоненциально затухают, но одно из них стре­мится «умереть» гораздо скорее. Общее решение, конечно, пред­ставляет собой комбинацию обоих решений, а значения коэф­фициентов А и В зависят от того, как начинаются колебания, каковы начальные условия. В нашей цепи случилось так, что А — отрицательное число, а В — положительное, поэтому на экране осциллоскопа мы увидели разность двух экспонент.

Давайте обсудим, как найти коэффициенты А и В (или А и A*), если известны начальные условия. Предположим, что в момент t=0 нам известны смещение х=х0и скорость dx/dt=v0. Если в соотношения

подставить значения t=0, х=х0, dx/dt=v0и воспользо­ваться тем, что е0=еi0=1, то мы получим

x0=A+A*=2AR,

Значит,

Таким образом, зная начальные условия, мы полностью определили А и А*, а значит, и кривую переходного решения. Можно записать решение и по-другому. Вспомним, что

eiq+e-iq=2cosq и eiq- e-iq=2isinq, тогда

где wg=+Ц(w20-(g2/4). Мы получили формулу затухающих колебаний. Такая формула нам не понадобится, однако отметим ее особенности, справедливые и в более общих случаях.

Прежде всего поведение системы, на которую не действует внешняя сила, описывается суммой (суперпозицией) временных экспонент [мы записали их в виде exp(iat)]. Такое решение хорошо передает истинное положение вещей. В общем случае a — это комплексное число, и его мнимая часть соответствует затуханию колебаний. Наконец, тесная математическая связь синусоидальных и экспоненциальных функций, о которой го­ворилось в гл. 22, физически часто проявляется в переходе от колебаний к чисто экспоненциальному затуханию при крити­ческих значениях некоторых параметров системы (в нашем случае это было сопротивление g).

Глава 25 ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ И ОБЗОР

§ 1. Линейные дифференци­альные уравнения

§ 2. Суперпозиция решений

§ 3. Колебания в линейных системах

§ 4. Аналогии в физике

§ 5. Последовательные и параллельные сопротивления

§ 1. Линейные дифференциальные уравнения

В этой главе мы снова вернемся к некоторым аспектам наших колебательных систем, только постараемся теперь увидеть нечто более общее, стоящее за спиной каждой частной системы. Изучение каждой колебательной системы своди­лось к решению дифференциального уравнения

Эта комбинация «операций» над переменной х обладает интересным свойством: если вместо х подставить (х+у), получится сумма одинаковых операций над х и y, а умножение х на число а сводится к умножению на это число первона­чальной комбинации. Это легко доказать. Что­бы не переутомиться, записывая все буквы, вошедшие в (25.1), давайте введем «скоропис­ные» обозначения. Обозначим всю левую часть уравнения (25.1) символом L(х). Увидев такой символ, вы должны мысленно представить себе левую часть уравнения (25.1). Поэтому, соглас­но этой системе, символ L(x+y) будет озна­чать следующее:

(Подчеркнем букву L, чтобы не спутать этот символ с обычной функцией.) Иногда мы будем употреблять термин операторная запись, но со­вершенно безразлично, какими словами это называть, просто-напросто это «скоропись». Наше первое утверждение, что

L(x+y)=L(x)+L(y), (25.3)

следует из соотношений а(х+у)=ах+ау, d(x+y)/dt=dx/dt+-dy/dt и т. д.

Легко доказать, что для постоянного а

L(ax)=aL(x). (25.4)

[Соотношения (25.3) и (25.4) тесно связаны одно с другим, потому что, подставив в (25.3) х+х, мы получим (25.4) для част­ного значения а=2 и т. д.]

Решая более сложные задачи, можно получить L, в котором содержится больше членов и более высокие производные. Обыч­но первым делом интересуются, справедливы ли соотношения (25.3) и (25.4). Если они выполняются, то задачу называют линейной. В этой главе мы изучим некоторые свойства систем, следующие только из того факта, что система линейная. Это поможет нам понять общность некоторых свойств изученных ранее частных систем.

Давайте изучим некоторые свойства линейных дифферен­циальных уравнений, причем полезно помнить о хорошо зна­комом нам частном уравнении (25.1). Первое интересное свой­ство: предположим, что мы решаем дифференциальное уравне­ние для переходных движений: свободных колебаний без дейст­вия внешних сил. Нам предстоит решить уравнение

L(x)=0. (25.5)

Предположим, что мы как-то исхитрились одолеть это уравне­ние и нашли его частное решение х1. Это значит, что нам из­вестна функция x1, для которой L(x1)=0. После этого можно за­метить, что ax1— тоже решение нашего уравнения; можно умножить частное решение уравнения на любую постоянную и получить новое решение. Иначе говоря, если какое-либо ре­шение позволяет частице продвинуться на определенное рас­стояние, то она может совершить и более длинный рейс. Дока­зательство: L(ax1)=aL(x1)=a·0=0.

Предположим теперь, что нам удалось все-таки найти не одно частное решение x1, но и второе х2(напомним, что когда мы в поисках переходного решения подставляли x=exp(iat), то мы нашли два значения a, т. е. два решения: x1и х2). Пока­жем теперь, что комбинация x1+x2 — тоже решение. Иными словами, если положить x=x1+x2, то х — это опять решение уравнения. Почему? Потому что если L(x1)=0 и L(x2)=0, то L(xt+x2)=L(x1)+L(x2)=0+0=0. Таким образом, мы вправе складывать отдельные решения, описывающие движения ли­нейной системы.

Продолжая в том же духе, мы можем сложить шесть первых и два вторых решения; ведь если x1есть решение, то ax1 — тоже решение. Другими словами, любая сумма двух решений, на­пример ax1+bx2, удовлетворяет уравнению. Если нам посча­стливится найти три решения, то мы увидим, что любая комби­нация трех решений снова удовлетворяет уравнению, и т. д. Поток таких решений можно ограничить независимыми реше­ниями; в случае осциллятора мы получили только два таких решения. Число независимых решений в общем случае зависит от того, что называется числом степеней свободы. Мы не будем сейчас подробно обсуждать этот вопрос, но в случае дифферен­циального уравнения второго порядка имеются лишь два неза­висимых решения. Если мы найдем оба эти решения, то можно построить общее решение уравнения.

Посмотрим, что будет, когда на систему действует внешняя сила. Предположим, что нам встретилось уравнение

L(x)=F(t) (25.6)

и мы нашли его частное решение. Назовем его решением Джо xД, т. е. L(xД)=F(t). Хотелось бы найти еще одно решение этого уравнения. Добавим к решению Джо какое-нибудь решение свободного уравнения (25.5), например x1. Тогда, вспомнив о (25.3), получим

L(xД+xl)=L(xД)+L(x1)=F(t)+0=F(t). (25.7)

Следовательно, добавив к решению уравнения (25.6) любое «свободное» решение, мы получим новое решение. Свободное ре­шение называют еще переходным решением.

Если неожиданно включить внешнюю силу, то движение осциллятора не сразу будет описываться равновесным (синусо­идальным) решением: сначала к нему будут примешиваться пе­реходные решения, которые, если подождать подольше, в конце концов «вымрут». Равновесное решение «выживет», потому что только оно соответствует внешней силе. В конце концов это бу­дет единственным решением, но начальные движения системы зависят от того, какие обстоятельства сопутствуют включе­нию силы.

§ 2. Суперпозиция решений

Перейдем теперь к другой интересной проблеме. Предполо­жим, что нам задана какая-нибудь внешняя сила Fa(например, периодическая сила с частотой w=wа, но наши выводы будут верны для любой зависимости силы от времени) и мы нашли движение, соответствующее этой силе (переходные движения можно учитывать или не учи­тывать, это неважно). Пред­положим, что мы решили еще одну задачу — нашли движе­ние в случае действия силы Fb. После этого предположим, что кто-то вбежал в комнату и сказал: «На контрольной за­дают задачу с силой Fa+Fb. Что нам делать?» Конечно, мы решим эту задачу — ведь мы сразу обнаружим одно замечательное свойство: сумма реше­ний хаи хb, получаемых в том случае, если брать силы по от­дельности, будет решением новой задачи. Для этого надо только вспомнить о (25.3):

L(xa+xb)=L(xa)+L(xb)=Fa(t)+Fb(t). (25.8)

Это пример того, что называют принципом суперпозиции для линейных систем, и это очень важная вещь. Дело обстоит так: если мы сможем представить сложную силу в виде суммы не­скольких более простых сил и сможем решить уравнение для каждой силы в отдельности, то мы сможем решить и первона­чальное уравнение, потому что для этого надо просто объеди­нить куски решения так же, как мы объединяли отдельные силы, чтобы получить полную силу (фиг. 25.1).

Фиг. 25.1. Пример принципа суперпозиции для линейных си­стем.

Еще один пример принципа суперпозиции. В гл. 12 (вып. 1) говорилось об одном из важнейших фактов, вытекающих из за­конов электричества. Если нам задано распределение зарядов qa, можно найти электрическое поле Ев, порождаемое этими заря­дами в точке Р. Другое распределение зарядов qbпорождает в этой же точке поле Eb. Оба эти распределения, действуя вме­сте, породят в точке Р поле Е, которое представляет собой сумму полей Еа и Еb. Иначе говоря, поле, соответствующее совокуп­ности многих зарядов,— это векторная сумма полей, соответ­ствующих отдельным зарядам. Аналогия с предыдущим приме­ром бросается в глаза: ведь если мы знаем результат действия отдельных сил, то отклик на силу, являющуюся суммой этих сил, будет суммой отдельных откликов.

Фиг. 25.2. Принцип суперпо­зиции в электростатике.

Причина справедливости принципа суперпозиции в электри­честве состоит в том, что основные законы электричества, опреде­ляющие электрическое поле (уравнения Максвелле), — это линейные дифференциальные уравнения, обладающие свойством (25.3). Силам в этих уравнениях соответствуют заряды, порождающие электрическое поле, а уравнения, определяющие электрическое поле по заданным зарядам,— линейные уравнения.

Чтобы придумать еще один пример принципа суперпозиции, спросите себя, как вам удается настроить свой радиоприемник на определенную радиостанцию, хотя одновременно работает очень много станций. Сигналы радиостанций — это колеблю­щиеся электрические поля очень высокой частоты, действую­щие на антенну радиоприемника. Амплитуда этих колебаний, правда, меняется, их модулирует голос диктора, но скорость этих изменений очень мала и об этом можно пока забыть. Когда вы слышите: «Станция работает на частоте 780 килогерц», это значит, что частота излучаемого антенной радиостанции элект­ромагнитного поля равна 780 000 колебаний в секунду и это поле с точно такой же частотой раскачивает электроны в ан­тенне вашего приемника. Но ведь в то же самое время поблизо­сти может работать и другая радиостанция на другой частоте, скажем на частоте 550 кгц. Эта станция тоже раскачивает электроны вашей антенны. Как же отделяются сигналы, посту­пающие в приемник с частотой 780 кгц, от сигналов, имею­щих частоту 550 кгц? Ведь вы же не слышали голоса обоих дикторов одновременно.

Первая часть электрической цепи радиоприемника — это линейная цепь. По принципу суперпозиции ее отклик на элект­рическое поле Fа+Fbравен ха+хb. По всему выходит, что нам придется слушать обоих дикторов сразу. Но вспомним, что в резонансной цепи кривая отклика х на единичную силу Fза­висит от частоты примерно так, как это изображено на фиг. 25.3.

Фиг. 25.3. Резонансная кривая с острым максимумом.

В цепи с очень большим значением Q отклик имеет очень острый максимум. Предположим, что обе станции имеют примерно одинаковую мощность, поэтому обе силы имеют примерно оди­наковую амплитуду. Отклик равен сумме откликов хаи хb, но на фиг. 25.3 хагромаден, а хbочень мал. Таким образом, хотя оба сигнала одинаковы по силе, в приемнике они проходят через остро резонансную цепь, настроенную на частоту wа (частоту передач одной из станций), и отклик на эту частоту (станцию) значительно больше отклика на все остальные. Поэтому, не­смотря на то что на антенну действуют оба сигнала, полный отклик почти целиком составлен из частоты wа, и мы можем выб­рать ту станцию, какую пожелаем.

Несколько слов о механизме настройки. Как мы настраиваем радиоприемник? Мы изменяли частоту w0, меняя L или С цепи, потому что частота цепи зависит от комбинации L и С. Боль­шинство радиоприемников устроено так, что в них меняется зна­чение С. Поворачивая ручку настройки приемника, мы изменяем собственную частоту цепи. Пусть какому-то положению ручки соответствует частота wс; если нет радиостанций, работающих на этой частоте, приемник молчит. Вы продолжаете изменять емкость С цепи, пока не построите кривую отклика с резонан­сом при частоте wb, тогда вы услышите другую станцию. Вот так и настраивается радиоприемник; все дело в принципе супер­позиции, в сочетании с резонансным откликом.

Чтоб закончить обсуждение, давайте подумаем, как посту­пить при анализе линейных задач с заданной силой, когда сила очень сложно зависит от времени. Можно поступать по-разному, но есть два особенно удобных общих метода решения таких за­дач. Первый метод: предположим, что мы можем решить зада­чу в некоторых частных случаях, например в случае синусои­дальных сил разных частот. Решать линейные уравнения в таких случаях — детская забава. Пусть нам и встретился этот «детский» случай. Теперь встает вопрос, нельзя ли представить любую силу в виде суммы двух или более «детских» сил? Мы уже показали на фиг. 25.1 довольно хитрую зависимость силы от времени; если туда добавить еще несколько синусоид, то ре­зультирующая кривая будет выглядеть еще сложнее. Таким образом, простенькие «детские» силы могут породить очень сложную силу. Верно и обратное: практически каждая кривая может быть представлена в виде бесконечной суммы синусоидаль­ных волн разной длины волн (или частоты). Таким образом, мы знаем, как представить заданную силу Fв виде синусоидальных волн, поэтому решение х можно представить в виде суммы F синусоидальных волн, каждая из которых умножается на эф­фективное отношение х к F.Такой метод решения называют ме­тодом преобразования, Фурье, или анализом (разложением) Фурье. Мы не будем сейчас делать такого разложения; пока до­статочно только идеи.

Очень интересен другой способ решения сложных задач. Предположим, что кто-то после больших умственных усилий решил заданную нам задачу в случае одной частной силы — импульсной. Сила внезапно и быстро действует на систему, затем выключается и все опять спокойно. Нам теперь достаточно решить такую задачу лишь в случае единичной силы, потом умножением на подходящее число мы сможем получить любые силы. Мы знаем, что осциллятор откликается на импульсную силу затухающими колебаниями. А как быть в случае другой силы, например силы, изображенной на фиг. 25.4?

Фиг. 25.4. Сложную силу можно представить как последователь­ность коротких импульсов.

Такую силу можно представить в виде последовательных ударов молотком. Сначала всюду стоит тишина, потом кто-то берет в руки молоток и внезапно раздаются равномерные уда­ры — удар, удар, удар, удар, ... и опять все тихо. Иначе говоря, непрерывно действующую силу можно представить в виде ряда последовательных импульсов, быстро следующих один за дру­гим. Мы знаем последствия одного импульса, а последствием серии импульсов будет ряд затухающих колебаний; нарисуйте кривую колебаний для первого импульса, затем, немного от­ступя, такие же кривые для второго импульса, третьего и т. д. Потом сложите все кривые. Таким образом математически можно представить полное решение в случае произвольной силы, если можно решить задачу для импульса. Ответ для любой силы можно получить путем интегрирования. Это метод функции Грина. Функция Грина — это отклик системы на отдельный импульс, а метод функции Грина — это метод ана­лиза действия силы суммированием откликов на импульсы.

Физические принципы, лежащие в основе обоих методов, очень просты; они просто напрашиваются, если понять смысл линейного уравнения, но математические методы содержат до­вольно сложные интегрирования и т. д.; мы мало подготовлены, чтобы прямо атаковать эти методы. К этому вы еще вернетесь, когда поднабьете руку в математике. Но сама идея методов, право, очень проста.

Наконец, скажем еще, почему линейные системы так важны. Ответ прост: потому что мы умеем решать линейные уравнения! Поэтому большую часть времени мы будем решать линейные задачи. Вторая (и главная) причина заключается в том, что основные законы физики часто линейны. Например, уравнения Максвелла для законов электромагнетизма — линейные урав­нения. Великие законы квантовой механики, насколько нам они известны, тоже сводятся к линейным уравнениям. Вот почему мы так много времени уделяем линейным уравнениям: если мы поняли линейные уравнения, мы готовы в принципе понимать очень многие вещи.

Упомянем еще другие ситуации, когда возникают линейные уравнения. Когда отклонения малы, многие функции можно приближенно заменить линейными. Например, точное уравне­ние движения маятника гласит

d2q/dt2=-g/Lsinq. (25.9)

Это уравнение решается при помощи эллиптических функций, но легче его решить численно, как мы это делали в гл. 9 (вып. 1) при изучении ньютоновых законов движения. Большинство нелинейных уравнений вообще можно решить лишь численно. Для малых углов sinq практически равен q, и в этом случае можно перейти к линейному уравнению. На этом примере мож­но сообразить, что есть много обстоятельств, при которых ма­лые эффекты линейны (здесь это отклонения маятника на малые углы). Другой пример: если на пружине качается небольшой грузик, сила пропорциональна растяжению пружины. Если сильно потянуть за пружину, она может и порваться, значит, в этом случае сила совсем иначе зависит от расстояния! Линей­ные уравнения очень важны. Они настолько важны, что физики и инженеры, пожалуй, половину своего времени тратят на ре­шение линейных уравнений.

§ 3. Колебания в линейных системах

Давайте вспомним, о чем мы говорили в нескольких послед­них главах. Физику колебательных движений очень легко за­темнить математикой. На самом-то деле здесь физика очень про­ста, и если на минуту забыть математику, то мы увидим, что понимаем почти все, что происходит в колебательной системе.

Во-первых, если мы имеем дело только с пружинкой и грузи­ком, то легко понять, почему система колеблется — это следст­вие инерции. Мы оттянули массу вниз, а сила тянет ее назад; наступает момент, когда сила равна нулю, но грузик не может остановиться мгновенно: у него есть импульс, который застав­ляет его двигаться. Теперь пружинка тянет грузик в другую сторону, грузик начинает двигаться взад и вперед. Итак, если бы не было трения, то, несомненно, получилось бы колебатель­ное движение, и так оно и есть на самом деле. Но достаточно незначительного трения, чтобы размах следующих колебаний стал меньше, чем раньше.

Что случится потом, после многих циклов? Это зависит от ха­рактера и величины трения. Предположим, что мы придумали такое устройство, что при изменении амплитуды сила трения оказывается пропорциональной другим силам — инерции и натяжению. Иначе говоря, при малых колебаниях трение сла­бее, чем при колебаниях с большой амплитудой. Обычно сила трения таким свойством не обладает, так что можно предполо­жить, что в нашем случае действуют силы трения особого рода — силы, пропорциональные скорости; тогда для больших колеба­ний эти силы будут больше, а для малых — меньше. Если у нас именно такой вид трения, то в конце каждого цикла система будет находиться в тех же условиях, что и в начале цикла, только всего будет меньше. Все силы будут меньше в тех же пропорциях: сила пружинки немного ослабнет, инерциальные эффекты будут меньше. Ведь теперь и ускорения грузика будут меньше, и сила трения ослабеет (об этом мы позаботились, соз­давая наше устройство). Если бы мы имели дело с такими си­лами трения, то увидели бы, что каждое колебание в точности повторяет первое, только амплитуда его стала меньше. Если после первого цикла амплитуда составляла, например, 90% пер­воначальной, то после второго цикла она будет равна 90% от 90% и т. д., т. е. размах колебаний после каждого цикла умень­шается в одинаковое число раз. Кривая, ведущая себя таким образом,— это экспоненциальная функция. Она изменяется в одинаковое число раз на любых интервалах одинаковой длины. Иначе говоря, если отношение амплитуды одного цикла к амплитуде предыдущего равно а, то такое же отношение для вто­рого цикла равно а2, затем а3 и т. д. Таким образом, амплитуда колебаний после nциклов равна

А=А0аn. (25.10)

Но, конечно, n~t, поэтому общее решение будет произведением какой-нибудь периодической функции sinwt или соswt на ам­плитуду, которая ведет себя примерно как bt. Если bположи­тельно и меньше единицы, то его можно записать в виде е-c.

Вот почему решение задачи о колебаниях при учете трения бу­дет выглядеть примерно как

ехр(-ct)coswt. Это очень просто.

Что случится, если трение не будет таким искусственным; например обычное трение о стол, когда сила трения по­стоянна по величине, не зависит от размаха колебаний и меняет свое направление каждые полпериода? Тогда уравнения движе­ния станут нелинейными; решить их трудно, поэтому придется прибегнуть к описанному в гл. 2 численному решению или рас­сматривать по отдельности каждую половину периода. Самым мощным, конечно, является численный метод; с его помощью можно решить любое уравнение. Математический анализ ис­пользуется лишь для решения простых задач.

Надо сказать, что математический анализ вообще не такое уж могучее средство исследования; с его помощью можно ре­шить лишь простейшие возможные уравнения. Как только урав­нение чуть усложняется, его уже нельзя решить аналитически. Численный же метод, с которым мы познакомились в начале курса, позволяет решить любое уравнение, представляющее физический интерес.

Пойдем дальше. Что можно сказать о резонансной кривой? Как объяснить резонанс? Представим сначала, что трения нет и мы имеем дело с чем-то, что может колебаться само по себе. Если подталкивать маятник каждый раз, когда он пройдет мимо нас, то очень скоро маятник начнет раскачиваться, как сумас­шедший. А что случится, если мы закроем глаза и, не следя за маятником, начнем толкать его с произвольной частотой, с ка­кой захотим? Иногда наши толчки, попадая не в ритм, будут замедлять маятник. Но когда нам посчастливится найти вер­ный темп, каждый толчок будет достигать маятника в нужный момент и он будет подниматься все выше, выше и выше. Таким образом, если не будет трения, то для зависимости амплитуды от частоты внешней силы мы получим кривую, которая выгля­дит, как сплошная линия на фиг. 25.5.

Фиг. 25.5. Резонансная кривая, отражающая разнообразные виды трения.

Качественно мы по­няли резонансную кривую; чтобы найти ее точные очертания, пожалуй, придется прибегнуть к помощи математики. Кривая стремится к бесконечности, если w®w0, где w0— собственная частота осциллятора.

Предположите, что существует слабое трение. Тогда при не­значительных отклонениях осциллятора влияние трения сказы­вается слабо и резонансная кривая вдали от максимума не из­меняется. Однако около резонанса кривая уже не уходит в бесконечность, а просто поднимается выше, чем в остальных ме­стах. Когда амплитуда колебаний достигает максимума, работа, совершенная нами в момент толчка, полностью компенсирует потери энергии на трение за период. Таким образом, вершина кривой закруглена, и она уже не уходит в бесконечность. Чем больше трение, тем больше сглажена вершина кривой. Кто-нибудь может сказать: «Я думал, что ширины резонансных кривых зависят от трения». Так можно подумать, потому что ре­зонансные кривые рисуют, принимая за единицу масштаба вер­шину кривой. Однако если нарисовать все кривые в одном мас­штабе (это прояснит дело больше, чем изучение математических выражений), то окажется, что трение срезает вершину кривой! Если трение мало, мы можем подняться высоко по резонансной кривой; когда трение сгладит кривую, мы на том же интервале частот поднимаемся на меньшую высоту, и это создает ощу­щение ширины. Таким образом, чем выше пик кривой, тем ближе к максимуму точки, где высота кривой равна половине максимума.

Наконец, подумаем, что произойдет при очень большом тре­нии. Ясно, что, если трение очень велико, система вообще не осциллирует. Энергии пружинки едва-едва хватит на борьбу с силами трения, и грузик будет медленно ползти к положению равновесия.

§ 4. Аналогии в физике

Продолжая обзор, заметим, что массы и пружинки — это не единственные линейные системы; есть и другие. В частности, существуют электрические системы (их называют линейными цепями), полностью аналогичные механическим системам. Мы не старались до конца выяснить, почему каждая часть электри­ческой цепи работает так, а не иначе; это нам еще трудно по­нять. Можно просто поверить, что то или иное поведение каж­дого элемента цепи можно подтвердить экспериментально.

Возьмем для примера простейшее устройство. Приложим к куску проволоки (сопротивлению) разность потенциалов V. Это значит, что если от одного конца проволоки до другого проходит заряд q, то при этом совершается работа qV. Чем вы­ше разность потенциалов, тем большая работа совершается при «падении» заряда с высокопотенциального конца проволоки на низкопотенциальный. Заряды, проходя с одного конца прово­локи на другой, выделяют энергию. Но зарядам не так-то просто плыть вдоль проволоки: атомы проволоки оказывают сопротивление потоку, и это сопротивление подчиняется закону, справедливому почти для всех обычных материалов: ток I про­порционален приложенной к проволоке разности потенциалов. Иначе говоря, число зарядов, проходящих через проволоку за 1 сек, пропорционально силе, с которой их толкают:

V=IR=R(dq/dt), (25.11)

Коэффициент R называют сопротивлением, а само уравнение— законом Ома. Единица сопротивления — ом; он равен отноше­нию одного вольта (1 в) к одному амперу (1 а). В механических устройствах очень трудно отыскать силу трения, пропорцио­нальную скорости, а в электрических цепях — это дело обычное и закон Ома справедлив для большинства металлов с очень высокой точностью.

Нас интересует, много ли совершается работы за 1 сек при прохождении зарядов по проволоке (эту же величину можно назвать потерей мощности или выделяемой зарядами энергией)? Чтобы прогнать заряд q через разность потенциалов V, надо со­вершить работу qV; таким образом, работа за 1 сек равна V(dq/dt), или VI. Это выражение можно записать иначе: IR·I=I2R. Эту величину называют тепловыми потерями; вследствие закона сохранения энергии, такое количество теплоты про­изводит в 1 сек сопротивление проволоки. Эта теплота накаляет проволоку электрической лампы.

У механических устройств есть, конечно, и другие интересные свойства, например, такие, как масса (инерция). В электриче­ских цепях, оказывается, тоже существуют аналоги инерции. Можно построить прибор, называемый индуктором, а свойство, которым он обладает, носит название индуктивность. Ток, попа­дающий в такой прибор, не хочет останавливаться. Чтобы изме­нить ток, к этому прибору нужно приложить разность потенци­алов. Если по прибору течет постоянный ток, то падения по­тенциалов нет. Цепи с постоянным током ничего «не знают» об индуктивности; эффекты индуктивности обнаруживаются толь­ко при изменениях тока. Описывающее эти эффекты уравнение гласит;

V=L(dI/dt)=L(d2q/dt2), (25.12)

а индуктивность измеряется в единицах, которые называются генри (гн). Приложенная к прибору с индуктивностью в 1 гн разность потенциалов в 1 в изменяет ток на 1 а/сек. Уравнение (25.12), если хотите,— электрический аналог закона Ньютона: V соответствует F, L соответствует т, а I — скорости!

Все последующие уравнения, описывающие обе системы, выводятся одинаково, потому что мы просто можем заменить буквы в уравнении для одной системы и получить уравнение для другой системы; любой вывод, сделанный при изучении од­ной системы, будет верен и для другой системы.

Какое электрическое устройство соответствует пружинке, в которой сила пропорциональна растяжению? Если начать с F=kx и заменить F на V, a х на q, тополучим V=aq.Мы уже знаем, что такое устройство существует; более того, это единственный из трех элементов цепи, работу которого мы понимаем. Мы уже знакомились с парой параллельных пластинок и обнаружили, что если зарядить пластинки равными, но противоположными по знаку зарядами, то поле между пластинками будет про­порционально величине заряда. Работа, совершаемая при пе­реносе единичного заряда через щель от одной пластинки к дру­гой, прямо пропорциональна заряду пластинок. Эта работа слу­жит определением разности потенциалов и равна линейному ин­тегралу электрического поля от одной пластинки к другой. По исторически сложившимся причинам постоянную пропор­циональности называют не С, а 1/С, т. е.

V=q/C. (25.13)

Единица емкости называется фарадой (ф); заряд в 1 кулон, по­мещенный на каждой пластинке конденсатора емкостью в 1 ф, создает разность потенциалов в 1 в. Вот все нужные аналогии. Теперь можно, заменив m на L, q на х и т. д., написать уравне­ние для резонансной цепи

Все, что мы знаем об уравнении (25.14), можно применить и к уравнению (25.15). Переносится каждое следствие; анало­гов так много, что с их помощью можно сделать замечательные вещи.

Предположим, что мы натолкнулись на очень сложную механическую систему: имеется не одна масса на пружинке, а много масс на многих пружинках, и все это перепутано. Что нам делать? Решать уравнения? Можно и так. Но попробуем соб­рать электрическую цепь, которая будет описываться теми же уравнениями, что и механическое устройство! Если мы собрались анализировать движение массы на пружинке, почему бы нам не собрать цепь, в которой индуктивность пропорциональна массе, сопротивление пропорционально тg, 1/С пропорциональ­но k? Тогда электрическая цепь, конечно, будет точным анало­гом механического устройства в том смысле, что любой отклик q на V (V соответствует действующей силе) в точности соответст­вует отклику х на силу! Перепутав в цепи великое множество сопротивлений, индуктивностей и емкостей, можно получить цепь, имитирующую сложнейшую механическую систему. Что в этом хорошего? Каждая задача, механическая или электриче­ская, столь же трудна (или легка), как и другая: ведь они в точ­ности эквивалентны. Открытие электричества не помогло решить математические уравнения, но дело в том, что всегда легче собрать электрическую цепь и изменять ее параметры.

Предположим, что мы построили автомобиль и хотим узнать, сильно ли его будет трясти на ухабах. Соберем электрическую цепь, в которой индуктивности скажут нам об инерции колес, об упругости колес представление дадут емкости, сопротивле­ния заменят амортизаторы и т. д. В конце концов мы заменим элементами цепи все части автомобиля. Теперь дело за ухабами. Хорошо, подадим на схему напряжение от генератора — он смо­жет изобразить любой ухаб; измеряя заряд на соответствую­щем конденсаторе, мы получаем представление о раскачке колеса. Измерив заряд (это сделать легко), мы решим, что авто­мобиль трясет слишком сильно. Надо что-то сделать. То ли ос­лабить амортизаторы, то ли усилить их. Неужели придется переделывать автомобиль, снова проверять, как его трясет, а потом снова переделывать? Нет! Просто нужно повернуть ручку сопротивления: сопротивление номер 10 — это аморти­затор номер 3; так можно усилить амортизацию. Трясет еще сильнее — не страшно, мы ослабим амортизаторы. Все равно трясет. Изменим упругость пружины (ручка номер 17). Так мы всю наладку произведем с помощью электричества, много­кратным поворотом ручек.

Вот вам аналоговая вычислительная машина. Так называют устройства, которые имитируют интересующие нас задачи, описываемые теми же уравнениями, но совсем другой природы. Эти устройства легко построить, на них легко провести измере­ния, отладить их, и... разобрать!

§ 5. Последовательные и параллельные сопротивления

Обсудим, наконец, еще один важный вопрос, хотя он не сов­сем подходит по теме. Что делать с электрической цепью, если в ней много элементов? Например, когда индуктивность, сопротив­ление и емкость соединены, как показано на фиг. 24.2 , то все заряды проходят через каждый из трех элементов так, что связывающий элементы ток во всех точках цепи одинаков. Поскольку ток всюду одинаков, падение напряжения на соп­ротивлении равно IR, на индуктивности равно L(dI/dt) и т. д. Полное падение напряжения получается суммированием частичных падений, и мы приходим к уравнению (25.15). Исполь­зуя комплексные числа, мы решили это уравнение в случае равновесного отклика на синусоидальную силу. Мы нашли, что V=ZI (Z называется импедансом цепи). Зная импеданс, легко найти ток в цепи I, если к цепи приложено синусоидальное нап­ряжение V.

Предположим, что нужно собрать более сложную цепь из двух кусков, импедансы которых равны Z1 и Z2; соединим их по­следовательно (фиг. 25.6, а) и приложим напряжение.

Фиг. 25.6. Импедансы, соеди­ненные последовательно (а) и па­раллельно (б).

Что слу­чится? Задача немного сложнее предыдущей, но разобраться в ней нетрудно: если через Z1 течет ток I1, то падение напряже­ния на Z1 равно V1=IZ1, а падение напряжения на Z2 будет V2 = IZ2. Через оба элемента цепи течет одинаковый ток. Пол­ное падение напряжения вдоль такой цепи равно V=V1+V2=(Z1+Z2)I. Таким образом, падение напряжения в такой цепи мощно записать в виде V=IZs, a Zs— импеданс системы, состав­ленной из двух последовательно соединенных элементов, равен сумме импедансов отдельных элементов

Zs=Z1+Z2. (25.16)

Но это не единственный способ решения вопроса. Можно со­единить отдельные элементы параллельно (фиг. 25.6,б). При та­ком соединении, если соединительные провода считать идеаль­ными проводниками, к обоим элементам приложено одинаковое внешнее напряжение, а сила тока в каждом элементе не зависит от другого элемента. Ток через Z1 равенI1=V/Z1, ток в Z2 равен /2=V/Z2. Напряжение в обоих случаях одинаково. Полный ток через концы цепи равен сумме токов в отдельных частях цепи:

I=V/Z1+V/Z2. Это можно записать и так:

Таким образом,

Многие сложные цепи иногда становятся более понятными, если расчленить их на куски, выяснить, чему равны импедансы отдельных частей, а затем шаг за шагом следить за соединением частей, помня о только что выведенных правилах. Если мы соб­рали цепь из большого числа произвольно соединенных эле­ментов и создаем в этой цепи разности потенциалов при помощи небольших генераторов, импедансом которых можно пренебречь (когда заряд проходит через генератор, то потенциал возрастает на V), то при анализе цепи можно использовать такие правила:

1) сумма токов, протекающих через любое соединение, равна нулю; ведь притекший к любому соединению ток должен обязательно вытечь из него;

2) если заряд, двигаясь по замкнутой петле, вернулся в то место, откуда начал путешествие, полная работа должна быть равна нулю.

Эти правила называются законами Кирхгофа. Систематиче­ское применение этих правил часто облегчает анализ работы сложных цепей. Мы к ним вернемся, когда будем говорить о законах электричества.

* В новейших супергетеродинных приемниках дело, конечно, об­стоит сложнее. Усилители приемника настроены на определенную промежуточную частоту; осциллятор с переменной настраивающейся частотой связан с входным сигналом нелинейной связью, порождая новую частоту (равную разности частот сигнала и осциллятора) —промежуточную частоту, которая и усиливается. Об этом мы поговорим в гл. 50 (вып. 4).

* Решения, которые нельзя выразить линейно одно через другое, называются независимыми решениями.

Оглавление

Глава 21 ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР

Глава 22 АЛГЕБРА

Глава 23 РЕЗОНАНС

Глава 24 ПЕРЕХОДНЫЕ РЕШЕНИЯ

Глава 25 ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ И ОБЗОР Fueled by Johannes Gensfleisch zur Laden zum Gutenberg