Средний палец правой руки Галилея. Палец был отделен от тела Галилея 12 марта 1737 г., когда его останки были перенесены в главное здание церкви Санта Кроне, Флоренция. В настоящее время находится во флорентийском Музее истории науки. Сосуд, содержащий палец, имеет цилиндрическое алебастровое основание, на котором нанесена следующая надпись:
Leipsana пе spernas digiti, quo dextera coeli Mensa vias, nunquam visos mortalibus orbes Monstravit, parvo fragilis molimine vitri Ausa prior facinus, cui поп Titania quondam Sufficit pubes congestis monlibus altis, Nequidquam superas conata ascendere in arces.
«Не смотри свысока на останки перста того, чья правая рука измерила путь в небеса и указала смертным небесные тела, доселе невиданные. Приготовив малый кусок хрупкого стекла, он первым дерзнул на подвиг, который в древние времена не осилили молодые Титаны, громоздившие гору на гору в тщетной попытке взять неприступную цитадель.»
Пролог Возникновение понимания
Галилей указал точку поворота, в которой научные усилия приняли новое направление, в которой ученые — анахронический, конечно, для того времени термин — поднялись со своих кресел, поставили под вопрос состоятельность прошлых попыток постичь природу мира при посредничестве союза мышления и авторитета и сделали первые нерешительные шаги по пути современной науки. На этом пути они отвергли не подлежащие проверке мнения авторитетов и, не отказавшись все же от умозрения в креслах и углубленного созерцания, выковали новый, более могущественный союз мысли с техникой экспериментального наблюдения, допускающего независимую проверку. Мы видим, что палец Галилея окропил святой водой этого союза все существующие сегодня куличи нашей науки. Мы ощущаем этот дух в физике, куда он проник сначала, в химии, где он проложил себе путь в начале девятнадцатого века, и в биологии, особенно когда в девятнадцатом и двадцатом столетиях биологию перестали воспринимать просто как кладезь чудес.
Говоря короче, эта книга воспевает мощь символического перста Галилея в деле извлечения истины. Тот факт, что физически от Галилея остался лишь палец, а наследие его методов процветает, является также символом бренности человеческого существования по сравнению с бессмертием знания. Тогда перст Галилея олицетворяет это туманное понятие: «научный метод». Галилей, конечно, не был ни единственным, ни даже первым среди тех, кто ввел этот метод получения знания, но он является персоной, в истории идей достаточно выдающейся для того, чтобы считать оправданным выбор в качестве символа именно его имени. Одной из характеристик этого удивительно мощного метода выкапывания истины о мире, отличающей науку от ее главного конкурента — впечатляюще выраженного, но совершенно необоснованного умозрения, — является центральная роль эксперимента. Выход в мир и проведение наблюдений в тщательно контролируемых условиях минимизируют субъективную составляющую нашего восприятия и, в принципе, открывают результаты наблюдений для независимой проверки.
Вглядываясь в мудреное устройство небесных сфер через линзы своего реального телескопа, Галилей развил также и искусство упрощения, выделения существа проблемы, мысленного вглядывания в облака, которые в реальных системах скрывают простоту, лежащую в их основе. Он не стал возиться со скрипучими повозками, влекомыми по грязи; вместо этого он рассматривал простоту шара, катящегося по наклонной плоскости, маятника, качающегося на высокой подставке. Это умение выделить ядро явления из шума и неразберихи реального мира представляет собой ключ к научному методу. Ученые видят в устрице жемчужину, в короне — драгоценный алмаз.
Кое-кто, разумеется, будет утверждать, что в этом и кроется слабость. Истинное понимание, заявляют они, приходит из погружения в сумятицу реальной жизни: опрокинутая в грязь повозка, сетующий любовник, жаворонок, набирающий высоту. Это ученое исследование бабочки с целью узнать ее механизм является отрицанием понимания, заявляют они. Мы должны иметь в виду это возражение, но не подпускать его слишком близко. Большинство ученых, являясь человеческими существами, признают, что чувства являются волшебной составляющей нашего общения с миром, но мало кто согласится с тем, что они указывают надежный путь к истине. Ученые предпочитают распутывать внушающую ужас сложность мира, изучать по отдельности его изолированные куски и возводить его вновь наилучшим из доступных способов, но уже с более глубоким пониманием. Для того чтобы постичь движение повозки на холме, они исследуют поведение шара на наклонной плоскости; чтобы понять качание ноги атлета, они изучают маятник. Их оппоненты будут кричать, что понимание физики колебаний не проливает света на тайну наслаждения музыкой и что разделение симфонии на ноты разрушает понимание ее композиции. Ученые ответят, что мы должны сначала понять, что такое ноты, затем перейти к пониманию того, почему некоторые аккорды гармоничны, а другие нет, и уж затем — на это может не хватить и десятилетий — попытаться понять психологическое и эстетическое воздействие последовательностей аккордов. Наука стремится к полноте понимания, никогда не теряя из виду конечную цель и не набрасываясь в нетерпении на полупропеченные пироги. Постигнут ли когда-нибудь ученые смысл радости постижения мира или спектакля наших жизней в нем и все иные великие вопросы, которые философы, художники, пророки и теологи считают территорией, это вопрос досужего умозрения. А мы все знаем, насколько оно бывало полезно.
Под великой идеей я понимаю простую концепцию с великими последствиями, идею-желудь, который разросся в огромный дуб с ветвящимися приложениями, идею-паука, способного сплести огромную паутину и натянуть ее на все изобилие объяснений и толкований. Мне пришлось действовать весьма избирательно, и у меня нет сомнения, что другие могли бы предъявить других сверхпауков, которые отловили бы других сочных мух науки. Однако здесь выбор мой.
Я сконцентрировался более на самих идеях, чем на приложениях. Я написал мало о черных дырах и космических путешествиях, и едва ли написал что-то — за исключением моих рассуждений в Эпилоге — о том чудесном сдвиге парадигм, который мы переживаем в текущий момент в форме информационных технологий и компьютеров. Моей целью было выявить идеи, которые освещают путь и, в большинстве случаев, обеспечивают основу технологического прогресса. Наделенный богатым воображением интеллектуальный наследник Галилея Фримен Дайсон проводит различие между наукой, движимой концепциями, и наукой, движимой приборами. Почти все в этой книге относится к движимому концепциями. В этом различении Дайсон вторит другому мыслителю, проводившему различия, Френсису Бэкону, который разделял идеи на fructifera, несущие плоды, и lucifera, несущие свет. Я концентрируюсь на последних. Является ли молекулярная биология и следствия открытия структуры ДНК lucifera или fructifera, являются ли они движимыми концепциями или движимыми приборами, и нужно было или нет включать их сюда, это вопрос спорный. Я сделал выбор в пользу первого варианта в каждом случае, поскольку никакое иное открытие не внесло столь много в наше понимание и практическое использование биологии, и было бы абсурдом его исключать. Возможно, в молекулярной биологии мы видим слияние lucifera и fructifera в науку беспрецедентного динамизма.
Изложение идей науки не похоже на роман, в котором события разворачиваются в простой линейной последовательности. Чтобы понять научную идею, вам, возможно, потребуется в первый раз читать быстро, перескакивая места, которые выглядят слишком трудными или (не дай бог) слишком скучными. Разумеется, хотя я считаю, что существует естественная последовательность изложения, как, например, восхождение из мрака основ к дневному свету знакомого мира, или бурение вглубь от знакомого к более фундаментальному (я предпочитаю последнее), главы являются более или менее независимыми и могут читаться в любом порядке.
Вторым аспектом, который следует иметь в виду, является характеризующий современную науку дрейф в сторону абстракции. Абстракция это еще одна важная грань пальца Галилея, и мы должны быть внимательны к ее роли и ее значимости. Во-первых, абстрактное не означает бесполезное. Абстракция может иметь огромное практическое значение, потому что она указывает на неожиданные связи между явлениями и позволяет использовать идеи, развитые в одной области науки, в других ее областях. Наиболее важно, однако, что абстракция является способом, позволяющим отвлечься от множества наблюдений и рассмотреть их в более широком контексте. Один из моментов, вызывающих наиболее глубокое удовлетворение при занятиях наукой и при чтении о науке, момент «эврика!», подобен опыту Кортеса, увидевшего, как океаны сливаются в единое целое, и заключается он во внезапном осознании связи между явлениями, которые раньше казались разобщенными. Я намереваюсь совершить с вами путешествие по высоким горным хребтам науки, где мы сможем почувствовать это слияние, вызывающее священный ужас и удовлетворение, и пройти путь постепенно раскрывающегося наслаждения все большей и большей абстракцией. Итак, я начну с обезьян и гороха, потом проведу вас сквозь атомы к красоте, затем через пространство-время к вершине, к этому ужасающему апофеозу абстракции, к математике. Если вы прочтете все главы последовательно, вы обнаружите, что каждая последующая глава углубляет ваше понимание того, что вы узнали прежде.
Мы стоим у начала совместного путешествия, бросающего нам вызов, но и в высшей степени захватывающего. Наука является апофеозом духа ренессанса, необычайным монументом человеческому духу и могуществу постижения, заключенному в ничтожном мозгу человека. Моей главной надеждой является то, что по мере разворачивания нашего путешествия и осторожного приближения к вершине понимания, вы испытаете радость, даруемую светом, который может дать только наука.
Глава первая Эволюция Возникновение сложности
Без света эволюции ничто в биологии не имеет смысла.
Феодосий ДобжанскийВеликая идея: эволюция идет путем естественного отбора
Жизнь столь совершенна, что, как долгое время считали, ее было необходимо сотворить особо. Ибо как может нечто столь удивительное и столь уникальное самопроизвольно возникнуть из безжизненной слизи? В самом деле, что является той главной частью вещей, которая наделяет их жизнью? Ответы на эти и другие вопросы первостепенной важности появились двумя волнами. Первой была волна эмпирических объяснений, когда наблюдатели, по большей части натуралисты и геологи девятнадцатого века, пристально изучали внешние формы природы и получали далеко идущие выводы. Затем пришла вторая волна, в двадцатом веке, когда кроты с глазами ученых рыли ходы под поверхностью явлений и открывали молекулярную основу паутины жизни. Первый из этих подходов является предметом настоящей главы; второй, чрезвычайно обогативший наше понимание того, что значит быть живым, есть предмет следующей.
Древнегреческие философы, как обычно, имели свои собственные взгляды на природу живых существ. Как и большинство их мнений, высказанных из самых лучших побуждений, эти взгляды были нелепо, но обаятельно превратны. Например, самопровозглашенный бог Эмпедокл (490-430 до н.э.), незадолго до принятия им не слишком мудрого решения продемонстрировать свою божественность путем низвержения себя в кратер вулкана Этна, предположил, что животные построены из универсального набора частей, которые, будучи собраны в различные комбинации, дают слона, комара, рогатую жабу и человека. Мир заселяется этими знакомыми комбинациями охотнее, чем летающими свиньями и ослами с рыбьим хвостом потому, что лишь некоторые комбинации жизнеспособны. Природа, вероятно, экспериментировала с другими комбинациями, в ожидании Острова доктора Моро, но после недолгого хромания, трепыхания и переваливания с боку на бок эти экспериментальные творения умирали.
Почти на два тысячелетия позже эхом откликнулся похожий взгляд, но уже на молекулярном уровне. Его высказал граф Жорж-Луи Леклерк де Бюффон (1707-88), считавший, что организмы самопроизвольно возникли из агрегаций, которые мы сегодня назвали бы органическими молекулами, и что число возможных видов есть число жизнеспособных комбинаций этих молекул. Бюффон полагал, что уж он-то знает: свой великий труд Всеобщая и частная естественная история (Histoire naturelle, générale, et particulière), начатый в 1749 г., он планировал довести до пятидесяти томов, но успел подготовить тридцать шесть. Девять были посвящены птицам, пять минералам и восемь (опубликованных посмертно) китообразным, рептилиям и рыбам.
Но откуда все эти творения, все живые существа действительно появились, их внушающее благоговение количество, два миллиона зарегистрированных видов и, возможно, десять и более миллионов, которые еще предстоит обнаружить? Аристотель, всегда блистательно обильный интеллектуально и, как всегда, блистательно ошибавшийся, предположил, что животные упали со звезд или произошли самопроизвольно уже в завершенном виде. Индейцы яхуна из бассейна Амазонки приняли неоаристотелевский взгляд и считали, что маниока выросла из пепла убитого и кремированного Миломаки. Индейцы кауилла из Калифорнии также верили, что виноградная лоза выросла из его кремированного живота, арбузы из зрачков его глаз, а злаки из его зубов. Менее общепринято мнение, что пшеница произошла из яиц его вшей, а бобы из его спермы.
Другие религии предложили с виду простые мнения, согласно которым все существа, большие и малые, были сотворены Богом, и это все. Однако даже некоторые отцы церкви находили затруднительным примириться со всеми утверждениями Библии. Например, эрудит Григорий Назианин (330-89, Назиан был где-то в Каппадокии, в Малой Азии), считал, что Бог должен был создать некоторые из своих творений после потопа, поскольку небольшой ковчег Ноя был слишком мал для того, чтобы приютить представителей всех видов.[1] Архидиакон Карлайла Уильям Пэйли считал бесспорным, что он установил происхождение творений в книге с игривым названием Естественная теология или свидетельства существования и атрибуты божества, собранные из природных явлений, опубликованной в 1802 г., где в качестве превосходного аргумента он использует аналогию с путешественником, который столкнулся с ручными часами, созерцает их сложный замысел и не сомневается в том, что за этим замыслом стоит часовщик. Таким образом, каждый, кто сталкивается со сложностью природы должен неизбежно заключить, что к ее замыслу и конструкции приложил руку Бог. Однако Анаксимандр из Милета (610-545 до н.э.), делая вклад в западную философию, когда она была еще едва пробившимся зеленым побегом, действительно имел проблеск чего-то, похожего на истину. В совместной с Фалесом и Анаксименом философской программе он сделал чисто умозрительное заключение относительно всех живых существ и жизни в целом, гласящее, что виды животных могут превращаться один в другой.
В науке часто бывает, что первым шагом к действительному пониманию, приходящему на смену фантастическим спекуляциям, оказывается собирание данных. В данном случае для этого надо идентифицировать и классифицировать все типы организмов, составляющих биосферу, или, по крайней мере, столько, сколько позволят терпение, настойчивость и провидение. Наиболее полезными бывают названия, выражающие родство, похожие на обычай давать членам одной семьи одну фамилию. К середине восемнадцатого века, когда установилась международная морская торговля, даже домоседы стали осведомленными об изобилии организмов и странных существ, населяющих мир, и поняли, что простых названий, таких как корова и собака, уже недостаточно. Это было подобно тому, как обитатели Лапландии вдруг обнаружили бы, что в Уганде недостаточно знания их родного языка. Первую общепризнанную систему наименований разработал шведский ботаник Карл фон Линней (Carl von Linne, 1707-78), в латинском написании Линнеус (Linnaeus). Линней изложил свою систему наименований в труде Systema naturae, опубликованном в 1735 г., а для извлечения на свет систематической классификации растений обычно обращаются к его книге Spesies plantarum, 1753. В этих работах Линней ввел иерархию групп (рис. 1.1) с царствами около вершины и пирамидой, расширяющейся ко все более частным разделам по мере нисхождения через типы, классы, отряды, семейства, роды и виды. Эта схема с тех пор пополнялась посредством включения различных промежуточных слоев, таких как подсемейство и надсемейство. Так, нас, людей, следует классифицировать (иронически — возразит кто-то) как вид Homo sapiens, рода Homo, в семействе Гоминидов, в надсемействе Гоминоидов инфраотряда Узконосых подотряда Антропоидов отряда Приматов подкласса Плацентарных в классе Млекопитающих, в надклассе Четвероногих из типа Хордовых в царстве Животных домена Ядерных в империи организмов.
Рис. 1.1. Классификация Линнея первоначально состояла из восьми разрядов (домен, царство, тип, класс, отряд, семейство, род, вид), организованных в стиле римской армии. С тех пор древо классификации приобрело много промежуточных разрядов, некоторые из которых показаны здесь. Дерево на рисунке показывает, как человек вписывается в расширенную систему Линнея. Там, где отдельный таксономический уровень содержит лишь некоторые из таксонов, растущих из более высокого уровня, ряд оканчивается срезанным прямоугольником. Схема классификации остается спорной почти для каждого уровня: некоторые, например, предпочитают говорить о пяти царствах (включая в эту схему бактерии).
Недостатком системы Линнея является то, что она основана на внешне узнаваемых подобиях скорее, чем на более приемлемом в научном отношении установлении лежащего в их основе родства. Более того, точному определению классов, типов и т. д. трудно приписать, а в действительности и вовсе не удается какой-либо особенно глубокий фундаментальный смысл. Современным методом таксономии является кладистика (кладос, по-гречески молодой побег), тщательно исследующая происхождение организмов от общего предка и идентифицирующая различные ветви, или клады, дерева жизни (рис. 1.2). Кладйстика была введена немецким таксономистом Вилли Хеннигом (1913-1976) и доработана в его Филогенетической систематике (1966). Согласно Хеннигу, классификация должна отражать генеалогическое родство, и организмы должны группироваться строго на основе их происхождения от общего предка. Не в пример легкомысленным теоретическим физикам, приспособившим к своим схемам повседневные слова, такие как «спин» (в переводе с английского «вращение») и «аромат», Хенниг перегрузил таксономию греческими терминами, и кладисты имеют дело с симплециоморфами (характеристиками, разделяемыми более чем одной тварью), синапоморфами (разделяемыми производными характеристиками) и т.д. К счастью, у нас нет необходимости использовать этот перегруженный язык, поскольку мы главным образом будем пользоваться системой Линнея. Однако кладистика весьма влиятельна, логична и полезна, так как она основана на генеалогии организмов, которая, как можно доказать, есть единственный рациональный фундамент классификации.
Рис. 1.2. В кладистической классификации дерево, кладограмма, ветвится на каждой существенно особой характеристике. Формально мы говорим, что классификация основана на синапоморфах, которыми обладают производные гомологии; гомология — это признак, наследуемый от общего предка. Эта кладограмма показывает, как человек включается в данную схему.
Немедленно, однако, мы натыкаемся на сложную проблему, которая пронизывает все дальнейшее обсуждение и служит предметом беспокойства даже для новейших систем классификации: какое содержание мы вкладываем в термин «виды». Даже сегодня нередко ведутся споры о его точном определении. Такие споры не имеют большого практического значения, однако, поскольку эта концепция является центральной в исторической дискуссии о происхождении видов, необходимо, по крайней мере вкратце, ее коснуться. Может быть, в действительности было бы лучше признать невозможность изобретения универсально пригодного определения, считая термин «виды» внутренне неопределенным и не возводя излишне жестких стен ради его фиксации.
У тех, кого иногда называют типологическими таксономистами, обычно принято определять вид как группу организмов, которые выглядят — по опознаваемым морфологическим признакам — отличными от организмов из других групп. Платон воспользовался весьма похожей идеей в своей концепции эйдоса, или «совершенной формы», идеала, истинной сущности, лишь несовершенно представляемой реальными существами. Мы без труда отличаем воробья от черного дрозда по их «идентифицируемым морфологическим признакам» и считаем их разными видами птиц. Для нас, как мы полагаем, не составляет труда опознать сущностную «птичность» этих двух творений и усмотреть ее отличие от «растениевости» репы, а также отличить «воробьевость» одного от «чернодроздовости» другого.
Несколько более изощренное определение имеет концепция биологического вида, определяющая вид как группу организмов, которые спариваются между собой, но репродуктивно изолированы от других подобных групп. Согласно этому взгляду, вид является изолированным островом с повышенной репродуктивной активностью. Такое определение помещает воробья и черного дрозда в разные виды, поскольку они размножаются каждый внутри своей группы и не спариваются между собой. Репродуктивная изоляция может возникать различными путями. Например, группы организмов могут быть географически изолированы — это одна из причин, делающих острова столь важными в истории эволюционных идей — или размножаться в разные времена года. Группы могут находить друг друга отталкивающими (или, по крайней мере, лишенными привлекательности) или обнаружить травмирующую физическую невозможность спаривания, как бы их ни влекло друг к другу.
Предвкушая механизм наследственности, речь о котором пойдет в следующей главе, мы могли бы сказать, что каждый вид представляет собой отдельный генный бассейн, с генами, циркулирующими внутри бассейна при спаривании представителей вида — процесс, называемый генным потоком, — но не мигрирующими в генные бассейны, представляющие другие виды. Генный поток внутри вида гарантирует, что все его представители выглядят более или менее похожими, так что концепция биологических видов согласуется с критериями, принятыми у типологических таксономистов.
Тогда почему же определение видов столь противоречиво? Одна из проблем в определении, основанном на понятии спаривания, состоит в том, что некоторые организмы вообще не спариваются. Например, далеко не все спаривающиеся бактерии классифицированы как виды, и существует множество примеров многоклеточных организмов, которые размножаются неполовым путем (таких, как обычные одуванчики, Taraxacum officinale), однако считаются истинными видами. Эта проблема обнаруживает, что слово «вид» имеет два, иногда несхожих, значения. Одно значение, отсылающее к сказанному выше, связано с репродуктивной изоляцией организмов. Второе значение состоит в том, что термин «вид» является просто одной из конечных точек в основании таксономической пирамиды, предельной единицей классификации групп организмов, безотносительно к их способности или неспособности спариваться с другими организмами. То есть вид это в точности таксон, единица классификации. Использование термина «вид» просто для обозначения таксона является обычным в палеонтологии, где одной линии наследования могут приписываться различные имена на разных стадиях ее развития, хотя ее последовательные члены никогда не могли бы даже рассмотреть возможность спаривания. Так, Homo erectus превратился в H. sapiens, но они никогда не прогуливались вместе: оба являются примерами того, что иногда называют хронотипами.
Осознание этих трудностей создает мотив для поиска альтернативных определений вида, которые то перекрываются, то вступают в конфликт с биологической концепцией видов. Например, один из способов классификации организмов является фенетическим, в нем организмы зачисляются в одну группу на основании чисто объективных измерений, включая дискретные измерения, такие как использование числа 1 для факта «имеет крылья» и 0 для «не имеет крыльев». Игры «узнай своего партнера» в газетах, журналах и агентствах по сбору данных являются по сути фенетическими. Преимущество фенетического подхода в том, что он строго объективен и не полагается на субъективные суждения о происхождении организмов и на догадки о том, могли, при случае, один организм — возможно уже исчезнувший — спариться с другим. Одна из проблем этой схемы состоит в том, что хотя фенетически отождествляемые группы организмов выглядят почти идентичными, они тем не менее могут быть неспособны иметь потомство друг с другом. Таким образом, являясь одним фенетическим видом, они принадлежат разным биологическим видам. Примером является фруктовая мушка Drosophila с ее двумя (неспособными к скрещиванию) категориями, D. pseudoobscura и D. persimilis. Эти два организма являются практически неразличимыми фенетически, поэтому они образуют один фенетический вид, но, будучи нескрещивающимися, составляют два биологических вида.
Существуют и другие определения того, что значит быть видом, и применение критериев, которые в них предлагаются, мутит воду еще больше. Экологическая концепция видов принимает во внимание важность роли окружающей среды, ресурсов и опасностей, из нее исходящих. Она определяет вид как группу организмов, использующую одиночную экологическую нишу. Опознавательная концепция видов принимает во внимание способность организма опознавать потенциального партнера для спаривания. Преимущество этого определения, тесно связанного с биологической концепцией видов, состоит в том, что если возможность спаривания зачастую приходится лишь предполагать, то опознавание часто можно наблюдать непосредственно. Возможны случаи появления нового вида, когда одна группа организмов не может более опознавать своих недавних супругов в качестве потенциальных партнеров. Опознавание не обязательно происходит по внешнему виду: растения и животные сообщаются между собой различными путями, включая звук, а также более сдержанный или даже, по нашим понятиям, бессознательный путь испускания и детекции химических веществ, которые мы называем феромонами и которые человеческие существа иногда включают, по абсолютно тем же мотивам, в свои духи и лосьоны. И наконец (наконец — лишь в этом кратком обзоре, поскольку имеются и другие определения), существует филогенетическая концепция видов, в которой вид определяется как группа организмов, имеющая общего предка, и отличающаяся от других групп по крайней мере одним признаком. В соответствии с этим определением, члены двух разных филогенетических видов могут различаться всего одним признаком и быть способными иметь общее потомство.
Нет сомнения, что виды эволюционировали и продолжают эволюционировать. Свидетельством эволюции в прошлом являются ископаемые останки, которые разворачивают во времени замечательную последовательность образов населявшей Землю жизни. Эта картина неполна, ведь сегодня ни один музей — а музеи обычно гораздо больше пекутся о своей собственности, чем сыра земля — не имеет образцов каждого исчезнувшего вида. Но она достаточно полна для того, чтобы мы могли проследить сквозь время происхождение живых существ, включая наше собственное возникновение в — сюда не подходит клише «далекое и туманное» — недавнем и ярком прошлом.
Наука об ископаемых останках и их интерпретации в контексте истории жизни на Земле носит название палеонтология. (Английское слово «fossil» — ископаемое, произошло от латинского слова «fodere», выкапывать, через слово «fossile», означающее «выкопанный».) Первые охотники за ископаемыми, придерживаясь точки зрения платоников, считали, что ископаемые являются образом идеальной формы, созданной действием некоего рода формотворящей силы — vis plastica. Однако теперь мы знаем, что ископаемые состоят из минеральных частей скелетов (кости содержат главным образом фосфат кальция вкупе с белковым хрящем) и зубов (тоже фосфат кальция с разными видами твердых покрытий). Ископаемые находят в осадочных породах, породах, сформированных путем осаждения и спрессовывания минералов, как, например, известняк. Изверженные породы, породы, которые вытекли на поверхность с больших глубин, никогда не населены ископаемыми. Некоторые ископаемые находят в метаморфических породах, которые представляют собой осадочные или изверженные породы, видоизмененные под действием высоких температур и давлений. Некоторые ископаемые являются органическими веществами, такими как древесина, которая минерализуется, когда вода просачивается в нее и заполняет внутренние полости окаменевшими отложениями. Органический прародитель может совсем исчезнуть к тому времени, как мы наткнемся на него, и то, что мы откопали, окажется трехмерной минеральной копией оригинала. Раковины часто сохраняются, но карбонат кальция в форме арагонита, из которого они состояли, превращается в более твердую и плотную форму, известную как кальцит. Органические вещества не сохраняются таким способом, но отпечатки перьев (белок жесткого типа) и мясистых частей (состоящих из белков мягких видов, смазанных жирами) часто обнаруживают в породе, в которую было вмуровано ископаемое. Некоторые крошечные существа хранятся неповрежденными в затвердевшей смоле, которую мы называем янтарем. Более крупные создания, например мамонтов, находят в сохранности вмороженными в ледники.
Земля под нашими подошвами живет, в ней происходит безостановочный подъем вещества из расплавленных областей внизу, создающий новые участки литосферы, внешнего твердого футляра расплавленной внутри Земли. Восходящие струи магмы заставляют литосферу расширяться в зоне ее изливания и затем в отдалении снова погружаться вниз в желоб субдукции. В этот конвейерный ремень включены коровьи лепешки коры, называемые континентами, которые перемещаются таким путем по поверхности глобуса. Это процессы тектоники плит впервые предложены высокомерному миру немецким геологом Альфредом Вегенером (1880-1930) и обоснованны в его труде Происхождение континентов и океанов (1915), но лишь около 1960 г. приняты к разработке, которая показала, что считавшееся доселе неподвижным жесткое дно океана может раздвигаться, преобразуя внешний вид Земли (рис. 1.3). Они вызывают также локальное прогибание континентальной коры, имеющее последствия широкого диапазона, от орогенеза (горообразования) до формирования каньонов, предгорий и долин.
Рис. 1.3. Наше видение Земли с ее знакомыми континентами примет совершенно другой облик, если мы будем рассматривать ее на большом промежутке времени. На временном масштабе в миллионы лет ее поверхность является жидкой, и континенты плывут по сфере по мере того, как вещество изливается изнутри и возвращается обратно в удаленных зонах субдукции. На этой последовательности диаграмм мы видим постепенное возникновение современного вида Земли на протяжении последнего миллиарда лет (возраст, соответствующий каждому из названных периодов, см. на рис. 1.9). На диаграммах помечены регионы, которым суждено будет стать современными континентами и странами.
Не вызывает удивления, что среди этого великого переселения в ряде случаев происходит перемешивание геологических слоев, и то тут, то там ископаемые одного поколения попадают под ископаемые другого, а более древние ископаемые организмы вымываются откуда-нибудь, чтобы перемешаться со своими потомками. Обычно мы можем выявить эти очевидные несоответствия, прослеживая форму слоя и наблюдая характер его прогибания. Однако, если мы примем во внимание мощь геологических событий в совокупности с буйными вмешательствами климата, когда океан замерзает на века, ледники скребут взад-вперед, а затем, когда лед отступает, огромные стометровой высоты цунами снова наполняют океан талой водой, можно лишь удивляться, что сохранились вообще хоть какие-то следы нашего далекого прошлого. Глобальная война — Земля против организма, организм против организма — свирепствует над останками жизни, и найти хотя бы один зуб — уже удача.
Но мы находим гораздо больше, чем один зуб. Удача в смерти, если такая вещь существует, позволила динозаврам умереть, когда не стало чем пообедать, позволила им погрузиться в ил, завернуться в осадочные породы и в нужное время быть вытолкнутыми к дневному свету, когда эрозия удалила покровы. Богатейшие ископаемые останки состоят из морских беспозвоночных с твердыми скелетами, обитавших на мелководье. Хуже всего представлены организмы без скелетов и легко повреждаемые создания, такие как птицы. Некоторые ископаемые встречаются в огромных количествах: меловые холмы сложены из ископаемых останков одноклеточных водорослей, известных как кокколитофориды (рис. 1.4). Эти ископаемые отлагаются и сегодня, около 1,4 миллиарда килограммов кокколитофорид оседает ежегодно. Их присутствие в морской воде отчасти отвечает за ее прозрачность. Действительно, летом 1997 и 1998 гг. все Берингово море меняло цвет от глубоко синего к аквамариновому, ибо оно цвело миллионами кокколитофорид в их краткий, но безмолвный момент наслаждения жизнью по пути к превращению в будущие возвышенности.
Рис. 1.4. Изображение обычного вида кокколитофориды, Emiliana huxleyi, полученное электронным сканирующим микроскопом. Каждая похожая на колесо шляпка, формирующая этот объект, является отдельным кокколитом. Наши меловые и известняковые возвышенности сложены из мертвых спрессованных кокколитофорид.
Ископаемые записи, даже будучи вызывающе неполными, в высшей степени убедительно свидетельствуют об эволюции, в ходе которой виды приходят и уходят, одни виды порождают другие, а иные вымирают, и это все подобно кусту с ветками, которые ветвятся, побегами, которые отмирают, и с листьями, создающими подобие современной биосферы. Такие записи будто предназначены для того, чтобы показать похожую на куст историю биосферы с правдоподобными, хотя и допускающими иногда разные толкования, линиями наследования. Однако существуют альтернативные объяснения ископаемых данных, и, поскольку предмет столь важен для понимания нашего места в природе, мы должны исследовать его.
Одной из альтернатив эволюционизму является трансформизм; мы займемся этой гипотезой позднее. Здесь мы рассмотрим другую альтернативу, креационизм, в которой каждый вид остается навсегда неизменным, если не считать незначительных вариаций. Согласно креационизму вид, уже готовый, разумно спроектированный, с дышащей в нем жизнью, вызван к существованию несотворенным, всемогущим, достойным поклонения Творцом. Возможно, вид будет вечным, а может быть, вымрет, уступая помещение для нового проявления непостижимой прихоти Творца. Творец имеет неограниченные возможности проектировать и создавать животных, а также, очевидно, неистощим в вариациях на тему их способностей мучить, калечить и убивать друг друга. Среди этих клыков, сочащихся ядом, конечно, находится и Человек, образ Творца, обладающий свободой воли.
Креационизм, включая его прозрачно закамуфлированную разновидность «Разумный План», не является наукой: это непроверяемое утверждение, инспирированное антинаучной и религиозно мотивированной повесткой дня. При максимальной снисходительности креационизм может выполнять роль, аналогичную роли галилеевского Простака, роль литературного приема для демонстрации того, что научный подход, в данном случае эволюционизм, наилучшим образом объясняет предмет. Важно, что от науки постоянно требуют приводить объяснения; проблема же креационизма в том, что его защитники не осознают, что являются не более чем Простаками. Их бесконечная и раздражительная докучливость, даже хуже, искажение очевидного являются бесплодными и надоедливыми и создают для молодых опасность того, что их глаза станут слепыми для восприятия подлинной славы творения.
Итак, каковы аргументы против креационизма? Их так много, что изложение всех переполнило бы эту главу. Я дам почувствовать их аромат, приведя только три из них. Первый: многочисленные новые виды появились в последнее время, и это настоятельно внушает нам мысль, что так же происходило и прежде, что ископаемые не являются просто остаточными костями, свидетельствующими скорее о вымирании, чем об эволюции. Второй: не раз заявлялось, что эволюция не имеет предсказательной силы, поэтому не может быть проверена и, следовательно, не в большей степени является разновидностью науки, чем креационизм. Это утверждение неверно. Тот факт, что эволюция происходила, появился на свет благодаря наблюдениям останков вымерших разновидностей макроскопических животных. В двадцатом веке стало очевидным, что эволюция может быть прослежена и на молекулярном уровне. Эффективным оказывается предсказание того, что детали молекулярной эволюции должны соответствовать деталям макроскопической эволюции. Выясняется, что так оно и есть, не существует ни одного примера, в котором следы молекулярных изменений расходились бы с данными наших наблюдений целостных организмов. Третий: одна из узаконенных проверок соблюдения авторских прав состоит в том, чтобы установить, воспроизводит ли продукт погрешности, внесенные, иногда преднамеренно, в образец, который он копирует. Картографы иногда вносят небольшие ошибки — например, лишний домик в ландшафте, — чтобы подловить плагиаторов. В биологии имеются два вида ошибок, подверженных плагиату. В одном — эволюция начинается в глупом направлении (которое не было предусмотрено) и далее вынуждена нести последствия этого. Часто цитируемым примером является глаз млекопитающего, поскольку в своей эволюции он оказался пойманным в придурковатую конструкцию, которую мог бы придумать Придурковатый Конструктор, с кровеносными сосудами, лежащими перед ретиной. Сосуды вынуждены поэтому покидать глаз, продираясь через ретину и создавая слепое пятно. Природа следует этой конструкции и в настоящее время. Другой вид ошибки возникает на молекулярном уровне, в форме, например, псевдогенов, которые воспроизводят нефункциональные полоски мутировавшей ДНК, эквивалент ложного домика на картах.
Но вернемся к науке и установленному факту эволюции. Микроэволюция — это процесс развития мельчайших модификаций. Макроэволюция — это порождение новых видов и таксонов более высокого ранга (отрядов, семейств и т.д.) в результате накопления изменений, вносимых микроэволюцией, это процесс, называемый филетическим градуализмом. Как мы уже отмечали, экспериментальные свидетельства такой постепенной эволюции затуманены предполагаемой неполнотой ископаемых записей, в которых часто отсутствуют переходные формы, которые следовало бы ожидать. Существуют два возможных объяснения этому. Одно состоит в том, что переходные формы существовали, но исчезли без следа. Альтернативное объяснение заключается в том, что филетический градуализм некорректен, что ископаемые записи более полны, чем мы думали, и что видообразование (порождение новых видов) происходит вспышками в течение нескольких тысяч лет, следующих за долгим периодом покоя или «стазиса». В высшей степени спорная теория прерываемого равновесия была предложена Нильсом Элдриджем и Стивеном Гулдом (1941-2002) в 1972 г. В этой теории предполагается, что малое изолированное сообщество испытывает взрыв модификации в процессе аллопатрического видообразования («аллопатрическое» означает просто, что изменение происходит в географическом районе, отличном от места обитания предков). Поэтому место обитания предков вряд ли содержит образцы промежуточных форм, и ископаемые останки нового вида могут быть найдены там лишь в том случае, если полностью развившийся новый вид, расселяясь, попал туда вновь: понятное отсутствие промежуточных форм усиливает впечатление внезапности перехода между двумя формами.
Филетический градуализм и прерываемое равновесие, в том виде, в котором они были предложены первоначально, вероятно, лучше всего рассматривать как противоположные концы спектра возможностей. Их не представляется уместным считать конкурирующими моделями эволюции, скорее это метки на шкале прибора, измеряющего скорость, с которой происходит видообразование. Некоторые события, появление некоторых видов, соответствуют показанию стрелки, близкому к градуализму, а для иных, для появления других видов, стрелка склоняется к прерыванию. В высшей степени трудно характеризовать скорость эволюции видов и быть уверенными, что ископаемые данные являются полными. Нельзя сказать, что более современные версии прерываемого равновесия не являются спорными, поскольку они разрабатывались за пределами простого контрапункта «быстро-медленно» ранних модификаций; в частности, были предложены механизмы поддержания стазиса и переключения к эпизодам быстрых изменений. Философская установка теории тоже спорна: в то время как дарвинизм предполагает, что видообразование есть накопление изменений в результате адаптации, прерываемое равновесие рассматривает видообразование как движущую силу адаптации. Наличие таких споров не стоит интерпретировать как ошибочность теории естественного отбора (и тем более факта эволюции): они лишь являются признаком жарких дебатов вокруг деталей одного из наиболее важных процессов в мире.
Далее необходимо подчеркнуть одно обстоятельство. Эволюция не обязательно ведет ко все большей изощренности: направление эволюции не всегда идет вверх. Организм может обнаружить, что способен ускорить свою репродуктивную активность и тем самым более успешно заселить Землю, если он отбросит большую часть своего социального или анатомического багажа. К чему беспокоиться и изобретать множество способов социальной активности, если можно выполнить главную работу воспроизводства без них? Более того, среда обитания может измениться, и остаточные особи непреуспевшего вида могут вдруг обнаружить, что пришел их час, что в изменившихся условиях они могут по плодовитости обставить своих до сих пор более успешных конкурентов. Оболочник, морской сифон (Ciona intestinalis), реализует другое решение, становясь в конце концов подобием картофельного клубня. Эта маленькая пасть является в своей личиночной фазе подвижным охотником и поэтому нуждается в мозге. Однако, когда он находит подходящую нишу, в которой может себя закрепить, чтобы стать сидячим, ему больше нет нужды думать, поэтому он поедает свой собственный энергетически обременительный мозг. Мозги являются великими потребителями энергии, и это неплохая идея — избавиться от своего мозга, когда вы обнаруживаете, что он вам больше ни к чему.
Откуда берется все это богатое многообразие живых организмов? Уильям Пэйли, как мы видели, не имел сомнений на этот счет, поскольку был уверен, что каждый вид является творением Бога, и это все. Жан Батист Пьер Антуан де Моне, шевалье ле Ламарк (1744-1829) тоже думал, что знает, но его интеллект был настолько более замечательным, чем интеллект Пэйли, что он бился над проблемой обнаружения механизмов. Ламарк, сначала солдат, затем банковский служащий, потом ботаник-ассистент и, наконец, профессор насекомых и червей, провел жизнь в бедности, а последние несколько лет и совершенно слепым. Бедность преследовала его даже в смерти, он был похоронен в арендованной могиле, чтобы быть выкопанным, когда срок временного владения через пять лет истек, и совершать путь к новому захоронению, в результате чего останки его рассеялись. Его имя сегодня больше ассоциируется с презрением, чем с уважением, хотя он заслуживает уважения как основатель биологии беспозвоночных (термин, который придумал он) и за то, что он по крайней мере пытался отыскать объяснение существования видов. Он начал публиковать свои умозрения — это не было чем-то большим и, конечно, не было научной теорией — о механизмах эволюции в 1801 г., но его наиболее полный отчет был представлен в труде Philosophic zoologique (1809).
Ламарк считал, что все организмы вовлечены в метафизический поиск пути к совершенству и проходят путь трансформаций из одноклеточного зародыша, содержащего некоего рода платоновскую сущность вида. Этот поиск направляют «нервные флюиды» различных трудно определимых разновидностей, которые питают органы, делающие зарядку, и морят голодом органы, уклоняющихся от нее. Он также умозаключил — и это та самая идея, за которую его больше всего помнят, хотя он сам, вероятно, считал ее лишь малой составляющей своих полных тезисов — что однажды приобретенные свойства наследуются. Хорошо известен его пример удлинения шеи жирафа, когда тот пытался достать до более высоких листьев и стать еще более совершенным жирафом, причем достигнутое одним поколением удлинение наследовалось благодарными потомками в следующем колене.
Можно осмеивать примитивную наивность данной идеи, однако, пока молекулярная биология не исключила возможность любого механизма такого наследования, эту концепцию было трудно опровергнуть. Ламаркианские взгляды, которые скорее относятся к трансформизму, чем к эволюционизму, упорно продолжали существовать и в двадцатом веке. Шуточное их опровержение является общепринятым, но непригодным: то, что обрезание крайней плоти у многих поколений евреев не привело к ее атрофии, не является аргументом, поскольку маленькие мальчики не старались потерять крайнюю плоть. В знаменитой серии неприятных экспериментов влиятельный немецкий биолог Август Вейсман (1833-1914) отрезал хвосты многим последовательным поколениям мышей и не обнаружил никакого уменьшения длины хвоста у последующих поколений. Все такие калечащие эксперименты — а их было много, как случайных, так и преднамеренных, — хотя и подходили для опровержения того, что приобретенные свойства наследуются, не соответствовали центральному тезису трансформизма, точке зрения Ламарка, утверждавшей, что главным является стремление, ибо лишь тогда трансформирующие сущности вступают в дело. Роберт Чемберс (1802-71) в своей книге The vestiges of Creation, опубликованной в 1844 г., уловил проблеск возможного объяснения. Он осознал важность мутаций, но доказывал, что новые виды причудливым образом возникают из случайно появившихся уродливых птиц. Так, если бы рыба непостижимым образом родилась с крыльями, перьями и клювом, то биосфера приобрела бы нечто, напоминающее обитающих в ней птиц. Примерно в это же время по воле и на средства преподобного Генри Эгертона, восьмого и последнего графа Бриджуотера, были изданы Bridgewater treatises (Бриджуотерские трактаты), сборник работ, созданный для того, «чтобы показать могущество, мудрость и милость Бога, проявленные в его Творении, иллюстрируя этот труд всеми разумными доводами, как, например, разнообразием и строением Божиих тварей». Эта книга явилась средством для выражения многих идей того времени. Среди включенных в нее статей были «Адаптация внешней природы к моральному и интеллектуальному устройству человека» Томаса Чалмерса (1833) и «Адаптация внешней природы к физическому состоянию человека» Джона Кидда (1837). С современной точки зрения содержание обеих статей в точности противоположно тому, что мы считаем верным сегодня.
И вот, в последней части текущей главы, герой эволюции Чарлз Дарвин (1809-82) наконец нерешительно вступает на эту страницу. Успех Дарвина в решении вопроса о происхождении различных видов организмов можно проследить с момента его погружения в мир природы на период с 1831 г. по 1836 г., когда он номинально служил компаньоном, а фактически натуралистом на корабле Ее Величества «Бигль», при капитане Роберте Фицрое, незаконнорожденном потомке короля Карла II. Фицрою был нужен джентльмен в качестве компаньона в долгом одиноком плавании не в последнюю очередь для того, чтобы избежать судьбы своего предшественника на корабле, пустившего себе пулю в лоб. Страшился он того, что могло оказаться и наследственной склонностью, так как несколько лет назад его дядя, министр внутренних дел виконт Кэслро, в припадке депрессии перерезал себе горло.
Погружение в избыток несметных, по-видимому, данных часто бывает прелюдией к зачатию открытия, к подсознательной неотвязной работе где-то в скрытых областях мозга, к поиску моделей и, наконец, к заключительному прорыву осознанной мысли, порождающему самое драгоценное из личных переживаний ученого, восклицание «эврика».
За пять лет своего путешествия Дарвин провел много месяцев на суше, обычно желанной ему как отдых от морской болезни, редко покидавшей его на борту утлого суденышка.[2] Самым знаменитым из его временных пристанищ в течение пяти недель с 15 сентября 1835 г. были Галапогосские острова («острова черепах»), у побережья Эквадора в Тихом океане, куда «Бигль», как и столь многие до него, зашел для сбора огромных местных черепах ради их свежего мяса, необходимого для совершения следующего морского перехода. С тех пор на более крупных островах охота на черепах привела к полному их исчезновению, и лишь несколько особей выжили на островах небольших. Галапагосы являются цепью вулканических островов, которую в другое время другой посетитель, Герман Мелвилл, с гораздо меньшей проницательностью, чем довелось проявить Дарвину, характеризовал как «мелкую распродажу куч пепла, наваленных здесь и там за чертой города». Но даже Дарвин не оценил значение этого посещения до тех пор, пока острова не оказались далеко за кормой, ибо записал, что «трудно вообразить тропические острова, столь бесполезные для человека». Обволакивающие туманы и переменчивые течения, окружавшие острова, прилепили к ним прозвище Los Encantadas («заколдованные»), какими, конечно, они и были из-за того, что метафорический туман, который до тех пор окутывал происхождение видов, начал рассеиваться, когда Дарвин, с аппетитом уплетая плоть черепах, которых он помогал разделывать, размышлял над различиями между трупами птиц, собранными им на разных островах (он посетил только Сан-Кристобаль, Флореану, Изабеллу и Сантьяго). И он смог записать:
Несколько островов обладают своими собственными видами черепах, дроздов-пересмешников, вьюрков и многочисленных растений, эти виды имеют одни и те же общие среды обитания, занимая аналогичные территории, и, очевидно, заполняя то же место в экономике природы… Это меня поражает.
Как мы уже отмечали, острова оказались решающими для фомулирования теории, которую Дарвин смог в надлежащее время назвать теорией естественного отбора. Острова не только упрощают экосистему и поэтому облегчают обнаружение различий, но также эффективно изолируют популяции, помогая таким путем развитию и адаптации их различных вариаций.
Набитому черепахами и пораженному Дарвину пока не хватало искры, чтобы мысль его появилась на свет. Искра вспыхнула, как он утверждал впоследствии, 28 сентября 1838 г., когда он все еще осмыслял гору информации, которую скопил за свое долгое путешествие. Читая для развлечения Essay on the principle of population (Опыт о законе народонаселения) Мальтуса (1798), в котором элегантный и утонченный Реверенд Томас Мальтус (1766-1834), профессор политической экономии, нанятый обучать экономике служащих Ост-Индийской компании, доказывал, что человечество обречено, поскольку население растет быстрее, чем запасы пищи, следовательно, человечество неизбежно исчерпает свои ресурсы. Дарвин позднее вспоминал:
Благодаря хорошей подготовке к тому, чтобы оценить борьбу за существование, которая обнаруживается повсюду при длительном наблюдении за поведением животных и растений, меня сразу осенило, что под действием этих обстоятельств благоприятные изменения имеют тенденцию к сохранению, а неблагоприятные — к разрушению.
Томас Хаксли (1825-95), верный бульдог Дарвина, смог позднее сказать: «Было бы в высшей степени глупо не догадаться об этом».
Почти добрых двадцать лет Дарвин размышлял над этими наблюдениями, постепенно выстраивая свою теорию естественного отбора, подбирая иллюстрации, так никогда до конца и не утратив веру в ламаркианское наследование приобретенных признаков и опасаясь последствий публикации. Он начал писать отчет о своих идеях в 1856 г., намереваясь, подобно доктору Кэсэбону, герою Джорджа Элиота, сделать его огромным и авторитетным. Но его планы были сорваны, поскольку существовали и другие посетители островов, читавшие Мальтуса. Дарвин пришел в смятение, получив от Альфреда Рассела Уоллеса (1823-1913) манускрипт, носящий название «О тенденции разновидностей к неограниченному отклонению от первоначального типа». Уоллес был далеким потомком героя Шотландии Уильяма Уоллеса и с 1848 по 1852 г. широко обследовал бассейн Амазонки в качестве профессионального собирателя образцов. После непродолжительного ожидания в Европе он решил возобновить свою все более прибыльную, но и более напряженную карьеру собирателя и, избрав Малайский архипелаг (Индонезийский архипелаг) в качестве места назначения, в 1854 г. прибыл в Сингапур. В феврале 1858 г., после нескольких лет путешествий и собирательства, подвергшись атаке малярии на Молукках (на каком острове, точно не известно, возможно это был либо Джилоло, либо Тернате), он понял — как Дарвин, — что идеи Мальтуса содержат ключ к объяснению эволюции.
Дарвин очутился в затруднительном положении, это была именно та идея, которую он вынашивал два десятилетия, и приоритет, казалось, уплывал у него из рук. Он обратился за советом к своим друзьям, сэру Чарлзу Лайеллу и ботанику Джозефу Гукеру. Не имея возможности проконсультироваться с Уоллесом, они решили представить эссе последнего и сведенные вместе заметки Дарвина на следующем заседании Линнеевского общества в Лондоне 1 июля 1858 г. С этого момента естественный отбор перестал быть секретом. С этого момента Дарвин отказывается от своего выдающегося опуса, с яростью сокращает его запланированный объем, проявляя милосердие к читателю, и публикует в ноябре 1859 г. работу О происхождении видов, или, более точно, если уж полностью восстанавливать по-викториански готическую декорацию, О происхождении видов путем естественного отбора или сохранении благоприятствуемых пород в борьбе за жизнь. Даже сам Дарвин находил это название немного нескладным и в последующих изданиях (их было еще пять) он зашел уже так далеко, что выкинул предлог О. Дарвин замечал:
Я имел в виду две отчетливых цели, во-первых, показать, что виды не были сотворены по отдельности, и, во-вторых, что естественный отбор являлся главным фактором изменения.
Наше внимание должно теперь сфокусироваться на Дарвине, общепризнанном первооткрывателе естественного отбора. Но было бы неверно в этой связи полностью игнорировать Уоллеса, не в последнюю очередь за благородство, с которым он фактически уступил приоритет Дарвину. Однако позднее, в своей очень долгой жизни, Уоллес проявил некоторые свойства, уменьшившие его вес в этой области науки. Он так никогда и не принял мысль, что человек мог эволюционировать без малейшего божественного дуновения и руководства. Он желал ограничить естественный отбор эволюцией форм, не способных осознавать формирующее влияние некой высшей силы. И наконец, к вящему ужасу друзей, его ум окончательно потерялся на бесконечных и мрачных тропинках спиритуализма.
Естественный отбор — это очень простая идея, однако она очень сложна в приложении, поскольку исследования, которые необходимо провести, требуют величайшей осторожности. Говоря вкратце, черепах на острове недостаточно; чтобы рассмотреть влияние естественного отбора на виды черепах, мы должны рассмотреть его влияние на всю ближайшую флору и фауну, а также физические условия и климат в зоне их обитания. Эволюция черепах будет иметь последствия для их конкурентов и хищников, которые, в свою очередь, будут воздействовать на черепах. В противоположность простым линейным системам, в которых влияние осуществляется посредством простой цепочки команд, биосфера чрезвычайно богата нелинейными системами, в которых изменения организма сами воздействует на него, поскольку его эволюция изменяет среду. Развитие во времени нелинейных систем очень трудно прогнозировать, и неудивительно, что эволюция не способна предсказать будущее биосферы, представляющей собой апофеоз нелинейной сложности. Здесь я очерчу облик некоторых идей, характеризующих современный синтез, или неодарвинизм, которые показывают, как случилось, что в начале двадцатого века идеи генетики, заложили фундамент для идей, связанных с наблюдениями естественной истории. Теория естественного отбора не была вполне признана вплоть до 1930-х гг., когда современный синтез утвердился. Как уже было сказано, в этой главе я ограничиваюсь главным образом феноменологией, откладывая молекулярный базис эволюции до следующей.
Естественный отбор опирается на три принципа:
1. Существуют наследуемые генетические изменения.
То есть особи данного вида не являются идентичными клонами; внутри вида имеется генетический шум. У Дарвина не было концепции механизма наследования, и он оказывал предпочтение теории перемешивания, в которой характеристики спаривающихся родителей попадают в нечто вроде миксера. Эта неосведомленность об истинных механизмах и склонность к механизмам, которые, как быстро установили критики, не могли обеспечить эволюцию, и были главным препятствием для признания его идей. История могла бы быть другой, если бы Дарвин дал себе труд распечатать и прочесть письмо ничем не прославленного монаха, Грегора Менделя, который фактически вручал ему ключ.
2. Родители производят избыточное потомство.
То есть, как бы следуя Мальтусу, родители производят потомков больше, чем способно выжить. Некоторые виды, такие как слоны, рождают только одного отпрыска, и он может умереть, другие, такие как лягушки, производят тысячи, из которых выживает, возможно, только один. Избыточное производство потомства случается реже у больших, сложных организмов, способных позволить себе годы родительской заботы, таких как слоны или, может быть, принадлежащие к среднему классу родители из стран Востока.
3. Успешные потомки лучше адаптированы к окружающей среде.
«Успех» это больше чем простое выживание; это еще и способность к продолжению рода. Этот принцип является пружиной злосчастной и неверно понятой фразы правого либерала девятнадцатого века Герберта Спенсера «выживание наиболее приспособленных», которую он бросил (примерно в 1862 г.) в связи с развиваемой им теорией социального дарвинизма, где необдуманно распространил утонченные идеи естественного отбора на динамику общества и открыл дверь евгенике, исключению практически всех форм государственного вмешательства и расизму. Как все удачные лозунги, «выживание наиболее приспособленных» запоминается, и Дарвин испытывал соблазн употребить его в более поздних изданиях, но это снижало ценность изящной идеи, лежащей в основании его теории.
Когда мы рассматриваем естественный отбор, необходимо иметь в виду, что он абсолютно локален и ограничен во времени. Естественный отбор полностью погружен в настоящее и совершенно лишен предвидения. Если бы сегодняшняя адаптация принимала жалобы из будущего, это была бы плохая услуга будущему: естественный отбор не может заранее знать, что он ведет вид в эволюционный тупик; он не может, конечно, и вообще ничего знать заранее, даже на один день вперед. Естественный отбор живет моментом, он в высшей степени гедонистичен. Мы уже упоминали в качестве примера глаз млекопитающих: по капризу эволюции первоначальное светочувствительное пятно, которое в процессе развития сумело стать главным органом восприятия, в начале развития имело кровеносные сосуды на своей передней стороне, что в результате привело к перекрыванию ими ретины (рис. 1.5). Светочувствительность — такое мощное оружие для преследования и убегания, что более ценным для организма оказалось продолжить существование с этим несовершенным устройством, чем отказаться от преимущества и опрокинуть заведенный порядок ради ожидания лучшего глаза через миллион лет. Глаз головоногих более удачен в этом отношении (но не в других), поскольку развивался по эволюционному пути, на котором кровеносные сосуды оказались лежащими за светочувствительной ретиной.
Рис. 1.5. Диаграмма слева показывает общую схему глаза млекопитающего. Заметим, что кровеносные сосуды находятся спереди от светочувствительной ретины и вынуждены искать путь для выхода через ретину, создавая таким образом слепое пятно. Диаграмма справа показывает устройство более, по-видимому, чувствительного устройства головоногих, с кровоснабжением на задней стороне ретины. Хотя эволюция наталкивается на каждое устройство вслепую, она не смогла повернуть назад, поскольку ценность чувствительности к свету, развившейся в зрение, была уж очень велика. Случайно оказалось, что существует по крайней мере одно преимущество в устройстве глаз млекопитающих: течение крови в этом устройстве помогает снизить число случаев их заболеваний.
Другим примером является неудобная конструкция трубок внутри нашего горла, где дыхательный и пищевой проходы пересекаются, что открывает возможность заклинивания. Проходы пересекаются потому, что у нашего древнего предка, рогозуба, рыбы, имеющей легкие, отверстие, используемое для дыхания у поверхности было очень удобно расположено в верхней части головы и вело в общее пространство, деля его с пищевым проходом (рис. 1.6). Это устройство не подверглось изменению, несмотря на его опасность. Очевидно негигиеничная экономия, приведшая к использованию пениса как для копуляции (включая, особенно у людей, сопутствующие ритуалы), так и для мочеиспускания, имеет похожую эволюционную причину, более того, трубка, ведущая от яичек к пенису, делает петлю с неудачной стороны от трубки, соединяющей почки с мочевым пузырем.
Рис. 1.6. Другим примером досадного отсутствия предвидения является слепая эволюция дыхательной и пищеварительной систем у млекопитающих. Диаграмма слева показывает их схему для типичной рыбы. Ноздри (формально: носовые ходы) ведут в закрытую полость и служат главным образом для обоняния. Кислород извлекается из воды во время ее прохождения через рот и выталкивается через жабры. Воздушный пузырь используется для контроля над глубиной, подобно резервуарам для балласта в подводных лодках. Средняя диаграмма показывает это устройство у рогозуба, предка современных млекопитающих. Из ноздрей открыт проход в полость рта, но они пока используются только для обоняния. Воздух заглатывается ртом и входит в воздушный пузырь. Остается лишь краткий эволюционный шаг к подобному, показанному справа, устройству у млекопитающих, в котором ноздри уже используются для поступления воздуха. К несчастью, воздух и пища попадают в одну и ту же камеру, прежде чем первый проследует далее к легким через трахею, а вторая к желудку через пищевод. Топорно сработанное, скудное и скупое, но эволюционно понятное приспособление чревато опасностью заклинивания.
Естественный отбор по существу непредсказуем, так как он является результатом подчас конкурирующих тенденций, и способы адаптации, на первый взгляд предпочтительные, оказываются недостижимыми. Самым малым примером является аппендикс человека. Для нас аппендикс представляет опасность, поскольку он может воспалиться и привести к смерти. Аппендицит возникает, когда инфекция вызывает опухание, которое сдавливает артерию, снабжающую аппендикс кровью. Стабильный поток крови через аппендикс защищает его от роста числа бактерий, так что любое уменьшение потока помогает инфекции, что приводит к еще большему сдавливанию. Если поток прекращается совсем, бактерии благоденствуют, а аппендикс лопается. Маленький аппендикс чаще подвержен этой цепочке событий, чем большой аппендикс, поэтому аппендиксы подвергаются селективному давлению, которое становится на сторону большого аппендикса в том смысле, что опаснее начать уменьшать его, чем оставаться с тем, что у нас есть. Следовательно, несмотря на опасность, эволюции крайне трудно удалить аппендикс.
Естественный отбор является гонкой вооружений. Гипотеза Красной Королевы — это идея о том, что хищники и жертвы вовлечены в постоянное сражение, в котором хищники вырабатывают все более совершенные стратегии и техники преследования, а жертвы поступают подобным же образом. (Красная Королева давала Алисе инструкцию продолжать бежать еще быстрее, чтобы оставаться на месте.)
Более острые зубы повсюду приводят к появлению более толстых шкур или быстрых ног, что в свою очередь поощряет появление еще более острых зубов.
Естественный отбор является также и зеркалом окружающей среды. Выразительный пример воздействия физического окружения на направление естественного отбора дает независимое возникновение сходным образом адаптированных организмов в удаленных друг от друга частях мира. Ничто не делает этот процесс конвергентной эволюции более впечатляющим, чем возникновение сумчатых версий плацентарных млекопитающих; в древние времена эмбрион развивался в основном во внешней полости, а в более поздние он развивается главным образом в сумке (in utero). Сумчатые версии появились, когда Австралия откололась от Антарктики в цейнозойскую эру, около 65 миллионов лет назад, и поплыла на Север, как Ноев ковчег, со своей изолированной экосистемой. Североамериканский волк (Canis lupus), плацентарное млекопитающее, подобен по внешнему виду сумчатому тасманийскому волку (Thylanicus cynocephalus). Естественный отбор, осваивая подходящие ниши, привел ко многим аналогичным решениям (рис. 1.8): млекопитающий оцелот (Felispartialis) напоминает сумчатого тигрового кота (Dasyurus maculatus), белка летяга (Glaucomus volans) передразнивает сумчатую летягу (Petaurus breviseps), североамериканский лесной сурок (Marmota monax) является тенью вомбата (Vombatus ursinus platurrhinus), а обычный крот (Scalopus aquaticus) выглядит как сумчатый крот (Notoryctes tryphlops). Даже у домашней мыши (Mus musculus) есть свой сумчатый призрак-двойник в лице желтоногой мыши (Antechinus flavipes).
Рис. 1.8. Хотя Австралия и Южная Америка были изолированы, эволюции пришлось столкнуться там со сходными проблемами и прийти к сходным решениям. Здесь приведены два примера млекопитающих и их сумчатые эквиваленты.
Единственным моментом, позволяющим осмыслить все эти взаимосвязи, является появление примерно 3,5 миллиона лет назад вулканического Панамского перешейка между материками Северной и Южной Америк, которые раньше были отдельными фрагментами соответственно Лавразии и Гондваны. Это событие привело не только к межвидовым битвам, когда популяции млекопитающих Севера хлынули на юг и сражались за выживание с преобладающими популяциями сумчатых Юга, но перешеек нарушил также циркуляцию океанов и положил начало Ледниковому периоду, изменившему флору и фауну всей планеты. Однако эволюционная война это лишь одна из компонент движущей силы изменений, так как изменения физической среды также играют центральную роль в управлении эволюцией. Эти изменения включают освобождение ниш при массовом вымирании, что позволяет развиваться новым пузырькам популяций. Катастрофизм, идея о том, что мир подвержен внезапным подвижкам, драматически представленная в мифе о Великом потопе, пришелся по вкусу, как причина изменений, высоко интеллектуальному французскому анатому и основателю палеонтологии позвоночных, барону Жоржу Леопольду Кретьену Фредерику Дагоберу Кювье (1769-1832), чьи имена многочисленны как геологические эры, но вышел из моды, когда геология закончила период становления. Начало рационализации геологии своими усилиями положил Джеймс Хаттон (1726-97) в труде Теория Земли (1795) и энергично продолжил сэр Чарлз Лайелл (1797-1875) в его трехтомных Принципах геологии (1830-33; Дарвин вез с собой на «Бигле» их экземпляр). Хаттон и Лайелл предпочитали униформитаризм, который, основываясь на большом числе свидетельств, полученных из анализа слоев, считал, что физическая природа Земли подвергалась медленной и постоянной трансформации. Однако теперь мы знаем, что катастрофы, конечно, были. Наиболее известной является столкновение с астероидом, которое почти полностью уничтожило жизнеспособных, но генетически недостаточно гибких динозавров. Эти огромные твари были обречены, когда искусственная ночь, произведенная пылью, окутавшей планету, привела к недостатку растительной пищи, или, возможно, они были сожжены миром, в котором концентрация кислорода в атмосфере была значительно выше, чем сейчас. Их кончина освободила мир для волны млекопитающих.
Нам придется далее делать ссылки на некоторые геологические эры и периоды, на которые была разделена история нашей пластичной планеты (рис. 1.9). Имена, присвоенные им, довольно прихотливы, но Уэльс и запад Англии представлены в них очень неплохо: Кембрия (для Кембрийского периода) — древнее название Уэльса, Ордовики и Силуры (для Ордовикского и Силурийского) — имена доримских племен Уэльса, и Девон (для Девонского). Названия эпох, на которые разделены некоторые геологические периоды, имеют несколько расхлябанный вид: они включают Палеоцен («старый современный»), Эоцен («рассвет современного») и Олигоцен («мало современный»). Добавлю в скобках, что этимология других имен, по мере их возникновения, окончательно уничтожила остатки ранних попыток придать названиям периодов систематичный характер, как, например, Триасовый, Третичный и Четвертичный периоды.
Рис. 1.9. Геологические возрасты Земли, с именами, данными эрам, периодам и эпохам, на которые разделен каждый из них. Некоторые из главных событий приведены в правой колонке. Числовые значения времен являются лишь ориентировочными и меняются от источника к источнику.
Роковое вымирание динозавров в конце Мелового периода — только наиболее известное из по крайней мере пяти главных событий. Среди когда-либо произошедших катастрофических событий находится то, которое привело к концу Пермский период (Пермь, в восточной части европейской России), с исчезновением более 95 процентов видов морских животных. Ордовикский период был резко прерван 440 миллионов лет назад, Девонский — 350 миллионов лет назад, Пермский период — 250 миллионов лет назад, Триас — 205 миллионов лет назад и Меловой — 65 миллионов лет назад. Причины большинства этих вымираний все еще по большей части неизвестны, но недостатка в идеях нет, включая столкновения с астероидами и большие падения уровня моря, сопровождавшиеся глобальным похолоданием. Сопутствующие вымирания являются травматическими, но жизнь не унывает, и многообразие видов возвращается очень быстро: через 5-10 миллионов лет многообразие достигает уровня, имевшегося до вымирания, часто даже превосходя его. События вымирания сметают конкурентов, освобождают ниши, созревшие для колонизации, и поздравляют всех (кроме вымерших) с появлением благоприятных возможностей. Однако, хотя вымирания играют важную роль, не следует ее преувеличивать. Типичный для животных вид продолжает существовать около 2 миллионов лет, а вспышки вымирания случаются обычно каждые 20-30 миллионов лет, так что большая часть видов не подвергается вымиранию от катастроф.
Злосчастная судьба динозавров таилась в том, что они оказались слишком живучими: они жили достаточно долго и дождались.
В настоящее время мы, по-видимому, находимся в сердцевине массового вымирания нового типа, когда активность человека делает биосферу неблагоприятной для многих видов флоры и фауны, с которыми он делит ее, а возможно, и для него самого. Самоиндуцируемое вымирание этого типа может быть неотвратимым спутником «прогресса», так как с ультрапессимистической неомальтузианской точки зрения можно считать, что способность к самоуничтожению неизбежно обгоняет развитие интеллекта. Наиболее мрачный взгляд заключается в том, что общества еще могут выживать, если индивид способен убить одним ударом всего несколько тысяч человек (как это было до сих пор в человеческой истории), но ни одно общество выжить не может, когда технология развита до такой степени, что одна персона обладает мощью, достаточной для убийства десятков миллионов. Человеческое общество, возможно, как раз подошло к этой точке. Если это является общим правилом для населения всех планет, то у нас очень мало надежды, так художественно внушаемой оптимистичной научной фантастикой, надежды на исполнение космических чаяний человечества. Зато наше вымирание, по крайней мере, создаст благоприятные возможности для тараканов.
Остается несколько центральных вопросов, касающихся всей этой богатой взаимосвязи между географией и генами, этой танцплощадки естественного отбора. Один из них — о природе объекта, на который воздействует естественный отбор. Воздействует ли он на ген, на индивида или на вид?
Мы можем исключить вид как единицу отбора. Организмы ничего не делают ради своего вида. Так же как естественный отбор не видит будущего, он не видит и сообществ. Индивид конкурирует с другим индивидом и стремится к своему собственному успеху, не заботясь о пользе совокупности организмов, составляющей вид. Репродуктивная энергия индивида питает эгоистическое поведение и не имеет представления об альтруизме, бессознательном поведении, приводящем к самопожертвованию ради других. Нельзя отрицать, что многие виды поведения выглядят альтруистическими, и лишь когда мы более тщательно исследуем их, обнаруживается, что это волки в овечьих шкурах, и альтруизм на деле оборачивается красными каплями эгоизма на зубах и клыках. При взаимном альтруизме, представляющем собой управляющий идеальным человеческим обществом вариант социального контракта, организм получает прощение за свой эгоизм в обмен на сотрудничество с другими организмами в значительной мере для того, чтобы в тяжелые времена помогающий мог бы сам получить помощь.
На более глубоком уровне следует понимать, что представители вида имеют общие гены, и помогая очевидным конкурентам по размножению, организм скрыто помогает распространению своих собственных генов. Этот тип альтруизма назван родственным отбором. Таким способом биолог-теоретик Дж.Б.С. Холдейн (1892-1964) выразил точку зрения, согласно которой он был бы рад утонуть, если бы это спасло двух его родных или десять двоюродных братьев. Каждый из его родных братьев разделял бы с ним половину его генов; его двоюродные братья разделяли бы одну восьмую (для компенсации хватило бы спасения восьми двоюродных братьев, спасение десяти дает уже генное преимущество). Контроль наших генов над нашим поведением предполагает, что мы можем смотреть глубже, чем уровень вида, глубже чем уровень индивида, прямо в глубь генов.
Проблема этого взгляда состоит в том, что он редко находится во взаимно однозначном соответствии с поведением. Существует не только заговор сложности биосферы, но также и воплощение генотипа (генетической конструкции организма) в фенотипе (физических характеристиках организма). Некоторые организмы отказывают себе в радостях воспроизводства, но все же делают свой вклад в будущее, помогая вместо себя размножаться своим близким родственникам. Гены их матки (например, пчелиной) так близки к их собственным, что, помогая ей размножаться вместо себя, они достигают распространения и своих генов: ведь она может рассеивать копии их генов, освобождая их от необходимости самим беспокоиться об этом.
Другой проблемой является отслеживание последствий конкуренции на одном уровне (например, индивидуальном) для другого уровня (видового). Может случиться, что выгода индивида вредоносна для группы. Поскольку индивид не обладает эволюционным предвидением, он может пренебрегать последствиями своего поведения для группы. Когда пищи недостаточно, некоторые индивиды продолжают размножаться и передают свои гены следующим поколениям; они не воздерживаются ради своего вида. В результате вид будет эволюционировать в направлении, задаваемом генным потоком эгоистичных копий. Современная эволюционная биология смотрит неодобрительно на групповой отбор, отбор на уровне вида или сравнимой группы индивидов: естественный отбор происходит на более низком уровне, и все эволюционные тенденции, которые, как кажется, указывают на межвидовый отбор, обычно могут быть прослежены до последствий отбора на нижнем уровне. Фактически, если исключить особый случай родственного отбора, нет никаких отчетливых примеров адаптации, которая недвусмысленно шла бы на благо группе: в лозунге «на благо вида» нет никакого содержания.
Проблема единицы отбора может быть выражена разными способами, так как отбор максимален на определенном уровне. На самом низком уровне бытия, на уровне атомов, не имеет значения, кто кого препарирует, ибо атомы переживают и убийцу, и нанесение увечий и резню. На много более высоком уровне, возьмем, к примеру, царство Животных, также не имеет значения, кто кого забивает, поскольку выживание царства не связано с его составом. Влияние на выживание становится гораздо более существенным, когда мы достигаем уровня индивидов и их генов, так как разница между убийцей и убитым теперь жизненно важна. Небольшой сдвиг к краю шкалы приводит нас к видам: смерть индивида определенно влияет на будущее вида, поскольку обычно лучше иметь столь много производителей, сколь это возможно, и ваше выживание является вкладом, при условии, что вы репродуктивно состоятельны. Класс млекопитающих также несколько более склонен к выживанию, когда обедающим является млекопитающее, а обедом — кто-то другой, но «собака съедает собаку» — и вообще, млекопитающее съедает млекопитающее факт, почти нейтральный. Сдвигаясь от индивидов к противоположному краю шкалы, мы сталкиваемся с их генами, которые одинаковы для индивида и для вида. Обладает ли обед чьими-то генами большей или меньшей важностью, чем обед просто кем-то?
Одним из подходов к выявлению единицы отбора является установление сущности, которая является потенциально бессмертной. Бессмертными являются атомы, но они представляют царство минералов, а не царство организмов. Компоненты, из которых формируется двойная спираль ДНК («нуклеотидные основания», которые мы обсуждаем в главе 2), не несут жизни внутри, так же как буквы алфавита не являются литературой. Даже если бы эти компоненты были бессмертны, считать их живыми не приходится. Геном человека, полный набор ДНК в каждой клетке, также не бессмертен, поскольку он постоянно меняется в процессе, называемом мейотической рекомбинацией, который сопровождает половое воспроизведение, когда одна цепочка — генов — заменяется другой (обсуждение этой проблемы также содержится в главе 2). Тут мы меняем уровень, переходя к генам, репродуктивно активным цепочкам ДНК. Ген потенциально бессмертен — пока не подвергнется мутации — так как он переносится от генома к геному, от мыши к мыши, оставаясь практически неповрежденным.[3] Является ли тогда именно он единицей отбора? В своей книге Адаптация и естественный отбор (1966) Джордж Уильямс утверждал, что ген следует рассматривать как некоторую порцию хромосомного материала, потенциально сохраняющуюся в поколениях, число которых достаточно для того, чтобы считать ее единицей естественного отбора. Оксфордский зоолог Ричард Докинз (р. 1941) в своей заслуженно знаменитой книге Эгоистичный ген (1976) безжалостно развил эту идею и проследил, как посредством эгоистического действия ген разворачивается в биосистему и обеспечивает свое собственное выживание.
Я упоминал в Прологе, что наука, как правило, углубляет свои прозрения и умножает свои успехи, переходя на более высокие уровни абстракции. Эта тенденция заметна и в биологии. Естественный отбор играет роль естественной кучи компоста для произрастания абстракций, а идентификация гена как единицы отбора явилась главным шагом в данном направлении. Докинз ищет поэтому естественный отбор, протекающий на самом низком уровне, в генах, и считает организм лишь временно используемым сосудом, который безжалостно эгоистичный (в техническом смысле, я подчеркиваю) ген арендует, чтобы обеспечить свое собственное распространение. Бессознательный ген формирует свой сосуд, его фенотип, так, чтобы наилучшим образом приспособить его к окружающей среде, ибо именно наиболее приспособленный сосуд будет гарантировать распространение гена.
Но существует более низкий уровень отбора, еще более абстрактный, чем ген, потенциально даже более бессмертный. Ген кодирует фенотипическую информацию, такую как информация о строении тела, его окраске или физиологических модификациях, необходимых для усиления громкости рыка. Ген представляет собой физическую целостность, которая вынуждена обновляться, когда метаболические процессы копируют нити ДНК и обеспечивают поступление копий в каждую клетку и к следующему поколению. Сам по себе, как физическая целостность, даже ген не бессмертен, ибо физический ген должен непрерывно перестраиваться. Тот факт, что в ДНК закодирована информация, только деталь, ведь функция не есть основание. Но когда мы рассматриваем ген как единицу отбора, мы в действительности фокусируемся на информации, которую он передает, и точно так же как тело организма пригодно для использования в качестве сосуда для генов, так и последовательность элементов ДНК есть подходящая физическая реализация для информации, содержащейся в гене. Подлинно бессмертной компонентой жизни является не физический ген, ею является абстрактная информация, которую он содержит.[4] Информация бессмертна, и информация безжалостно эгоистична. Генетическая информация, вероятно, является предельной единицей отбора, с ДНК в качестве своей реализации и с телом в качестве сбрасываемого служебного сосуда.
Живой мир возникает, когда неорганическое вещество спотыкается на пути, проходящем среди сложной, непредсказуемой информации, и обнаруживает, что может обеспечить бессмертие для этой информации, непрерывно воспроизводя ее. И здесь зарыта еще одна неистово бегущая Красная Королева, ибо постоянство достигается только вечным воспроизведением. Подобным же образом наш собственный номинально цивилизованный, культурный, разумный и рефлексирующий уровень жизни возник, когда организмы на пути, проходящем среди сложной, непредсказуемой информации, споткнулись о другие организмы, окружающие их и следующие за ними. Когда это случилось, был изобретен язык и все человеческие организмы, прошлые, настоящие и будущие, эффективно спаялись вместе в единый мегаорганизм с потенциально неограниченными возможностями.
После этой риторической, но прочувствованной пышности слога самое время спуститься к проблемам пола. Одним из наиболее загадочных проявлений естественного отбора является эволюция полового воспроизводства. На первый взгляд пол выглядит хорошей идеей, в том смысле, что он наделяет виды генетической гибкостью и быстрой реакцией на меняющиеся условия. Однако здесь имеются проблемы.
Во-первых, пол не является необходимым. Довольно многие виды превосходно обходятся без него. Партеногенез (непорочное зачатие) обычное дело у растений, где его более уместно называть партенокарпией. Мы уже упоминали партенокарпические одуванчики, но могли бы добавить и много других распространенных растений, таких как черная смородина (Rubus) и манжетка обыкновенная (Alchemilla). Неполовым путем размножаются и некоторые рептилии, наиболее заметны ящерицы Нового Света рода Cnemidophorus (семейство Teiidae), ящерицы Старого Света рода Lacerta (семейство Lacertidae) и слепозмейка (Raphotyphlops braminus; семейство Typhlopidae). Никакие млекопитающие неполовым путем не размножаются, если не считать противоположных утверждений из Библии.
Во-вторых, пол неустойчив. Предположим, что некоторый вид размножается половым путем, и каждая пара производит многочисленное потомство, в котором половина мужских особей и половина женских. Чтобы численность популяции оставалась приблизительно постоянной, все потомство, за исключением примерно двух особей, должно погибнуть, чтобы остались в среднем одна мужская особь и одна женская. Предположим теперь, что с одной из женских особей случилась мутация, и она приобретает способность размножаться неполовым путем. Она снова произведет многочисленное потомство, из которого выживут примерно двое; однако они, являясь клонами матери, будут обе женского пола. Обе могут размножаться с помощью партеногенеза, производя еще больше самок. При условии, что одна асексуальная самка производит столько же потомков, сколько пара сексуальных партнеров (спорное предположение, разумеется, поскольку отцы часто выполняют определенные функции и после копуляции), через несколько поколений партеногенетическая женская популяция затопит исходную. Чтобы обеспечить устойчивость, у пола должно быть некое уравновешивающее преимущество.
В-третьих, пол в высшей степени сложен. Половое воспроизведение зависит от загадочного механизма мейоза, в котором, как мы увидим в главе 2, число хромосом в зародышевых клетках (гаметах, сперме и яйцеклетке) делится пополам, но восстанавливается снова в соматических (типичных для тела) клетках после оплодотворения. Насколько же невероятно мощным должно быть селективное давление, чтобы привести к развитию столь «умного» механизма? Нет ничего необычного в развитии сложных механизмов путем сталкивания вместе и видоизменения уже существующих анатомических и биохимических свойств — примером являются бесчисленные независимые случаи эволюции глаза — но, как и само обладание глазом, пол был подарком, захватывающим дух, предложением, от которого организм не мог отказаться.
Оксфордский биолог Уильям Гамильтон (1936-2000), которого Ричард Докинз считал кандидатом на титул самого выдающегося дарвиниста после Дарвина, полагал, что он идентифицировал этот подарок. Гамильтон глубоко интересовался паразитами, и незадолго до того, как он сам был иронически и трагически сражен одним из них, заболев малярией, предположил, что пол дает возможность организму оставаться на шаг впереди охотящихся на него паразитов. Совместная эволюция паразита и хозяина, в которой каждый из участников создает быстрое изменение среды для эволюции другого, нуждается в быстром и специфическом типе реакции, которую может обеспечить пол. Тщательный анализ динамики сосуществования, скорее похожего на маневрирование наций в период «холодной войны», показывает, что пол создает преимущество, обеспечивая механизм сохранения генетической информации, которая становится избыточной, но может быть востребована снова, когда генотип паразита возвращается к предшествующей инкарнации. Иными словами, пол создает хранилище для мечей в эпоху мушкетов, но мушкеты могут быть сняты с вооружения. Припрятанные мечи, однако, бесполезны, если мушкеты уступают место ядерному оружию; то есть пол бесполезен, если паразит скорее вырабатывает новую стратегию, чем возвращается к старой. Эта теория остается умозрительной, так как зависит от наличия специфической эволюционной связи между паразитом и хозяином, и ее трудно подтвердить экспериментально.
Легче идентифицировать механизмы, которые поддерживают пол, чем механизмы, давшие начало этому сложному устройству. Во-первых, популяции с половым размножением более гибко приспосабливаются к окружающей среде, чем партеногенетические популяции. Так, благоприятные мутации могут произойти в обоих родителях по отдельности и даровать преимущество их потомкам, в партеногенезе одна мутация следует за другой. То есть в половых популяциях мутации могут происходить параллельно, а в неполовых только последовательно. Во-вторых, в половой популяции менее вероятно распространение вредных мутаций, потому что дефектные родители еще могут произвести нормального ребенка (это становится очевидным с точки зрения менделевской наследственности, глава 2), в то время как организмы, размножающиеся неполовым путем, могут избежать скверной мутации, только если тот же самый ген мутирует обратно, что невероятно. Половой диморфизм (различия во внешности самцов и самок одного и того же вида), в частности, экстравагантную внешность, которой часто отмечены самцы, тоже относительно легко объяснить или, по крайней мере, состряпать ему правдоподобное объяснение. Например, в королларии к своей теории эволюции пола Гамильтон считает, что чрезмерно пышный внешний вид самца является знаком того, что он здоров и свободен от паразитов. Исследование самца, приводимое самкой — то, что мы, люди, можем назвать «влюбленностью», — становится тогда похожим на медицинскую проверку.
Пол, по-видимому, дарует преимущества на многих уровнях популяциям, индивидам и генам. Большая часть эволюционных сдвигов создает лишь малые преимущества: чтобы расплатиться за пол, преимущество должно быть огромным. И почему вообще должно возникнуть какое-то преимущество от смешивания генов кого-то вам незнакомого с вашими? Камнем преткновения здесь является то обстоятельство, что происхождение пола, например, продолжительность пути, который организмы должны пройти, чтобы до него добраться, остается тайной до сих пор.
Давайте перейдем от ощущения, что Земля движется, к реально движущейся Земле. Никогда тектонические процессы не оказывали большего воздействия на наше собственное существование, чем при едва различимых переменах, которые произошли, когда африканская кора покрылась рябью, реагируя на давления, действовавшие на нее во время путешествия по южному полушарию.
Около 20 миллионов лет назад поверхность Африки была по большей части плоской и покрытой на всем своем простирании тропическим лесом. Вы могли бы начать различать неоднородности лишь с момента 15 миллионов лет назад, когда локальное поднятие образовало плоскогорья из лавы, расположенные в областях, которые мы теперь называем Кенией и Эфиопией. Эти плоскогорья сформировались в чувствительной зоне, поскольку земля под ними начала разъезжаться. Когда щель между ними расширилась, плоскогорья обрушились, образовав глубокий и длинный разлом, Великую рифтовую долину, которая теперь простирается от современного Мозамбика через Эфиопию к Красному морю и далее, до самой Сирии. Вновь выросшие в результате этого возвышенности стали преградой для дождей в восточной части континента, и тропические леса постепенно выродились в открытую саванну. Теперь ландшафт создавал богатое разнообразие потенциальных сред обитания — несколько биомов — с влажными, жаркими, богатыми растительностью зонами в одних областях и сухими травянистыми пространствами в других. Для исследования оказались открытыми не только новые ниши, для исследования и освоения открылась и репродуктивная изоляция, ибо сообщества организмов были лишены возможности мигрировать через выросшие естественные барьеры. Организмы оказались в ловушке.
Организмы оказались в ловушке физического, но не эволюционного пространства. Одним из важнейших следствий естественного отбора является существование Homo sapiens, вида, который сам H. sapiens считает апофеозом эволюции. Дарвин весьма чувствительно относился к выводам из своей теории, согласно которым человек скорее был потомком обезьян, чем отдельным творением. В стане христиан также были обеспокоены мыслью, что появление человека без участия грехопадения подрывает основание христианской церкви, центральной догмой которого является идея искупления первородного греха. Как бы то ни было, существуют недвусмысленные свидетельства того, что вы и я произошли от обезьяноподобных предков. Это происхождение столь важно для того, чтобы начать понимать самих себя и свое место в биосфере, что кажется уместным потратить некоторое время на его рассмотрение.
В естественном отборе необходимо учитывать расселение (миграцию жизни на суше), двуногость (хождение вертикально на двух ногах, дающее рукам свободу манипуляций), энцефализацию (разрастание мозга относительно размеров тела) и возникновение культуры. И сегодня спорят, предшествовала ли двуногость расселению или следовала за ним. Одно из преимуществ двуногости в том, что она дает большую выносливость для преследования стад, и прямоходящее животное может дальше видеть через саванну и замечать хищников. Тем, кто думает, что принятие культуры — включая употребление орудий — послужило трамплином для нашего наступления, оппоненты доказывают, что первым шагом была энцефализация.
Приматы обычно обитают на деревьях в тропических и субтропических лесных экосистемах. Мы распознаем их, отмечая характерные черты анатомии их рук и ног, способы их передвижения, возможности зрения, архитектуру их зубов и их интеллект. Эта последняя черта является центральной, поскольку первичной характеристикой приматов является эволюция интеллекта как образ жизни. Характеристики зубов важны, поскольку они позволяют нам установить тип диеты и, в частности, жило ли животное на деревьях, питаясь мягкими фруктами, или на земле, поедая более твердые семена и зерна. Приматы разбиты на две основные группы — полуобезьяны и антропоиды. Полуобезьяны включают лори и буш-беби; антропоиды — мелких обезьян, крупных обезьян и людей.
Рис. 1.10. Генеалогическое дерево человека. Разные ветви видоизменялись с годами, но эта версия кажется сегодня приемлемой.
Рисунок 1.10 показывает генеалогическое дерево человека, и на нем стоит задержать взгляд не в последнюю очередь потому, что отдаленная человеческая история есть нечто, приводящее в замешательство и все еще требующее, чтобы его кусочки собрали вместе. Давным-давно, в эпоху Палеоцена («старую современную») Третичного периода (первоначально «третьей» эры) Кайнозойской («современной животной») эры ранние полуобезьяны разделились на современных полуобезьян, которые далее нас не касаются, и эволюционную ветвь, в будущем ведущую к нам. Во времена раннего Олигоцена (неподражаемого «мало современного») мелкие обезьяны Нового Света (платиррхины, что означает просто «с плоским носом», включающие в себя мартышек, ревунов и капуцинов) разбили лагерь в Южной Америке. Наша ветвь дерева отделилась позже, когда мелкие обезьяны Старого Света (катаррхины, что значит «с вдавленным носом», включающие живущих на деревьях толстотелов и живущих на земле макак и резусов) появились в Африке. Гоминиды впервые появились около 30 миллионов лет назад, в Миоцене («среднем современном») в форме дриопитеков (или «жителей дубов», что отражает их предполагаемое тропическое и субтропическое место обитания). Крупные обезьяны раннего Миоцена, такие как проконсул, по осанке были очень похожи на мелких обезьян: сам проконсул не имел хвоста (как крупные обезьяны), но держал тело параллельно земле (как мелкие обезьяны). Проконсул также имел противопоставленный большой палец, что является легким намеком на возможность использования им орудий. Ископаемых гоминидов находят почти во всех отложениях Миоцена в Африке и Евразии, и самыми ранними образцами является вид проконсул с возрастом в 22 миллиона лет.
Примерно на половине пути через Миоцен, между 10 и 15 миллионами лет назад, дриопитеки, которых находят даже на севере вплоть до Испании и Венгрии, разветвились на несколько родов, которые включали Сивапитеков в Индии, Пакистане, а возможно, даже в Турции, и Рамапитеков в Африке. Сивапитеки, вероятно, предки орангутангов; Рамапитеков долго считали предками человека, но теперь думают, что они были просто одним из многих обезьяноподобных видов того времени. Гоминиды, жившие около 3 миллионов лет назад, разбились на две группы, одна с большим мозгом и маленькими коренными зубами, другая с маленьким мозгом и большими коренными зубами. Первая образовала род Homo; последняя — австралопитеков рода Austropithecus (южных обезьян). Первый образец последней группы, A. africanus, был обнаружен в 1924 г. при разработках карьера в Тунге, близ Йоханнесбурга, и казался предком Homo. Первоначально об этом была опубликована лишь небольшая заметка, главным образом потому, что свежие и болезненные воспоминания о пилтдаунской подделке породили скептицизм, и существовала точка зрения, что Африка неподобающее место для колыбели человечества; Англия гораздо предпочтительнее, лучше графства, прилегающие к Лондону, но юго-западные тоже сойдут. До сих пор не определено, в какое место филогенетического дерева следует поместить A. africanus.
В 1962 г. Луис Лики, старейший из охотников за ископаемыми гоминидами, проводя раскопки в ущелье Олдуваи на равнине Серенгети в Танзании, наткнулся на останки гоминида, пользовавшегося орудиями, которого он определил как новый вид Homo habilis («человек умелый»), существовавший примерно 1,8 миллиона лет назад. Изготовление орудий из камня возникло, по-видимому, приблизительно в то же время, что и значительное развитие мозга, около 2,5 миллионов лет назад, и можно лишь предполагать, способствовало ли изготовление орудий росту мозга, или наоборот. Тогда H. habilis вызвал серьезные споры, и на том основании, что внутри вида бывает много физических вариаций, некоторые думали, что это большой A. africanus, в то время как другие полагали, что это маленький Homo erectus (с которым мы сейчас встретимся). Современная точка зрения, видимо, состоит в том, что H. habilis является самостоятельным видом или, по крайней мере промежуточным видом на пути к H. erectus. Современная точка зрения, кажется, состоит также в том, что несколько скелетов, соединенных вместе в виде H. habilis, представляют на самом деле два отдельных вида, H. habilus и Homo rudolfensis, последний (названный в честь озера Рудольф, где он был найден, теперь озеро Туркана в северной Кении) имел немного более крупный мозг и более современную структуру мозга. До сих пор неизвестно, какой из этих видов в конце концов привел к H. sapiens, поскольку «очевидный» ответ, что это H. rudolfensis, приходит в противоречие с наблюдениями, согласно которым он имеет не те видимые анатомические черты, которые для этого необходимы.
Теперь (около 2 миллионов лет назад) и здесь (в Африке) на сцену выступает Homo ergaster («человек работающий»), обремененный комплектом своих каменных инструментов. Он выше своих предшественников и имеет более крупный мозг. Почти полный скелет «турканского мальчика» (рис. 1.11), найденный Ричардом Лики в 1984 г. на западном берегу озера Туркана является представительным: его сохранность позволяет предположить, что он, вероятно, утонул примерно 1,6 миллиона лет назад, поскольку не был разорван на куски плотоядными животными. Homo ergaster осваивал широкие открытые пространства и умеренный сухой климат; он пользовался орудиями, которые классифицируются как Ашельские. Это название происходит от Сент-Ашель во Франции, где была найдена коллекция относительно усовершенствованных двусторонних каменных орудий, таких как каплеобразный ручной топор. Предполагают, что H. ergaster был скорее охотником, чем собирателем.
Рис. 1.11. Несчастье индивида может быть большим подарком для науки. Это почти полный скелет Турканского мальчика (более формально WT-15000), образец H. ergaster, который без вести пропал, предположительно утонул, около 1,6 миллиона лет назад и был обнаружен в 1984 г. Важный вывод — кто-то может счесть его умозрительным — может быть сделан из деталей скелета. Относительно тяжелые кости (по сравнению с современными людьми) предполагают регулярное физическое напряжение; канал в позвоночнике, через который проходит спинной мозг, имеет меньший диаметр, чем у современных людей, что предполагает меньший поток нервных импульсов, что, в свою очередь, предполагает меньший контроль над дыханием и поэтому умозрительно отсутствие разговорной речи. Размер таза и его последствия для вынашивания плода женщинами также предполагают, что для этого вида были характерны беспомощность детей и, как ее следствие, социальная организация.
Около 1,8 миллиона лет назад H. ergaster распространился в Азию, и здесь, как и в Африке, эволюционировал в H. erectus («человек прямоходящий»), который уже полностью ходил вертикально на двух ногах и был, возможно, так же высок, как современные люди, но с более тяжелым лицом, низким лбом и надбровными дугами (рис. 1.12). Предполагается, что H. erectus следовал за стадами, которые, в свою очередь, следовали за отступлением лесов, вызванным ледниковым охлаждением планеты, и сопровождал их через тропические и субтропические зоны Саудовской Аравии до юга Центрального Китая. Отсюда он перебрался по перешейку на Яву, где в 1891 г. Эжен Дюбуа в ходе своих поисков «пропущенного звена» нашел на реке Соло части «яванского человека».
Рис. 1.12. Черепа шимпанзе и разных видов Homo. Отметим исчезновение надбровного выступа по мере движения вдоль последовательности, а также увеличение и округление черепа.
В соответствии с «африканской гипотезой» H. sapiens («человек разумный»), по-видимому, возник в Африке 150 тысяч лет назад, возможно, от H. ergaster, но, возможно, и от не столь яркого (с точки зрения скудости свидетельств о размерах его мозга) H. erectus. В свою очередь, H. sapiens пришлось конкурировать с H. neanderthalensis, образцом «пещерного человека», чьи останки нашли рабочие каменоломен в 1856 г. в Фельдерхофер Гротто над рекой Дюссель в долине Неандер в Германии (рис. 1.13).
Рис. 1.13. Реконструкция вероятного внешнего вида неандертальской пары; отметим более тяжелые черты по сравнению с современными людьми. Они имели тяжелый надбровный выступ и срезанные подбородок и лоб. Маловероятно, что неандертальцы смешивались с H. sapiens, их линия вымерла.
Неандертальцы имели более крупные тела, были более мускулистыми, более коренастыми и с более бочкообразной грудной клеткой, чем мы, и хотя их мозг был в среднем крупнее, чем мозг современного человека, в их черепах, как полагают некоторые комментаторы, ощущался недостаток фронтальных долей. Они проявили способность адаптироваться к холодному климату. Позднее их образцы находили на Ближнем Востоке, в Азии и Северной Африке. Их технология обработки камня сегодня классифицируется как Мустьерская, по имени местоположения пещер в Ле Мустье во Франции. В дальнейшем, возможно, в результате контактов с H. sapiens около 40 тысяч лет назад они заимствовали идеи из Ашельской технологии и усовершенствовали ее до версии, известной как Шательперронская, по имени соответствующего района пещер. Орнаменты, сделанные из оленьих рогов и костей, позволяют сделать предположение о том, что между этими двумя видами имела место торговля. Проблеском, осветившим домашний быт неандертальцев, является находка флейты, датируемой временем от 43 до 67 тысяч лет назад, и, возможно, неандертальского происхождения, с отверстиями, соответствующими диатонической шкале из семи нот в современной человеческой музыке.
Помимо музыкальных вечеров неандертальцы имели развитую социальную организацию, сотрудничали на охоте, возможно, общались с помощью языка (хотя строение их гортани указывает на то, что их язык страдал недостатком артикуляции) и хоронили своих покойников, что можно интерпретировать как чувствительность (но можно и как обрушение свода). С другой стороны, они могли быть каннибалами — что можно было бы также объяснить чувствительностью, буквальным принятием в себя тех, кого любишь, — если отбросить наше культивируемое отвращение. Если отдельный предмет искусства, одинокий отполированный и продырявленный зуб мамонтенка, является той отправной точкой, из которой могут быть сделаны надежные антропологические экстраполяции, то неандертальцы были артистичны.
Артистичностью они обладали, а вот жизнестойкостью нет, ибо H. neanderthalensis исчезли около 30 тысяч лет назад, став тупиком эволюции, сухим листом на ветке дерева жизни. Вымирание неандертальцев началось около 40 тысяч лет назад с волны вторжения, которая хлынула через Европу с востока на запад и закончилась около 27 тысяч лет назад. Завоевателями были кроманьонцы (рис. 1.14), разновидность H. sapiens, почти идентичная современному человеку и названная по имени места Кро Маньон в центральной Франции (близ деревни Лес Эйзи в Дордони), где в 1868 г. были найдены первые образцы. Кроманьонец был адаптирован к теплу, и это подтверждает точку зрения, что он (вместе со своей «ею», разумеется) прибыл из Африки. Кроманьонцы сметали все перед собой, возможно благодаря своему значительному превосходству в орудиях (т.е. в оружии), известных как Ориньякские, которые включали кость и олений рог, а также изысканную глиняную посуду, или благодаря тому, что у неандертальцев не было защиты от принесенных ими болезней, или потому, что из-за недостаточно артикулированной речи неандертальцы не могли достаточно эффективно общаться, чтобы координировать свою оборону. Кроманьонцы жили в шалашах и употребляли ловушки для животных, луки и стрелы, черенки и рукоятки для ножей и битум для их крепления. Война теперь вступила на путь индустриализации, и этому суждено было стать проклятьем человеческой истории на все последующие тысячелетия.
Рис. 1.14. Кроманьонский человек был почти идентичен современному человеку, показанному здесь в несколько идеализированном виде. Это высоко интеллектуальное творение находится в процессе уничтожения других видов, более масштабного, чем любой из его конкурентов, включая природные катастрофы. Однако, как показывают следующие страницы, несмотря на недостаток самоконтроля, это парадоксальное животное способно к утонченному пониманию и, как показывают страницы других книг, к утонченным художественным достижениям.
Современные люди, однако, когда не заняты бойней, имеют теперь все необходимое, чтобы поразмышлять о своей окружающей среде, о своей физической и психологической природе, о строении вещества, которое их окружает и которое они медленно познают, чтобы подчинить своей воле. Что будет дальше, зависит от того, куда приведут эти начинания.
Глава вторая ДНК Рационализация биологии
Почти все проявления жизни заложены на молекулярном уровне, и без понимания молекул мы можем иметь лишь весьма поверхностное понимание самой жизни.
Френсис КрикВеликая идея: наследственность закодирована в ДНК
Каждый из нас состоит почти из сотни триллионов самих себя. Каждая из наших клеток — а их примерно сто триллионов, и большинство их так малы, что понадобится около двух сотен, чтобы покрыть точку над i — содержит полную схему нашего тела. В принципе (всегда угрожающе подозрительный оборот речи) ваше тело, рассыпанное на свои сто триллионов клеток, могло бы породить сто триллионов вас, каждый из этих новых вас, рассыпанный снова, мог бы стать еще одной сотней триллионов, и вы с вашими клонами очень быстро достигли бы абсолютного доминирования во Вселенной. К счастью, имеются физические и биологические ограничения, делающие невозможным воплощение этой фантазии. Но даже рассмотрение такой возможности заставляет предположить, что мы в беспрецедентной степени осведомлены о клеточной природе жизни.
Мы осведомлены. Дарвин и его современники, возможно, за исключением одного монаха, ничего не знали о природе наследственности. Несмотря на то что они проницательно смотрели на мир природы и хорошо осознавали результаты конкуренции, крылья их понимания были подрезаны неосведомленностью о механизмах наследования. Наиболее почитаемым механизмом в то время была смешанная наследственность, при которой каждый из родителей сливает свои наследуемые характеристики в общий котел, которому предстоит стать их ребенком, и ребенок возникает из этой смеси. Тот факт, что подобное смешивание не смогло бы поддерживать естественный отбор, поскольку новые адаптационные свойства быстро размывались бы, использовался как сильный аргумент против точки зрения Дарвина и задерживал полное принятие его теорий. Аристотель, хотя и был замечательным искателем вопросов, давал обычно неверные ответы, снова и снова демонстрируя бесполезность размышлений в кресле, не подкрепленных экспериментом.[5] Замечая, что кровь омывает все органы тела, Аристотель назначил носителем наследственности кровь, и этот взгляд сохранился до сих пор в качестве метафоры. Он считал семя очищенной кровью, которая при копуляции смешивается с менструальной кровью и порождает следующее поколение.
Монахом, владевшим ключом, конечно, был Грегог Мендель (1822-84), названный Иоганном при рождении в семье фермера в Хайнцендорфе, на севере Моравии, провинции в Австрийской Силезии, позднее вошедшей в Чехословакию, ныне Чешскую Республику. Отец Менделя, Антон, был незадачливым малым, чье здоровье и средства к существованию были подорваны ботаникой в виде упавшего на него дерева. Антон продал ферму своему племяннику, так что смог вносить плату за сына, которому предстояло посвятить жизнь ботанике в школе в Троппау и затем в университете в Олмютце. Единственным способом получить дешевое образование для Менделя было поступление в монастырь Св. Томаша в Брюнне (теперь Брно) в возрасте двадцати двух лет, где он принял имя Грегор и был возведен в сан священника в 1847 г. Шагом, подготовившим его ум к малой арифметике наследственности, которую ему суждено было разработать позже, было направление в Вену для изучения наук и математики, чтобы стать учителем. Однако его успехи в учении были незначительны, особенно в биологии, и через два года он возвращается в монастырь, чтобы позднее стать его аббатом (1868).
Мендель был священником прихода в прелатстве имперского и королевского Австрийского ордена императора Франца-Иосифа, заслуживающим похвал директором Моравского ипотечного банка, основателем Австрийской метеорологической ассоциации, членом Моравского и Силезского общества поддержки агрокультуры, естественных наук и краеведения, и, что наиболее важно, садовником. В 1850-х гг., примерно в то же время, когда Дарвин записывал свои мысли, он начал исследования, сделавшие его посмертно знаменитым. Множество вопросов о достоверности его работы или работы его ассистентов поднималось — и энергично отводилось, — когда выдающийся статистик и генетик Рональд Элмер Фишер (1890-1962) объявил, что цифры, приводимые Менделем, вызывают подозрения. Позднее понимались вопросы, знал ли действительно Мендель, что он делает, и не является ли миф, выросший вокруг его достижений, скорее следствием нашей подслеповатости, чем его прозрения. Так, толчком к работам Менделя послужило желание понять скорее правила гибридизации, чем механизм наследственности. Мотивацией же была попытка реализовать преобладающую в то время точку зрения, что новые виды возникают из гибридизации, причем «устойчивые» гибриды и становятся новыми видами. Его безрассудной целью было создание новых видов, и он потерпел в этом оглушительное фиаско.
Мендель представил свои результаты — по существу, мрачный отчет о неудаче — в собрании общества естествоиспытателей Брюнна на заседаниях 8 февраля и 8 марта 1865 г. и опубликовал их как «Опыты над растительными гибридами» (Versuche über Planzenhybriden) в трудах общества в 1866 г. Эти результаты были полностью проигнорированы, если не считать вводящей в заблуждение цитаты в Die Pflanzen Mischlinge (1881) В.О. Фока, и пролежали незамеченными до 1900 г. Возможно, они были проигнорированы потому, что с современной им точки зрения описывали лишь неудачу в попытке выявить рациональные основы гибридизации, а дрейф Менделя в сторону административной работы также мог отражать его собственное разочарование в печальном исходе трудов всей его жизни. Затем три ботаника — Хуго де Врис в Голландии, Карл Эрих Корренс в Германии и Эрих Чермак фон Зейсенегг в Австрии — обнаружили, как они заявили, что сами того не зная, как они заявили, повторили его работу. В этих сообщениях имеется специфический привкус надувательства, поскольку было согласовано, что один из авторов (де Врис) отложит признание приоритета Менделя до той поры, когда окажется, что другой (Корренс) уже опубликовал подобную работу, так что де Врис, понимая, что так или иначе первенство придется уступить, объявил приоритет Менделя попыткой замутить блеск сообщения Корренса. Вся манера объяснений была выдержана в духе пренебрежения к работе Менделя тридцатипятилетней давности, и содержала утверждения, что он был вторгшимся в науку любителем, что он был слишком тесно связан с церковью, от которой ничего хорошего ждать не приходится, что его математические построения — даже в простой арифметике, которая ему требовалась — приводят в замешательство современных биологов. Истина может быть проще: до тех пор, пока де Врис, Корренс и фон Зейсенегг не вытащили на свет его работу и не взглянули на нее с более современной точки зрения, о механизме наследственности не появилось ни одной стоящей мысли.
Хотя Мендель провел свои исследования в девятнадцатом веке, их значение стало очевидным только в двадцатом. Теперь мы понимаем, что Мендель квантовал наследственность, подобно тому, как Планк квантовал энергию (см. главу 7). Теперь мы способны увидеть, что его достижением были свидетельства, которые привели к низвержению преобладающей тогда теории смешанной наследственности и к ее неизбежно последовавшей замене на теорию, в которой наследственную информацию несли дискретные единицы. В течение восьми лет его внимание было сфокусировано на садовом горохе (Pisum sativum), обладавшем множеством свойств, необходимых для проводимых им исследований. Во-первых, сама структура цветка довольно специфична и дает возможность либо легко скрестить два растения, либо, как это случается в природе, позволить им самоопылиться. Более того, это растение имеет ряд изменчивых характеристик: например, его лепестки могут быть белыми или пурпурными, его горошины могут быть округлыми или покрытыми морщинами, иметь зеленую или желтую внутренность, находиться в желтом или зеленом стручке, а его ростки могут быть кряжистыми или тонкими. Более того, и, возможно это было подлинной причиной, горошины имели достаточно низкую цену на рынке семян, занимали мало места и давали много ростков в относительно короткое время. Мы также можем подозревать, что гороховый суп удручающе часто появлялся в меню монастыря Св. Томаша. Единственным недостатком садового гороха было то, что он не слишком фотогеничен в пейзаже, и экспериментальный садик Менделя засадили, к удовольствию посетителей, более привлекательными бегониями (рис. 2.1).
Рис. 2.1. Сад Менделя в его монастыре. Мендель использовал в своей работе обычный горох, что оказалось удачным выбором, отчасти из соображений экономии, но также и потому, что многие характеристики гороха генетически независимы. В настоящее время этот сад засажен бегониями.
Мендель хотел знать, каким способом гибридизация декоративных растений производит изменения, повторяющиеся в следующих поколениях. Он решил поискать систематическую схему, которая, как он считал, могла скрыто присутствовать в наблюдениях. В первые два года он решил убедиться, что его растения дают правильное потомство, что кустики зеленого гороха порождают зеленый горох, а кустики желтого гороха порождают желтый, и то же происходит с другими признаками. Потом он начал серию перекрестных опылений и самоопылений. Например, когда он скрещивал зеленый горох с желтым, весь горох в потомстве первого поколения (в так называемых F1 гибридах) был желтым. Однако, когда гибриды самоопылялись, три четверти гороха в следующем, F2, поколении были желтыми, а одна четверть зеленой. Таинственным образом первоначальный зеленый опять появился. Подобная схема, с тем же численным отношением, возникала, когда он скрещивал и потом самоопылял растения, проявляющие другие характеристики. Ясно, что схема проявилась, а схемы вопиют, требуя объяснения.
На основании огромного числа наблюдений Мендель построил гипотезу. Первым ключом для него стал тот факт, что его эксперименты приводят к вариантам с простыми числовыми отношениями. Чтобы найти объяснение дискретным числам, которые получались в этих отношениях, он предположил, что различие внутри каждой пары характеристик (зеленый и желтый горох, например) обусловлено присутствием в растении различных дискретных единиц. Мендель использовал термин «элемент», чтобы обозначить дискретные целостности наследственности, и употреблял термин «характер», когда обсуждал внешний вид, фенотип своих растений. Большинство его рассуждений проводилось в терминах этих наблюдаемых характеров, и только более поздние интерпретаторы обратили внимание на роль лежащих в основании «элементов». Эти целостности тогда получали множество различных наименований, но теперь повсеместно известны под именем, которое предложил в 1909 г. датский биолог Вильгельм Людвиг Иогансен, гены. Более точно, различные версии генов, ответственные за частные фенотипы, например, ответственные за цвет гороха, называются аллелями. Так, зеленый горох и желтый горох соответствуют разным аллелям гена, ответственного за цвет гороха.
Чтобы объяснить простые числовые отношения, установленные Менделем, предположим, что гены — мы будем использовать современный термин — существуют парами, причем каждому характеру соответствует одна пара, и что каждая гамета (яйцеклетка и сперма у животных, семяпочка и пыльца у растений) содержит один из этих генов. Тогда при зачатии (опылении у растений) мужская и женская гаметы соединяются случайно и объединяют индивидуальные гены обратно в пары. Мендель разделил наследуемые характеристики на доминантные и рецессивные, и задним числом мы можем видеть, что это разделение приложимо также и к генам. Поэтому, если доминантный аллель объединится в пару с рецессивным, фенотип проявит характеристики доминантного аллеля. Например, эксперименты Менделя показывают, что аллель желтого гороха является доминантным по отношению к аллелю зеленого гороха, поскольку при скрещивании дающего правильное потомство желтого растения с дающим правильное потомство зеленым растением все потомки являются желтыми.
Можно проиллюстрировать эти идеи символически. Обозначим аллель желтого гороха буквой Y, а рецессивный аллель зеленого гороха буквой у (в элементарной генетике есть соглашение: доминантный аллель обозначается буквой, указывающей на соответствующее свойство, в данном случае на английское слово yellow, желтый, а его рецессивный двойник такой же, но маленькой, буквой). Дающие правильное потомство желтый и зеленый горох обозначаются соответственно как YY и yy. Гаметы каждого растения обозначаются соответственно как Y и y. Когда их скрещивают, потомство должно быть Yy, и весь горох будет желтым, потому что желтый (Y) доминантен. Теперь самоопылим эти гибриды. Поскольку гамета растения Yy может случайным образом оказаться Y или y, потомки растений Yy будут четырех видов: YY, Yy, yY и yy. Только последний из них, yy, соответствует зеленому гороху (поскольку Y доминантен в Yy и yY), так что растения являются желтыми и зелеными в отношении 3:1, в точности как и наблюдал Мендель. Он сумел распространить эту простую схему на другие характеристики и их комбинации (зеленый и карликовый горох, к примеру) и в каждом случае обнаружил, что ожидаемые отношения подтверждаются. (Именно здесь Фишер подверг его статистику атаке, поскольку отношения не были точными, а разброс результатов — который мог возникнуть из-за систематической ошибки, сдвига в желаемую сторону, при решении вопроса, является ли горошина со слегка неровной поверхностью гладкой или морщинистой — вызывал подозрения.)
Не всякая наследственность является менделевской, в смысле подчинения законам Менделя с простой статистикой. Возможно, наихудший совет в истории экспертных советов был дан немецким ботаником Карлом Вильгельмом фон Нэгели из Мюнхенского университета, который не понял аргументов Менделя и предложил ему переключить свое внимание с гороха на ястребинку (Hieracium). Но ястребинка размножается путем соматического партеногенеза (т.е. неполовым путем), и едва ли есть что-либо менее подходящее для демонстрации менделевской наследственности. Мендель, должно быть, несколько приуныл, когда его опыты с ястребинкой привели в никуда и определенно не подтверждали его идеи. Он также был подавлен результатами опытов с бобами (Phaseolus), в которых так много генов отвечают за характеристики, которые он наблюдал, что ожидаемые им простые отношения, такие ясные для гороха Pisum, оказались скрытыми.
Существуют и более тонкие причины, по которым не вся половая наследственность является менделевской, так как некоторые гены сцеплены с другими, и наследование определенных пар характеристик не является случайным. Более того, многие гены плейотропны, в том смысле, что они управляют более чем одной чертой фенотипа, и организм не является взаимно однозначным отображением характерных черт в гены. Например, мутация фруктовой мушки Drosophila, героини многих генетических штудий, приводит к недостатку пигментации ее сложных глаз и ее почек (Malpighian tubules); в другой мутации не только крылья вытягиваются в стороны, но мушка также теряет несколько волосков по бокам. Даже статистика правильной менделевской наследственности может затеняться вторичными эффектами. Например, бесхвостая кошка имеет ген, назовем его t, который мешает нормальному развитию позвоночника у Tt кошек и дает в результате знакомый бесхвостый фенотип; но если дать кошке двойную дозу этого аллеля, она становится нежизнеспособной, эмбрионы tt умирают. «Самоопыляющиеся» Tt кошки дадут поэтому в потомстве, способном к появлению на свет TT, Tt и tT в отношении 1:2, вместо ожидаемого 1:3.[6]
Эта работа отдыхала тридцать пять лет, пока ее не откопали и с неохотой признали при, возможно, несколько темных обстоятельствах, о которых мы упомянули выше. Но пока наблюдения Менделя крепко спали, биология путешествовала по другой дороге, которой суждено было раствориться в них.
Заслуживающий цитирования немецкий биолог Эрнст Геккель (1834-1919) придумал для нас термин филогения, означающий эволюционную историю вида, и предположил, что «филогения повторяет онтологию», где онтология есть развитие индивида. Он имел в виду, что превращения, которым подвергается эмбрион при развитии в матке, являются ускоренной версией эволюции вида. Он также сделал предположение, имевшее чудовищные последствия через двадцать лет после его смерти, что политика представляет собой прикладную биологию. Более уместно для текущего обсуждения предположение, сделанное им в 1868 г., о том, что ядра биологических клеток содержат информацию, которая управляет наследственностью. Немецкий эмбриолог Вальтер Флеминг дал новый импульс этому предположению, когда в 1882 г. обнаружил, что ядра клеток личинки саламандры содержат крошечные стержнеподобные структуры, которые могут окрашиваться путем поглощения определенных красителей. Основываясь На этих наблюдениях, Вильгельм фон Вальдейер в 1889 г. предложил название хромосома («окрашенное тело»).[7]
Число хромосом в ядрах клеток, как известно, трудно сосчитать, поскольку они сплетаются, расплетаются и расползаются по ядру, пока оно не подвергнется делению, и тогда они начинают удваиваться и делиться. Животные, которых мы считаем малыми, а заодно и растения, обычно имеют меньше хромосом, чем мы: у нас их двадцать три пары, а у домовой мыши только двенадцать. Томаты, однако, имеют двадцать две, а картофель, к нашему стыду, двадцать четыре. И действительно, подсчет так труден, что долгое время число хромосом у человека считали таким же, как у шимпанзе (двадцать четыре пары); и только проглотив свою гордыню и признав, что число хромосом не связано с самоуверенным восхищением собой, мы смогли принять правильное число, двадцать три.[8]
На рубеже веков биологи стали подозревать, что хромосомы являются инструментом наследственности. Эти хромосомы зашагали в ногу с менделевской наследственностью в 1902 г., когда Уолтер Саттон (1877-1916), выпускник и сотрудник Колумбийского университета в Нью-Йорке, изучавший сперму кузнечиков (а именно, большого равнинного кузнечика, Brachystola magna, который встречается повсеместно на равнинах запада Соединенных Штатов и Мексики и имеет большие клетки и сносно видимые хромосомы), обнаружил, что парные хромосомы действительно делятся, причем разные члены каждой пары попадают в разные клетки. Открытие Саттона обычно называют теорией Саттона-Бовери, поскольку Теодор Бовери (1862-1915), немецкий биолог, работавший над яичниками морских ежей, объявил в 1904 г., что он тоже пришел к этой мысли, и как раз в то же время, что и Саттон. Бовери действительно внес (наряду с другими) несколько центральных идей, но более важно, что у него были влиятельные друзья.
На этой стадии мы можем заключить, что менделевские гены заключены в саттоновских хромосомах. Мир был подготовлен к новой науке, и в 1905 г. немного странноватый Уильям Бейтсон предложил термин «генетика», сначала в письме к кембриджскому зоологу Адаму Седвику, а затем, в 1906 г., публично на третьей международной конференции по гибридизации. О тяжеловесности его стиля, а возможно, и о высотах, которых достигла связь науки с общественностью за сто лет, можно судить по его замечанию,
что этот термин в достаточной мере указывает на то, что наши труды посвящены разъяснению феномена наследственности и изменчивости: другими словами, физиологии наследования, со всеми вытекающими из нее аспектами теоретических проблем эволюционистов и систематиков, и приложениями к практическим проблемам размножения, будь то животных или растений.
Прежде чем сделать следующий шаг в генетику и внутренний мир наследственности, нам необходимо узнать, что включают в себя два решающих процесса: митоз, деление соматических клеток (обычных клеток тела), и мейоз, образование гамет (спермы и яйцеклетки, пыльцы и семяпочки) в гонадах (половых органах) животных и в пыльниковых мешочках и завязях растений. Сложность последнего процесса является одной из причин, объясняющих, почему эволюция полового размножения так трудна для понимания и почему она была столь грандиозным эволюционным подарком (глава 1). Тем не менее перед Природой возникла задача, и мейоз — а это логически гораздо более сложная задача, чем митоз — появляется там и тогда, где и когда он необходим. Тут не учебник биологии, поэтому я приведу лишь эскиз этих двух процессов, подробный настолько, насколько это необходимо для понимания дальнейшего.
Сначала рассмотрим митоз, копирование соматических клеток. Жизнь клетки циклична, и лишь около десяти процентов ее времени отведено митозу. Остальное время, однако, критически важно, поскольку на его протяжении приготовляются многие вещества, которые будут использованы в акте копирования. Большую часть этого лежащего под паром, но плодородного, времени все двадцать три пары наших хромосом вытягиваются и сложным образом распределяются по ядру клетки. При наступлении митоза (рис. 2.2) хромосомы стягиваются в спирали, становясь более подготовленными к движению в разных направлениях. На этой стадии становится также видно, что каждая хромосома уже подверглась копированию, поскольку она уже состоит из двух идентичных стержнеподобных единиц, называемых хроматидами, соединенных вместе областями, называемыми центромериями, принимая облик, похожий на вытянутое X. Затем оболочка ядра расходится, и компоненты ядра вместе с окружающей цитоплазмой, сложной смесью составов и структур, находящихся внутри стенок клетки, но вне ядра, сливаются в одно. Хроматиды теперь растаскиваются в стороны, и между двумя отрядами хромосом (которыми мы теперь считаем разделившиеся хроматиды) начинает формироваться клеточная мембрана, новая мембрана ядра начинает возникать вокруг каждой копии, спирали хромосом разворачиваются, и мы получаем уже две идентичных клетки вместо одной.
Рис. 2.2. Процесс митоза, деление соматической клетки на две копии. Первоначально хромосомы распределены по всему ядру (изображаемому здесь в виде внутренней сферы). Когда деление начинается, хромосомы свертываются в спирали, удваиваются и образуют протяженные объекты в форме буквы X (здесь мы показываем лишь два из них; в клетке человека имеются двадцать три таких пары), состоящие из двух хроматид, соединенных центромериями. Хромосомы располагаются в линию на центральной плоскости, мембрана ядра разжижается, хромосомы разделяются и по отдельности выталкиваются в цитоплазму клетки. Затем мембрана ядра преобразуется, а мембрана клетки начинает закрываться вокруг каждого из новых ядер. Наконец, хромосомы раскручиваются, и мы получаем две идентичные диплоидные клетки (клетки со спаренными хромосомами) там, где первоначально была одна.
Теперь рассмотрим мейоз, образование гамет. Этот процесс гораздо более тонок, чем митоз, поскольку конечным выходом в нем должно быть формирование четырех клеток, каждая с одной половиной от пары хромосом (которых у человека двадцать три). Этот процесс является довольно сложным, поэтому давайте проследим его шаги на рис. 2.3, где мы сосредоточились на паре хромосом. Первоначально хромосомы сплетены вместе и заполняют ядро, но при начале мейоза они расплетаются и сжимаются. На этой стадии через микроскоп становится видно, что каждая хромосома удвоилась и состоит из двух хроматид, соединенных центромериями в форме обычного вытянутого X, в точности как при митозе. Теперь, однако, пара материнских и пара отцовских хроматид движутся вместе и формируют продолговатый объект, похожий на две стороны застежки-молнии. Каждая хромосома прикрепляется к оболочке ядра своими концами, которые называются теломерами («удаленными частями»); такая постановка на якорь, возможно, помогает одной стороне «молнии» найти своего партнера. Пока две удвоенные хромосомы лежат вместе, вещество в хроматиде, представляющей отцовскую составляющую, заменяется на вещество соответствующей области хроматиды, предоставленной матерью. Это мгновение, когда в организме происходит генетическое изменение.
Рис. 2.3. Процесс мейоза, образования гамет. Стратегией мейоза является превращение диплоидной клетки в четыре гаплоидных клетки (клетки с одиночными версиями хромосом) и создание генетической композиции родительских хромосом. Мы снова показываем лишь одну пару хромосом в родительской клетке. Первоначально две хромосомы распределены по всему ядру. Однако, когда начинается мейоз, они свертываются в спирали и удваиваются, чтобы образовать две пары соединенных между собой хроматид, так же как при митозе. Однако соответствующие пары сопряженных хроматид перемещаются вместе и, находясь по соседству, обмениваются генетическим материалом. Затем они мигрируют к центральной плоскости, где происходит первое деление, подобное происходящему при митозе (в деталях мы его не показываем) и дающее в результате две клетки с двумя хромосомами в каждой. Затем следует второе митотическое деление, в котором две хромосомы каждого ядра разделяются снова. Процесс оканчивается появлением четырех гаплоидных клеток, каждая из которых содержит хромосому, представляющую собой генетическую смесь двух хромосом клеток родителей. Воспроизведение теперь, на понятийном уровне, но не механистически, является обращением мейоза, в котором одна хромосома в гамете, предоставленной одним из родителей, соединяется с другой хромосомой, предоставленной другим родителем.
После этого временного затора в истории организма, процесса кроссинговера (взаимного обмена между парами хромосом), две пары гибридных хромосом растаскиваются по двум областям — что довольно похоже на митоз, — чтобы образовать две клетки, каждая из которых содержит пару хроматид. Это «первое митотическое деление» на иллюстрации. Затем во «втором митотическом делении» каждая из пар хроматид растаскивается на индивидуальные хромосомы, которые теперь занимают индивидуальные клетки. В этой конечной точке процесса у нас оказалось четыре клетки там, где была одна, а исходный генетический материал от обоих родителей распределился по всем четырем клеткам. Хромосомы одной из этих клеток могут содержать доминантный аллель Y гена желтого гороха; в другой может находиться рецессивный аллель y зеленого гороха. Арифметика Менделя уже почти готова войти в его сад. Обратим здесь внимание на еще одну грань науки: за простотой арифметических наблюдений может лежать огромной глубины сложность, в нашем случае сложность биологической клетки.
Теперь пришло время развернуть хромосому. Что на самом деле является веществом наследственности? Каково физическое воплощение генетической информации?
Мысль о том, что наследуемая информация кодируется химически, возникала уже в девятнадцатом веке, ибо где же еще ей в конце концов находиться? Примерно с 1902 г. и была принята точка зрения, что белки представляют собой нитеподобные молекулы (обычно свернутые в шарики), построенные из набора примерно двадцати аминокислот в определенной последовательности (подробнее об этом мы скажем ниже), и возник всеобщий энтузиазм по поводу идеи о том, что генетическая информация закодирована в белках, и различные последовательности аминокислот передают различные послания от одного поколения другому. Удивляло, однако, загадочное присутствие в клеточных ядрах молекул другого типа, названного, чтобы отметить его происхождение из ядра, «нуклеиновой кислотой». Они состоят из нитей, в которые входят единицы другого типа, о них речь пойдет позже. Эти нуклеиновые кислоты находили скучными и структурно слишком простыми для того, чтобы переносить огромное количество информации, содержащейся в хромосомах. Было широко распространено предположение, что они просто входят в структуру клетки, подобно тому как целлюлоза входит в структуру растений.
Эту точку зрения пришлось переменить в 1944 г. Биохимик, игравший на корнет-а-пистоне, Освальд Эвери (1877-1955), родившийся в семье британских иммигрантов в Новой Шотландии (Канада), но сделавший свою основополагающую работу в Соединенных Штатах, исследовал различные типы пневмококков, находящихся в полости рта у пациентов, больных пневмонией, и у здоровых людей. С 1923 г. было известно, что пневмококки (бактерии, вызывающие пневмонию) появляются в нескольких разновидностях: невирулентные (незаразные) формы выглядят неровными, в то время как вирулентные штаммы выглядят гладкими. Фредерик Гриффите (1879-1941), работавший в Министерстве здравоохранения в Лондоне над Streptococcus pneumoniae, показал, что неровные и гладкие формы могут быть превращены друг в друга. Эвери и его коллеги принялись за работу в 1930 г. и вскоре обнаружили, что трансформация одного типа бактерий в другой может быть получена в экстракте из клеток и что «источник трансформации», являющийся ее эффективным агентом, может быть выделен. Эвери затем сосредоточил усилия на выяснении природы источника трансформации. Он обнаружил, что протеаза, которая является ферментом, дезактивирующим белки, не влияет на активность источника, так что источник не является белком. Он обнаружил также, что липаза, которая является ферментом, разрушающим липиды, жировые субстанции, составляющие стенки клетки, также не дает эффекта, поэтому источник не является липидом. Выяснив, какие вещества не являются источником трансформации, Эвери продолжил серию опытов, и они показали, что источником была старая, скучная нуклеиновая кислота. Это смешало все карты, и нуклеиновые кислоты встали на путь карьерного роста, как Кларк Кент на путь Супермена, чтобы вдруг оказаться самыми интересными и важными молекулами в мире.
Не всех удалось убедить. Некоторые очень привязались к белковой теории наследования и настаивали в своих публикациях, что источником трансформации является, возможно, еще не выявленный белок, ассоциированный с нуклеиновой кислотой. Эта точка зрения была решительно отвергнута в последующие несколько лет. В 1952 г. Альфред Херши (1908-97) и его ассистент, студентка последнего курса Марта Чейз обнародовали результаты своих опытов на бактериофагах, вирусах инфицирующих бактерий. Они обнаружили, что элементарный фосфор присутствует в нуклеиновых кислотах, но отсутствует в белках, а сера присутствует в белках, но отсутствует в нуклеиновых кислотах. Затем, используя радиоактивные версии каждого элемента, они проследили их путь и показали, что в процессе инфицирования в клетку бактерии попадает только нуклеиновая кислота фага, а не его белок. Этот эксперимент убедил научный мир в том, что наследуемая информация закодирована в нуклеиновой кислоте.
Тем временем был достигнут прогресс в изучении структуры одной из нуклеиновых кислот, дезоксирибонуклеиновой кислоты (ДНК). Это соединение было обнаружено в 1868 г. шведским врачом Фредериком Мишером в немецком городе Тюбингене в клетках из пропитанных гноем повязок, снятых с раненых солдат. Гной представляет собой в основном скопление белых кровяных телец, которые накапливаются для борьбы с инфекцией; хотя красные кровяные тельца млекопитающих не имеют ядер, у белых они есть, и они явились источником нуклеиновых кислот.
Чтобы понять все, что за этим последовало, нам нужно кое-что узнать о химическом устройстве ДНК. Лучше всего сделать это, разложив на части ее полное наименование, дезоксирибонуклеиновая кислота. Эта молекула подобна длинной нити, к которой регулярно по всей ее длине прикреплены другие молекулы. Сама нить построена попеременно из молекул сахара и фосфатных групп. Молекулой сахара является рибоза, близкая родственница глюкозы, из которой удален один атом кислорода (отсюда части «дезокси» и «рибо» в названии). Как можно видеть на рис. 2.4, рибоза состоит из простого кольца, содержащего четыре атома углерода и один атом кислорода, и всяких кусочков, прикрепленных к кольцу. Фосфатные группы, связывающие вместе кольца дезоксирибозы состоят из атома фосфора (вспомним опыты Херши), к которому прикреплены четыре атома кислорода. Позвоночником для ДНК служит чередование фосфатных и дезоксирибозных групп, достигающее сотен и тысяч повторений, подобное хрупкой жемчужной нити.
Рис. 2.4. Структура дезоксирибонуклеиновой кислоты (ДНК). Мы можем понять структуру этой сложной молекулы, взглянув, как она слагается из простых компонент. Слева вверху мы видим молекулу сахара рибозы. Эта молекула является кольцом из четырех атомов углерода (C) и одного атома кислорода (O), с различными частицами и кусочками, прикрепленными к нему. Теперь вообразите, что один атом кислорода, прикрепленный к атому углерода на юго-востоке кольца (стрелка 1), удален, чтобы получилась дезоксирибоза, а к другому концу молекулы прицеплена фосфатная группа. Теперь представьте, что молекулярная группа — нуклеотидное основание (смотрите на рис. 2.5, но представляйте комочек здесь) — прикреплена к одному из углеродных атомов кольца (стрелка 2), а фосфатная группа связана с другим углеродным атомом кольца (стрелка 3), чтобы образовать цепь, как показано справа. Это цепь ДНК.
Это позвоночник. К каждому кольцу дезоксирибозы прикреплены другие молекулы, называемые нуклеотидными основаниями. Термин «основание» в этом названии имеет техническое происхождение, так как в химии основными называют соединения, вступающие в реакции с кислотой: основными эти соединения делает присутствие атомов азота в их молекулах, верный признак основных соединений в химии. В ДНК встречаются только четыре нуклеотидных основания, а именно, аденин (обычно обозначаемый буквой A), гуанин (G), цитозин (C) и тимин (T). Аденин и гуанин имеют во многом похожие формы, с двумя углеродными кольцами и атомами азота, сцепленными вместе. Эти структуры характерны для класса соединений, которые химики называют «пуринами». Напротив, цитозин и тимин имеют лишь одно углеродное кольцо с атомами азота. Эти структуры характерны для класса соединений, называемых «пиримидинами». Чтобы вообразить молекулу ДНК, представьте себе, что одно из этих четырех оснований прикреплено к каждому кольцу рибозы на позвоночнике, причем выбор основания в каждом положении с виду случаен. Возможно, вы начнете понимать, почему люди считали ДНК скучной.
Рис. 2.5. Четыре основания, образующие буквы генетического кода. Аденин (A) и гуанин (G) являются пуринами, цитозин (C) и тимин (T) — пиримидины. (Не помеченные маленькие светло-серые атомы являются водородом.) Стрелками указаны атомы азота, формирующие связи с молекулами рибозы в ДНК.
Как только в ДНК увидели генетическое вещество, возник огромный интерес к деталям ее структуры. Туман над этой структурой начал развеиваться, когда австро-американский биохимик Эрвин Чаргафф (р. 1905), родившийся в городе Черновцы в западной Украине (входившем в Австрию под именем Черновиц) и эмигрировавший в Соединенные Штаты для работы в Колумбийском университете в Нью-Йорке, обратил свое внимание на эту проблему. В 1950, используя новую технику «бумажной хроматографии», которая позволяла разделять и идентифицировать тесно связанные виды соединений путем нанесения их смесей на полоску бумаги, Чаргафф обнаружил равные количества аденина и тимина и равные количества гуанина и цитозина, независимо от вида ткани, из которой он экстрагировал ДНК. Из этого следовало предположение, что аденин каким-то образом всегда ассоциирован с тимином, а гуанин всегда ассоциирован с цитозином. Он также обнаружил, что пропорции долей каждой пары оснований различаются от вида к виду, но являются одинаковыми для различных клеток одного и того же животного. Наблюдения показали, что существует не одна, а много ДНК, и что состав каждой ДНК специфичен для данного организма, в точности как если бы это была его светокопия. Чаргафф также обнаружил, что какие бы виды он ни использовал в качестве источника ДНК, полное количество пуринов (двойных колец аденина и гуанина) является таким же, как полное количество пиримидинов (одиночных колец цитозина и тимина). Вся эта информация оказалась, безусловно, решающей для распознавания структуры ДНК и, как выяснилось задним числом, является почти достаточной, чтобы понять структуру молекулы.
Роль ветра, который окончательно унес остатки тумана, сыграла информация, полученная с помощью экспериментов по диффракции рентгеновских лучей, которые провели новозеландец Морис Уилкинс (р. 1916) и Розалинда Франклин (1920-1958) в Королевском колледже в Лондоне, и дальнейшее развитие их результатов Френсисом Криком (р. 1916 в Нортгемптоне) и Джеймсом Уотсоном (р. 1928 в Чикаго) в Кембридже. Как уже в тысячу раз было пересказано, это была история надувательства, соперничества, напористости, рвения, враждебности, трагедий, женоненавистничества, мошеннических трюков, в большей мере, чем можно вообразить. Вероятно, нельзя считать слишком большим сюрпризом тот факт, что одно из наиболее важных открытий двадцатого века с неизбежностью вызвало к жизни наиболее человеческие эмоции и взаимоотношения.
Трагической фигурой, безусловно, была Франклин, умершая в тридцать семь лет от рака яичников, почти наверняка вызванного облучением рентгеновскими лучами, которыми она пользовалась в своей работе: жизнь не выдает своих секретов, не требуя жизни взамен. Соблазнительно было бы произвести Франклин из трагической фигуры в трагическую героиню и поставить ее в центр всей истории, но это не соответствует фактам. Факты этой очень человеческой истории выглядят следующим образом. Они должны дать абрис обстановки в Британии середины двадцатого века, когда с сегодняшней точки зрения отношение мужчин к женщинам было… неразвитым.
Уилкинс работал над ДНК в Королевском колледже, когда глава лаборатории, намереваясь построить рентгеновский аппарат, пригласил Франклин поработать в колледже и вложить в дело свои специальные познания в рентгеновской кристаллографии. Она приобрела эти познания, изучая микроструктуру угля в парижской лаборатории и была живо заинтересована в том, чтобы переключить свое внимание на живую жизнь в большей степени, чем на ископаемую. Было не вполне ясно, удастся ли ей совершить эту перемену места работы, поскольку Королевский колледж в то время запрещал женщинам находиться в его общей комнате.[9] Уилкинс отсутствовал в момент ее появления и, возвратясь, был приведен в замешательство ролью новой сотрудницы. Немедленно произошло столкновение темпераментов, и каждый из соперников создал свою лабораторию для работы над ДНК. Обе группы вскоре получили весьма неплохие рентгеновские фотографии нитей, образующих эту молекулу. На конференции в Неаполе Уилкинс встретил молодого американского биолога Джеймса Уотсона и показал ему свои изображения. Это побудило Уотсона начать работу над структурой ДНК, и в сентябре 1951 г. он отправился в Кембридж, чтобы изучить дифракцию рентгеновских лучей в лаборатории, которой заведовал сэр Лоуренс Брэгг, один из основателей рентгеновской кристаллографии. Здесь Уотсон встретил Френсиса Крика, как раз заканчивавшего докторскую диссертацию.
В ноябре 1951 г. эти два потока усилий столкнулись, один, имевший тщательно проделанные измерения, но лишенный отваги (или способности) предложить собственную их интерпретацию, другой со смелыми умозаключениями, но без ресурсов (или терпения) для проведения измерений. Уотсон приехал в Лондон и выслушал сообщение Франклин о ее работе. Он поторопился назад в Кембридж, где вместе с Криком они построили модель, которую считали соответствующей тому, что Уотсон смог запомнить из данных Франклин, и пригласили Лондонскую команду приехать и посмотреть на нее. Построение моделей — реальных физических моделей, собранных из проволоки и кусков металла — демонстрировало могущество техники в деле прояснения структуры белков, и Крик и Уотсон просто следовали моде своего времени. Лондонская команда приехала и немедленно отвергла модель как несогласующуюся с их данными. Они также отвергли и сам метод сооружения моделей, метод потенциально (а как оказалось, и реально) продуктивный. Более того, Брэгг приказал Крику и Уотсону прекратить работу над ДНК, оставив ее Лондонской команде, которой и принадлежал весь проект. Отношение к собственности в науке, так же как отношение к женщине, изменилось с тех пор: возможно, следующий шаг и отмечает поворотный пункт к будущему.
В 1952 г. Крик и Уотсон узнали, что Линус Полинг, весьма успешно исследовавший структуру белков, в которой Брэгг не разбирался, работает над той же проблемой. Если работает Полинг, решили они, значит, собственность на проблему уже ускользнула из рук лондонцев, и они имеют право работать над ней, как и любой другой. Далее случилось нечто немного странное. В этот момент Уилкинс без ведома Франклин показал Уотсону одну из ее рентгеновских фотографий (рис. 2.6), а Макс Перуц предоставил ему и Крику неопубликованный доклад в Совете медицинских исследований, в котором Франклин сводила вместе свои последние данные. Наконец-то они получили некоторые определенные числа, характеризующие размеры спиральной молекулы, и смогли подогнать к ней свою модель. Через несколько недель они уже имели возможность с триумфом отослать Уилкинсу свою знаменитую модель, и он ее получил. Трио публикаций, одна Крика и Уотсона, одна группы Уилкинса и одна группы Франклин (Франклин так никогда и не узнала, что Уилкинс воспользовался ее данными), появилось в Nature 25 апреля 1953 г. Две последних предоставили данные эксперимента, подтверждающие умозрения первой. Эта дата, 25 апреля 1953 г., является днем рождения современной биологии.
Рис. 2.6. Этот снимок дифракции рентгеновских лучей, полученный Розалиндой Франклин, был решающей для понимания детальной структуры ДНК частью экспериментальных данных. Он подтверждает, что эта молекула имеет форму двойной спирали, а детали фотографии могут быть использованы для определения размеров этой спирали.
Структура ДНК теперь повсеместно известна как знаменитая символическая правосторонняя двойная спираль, в которой одна длинная нить нуклеиновой кислоты обернута вокруг другой, образуя сплетенную пару (рис. 2.7), которая весьма похожа на сплетенные лестницы входа для публики в музее Ватикана[10], что выглядит немного иронично. Ключевым моментом, однако, оказывается то, что нуклеотидные основания одной нити являются парными к нуклеотидам другой (рис. 2.8), так что аденин всегда в паре с тимином (что мы обозначаем как A…T), а гуанин всегда вместе с цитозином (что обозначаем как G…C). Эта парность соответствует наблюдению Чарграффа, показавшему, что количество аденина в его образцах таково же, как количество тимина, а количество гуанина равно количеству цитозина: комплементарность гарантирует равенство их количеств. Можно также отметить, что относительно маленький пурин (аденин и гуанин) всегда спарен с более крупным пиримидином (тимин и цитозин), поскольку таким способом поддерживается форма двойной спирали: два больших пурина попадают в выпуклость, а два маленьких пиримидина в снижающуюся часть витка спирали. Парность соответствует и другому наблюдению Чарграффа: количество пуринов (A+G) в образце равно количеству пиримидинов (T+C).
Рис. 2.7 Двойная спираль ДНК. Две нити нуклеиновой кислоты накручены друг на друга, образуя сплетенную двойную спираль с одним узким и одним широким желобом. Две нити удерживаются вместе водородными связями между основаниями, причем пуриновые основания (A, G), представленные длинными стержнями, связаны с пиримидиновыми основаниями (C, T), представленными короткими стержнями. Парными всегда являются А…T и G…C.
Рис. 2.8. Пары оснований, которые удерживаются вместе на нити ДНК, создавая двойную спираль. Водородные связи между молекулами представлены линиями. Заметьте, что пурин связывается с пиримидином и что объемы обеих пар приблизительно одинаковы.
Две нити нуклеиновой кислоты сцеплены между собой благодаря весьма специфическому виду химической связи, известному как водородная связь. Когда я говорю «специфический вид связи», я не имею в виду его малую распространенность, поскольку почти каждая молекула воды в каждом океане связана со своими соседями посредством этого вида, так что только в океанах есть 1044 таких случаев, не считая гораздо большего их числа в других местах. Водородная связь является специфической в том смысле, что она формируется необычным путем и только между несколькими определенными атомами, среди которых кислород и азот. При образовании этой связи атом водорода (который настолько мал, насколько вообще это возможно для атома) попадает между двумя другими атомами и, действуя подобно клею, связывает их вместе. Одним из ключей к пониманию двойной спирали является то, что, как видно на рис. 2.8, форма и расположение атомов азота, кислорода и водорода в тимине и аденине как раз подходят для формирования двух очень удобных водородных связей. Цитозин и гуанин тоже очень удачно подходят друг к другу, но образуют три водородных связи. Тот факт, что водородные связи много слабее, чем обычные химические связи, держащие вместе атомы устойчивых молекул, означает, что две составляющих двойной спирали могут довольно легко отрываться друг от друга, оставляя сами нити нуклеиновой кислоты неповрежденными, в точности так же, как испаряется вода без разрушения ее индивидуальных молекул.
Теперь мы способны понять, почему Уотсон и Крик смогли заключить свою короткую, но удивительную статью скромным замечанием:
От нашего внимания не ускользнуло, что специфический вид образования пар, который мы постулировали, немедленно предлагает возможный механизм копирования генетического материала.
Конечно, именно тот факт, что модель оказалась столь пригодной для объяснения копирования, и стал реальной причиной того, что она столь быстро была принята, несмотря на то даже, что детализированная, точная структура молекулы была установлена лишь в конце 1970-х гг. Чтобы понять суть этой привлекательной и неотразимой идеи, предположим, что две нити имеют следующие последовательности нуклеотидных оснований:
…АССAGTAGGTCА…
…TGGTCATCCAGT…
где первое A в верхней нити связано водородной связью с первым T в нижней нити, C таким же образом связано с G и так далее. Затем предположим, что нити разделились на
…АССAGTAGGTCА… и …TGGTCATCCAGT…
Теперь предположим, что в клетке существует запас нуклеотидных оснований. Тогда они будут прикрепляться к разделенным нитям, каждая из которых создает шаблон для создания новой нити, и сформируют
…ACCAGTAGGTCA… и …TGGTCATCCAGT…
…TGGTCATCCAGT… и …ACCAGTAGGTCA…
Теперь у нас есть две идентичных двойных спирали там, где раньше была одна. У нас есть репродуцирование!
На этом месте относительно легко установить соответствие с хромосомной моделью репродуцирования, которую мы обсуждали ранее в этой главе. Все, что нужно для этого сделать, это представить себе хромосому как нить ДНК. Тогда процесс митоза является просто — это слово, как всегда, нуждается в проверке — удвоением двойной спирали.
Теперь это слово — «просто». Одна из встающих перед нами проблем состоит в том, что молекула ДНК очень длинная: если ДНК человека из набора двадцати трех его хромосом (с одной молекулой ДНК в каждой хромосоме) вытянуть и соединить между собой, их длина окажется около метра, и все это хозяйство должно быть заключено в малюсенькое ядро клетки. Поскольку хромосомы являются двойными и в теле человека содержится около ста триллионов клеток, общая длина хромосом внутри каждого из нас огромна. Вспомним две сотни клеток, необходимых для покрытия точки над i: эти клетки содержат около 400 метров ДНК. Чтобы достичь такого чудесного мастерства в упаковке, двойная спираль наматывается на кластеры из молекул белка, называемые гистонами, которые работают как веретено. Затем эти веретена наматываются друг на друга, Катушка наматывается сама на себя, становясь суперкатушкой, а насколько туго она намотана, зависит от того, скатывались ли хромосомы так, как это происходит при митозе, или распространялись по ядру, как это бывает в остальное время жизни клетки (рис. 2.9).
Рис. 2.9. Двойная спираль ДНК подвергается большому количеству скручиваний и сверхскручиваний при паковке в ядро клетки. Эта диаграмма демонстрирует детали упаковки. Внизу мы видим саму двойную спираль ДНК. Эта молекула обертывается вокруг молекул гистонов, изображенных в виде сфер, и результирующая катушка ДНК сворачивается, чтобы вышло сооружение из катушек, свернутых в катушку, показанное на третьем снизу уровне диаграммы. Эта катушка из катушек скручивается снова, снова и снова, чтобы достичь сверхскрученной упаковки молекул, и сама эта сверхскрученная молекула скручивается в хромосому, показанную наверху.
В ДНК человека имеется примерно 3 миллиарда пар оснований, а у маленького вируса только около пяти тысяч. Мы можем гордиться своей сложностью. Однако у тритона (Triturus cristatus) имеется 20 миллиардов пар оснований, что и для нас открывает перспективу. Мы можем, извиваясь подобно тритонам от такой неприятности, возражать, что большая часть ДНК избыточна. Возможно, у тритонов она в особенности избыточна, и могла возникнуть, когда на поздней стадии своей эволюции этот вид принял в свои клетки удвоенное количество хромосом (то есть стал «диплоидным», как мы), а до этого имел «одинарное» множество (то есть был «гаплоидным», как клетка гаметы).
Молекула ДНК есть хранилище информации, по существу представляющей собой послание, передаваемое через поколения. Это послание содержит всю информацию, необходимую для конструирования и поддержания организма, в котором оно обитает. Возникают очевидные вопросы: что это за информация, как она кодируется, как она интерпретируется?
Рабочими пчелами в улье из клеток-ячеек, который представляет собой живой организм, являются белки. Белки могут быть структурными, как в мускулах, хрящах, копытах, когтях и волосах, или могут быть функциональными, как в гемоглобине и бесчисленных ферментах, контролирующих процессы, образующие состояние «быть живым». Спецификация белков есть центральная функция наследственности, так что мы можем быть уверенными, что ДНК есть некий вид проекта или рецепта наших белков. Это подтверждено экспериментально, поскольку изменения ДНК влекут изменения белков. Чаще всего такие изменения приводят к плохому функционированию белков, которое мы называем болезнью. Но иногда они благоприятны, и в этом случае болезнь получает повышение до статуса эволюции.
Как мы уже упоминали, белки представляют собой нити маленьких молекул, называемых «аминокислотами» и имеющих базовую структуру, показанную на рис. 2.10. Более формально мы говорим, что белок есть полипептид, и типичные белки являются полипептидами, состоящими примерно из ста единиц аминокислот (в структурных белках это число может достигать тысяч). Полная экипировка человеческого тела, около 30 тысяч различных белков, сконструирована ровно из двадцати аминокислот, так что молекула ДНК должна определять последовательность, в которой эти двадцать аминокислот связываются вместе. Между прочим, здесь может найтись место для усовершенствований. Хотя организмы построены из этих двадцати компонент, существует бесконечное количество других аминокислот, и если бы Природа захотела расширить свой репертуар (как, возможно, она уже сделала на других планетах), она могла бы расчистить место для других аминокислот. Жизнь на других планетах вполне может быть построена из иных аминокислот, и нам придется быть осторожными в еде, когда мы туда попадем. Природа и в самом деле готовится к экспансии на Земле, поскольку двадцать первая аминокислота, селеноцистеин, в которой атом селена замещает атом меди, вдруг оказалась необходимой для некоторых ферментов, помогающих защищать клетки от наиболее опасного элемента, кислорода. Если бы вы прочли об этом, находясь на севере Центрального Китая, вы могли бы встревожиться, поскольку почва там содержит необычно мало селена, и вы рискуете получить синдром Кашина-Бека, который проявляется в проблемах с мускулами.
Рис. 2.10. Белок строится из аминокислот, каждая из которых имеет структуру, изображенную слева на этой иллюстрации. Серый эллипс различен для разных случаев, но все аминокислоты, фигурирующие в биологии, имеют общую схему. Когда две аминокислоты связываются вместе, атом углерода в группе -COOH (в правой части молекулы) прикрепляется к атому азота (в левой части молекулы). Множество аминокислот соединяются вместе так, чтобы образовать длинную цепь, как показывает структура справа. Вообще такая цепь называется полипептидом, а цепь из двух связанных аминокислот — дипептидом. Группа -CONH-, отмеченная затененной плоскостью в цепи, является пептидной связью. Мы говорим, что один пептидный «радикал» (остаток молекулы аминокислоты) связан с другим радикалом пептидной связью. Длинная цепь обычно скручивается в спирали, как можно видеть на фрагменте гемоглобина, изображенном на заднем плане, где спирали в виде лент изображают полипептидные цепи.
Поскольку молекула ДНК состоит из последовательности нуклеотидов A, C, G и T, естественно предположить, что они являются «буквами», из которых комбинируются «слова», кодоны, определяющие последовательность, в которой должны связываться аминокислоты. Поскольку есть только четыре буквы, а нам нужно определить двадцать аминокислот, вместе с указаниями, где им начинаться и кончаться, этот код, очевидно, не может быть ни однобуквенным, ни двухбуквенным. Однобуквенный код может идентифицировать только четыре аминокислоты, а двухбуквенный код способен идентифицировать только шестнадцать. Трехбуквенным кодом, в котором ACG обозначает одну аминокислоту, CAT другую, и т.д., можно определить 43=64 аминокислоты и знака пунктуации, что более чем достаточно. Подозревая Природу в естественной скупости (то есть в бессознательном, но эффективном использовании скудных ресурсов и в бессознательном, но эффективном избегании излишних затрат энергии), мы можем ожидать, что генетический код является триплетным кодом, кодом, основанным на трехбуквенных кодонах. Нет никаких априорных оснований для того, чтобы отвергнуть переменный код, в котором две буквы означают одни аминокислоты, три — другие и так далее; но Природа не приняла это неэлегантное решение, и проявила милосердие к ранним исследователям, вознамерившимся взломать генетический код, когда оказалось, что у них нет необходимости исследовать этот тупик. Одно из преимуществ триплетного кода состоит в том, что он позволяет Природе расширять свой репертуар, используя некоторую избыточность кода для кодирования новых аминокислот. Это уже дает намек на способ, которым может развиваться такое расширение. Как мы только что видели, иногда появляется двадцать первая аминокислота, селеноцистеин: триплетным кодом для этой аминокислоты является TGA. Он же используется как сигнал остановки и меняет свою функцию в зависимости от наличия селена. Если селен доступен, TGA говорит «даешь селеноцистеин», если нет, TGA командует «стоп машина, хватит строить этот белок».
Взломщики кодов все же исследовали тупиковые пути, иногда с большой элегантностью, но делали это в манере Аристотеля, сидя в кресле. Эксперимент вмешался снова и показал, что Природа не принимает наиболее элегантные, экономные схемы, которые выбрали бы люди, если бы власть была у них. Генетический код казался кодом, о котором взломщики кодов всегда мечтали, поскольку символов было так мало (четыре), а зашифрован был не приказ о наступлении, а всего лишь одна из приблизительно двадцати возможностей. В то время, в 1953 г., данных почти не было, ибо никто не знал ни одной нуклеотидной последовательности ДНК, а известные последовательности аминокислот в белках были известны весьма приблизительно: Фредерик Сэнгер (р. 1918) был близок к завершению своей дешифровки белка инсулина (которую он закончил в 1955 г.), но это было почти все. Открылось множество возможностей для неограниченного воображения.
Русский физик Георгий Гамов (1904-1968) бесспорно обладал неограниченным воображением, поскольку он инициировал теорию происхождения Вселенной в результате Большого Взрыва и придумал теорию происхождения элементарных частиц. Он интересовался всем, и вполне естественно, что его внимание привлекла самая животрепещущая проблема 50-х, генетический код. Гамов выдвинул блистательную идею: белки растут на внешней стороне двойной спирали в ромбоидальных полостях, расположенных в желобках спирали. Эти полости образованы четырьмя нуклеотидными основаниями, два из одной нити, на вершине и на дне ромба, а в двух других углах основание из той же нити и его партнер из другой. Это остроумное решение дает триплетный код, даже несмотря на то, что в него входят четыре нуклеотида, потому что два последних (пара комплементарных оснований, например, А…T) считаются за одну букву (ведь если одним основанием является А, то другим непременно будет T). Затем он представил себе, что аминокислоты располагаются в соответствующих им нишах, а пробегающие мимо ферменты скрепляют их вместе. Далее он предположил, что ромбы, связанные закручиванием горизонтально или вертикально, кодируют одну и ту же аминокислоту, и в результате остается только двадцать различных кодонов, как раз то число, которое, как он полагал, было необходимо. Изобретательность, однако, в этом случае заставила сделать ложный шаг, здесь не хватало избыточности и не было места для кодонов запуска и остановки. С оптимизмом, который порождается энтузиазмом, с оптимизмом, произошедшим из энтузиазма, Гамов думал, что он, видимо, нашел путь к решению проблемы.
Ромбический код Гамова обладает еще одним особым свойством: он является перекрывающимся кодом, в том смысле, что каждое нуклеотидное основание входит одновременно в три кодона. Так, последовательность AGTCTTG состоит из кодонов AGTCTTG, AGTCTTG, AGTCTTG, AGTCTTG и AGTCTTG. Перекрывающийся код очень эффективен и компактен, что, казалось бы, делает его для Природы привлекательным кандидатом на занятие должности. У Природы, однако, были иные идеи. Одна из проблем, создаваемых перекрывающимся кодом, состоит в том, что многие аминокислотные последовательности оказываются вне игры. Например, предположим, что мы хотим закодировать дипептид, очень маленький белок, состоящий из двух аминокислот. Его образцом является заменитель сахара аспартам, комбинация слегка модифицированных форм двух аминокислот, аспарагиновой кислоты и фенилаланина. Поскольку существуют двадцать естественно образующихся аминокислот, существует 20×20=400 возможных дипептидов. Чтобы закодировать две аминокислоты перекрывающимся кодом, необходимы четыре основания, например, CCGA, чтобы получить CCGA для аминокислоты пролина (которую означает данный триплет) и CCGA для аргинина. Но существует всего 4×4×4×4=256 возможных комбинаций из четырех нуклеотидных оснований, поэтому многие дипептиды не могут быть закодированы (аспартам является одним из них). Однако эти запрещенные комбинации начинают обнаруживать, а это показывает, что Природа не использует элегантность перекрывающегося кода: она требует большей гибкости для своих действий в непрекращающейся взыскательной игре эволюции. Сидни Бреннер (р. 1927) осуществил исчерпывающий анализ этой проблемы: он показал, что все возможные перекрывающиеся коды не совместимы с известными последовательностями аминокислот. Другим, даже более заметным гвоздем в этом, теперь уже плотно заколоченном, гробу явился тот факт, что изменение одной буквы может изменить состав белка сразу на три аминокислоты. Действительно, если бы цепочка AGTCTTG подверглась мутации AGGCTTG, то она состояла бы из кодонов AGGCTTG, AGGCTTG, AGGCTTG и так далее, возможно, со зловещими последствиями для белка и организма, который часто не может пережить замены даже одного основания.
Существовал еще один тупиковый путь среди экономичных и элегантных идей, к которым так благосклонны умозрительные физики и которые Природа с презрением отвергает. Это была проблема пунктуации. Как мы можем узнать, где начало? Даже в неперекрывающемся коде …AGTCTTG… возможны разночтения …(AGT)(CTT)(G…, …A)(GTC)(TTG)…, …AG)(TCT)(TG… и так далее. Различные выборы, представленные этими примерами, называются чтением кода скользящим окном. Крик предположил, что в клетке существуют механизмы только для определенных кодонов и что код должен быть таким, чтобы чтение скользящим окном приводило к чепухе. Предположим, что в приведенном примере правильным прочтением является …(AGT)(CTT)(G…, тогда AGT и CTT были бы подходящими кодонами, а чтение скользящим окном GTC и TCT было бы чепухой. Коды такого рода называются кодами без запятых, поскольку их можно однозначно прочесть без пунктуации. Если, имея в виду это ограничение, исследовать шестьдесят четыре кандидата в кодоны, оказывается, что легитимными могут быть только двадцать, в точности число, которое предполагалось и требовалось. Например, ТТТ не подходит, поскольку комбинация …TTTTTT… содержит неоднозначность, допускающую чтение скользящим окном: …(TTT)(TTT)… и …T)(TTT)(TT…. А раз оказалось, что этот код обеспечивает требуемое число кодонов и позволяет избежать проблемы чтения скользящим окном, он был немедленно и всеми принят.
Но только не Природой. Она раздавила своей пятой и этот вид неограниченного умозрения и остановила дальнейшее расточение пышных фантазий в 1961 г. Акт раздавливания зарегистрировали Маршалл Ниренберг и Генрих Маттей, которые показали, что TTT является вполне пригодным кодоном и что он означает фенилаланин. Так элегантный и экономный код без запятых был обращен в пыль.
Оказалось, что Природа блефовала в своей обычной бессознательной и непреднамеренно коварной манере. Она произвела самый простой код из всех возможных, не заботясь об избыточности и не обращая особого внимания на проблему чтения кода скользящим окном. Настоящий генетический код, который постепенно был собран по кусочкам в 1960-е гг., существенно избыточен, в нем до шести кодонов могут соответствовать одной и той же аминокислоте и три означают остановку (рис. 2.11). Как можно видеть задним числом, избыточность является очень умным ходом, поскольку уменьшает вероятность того, что «ошибки» копирования будут иметь фатальные последствия. Например, каждая из групп CCT, CCC, CCA и CCG кодирует пролин, так, что ошибки в последней букве не важны. Даже когда изменение одной буквы является значимым, результатом этого часто является замена одной аминокислоты на другую, ей подобную. К примеру, замена TTT на TAT приводит к замещению фенилаланина его кузеном тирозином. Код является в этом отношении почти оптимальным. В результате, поскольку все шестьдесят четыре кодона являются жизнеспособными, Природа имеет пространство для вариаций и экспериментов, как нам уже доводилось отмечать выше.
Рис. 2.11. Генетический код и структуры аминокислот в обозначениях трехбуквенных кодонов. Например, читая от центра, кодон UAC кодирует тирозин (Tyr). Заметим, что U означает урацил (рис. 2.12). Все аминокислоты имеют обозначения, показанные внутри круга. Заметим, что некоторые аминокислоты встречаются более чем в одном положении и что код существенно избыточен, особенно в своей третьей букве. Например, все тройки ACG, ACU, ACT и АСА являются кодом для треонина (Thr).
Вопрос о способе интерпретации кода внутриклеточными механизмами был третьим барьером, который надо было взять. Основная проблема состояла в том, что ДНК заключена в ядре клетки, в то время как синтез белка происходит в окружающей его цитоплазме. Молекула ДНК слишком велика, чтобы проникнуть в цитоплазму через мембрану ядра. Так каким же образом информация доставляется к месту своего использования?
В дело вступает рибонуклеиновая кислота (РНК), более примитивная версия ДНК. Рибонуклеиновые кислоты имеют ту же общую структуру, что и ДНК, состоящую из сахаро-фосфатного позвоночника с нуклеотидными основаниями, прицепленными к нему. Однако сахар является скорее рибозой, чем дезоксирибозой (поэтому Р в РНК находится на месте Д в ДНК), в которой дополнительный атом кислорода, изначально присутствующий в рибозе, не отщеплен. Кроме того, на месте тимина в РНК находится немного иной, но весьма похожий на него пиримидин урацил (U на рис. 2.12). Не вполне ясно, почему U здесь предпочтительнее, чем T, и почему в позвоночнике рибоза предпочтительнее, чем дезоксирибоза: возможно, это обусловлено несколько иной прочностью водородных связей, формирующих данную молекулу. Но главным отличием является то, что РНК состоит из одной нити. Это позволяет предположить, что первоначально РНК была субстанцией кодирования, но ее функция была перехвачена более устойчивой ДНК на ранней стадии эволюции. Такую точку зрения в определенной степени подтверждает то, что, как показывают наблюдения, РНК может иногда вести себя как фермент. Эта ее функция позволяет решить одну из проблем происхождения жизни: что было раньше, курица (ферменты, необходимые для того, чтобы генетический материал можно было использовать) или яйцо (генетический материал, необходимый для спецификации ферментов).
Рис. 2.12. Основание урацил, U, которое появляется на месте тимина в молекуле РНК. Урацил отличается от тимина потерей метиловой группы (СН3) в северо-восточном углу молекулы последнего. Стрелка указывает точку прикрепления рибозы, а точечные линии отмечают положение водородных связей, которые эта молекула образует с аденином.
Существуют два главных типа РНК, а именно, информационная РНК (иРНК) и транспортная РНК (тРНК). Сначала мы сосредоточим внимание на иРНК, поскольку она переносит в цитоплазму информацию, закодированную в ДНК. Цепочка иРНК становится носителем информации потому, что ее синтез производится способом, весьма похожим на образование копий ДНК, где одна нить ДНК выполняет роль фермента, РНК полимеразы, и используется как шаблон для создания иРНК. Используется только одна нить, но это не обязательно, та же самая нить, которая используется в хромосоме, и копирование всегда происходит в одном и том же направлении вдоль нити (здесь и речи не может быть о каком-то подобии Бетховену, исполняющему музыкальные произведения задом наперед). Копирование происходит почти с пулеметной скоростью, энергичная РНК полимераза копирует около тридцати оснований в секунду, и на запись полного комплекта ДНК одной клетки уходит семь часов. Примерно одно из миллиона оснований копируется с ошибкой, но ферменты, корректирующие чтение, всегда на страже и исправляют большинство ошибок, оставляя около одной на 10 миллиардов оснований. Когда процесс копирования доходит до кодона «стоп», иРНК заканчивает свое формирование и транспортируется от ДНК и далее, через поры в мембране, в цитоплазму, неся в себе точную информацию.
А дальше нас ждут рибосомы (рис. 2.13). Эти ловкие маленькие органеллы (специализированные компоненты клетки с особыми функциями) образуются путем соединения белков и РНК, упакованных в две отдельных капельки, которые затем объединяются в одну функциональную единицу, прикрепляясь к иРНК, чтобы выйти из ядра клетки в опасный химический мир цитоплазмы. Другой компонентой цитоплазмы, на которую нам следует обратить внимание на этой стадии, является транспортная РНК, нуклеиновая кислота, которая реально создает белки.
Рис. 2.13. Рибосома состоит из двух компонент неодинакового размера, которые соединяются вместе, чтобы образовать единый объект (справа), когда начинается копирование. Каждая из этих частей является маленькой фабрикой. Большая компонента обычно состоит из двух молекул рибосомной РНК (рРНК) с длиной 2900 и 120 оснований соответственно и около тридцати двух различных белков, в большинстве случаев в одном экземпляре. В маленькой компоненте имеются одна молекула рРНК длиной в 1540 оснований и по одной копии каждого из двадцати одного различного белка.
На рис. 2.14 в различных формах показана конструкция молекулы тРНК. В ней есть две важных части. Петля антикодона является инструментом, опознающим кодоны в иРНК. Например, если кодоном является CGU, кодирующий аргинин, то антикодоном будет дополнительная последовательность GCA, которая может найти кодон CGU, выбирая парные водородные связи и приклеиваясь к нему подобно застежке-липучке. Другой важной частью является место крепления на конце цепочки нуклеиновой кислоты. Это еще одна часть молекулы, подобная застежке-молнии, содержащая последовательность нуклеотидов, способную прикрепляться к одной и только одной аминокислоте, в данном случае аргинину.
Рис. 2.14. Молекула транспортной РНК (тРНК). Биологические молекулы столь сложны, что, в зависимости от черт, которые мы намереваемся отобразить, приходится пользоваться для их описания различными представлениями. Слева мы видим схематический план расположения оснований (квадраты) и общую форму молекулы. Антикодон является частью, которая служит для определения последовательности кодонов в информационной РНК, а соответствующая аминокислота прикрепляется к месту, показанному на схеме. Вторая иллюстрация демонстрирует индивидуальные связи в реальной молекуле тРНК (это РНК дрожжей фенилаланина). Чтобы дать более полное представление, на третьей схеме показан скелет ее структуры, наложенный на структуру связей. Наконец, на четвертой схеме показаны все атомы и дается представление об объемном заполнении формы молекулы, но детали нам (но не другим молекулам) различить трудно.
Теперь мы можем посмотреть, что происходит в цитоплазме, когда рибосома захватывает кусочек иРНК. Рибосома задерживается у первого кодона, и различные молекулы тРНК пытают счастья, но не прилепляются из-за того, что их антикодоны оказываются неподходящими (рис. 2.15). Затем подходит молекула тРНК с антикодоном для GUU и валином, прилепленным к ее месту крепления. Она приклеивается и дает возможность рибосоме передвинуться к следующему кодону, который может оказаться AGC. В свой черед мимо проплывает тРНК с антикодоном для AGC, неся молекулу серина, которую она захватила, столкнувшись с нею где-то в цитоплазме. Антикодон сцепляется с кодоном, располагая свою молекулу серина рядом с молекулой валина; фермент отрывает валин от его тРНК и прикрепляет к молекуле серина, формируя дипептид валин-серин, а освобожденная первая тРНК потихоньку отбывает в раствор для бессознательного поиска следующего валина. Теперь рибосома проскакивает к следующему кодону, и процесс повторяется. Постепенно цепочка белка растет и исходная информация, записанная в ДНК ядра, превращается в настоящий белок. Жизнь продолжается.
Рис. 2.15. Синтез белка, управляемый информационной РНК (иРНК, отрезок букв на печатной ленте), и действие транспортной РНК (тРНК). Это действие происходит внутри рибосомы, которая здесь не показана. Молекула тРНК с антикодоном CAA, несущая молекулу валина, подплывает к кодоновой последовательности GUU. Вскоре другая тРНК, на этот раз с антикодоном UCG и нагруженная молекулой серина, подходит и опускается на свой кодон, представляющий последовательность AGC. Затем молекулам валина и серина присоединяются ферменты, создавая дипептид валин-серин, отработавшая тРНК с кодоном CAA отплывает куда-то на поиски другой молекулы валина, а рибосома передвигается к следующему кодону и ожидает прибытия подходящей молекулы тРНК и ее аминокислоту. Таким образом полипептидная цепь растет, следуя порядку, определяемому иРНК.
Теперь мы можем подвести следующий итог сказанному. Центральная догма генетики гласит: поток информации и активности течет по пути ДНК → РНК → белок. Лишь в очень редких случаях (как мы увидим позднее) информация течет от РНК к ДНК. Предполагаемая неспособность белка влиять на ДНК согласуется с тем, что ламаркианское наследование приобретенных признаков (о которой шла речь в главе 1) не соответствует действительности.
Теперь, по-видимому, становится очевидной неоценимая важность раскрытия структуры ДНК, но существует еще множество ответвлений, которых нам также следовало бы коснуться. Я говорю «ответвления», но на самом деле это горы вопросов, на решении которых сегодня сосредоточены усилия многих ученых, это безграничный мир современных исследований.
Во-первых, структура ДНК связана с обсуждавшейся в главе 1 эволюцией в качестве ее молекулярного базиса. Воспроизведение и запись никогда не бывают совершенными: даже нуклеотиды и аминокислоты делают ошибки при группировании вслепую, в соответствии с формой и электрическим зарядом, прикрепляясь наилучшим из возможных способов, но иногда оказываясь в неправильном положении. Они не способны исправить ошибку, пока не будут перемещены в другое положение в момент приближения или формирования новой связи. ДНК может неверно воспроизвестись при создании следующего поколения, молекула иРНК может ошибиться при считывании ДНК, молекула тРНК может приклеиться не к тому кодону, и даже правильно прикрепленная тРНК может нести не ту аминокислоту. Однако все эти ошибки, за исключением первой, преходящи, они влияют на клетку, но не на тело в целом. Только первая, называемая соматической мутацией, влияет на все тело, ибо неверный шаг на раннем этапе развития организма будет воспроизводиться и воспроизводиться, пока не наполнит его целиком. Когда происходит мейоз и образуются гаметы, мутировавшая ДНК входит в зародыши потомства и готова к тому, чтобы быть переданной этому хитроумно устроенному способу расширения тела, следующему поколению. Такой тип мутации называется герминативной мутацией.
Ясно, что воспроизведение это опасный бизнес, в нем можно сделать так много неверных шагов. Можно быть уверенным, что этот процесс обладает значительной устойчивостью, что мутации возникают нечасто, иначе нас тут не было бы. Конечно, в один прекрасный день нас (нашего вида) и не будет. Одной из причин долговечности ДНК является то, что каждая клетка имеет изощренные полицейскую и ремонтную службы, которые идентифицируют мутации и исправляют их. Другая причина в том, что ДНК содержит много мусора, участков, называемых интронами, которые просто вышли погулять и ничего не кодируют (не «символизируют»). Части ДНК, имеющие серьезные намерения, участки с активными кодами, называются эксонами. Если мутация происходит в интроне, это не имеет последствий для организма, так как данный генетический материал не символизирует белка. Огромная доля нашей ДНК является интронным мусором, поскольку Природа в своей, как говорят, элегантной и экономичной, а на самом деле неряшливой манере не обременяет себя подметанием ставшего ненужным мусора, а просто тащит его через поколения. Это довольно странно, поскольку означает, что огромная часть точнейшего ресурса и энергии уходит на распространение бесполезных вещей. Возможно, мусор имеет функцию, о которой мы пока не знаем. Возможно, это совершенный способ обеспечения передачи через поколения информации, никогда себя не проявляющей, чтобы не подвергать риску сопутствующую явную активность. Мусор в ДНК может быть чистой, вечной, невыразимой информацией, не имеющей другой цели, кроме бесцельного существования. Эта бесцельная часть ДНК ведет роскошную жизнь, поскольку 98 процентов ДНК, которую мы таскаем в себе, является мусором, и лишь 2 процента приносят пользу, кодируя белки.
Легко вообразить себе разнообразие мутаций ДНК. Мутация подстановки основания представляет собой замену одного основания другим. Некоторые подстановки основания являются молчащими, в том смысле, что мутировавший кодон кодируется, теми же основаниями, что и первоначальный, так что это не влияет на результирующий белок. Однако другие подстановки основания могут изменить послание, и серьезность последствий зависит от того, в какой степени замещающая аминокислота в результирующем белке отличается от первоначальной. Мутации добавления и уничтожения состоят в добавлении или уничтожении пары оснований: они могут нарушать интерпретацию ДНК, потому что вместо …ATGGTCT…, читаемого как …(ATG)(GTC)(T…, уничтожение второго T приводит к тому, что послание читается как …(ATG)(GCT)(…, и с этого места белок может строиться совсем по-другому и функционировать неправильно. С другой стороны, он может сделать более прочными челюсти гепарда или более чувствительными органы обоняния оленя.
Мутации могут быть спонтанными или индуцированными. Спонтанные мутации происходят с постоянной скоростью и образуют «молекулярные генетические часы», которые постоянно отсчитывают время в биосфеpe. Скорость мутаций данного гена приблизительно постоянна, поэтому регистрируя число аминокислот, которыми различаются друг от друга два вида, мы можем судить о времени, прошедшем с тех пор, как они отделилась от общего предка. Именно этот род информации мы имели в виду в главе 1, когда отмечали, что эволюция предсказуема, поскольку не было ни одного случая, когда информация этого рода пришла бы в конфликт с информацией о последовательности видов. Молекулярные часы также дают количественное подкрепление кладистическим диаграммам поколений подобным фрагменту на рис. 1.2), добавляя к ним шкалу времени. Кроме того, мутации могут быть индуцированы вышедшими из-под контроля воздействиями окружающей среды, такими, как облучение ядерной и ультрафиолетовой радиацией, попадание в организм химикалий и окисление опасными кислородсодержащими веществами, такими, как свободные радикалы (молекулы кислорода с дополнительным электроном): такова плата за использование кислорода и борьбу за долголетие.
Хотя центральная догма утверждает, что поток информации течет от ДНК через РНК к белкам, мы отмечали, что существуют исключения. Ретровирусы состоят из молекулы РНК, имеющей одну нить, которая для воспроизведения себя обычно использует имеющую две нити молекулу ДНК своего хозяина. Вирус иммунодефицита человека (ВИЧ), вирус, вызывающий синдром приобретенного иммунного дефицита (СПИД), является ретровирусом: он атакует иммунную систему и открывает тело для неподконтрольных инфекций. Этот вирус выделили в 1983 г. Люк Монтанье в институте Пастера в Париже, Роберт Галло в Национальном институте рака в США и Джей Леви в университете Калифорнии в Сан-Франциско. Вирус ВИЧ прикрепляется к Т-лимфоцитам, белым кровяным тельцам определенного типа, которые содержат свою РНК и фермент, называемый обратной транскриптазой. Эти молекулы попадают в окрестность молекулы ДНК в хромосоме, и фермент синтезирует ДНК-версию вирусной РНК и копию этой вновь образованной ДНК. На этой стадии возникает версия вирусной РНК в виде ДНК из двух нитей. Эта ДНК встраивается в ДНК хозяина, а затем из новой ДНК с помощью репликаторного механизма клетки синтезируется вирусная иРНК. Теперь вирусная иРНК интерпретируется так, что производит белки, необходимые для построения большего количества вирусных частиц. Эти частицы потом отпочковываются от клетки, используя часть стенки клетки как свою защитную мембрану. Такой процесс уничтожает оболочку лимфоцита и неизбежно убивает его, уменьшая возможности организма сопротивляться атакам других инфекций. Считается, что ретровирусы также являются возбудителями различных видов рака, включая некоторые виды, обнаруживаемые у человека.
Рестриктивный фермент — это фермент, вырабатываемый разными видами бактерий, который способен опознавать частные последовательности нуклеотидных оснований в молекуле ДНК и перерезать ее в этом месте. Фрагменты ДНК, произведенные таким способом, могут соединяться вместе с ферментом, называемым лигазой. Кусочки ДНК, которые могут воспроизводиться независимо от ДНК клеток хозяина, в которых они выросли, называются векторами; они включают плазмиды, круглые молекулы ДНК, обнаруживаемые в бактериях. Молекулы векторов, которые имеют встроенные секции ДНК, называются рекомбинантами ДНК. Эти векторы производят множество копий частных кусочков ДНК, умножая исходный материал и продуцируя большое количество клонов ДНК. Поселенцы колонии, сформированной таким способом, могут быть желанным приобретением, как в производстве продукта генетической инженерии инсулина, или — как при генной терапии — могут быть возвращены в исходный организм.
Более современные методы изменения ДНК включают прямую технику микроинъекции, в которой генетический материал, содержащий новые гены, вводится в клетки реципиента посредством стеклянной иглы с тонким концом. Клетка после этого выглядит как своя собственная (или, по крайней мере, как чужая собственная) и создает механизм, с помощью которого безотказно снабжает генами ядра клеток хозяина и встраивает эти гены в них. Гены также можно встраивать, создавая поры в мембране клетки и предоставляя входящим генам возможность искать собственный путь внутрь. В химическом порообразовании клетки погружают в раствор специальных химикалий; в электропорообразовании клетки подвергают действию слабого электрического тока. Если вы полагаете, что эти техники слишком уж рафинированы, вы можете прибегнуть к биобаллистике, в которой маленькие осколки металла одевают в генетический материал и затем просто выстреливают в клетку. Тут мне вспоминается сцена в одном из фильмов про Индиану Джонса, где, после того как его оппонент продемонстрировал замечательно отработанные приемы традиционного фехтования, Джонс случайно выстрелил в него.
Раз уж мы заговорили о стрельбе, то еще одним важным следствием понимания структуры ДНК является ее использование в судопроизводстве в форме ДНК-профилирования, или, говоря менее формально ДНК-дактилоскопии. Настоящая дактилоскопия, снятие образцов узора на коже подушечек пальцев, была предложена как способ опознания подозреваемых в 1880 г. Генри Фаулдзом, шотландским врачом, работавшим в Токио. Вскоре после этого она была использована для снятия подозрений с невиновного и для опознания преступника в совершенной там ночной краже со взломом. Через сотню лет, после того как Алек Джеффрис в 1984 г. в университете в Лестере создал ДНК-дактилоскопию, опознание личности продвинулось от кончиков ее пальцев к каждой клетке ее тела. Нам следует усвоить две черты этой техники: одна — умножение микроскопических количеств ДНК, другая — реальная дактилоскопия. ДНК-профилирование является столь важной техникой в судопроизводстве, в установлении родственных связей и в эволюционных исследованиях, что оно претерпело чудовищно бурное развитие за последние двадцать лет, обрастая различными особенностями, для использования в различных обстоятельствах. Дадим краткое описание типичного подхода.
Кэри Муллис (р. 1944), изобретатель полимеразной цепной реакции (ПЦР), говорит, что эта идея пришла ему в голову в 1983 г. во время поездки при лунном свете в горах Калифорнии, где, должно быть, пролегает одна из приятнейших дорог к завоеванию Нобелевской премии. Полимераза, напомним, является ферментом, который помогает копировать нить ДНК, используя ее как шаблон; тот же фермент можно использовать в искусственной среде. Чтобы последнее стало возможным, фермент необходимо обильно снабжать нуклеотидными основаниями и двумя праймерами, представляющими собой короткие последовательности приблизительно из дюжины нуклеотидов; это позволяет реакции продолжаться. Сначала, при нагревании смеси, нити ДНК разделяются (ДНК «плавится»), затем раствор охлаждают, чтобы праймеры могли прикрепиться к соответствующим частям нитей ДНК — молекулы праймеров проталкиваются до тех пор, пока не найдут свое точное дополнение, а затем сцепляются с ним — и действовать как ограничители той части молекулы, которую надо скопировать. В конце температуру снова повышают до значения, при котором полимераза может эффективно функционировать, и на шаблоне растет комплементарная нить. Поскольку фермент должен выдерживать высокие температуры фазы плавления, он экстрагируется из бактерий, таких как Thermus oguaticus, которые живут в горячих источниках. Полный цикл занимает около трех минут. Затем его повторяют снова и снова, от тридцати до сорока раз, постепенно производя десять миллионов копий лоскутков исходной ДНК, лежащих между маркерами праймеров (рис. 2.16). Это означает, что даже из микроскопического образца ДНК нужная область может быть увеличена и сделана пригодной для экспертизы.
Рис. 2.16. Последовательность диаграмм, показывающих, как действует полимеразная цепная реакция (ПЦР). Вверху слева мы видим представление двойной спирали ДНК-мишени. На первом шагу (слева ниже) нити разделяются, и к каждой из них прикрепляются праймеры. Ферменты выращивают комплементарную нить по шаблону, предоставляемому каждой из нитей. Сдвоенные нити плавятся снова, и праймеры прикрепляются к каждой из них. Далее ферменты, как и раньше, строят комплементарные версии нитей, но теперь в смеси появляются копии ДНК, лежащие между двумя праймерами и несущие последовательность, повторяющую мишень, и после ряда повторений они начинают доминировать.
Сама техника профилирования использует полиморфизм наших генов, тот факт, что молекулы ДНК могут существенно различаться у разных индивидов. Например, мусор в интронах нашей ДНК может содержать длинные последовательности бессмысленной ДНК, накопившиеся во время мейоза. Здесь мы сосредоточимся на изменчивом числе тандемных дупликаций (ИЧТД), как, например, переменное число фрагментов …CGATCGATCGATCGAT… в одной и той же области ДНК, накопленных разными индивидами. Поскольку эти тандемные дупликации лежат в интронных областях, они ничего не означают, и индивид, как и любой наблюдатель, совершенно неосведомлен об их существовании, если только это не вариации эксонов, например, ответственных за карий или голубой цвет глаз (последний является результатом отсутствия коричневого пигмента).
Теперь предположим, что мы пользуемся ПЦР, чтобы приумножить ту часть молекулы ДНК, которая у индивидов обладает повышенной полимофностью. Действие ограничительных ферментов, таких как АlиI, которые пропихиваются, пока не найдут последовательность AGCT, защелкнутся на ней, а затем перекусят молекулу, или EcoRI, которые прикрепляются, когда наткнутся на GAATTC и режут в этой точке, будет делить умноженные области ДНК на множество фрагментов разных размеров, зависящих от числа тандемных дупликаций у индивида. Затем образец протаскивается сквозь гель с помощью приложенного электрического тока, этот процесс называют электрофорезом. Поскольку маленькие фрагменты могут проскользнуть через лес перекрестных связей в геле легче, чем большие фрагменты, образец разделяется на ряд полос, которые выглядят немного похожими на торговый штрих-код (рис. 2.17). Картина полос является изображением спектра тандемных дупликаций в образце и, следовательно, характеристикой индивида.
Рис. 2.17. Результаты ДНК-дактилоскопии жертвы, преступника и трех подозреваемых. Профили ясно указывают на подозреваемого 1 как на виновного.
С помощью этого метода или его усовершенствованных вариантов насильники заносятся в книгу, невинность становится очевидной, цари идентифицируются, псевдо-Анастасии разоблачаются, эволюционные связи устанавливаются, разбойников ловят по единому волоску, дети воссоединяются со своими семьями (не в последнюю очередь в Аргентине, где все семьи были брутально перетасованы), а отрекающихся отцов находят, несмотря на их протестующие крики о целомудрии. Не много на свете таких молекулярных достижений — создание пенициллина и противозачаточных пилюль имели подобное же значение, которые оказали такое прямое воздействие на общество.
Одним из наиболее амбициозных проектов двадцатого века было установление всех нуклеотидных последовательностей в геноме человека. Эта задача по существу, конечно, неразрешима, поскольку каждый, кто когда-либо жил (за исключением идентичных близнецов), имеет индивидуальный геном. Однако различия в составе эксонов достаточно невелики, и «типичный геном» является разумным понятием: лишь примерно одно основание на тысячу различно у разных индивидов, так что индивиды отличаются один от другого всего тремя миллионами букв, большая часть которых бессмысленна. Возможно, в один прекрасный день мы сможем выписать свой собственный геном и отнести его своим врачам (а может быть, и в наши страховые компании), а геном ребенка будет определяться при рождении: эта информация будет пригодна для записи на DVD и будет храниться в течение всей жизни.
Масштаб такой задачи можно оценить, если подумать о размере человеческого генома. В вашем геноме около 3 миллиардов нуклеотидных оснований. Книга содержит около миллиона букв, поэтому ваш геном эквивалентен библиотеке из 3000 томов. Допустим, что вы считаете себя по-настоящему искусным химиком, способным определять порядок оснований со скоростью одна штука в час, проводя серию реакций и опознаний их продуктов с помощью стандартных лабораторных техник. Три миллиарда часов составляют 34 000 лет работы. Чтобы достичь цели за десять лет, а не за это смехотворно большое время, вам пришлось бы работать в 3400 раз быстрее, двигаясь по ДНК со скоростью одно основание в секунду, двадцать четыре часа в день, семь дней в неделю. Чтобы быть уверенным в результате, вам придется повторить эту работу несколько раз. Десять повторений могло бы дать последовательность, достойную доверия, если бы вы перебирали основания со скоростью десять штук в секунду.
Как это ни удивительно, цель была успешно достигнута. Подобно двум предыдущим решающим шагам в генетике, первичному квантованию наследственности, проведенному Менделем, и модели ДНК Уотсона-Крика, проект «Генома человека» был переполнен столкновениями приоритетов и прав собственности. Здесь не место приводить подробности о геномных войнах, которые велись главным образом вокруг вопроса о моральности утаивания информации, касающейся генома человека, велись ради самого тонизирующего из эликсиров, личной выгоды. Этот вопрос полностью исчерпали в других публикациях его главные герои, неистовый Крейг Вентер (р. 1946) и гуманный Джон Салстон (р. 1942), не говоря уж о других важных участниках, Фрэнке Коллинзе и Эрике Ландере. Перепалка омрачила момент человеческой истории, которому предназначалось стать вершиной ее достижений; но такова жизнь, и таков, в частности, ее геном. Через несколько лет проявления враждебности будут забыты, как Франко-прусская война, а помнить мы будем лишь само достижение и пути, которые привели к нему.
Решающая процедура состояла в определении каждого нуклеотидного основания в каждой нити ДНК каждой хромосомы. Процедура основывалась на исследованиях Фредерика Сенгера, в ходе которых он после успешной расшифровки белка обратил свое внимание на ДНК и в 1977 г. определил все 5375 оснований вируса fX174. Его процедура состояла в следующем. Сначала Сенгер синтезировал новую нить ДНК, комплементарную к шаблону из одной нити таким способом, что последняя буква несла радиоактивную метку (была молекулой, в которой один атом заменен его радиоактивным изотопом). Чтобы достичь этого, он включил в обычную смесь ферментов и нуклеотидов одну модифицированную версию нуклеотида, называемого дидеоксинуклеотидом. Когда модифицированный нуклеотид вступает в дело, он останавливает копирование и выдает обрезок ДНК, завершающийся помеченным основанием. Затем он повторил процедуру с дидеоксинуклеотидами по отношению к другой тройке букв алфавита. Так как фрагменты обрывались на разных позициях молекулы шаблона, каждый шаг давал молекулы ДНК различной длины. Когда эта смесь протаскивалась сквозь запутанную чащу молекул, создаваемую гелем, молекулы разной длины разделялись и проявлялись на разных участках рентгеновского снимка. Модификация метода, применяемая в программируемых машинах-автоматах, состоит в использовании меток с разными цветами флюоресценции, где A дает красный цвет, C — зеленый и так далее. Элементы этой последовательности можно распознавать электронным способом.
Вторым решающим шагом является постановка этой процедуры на конвейерную основу и получение возможности распознавать тысячи оснований за час. Здесь существуют два основных подхода. Один состоит в работе с последовательностью известных обрезков ДНК. При другом, «пулеметном», подходе ДНК дробят на мириады кусочков, а затем исследуют состав этой смеси. В последнем случае задачей является восстановление последовательности ДНК по ее фрагментам. На этом этапе центральную роль в восстановлении начинают исполнять суперкомпьютеры. Вообще говоря, подход с известными фрагментами является более точным, а пулеметный подход более быстрым. На практике каждый из них поддерживает другой.
Первый эскиз генома человека был обнародован в 2001 г., примерно через пятьдесят лет после определения структуры ДНК и почти через сто лет после обнаружения работы Менделя и возникновения генетики.
Глава третья Энергия Универсализация бухгалтерии
Энергия — это вечный восторг.
Уильям БлейкВеликая идея: энергия сохраняется
Ни пульсация биосферы, возникшая из неорганической Земли, ни молекулярная активность, поддерживающая и расширяющая ее сегодня, не могли бы существовать без притока энергии от Солнца. Но что это за вещь, которую мы называем энергией? Это слово может сорваться с губ каждого, а ученый может увидеть в нем то, что связывает Вселенную в постижимую и живую целостность; но что это такое на самом деле?
Поэты, в своей неподражаемой манере, создали концепцию энергии задолго до того, как она попела в поле зрения ученых. Так сэр Филип Сидни, в своей, написанной в 1581 г., Защите поэзии привлек внимание к «тому, что есть мощь или Energie (как называли ее греки) писателя». Он имел в виду скорее энергичность выражения, чем характеристику движения пули, вылетевшей из мушкета, которая впоследствии убила его. Греки действительно называли это, что переводится буквально как «работа», и мы можем уловить этимологический путь, приведший к понятию литературной энергичности. В наши дни широкая публика приняла такое понимание энергии близко к сердцу и уверила себя, будто точно знает, что это такое, находит это ценным, чувствует существенный вклад этого в современный мир и страшится перспективы утраты этого.
Энергия все еще является объектом литературного дискурса, но она получила новую, богатую и точно очерченную жизнь в науке. Так было не всегда. Научное использование этого термина может быть прослежено вспять до 1807 г., когда Томас Юнг (1773-1829), занимавший должность профессора натурфилософии в такой твердыне науки, какой было Королевское общество Великобритании, а позднее, в замечательно универсальном духе времени, внесший вклад в расшифровку надписи на розеттском камне, конфисковал этот термин для науки, когда написал, что «термин энергия может быть с великим удобством применен для обозначения произведения массы или веса тела на квадрат численного выражения его скорости». Как и многие пионерские сообщения, заявление Юнга о «великом удобстве» оказалось полупропечённым, и нам придется приложить некую работу, чтобы завершить его выпечку. Проделав ее, мы придем к пониманию современной интерпретации энергии и увидим значение и важность ее сохранения.
Чтобы уловить суть природы энергии, нам необходимо понять две очень важные вещи, касающиеся событий и процессов в мире. Одна касается характеристик движения тел в пространстве; другая — природы теплоты. Описание движения в пространстве было в основном завершено к концу семнадцатого столетия. Потребовалось на удивление долгое время, чтобы сразиться с природой тепла и в конце концов одержать победу. Этой цели не удавалось достигнуть до середины девятнадцатого века. Как только движение и тепло были поняты, ученые успешно расправились и с природой событий. Или так они в то время думали.
Греки размышляли о движении тел, хотя и без всякой пользы, и две тысячи лет держали мир в заблуждении: их стиль вопрошания из кресла гораздо лучше подходил для математики и этики, чем для физики. Так, Аристотель (384-322 до н.э.) умозаключил, что стрела удерживается в полете действием воздушных вихрей, создаваемых ею, и поэтому сделал вывод, что в вакууме стрела должна быстро остановиться. Как это часто бывает, наука проясняет вопрос, превращая общепринятое мнение в противоположное, и мы теперь знаем, что верно в точности обратное: сопротивление воздуха замедляет движение стрелы, а не толкает ее вперед. Свидетельств о необходимости поддерживающей силы в те тяжкие времена было множество, ибо рогатому скоту приходилось напрягаться, чтобы удерживать в движении скрипучие деревянные повозки. Абсурдно было бы думать обратное, ведь тогда селянам пришлось бы запрягать рогатый скот позади движущейся телеги, чтобы остановить ее естественное движение. Изобретательный ум Аристотеля увидел в воздухе вихри, толкающие стрелу вперед и тем самым спасающие его теорию.
Аристотель имел и более общие иллюзии относительно причины событий и движения объектов. Как феноменологические рассуждения, его иллюзии были вполне осмысленными, и он заслуживает восхищения за непрестанный поиск объяснений и выпытывание у Природы ответов. Однако, помимо абсолютной ложности, его мнения были лишены того, что мы сегодня называем объяснительной силой, и совершенно не поддавались переложению на язык цифр. Например, он представлял себе ряд концентрических сфер со сферической Землей в центре, окруженной последовательно сферой воды, сферой воздуха и сферой огня, а все это в целом заключено в хрустальные сферы небес. В его модели вещество искало свое природное место, так, первоначально подброшенные кверху земные объекты падали на Землю, а языки пламени рвались наверх, стремясь к своему природному обиталищу. Легко отыскать дыры в этой модели с нашей современной точки зрения, но она владела умами людей на протяжении двух тысячелетий, возможно, потому, что люди находились во власти традиции, требовавшей учиться у авторитетов, не полагаясь на собственные наблюдения, или, может быть, потому, что в упражнениях своей любознательности им недоставало мужества, необходимого для того, чтобы противопоставить наблюдения авторитету.
Главным вкладом Галилея в эту конкретную историю было то, что он сбросил с глаз повязку авторитетных мнений и, с открытыми для наблюдений глазами, продемонстрировал ложность аристотелевой версии событий. Галилей постулировал, что если тело не подвергается действию силы, то оно сохраняет состояние своего движения. Он пришел к этому заключению, наблюдая скатывание шара по наклонной плоскости и последующее вкатывание на противоположную плоскость, и заметив, что, каков бы ни был угол наклона второй плоскости, шар подымается на одну и ту же высоту. Он заключил, что, если бы вторая плоскость была горизонтальной, шар катился бы вечно, поскольку никогда не достиг бы первоначальной высоты. Введение наклонной плоскости было само по себе гениальным приемом, поскольку оно замедлило процесс падения тела до такой степени, что его стало возможно изучать количественно и с большой точностью, и таким образом представление открыло путь наблюдению.
Это заключение Галилея стало поворотным пунктом в науке, поскольку оно подчеркнуло силу абстракции и идеализации, о которых я упомянул в Прологе, причем последняя дала возможность пренебречь побочными факторами, затемняющими суть эксперимента. Конечно, Галилей никогда явно не демонстрировал, что шар будет вечно катиться и катиться, и в любом эксперименте этого рода реальный шар на деле рано или поздно остановится, очевидно и несомненно следуя Аристотелю. Однако Галилей понял, что бывают существенные компоненты поведения с одной стороны и побочные влияния с другой. Последние включают трение и сопротивление воздуха: уменьшая их (например, полируя шар и поверхности плоскостей), он мог приблизиться к идеальной ситуации и выявить суть поведения шара. В мире аристотелевского опыта, где рогатый скот тяжко топает по грязи, таща тяжелые повозки, побочные влияния полностью затопили суть поведения повозки.
Факел Галилея перешел к Ньютону. В соответствии со старым календарем Исаак Ньютон[11] (1642-1727) родился в год смерти Галилея (рис. 3.1), так что романтически настроенные любители признаков реинкарнации могут усмотреть здесь переселение души. В отличие от Галилея, Ньютон по всем описаниям был весьма сварливым и вздорным человеком, но он также был одним из величайших ученых. Почти в одиночку он привел математику на службу физике и таким образом открыл дорогу для современной количественной физической науки. Он сделал больше, он изобрел математику, которая была ему нужна для осуществления его программы, и его Principia[12], опубликованные в 1687 г., являются памятником мощи человеческого интеллекта, приложенного к решению проблемы рационализации наблюдений.
Рис. 3.1. Ньютон и современная физика родились в этой комнате утром в день Рождества 1642 г. Мебель не является подлинной.
Пять аксиом Эвклида для формулирования геометрии, которую мы исследуем в главе 9, полностью задают структуру пространства, и с их помощью мы узнаем, где мы находимся. Три закона Ньютона полностью задают движение в этом пространстве, и с их помощью мы узнаем, куда мы направляемся. В немного упрощенном виде они выглядят так:
1. Тело продолжает равномерное движение по прямой линии, если оно не подвергается действию силы.
2. Ускорение тела пропорционально приложенной силе.
3. Каждому действию всегда противостоит равное противодействие.
Из этих трех простых утверждений вырастает все здание классической механики, как называется описание движения, основанное на законах Ньютона, а также понимание и предсказание движения частиц, снарядов, планет, а в наши дни также спутников и космических кораблей.
Первый закон Ньютона есть простое повторение формулировки анти-аристотелевского наблюдения Галилея, и иногда его называют законом инерции.
Его второй закон обычно считают самым полезным из трех, поскольку он позволяет нам рассчитать путь частицы через область, где действует сила. Там, где сила толкает сзади, мы ускоряемся в том же направлении; когда она толкает спереди, мы тормозимся. Если сила толкает сбоку, мы поворачиваем в том направлении, куда она вынуждает нас двигаться.
Сам закон записывается в форме:
Сила = масса × ускорение,
где масса (более специальный термин — инерционная масса) является мерой сопротивления частицы действию силы. Для заданной силы ускорение велико, если масса мала, но если масса велика, то ускорение мало. Другими словами, высокая инерционная масса дает низкий уровень отклика, и наоборот. Острый глаз заметит тавтологию в этом законе, поскольку он определяет массу в терминах силы, а силу в терминах массы.
Поскольку ускорение является скоростью, с которой меняется скорость, мы можем, по-видимому, оценить по достоинству то, что внутри второго закона Ньютона зарыта возможность предсказания пути частицы, подвергающейся действию силы, которая может меняться от места к месту и принимать разные значения в разные моменты времени. «Зарыта» — термин, подходящий к этому случаю, поскольку расчет путей может оказаться весьма мудреным упражнением, более похожим на эксгумацию, чем на алгебру. Тем не менее это можно проделать для ряда простых случаев; но даже для сложных полей сил, таких, которые возникают возле двойной звезды, за эту задачу можно браться, используя компьютеры (рис. 3.2). Говоря короче, мы можем интерпретировать второй закон как утверждение, что, если мы знаем, где находится частица, или даже группа частиц, в данное время, мы можем в принципе предсказать, где ее найти и куда она будет двигаться в любое более позднее время. Предсказания таких точных траекторий представляют собой одно из достижений, прославивших классическую механику.
Рис. 3.2. Орбиты космических кораблей, рассчитанные с помощью механики Ньютона. Вычисления являются сложными, поскольку космические корабли подвергаются влиянию планет. Верхняя диаграмма показывает пути Вояджера 1 и Вояджера 2, начавших свои полеты в 1977 г. и функционирующих до сих пор. Вояджер 1, самый удаленный объект во Вселенной, сделанный человеком, покидает Солнечную систему со скоростью 3,6 а.е. в год (1 а.е., одна астрономическая единица представляет собой средний радиус орбиты вращения Земли вокруг Солнца и соответствует примерно 150 миллионам километров), под углом 35 градусов к плоскости планетарных орбит. Вояджер 2 также уходит из Солнечной системы со скоростью около 3,3 а.е. в год, под углом 48 градусов к этой плоскости, но в противоположном направлении. Нижний график показывает приращения скорости космических кораблей, когда они облетали каждую из планет. Эти поддержанные гравитацией приращения гарантируют, что скорость кораблей достаточна, чтобы они могли достичь своих целей, а затем покинуть Солнечную систему.
Третий закон Ньютона более глубок, чем выглядит. На первый взгляд кажется, что из него следует лишь то, что если бита прилагает силу к мячу, то мяч прилагает равную и противоположную силу к бите. Мы, разумеется, можем чувствовать силу, приложенную к мячу, когда мы ударяем по нему битой или пинаем его ногой. Однако подлинная значимость третьего закона состоит в том, что из него следует закон «сохранения». А сохранение это как раз та тема, которой посвящена вся эта глава, так что теперь мы начинаем подбираться к намеченной жертве. Однако сначала нам следует немного распаковать использованные здесь понятия.
Закон сохранения является утверждением, сообщающим о том, что ничто не меняется. Это может показаться самым неинтересным из возможных видов комментирования в науке. В действительности это, как правило, наиболее глубокий и наиболее содержательный тип научных законов, поскольку он дает интуитивное проникновение в симметрию — по существу, в форму — систем и даже в симметрии пространства и времени. Частным законом сохранения, следующим из третьего закона Ньютона, является закон сохранения импульса. В классической механике импульсом тела называется просто произведение его массы на его скорость:
Импульс = масса × скорость.
Из этого определения следует, что быстро летящее пушечное ядро имеет большой импульс, а медленно летящий шарик пинг-понга имеет маленький импульс. Импульс является характеристикой силы удара движущегося тела при его столкновении с объектом, характеристикой той разницы, которую иллюстрирует сравнение ударов пушечного ядра и шарика для настольного тенниса. Закон сохранения импульса утверждает, что полный импульс системы частиц не меняется, если на систему не действует никакая внешняя сила. Поэтому, например, когда соударяются два бильярдных шара, их общий импульс после соударения остается таким же, каким он был до него. Прежде чем мы сможем понять это утверждение, нам придется более полно рассмотреть содержание понятия «импульс».
Импульс есть направленная величина, в том смысле, что две частицы одинаковой массы, движущиеся с одинаковой скоростью, но в разных направлениях, имеют разные импульсы. Два бильярдных шара, катящиеся друг к другу по одной прямой с одинаковой скоростью, имеют равные, но противоположно направленные импульсы, а их общий импульс равен нулю. Когда они сталкиваются «лоб в лоб», они останавливаются, так что импульс каждого мгновенно обращается в нуль, а общий импульс после столкновения снова равен нулю. Мы видим в этом примере, что, хотя импульсы отдельных частиц меняются, общий импульс остается неизменным. Это заключение обобщается на все случаи: какие бы импульсы ни имели индивидуальные частицы первоначально, сумма этих моментов (с учетом различных направлений и величин импульсов) после взаимодействия частиц будет оставаться такой же, какой была прежде (рис. 3.3). Бильярд как таковой является игрой, основанной почти полностью на принципе сохранения импульса: каждое столкновение шаров между собой или шара с бортом подчиняется этому закону и порождает различные траектории движения по столу, зависящие от первоначального угла подхода.
Рис. 3.3. Столкновения и взаимодействия в целом сохраняют импульс в том смысле, что полный импульс после столкновения остается таким же, каким он был в начале. Здесь мы видим столкновение шара с группой шаров. Импульс ударного шара указан с помощью длины и направления стрелки слева. Этот импульс передается шести «красным» шарам, и их индивидуальные импульсы заданы длинами и направлениями стрелок справа. Если вы сложите эти стрелки «головой к хвосту», не меняя их ориентации, вы получите в результате длину и направление начальной стрелки.
Теперь мы можем совершить гигантский, но контролируемый прыжок из бильярдной во Вселенную. Забавно, что, поскольку импульс сохраняется в любом процессе, величина импульса Вселенной тоже должна быть фиксированной. Поэтому, когда вы выезжаете в своем автомобиле, пусть даже вы всего лишь набираете импульс при разгоне или меняете направление вашего импульса, поворачивая за угол, что-то где-то получает импульс так, чтобы общий импульс Вселенной не изменился. Когда вы выезжаете, вы действительно немного толкаете Землю в противоположном направлении: вы ускоряете движение Земли по орбите, если трогаетесь в одном направлении, и замедляете, если отбываете в другом направлении. Однако масса Земли столь велика в сравнении с массой вашего автомобиля, что этот эффект будет совершенно незаметен, как бы много покрышек вы ни спалили. Но он существует.
Я упомянул ранее, что закон сохранения является следствием симметрии, или окном в симметрию, или что-то в этом роде. Что-то в этом роде в данном случае есть само пространство, так как в конечном счете симметрия пространства ответственна за сохранение импульса. Симметрия пространства, форма пространства: что это может означать? В данном примере все это означает, что пространство не состоит из кусков. Если вы двигаетесь сквозь пустое пространство по прямой линии, оно остается в точности тем же самым: повсюду оно гладкое и неизменное. Сохранение импульса это как раз знак того, что пространство не является кусковатым, а третий закон Ньютона это способ высказать то же самое на «высоком уровне».
Существует еще одно следствие третьего закона Ньютона, другой закон сохранения, другое интуитивное проникновение в форму пространства. Мы обсуждали импульс, характеристику частицы, движущейся по прямой линии. Существует еще одно свойство, момент импульса или момент количества движения, характеристика частицы, движущейся по кругу. Быстро вращающееся тяжелое маховое колесо имеет очень большой момент импульса, а медленно вращающееся колесо велосипеда имеет маленький момент импульса.
Момент импульса может быть передан от одного объекта другому, если первый объект прилагает ко второму вращающий момент, закручивающую силу, и отклик второго тела на этот вращающий момент зависит не только от его массы, но и от того, как эта масса распределена. Например, труднее разогнать колесо, если его масса сосредоточена в ободе, чем если та же масса расположена около оси. Вот почему в маховом колесе сталь сосредоточена около обода (рис. 3.4): такое распределение хорошо гасит изменения угловой скорости, а металл около оси менее эффективен и поэтому является излишним.
Рис. 3.4. Маховое колесо имеет значительную массу, сконцентрированную на большом расстоянии от его оси. Такое колесо требует большого вращающего момента (закручивающей силы), чтобы изменить свой момент импульса. В модели приводимого в движение паром тягового двигателя, показанной на иллюстрации, маховое колесо (верхнее из изображенных колес) помогает сохранять устойчивое движение поршня.
Если внешний вращающий момент к системе не прилагается, то момент импульса сохраняется. Предположим, что два вращающихся бильярдных шара соударяются на полированном столе; тогда момент импульса может быть передан от одного к другому и вращение одного может частично перейти к другому. Тем не менее момент импульса после столкновения остается таким же, каким он был первоначально: момент импульса сохраняется. То же верно и в целом: полный момент импульса семейства взаимодействующих частиц нельзя ни создать, ни уничтожить. Даже если вращающийся бильярдный шар замедляет движение из-за трения, момент импульса не теряется: он переходит к Земле. В результате Земля вращается немного быстрее (если бильярдный шар первоначально крутился в том же направлении, что и Земля) или немного медленнее (если шар вращался в противоположном направлении). Если вы едете в направлении вращения винта по северному полушарию, вы ускоряете вращение Земли, но замедляете его снова, если тормозите или останавливаетесь. Вселенная в целом, очевидно, имеет нулевой момент инерции, поскольку не существует никакого вращения Вселенной как целого. Таким он и будет оставаться всегда, поскольку мы не можем производить момент инерции; мы можем лишь переносить его от одного кусочка Вселенной к другому.
А что же говорит нам сохранение момента импульса о форме пространства? Поскольку момент импульса является характеристикой вращательного движения, мы можем подозревать, что его сохранение говорит нам, какую форму пространство имеет, когда мы вращаемся. Действительно, закон сохранения момента импульса показывает, что если мы движемся по кругу вокруг некоторой точки, то мы не обнаружим в пространстве никаких кусков. Сохранение импульса возникает из однородности пространства при движении по прямой линии; сохранение момента импульса возникает из однородности пространства при движении по кругу. Более технически выражаясь, сохранение импульса говорит нам о том, что пустое пространство гомогенно, а сохранение момента импульса говорит нам о том, что оно изотропно. Третий закон Ньютона сообщает нам то, что мы можем считать очевидным: это пространство однородно для нашего движения (пока на нас не действуют внешние силы или вращающие моменты). Однако тот факт, что этот закон имеет измеряемые следствия, означает, что наше умозрение в кресле о природе пространства открыто для экспериментальной проверки, и это замечательно.
Вы могли заметить, что энергия пока не играла роли в нашем обсуждении. Ньютон не использовал этот термин и умер за век до того, как Юнг предложил принять его. Его формулировка механики, при всей ее оригинальности и элегантности, была, по существу, физикой фермерского двора (или, точнее, физикой ледового катка), использующей почти буквально осязаемую концепцию силы. Вы и я, как мы думаем, точно знаем, что такое сила, поскольку мы знаем, когда мы прилагаем ее или испытываем ее действие. То, что Ньютон принял ее в качестве центральной концепции своей механики, и означает, что физика едва отъехала с фермерского двора. Как мы видели на примере Галилея, достижение прогресса в науке обычно сопровождалось переходом от осязаемого к абстрактному, и вследствие этого понимание предмета становилось глубже. Имеется много сундуков с одеждой, но важен один определяющий ее человеческий скелет: если мы поймем скелет, мы поймем много больше, чем поняли бы, осмотрев развешенные одежды. Введение энергии знаменует появление в физике абстракции, осветившей мир своим необычайным светом.
Этому свету потребовалось полвека на то, чтобы осветить мир. В начале девятнадцатого века энергия еще была литературным термином; к середине века энергия оказалась в плену у физики. Ее окончательное принятие может быть датировано с определенной точностью, поскольку в 1846 г. Уильям Томсон (1824-1907, с 1892 г. лорд Кельвин) еще мог написать, что «физика есть наука о силе», но в 1851 г. он провозглашал, что «энергия есть первичный принцип». Этот переход был совершен в два этапа: сначала изучение движения частиц (включая частицы, которые мы считаем планетами), а затем изучение действия сложного собрания частиц, называемого паровым двигателем.
Для частиц рассвет начался серией из вспышек света в первые годы девятнадцатого столетия. Сначала, как мы видели, Томас Юнг предложил использовать термин энергия для величины, получаемой умножением массы частицы на квадрат ее скорости. Эта энергия движения понималась как мера vis viva, или живой силы, и рассматривалась как разумная мера силы в событиях, происходящих в системе частиц. Парадоксально: чем больше живая сила у пушечного ядра, тем больше смертей и разрушений оно может произвести.
Определение энергии выражением масса × скорость2, данное Юнгом, было не совсем правильным. Он пришел к своему предположению, рассматривая силу, которую движущийся объект прилагает к чему-нибудь при столкновении с ним, и понимая, хотя и не вполне четко, что сила, прилагаемая данным телом, возрастает в четыре раза, если скорость удваивается. Это верно, но численный множитель в выражении Юнга неправилен. Он осознал свою ошибку примерно в 1820 г., когда понял, что концепцию работы (которую мы обсудим ниже) можно скомбинировать со вторым законом Ньютона и вывести отсюда, что энергия, связанная с движением, лучше выражается половиной этой величины. Некоторое время эту величину называли актуальной энергией, но название быстро сменилось на кинетическую энергию, и этот термин используется теперь везде. Итак
Кинетическая энергия = 1/2 × масса × скорость2.
Таким образом, быстро движущееся тяжелое тело имеет большую кинетическую энергию, в то время как медленно движущееся легкое тело имеет маленькую кинетическую энергию. Падающий шар приобретает кинетическую энергию, поскольку он ускоряется. В отличие от импульса, кинетическая энергия одинакова при любом направлении движения частицы: шар, двигающийся горизонтально с заданной скоростью, имеет одну и ту же кинетическую энергию независимо от направления движения, а его импульс различен для разных направлений.
«Работа», на которую мы ссылались, является решающей концепцией для изучения энергии и заслуживает немедленного разъяснения. Мы должны понимать, что то, что ученые имеют в виду под этим названием, не вполне то же самое, что повседневное значение слова «работа». В науке работа совершается, когда объект преодолевает силу, действующую в направлении, противоположном его движению. Чем дальше мы продвигаем объект, тем больше работа, которую нам приходится совершить. Чем больше противодействующая сила, тем больше работа, которую нам приходится совершить. Поднятие тяжелого объекта, движение против силы притяжения к Земле (противодействующей силы, поскольку она препятствует движению груза вверх) требует совершения большой работы. Поднятие со стола листа бумаги также требует работы, правда не очень большой. Поднятие того же объекта на такую же высоту на Луне, где притяжение меньше, требует совершения меньшей работы, чем на Земле.
Поднятие металлического блока с преодолением гравитационной силы представляет больший интерес, чем можно подумать. Сначала вообразим чурбан на катке, блок, который толкают по отполированной поверхности без трения. Блок ускоряется, пока мы продолжаем его толкать. В результате его кинетическая энергия будет возрастать от нуля вначале до той величины, которую мы изберем, или до того момента, когда мы упадем в изнеможении и перестанем прикладывать силу, а блок начнет ускользать от нас по льду с постоянной скоростью. Работа, которую мы проделали, превратилась в энергию, энергию движения. (Множитель 1/2 в выражении для кинетической энергии был введен для того, чтобы гарантировать, что две эти величины, работа и кинетическая энергия, равны.) Теперь мы можем обратить это рассуждение, допустив, что блок движется равномерно по нашему галилеевскому столу без трения и ударяется о некое хитроумное приспособление, способное преобразовать его движение в поднятие груза (рис. 3.5). Вся кинетическая энергия превращается в работу, в го же количество работы, которое мы затратили для первоначального разгона блока.
Рис. 3.5. Движение тела можно использовать для того, чтобы произвести работу, поэтому ему соответствует форма энергии, известная как кинетическая энергия. В данном примере шар ударяет по поршню, а движение поршня преобразуется с помощью ряда приспособлений в поднятие груза, представленного другим шаром. Работа, проделанная при поднятии второго шара (пропорциональная его весу и высоте, на которую шар поднят), равна кинетической энергии катящегося шара.
Эти наблюдения дают возможность ввести следующее определение: энергия есть способность произвести работу. Это и в самом деле все, чем она реально является. Где бы вы ни встретили термин энергия, использованный в техническом, а не в литературном смысле, он всегда означает способность произвести работу. Большое количество запасенной энергии (быстро движущаяся тяжелая масса) может в принципе произвести много работы, поднять тяжелый груз на большую высоту. Объект, обладающий лишь небольшим количеством энергии (медленно движущаяся легкая масса), может произвести лишь малое количество работы, поднять легкий груз лишь на маленькую высоту. При удвоении скорости объект учетверяет работу, для выполнения которой его можно запрячь.
Сделаем теперь следующий шаг. Предположим, что мы поднимаем груз на определенную высоту и прикрепляем его к системе блоков, которая может поднимать другой груз (рис. 3.6). Когда мы отпускаем первый груз, он поднимает второй. То есть он производит работу. Таким образом, первый груз имеет возможность произвести работу, даже несмотря на то, что вначале он был неподвижен. Это значит, что он обладает энергией. Эта форма энергии, которой частица обладает благодаря определенному положению, называется потенциальной энергией. Термин ввел в оборот в 1853 г. Уильям Макуорн Рэнкин (1820-72), один из основателей науки об энергии, которому предстоит снова появиться в этом повествовании.
Рис. 3.6. Даже если объект неподвижен, он может все же обладать энергией благодаря своему положению: эта форма энергии известна как потенциальная энергия. Слева тяжелый груз готов к опусканию. Справа тяжелый груз опустился на платформу, и в процессе этого был поднят легкий груз. Таким образом тяжелый груз совершил работу, и поэтому он должен был обладать энергией с самого начала. Эта энергия и была его начальной потенциальной энергией.
На этом этапе мы видим, что существуют две формы энергии, кинетическая энергия (способность производить работу благодаря движению) и потенциальная энергия (способность производить работу благодаря положению). Хотя вы будете часто встречать термины типа «электрическая энергия», «химическая энергия» и «ядерная энергия», таких вещей на самом деле нет: эти термины являются просто удобными сокращенными терминами для специальных и частных комбинаций кинетической и потенциальной энергий. Электрическая энергия является главным образом потенциальной энергией отрицательно заряженных электронов в присутствии положительных зарядов. Химическая энергия устроена несколько более сложно, но ее можно проследить до потенциальной энергии электронов в молекулах и кинетической энергии их движения, когда они выходят за пределы молекулы. Ядерная энергия устроена аналогично, но возникает из взаимодействий и движений субатомных частиц внутри атомного ядра. Исключением из универсальности терминов «кинетическая и потенциальная энергии» является энергия электромагнитного излучения (например, энергия света, приходящего к Земле от Солнца и согревающего нас или производящего для нас пищу посредством фотосинтеза). Но что это касается энергии, запасенной в веществе, то она полностью состоит из кинетической и потенциальной энергий. Итак, на данный момент, мы действительно поняли все, что требуется знать об энергии.
Ну, не совсем все. Всего мы еще не знаем, как вы можете судить по числу страниц в этой главе, еще не прочитанных вами, и тому факту, что другие главы тоже развивают концепцию энергии. Энергия заслуживает всего этого пространства текста, потому что она является центральным понятием для Вселенной, для всех ее структур и событий. В самом деле, двумя великими основаниями науки являются причинность, влияние одного события на события последующие, и энергия. Причинность есть по существу связность и согласованность цепочки команд, поддерживающей движение во Вселенной, которую мы распутываем, чтобы достичь понимания; энергия всегда бдительно стоит на страже приличий, гарантируя, что причинность будет производить лишь допустимые действия. Как мы увидим дальше, энергия есть поистине конвертируемая валюта космической бухгалтерии.
Давайте подробнее рассмотрим понятие энергии. Потенциальная энергия является потенциальной потому, что ее можно конвертировать в vis viva, действующую энергию, кинетическую энергию. Предположим, мы обрезаем шнур, удерживающий груз на высоте. Он срывается вниз (мы действуем на Земле, в земном гравитационном поле) и ускоряется при падении. В момент, предшествующий его удару о землю, он приобрел много кинетической энергии и утратил всю свою потенциальную энергию. Он все еще имеет возможность совершить работу. С помощью устройства, спроектированного подходящим образом, мы можем уловить эту кинетическую энергию, позволив падающему грузу ударить по рычагу, который подбросит другой груз вверх, подобно старинному ярмарочному аттракциону для силачей, когда ударом молота по рычагу отправляли груз вверх по направлению к колоколу (рис. 3.7). Разумеется, такой аттракцион является прекрасным конспектом основного содержания этой главы. Мы должны заключить, что потенциальная энергия и кинетическая энергия беспрепятственно взаимно конвертируются.
Рис. 3.7. В этой абстрактной схеме ярмарочной машины «испытай свою силу» кинетическая энергия груза, падающего слева, заставляет подняться вверх шар справа. Кинетическая энергия падающего груза (возможно, молота) превращается в работу по поднятию шара.
Из эксперимента, который мы проделали, также следует, что полная энергия, сумма потенциальной и кинетической энергий первого груза, является постоянной. Таким образом, мы приходим к сохранению энергии, к наблюдению, что энергия никогда не может возникнуть или уничтожиться, что полная энергия неизменна. Это заключение может быть формально доказано с помощью второго закона Ньютона, так что по смыслу этот закон является утверждением о сохранении энергии, точно так же, как третий закон есть завуалированное утверждение о сохранении импульса.
Два других закона сохранения, с которыми мы столкнулись (законы сохранения импульса и момента импульса), были связаны с симметрией и говорили нам нечто о форме пространства. Теперь на ум приходит очевидный вопрос, не является ли сохранение энергии следствием симметрии, и если да, то какой? В главе 9 мы увидим, что нужно думать не о пространстве в отдельности, а о пространстве-времени, а времени необходимо предоставить равные права с пространством. Нам, возможно, удастся почувствовать, что, в то время как сохранение импульса произрастает из формы пространства, сохранение энергии происходит из формы времени. Это действительно именно так, тот факт, что энергия сохраняется, является следствием того факта, что время не кусковато: оно гладко простирается из прошлого в будущее без сплющенных или растянутых участков. Связь между законами сохранения и пространством-временем столь глубока, что законы сохранения выживают, даже когда ньютоновские законы движения рушатся, ибо сохранение импульса и энергии остаются в целости в релятивистской и квантовой механиках.
Поскольку второй закон Ньютона является по существу утверждением о сохранении энергии, мы можем видеть, что этот закон является прямым следствием гладкости времени, также как третий закон является прямым следствием гладкости пространства. Такое объяснение большинство ученых считают сегодня более убедительным, чем пылкий религиозный энтузиазм Томсона и многих его современников, считавших сохранение энергии следствием щедрости Бога. Бог, утверждали они, одарил мир энергией, и эта энергия, будучи божественной, не может ни уменьшиться от человеческого вмешательства, ни быть уничтоженной никакими нашими действиями.
Анализ поведения частиц в терминах кинетической энергии, потенциальной энергии и сохранения энергии превратил энергию в конвертируемую валюту физики в 1867 г. вследствие публикации авторитетного труда Томсона и Тейта «Курс натуральной философии». К тому времени уже возникло понимание, что концепция энергии помогает свести воедино все части физики. Так в 1847 г. ученый-универсал Герман фон Гельмгольц (1821-94) использовал эту концепцию, чтобы показать внутреннее единство механики, света, электричества и магнетизма. Но несмотря на этот успех, существовала докучная проблема, которая угрожала всему сооружению, проблема тепла.
Тепло долго было таинственным явлением, до тех пор, пока разработка парового двигателя и зависимость от него национальных экономик, а следовательно, успех в войне и торговле, не выдвинули его в центр внимания науки. Проблема, однако, была не только в том, что природа тепла была неизвестна, но и в том, что этот вопрос, казалось, лежал за пределами достижений современной физики.
Долгое время многие считали, что тепло является жидкостью, которой даже дали название теплород (или калорик, от латинского color, тепло), одной из тех «неощутимых», невесомых жидкостей, которые так любили ранние исследователи. Теплород был не только неощутимым (и, следовательно, очень удобно недоступным для обнаружения путем взвешивания), он также был «тонким», в том смысле, что везде мог проникать, даже между телами, плотно сомкнутыми вместе. Мы можем посмеиваться над этими ложными представлениями, но и сегодня не каждый может объяснить, что такое «тепло», и более того, лексика, связанная с теплородом, все еще пропитывает повседневный язык: мы говорим о тепле, текущем, как жидкость, от горячего тела к холодному.
Теплород изгнал из науки в 1798 г. ученый, изобретатель, политик, бабник, солдат, святоша, государственный муж, реформатор и шпион Бенджамин Томпсон, граф Румфорд (1753-1814). Томпсон родился в Массачусетсе, бежал в Англию в 1776 г., основал в 1799 г. Королевское общество и переехал в Баварию, где был назначен военным министром, министром внутренних дел, гофмейстером двора, статским советником и графом Священной Римской империи. Он выбрал себе титул по имени города Румфорд (позже Конкорд) в Нью-Гемпшире, где родилась первая из его жен. Изгнание теплорода произошло в результате наблюдений Румфорда за рассверливанием ствола пушки, который он курировал в мюнхенском арсенале. Он записал:
18,77 фунта воды в дубовой бочке. В начале 60° F; после того как две лошади крутили станок 2½ часа, вода закипела.
Он заключил из этого и подобных экспериментов, что тепло могло производиться постоянно и было неистощимо. Если так, то оно должно было производиться трением, и поэтому его нужно рассматривать скорее как движение частиц, обрабатывающих металл пушки, чем как жидкость, скрытую в металле.
Предстоял еще долгий путь до того момента, когда тепло количественно вошло в научный обиход, была определена его атомная природа и оно было включено в закон сохранения энергии. Потребность понять тепло вырастала, как мы указали, из огромной важности парового двигателя в промышленности, и неудивительно, что большинство результатов, которые привели к нашему современному пониманию тепла, было получено группой ученых, сосредоточенной на севере Британии, в Глазго и Манчестере, и имевшей тесные связи с индустрией мануфактур.
Есть одна тема, которая будет вновь и вновь возникать на протяжении всей этой книги, и это тема о том, что продвижение науки связано с упразднением универсальных констант. Здесь появляется первый проблеск того, в чем она заключается, и прояснение того, что из этого вытекает. В девятнадцатом веке (и, следует признать, в некоторых частях мира в двадцать первом) работа измерялась одним набором единиц (единицей оказался эрг, но детали здесь не важны), а тепло измерялось другим набором (калории). Различие единиц измерения этих двух величин скрывало тот факт, что эти величины по существу одно и то же. В девятнадцатом веке прилагалось много усилий в попытке измерить «механический эквивалент тепла», работу, которая может быть получена из данного количества тепла, и найти эффективный коэффициент перехода от калорий к эргам. Эти усилия дали существенный вклад в прогресс науки и экспериментальные обоснования для закона сохранения энергии. Однако, с нашей сегодняшней точки зрения, это была пустая трата времени. Не поймите меня неправильно: это была плодотворно пустая трата времени. Она была плодотворной, поскольку помогла показать, что тепло есть форма энергии, что невозможно произвести работы больше, чем запасено тепла, и что тепла производится не больше, чем произведено работы. Это была пустая трата времени лишь потому, что теперь мы понимаем работу и тепло как две формы одной целостности, энергии, измеряем их одними и теми же единицами и больше не нуждаемся в переводе одной единицы в другую.
Джеймс Джоуль (1818-89) является тем, кто заслуживает наибольшего уважения за исключительно плодотворную пустую трату времени. Джоуль, рожденный в Манчестере, сын богатого пивовара, имел достаточно собственных средств, чтобы проводить исследования до тех пор, пока около 1875 г. деньги не кончились. В своем знаменитом эксперименте Джоуль использовал быстро вращающиеся гребные колеса, приводимые в движение падающим грузом и баламутящие воду, и измерял подъем температуры воды (рис. 3.8). Таким способом он сумел показать, что работа может быть преобразована в тепло. Сравнивая работу, необходимую, чтобы увеличить температуру воды на заданную величину, с количеством тепла, нужным для того, чтобы достичь того же эффекта, он смог измерить механический эквивалент теплоты. Хотя он и измерял величину, которая ныне бесполезна, он заслуживает безмерных похвал за то, что установил эквивалентность тепла и работы и таким образом показал, что эта величина, на попытки измерения которой он потратил так много времени, не была важной. Для увековечения памяти о его вкладе единица, которой измеряются работа, тепло и, конечно, энергия в целом, названа джоулем. Джоуль (Дж) очень маленькая единица энергии: каждый удар человеческого сердца производит работу около 1 Дж. Каждый день, в соответствии приблизительно со ста тысячами ударов, ваше сердце производит около ста тысяч джоулей работы, гоня кровь по вашему телу, поэтому вам необходимо поглощать достаточно пищи, чтобы обеспечить количество энергии, достаточное для поддержания его тикания. (Думание об этом требует немного больше энергии.)
Рис. 3.8. Идеализация прибора Джоуля для измерения механического эквивалента теплоты. Падающий груз вращает лопасти в воде, помещенной в изолированный контейнер. Проделанная работа может быть вычислена с помощью высоты, на которую опускается груз. Отслеживается температура воды, и величина поднятия температуры затем используется, чтобы вычислить количество теплоты, необходимое для достижения того же эффекта.
Работы Джоуля и его современников без сомнений установили, что работа и тепло являются формами энергии и что после принятия их в расчет балансовый отчет энергии остается неизменным. Доказано, что энергия сохраняется даже в грохочущих машинах, которые жили за счет тепла и фыркали паром, не говоря уже о более простых системах частиц, составляющих тела, рассматриваемые ньютоновской динамикой.
Очевидная универсальная справедливость закона сохранения энергии исключает возможность построить когда-нибудь вечный двигатель. Вечный двигатель является прибором, который производит работу, не поглощая горючее. То есть он создает энергию. Энергия жуликов, однако, судя по всему, вечна, и все виды фантастических машин по-прежнему демонстрируются и неизменно, после анализа или просто разбирания на части, оказываются надувательством. Мы так уверены, что энергия сохраняется, что ученые (и патентные бюро) больше не рассматривают серьезно заявления об опровержении этого факта, и поиск вечного движения сегодня считается занятием чудаков.
Хотя тепло и работа являются двумя ликами энергии, между ними, как и предполагает здравый смысл, имеется разница. Полное понимание тепла и работы, и того, каким образом они выражают энергию, придется отложить до развития молекулярного понимания этого определения. И, как это часто бывает в науке, вместе с пониманием приходит осознание того, что таких вещей не существует: нет такой вещи, как тепло и нет такой вещи, как работа! Поскольку очевидно, что мы в нашей повседневной жизни просто окружены обоими, это замечание заключает в себе больше, чем кажется с первого взгляда. Давайте вникнем в это.
Во-первых, что я имею в виду, когда утверждаю вещь, очевидно парадоксальную и противоречащую всему, что было сказано прежде: ни тепло, ни работа не есть формы энергии? Ключевым пунктом здесь является то, что оба явления являются путями переноса энергии из одного места в другое. Работа есть один путь переноса, тепло — другой. Нет такой вещи, как «работа», запасенная в двигателе и высвобождаемая, когда мы едем по дороге или поднимаем груз. В точности так же (хотя это и противоречит тому, что мы используем этот термин в легкомысленных разговорах) не существует такой вещи, как «тепло», запасенное в объекте, несмотря даже на то, что мы можем думать об объекте, как о горячем. Тепло — это способ переноса энергии: это энергия в переходе, а не энергия, которой что-то обладает. Возможно, вы уже можете уловить, что, коль скоро я разъясняю, как именно вам следует понимать термин «тепло», вам следует отринуть все прежние понятия, основанные на неточных терминах повседневной речи. Чтобы создать новый термин, ученые часто выбирают знакомое слово, срезают с него мясо и жир и используют лежащую под ними кость. И так же часто ученые совершенствуют язык, чтобы он не был замкнутым в себе и холодным, и даже отбивают хлеб у поэтов, но они ведь действительно знают о чем идет речь.
Работа является энергией, переносимой таким способом, что, по крайней мере в принципе, эту энергию можно использовать для поднятия груза (или, в более общем случае, для движения объекта против противодействующей силы). Не было никакой работы, запасенной в двигателе до события, она также не появилась в сдвинутом объекте после события. В двигателе перед событием была запасена абстрактная сущность, энергия; сдвинутый объект имел после события более высокую энергию, могла стать выше его кинетическая энергия или, в случае поднимания груза, могла увеличиться потенциальная энергия. Энергия была перенесена от двигателя к объекту посредством работы: работа является посредником переноса, а не переносимой сущностью. Ни к чему не обязывающие слова «в принципе» не должны пройти незамеченными. Они в этом примере означают, что энергия, покинувшая двигатель (или какой-нибудь другой рассматриваемый нами прибор), могла бы быть использована для поднятия груза, даже если этого факта не было. Например, работа могла бы быть использована для приведения в движение генератора, который пропускает электрический ток через электронагреватель. Конечным продуктом была бы скорее горячая вода, чем поднятый вес. Однако мы могли использовать эту энергию для поднятия груза, поэтому она была высвобождена как работа.
Тепло — это энергия, которая переносится в результате разницы температур, причем энергия течет от горячего (имеющего высокую температуру) тела к холодному (имеющему низкую температуру). Не было никакого тепла, запасенного в источнике до события; оно не оказалось запасенным в принимающем объекте после события. Это энергия была запасена в источнике до события; нагретый объект получил более высокую энергию после события — могло, например, испариться немного воды или растаять немного льда. Энергия была перенесена от источника к объекту посредством тепла: тепло является посредником переноса, а не переносимой сущностью.
Все становится ясным, когда мы рассматриваем события на молекулярном уровне. Предположим, что мы можем снаружи наблюдать движение атомов в двигателе. Для определенности, давайте посмотрим с близкого, действительно близкого расстояния на поршень, толкаемый расширяющимся газом (в двигателе автомобиля) или поступающим паром (в паровом двигателе). Если бы мы могли рассмотреть атомы поршня, мы увидели бы, что они движутся в том же направлении, что и сам поршень (рис. 3.9). В конце концов, наблюдаемое макроскопическое движение является однородным движением бесчисленных атомов. В паровой турбине нет поршня: вместо этого сила пара вращает лопасти турбины, и мы можем использовать это движение для совершения работы. Если бы мы могли рассмотреть атомы лопастей, мы увидели бы, что они так же движутся по кругу, как и сами лопасти. Когда провод подключен к полюсам электрической батареи, через него движутся электроны, создавая поток электронов — электрический ток. Если бы мы могли рассмотреть электроны в проводе, мы бы увидели, что они движутся в направлении течения тока. Электрический ток можно использовать для совершения работы, например, включив электрический мотор в сеть. В каждом случае работа связана с однородным движением атомов (или электронов). Это и есть то, чем является работа, это перенос энергии, который создает в области своего действия однородное движение атомов.
Рис. 3.9. Когда производится работа, энергия передается в таком виде, что атомы движутся однородно по заданному пути. В увеличенном фрагменте поршня, который движется вверх, мы видим, как атомы движутся вместе. Они передают движение объекту, связанному с поршнем или находящемуся на нем, и производят, например, поднятие груза.
А что насчет тепла? Давайте опять заглянем в воображаемый микроскоп такой силы, что в него можно видеть движение атомов. Теперь в горячем объекте нет движущегося поршня или лопастей турбины, никаких подвижных частей. Вместо этого энергия просачивается сквозь проводящую стенку. Теперь нет явного движения окружающих атомов, но мы видим, что они колеблются практически случайно (рис. 3.10). Когда энергия покидает объект и выходит в его окружение, атомы окружения колеблются еще более энергично и передают энергию своих колебаний соседям, которые в свою очередь передают ее своим соседям. Говоря коротко, перенос энергии в виде тепла является переносом энергии, который создает в области своего действия случайное движение атомов.
Рис. 3.10. Когда энергия переходит в тепло, движение атомов является дезорганизованным. Мы можем вообразить, что атомы горячего объекта и его проводящей тепло стенки (горизонтальная плита) сильно колеблются около своих средних положений, толкая друг друга. Эти толчки переносят энергию в окружающее пространство, где атомы подхватывают тепловое движение.
Случайные колебания атомов называются тепловым движением. Это не тепло. Тепло является способом передачи энергии. Мы никогда не должны говорить, что «тепло передается», за исключением тех случаев, когда мы понимаем, что это лишь удобный способ сказать, что энергия передается как тепло или посредством тепла. Тепло в действительности лучше рассматривать как глагол, чем как существительное. Тепло не является тепловой энергией. Такой вещи не существует, несмотря на то, что этот термин широко используется (существуют только кинетическая и потенциальная энергии, каждая из которых вносит вклад в тепловое движение, и энергия излучения). Тепло не является термической энергией. Такой вещи не существует, это лишь удобный способ обозначить энергию теплового движения.
Это атомическое различие между работой и теплом имело большое влияние на развитие цивилизации. Довольно легко выделить энергию в виде тепла: энергия должна быть просто вброшена в случайную путаницу движения атомов. Поэтому раннее человечество довольно скоро научилось это делать. Гораздо труднее выделять энергию в виде работы, поскольку энергия должна проявиться как упорядоченное движение атомов. Отличные от тел животных приборы, предназначенные для производства этой упорядоченной моды выделения энергии, не были сконструированы (за исключением нескольких единичных случаев) вплоть до восемнадцатого века, а, чтобы достичь эффективности, потребовалось еще несколько столетий для их усовершенствования (рис. 3.11).
Рис. 3.11. Здесь изображено нагромождение изощренных приборов, необходимых для извлечения энергии в виде работы. Возможность извлекать энергию в этом виде, а не просто как тепло была относительно поздним достижением цивилизации.
Теперь мы узнали, как тепло встало на путь истинный и как энергия сохраняется в реальности. И теперь, когда мы понимаем, что энергия может быть передана как тепло или работа, мы можем сделать вывод, что энергия сохраняется как в области динамики, в области движения отдельных тел и взаимообмена кинетической и потенциальной энергий, так и в области термодинамики, взаимообмена тепла и работы. Энергия действительно является универсальной валютой космической бухгалтерии, поскольку никакое событие, в котором энергия возникает или уничтожается, не может произойти. Энергия, таким образом, является ограничителем для событий, которые возможны во Вселенной, ибо никакое событие, сопровождаемое изменением полной энергии Вселенной, случиться не может. Это заключение очень понравилось бы Томсону и Клерку Максвеллу, которые стали энтузиастами закона сохранения энергии через их веру в то, что Господь в своей безграничной мудрости в момент Творения одарил Вселенную фиксированным количеством энергии и что человечество должно иметь дело с тем, что бесконечно мудрый Бог считает приемлемым.
Вопрос о том, как много энергии есть во Вселенной, вероятно, занимал Томсона и Максвелла, поскольку ответ на него был бы количественной мерой божественной щедрости: они, возможно, предполагали, что это количество бесконечно, так как что-либо меньшее указывало бы на ограниченность творческой силы Бога и было бы, таким образом, неприемлемым намеком на божественную слабость. Поскольку энергия сохраняется, если бы мы могли определить полную энергию на текущий момент, то она была бы той же, что и в первоначальном щедром пожертвовании. Итак, сколько же энергии существует ныне? Честным ответом будет, что мы не знаем. Однако существует путеводная нить, которая указывает на ответ.
Сначала, как это часто бывает в науке, мы должны отбросить наши предрассудки. Определенно нам кажется, что энергии очень много: достаточно подумать только о вулканах и ураганах на Земле и о сверкании звезд, чтобы прийти к заключению, что Вселенная одарена колоссальным запасом энергии. Действительно, ее даже больше, чем видит глаз, поскольку (как мы более подробно увидим в главе 9) масса является эквивалентом энергии, так что все вещество есть форма энергии (по формуле E = mc2). Если бы нам пришлось складывать вместе массы всех звезд во всех галактиках видимой Вселенной, мы получили бы гигантскую общую массу и, следовательно, гигантскую общую энергию. Однако в науке как и в жизни, надо быть осмотрительными. Ведь есть и другой вклад в энергию, гравитационное притяжение между массами. Притяжение понижает энергию взаимодействующих тел, так что чем их больше, тем ниже энергия. Одним из способов выразить это является описание энергии гравитационного притяжения отрицательной величиной, так что чем больше притяжение, тем больше уменьшение полной энергии.[13] Поскольку его вклад отрицателен, когда мы прибавим все гравитационные взаимодействия между звездами в галактиках и между галактиками, наша первоначально гигантская полная энергия будет сведена на нет.
Будет ли она сведена на нет полностью? Это начинает выглядеть именно так. Мы можем судить о полной энергии Вселенной, исследуя скорость ее расширения (эта тема более подробно рассматривается в главе 8). Если отрицательное гравитационное взаимодействие преобладает над положительным вкладом масс, то в долговременной перспективе Вселенная будет расширяться все медленнее, затем начнет сжиматься и, наконец, свалится сама в себя в Большом Хлопке. Это в точности похоже на подбрасывание мяча в воздух с кинетической энергией, слишком маленькой для того, чтобы он мог улететь, в конечном счете сила гравитации снова притянет его к Земле (рис. 3.12). Такое будущее во все возрастающей степени мыслится как неправдоподобное. С другой стороны, если гравитационное притяжение слабо, Вселенная будет расширяться вечно. Это похоже на подбрасывание мяча с такой колоссальной величиной кинетической энергии, что он вырвется из силы гравитации, улетит в межгалактическое пространство и будет продолжать движение, пока не улетит в бесконечность. Такое будущее остается возможным: наблюдения не противоречат этому.
Рис. 3.12. Пути с поверхности сферы указывают, что происходит, когда мы подбрасываем мяч над поверхностью Земли. Если мы подбрасываем его относительно слабо (со скоростью, меньшей той, которая нужна, чтобы покинуть Землю), то он упадет обратно. Если мы подбрасываем его сильно (со скоростью, большей той, которая нужна, чтобы покинуть Землю), он улетит в бесконечность и будет продолжать движение, даже достигнув бесконечности. Линия из точек показывает, что происходит, когда мы бросаем его точно с той скоростью, которая нужна, чтобы покинуть Землю: он покинет ее, но замедляясь и останавливаясь по мере удаления в бесконечность. Линия из точек разделяет области возвращения и улетания. График показывает, как эта идея может быть приложена ко Вселенной в целом. Если гравитация сильна (поскольку во Вселенной имеется много вещества), то Вселенная через какое-то время в будущем переживет коллапс (как подброшенный и возвратившийся мяч). Если гравитация слишком слаба (поскольку во Вселенной слишком мало вещества), то размеры Вселенной будут возрастать всегда (как мяч, подброшенный и вечно улетающий). Если гравитация и движение наружу в точности уравновешивают друг друга, Вселенная будет всегда расширяться и стремиться к прекращению движения (как мяч, брошенный со скоростью, которая нужна, чтобы покинуть Землю).
Если положительный и отрицательный вклады энергии в точности равны, Вселенная также будет расширяться вечно, но ее расширение будет становиться все медленнее и медленнее по мере того, как она будет становиться все больше и больше, и в очень отдаленном будущем мы можем представить себе Вселенную парящей между непрерывным расширением и коллапсом. Это похоже на бросание мяча вверх точно с такой скоростью, чтобы он получил как раз достаточно кинетической энергии, чтобы покинуть Землю, но, по мере его стремления к бесконечности, замедлился бы до полной остановки. Поскольку такой шар не движется, его кинетическая энергия равна нулю, а поскольку он бесконечно удален от Земли и находится вне области действия ее притяжения, его потенциальная энергия равна нулю, поэтому он имеет нулевую полную энергию. Так как энергия сохраняется, несмотря на то, что кинетическая и потенциальная энергии изменяются, полная энергия мяча должна быть равна нулю все время. Существует усложняющий дело фактор, связанный с возможными дополнительными эффектами, ведущий к ускорению расширения Вселенной (см. главу 8), но все выглядит так, что полная энергия Вселенной действительно очень близка к нулю. На самом деле, она может быть равна нулю в точности. Если последнее окажется верным, это будет похоже на то, что Бог несколько поскупился, когда обеспечивал Творение энергией.
Обманчивое впечатление, что во Вселенной очень много энергии, возникает из того факта, что мы обращаем внимание лишь на видимые формы энергии (такие, как вещество и свечение звезд) и игнорируем другие ее формы (гравитационную составляющую). Именно эта дифференциация энергии (а вовсе не полная энергия) и наделяет Вселенную захватывающим динамизмом.
Каждая монета имеет обратную сторону. Сохранение энергии, закон, который выглядит абсолютно не имеющим исключений, имеет исключения. Квантовая механика многими способами подрывает нашу уверенность в себе. Одним из многих причудливых следствий квантовой механики (глава 7) является то, что энергия может быть описана как определенная величина, только если состояние с этой энергией сохраняется всегда. В соответствии с квантовой механикой, частица со скоротечным существованием не имеет определенной энергии, и в короткий промежуток времени энергия Вселенной не может быть описана определенной величиной, а потому у этой энергии нет необходимости сохраняться. Может быть, вечный двигатель с коротким временем жизни все же можно построить!
Глава четвертая Энтропия Источник изменений
Не знающий второго начала термодинамики подобен тому, кто никогда не читал творений Шекспира.[14]
Ч.П. СноуВеликая идея: изменения являются следствием бесцельного падения энергии и вещества в беспорядок
Есть вопрос, который часто забывают задать: а почему вообще что-то происходит? Глубокие вопросы часто ошибочно считают наивными; однако глубокие и наивные с виду вопросы, должным образом исследованные, могут раскрыть само сердце Вселенной. Это определенно верно относительно данного частного вопроса, ибо мы увидим далее, что, изучая этот вопрос, мы придем к пониманию движущей силы всех изменений в мире. Мы придем к пониманию простых событий повседневной жизни, таких как приготовление кофе, и перед нами промелькнет по крайней мере щиколотка объяснения наиболее сложных событий повседневной жизни, таких как рождение, развитие и смерть.
Ответ на наш вопрос о происхождении изменений лежит в области науки, называемой термодинамикой и изучающей превращения энергии, особенно превращения из тепла в работу. У термодинамики нет репутации легкомысленной траты времени, поскольку ее восприятие обременено ее происхождением, исследованием эффективности паровых двигателей. Легко подумать, что паровой двигатель есть итог заготовки древесины и безусловно не может иметь ничего общего с исключительно деликатным процессом распускания листочков, если не принимать во внимание мнения шутников. Паровые двигатели символизируют тяжеловесность индустрии и увеличение эксплуатации и социального гнета, порождаемые индустриализацией (рис. 4.1).
Рис. 4.1. Паровой двигатель может выглядеть нескладным и грубым, но по существу он является сжатым принципом работы Вселенной. На протяжении этой главы мы увидим, что все события мира, как вне, так и внутри нас, выраженные в подходящей абстрактной форме, приводятся в движения паровыми двигателями.
Они представляют собой скорее грязь, чем чистоту, скорее город, чем деревню, скорее тяжеловесность, чем утонченность. Как могут эти лязгающие, дышащие паром, протекающие, свистящие и пыхтящие гиппопотамы иметь что-то общее с пониманием тончайшей сети событий, которая окружает нас, обогащает нас, наполняет каждое проявление этого чудесного мира?
Мы уже начали понимать, что наука развивается, когда вступает на путь все более высоких абстракций. Это происходит также и в данном случае. Когда мы снимаем оболочку из железа, чтобы обнажить абстракцию парового двигателя, мы получаем представление об источнике всех изменений. То есть, если мы посмотрим на сущность парового двигателя, на его абстрактное сердце и проигнорируем детали его воплощения — пар, протекающие трубы, капли масла и смазки, дребезжание, хлопки и заклепки, — мы обнаружим понятие, которое приложимо ко всей цепи событий. Так действует наука: наука выделяет из реальности ее сущность, ее главные идеи, а затем ищет тот же дух-фантом в других фрагментах природы. Обнаружение того, что этот дух обитает в различных событиях, означает, что мы достигли общего понимания клубка мировых событий. Взирая на мир глазами поэта, мы видим лишь поверхность событий, хотя это не значит, что события эмоционально и духовно никогда не трогают нас. Но глядя на мир глазами ученого, мы проницаем эту поверхность и видим внутри дух. В этой главе мы снимем кожуру с событий и обнаружим внутри дух парового двигателя.
Понимание того, что паровой двигатель является сжатым принципом всех изменений, возникло в девятнадцатом веке и достигло полноты в начале двадцатого. У термодинамики есть еще одна проблема: ее аура является уж очень викторианской. Как и эта эра, термодинамика может казаться старомодной и, если не считать инженерных аспектов, не слишком пригодной для понимания современного мира. Но корни термодинамики лежат глубоко, и их ответвления пронизывают всю структуру современного мира. Если интерпретировать ее на современном языке, термодинамика оказывается одним из самых востребованных разделов науки.
Чтобы расставить декорации, я возмущу гладь пруда истории девятнадцатого века и выужу на поверхность умы четырех покойных ученых. Эти четверо — Сади Карно, Уильям Томсон (лорд Кельвин), Рудольф Клаузиус и Людвиг Больцман — внесли главный вклад в появление духа парового двигателя. Возникновение великой идеи «энтропии», концепции, которая лежит в сердце этого обсуждения, мы проследим их глазами, прежде чем взглянуть на нее с более современной точки зрения.
В начале девятнадцатого столетия паровой двигатель означал богатство; позднее мы увидим, что на самом деле он означает изменения, но пока остановимся на богатстве. Англия, с ее паровозами, пыхтящими по всей стране, с ее шахтами, которые разрабатывались, чтобы сообщить паровозам жизнеспособность и эффективность, с ее стучащими ткацкими станками, а значит, и с набирающей мощь экономикой, с ее торговлей, быстро становящейся на колеса с кузовами, что увеличивало и облегчало подвижность, с ее обороноспособностью, этим благозвучным синонимом агрессивности, эта Англия была населена динамичным народом. Паровой двигатель пронизывал и преобразовывал социальную и экономическую структуры нации, как столетием позже это сделал компьютер. Тревожные и завидующие глаза Франции наблюдали из-за Ла-Манша, кляня невезение, вызванное, как им казалось, отсутствием доступных угольных залежей. Настоятельной задачей инженерного дела было увеличение эффективности парового двигателя, чтобы получать большую работу при меньших затратах угля. Была ли вода наилучшим посредником, или можно использовать воздух? Было ли высокое давление лучше, чем низкое? А как насчет температуры? Могли аналитический французский ум обставить прагматический ум английский на его собственном поле?
Один яркий луч света пробился сквозь клубы тумана, окутавшие ответы на вопросы, подобные этим. В 1796 г. наконец родился Сади Карно. Я говорю «наконец», поскольку его родители уже два раза пытались родить других Сади, но оба ребенка — последовательно называемые Сади — умерли в юности. Их третий и, наконец, удачный Сади прожил немного дольше, пока в тридцать шесть лет его не сразила холера. И хотя его жизнь оказалась краткой, ему хватило четырех неполных десятилетий, чтобы обеспечить себе бессмертие, которое может дать значительный вклад в науку.
Карно фундаментально неправильно воспринимал паровой двигатель, но мощь установленной им сущности парового двигателя была такова, что ее свет прорвался даже сквозь это фундаментальное заблуждение. Карно следовал (по крайней мере в первоначальной формулировке своих идей, хотя много позднее он переменил мнение) преобладавшей в то время точке зрения, упомянутой нами в главе 3, что тепло является жидкостью, теплородом, которая перетекает из нагретого резервуара в холодный сток и в процессе этого может вращать двигатель, подобно тому, как поток воды вращает колесо водяной мельницы. Он полагал также, снова в духе преобладающих идей своего времени, что тепло, будучи жидкостью, не порождается и не исчезает при вытекании из резервуара в сток. На основе этой ложной модели он сумел доказать удивительный результат, что коэффициент полезного действия или эффективность идеального парового двигателя, в котором пренебрегают эффектами трения, утечек и т.д., определяется только температурами нагретого резервуара и холодного стока и не зависит ни от давления, ни от вида рабочего вещества.[15] Таким образом, чтобы достигнуть наибольшей эффективности, горячий резервуар должен быть как можно более горячим, а холодный сток должен быть как можно более холодным. Все остальные переменные по существу не имеют значения.
Эти противоречащие интуиции заключения инженеры того времени сочли слишком абсурдными, и небольшая книжка Карно, Réflexions sur lа puissance motrice du feu (1824), увяла, оставшись непрочитанной и забытой. Но не совсем. Тонкие нити, сохраняющие живым пульс решающих идей в истории, принесли книгу Карно в поле зрения Уильяма Томсона (1824-1907), позднее ставшего лордом Кельвином. Как мы видели в главе 3, Кельвин — так нам будет удобно дальше его называть — в сотрудничестве с Джеймсом Джоулем уже внес вклад в развенчание теории теплорода и идентифицировал тепло как форму энергии. Современный ему мир пришел к пониманию того, что сохраняется энергия, а не тепло, и что тепло и работа, будучи двумя проявлениями энергии, могут превращаться друг в друга. Концепция протекания теплорода через двигатель открыла путь другой концепции, в которой текла уже энергия, а сам двигатель стали понимать не столько как мельницу, сколько как прибор для преобразования части этой энергии из тепла в работу. В результате возник принцип так называемого теплового двигателя, включающий паровые двигатели, паровые турбины, реактивные двигатели и двигатели внутреннего сгорания.
Réflexions Карно побудили Кельвина самому поразмыслить над коэффициентом полезного действия парового двигателя и переписать работу Карно количественно более четко. Карно развивал свои идеи, используя простую арифметику, и не привлекал строгость математики, чтобы выразить эти идеи на более современном и неопровержимом языке.
Чтобы оценить вклад Кельвина, представим себе, что мы стоим перед типичным паровым двигателем девятнадцатого века. При поверхностном обследовании двигателя мы, возможно, заключим, что поршень в его цилиндре является существенно важной частью, поскольку этот прибор стучит внутри потока энергии и отводит часть ее в виде движения, а значит, в виде работы (рис. 4.2). Мы можем сделать и альтернативный вывод, что решающим компонентом является горячий резервуар, ибо он представляет собой источник энергии, которая должна быть превращена в работу. Кельвин, однако, сформулировал причудливый с виду взгляд, что, хотя эти два компонента, очевидно, важны и требуют весьма тщательных проектирования и выполнения, существенно важной частью парового двигателя является холодный сток, окружение, в которое сбрасывается отработанное тепло. С этой точки зрения решающая часть двигателя, очевидно, не находится в нем и не требует проектирования и производства: это просто то, что окружает сооружение. Наука часто развивается такими путями: прорастая вверх с помощью выворачивания наизнанку здравого смысла, освещая старую проблему лучом света с новой стороны. Венгерский биохимик Альберт Сент-Дьёрдьи (1893-1986) выразил этот аспект науки особенно хорошо, когда сказал, что научное исследование состоит в том, чтобы видеть то, что видит каждый, но думать то, чего не думает никто.
Рис. 4.2. Это тип диаграммы, который мы будем использовать, чтобы представить паровой двигатель, или, в более общем смысле, тепловой двигатель. Здесь имеется горячий источник, из которого отбирается энергия при высокой температуре, приспособление для превращения тепла в работу (в реальном паровом двигателе это был бы поршень в цилиндре) и холодный сток, в который сбрасывается «лишняя» энергия.
Интеллектуальное сальто Кельвина побудило его довести свое осознание центральной роли холодного стока до формулировки универсального принципа природы: все жизнеспособные двигатели имеют холодный сток (рис. 4.3). Кельвин не выразил свой принцип именно этими словами[16], но они выражают суть его формального утверждения. Если вы оглядитесь вокруг и проверите любой паровой двигатель, вы обнаружите, что каждый из них имеет холодный сток. Уберите холодный сток, и двигатель перестанет работать, несмотря на то, что у вас есть еще очень много запасенной в резервуаре энергии, и несмотря на то, что связанный с резервуаром поршень в цилиндре отлично смазан. Холодный сток является сутью. Удалите его, и двигатель заглохнет.
Рис. 4.3. Формулировка Второго Начала, данная Кельвином, утверждает, что такой двигатель работать не будет. Каждый жизнеспособный двигатель имеет холодный сток, в который должно быть «сброшено» некоторое количество тепла.
На самом деле, этот принцип приложим к любому виду двигателей, преобразующих тепло в работу, включая двигатели внутреннего сгорания, приводящие в движение наши автомобили, и реактивные двигатели, заставляющие лететь наши самолеты. В этих более хитроумных приборах холодный сток идентифицировать труднее, но тщательный анализ потока энергии показывает, что он на месте. Например, в двигателе внутреннего сгорания мы можем считать холодным стоком для сбрасывания отработанного тепла изношенные клапаны и выпускной коллектор. Это первый проблеск осознания того, что паровой двигатель понятийно присутствует внутри каждого теплового двигателя, так как внутри каждого присутствует его сущностный компонент, холодный сток, и сущностное действие, сброс отработанного тепла. Может ли быть, что и живые организмы, которые устроены много сложнее, чем двигатель внутреннего сгорания, также подчинены этому абстрактному принципу? Левиафан термодинамики зашевелился.
Все жизнеспособные двигатели имеют холодный сток — это одна из формулировок Второго Начала термодинамики. Этот закон обычно не формулируется столь кратко, но такая словесная формула вполне ухватывает его суть. На данном этапе он имеет типичную форму эмпирического закона, который есть прямое обобщение опыта: потенциал для абстракции существует, но в такой форме закон мог бы быть сформулирован любым проницательным наблюдателем. Кроме того, в этой формулировке универсальность закона выглядит несколько ограниченной. Он является итогом исследования структуры тепловых двигателей на Земле и, возможно, если они у них есть, тепловых двигателей инопланетян в других частях Вселенной. Но этот закон не выглядит имеющим столь широкий охват, чтобы включить жизнь, Вселенную и вообще все. Но не тревожьтесь: дадим этой истории развернуться.
Примерно в это же время, в 1850 г., немецкий физик Рудольф Клаузиус (1822-88) усиленно работал над тем, что было тогда горячей темой дня, а именно, теплотой, и опубликовал результаты своих размышлений в статье Über die bewegende Kraft der Wärme (О движущей силе тепла). Он тоже умел подмечать общие черты в природе и имел достаточно качеств настоящего ученого, чтобы посметь опубликовать то, что другие сочли бы наблюдением простака: тепло не течет от более холодного тела к более горячему (рис. 4.4).
Рис. 4.4. Формулировка Второго Начала, данная Клаузиусом, утверждает, процессы, подобные этому, никогда не наблюдаются. При условии, что внешнее вмешательство отсутствует, никогда нельзя наблюдать, как энергия течет от холодного тела к горячему.
Клаузиус, разумеется, был весьма далек от того, чтобы быть простаком, и в данной и последующих работах он развил это замечание в количественный принцип огромной силы. Задержимся все же на мгновение на этой эмпирической форме закона и увидим, что она и в самом деле согласуется с повседневным опытом. Чтобы проделать это, мы должны заметить, что этот закон не запрещает теплу переходить от холодного к горячему: как раз это в конце концов мы и получаем в холодильнике, который выкачивает тепло из своего содержимого и выбрасывает его в более теплое окружение. Но дело здесь в том, что для того, чтобы достичь охлаждения, мы должны совершить работу: холодильник должен быть связан с электрическим питанием, которое движет его механизм. Замечание Клаузиуса приложимо к процессам, в которые ничто не вмешивается извне, к процессам, которые могут протекать без того, чтобы мы им помогали. Иначе говоря, утверждение Клаузиуса относится к «естественным» или «спонтанным» изменениям, которые являются изменениями, происходящими без вмешательства внешних движущих факторов. Так, охлаждение до температуры окружения является спонтанным; но нагревание выше температуры окружения не спонтанно, поскольку должно быть произведено извне (например, посредством пропускания электрического тока через нагреватель, контактирующий с объектом). В науке слово «спонтанный» не подразумевает быстроты: медленный поток густого вара из опрокинутой бочки является спонтанным, пусть он даже в высшей степени медленный. «Спонтанный» в науке означает «естественный», а не «быстрый».
Термодинамика подобна Амазонке. Как и Амазонка, термодинамика является слиянием многих концептуальных потоков. Притоки Кельвина и Клаузиуса оказались частями одной реки идей. На самом деле они логически эквивалентны, поскольку, если бы тепло могло спонтанно перетекать от холодного к горячему, двигатель мог бы работать без холодного стока; а если бы двигатель мог работать без холодного стока, тепло могло бы спонтанно перетекать от холодного к горячему.
Чтобы действительно увидеть эквивалентность утверждений Кельвина и Клаузиуса, давайте используем гипотетический двигатель без стока, чтобы заставить работать другой гипотетический двигатель без стока в обратном направлении (рис. 4.5). Единственной разницей между этими двигателями является то, что температура их источников энергии различна, и для движущего двигателя она устанавливается более низкой, чем для движимого. Как мы видим из иллюстрации, конечным результатом работы всего сооружения является перенос энергии от более холодного источника к более горячему, что противоречит Второму Началу в формулировке Клаузиуса. Поэтому, если утверждение Кельвина ложно, ложно и утверждение Клаузиуса.
Рис. 4.5. Это устройство (сверху) показывает, что если формулировка Второго Начала, данная Кельвином, неверна, то формулировка Клаузиуса неверна тоже. Двигатель слева приспособлен для того, чтобы приводить в движение двигатель справа, работающий в обратном направлении, и превращать таким образом работу в тепло, которое будет запасена в «более горячем» резервуаре. Конечным результатом (внизу) будет перенос тепла от горячего к более горячему резервуару, что противоречит формулировке Клаузиуса.
Покажем теперь обратное: если утверждение Клаузиуса ложно, то ложно и утверждение Кельвина. Для демонстрации этого положим, что двигатель работает, сбрасывая отработанное тепло в холодный сток. Затем, в противоречии со взглядом Клаузиуса на то, что может происходить естественно, мы позволим всему этому отработанному теплу возвратиться в горячий источник (рис. 4.6). Конечным результатом работы всей конструкции является превращение в работу тепла из горячего источника без какого бы то ни было тепла, сброшенного в холодный источник, который поэтому здесь и не нужен. Это заключение находится в противоречии с утверждением Кельвина. Мы заключаем, что из ложности одного из каждых утверждений, следует ложность другого, поэтому эти два утверждения действительно являются логически эквивалентными: они являются эквивалентными формулировками Второго Начала.
Рис. 4.6. Это устройство (сверху) показывает, что, если формулировка Второго Начала, данная Клаузиусом, неверна, то формулировка Кельвина неверна тоже. Двигатель (слева) производит работу и отдает некоторое количество тепла в холодный сток. Однако, здесь имеется устройство, которое переносит это отданное тепло в горячий источник. Конечным результатом (справа) является исключение необходимости холодного стока, что противоречит формулировке Кельвина.
Иметь две формулировки Второго Начала, пожалуй, немного неэкономно. Мы можем подозревать, что формулировки Кельвина и Клаузиуса являются еще и различными сторонами одной, более абстрактной концепции, одной более абстрактной формулировки этого закона. Раскрывая эту более абстрактную, спрятанную формулировку, мы сделаем первый шаг к пониманию универсальности парового двигателя. Как мы видели немного раньше и как я уже подчеркивал в этой главе, путешествие в абстракцию является сущностью могущества науки, поскольку оно расширяет ее охват и усиливает ее способность понимать природу явлений.
Мы видели в главе 3, как появилось понятие энергии, чтобы стать потом главной валютой физики. Мы сосредоточились на количестве энергии и увидели; что физические явления стали рациональными, как только было обнаружено сохранение энергии. Первое Начало термодинамики отдает должное этому сохранению в утверждении, что энергия Вселенной постоянна. Мы не будем спорить об этом законе в текущей главе. Однако, так же как две библиотеки могут содержать один и тот же набор книг, одна в упорядоченном виде, а другая в случайно наваленной груде, и отличаться поэтому качеством обслуживания, которое они могут предоставить, так и энергия имеет качественную сторону, которая влияет на ее эффективность. Качество запасенной энергии измеряется свойством, знаменитым тем, что ускользает от понимания, — энтропией. Я сказал «ускользает от понимания», но мы вскоре увидим, что энтропия является понятием, более легким для усвоения, чем энергия; все дело в том, что слово «энергия» висит у всех на кончике языка в повседневных разговорах, но едва посмеет прозвучать слово «энтропия», мы узнаем в первом слове старого друга, а в последнем дракона. Одна из целей этой главы — рассеять «трудности», несправедливо приписываемые имени «энтропия», и вернуть энтропии ее законное место в повседневном дискурсе.
Выражаясь нестрого, энтропия есть мера качества энергии, так что чем ниже энтропия, тем выше качество. Тело, в котором энергия хранится в чистом, тщательно упорядоченном виде, как книги в эффективной библиотеке, имеет низкую энтропию. Тело, в котором энергия хранится небрежно, хаотически, как книги в случайной груде, имеет высокую энтропию. Понятие энтропии ввел и представил количественно точно в 1856 г. Рудольф Клаузиус в ходе разработки своей формулировки Второго Начала. Он ввел его, определив изменение энтропии, которое имеет место, когда энергия поступает в систему в виде тепла. А именно он записал:
Изменение энтропии = энергия, полученная в виде тепла / температура, при которой произошла передача,
Так, если некоторая энергия поступает в тело в виде тепла при комнатной температуре, то имеет место возрастание энтропии как можно рассчитать по этой формуле (отметим, что в знаменателе используется температура по абсолютной шкале). Пока вы там сидите, читая это предложение, вы генерируете тепло, которое рассеивается в окружающем вас пространстве, и тем самым вы увеличиваете энтропию своего окружения.[17] Если то же количество энергии поступает в виде тепла в то же самое тело при более низкой температуре, изменение энтропии будет больше; если энергия покидает тело в виде тепла, то энергия, поступающая в виде тепла, отрицательна, поэтому отрицательно и изменение энтропии. То есть энтропия тела уменьшается, когда оно теряет энергию в виде тепла, как остывающая чашка кофе. Заметим, что изменение энтропии задается энергией, передаваемой как тепло, и никак не зависит от энергии, передаваемой как работа. Работа сама по себе не порождает и не уменьшает энтропию.
Прежде чем я подниму занавес и покажу вам, что такое энтропия на самом деле, давайте убедимся, что это понятие действительно объединяет законы, предложенные Кельвином и Клаузиусом. Действительно, Клаузиус предположил, что оба утверждения могут быть поселены под одной крышей с помощью утверждения, что энтропия никогда не убывает.[18] Рассмотрим первое утверждение Кельвина, эквивалентное другому, гласящему, что «ваш двигатель будет работать, только если вы потратите попусту некоторую энергию», выраженное в терминах изменений энтропии. Предположим, мы объявляем, что изобрели двигатель, который использует все тепло и не нуждается в холодном стоке. Клаузиус сказал бы следующее:
Вы отняли тепло от горячего источника, поэтому энтропия резервуара упала. Все это тепло превращено машиной в работу, так что энергия вышла в окружающую среду в виде работы. Но работа не меняет энтропии, поэтому конечным результатом является уменьшение энтропии горячего источника. В соответствии с моим утверждением энтропия никогда не убывает. Поэтому ваш двигатель не может работать, в точности, как утверждал Кельвин.
Теперь рассмотрим первоначальное утверждение Клаузиуса о том, что тепло не течет от холодного к горячему. Предположим, мы объявляем, что наблюдали тепло, текущее в неправильном направлении, например, обнаружили лед в стакане воды, поставленном в печь. Клаузиус сказал бы теперь следующее:
Энергия в виде тепла покинула холодный объект (воду в стакане), поэтому его энтропия упала. Поскольку его температура низка, а температура стоит в знаменателе моего выражения для изменения энтропии, это убывание энтропии велико. Та же энергия поступила в горячую область (внутренность печи), поэтому энтропия этой области возросла. Однако из-за высокой температуры печи это возрастание мало. Конечным результатом будет сумма малого возрастания и большого убывания, дающая в целом убывание энтропии. В соответствии с моим утверждением энтропия никогда не убывает, поэтому тепло не может спонтанно перетекать от холодного к горячему, в точности, как я утверждал прежде.
Мы видим, что Клаузиус, введя энтропию, продемонстрировал такую степень абстракции, которая точно накрыла два эмпирических закона, казавшиеся портретами двух разных сторон мира: формулировка Второго Начала термодинамики в терминах энтропии подобна кубу, который при одном повороте проецируется как квадрат, символизируя формулировку Кельвина, а при другом как шестиугольник, представляя формулировку Клаузиуса. Утверждение Клаузиуса, что энтропия никогда не убывает, является сжатым итогом опыта и более утонченной, более абстрактной формулировкой Второго Начала. Сам Клаузиус суммировал термодинамическое состояние мира в своей знаменитой паре утверждений, которые суммируют вместе Первое и Второе Начала термодинамики:
Der Energie der Welt ist konstant; die Entropy der Welt strebt einem Maximum zu.
To есть энергия мира постоянна, энтропия стремится к максимуму.
Когда Второе Начало было впервые выражено в терминах энтропии, оно встретило серьезную оппозицию, поскольку раздражало чувствительные точки века: то, что энергия Вселенной постоянна, принять было легко (поскольку энергия изначально понималась как божественный дар, который никакое количество человеческой суеты не могло ни увеличить, ни уменьшить), но как что-то, чего и так в изобилии, могло возрастать? Откуда оно пришло? Кто или что вливает энтропию во Вселенную, смазывая тем самым колеса спонтанных изменений? Дух этого закона был таким чуждым, что на поиск контрпримеров были затрачены значительные усилия. Однако без малейшего успеха. Нет ни одного исключения из Второго Начала, куда бы оно ни прилагалось. Его используют для предсказания спонтанного направления простых физических процессов, таких как охлаждение горячих объектов до температуры окружения (и исключение обратного процесса, как неестественного) и спонтанное расширение газов в доступный объем (и исключение обратного). Его также используют для предсказания того, в каком направлении пойдут химические реакции, например, чтобы судить, можно ли для восстановления руды использовать углерод (как в случае железа), или вместо него следует использовать электролиз (как для алюминия). Оно приложимо к таинственному хитросплетению биохимических реакций, которые создают тот комплекс свойств вещества, который мы называем жизнью. Нет явления, которого оно не могло бы коснуться, и случая, в котором оно ошибалось бы; оно теперь подобно несокрушимой скале универсальной и непреходящей ценности.
Но что оно означает? Что это за вещь, называемая энтропией, и что означает невозможность ее уменьшения? В чем физический смысл энтропии? Как мы можем усвоить это понятие и подружиться с ним? Второе Начало кратко суммирует работу мира, в котором действуют утверждения Кельвина и Клаузиуса, и дает средства определять количественно, является ли спонтанным некоторый процесс или нет. Однако существует дверь к его пониманию, иная, чем последнее пояснение. Мы должны толкнуть эту дверь, открыть ее и увидеть с физической точки зрения, что заставляет Вселенную двигаться в одном направлении, а не в другом. Другими словами, что скрывается за энтропией и что является глубинной структурой Второго Начала?
Дверь, которую мы сейчас толкнем, открывается в молекулярную основу вещества. Когда мы делаем шаг в этот мир, мы видим твердые тела, состоящие, шеренга за шеренгой, из атомов, молекул или ионов (заряженных атомов), слегка колеблющихся около их среднего положения. Мы видим жидкости, состоящие из молекул, пропихивающихся друг мимо друга не только когда жидкость течет, но также и тогда, когда она с виду безжизненно покоится в дремотном пруду. Мы видим газы, состоящие из летящих молекул, сталкивающихся, отскакивающих, улетающих далеко и быстро и, видимо, хаотично. Это мир, где лежит интерпретация энтропии и где мы сможем начать представлять себе, как ее возрастание сопровождает изменения. Близорукий австрийский физик Людвиг Больцман (1844-1906) прозревал природу вещества дальше любого из своих современников, до тех пор пока не бросил свою жизнь в лицо их непониманию и отвержению его идей и повесился. Он показал, что энтропия есть мера беспорядка: чем больше беспорядок, тем больше энтропия. Твердое тело, с его аккуратно упакованными рядами молекул, более упорядочено, чем жидкость, с ее тесно упакованными, но довольно подвижными молекулами, и твердое тело имеет более низкую энтропию, чем жидкость, в которую оно расплавляется. Газ с его свободно летающими молекулами более беспорядочен, чем жидкость, и газ имеет более высокую энтропию, чем жидкость, из которой он испаряется.
Изменения энтропии сопровождают как нагревание, так и изменения физического состояния. Например, когда мы нагреваем твердое тело, прежде чем оно расплавится, его молекулы раскачиваются все более неистово по мере возрастания температуры, и мы приходим к выводу, что с возрастанием беспорядочного термического движения растет и энтропия. То же происходит, когда мы нагреваем жидкость, поскольку, если мы поднимем ее температуру, ее молекулы будут двигаться более энергично, и весь набор мечущихся, мигрирующих молекул становится более беспорядочным. Когда мы нагреваем газ, молекулы движутся в более широком диапазоне скоростей, и поэтому беспорядок их термического движения возрастает; снова возрастание температуры газа ведет к возрастанию его энтропии. Когда газ расширяется, заполняя больший объем, его беспорядок, а значит, и его энтропия, возрастает даже несмотря на то, что его температура поддерживается постоянной, потому что, хотя его молекулы имеют тот же диапазон скоростей, уменьшается наша уверенность в том, что в заданном малом объеме сосуда имеется молекула. Когда энергия покидает горячий объект в виде тепла, термическое движение окружающих молекул увеличивается, поскольку они получают энергию, и энтропия окружения возрастает. Коротко говоря, энтропия возрастает, когда термический беспорядок вещества становится больше из-за увеличения термического движения атомов. Энтропия также возрастает, когда увеличивается позиционный беспорядок, диапазон возможных положений атомов.
Где бы мы ни встретили возрастание беспорядка, мы встречаем и возрастание энтропии (рис. 4.7). Вот почему энтропия является таким простым понятием: все, что необходимо держать в уме, это то, что она есть мера беспорядка. В простейших случаях мы можем моментально решить, возрастает или убывает энтропия, когда происходит изменение. Единственная сложная вещь — она не по-настоящему сложна, просто нельзя забывать о точности, с которой необходимо думать в термодинамике — это то, что используя изречение Клаузиуса об энтропии как выражающее несомненный симптом изменений, мы должны думать в терминах изменения полной энтропии, которое является полным изменением энтропии рассматриваемого объекта и остальной Вселенной. Это легче, чем кажется, потому что энтропия остальной Вселенной возрастает, если энергия попадает в нее в виде тепла, и убывает, если энергия в виде тепла уходит из нее в рассматриваемый объект. Это все, что нужно держать в уме.
Рис. 4.7. Энтропия в образцах, изображенных в этих трех прямоугольниках, последовательно возрастает слева направо. Прямоугольник слева представляет упорядоченную совокупность молекул в твердом теле: этот образец имеет низкую энтропию. Средний прямоугольник представляет менее упорядоченное расположение молекул в жидкости: этот образец имеет более высокую энтропию. Прямоугольник справа представляет в высшей степени хаотичную структуру газа (слова «газ» и «хаос» происходят от одного корня), где молекулы разбросаны случайно: этот образец имеет самую высокую энтропию.
Последнее предварительное замечание состоит в том, что теперь должно быть ясно: возрастание энтропии производит не какое-то физическое существо, добавленное ко Вселенной. Возрастание энтропии отражает возрастание беспорядка в мире, ухудшение качества его энергии, сохраняющей свою величину. Нет никакого внешнего космического источника энтропии: возрастание энтропии есть просто рост беспорядка энергии и вещества, как мы уже говорили. А раз так, то понятие энтропии гораздо легче постичь, чем понятие энергии. Конкретное определение энергии дать очень трудно. Мы можем бормотать о том обстоятельстве, что она может производить работу, или (как будет ясно в главе 9), что она есть проявление кривизны пространства, или даже что она и есть кривизна пространства; но честно говоря, ни одно из этих определений не кажется достаточно конкретным для понимания. Энтропия, напротив, подобна легкому бризу. Все, что мы должны сделать, это подумать о беспорядке распределения энергии и вещества, и мы получаем полное количественное овладение этой концепцией. Увы, Больцмана довела до смерти неспособность ученых его времени подойти к вопросу с точки зрения такой фундаментально простой интуиции (рис. 4.8).
Рис. 4.8. Бюст Больцмана имеет в качестве эпитафии одно из центральных уравнений, связывающих концепции термодинамики с поведением атомов и молекул. Уравнение имеет форму:
энтропия = константа × логарифм числа возможных расположений атомов.
Поэтому, когда число расположений атомов возрастает (как при переходе от твердого тела к жидкости, а затем к газу), возрастает и энтропия. Эта формула представляет качественные идеи, которые мы описали, в точном, числовом, количественном виде.
Молекулярная интерпретация энтропии может казаться весьма далекой от определения энтропии, данного Клаузиусом в терминах поступающего тепла и температуры, при которой оно поступает. Однако мы можем свести их вместе, посмотрев, как беспорядок ложится в основание определения Клаузиуса. Аналогией, которую я люблю использовать для демонстрации этой связи, является чихание на шумной улице или в тихой библиотеке. Чихание подобно беспорядочно передаваемой энергии, очень похожей на энергию, переносимую в виде тепла. Нетрудно согласиться с тем, что чем сильнее чих, тем больше беспорядок, создаваемый на улице или в библиотеке. Это основная причина, почему «энергия, полученная в виде тепла», оказывается в числителе выражения Клаузиуса, поскольку чем больше энергии поступает в виде тепла, тем больше возрастает беспорядок, а значит, тем больше возрастает энтропия. Присутствие температуры в знаменателе также согласуется с этой аналогией, с учетом того, что энтропия возрастает больше, если температура низкая, чем если она высока. Прохладный объект, в котором тепловое движение мало, соответствует тихой библиотеке. Внезапное чихание внесет большое возмущение, соответствующее большому приросту энтропии. Горячий объект, в котором уже присутствует интенсивное тепловое движение, соответствует шумной улице. Теперь чихание той же силы, что и в библиотеке, имеет относительно малый эффект, и возрастание энтропии мало.
Теперь мы начинаем понимать, что пытается выразить Второе Начало. Утверждать, что энтропия не убывает ни при каких естественных изменениях, это то же самое, что сказать: молекулярный порядок никогда не возрастает по своей собственной инициативе. Молекулы, распределенные случайно, как в облаке пыли, никогда самопроизвольно не образуют статую Свободы. Газ никогда спонтанно не соберется в один угол контейнера. Энергия, рассеянная повсюду — как, например, тепло в покрытии стола, с его бесчисленными случайными колебаниями атомов, — никогда спонтанно не стечется в малую область: яйцо никогда спонтанно не запечется, лежа на прохладном столе.
Мы можем взглянуть на проблему с другой стороны и увидеть, почему все дорожные знаки спонтанных изменений указывают в сторону возрастания энтропии. Ключевой мыслью является здесь то, что локализованные, упорядоченные вещество и энергия стремятся рассеяться. Атомы своим случайным покачиванием стремятся переселиться в новые ниши; энергия случайных качаний уходит, когда атомы толкают своих соседей. Естественным направлением изменений является все больший беспорядок, будь это беспорядок в локализации вещества, или беспорядок в локализации энергии, позиционный или тепловой беспорядок. Порядок естественным путем распадается в беспорядок; энергия портится и рассеивается. Нравится нам это или нет, но мир становится все хуже.
То, что мир становится все хуже, то что он бесцельно погружается в разложение, в разложение качества энергии, есть великая общая идея, заключенная во Втором Начале термодинамики. Это необычайное открытие, узнать вдруг, что все изменения, происходящие вокруг нас, являются проявлениями этой деградации. Движущей пружиной Вселенной, как сообщает нам Второе Начало, является неостановимая деградация Вселенной, поскольку энергия и вещество рассеиваются, переходя в беспорядок.
Вы, однако, можете счесть, что имеются определенные трудности с понятием этого мрачного взгляда на мир. Если Вселенная движется в направлении деградации, то какое место с ней следует отвести утонченным структурам, людям, благородным мыслям и делам? Такой взгляд определенно вызывал некоторый ужас у викторианцев, которые видели источник гордости и побуждения к действию в неостановимом, по-видимому, совершенствовании Человека, особенно белой версии Человека не в самых тропических районах того, что они считали верхней полусферой глобуса. Как праведная Империя могла бы оправдать свои усилия по распространению облагораживающей Цивилизации, если и правители и управляемые неотвратимо сползают в безнадежную Деградацию? Как можно было бы совместить возрастающее господство над материей с будущим Вселенной, которая саркастически неотвратимо сползает в клоаку? В самом деле, хотя Второе Начало и может весьма точно выразить суть парового двигателя, оно не выражает суть деяний Человека или даже деяний таракана.
Чтобы разрешить парадокс, очень важно увидеть, что никакое изменение не является изолированным островком активности: изменения представляют собой сеть взаимосвязанных событий. Хотя в одном месте может происходить сползание в деградацию, последовательность таких сползаний может породить структуру где-нибудь еще. Мне вспоминаются средневековые часы, например, такие, как астрономические часы в Праге (рис. 4.9), где падение груза приводит в движение тщательно срежиссированный парад событий. В конечном счете происходит рассеяние энергии и возрастание энтропии, когда груз падает, а трение рассеивает его энергию в виде тепла, передаваемого окружению. Однако, поскольку движущийся вниз груз связан сложной системой механизмов с моделями лун, солнц, звезд и апостолов, его падение рождает ощущение организованного поведения и сложной, почти целенаправленной, демонстрации. Если бы мы упрямо игнорировали часовой механизм, мы могли бы заключить, что организованные события, деяния апостолов, происходят естественно. Но мы, имеющие внутреннее знание, осведомлены о существовании часового механизма, приводимого в движение естественно падающим грузом.
Рис. 4.9. Фрагмент механических часов в Праге. Эти часы являются аллегорией Второго Начала, поскольку, хотя они демонстрируют систематическое поведение, они совершают это, производя еще больший беспорядок в другом месте, так как приводятся в движение падающим грузом. Пища подобна грузу, ферменты подобны шестеренкам часового механизма, а наши собственные действия подобны движениям фигур. Мы не хотим этим сказать, что свободы воли не существует, но доводы в пользу свободы воли заняли бы больше места, чем позволяет этот комментарий.
Часы в Праге являются аллегорией работы Второго Начала. Хотя вокруг нас в мире могут происходить тщательно срежиссированные события, такие как вскрывание почки, рост дерева, формирование мнения, очевидно уменьшающие беспорядок, такие события никогда не случаются без участия того, что приводит их в движение. Этот приводной механизм создает в результате еще больший беспорядок где-то в другом месте. Сумма изменения энтропии, возникшего от уменьшения беспорядка в сконструированном событии, и изменения энтропии, возникшего из возрастания беспорядка, связанного с приводным механизмом диссипативного события, дает в качестве конечного эффекта чистое возрастание энтропии как общий результат итогового беспорядка. Итак, где бы мы ни встретили возникающий порядок, мы должны приподнять занавеску и увидеть, что где-то еще производится больший беспорядок. Мы, являясь, конечно, структурами, представляем собой области ослабления хаоса.
Конечно, здесь мы куем еще одно звено в цепи изучавшегося нами в главе 1 развития жизни, поскольку тот факт, например, что у мужчин есть грудные соски, является прямым следствием Второго Начала термодинамики. Безостановочное снижение качества энергии, выраженное во Втором Начале, является пружиной, управляющей появлением всех компонент современной биосферы. В самом прямом смысле, когда все царства живых существ поднимались из неорганической материи, Вселенная погружалась в еще больший хаос. Пружиной изменений является бесцельная, бессмысленная порча, хотя цепочки взаимосвязанных изменений являют удивительно прелестное и сложное цветение вещества, которое мы называем травой, слизнями и людьми. То, что мужчина имеет соски, является следствием общего происхождения всех животных и того факта, что Природу двигает вперед Второе Начало, совершая действия с тем, что доступно, безо всякого предвидения, всегда слепо, а иногда с неудобоваримыми долговременными последствиями.
Иногда местоположение большего роста беспорядка, приводящего к возрастанию порядка, может быть очень локальным или очень удаленным. Оно может даже находиться внутри нас. Часовой механизм внутри нас является биохимическим, с зубцами, сделанными из протеина, а не из железа; но тем не менее он работает во многом таким же способом. Он также моделирует работу парового двигателя. Поэтому давайте вернемся к паровому двигателю, имея перед глазами концепцию энтропии. Мы увидим, что в действительности представляет собой этот двигатель, его наиболее абстрактная анатомия, и, в частности, увидим, почему холодный сток является столь решающим в его работе.
Мы можем считать, что работа парового двигателя, любого парового двигателя, состоит из двух шагов (рис. 4.10). Первым шагом в работе двигателя является извлечение энергии в виде тепла из горячего резервуара. Отток энергии из резервуара снижает его энтропию, и его атомы обладают теперь меньшей тепловой энергией, чем прежде. Энергия, которую мы извлекли, протекает через механизм, превращающий тепло в работу (поршень и цилиндр в реальном паровом двигателе) и стекает в холодный сток. Если вся энергия, которую мы извлекли из горячего источника, поступает в холодный резервуар, энтропия этого резервуара возрастает. Однако, поскольку температура стока ниже, чем температура источника, возрастание энтропии больше, чем первоначальное уменьшение (вспомните аллегорию тихой библиотеки). В целом энтропия устройства возрастет, потому что уменьшение энтропии источника будет превзойдено возрастанием энтропии стока. Итак, поток тепла от источника к стоку является спонтанным.
Рис. 4.10. Термодинамический анализ работы парового двигателя (или теплового двигателя). Энергия покидает горячий источник в виде тепла, а поэтому уменьшает его энтропию. Часть этой энергии превращается в работу, которая не влияет на энтропию. Остаток энергии попадает в холодный сток, производя таким образом много энтропии. При условии, что температура холодного стока ниже, чем температура горячего источника, общая энтропия будет возрастать, даже если энергия, растраченная в виде тепла, меньше энергии, полученной из горячего источника. Разница между полученной и потраченной энергией может быть извлечена в виде работы.
Термодинамический анализ работы парового двигателя (или теплового двигателя). Энергия покидает горячий источник в виде тепла, а поэтому уменьшает его энтропию. Часть этой энергии превращается в работу, которая не влияет на энтропию. Остаток энергии попадает в холодный сток, производя таким образом много энтропии. При условии, что температура холодного стока ниже, чем температура горячего источника, общая энтропия будет возрастать, даже если энергия, растраченная в виде тепла, меньше энергии, полученной из горячего источника. Разница между полученной и потраченной энергией может быть извлечена в виде работы.
Теперь главное. Коль скоро наш двигатель не произвел работы, мы получили бы тот же результат, просто приведя горячий источник в прямое соприкосновение с холодным стоком. Однако перенос энергии из горячего источника остается спонтанным, даже если мы превращаем часть ее — но не всю энергию — в работу, а остаток переводим в холодный сток. Это, конечно, тот случай, когда отъем энергии в виде тепла у горячего источника приводит, как и прежде, к уменьшению его энтропии. Однако мы можем получить компенсирующее возрастание энтропии, отправляя в холодный резервуар меньшее количество тепла. Например, если температура холодного стока равна половине температуры горячего источника (в абсолютной шкале температур), то мы можем получить компенсирующее возрастание энтропии, позволив лишь половине извлеченной энергии уйти в холодный сток и оставив вторую половину себе, чтобы использовать ее для получения полезной работы. Двигатель работает спонтанно, то есть это полезный и жизнеспособный прибор, поскольку общее возрастание энтропии имеет место, даже если мы используем часть извлеченной энергии в виде работы.
Теперь можно понять, что холодный сток является существенно важным. Только если холодный сток есть в наличии, и часть энергии попадает в него, имеется какая-то надежда, что энтропия в целом возрастет. Отдача энергии горячим источником соответствует убыванию энтропии. Перенос энергии вовне в виде работы оставляет энтропию неизменной, поэтому на данной стадии всей истории в целом имеет место убывание энтропии. Для того чтобы двигатель работал спонтанно (а двигатели, которые не действуют спонтанно, то есть приводимые в движение извне, хуже чем бесполезны), существенно важно производить где-то некоторую энтропию, чтобы гарантировать, что в целом энтропия будет возрастать. В этом роль холодного стока: он действует, как тихая библиотека, являясь местом большого возрастания энтропии, даже если в него сбрасывается малое количество энергии. При этом важно заметить, что «потери», как и сосуд для этих потерь, необходимы, чтобы двигатель мог быть жизнеспособным. Холодный источник поэтому является источником жизнеспособности двигателя, поскольку без него не могло бы быть никакого возрастания энтропии.
Паровой двигатель демонстрирует тот факт, что для получения работы — конструктивной силы — существенно важно, чтобы происходила также и диссипация энергии. Простое отбирание энергии из горячего источника не приводит к результату: чтобы заставить двигатель работать, мы должны сбросить некоторое количество тепла для подогрева холодного стока (который может быть просто окружающим пространством, а не обязательно частью конструкции двигателя). Где бы мы ни встретили конструкцию, мы обнаруживаем связанную с ней по крайней мере столь же большую деструкцию.
Давайте взглянем на некоторые изменения, происходящие в мире, и увидим, как, несмотря на то что они являются конструкциями, они вызываются к жизни происходящей где-то деструкцией. Сначала внешний мир. Любой акт строительства, например возведение стены, требует, чтобы была проделана работа по поднятию кирпичей на соответствующую высоту. Чтобы проделать эту работу, надо использовать двигатель (включая заправляемые едой мускульные двигатели живых тел), а чтобы двигатель был жизнеспособным, он должен порождать энтропию, рассеивая энергию в окружающую среду. Итак, двигатель подъемного устройства, тепловой двигатель некоторого рода, действует, рассеивая энергию в окружающее его пространство. Это верно даже для электрического подъемника, когда рассеяние энергии происходит в некотором удалении, на электростанции. Все искусственно созданные структуры мира, от гигантских пирамид до примитивных лачуг, были построены за счет рассеяния энергии.
Мы можем увидеть ближе способ, посредством которого происходит рассеяние энергии, рассмотрев химические реакции, используемые для поднятия температуры горячего источника. В этом обсуждении я сосредоточу внимание на привычном паровом двигателе. Хотя принцип действия двигателя внутреннего сгорания, в том, что касается рассматриваемых процессов, является тем же, технологически он реализуется более сложным путем, а я не хочу отвлекать вас деталями. Паровой двигатель является двигателем внешнего сгорания, где огонь нагревает воду вне поршня, так что последовательность событий легче проследить.
Давайте предположим, что горючее является нефтью, смесью углеводородов (соединения, содержащие лишь углерод и водород), как, например, цепочка длиной в шестнадцать атомов углерода, изображенная на рис. 4.11. Это молекула типична для горючей нефти и дизельного горючего; она также близко связана с молекулами жира, который присутствует в мясе и помогает смазывать волокна мышц настолько же хорошо, насколько служит в качестве изолирующего слоя и резервного топлива. То, что мы едим продукты, тесно связанные с дизельным топливом, в больших количествах, чем другие виды, не случайно, хотя и немного грустно.
Рис. 4.11. Шестнадцатиричная молекула (в центре кластера молекул, показанной слева) представляет молекулу углеводорода, обнаруживаемую в горючем и пищевых жирах. Она является цепочкой из шестнадцати атомов углерода (темные сферы), к которым прикреплены тридцать четыре атома водорода (маленькие светлые сферы). Представьте себе, как эта молекула корчится и извивается, когда проходит мимо своих беспорядочно двигающихся соседей, также корчащихся и извивающихся. Когда эта молекула горит, ее атакуют молекулы водорода, атомы углерода уносятся в виде шестнадцати отдельных молекул двуокиси углерода, а атомы водорода уносятся в виде семнадцати отдельных молекул воды (справа). Происходит значительное возрастание позиционного беспорядка. Более того, в окружающее пространство освобождается тепловая энергия, поскольку между атомами образуются связи, более сильные, чем в исходном веществе. В результате горение сопровождается большим возрастанием энтропии.
Когда нефть горит, молекулы, подобные изображенной на иллюстрации, атакуются молекулами кислорода из воздуха. Под натиском этой атаки цепь углерода разламывается, и с нее срываются атомы водорода. Атомы углерода уносятся в молекулах двуокиси углерода, а атомы водорода уносятся в молекулах воды. Большое количество тепла производится потому, что вновь сформировавшиеся связи между атомами сильнее, чем первоначальные связи между топливом и водородом, так что энергия освобождается, когда слабые старые связи заменяются сильными новыми связями, и атомы попадают в положение, более предпочтительное энергетически. Так почему же углеводород горит? Потому что при этом сильно возрастает беспорядок, а следовательно, и энтропия. Имеются два основных вклада в это возрастание энтропии. Одним является освобождение энергии, рассеивающейся в окружающем пространстве и повышающей его энтропию. Другой есть рассеяние вещества, так как длинные, упорядоченные цепочки атомов разрушаются, и отдельные атомы улетают от места сгорания в виде небольших молекул газа. Горение есть портрет содержания Второго Начала.
Давайте на минуту предположим, что энергия, освобождаемая при горении, ограничена областью пламени. Эта горячая область сгорающего топлива находится в контакте, через металлические стенки, с водой, которую мы хотим нагреть. Яростная толчея атомов в пламени соответствует высокой температуре. Легкая толчея в воде соответствует низкой температуре. Мы уже видели, что энтропия мира возрастает, когда тепло перетекает от горячего к холодному телу, поэтому поток энергии от области горения к воде является повышающим энтропию, спонтанным процессом.
Теперь вода стала горячей, и в принципе ее температуру можно поднимать, пока она не станет такой же горячей, как пламя. Однако, когда температура воды поднимается, она достигает точки, в которой вода кипит. Почему это так? Конечно, потому, что образование пара становится спонтанным процессом, когда температура достигает определенной величины, «точки кипения» воды.
Чтобы понять, почему вода кипит, мы должны исследовать происходящие при этом изменения энтропии. Здесь, с несколько иной термодинамической точки зрения, мы обнаружим одну забавную черту кипения. Во-первых, заметим, что в процессе превращения воды в пар возникают два конфликтующих вклада в изменение энтропии. Это большой прирост энтропии, когда жидкость становится паром. Такое возрастание предполагает, что вода всегда имеет тенденцию к испарению. Однако испарение воды требует энергии, поскольку притяжение между молекулами жидкости, удерживающее их вместе, должно быть преодолено, чтобы возник газ независимых молекул. Поэтому, когда вода испаряется, энергия должна притекать к жидкости. Такой поток энергии внутрь снижает энтропию окружающей среды, поскольку он соответствует оттоку энергии из нее. При низких температурах уменьшение энтропии окружающей среды, обусловленное этим оттоком энергии, велико (снова тихая библиотека), и даже хотя имеет место возрастание энтропии воды при ее испарении, в целом энтропия падает. Поэтому при низких температурах испарение не является спонтанным. Однако, когда мы повышаем температуру окружающей среды, уменьшение энтропии становится меньше (шумная улица), и при достаточно высокой температуре общее изменение энтропии воды и окружающей среды становится положительным. Теперь вода имеет тенденцию испаряться спонтанно, и она кипит. Именно здесь и проявляется забавная черта, о которой мы упоминали. Мы видим, что в результате повышения температуры изменение энтропии окружающей среды уменьшается до того уровня, когда общее изменение энтропии становится положительным. Получается, что для достижения испарения мы должны как бы умиротворить сопротивление окружающей среды, повышая ее температуру.
До этого места нашей истории Второе Начало появлялось три раза: в управлении горением, в управлении потоком тепла от пламени к воде и в испарении воды. Теперь оно вступает в игру в четвертый раз, когда энергия течет через двигатель, и часть ее превращается в работу. Мы разбирали эту стадию раньше, и нет необходимости возвращаться к ней снова. Главным, что было обнаружено в этом обсуждении, все же является то, что каждая стадия работы двигателя, от сгорания топлива до совершения внешних изменений, является следствием естественного стремления вещества и энергии к рассеянию. Мир движет вперед эта универсальная тенденция к падению в беспорядок. Мы и все наши предметы материальной культуры, все наши достижения являются в конечном счете продуктами этого бесцельного, естественного распыления в возрастающий беспорядок.
Вот почему (и уж это — достижение из достижений) мы должны есть. Мы вынуждены поглощать ресурсы энергии, которую можем позволить себе рассеять в окружающей среде посредством метаболических процессов, пронизывающих наши тела. Поскольку этот процесс идет, он порождает беспорядок, достаточный для того, чтобы мир стал немного более беспорядочным, пока мы конструируем, например, эти слова или самих себя. Поглощение пищи является более сложной процедурой, чем дозаправка топливом, потому что мы используем значительную часть съеденного для ремонта и роста нашего организма, а горючее лишь снабжает энергией наш автомобиль. Однако, так как пища есть источник энергии, она является горючим, поддерживающим огонь в горячем резервуаре парового двигателя внутри нас, а он движет нас и наши действия вперед, используя возможность рассеять впустую часть проглоченной нами энергии.
Паровой двигатель внутри нас — или, по крайней мере, его абстрактная сущность — распределен по всем нашим клеткам и принимает тысячи различных форм. Мы рассмотрим лишь одну реализацию биологического парового двигателя. Есть одна молекула, в изобилии встречающаяся в каждой клетке, аденозин трифосфат (АТФ, рис. 4.12). Как можно видеть на иллюстрации, эта молекула содержит большую органическую часть и короткий хвост из фосфатных групп (атомы фосфора, окруженные атомами кислорода). Частью, которая здесь нас интересует, является фосфатный хвост. Эта молекула подобна горячему резервуару в паровом двигателе. Когда под влиянием клеточных ферментов она вступает в дело, она отбрасывает крайнюю фосфатную группу, становясь в результате аденозин дифосфатом, АДФ. Освобождаемая энергия используется для снабжения энергией созидательных событий в клетке, таких как синтез белка или подготовка нейрона к передаче сигнала. Движущая сила реакции приходит из рассеяния вещества (освобождение фосфатной группы) и энергии, которая может подогревать термический беспорядок. Таким образом создание белка или формирование мнения могут быть прослежены вспять до этой упрощенной аналогии с паровым двигателем.
Рис. 4.12. Молекулы аденозин трифосфата (АТФ, слева) и аденозин дифосфата (АДФ, справа) действуют как горячий и холодный резервуары воображаемых паровых двигателей внутри нас. Чтобы восстановить АТФ из АДФ, прикрепляя фосфатную группу обратно, мы должны присоединить двигатель к еще более мощному двигателю (то есть производящему больше энтропии). То есть мы должны есть, а Солнце должно гореть (своим собственным ядерным способом).
Чтобы жизнь клетки и нас самих продолжалась, фосфатная группа — не обязательно та же самая — должна быть снова прикреплена к АДФ, чтобы восстановить АТФ. Это восстановление может быть достигнуто с помощью соединительной реакции, которая осуществляет новое подсоединение к более мощному паровому двигателю, к другой метаболической реакции, которая рассеивает вещество и энергию еще в большей степени. Вот почему мы должны есть. Мы проглатываем вещества, которые действуют как горючее для парового двигателя, обеспечивающего образование АТФ из АДФ, которое в свою очередь обеспечивает наш рост и активность.
Сама по себе пища должна быть создана посредством реакций соединения, которые превращают ее в еще более мощные воображаемые паровые двигатели, в двигатели еще более эффективно осуществляющие рассеяние. Предельным паровым двигателем является Солнце, поскольку энергия, которую оно рассеивает в окружающее пространство, обеспечивает реакции, составляющие фотосинтез, образование углеводородов из двуокиси углерода и воды. Итак, в конечном счете наши действия и стремления приводит в движение энергия ядерного синтеза на Солнце. Древние, вероятно, были правы, поклоняясь Солнцу как подателю жизни; но они и не подозревали. что оно же является движущей силой всеобщей порчи.
Второе Начало проливает на молекулярную основу жизни свет, подобный тому, с которым мы встретились в главе 2. Жизнь — это процесс, в котором молекулы, жужжащие кругом, вдруг оказываются как раз нужной формы для попадания в ячейку сот и способны сбросить туда свой груз. Молекулярная основа воспроизведения иллюстрирует бессознательную активность молекул и энергии. Жизнь продолжается потому, что это жужжание создает возможности для естественного отбора, создает возможности для молекул использовать это слепое, бессознательное, нецеленаправленное жужжание, чтобы соткать великое полотно событий, которое мы называем живым. Жизнь, в своей основе, это жужжание молекул.
Вопрос, который на этой стадии, возможно, приходит на ум: а может ли это рассеяние вещества и энергии продолжаться вечно? Или Вселенная станет столь бесконечно беспорядочной, что энтропия не сможет более возрастать, и события прекратятся?
Умозрительное прекращение естественного течения событий из-за достижения верхнего предела энтропии называется тепловой смертью Вселенной. Тогда, поскольку состояние вещей не сможет далее ухудшаться, ничто вообще не будет происходить. Следует прояснить один момент: если бы Вселенной пришлось пережить тепловую смерть, это не означало бы, что время пришло к концу. События продолжались бы — атом сталкивался бы с атомом, — но по существу это не было бы изменением. Все паровые двигатели, как воображаемые, так и реальные, остановились бы, так как не смогли бы более порождать энтропию. Некоторые придерживаются более жизнерадостной точки зрения и утверждают, что если бы Вселенная начала сжиматься, то энтропия уменьшилась бы, поскольку пространства для энергии и вещества становилось бы все меньше. Таким образом, размышляют они, события обратились бы вспять, устроив праздник непослушания Кельвину и Клаузиусу, возможно, для того, чтобы опять выпрыгнуть в ожившую Вселенную с возрастающей вновь энтропией.
Давайте попробуем расставить эти утверждения по порядку. Сначала давайте примем преобладающую точку зрения, которую более подробно исследуем в главе 8, что Вселенная не станет падать сама в себя и сжиматься в Большом Хлопке. Тогда практически нет необходимости беспокоиться о возможности, в некотором смысле, поворота времени, когда неестественное становится естественным, когда Вселенная начинает падать в себя. Но ученые любят исследовать границы мыслимого, и мы могли бы отделить вопрос о термодинамическом будущем Вселенной от ее космологического будущего. Другими словами, предположим, что мы (то есть космологи) не правы относительно долговременного будущего Вселенной и что на самом деле она сожмется. Что тогда? Станет ли естественное неестественным, неспонтанное спонтанным?
Одаренный в высшей степени богатым воображением, в том числе зрительным, британский математик Роджер Пенроуз (р. 1931) посмотрел в лицо схлопывающейся Вселенной и предположил, что может существовать гравитационный вклад в энтропию. Другими словами, беспорядок может возникать скорее из самой структуры пространства-времени, чем просто из беспорядочного расположения вещей, наследующего эту структуру. Пенроуз принимает сингулярность начального момента, Большой Взрыв, но считает возможным, что сингулярность конечного момента, Большой Хлопок, может быть точкой с гораздо более сложной структурой (рис. 4.13). Таким образом, хотя в свои последние дни вещество и энергия могут сжаться обратно в единственную точку и иметь поэтому необычайно низкую энтропию, структура пространства-времени, которую они наследуют, будет столь сложной, что беспорядок окажется больше, чем в начальный момент творения. Итак, энтропия будет продолжать расти от нынешнего момента до вечности, даже если вечность (или по крайней мере несколько десятков миллиардов лет) вернет нас обратно в сингулярность.
Рис. 4.13. Даже если мы направляемся к Большому Хлопку, нам не следует ожидать, что энтропия начнет уменьшаться обратно, когда Вселенная начнет сжиматься. Возможно, что существует гравитационный вклад в энтропию, то есть конечная сингулярность (справа) будет неизмеримо более сложна, чем начальная сингулярность (слева), так что энтропия Вселенной будет продолжать возрастать даже при ее сжатии.
Но возможно, что космос ожидает более невыразительное с виду будущее, все возрастающее его расширение, неограниченный рост его масштаба. В таком сценарии места для рассеяния вещества и энергии будет становиться все больше. Даже если бы все вещество должно было превратиться в излучение, энтропия этого излучения возрастала бы вместе с занимаемым им объемом. Реальной проблемой, однако, является то, что если бы все вещество должно было превратиться в излучение, а все это излучение должно было перейти в диапазон бесконечных длин волн, так что в отдаленном будущем осталось бы мертвое однородное пространство-время безо всякой энергии вообще, то на первый взгляд кажется, что и энтропия Вселенной была бы равна нулю. Но физика космологических масштабов длины и времени еще недостаточно определенный предмет, и возможно, что даже небольших флуктуаций плотности энергии в огромном объеме пространства вполне достаточно, чтобы гарантировать, что полная энтропия крайне велика. Этот вопрос остается открытым.
Гравитация и энтропия являются замечательными компаньонами. На первый взгляд можно подумать, что между общей теорией относительности, теорией гравитации Эйнштейна (с которой мы встретимся в главе 9) и работой Второго Начала очень мало связи, если не считать того, что может существовать гравитационный вклад в энтропию. Однако, когда мы начинаем думать о структуре пространства-времени в терминах энтропии, обнаруживается замечательный факт. В 1995 г. Тед Джекобсон[19] показал, что если мы скомбинируем выражение Клаузиуса для изменения энтропии при поступлении тепла с утверждением о связи энтропии с площадью поверхности, ограничивающей область (на самом деле эти две величины пропорциональны друг другу, как установлено для поверхности, окружающей черную дыру), то получим искажение локальной структуры пространства-времени в точности такое, как предсказывают уравнения Эйнштейна общей теории относительности. Другими словами, в чисто математическом смысле Второе Начало влечет существование уравнений Эйнштейна общей теории относительности!
Итак, возможно, что паровой двигатель не только внутри нас. Он везде.
Глава пятая Атомы Редукция вещества
Я покажу те атомы, из которых природа творит все вещи…
ЛукрецийВеликая идея: вещество состоит из атомов
Мы видели внешние проявления изменений в образовании биосферы и внутренние механизмы этих изменений в молекулярных основаниях генетики. Мы видели то, что не изменяется, энергию, и видели, в терминах энтропии, почему изменяются вещи. Теперь мы исследуем материальную основу изменений еще более детально, совершив, таким образом, переход от мастодонтов к элементам.
Что сообщает наука о природе вещества, материала, из которого сделано все, доступное ощущениям? Мы изучим этот чрезвычайно важный вопрос в два этапа. На первом этапе, составляющем предмет настоящей главы, мы исследуем вопрос, который окажется лежащим на поверхностном уровне, хотя и не выглядит таким, и опишем появление концепции атома, этой валюты всех рассуждений в химии. Мы увидим, почему различные атомы имеют различные индивидуальности, которые мы называем их химическими свойствами. Пусть не оттолкнет вас мысль о том, что эта глава посвящена химии. Химия является мостом между постигаемым миром веществ и воображаемым миром атомов, и несмотря на зачастую ужасные воспоминания о столкновениях с этим предметом в школе, он способен глубоко очаровывать и просвещать, даже если его скорее вертят в руках (как здесь), чем разжевывают. Моя цель — ввести сюда немного химии, чтобы ваши глаза увидели мир вокруг вас, и ваше восхищение им стало глубже. Затем, в следующей главе, мы оставим поверхностный взгляд на атомы и погрузимся в самые глубины того понятия, которое мы именуем материей. Тогда мы приблизимся к пониманию того, чем материя является на самом деле, и сделаем это таким способом, который мог бы удовлетворить даже древних греков.
Греки много думали о материи и предложили так много различных гипотез о ее природе, что по крайней мере одна из них, вполне вероятно, могла оказаться правильной. Некоторые из их предположений были совершенно ложны, но демонстрировали достойный одобрения дух исследования. Так, Фалес из Милета (около 500 до н.э.), считающийся в народном воображении отцом философии, найдя высоко в горах ископаемые морские раковины, незадолго до своей кончины внезапно пришел к заключению, что все сделано из воды. Тысячу лет спустя этот взгляд нашел свое место в Коране:
Мы… сделали из воды всякую вещь живую. Неужели они не уверуют?[20]
Величие этого источника в глазах некоторых придает такому взгляду авторитетность даже сегодня. Однако греки продвигались в своих поисках понимания, считая, что одной сущности недостаточно для объяснения многообразия сущностей мира. Так, Гераклит из Эфеса (приблизительно 540-475 до н.э.), развивая идею Фалеса, заключил, что необходим агент изменений, и добавил в котел бытия огонь. Вскоре Эмпедокл из Сицилии (приблизительно 492-432 до н.э.), считая, что твердость трудно образовать только из воды, воздуха и огня, усовершенствовал эту первосмесь еще больше, добавив к ней землю, и предположив, а возможно и веря, что все может быть построено из воздуха, земли, огня и воды (рис. 5.1). Аристотель (384-322 до н.э.) был почти полностью согласен с эмпедокловой редукцией мира к четырем элементам, возражая только, что подлунный мир Земли, это театр перемен и распада, совершенно отличен от вечной небесной сферы, и что эмпедокловы элементы приложимы к первому, но недостаточны для понимания последней. Для вневременной, совершенной небесной сферы Аристотель считал обязательным пятый основной элемент, квинтэссенцию.
Рис. 5.1. Две самых ранних периодических таблицы элементов. Диаграмма слева показывает четыре элемента, положенные древними греками в основу материи, и свойства, сообщаемые этими элементами тем веществам, которые они образуют. Диаграмма справа дает китайскую версию, восходящую к даосскому взгляду на бытие, основанному Лао-цзы (около 600 до н.э.), в котором пять элементов возникают из взаимодействия ян (мужское, положительное, теплое, светлое) и инь (женское, отрицательное, холодное и темное).
Все это было, конечно, совершенно неверно, так как ни одна из этих сущностей не является элементарной, за исключением, возможно, гипотетической, экспериментально ненаблюдаемой и, как мы знаем, не существующей квинтэссенции на небесах. Но формулирование и разработка концепции о том, что сложное возникает из простого, были фундаментально важным понятийным шагом, и этот подход до сих пор лежит в сердцевине современной науки.
Предположение о существовании элементов, пусть даже и неправильных элементов, подняло вопрос, который находится в центре внимания настоящей главы: является ли вещество непрерывным или дискретным. Другими словами, можно ли делить элементы ad infinitum на все более малые кусочки, или они дискретны, и в этом случае деление приведет нас к далее неделимому, к атомам? У греков спекуляции процветали и обладали той свободой, которую дает лишь отсутствие экспериментальных данных, поэтому обе идеи нашли своих сторонников. То, что одна из этих идей, атомистическая точка зрения, оказалась верной, не заставляет нас непременно восхищаться ее приверженцами, поскольку они поддерживали эту версию, исходя из прихотливого умозрения и философских пристрастий, которые в наши дни не считаются особо надежными составляющими научного метода при поиске истины.
Мы можем проследить линию удачных спекуляций до Левкиппа из Милета (не ранее 450-420 до н.э.), который представлял себе материю гранулированной, состоящей из атомов, которые ставят предел делимости. Только если существует конец возможности деления, утверждал Левкипп, материя может быть вечной, ибо в противном случае все давным-давно распылилось бы в ничто. Однако его точка зрения на атомы была далека от той, которую мы теперь считаем ортодоксальной. Так, он представлял себе, что атомы имеют большой диапазон форм и размеров и что почти все различные вещества сделаны из различных атомов. Эти взгляды развил и назвал умозрительные неделимые сущности атомами ученик Левкиппа, «смеющийся философ» Демокрит из Абдеры (приблизительно 350-322 до н. э.). Демокрит придерживался точки зрения, что существуют атомы молока и атомы угля, атомы костей и атомы воды. Его воображение текло, не стесненное экспериментом, и он считал существующими атомы дыхания, звука и души. Атомы души он считал особенно красивыми, как и приличествует душе; среди атомов цвета атомы белого были гладкими и округлыми, как бы интерпретирующими сам этот цвет.
Эти мысли были частью системы верований эпикурейцев, последователей Эпикура (341-270 до н.э.), который использовал их для атак на суеверия, утверждая, что, поскольку все, включая богов, сделано из атомов, то даже боги — для Эпикура боги были обаятельно безучастными, они были существами, жившими в свое удовольствие, образцами удовлетворенности и высокомерия, не утруждавшими себя вмешательством в ничтожные человеческие дела — были субъектами законов природы. Эпикурейский взгляд на мир, прихотливое сочетание гедонизма и атомизма, рассматривал ощущения как основу знания и считал их впечатлениями души, происходящими от образов, передаваемых изящными фильмами, составленными из атомов, которые испускают ощущаемые объекты. Атомический взгляд на структуру материи и ощущения предстал перед восприимчивой и утомленной тиранами и богами римской публикой в дидактической, написанной искусными гекзаметрами, эпической поэме Тита Лукреция Кара (около 95-55) De rerum natura (О природе вещей), которую можно рассматривать как первое руководство по физической химии. Этот текст считался утраченным вплоть до пятнадцатого века, но после его нового обретения он подвигнул умы многих современников этого события опять обратиться к атомизму.
Платон и его ученик Аристотель были ярыми противниками атомизма, и их авторитетный, хотя и пагубно влияющий взгляд на мир доминировал на всем протяжении Средних веков, ни в малейшей степени не считаясь с сильным течением материализма и атеизма эпикурейского толка. Аристотель полагал, что атомизм, который он считал чистым вымыслом и поэтому — не в пример его собственным чистым вымыслам — заслуживающим лишь презрения, не способен дать объяснение богатейшему узору чувственного опыта, который характеризует реальный мир. Кроме того, он наложил анафему на пустоту, которая была бы необходима, если бы атомы должны были двигаться. Ведь в пустоте, как он думал, не может поддерживаться движение, ибо в пустоте нет тягловой силы, а движения без тягловой силы не бывает (см. главу 3).
Сила авторитета Аристотеля была такова, что его взгляды, с небольшими дополнительными вкраплениями, формировали мировосприятие людей целых два тысячелетия. Они поддерживали алхимиков в их ложно направленных и по большей части бесплодных усилиях, а его взгляды на движение душили также и физику. И так же, как в семнадцатом веке, мир пробудился и осознал пустоту аристотелевской физики из кресла, людям постепенно стало приходить в голову, что его химия из кресла тоже пуста. Однако, хотя мы можем осмеивать Аристотеля с наших позиций, лежащих далеко вниз по течению от его интеллектуального наследия и отделенных от его образа мыслей несколькими научными революциями, мы не станем переадресовывать наши похвалы эпикурейцам, несмотря на то, что, как кажется на первый взгляд, они были ближе к истине. Эпикурейцы тоже были ограничены своими креслами, и их атомизм был столь же произвольной спекуляцией, как и антиатомизм Аристотеля. Все ранние постулаты об атомах были чистыми догадками: это была спекулятивная философия, а не наука.
Науке потребовалось больше времени, чтобы прийти к пониманию природы вещества, чем к пониманию движения вещества. Сама по себе природа материи оказалась более неуловимой, чем движение материи в пространстве, поскольку, хотя можно без труда прикрепить числа к положениям в пространстве и времени и приколоть таким образом динамику к лацкану физики, далеко не ясно, как числа можно прикрепить к веществу. В самом деле, а приложимы ли числа вообще к свойствам, которые обычно называют химическими? Не суждено ли природе материи навсегда остаться лишь материей для анекдотов и спекуляций?
Ключом к проблеме оказался баланс (рис. 5.2). В руках Антуана Лорана де Лавуазье (1743-94), который широко известен как отец современной химии и «носитель духа счетоводства, поднявшийся до гениальности», химические весы превратились в скальпель, который стало возможно употребить для глубокого проникновения в тайну вещества. Тщательная и вдумчивая проработка дала возможность употребить весы для прикрепления чисел к веществу и ввести химические реакции в царство арифметики.
Рис. 5.2. Классические химические весы, не слишком отличающиеся от тех, которые Лавуазье использовал в своих исследованиях, позволивших ему привязать к веществу числа и этим превративших химию в физическую науку, и их современный двойник.
В частности, появилась возможность использовать весы для определения масс веществ, участвующих в реакции. В результате на основе этих данных начали появляться модели, а модели, как мы уже видели, являются живой кровью науки и зародышами теорий.
Модель масс для соединяющихся элементов стала желудем на ветке дуба атомической гипотезы Дальтона. Джон Дальтон (1766-1844), мрачный, не различавший цвета сын ткача-квакера, в двенадцать лет школьный учитель и педантичный наблюдатель погоды, не имел других развлечений, кроме боулинга по вечерам каждый четверг. Возможно, подсознательная память о шарах боулинга и привела его к теории, которую он впервые представил на лекции в Королевском обществе в декабре 1803 г. и опубликовал в 1807 г. Его гипотеза заключалась в том, что вещество состоит из атомов, которые не могут быть сотворенными или разрушенными, что все атомы данного элемента идентичны и что в химических реакциях атомы просто меняют партнеров. Главной его концепцией было то, что каждый атом имеет характерную массу и что химические весы являются поэтому счетчиком изменений массы, происходящих при смене атомами своих партнеров. Это был шаг, называемый философами науки трансдукцией, в котором концепция на микроскопическом уровне связана с наблюдаемым макроскопическим свойством. Большая часть современных физики и химии является результатом трансдукции, так что наблюдаемое интерпретируется в терминах воображаемого, а определенные измерения, сделанные в масштабе, соизмеримом с человеком, интерпретируется в терминах сущностей, которые в миллиарды раз меньше.
Дальтон на самом деле пошел несколько дальше, чем теперь считается удобным помнить. Он полагал, что атомы различных элементов окружены различными количествами теплорода, гипотетической (и впоследствии отвергнутой) невесомой жидкости, которую мы ощущаем как тепло (глава 3). Он предполагал, что атомы газообразных элементов имеют самую толстую оболочку из теплорода, которая позволяет им передвигаться почти свободно. Атомы твердых тел имеют самые тонкие оболочки, и это означает, что они остаются на местах. Эти приводящие в легкое замешательство умопомрачительные следствия атомической гипотезы были прочно забыты.
Используя весы, Дальтон сумел составить список масс своих атомов, по отношению к принятой за 1 массе атома водорода, легчайшего из элементов. Он назвал эти относительные массы атомов атомными весами, и этим названием все еще пользуются. Его эксперименты были грубыми, а его интерпретация этих экспериментов зависела от предположений о том, как много атомов одного элемента соединены с атомами другого, и тут его догадки часто оказывались неверными (рис. 5.3). Так, используя в качестве гида простоту, он предположил, что вода состоит из одного атома кислорода и одного атома водорода, и заключил, что атомный вес кислорода равен 7 (на самом деле, исходя из его предположения, точные измерения дали бы 8); мы знаем, что в действительности вода состоит из двух атомов водорода и одного атома кислорода, поэтому истинный атомный вес кислорода равен 16, т.е. атом кислорода в 16 раз тяжелее атома водорода. Тем не менее это самая ранняя версия трансдукции во всей ее славе, когда лабораторные наблюдения выражают свойства невидимого.
Рис. 5.3. Атомистическая гипотеза возникла у Дальтона в начале девятнадцатого столетия, и он неоднократно читал о ней лекции. Здесь изображено факсимиле части оформления лекции, прочитанной Дальтоном 19 октября 1835 г. членам Манчестерского механического общества. Неудобоваримые для типографии символы элементов были заменены орфографически более простыми, к немалой досаде Дальтона.
В отличие от древнегреческих умозрений об атомной природе вещества, теория Дальтона была научной. В ней не было никаких ленивых, или даже энергичных, умствований; это были наблюдения, основанные на эксперименте и соединенные с рациональностью. Не все, однако, приняли ее в качестве характеристики реальности. Многие годы среди ученых бытовала точка зрения, что атомы — это вычислительная фикция, полезные символы для совершения расчетов, в том числе расчета масс, но безо всякого реального смысла. Большинство возражений отпало около 1858 г., когда итальянский химик и революционер Станислао Канниццаро (1826-1910) опубликовал гораздо более точный список атомных весов известных элементов, но даже в конце девятнадцатого столетия некоторые крайние консерваторы отказывались прикрепить свое знамя к атомистическому флагштоку.
Современная техника наблюдения продрались сквозь лес возражений, которые пришлось преодолевать Дальтону и его последователям. Сегодня мы имеем возможность видеть атомы как отдельные капли материи (рис. 5.4). и больше нет никаких сомнений в их существовании. Конечно, некоторые социологи науки могут размахивать своими сверхпессимистическими флагами и утверждать, что прибор, использованный для получения этих изображений, является скорее социальной конструкцией, и спроектирован он так, чтобы выражать современную парадигму; однако ученым виднее.
Рис. 5.4. Дальтон вывел заключение о существовании атомов из регулярностей масс элементов, соединяющихся друг с другом. Сегодня мы можем «видеть» атомы, и никакого сомнения в их существовании не возникает. Прибор, с помощью которого получено изображение атомов кремния на поверхности кремниевого образца, называется сканирующим туннельным микроскопом. Он, почти буквально, чувствует проходимую им поверхность, а компьютеры преобразуют сигналы, посылаемые зондом, в изображение с разрешением атомного масштаба.
Итак, что же такое атомы? На что они похожи? Как они сделаны? Дальтон, как и греки, предположил, что атомы есть предел делимости; никакой атом нельзя разрезать на куски, никакой атом не имеет более мелких составляющих. Но если бы это было так, было бы трудно понять, как можно объяснить богатый спектр свойств элементов, поскольку разнообразие свойств проистекает из богатства соединений. То, что атомы на самом деле имеют внутреннюю структуру, впервые продемонстрировал Дж. Дж. Томсон (1856-1940), который в 1897 г. показал, что из атомов могут вылетать электроны. Он объявил о своем открытии в Королевском обществе 30 апреля 1897 г. Электроны были первыми из идентифицированных субатомных частиц, частиц, меньших, чем атом, а работа Томсона в Кавендишской лаборатории в Кембридже показала, что они являются универсальной составляющей вещества и что поэтому атомы действительно обладают внутренней структурой.
В это время (в самом конце девятнадцатого века) случилось великое замешательство относительно того, как могли быть организованы электроны. Кое-кто подозревал, что один атом может состоять из тысяч электронов. Проблема осложнялась отсутствием какой-либо информации о существовании частиц с положительным зарядом, компенсирующим отрицательный электрический заряд электронов. Эту проблему отправила на покой работа новозеландца Эрнеста Резерфорда (лорд Резерфорд Нельсон, 1871-1937), который, находясь в Манчестере, наткнулся в 1910 г. на существование ядра, мельчайшего пятнышка положительно заряженного вещества, лежащего в центре атома, которое, будучи много меньше самого атома, ответственно фактически за всю его массу.
Здесь будет уместно дать представление о размерах и массах различных объектов, которые к этому времени появились на сцене. Типичный атом имеет диаметр около 3 миллиардных метра (3×10−9 м, 3 нанометра, 3 нм). Так, миллион таких атомов, выложенный в ряд, протянется на 3 мм в длину. Теперь вы, может быть, получили возможность вообразить размер этих атомов. Легче представить себе то же тире увеличенным примерно до длины 3 километра, тогда каждый атом занял бы 3 миллиметра, как икринка рыбки «морской воробей».
Как вы, вероятно, догадываетесь, атомы являются довольно большими: им приходится быть такими, потому что в них много чего набито. Большинство людей думает, что атомы очень маленькие, но это лишь потому, что мы сами очень большие: нам приходится быть такими, потому что в нас много чего набито. Когда вы начинаете думать, что атомы большие, они становятся гораздо менее устрашающими. Было бы полезно в воображении надувать атом до тех пор, пока он не достигнет примерно метра в поперечнике.
Ядро атома тоже велико, поскольку в него тоже набито много вещей. Большинство людей думает, что оно очень, очень маленькое; но это не очень хорошие мысли, потому что такие мысли мешают уму вообразить, на что оно похоже. Некоторые ученые могли бы подумать, что такая помеха очень хорошая вещь, поскольку перенесение макроскопических идей на сущности столь малые, как атомы, не говоря уж о ядре, чревато опасностью, ибо знакомые понятия просто не приложимы к столь малым объектам (как мы с лихвой убедимся в главе 7, посвященной квантовой теории). Пусть так, но давайте по крайней мере попробуем вообразить себе диаметр ядра. Эксперименты показывают, что диаметр ядра составляет примерно одну десятитысячную диаметра атома. Поэтому, если мы подумаем об атоме, как о шаре примерно с метровым диаметром, его ядро будет пятнышком с диаметром лишь в одну десятую миллиметра. Поэтому для таких увесистых творений, как мы, ядро действительно очень мало; даже для воспринимающего существа размером с атом оно казалось бы довольно маленьким, хотя и различимым. Но для физиков-ядерщиков, которым необходимо понимать устройство ядер, оно довольно большое.
Как мы отметили, ядро является большим, потому что в него так много набито. В нем располагается положительный заряд атома, который компенсирует отрицательный заряд окружающих его электронов. Здесь также располагается почти вся масса атома, так как только около 0,1 процента его общей массы находится в электронах. Когда вы поднимаете тяжелый объект, вы в действительности поднимаете ядра. Если бы атомы вашего тела могли бы лишиться своих ядер, вы весили бы всего около 20 грамм. Другая, менее известная черта ядер состоит в том, что многие из них вращаются вокруг своей оси, хотя некоторые и не вращаются. Ядра водорода и азота вращаются, ядра углерода и кислорода нет. Вращение ядра не может быть изменено, это, подобно электрическому заряду, внутреннее свойство, и каждому ядру водорода суждено вращаться вечно с одной и той же неизменной скоростью.
В начале двадцатого века стало ясно, что электрон был не первой субатомной частицей, которая была открыта. Самая первая была известна, но не опознавалась в этом качестве, уже более века. Ядро атома водорода, простейшего из всех атомов, состоит из единственной субатомной частицы, протона. Эта частица является сущностью, ответственной за свойства кислот, и когда вы ощущаете кислый вкус лимонного сока, на самом деле ваш язык щекочут протоны. К сожалению, мы не можем здесь исследовать это явление или выяснять, почему язык является хорошим детектором по крайней мере для элементарной частицы одного типа. Протон представляет собой тяжелую частицу с положительным зарядом, равным и противоположным заряду электрона, и с массой примерно в тысячу раз большей массы электрона.
Атом водорода состоит из одного протона и присоединенного к нему электрона: положительный заряд ядра компенсируется отрицательным зарядом электрона. Следующий простейший элемент, гелий, имеет ядро, построенное из двух протонов, поэтому у него два присоединенных электрона. Число протонов в ядре атома называется атомным номером элемента, так что атомный номер водорода равен 1, атомный номер гелия равен 2, и так далее. Из того факта, что атом электрически нейтрален, а такими являются все атомы, следует, что число присутствующих в нем электронов равно атомному числу, поскольку полный положительный заряд ядра компенсируется полным отрицательным зарядом присоединенных электронов.
Осознание того, что ядру элемента можно приписать номер и что этот номер можно интерпретировать в терминах состава ядра, означает, что можно наконец провести перекличку элементов. Теперь пропущенный элемент, можно идентифицировать, узнав, был ли обнаружен элемент именно с таким атомным номером, а размышления о том, существует ли какой-нибудь элемент между двумя другими, можно прекратить, если их атомные номера являются соседними. Атомные номера стало возможно определять благодаря технике, разработанной Генри Моусли (1887-1915) незадолго до его призыва на военную службу для того лишь, чтобы под Галлиполи его настигла пуля снайпера. Как написал Уилфред Оуэн перед встречей со своей собственной пулей однажды вечером на исходе той же войны:
Отвага была моей, и с ней тайна, Мудрость моею была, и с нею власть.Это и была власть, основанная на мудрости, сорвавшая покров тайны, и теперь мы знаем весь список элементов, знаем о ядре и числе электронов, присутствующих в каждом атоме.
Точное расположение электронов вокруг ядра все еще оставалось проблемой. На этом этапе обсуждения важно понять то, что атом представляет собой почти полностью пустое пространство. Вся его масса, как мы видели, сосредоточена в мельчайшем центральном ядре, а окружающее ядро пространство, вплоть до расстояния, составляющего примерно 10 тысяч диаметров ядра, занято горстью электронов — например, шестью, в случае углерода. Ваше тело представляет собой это почти пустое пространство, хотя, так или иначе, вы кажетесь материальным. Вы являетесь пустотой в реальном, а не ироническом смысле, думаете почти пустыми мозгами, одеваетесь в пустоту, сидите на пустоте и поддерживаетесь ею. Чтобы вообразить пустоту атома, представьте, что вы стоите на ядре размером с Землю, глядя в ясное звездное ночное небо. Пустота пространства, которое вы видите вокруг себя, не будет отличаться от пустоты атома внутри вас.
Однако эта пустота вне ядра является средоточием индивидуальности элемента. В то время как ядро является пассивным наблюдателем, просто отвечающим за размещение вокруг себя дополняющих его электронов центром контроля, дымок электронов, занимающих почти пустое пространство, является участником химических реакций.
Ученые не смогли устоять перед искушением высказать предположение, что электроны по отношению к ядру подобны планетам по отношению к звезде или Луне по отношению к Земле, и этот образ все еще столь могуществен, что было бы лучше, если бы я не упоминал о нем. «Сатурнианская» планетарная модель атома была предложена японским физиком Хантаро Нагаока (1865-1950) в 1904 г. и стала естественно предполагаемой моделью после того, как несколько лет спустя Резерфорд открыл ядро. Планетарную модель, которую теперь представляли в виде планет, вращающихся вокруг звезды, а не в виде колец вокруг Сатурна, как предлагал Нагаока, призвали к жизни в 1912 г., когда Нильс Бор использовал раннюю версию квантовой теории для описания движения одиночного электрона в атоме водорода и для своего успешного расчета спектра излучения атома. Можно лишь позавидовать, представляя себе всю глубину восторга Бора, когда он обнаружил, что его расчеты почти точно согласуются с наблюдениями.
Но даже это — планетарная модель и, как казалось, подтверждающий ее талантливый расчет Бора — было неверно. Отсюда можно извлечь два урока для науки и жизни. Во-первых, мы не можем полагаться на перенесение, без основательной оглядки, знакомых закономерностей макромира в доселе неизвестный нам микромир. Под поверхностью реальности живут драконы. Во-вторых, даже количественное согласие может, при некоторых обстоятельствах, быть недостоверным свидетельством истины. Этими некоторыми обстоятельствами, сделавшими свидетельство недостоверным, в данном примере была «красота» — термин, со смыслом которого мы встретимся в следующей главе, а пока это лишь забавная и загадочная — характеристика электрического притяжения электрона к ядру.
Вы должны выбросить из вашего сознания, а еще лучше из вашего бессознательного, образ планет, вращающихся вокруг центрального ядра: он просто неверен. Это ложная модель атома, это научная фикция, мертвая, отброшенная модель. Чтобы увидеть ее ошибочность, надо понять, что электроны не являются частицами в привычном смысле, но имеют внутренние свойства, подобные волновым. Этот двойственный характер, лежащий в сердце квантовой теории и появляющийся на сцене в главе 7, устраняет понятие траектории, в данном случае орбитального пути планетарного электрона вокруг центрального звездоподобного ядра, и делает абсолютно неприемлемым образ электрона в виде частицы на орбите.
В главе 7 мы увидим, как Эрвин Шредингер (1887-1961) создал уравнение, решения которого рассказывают нам о поведении электронов. Все, что нам необходимо знать на этом этапе, это несколько следствий из него, касающихся атомов. То, что на сегодняшний день считается достаточно точной структурой атома водорода — к другим атомам мы придем позднее, — было одним из первых результатов использования уравнения Шредингера. В серии из четырех знаменитых работ (первая в трех частях), опубликованной в 1926 г., написанной во время каникул с любовницей и названной им «поздним эротическим взрывом», Шредингер решил свое уравнение для электрона в атоме водорода и получил из совершенно других предпосылок то же выражение для его энергии, которое до этого обнаружил Бор.
Чтобы понять результат вычислений Шредингера, мы должны знать, что решения его уравнения предсказывают вероятность того, что электрон будет обнаружен в некоторой точке пространства, а не точное положение электрона в любой момент, как в классической физике. Эти решения называются атомными орбиталями. В таком названии выражен намек на планетарный электрон на орбите, но без строгого смысла этой классической концепции, здесь неприменимой.
Рисунок 5.5 показывает форму обладающей самой низкой энергией атомной орбитали в атоме водорода, орбитали электрона в нормальном (основном) состоянии атома. Иллюстрация изображает вероятность обнаружения электрона в разных участках области с помощью плотности тени в них. Как можно видеть, благодаря тому, что облако является более плотным вблизи ядра, следует считать, что электрон «роится» вокруг и вблизи ядра, как осы вокруг вазы с вареньем, и с наибольшей вероятностью находится у самого ядра. Если бы вы мысленно помещали маленький полый шар в разных местах атома, вы обнаруживали бы электрон внутри шара чаще, когда шар располагается у ядра. Облако вероятности сферически симметрично (предпочтительные направления отсутствуют), поэтому мы можем также представить орбиталь сферической поверхностью, которая охватывает большую часть облака. Однако не следует думать, что орбиталь имеет резкий край: как показывает изображение на рисунке, вероятность обнаружить электрон в определенной точке постепенно стремится к нулю и — по крайней мере в принципе — достигает нуля лишь на бесконечном удалении от атома.
Рис. 5.5. Здесь изображены некоторые представления s-орбитали самого низкого энергетического уровня для атома водорода. Диаграмма слева показывает вероятность обнаружения электрона в каждой точке в виде плотности тени. Сопровождающий ее график показывает, как вероятность экспоненциально убывает с увеличением расстояние до ядра. Диаграмма справа показывает «граничную поверхность», представляющую собой поверхность, охватывающую 90 процентов вероятности обнаружения электрона.
С этой точки зрения все атомы бесконечно велики, что находится в резком противоречии со взглядом на атомы, как на очень маленькие. Практически, конечно, вероятность нахождения электрона далеко от ядра (больше, чем на расстоянии в несколько сот триллионных метра) пренебрежимо мала. Лучше представлять себе атом водорода с электроном, находящимся в ограниченной области пространства очень близкой к ядру (в области с радиусом около 100 триллионных метров, 100 пикометров, 100 пм). Эта сферическая орбиталь с низшим уровнем энергии называется s-орбиталью. Было бы приятно думать, и в любом случае это полезное мнемоническое правило, что s означает сферичность; но на самом деле это название создано по техническим причинам, связанным с шириной линий в спектре атома водорода.
Одна из особенностей, которая станет яснее, когда мы больше узнаем о квантовой теории, но о которой нам необходимо знать уже на этой стадии, состоит в том, что из факта сферической симметричности орбитали, изображенной на иллюстрации, следует, что электрон, который она описывает, имеет нулевой момент импульса, момент количества движения вокруг ядра. Мы встретили момент импульса в главе 3, где видели, что он подобен импульсу, но связан с движением по кругу, а не по прямой линии. Все, о чем нам надо знать на этом этапе, это о волновом свойстве орбитали, заключающемся в том, что о моменте импульса можно судить по тому, как быстро меняется плотность тени, когда мы путешествуем вокруг ядра. Этот факт может показаться лишь незначительной технической деталью, однако вскоре мы убедимся, что он составляет основу великолепия мира.
Когда Шредингер решил свое уравнение для атома водорода, он обнаружил, что существует много других атомных орбиталей, каждая из которых соответствует более высокой энергии, чем энергия основного состояния. В качестве аналогии можно привести колебания сферы с обертонами собственной частоты, соответствующими состояниям с более высокой энергией. Электрон может подняться на эти орбиты, если сообщить ему достаточную энергию, например, с помощью вспышки молнии электрического разряда или если он поглотит энергию биения фотонов, которые мы называем вспышкой света.
У этих орбиталей с более высокой энергией есть несколько характеристик, о которых нам следует знать. Во-первых, имеется целая серия s-орбиталей, каждая из которых является сферической, но с различными расстояниями от ядра: они образуют серию концентрических оболочек, подобную русской матрешке, с ядром в центре. Ни в одной из этих s-орбиталей электрон не имеет момента импульса, поэтому его можно обнаружить у самого ядра. И снова, не дайте одурачить себя, думая, что все это лишь педантичные академические детали: на таких деталях выстроены города и огромные индустрии.
Существуют также решения, не обладающие сферической симметрией, в которых облака электронной вероятности сконцентрированы в областях, находящихся в разных местах по отношению к ядру, а не распределены однородно вокруг него. Нам необходимо знать о трех типах орбиталей, показанных на рис. 5.6. Орбитали, в которых вероятность собрана в две области, называются p-орбиталями, орбитали с четырьмя областями называются d-орбиталями, а орбитали с шестью областями называются f-орбиталями. Благодаря тому, что плотность тени, изображающая вероятность нахождения электрона в данном месте, меняется, когда мы, по пути измеряя ее, движемся по кругу вокруг ядра, p-, d- и f-орбитали соответствуют состоянию с ненулевым моментом импульса электрона, который они описывают, причем d-орбитали соответствуют более высокому моменту импульса, чем p-орбитали, а еще более искривленные f-орбитали соответствуют еще более высокому моменту импульса. Момент импульса является источником центробежной силы, которая отбрасывает электрон от ядра. Есть еще один незначительный технический момент, который скоро приобретет огромное значение: в результате такого центробежного эффекта в любой из этих орбиталей никогда нельзя обнаружить электрон возле самого ядра.
Рис. 5.6. Двудольное распределение плотности вероятности нахождения электрона (изображенное в виде граничной поверхности) является характерным для p-орбитали, четырехдольное распределение характерно для d-орбитали, а шестидольное для f-орбитали. Поскольку орбитали последовательно становятся все более искривленными (то есть соответствуют волнам обращения вокруг сферы с более короткой длиной), соответствующий им момент импульса электрона возрастает. Ни в одной из этих орбиталей не существует вероятности нахождения электрона непосредственно у самого ядра: он все больше отбрасывается от ядра по мере возрастания момента импульса.
Нам необходимо узнать еще два свойства решений, которые Шредингер получил для своего уравнения. (Я прошу прощения за эту прелюдию, но вскоре она покажется весьма уместной.) Во-первых, посмотрим на энергетическую схему, изображенную на рис. 5.7. Мы видим, что с возрастанием энергии все большие группы орбиталей становятся допустимыми, потому что чем выше частоты и чем более искривлены пути возможных колебаний сферы, тем серьезнее может искажаться ее форма. При самой низкой энергии допустима только одна орбиталь, s-орбиталь на рис. 5.5. На следующем уровне допустимы одна s-орбиталь и три p-орбитали. На следующем, еще более высоком, уровне имеются одна s-орбиталь, три p-орбитали, 5 d-орбиталей и так далее. В этой схеме нет ничего магического, это просто схема решений уравнения Шредингера для атома водорода. Группы энергетических уровней называются электронными оболочками, потому что орбитали, принадлежащие к ним, образуют концентрические распределения вероятностей расположения электрона, более или менее подобные слоям в луковице. И последняя (да!) важная вещь это то, что орбитали водорода в каждой оболочке имеют в точности одну и ту же энергию. Это очень замечательное свойство и, как можно проследить, именно «красивый» характер взаимодействия между электроном и ядром привел к тому, что концептуально ошибочные вычисления Бора оказались количественно верными.
Рис. 5.7. Энергетические уровни типичных атомов. Для водорода, имеющего один электрон, все орбитали данного уровня имеют в точности одну и ту же энергию. Для отличных от водорода атомов (как изображено здесь) каждый уровень содержит орбитали с последовательно возрастающей энергией. Во всех случаях p-орбитали впервые появляются во второй оболочке, d-орбитали появляются в третьей оболочке, а f-орбитали в четвертой оболочке. Существуют оболочки более высоких энергий, чем показанные здесь. Каждый ящик представляет орбиталь, которую могут занимать не более двух электронов. Две вставки показывают аналогичные электронные структуры лития (с одним электроном вне сердцевины) и натрия (с одним электроном вне сердцевины).
Теперь я проведу вас от атома водорода сквозь строй атомов других элементов. Нам известен порядок, в котором следует обсуждать эти элементы, поскольку мы знаем их атомные номера и, следовательно, число электронов, которые должны присутствовать в каждом случае. Например, если атомный номер элемента равен 15 (это номер фосфора), то его ядро имеет пятнадцать единиц положительного заряда, и, для достижения электрической нейтральности, каждый атом должен иметь пятнадцать электронов. Основная идея заключается в том, что, с небольшими видоизменениями, которые мы скоро узнаем, электроны этих атомов будут описываться орбиталями и энергиями, подобными тем, которые Шредингер нашел для водорода. Но по ходу этого конструирования атомов мы обнаружим некоторые замечательные вещи.
Элементом с атомным номером 2 является гелий; он имеет двойной заряд ядра и два электрона. Состояние с наименьшей энергией для обоих электронов описывается такой же s-орбиталью, как и основное состояние атома водорода. Поскольку заряд ядра здесь больше, чем у водорода, эти два электрона будут притягиваться ближе к ядру; но, так как электроны отталкиваются друг от друга (частицы с одинаковым зарядом отталкиваются друг от друга), этому всасыванию будет оказываться некоторое сопротивление. В результате атом будет несколько более компактным, чем атом водорода, но не намного меньшим.
Следующим по порядку элементом, с атомным номером 3, является литий. Ядро лития имеет тройной заряд и окружено тремя электронами. Теперь возникает удивительная вещь. Эти три электрона не могут — просто не могут — занимать самую нижнюю энергетическую s-орбиталь. Есть свойство, которое мы до сих пор совершенно пропускали в нашем обсуждении, а теперь должны ввести: электрон имеет три постоянные внутренние характеристики: массу, заряд и спин. Как мы видели ранее, многие ядра вращаются, и точно так же каждый электрон во Вселенной обладает этим свойством. Для наших целей достаточно, чтобы мы представляли спин просто как классическое вращательное движение, подобное вращению планеты вокруг оси. Однако следует иметь в виду, что в данном контексте спин является чисто квантово-механическим свойством, и на самом деле его нельзя считать классическим. Например, электрон надо дважды перевернуть, чтобы он вернулся в исходное состояние! Второе квантовое свойство спина — более соответствующее стилю предыдущего обсуждения — заключается в том, что электрон (снова используя классический язык) имеет фиксированную скорость вращения, но может вращаться с этой скоростью либо по часовой стрелке, либо против часовой стрелки. Никаких промежуточных скоростей или ориентации вращения не допускается.
Третье квантовое свойство спина — и у него нету никакой классической интерпретации — это принцип запрета, предложенный в 1924 г. австрийским физиком Вольфгангом Паули (1900-58) и утверждающий следующее:
На одной орбитали может присутствовать не более, чем два электрона, и если два электрона имеют одну и ту же орбиталь, их спины должны быть парными.
Термин «парные» означает, что если один электрон вращается по часовой стрелке, то другой вращается против часовой стрелки. Этот принцип является ключевым для понимания химии. Он также является ключевым для понимания того, что объекты являются твердыми, несмотря на то, что состоят в основном из пустоты, потому что электроны одного атома не могут находиться в области, занятой электронами другого атома. Таким образом, несмотря на то, что электроны занимают ничтожную часть области, которую мы называем «атом», другие атомы не могут проникнуть в эту область. Так, объем нашего тела и наша способность отличаться от любого другого из окружающих нас предметов обусловлена в конечном счете электронным спином. Выключите спины электронов, и все вещество — все обитатели мира, все горы, океаны и леса, все существующее — коллапсирует в однородную каплю бесформенной слизи. Спин является источниками нашей индивидуальности.
Теперь мы можем завершить историю с литием. Представим себе последовательное добавление трех электронов и распределение их по орбиталям так, чтобы получить наименьший общий уровень энергии, принимая во внимание принцип запрета. Первые два электрона занимают первую s-орбиталь. Эта орбиталь теперь содержит два электрона, поэтому она полна. Поэтому третий электрон вынужден занять одну из s- или p-орбиталей следующей оболочки. Но какую орбиталь он займет, если все четыре орбитали имеют одну и ту же энергию?
То, что они имеют одну и ту же энергию, не верно. Мы утверждали это для водорода, как следствие до некоего загадочного «красивого» свойства электрического взаимодействия между ядром и электроном. Когда в атоме присутствует более чем один электрон, эта «красота» (под которой мы имеем в виду весьма специальный вид симметрии) теряется, и s- и p-орбитали больше не обладают одинаковой энергией. Причины этих различий можно усмотреть в том факте, что электрон на s-орбитали может находиться непосредственно у ядра, а электрон на p-орбитали там обнаружить нельзя.
Коротко говоря, электрон на второй s-орбитали может проникать в область, занятую двумя электронами первой s-орбитали, и испытывать полную силу притяжения тройного заряда ядра лития. Из-за центробежного влияния момента импульса, электрон на p-орбитали не может проникнуть так же близко к ядру и поэтому не испытывает его полной силы притяжения. В результате он будет иметь более высокую энергию (как показано на рис. 5.7).
Имея в виду эту разницу энергий, теперь можно сделать вывод, что атом лития содержит два электрона на s-орбитали в первой оболочке, окруженной электроном, занимающим s-орбиталь следующего энергетического уровня. Мы можем представлять себе, что эти электроны образуют две физических концентрических оболочки, причем одна прилегает к ядру в форме сферической сердцевины, а другая, окружающая ее, подобна мякоти плода вокруг косточки (рис. 5.8).
Рис. 5.8. Представление структуры атома лития. Два электрона в компактной сердцевине и один электрон во внешней оболочке.
Следующим элементом (с атомным номером 4) является бериллий с четырьмя электронами вокруг ядра. Здесь на один электрон больше, чем в литии, и этот электрон можно присоединить к последнему внешнему электрону на второй s-орбитали. Далее идет пятый элемент, бор, с атомным номером 5 и пятью электронами. Вторая s-орбиталь заполнена, поэтому пятый электрон должен попасть на одну из трех p-орбиталей. Та же ситуация сохраняется для следующих пяти элементов, поскольку имеются три p-орбитали, и на этих орбиталях можно расположить шесть электронов. Так, углерод (шесть электронов) имеет внутреннюю сердцевину из двух электронов, как у гелия, еще два электрона на окружающей ее s-орбитали и еще два электрона на p-орбиталях. Оказывается, что последним двум электронам энергетически выгоднее занимать разные p-орбитали оболочки, так как тогда они дальше располагаются и меньше отталкиваются друг от друга. Азот (семь электронов) имеет еще один электрон на p-орбитали, кислород (восемь электронов), фтор (девять электронов) и неон (десять электронов) строятся тем же способом.
На этом этапе все десять p-орбиталей оболочки заполнены, и следующий электрон (в натрии, атомный номер 11) должен занять следующую, более высокую атомную орбиталь, которая является следующей s-орбиталью. Структура атома натрия подобна структуре атома лития с заполненной внутренней сердцевиной и одиночным s-электроном, образующим концентрическую внешнюю оболочку.
Это чрезвычайный момент в нашем обсуждении, хотя я и оставил проблеск, осветивший местность, почти незамеченным. Мы видели, что структура атома гелия состоит из заполненной оболочки; нам также следует знать, что гелий является инертным одноатомным газом (то есть газом, состоящим из одиночных атомов в свободном движении). Далее мы пришли к восьмому элементу, неону, еще одному инертному одноатомному газу, каждый атом которого имеет заполненную оболочку электронов. Непосредственно вслед за неоном мы уловили вспышку, идущую от лития, легко вступающего в реакции металла; его атомная структура состоит из одного электрона вне заполненной сердцевины. И теперь на сцене появляется восьмой, считая от лития, элемент, натрий, еще один металл, легко вступающий в реакции. Структура атома натрия совершенно подобна структуре атома лития, с одиночным электроном вне заполненной оболочки. Мы пролили немного света на периодичность элементов, на осознание того, что вещество является не случайным набором разрозненных элементов, а семейством, содержащим члены с подобными химическими свойствами и подобными электронными структурами.
Чтобы понять роль этого открытия и увидеть его в соответствующем историческом и культурном контексте, нам надо вернуться в девятнадцатое столетие, временно позабыть о структуре атомов и увидеть элементы с их внешней стороны, более близорукими и эмпирическими глазами этого века.
К середине девятнадцатого столетия было известно около пяти дюжин элементов. Некоторые были известны с доисторических времен, но не рассматривались в качестве элементов. Так, железо, уголь, медь и сера были известны древним. Они являются истинными элементами в современном смысле этого слова, а не в гадательном смысле древних греков. Элементы, по словам Роберта Бойля (1627-91) в его «Скептическом химике» (1661) представляют собой
некоторые примитивные и простые или совершенно несмешанные тела; которые не составлены из других тел или, говоря иначе, являющиеся ингредиентами, из которых все эти поименованные совершенно смешанные тела непосредственно составлены и на которые они в конце концов разлагаются.
По менее нудному и более операциональному определению Антуана Лавуазье они представляют собой
все вещества, которые мы не смогли разложить далее никаким способом.
Определение Лавуазье оставляет открытой возможность того, что более напряженными усилиями можно достичь этого разложения и таким образом спихнуть вещество со стола, где расположилось братство элементов. Лавуазье составил список из тридцати трех элементов, соответствующих его определению. Восемь, конечно, пришлось выбросить, когда стало возможным использовать более строгие процедуры, а два (свет и теплород) и вовсе не относились к делу. Современное определение стоит в стороне от этих попыток нащупать химический подход, и прямолинейно определяет элементы как
вещества, состоящие из атомов с одним и тем же атомным номером.
Современная эпоха для элементов началась всерьез, когда Хенниг Бранд (не ранее 1669 г.) из Гамбурга открыл фосфор, первый за много веков новый элемент. Использованная им процедура была не такой, чтобы внушить его соседям или другим возможным искателям новизны любовь к нему. Он собрал пятьдесят ведер человеческой мочи, которую заставил испаряться и разлагаться, выкипячивая ее до тестообразного осадка, дал осадку перебродить и подверг нагреванию черный остаток, смешав его с песком и собирая испарения в реторту. Эта с виду магическая субстанция светилась в воздухе и поэтому была сочтена средством для борьбы со смертью или, на худой конец, для получения выгоды. Как и в процедуре Бранда, самой ранней техникой разложения соединений на составляющие было нагревание, иногда нагревание вместе с другими веществами, как, например, с углем, для извлечения железа из железной руды, а иногда только нагревание, как при оспариваемом открытии кислорода посредством нагревания окиси ртути.
До индустриальной революции получение жара высокого накала было делом трудно достижимым, и одна из прометеевых процедур заключалась в краже огня у Солнца посредством мощных линз. Новое оружие свалилось в руки встряхивателей вещества с появлением гальванического элемента и возможности использовать электрический ток. Так, Хемфри Дэви (1778-1829) подключал электроды почти ко всему, что лежало в окрестностях Королевского общества, и в течение недели в октябре 1807 г. впервые получил калий с помощью электролиза расплавленного поташа (нитрата калия), а затем натрий с помощью электролиза расплавленной соды (углекислого натрия). Джон Дэви, брат Хемфри, рассказывал, что Хемфри «безумствовал и плясал от радости» вокруг своего открытия. Всего Дэви открыл шесть новых элементов (натрий, калий, кальций, магний, стронций и барий). Волна открытий, в основном обязанная своим происхождением использованию электролиза, довела к 1818 г. число элементов до пятидесяти девяти. Шведский химик Йене Берцелиус (1779-1848) сам открыл три элемента (цезий, селен и торий) и отсоединил символические обозначения элементов от чуть-чуть алхимического и неудобного для типографий стиля Дальтона, введя более практичные буквенные обозначения, используемые нами и сегодня, такие как Ce для цезия, Se для селена и Th для тория. Дальтон был чрезвычайно рассержен этим иностранным вторжением на его территорию и получил первый из своих двух ударов во время спора с коллегой о символах.
В картинке-головоломке трудно увидеть рисунок, пока не подобрано достаточно много составляющих ее фрагментов. Первый рисунок, отображающий свойства вещества, начал проявляться в 1820 г., когда собирание фрагментов было завершено почти наполовину. Существовало два аспекта этой головоломки: во-первых, качественные свойства элементов, их подобия и различия, и во-вторых, возникающая количественная характеристика атомов элементов, их атомный вес. Иоганн Доберейнер (1780-1849) из Йены, необразованный, но наблюдательный сын кучера, достигший впоследствии звания профессора университета, заметил нечто весьма необычное, нечто приводящее в гармонию эти две составляющих загадки. Он заметил, что некоторые тройки химически подобных элементов имеют атомные веса, такие, что вес одного из этих элементов близок к среднему арифметическому двух других. Например, хлор, бром и йод химически подобны, а их атомные веса равны соответственно 35, 80 и 127 (среднее от 35 и 127 равно 81). Доберейнер обнаружил три таких тройки и этим призвал к жизни идею о том, что элементы, по каким-то причинам, образуют нечто вроде гобелена.
Охота за организующим принципом началась. У меня нет намерения в деталях описывать историю этой охоты или воздавать должное всем действующим лицам, поскольку я больше заинтересован представить здесь результаты, чем усилия, затраченные на их получение. Но двое из участников заслуживают того, чтобы пригласить их на сцену. Джон Ньюлэндс (1837-98) имел англо-итальянское происхождение, и, подобно Канниццаро был настолько охвачен националистическим энтузиазмом, что в двадцать три года отправился на Сицилию сражаться вместе с краснорубашечниками Гарибальди. Остепенившись, он вернулся в Англию и обнаружил еще одну составляющую рисунка. Он увидел, что Доберейнер заметил только разбросанные триады, в то время как существует более систематический узор, по крайней мере для более легких элементов. А именно, он обнаружил, что если выстроить легкие элементы в порядке возрастания атомного веса, то подобия их свойств повторяются через каждые восемь элементов (газообразные элементы гелий, неон и аргон были в то время неизвестны). Не слишком благоразумно, с ретроспективной точки зрения, он уподобил эту повторяемость нотам музыкального ряда и отнес ее на счет своего «закона октав». Эта фантастическая аналогия дорого ему обошлась: над ним насмехались за столь возмутительное и заведомо произвольное предложение, а кое-кто предлагал ему расположить элементы по алфавиту или использовать какой-нибудь другой замысловатый критерий.
Однако он был прав. Свойства ранних элементов действительно повторяются как ноты музыкального ряда, но отнюдь не по музыкальной причине. Как мы видели, структуры атомов у элементов действительно периодически повторяются, поскольку внутренние оболочки заполняются и схема заселения орбиталей повторяется снова. Но такое теоретическое основание находилось слишком далеко в будущем, и ничем не могло помочь в начале девятнадцатого века, когда атомы еще пребывали в концептуальном младенчестве, а электроны не были известны.
Вторым участником был, конечно, Дмитрий Иванович Менделеев (1834-1907), согласно некоему источнику, младший среди детей одиннадцати, четырнадцати и семнадцати лет (триада чисел Доберейнера!), сын торговца лошадьми (Менделеев — мену делать — меняться) и матери, героически сделавшей все возможное для своего выдающегося и не по годам развитого меньшего сына. Ко времени, когда Менделеев сел писать свой предварительный главный труд по химии, Основы химии, число известных элементов достигло шестидесяти одного. Перед ним стояла проблема, как организовать материал, чтобы представить его читателю в логической, последовательной форме. Именно в этом пункте рождественская история, по-видимому, отклоняется от суровой правды.
Рождественская история рассказывает о том, как Менделеев трудился многие дни, а возможно, и недели, чтобы прийти наконец к некоторой логической организации. Истощенный этими усилиями, он заснул 17 февраля 1869 г.[21] и увидел «во сне стол, на котором все элементы лежали в нужном порядке. Проснувшись, я немедленно записал их на лист бумаги» (рис. 5.9). Еще одной популярной составляющей этой истории является то, что страсть Менделеева к раскладыванию пасьянсов для коротания времени в долгих поездках привела его к мысли записать названия элементов на карточки и раскладывать пасьянсы из них. Власть этих образов и точность с которой был датирован сон оказались такими, что заставили принять все это за чистую монету. Однако все было, по-видимому, не так: свидетельства очевидцев вступают в противоречие с обеими составляющими рождественской сказки. Сновидения не было, и даже правдоподобная сказка об элементах в виде пасьянса оказывается не столько фактом, сколько украшением.
Рис. 5.9. Факсимиле страницы из Zeitschrift für Chemie (Журнал химии) 1869 г., в котором Менделеев анонсировал раннюю версию периодической таблицы.
Какой бы ни была правда, фактом является то, что Менделеев представил миру таблицу, свою периодическую таблицу, которая собрала все элементы в некое подобие генеалогического дерева. Он использовал атомные веса для упорядочения элементов и обнаружил повторяемые подобия через периоды в восемь, восемь и восемнадцать элементов. Ему пришлось перекраивать таблицу то тут, то там (обычно это описывается как химический инсайт, но на самом деле больше похоже на метод, которым пользовался Прокруст по отношению к своим жертвам, не помещавшимся на его ложе). Так, порядок элементов, основанный на атомном весе, не везде согласовывался с картиной химического подобия, поэтому Менделеев проигнорировал этот порядок и избрал свой собственный. Теперь мы знаем, что эта процедура была правильной, поскольку атомный вес не является наилучшим критерием для упорядочивания элементов: элементы лучше всего упорядочивать по их атомным номерам и, по причинам, теперь полностью понятным, атомный вес не всегда дает точно тот же порядок, что и атомный номер. Кроме того, в таблице имелись приводящие в замешательство щели. Но в этом случае замешательство пошло на пользу дела, так как Менделеев был столь уверен в своей формулировке таблицы, что смог, с помощью интерполяции свойств известных элементов, предсказать свойства еще не открытых элементов в этих щелях. Так, он предсказал существование и свойства элементов, которые он назвал эка-алюминием и эка-кремнием (эка в санскрите значит один), позднее открытых во Франции под именем галлий и в Германии под именем германий соответственно. Он также делал и ошибки, предсказывая элементы, которых в действительности не существует; но, благодаря доброй воле благодарных последователей, эти ошибки были благополучно забыты.
Сегодня мы знаем около 110 элементов, и щели в корпусе таблицы отсутствуют. Мы знаем это потому, что атомные номера последовательно и без пропусков пробегают ряд от 1 до 110. Имеются спорадические сообщения об открытии элементов до номера 114, но они появляются и исчезают, и номер 113 все еще не появился. Это бесполезный «академический» конец периодической таблицы, и тот факт, что он с краю немного потрепан, не имеет большого практического значения.
Современная форма периодической таблицы показана на рис. 5.10. Как мы можем видеть, он повернут на 90° по сравнению с картинкой Менделеева, но основные черты его схемы легко узнать. Вертикальные колонки называются группами, а горизонтальные ряды называются периодами.
Рис. 5.10. Современная форма периодической таблицы. Я показал только некоторые элементы, т.е. которые, насколько я могу судить, достаточно хорошо известны, или стоящие во главе своих групп (K это калий, Na — натрий, Fe — железо, Pb — свинец, Sn — олово: химики время от времени залезают в латынь). Пронумерованные вертикальные колонки называются группами, а горизонтальные ряды назывался периодами. Водород (несколько идиосинкразически, но, на мой взгляд, разумно) поставлен во главе всей таблицы и не приписан ни к какой группе. Светло-серым отмечены металлы, темно-серым неметаллы, а просто серым — металлоиды, элементы, по своим свойствам застрявшие между металлами и неметаллами. Двухрядный блок элементов внизу таблицы следовало бы вставить в указанное место, но это сделало бы таблицу слишком нескладной. Таблица постепенно растет, по мере того как создаются новые элементы.
Октавы Ньюлэндса еще слышны в периодах 2 и 3, а триады Доберейнера разбросаны там и тут. Вертикальные группы содержат элементы, имеющие значительные подобия, так же как и все типы соединений, которые они образуют, и демонстрируют систематические изменения от верхнего к нижнему краю. Элементы в горизонтальных периодах демонстрируют плавное изменение при перемещении слева направо. Например, металлы оказываются в левом конце периода, а неметаллы на правом. Элементы в длинной тонкой центральной секции, такие как железо (Fe) и платина (Pt), являются переходными металлами, поскольку они представляют переход между очень реактивными металлами, такими как натрий (Na) или кальций (Ca) в левой части таблицы, и много менее реактивными металлами, такими как олово (Sn) или свинец (Pb) справа. Очень тонкая секция из двадцати восьми элементов, помещенная ниже основной части, состоит из внутренних переходных металлов. Эту полосу следовало бы, на самом деле, вставить в основную таблицу, но это сделало бы таблицу слишком длинной и тонкой для того, чтобы напечатать ее приемлемым образом. Внутренние переходные металлы все очень похожи по своим химическим свойствам и находились среди элементов, выделенных и идентифицированных в самую последнюю очередь. Самая нижняя линия, следующая за ураном (U), фактически состоит только из элементов, полученных искусственно.
Периодическая таблица все еще растет. Ученые используют ускорители частиц, чтобы швырять ядра одного элемента в ядра других элементов, в надежде, что два ядра сольются и образуют ядро еще неизвестного элемента. Так был получен элемент 112 (еще не имеющий названия). Однако такие ядра очень неустойчивы, и жизнь нескольких атомов, сделанных таким способом, была весьма быстротечной.
Я надеюсь, что теперь вы получили возможность понять, почему химики считают периодическую таблицу своей единственной самой главной концепцией. Она суммирует свойства элементов — изменение их физических свойств, таких как плотность, изменение свойств атомов, таких как их диаметры, и изменение их химических свойств, таких как число и тип связей, которые они образуют с другими атомами (рис. 5.11). Просто взглянув на нее, мы можем узнать, имеет ли элемент характерные свойства металла (железо), неметалла (сера) или чего-то промежуточного (кремний). Мы можем предвидеть химические свойства элемента, замечая свойства его соседей и думая о тенденциях, ожидаемых при движении вниз по группе или вдоль по периоду. Говоря коротко, периодическая таблица — это в высшей степени сжатое и полезное резюме свойств элементов, обладающее значительной предсказательной силой. Мы проделали долгий путь от первоначальной периодической таблицы, содержавшей землю, воздух, огонь и воду в обыкновенном квадрате!
Рис. 5.11. Периодичность свойств элементов иллюстрируется диаграммой, которая показывает диаметры атомов. Наименьшие атомы расположены ближе к верхнему правому углу. Наибольшие атомы расположены ближе к нижнему левому углу. Детали распределения хорошо понятны. Размер атомов является важным критерием для определения физических свойств (таких, как плотность) и химических свойств (таких, как число связей, которые может сформировать атом) элемента.
Менделеев составил свою таблицу эмпирически. Он ничего не знал о структуре атомов и не мог предложить внутреннего концептуального основания для своей таблицы. У нас необходимое понимание есть. Мы теперь знаем, что периодическая таблица есть отображение ритмов заполнения энергетических уровней в атомах (рис. 5.7).
Образ источника периодичности промелькнул перед нами ранее в этой главе, когда мы заметили подобие между гелием и неоном, с одной стороны, и литием и натрием, с другой, и обнаружили, что электронные структуры их атомов аналогичны: гелий и неон имеют атомы с заполненными оболочками, а в атомах лития и натрия одиночный электрон занимает s-орбиталь вне заполненных оболочек. Этот образ лежит в основании всей таблицы. Так, если переходить от атома к атому по пути возрастания атомного номера, то с каждым шагом атомный номер возрастает на единицу и потому возрастает число электронов, необходимых для компенсации заряда ядра. Каждый добавляющийся электрон занимает следующую допустимую атомную орбиталь, подчиняясь принципу запрета Паули, согласно которому одну орбиталь могут занять не более чем два электрона.
Эта последовательность соответствует внешнему виду периодической таблицы. Так, у атомов элементов из групп 1 и 2 (группы, содержащие, например, натрий и магний) s-орбиталь занята. На s-орбитали может находиться до двух электронов, что соответствует двум группам в этой части таблицы: в группе 1 на орбитали находится один электрон, а в группе 2 — два электрона. В правой стороне таблицы имеется блок из шести групп: в этих элементах электроны находятся в процессе заполнения трех p-орбиталей соответствующих оболочек атомов. На этих орбиталях может находиться до шести электронов: элементы группы 13 (такие, как бор, B) имеют один такой электрон, элементы группы 14 (такие, как углерод, C) — два, и так далее, до заполненных орбиталей в группе 18, состоящей из почти полностью инертных, так называемых благородных газов. Узкая полоса в середине таблицы, переходные металлы, состоят из элементов, в которых заполняются d-орбитали соответствующих оболочек: пять d-орбиталей могут вместить до десяти электронов, что в точности соответствует десяти элементам в каждом ряду этого блока групп. Внутренние переходные элементы являются элементами заполняются f-орбитали. В каждой оболочке имеется семь f-орбиталей, что соответствует четырнадцати членам в каждом ряду этого блока.
Мы совершили полный круг. Химики девятнадцатого века разглядели родственные отношения между элементами. Полный перечень родственных связей — настолько, насколько элементы уже были открыты — был создан Менделеевым к концу века. Однако его конструкция носила эмпирический характер, и понимания того, почему элементы приходятся друг другу кузенами, в то время быть не могло. Как же могло случиться, что один сорт вещества является родственным другому? На этот вопрос удалось пролить свет, когда в начале двадцатого века стала понятна структура атомов. Как только в 1920-х гг. были обнаружены ядра и правила, управляющие размещением электронов, немедленно стало ясно, что периодическая таблица является отображением решений уравнения Шредингера. Таблица представляет собой математическую картину вещества. С помощью двух простых идей — что электроны самоорганизуются так, чтобы занять наиболее низкий из возможных уровень энергии, и что на любой данной орбитали не могут находиться более двух электронов — устройство вещества стало доступным для понимания. Химия есть сердце понимания вещества, а в самом сердце химии лежит главное, о чем она повествует, — атомы.
Глава шестая Симметрия Вычисление количества красоты
Хрисипп утверждает, что красота не в элементах, а в симметрии частей.[22]
ГаленВеликая идея: симметрия ставит пределы, ведет и управляет
Может ли быть так, что красота есть ключ к пониманию этого прекрасного мира? Греческий скульптор Поликлит из Аргоса, расцвет деятельности которого пришелся на 450-420 гг. до н.э., заложил основы нашего современного понимания фундаментальных частиц, когда в своем Каноне, введении в эстетику, писал, что «красота приходит мало-помалу посредством многих чисел». Поликлит писал о симметрии, динамическом равновесии расслабленных и напряженных частей человеческого тела и относительной ориентации этих частей, организующихся в гармоническое целое. Через две с половиной тысячи лет мы возвращаемся к математическим аспектам симметрии — и к симметрическим аспектам математики, — чтобы выстроить свое понимание фундаментальных сущностей, из которых высечено вещество, и динамического равновесия сил, которые удерживают эти сущности вместе.
Если под красотой мы имеем в виду симметрию и контролируемые нарушения симметрии, Мондриана, переходящего в Моне, то красота, конечно, лежит в сердце мира. Часть этой красоты открыта для непосредственного восприятия, например, когда мы смотрим на прекрасное произведение искусства. Другая часть, однако, глубоко спрятана и неочевидна для необученного взгляда. Тысячи лет, прошедшие со времени Поликлита, были использованы для того, чтобы выкопать скрытую красоту, дать ее оценку в математической форме, и затем, используя математические средства, провести более глубокие раскопки ландшафта реальности. Как я уже подчеркивал, по мере развития науки, ее глубина и богатство возрастают за счет увеличения абстрактности ее концепций. Это возрастание нигде не прослеживается лучше, чем в открытии симметрии и в развернутом ее использовании в качестве инструмента познания.
Теперь я проведу вас, настолько подробно, насколько мне удастся, по пути, ведущем от непосредственно воспринимаемого к воображаемому, и продемонстрирую ту власть, которую дает в наши руки симметрия. Этот путь поведет нас на самый край обрыва того, что еще доступно воображению.
Объект является симметричным, если действие — которое мы называем преобразованием симметрии, — произведенное над ним, оставляет его неизменным по внешнему виду. Другими словами, если вы на мгновение закроете ваши глаза, то когда вы откроете их снова, вы не сможете сказать, совершил я какое-либо действие или нет. Представьте себе гладкий мяч без украшений; закройте на мгновение глаза, откройте их: повернул ли я шар? Действия, которые мы рассматриваем, могут быть вращением вокруг оси или отражением в зеркале, но существуют и другие преобразования симметрии, которые нам еще предстоит оценить, некоторые из которых представляют собой составные комбинации более простых действий, например, движение в пространстве (называемое трансляцией), за которым следует отражение в зеркале. Вы можете найти отражение даже в музыке. Одним особенно прозрачным примером является поддельное двухчастное сочинение «Моцарта», которое начинается так
и завершается второй частью
являющейся отражением первой части.
Некоторые объекты являются более симметричными, чем другие. Сфера в высокой степени симметрична — это один из самых симметричных объектов, с которыми мы обычно сталкиваемся. Подумайте о числе способов, которыми я могу изменить положение сферы, пока ваши глаза закрыты, так, что вы не сможете обнаружить это, открыв глаза. Я могу повернуть ее вокруг любой из бесконечного числа осей, проходящих через ее центр, на любой угол, лежащий между 0 и 360°. И это еще не все. Я могу представить себе зеркало, проходящее через центр сферы в любом из бесконечного числа направлений, и вы не сможете обнаружить отражение одной полусферы в другую. Есть и другие действия, которые я могу произвести в уме: я могу вообразить, что я беру каждый атом шара на прямой линии, проходящей через центр сферы, и перемещаю этот атом на равное расстояние от центра сферы с другой стороны. Таким путем я перестраиваю шар с помощью операции, известной как инверсия. Вы не сможете утверждать, что я проделал это, поскольку шар после такой инверсии выглядит точно таким же, каким был вначале.
Куб гораздо менее симметричен, чем сфера. Существует несколько действий, которые я могу над ним произвести так, чтобы вы об этом не узнали. Я могу повернуть куб на 90° и 180° по часовой стрелке и против нее вокруг оси, проходящей через центры любой из трех пар противоположных граней. Я могу повернуть его на 120° по часовой стрелке и против нее вокруг любой из четырех осей, проходящих через противоположные углы. Я могу отразить его от любой из трех плоскостей, в которой я могу поместить зеркало, разрезающее куб пополам. Я могу перестроить куб с помощью инверсии относительно его центра. Я бы мог даже оставить куб нетронутым: вы бы не узнали. Поэтому ничегонеделание — называемое тождественным преобразованием — тоже является преобразованием, которое я должен включить в рассмотрение симметрии объекта. Это дает много различных действий, которые я могу проделать так, чтобы вы не узнали; поэтому куб является высоко симметричным, но совсем не таким симметричным, как сфера, с ее бесконечным числом незразличимых преобразований.
Рис. 6.1. Некоторые из преобразований симметрии для куба. Куб выглядит неизмененным, когда мы вращаем его на 90° или 180° вокруг осей, перпендикулярных каждой грани, и на 120° или 240° вокруг осей, проходящих через противоположные углы. Он также выглядит неизмененным при отражении относительно любой из изображенных здесь плоскостей. Есть еще два преобразования симметрии: инверсия относительно центра куба и тождественное преобразование (ничегонеделание).
С определенной формальной точки зрения симметрично все. Это так, потому что в число рассматриваемых преобразований симметрии мы включили тождественное преобразование; ведь даже самые несимметричные объекты — смятый газетный лист, например, — как мы можем проверить, выглядят также, если мы откроем глаза после того, как с ними ничего не было сделано. В данный момент это может показаться жульничеством, что, конечно, так и есть. Однако включение тождественного преобразования вводит все объекты в сферу действия математической теории симметрии, так что мы можем пользоваться соображениями симметрии при обсуждении чего угодно, а не только объектов, о которых мы думаем, как о «симметричных». Математика вообще действует таким образом: она обобщает определения, чтобы ее теоремы могли охватить настолько большую область, насколько это возможно. Конечно, хотя все и симметрично (в этом формальном смысле), некоторые вещи более симметричны, чем другие. «Более симметричные» просто означает, что существует больше способов их изменения, таких, что, когда мы откроем глаза, мы не сможем сказать, было произведено действие или нет. Сфера более симметрична, чем куб, а куб более симметричен, чем пальма. Как можно видеть, теперь мы способны упорядочить объекты в соответствии со степенью их симметрии: аромат симметрии обретает число.
Математическая теория симметрии, в которой этот аромат отвердевает в точных определениях, называется теорией групп. Название этой теории возникло из того факта, что преобразования симметрии, о которых мы говорили, образуют множества операций, которые в математике называются группами. Вообще говоря, группа состоит из множества элементов и правила их комбинирования, такого, что комбинация любой пары элементов тоже является элементом этого множества. Мы можем увидеть, как преобразования симметрии формируют группу, снова представив себе куб. Предположим, я последовательно провожу два действия, поворачивая куб на 90° вокруг одной из осей, перпендикулярных грани, а затем вращая получившийся куб на 120° вокруг диагональной оси. Результат оказывается таким же, каким бы он был, если бы я повернул куб на 120° вокруг одной из других диагональных осей, поэтому эти два последовательно выполненных преобразования эквивалентны одному преобразованию симметрии. Это верно для всех преобразований симметрии куба, поэтому эти преобразования образуют группу. Группам преобразований симметрии для различных фигур даны названия. Например, огромная группа симметрии сферы называется SO(3). Позже мы встретим другие группы с названиями типа SU(2) и SU(3).
Понятие группы выходит далеко за пределы преобразований симметрии, вот почему теория групп является существенной частью математики. Например, возьмем в качестве множества «элементов» положительные и отрицательные числа …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … и пусть правилом комбинирования будет сложение. Тогда, поскольку сумма двух целых чисел сама является целым числом, целые числа образуют группу по сложению. Поэтому арифметика есть часть теории групп, и та же идея, которую мы используем, чтобы обсуждать симметрию реальных объектов, может быть использована для обсуждения идей арифметики, и наоборот. Я не собираюсь вести вас в настоящей главе по этому частному маршруту, но он сыграет свою роль в главе 10. Тем не менее просто вынесите отсюда мысль — мысль, которая пронизывает всю эту книгу, — что простая идея может иметь приложения почти неограниченной общности.
Давайте вернемся к рассмотрению собственно симметрии. Нам необходимо отличать группы преобразований симметрии, которые оставляют одну точку объекта неизмененной, от групп, включающих в себя движение через пространство. Первые называются точечными группами, последние — пространственными группами. Все преобразования симметрии сферы и куба оставляют точку в центре в том же положении, в котором она находилась изначально. Если действие сдвигает центральную точку индивидуального объекта, как в случае отражения сферы в плоскости, не проходящей через ее центр, то мы можем заметить, что нечто было проделано, и это действие нельзя считать преобразованием симметрии. Все преобразования симметрии индивидуальных объектов оставляют неизмененной по крайней мере одну точку, так что симметрии индивидуальных объектов описываются точечными группами.
Узоры, тянущиеся через пространство, описываются пространственными группами. Здесь нам придется прибегнуть к небольшому надувательству и представить себе узоры, бесконечно тянущиеся в любом направлении, или представить себе, что мы настолько близоруки, что не можем увидеть происходящее на краях узора. Узоры, действительно тянущиеся бесконечно в одном измерении, называются фризовыми узорами, поскольку они проявляют свойства симметрии, типичные для фризов. Формальное определение фриза в классической архитектуре таково: это горизонтальная полоса, образующая центральную часть антаблемента, часть структуры, поддерживаемая колоннами и лежащая между архитравом и карнизом. Менее формально, фриз это любая горизонтальная декоративная полоса с мотивом, регулярно повторяющимся по всей ее длине. Тут спящий гигант теории групп открывает один глаз и выдает нам первый из своих замечательных инсайтов: существует только пять возможных вариантов фриза. Все фризы, которые когда-либо были созданы и которые когда-либо могут быть созданы, можно классифицировать как один из пяти различных вариантов (рис. 6.2). Конечно, мотивы могут быть разными — стрелки из лука, ромбы, козлики, завиточки, — но если рисунок периодически повторяется (что исключает фризоподобные виды элгинского мрамора, где узор не повторяется), его организация в пространстве ограничена этими пятью вариантами.
Рис. 6.2. Эти формы символизируют пять узоров фриза, допустимых в одномерном случае. Существуют различные мотивы, поскольку квадрант, показанный здесь в различных ориентациях, может быть заменен любым рисунком, но эти пять узоров исчерпывают все возможные регулярные фризы.
Это лишь первый проблеск тех головокружительных глубин, в которые может проникать теория групп. Упоминание о колоссальном интеллектуальном прыжке (к которому я намерен подвести вас более маленькими шагами по мере разворачивания этой главы, но сейчас будет полезно узнать, куда мы направляемся), может быть, даст нам возможность согласиться с тем, что, так же как симметрия ограничивает число возможных структур в пространстве, может оказаться, что симметрия пространства-времени — что бы это ни означало — ограничивает число типов элементарных частиц, которым позволено существовать. Симметрия ставит пределы.
Пока архитектура проходила путь от греческого храма до бунгало, она пришла в упадок настолько, что, упразднив требование антаблемента и фриза, открыла дорогу обоям. Узоры на обоях тянутся бесконечно в двух измерениях, и вариации этих узоров — ленточки, розочки, павлины — и их цвета заполняют рекламные буклеты декораторов интерьера и производителей обоев. Однако теория групп открывает ужасную правду: существует только семнадцать вариантов обойных узоров.
Мы можем выразиться несколько более точно. Под словом сеть мы будем понимать совокупность точек, которые представляют места расположения павлинов или чего-то еще, чему вкус предписывает быть мотивом узора. Узор обоев является комбинацией мотива и сети. Так, все павлины в чередующихся точках сети могут сидеть вертикально, или в этих точках могут чередоваться павлины, сидящие прямо и павлины опасным образом опрокинутые. Учитывая эту разницу, теория групп показывает, что существует только пять типов сети и семнадцать комбинаций сети и мотива (рис. 6.3). Будет интересным упражнением исследовать обои в комнатах, которые вы посещаете, узор брусчатки дворов, которые вы пересекаете, черепицу на крышах или даже узор (если он периодичен) вашего галстука, чтобы определить вашу способность идентифицировать сеть (это обычно легко) и общий узор (что более головоломно, так как некоторые мотивы являются весьма изощренными). Вы никогда не обнаружите периодический узор, который не был бы одним из набора семнадцати узоров, определенного в теории групп как полная Вселенная дизайна обоев.
Рис. 6.3. Эти узоры показывают пять видов сетей, возможных для двумерных обоев. Для получения реального рисунка к каждой точке можно прикрепить образ, но даже тогда оказывается, что существует всего семнадцать возможных схем.
Рассмотрим теперь трехмерную упаковку узоров, заполняющую все пространство. В повседневном опыте встречается простейший из всех узоров, в котором кубические кусочки сахара упакованы вместе в коробку, или — с несколько более низким уровнем симметрии, поскольку сложенные предметы теперь не являются кубами — сложены вместе спичечные коробки (рис. 6.4). Здесь мы можем заметить, что, в зависимости от деталей, которые мы рассматриваем, мы можем приписать объекту различные типы симметрии. Один тип симметрии мы припишем стопке безличных спичечных коробков, но если мы примем во внимание оформление коробков и, возможно, ориентацию спичек в них, то это заставит нас приписать упаковке несколько более низкий уровень симметрии.
Рис. 6.4. Два из возможных способов укладки в трехмерном пространстве. Верхняя диаграмма показывает сложенные вместе кубические элементарные ячейки («кусочки сахара»). Нижняя диаграмма показывает элементарные ячейки («спичечные коробки»). Всего существует семь форм элементарных ячеек, которые можно уложить таким образом, чтобы получить периодическую структуру. Сами по себе элементы могут содержать объекты, влияющие на общую симметрию: мы показали внутренности двух коробков, показывающие, что чередующиеся коробки содержат спички, указывающие в разные стороны.
Сколько трехмерных узоров существует? Мы можем обнаружить различные симметрии, задавая различные вопросы. В раннем примере техники трансдукции, упомянутой в связи с с атомной гипотезой Дальтона, французский минеролог и священник Рене-Жюст Гаюи (1743-1822) предположил в 1784 г. в своем Essai d'une théorie sur la structure des chistaux, что внешняя форма кристаллов отражает устройство их мельчайших единиц. Он пришел к этой точке зрения, когда уронил особенно красивый кристалл кальцита (прозрачная кристаллическая форма карбоната кальция, мела) и обнаружил, что он распался на маленькие кусочки, по форме повторяющие оригинал. Редкий случай, когда разрушение привело к столь хорошему результату. Мы теперь называем маленькие блоки, которые, будучи сложены вместе без использования вращений, заполняют все пространство, элементарными ячейками. Элементарные ячейки могут быть кубическими (как кусочки сахара), прямоугольными, с одной стороной отличной от двух других, прямоугольными, с тремя различными сторонами (как спичечные коробки), или скошенными так, что, хотя противоположные грани и параллельны (они должны быть такими для того, чтобы элементарные ячейки могли заполнить все пространство), они не перпендикулярны к соседним граням. Оказывается, что существует только семь базовых форм этих элементарных ячеек.
Так же как мы идентифицировали пять сетей для обоев, отмечая положение точек, в которых потом можно расположить мотивы, мы проделаем это и для элементарных ячеек. Результирующие расположения точек, допустимые в трех измерениях, называются решетками Браве, в честь французского альпиниста, искателя приключений и физика Огюста Браве (1811-63), который первым составил их перечень в 1850 г. Оказалось, что их существует всего четырнадцать (рис. 6.5). Где бы вы ни увидели объекты, сложенные вместе для заполнения пространства регулярным образом, такие как консервные банки в ящиках, слои яиц в корзинках и фрукты в витринах, они все соответствуют одному из этих четырнадцати расположений.
Рис. 6.5. Трехмерными аналогами сетей для обоев являются решетки Браве. В трех измерениях существует четырнадцать решеток Браве. Можно прикреплять к каждой точке объекты различными способами, но таких способов существует не более 230.
Так же как мы можем получить семнадцать основных видов обоев, помещая различными способами в сеть точек мотив (вертикальные павлины, чередующиеся павлины и так далее), мы можем прикрепить мотив (такой, как рисунок на крышке спичечного коробка или способ, которым в нем уложены спички) к каждой точке решетки Браве. Тщательное рассмотрение возникающих здесь узоров показывает, что существует всего 230 возможных способов их организаций. Я осознаю, что слово «всего» здесь кажется не очень уместным; но дело в том, что это число конечно и определено точно: это число не равно 228 или 229; оно в точности равно 230. Эти способы организации называются пространственными группами. Все возможные трехмерные, заполняющие пространство периодические структуры соответствуют этим 230 пространственным группам. Упаковка одинаковых, недекорированных спичечных коробков со спичками, указывающими в одном направлении, соответствует одной пространственной группе, а упаковка тех же спичечных коробков тем же способом, но со спичками в соседних коробках, указывающими попеременно в разных направлениях, соответствует другой пространственной группе.
Бакалейщик, выкладывающий на витрине апельсины, бессознательно моделирует способы, которыми природа складывает вместе атомы, чтобы получить кристаллы, и именно здесь симметрия и вдыхающие в нее жизнь пространственные группы становятся важным орудием исследования и классификации. Во-первых, мы можем увидеть в витрине бакалейщика, что из однородно уложенных сфер может возникнуть поверхность, близкая к плоской. Плоская поверхность отдельного кристалла металлического элемента, например цинка или меди, представляет собой одну из поверхностей такого рода. Здесь не место входить в детали того, как именно атомы и молекулы пакуются вместе, чтобы дать в результате один из 230 возможных способов организации, допускаемых симметрией, но небольшой привкус этого все же получить можно.
Если мы будем представлять себе атомы в виде твердых сфер, подобных шарообразным опорам, мы сможем вообразить слой этих атомов, лежащих близко друг к другу, в котором каждая сфера окружена шестью соседями (максимально возможным числом для одинаковых сфер). Новый слой можно образовать, кладя атом в каждое из углублений первого слоя (рис. 6.6). Третий слой можно сформировать любым из следующих двух способов. В первом мы кладем атомы в углубления, лежащие над положениями атомов в первом слое; во втором мы кладем их в углубления, которые лежат над местами соприкосновения атомов первого слоя. Если мы обозначим слои буквами A, B, C…, то первое расположение будет выглядеть как ABABAB, а второе как ABCABC…. Если вы внимательно рассмотрите первую конфигурацию сфер, вы сможете обнаружить гексагональную систему, гексагональную элементарную ячейку. Во второй конфигурации вы сможете обнаружить кубическую систему (ее немного труднее обнаружить, поскольку кубы отклоняются от плоскостей). Эти два вида упаковки атомов дают кристаллы с разными симметриями. Среди металлов, образующих гексагональные элементарные ячейки, содержатся кобальт, магний и цинк. Металлы, образующие кубические элементарные ячейки, включают серебро, медь и железо.
Рис. 6.6. Две регулярные структуры, которые можно построить, укладывая вместе твердые сферы (представляющие атомы) насколько возможно плотно. На нижнем уровне (светло-серый) каждая сфера находится в контакте с шестью соседями. Обозначим этот уровень буквой A. На среднем уровне (серый) сферы лежат в углублениях первого уровня. Обозначим этот уровень буквой B. Если сферы следующего слоя (темно-серый) лежат в углублениях второго слоя, которые находятся прямо над сферами первого слоя, образуя структуру ABA, то мы получаем гексагональную систему (в верхней части). Если сферы лежат в углублениях, которые не находятся непосредственно над сферами слоя A, то мы получаем конфигурацию ABC, имеющую кубическую симметрию.
Симметрия элементарных ячеек влияет на механические, оптические и электрические свойства твердых тел. Например, жесткость металла зависит от наличия в нем плоскостей скольжения, которые представляют собой плоскости атомов, которые под действием напряжения, скажем, удара молотком, могут проскальзывать друг относительно друга. Если изучить внимательно слои атомов на рис. 6.6 или элементарные ячейки, то выяснится, что гексагональная структура имеет только одно семейство плоскостей скольжения (они лежат параллельно плоскостям, показанным на иллюстрации), в то время как кубическая структура имеет восемь семейств различно ориентированных плоскостей скольжения. В результате металлы с гексагональной структурой (например, цинк) являются хрупкими, а металлы с кубической структурой (например, медь и железо) являются пластичными — их можно относительно легко сгибать, прокатывать, протягивать и ковать из них различные формы. Электроиндустрия зависит от тягучести меди, а транспортная и строительная индустрии зависят от пластичности железа.
Как мы видели в других контекстах, бывает всегда забавно, а иногда и полезно, расширять наше воображение до более высоких размерностей. Это расширение иногда существенно важно, как в случае, когда мы рассматриваем четыре измерения пространства-времени. Тогда возникает вопрос, сколько узоров может быть обнаружено в пространствах более высоких размерностей. Математики исследовали этот вопрос. В четырехмерном пространстве существуют «всего» 4783 пространственные группы, поэтому пятимерные существа (которым нужны четырехмерные обои для украшения своих гиперкубических комнат) найдут гораздо более широкое разнообразие узоров в своих обойных гипермаркетах, чем мы, существа трехмерные.
Не все симметрии очевидны, и именно поэтому я хочу подтолкнуть вас к тому, чтобы вы приобрели способность оценивать красоту более высоких абстракций. С этого момента наше обсуждение неизбежно становится более абстрактным, а понятия более трудно представимыми визуально; но мы будем пускать в обращение эти замысловатые трудности постепенно и с осторожностью, и вы с удовольствием обнаружите, что все можете понять. Здесь мы увидим, что симметрия больше не является наглядной, но зато становится могущественной, ибо она является источником законов. Симметрия ведет.
Мы уже видели пример ведущей и контролирующей роли симметрии. Мы видели в главе 3, что сохранение энергии является следствием однородности времени. Следствием того, что время является гладким, не состоящим из кусков — более формально, время является трансляционно инвариантным, — является то, что энергия сохраняется. Мы видели также, что сохранение импульса является следствием гладкости пространства — того, что пространство трансляционно инвариантно при отсутствии сил — и что сохранение момента импульса является следствием изотропности пространства — того, что пространство инвариантно относительно вращений при отсутствии вращающих моментов. Отсутствие кусковатости у пространства и времени является проявлением их симметрии, поэтому мы видим, что эти могущественные законы сохранения вытекает из симметрии. Эмми Нётер (1882-1935), наиболее выдающаяся и авторитетная из когда-либо родившихся на свет женщина-математик, установила результат огромной важности, известный теперь, как теорема Нётер, о том, что там, где существует симметрия, всегда есть соответствующий ей закон сохранения.
Некоторые симметрии скрыты от прямого наблюдения, но все равно имеют соответствующие им следствия. Теперь все, что я попрошу вас делать, это отмечать совпадения и задавать себе вопрос, не являются ли они следствием симметрии. Знаком того, что под поверхностью явлений скрывается симметрия, является точное равенство энергий различных конфигураций частиц: если две конфигурации связаны преобразованием симметрии, то энергия этих двух конфигураций одинакова. Мы столкнулись с особенно подходящим примером в главе 5, когда увидели, что в атоме водорода энергия электрона, который находится на s-орбитали, является точно такой же, как энергия электрона, находящегося на p-орбитали той же оболочки. s-орбиталь является сферической, а p-орбиталь имеет две доли, поэтому, хотя легко увидеть, что p-орбиталь можно повернуть и получить другую p-орбиталь, совсем не очевидно, что p-орбиталь можно повернуть так, чтобы получить s-орбиталь. Я уже упоминал, что потенциальная энергия — энергия, связанная с положением электрона в электрическом поле ядра, так называемая кулоновская потенциальная энергия — является в некотором специальном смысле красивой, и теперь я могу объяснить, что я имею в виду.
Кулоновская потенциальная энергия сферически симметрична. То есть, куда бы мы ни поместили электрон на заданном расстоянии от ядра — на северном или южном полюсе, на экваторе или где-нибудь между ними — его потенциальная энергия будет в точности той же самой. Потенциальная энергия меняется с расстоянием от ядра, но при заданном расстоянии она независима от угла. Эта сферическая симметрия говорит нам, что преобразования симметрии атома включают вращения на любой угол относительно любой оси, в точности как симметрические операции для сферы. Раз это так, три p-орбитали могут быть переведены одна в другую преобразованием симметрии сферы, поэтому их энергии одинаковы. Однако все еще кажется, что мы не можем перевести поворотом s-орбиталь в p-орбиталь.
Вот необычайный факт: кулоновская потенциальная энергия великолепна, в том смысле, что она имеет вращательную симметрию не только в трех измерениях (как мы уже видели), но также и в четырех. Эта более высокая симметрия означает, что в четырех измерениях может существовать вращение, которое превращает трехмерную s-орбиталь в трехмерную p-орбиталь. Если это так и мы можем вращением превращать различные орбитали друг в друга, то они будут иметь одинаковую энергию.
Я понимаю, что, ожидая от вас мышления в четырех измерениях, я перешел бы границы дозволенного (по крайней мере, пока мы не доберемся до главы 9) и сейчас не стану требовать от вас этого. В качестве компенсации я использую простую аналогию. Представьте себе сферу, покоящуюся на плоскости. Плоскость представляет наш трехмерный мир, а сфера представляет четырехмерный мир, только проекция которого нам видна. Предположим, что мы окрасили северную половину сферы в черный цвет, а южную половину в белый. Мы можем провести линию от северного полюса и спроецировать с ее помощью поверхность сферы на плоскость. Эта проекция окрашенной сферы имеет вид круга (рис. 6.7). Затем повернем сферу на 90° в положение, показанное во второй части иллюстрации. Новая проекция делит плоскость на две половины, черную и белую. Другая ориентация сферы показана в третьей части иллюстрации и имеет такую же проекцию, но повернутую на 90°. Мы, плоскомирцы, находим вполне правдоподобным, что вторая и третья проекции связаны вращением, поэтому мы не удивляемся, что эти «p-орбитали» имеют одинаковую энергию. Однако, нас поистине озадачит тот факт, что их можно преобразовать в первую, круглую форму, поэтому мы не можем понять, что «s-орбиталь» имеет такую же энергию, как и две p-орбитали. У наблюдателя из трех измерений нет таких хлопот: этот наблюдатель видит, что все наши картинки из Плоскомирья, как проекции сферы, связаны простым вращением. Точно такие же соображения приложимы к орбиталям атома водорода, и мы видим, что равенство энергий у не связанных с виду орбиталей является следствием их симметрии, спрятанной в четвертом измерении.
Рис. 6.7. Пояснение к тому, как можно, повысив размерность, вращением перевести s- и p-орбитали друг в друга. Орбитали представлены картинками в двумерном пространстве. Если мы допустим, что эти картинки являются проекциями сферы в трехмерном пространстве на двумерное пространство, то мы можем увидеть, что вращение сферы меняет местами двумерные картинки. Кулоновский потенциал имеет четырехмерную симметрию, что допускает возможность вращений подобного типа.
Имеется и другой очень продуктивный способ рассмотрения, который вскоре даст свои плоды. Энергия электрона на s-орбитали не в точности такая же, как у электрона на p-орбитали. Ученые знают почему: между орбитальным движением электрона и его спином имеется очень слабое магнитное взаимодействие, которое немного сдвигает значение энергии. Это пример нарушения симметрии, процесса, при котором, несмотря на то, что в основе лежит преобразование симметрии, другое слабое примесное взаимодействие приводит к тому, что энергии разных состояний отличаются друг от друга. Можно другим способом взглянуть на это нарушение симметрии, вспомнив, что, согласно частной теории относительности Эйнштейна, энергия и масса эквивалентны (E = mc2, глава 9), поэтому мы могли бы выразить разницу энергий электронов на s-орбиталях и p-орбиталях как разницу их масс. Иными словами, разница масс возникает из взаимодействия, нарушающего симметрию. Разность энергий в данном случае очень мала, поэтому разница масс, порожденная нарушением симметрии, мала в высшей степени, всего 1×10−37 г; но, говоря вкратце, хотя эта разница вполне пренебрежима, она расцветет чем-то действительно важным.
Захватывающая красота центрально-симметричной кулоновской потенциальной энергии, которую следует считать самым великолепным видом потенциальной энергии, из тех, что можно вообразить, теряется, как только в атоме появляется второй электрон. Как мы видели в главе 5, энергетические уровни атома водорода служат хорошим первым приближением для энергетических уровней всех других атомов. Тогда, при условии, что мы допускаем изменения энергии, обусловленные электрическим отталкиванием между электронами (приводящим, например, к тому, что электроны на s-орбиталях имеют несколько меньшую энергию, чем электроны на p-орбиталях), структура периодической таблицы возникает автоматически. Однако существует другой, более изощренный, основанный на симметрии способ понимания смысла периодической таблицы.
В первом приближении мы можем выразить структуры атомов всех элементов в терминах заполнения водородоподобных атомных орбиталей. Поскольку энергии орбиталей в каждой оболочке одинаковы, этот подход даст забавный вид периодической таблицы. Так как все s-орбитали и p-орбитали (так же как d-орбитали и f-орбитали) в оболочке имеют одну и ту же энергию, мы утрачиваем структуру таблицы, и оказывается, что нет никаких причин для появления у элементов разных химических индивидуальностей. Если угодно, можно представить себе, что группы таблицы (вертикальные колонки) недифференцированы и сложены в кучу одна поверх другой. Однако, поскольку электроны на самом деле взаимодействуют друг с другом и нарушают четырехмерную симметрию кулоновского потенциала, s- и p-орбитали данной оболочки обладают разными энергиями. Коль скоро мы допустили нарушение симметрии, периодическая таблица кристаллизуется, образуя знакомую нам форму (рис. 6.8). Поэтому химия, выраженная в периодической таблице, является изображением лежащей в ее основе симметрии кулоновской потенциальной энергии, нарушаемой взаимодействиями присутствующих в каждом атоме электронов. С этой точки зрения химия вообще есть описание симметрии и ее нарушений, описание отклонений от совершенной симметрии, наделяющих химические элементы индивидуальностью. Менделеев немного знал о симметрии, ничего не знал о скрытой симметрии и еще меньше о нарушении симметрии. Он, надеюсь, увлекся бы мыслью, что его таблица является описанием следствий нарушения симметрии кулоновской потенциальной энергии.
Рис. 6.8. Это фантастическое изображение структуры периодической таблицы. Если мы сбросим со счета взаимодействие между электронами, то каждый электрон будет подвергаться действию высоко симметричного кулоновского потенциала ядра, и периодическая таблица не будет иметь структуры (периоды, однако, сохранятся): это представлено штабелем групп слева на иллюстрации. Но если мы допускаем нарушение симметрии (то есть принимаем в расчет отталкивание между электронами), группы развертываются в знакомую структуру периодической таблицы.
Но этого мало. Мы видели также в главе 5, что принцип запрета Паули, не позволяющий более чем двум электронам занимать одну орбиталь, предотвращает скопление электронов на орбите, и если два электрона все же заняли одну орбиталь, то их спины должны быть парными (один спин направлен по часовой стрелке, а другой — против часовой стрелки). Этот принцип тоже имеет корни в симметрии, поэтому форма периодической таблицы, тот факт, что атомы имеют объем, и возможность наблюдать, что мы отличны от нашего окружения, все это имеет корни в симметрии. Как мы сейчас увидим, симметрия, лежащая в основе принципа Паули, имеет довольно тонкую природу, но ее нетрудно понять.
Так как, согласно квантовой теории, мы не можем проследить траектории электронов, любой электрон во Вселенной совершенно неотличим от любого другого электрона. Эта неотличимость предполагает, что если бы мы могли поменять местами любые два электрона в атоме, все свойства атома остались бы теми же самыми. Другими словами, электроны демонстрируют перестановочную симметрию.
Здесь мне придется немного обобщить понятие орбитали и предвосхитить один или два аспекта более широкого обсуждения в главе 7; если нижеследующее обсуждение затруднит вас, вернитесь к нему после того, как вы прочтете первую половину этой главы. Мы видели, что орбиталь сообщает нам о вероятности положения электрона в атоме. Орбиталь является частным случаем волновой функции, которая есть решение уравнения Шредингера для любой частицы в окружении любого типа, а не только для электрона в атоме. С этого момента мы будем пользоваться этим более общим термином. Второе, что нам следует знать, это то, что вероятность нахождения частицы в данной точке — которую мы до сих пор представляли плотностью тени — задается квадратом значения ее волновой функции в этой точке. Одним из следствий этой интерпретации является то, что волновая функция и ее негатив с противоположным знаком имеют одинаковый физический смысл (потому что одинаковы их квадраты). Это сохраняет открытой возможность того, что волновая функция может изменить знак при обмене местами двух электронов: мы просто не заметили бы этого. Так оно и есть на самом деле. Паули обнаружил, что он может объяснить определенные детали излучения атомов, лишь если волновая функция атома меняет знак при перестановке любых двух электронов. Мы говорим, что волновая функция должна быть антисимметричной (то есть менять знак) относительно перестановки электронов. Принцип запрета Паули, утверждающий, что на атомной орбитали не может находиться более двух электронов, следует из этого более глубокого утверждения, поэтому структура атомов, его объем и наш собственный объем проистекают из симметрии. Симметрия раздувает.
Теперь мы действительно готовы подтянуть себя на более высокую зарубку абстракции, и я надеюсь, что ваш ум уже подготовлен к этому. Почти все, о чем мы говорили до сих пор, касалось преобразований симметрии, производимых в пространстве. Но для жизни доступно не только пространство. Теперь мы направим наше внимание на внутренние симметрии частиц, симметрии, относящиеся к действиям, которые мы можем произвести с частицами, приколотыми к одной точке пространства, как бабочка в витрине, которую нельзя передвинуть в пространстве, отразить, повернуть или вывернуть наизнанку.
Некоторые из этих симметрии — они потом превратятся в почти симметрии, нарушенные симметрии — довольно легко вообразить. Начнем с двух составляющих ядра, с которыми мы столкнулись в главе 5, протона и нейтрона, которые вкупе называются нуклонами. Эти две частицы подозрительно похожи: они имеют похожую массу (нейтрон чуть-чуть тяжелее, то есть у него чуть-чуть больше энергии) и обе имеют свойство, известное нам как спин. Принципиальной разницей между ними является то, что протон заряжен, а нейтрон нет. Если мы на мгновение забудем о разнице масс, то эти частицы окажутся близнецами. То есть между ними существует симметрия. Физики, изучающие элементарные частицы, думают об этой симметрии в терминах свойства, носящего название изоспин (поскольку его свойства аналогичны свойствам спина). Изоспин «по часовой стрелке» соответствует «включенному» заряду (протон), а изоспин «против часовой стрелки» соответствует «выключенному» заряду (нейтрон). Эти две частицы действительно являются одной: одна (протон) является нуклоном с положительным изоспином, а другая (нейтрон) — нуклоном с отрицательным изоспином. Все что надо сделать, чтобы перевести протон в нейтрон, это перевернуть его изоспин.
В первом приближении свойства нуклона не зависят от направления его изоспина. Однако симметрия между положительным и отрицательным изоспином несовершенна и слабо нарушается другими взаимодействиями, такими как взаимодействие нуклонов с электромагнитным полем. Энергия взаимодействия с электромагнитным полем различна для положительного и отрицательного изоспина. Следовательно, массы двух состояний нуклона немного различны: состояние нуклона с отрицательным изоспином (нейтрон) оказывается несколько более массивным, чем состояние с положительным изоспином (протон).
Идентификация изоспина (Гейзенберг) похожа на открытие триад связанных элементов Доберейнером двумя веками раньше (глава 5). Доберейнер идентифицировал фрагменты полного узора, узор, в свой черед, был идентифицирован Менделеевым и оказался портретом лежащего в основе нарушения симметрии более слабыми взаимодействиями. Не может ли быть, что и все элементарные частицы связаны симметрией, а различия их масс являются следствием нарушения симметрии? Существует ли периодическая таблица элементарных частиц, и лежат ли корни этой таблицы в симметрии и ее частичной потере?
Нам следует отступить немного назад. Менделеев смог составить свою таблицу, потому что он имел доступ к информации о большой части всех элементов. Подобным же образом нам необходимо войти в зоопарк частиц, чтобы увидеть, что там находится. Доберейнер не имел возможности продвинуться дальше своих триад с тем малым количеством данных, которые были у него в руках; мы сможем продвинуться дальше изоспина только после того, как у нас будет достаточно данных, чтобы получить более широкий обзор.
Физики, изучающие элементарные частицы, являются настоящими вандалами. В интересах будущей цивилизации они берут один кусок вещества, с яростью швыряют его в другой и роются в разлетевшихся осколках, возникших из этого столкновения. Как вы можете подозревать, чем больше сила удара, тем более мелкими — и, предположительно, более фундаментальными — будут фрагменты. Ускорители частиц, используемые для того, чтобы столкнуть частицу с частицей, представляют собой реализацию мечты древних греков, поскольку с их помощью мы можем надеяться раздробить материю до конца.
Но с этой проблемой надо быть осторожными. На какие осколки разлетается вещество, зависит от силы столкновения. Возможно, мы никогда не будем уверены, что добрались до конца дробления, так как постройка более крупного ускорителя может позволить раздробить вещество еще больше (в этом деле размер действительно важен, ибо с ним увеличивается и сила). Конечно, когда мы достигнем конца этой главы, мы увидим, что это как раз тот случай, в котором, чтобы проверить наше понимание предельной основы мира, нам необходимо было бы построить ускоритель, который перекрыл бы Вселенную и поглотил бы больше ресурсов, чем способны произвести все существующие экономики.
Держа в уме эту мысль, мы, может быть, стоим на ступени, достигнутой Дальтоном два века назад, когда он сосредоточил достаточно энергии — малой, химической энергии, — чтобы прийти к понятию атомов, и смог построить теорию, основанную на их индивидуальных свойствах, безотносительно к их внутреннему устройству. Как скалолаз на опрокинутом Эвересте, наука бывает рада отдохнуть на различных ровных площадках в своем путешествии вниз, к глубинам, и не торопится попасть слишком глубоко в неизвестное. Атомы были в достаточной мере фундаментальны для викторианцев, наши элементарные частицы мы подобным же образом будем считать фундаментальными для нас в достаточной мере. Иными словами, пока (но не до конца этой главы) мы будем считать, что уже имеющийся у нас зоопарк частиц и есть реальный зоопарк, или, по крайней мере, достаточно фундаментальный зоопарк, в котором мы встречаем животных, пойманных нашими охотниками-вандалами с тех пор, как впервые в 1897 г. был разорван на части атом, и в 1919 г. не устояло перед атакой ядро.
Когда мы думаем о частицах, мы думаем о составляющих их частях и о силах, удерживающих эти части вместе, об их клее. Ученые обнаружили одну силу, ответственную за все такие взаимодействия. Хотя это преувеличение. Выражаясь более точно, они верят, что существует только одна сила, действующая во Вселенной, очень экономная, но проявляющая себя пятью различными способами. Три проявления — электрическая, магнитная и гравитационная силы — знакомы нам по повседневной жизни. Два других проявления — слабое и сильное взаимодействия — совершенно не знакомы.
Одним из величайших достижений науки девятнадцатого века была демонстрация того, что электрические и магнитные силы лучше всего представлять себе как две стороны одной электромагнитной силы, которую провел шотландский ученый Джеймс Клерк Максвелл (1831-79)[23] в своей Динамической теории электрического поля (1864). Максвелл основывал свою теоретическую работу на результатах, которые экспериментально получил блистательный, но не умевший выражаться математически ясно Майкл Фарадей (1791-1867), ранее введший в физику понятие поля как области действия силы. Вообще говоря, электрическая сила действует между всеми заряженными частицами, а магнитная сила действует между заряженными частицами в движении, такими, как поток электронов в соседних витках проволоки. Одним из важнейших плодов этой унификации двух ранее отдельных сил было то, что Максвелл пролил свет на загадочную до тех пор природу света и продемонстрировал, что свет является электромагнитным излучением, электромагнитным полем в полете. Такое понимание было подтверждено в 1888 г., когда Генрих Герц (1857-94) создал и зарегистрировал радиоволны: результатом этого явилась история современной связи. Вторым интеллектуальным плодом была теория относительности, которая появилась, когда уравнения Максвелла предстали перед проницательным взглядом Эйнштейна (глава 9).
Третий плод упал с того же дерева в начале двадцатого века, когда в 1905 г. появилось развитое Эйнштейном понятие фотона (см. главу 7), пакета электромагнитной энергии, название которому дал в 1916 г. американский химик Г.Н. Льюис. Фотон был первой из открытых частиц-переносчиков взаимодействия, частиц, которые переносят силу между излучающей и реагирующей частицами, такими, как два электрона или электрон и ядро. Фотон является частицей-переносчиком взаимодействия для электромагнитного поля, передавая силу от частицы к частице и путешествуя со скоростью света.
На этой стадии нам необходимо отметить два свойства фотонов, которые пригодятся нам позднее. Фотон не имеет массы и, как и электрон, обладает спином, который не может быть уничтожен. По техническим причинам, связанным с квантово-механическим описанием спина, электрону приписывается спин, равный одной второй от единицы момента импульса. По тем же причинам фотону приписывается единичный спин. Частицы с полуцелым спином (включающие в себя, кроме электронов, протоны и нейтроны) называются фермионами в честь итальянского физика Энрико Ферми (1901-54), который открыл способ описания их ансамбля, а также возглавлял во время войны проект по созданию первого ядерного реактора в рамках проекта Манхэттен. Частицы с целым спином называются бозонами в честь индийского физика Сатьендранатха Бозе (1894-1974), который изучал статистические свойства систем, состоящих из большого числа таких частиц, как, например, контейнеры, наполненные светом, или солнечные лучи. Оказывается, что все фундаментальные частицы вещества являются фермионами, в то время как все частицы-переносчики взаимодействия являются бозонами. Поэтому описание материи, как ансамбля фермионов, удерживаемых вместе бозонами, является очень глубоким.
Любой задумчиво созерцающий звезды влюбленный мог бы сказать вам, что фотоны не имеют массы, ибо то, что мы можем видеть звезды, является прямым следствием этой безмассовости. Цепочка аргументов, доказывающих это, примерно следующая. Во-первых, мы видели в конце главы 3, что частицы, живущие очень короткое время, обладают большой неопределенностью энергии. Далее, для того чтобы частицы-переносчики взаимодействия с данной массой могли появиться, они должны позаимствовать энергию, пропорциональную их массе (согласно E = mc2): тяжелые частицы соответствуют присутствию большой энергии. Частицы могут появиться, минуя полицию, следящую за выполнением закона сохранения энергии, только если они живут столь короткое время, что кража при любой ревизии энергии будет сокрыта под неопределенностью. Следовательно, тяжелые частицы могут появиться, не будучи задержаны полицией сохранения энергии, только если они живут очень короткое время (вы имеете возможность смыться с прихваченным миллиардом — долларов в течение пикосекунды). И, наконец, третье звено в цепочке аргументов. За время своего существования частица-переносчик взаимодействия летит с высокой скоростью, и расстояние, которое она может пролететь, пропорционально времени, отведенному ей для жизни. Тяжелая частица-переносчик взаимодействия со своим коротким временем жизни, не может путешествовать далеко. С другой стороны, для того чтобы частица-переносчик взаимодействия улетела бесконечно далеко, она должна жить вечно, что может произойти без ареста со стороны полиции сохранения энергии, только если в начале полета ничего не было похищено. То есть она не должна иметь массы. Следовательно, для того чтобы электромагнетизм имел бесконечный радиус действия, фотон должен быть безмассовым. Если бы фотон имел массу, электромагнитное излучение было бы неспособно преодолевать большие расстояния, и мы не могли бы видеть звезд; наш влюбленный не созерцал бы звезды. Если бы фотон в самом деле был тяжелым, атомы распались бы, потому что притяжение ядер не смогло бы распространиться достаточно далеко для того, чтобы захватить электроны.
Третьей знакомой силой является гравитация. Гравитация действует между частицами, но она гораздо слабее, чем электромагнитное взаимодействие. Например, гравитационное взаимодействие между двумя электронами в 1042 раза слабее, чем их электромагнитное взаимодействие. Там, где гравитационная сила могла бы сдвинуть блоху весом один миллиграмм, электромагнитная сила сдвинула бы миллион Солнц. То, что мы не затоплены электромагнетизмом и можем ощущать гравитацию, является следствием того факта, что Вселенная состоит из равного числа положительно и отрицательно заряженных частиц, так что притяжение и отталкивание аннулируются в космическом масштабе. А вот гравитация имеет только один знак: существует лишь гравитационное притяжение, нет никакого отталкивания, поэтому нет и аннулирования. Все частицы Вселенной действуют хотя и слабо, но сообща, и мы испытываем силу их совместного притяжения. Локально первостепенными являются электромагнитные силы: ваша форма определяется в большой мере электромагнитными силами, и тот факт, что вы не растекаетесь по земле в виде бесформенной лужи, обязан своим существованием подавляющему преобладанию электромагнетизма над гравитацией.
Существует идея, что у гравитации тоже есть частица-переносчик взаимодействия. По крайней мере, она имеет название — гравитон, — но пока не обнаружена, поскольку очень слабо взаимодействует с веществом. Гравитон — это безмассовый бозон, как и фотон, но вращается в два раза быстрее. То, что гравитация распространяется на почти бесконечное расстояние, является признаком того, что гравитон не имеет массы. Любой опытный моряк мог бы сказать вам, что гравитон имеет спин 2, поскольку существует цепочка тонких аргументов, связывающая эту двойную скорость вращения с тем фактом, что в наших океанах приливы случаются дважды в день.
Теперь мы подходим к двум незнакомым силам, сильному взаимодействию и слабому взаимодействию. Хотя они и незнакомы, но думающая личность могла бы сделать вывод о существовании сильного взаимодействия. Аргументы таковы. Ядра состоят из протонов и нейтронов, сложенных в месте в очень малом объеме. Электромагнитная сила отталкивает протоны друг от друга (поскольку они имеют одинаковый заряд, а одинаковые заряды отталкиваются), поэтому у ядра имеется сильная тенденция к распаду. (Некоторые из ядер радиоактивных элементов, таких как радий, именно так и поступают, и именно по этой причине.) Что удерживает протоны в ядре? Более того, почему незаряженные нейтроны просто не выпадают?
Что их удерживает? На нейтроны не действует никакая электрическая сила, поэтому они должны притягиваться чем-то еще. Коротко говоря, раз большинство ядер не распадается, и раз большинство из них удерживает свои нейтроны, должна существовать сила, превосходящая электромагнитную силу, которая действует между протонами, между нейтронами и между протонами и нейтронами. Кроме того, поскольку все вещество во Вселенной не свернулось в одно огромное ядро, это притягивающее сильное взаимодействие должно иметь очень короткий радиус действия, не превосходящий примерно диаметра ядра.
Здесь я должен сделать предупреждающее замечание. Нейтроны и протоны являются составными частицами, сложенными из кварков (см. ниже). То, что мы рассматриваем в действительности, является не чистым взаимодействием между нуклонами — общим результатом притяжения между одними компонентами и отталкивания между другими, — а более детализированным взаимодействием между их индивидуальными составляющими. А в этом может заключаться огромная разница. Например, вы и я, даже в тесных объятьях, имеем фактически нулевую электромагнитную силу, действующую между нами, несмотря на то, что ядра наших атомов сильно отталкиваются друг от друга, и наши электроны тоже друг от друга сильно отталкиваются: эти сильные отталкивания аннулируются сильными притяжениями между вашими и моими электронами и ядрами (рис. 6.9). Поэтому, если мы думаем о нас с вами, как о двух композициях частиц, то факт, что наше результирующее электромагнитное взаимодействие равно нулю, аннулирует тот факт, что наши компоненты имеют очень сильное дальнодействующее взаимодействие.
Рис. 6.9. Здесь показан необычайно тонкий баланс между двумя электрически нейтральными телами, состоящими из электронов (серый фон) и ядер (черные точки). Сила отталкивания между электронами в двух таких шарах с водой (представляющих человеческие тела в тесных объятиях) составляет триллионы и триллионы ньютонов (Н, единица силы; один ньютон приблизительно равен силе тяготения, действующей на стограммовое яблоко на дереве). Отталкивающая сила между ядрами имеет такое же значение. Однако притяжение между электронами одного тела и атомами другого также составляет триллионы и триллионы ньютонов, и по счастливой случайности отталкивание и притяжение в точности компенсируют друг друга. Это означает, что между нами в результате нет ни притяжения, ни отталкивания.
Подобным же образом конечное взаимодействие между ядрами, которые являются составными частицами, может быть совершенно отличным от силы, действующей между составляющими их кварками. Это и в самом деле так. Остаточная сила, действующая между нуклонами, имеет очень короткий радиус действия, диаметр ядра. Однако силы, действующие между индивидуальными кварками, действительно «сильные», имеют бесконечный радиус действия, а их частицы-переносчики взаимодействия являются безмассовыми бозонами и называются глюонами. В отличие от знакомых сил, сильное взаимодействие становится сильнее с возрастанием расстояния между кварками. Позднее мы более подробно исследуем глюоны и «сильные заряды» этого вывернутого наизнанку мира.
Я не ожидаю от вас догадок о существовании слабого взаимодействия или каких-либо его свойств. Слабые силы были предложены, чтобы объяснить определенные виды радиоактивного распада. Хотя об этом лучше всего думать на языке кварков, конечное действие этой силы можно вообразить как влияние, которое медленно дергает нейтрон и, вырывая из него электрон, превращает в протон. Электрон выскакивает из ядра и порождает форму радиоактивности, известную как β-распад (бета-распад). Слабая сила имеет очень короткий радиус действия, меньший, чем диаметр ядра. Она передается частицами, которые называются W и Z векторными бозонами с массами около восемнадцати и девятнадцати масс протона соответственно.
В целом частицы-переносчики взаимодействия называют калибровочными частицами. Происхождение этого странного и сухого названия вскоре станет ясным. А пока достаточно будет сказать, что фотон, гравитон, векторные бозоны и глюоны являются калибровочными частицами, и это первый из получаемых нами намеков на то, что фундаментальные силы имеют общий источник. И в самом деле, начатая Максвеллом унификация сил дошла до объединения электромагнитного и слабого «взаимодействий в единую силу, называемую электрослабым взаимодействием. Эта унификация является проявлением симметрии, и мы еще вернемся к ней, когда познакомимся с зоопарком частиц более подробно.
Зоопарк делится на два больших парка. В одном парке бродят «адроны», в другом «лептоны». Адроны являются частицами, которые участвуют в сильном взаимодействии. В парке адронов мы рассмотрим только сами кварки, поскольку все причудливые творения, гуляющие там (протоны, нейтроны и много других занятных диковин), строятся из этих кварков посредством законов, основанных на специальном виде симметрии. Возможно, вы слыхали в этой связи о восьмеричном пути[24] (рис. 6.10). Восьмеричный путь представляет собой род периодической таблицы адронов, в которой они классифицируются на основе специальной группы преобразований симметрии. Протон и нейтрон принадлежат одному семейству, и мы можем рассматривать их родство через изоспин как аналог триады (в данном случае диаду) Доберейнера для частиц, фрагмент узора общей классификации. Лептонами являются все остальные частицы: они являются частицами, не участвующим в сильном взаимодействии.
Рис. 6.10. Восьмеричный путь — это способ классификации и соотнесения элементарных частиц, довольно похожий на периодическую таблицу химических элементов. Здесь мы видим график для восьми частиц (только протон p и нейтрон n, видимо, нам знакомы, но они являются экзотическими единоутробными братьями), где по одной оси отложен изоспин (обсуждавшийся в тексте), а по другой оси — еще один вид внутренней симметрии, называемый гиперзарядом. Этим «путем» восемь частиц оказываются связанными. Более изощренные схемы улавливают и другие частицы.
Довольно любопытен и требует объяснения факт, что существуют три семейства адронов и три семейства лептонов (рис. 6.11). Как это случается и с типичными семействами в реальной жизни, три семейства частиц состоят из двух групп частиц, которые образуют два поколения.
Давайте сначала посмотрим на лептоны. Одно семейство содержит электрон и электронное нейтрино, другое — мюон и его нейтрино, а третье — тау-частицу (тау-лептон) и ее нейтрино. Нейтрино имеет очень маленькую массу — много меньшую, чем масса электрона, — а возможно, даже равную нулю; пока никто точно не знает. Нейтрино не имеют заряда, обладают очень малой массой, но спин у них равен одной второй. Чтобы эти три типа нейтрино различались, у них должно быть и другое свойство; за неимением лучшего слова его назвали ароматом. Поэтому нейтрино являются почти безмассовыми, спиновыми и ароматными. Мюон похож на умеренно утяжеленный электрон, с таким же зарядом и спином, но в 204 раза тяжелее, настолько тяжелее электрона, насколько шар для боулинга тяжелее шарика для пинг-понга. Тау-лептон намного более тяжел и имеет вес около 3500 электронов, настолько тяжелее электрона, насколько большая собака тяжелее шарика для пинг-понга.
Существуют также античастицы этих частиц. Античастицы — частицы антивещества — представляют особый интерес для писателей-фантастов из-за экзотического звучания их наименования. Они не экзотичны: оно просто довольно редки. Античастицы имеют все свойства соответствующих частиц, но противоположный знак заряда. Например, античастицей электрона является положительно заряженный позитрон с такой же массой и спином, как у электрона. Один из вопросов, которые мы должны будем рассмотреть: почему вокруг нас так мало антивещества, почему во Вселенной существует асимметрия между веществом и антивеществом?
Первое семейство Второе семейство Третье семейство Частица Масса Частица Масса Частица Масса Лептоны Электрон 0,00054 Мюон 0,11 Тау 1,9 Электронное нейтрино <10-8 Мюонное нейтрино <0,0003 Тау-нейтрино <0,033 Адроны u-кварк 0,0047 с-кварк 1,6 t-кварк 189,0 d-кварк 0,0074 s-кварк 0,16 b-кварк 5,2Рис. 6.11. Таблица трех семейств элементарных частиц, показывающая два поколения лептонов и адронов (кварков) в каждом случае. Массы измеряются в единицах массы протона.
Как мы видим на иллюстрации (рис. 6.11), шесть кварков, которые составляют адроны, также распадаются на три семейства с двумя поколениями в каждом. Как и для лептонов, мы можем различать семейства по их массам. Кварковыми двойниками электрона и его нейтрино являются верхний кварк (u-кварк, от англ. up) и нижний кварк (d-кварк, от англ. down), весящие в 8,7 и 13,7 раза больше электрона соответственно. Кварковыми двойниками мюона и его нейтрино являются очарованный кварк (c-кварк, от англ. charm) и странный кварк (s-кварк, от англ. strange), весящие 3000 и 300 масс электрона соответственно. Двойниками тау-лептона и его нейтрино являются истинный кварк (t-кварк, от англ. truth) (был обнаружен последним из всех, в 1995) и красивый кварк (b-кварк, от англ. beauty), весящие как слоны, 350 тысяч и 10 тысяч масс электрона соответственно. Об этих различных вариациях кварков — верхний, нижний, странный и так далее — говорят, так же как о различных нейтрино, как об имеющих различные ароматы. Большая часть знакомого нам вещества (в частности, протоны и нейтроны в ядрах и электроны в атомах) сделаны из лептонов и кварков первого семейства (электрон, его нейтрино, — u- и d-кварки), а другие семейства вносят вклад только в более экзотические формы вещества. Откровенно говоря, существование второго и третьего семейств кажется излишним, но, без сомнения, для этого имеется причина, поскольку причина имеется для всего. Не лежит ли причина в симметрии? Мы увидим, что ответ, возможно, является утвердительным, если понятие симметрии соответствующим образом расширить.
Ни один из кварков никогда не наблюдался отдельно. Это подводит меня к необходимости сделать одно замечание, чтобы подготовить ваш ум к оценке еще одной подвижки научной парадигмы, которая произойдет к концу этой главы. Греки по большей части терпели неудачи как ученые, поскольку они избегали экспериментирования или не пользовались им: у них была только теория, не контролируемая и не поддерживаемая опытом. Тот факт, что кварки не были непосредственно зарегистрированы, а в их существование верят, поскольку этого требует успешная на сегодняшний день теория, и их существование подтверждается огромным количеством косвенных экспериментов, является, возможно, опасным шагом назад к грекам и, без сомнения, угнетает позитивистов. В этом месте теория построена довольно умно, и нисколько не оказывается подорванной, потому что она сама и предсказывает, что изолированные кварки не могут быть обнаружены, ибо, как было упомянуто, сильное взаимодействие между кварками возрастает с ростом расстояния между ними, так что они никогда не могут покинуть образованные ими комбинации. Поэтому то, что они не обнаружены, является частью доказательства их существования! Так поверить ли нам в кварки или отвергнуть их, как когда-то были отвергнуты атомы, сочтенные лишь вычислительными символами? Они объясняют так много, включая и экспериментальные следствия их существования, что мы, вероятно, поверим. Если вас удовлетворяет такой вид веры, такой вид реальности, то вы сочтете возможным принять и то, что последует дальше.
Вот и все, что относится к делу: три семейства фермионов с похожими свойствами, за исключением их спинов и различия их способностей вступать в различные взаимодействия, особенно в сильные взаимодействия. Все существующее, насколько мы знаем, построено из этих компонент, связанных вместе, как они есть, четырьмя типами калибровочных бозонов. Мир в сущности необычайно прост.
А вот наше описание мира недостаточно просто. Пусть и очень маленькое, но это число частиц — четыре фермиона (если мы сосредоточимся на первом семействе) и несколько калибровочных бозонов — все еще является огромным, если мы ищем истинную простоту. Мы уже отмечали, что W- и Z-бозоны в слабом взаимодействии и фотоны в электромагнитном взаимодействии являются различными ликами частиц-переносчиков электрослабого взаимодействия. А не может ли быть, что все фермионы есть различные лики одной и той же сущности, и все бозоны тоже? Не может ли быть, в конце концов, что фермионы и удерживающие их вместе бозоны в действительности являются различными ликами единственной сущности? Вот это было бы тем самым, тем, что приближает нас к истинной простоте.
Похоже, что дело именно так и обстоит. Однако, чтобы понять, что это означает, нам придется вернуться к теме этой главы, симметрии, и увидеть, как симметрия создает возможности для углубленного понимания того, что кажется нам предельным. Чтобы наглядно вообразить, как симметрия может связывать не связанные с виду вещи, вы можете представить себе куб. Если смотреть сверху, он выглядит квадратом. Если смотреть со стороны угла (и закрыть один глаз), он выглядит как шестиугольник (рис. 6.12). Вращение куба превращает квадрат в шестиугольник. Это очень странное превращение для двумерного наблюдателя, но оно является самой простотой для нас, имеющих доступ к третьему измерению. Полезно держать в голове этот образ, когда мы говорим о преобразованиях симметрии, которые связывают не связанные с виду вещи.
Рис. 6.12. Держите в уме эту аналогию, читая оставшуюся часть главы: она показывает две, с виду не связанные, двумерные формы (квадрат и шестиугольник), которые можно рассматривать как разные виды одного объекта более высокой размерности, куба.
Природа имеет замечательное свойство, называемое калибровочной симметрией. Это унылое, беспомощное и нелепое наименование сложилось исторически еще до того, как физики, изучающие частицы, воодушевленные свингующими 60-ми, стали пользоваться такими названиями, как странность или очарование, и задолго до того, как они снова стали здравомыслящими, когда волосы стали короче, а хиппи вышли из моды, когда радужность их языка поблекла, и они снова докатились до названий типа «промежуточные векторные бозоны». Калибровочная симметрия — это одна из абстрактных, внутренних симметрии, о которых я вас уже предупреждал. Однако, если ее разумно интерпретировать, она становится очень могущественной, поскольку является симметрией, обнаруживающей происхождение силы.
Чтобы понять калибровочную симметрию, нам необходимо вернуться к уравнению Шредингера для электрона и к его решению, волновой функции. Волновая функция имеет одно свойство, фазу, которое может быть изменено без всякого видимого физического результата. Эта симметрия возникает из свойства, отмеченного нами ранее: только квадрат величины волновой функции в любой точке имеет физическую значимость, поэтому мы можем видоизменять саму волновую функцию, если ее квадрат остается тем же самым. Будет удобно проиллюстрировать изменение фазы волновой функции свободной частицы вращением волны вокруг направления ее движения (рис. 6.13). Изменение фазы таким образом является примером калибровочного преобразования. Это одно из преобразований внутренней симметрии, о которой я уже упоминал, поскольку, если бы вы закрыли глаза, пока я деловито подкручиваю фазу, вы не смогли бы узнать с помощью физических измерений (которые зависят от квадрата волновой функции, а не от самой волновой функции), делал я что-нибудь или нет. Если мы всюду изменим фазу волновой функции на постоянную величину, то уравнение Шредингера не должно измениться, поскольку все волны со сдвинутыми фазами также являются его решениями. Другими словами, калибровочное преобразование на постоянную величину является симметрией уравнения Шредингера. Эта группа преобразований симметрии — изменение фазы на любую величину между 0° и 360° — называется U(1), где 1 означает, что меняется только одно свойство. Термин «группа симметрии U(1)» является просто экстравагантным способом ссылки на нашу возможность изменять на любую величину лишь один параметр, фазу волны, и не означает ничего более умного.
Рис. 6.13. Представление калибровочных преобразований. Верхняя диаграмма показывает волновую функцию свободной частицы. Нижняя диаграмма показывает, как изменяется волновая функция, когда ее фаза меняется всюду на одну и ту же величину. Чтобы показать изменение фазы, мы использовали условное вращение волны вокруг направления ее движения. Амплитуда волновой функции не меняется от этого преобразования, поэтому волновая функция несет ту же самую информацию о положении частицы. Калибровочное преобразование представляет собой поэтому симметрию системы.
Вообще говоря, калибровочное преобразование может принимать разные значения в разных точках пространства; другими словами, мы можем изменять фазу волновой функции на различные в каждой точке величины (рис. 6.14). Предположим, мы так и делаем и по-прежнему требуем чтобы уравнение Шредингера оставалось неизменным; то есть мы требуем от этого уравнения калибровочной инвариантности относительно всех операций группы U(1), допускающих различные сдвиги фазы в каждой точке пространства. Теперь возникает нечто замечательное. Чтобы гарантировать калибровочную инвариантность в этом более общем случае, мы должны ввести в уравнение еще один член. Этот член эквивалентен наличию электромагнитной силы, действующей на электрон. Другими словами, требование калибровочной инвариантности влечет существование электромагнитной силы. И смыслом этого является то, что требование симметрии требует и существования силы. Симметрия управляет.
Рис. 6.14. На этой диаграмме мы попытались передать более общее калибровочное преобразование, в котором фаза меняется по-разному в каждой точке, так что угол отклонения от вертикали различен в каждой точке (как показано в круге). Мы упростили представление, предположив, что внутри каждой полуволны угол поворота одинаков: в реальности изменения были бы непрерывными. Инвариантность относительно этого вида калибровочного преобразования влечет существование силы.
Мы видели, что калибровочная инвариантность уравнения Шредингера относительно группы преобразований симметрии, которую мы назвали U(1) — группы, имеющей дело с фазой, — влечет существование электромагнитной силы. На ум, естественно, приходит вопрос: а не являются ли другие силы также следствием калибровочной инвариантности? То есть не существует ли более сложный способ совершать преобразования волновых функций частиц, требующий, для того чтобы уравнения оставались неизменными, присутствия в них дополнительных членов, которые мы могли бы интерпретировать как другие виды сил? Успех этой попытки показал бы, что все силы имеют общий источник.
Стивен Вайнберг (р. 1933), Абдус Салам (1926-96) и Шелдон Глэшоу (р. 1932) пришли к этому синтезу электромагнитной и слабой сил в 1973 г., и их работа привела к формулированию принятой сегодня стандартной модели объединенных сил. Группу преобразований симметрии они определили как комбинацию группы U(1), дающей электромагнитную силу, и другого, более сложного множества преобразований, называемого SU(2), которое объясняет слабое взаимодействие. Тот факт, что полная группа симметрии является комбинацией U(1) и SU(2), обозначаемой как U(1)×SU(2), говорит нам, что эти два типа сил имеют общее происхождение. Это два лика электрослабого взаимодействия. Вспомните аналогию с кубом: электрослабое взаимодействие подобно кубу, электромагнитная сила подобна квадрату, видимому при одной ориентации куба, а слабая сила подобна шестиугольнику, который виден, когда куб поворачивается под другим углом.
Когда электрослабое взаимодействие квантуется, из той части теории, которая представлена U(1), получаются фотоны. Часть SU(2) порождает три частицы, «промежуточные векторные бозоны» этой теории, состоящие из двух W-частиц (с двумя противоположными зарядами) и одной электрически нейтральной Z-частицы. Все четыре частицы имеют спин 1 и являются примерами калибровочных бозонов. Фотон был фактически открыт в 1905 г., когда Эйнштейн пролил свет на фотоэлектрический эффект (глава 7), a W- и Z-частицы были обнаружены в 1983 г. в экспериментах на ускорителе в CERN.[25]
Калибровочная симметрия, обсуждаемая нами, не может быть полной, поскольку W- и Z-частицы имеют массу — много массы, так как они соответственно в восемьдесят и девяносто раз тяжелее протона, — в то время как фотон массы не имеет. В нашем обсуждении симметрии изоспина нуклонов и скрытой симметрии периодической таблицы разница в массах должна была появляться из-за взаимодействия, которое нарушает исходную симметрию частиц. Это нарушение симметрии приписывается взаимодействию W- и Z-частиц посредством еще одного поля, называемого полем Хиггса, так же как разница масс протона и нейтрона приписывается их взаимодействию с электромагнитным полем. Хиггсовский механизм приобретения массы получил свое название в честь предложившего его Питера Хиггса (р. 1929); подобный же механизм независимо предложили в 1964 г. Роберт Браут и Франсуа Энглер из брюссельского университета. Поля, разумеется, квантуются, поэтому взаимодействие с электромагнитным полем в действительности означает взаимодействие с частицами квантованного поля, фотонами. Мы можем представлять себе, что фотоны конденсируются на протонах в большей степени, чем на нейтронах, понижая их энергию и, следовательно, их массу. Примерно то же самое происходит с частицами, погруженными в поле Хиггса, называемыми частицами Хиггса, которые в разной степени конденсируются на переносчиках электрослабого взаимодействия. В результате этого W- и Z-частицы приобретают массы, а фотон нет.
Состоятельность такого объяснения нарушения симметрии и приобретения массы зависит от существования частиц Хиггса. До сих пор их никто не видел. Существует два возможных объяснения этого. Одно из них заключается в том, что частиц Хиггса не существует. Это объяснение физикам, исследующим частицы, было бы очень трудно перенести, поскольку соображения симметрии, влекущие существование электромагнитного и слабого взаимодействий и их объединение, неотразимы. А если эти соображения верны, то должен существовать механизм нарушения симметрии, наделяющий некоторые калибровочные бозоны массой. Поэтому нечто вроде хиггсовского механизма действительно должно существовать, иначе рушится весь подход. Вероятно, оно и существует. Другое объяснение состоит в том, что частицы Хиггса могут иметь такую большую массу, что ни один ускоритель пока не может дать достаточную для их обнаружения энергию. Мир физики частиц в настоящее время ожидает реконструкции двух ускорителей, одного в CERN, другого в Лаборатории Ферми к западу от Чикаго, которые после этого будут обладать энергией, достаточной для более интенсивного поиска частиц Хиггса. И тогда либо они будут найдены, либо физикам элементарных частиц придется пересматривать одну из своих наиболее нежно любимых моделей. Надеюсь, вы сможете оценить всю важность этих поисков, поскольку от них зависит наше доверие к современному состоянию науки о веществе.
Сильное взаимодействие тоже оказывается формой проявления калибровочной симметрии. Для этого случая надо отметить, что кварки обладают, наряду с ароматом, специальным видом заряда, наделяющего их способностью взаимодействия друг с другом путем обмена глюонами. Каждый кварк может иметь только один из трех типов этих «сильных зарядов», и физики пришли к приятному соглашению называть эти заряды цветом. Этот цвет не имеет абсолютно ничего общего с настоящим цветом: это просто утонченный способ ссылки на сильный заряд. Итак, цветовой заряд кварка может быть красным, зеленым или синим. Все известные комбинации кварков (триплеты, из которых получаются протоны и нейтроны, и сочетания «кварк-антикварк», создающие глюоны) являются «белыми»: они являются смесями цветовых зарядов, которые в итоге дают белизну, не проявляющую никакого остаточного цветового заряда, так же как настоящий белый цвет является смесью настоящих красного, зеленого и синего.
Теперь мы подходим к новому варианту калибровочной симметрии. Если мы симметрично меняем цвета кварков, варьируя окраску от места к месту, то мы получаем нечто эквивалентное изменению фазы волновой функции. В этом случае три величины, три цвета, дают более сложную картину, чем одна фаза. Вместо простой группы U(1) для электромагнитного взаимодействия и несколько более сложной группы SU(2) для несколько более сложного слабого взаимодействия, нам придется рассмотреть существенно более сложную группу преобразований симметрии, под названием SU(3). Однако, так же как это было для других сил, оказывается, что, для того чтобы уравнения оставались инвариантными относительно этого более сложного калибровочного преобразования, в эти уравнения необходимо включить член, представляющий силу. Этот дополнительный член имеет в точности свойства сильного взаимодействия. Более того, если мы проквантуем это взаимодействие, калибровочные бозоны, существование которых следует из уравнений, являются безмассовыми частицами со спином 1, ответственными за силы, действующие между цветными кварками, то есть глюонами! И снова мы видим, как соблюдение симметрии в природе — на этот раз довольно сложной, скрытой симметрии — влечет существование члена уравнения, который мы опознаем как силу.
Теперь нам придется вступить в мутное интеллектуальное болото, где, пробираясь сквозь топи абстракций, мы надеемся набрести на объединение сильного и электрослабого взаимодействий, и соответственно на объединение лептонов и адронов в единый зоопарк. И снова нашим гидом, видимо, должна быть симметрия. Мы можем подозревать, что хорошо усовершенствованная группа преобразований симметрии приведет нас к успешной демонстрации того, что сильное взаимодействие и электрослабое взаимодействие есть просто две различные стороны одной силы. Если вам нужна конкретная аналогия, отличная от вращающегося куба, демонстрирующего то квадратную, то шестиугольную форму, представьте себе более сложный многогранник, показывающий с одних точек зрения квадраты и шестиугольники, а с других восьмиугольники: все эти формы являются проявлениями одного объекта.
Теория этого объединения носит название ТВО, теории великого объединения. В тот момент, когда люди убедились в том, что они обнаружили более богатую группу симметрии, возникло несколько различных предложений. Эксперименты помогают осуществлять и оценивать выбор. Например, поскольку кварки и лептоны согнали из своих отдельных парков в единое стадо в общий район зоопарка, существует возможность, что кварк превратится в электрон, а протон поэтому распадется. Простейший выбор более крупной группы, называемой SU(5) и представляющей собой сочетание групп SU(3), SU(2) и U(1) для сильного, слабого и электромагнитного взаимодействия, соответственно предполагает, что время жизни протона имеет порядок 1027-1031 лет. Эксперименты, однако, показывают, что это время жизни не меньше чем 1032 лет. Это расхождение показывает, что простейший выбор более богатой группы неприемлем, и в настоящее время изучаются более сложные симметрии. Если эта программа приведет к успеху (а ученые, будучи оптимистами в отношении того, чем они занимаются, имеют мало сомнений на этот счет), то конечное время жизни протона будет иметь фундаментальные последствия для долговременного будущего Вселенной, как мы увидим в главе 8.
Наш фермионный зоопарк состоит из лептонов и адронов, которые, как теперь ясно, пасутся вместе. Имеется также зоопарк бозонов, населенный частицами-передатчиками сил, которые соединяют вместе фермионы, создавая протоны и людей, и в конечном счете дают возможность совокупностям фермионов высказывать свое мнение. Эти силы являются проявлениями единой силы. А не может ли быть, что существует даже более крупная, более сложная группа преобразований симметрии в абстрактном внутреннем пространстве некоторого вида — и еще более крупный, более сложный многогранник, — которая поворачивает некую целостность так, что одна ее сторона оказывается фермионом, а другая оказывается бозоном? Существует некоторое экспериментальное предположение, что такая группа суперсимметрии действительно существует, что каждая частица — электрон, мезон, нейтрино, кварк, калибровочный бозон, фотон — различные лики одной целостности. Конечно, тогда должно существовать и много нарушений симметрии, поскольку частицы имеют сильно различающиеся массы, но у периодической таблицы есть те же проблемы, и мы знаем, как можно обращаться с приобретением различных масс и позволить частицам Хиггса в различной степени склеиваться с безмассовыми частицами. Если суперсимметрия преуспеет в том, чтобы показать эквивалентность фермионов и бозонов, то силы и частицы станут внутренне неразличимыми, и все станет одной-единственной вещью. Симметрия экономна, а суперсимметрия суперэкономна. Однако в науке вера только гид, но не критерий.
Когда исследуют эту идею, появляется много признаков ее работоспособности. Однако эта теория предсказывает также существование партнеров для известных частиц. Эти суперсимметричные партнеры, включающие сэлектроны, скварки, снейтроны, фотино, W-ино, Z-ино и глюино, отличаются от их общеизвестных партнеров на половину спина. Так, сэлектрон, например, имеет нулевой спин, а фотино имеет спин 1/2. Проблема лишь в том, где они? Можно повторить обычные ответы: либо они не существуют (потому что Вселенная не суперсимметрична), либо они столь тяжелые, что ни один ускоритель не способен произвести их. Ответа не знает никто, но если вы имеете вкус к красоте, вы, вероятно, склонны поверить, что Вселенная прекрасна настолько, насколько это возможно, и поэтому суперсимметрична.
Имеется несколько еще не разрешенных вопросов, на которые нам следует бросить взгляд. В процессе чтения вы уже могли их заметить. Один из них; почему вещество преобладает над антивеществом? Другой: почему имеется три семейства фермионов? Третий: почему существует так много фундаментальных частиц? И четвертый: почему гравитация кажется такой ускользающей силой в нашем путешествии к объединению всех сил? Лежат ли ответы на все эти вопросы в симметрии Вселенной? Является ли Вселенная гораздо более прекрасной, чем мы сегодня подозреваем? Является ли она бесконечно прекрасной и абсолютно симметричной?
Да, она может быть суперсимметричной, но она определенно не является абсолютно симметричной, иначе доли вещества и антивещества в ней были бы равными. Имеются и другие указания на ее кособокость. Существует несколько очевидных, макроскопических отклонений от симметрии. Например, большинство людей являются правшами. Никто, на самом деле, не знает, почему это так: возможно, это как-то связано с небольшим смещением сердца вправо[26], но не похоже, что решение данной проблемы может предложить какое-то глубокое проникновение в природу Вселенной. Немного глубже в нашей структуре расположены аминокислоты, которые, будучи сплетены вместе в витки и полоски, образуют крайне важные белки, управляющие процессами жизни (Глава 2). Молекулы аминокислот встречаются в двух формах, одна из которых является зеркальным отражением другой. И это факт жизни, что, по крайней мере на Земле, аминокислоты, которые встречаются в наших белках, имеют одинаковое направление закручивания (в соответствии с некоторым техническим критерием, они являются леворукими). Никто не знает, почему. Возможно, это чистая случайность: отдаленный общий предок всех форм жизни пользовался лишь леворукими аминокислотами, и все живые твари унаследовали эту левизну. Кое-кто, однако, умозаключил, что преобладающая леворукость аминокислот связана с космической кособокостью Вселенной, при которой именно леворукие аминокислоты более устойчивы, и поэтому имеют преимущество перед своими праворукими зеркальными отражениями. Этого в действительности никто не знает, но было бы определенно привлекательным, если бы эту цепочку асимметрий можно было бы проследить до чего-нибудь фундаментального. Это очень помогло бы в разрешении дискуссии о том, имеют ли белки организмов, предположительно существующих где-то еще во Вселенной, ту же самую асимметрию, что и организмы Земли.
Что мы имеем в виду, говоря о кособокости Вселенной? В абсолютно симметричной Вселенной события, наблюдаемые в зеркале, были бы неотличимы от своих оригиналов, и мы никогда не могли бы сказать, смотрим мы непосредственно на Вселенную или на ее отражение в зеркале. Техническим термином для этого идеального случая является сохранение четности. Оказалось, однако, что результаты некоторых экспериментов, выполненных в 1957 г., можно отличить от их зеркальных отображений, поэтому четность не сохраняется. Вселенная не совпадает со своим отражением, она пространственно скособочена.
Тот факт, что Вселенная пространственно кривобока, создает возможность того, что она перекошена и во времени. В симметричной относительно времени Вселенной законы природы для Вселенной, движущейся, назад во времени, будут такими же, как для Вселенной, движущейся вперед. В этом случае мы не смогли бы сказать, начала ли Вселенная свое существование в нулевой момент времени и движется вперед, или она начала существование в нулевой момент времени и движется во времени назад. Более специальным и более мелкомасштабным определением является следующее: столкновение двух частиц, дающее в результате новые частицы, эквивалентно обращенному процессу, в котором эти результирующие частицы сталкиваются и порождают исходные частицы. Техническим термином для этой симметрии является выражение Т-инвариантность. Эксперименты, выполненные в 1964 г., показали, однако, что в зоопарке частиц есть один маленький и тихий уголок[27], в котором направление времени имеет значение. Этот перекос тесно связан с асимметрией вещества и антивещества, возникшей в начальный момент истории Вселенной. Мы продолжим эту историю в главе 8.
Эксперименты, таким образом, показывают, что Вселенная перекошена в пространстве и во времени. Но этот перекос не является просто случайной асимметрией, поскольку перекос пространства связан с перекосом времени. Чтобы понять эту связь, мы должны знать, что существует третий тип кособокости, называемый зарядовой сопряженностью, в котором каждая частица заменяется своей античастицей. Мы можем ожидать, что Вселенная, в которой античастицы и частицы поменялись местами, будет неотличима от исходной версии, Но это не так. Слабое взаимодействие неинвариантно относительно зарядовой сопряженности, поэтому Вселенная, в которой вещество заменено на антивещество, будет вести себя не так, как ее прототип. (Эта разница дает нам шанс опознать область антиматерии до совершения туда полета, который закончился бы катастрофой.)
Несмотря на эти нарушения симметрии, оказывается, что Вселенная симметрична (насколько мы можем знать), если мы одновременно меняем частицы на античастицы (обозначим это преобразование буквой C), отражаем Вселенную в зеркале (обозначим это буквой P) и обращаем направление времени (что обозначается как T). То есть в соответствии с теоремой Вольфганга Паули, Вселенная CPT-инвариантна. Итак, Вселенная перекошена относительно отдельных преобразований, но имеет совершенную форму, если мы думаем в терминах комбинированных операций.
Важнейший вопрос, которого нам следует также коснуться, это конечная природа всех частиц, которые мы выкатили на сцену. В настоящее время в физике элементарных частиц огромные усилия вкладываются в теоретический проект, который сможет дать ответ, но такой, который никогда нельзя будет прямо проверить в эксперименте. Возвращаясь к началу предыдущей главы, заметим, что греки, делившие в своем воображении вещество и размышлявшие о том, как далеко они могут зайти по этому пути, молчаливо предполагали, что деление закончится на мельчайших сущностях, подобных точкам. Для них это были атомы; а мы представляем себе точками бесструктурные, как кажется, лептоны и кварки. Но предположим, что они не таковы. Предположим, что конечный предел деления является не точкой, а линией. Это начальный пункт теории струн[28], которая обещает пролить свет на многие из поднятых нами вопросов. Теория струн является расширением аргументации, связанной с симметрией, поскольку она, в дополнение к уже рассмотренным нами жестким геометрическим преобразованиям, включает в себя топологию пространства-времени, его протяженность и возможность того, что оно изрешечено дырами.
В теории струн мы считаем конечным строительным блоком вещества маленький кружок, подобный струне. Эта струна очень мала: радиус круга имеет порядок планковской длины (около 10−35 м, глава 7). «Очень» в этом случае означает именно «очень». Если увеличить ядро до размера Земли, струна будет кругом с радиусом не намного больше, чем радиус первоначального ядра. Эта струна очень туго натянута: ее натяжение эквивалентно натяжению, которое возникло бы, если бы на нее подвесили груз в 1039 тонн, что эквивалентно триллиону Солнц. Речь идет о по-настоящему маленькой и тугой струне.
Тугая струна колеблется. Каждая из различных мод ее колебаний, согласно теории струн, соответствует фундаментальной частице. Итак, существует струна лишь одного вида, но различные моды ее колебаний соответствуют всем различным частицам, с которыми мы до сих пор встречались (рис. 6.15). Я не имею в виду, что это похоже на увеличение частоты колебаний путем нажатия различных ладов на гитаре: это требует во много раз больше энергии. Даже для того, чтобы возбудить первый обертон, потребовалось бы так много энергии, что она соответствовала бы частице с массой, неизмеримо большей, чем масса любой известной фундаментальной частицы — с массой небольшой бактерии. Но существуют колебания, называемые нулевыми колебаниями струны. В соответствии с квантовой механикой, осциллятор никогда не может находиться в состоянии полного покоя, а всегда обладает по крайней мере малой остаточной энергией, энергией его нулевых колебаний. Просто представьте себе струну, пульсирующую спокойно, как сердце человека, и каждая мода ее пульсации соответствует определенной частице.
Рис. 6.15. Две моды колебаний струны: нулевые колебания разных мод соответствуют разным элементарным частицам.
Когда теория струн впервые была поставлена на обсуждение, она могла дать объяснение только бозонам и столкнулась со следующим затруднением: струна должна была располагаться в пространстве-времени с размерностью двадцать шесть. Это embarrasse de dimensions (затруднение с размерностями) было ослаблено, когда была взята на вооружение суперсимметрия, и теория была распространена на фермионы. При учете ограничений, накладываемых суперсимметрией, оказалось, что струна могла бы процветать в пространстве-времени всего десяти измерений, девять для пространства и одно для времени. Было разработано несколько способов организации этих размерностей, и на сегодняшний день представляется, что эти различные теории могут быть объединены в одну супертеорию в размерности, которой разрешается достигать одиннадцати. Примем это число и предположим, что в теории струн идет речь именно о струнах, колеблющихся в десятимерном пространстве и одномерном времени. Возникающая в настоящее время теория струн в одиннадцати измерениях с более изощренной версией одномерной струны, включающей двумерные мембраны, называется М-теорией. Люди, кажется, забыли, что стоит за буквой М: возможно, это и «мембрана», но это может быть также и «мать всех теорий».
В голову немедленно приходит вопрос: а где все эти размерности? Мы выросли в уверенности, что обитаем в четырехмерном мире (три измерения для пространства и одно для времени), тогда где же пропущенные семь измерений? Предполагается, что они свернуты. Или, скорее, им не удалось развернуться, когда формировалась Вселенная: первоначальное расширение Вселенной было столь быстрым (как мы увидим в главе 8), что семь пространственных измерений просто еще не проснулись до того момента, когда стало уже слишком поздно. Для того чтобы облегчить людям переправу через концептуальную пучину этих «уплотненных», свернутых измерений, часто используют аналогию воображаемого шланга, лежащего на лужайке. Издалека шланг выглядит как одномерная линия, но, приближаясь, мы видим, что он имеет ширину.
Чтобы вообразить одно уплотненное измерение, мы можем представить себе небольшой кружок — с отметкой на нем, обозначающей положение вдоль этого измерения — прикрепленный к каждой точке пространства (рис. 6.16). Чтобы вообразить столкновение в этом пространстве, мы больше не представляем себе сталкивающиеся точки: мы представляем себе резиновые тесемки, извиваясь, двигающиеся вдоль трубки и отскакивающие назад друг от друга.
Рис. 6.16. То, что кажется одномерной линией с двумя частицами на ней, похожими на точки, в действительности является трубкой с двумя кругообразными струнами. Дополнительная размерность свернута, и мы не осознаем, что она есть, до тех пор, пока не узнаем о более глубокой структуре реальности. Столкновение между двумя частицами на самом деле является столкновением между двумя струнами.
На самом деле, в каждой точке имеется семь свернутых таким образом измерений с как-то надетыми на них струнами, подобно резиновым тесемкам, надетым на трубку. Считается, что уплотненные размерности принимают в каждой точке особую форму. Такие формы называются пространствами Калаби-Яу, по именам двух математиков, Эудженио Калаби и Шинтана Яу, которые их изучали. Физики всегда бывают благодарны математикам, которые, в своей восхитительно умозрительной манере, так часто изучают бесполезные с виду абстрактные понятия для того только, чтобы позднее обнаружить, что они нечаянно приготовили орудие, в точности необходимое, чтобы справиться с новыми проблемами физики.
С точки зрения платоников (см. главу 10), математика уже где-то существует, ожидая, когда ее откроют, так что Калаби и Яу, возможно, скорее выкапывали предсуществующее, чем просто нечто создавали, как им, вероятно, казалось. Рисунок 6.17 демонстрирует одно из таких пространств. Формы, подобные этим — но в семи измерениях, — являются шлангами теории струн, поскольку струны вьются вокруг них и через их отверстия.
Рис. 6.17. Пространство Калаби-Яу. В отличие от линии в пространстве, изображенной на рис. 6.16, являющейся простой трубкой, каждая точка линии на самом деле может быть многомерным пространством. Сечение одного из них показано здесь. Представьте себе структуру, подобную этой (но большей размерности), скрепленную с каждой точкой пространства.
Есть впечатление, что М-теория подходит к ответу на один из главных вопросов, почему существуют три семейства частиц? Ответ, кажется, лежит в симметрии. Однако на этот раз симметрия является симметрией трубок Калаби-Яу и связана с размерностью отверстий в этих пространствах, отверстий, сквозь которые продеваются струны. Эта симметрия является гораздо более изощренной по сравнению с теми, с которыми мы сталкивались до сих пор. Если пространство Калаби-Яу преобразовать определенным образом, то оказывается, что число дыр четной размерности в новом пространстве равно числу дыр нечетной размерности в первоначальном пространстве. Число семейств определяется числом продетых струн и, следовательно, числом отверстий. В этом содержится намек — на сегодняшний день не более чем намек — на то, что число семейств частиц внутренне связано со способом, которым свернуто пространство-время, и число три возникает, как возможное указание на этот способ.
Другой большой вопрос: почему развернулись только три пространственных измерения, создав для нас наше трехмерное пространство. Теория струн даже позволяет предположить, каким должен быть ответ… но это предмет космологии и главы 8.
Теория струн и ее продвинутый вариант, М-теория, обладают удивительной мощью. Но она может не быть научной. Некоторое время назад я предупреждал, что готовлю ваше сознание к той возможности, что науке придется изменить свой критерий приемлемости. Это было связано с кварками: кварки не были обнаружены и, возможно, не могут быть обнаружены, однако мы все больше уверяемся в их существовании, поскольку из него вытекает столь много проверяемых фактов. Это верификация посредством следствия скорее, чем верификация посредством эксперимента; верификация, основанная на слухах, скорее, чем верификация, основанная на прямом опыте. Возможно, настает время, когда черта может оказаться перейденной, но это тот Рубикон науки, который следует переходить с величайшей осторожностью.
От М-теории, апофеоза соображений симметрии, лежащих в сердцевине данной главы, мы сделаем следующий шаг по этому рискованному пути. Для М-теории нет никакой экспериментальной мотивации, это в высшей мере красивая идея, с предложениями о том, как можно разрешить глубокие вопросы, но она не может сделать ни одного численного предсказания. Она предлагает методы расчетов для обширных проблем, таких как число семейств частиц, но, поскольку существуют десятки тысяч пространств Калаби-Яу, имеется в виду скорее жульническое «послесказание», чем предсказание, сообщающее о будущем. Для прямой экспериментальной проверки теории предполагается, что потребуется аппаратура галактических или даже космических масштабов, которая, по-видимому, всегда будет находиться за пределами наших технологических возможностей. Непрямые объяснения, предлагаемые теорией, в высшей степени интересны, а область ее охвата вызывает-священный трепет. Например, М-теория предсказывает существование безмассового бозона со спином 2, то есть гравитона. Гравитация попадает, таким образом, в круг ее действия, и мы можем с необходимыми предосторожностями поверить, что с помощью этой теории последняя и самая трудноуловимая сила может быть объединена с другими силами. Ученые, работающие над М-теорией, прямо жаждут, чтобы это оказалось правдой, ведь это так прекрасно! Но я говорил прежде, и должен подчеркнуть снова, что согревающее удовлетворение, даваемое верой, недостаточно для науки.
Глава седьмая Кванты Упрощение понимания
Если кто-то заявляет, что знает, что такое квантовая теория, он не понял ее.
Ричард ФейнманВеликая идея: волны ведут себя как частицы, а частицы ведут себя как волны
Мы зависли на краю квантовой теории, погрузив большой палец ноги в ее кишащий опасностями бассейн. Пришло время нырнуть. Чтобы оценить значение воздействия этой необычайной теории, нужно заметить, что до конца девятнадцатого века волны были недвусмысленными волнами, а частицы были недвусмысленными частицами. На беду для наивного способа понимания, это определение не смогло пережить рубеж веков. К концу столетия из-за разброса наблюдений в классической физике завелся вирус. За несколько десятилетий двадцатого века занесенная им болезнь сокрушила классическую физику полностью. Этот вирус не только уничтожил некоторые из наиболее ценимых концепций классической физики, такие как частица, волна и траектория, но также разорвал в клочья наше устоявшееся понимание устройства реальности.
На месте классической физики — физики Ньютона и его прямых наследников (глава 3) — выросла квантовая механика. Никогда прежде не появлялась теория вещества, которая вызывала бы столько ужаса у философов. И никогда прежде не появлялась теория вещества, которая в руках физиков оказалась бы столь достоверной. Никаких исключений из предсказаний квантовой механики никогда не наблюдалось, и никакая теория не проверялась столь интенсивно и с такой высокой точностью. Проблема состоит в том, что, хотя мы можем пользоваться этой теорией с большим искусством и уверенностью, и несмотря на сто лет обсуждений, никто вполне не знает, что все это значит. Тем не менее существует оценка, что 30 процентов валового национального продукта США зависит от приложений квантовой механики в той или иной форме. Неплохо для теории, которую никто не понимает. Подумайте о потенциальных возможностях роста и повышения качества жизни (или неизбежного повышения качества смерти при развитии квантовых вооружений), которые могут быть выявлены, если мы вдруг поймем ее!
Вирус, которому предстояло разрушить классическую физику, был впервые обнаружен в конце девятнадцатого века физиками, изучавшими одну непроясненную проблему, связанную с излучением света нагретым телом. Чтобы понять, что произошло, нам следует знать, что свет есть форма электромагнитного излучения, а это означает, что он состоит из волн электрического и магнитного полей, распространяющихся со скоростью света, с. Длина волны этого излучения есть расстояние между гребнями волн и для видимого света составляет около 5 десятитысячных миллиметра. Каждый скажет, что это очень мало: да, но это почти можно вообразить — просто представьте себе миллиметр, разделенный на тысячу кусочков, а затем разрежьте один из этих кусочков пополам. Свет различных цветов соответствует различным длинам волн излучения: красный свет имеет относительно большую длину волны, а синий свет — относительно малую (рис. 7.1). Белый свет является смесью всех цветов света. Малые изменения длины волн имеют значительные последствия: свет, используемый в дорожном движении, меняется от красного, через желтый к зеленому, с длиной волны, убывающей от 7,0 до 5,8, и затем до 5,3 десятитысячных миллиметра, и водители реагируют нужным образом на эти ничтожные изменения. Микроволновое излучение, используемое в микроволновых печах, тоже является электромагнитным излучением, но имеет длину волны в несколько сантиметров, что вообразить легко.
Рис. 7.1. Электромагнитный спектр и классификация разных его областей. Видимая часть спектра занимает очень узкую область длин волн, и длины волн (расстояния между соседними гребнями в волне, как показано на вставке) соответствующих цветов, воспринимаемых нами, даны в нанометрах (миллиардных долях метра) в прямоугольнике «Видимый свет». Числа в высоком вертикальном прямоугольнике представляют собой степени, в которые надо возвести десять, чтобы получить частоту в циклах в секунду (герцах, Гц), например, 8 указывает частоту 108 Гц (сто миллионов циклов в секунду). Классификация областей не является жесткой, и у спектра нет ни верхней, ни нижней границы.
Нам также потребуется знать, что такое частота: если вы вообразите себя стоящим в точке, через которую перекатывается волна, то частотой будет число гребней, проходящих мимо вас за секунду. Длинные световые волны имеют низкую частоту, потому что мимо вас в секунду проходит лишь малое число гребней; коротковолновой свет обладает высокой частотой, поскольку мимо вас проходит много гребней. Для видимого света за секунду проходит около 600 триллионов (6×1014) гребней, поэтому о его частоте говорят как о частоте в 6×1014 циклов в секунду (6×1014 герц, Гц). Красный свет имеет относительно низкую частоту, всего около 440 триллионов циклов в секунду; голубой свет имеет относительно высокую частоту, около 640 триллионов циклов в секунду. Мы воспринимаем это излучение как имеющее разные цвета, потому что разные рецепторы в наших глазах соответствуют разным частотам. Реальные числа в этой иллюстрации не имеют значения для дальнейшего, но знание их типичных значений и различных областей электромагнитного спектра является частью обшей культуры.
К концу девятнадцатого века были идентифицированы и выражены в виде законов две характеристики света, излучаемого нагретым телом, так называемого «излучения черного тела». В 1896 г. немецкий физик Вильгельм Вин (1864-1928) заметил, что интенсивность излучения черного тела, то есть яркость раскаленного тела, была наибольшей на длине волны, которая зависит от температуры по простому закону. Эта характеристика знакома нам качественно по повседневной жизни; ведь мы знаем, что объект светится при нагревании сначала красным свечением, а затем, когда его температура повышается еще больше, белым свечением. Этот сдвиг свечения указывает на то, что все больше и больше синего (коротковолнового) света добавляется к первоначально красному (длинноволновому) накалу по мере возрастания температуры, так что максимум интенсивности сдвигается к более коротким длинам волн. В 1879 г. австрийский физик Йозеф Стефан (1835-93) исследовал другое знакомое нам повседневное явление, резкое возрастание полной интенсивности излучаемого света при росте температуры, и выразил эту количественную зависимость в виде закона.
Ни закон Вина, ни закон Стефана не удавалось объяснить в рамках классической физики, несмотря на напряженные усилия очень талантливых теоретиков. В лекции, прочитанной 27 апреля 1900 г. в Королевском обществе, лорд Кельвин назвал неудачу попыток объяснить излучение черного тела одной из двух маленьких черных тучек, появившихся на горизонте классической физики (другой черной тучкой была неудача попыток обнаружить движение сквозь эфир). Двум черным тучкам Кельвина суждено было перерасти в бурный шторм, которому предстояло смыть наши концепции мира, способы, которыми мы производим наши расчеты и интерпретируем наши наблюдения, и наше понимание глубинной структуры реальности.
В состоянии раздражения Макс Планк (1858-1947) непреднамеренно и невольно породил квантовую теорию. 19 октября 1900 г. он предложил уравнение, которое, как казалось, объясняет законы Вина и Стефана, и в последующие недели бился над тем, чтобы дать своему выражению теоретическое обоснование. На лекции, прочитанной перед Германским физическим обществом 14 декабря 1900 г. — эта дата теперь считается днем рождения квантовой теории, — он представил свое решение. Во-первых, он изобразил излучение как явление, управляемое колебаниями осциллирующих атомов и электронов в нагретом теле, причем каждая частота колебаний соответствовала присутствию в излучении отдельного цвета. Это была стандартная точка зрения, и все его современники поступали именно так. Его современники также молчаливо предполагали, что энергия, каждого из этих осцилляторов меняется непрерывно, так же (думали они), как качание маятника может иметь любую амплитуду. Планк, однако, принял радикально иную точку зрения. Он предположил, что энергия каждого осциллятора может меняться лишь дискретными шагами, скорее по лестнице, чем по скату. Более точно, он предположил, что энергия осциллятора данной частоты является величиной кратной ħ × частота, где ħ — новая универсальная константа, которую теперь называют постоянной Планка. То есть, он предположил, что для любого данного осциллятора лестницей допустимых энергий является величина ħ × частота, взятая 0, 1, 2, … раз.
Величина ħ настолько мала, что шаги энергии для большинства форм электромагнитного излучения (особенно для излучения, которое мы называем видимым светом) являются тоже малыми, так что их невозможно зарегистрировать, не прибегая к изощренным методам. Поэтому легко понять, как физики пришли к мысли, что энергия может меняться непрерывно. Разве, глядя на маятник, мы можем заключить, что амплитуда его колебаний меняется скачками?[29] Однако скачкообразное изменение энергии является единственным способом объяснить свойства излучения черного тела, и скачкообразное изменение энергии — ее квантование — теперь установленный факт.
В частном разговоре Планк признавался своему сыну, что думал о своем открытии, как о сравнимом с открытием Ньютона. Тем не менее большую часть оставшейся жизни он отчаянно, но безрезультатно пытался объяснить квантование в контексте классической физики. Здесь заключаются два урока, полезных для нашего понимания научного метода. Один из них состоит в том, что революционные идеи набирают силы, сопротивляясь постоянным атакам. В отличие от других областей приложения человеческих сил, где сумасшедшие идеи без вопросов принимают в объятия, как дорогих и долгожданных друзей, в науке сумасшедшая идея есть предмет постоянных нападок, особенно — в самом деле, особенно — если она ниспровергает устоявшуюся парадигму. Второй урок заключается в том, что старики (и старухи, хотя для них в силу положения дел и к нашему сожалению, сегодня меньше эмпирических свидетельств) не лучшие проповедники радикальной науки, так как глубоко пропитаны условностями, заложенными в них воспитанием, которыми они, как правило, возмущались, проходя обучение. Как новые нравы, новые парадигмы принимаются только тогда, когда старое поколение вымирает.
Как бы то ни было, революционная, безумная идея Планка о том, что энергия распадается на куски, что она скорее является гранулированной, чем гладкой, что она больше похожа на песок, чем на воду, идея, которой предстояло преобразовать наше восприятие реальности, была встречена молчанием. Сначала ее считали математическим трюком. Физическая реальность этого предложения выявилась только в 1905 г., когда гладиатор Эйнштейн вступил на арену, вынул из ножен свой математический меч и сразил еще одного классического дракона.
Чтобы опознать этого дракона, нам придется снова погрузиться в атмосферу физики конца девятнадцатого века, этого лежбища драконов. На протяжении этого века все уверились, что свет — говоря шире, электромагнитное излучение — является волнообразным: он распространяется как волна. Эта уверенность существовала не всегда. Ньютон, позже поддержанный Лапласом, настаивал на том, что свет является потоком частиц, но экспериментальные свидетельства, полученные в девятнадцатом веке, убедили всех, что свет является волной. Наиболее убедительным свидетельством было явление дифракции, впервые описанное дотошным наблюдателем Леонардо да Винчи (1452-1519) и исчерпывающе и количественно изученное такими авторитетными физиками, как Гюйгенс, Юнг и Френель. Одним из наиболее драматических подтверждений волновой теории света было предсказание того, что в центре тени от сферического или круглого экрана, освещенного с другой стороны, должно находиться пятно света (рис. 7.2). В 1818 г. Огюст Френель (1788-1827) послал работу о теории дифракции на конкурс, проводимый Французской академией. Математик Пуассон, член жюри конкурса, отнесся весьма критично к волновой теории света и вывел из теории Френеля очевидно, абсурдное предсказание, за круглым препятствием должно появляться яркое пятно. Однако другой член жюри, Франсуа Араго, решил поискать яркое пятно Пуассона и обнаружил его экспериментально. В результате Френель выиграл конкурс, а волновая теория света была должным образом принята и стала неопровержимой с виду парадигмой. Итак, драконом оказался волновой характер света.
Рис. 7.2. Пятно Пуассона. В соответствии с волновой теорией света предсказано, что при помещении непрозрачного диска перед лампой в центре его тени появляется белое пятно.
Эйнштейн сразил дракона в 1905 г., когда показал, что свет все же следует считать состоящим из частиц. Эйнштейновское уничтожение парадигмы состояло из двух частей. Во-первых, он проанализировал термодинамические свойства электромагнитного излучений внутри нагретой полости и показал, что, для того чтобы соответствовать наблюдениям Планка, излучение должно состоять из частиц, а не из волн. Эти частицы света через десятилетие были названы фотонами, и мы будем далее использовать это наименование.
Вышло так, что предположение Эйнштейна встретило немедленную экспериментальную поддержку в виде фотоэлектрического эффекта, при котором электроны испускаются поверхностью металла, подвергаемого ультрафиолетовому облучению. Фотоэлектрический эффект имел некоторые странные свойства, объяснение которых выходило за рамки компетенции теории света. Однако они немедленно получали объяснение, как только этот эффект изображался в виде результата столкновения электрона и подлетающего фотона. Эта модель привела к точному расчету фотоэлектрического эффекта и была одним из достижений, упомянутых при получении Эйнштейном в 1921 г. Нобелевской премии по физике. Это была маленькая совместная шутка судьбы и физики, поскольку мы теперь знаем, как рассчитать фотоэлектрический эффект в терминах электромагнитных волн, так что это частное, подтверждение существования фотонов, все еще воспроизводимое в учебниках (включая написанный мной) как неопровержимое свидетельство, трещит по швам. Однако существование фотонов теперь вне сомнений, поскольку имеются многочисленные свидетельства других видов.
Примирение нового и экспериментально бесспорного взгляда на свет, как на состоящий из частиц, и старого и экспериментально бесспорного взгляда на свет, как на состоящий из волн, когда оно было предложено, оказалось, как можно себе вообразить, весьма трудным. Эта трудность сохраняется даже по сию пору, и мы еще вернемся к ней позже.
Теперь квантовый вирус проник в тело классической физики, и болезнь начала распространяться. Второй вклад Эйнштейна в становление квантовой теории также был сделан в судьбоносные 1905-1907 гг. Этот вклад решал более обыденную загадку, связанную с подъемом температуры материалов при их нагревании. Изучаемым свойством была теплоемкость вещества, представляющая собой меру тепла, требуемого для того, чтобы увеличить его температуру на заданную величину. Еще в 1819 г., с беззаботной уверенностью, которая пришла из разрозненных экспериментальных результатов и находящейся еще в колыбели системы их обработки, французские ученые Пьер-Луи Дюлонг (1785-1838) и Алекси-Терез Пти (1791-1820) объявили, что с поправкой на число атомов в образце все вещества имеют одну и ту же теплоемкость. Все им поверили, хотя это очевидно неверно. Пятьдесят лет спустя, когда стал доступным больший объем данных и физики начали измерять теплоемкость при низких температурах, с неизбежностью стало очевидно, что закон Дюлонга и Пти был плохим описанием природы и, в частности, что все теплоемкости стремятся к нулю при понижении температуры.
Классическая физика могла объяснить закон Дюлонга и Пти с триумфальной легкостью из предположения, что тепло поглощается атомами, колебания которых становятся все более и более сильными. Поэтому представителей классической физики приводила в уныние необходимость признать, что этот закон неверен при низких температурах, а во многих случаях при комнатной температуре тоже. Проблема оставалась неразрешенной до тех пор, пока в 1906 г. на нее не обратил внимание необычайный ум Эйнштейна. Он принял концепцию осциллирующих атомов, но, вторя Планку, ввел решающее предположение, что атомы колеблются с энергиями, возрастающими скачками, как бы прыгая вверх по лестнице энергетических уровней. При низких температурах энергии окружения недостаточно, чтобы заставить атомы осциллировать. При высоких температурах имеется достаточно энергии, чтобы все атомы осциллировали, и теплоемкость выросла до классического значения Дюлонга и Пти. Эйнштейн сумел вычислить зависимость теплоемкости от температуры и получил довольно хорошее согласование с наблюдениями. Через несколько лет его модель усовершенствовал датский физик Питер Дебай (1884-1966), и это усовершенствование, не содержащее существенно новых идей, дало превосходное согласование с экспериментом.
Вклад Эйнштейна был решающе важным, потому что он распространил концепции, возникшие из исследования электромагнитного излучения, на чисто механическую систему колеблющихся атомов. Вирус совершил межвидовый переход от излучения к веществу.
Как только вирус обосновался в веществе, также как в излучении, болезнь подточила здоровье всей классической физики. Существуют даты и достижения вдоль всей линии развития, пролегающей от 1906 г., особенно порожденная богатым воображением, но несостоятельная модель атома водорода, предложенная в 1916 г. знаменитым датским физиком Нильсом Бором (1885-1962), которая, как сначала казалось, подтверждала применимость квантовых концепций к системе частиц. Однако решающей датой для нашего обсуждения явился 1923 г., когда вирус добрался до самого сердца вещества и разрушил понятие частицы.
Хотя такие серьезные ученые, как Ньютон, придерживались точки зрения, что свет состоит из частиц, так что введение фотона не оказалось полностью сюрпризом, ни один серьезный ученый — за исключением нескольких обаятельно предприимчивых и занимавшихся обширными спекуляциями древних греков — не придерживался точки зрения, что вещество подобно волнам. Тем не менее в 20-е гг., пока общественность хлопала ушами, в точности эта самая концепция появилась и пустила корни. Отцом идеи стал герцог Луи де Бройль (1892-1987), потомок семьи, введенной во дворянство Людовиком XIV.
Вклад де Бройля в этот революционный взгляд был основан на обнаруженной им аналогии между распространением света и распространением частиц. Он рассуждал релятивистски, но мы можем проникнуть в его аргументацию без этого усложнения. Главной чертой геометрической оптики, версии оптики, которая исследует, как отражаются от зеркал и преломляются линзами световые лучи в виде прямых линий, является то, что лучи движутся по путям, соответствующим кратчайшему времени пробега между источником и местом назначения. Это утверждение по существу является принципом наименьшего времени, предложенным в 1657 г. французским советником кассационной палаты и хотя и любителем, но выдающимся математиком Пьером Ферма (1601-65), как обобщение наблюдений, которые Герон из Александрии проделал около 125 г. до н.э. и изложил их в поздней «Катоптрике».[30] Более точное название — принцип стационарного времени: странный оборот «стационарное время» просто означает, что время прохождения пути может быть либо минимальным, либо, в определенных случаях, максимальным. Мы ограничим наше обсуждение путями с наименьшим временем, но наши замечания легко можно распространить также и на пути с наибольшим временем. Загадка, с которой мы немедленно сталкиваемся, состоит в следующем: откуда свет, как кажется, заранее узнает путь, на прохождение которого будет затрачено наименьшее время? Если он начал двигаться по неверному пути, не будет ли более экономичным по времени продолжить движение, чем возвращаться к источнику и начинать сначала?
Волновая теория света приходит на помощь особо элегантным способом. Предположим, что мы рассматриваем произвольный путь между двумя заданными точками и представляем себе волну, извивающуюся по этому пути (рис. 7.3). Рассмотрим затем путь, лежащий очень близко к первому и волну, извивающуюся также и вдоль него. В пункте назначения гребни и впадины волн, прибывших этими разными путями, уничтожают друг друга: эта взаимная аннигиляция называется деструктивной интерференцией. Интерференция является характеристикой движения волн: она видна на поверхности воды, когда впадины одной ряби совпадают с гребнями другой, и смещение воды гасится. Однако существует один путь, для которого различие между гребнями соседних волн столь мало, что они не уничтожают, а усиливают друг друга: это взаимное усиление называется конструктивной интерференцией. Это явление также наблюдается в рябях на воде, когда гребни совпадают и смещение воды увеличивается. Пути, на которых интерференция конструктивна, это пути очень близкие к прямой линии — в общем случае, к пути с наименьшим временем пробега — между источником и пунктом назначения.
Рис. 7.3. На верхнем рисунке мы видим искривленный путь между двумя фиксированными точками и другой искривленный путь, близкий к нему. На этих путях нарисованы волны с одинаковой длиной волны. Хотя они начинают путь с одной и той же амплитудой, когда они достигают конечной точки, их амплитуды сильно различаются. Если бы мы представили себе полный пучок волн, бегущих по близким путям, мы смогли бы увидеть, что амплитуды в конечной точке все очень различны и интерферируют деструктивно, давая в результате нулевую амплитуду. На нижнем рисунке мы видим то же самое, но для прямолинейного пути и одного из путей, близких к нему. В этом случае все волны, прибывающие в конечную точку, имеют очень похожие амплитуды и не интерферируют деструктивно. Мы делаем заключение, что при полной свободе передвижения по любому маршруту, единственным выживающим путем оказывается путь, близкий к прямой линии.
Теперь мы подходим к сути этой аргументации. Свет не знает заранее и не имеет необходимости знать, какой из путей окажется путем с наименьшим временем пробега: он испытывает все пути, но только на путях, очень близких к пути с наименьшим временем пробега, волны не гасят друг друга. Деструктивная и конструктивная интерференции становятся тем более точными, чем короче длина волны света, и только геометрическая прямая линия выживает при бесконечно малой длине волны, которая и является тем пределом, в котором физическая (волновая) оптика становится геометрической оптикой. Полная свобода действий дает в результате ясно выраженное правило. Это наипрекраснейший вид научного объяснения, когда волк полного отсутствия ограничений появляется в шкуре овечки систематического поведения, анархия появляется в виде правил, беспорядок служит основой порядка, а свобода обоснованием контроля.
Держа в уме это объяснение, обратимся к рассмотрению частиц. Путь частицы, в соответствии с классической механикой, определяется силами, действующими на нее в каждый момент (как мы это видели в главе 3). Однако, так же как и в случае распространения волн, мы можем свести это описание к утверждению, касающемуся полного пути. В 1744 г. французский математик и астроном Пьер-Луи Моро де Мопертюи (1698-1759) объявил, что путь, проходимый частицей, таков, что ассоциированная с ним величина, называемая действием, является минимальной. К своему принципу наименьшего действия Мопертюи пришел скорее из теологических, чем из физических соображений, поскольку в своем Essai de cosmologie (1759) он утверждал, что Божественное Бытие несовместимо ни с чем, отличным от предельной простоты и наименьшего расходования усилий. К несчастью для этой точки зрения, современная версия принципа признает, что в некоторых случаях частица выбирает путь наибольшего действия, поэтому более удачным названием является принцип стационарного действия. Для простоты мы ограничимся путями наименьшего действия.
Определение «действия», данное Мопертюи, было темным и менялось в зависимости от задачи, за которую он брался; тем не менее в нем заключалось зерно правильной идеи, которую выразил в математически строгой, но ограниченной форме шведский математик Леонард Эйлер (1707-83), а затем, почти в то же время, в 1760 г., Жозеф Луи Лагранж (1736-1813) придал ей окончательный вид. Эти исторические перипетии, однако, не должны нас отвлекать: важным здесь является то, что существует вполне определенная величина, называемая «действием» — представьте себе, что оно сродни «усилию» — и частица выбирает путь, соответствующий наименьшему действию, наименьшему усилию. Загадка, с которой нам немедленно приходится столкнуться — теперь я перефразирую слова, сказанные мною выше — состоит в следующем: откуда частица, как кажется, заранее узнает путь, дающий в результате наименьшее действие? Если она начала двигаться по неверному пути, не будет ли более экономичным по отношению к действию продолжить движение, чем возвращаться к источнику и начинать сначала?
Де Бройль был поражен аналогией между основными законами оптики и законами динамики частицы, выраженными в виде принципов наименьшего времени и наименьшего действия соответственно. Он видел, что проблема кажущегося наличия у частицы предварительного знания о том, какой путь будет соответствовать наименьшему действию, могла быть решена в точности тем же способом, что и для света, при условии, что с частицей можно ассоциировать волну. Тогда анархия приводила бы к закону: волны, ассоциированные с частицей, исследовали бы все пути между источником и местом назначения, и только те из них, которые соответствуют прямой линии (если нет никаких действующих сил, или, в более общем случае, если присутствующие силы действуют аналогично зеркалам и линзам) подверглись бы конструктивной интерференции и выжили бы в процессе взаимного уничтожения со своими соседями. Эта аннигиляция становилась бы все более точной с уменьшением длины волны этих «волн вещества», и в пределе бесконечно малой длины волны мы вновь получили бы вполне определенный путь в пространстве. Иными словами, появилась бы ньютоновская динамика с частицами, следующими по точным траекториям.
Исследуя эту аналогию, де Бройль смог вывести выражение для длины волны своих волн вещества:
Длина волны = ħ / импульс,
где ħ — постоянная Планка, а импульс частицы является произведением его массы и скорости (как мы видели в главе 3). Таким образом, постоянная Планка (напомним, что Планк называл свою постоянную «квантом действия») входит в описание динамики вещества на очень глубоком уровне, касаясь самого сердца движения. Отметим, что из-за ее вхождения в импульс в знаменателе этого выражения появляется масса, поэтому можно ожидать, что большие массы (мячи, люди, планеты) имеют крайне малые длины волн. Ваша длина волны, когда вы бодро проходите 1 метр в секунду, составляет приблизительно лишь 1×10−35 м, поэтому ваше движение можно интерпретировать в соответствии с динамикой Ньютона, и вы можете путешествовать, не слишком опасаясь подвергнуться дифракции и оказаться в Падуе вместо Пизы. Вряд ли надо удивляться, что волны столь малой длины прошли незамеченными и что ньютоновская динамика оказалась столь успешной в применении к видимым, «макроскопическим» телам. Однако, когда рассмотрению подвергаются электроны, мы входим в другой мир, поскольку они настолько легки, что их импульсы малы, а длины волн соответственно велики. Длина волны электрона в атоме сравнима с диаметром самого атома, и для них ньютоновская динамика больше не может служить приемлемым приближением.
Де Бройль поистине заслужил свою Нобелевскую премию, которая и была ему вручена в 1929 г. за «открытие волновой природы электрона». Нобелевский комитет, однако, был не вполне прав в своей формулировке: волновая природа частиц, обнаруженная де Бройлем, присуща всем частицам, а не только электронам. Электроны являются легчайшими из общеизвестных частиц, поэтому его предположение для них наиболее очевидно; но не существует частицы или скопления частиц (включая мячи, людей и планеты), в принципе не обладающих связанным с ними волновым характером. Существование этого волнового характера было подтверждено экспериментальной демонстрацией того, что электроны проявляют наиболее характерную черту волн, дифракцию. В 1927 г. американец Клинтон Дэвиссон (1881-1958) заслужил свою порцию Нобелевской премии 1937 г., показав, что электроны дифрагируют на одиночном кристалле никеля, а Джордж Томсон (1892-1975), работая в Абердине, заслужил свою долю премии, показав, что они дифрагируют, проходя через тонкую пленку. С тех пор подвергались дифракции целые молекулы. Привлекательным аспектом семейной науки является то, что Дж.П. Томсон получил свою премию за демонстрацию того, что электрон является волной, в то время как его отец, Дж.Дж. Томсон, получил свою за демонстрацию того, что электрон является частицей. Завтрак у Томсонов, возможно, бывал подернут ледком.
Мы находимся в том моменте, когда революция уже висела в воздухе, хотя не была еще полностью сформированной и не осознавалась. Даже де Бройль на самом деле не знал, что он имел в виду под своими «волнами вещества». Что, однако, было установлено, так это дуальность вещества и излучения, то, что они обладают характеристиками как волн, так и частиц. Было показано, что свет, который долго считали подобным волне, имеет и другое лицо и ведет себя как частицы. Было показано, что вещество, которое долго считали состоящим из частиц, имеет второе лицо и ведет себя как волна. И снова на ум приходит образ куба (рис. 6.12), у которого один ракурс выглядит для нас как квадрат, а другой как шестиугольник.
Вирус, который теперь разрушил наиболее нежно лелеемые концепции физики, вошел в полную силу в 1926 г., когда природа волн вещества де Бройля начала проясняться. Как мы увидим далее, мало-помалу стало ясно, что наш уничижительный термин «вирус» не слишком уместен, поскольку постепенное выметание затемняющей пыли классической физики выявило гораздо более простой, ясный и понятный мир внутри. Старшее поколение, пропитанное классической традицией, не сумело найти выражения для новой простоты и в результате только сбивало с толку молодых. В дальнейшем я надеюсь показать молодым и восприимчивым умам ту простоту, которую квантовая механика внесла в наше понимание мира.
Прожектор новых достижений теперь поворачивается, чтобы осветить двух гигантов квантовой теории, загадочного немца Вернера Гейзенберга (1901-76) и романтически решительного австрийца Эрвина Шредингера (1887-1961). Каждый из них сформулировал уравнения, позволяющие нам вычислять динамические свойства частиц (к которым мы будем и далее обращаться), заменяющие ньютоновские законы движения. Их формулировки, называемые соответственно матричной механикой и волновой механикой, выглядели совершенно непохожими друг на друга, и их философии соответственно были различными. Но вскоре было показано, что обе формулировки математически идентичны, так что конкурирующие философии стали делом персонального выбора. Математике присущи эти повадки хамелеона, отображающего себя в физический мир различными, но эквивалентными путями, для того, чтобы мы никогда не спешили с презрением относиться к чужой формулировке, поскольку может оказаться, что она эквивалентна нашей собственной. Смесь матричной и волновой механик теперь принято называть квантовой механикой, и далее мы будем использовать только этот термин.
Здесь не место вдаваться в детали квантовой механики или следовать хронологии ее формулирования. Вместо этого я сделаю коктейль из обоих подходов и таким образом покажу вам суть квантовой механики, не перегружая вас деталями. Я отвлекусь от ее истории и сосредоточусь на главных моментах ее содержания. Вы должны быть готовы встретиться с рядом беспокоящих и странных идей, но я проведу вас через их строй со всеми предосторожностями.
Одним из наиболее знаменитых и спорных аспектов квантовой механики является принцип неопределенности, сформулированный Гейзенбергом в 1927 г. Гейзенберг намеревался показать, что, учитывая установленную де Бройлем связь между длиной волны и импульсом, существуют ограничения на информацию, которую мы можем получить о частице. Например, если мы хотим определить положение частицы с помощью микроскопа, нам придется использовать хотя бы один фотон для ее наблюдения, и чем более точно мы хотим измерить положение, тем короче должна быть длина волны фотона, который мы должны использовать. Выражаясь более общим образом, мы не можем определить что-либо с точностью, превосходящей длину волны излучения, которым мы для этого пользуемся: так, используя видимый свет, мы не можем определить положение чего-либо с точностью большей чем 5 десятитысячных миллиметра. Звук с длиной волны, близкой к 1 м, не позволяет нам локализовать его источник с точностью, превышающей 1 м; вот почему летучие мыши вынуждены использовать очень высокие частоты, короткие длины волн в своей эхолокации. Однако существует цена, которую приходится платить за использование коротковолнового электромагнитного излучения при определении местоположения частицы. Когда фотон сталкивается с частицей, он передает ей часть своего импульса, и из соотношения де Бройля мы можем заключить, что величина передаваемого импульса возрастает с уменьшением длины волны фотона. Таким образом, когда мы увеличиваем точность нашего знания о положении частицы, наша осведомленность о значении ее импульса расплывается. Детальный анализ этой проблемы, проведенный Гейзенбергом, дал ему возможность вывести свой прославленный результат:
неопределенность положения × неопределенность импульса не меньше чем ħ.
Нам следует считать принцип неопределенности Гейзенберга экспериментальным результатом даже несмотря на то, что микроскопический эксперимент, который мы описали, не был проведен явно: принцип неопределенности, в том виде, в котором он был сформулирован Гейзенбергом, является итогом тщательного анализа систематизированных экспериментов в свете современных знаний. Конечно, настоящий эксперимент мог бы дать и результат, совершенно отличный от того, который мы предсказываем для одного из этих gedanken (мысленных) экспериментов; это в конечном счете самая суть роли экспериментов в научном методе. Однако при условии, что наше понимание верно, если современная наука состоятельна, то заключение Гейзенберга правильно.
Классическая физика, которая совсем ничего не знала об импульсе фотона, поскольку ничего не знала о самих фотонах и пребывала в неведении о постоянной Планка, основывалась на точке зрения, что положение и импульс можно одновременно узнать с произвольной точностью. Теперь возникает вопрос: как принцип неопределенности — который нам следует считать фундаментальным описанием природы и глубоким отходом от классической физики — может быть включен в математическое описание движения? В классической физике мы представляли себе, что положение и импульс частицы меняются со временем и развертываются во времени как вполне определенная траектория частицы.
Мы можем подойти к ответу следующим образом. Очевидно, что для любого заданного момента мы можем написать:
положение × импульс − импульс × положение = 0.
Например, если положение измеряется расстоянием в две единицы от некоторой точки, а импульс измеряется тремя единицами, то первый член в левой части дает 2×3 = 6 единиц, а второй член дает 3×2 = 6 единиц, и их разность, очевидно, равна нулю. Однако, каким бы очевидным ни было это сокращение членов, в квантовой механике оно совершенно определенно не верно. Проще говоря, поскольку мы не знаем одновременно положение и импульс, мы не можем быть уверены, что каждый член в точности равен 6 единицам (или тому, что дают наши измерения), поэтому возможно, что первый член в этом выражении отличается от второго на какую-то величину, имеющую порядок постоянной Планка. Великим достижением Гейзенберга была демонстрация того, что экспериментально подтвержденное утверждение о мире, соотношение неопределенностей для положения и импульса, может быть получено только, если правая часть выражения не равна нулю, а представляет собой, на самом деле, постоянную Планка, ħ:[31]
положение × импульс − импульс × положение = ħ.
Классические физики молчаливо предполагали, что правая часть этого коммутационного соотношения равна нулю, и на этом основании построили чудесное здание классической физики. Теперь мы знаем, что правая часть не равна нулю, но столь мала, что заблуждение классических физиков не удивительно. Тот факт, что правая часть не равна нулю, имеет глубокие следствия и является той малостью, которая сокрушила классическую физику.
Гейзенберг, при сотрудничестве своих коллег, — Макса Борна (1882-1970) и Паскуаля Иордана (1902-80), нашел как включить в квантовую механику ненулевую правую часть выражения для положения и импульса. Шредингер тем временем нашел другой путь. Вспомните, что де Бройль предположил, что существуют волны вещества как-то «ассоциированные» с частицами и что, принимая во внимание интерференцию, выживающая волна распространяется по пути наименьшего действия. Довольно легко найти правила, по которым волна ощупью пробирается через пространство, чтобы найти путь выживания. Эти правила и являются содержанием уравнения Шредингера.[32] Прославленное уравнение показывает, как волна вещества меняется от точки к точке, и оказывается, что, для того чтобы сформулировать его, необходимо использовать в точности то же самое выражение для положения и импульса, которое Гейзенберг должен был использовать, чтобы пробить брешь в классической физике. Центральная роль этого соотношения в обеих формулировках является основной причиной, по которой подходы Гейзенберга и Шредингера математически эквивалентны.
Когда мы решаем уравнение Шредингера, мы получаем математические выражения для формы волн вещества. Термин «волна вещества» больше не используется, как и его интерпретация, принадлежащая де Бройлю. Современным названием для «волны вещества» является волновая функция (термин, с которым мы впервые столкнулись в главе 5), и далее мы будем пользоваться им.
Волновые функции не являются просто математическими формулами, не имеющими смысла: мы можем проследить, как современная интерпретация их физического смысла восходит к предположению, сделанному Борном. Борн заметил, что в классических (волновых) терминах интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды (меры отличия от нуля) электромагнитной волны, в то время как в квантовых (фотонных) терминах эта интенсивность пропорциональна вероятности обнаружения фотона в данной области пространства. Если амплитуда световой волны удваивается, его интенсивность учетверяется (луч становится в четыре раза ярче), и мы с учетверенной вероятностью обнаружим фотон в этой области пространства. Затем он предположил, что естественно распространить это соотношение на волновые функции и интерпретировать квадрат волновой функции частицы в некоторой точке, как дающий вероятность обнаружения в ней этой частицы. Так, если волновая функция в одном месте имеет вдвое большую амплитуду, чем в другом, то шансов обнаружить частицу в первом положении в четыре раза больше, чем в последнем. Мы можем заключить, что там, где квадрат волновой функции велик, имеется высокая вероятность обнаружения частицы, а там, где он мал, вероятность обнаружения частицы низка (рис. 7.4). Такая интерпретация, как можно видеть, означает, что области, где волновая функция является отрицательной величиной, — соответствующие впадине волны на воде — имеют тот же смысл, что и области, где она положительна, поскольку мы пользуемся квадратом волновой функции, и отрицательные области тоже становятся положительными.
Рис. 7.4. Интерпретация волновой функции, данная Борном. Сплошная линия является произвольной волновой функцией: заметьте, что она проходит через ноль в нескольких точках (они называются узловыми точками) и имеет области положительной и отрицательной амплитуды. Возведя волновую функцию в квадрат, мы получаем линию из точек, которая всюду неотрицательна, но равна нулю там, где равна нулю волновая функция. В соответствии с интерпретацией Борна эта кривая говорит нам о вероятности обнаружения частицы в каждой точке пространства. Мы изображаем эту интерпретацию с помощью плотности тени в наложенной горизонтальной полосе.
Волновая функция может оказаться концепцией, несколько более трудной для понимания, несмотря на интерпретацию Борна. В ряде следующих параграфов я попытаюсь дать вам представление о том, на что это похоже. Я также покажу вам, как можно решать уравнение Шредингера в уме, даже не видя его и не имея ни малейшего представления о том, что значит решать уравнение в частных производных второго порядка.
С более общей точки зрения уравнение Шредингера является уравнением для кривизны волновой функции: оно сообщает нам, где волновая функция изгибается более резко, а где более плавно. Ее кривизна является наибольшей там, где кинетическая энергия частицы велика, и наименьшей там, где кинетическая энергия частицы мала. Например, волновая функция для груза на конце маятника выглядела бы довольно похожей на функцию, показанную на рис. 7.5: груз быстрее всего движется в средней точке своего качания и медленнее всего на концах, в точках возврата, где он меняет направление движения, и мы теперь видим, что волновая функция искривляется более резко около средней точки области ее существования. Отметим также, что волновая функция имеет наибольшую амплитуду вблизи точек возврата: это соответствует знакомому поведению маятника, поскольку наиболее вероятно обнаружить его там, где он движется наиболее медленно, а это происходит в конечных точках его качания, где он меняет направление движения.
Рис. 7.5. Типичная волновая функция (слева). Это волновая функция маятника, который качается с малой начальной энергией. Квадрат волновой функции (показанный справа) говорит о вероятности того, что качающийся маятник будет обнаружен в данном положении. Мы иллюстрируем эту интерпретацию с помощью плотности тени в наложенной горизонтальной полосе.
Теперь давайте посмотрим, на что похожи другие волновые функции. Волновая функция свободной частицы очень проста. Предположим, что частица, о которой мы говорим, является шариком-бусинкой, способным скользить по длинной горизонтальной проволоке. Потенциальная энергия шарика является одной и той же, безотносительно к его позиции, поэтому мы можем подозревать, что волновая функция не будет благоволить каким-либо особым областям. Медленная частица имеет низкую кинетическую энергию, поэтому ее волновая функция имеет лишь небольшую кривизну (рис. 7.6); другими словами, волновая функция медленно двигающейся частицы является однородной волной с большой длиной волны, в точности, как говорит нам соотношение де Бройля. Быстрая частица — с большой кинетической энергией — имеет волновую функцию с большой кривизной, так что она извивается вверх и вниз много раз на коротком интервале, и поэтому является однородной волной с очень короткой длиной волны. Обе эти волны просто являются тем, что предсказывает соотношение де Бройля.
Рис. 7.6. Диаграмма слева показывает две волновых функции для шарика-бусинки, движущегося по длинной горизонтальной проволоке с остановками на каждом ее конце. Одна функция соответствует маленькому импульсу, а другая большому. Диаграмма справа показывает для каждой точки проволоки вероятность обнаружения шарика, движущегося быстрее.
Где скорее всего мы найдем частицу? Давайте представим себе шарик, носящийся взад и вперед по длинной проволоке, поворачивая обратно на каждом ее конце, и рассмотрим его движение как случайное. Из-за того, что шарик движется с постоянной скоростью, в соответствии с классической физикой шансы найти его в любой точке проволоки равны. Квантовая механика дает иное предсказание. Чтобы предсказать, где будет обнаружен шарик, мы воспользуемся предложением Борна: вычислим квадрат волновой функции в каждой позиции и интерпретируем результат как вероятность обнаружить частицу в этой позиции. Как можно видеть из иллюстрации, частица с наибольшей вероятностью будет обнаруживаться в серии одинаковых областей, регулярно расположенных на проволоке, а не будет распределена совершенно однородно.
Теперь давайте посмотрим, как волновая функция свободной частицы соответствует принципу неопределенности, согласно которому, если мы знаем импульс, мы не можем знать положения, и наоборот. Волновая функция, подобная изображенной на рис. 7.6, распространяется по всей длине проволоки, поэтому мы не можем предсказать, где находится частица: она может быть в любом месте проволоки. С другой стороны, импульс мы знаем точно, поскольку знаем точно длину волны. Итак, мы знаем точный импульс, но ничего не можем сказать о положении, именно так, как этого требует принцип неопределенности. На самом деле длина волны дает нам только величину импульса: мы не знаем, движется ли частица направо или налево. Но из-за того, что частица не размазана по проволоке совершенно однородно, мы не остаемся в полном неведении о том, где она находится, и, таким образом, некоторое незнание относительно ее импульса (его направления) открывает возможность некоторого знания о том, где она находится (особенно, где она не находится). Вероятно, вы начинаете улавливать тонкость связи между знаниями о том, где вещи находятся и как быстро они движутся.
Пусть теперь случилось так, что мы знаем, в какой области проволоки на самом деле находится частица. Ее волновая функция выглядела бы похожей на изображенную на рис. 7.7 с резким пиком там, где частица скорее всего находится. Если мы хотим узнать импульс частицы, нам следовало бы определить длину волны этой волновой функции. Но функция с резким пиком не имеет определенной длины волны, поскольку она не является протяженной волной, так же как импульс звука — хлопок — не имеет определенной длины волны. Что же это говорит нам об импульсе частицы?
Рис. 7.7. Волновой пакет, образованный суперпозицией тридцати волновых функций, подобных изображенным на предыдущей иллюстрации, но с различными длинами волн. Хотя частица с большой вероятностью будет обнаружена в довольно четко определенной области пространства, мы ничего не можем сказать о том, какое из тридцати значений импульса будет преобладать. В дальнейшем обсуждении мы увидим, что этот волновой пакет движется подобно классической частице.
Мы можем представить волновую функцию с пиком, изображенную на иллюстрации, как результат сложения — технически выражаясь, суперпозиции — множества волн с различными длинами, каждая из которых соответствует определенному импульсу. В ситуации, изображенной на рисунке, эти волны, складываясь там, где их гребни совпадают, образуют пик реальной волновой функции и гасят друг друга там, где их гребни совпадают со впадинами. Такая суперпозиция волновых функций называется волновым пакетом. Когда мы хотим узнать величину импульса частицы с волновой функцией, подобной изображенной на рисунке, мы вынуждены сказать, что она может быть любой из величин, представленных длинами тех волн, которые использовались при формировании волнового пакета. То есть наша частично локализованная частица имеет неопределенность импульса, в точности как того требует принцип неопределенности.
Если мы точно знаем, где находилась частица в некоторый момент времени, ее волновая функция должна была тогда представлять собой очень заостренный шип, с нулевой амплитудой всюду, кроме места, где находилась частица. Такой шип тоже является волновым пакетом, но чтобы получить бесконечную заостренность его положения, мы должны составить суперпозицию бесконечного числа волн с различными длинами, а значит, и импульсами. Принцип неопределенности является квантовой версией потери ориентации: вы либо знаете, где вы, но не знаете, куда вы идете, либо знаете, куда вы идете, но не знаете, где вы.
Концепция волнового пакета помогает нам навести мосты между квантовой механикой и привычной комфортабельностью классической механики, поскольку он несет некоторые черты классических частиц. Чтобы увидеть эту связь, давайте представим себе шарик на проволоке, которая не горизонтальна, а наклонена вниз слева направо. В классическом случае мы ожидаем, что шарик будет скользить по проволоке, двигаясь быстрее и быстрее. А что говорит квантовая механика?
Сначала нам нужно построить волновую функцию шарика и, проделав это, мы сможем узнать, что говорит нам уравнение Шредингера о ее кривизне. Поскольку энергия шарика постоянна (энергия сохраняется, глава 3). а его потенциальная энергия убывает слева направо, его кинетическая энергия возрастает слева направо вдоль проволоки. Возрастание кинетической энергии соответствует возрастанию кривизны. Мы можем ожидать, что волна будет иметь длину, укорачивающуюся слева направо. Такая волновая функция для частицы с абсолютно точно определенной полной энергией будет похожа на изображенную на рис. 7.8.
Рис. 7.8. Общая форма волновой функции для шарика-бусинки на проволоке, удерживаемой под углом к горизонтали, имеющего поэтому спадающую вправо потенциальную энергию. Заметьте, что длина волны становится все короче, по мере того как мы продвигаемся все дальше направо, что в классическом подходе соответствует возрастанию кинетической энергии частицы при скольжении вниз по проволоке.
Далее нам следует узнать кое-что о том, как волновая функция меняется во времени. Необходимо теперь иметь в виду нечто новое, а именно то, что волновая функция осциллирует с частотой, пропорциональной полной энергии частицы. Мы можем представить себе волновую функцию медленно движущейся (обладающей низкой энергией) частицы как медленно осциллирующую, а волновую функцию быстро движущейся (обладающей большой энергией) частицы как осциллирующую быстро (рис. 7.9). Волновая функция на рис. 7.9 ведет себя точно таким же образом и осциллирует со скоростью, определяемой ее энергией.
Рис. 7.9. Представление зависимости волновых функций от времени. Волновые функции осциллируют во времени со скоростью, зависящей от их энергии. Мы попытались показать, как осциллируют две волновые функции, изображенные на рис. 7.6: волновая функция с большой кинетической энергией (справа) осциллирует быстрее, чем волновая функция с малой кинетической энергией (слева).
Наконец, предположим, что мы не знаем точно энергию шарика (возможно, дрожат наши руки, держащие проволоку, или по шарику колошматят молекулы воздуха). В этом случае волновая функция не будет в точности похожа на изображенную нами, а будет суммой большого числа подобных волновых функций с несколько отличающимися формами. Результирующая суперпозиция будет волновым пакетом, похожим на изображенный на рис. 7.7. Как мы уже видели, каждая индивидуальная волновая функция осциллирует как во времени, так и в пространстве, поэтому форма, которую они образуют, складываясь вместе, меняется, ибо в один момент в одном месте гребни могут наложиться друг на друга, но затем гребень превращается во впадину, и волновой пакет принимает другую форму. Когда мы исследуем эту сумму, оказывается, что область конструктивной интерференции, создающей волновой пакет, перемещается слева направо. То есть шарик ускоряется слева направо, в точности как мы знаем из классической физики. Поэтому, когда вы наблюдаете повседневные объекты в их знакомых движениях — прыгающие мячи, летающие самолеты, гуляющих людей, — созерцайте умственным взором мысль о том, что вы наблюдаете волновые пакеты и что под их поверхностью пульсирует суперпозиция волн.
Квантовая механика делает ряд предсказаний, которые шокирующе отличаются от предсказаний классической механики, и пришло время рассмотреть эти различия. Давайте предположим, что горизонтальная проволока является короткой и что движение шарика ограничено всего несколькими сантиметрами посредством зажимов на каждом конце, как на счетах. Решающей чертой здесь является то, что допустимы только те волновые функции, которые согласуются с краевыми точками, так же как струна скрипки, зажатая в определенном месте, может совершать лишь колебания, допускаемые ее концами. Поскольку кривизна волновой функции определяется кинетической энергией шарика, а значит, его полной энергией (так как потенциальная энергия постоянна), мы заключаем, что в таком устройстве шарик может обладать только определенными энергиями. Другими словами, энергия шарика квантована, в том смысле, что она принимает дискретные значения, а не меняется непрерывно (рис. 7.10). Это общее заключение: квантование энергии, первоначально предполагаемое Планком и Эйнштейном, является следствием уравнения Шредингера и требования, чтобы волновая функция была должным образом согласована с пространством, по которому странствует частица. Вот так квантование энергии автоматически вытекает из уравнения Шредингера и так называемых «граничных условий» системы.
Рис. 7.10. Когда положение частицы ограничено определенной областью пространства, допустимы лишь те волновые функции (и соответствующие им энергии), которые «укладываются» в контейнер. Слева мы видим прямое изображение и изображение двух волновых функций: одна укладывается в контейнер и допустима, другая (состоящая из точек) не укладывается и не допустима. Справа мы видим результаты для энергии: серый столбик показывает классические разрешенные энергии, а горизонтальные линии показывают первые шесть квантовых, разрешенных энергетических уровней. Соответствующие волновые функции показаны правее.
Квантование интересным способом возникает в случае маятника, создавая один необычный аспект. Сначала рассмотрим волновую функцию для положения качающегося груза с точно определенной энергией (так, что он находится в определенном квантовом состоянии). Потенциальная энергия груза возрастает, когда груз отклоняется в какую-либо сторону, поэтому его кинетическая энергия падает, чтобы сохранить полную энергию постоянной, и с классической точки зрения мы можем ожидать, что волновая функция имеет наибольшую амплитуду в крайних точках качания, где груз задерживается дольше. Мы уже видели одну такую волновую функцию (рис. 7.5). Так же как для шарика между зажимами, допустимыми волновыми функциями будут те, которые согласуются с рядом величин, допускаемых качанием от одной поворотной точки до другой. Поскольку только некоторые из возможных волновых функций ведут себя подходящим образом, и каждая волновая функция соответствует определенной энергии, отсюда следует, что только некоторые энергии являются допустимыми. Оказывается, что эти допустимые энергии образуют однородную лестницу величин с разделительным интервалом между «ступеньками», который мы запишем как ħ × частота, где ħ — постоянная Планка, а частота (о которой мы скоро скажем больше) является параметром, обратно пропорциональным корню квадратному из длины маятника. Для маятника длиной 1 м на поверхности Земли вычисления дают частоту в 0,5 Гц, поэтому интервал между допустимыми энергетическими уровнями представляет собой очень маленькую и совершенно не регистрируемую величину в триста триллионно-триллионно-триллионных джоуля (3×10−34 Дж), но он существует. Некоторые из этих энергий и соответствующие им волновые функции изображены на рис. 7.11.
Рис. 7.11. Несколько первых энергетических уровней и соответствующих им волновых функций для маятника. Заметим, что уровни энергии разделены равными интервалами. Вы также можете заметить, что форма волновой функции с наименьшей энергией не похожа на формы, которые мы предполагаем у волновых функций с высокими энергиями (как, например, на рис. 7.5), поскольку маятник вероятнее всего обнаружить вблизи нулевого смещения от вертикали, а не у точек возврата. Мы можем пользоваться классическими идеями для конструирования наших представлений о волновых функциях лишь для высоких энергий.
Теперь, вот удивительная черта. Предположим, что мы оттягиваем груз и отпускаем его. Он будет раскачиваться в некотором диапазоне энергий, возможно, из-за толчков молекул воздуха или неровности подставки. Поэтому его реальная волновая функция будет волновым пакетом, сформированным суперпозицией большого числа функций, подобных изображенным на иллюстрации. Волновой пакет прокатывается из стороны в сторону, двигаясь быстрее, когда маятник вертикален, и медленнее на краях размаха качаний, так же как классический маятник. Более того, и это удивительно, частота качаний — число качаний груза из стороны в сторону за секунду — в точности равна параметру частоты, появляющемуся в выражении для интервалов между квантовыми энергетическими уровнями. Поэтому, когда вы наблюдаете качание маятника, вы не только видите движение волнового пакета, вы видите также, наблюдая частоту, прямое отображение в высшей степени близко расположенных энергетических уровней. Другими словами вы непосредственно наблюдаете квантование. Маятник является мощным усилителем для интервалов между его квантовыми энергетическими уровнями, и когда вы наблюдаете однометровый маятник, качающийся туда-сюда, вы непосредственно наблюдаете энергетический интервал в триста триллионно-триллионно-триллионных джоуля. Я думаю, что это удивительно.
Главным выводом из этого обсуждения является то, что квантование естественно вытекает из уравнения Шредингера и что классическое поведение возникает, когда точный квантовый уровень неизвестен, и мы должны формировать волновой пакет.
Я украдкой ввернул в обсуждение слово, являющееся центральным для проблемы интерпретации квантовой механики, слово вероятность. В оставшейся части этой главы мы исследуем скрытые смыслы и следствия этого ускользающего слова, поскольку оно имеет глубокую значимость для способа, посредством которого мы думаем о мире. На самом деле я хочу вернуться к некоторым аспектам текущего обсуждения и попытаться извлечь из них несколько философских вопросов. Я колебался, не следует ли написать «эпистемологических и онтологических вопросов», то есть вопросов, связанных с природой знания и фундаментальных основ реальности. Именно такими они и окажутся, но я не философ, и не хочу создавать впечатления, что мои замечания сколько-нибудь претендуют на статус философских. Поэтому я решил написать просто «вопросов» и оставить все как есть.
Хотелось бы сделать еще одно замечание. Предшествующий материал этой главы включает в себя все, что вам в действительности необходимо знать, если вы хотите пользоваться квантовой механикой. Конечно, я оставил в стороне технические и математические детали, но все, что сказано до сих пор, является достаточно содержательным и бесспорным. Те 30 процентов экономики США, которые основаны на квантовой механике, являются результатом использования этого материала, открывающего глаза на природу происходящего. Квантовая механика становится интересной с философской точки зрения, когда мы начинаем спрашивать, что все это означает? Это и станет темой оставшейся части главы. Если вы остановитесь здесь, вы будете знать главные положения квантовой механики и, в принципе, сможете использовать ее для произведения некоторых вычислений; если вы продолжите чтение, ваши возможности пользоваться ею не увеличатся, но вы узнаете, почему люди находят ее столь глубоко озадачивающей.
Сначала я обращусь к принципу неопределенности и попытаюсь оправдать подзаголовок этой главы: упрощение понимания. Многие люди — и среди них отцы-основатели квантовой механики — считают, что принцип неопределенности ограничивает наше понимание мира, ибо, поскольку мы не можем знать положение и импульс частицы одновременно, нам доступно лишь неполное знание ее состояния. Этот пессимистический взгляд, по моему мнению, является следствием нашей культурной обусловленности. Классическая физика и наш непроизвольный повседневный опыт воспитали в нас веру в то, что вещи мира полностью описываются в терминах положений и импульсов. То есть, чтобы описать путь летящего мяча — или просто предугадать, когда по нему следует ударить, — нам необходимо оценить его положение и импульс в каждый момент. Что нам демонстрируют квантовая механика и, в частности, принцип неопределенности, так это то, что это ожидание, ожидание описания в терминах обоих атрибутов, является чрезмерным. Мир просто не соответствует ему. Квантовая механика говорит нам, что мы должны выбрать. Мы должны выбрать между обсуждением мира в терминах положений частиц и обсуждением мира в терминах импульсов частиц. Другими словами, нам следует говорить только о положении мяча или только об его импульсе. Именно в этом смысле принцип неопределенности является главным упрощением нашего описания мира, поскольку он показывает, что наши классические ожидания ложны; мир просто не похож на картинку, рисуемую классической физикой и непроизвольным повседневным опытом.
Пойдем дальше. Из принципа неопределенности следует, что для описания мира существуют два языка: язык положений и язык импульсов. Если мы попытаемся использовать оба языка одновременно (как делает классическая физика, и до сих пор делают те, кто находится под влиянием ее принципов), мы можем ожидать, что создадим ужасную путаницу, как если бы мы попытались смешать английский и японский языки в одном предложении. Как сообщают, сам Гейзенберг считал это предпосылкой для того, чтобы полагать ошибочным утверждение «для предсказания будущего нам необходимо знать настоящее». Ошибался, однако, он сам. Корректная интерпретация принципа неопределенности состоит в том, что он выявляет стремление классической физики к получению недозволенной, дезориентирующей и чрезмерной полноты знания о настоящем: для полного знания о настоящем достаточно знать одни импульсы или, как альтернатива, одни положения.
Нильс Бор в 1927 г. возвел принцип неопределенности в ранг философской позиции, введя принцип дополнительности, название для которого он, по-видимому, почерпнул в книге Уильяма Джеймса «Принципы психологии», а позднее ввел в свой герб как девиз Contraria sunt complementa. Похоже, что, как бы много ни написал о нем Бор, этот принцип не вполне ясен, но в целом он утверждает, что существуют альтернативные пути восприятия мира, что мы должны выбирать одно или другое описание и не имеем права эти описания смешивать. Бор продолжал прилагать этот принцип к литературе и социологии во многом тем же способом, каким принцип относительности был присвоен и извращен авторами нелепых литературных упражнений, но мы сосредоточимся на более надежной и приспособленной для него квантовой теории.
Принцип Бора является центральной составляющей копенгагенской интерпретации квантовой механики, которая и выросла на его основе. Копенгагенская интерпретация представляет собой сеть позиций, выстроенную вокруг борновской вероятностной интерпретации волновой функции, принципа дополнительности, количественно выражаемого принципом неопределенности, и — что наиболее важно — «позитивистским» взглядом на природу, в котором единственными элементами реальности являются результаты измерений, полученных на приборе, подчиняющемся классическим принципам. Измерение является нашим единственным окном в природу, и все, что получено не через это окно, является просто метафизической спекуляцией и не заслуживает рассмотрения в качестве реальности. Таким образом, если ваш лабораторный прибор приспособлен для исследования волновых характеристик «частицы» (например, для демонстрации дифракции электронов), то обоснованным для вас будет использование волновых терминов. С другой стороны, если ваш лабораторный прибор приспособлен для исследования корпускулярных свойств «частицы» (например, для установления места попадания электрона на фотопластинку), для вас будет уместным использовать язык частиц. Ни один инструмент не может измерять как волновые, так и корпускулярные свойства одновременно, поэтому эти свойства дополнительны. По существу это был взгляд Гейзенберга, поскольку он считал, что квантовая механика есть просто способ согласования различных экспериментальных наблюдений и ничего не сообщает о лежащей за ними реальности: для него и для других истовых адептов Церкви копенгагенцев данные наблюдений есть единственная реальность.
Мы сосредоточимся на одном аспекте копенгагенской интерпретации, на акте измерения. Измерение является решающей составляющей при рассмотрении интерпретации квантовой механики не только из-за его позитивистского характера, и того, что оно породило больше статей, замешательства и огорчений, чем любой другой аспект этой теории. Оно является решающим для копенгагенской интерпретации потому, что эта интерпретация настаивает на роли инструментов измерения в наших попытках раздразнить реальность. Но какую бы интерпретацию ни давать квантовой механике, приходит момент, когда мы должны сопоставить ее предсказания с наблюдениями, поэтому понимание границы, разделяющей предсказание и наблюдение, имеет решающую важность и значимость.
Здесь мы подошли, возможно, к наиболее трудному, но центральному моменту интерпретации квантовой механики. Я попытался упростить предмет насколько возможно, не теряя существа обсуждения. Я весьма чувствителен к изяществу аргументации и сделал все, что было в моих силах, чтобы она была, насколько возможно, прозрачной. Если дела пойдут слишком туго, без колебаний прыгайте к следующей главе, ведь все, что следует дальше, не зависит от обсуждаемого здесь.
В самом широком смысле акт измерения дает изображение квантово-механического свойства на выходе макроскопического прибора. Этот выход обычно называют «показанием стрелки», но термин можно использовать и для обозначения выходных данных любой крупномасштабной системы, таких как число, появившееся не экране монитора, значок, напечатанный на бумаге, щелчок, услышанный ухом или даже обнаружение в ящике мертвой кошки. Копенгагенская интерпретация настаивает на том, что измерительный инструмент действует классически, поскольку он должен отображать квантовый мир в терминах величин, доступных восприятию таких великанов, как мы. Хотя копенгагенская интерпретация доминировала много лет, не в последнюю очередь за счет влияния Бора, она ни в коей мере не является повсеместно принятой. Ахиллесовой пятой ее мясистой подошвы является именно эта попытка настоять на особом статусе измерительного прибора. Альтернативным является утверждение, что измерительные приборы также действуют на основе квантовых принципов; мы исследуем этот вариант позднее.
Предположим, у нас есть детектор, который включает красный свет, если электрона нет, и зеленый, если электрон присутствует. Электрон описывается волновой функцией, которая распределена в пространстве и, как мы видели, будучи возведена в квадрат, сообщает нам в каждой точке пространства вероятность того, что электрон будет там обнаружен. Если мы поместим наш детектор в область, где мы ожидали найти электрон, мы с большей вероятностью получим зеленый свет там, где волновая функция больше, чем там, где она меньше, и квадрат волновой функции будет сообщать нам вероятность (например, один раз из десяти) того, что мы получим зеленый свет.
Если, когда мы вставляем детектор, загорается зеленый свет, то мы с определенностью знаем, что частица находится в этом положении. Непосредственно перед регистрацией этого события мы знаем только вероятность того, что электрон находится там. Поэтому, в самом реальном смысле, волновая функция сжалась от формы, размазанной по пространству, до острого пика, расположенного в месте нахождения детектора. Изменение волновой функции в результате измерения с помощью классического прибора называется коллапсом волновой функции. Когда бы мы в качестве наблюдателей ни осуществили наблюдение, волновая функция коллапсирует к определенному положению, соответствующему показанию стрелки (в данном случае, переключателя, контролирующего свет), которое мы наблюдаем. Это вмешательство в систему, по-видимому, вызывающее коллапс волновой функции в отдельную точку, является центральной концепцией и в то же время трудностью копенгагенской интерпретации, а также центральной проблемой, касающейся связей между вычислением и наблюдением. Оно также является источником той точки зрения, что квантовая механика устраняет детерминизм, причинную связь между настоящим и будущим, поскольку в квантовой механике, как утверждается, нет никакого способа предсказать до проведения измерения, коллапсирует или нет волновая функция в некоторую частную точку, а возможно лишь вычисление вероятности того, что это произойдет.
Здесь я должен ввести три технических детали квантовой механики, так как они являются центральными в проблеме измерений и в ее решении. Я сделаю это с помощью изрядно заезженной проблемы кошки Шредингера. В этой квантовой метафоре Шредингер вообразил кошку, заключенную в непрозрачный ящик вместе с прибором, способным испускать яд, запускаемым радиоактивным распадом. Радиоактивный распад случаен, и на данном интервале времени распад произойдет или не произойдет с равной вероятностью. Согласно квантовой механике это соответствует тому, что состояние кошки представляет собой смесь в равных долях ее живого состояния и мертвого состояния (рис. 7.12), и мы можем записать:[33]
Состояние кошки = живое состояние + мертвое состояние.
Эта сумма является аналогом суперпозиции волновых функций, которую мы использовали при построении волнового пакета, с единственной разницей, что вместо складываемых состояний импульса здесь фигурируют состояния кошки. Построение настоящих волновых функций было бы гораздо более сложным, но нам этого делать не придется.
Рис. 7.12. Кошка Шредингера. Живая кошка заперта в непрозрачном ящике вместе с гнусным прибором, который убивает или не убивает ее. До того как мы открыли ящик, была ли кошка суперпозицией живой и мертвой кошек? Когда волновая функция коллапсирует в то или иное состояние?
Описание состояний как суперпозиций является корнем всех бед в квантовой механике, ибо, в частности, кажется, что нет способа предсказать, получим ли мы при следующем наблюдении кошки результат «она жива!» или «она мертва!». Как только мы открываем ящик, мы немедленно узнаем, жива кошка или мертва, поскольку, в некотором смысле, волновая функция кошки коллапсирует к одной или другой из волновых функций, соответствующих этим состояниям. Но в какой момент коллапсирует волновая функция кошки? Перед тем как мы открыли ящик? В момент открытия ящика? На долю секунды позже, когда наш ум регистрирует, жива кошка или мертва? Когда кошка подумает, что она умерла? Квантовая механика лишь задает правила, по которым могут быть предсказаны вероятности обнаружения этих состояний. Кажется, что из физики вытек весь детерминизм, кажется, что квантовая механика капитулировала и отдала себя в руки Бога. Этим был глубоко обеспокоен Эйнштейн, что заставило его назойливо часто возражать «Бог не играет в кости». Бор отметал этот критицизм, замечая, что причинность является, так или иначе, классическим понятием и дополнительна (в несколько смутном и неясно определенном смысле) к пространственному описанию положений частицы. То есть, согласно Бору, либо вы выбираете классическую физику и наслаждаетесь опьяняющим превосходством причинности, либо выбираете квантовую механику, но ценой, которую вы платите за это, будет причинность.
Мы можем ввести второе важное замечание, представив себе более агрессивный вариант метафоры Шредингера, в котором кошка бывает не отравлена, а застрелена. Когда в кошку производится выстрел в звуконепроницаемом ящике, состоянием прибора сначала является кошка × пуля в стволе. Ружье заставляет стрелять тот же случайный прибор, что и прежде, поэтому пуля с равными вероятностями находится в полете или еще в стволе. На этой стадии состояние системы имеет вид:
Состояние системы = кошка × пуля в стволе + кошка × пуля в полете.
Сразу после этого, когда пуля попадает в кошку (а это неизбежно, если пуля вылетела), создавая мертвую кошку, или остается в стволе, сохраняя кошку в живых, система принимает вид:
Состояние системы = живая кошка × пуля в стволе + мертвая кошка × пуля в кошке.
Это пример смешанного состояния, в котором состояния кошки и пули спутаны и переплетены. Если это истинное состояние системы, то мы можем ожидать, что существуют некие причудливые эффекты интерференции между двумя состояниями системы. Что же на свете может быть интерпретацией такого описания? Что может означать результат интерференции между волновыми функциями мертвой и живой версий кошки и различных положений пули?
Давайте сначала рассмотрим вопрос о квантово-механической интерференции между различными состояниями. При этом мы введем третью важную идею, декогеренцию. Это, возможно, наиболее тонкая часть всей аргументации, и я сделаю все, что в моих силах, чтобы держать это понятие в поле зрения. Кошка не является отдельной изолированной частицей. Она состоит из триллионов атомов, и ее полная волновая функция является очень сложным комплексом функций, описывающих положения всех этих атомов. Два состояния, вносящие вклад в систему (живая кошка × пуля в стволе и мертвая кошка × пуля в кошке), эволюционируют во времени, в соответствии с уравнением Шредингера, весьма по-разному и крайне быстро. В течение мельчайшей доли секунды волновая функция мертвой кошки становится совершенно отличной от волновой функции живой кошки, и интерференция между волновыми функциями живой и мертвой кошек полностью исчезает. В результате система не показывает никаких эффектов квантово-механической интерференции, и у нас есть либо мертвая кошка, либо живая кошка, а не потешная суперпозиция двух состояний.
Но какое же из состояний мы обнаружим? Умалчивает ли квантовая механика о предсказании результата нашего эксперимента? Потеря причинности и детерминизма, лесов и фундамента науки и понимания, кажется многим слишком дорогой ценой, особенно когда аргументы являются скорее чьим-то мнением и философскими предпочтениями, чем аргументами математическими или обусловленными экспериментом. Одно из возможных решений вырастает из предположения Эйнштейна, что квантовая механика неполна, в том смысле, что существуют скрытые параметры или характеристики частиц (включая кошек), которые от нас скрыты, но тем не менее влияют на их поведение. Так, скрытые параметры могут предписать частице вдруг возникнуть в некотором месте, в то время как квантовая теория может предсказать только вероятность ее появления там и не способна уловить скрытые параметры, контролирующие действительный результат. Тогда можно было бы предполагать, что оперирование этими скрытыми параметрами и получение точных предсказаний результатов наблюдения, а не просто их вероятности, является задачей еще не открытой более глубокой теории, лежащей за квантовой механикой.
Подтверждение или опровержение существования непознаваемых пока скрытых параметров может казаться делом недоказательных метафизических дебатов в большей степени, чем научного решения. Однако Джон Белл (1928-90) в выдающейся, простой и основополагающей статье, опубликованной в 1964 г., продемонстрировал, что существует экспериментальное различие между квантовой механикой и ее модификациями, содержащими скрытые параметры, и поэтому вопрос может быть решен раз и навсегда. Более точно, Белл показал, что предсказания квантовой механики отличаются от предсказаний теорий с локальными скрытыми параметрами. Локальные скрытые параметры вполне соответствуют своему названию: локальные параметры можно отождествить с текущей локализацией частицы, что кажется разумным требованием для того, чтобы они обладали свойством локальности. Теорема Белла не касается нелокальных скрытых параметров, когда поведение частицы здесь зависит от характеристик, помещенных где-то в другом месте; это может показаться странной возможностью, но квантовая механика учит нас, что нельзя, сидя в кресле, с легкостью отметать странности. Теорема Белла является теоретическим, хотя и сильным результатом, но она была проверена в серии экспериментов возрастающей изощренности. В каждом случае результат соответствовал квантовой механике и не соответствовал любого рода теории с локальными скрытыми параметрами.
Итак, если квантовая механика действительно полна, по крайней мере в терминах локальных свойств, должны ли мы действительно отказаться от причинности? Был предложен ряд альтернатив. Одним из наиболее радикальных — и поэтому чрезвычайно притягательных если не для ученых, то для журналистов — предложений была неудачно названная интерпретация «множественных миров», которую в несколько темной форме предложил непрерывно куривший, разъезжавший с гудками на «кадиллаке» мультимиллионер и аналитик ядерных исследований Хью Эверетт (1930-82) в 1957 г. в своей докторской диссертации. Центральной, как бы наивной и с виду безвредной идеей в предложении Эверетта, была идея, которую презрел Бор: идея о том, что уравнение Шредингера универсально справедливо и контролирует эволюцию волновой функции, даже когда частица взаимодействует с измерительным прибором. Множество возвышенных замков было построено на фундаменте этой идеи и сделанных Эвереттом замечаний по поводу ее очевидных следствий.
В замке, захватившем воображение публики, все вероятности, выражаемые волновой функцией, действительно реализуются (так, что кошка действительно и жива и мертва), но когда производится измерение и состояние обнаруживается, эта реализация расщепляет Вселенную, и из бесконечного числа параллельных Вселенных (одни с мертвой кошкой, другие с живой) выбирается только одна. По существу, взаимодействие измерительного прибора с мозгом наблюдателя выбирает ответвление, по которому Вселенная будет двигаться. Вселенную расщепляет каждое наблюдение, так что огромное и растущее множество параллельных миров в разных мозгах следует различными путями. Трудно представить себе более расточительную интерпретацию, но поскольку неприязнь не является инструментом научного отбора, некоторые принимают эту интерпретацию всерьез. В отличие от теоремы Белла, по-видимому, не существует способа проверить, действительно ли ум вовлекается в акт наблюдения, если не считать одного, однажды предложенного эксперимента. Поскольку этот эксперимент требует, чтобы наблюдатель покончил с собой, до его осуществления дело пока не дошло.
Мы (за исключением закоренелых копенгагенцев) должны отличать безупречную, по-видимому, идею Эверетта о том, что уравнение Шредингера приложимо к макроскопическим объектам, от интерпретаций, построенных на этой точке зрения, так что вы должны быть очень осторожны, определяя, какой аспект интерпретации «множественных миров» вы имеете в виду, когда просите кого-нибудь сообщить, является ли он многомирцем. Я думаю, честно будет признать, что большинство физиков сегодня принимает «постную» версию интерпретации «множественных миров», гласящую лишь об универсальности уравнения Шредингера, но некоторые присоединяются и к более субъективным оттенкам, которые добавились к этой интерпретации. «Универсально шредингеровский взгляд» противоречит копенгагенской интерпретации, которая утверждает неприятную мысль, что квантовая механика в чем-то неверна, когда ее прилагают к макроскопическим ансамблям атомов, которые мы называем измерительными инструментами. Эта позиция, по-видимому, является чрезмерно капитулянтской, и трудно понять, как квантовая механика может постепенно слепнуть или даже резко переключаться на другую теорию, когда число атомов, входящих в систему, возрастает. Определенно верно, что макроскопические объекты в очень хорошем приближении ведут себя в соответствии с классической физикой: но мы знаем, что это поведение является просто проявлением квантовой механики в приложении к большому числу атомов.
Давайте задержимся на «универсально шредингеровском взгляде» и посмотрим на его проблемы и следствия. Мы остаемся с возможностью того, что простейший сценарий адекватен: квантовая механика полна, локальные скрытые параметры отсутствуют, и она с исчерпывающей полнотой описывает тела, состоящие из любого числа частиц. Коллапс волновой функции, таинственная компонента копенгагенской интерпретации, тоже оказывается за бортом, так как универсальное уравнение Шредингера должно будет каким-то образом учитывать все изменения, которым подвергается волновая функция, включая видимый коллапс, происходящий при измерении. Как тогда, при этих условиях, сможем мы сохранить причинность и детерминизм в рамках квантовой механики и, в частности, в процессе измерения?
Успех декогеренции в устранении квантово-механической интерференции между живой и мертвой версиями кошки заставляет предположить, что и здесь декогеренция является тем рыцарем в белых доспехах, который нам необходим. Живая или мертвая кошка есть сложное показание стрелки. Раз это так, давайте упростим проблему, вообразив примитивный измерительный прибор, состоящий из мячика, покоящегося на вершине бугра между двумя ямами. Легчайший толчок отправит мячик в одну из двух ям, и наблюдая, в которой из ям мячик приземлился, мы можем определить, получил ли мячик легкий толчок налево или направо (рис. 7.13). Этот прибор является усилителем толчков, и это сущностная характеристика всех измерительных приборов: они все являются усилителями толчков. Если нам хочется, мы можем приклеить в левой яме этикетку «мертвая кошка», а в правой «живая кошка». Кошка является тогда усилителем положения пули: я оставляю для вас задачу перевода с языка шредингеровской кошки-индикатора на язык стилизованного упрощения «мячик на бугре».
Рис. 7.13. «Бугор-усилитель», который кратко иллюстрирует проблему измерений в квантовой теории. Мячик на вершине между двумя ямами находится в состоянии «готовности». Если бугор посылает его направо, то в отсутствие трения он будет кататься взад и вперед между двумя ямами, и мы будем обнаруживать его в левой яме так же часто, как в правой. Однако, если присутствует трение (символизирующее декогеренцию и указанное столбиками справа), мячик остановится в правой яме, и мы получаем жизнеспособный измерительный прибор.
Как мы упоминали ранее, это прибор бесполезен, поскольку мячик, который свалился в левую яму, подскочит по противоположной стенке, снова упадет и перепрыгнет бугор. Мячик остановится в яме, в которую упал сначала, только если существует трение, рассеивающее его энергию. Именно трение ловит мячик в его яме и дает нам возможность проверить на досуге показание нашего прибора. Теперь у нас есть жизнеспособный измерительный прибор, и жизнеспособным его делает трение, то есть взаимодействие системы с ее окружением.
Трение является аналогом декогеренции. (Это утверждение требует акта веры с вашей стороны: я снова пытаюсь скорее интерпретировать математические формулы, чем оправдывать каждый шаг.) Мы можем думать о катящемся шаре как о чистой частице Шредингера, подчиняющейся контролю его уравнения. Начальным состоянием измерительного прибора является равновесие шара на вершине бугра; мы назовем это состояние готовностью прибора. Предположим, что частица, состояние которой определяет детектор, находится в состоянии, являющемся суперпозицией движения влево, которое мы будем называть частица, движущаяся влево, и движения вправо, которое мы обозначим частица, движущаяся вправо, тогда до определения состояния системы:
Начальное состояние = готовность прибора × (частица, движущаяся влево + частица, движущаяся вправо).
Когда частица ударяет по детектору, мячик переходит в суперпозицию положений в левой и правой яме, что дает:
Конечное состояние = мячик слева + мячик справа.
Однако, поскольку мячик связан с окружением посредством трения, происходит очень быстрая декогеренция этих двух состояний, и мы никогда не наблюдаем никакой интерференции между ними: фактически мячик находится либо на правой стороне, либо на левой — суперпозиция распалась на два, в сущности классических, состояния.
Существует еще вопрос о том, где находится мячик на самом деле, в правой или в левой яме? Нам нужно вспомнить, что в состоянии готовности он деликатно уравновешен на вершине бугра так, что может скатиться в любую сторону. Это просто другой способ сказать, что детектор очень чувствительный и не имеет предпочтений. Теперь надо вспомнить, что и сам мячик не полностью изолирован от своего окружения, а подвергается вибрации, ударам молекул воздуха, легкому прикосновению случайно залетевшего фотона, и так далее. Когда частица, состояние которой определяется, ударяет по мячику и побуждает его скатиться в ту или иную сторону, сочетание воздействий, запускающих движение в обе стороны с равной вероятностью, и локальное возмущение, которое может действовать в любом направлении, запускают движение в определенную сторону. В результате суперпозиция развивается в сторону скатывания мячика лишь в одну из ямок, где его немедленно ловит декогеренция.
Поэтому сущностным свойством измерительного прибора является не требование, чтобы он был классическим, и для него были недействительны предписания уравнения Шредингера (как утверждает копенгагенская интерпретация), а то, что он является макроскопическим квантово-механическим прибором, погруженным в свое окружение.
Я коснулся лишь поверхностных аспектов квантовой механики. Существует несколько выводов из этого рассмотрения, которые следует намотать на ус, и здесь я попытаюсь дать их обзор.
Во-первых, мы больше не должны думать о волнах и частицах как о различных сущностях. Если мы думаем в терминах частиц, нам приходится думать в терминах их положений. Если мы думаем в терминах волн, нам приходится думать в терминах их длин и, следовательно, из соотношения де Бройля, в терминах импульсов. Принцип неопределенности выражает эту сущностную дополнительность, предупреждая нас, что определение корпускулярных свойств (положения) препятствует определению волновых свойств (импульсов). Простое, детерминистическое описание мира может быть получено, только если мы отказываемся от одной или другой из этих модальностей мышления.
Свойства частиц (как мы согласились называть эти сущности, имеющие характер хамелеона) вычисляются путем решения уравнения Шредингера. Решения этого уравнения содержат всю динамическую информацию о частице, такую как вероятность ее обнаружения где-либо или вероятность какой-либо скорости ее движения. Эти решения объясняют также все наблюдения, которые требуют в первую очередь квантово-механических формулировок, такие как дифракция частиц и существование квантовых энергетических уровней, которые ввели Планк, в связи с излучением черного тела, и Эйнштейн, в связи с атомами в твердых телах. Реализация уравнения Шредингера — нахождение его решений и, таким образом, предсказание свойств объектов — может быть достигнута почти автоматически, и нету никаких сомнений в том, что квантовая механика является глубоко надежной теорией.
Место, где квантовая механика становится странной, находится на границе между микроскопическим и макроскопическим, поскольку результаты измерений, видимо, предполагают, что квантовая механика является полностью вероятностной и устраняет детерминизм. Это не вполне так. Волновые функции эволюционируют вполне детерминистически, следуя уравнению Шредингера. Детерминизм отсутствует в предсказании результатов измерений. Одно из решений этой проблемы, неполнота квантовой механики в смысле существования скрытых параметров, которые управляют реальным результатом наблюдения, но лежат невидимые под поверхностью теории, не является приемлемым, поскольку такая теория несовместима с результатами проводившихся экспериментов. Копенгагенская интерпретация утверждает, что уравнение Шредингера должно здесь сменяться таинственным процессом, называемым коллапсом волновой функции. Однако весьма неправдоподобно, что квантовая механика имеет область компетенции, которая перестает действовать, когда система становится более сложной. Современная точка зрения состоит в том, что уравнение Шредингера справедливо всегда и что слабые воздействия, поступающие из запутанного окружения, достаточны для объяснения всех наблюдений. Кое-кто, однако, категорически не согласится с этой точки зрения. Замечание Ричарда Фейнмана, процитированное под заголовком этой главы, все еще остается очень верным.
Глава восьмая Космология Глобализация реальности
Он дал человеку речь, и речь породила мысль, которая есть мера Вселенной.[34]
ШеллиВеликая идея: Вселенная расширяется
Науку часто считают самонадеянной в ее самоубийственной, в глазах некоторых (включая меня самого), претензии быть единственным путем к истинному, полному и совершенному знанию. Однако некоторые из ее величайших достижений обладают необычайной скромностью. Ни в чем ее достижение не является столь величественным, а эта униженная скромность столь уместно полной, как в ее роли при установлении места человека во Вселенной. Самонадеянность этого величайшего достижения заключается в уверенности, что наука способна ответить на величайший из всех вопросов: вопрос о происхождении Вселенной. Неизбежное и ироническое унижение заключается в том, что астрономическая и космологическая революция свела на нет уникальность положения человека. У Птолемея мы были в центре. Коперник немного спихнул нас на прекрасную, но тем не менее небольшую планету на орбите вокруг Солнца. С тех пор Солнце было выпихнуто на незначительное положение в незначительной галактике в незначительном скоплении галактик в том, что может оказаться незначительной Вселенной.
Эта глава является историей последовательного унижения, в котором наши научные исследования столкнули нас с предположительной претензии на центральное место более даже, чем в сторону, и умалили нашу значимость. Однако в то же самое время, когда мы прилагали усилия, чтобы осознать нашу незначимость, мы, малюсенькие существа с ничтожными мозгами, постигли расширение Вселенной, дали меру всему, что существует, определили то, что, по-видимому, является нашим истоком, и даже выяснили вероятное развертывание нашего космического будущего. Нам есть чем гордиться в пучине нашего неизменно возрастающего унижения.
В предыдущих главах мы смотрели вглубь; здесь мы глядим наружу. Раньше мы смотрели на чрезвычайно малое; здесь мы смотрим на чрезвычайно большое. Теперь мы смотрим в открытое пространство небес, видим, где расположена наша маленькая арена, и вопрошаем, что же могут поведать нам звезды.
Звезды не избежали внимания греков. Сначала, когда в те более темные, чем теперь, дни, они ночью поднимали глаза, они видели щит с проколотыми в нем дырками, через которые светит божественный свет блистающей внешней сферы. Это видение космоса стало несколько более изощренным, когда во мнении проницательного Евдокса из Книда (примерно, 408-355 до н.э.) щит уступил место двадцати семи концентрическим сферам. До сих пор спорят, считал ли Евдокс эти сферы просто вычислительным приемом или, подобно Аристотелю, который усовершенствовал эту модель и довел число сфер до волнующих пятидесяти четырех, реально существующими. С точки зрения Аристотеля или, по крайней мере, средневековых представлений о том, что он действительно написал, все эти сферы, за исключением наружной, были прозрачными; наружная была черной, с точками прикрепленных к ней светильников, и делала один оборот в день. Согласно Аристотелю, небесные тела, населяющие сферы, были сделаны из пятого элемента, квинтэссенции, не имеющего аналога на Земле. Мы можем здесь фыркнуть, но остерегитесь: квинтэссенция еще вернется в конце этого обсуждения. Оболочки находились почти, но не совсем, в достижимых пределах, поскольку их высоту было трудно измерить. Даже Иоганн Кеплер (1571-1630) думал, что все звезды лежат на твердой оболочке толщиной лишь в несколько километров.
Наше восприятие Вселенной стало расширяться, когда человек положил ее под выпуклую линзу и отразил в параболическом зеркале. Ко времени сэра Уильяма Гершеля (1738-1822), который начал свою карьеру гобоистом в оркестре ганноверской гвардейской пехоты, но, под покровительством другого ганноверца, Георга III, превратился в выдающегося астронома, она разрослась в жерновообразное скопление мириадов звезд, имеющее около шести тысяч световых лет в диаметре. Постигаемый диаметр рос с момента постройки Эйфелевой башни, не потому, что астрономы могли теперь подняться выше над землей и вознести свои головы ближе к небесам[35], а потому, что лифт в этой башне был построен неким Уильямом Хейли, который поэтому разбогател достаточно для того, чтобы оплачивать страсть своего сына Джорджа Хейли (1868-1938) к астрономии. Хейли-младший был первым директором Йеркской обсерватории университета Чикаго, названной в честь Чарльза Йеркса, безжалостного чикагского трамвайного магната, который, в надежде вернуть себе место в обществе после тюремного заключения за присвоение чужого имущества, позволил уговорить себя финансировать постройку крупнейшего для того времени телескопа-рефрактора (его линза составляла 1 метр в диаметре). В 1904 г. Хейли перебрался в обсерваторию Маунт Вильсон, непосредственно под Лос-Анджелесом. Он знал, что добавляя дюймы к зеркалам, он сможет проникать в космос на большее число световых лет. Сначала его отец помог оборудовать там 60-дюймовый (полутораметровый) телескоп-рефлектор; затем, при содействии другого бизнесмена, Джона Хукера в 1918 г. был построен 100-дюймовый телескоп, остававшийся крупнейшим в мире в течение тридцати лет.
В 1919 г. Хейли убедил присоединиться к нему Эдвина Пауэлла Хаббла (1889-1953), стипендиата Родса из Оксфорда, который изучал право, но стал уставать от предъявляемых учебой требований. Хаббл начал свою работу с определения расстояния до некоторых дымчатых скоплений звезд, туманностей, которые долго приводили в недоумение астрономов. Измерение расстояния до объектов — далеко не легкая задача. Когда Хаббл приступил к работе, существовал лишь один способ сделать это, состоявший в использовании техники, предложенной Генриеттой Левит (1868-1921), работавшей в Обсерватории Гарвардского колледжа. Она заметила корреляцию между яркостью определенного класса звезд, переменных цефеид, которые встречаются в рукавах спиральных галактик, и периодом их пульсаций. Яркость, которую астрономы измеряют на Земле, зависит от расстояния до звезды, чем больше расстояние, тем более тусклой выглядит звезда. Поэтому, регистрируя период переменной звезды, мы можем судить об ее абсолютной яркости, а измеряя видимую яркость, можем сделать вывод о расстоянии до нее. Заключение Хаббла оказалось поразительным: в то время как наша Галактика, Млечный Путь, имеет, как известно, диаметр около 25 тысяч световых лет, ближайшая из туманностей, туманность Андромеды, удалена от нас на 2 миллиона световых лет. Она должна была находиться вне нашей Галактики; она была другой галактикой!
Наша воспринимаемая Вселенная немедленно стала больше, чем считалось ранее, и дыба нашего унижения натянулась еще на одну засечку. Нам не только пришлось принять факт, что мы не находимся в центре нашей планетной системы и вытолкнуты к краю Млечного Пути, но теперь стало ясно что и наша Галактика не более чем одна из мириадов. Пришло время еще большего и более серьезного унижения.
Следующей задачей Хаббла было определить скорости, с которыми другие галактики приближаются к нам или удаляются от нас, и, таким образом, обнаружить динамику Вселенной. Похожа ли она, например, на газ, в котором острова галактик сгрудились почти случайно, или они просто подвешены на небе? Это движение уже фактически установил в 1912 г. Весто Слайфер (1875-1969), работавший в Обсерватории Лоуэлла в Аризоне. Он измерял смещение цвета галактик, вызываемое их движением, и к 1924 г. обнаружил, что тридцать шесть галактик из пятидесяти одной, обследованной им, удаляются от нас. Слайфер использовал эффект Допплера, изменение длины волны света, вызванное движением источника: движение к нам уменьшает воспринимаемую длину волны, придавая белому цвету синий оттенок; движение от нас увеличивает воспринимаемую длину волны, придавая белому цвету красный оттенок. Подобный же эффект имеет место и для звука: когда приближающийся к нам экипаж издает более высокий звук, чем экипаж от нас удаляющийся. Этот эффект возникает, потому что движение источника сближает гребни волны или раздвигает их (рис. 8.1). Чем больше скорость источника, тем больше смещение длины волны, поэтому относительную скорость можно определить, измеряя смещение. Если длина волны возрастает, давая так называемое красное смещение, то источник движется от наблюдателя. Свет большей части галактик демонстрирует красное смещение, поэтому они удаляются от нас.
Рис. 8.1. Эффект Допплера состоит в изменении длины волны излучения (будь то света или звука), принимаемого неподвижным наблюдателем от движущегося источника. На верхней диаграмме источник неподвижен и посылает излучение с заданной длиной волны. На средней диаграмме источник движется в направлении наблюдателя, и гребешки волн сближаются так, что наблюдатель принимает волны более короткой длины волны или более высокой частоты (смещение к синему или к более высоким нотам для звука). На нижней диаграмме источник удаляется от наблюдателя, движение растягивает волны, и наблюдатель принимает волны большей длины волны или более низкой частоты (смещение к красному или к более низким нотам для звука).
Хаббл пошел дальше. В 1923-29 гг. он пришел к удивительному заключению, что скорость удаления пропорциональна расстоянию от нас, чем дальше галактика, тем быстрее она от нас улетает. Это наблюдение теперь выражается в общем законе Вселеноой:
Скорость удаления = постоянная Хаббла × расстояние от нас.
Постоянная Хаббла такова, что галактика на расстоянии 10 миллионов световых лет кажется удаляющейся от нас со скоростью 200 км в секунду, галактика на расстоянии 20 миллионов световых лет кажется удаляющейся от нас со скоростью 400 км в секунду, и так далее.
Хаббл сделал вывод, хотя даже забыл упомянуть о нем в первой работе, что Вселенная расширяется. Каждая галактика подобна точке, отмечающей положение на слое резины. Для дальнейших ссылок представим себе галактики в виде маленьких монет, наклеенных на поверхность резинового баллона: когда резина растягивается, монеты расходятся в стороны, но сами они не растягиваются (рис. 8.2). Следствие этого расширения ужасно, ибо если мы проследим его назад во времени, то должен настать момент, когда все монеты совпадут, а Вселенная превратится в единственную точку. То есть Вселенная, по-видимому, имела начало. Я ввел уклончивое слово «по-видимому», потому что в космологии ничего нельзя утверждать вполне прямо, особенно в криволинейном пространстве-времени, и позднее мне придется дополнить это умозаключение. Однако на данной стадии мы можем считать одним из следствий великой идеи о том, что Вселенная расширяется, утверждение, что был момент, когда все это началось. Это действительно захватывает дух и вызывает множество вопросов, некоторые из которых, например, как разворачивается Вселенная[36], мы исследуем в этой главе.
Рис. 8.2. Модель, показывающая, как мы можем представить себе расширяющуюся Вселенную. Монеты, приклеенные к поверхности сферы, представляют галактики. Когда Вселенная расширяется — что представлено расширением сферы, — галактики удаляются друг от друга, но сами не расширяются. В соответствии с этой моделью, наблюдатель, находящийся на любой монете, будет видеть, как другие монеты удаляются: из разбегания галактик не следует, что мы занимаем во Вселенной особое место.
Существует несколько аспектов нашего описания, которые мы должны отправить на отдых, некоторые теперь, некоторые позже. Где бы мы ни поместили наши телескопы, мы видим галактики, улетающие от нас по мере расширения Вселенной. Однако это не совсем верно, некоторые близкие галактики — одна из них туманность Андромеды — немного угрожающе движутся по направлению к нам. Это «локальное» движение является так называемым особым движением галактики (где «особое» означает скорее индивидуальное, чем необычное), движением относительно каркаса расширяющейся Вселенной. Мы можем представлять себе галактики блуждающими по пространству и отвечающими на притяжение друг друга. Для близких друг к другу галактик это движение может преодолевать космическое разлетание, так же как две монеты, скользящие по слою резины, могут съезжаться, несмотря даже на то, что резина растягивается.
Вторым аспектом является тот факт, что расширение, которое мы наблюдаем, как нам кажется, помещает нас снова в центр мира, поскольку все галактики удаляются от нас. Это неравноправие, однако, иллюзорно, так как, где бы в космосе мы ни находились, мы все равно видели бы разлетание прочь от нас. Аналогия монет, приклеенных к баллону, показывает, что происходит: на какой бы монете мы ни стояли, мы увидим, что соседние монеты удаляются от нас. Это наблюдение является сутью принципа, воплощающего политическую корректность, космологического принципа, который утверждает, что Вселенная выглядит одинаково, где бы ни находился наблюдатель. Смирение снова возвращается на свое место.
Перед тем как перейти к делу, коснемся одного технического момента. Хаббл был не вполне прав, думая, что он измерил скорость разбегания галактик. Мы можем интерпретировать красное смещение как эффект Допплера и, значит, как указание на скорость удаления галактик, только для объектов, которые близки к нам. Свет от очень удаленных объектов начал свой путь к нам давным-давно; Вселенная с тех пор расширилась, и волны света растянулись. Правильной интерпретацией красного смещения, пригодной как для близких, так и для очень удаленных галактик, является та, в которой оно есть мера изменения масштаба Вселенной за время, прошедшее от момента излучения света до момента его регистрации.
Так, если длина волны смещена к красному каким-либо фактором, то волна начала свое путешествие, когда Вселенная была намного меньше. Это необычайно, что, глядя в пространство, мы видим Вселенную такой, какой она была, когда ее масштаб был меньше чем теперь.
Если бы галактики двигались с постоянной скоростью, мы могли бы использовать постоянную Хаббла, чтобы вычислить, когда вся видимая Вселенная была одной точкой. Нам придется вернуться к этому позже, но здесь подходящий случай начать. На таком основании мы можем считать, что Вселенная возникла приблизительно 15 миллиардов лет назад. Событие, которое знаменует начало Вселенной, британский астроном Фред Хойл (1915-2001), выступая по радио в 1950 г., назвал Большим Взрывом. Хойл использовал этот термин пренебрежительно[37], поскольку он предпочитал свою собственную теорию устойчивого состояния Вселенной, в которой, по мере расширения Вселенной, в нее вбрасывается вещество, чтобы обеспечить сохранение его плотности. При известной скорости расширения Вселенной, которая принималась в теории устойчивого состояния, в каждом кубическом метре пространства каждые 10 миллиардов лет должны порождаться всего несколько атомов водорода, поэтому требования к тому, кто производит материю, не слишком обременительны. Конечно, мы можем даже представить себе напряжение натянувшегося пространства, порождающего атомы, поэтому рождение вещества не является абсурдным a priori; но сотворение частиц, очевидно, отвергает закон сохранения энергии, и поэтому это предположение дурно пахнет, несмотря на его благонамеренность.
Теория устойчивого состояния привлекала Хойла, поскольку позволяла избежать вопроса о том, что случилось в начале, ибо начала не было: Вселенная всегда была здесь и всегда расширялась. Она также позволяла избежать еще более головоломного вопроса о том, что происходило до того, как Вселенная появилась на свет. Однако возможность избегания вопросов не может быть оправданием для принятия какой-либо теории; разумеется, это лишь кажущееся упрощение, и еще неизвестно, что труднее: понять, почему Вселенная всегда была тут, или найти механизм ее возникновения. В целом для ученых причинно-следственная цепочка более приятна, чем воспоминания о вечности.
Модель устойчивого состояния Вселенной, независимо развитая Генрихом Бонди и Томасом Голдом в работах, опубликованных с 1948 по 1949 гг., теперь огромное большинство ученых не считает правдоподобной, и она, подобно самому Хойлу, почила в Бозе. Однако нам не следует слишком поспешно насмехаться над забракованной теорией: далее мы увидим, что современные представления вернулись к ее более изощренной версии, в которой целые вселенные вбрасываются в бытие даже чаще, чем теория устойчивого состояния требует того от малюсеньких атомов водорода.
В высшей степени впечатляющими являются обнаружение космического фонового излучения и его детальные свойства, которые мы вкратце опишем, фактически составляющие огромный корпус свидетельств говорящих в пользу модели Большого Взрыва. Некоторые космологи сегодня сомневаются, что Вселенная в раннем возрасте прошла через стадию, когда она была очень плотной и очень горячей. Но на самом деле с помощью необычайного сочетания теории, наблюдений и растягивания наших знаний об очень малом для объяснения очень большого, мы можем сегодня со значительной уверенностью проследить историю Вселенной назад во времени, вплоть до малейших долей первой секунды после ее рождения. Астрономическим наследием Хаббла является экспериментальное открытие расширения Вселенной; его интеллектуальное наследие, однако, гораздо значительнее, ибо оно включает в себя самое малое, осознание того факта, что такие карлики, как мы, могут проследить свою историю почти до начала времен. Это интеллектуальное наследие мы исследуем в оставшейся части этой главы и увидим, что научные идеи, рождающиеся в наших лилипутских лабораториях, способны объять космос.
Сверхострый интеллект может увидеть с первого взгляда, что Вселенная расширяется. В 1826 г. немецкий астроном Генрих Вильгельм Ольберс (1758-1840) видел вполглаза, что Вселенная расширяется, но не понял того, что увидел. Он опубликовал вопрос, известный теперь как парадокс Ольберса, несмотря на то, что проблема была известна с тех пор, как в 1610 г. Кеплер предлагал для нее решение. Ольберс указал на правоту тех, кто озадачен тем фактом, что на небе по ночам темно. Вы и я, с нашими необученными умами, можем думать, что ответ очевиден: Солнце зашло. Но Ольберс напомнил своим читателям, что если Вселенная бесконечна и вечна, то куда бы вы ни провели достаточно далеко в небо линию от вашего глаза, ее конец упрется в звезду. Поэтому небо ночью должно быть таким же ярким, как поверхность Солнца, так как оно по существу является сплошным листом Солнца, покрывающим небеса. Хотя наше солнце может зайти, мириады других солнц не заходят.
Существуют два возможных объяснения. Первое, более простое, заключается в том, что если Вселенная возникла конечное время назад, аргументы Ольберса неверны, поскольку свету от очень отдаленных звезд не хватило времени, чтобы долететь до нас. Поэтому, вместо того чтобы быть листом солнечного света, лист неба имеет щели, в которых звезды находятся слишком далеко для того, чтобы внести вклад в освещенность ночного неба.
Второе объяснение является более утонченным и еще больше уменьшает интенсивность света, который даже из конечной Вселенной должен, по нашим ожиданиям, достичь наших глаз. Когда мы смотрим вдаль, мы смотрим назад сквозь время, так как оно требуется для того, чтобы свет достиг до нас. Мы видим то, что было, когда свет отправился в путь, а не то, что происходит, когда свет достигает наших глаз. Даже чтение этой страницы уже является частью истории, поскольку вы видите ее такой, какой она была около одной миллиардной секунды назад (10−9 секунд, 1 наносекунда), а не такой, какой она является в этот момент. Большинство зрителей спортивных соревнований видят их так, как если бы они проходили в прошлом году, или, точнее, в прошлой микросекунде, не в тот самый момент, когда забивается гол, а примерно на микросекунду позже. Удаленные астрономические объекты излучили свет, который сейчас достигает нас, миллиарды лет назад, когда температура Вселенной была столь высокой, что все небо светилось с интенсивностью солнца. Глядя в это «далеко» и в это «давно», мы могли бы ожидать, подобно Ольберсу, что увидим небо, залитое светом. Но с тех пор Вселенная расширилась, и волны света, типичного для объектов, разогретых до 10 тысяч градусов (104 К), чрезвычайно растянулись. Вместо длин, измеряемых в нанометрах, при которых волны видимы, они приобрели длины, измеряемые в миллиметрах, и стали невидимыми. Эти волны теперь характеризуют гораздо более холодное тело с температурой около 3 градусов около абсолютного нуля (3 К). Ночное небо действительно светится чем-то, приближающимся по интенсивности к свечению поверхности звезды, но этот звездный свет является столь древним и растянутым, что мы воспринимаем небо темным.
Ученые натолкнулись на это объяснение, когда модель горячего Большого Взрыва утвердилась как теоретическая возможность. На основании этой модели также было предсказано, что температура Вселенной должна падать по мере ее расширения, поскольку длины волн излучения, заполняющего все пространство, растягиваются. В результате то, что когда-то было коротким, становится длинным, а плотность энергии во Вселенной падает. Температура оказывается обратно пропорциональной масштабу Вселенной, так что, когда Вселенная удваивается в размере, ее температура падает до половины предыдущей величины. Для обнаружения излучения, оставшегося от Большого Взрыва, были приложены значительные усилия, но всех опередили обучавшиеся в докторантуре Арно Пензиас (р. 1933) и Роберт Вильсон (р. 1936), которые занимались удалением голубиного помета с большой микроволновой антенны. Однако это не было единственным их занятием: они были радиоастрономами, принявшими в свое ведение эту антенну, ставшую ненужной, когда примитивная передающая система спутника Эхо была заменена на Телстар. Они надеялись использовать ее в интересах более фундаментальной радиоастрономии и поискать источник фонового шипения, докучавшего приему. После исключения всех наземных источников, для чего и требовалось соскоблить голубиный помет и повернуться спиной к Манхэттену, им оставалось лишь прийти к выводу, что излучение имеет космическое происхождение. Они наткнулись на останки огненного шара, его ослепительного излучения, растянувшегося до невидимых микроволн, его электрического грома, приглушенного до почти молчащего электронного шипения.
Подробное изучение микроволнового фонового излучения в последующие годы показало, что оно в точности такое, какое, по ожиданиям, излучало бы тело при температуре 2.728 градусов выше абсолютного нуля (то есть около минус 270 градусов Цельсия, рис. 8.3). С того момента, как было дозволено наше движение вокруг Солнца, движение Солнца вокруг центра нашей Галактики и общий дрейф нашей локальной группы галактик к Великому Аттрактору, это излучение остается одинаковым в любом направлении, куда ни бросишь взгляд. Оно однородно с точностью до одной стотысячной и имеет характеристики, которые отметают множество других предположений, делавшихся для объяснения его происхождения теми, для кого идея горячего Большого Взрыва отвратительна. Нет сомнения в том, что Вселенная когда-то была в высшей степени горячей и в высшей степени плотной.
Рис. 8.3. Интенсивность излучения, заполняющего пустое пространство, может быть измерена для каждой длины волны, и кружочки показывают полученные таким способом величины. Сплошная линия является интенсивностью, предсказываемой законом Планка для излучения черного тела (глава 7), если температура тела равна 2,728 К.
Теперь мы можем соединить вместе наблюдения и теорию и немного поразмышлять об истории мира. Мы знаем (из решения уравнений Эйнштейна, дающих математическое описание гравитационного поля в присутствии массивного тела, глава 9), как будет меняться масштаб Вселенной со временем в зависимости от сделанного предположения о том, как много вещества она содержит. Мы знаем из определения постоянной Хаббла современную скорость ее расширения и знаем, как температура Вселенной связана с ее масштабом. Откуда мы это знаем? Интенсивность излучения волн различной длины зависит от температуры (вспомним наше обсуждение излучения черного тела в главе 7, рис. 8.3), а длины волн при расширении Вселенной растягиваются, поэтому существует связь между температурой и масштабом. Комбинируя связь температуры с масштабом и изменение масштаба во времени, мы можем определить, как меняется со временем температура Вселенной.
Мы можем развернуть эту связь больше, поскольку знаем из наших лабораторных опытов, какие изменения вызывает температура. Мы знаем, как температура Вселенной, космического горнила, потом печки, а позднее и холодильника, менялась во времени, поэтому у нас есть средства для вывода заключений о том, как свойства Вселенной менялись вскоре после ее рождения. Вообще говоря, высокие температуры заставляют вещи разваливаться, и лишь частицы, которые крепко удерживаются вместе, имеют шанс выжить при них, а частицы, удерживаемые слабо, могут выжить лишь при низких температурах. Мы используем этот принцип в кухне, где жарка и варка помогают расщеплять вещества на более мелкие, более легко усваиваемые, более ароматные молекулы, а замораживание помогает хранить их, замедляя реакции, приводящие к разложению. Температура космоса выполняет похожую кулинарную функцию, но припасы, которые мы готовим в космической печи, есть содержимое самой материи.
«Вскоре после» в последнем параграфе является ни к чему не обязывающим оборотом, требующим расшифровки. Когда диаметр объема, в который была упакована современная наблюдаемая Вселенная, равен величине, называемой планковской длиной, несколько меньшей 200 миллиардно-триллионных метра (то есть 1,6×10−35 м, фундаментальная величина, с которой мы встретимся в главе 9), наша современная физика спотыкается. Для изучения событий, происходивших, когда Вселенная была столь компактной, нам нужна квантовая теория гравитации. Такая теория начинает возникать, но сегодня мы так мало уверены в ней, что я выделю эту квантово-палеолитическую эру из нашей истории и рассмотрю ее позже отдельно. Туннель, вырытый нами назад сквозь время, выходит из тумана неведения на планковском времени, около 5,4×10−44 с после рождения, когда температура принимала свою планковскую величину примерно 1,4×1032 градусов Это было около 15 миллиардов лет назад: не в пределах живой памяти, но и не так ужасно далеко, чтобы невозможно было себе представить. И это в самом деле совершенно замечательно, что так много всего произошло за такое короткое время. Мы не можем, как епископ Ашер с его дотошным анализом Библии, дать точную дату, вроде 23 октября 4004 г. до н.э., полдень, время завтрака[38], но точность нашего определения момента рождения возрастает по мере роста нашего понимания динамики эволюции Вселенной, и мы можем надеяться вскоре пришпилить его с точностью до миллиарда лет или большей.
Имеется еще одна характеристика начала, на которую нам надо обратить внимание. Часто спрашивают, где происходил Большой Взрыв? Ответ прост и точен (каким и бывает всегда хороший ответ): он происходил везде. Вселенная не взрывалась во что-то, и в той мере, в какой название Большой Взрыв создает впечатление взрыва, оно неудачно. Большой Взрыв заполнял все пространство: он происходил всюду. И нет необходимости, чтобы Вселенная когда-то была точкой. Если Вселенной предназначено расширяться вечно (без обратного схлопывания), то всегда вне любой заданной области находилась масса, большая, чем внутри нее, даже в момент творения. То есть если Вселенная «открыта» и должна расширяться вечно, она всегда уже была бесконечной. Поэтому, даже если видимая Вселенная, Вселенная, с которой мы взаимодействуем — которая простирается на 15 миллиардов световых лет от нас во всех направлениях и свет которой сотворен на таком расстоянии, чтобы ему как раз хватило времени достичь нас сегодня, — была когда-то спрессована в бесконечно малую точку, мир все же был бесконечной областью вне этой точки. Только если Вселенная «замкнута», то есть подвергнется Большому Хлопку в некотором отдаленном времени в будущем — событие, представляющееся все более маловероятным по мере накопления свидетельств, связанных со скоростью расширения, — было бы правильным представлять себе всю Вселенную первоначально упакованной в одной точке.
Нам также необходимо понять, как описывать расширение Вселенной. В дальнейшем я буду говорить не о размере Вселенной, которая, по-видимому, бесконечна во все времена, и не о размере видимой Вселенной, который соответствует радиусу около 15 миллиардов световых лет, но раньше был меньше, а о ее масштабе. Под этим «масштабом» я имею в виду множитель, связанный с расстоянием между двумя точками, которые сегодня отделяет друг от друга 1 метр. Так, при масштабе 100, эти точки будет разделять 100 метров, когда масштаб был одна миллиардная (10−9), две точки были разделены расстоянием в одну миллиардную метра (10−9 м). Эйнштейновские уравнения гравитационного поля можно использовать для расчета зависимости масштабного множителя от времени в разных моделях Вселенной. Первые достаточно реалистические решения были получены русским математиком, авиатором, испытателем воздушных шаров и метеорологом Александром Александровичем Фридманом (1888-1925), который предложил их незадолго до своей смерти от тифа. Они известны, как модели Фридмана (рис. 8.4). Похожие решения были найдены бельгийским духовным лицом, аббатом Жоржем Леметром (1894-1966) в 1925 г.; он был первым, кто проследил их назад во времени и обнаружил то, что назвал «космическим яйцом», а мы теперь называем Большим Взрывом.
Рис. 8.4. История фридмановской Вселенной. Если плотность Вселенной меньше определенной величины, то она «открыта» и расширяется вечно. Если плотность Вселенной больше этой величины, то она «замкнута» и после начальной фазы расширения сожмется обратно к Большому Хлопку. Если плотность Вселенной в точности равна критической, она будет расширяться вечно, но постепенно останавливаться при времени, приближающемся к бесконечности. Современные измерения заставляют предположить, что Вселенная не является замкнутой. Имеются новые наблюдаемые свидетельства в пользу предположения о том, что Вселенная открыта и, может быть, недавно вошла в фазу ускорения.
На сегодняшний день космологи верят, что Вселенная является ни открытой и ни замкнутой, она является «плоской». Плоская Вселенная похожа на открытую Вселенную по характеру расширения, и ее масштаб будет растягиваться всегда, но ее расширение постепенно замедляется и становится бесконечно медленным, когда масштаб приближается к бесконечности. В плоской Вселенной, как и в открытой Вселенной, не существует предела для удаления друг от друга двух точек, разделенных сегодня одним метром. Следствием плоскости, так же как и открытости, является то, что Вселенная всегда имела бесконечную протяженность, и поэтому Большой Взрыв происходил всюду в бесконечном объеме пространства. Когда люди говорят, что Вселенная была изначально очень маленькой, они имеют в виду — им следует иметь в виду, — что масштаб был изначально крайне малым и что две точки, разделенные теперь расстоянием в 1 метр, были разделены тогда мельчайшей долей метра. При том огромном количестве вещества, которое было спрессовано в крошечном пространстве, вы можете представить себе, какова была его плотность; фактически оно было примерно в 1097 раз более плотным, чем вода. И оно было таким плотным везде, везде в бесконечном объеме Вселенной было, всегда было и всегда будет, ужасно много.
И последней подготовительной деталью, иногда мешающей пониманию, является то, что, несмотря на возрастание масштаба Вселенной со временем, объекты, которые она содержит, не становятся больше. Мы сами и наши измерительные палочки со временем не расширяемся, как и расстояния между звездами внутри Галактики. Есть несколько способов понять это, иногда ставящее в тупик, явление. Простейшим является принятие той точки зрения, что описывающие расширение решения Фридмана основаны на модели, в которой вещество берется усредненным по всей Вселенной, а галактики представлены просто точками, указывающими положение в пространстве. Увеличение масштаба относится только к этой «усредненной Вселенной» и умалчивает о поведении крошечных систем, населяющих пространство. Другим способом прийти к тому же заключению является замечание, что если две точки, такие как две звезды в галактике, связаны вместе силами притяжения, то растяжение масштаба не превозмогает эти силы, и точки остаются на том же самом расстоянии друг от друга, как бы долго мы ни ожидали.
Более утонченный пуристский способ понимания этого мудреного, но важного обстоятельства состоит в том, что решения Фридмана говорят нам о том, как две точки будут двигаться друг от друга, при условии, что они двигались друг от друга изначально. Это немного похоже на уравнения движения Ньютона, которые говорят нам, как вычислить положение летящего мяча, если мы знаем, как быстро он летел первоначально. Если мяч покоился, то, как бы долго мы ни ожидали, он будет оставаться на том же месте. Подобным же образом, если две точки в пространстве — ваша голова и пятки — не двигались врозь изначально, то, как бы долго мы ни ожидали, они будут оставаться в том же относительном положении. Расширение Вселенной растягивает нас не в большей мере, чем мяч, покоящийся в классической физике, двигается к другому месту.
С учетом этих замечаний, настало время подойти к истокам нашей истории. На планковском времени предполагается, что все силы, удерживающие вещество вместе (гравитационное, электрослабое и сильное взаимодействия, обсуждавшиеся в главе 6), имели одинаковый уровень, но когда Вселенная охладилась ниже планковской температуры, гравитационные силы отделились от двух других. Две оставшиеся по-прежнему имели одинаковый уровень и передавались безмассовыми бозонами. Потом века не происходило ничего существенного. Более точно, электрослабое и сильное взаимодействия сохраняли одинаковые уровни в течение 10 миллиардов тиканий (планковских времен), произведенных планковскими часами, до момента, который мы назвали бы одной миллиардно-триллионно-триллионной секунды (10−33 с) после Взрыва. Использование тиканья наших собственных тяжеловесных часов тут неуместно, так как наши часы спроектированы для удобства людей, и тиканье часов в столичных холлах не приспособлено для обсуждения событий в очень молодой, очень горячей и очень плотной Вселенной. Начальное расширение Вселенной, если измерять его в естественных единицах, планковских тиканьях, было чрезвычайно медленным — как переползание плесени, принявшей снотворное; с этой точки зрения легко понять, как много изменений может произойти за время, которое мы, тяжеловесные, летаргические гиганты назвали бы одним морганием.
По прошествии этого огромного времени (10 миллиардов планковских тиканий, которые вы и я назвали бы одной миллиардно-триллионно-триллионной секунды) температура упала достаточно низко для того, чтобы сильные взаимодействия отделились от электрослабых, так что с этого времени в еще более холодной Вселенной они выглядят несвязанными. И снова события во Вселенной, казалось, замерли. Вселенная расширялась, и ее температура падала, но нам придется ждать почти вечность — чтобы быть точным, пока планковские часы не протикают 1030 раз, — пока хоть что-то заметное случится в этом необычайно ленивом мире. Вы можете поддаться искушению представлять себе это ожидание как еще одно моргание, как одну десяти-триллионную секунды (10−13 с), но это даст вам неправильное представление об ужасной медлительности событий в ранней Вселенной, и вы можете удивляться, как вообще что-нибудь успело произойти. К этому времени масштаб Вселенной расширился до огромного размера в 1015 планковских длин. Конечно, будучи измерен в единицах, больше подходящих для последующих эпох, он кажется нам очень маленьким, ведь точки, которые сегодня стал разделять один метр, тогда разделяло только 10−20 м, но мерки фермерского двора не приложимы здесь совершенно и лишь сбивают с толку. Вселенная охладилась до 10 тысяч триллионов градусов (1016 К), температуры, достаточно низкой для того, чтобы скалярные частицы (возможно, бозоны Хиггса) приклеились к W- и Z-бозонам, наделив их массой и тем самым ограничив их радиус действия и сделав слабое взаимодействие отличным от электромагнитного на все оставшееся время. Вселенная теперь так холодна, что взаимодействия приобрели самостоятельные индивидуальности и стали различными навсегда.
Еще не существует ничего, что мы могли бы идентифицировать как вещество: температура еще чудовищно высока, и термическое движение растаскивает все, что может начать слипаться под влиянием сил. Первыми формами вещества, кристаллизующимися из этого ада, когда его температура падает, являются нуклоны (протоны и нейтроны), образующиеся, когда кварки стягиваются вместе сильным взаимодействием. Это слипание может произойти только, когда температура упала до чрезвычайно холодных 10 триллионов градусов (1013 К). Холодно? Ну, это очень холодно в планковской шкале, поскольку составляет только 10−19 планковских градусов выше абсолютного нуля. Это чрезвычайно горячо, конечно, в повседневной шкале температур, но эта шкала введена для сообщений о нашей земной погоде, и ни в малейшей степени не является фундаментальной.
Теперь я ослаблю мое настойчивое стремление рассуждать в терминах фундаментальных единиц и обращусь к меркам фермерского двора, так как на этой стадии эволюции Вселенной они являются много более удобными, чем планковские естественные единицы. Однако вам следует иметь в виду, что моргание на самом деле является в условных единицах эпохой почти неизмеримой длительности. То, что кажется нам мимолетным, может быть цепочкой бесчисленных событий в естественных, фундаментальных единицах. Полет пули со скоростью звука на расстояние ширины атомного ядра длится почти вечность, сто триллионов триллионов (1026) планковских тиканий.
Через секунду после начала, стряхнув с себя вещество, от него отделились нейтрино. Никогда больше они не будут заметно взаимодействовать с ним, и с этого момента будут летать по Вселенной почти беспрепятственно, свободно несясь в пространстве и проницая планеты, как если бы они были почти прозрачными кристаллическими сферами. Если бы у нас были глаза для созерцания нейтрино, почти безмассовых частиц со спином и ароматом, мы видели бы мир почти пустым, наполненным здесь и там лишь призрачными тенями.
С первого взгляда мы можем ожидать, что нейтринное небо будет ярче фотонного, поскольку в нейтрино сохранился отпечаток Вселенной в форме ее температуры в момент их первичного отделения, и продолжающееся расширение Вселенной охладило их меньше. Но, на самом деле, фоновые нейтрино холоднее, чем фоновые микроволны: их температура немного ниже 2 градусов над абсолютным нулем. Причиной большей прохладности нейтринного неба является то, что различные события, особенно столкновения электронов с их античастицами позитронами, увеличили число фотонов и повысили яркость, а значит, и температуру микроволнового неба. Через три минуты после начала температура упала до 1 миллиарда градусов. Было так холодно (только 10−23 планковских градусов), что в этих арктических условиях даже нуклоны смогли склеиться вместе, образуя дейтерий (тяжелый водород с ядром, состоящим из нейтрона, склеенного с протоном) и гелий (два протона и два нейтрона, склеенных вместе). Вычисления показывают, что, когда температура продолжала падать, эта эпоха Вселенной произвела 23 процента гелия, 77 процентов остаточного водорода (неприсоединенные протоны) и намеки на более тяжелые элементы (литий и бериллий, например, с тремя протонами и четырьмя протонами соответственно и несколькими нейтронами, прицепленными к ним и помогающими удерживать протоны вместе). Распространенность гелия критическим образом зависит от числа типов нейтрино и несовместимо с любым числом, большим четырех. Как мы видели в главе 6, существуют три известных аромата нейтрино, что удовлетворяет этому ограничению. Но гораздо более важно то, что мы видим, какими масштабными — в данном случае это распространенность гелия во Вселенной — являются следствия идей, происходящих в результате изучения очень малого. Эта взаимная совместимость знаний, происходящих из изучения огромного и мельчайшего, вдохновляет на еще большее доверие к достижениям науки.
Снова веками не происходит ничего существенного. Даже по меркам фермерского двора состав Вселенной остается почти неизменным сто тысяч лет. Все это время Вселенная продолжает расширяться и охлаждаться, но она остается плазмой, роем ядер, купающихся в море электронов. В этом состоянии Вселенная ослепительно ярка, но непрозрачна, подобно Солнцу, которое мы видим сегодня, так как свет может путешествовать через такую среду лишь на малые расстояния. По той же причине шар Солнца не является прозрачным для нас. Фотону приходится проделывать из центра Солнца утомительное путешествие в 10 миллионов лет, чтобы вызваться на свободу на его поверхности. Каждую долю секунды он поглощается и излучается вновь, путешествуя то туда, то сюда. Только когда свет вырывается из этого болота плазмы и выходит в пустое пространство, он буйно улетает прочь со скоростью света. Если бы центральная часть Солнца сегодня погибла, ее свет ковылял бы еще 10 миллионов лет. Во многом похожие условия преобладали в ранней Вселенной, где свет медленно продвигался сквозь непроницаемую, сверкающую плазму.
Через сто тысяч лет расширения, небеса внезапно прояснились, как бывает в облачный летний день: Вселенная стала прозрачной, и свет свободно проходил через нее. Но немногое можно было увидеть в ясных небесах; на самом деле и видеть было нечего, ведь звезды еще не образовались. Но это был решающий момент нашей истории. При очищении небес арктический холод возрос до рубежа в десять тысяч градусов (104 К), и в столь морозных условиях электроны смогли наконец воссоединиться с ядрами. Плазма сконденсировалась в нейтральные атомы, электроны, ранее свободные, были теперь захвачены и больше не могли столь эффективно рассеивать излучение, и свет стал свободно проходить через пустоту.
Электромагнитное излучение — свет, — освобожденное от своей привязанности к веществу, становится теперь ослепительно жарким, с температурой 10 тысяч градусов, не слишком отличаясь от сегодняшней поверхности Солнца, и все вокруг нас погружено в иссушающий блеск. Все является фотосферой; посланник Кеплера Ольберс был бы доволен, ведь это источник его ночи без тьмы. По мере расширения Вселенной этот свет растянулся в микроволновой фон, окружающий нас сегодня. Как мы уже видели, наше современное небо все еще остается пылающим огненным горнилом, но его температура упала до 2,7 градуса выше абсолютного нуля. Космическое фоновое излучение имеет максимум в микроволновой области: оно невидимо для нас, если мы не усилим наши глаза радиотелескопами и не услышим легкое шипение волн, задевающих наши детекторы.
Наконец, во Вселенной есть атомы. Их не особенно много, и их разнообразие едва ли велико. Если бы мы собрали все современное вещество и размазали его по всей Вселенной, мы обнаружили бы только около одного атома водорода в каждом кубическом метре. Единственными элементам», пришедшими из этой промежуточной эры Большого Взрыва, являются водород (много), гелий (много, но меньше, чем водорода) и относительно слабо разбрызганные литий и бериллий. Вселенная в трехминутном возрасте является невероятно пустынным и примитивным местом.
Так все и оставалось миллиард лет. Однако Вселенная обладала потенциалом необычайного разнообразия, и этот потенциал медленно начинал разворачиваться. По причинам, к которым нам следует не забыть вернуться, первобытная Вселенная не была абсолютно гладкой. В некоторых местах первобытный газ из атомов водорода, атомов гелия и таинственной «темной материи» Вселенной, к которой мы вернемся позже, был немного плотнее, чем в других местах: существовала легкая рябь в его распределении. По мере взросления Вселенной, газ в более плотных областях под влиянием гравитации начал конденсироваться. Когда эти локальные шаровидные области сформировались и газ в них стал сжиматься, они разогрелись. Потом они стали такими горячими, что ядра атомов водорода сталкивались с такими силами, что сплавлялись вместе, освобождая энергию. Начался нуклеосинтез, стали светить звезды, и в мир ворвались скопления звезд, которые мы называем галактиками. Распределение галактик далеко от случайного, поскольку они отмечают более плотные области ряби: существуют сгущения и огромные пустоты протяженностью в сотни миллионов световых лет (рис. 8.5).
Рис. 8.5. Распределение галактик, наблюдаемое с Земли. Каждая точка представляет положение одной галактики. Заметим, что распределение неоднородно: существуют длинные волокна галактик и огромные области с числом галактик ниже среднего. Эти неоднородности являются колоссально увеличенными остатками флуктуаций плотности первичной Вселенной.
Этот огромный узор является увеличением ряби, сопровождавшей начало Вселенной, когда вариации плотности имели масштаб в нескольких планковских длин, но были растянуты до современных гигантских размеров. Вселенной хватило 15 миллиардов лет, чтобы достичь такой стадии, но этот период, относительно короткий в нелепых человеческих единицах (ибо какое имеет значение, сколько раз наша маленькая планета обернулась вокруг нашей маленькой звезды), имеет огромную временную протяженность на фундаментальных планковских часах, занявшую не меньше чем 1061 тиканий (рис. 8.6).
Рис. 8.6. Временная шкала событий в жизни Вселенной. Температура в эру раздувания все еще является предметом спекуляций, и линейную зависимость от времени, изображенную на графике, не следует интерпретировать буквально. После эры великого объединения сильные взаимодействия отделяются от электрослабых; после электрослабой эры слабое и электромагнитное взаимодействие разделяются. Указываемая температура является температурой электромагнитного поля, а люди появляются, когда температура локальной среды становится близкой к 300 К, даже несмотря на то, что температура электромагнитного поля гораздо ниже.
Древние звезды образовались из водорода, но так как они вовлекали водород в процесс слияния ядер, образовались новые элементы. Ядерный синтез, создание элементов, был запущен, и Вселенная постепенно становилась более разнообразной. Образование элементов в очень молодой Вселенной, до того как возникли звезды, называется первичным ядерным синтезом. Он не зашел слишком далеко, главным образом потому, что ядра строились путем последовательного добавления нуклонов к протонам, давая дейтерий (один нейтрон, вцепившийся в протон ногтями сильного взаимодействия), гелий (два протона и два нейтрона в довольно устойчивом положении) и так далее. Однако на этой стадии нет устойчивых ядер с пятью или восемью нуклонами. У этой стадии имеется предел возможностей, потому что более тяжелые ядра не имели возможности образовываться в результате сжатия. Наиболее распространенным элементом, образовавшимся на этой стадии, являлся гелий, который и тогда и теперь составляет 23 процента Вселенной, почти все остальное является водородом. Распространенность гелия может быть предсказана из теории Большого Взрыва, и ее экспериментальное подтверждение дает мощную поддержку этой теории.
Почти всем остальным элементам во Вселенной, для того чтобы увидеть дневной свет, пришлось ждать образования звезд. Здесь не место углубляться в этот раздел ядерной физики; достаточно сказать, что факт свечения звезд, и Солнца в том числе, говорит о том, что элементы все еще производятся (или, по крайней мере, производились около восьми минут назад). Астроном Артур Стенли Эддингтон (1882-1944) был первым, кто предположил, что горючим для звезд является энергия, освобождаемая, когда атомы водорода сталкиваются и сплавляются вместе, образуя гелий.
Звезды являются очень опасными объектами, как можно предполагать, исходя из того, что в этих свирепо раскаленных шарах, подвешенных в небе, происходит неограниченный нуклеосинтез. Они не горят ровно, как каминная растопка, медленно угасая в конце. У них бурная история, в которой ядерные реакции идут в оболочках, погруженных глубоко внутрь звезды, эти оболочки растут, сжимаются, рушатся и разражаются вспышками энергии, которые могут прорывать внешние слои звезды и извергаться в пространство.
Бурная история жизни звезды начинается с облака газа. Стянется облако под действием гравитации в звезду или нет, зависит от множества факторов, включая плотность, температуру и массу. Минимальная масса облака при заданных температуре и плотности, из которого может образоваться звезда, называется массой Джинса, по имени астрофизика Джеймса Джинса (1877-1946), который исследовал и строил теории возникновения звезд. Разреженные облака с низкой плотностью, обычно устойчивые по отношению к гравитационному коллапсу, не образуют звезд. Плотные облака, однако, будут испытывать коллапс, и для типичного облака, состоящего из водорода и гелия, масса Джинса эквивалентна массе примерно семнадцати солнц. Однако, когда облако коллапсирует в себя, его плотность возрастает, масса Джинса уменьшается, и, вместо образования только одной огромной звезды, более мелкие области облака могут сами испытать гравитационный коллапс, так что фрагменты облака образуют скопление более мелких звезд. Потенциальные звезды, имеющие массу, равную одной десятой массы нашего Солнца, являются недостаточно горячими для того, чтобы начались ядерные реакции, являются мертворожденными: они никогда не светят. Потенциальные звезды, имеющие массу, примерно в девяносто раз большую массы Солнца, неустойчивы: они начинают осциллировать и распадаются. Поэтому все звезды имеют массы между этими двумя значениями.
Газ, которому предназначено сформировать звезду — главным образом водород и гелий, — свободно падает к общему центру. Когда атомы падают, они сталкиваются друг с другом, и эти столкновения вызывают повышение температуры. Наступает стадия, когда температура в коллапсирующем облаке становится столь высокой, что ядра сталкиваются достаточно сильно для того, чтобы сплавиться вместе и образовать гелий, а ядра гелия, сталкиваясь друг с другом, образуют более тяжелые элементы. Для звезд примерно на 20 процентов более массивных, чем Солнце, температура может подняться даже выше. Выше, чем примерно 20 миллионов градусов, частицы двигаются так быстро, что протоны могут успешно образовывать ядра с более высокими зарядами, такие как углерод, азот и кислород, и освобождать энергию при объединении.
Звезды, более крупные, чем приблизительно восемь солнц, имеют бурное будущее. Температура в этих гигантах может возрасти до такой степени (примерно до 3 миллиардов градусов), что возникает «кремниевое горение», в котором ядра гелия сливаются с ядрами, близкими к кремнию, и постепенно строят более тяжелые элементы, проходя периодическую таблицу и образуя в конце железо и никель. Эти два элемента имеют самые устойчивые ядра из всех, и никакой дальнейший нуклеосинтез не приводит к высвобождению энергии. На этой стадии звезды имеют структуру, подобную структуре луковицы, в которой тяжелые элементы образуют железное ядро, а более легкие элементы входят в последовательность оболочек вокруг него (рис. 8.7). Продолжительность каждого из этих эпизодов критически зависит от массы звезды. Для звезд в двадцать раз массивнее Солнца эпоха водородного горения длится 10 миллионов лет, затем в глубоком ядре возникает гелиевое горение и продолжается миллион лет. Дальше горючее в ядре прогорает намного быстрее. Так, углеродное горение завершается через 300 лет, кислородное проходит за 200 дней, а на фазу кремниевого горения хватает выходных.
Рис. 8.7 Внутренняя структура типичной звезды с массой около пяти солнц на подходе к фазе красного гиганта с углеродно-кислородным ядром. Для наглядности радиусы внутренних оболочек увеличены относительно поверхности (белая полоска характеризует изменение масштаба).
Температуре в ядре теперь так высока, около 8 миллиардов градусов, что излучаемые фотоны обладают достаточной энергией и достаточно многочисленны, чтобы разорвать железное ядро на протоны и нейтроны, уничтожая всю работу ядерного синтеза, для достижения которого потребовались миллиарды лет. На этом шаге из ядра уходит энергия, и оно внезапно охлаждается. Теперь мало что поддерживает структуру ядра, и оно срывается в коллапс. Внешние части ядра свободно падают внутрь, и скорость сжатия может достигать 70 тысяч километров в секунду. За секунду объем размером с Землю сжимается до размеров Лондона. Это фантастически быстрое сжатие оказывается слишком быстрым для внешних областей звезды, они не могут поспеть за обвалом, и скоро звезда становится полой оболочкой с внешними областями, высоко подвешенными над маленьким сжавшимся ядром.
Коллапсирующее внутреннее ядро сжимается, затем вздрагивает и посылает ударную волну нейтрино сквозь продолжающую падение внешнюю часть ядра. Нейтринная вспышка разогревает внешнюю часть ядра и теряет энергию, создавая больший разброс в тяжелых ядрах, сквозь которые он проходит. При условии, что внешнее ядро не слишком толстое, за 20 миллисекунд после возникновения вспышка уходит к внешним частям звезды, подвешенным большими дугами над ядром, гоня перед собой звездное вещество, наподобие огромного сферического цунами. Когда она достигает поверхности, звезда вспыхивает с яркостью миллиарда солнц, освещая свою галактику как сверхновая типа II[39] (рис. 8.8), и звездное вещество взрывается в космическое пространство.
Рис. 8.8. Остатки сверхновой типа II (остатки в Веле). Эта сверхновая появилась 11 тысяч лет назад, и мы можем наблюдать, как именно вещество — элементы, находившиеся внутри звезды — рассеивается по Вселенной. Вела (Паруса) это яркое созвездие в северной части Млечного Пути; когда-то оно считалось частью созвездия Аргонавтов, кораблем Ясона. Разные типы сверхновых различать очень трудно.
Смерть звезды несет во Вселенную жизнь. Взрыв звезды оставляет после себя сжатое ядро в виде нейтронной звезды, маленького, чрезвычайно плотного и гладкого тела, состоящего из нейтронов, или, если начальная масса звезды превышала массу двадцати пяти солнц, даже в виде черной дыры, области с такой свирепой тягой гравитации, что даже свет не может покинуть ее. Однако гораздо более важной, по крайней мере в первое время, является шрапнель, поскольку этим способом элементы, сваренные и выпеченные в звезде из первичных водорода и гелия, рассеиваются по всей галактике. Эти элементы могут оказаться включенными в звезды нового поколения. Некоторая часть, однако, соберется в пылинки, пылинки в камни, камни в глыбы, а глыбы в планеты. Планеты, которые могут образоваться около гостеприимной звезды, как Земля возле Солнца, богаты теперь строительными блоками жизни, жизни, которая, по крайней мере в одном месте и почти наверняка, в мириадах других оказывается способной к открытию своего собственного грандиозного космоса и малозначительной местной истории (глава 1). Мы являемся порождениями звездного света:[40] из космической ярости медленно возникают наука, искусство, веселье.
Давайте на мгновение вернемся назад. Большой Взрыв, как основание нашей истории, имеет огромный успех. Предсказания, количественно основанные на нем, согласуются с наблюдениями, там где наблюдения возможны, и существует мало сомнений в том, что в общих чертах эта история правильна. Однако у этой теории имеется несколько трудностей, и она не может считаться последним словом о Слове, которое было вначале.
Во-первых, мы видели, что «расширение Вселенной» на самом деле означает, что две точки, движущиеся друг относительно друга, будут удаляться друг от друга с течением времени. То есть все, что говорит теория, это то, что если точки движутся теперь, то они будут двигаться и дальше. Внутри теории нет никакого ответа на вопрос, почему они двигались в первый момент!
Во-вторых, Вселенная необычайно однородна, несмотря на тот факт, что у различных частей Вселенной не было времени связаться друг с другом. Чтобы понять это, представьте себе две точки в 15 миллиардах лет от нас в противоположных сторонах видимой Вселенной. Свет от них как раз имел время, чтобы долететь из этих точек до нас, но у него не было времени пройти расстояние между этими двумя точками, поскольку они разделены 30 миллиардами лет. Если мы выполним подробные вычисления, окажется, что небо можно себе представить разделенным на сто тысяч маленьких лоскутов, со стороной 1° каждый, у которых никогда не было времени для обмена сигналами со скоростью света. Почему тогда небо так однородно и имеет почти в точности одинаковую температуру (2,7 К), куда бы мы ни взглянули? Это называется проблемой горизонта, поскольку каждая часть Вселенной должна иметь возможность какой-то коммуникации с областями, находящимися, в некотором смысле, за горизонтом видимости. В противном случае современная наблюдаемая Вселенная не была бы такой однородной, так же как два куска железа не имели бы одинаковой температуры, если бы когда-то не соприкасались.
В-третьих, в облике Вселенной есть нечто очень странное. На самом деле, этот облик странен вдвойне. Одна странность заключается в том, что Вселенная содержит такое количество вещества, которого почти хватает для указания на то, что она находится в точности на границе, отделяющей вечное расширение от Большого Хлопка. Иначе этот критерий выражается утверждением, что Вселенная имеет почти критическую плотность. Другой странностью является то, что Вселенная, по-видимому, содержит не вполне достаточное количество вещества: современные оценки количества вещества во Вселенной дают величину, всего на 1 процент не дотягивающую до критической плотности. Существуют весьма веские теоретические причины верить, что разность между наблюдаемой плотностью и критической плотностью возрастает по мере расширения Вселенной и что сейчас, через 15 миллиардов лет после начала, эта разность увеличилась в огромное число раз. Например, если бы разность была всего одна десятитысячно-триллионная (1016), когда возраст Вселенной составлял 1 секунду, то разность сегодня стала бы огромной, а не выражалась бы просто множителем между десяткой и сотней. Это требование является даже более строгим по мере движения назад во времени. Для плотности, которая все-таки близка к критической величине теперь, после одного тиканья планковских часов разность не могла бы превосходить 1060! Приведенные примеры настойчиво заставляют предполагать, что плотность при рождении Вселенной была в точности равна своей критической величине и сохранила это значение до сих пор. Это ужасное подозрение называется проблемой плоскости Вселенной и является частью более общей проблемы тонкой настройки. Проблема тонкой настройки продолжает озадачивать космологов, и тех из них, кто настроен более сентиментально, заставляет полагать, что все должны увериться в том, что плотность была изначально в точности критической и что различным другим параметрам в первоначальной спецификации Вселенной следует приписать особые, специфические и предельно (для нас) милосердные значения.
Смежная проблема заключается в том, что уж очень удивительно было бы обнаружить, что мы живем как раз в ту эпоху, когда плотность приблизилась к своей критической величине. Гораздо более правдоподобно, что плотность всегда принимала и теперь продолжает принимать в точности критическое значение. Если это так, то из того факта, что измеренная плотность значимо меньше критической, следует, что мы не обнаруживаем все вещество во Вселенной. Существует и другое свидетельство справедливости такого заключения, вытекающее из скорости вращения галактик, которое предполагает, что они содержат гораздо больше вещества, чем мы можем увидеть, считая звезды, а текущие оценки плотности определяют ее как величину, по крайней мере на 20 процентов меньшую своего критического значения. Где и какова эта темная материя! Простейший ответ в том, что из нее состоят трупы старых, мертвых звезд. Если бы они составляли темную материю, на каждую звезду размером примерно с Солнце приходилось бы тысяча или более тел размером с Юпитер. Наблюдали ли мы до сих пор этот жужжащий улей? По крайней мере, эти тела имеют название, что нередко является первым шагом к существованию: каждый из них есть массивный астрофизический компактный объект гало[41]. Альтернативным объяснением, неизбежно, является существование слабо взаимодействующих массивных частиц[42]. Последние являются частицами, взаимодействующими с веществом столь слабо, что мы можем обнаружить их. только по их гравитационному притяжению или слабому взаимодействию. Одним из кандидатов на их место раньше считались нейтрино, если они имеют массу, но это предположение теперь представляется маловероятным, поскольку нейтрино почти свободно пересекают пространства галактик и являются источником слишком многих структур на много больших масштабах. Более экзотическим кандидатом является одна из «частиц», не открытых, предполагаемых, умозрительных суперсимметричных партнеров известных частиц (глава 6). Каково бы ни было решение, для ученых является отрезвляющей мыслью то, что они еще не идентифицировали наиболее распространенную форму вещества во Вселенной.
Четвертой проблемой Большого Взрыва является то, что до сегодня не обнаружено ни одного «магнитного монополя». Мы знакомы с бруском магнита, у которого есть северный и южный полюса. Магнитный монополь — это один из этих полюсов без другого. Если электричество и магнетизм являются двумя сторонами одной силы, почему магнитные монополи всегда ходят парами и никогда, как электрические монополи (заряды), не встречаются поодиночке. В модели Большого Взрыва начальные бурные события создают такое напряжение, что в пространстве-времени возникает большое число дефектов — трещинок, дырок, складок, плохо склеенных кусков, с точечными трещинками, являющимися магнитными монополями. Теория Большого Взрыва предсказывает существование большего числа монополей, чем обычного вещества, но ни одного — ни одного! — до сих пор не найдено.
Пятой проблемой является уже упоминавшаяся крупномасштабная структура Вселенной, представленная на рис. 8.5, с галактиками, группирующимися вокруг пустот размерами в сотни миллионов световых лет. Там мы видели, что эта структура есть сильно увеличенная версия комковатости первичной Вселенной, когда ее масштаб, в сравнении с наблюдаемым сегодня, был немногим больше бесконечно малой точки. Но почему эта точка была комковатой вначале и почему, в свою очередь, комковатость, которой она обладала, стала такой, какую мы видим сегодня? Эта проблема лежит полностью за пределами возможностей теории Большого Взрыва. Мы не можем утверждать, что понимаем нашу Вселенную, если у нас нет ни малейшей идеи о происхождении крупнейших объектов в ней!
Эти пять проблем — происхождение расширения, проблема горизонта, проблема плоскости, проблема отсутствия монополей и наличие крупномасштабной структуры — весьма серьезны. Однако теория Большого Взрыва так успешна в других отношениях, что было бы трудно отказаться от нее. Конечно, эксперименты действительно подтверждают, что Вселенная проходила очень горячую фазу и с тех пор расширяется. Ответ должен лежать в событиях, происходивших в самые ранние моменты Большого Взрыва, событиях, предшествовавших тем, что рассматривались до сих пор (но все еще по эту сторону от абсолютного начала). Теорией, принимаемой на сегодняшний день, является теория раздувания (иначе, инфляции).
Раздувание — это необычное расширение. Раздувание — это очень быстрое расширение. Вы могли к этому моменту заметить, что я не слишком легко использую слово «очень», а слово «очень» и подавно. В этом случае я имею в виду расширение со скоростью, превосходящей скорость света. В действительности, я имею в виду гораздо больше, чем это. Не тревожьтесь о том, что нечто происходит быстрее, чем может двигаться свет: в концепции сверхсветового расширения нет никаких особых трудностей, поскольку расширяется сам масштаб пространства; распространение сигнала через это пространство мы не рассматриваем. В сценариях раздувания (их несколько вариантов, каждый построен на некоторой центральной идее) нечто — мы еще вернемся к нему — включается через 10−35 секунды после начала. Затем действие начинается. Каждые следующие 10−35 секунды размер Вселенной более чем удваивается[43] и продолжает более чем удваиваться каждые 10−35 секунды до выключения раздувания примерно через 10−32 секунды, время 100-кратного более-чем-удвоения. Посмотрим, что это значит в более человеческих терминах. Пусть начальный размер равен 1 см. Одно более-чем-удвоение дает нам 2,7 см. Два увеличивают до 7,4 см. Три до 20 см. После десяти достигаем 220 метров. Через двадцать получаем 4852 километра. К пятидесяти имеем 5480 световых лет (вспомним, что прошло 5×10−34 секунды). Вдвое больше более-чем-удвоений объемлют галактику. Немного больше еще — локальную группу галактик. После более чем 100 более-чем-удвоений первоначальный объект вырастает в 1043 раз. В некоторых версиях раздувания расширение даже больше, порядка числа 10, умноженного на самого себя триллион раз, или 101 000 000 000 000. Это огромное, действительно огромное увеличение, происходящее за 10−32 секунды!
Отступим немного назад от этого замечания. Я преднамеренно драматизировал раздувание, говоря на языке человеческих единиц. Теперь, однако, вы увидите, что наилучшим способом было бы представлять его себе в терминах фундаментальных единиц. С этой более фундаментальной точки зрения раздувание происходило неторопливо. Сначала ему потребовалось 10−35 секунд, чтобы начаться. Этот начальный период в действительности, конечно, занял очень большое время, поскольку он соответствует ста миллионам планковских тиканий (в трех годах содержится около ста миллионов секунд, поэтому, чтобы легче воспринять это время, представьте себе три года). У того, что готовилось включиться, было много времени, чтобы собраться с силами. Затем период более-чем-удвоения: на него ушло еще сто миллионов неторопливых тиканий — еще «три года» — на каждый эпизод, что едва ли безумно много.
Давайте посмотрим, как раздувание решает проблемы модели Большого Взрыва. Проблема горизонта решена, потому что все точки, которые сегодня разнесены слишком далеко для того, чтобы иметь возможность контакта на скорости света, на самом деле были в начале очень близки и имели много времени для общения друг с другом. Другими словами, наша современная видимая Вселенная была однажды вся упакована в столь малую область, что сигналу хватало времени пройти ее насквозь и сделать однородной. Проблема плоскости решена, потому что раздувание уменьшает любую первоначальную кривизну, в точности так, как разглаживается поверхность надуваемого сморщенного баллона. Проблема монополей решена, поскольку даже если монополи первоначально присутствовали, теперь в нашей области Вселенной мог бы быть применен лишь один, и неудивительно, что его еще не поймали. Причина в том, что находящееся здесь вещество формировалось после раздувания, в то время как монополи формировались до него и были отдуты далеко. И, наконец, следует подчеркнуть, что, если теория раздувания верна, то Вселенная намного больше, чем мы когда-либо себе представляли, и все, что мы можем видеть — что мы когда-либо сможем увидеть, — есть только очень малая доля всего, что есть. Унижение тоже раздулось, и еще больше будет раздуваться впредь.
Все еще остается вопрос: как началось раздувание? Мы также получили новую проблему: как оно закончилось? Почему оно выдохлось через 10−32 секунды? Идею раздувания впервые ввел датский астроном и математик Биллем де Ситтер (1872-34) в 1917 г. Он понял, что если вакуум обладает энергией, то должно возникать раздувание. То, что вакуум обладает энергией, не должно нас слишком беспокоить: то, что мы считаем «вакуумом» есть нечто произвольное, и о пустом пространстве не следует думать как об абсолютном ничто. Мы предположим, что вакуум наполнен полем, которое назовем скалярным полем. Очень примитивный способ составить представление о скалярном поле — это вообразить, что Вселенная связана с электродами батареи и повсюду находится под однородным напряжением, ну, скажем, в 12 вольт. Это напряжение невозможно было бы обнаружить ни в каком эксперименте, который мы могли бы проделать, и мы могли бы назвать это ложным вакуумом. Мы можем вообразить, что батарею отсоединяют, и Вселенная разряжается, причем 12-вольтный вакуум превращается в истинный вакуум с нулевым напряжением. Эти две версии вакуума для нас будут выглядеть одинаковыми, но они различны.
Так как эти идеи являются довольно странными, будет полезно взглянуть на них в более широком контексте. Во-первых, примечательным фактом является то, что химики до поздней стадии развития их науки не считали воздух подходящим предметом для изучения, ибо как нечто несубстанциональное может иметь химические свойства? То же самое мы можем думать о вакууме. История науки, похоже, следует по пути, на котором мы узнаем все больше и больше о все меньшем и меньшем; воздух уже седая древность, а в центре внимания физиков теперь множество разных вакуумов, и можно предположить, что, когда они подойдут к построению теорий об подлинном моменте начала Вселенной, им придется изучать уже совсем абсолютное ничто. Может быть, мы откроем, что абсолютное ничто имеет свойства и может принимать различные формы![44]
Нам следует остановиться на вопросе, как наличие энергии у вакуума приводит к быстрому раздуванию. Этот механизм представляет собой вид положительной обратной связи. Во-первых, чем больше расширяется Вселенная, тем больше в ней образуется вакуума, и если вакуум обладает энергией, то полная энергия Вселенной возрастает. Далее, решения Фридмана показывают, что скорость расширения Вселенной растет вместе с энергией, которую она содержит, поэтому скорость расширения возрастает вместе с расширением. Поскольку скорость расширения пропорциональна масштабу Вселенной, этот масштаб возрастает экспоненциально со временем. Экспоненциальные изменения нарастают очень быстро, поэтому все большая скорость раздувания присутствует, пока присутствует скалярное поле (рис. 8.9).
Рис. 8.9. Раздувающаяся Вселенная. В короткий период времени после начала масштаб Вселенной начинает возрастать с колоссальной скоростью, более чем удваивая свой радиус каждые 10−35 секунды. Эра раздувания выглядит экспоненциальным ростом размера, но заканчивается за 10−32 секунды. После этого расширение проходит гораздо более неторопливо и соответствует одному из сценариев, показанных на рис. 8.4.
Однако в модели де Ситтера есть проблема отсутствия механизма прекращения раздувания. Раздувание продолжалось бы вечно, и в результате все вещество и излучение Вселенной быстро размазались бы до нуля, оставляя Вселенную пустой. Это противоречит опыту, поэтому его модель раздувания была отброшена и по большей части забыта. Однако в конце двадцатого века концепция раздувания возродилась на двух изолированных островках интеллектуальной активности, каждый за горизонтом коммуникации другого. Один центр активности был в тогдашнем Советском Союзе, где в 1979 г. Алексей Старобинский использовал идеи из общей теории относительности для развития более ранней идеи, которую другой русский, Эраст Глинер, предложил в 1965 г. За горизонтом, в Соединенных Штатах, Алан Гут рассматривал проблему нежелательного возникновения магнитных монополей как проблему физики частиц, и в 1981 г. пришел к похожей идее.
Центральной идеей этой ранней версии раздувания была идея рассматривать его как вид «фазового перехода», изменения состояния, аналогичного превращению воды в лед. Когда Вселенная раздувается, она охлаждается, и ее расширение столь огромно, что она может охладиться до абсолютного нуля. Тогда, однако, наступает момент, когда ложный вакуум коллапсирует в истинный вакуум, освобождая огромное количество энергии. Чтобы обрисовать этот переход, представьте себе ложный вакуум подобным жидкой фазе воды, прозрачной среде, которая выглядит, как будто там ничего нет. Раздувающееся состояние Вселенной похоже на переохлажденную воду, она имеет температуру много ниже точки замерзания, но остается жидкой. Когда вода внезапно замерзает, она освобождает «скрытую теплоту», поскольку молекулы воды организуются в структуру с более низкой энергией, лед. Подобным же образом переохлажденный ложный вакуум внезапно превращается в истинный вакуум, освобождая всю энергию скалярного поля, повышая температуру Вселенной и приводя раздувание к концу. С этого момента сценарий Большого Взрыва завершен, и Вселенная продолжает расширяться гораздо более неторопливо.
В этом суть «старого» сценария раздувания. Как можно предположить из этого названия, существует и более новая версия. Проблема старой модели состоит в том, что освобождение энергии снова нагревает Вселенную так сильно, что в конце эры раздувания появляется много дефектов — монополей, — слишком много для того, чтобы раздувание могло их унести. Другая проблема связана со скоростью, с которой раздувание происходит и приходит к концу. Например, в своей ранней форме Вселенная коллапсировала бы прежде, чем у раздувания было бы время развиться. Один из «новых» сценариев раздувания решает эти проблемы.
Многообещающим сценарием является сценарий хаотического раздувания, введенный Андреем Линде в 1982 г. и с тех пор подробно разработанный им и другими физиками. Не требуется никакого высокотемпературного фазового перехода в скалярном поле. Вместо этого появляется холодная Вселенная с произвольной величиной скалярного поля (в терминах нашей прежней аналогии, с произвольным напряжением), и, если поле достаточно велико, возникает раздувание. По ходу дела поле медленно убывает до состояния, соответствующего истинному вакууму (напряжение медленно снижается), и раздувание подходит к изящному концу. Подъем температуры, сопровождающий так называемый изящный выход из эры раздувания, оказывается намного меньшим, чем в модели фазового перехода. Следовательно, производится гораздо меньше дефектов, и никаких монополей, а производимая температура достаточно высока, чтобы инициировать стандартную эпоху Большого Взрыва, в которой мы все еще обитаем. Флуктуации плотности, которые возникают из этого сценария, как раз согласуются с расчетами для распределений галактик, а также для малых флуктуаций наблюдавшегося до сего дня космического фонового излучения. Хотя теории раздувания в высшей степени умозрительны, и, записанные в чисто качественном виде, могут звучать не лучше, чем примитивные мифы творения, но они жестко регламентированы математикой и делают предсказания, которые можно проверить экспериментально непосредственно в нашей текущей эре. Космогенез является кульминацией воображения, приложенного к науке, но это все еще наука, поскольку она поддается опытной проверке.
Еще одним интересным выводом из теории хаотического раздувания является то, что точечные дефекты, которые мы называем магнитными монополями, вовсе не уничтожаются. На самом деле, раздувание их тоже раздувает. Более того, эти точечные дефекты продолжают расширяться даже тогда, когда раздувание вокруг них прекращается. Точечные дефекты могут действовать как зародыши новых Вселенных. Эта гиперкосмическая конфигурация является, конечно, окончательным унижением: наша Вселенная может быть всего лишь одной из бессчетного множества других. Мы не только являемся обитателями незначительной (но чудесной) планеты около незначительной (но чудесной) звезды незначительной (но чудесной) галактики в незначительной (но чудесной) видимой Вселенной, но и эта Вселенная, возможно, является незначительной среди бесчисленного множества других, существующих в «мультикосмосе», каждая из которых бесконечна в своем простирании.
Наша Вселенная необязательно возникла в начале времен, ведь она может быть потомком в какой-то ветви на дереве из несчетных триллионов других (рис. 8.10). И хотя мы можем говорить, что наш Большой Взрыв произошел 15 миллиардов лет назад, подлинное начало первоначальной Вселенной, вероятно, было неизмеримо дальше во времени, почти — но будем надеяться, что нет — за пределами того, что может вообразить наука.
Рис. 8.10. В одной из версий раздувания существующая Вселенная может формировать почки новых Вселенных, которые немедленно раздуваются так же, как, по-видимому, делала наша Вселенная. Этот взгляд на Вселенную помещает истинный момент творения всей системы Вселенных далеко назад во времени, поскольку мы можем быть обитателями отпочковавшейся Вселенной, произошедшей от мириад других, с пра-Вселенной, истинной первоначальной Вселенной, образовавшейся триллионы и триллионы лет назад — если времена этих других Вселенных можно складывать. Один из возможных ответов на вопрос «где же эти другие Вселенные» утверждает, что они среди нас: если мы представим себе пространство-время, как составленное из точек, которые мы считаем близкими друг к другу, то умозрительно допустимо, что другие Вселенные используют те же самые точки, но связанные другим способом, так что точки, составляющие кубический миллиметр этой Вселенной, могут быть распределенными по всему пространству-времени другой Вселенной.
Есть еще два больших вопроса, к которым нам надо вернуться. Первый: почему Вселенная (наша частная Вселенная в мультикосмосе, можно добавить теперь) так кособока? Второй: почему Вселенная является трехмерной?
Во-первых, почему вещества больше, чем антивещества? Одной их возможностей является то, что галактики из антивещества существуют где-то еще. Тот факт, что мы не видели ни одной, не противоречит другим областям космологии, но нету никаких свидетельств о таких галактиках. Ведь поскольку межгалактическое пространство наполнено атомами водорода — ну, «наполнено» это преувеличение, но их много — мы ожидали бы увидеть интенсивное излучение от аннигиляции этих атомов с антивеществом галактик, проплывающих сквозь них. Никакого такого излучения не наблюдается, поэтому все выглядит, как если бы вещества было действительно больше, чем антивещества. Чтобы быть более точным, следует сказать, что если бы первоначально вещества было столько же, сколько антивещества, они бы аннигилировали друг с другом, и все что осталось бы нам теперь, было бы фотонами от излучения, возникшего из аннигиляции. На самом деле, на каждый миллиард фотонов имеется одна частица, поэтому первоначально должно было иметься легкое преобладание частиц над античастицами. Как это могло случиться?
Русский физик и диссидент Андрей Сахаров (1921-98) подошел к основным принципам в 1965 г., но остановился перед механизмом их обеспечения. Он показал, что должны быть выполнены три условия. Одним из них было существование процессов, не сохраняющих число адронов, в том смысле, что адроны (например, протоны) могут превращаться в лептоны (например, позитроны). Вторым было то, что CP-симметрия должна нарушаться (C обозначает конфигурацию зарядов, P — четность, см. главу 6). Третьим было то, что события должны происходить достаточно медленно, чтобы равновесие могло нарушиться: нарушение равновесия, случившееся в некоторый момент, должно остаться вмороженным во Вселенную, быстро эволюционирующую в будущее.
Мы теперь знаем, что предполагаемая теория великого объединения, обсуждавшаяся в главе 6, устраняет различие между адронами и лептонами, поэтому при достаточно высоких температурах (больше температуры, необходимой для нарушения симметрии, создающего различие между частицами) адроны и лептоны могут превращаться друг в друга. Мы можем представлять себе это превращение как действие сил некоторого вида, которые заставляют адроны становиться лептонами. Эти превращения, будучи силой, обеспечиваются — как и любая сила — путем обмена калибровочными бозонами. Поскольку теория великого объединения в полном оперении еще не сформулирована, у нас немного информации о свойствах этих переносящих силу частиц, и сегодня они называются просто X калибровочными бозонами. Однако мы знаем, что, поскольку X вызывает переход между адроном и лептоном, он сможет распасться на позитрон и анти-d-кварк. Подобным же образом, античастица для X, анти-Х, может распасться на электрон (античастицу позитрона) и d-кварк. Если скорости этих распадов немного различаются, то возникнет небольшой дисбаланс вещества и антивещества, даже если первоначально количества X и анти-Х были равными. Вот где вступает в дело нарушение CP-симметрии, поскольку оно может несколько повысить скорости таких процессов. Мы видели, что нарушение CP-симметрии эквивалентно исчезновению инвариантности относительно обращения времени, в том смысле, что процессы, текущие назад, отличаются от процессов, текущих вперед во времени, и эта кособокость Вселенной во времени действительно зарегистрирована. Теперь считается, что преобладание вещества над антивеществом является проявлением кособокости Вселенной. Почему Вселенная кособока, никто не знает. Возможно, кособока только наша Вселенная, а мультикосмос как целое — если он один — может быть вполне симметричен.
Оставшейся проблемой является причина трехмерности нашего пространства. Первый намек на возможное объяснение начинает возникать из теории струн. Мы подозрительно упорно умалчивали в этой главе о теории струн, если не считать слабого проблеска ее присутствия в сносках, главным образом потому, что она все еще так спекулятивна. Однако существуют некоторые указания на то, что теория струн приложима к очень ранним стадиям появления Вселенной — как оно и должно быть, если это фундаментальная теория вещества — и что в самый ранний момент Вселенной произошел не взрыв частиц, а взрыв струн: взрыв спагетти, а не манной крупы. Например, мы видели, что в очень ранние времена, а значит, при очень высокой температуре, перед тем как произошло нарушение симметрии, все силы имели одинаковый уровень. Но это не вполне верно, поскольку оказывается, что если вычисления проделаны тщательно, то уровни гравитационного, сильного и электрослабого взаимодействий в очень ранней Вселенной, в первое тиканье планковских часов, не вполне совпадают (рис. 8.11). Однако, когда в игру вступает теория струн, это малое расхождение удаляется, и силы в момент их рождения оказываются в точности равными.
Рис. 8.11. В главе 6 мы видели, что фундаментальные силы сходятся к общей величине, когда мы подходим к моменту (и температуре) Большого Взрыва. Это не вполне верно, поскольку в течение очень короткого времени между ними имеется небольшое различие. Если обратиться к теории струн, это расхождение, по-видимому, исчезает.
Мы видели, что одной из очаровательных черт теории струн является то, что она предполагает существование у Вселенной десяти измерений (одиннадцати, включая время), но семь из них свернуты в пространства Калаби-Яу, со струнами, продетыми в многомерные дырки этих пространств. Мы можем представлять себе струны намотанными в одном направлении, а антиструны намотанными в противоположном направлении. Когда струна и антиструна встречаются, они аннигилируют, поэтому мы можем нарисовать себе десятимерное пространство с извивающимися струнами и антиструнами, аннигилирующими при встрече. Там где встречи не происходит, струны удерживают пространство от развертывания, так же как реальные струны, закрученные вокруг бумажной трубки.
Теперь нам нужны дальнейшие факты. В одномерном пространстве, похожем на перекладину счетов, точка и ее антиматериальный двойник, другая точка, почти наверняка встретятся и аннигилируют, если только они не движутся с одинаковой скоростью в одном направлении. В двух измерениях, как на бильярдном столе, встреча двух точек гораздо менее вероятна (рис. 8.12).
Рис. 8.12. Две частицы в одномерной области — как две бусины на нитке (верхняя иллюстрация) — обязательно встретятся, если только они не движутся с одинаковой скоростью. В двумерной области — как у бильярдных шаров на бильярдном столе (нижняя диаграмма) — шансы их встречи сильно уменьшаются.
Когда вместо точек мы пытаемся представить себе встречу струны и антиструны, оказывается, что они скорее всего встретятся при условии, что размерность пространства не более чем три. Это предполагает — и это на данной стадии не более чем интригующее предположение, — что струны и антиструны, которые можно представлять себе удерживающими в свернутом состоянии три размерности, вероятно, аннигилируют друг с другом и освобождают соответствующие размерности, давая им возможность развернуться (рис. 8.13). То есть три размерности разворачиваются, и разворачиваются, прежде чем у оставшихся размерностей будет время сделать то же самое, Вселенная переходит к следующей фазе своего развития, возможно, к раздуванию, оставляя семь размерностей в капкане навсегда.
Рис. 8.13. Две струны, струна и антиструна, движущиеся вдоль свернутого измерения, встретятся и аннигилируют, давая возможность измерению развернуться. В теории струн существует указание на то, что струны имеют много шансов для встречи в трех измерениях, подобно точечным частицам в размерности один. Оставшиеся измерения пойманы, так что лишь три измерения разворачиваются, чтобы образовать размерность нашей знакомой Вселенной.
О прошлом сказано много, а как насчет будущего? Я уделю внимание нашему предположительно бесконечному будущему в меньшей степени, чем нашему, по-видимому, конечному прошлому. По общему согласию будущее у нас есть, довольно длинное будущее, если мы готовы туда идти. В качестве исходной точки я возьму предположение, что Вселенная не является замкнутой, поэтому в будущем не ожидается схлопывания: Вселенная бесконечна сегодня, и ее масштаб будет увеличиваться всегда. Это, по-видимому, общепринятая среди космологов точка зрения. Всегда существует возможность, что они не правы, в этом случае Вселенная сегодня конечна и закончится Большим Хлопком, возможно, через несколько триллионов лет.
Вселенная, похоже, не только будет всегда расширяться, но существуют накапливающиеся свидетельства того, что ее расширение ускоряется. Это открытие потрясло мир космологии, поскольку его следствия для Вселенной фундаментальны. Нам следует вспомнить, что Хаббл использовал цефеиды для определения расстояния до галактик. Альтернативным подходом является использование в качестве стандартного светильника сверхновой типа Iа. Сверхновая типа Iа образуется, когда белый карлик, звезда с массой, приблизительно равной массе Солнца, но размером с Землю, в тесной двойной системе обрастает веществом, получаемым от соседа, в количестве, достаточном для запуска разгоняющейся ядерной реакции. В отличие от сверхновых типа II (коллапс ядра), которые мы обсуждали ранее, сверхновые типа Iа в высокой степени однородны по интенсивности. Поэтому, так же как переменные цефеиды, они действуют как стандартные светильники, и мы можем использовать их воспринимаемые интенсивности, чтобы судить о расстоянии до них. Их преимущество состоит в том, что сверхновые намного ярче цефеид, поэтому их можно использовать для изучения гораздо более удаленных объектов.
В 1998 г. было обнаружено, что количество удаленных сверхновых типа Iа оказывается меньше, чем было бы, если бы расширение Вселенной замедлялось или даже просто продолжалось с постоянной скоростью. Если это свидетельство подтверждается, то должен существовать вклад в энергию, приписываемую вакууму, похожий, скорее, на существовавший в эру раздувания, но сегодня гораздо меньший по величине. Этот вклад, называемый космологической постоянной, впервые ввел Эйнштейн, чтобы уравновесить гравитационное тяготение и остановить сжатие Вселенной, а затем, когда узнал о результатах Хаббла, отказался от него, как от «своего величайшего просчета». Теперь становится ясно, что признание Эйнштейном «своего величайшего просчета», оказывается было даже более великим просчетом. Таинственная энергия, ответственная за это ускорение, называется темной энергией, или, с большей долей воображения, иронически вторя Аристотелю, квинтэссенцией. Один из возможных сценариев, вытекающих из неравенства космологической постоянной нулю, состоит в том, что новая эра раздувания уже началась и что ускорение расширения Вселенной будет должным образом — около миллиона триллионов триллионов лет (1030 лет), или что-то в этом роде — возрастать до невероятных размеров. Если это так, нам придется испытать внезапное погружение в почти абсолютное одиночество, когда в поле зрения останутся лишь исчезающие вдали остатки нашей Галактики с Андромедой. Я буду считать, что эта фаза экспоненциально быстрого расширения не настанет раньше, чем смогут произойти другие события, но гарантии, без сомнения, нет.
Солнце исчезнет довольно скоро, примерно через 10 миллиардов лет. Оно распухнет и станет Красным Гигантом с радиусом, далеко перевалившим за орбиту Земли, поэтому с простейшей точки зрения на предмет мы можем ожидать, что Земля прямо на орбите превратится в золу. Земля испытает торможение, когда ее швырнет в приблизившееся к ней очень разжиженное солнечное вещество, и будет снижаться по спирали пятьдесят лет до своей смерти в недрах Солнца. Все, что останется от наших достижений, будет легким загрязнением Солнца, мы просто станем еще одним вкладом в загрязнение среды. Я сказал «с простейшей точки зрения». Существует возможность, что в процессе раздувания в Красный Гигант, становясь в сотни раз ярче, чем теперь, Солнце выбросит в пространство много вещества и станет поэтому менее массивным. В результате уменьшения гравитационного притяжения планет к похудевшему Солнцу, земная орбита расширится и может уйти так далеко, что мы избежим испепеления; Венера, наша более близкая к Солнцу соседка, возможно, спасется тоже. Солнце тем временем останется белым карликом, с массой около половины нынешней. Более крупные звезды, которые живут меньше, чем маленькие, тоже окончат жизнь драматически, образовав либо нейтронные звезды, либо черные дыры.
Галактики не могут жить дольше, чем их звезды, так же как человеческие сообщества не переживают входящих в них людей. Основываясь на динамике формирования и эволюции звезд и способе, которым они переправляют вещество обратно в свои галактики, можно заключить, что эра формирования звезд, возможно, придет к концу примерно через сто триллионов лет (1014 лет). Задолго до этого, примерно через 6 миллиардов лет, случится небольшая локальная неприятность, когда Андромеда врежется в Млечный Путь или, по крайней мере, оставит по краю царапину, однако в космическом масштабе это событие не будет иметь большой значимости. Когда прекращается формирование звезд, можно ожидать, что галактики состоят теперь из смеси почти равных долей белых карликов и коричневых карликов (холодных неудачливых звезд, недостаточно массивных, чтобы зажечься; их массы должны быть меньше восьми масс Юпитера), с небольшой кучкой черных дыр. На самом деле, очень медленное формирование звезд может продолжаться, так как эти коричневые карлики сжимаются, сливаются и становятся достаточно массивными, чтобы зажечься. Белые карлики также будут сжиматься и объединяться в более крупные карлики. Черные дыры тоже будут обрастать звездами, и примерно через сто триллионов триллионов лет (1026 лет) черные дыры, по предположению находящиеся в центре галактик, будут жадно поглощать свои звезды. Эти огромные черные дыры с массами около 10 миллиардов Солнц, будут проплывать по Вселенной как акулы, поедая кильку одиноких звезд, которые отстали от своих галактик в предыдущие эры. Если эти звезды являются белыми карликами, их ядерные реакции будут продолжаться долго, но они будут тускло светиться излучением протонов радиоактивного распада с временами жизни порядка 1035 лет. Интенсивность излучения будет такой низкой, что вам придется быть очень внимательными, чтобы заметить их: типичный белый карлик, работающий на топливе протонов распада, имеет светимость 400-ваттной лампочки.
Черные дыры умирают. Излучение Хоукинга, предсказанное космологом Стивеном Хоукингом в 1974 г., можно представить себе следующим образом. Вакуум (а мы научились задавать себе вопрос, что мы имеем в виду под этим словом) является бурлящей пеной частиц, вступающих в мимолетное существование. Если мы представим себе пару из частицы и античастицы, появившуюся на горизонте черной дыры, поверхности, окружающей примыкающую к дыре область пространства, которую ничто не может покинуть, то может оказаться, что одна частица образуется внутри горизонта, а ее партнер снаружи от него (рис. 8.14). В результате одна частица захватывается, а ее партнер улетает. Улетающая частица уносит энергию из области дыры, так что масса дыры уменьшается. Это очень медленный процесс. Для черной дыры с массой галактики можно ожидать, что он займет 1098 лет. Поэтому мы можем заключить, что примерно через 10100 лет Вселенная будет состоять из электромагнитного излучения, электронов и позитронов. В свою очередь, электроны и позитроны встретятся, аннигилируют и превратятся в электромагнитное излучение. Длины волны излучения во Вселенной будут растягиваться по мере того, как Вселенная продолжает расширяться, также как сияние Большого Взрыва растянулось в микроволновое фоновое излучение космоса.
Рис. 8.14. Наглядная иллюстрация возникновения излучения Хоукинга, из-за которого черные дыры теряют массу и съеживаются. Черная дыра окружена горизонтом на расстоянии радиуса Шварцшильда, из-за которого ничто, даже свет, не может пробиться наружу. Однако, если на горизонте образуется пара из частицы и античастицы (как, например, электрон и позитрон), античастица может оказаться внутри горизонта, а частица может образоваться снаружи от него. Это дает возможность частице покинуть черную дыру и тем уменьшить ее массу. Оказывается, что интенсивность этого излучения имеет характеристики излучения черного тела с температурой, обратно пропорциональной массе черной дыры.
Когда масштаб Вселенной станет бесконечным, длины волн станут бесконечными тоже. Нам останется мертвое плоское пространство-время, в котором будут стерты все следы наших достижений, вдохновения и существования. Наш конец, однако, отличен от нашего начала. В начале не было ничего, совсем ничего. В конце, напротив, будет совершенно пустое пространство. Какими же счастливыми мы должны быть, сознавая, что живем в оазисе активности, бьющей ключом меж двух пограничных пустынь.
Глава девятая Пространство-время Арена действия
Время и пространство есть формы, в которых мы мыслим, а не условия, в которых мы живем.
Альберт ЭйнштейнВеликая идея: вещество искривляет пространство-время
Где находится то, что происходит? Когда мы смотрим вокруг, ответ кажется очевидным. Мы существуем в пространстве и действуем во времени. Но что есть пространство, и что есть время? И здесь наша интуиция спешит предложить готовый ответ. Мы представляем себе пространство как сцену, возможно, нематериальную сцену, но тем не менее некоторого рода сцену. А время? Время позволяет различить последовательные действия, время является свойством Вселенной, дающим нам возможность опознавать настоящее как вечно движущуюся грань между прошлым и будущим. Иными словами, пространство расставляет по местам одновременные события, а время распутывает непредсказуемое будущее и неизменяемое прошлое. Пространство и время вместе распределяют события по местоположениям и порядковой последовательности, делая их умопостигаемыми. Наука проистекает из существования времени, поскольку главный источник науки, причинность — влияние событий на их последовательность — является по существу систематической преемственностью событий во времени: если сейчас это, то потом то.
Однако такие интерпретации времени и пространства скорее сродни чувствам, чем подлинному знанию. Они, возможно, являются скорее отправным пунктом для философа, чем конечным пунктом для ученого. Как мы увидим в этой главе, развитие нашего современного взгляда на время и пространство было освобождением от интуитивной точки зрения, что мир является сценой, ареной действия; но в более недавние времена и этот взгляд начал размываться. Некоторые ученые сегодня считают, что они находятся на пороге открытия даже более великой идеи, чем та, которая является предметом настоящей главы.
Наша история начинается с человека, решившего измерять поверхность Земли, осознаваемую тогда в качестве арены действия. На самом деле, они начали мерить не Землю, а землю, что оказалось значимым, судя по последствиям. Разумеется, одним из аспектов научного метода является ограничение амбиций в отношении того, что может быть достигнуто: наука откусывает булочки понемногу, а не пытается слопать великие вопросы за один присест.
Ключом к пониманию чего бы то ни было является сочетание наблюдения, особенно количественной разновидности наблюдения, которую мы называем измерением, и систематического способа мышления, который мы называем логикой. Первыми из шагов, которые в конце концов привели нас к современному пониманию нашей арены действия, были измерения, проведенные вавилонянами и египтянами, и логика, развитая греками. Вавилоняне владели процедурой, но не имели доказательств: греки внесли доказательства. Вавилоняне, например, знали за тысячу лет до греков, что сумма квадратов сторон прямоугольного треугольника равна квадрату его гипотенузы, но оставили грекам, возможно, математическому коллективу некоего вида, известному нам под именем Пифагора, доказательство того, что эта связь верна для любого мыслимого прямоугольного треугольника. Процедура является основой знания и базой для приложений, но доказательства обостряют интуицию и ведут нас к более глубокому пониманию.
Я остановлюсь ненадолго на теореме Пифагора, поскольку в ней заключено несколько важных уроков. Разумеется, мы увидим, что некоторые черты нашего современного понимания пространства и времени были предвосхищены в трудах Пифагора (около 500 лет до н.э.), Эвклида (около 300 лет до н.э.) и Аполлония из Перга (около 200 лет до н.э.). Об этих персонажах мы не знаем практически ничего, и поскольку большинство анекдотов о них было записано спустя века после их смерти, мы не можем полагаться на эти рассказы. Однако уцелело многое из их необычайных мыслей, золотых сокровищ, содержащих доказательства и прозрения в свойства пустого пространства.
Мы начнем с байки и представим себе фантастический подход, который мог использовать древний завоеватель Месопотамии, Хаммурапи, когда он обследовал свои новые владения 3500 лет тому назад. Будем считать, что Хаммурапи жил в мире, полном неудобств, не последним из которых было соглашение, что расстояния с севера на юг измеряются в метрах, а расстояния с востока на запад измеряются в ярдах. Когда землемеры Хаммурапи обследовали его свежезавоеванные поля, они измеряли длины их сторон и, по таинственным причинам, связанным с налогообложением, длины их диагоналей, регистрируя последние либо в метрах, либо в ярдах, как им подскажет фантазия. Можно подозревать, что Хаммурапи нашел мало смысла в числах, которые собрали его землемеры. Например, одно поле, вытянутое с севера на юг, имело стороны 120 метров и 130 ярдов и диагональ 169 метров, в то время как другое, вытянутое с востока на запад, имело стороны 131 ярд и 119 метров с диагональю 185 ярдов. Хаммурапи был озадачен, поскольку оба поля выглядели одинаково.
Однажды ему в голову пришла мысль. Он решил отвергнуть древнее соглашение о единицах и приказал, чтобы с этого момента все расстояния регистрировались бы в метрах (м). После большой и усердной работы его землемеры представили ему новый список сторон и диагоналей. Внезапно он увидел, что их измерения стали теперь много более полезными. Стороны обоих полей, выглядевших одинаково, были 120 м и 119 м, а их диагонали были по 169 м. Сведя все эти измерения в один ряд путем использования одинаковых единиц, Хаммурапи отделил форму от ориентации: все объекты одинаковой формы имеют одинаковые размеры, независимо от их ориентации.
Хаммурапи пришлось продолжить приведение в порядок измерений в своем царстве и дальше. Не все поля в его царстве имели одинаковые размеры, и его землемеры представляли списки сторон и диагоналей, которые, даже выраженные в метрах, выглядели, на его взгляд, не намного отличающимися от случайных. Например, один богатый землевладелец имел поле со сторонами 960 м и 799 м и диагональю 1249 м, а другой, более бедный землевладелец имел поле со сторонами 60 м и 45 м и диагональю 75 м. И тогда наш фиктивный, но блистательный Хаммурапи внезапно вскрикнул (по-шумерски) эврика. Он увидел, что, если для каждого из его полей, безотносительно к размерам, он возведет в квадрат длины его сторон и сложит два квадрата вместе, то результат будет равен квадрату длины диагонали. То есть все измерения, собранные его землемерами, удовлетворяют формуле:
расстояние2 = сторона12 + сторона22,
где расстояние есть длина диагонали. Будучи экономным правителем, он мог теперь приказать своим землемерам экономить время и заработную плату и измерять только стороны полей, поскольку длину диагоналей он мог узнать сам. Конечно, он понимал, что, даже если они будут настаивать на использовании причудливых единиц этого царства, он все равно сможет узнавать длину диагонали, записав:
расстояние2 = (C × сторона1)2 + сторона22,
где C — множитель, необходимый, чтобы перевести ярды в метры, одна из глубоко чтимых фундаментальных констант этого царства.
Здесь мы можем отступить от нашей мифической версии Хаммурапи, с его формулой, его эффективностью и его налогами. Более важно, что вечная польза, для которой он предназначал эту формулу, заключается в том, что он идентифицировал выражение, некоторым образом передающее свойства пространства Месопотамии. Неизвестный индиец, написавший Сульвасутру (Правила веревок), расчеты для таинственных сакральных церемоний священнослужителей ведической эры (около 500 лет до н.э.), тоже знал эту формулу, поскольку брахманы нуждались в надежно спроектированном и построенном прямоугольном алтаре. Китайцы Чжан Цан и Цин Чоу-чан, составившие в период Хань (начавшийся в 200 г. до н.э.) сборник, содержавший математические сведения, тоже знали ее.
Как мы увидим, существование частной формулы для расстояния между двумя точками соответствует существованию геометрии, описанию пространства в терминах точек, линий, плоскостей и объемов, которые могут существовать в нем. Чтобы определить геометрию пространства, в котором мы обитаем, надо определить формулу. Определение геометрии пространства Месопотамии, данное Хаммурапи, потребовало двух шагов. Сначала мы должны определить единицы вдоль различных координатных осей; затем мы должны найти формулу, которая задает расстояние между двумя точками. Из того, что такая же величина C годится для Индии и Китая, следует, что пространство в Индии и Китае имеет ту же геометрию, что и пространство Месопотамии. Доказательство того, что формула Хаммурапи пригодна для любого поля всюду во Вселенной, а не только в Месопотамии, возможно, было сделано Пифагором и его школой, но надежные свидетельства того, что они сделали нечто большее, чем просто использовали ее, отсутствуют. Чтобы найти доказательство этой теоремы, мы должны обратиться к Началам Евклида, написанным примерно 2300 лет назад и с тех пор воспроизводимым, но причин полагать, что ее доказал сам Евклид, не существует.
Евклид обнаружил, что он может вывести характеристики пространства, включая дедуктивную формулу Хаммурапи, из пяти простых и кажущихся очевидными утверждений, из своих «аксиом». Это было поистине замечательным достижением. Если бы я писал эту книгу 2000 лет назад, я обязательно включил бы аксиомы Евклида в число великих идей науки, поскольку, если не считать одного маленького дефекта, они удовлетворяют критериям, предъявляемым великой идее: они просты, но содержат неограниченно богатые следствия. Дефект, конечно, заключается в том, что они неверны (в том смысле, что они неточно описывают пространство, в котором мы обитаем); но мы можем ненадолго пренебречь этим и воздать Евклиду почести, которые он заслужил.
Евклид сжал свое описание пространства в следующие пять замечаний:
1. Между любыми двумя точками можно провести прямую.
2. Прямая линия без ограничений может продолжаться в любом направлении.
3. Можно построить круг с любым центром и любого радиуса.
4. Все прямые углы равны друг другу.
5. Для любых данных прямой и точки, не лежащей на ней, можно провести через эту точку одну, и только одну прямую, параллельную данной.
(Я несколько упростил эти утверждения, но сохранил их суть.) Пятая аксиома известна как постулат о параллельных прямых. Он ответственен за большее количество бед, чем почти любое другое утверждение в математике, ибо он имеет более сложный вид по сравнению с другими, соблазнительно намекая, что его можно доказать с помощью четырех более простых аксиом. Целые жизни напрасно были растрачены на безуспешные попытки вывести эту аксиому из других. Теперь мы знаем, что она независима от других аксиом и что можно придумать абсолютно приемлемые геометрии, в которых постулат о параллельных прямых заменен другими, таким, например, как:
5'. Для любых данных прямой и точки, не лежащей на ней, нельзя провести через эту точку ни одной прямой, параллельной данной.
Или даже:
5''. Для любых данных прямой и точки, не лежащей на ней, можно провести через эту точку бесконечное число прямых, параллельных данной.
Описание пространства, использующее постулат Евклида о параллельных прямых, называется евклидовой геометрией; описания, основанные на альтернативных постулатах, называются неевклидовыми геометриями.
Пока что мы сосредоточимся на евклидовой геометрии, так как она, безусловно, выглядит подходящей для пространства, в котором мы живем. В тринадцати книгах Евклида показано, что из этих пяти аксиом может быть выведено огромное количество свойств, и эти свойства оказываются верными при их проверке с помощью практических измерений. Одним из следствий этих аксиом, и, в частности, постулата о параллельных прямых, является теорема Пифагора. Поэтому существование нашей мифической формулы Хаммурапи для расстояния вытекает из пяти аксиом Евклида, и геометрия Хаммурапи тоже является евклидовой.
Итак, мы сформулировали евклидову геометрию на плоскости, в плоской двумерной области, похожей на поверхность листа бумаги. Однако мы все знаем, или думаем, что знаем, что обитаем в трехмерном пространстве и обладаем свободой движения вверх и вниз так же, как по плоскости. Теорему Пифагора легко распространить на три размерности, включив длину третьей стороны и записав:
расстояние2 = сторона12 + сторона22 + сторона32.
Мы не обязаны останавливаться на этом. Математики живут ненасытной страстью к обобщениям, и евклидова геометрия является богатой почвой для обобщений. Хотя большинство из нас не может вообразить что-нибудь за пределами наших домашних трех измерений, легко выразить свойства пространств больших размерностей, используя формулы. Так четырехмерная формула Пифагора будет иметь вид:
расстояние2 = сторона12 + сторона22 + сторона32 + сторона42.
Вы могли бы подумать, что в размышлениях о пространствах с более высокими, чем три, размерностями мало пользы, если не считать интеллектуального удовольствия, но вы были бы неправы. Мы увидим, к примеру, что способность переходить из размерности в размерность является ценным способом изучения структуры нашего мира. Более того, можем ли мы быть уверены, что в нашем реальном мире имеются только три измерения, или есть несколько — даже много — других измерений, которые как-то спрятаны от нас? Мы видели в главе 8, что такой уверенности нет, так как, может быть, мы обитаем в десятимерном пространстве с дополнительным измерением в виде времени.
Я утверждал, что наше воображение не может выйти за пределы трех измерений. Это не вполне верно. Некоторые люди, потратившие в жизни много времени на изучение геометрий более высоких размерностей, заявляют, что имеют некоторое отдаленное представление о связях, существующих в четырех, а не в трех измерениях, и создают ошеломляющие компьютерные образы, изображающие трехмерные сечения четырехмерного, мира (рис. 9.1).[45] Я не призываю вас направить ваши умственные способности по этому пути, но для подготовки к тому, что последует дальше, мы нуждаемся в некотором знакомстве с четырехмерными ландшафтами. Чтобы осуществить это, мы должны вновь пройти фрагменты пути интеллектуальной революции, инициированной итальянскими художниками в конце тринадцатого, начале четырнадцатого веков, такими как Джотто ди Бондоне и Пьеро делла Франческа, которые начали передавать три измерения в двух, используя перспективу, математические основы которой заложил в конце восемнадцатого века Гаспар Монж, граф де Пелоуз (1746-1818) в своей Géométrie descriptive (1798). Затем мы должны пойти дальше и увидеть, как четырехмерные объекты могут быть представлены трехмерными изображениями в двумерных проекциях. Все это звучит довольно сложно, ибо это все равно что просить муравья, который всегда был заперт в плоском мире, воспользоваться своим воображением, чтобы представить себе еще и вертикаль. Но мы интеллектуально оснащены лучше, чем муравьи, и можем ожидать, что достигнем некоторого прогресса.
Рис. 9.1. Некоторое отдаленное представление об объектах в гиперпространстве может быть получено с помощью графических образов и анимаций. Здесь изображены два кадра анимации, изображающей вращение плоского тора в четырех измерениях, спроектированное в три измерения и затем представленное в двух.
Ноль-мерный куб (0-куб) — это точка. Представьте себе 0-куб как карандашную точку, тогда одномерный куб (1-куб) является линией, которую карандаш рисует, когда его двигают по прямой (рис. 9.2). Двумерный куб (2-куб) является плоской фигурой, порожденной протаскиванием 1-куба в новом направлении, лежащем перпендикулярно первому. Все это легко воспринять с помощью компаса нашего воображения, так же как и воображения смышленого муравья, и легко проделать на листе двумерной бумаги. Трехмерный куб (3-куб), заурядный повседневный куб, порождается протаскиванием плоского 2-куба в направлении, перпендикулярном его плоскости. С тем, чтобы вообразить этот шаг, проблем не возникает, хотя муравей был бы озадачен, поскольку ему не дано понять, как может существовать третье перпендикулярное направление. Не возникает проблем и с представлением 3-куба на 2-странице, обычном листе бумаги, поскольку мы теперь так хорошо знакомы с двумерными представлениями в искусстве, что расшифровываем эти представления без труда.
Рис. 9.2. Кубы различных размерностей могут быть построены с помощью движения куба предшествующей размерности в новом, перпендикулярном направлении. Здесь мы видим семейство кубов, построенных из 0-куба (точки). Отрезок (1-куб) получен протаскиванием точки в одном направлении, квадрат (2-куб) — протаскиванием отрезка в перпендикулярном направлении, обычный куб (3-куб) — протаскиванием квадрата в новом перпендикулярном направлении. Мы научились интерпретировать результаты двумерных представлений куба. Наконец, четырехмерный гиперкуб (4-куб) строится путем протаскивания 3-куба в еще одном перпендикулярном направлении. Мы, человеческие существа, еще не знаем, как интерпретировать результирующую диаграмму: я показываю два изображения, полученных вращением гиперкуба в разных направлениях.
Чтобы помочь озадаченному муравью, мы можем проделать следующее. Мы осторожно разрежем 3-куб вдоль одной из граней, развернем его, положим на плоскость (рис. 9.3) и расскажем муравью, как нужно сложить грани, чтобы сформировать 3-куб. Муравей будет озадачен тем, каким образом края, которые я пометил жирной линией, могут соприкоснуться, но по крайней мере он будет иметь некоторое отдаленное представление о том, что такое 3-куб, и, возможно, научится интерпретировать наши двумерные представления 3-куба, включая забавную, в чем муравей может поклясться, картинку, на которой мы изображали его шестиугольником.
Рис. 9.3. Обычный куб в трехмерном пространстве может быть построен из крестообразной формы, состоящей из шести квадратов, путем склеивания вместе соседних сторон, перегибания длинной полосы и соединения краев, помеченных жирной чертой. То, что для соединения краев с жирной чертой можно использовать измерение, перпендикулярное к странице, легко увидеть нам, а существам, живущим в двумерном мире, трудно.
Мы знаем теперь достаточно, чтобы построить четырехмерный гиперкуб (4-куб). В математике многое делается по аналогии. Так же как мы протаскивали 0-куб, чтобы получить 1-куб, и так далее, мы построим 4-куб, протаскивая 3-куб (обычный куб) в направлении, перпендикулярном трем первым измерениям. Теперь мы оказались озадаченными муравьями, так как мы не понимаем, что такое направление, перпендикулярное нашим трем измерениям. Все же, в точности так, как муравей, не способный постичь третье измерение, мы можем сделать умственный прыжок и, приняв мысль о том, что оно есть — так же, как муравей, — попытаться понять его по аналогии. Чтобы облегчить себе понимание двумерного образа 4-куба, показанного на рис. 9.2, мы могли бы совершить гипердействие и разрезать куб вдоль некоторой грани, а затем развернуть его в трех измерениях (рис. 9.4). Так же как 3-куб разворачивается на шесть 2-кубов, 4-куб разворачивается на восемь 3-кубов (один 3-куб спрятан в центре верхнего креста). Чтобы вообразить, как 4-куб строится из 3-кубов, которые составляют его поверхность, представим себе склеивание. Нам, 3-читателям, аналогам 2-муравьев, кажется невозможным понять, как, например, могут быть соединены две помеченных грани, так же как у 2-муравья есть похожая проблема с тремя измерениями. У 4-читателя никаких трудностей тут нет.
Рис. 9.4. Теперь мы делаем шаг в следующую размерность и строим гиперкуб из этого набора, содержащего восемь трехмерных кубов (один спрятан прямо под верхним кубом), путем склеивания вместе соседних граней. Нам также нужно склеить две грани, помеченные темными плоскостями и точечной линией. Тем, кто ограничен тремя измерениями, трудно увидеть, как можно выполнить эту операцию, но в четырех измерениях это сделать легко.
Евклидова геометрия была завершена в семнадцатом столетии, когда, как мы видели в главе 3, Исаак Ньютон (1643-1727), дополнив наблюдения Галилея статическим описанием пространства, данным Евклидом, построил описание движения в этом пространстве. Чтобы проделать это, Ньютон ввел понятие силы, влияния, которое отклоняет движение частиц от прямолинейного и заставляет их двигаться с переменной скоростью. В контексте текущего обсуждения мы можем рассматривать вклад Ньютона как первую достаточно успешную попытку соединить время и пространство. Это пытался сделать еще Аристотель, но он не добился успеха, поскольку недооценивал возможности геометрии для определения путей: он думал, исходя из опыта перемещения по земле, что для поддержания движения частицы по прямой линии необходимо прилагать силу. Ньютон, напротив, ощутил возможности геометрии для определения путей частиц. Он ввел понятие силы, чтобы выразить отклонение от естественного движения, за которое он принял равномерное движение по прямой линии.
Для Ньютона, как и 2000 лет назад для Аристотеля, пространство и время были абсолютны, причем пространство было подмостками, которые делили между собой актеры, играющие на сцене, а время было тикающим параметром, общим для всех них:
Абсолютное пространство, в своей собственной природе, без связи с чем-нибудь внешним, всегда остается однородным и неподвижным… Абсолютное, истинное и математическое время, само по себе, исходя из своей собственной природы, течет равномерно, без связи с чем-нибудь внешним.
Если у меня сегодня четверг, так и у всех четверг, и если у меня на это уходит час, то и у всех на это уходит час. Если для одного наблюдателя две точки удалены друг от друга на километр, то и для всех наблюдателей между ними километр. Другими словами, пространство является фиксированной, абсолютной сценой, а время тикает универсально.
Понятие действия на расстоянии, с помощью которого звезды могли бы искривлять путь отдаленных планет в нечто, подобное кругу, было глубоко озадачивающим. Ньютон и сам видел, что в его теории имелся дефект, Но он реалистически относился к своим возможностям и удовлетворился тем, что оставил эту загадку будущим головам: он откусывал понемногу, а не заглатывал. Голова, почти в одиночку разрешившая загадку, принадлежала Эйнштейну, и в оставшейся части этой главы мы увидим, какого грандиозного понимания он достиг.
Альберт Эйнштейн (1879-1955) двинул цивилизацию вперед двумя шагами. На первом он привязал пространство ко времени более тесным образом, чем пытался это сделать Ньютон. Осуществив это, он разрушил ньютоновские представления об абсолютном пространстве и времени и перечеркнул универсальное тиканье. На втором шаге он устранил одно из величайших достижений Ньютона, понятие универсального тяготения как силы. Великие загадки часто решаются посредством их устранения, и ученые должны получать удовольствие, отбрасывая главенствующие концепции, включая их собственные. Мы присоединимся к Эйнштейну теми же двумя шагами. Второй шаг, более значительный, не может быть пройден без первого, и нам придется проследовать по этому пути, если мы действительно хотим глубоко понять, «что, где и когда» является местом нашего обитания.
Первым достижением Эйнштейна была частная теория относительности (из-за неправильного перевода с немецкого, раньше ее называли специальной теорией относительности). Частная теория относительности является описанием наблюдений, которые производят люди, находящиеся в равномерном относительном движении без ускорения. Центральным замечанием Эйнштейна было замечание о том, что для наблюдателя, находящегося в равномерном движении, невозможно, не выглядывая из окна, определить, движется он или нет. Это заключение Эйнштейн сжато выразил утверждением, что все инерциальные системы отсчета эквивалентны. «Инерциальная система отсчета» — это просто подмостки, движущиеся с постоянной скоростью по прямой линии. У Галилея в начале семнадцатого века возникла та же идея, когда он вообразил путешествие в каюте без окон на лодке, плывущей по спокойному морю: он не смог представить себе никакого эксперимента, позволяющего определить, движется ли лодка. Чтобы найти современный пример инерциальной системы отсчета, мы можем представить себе эксперименты, которые мы проводим в кабине космического аппарата, находящегося в свободном полете: если у нас нет связи с внешним миром, мы не сможем определить, движется ли он. Решающей разницей между Галилеем и Эйнштейном, а также между двумя разделяющими их веками оказалось то, что в распоряжении Эйнштейна была информация об электричестве и магнетизме, так же как о динамике движущихся тел (маятников и так далее).
Чтобы понять значение идеи Эйнштейна об эквивалентности инерциальных систем отсчета, представим себе, что вы и я, являемся авторами учебников. Я полагаю, что я неподвижен в лаборатории, где я провожу серию экспериментов; вы думаете, что вы находитесь в лаборатории, движущейся относительно меня по прямой линии со скоростью 1 000 000 000 километров в час (км/ч; эта скорость соответствует примерно 93 процентам от скорости света, путешествие вокруг Земли с этой скоростью заняло бы 0,14 сек.). В отличие от других авторов, которые, чтобы составить свои тексты, полагаются на работы других, мы решили сами выполнить все классические эксперименты — бросание Галилеем камушков с падающей башни в Пизе, открытие Фарадеем электромагнитной индукции, бесплодные поиски Майкельсона и Морли свидетельств движения через эфир и так далее. С точки зрения Эйнштейна, каждый из нас написал бы по существу один и тот же учебник, несмотря на тот факт, что вы путешествуете относительно меня со скоростью 1 000 000 000 км/ч. Наши слова, конечно, были бы различными, но курсы физики, которым мы обучаем, были бы неразличимыми. Если бы мы обменялись учебниками, я смог бы пользоваться вашим, а вы моим. Эквивалентность наших учебников распространяется на всю физику, не только на движущиеся частицы (Галилей), но также на электричество и магнетизм (Эйнштейн).
Теперь мы подходим к центральному пункту. Многие уравнения физики, в частности описывающие электричество и магнетизм, зависят от скорости света с. Проблема в следующем. В моих главах, посвященных электромагнетизму, используемые мною выражения требуют некоторого значения с, которое я измерил в моей лаборатории. Выражения, которые используете вы в своей главе, также содержат определенное значение с, и, чтобы я мог преподавать физику по вашему учебнику, значение величины с, которое измерили вы, должно быть в точности тем же самым, что измерил я. Другими словами, когда вы измеряете с, вы получаете то же значение, что и я, хотя вы двигаетесь со скоростью 1 000 000 000 км/ч относительно меня. Только в этом случае ваш учебник будет согласован с моим.
Тот факт, что наблюдатели в разных инерциальных системах отсчета (вы и я) получают при измерении одну и ту же скорость света, имеет глубочайшие следствия для нашего понимания пространства и времени. Например, он разрушает понятие универсальной одновременности и уничтожает концепцию пространства как только арены. Поскольку эти замечания разрушают все, во что мы привыкли верить, настает решающий момент для пересмотра нашего понимания природы. Нам необходимо увидеть более точно, что из этого следует.
Как это может быть, что вы получаете в измерении то же значение с, хотя вы так быстро двигаетесь относительно меня? Одно объяснение состоит в том, что ваши измерения расстояния и времени отличны от моих. Например, если ваша измерительная линейка короче, чем моя, а ваши часы идут медленнее, то значения, измеренные вами, будут отличаться от моих, хотя мы и наблюдаем одно и то же явление. Таким образом, может быть, что «толчок», который вы даете лучу света, излучаемому из лампы, движущейся на 1 000 000 000 км/ч быстрее моей, гасится этими видоизменениями вашего восприятия пространства и времени. То есть толчок, даваемый свету вашим движением, может быть полностью погашен этим изменением восприятия. Такие видоизменения уже предлагались ранее ирландским физиком Джорджем Фитцджеральдом (1851-1901) и голландским физиком Хендриком Лоренцом (1853-1928) и были известны как сокращение Лоренца-Фитцджеральда. Достижение Эйнштейна заключалось в том, что он дал их чисто ситуационному предположению более твердую и глубокую теоретическую основу, предложив считать его следствием геометрии времени и пространства.
Эйнштейн проник в самое сердце материи. Хотя он и не выражал это таким способом, мы можем вообразить, что землемеров Хаммурапи поджимало время, и они производили свои измерения на бегу, пересекая поля. Однако землемеры, бегущие с разными скоростями через одни и те же поля, докладывали бы о разных длинах диагоналей, и формула Хаммурапи для расстояния была бы теперь непригодна, ибо разные землемеры сообщали бы для нее разные величины, зависящие от того, как быстро они бежали и в каком направлении. Вспышка озарения — и наш фиктивный Хаммурапи и наш реальный Эйнштейн объявили, что сообщений о положении точек в пространстве теперь недостаточно: с этого момента землемеры должны докладывать не только о положении точки, но и о моменте времени, в который, согласно показаниям их часов, это положение регистрировалось. Такую пару измерений мы называем событием. Эйнштейн предложил считать, что истинным «инвариантом», величиной, относительно которой согласны все, независимо от скорости их движения, является интервал между двумя событиями. Интервал между двумя событиями, разделенными в пространстве расстоянием (измеренным отдельным землемером) и разделенными во времени временем (измеренным тем же землемером) определяется как:
интервал2 = (c × время)2 − расстояние2,
где расстояние вычисляется с помощью выражения, которое мы использовали ранее. Поскольку расстояние между положениями двух событий в пространстве, измеренное вами, меньше, чем расстояние, которое измеряю я, а интервал должен быть тем же самым, время между этими двумя событиями для вас тоже должно быть меньше, чтобы сохранить величину разности (c × время)2 − расстояние2. Иными словами, для вас время бежит медленнее, чем для меня. Время, которое каждый из нас измеряет, называется нашим собственным временем: я полагаю, что ваше собственное время бежит медленней моего собственного времени. Поскольку вы считаете, что это я двигаюсь относительно вас, вы тоже полагаете, что мое собственное время бежит медленней вашего. Предложение Эйнштейна требует удивительного пересмотра нашего понимания времени и пространства. Во-первых, оно уничтожает понятие универсальной одновременности: у наблюдателей в разных инерциальных системах отныне нет возможности достичь согласия о том, являются ли два события одновременными. Чтобы оценить это заключение, предположим, что вы находитесь в космическом корабле, который, как вы знаете, имеет длину 100 м. Вы мчитесь мимо меня со скоростью 1 000 000 000 км/ч. Я замечаю положения двух концов космического корабля в данный момент и нахожу, что между ними всего 38 м. Расстояние во времени между моими двумя событиями (двумя измерениями) равно нулю, поскольку они одновременны, поэтому интервал между ними равен измеренному мною расстоянию в пространстве, которое равно 38 м. Вы знаете, что длина вашего космического корабля равна 100 м, поэтому, чтобы интервал был таким же, время между этими двумя событиями, измеренное вами, не может быть нулевым. В действительности вы думаете, что время между двумя моими измерениями равно 0,31 микросекунды (0,31 мс)! Короче, вы не считаете эти два события одновременными. Надежность понятия одновременности исчезла, так как никакие два наблюдателя, равномерно движущиеся друг относительно друга, не могут достичь согласия о том, являются ли два события одновременными. Иными словами, прощай, ньютоновское понимание абсолютного пространства и времени.
Второй частью пересмотра привычных понятий является слияние пространства и времени. Давайте сперва приведем в порядок выражение для интервала. Так же как Хаммурапи помог упростить описание Месопотамии, переведя измерения с востока на запад и с севера на юг в одинаковые единицы, и мы можем упростить описание пространства и времени, переведя измерения пространства и времени в одинаковые единицы. Этот перевод является лишь вопросом удобства, но давайте выберем в качестве выражения для измерения времени «метры, пройденные светом», расстояние, которое за это время проходит свет, получаемое умножением времени на c. Тогда 1c будет представлена как 300 000 км, потому что именно столько пролетит свет за 1 с, а «один метр времени» эквивалентен 3×10−11 с (30 пикосекунд, 30 триллионных секунды) в традиционных единицах. Когда вы глядите на вашу руку с часами, отсчитывающими секунды, представьте себе, что каждое тиканье это еще 300 000 км. Такой перевод единиц измерения является не более чем кулинарным приемом, но он упрощает определение интервала до:
интервал2 = время2 − расстояние2,
так же как Хаммурапи упростил определение расстояния от (С × сторона1)2 + сторона22 до сторона12 + сторона22, настояв на том, чтобы его землемеры докладывали значение стороны1 в метрах.
Теперь мы подошли к очень важному моменту. Так же как формула для расстояния, задаваемая теоремой Пифагора, является следствием геометрии двумерного пространства и может быть обобщена на три и более измерения, так и формула Эйнштейна для интервала существенным образом предполагает, что время следует рассматривать как четвертое измерение, перпендикулярное трем измерениям пространства. Такое понимание восходит к замечанию Германа Минковского (1864-1909), сделанному им в 1907 г.:
С этого времени пространство само по себе и время само по себе осуждены постепенно растаять в болотных сумерках, и только некий род их объединения сохранится как независимая реальность.
Объединение пространства и времени теперь носит название пространство-время.
Нам не следует смешивать четырехмерное пространство-время с четырехмерным пространством, так как их геометрии совершенно различны: расстояние в четырехмерном пространстве задается выражением t2 + x2 + y2 + z2, в то время как его аналог в четырехмерном пространстве-времени, интервал, задается выражением t2 − (x2 + y2 + z2) или t2 − x2 − y2 − z2. Мы говорим, что 4-пространство и 4-пространство-время имеют разные сигнатуры метрики: сигнатура метрики 4-пространства (схема знаков в выражении для расстояния) имеет вид (+,+,+,+), в то время как она же для интервала пространства-времени имеет вид (+,−,−,−). Возможно, вы начинаете схватывать суть или, по крайней мере, определение времени: это координата, соответствующая единственному отличному от других знаку в сигнатуре метрики, +, а не −. Мир, в котором сигнатура метрики имеет вид (+,+,−,−), обладал бы двумерным временем, где «сегодня» пришлось бы определять двумя датами. Если бы даже нам пришлось представить себе пространство-время более высоких размерностей, например, пятимерное пространство-время с сигнатурой метрики (+,−,−,−,−), мы бы немедленно определили первую координату как время; мы сталкивались с пространством-временем более высоких размерностей в главе 8, и здесь мы находим основание для решения, является ли дополнительная координата пространственной или временной. На протяжении этой главы под пространством-временем мы будем иметь в виду четырехмерную версию с сигнатурой метрики (+,−,−,−).
Я должен признать, что геометрия пространства-времени, называемая геометрией Минковского, труднее для восприятия, чем геометрия только пространства. Однако следующие замечания призваны дать вам впечатление о некоторых чертах пространства-времени и его отличии от пространства как такового. Этот материал не является центральным для того, что последует дальше, поэтому, если он покажется слегка приводящим в недоумение, не беспокойтесь, пусть так и будет. Чтобы создать у вас уверенность в представлениях о предметах этого рода, я воспользуюсь тем же методом, что и прежде: так же как мы обнаружили, что способны уловить проблеск понимания четырехмерного пространства, постепенно увеличивая размерность, мы можем приблизиться к пониманию четырехмерного пространства-времени, начав с меньшего числа измерений.
Таких вещей, как нульмерное и одномерное пространство-время, не существует. Различение между пространством и временем (как оно выражено в сигнатуре метрики) значимо только, когда мы переходим к двумерному пространству-времени (2-пространству-времени), с одним измерением для пространства и одним для времени. Более того, 2-пространство-время может быть представлено на плоском графике, с одной осью, означающей пространство, а другой время (рис. 9.5). Линии на диаграмме показывают пути частицы в этом мире и являются тем, что Минковский называл мировыми линиями. Вертикальная мировая линия изображает историю неподвижной частицы: частица остается в той же точке пространства, а время возрастает. Мировая линия, отклоняющаяся вправо, представляет частицу, медленно движущуюся вправо, поскольку положение частицы смещается направо по мере возрастания времени. Мировая линия с наклоном 45° соответствует частице, которая движется направо со скоростью света, проходя расстояние в 1 м за 1 м светового времени (30 триллионных секунды в обычных единицах). Эта линия представляет самое быстрое из возможных движений частицы, поскольку ничто не может двигаться быстрее чем свет, и только безмассовые частицы (такие как фотоны) могут достигать этой скорости. Все возможные мировые линии лежат между линией, наклоненной на 45° влево (частица, движущаяся влево со скоростью света) и линией, наклоненной на 45° вправо (частица, движущаяся вправо со скоростью света).
Рис. 9.5. Мировая линия частицы — это просто след ее положения при возрастании времени. Иллюстрация слева изображает неподвижную частицу. Она остается в том же положении при возрастании времени, так что ее мировая линия вертикальна. Иллюстрация справа показывает ту же частицу, движущейся с постоянной скоростью направо, так что с ростом времени она располагается все правее. Поэтому ее мировая линия имеет наклон вправо. Линии с наклоном 45° на каждой иллюстрации являются мировыми линиями света, который проходит 1 м за 1 м светового времени. Ничто не может двигаться быстрее, чем свет, поэтому не существует мировых линий с наклоном больше, чем на этот угол.
Сделаем теперь шаг в 3-пространство-время с двумя пространственными измерениями и одним временным (рис. 9.6), где частица при возрастании времени может перемещаться по двумерной плоскости. Поскольку ни одна частица не может двигаться со скоростью, большей скорости света, все мировые линии лежат внутри конуса, образованного вращением линии, наклоненной под углом 45° к вертикали. Этот конус называется световым конусом события, лежащего в его вершине, поскольку мировые линии, образуемые светом, движущимся со скоростью света, лежат на поверхности этого конуса. Вы можете представить себе круговой импульс света, начинающий путь из точки: со временем он распространяется кругами, показанными на плоскости, и отмеченными различными временами на световом конусе.
Рис. 9.6. Двумерное пространство, в котором частица может двигаться по плоскости, с мировой линией, лежащей где-нибудь внутри конуса, изображенного на иллюстрации слева. Этот конус является световым конусом, образованный мировыми линиями импульса света, выпущенного из его вершины. Никакая мировая линия не может лежать вне конуса, поскольку она соответствовала бы движению со скоростью, большей скорости света.
Обращаясь к 4-пространству-времени, нам следует представить себе четырехмерный вариант конуса, исходящего из точки события, сечением которого в каждый момент является трехмерная сфера (представляющая поверхность распространения сферического импульса света). Изображение его находится полностью за пределами моих возможностей, и я даже не претендую на то, что обладаю способом его представления на бумаге. К счастью, изображение светового конуса для импульса в двух измерениях на рис. 9.6 дает все, что действительно нужно для понимания.
Световой конус делит события на два класса. Рассмотрим, например, события A и B на рис. 9.7. Поскольку B лежит внутри светового конуса с вершиной в A, сигналы из A имеют достаточно времени, чтобы достичь B и повлиять на событие B. Рассмотрим теперь события A и C. Событие A не может повлиять на событие C, потому что последнее лежит вне светового конуса с вершиной в A, и никакой сигнал из A не может достичь C, чтобы произвести какое-либо действие. Мы говорим, что A и B (и все другие точки, лежащие внутри светового конуса или на нем) являются причинно связанными, в то время как C (и все другие точки, лежащие вне светового конуса) не связаны причинно с A. Мы уже отмечали, что причинность является становой жилой науки, поэтому тот факт, что световой конус делит пространство-время на области событий, связанных и не связанных причинно, имеет огромную важность для нашего понимания мира. Например, какое бы событие ни произошло в A, например, распад на куски планеты Земля в полдень прошлого воскресенья, оно не может повлиять на событие в C, которое может быть лекцией по истории космоса, читаемой в следующий понедельник на планете около звезды, весьма удаленной от Земли.
Рис. 9.7. Световой конус делит события на те, которые причинно связаны и не связанные причинно между собой. Если событие происходит в A, оно может влиять на события в световом конусе, такие как B, но не может влиять на события вне светового конуса, такие как C, поскольку сигнал, выходящий из A, не может дойти до C.
Все предшествующее может ощущаться, как довольно-таки знакомый материал, поскольку линии и конусы, которые мы нарисовали, вторят свойствам обычного пространства. Теперь мы подходим к принципиальному различию между евклидовым пространством и пространством Минковского, к самому трудному для интуитивного восприятия свойству. В пространстве прямая линия является кратчайшим расстоянием между двумя точками. В пространстве-времени, с его забавной геометрией Минковского, нам придется привыкнуть к мысли, что прямая линия является самым длинным интервалом между двумя событиями. Следующая ниже притча о Касторе и Поллуксе поможет разъяснить это обстоятельство.
Давайте представим себе, что Кастор остался дома. Его мировая линия вертикальна и тянется от его двадцатого дня рождения до двадцать первого дня рождения. Поллукс, отпраздновав свой день рождения вместе с братом, немедленно пускается на космическом корабле в путешествие, которое для Кастора длится 12 месяцев, движется со скоростью 1 000 000 000 км/ч до удаленной точки в межзвездном пространстве и возвращается, прибыв как раз к его, Кастора, двадцать первому дню рождения. По представлениям Кастора, Поллукс пролетел 8,8 триллиона километров. Кастор использовал время отсутствия своего брата для того, чтобы рассчитать, что интервал между началом и концом путешествия составляет 3,30 триллиона километров. Поллукс с этим согласен, так как интервал является инвариантом. Однако, поскольку он не покидал космический корабль и путешествовал вслепую, Поллукс считает, что он нигде не был, поэтому приписывает весь этот интервал течению времени, а не перемещению в пространстве. В обычных единицах 3,30 триллиона километров светового времени соответствует 4,6 месяца (рис. 9.8). Мы видим, что мировая линия, представляющая путешествие, совершенное Поллуксом между событиями, отмечающими дни рождения Кастора, соответствует интервалу более короткому, чем прямая линия между этими двумя днями рождения (соответствующая мировой линии Кастора), даже несмотря на то, что линия, изображающая это путешествие, в наших евклидовых глазах выглядит длиннее. Это заключение подтверждает наше замечание о том, что прямая линия между событиями соответствует более длинному (в действительности самому длинному) интервалу, чем непрямой путь. Это верно и в общем случае. Когда вы смотрите на диаграмму в пространстве-времени, не давайте евклидовым представлениям вас одурачить.
Рис. 9.8. Кастор остался на год дома: он повзрослел на год, но никуда не ездил. Интервал между двумя событиями, которые он называет своими днями рождения, равен 3,30 триллиона километров (одному году). Поллукс отбывает в путешествие со скоростью в 93 процента от скорости света и отправляется в точку, удаленную на 8,8 триллиона километров, возвращается и прибывает обратно ко дню рождения Кастора. Поллукс не думает, что он куда-то отлучался, но согласен с Кастором, что интервал между его отбытием и прибытием равен 3,30 триллионам километров. Однако он считает, что, по отношению к течению его времени, это занимает 4,6 месяца.
Второе, что следует заметить: Поллукс стал младше Кастора. Поллукс, чей метаболизм шел в соответствии с течением переживаемого им времени, повзрослел только на 4,6 месяца, в то время как Кастор стал старше на год. Итак, чтобы избежать старения, мы должны двигаться очень быстро.
Еще одной чертой пространства-времени, отличающей его от пространства, является смысл объема. На некоторой стадии мы не можем избежать необходимости думать о четырех измерениях, но мы можем совершить этот шаг, представляя себе меньшее число измерений, а затем рассуждая по аналогии. Давайте рассмотрим кубический ящик в трехмерном пространстве-времени с двумя пространственными измерениями и одним временным. Как и обычный кубический ящик в трехмерном пространстве, такой ящик имеет шесть квадратных граней (рис. 9.9). Грань, помеченная на иллюстрации буквой A, полностью лежит в двумерном пространстве и соответствует обычной плоскости в заданное время: представим себе ее плоским листом бумаги в определенный момент. Грань, помеченная буквой B, является той же гранью в более поздний момент: представьте себе ее, как тот же лист бумаги пятью минутами позже, лежащий на том же месте. Грань, помеченная буквой C, составленная из вертикальных мировых линий всех точек одного края неподвижного листа бумаги (одного края грани A); таким же образом каждая из других вертикальных граней состоит из вертикальных мировых линий всех точек каждого из трех других краев листа бумаги.
Рис. 9.9. Муравей вползает на прямоугольный лист бумаги и останавливается посередине. Нижняя грань 3-куба (A) вначале пуста, поскольку муравей еще не на листе, но когда мы инспектируем лист позднее, мы обнаруживаем его там и отмечаем его присутствие точкой на соответствующей поверхности (B), являющейся верхней гранью 3-куба. В некоторый момент муравей должен пересечь левый край листа бумаги, и мы отмечаем это положение точкой, которая появляется на соответствующей грани 3-куба (C).
Четыре вертикальных грани суммируют все события, случившиеся на каждом краю листа бумаги за те 5 минут, которые мы рассматриваем. Например, предположим, что муравей вползает на бумагу слева через 2 минуты. Первоначально лист бумаги пуст, значит, поверхность A тоже пуста. Муравей вползает слева и создает свою мировую линию. Он пересекает левый край, поэтому мы видим появившуюся там точку. Затем (предполагаем мы) муравей останавливается в середине листа и остается там. Его мировая линия теперь вертикальна, и через три минуты точка появляется на грани B. Заметим, что разница между поверхностями A (ни одной точки) и B (одна точка) отмечена точкой где-то на одной из вертикальных поверхностей (в данном примере C). При условии, что частица не может просто появиться из ничего, изменение между двумя горизонтальными «пространственно-подобными» поверхностями A и B должно быть отмечено событием на вертикальной «времени-подобной» поверхности (для муравья, C).
Теперь затянем покрепче наш интеллектуальный страховочный ремень и сорвемся в четырехмерное пространство-время. А вот и одеяло, чтобы подстелить для создания комфорта: ухватитесь за тот факт, что четыре измерения в точности аналогичны трем, но пространственные поверхности (листы бумаги заменяются пространственными объемами (комнатами). Муравьи, вползающие на бумагу, заменяются людьми, входящими в комнаты.
Как мы уже видели, стены 4-куба образуются из восьми 3-кубов (вспомним рис. 9.4). В пространстве-времени два из этих 3-кубов, обозначим их X и Y, являются чисто пространственными и соответствуют трехмерным областям пространства — реальным комнатам — в начальный и конечный моменты рассматриваемого отрезка времени (рис. 9.10, где о событиях, которые я собираюсь описать, говорится несколько более детально), так же как поверхности A и B в трехмерном пространстве-времени соответствуют настоящим листам бумаги в два разных момента времени. Мы называем эти обычные кубы «пространственно-подобными». Каков смысл других шести 3-кубов? Каждый из них имеет грани, лежащие в двух пространственных измерениях, и одно временное измерение, поэтому они суммируют историю, которая происходит на каждой двумерной грани реального ящика, так же как сторона C суммирует то, что случается на краю листа бумаги. Мы назовем эти кубы «времени-подобными». Чтобы понять их смысл, предположим, что наш пространственно-подобный куб представляет комнату, в которой вы сейчас находитесь. Перед тем как вы пришли в эту комнату, она была пустой, поэтому пространственно-подобный куб X пуст. Когда вы вошли в комнату, вы прошли через дверь в стене, поэтому точка, отмечающая место и время вашего входа, появляется на соответствующем времени-подобном кубе, например, кубе Z (точка может отмечать положение вашего носа). Если мы обследуем комнату несколько позже, пока вы еще в ней, мы обнаружим ваше местоположение, отмеченное точкой, в пространственно-подобном кубе Y. Как и в 3-пространстве-времени, любая разница между кубами X и Y должна быть отмечена точкой внутри одного из остальных шести кубов: где именно лежит эта последняя точка, зависит от того, где и когда вы вошли в комнату.
Рис. 9.10. 4-куб показывает историю посещения трехмерной области (комнаты), так же как 3-куб показывает историю присутствия муравья на двумерном листе бумаги. 3-куб X в начале, в 19.00, является пустой комнатой. Через двадцать минут, если мы проверим комнату, соответствующую 3-кубу Y, мы обнаружим, что он занят, и пометим положение головы посетительницы точкой. Если в промежуточный период времени мы будем наблюдать за дверью, мы можем показать, что там произошло, с помощью последовательности образов, которые содержит времени-подобный куб Z. В скоротечный миг 19.10 посетительница появляется на поверхности во время входа в комнату, поэтому мы отмечаем положение ее головы точкой на соответствующем кубе. Гиперкуб является записью истории комнаты между начальным и конечным моментами.
Теперь, чтобы завершить это обсуждение и подготовить вас к тому, что последует дальше, мне необходимо заставить вас думать несколько более обобщенно. Когда мы подойдем к разговору об энергии или массе, мы будем иметь возможность делать построения на этом рисунке. Полная энергия (или масса, согласно формуле E = mc2) в кубе X будет полной энергией в некой области пространства сначала. Полная энергия в кубе Y будет энергией в этой области после того, как прошел заданный период времени. Полная энергия во времени-подобных кубах представляет собой поток энергии внутрь или вовне области через ограничивающие ее стенки, а конечным притоком энергии должна считаться разность между значениями энергии в пространственно-подобных кубах X и Y.
О гиперкубах в пространстве-времени на данный момент, вероятно, сказано достаточно. Вы подошли к началу понимания структуры пространства-времени, смысла точек и объемов в нем. Прежде чем мы вместе сделаем следующий шаг, мне надо ознакомить вас еще с одним аспектом частной теории относительности. Этот важный шаг выявит происхождение самого знаменитого выражения во всей физике, E = mc2, или энергия = масса × c2, и покажет нам, что это важное в интеллектуальном, экономическом, коммерческом, военном и политическом отношениях выражение, которое уже возникало перед нами в этой и предшествующих главах, является к тому же еще одним проявлением геометрии пространства-времени. В единицах, в которых время выражается длиной, c = 1, поскольку свет проходит один метр за 1 метр светового времени, и это выражение Эйнштейна принимает менее знакомую, но более простую и показательную форму энергия = масса. Иными словами, разницы между энергией и массой нет.
Я не могу избежать использования небольшой толики математики, но это будет необременительный разговор с передышками, и я надеюсь, что вы его преодолеете (или перепрыгнете: но этот результат важен). Мы знаем соотношение между интервалом, временем и расстоянием:
интервал2 = время2 − расстояние2.
Легко преобразовать это выражение, разделив обе стороны на интервал2 и получить:
1 = (время2 / интервал2) − (расстояние2 / интервал2).
Далее, умножим обе стороны на массу2, где масса есть масса некоторой частицы, о которой мы в данный момент думаем (атом урана, лягушка, Юпитер). Этот шаг дает:
масса2 = (масса × время / интервал)2 − (масса × расстояние / интервал)2.
Поскольку расстояние / интервал напоминает обычное выражение для скорости, а масса, умноженная на скорость, есть определение импульса (глава 3), мы можем подозревать, что второе слагаемое справа является релятивистским выражением для квадрата импульса. Я не буду вдаваться в подробности, но это подозрение подтверждается при рассмотрении столкновения двух частиц, в котором обнаруживается, что полная величина масса × расстояние / интервал при столкновении остается неизменной. Одним из центральных принципов физики, как мы видели в главе 3, является «сохранение импульса», принцип, говорящий о том, что, какие бы сложные события ни происходили при столкновении двух тел, полный импульс остается неизменным, так что для этого отождествления есть основания.
Но что означает первое слагаемое справа? Если мы напишем уравнения для столкновения двух частиц, то обнаружим, что величина масса × время / интервал тоже остается неизменной при столкновении, даже если происходит множество сложных индивидуальных событий. Другим великим принципом физики, как мы видели в главе 3, является сохранение энергии. Наблюдения заставляют предполагать, что мы должны отождествить масса × время / интервал с энергией и переписать последнее уравнение в виде:
масса2 = энергия2 − импульс2.
Отождествление величины масса × время / интервал с энергией также подтверждается демонстрацией того, что, подобно импульсу, она сохраняется при столкновении. Одним следствием из этого выражения, подобно выражению для интервала, является то, что, так же как пространство и время мыслятся объединенными в пространство-время, импульс и энергия должны мыслиться как две стороны комбинированной величины, которую можно назвать, хотя это делают редко, неуклюжим именем импульс-энергия. Масса, согласно этому выражению, вычисляемая из энергии и момента, так же как интервал, вычисляемый из времени и расстояния, является инвариантом, свойством, которое находят одинаковым все наблюдатели, как бы быстро они ни двигались.
Теперь мы можем перейти к нашему итоговому заключению. Предположим, что частица неподвижна в нашей инерциальной системе — это может быть кусок железа, который мы держим в руке. Поскольку частица является неподвижной, ее импульс равен нулю; таким образом выражение масса2 = энергия2 − импульс2 превращается в масса2 = энергия2, и мы немедленно заключаем, что масса = энергия, именно то, что мы хотели вывести. Вам следует обратить внимание, что это необычайно важное выражение является прямым следствием геометрии пространства-времени в сочетании с двумя физическими законами сохранения, позволяющими нам отождествить термины.
Наше исследование геометрии пространства-времени привело нас к заключению, что масса и энергия эквивалентны. Мы должны заключить, что если из области уходит энергия, то масса в этой области уменьшается. Если энергия втекает в область, то масса в этой области возрастает. На практике разница в массе для обычных объектов вполне пренебрежима. Например, разница в массе 10-килограммового пушечного ядра при комнатной температуре и температуре 1000 К составляет лишь 50 пикограмм (50 миллионно-миллионных грамма), что совершенно невозможно обнаружить (с помощью современных технологий). Изменения энергии, сопровождающие перестройку субатомных частиц, протонов и нейтронов, составляющих атомные ядра, много больше, чем изменения, получаемые простым нагреванием пушечных ядер. Ядерный распад является процессом, в котором ядро атома распадается на два более маленьких ядра, что дает возможность протонам и нейтронам в ядре занять энергетически более выгодные положения и, следовательно, освободить излишек энергии. Когда 10 килограммов урана-235 подвергается распаду, освобождаемая энергия соответствует потере целых 10 граммов массы. Это эквивалентно энергии, выделяемой 30 тысячами тонн угля. Геометрия удивительно могущественна.
Значительная часть этой главы до сих пор основывалась на избавлении от фундаментальной константы, скорости света, и на упрощении результирующих выражений. Теперь мы перейдем к избавлению от другой фундаментальной константы и таким путем достигнем еще более глубокого понимания природы (мы наблюдали этот процесс в главе 3, где мы удалили механический эквивалент теплоты и были вознаграждены термодинамическими прозрениями). Я подозреваю, что, если бы мы избавились от всех фундаментальных констант, мы поняли бы Природу в совершенстве! Именно здесь мы подходим к Великой Идее, являющейся сердцем этой главы. У Эйнштейна ушло более десятилетия на переход от частной теории относительности к более общей теории, которую обычно называют общей теорией относительности, теорией гравитации Эйнштейна или, совсем просто, «теорией Эйнштейна».
В теории Ньютона гравитация, рассматриваемая как сила, действующая в пустом пространстве, характеризуется универсальной фундаментальной постоянной, гравитационной постоянной, G.[46] Согласно Ньютону, сила тяготения, создаваемая телом, пропорциональна произведению G на массу тела. Эта пропорциональность означает, что на заданном расстоянии от центров Солнца и Земли (и снаружи от них) сила притяжения Солнца, чья масса в 336 тысяч раз больше массы Земли, в 336 тысяч раз больше силы притяжения Земли.
Сначала немного кухни. С этого момента мы включаем G в массу и таким образом выражаем массу в единицах длины. Выраженная в единицах длины, масса Земли равна 4,41 мм, а масса Солнца в 336 тысяч раз больше, 1,48 км. Следует заметить, что теперь мы выразили массу, длину и время в единицах длины: мы могли бы выразить их в единицах времени, разделив на с, но получаемые числа были бы тогда более нелепыми и имели бы меньше прямого смысла. Вам также следует обратить внимание на то, что мы устранили таинственную константу G из ньютоновского описания гравитации, а это предполагает, что гравитация есть, в некотором роде, искусственная концепция и что G появляется в физике не потому, что имеет глубокий фундаментальный смысл, а потому, что наши предки выбрали причудливую единицу (например, килограмм) для выражения массы, а не естественную единицу, единицу длины (такую как метр). Но самое глубокое замечание, которое я могу сделать в этой связи и которое вам следует держать в голове, пока я развиваю эту тему, это то, что, выразив все величины в терминах длины, мы движемся к описанию, в котором действие массы на пространство-время становится предметом геометрии. Евклид был бы восхищен, узнав о размахе, на который способен его метод.
Теперь мы подошли к делу. Общая теория относительности возникает из замечательного совпадения, замеченного Эйнштейном. Замечательные совпадения в науке, как и в обычной жизни, всегда подозрительны. В обычной жизни они, как правило, указывают на обман; в науке они обычно указывают на открытие. Совпадение, о котором идет речь, состоит в том, что масса, используемая для выражения способности тела сопротивляться действию силы, которая в главе 3 названа «инерционной массой», является той же самой, что и масса, используемая для выражения способности тела создавать гравитационное притяжение, его «гравитационная масса». Эта эквивалентность была подтверждена экспериментально с точностью до одной триллионной, а это заставляет предполагать, что инерционная масса и гравитационная масса есть в точности одно и то же. Это должно показаться вам очень странным. Нет никаких непосредственно видимых причин, по которым сопротивление пушечного ядра моему удару ногой идентично силе гравитационного поля, которое пушечное ядро порождает.
Опираясь на это совпадение, Эйнштейн обнаружил еще одно. Предположим, что вы и я едем на одном и том же лифте, но что-то идет не так. Сначала мы обнаруживаем, что застряли на сотом этаже здания. Чтобы скоротать время до нашего спасения, мы перекидываемся мячом. Будучи наблюдательными, мы замечаем, что путь мяча искривляется (рис. 9.11). Если бы кабина лифта находилась в глубоком космосе, вдалеке от гравитационного притяжения звезд и планет, путь мяча был бы прямой линией. Имея это в виду, мы приписываем кривизну траектории мяча гравитации. Будучи учеными и быстро проделав вычисления, мы узнаем также, что путь мяча представляет собой параболу, кривую, получаемую в сечении конуса плоскостью, параллельной одной из его сторон, то есть образующих его прямых линий.
Рис. 9.11. В неподвижном лифте (слева) путь мяча, спроектированный на вертикальную плоскость, является параболой, загнутой книзу по направлению к полу. В свободном пространстве, далеко от гравитационных масс, путь мяча является прямолинейным (посередине). Последовательность изображений справа показывает, что происходит. В белых ящиках показан в преувеличенной манере путь мяча в неподвижном лифте. Серые ящики показывают, как лифт с ускорением меняет свое вертикальное положение, и это изменение положения в точности компенсирует изменение положения падающего мяча относительно лифта.
Внезапно спокойствие нарушается. Наш некомпетентный спасатель по неосторожности перерезал кабель, держащий кабину лифта, и одновременно отключил все приспособления, страхующие ее от падения. Мы срываемся вниз в свободное падение. Будучи учеными, мы хладнокровно пользуемся уникальной возможностью, возникшей благодаря нашему попаданию в фатальный переплет, и продолжаем перекидывать мяч друг другу. К нашему великому изумлению, мы вдруг обнаруживаем, что мяч теперь летает между нами по прямой линии, как если бы мы находились в космосе, свободном от гравитации! Если бы наш лифт находился на поверхности Солнца, параболический путь мяча искривлялся бы более круто, но при вхождении нашего лифта в свободное падение он и ускорялся бы быстрее, и это движение все равно разгладило бы нашу параболу в прямую линию. Отсюда урок: где бы мы ни были, мы можем уничтожить влияние гравитации, вступив на платформу, находящуюся в свободном падении. Если бы каждый когда-либо живший ученый был всегда заперт в кабине свободно падающего лифта, концепция гравитации никогда не появилась бы на свет.
Эйнштейн открыл это шокирующее обстоятельство и воспользовался им. Сначала он по существу предположил, что все наблюдатели, населяющие свободно падающие кабины лифтов, написали бы одинаковые учебники физики. В этом суть содержания принципа эквивалентности. В частности, наблюдатели, падающие в кабинах, делающие измерения и обменивающиеся их результатами, испытывали бы те же сокращения пространства и времени, которые предсказываются частной теорией относительности. Мы можем выразить это утверждение в более геометрических терминах: геометрия пространства-времени является одинаковой (и является геометрией Минковского) во всех свободно падающих кабинах лифтов. Итак, все, что мы ранее обсуждали касательно частной теории относительности, приложимо к любой такой свободно падающей кабине.
Однако величайшим достижением Эйнштейна были его размышления о том, как геометрия в нашей падающей кабине связана с геометрией в другой кабине, которая может падать с другим ускорением. Например, ваш небоскреб может быть построен на астероиде, и вы падаете, ускоряясь очень, очень медленно. Моя кабина может быть расположена на Земле, и ее ускорение будет около 10 м/с2 (так что через 1 с она падает со скоростью 10 м/с, через 2 с падает со скоростью 20 м/с и так далее). Геометрия пространства-времени является плоской — геометрией Минковского — в каждой из наших кабин, но мой маленький кусочек плоской геометрии изгибается и скручивается относительно вашего. Вы можете представить себе попытку покрыть шар монетами (рис. 9.12): каждая малая область является плоской, но одна область лежит под углом к другой области. Вопрос, который поставил и спустя годы напряженной работы ума разрешил Эйнштейн, заключался в том, как связаны друг с другом области плоского пространства-времени в близком присутствии скопления массы, такого как звезда. Если я могу описать мое земное пространство-время с точки зрения вашего астероида, то я на самом деле описываю воздействие, которое ученые обычно называют гравитацией.
Рис. 9.12. Локальная геометрия в каждой точке пространства является евклидовой (представлена плоскими кружками, прикрепленными к разным точкам сферы). Однако около тяжелого тела, такого как звезда или планета, пространство искривляется, и локальные евклидовы области изгибаются и скручиваются относительно других локальных областей. Общая теория относительности Эйнштейна показывает, как связать различные локальные системы координат друг с другом.
Ранее в этой главе мы получили некоторое представление о пространстве-времени. Теперь мы должны перенести этот опыт развития гибкости ума на следующую стадию, на гибкость пространства-времени, и получить представление об искривленном пространстве-времени. Это не так ужасно, как, возможно, звучит, поскольку теперь мы можем отодвинуть геометрию Минковского на задворки сознания и попытаться забыть о ее сложности. На деле многие считают качественные идеи общей теории относительности гораздо проще, чем идеи частной теории относительности, потому что здесь можно представлять себе искривленное пространство (что легко), а не искривленное пространство-время (что нелегко). Это заблуждение, поскольку общая теория относительности относится к искривленному пространству-времени, но это приемлемое заблуждение, поскольку оно делает всю концепцию доступной, поэтому мы будем продолжать изложение, пользуясь им.
Итак, сначала мы сосредоточим внимание на искривленном пространстве, потому что эта концепция довольно проста. Как и прежде, концептуально легче урезать число измерений, которые мы должны попытаться вообразить, а потом вновь достроить это число. Однако, чтобы вообразить даже двумерную искривленную поверхность, нам, очевидно, уже необходимы три измерения, чтобы представить себе, «в чем» эта поверхность искривлена. Поэтому, как нетрудно видеть, для того чтобы представить себе четырехмерное искривленное пространство-время, мы нуждаемся в пяти измерениях! Я не буду просить вас проделать это, поскольку не могу сам (и не знаю никого, кто мог бы), но если вы хотите все же визуализовать искривленное пространство-время в полной мере, вот что вам следует попытаться сделать. Техническим термином для представления искривленного пространства в размерности на единицу большей является «вложение» его в пространство на единицу большей размерности. Чтобы представить себе четырехмерное искривленное пространство-время, вам следовало бы вложить его в пространство пяти измерений.
Давайте на минуту остановимся на двумерном искривленном пространстве (а не на пространстве-времени). Чтобы представить себе его искривленным, вообразим 2-пространство, поверхность, вложенную в 3-пространство, объем. Представим себе 2-пространство как поверхность 3-сферы (обычной сферы, похожей на идеализированную Землю). Теперь представим себе сцену, в которой я стою на экваторе на нулевом меридиане (это помещает меня в неуютную влажность океана где-то к западу от побережья Африки), а вы стоите на экваторе на долготе 90° (это помещает вас на побережье Эквадора). Свисток, и мы оба начинаем двигаться к северу, проверяя на каждом шагу на протяжении всего пути, что мы не отклонились ни вправо, ни влево. Будучи физиками-теоретиками, мы не обращаем внимания на неудобства при пересечении пустынь, океанов и ледовых шапок. В конечном счете, когда мы достигаем Северного полюса, мы сталкиваемся носами (рис. 9.13). Нам приходится заключить, что параллельные с виду линии пересекаются в пространстве с этой геометрией. О пространстве, в котором все параллельные с виду линии встречаются, если их продолжить достаточно далеко, — или, что эквивалентно, о пространстве, в котором нет по-настоящему параллельных линий — говорят, что оно имеет положительную кривизну. Это пространство дает пример одной из неевклидовых геометрий, о которых я упоминал раньше.
Рис. 9.13. Вы стартуете на экваторе и упорно шагаете вверх по гринвичскому меридиану (0° долготы), все время лицом вперед. Я делаю то же самое, но начинаю из точки экватора при 90° западной долготы. Когда мы достигаем полюса, наши носы сталкиваются. Поэтому эти два меридиана не параллельны: в такой геометрии нет параллельных линий. Данная иллюстрация также показывает, как представить себе двумерную поверхность однородной положительной кривизны в виде поверхности трехмерной сферы. Мы говорим, что двумерная поверхность «вложена» в двумерное пространство.
Немедленным следствием существования неевклидовых геометрий является вывод, что геометрия есть наука экспериментальная, а не нечто (как думал Иммануил Кант, о чем мы узнаем в главе 10), справедливость чего можно установить одной лишь интроспекцией. Одна лишь интроспекция никогда не приводит к истине, что так чудесно проиллюстрировал Аристотель; интроспекция в союзе с экспериментом, конечно — темой нашей книги, — является необычайно чудесным и надежным гидом, что так великолепно проиллюстрировал Галилей. Мы стоим перед выбором перспективы для геометрии пространства: быть ли ей евклидовой, как, сидя в своих креслах, целых 2000 лет полагали Евклид и его последователи, или неевклидовой. Чтобы решить этот вопрос, мы должны обратиться к эксперименту и увидеть, например, столкнемся ли мы носами, если будем идти по параллельным путям достаточно далеко. Карл Фридрих Гаусс (1777-1855), один из величайших математиков, имел некоторое представление о том, что у евклидовой геометрии могут быть конкуренты:
На самом деле, поэтому я время от времени в шутку выражаю пожелание, чтобы геометрия Евклида была неверна.
Однажды этот концептуальный тупик был пробит в наибольшей мере немецким математиком с трагически короткой жизнью, Бернхардом Риманом (1826-1866). В своей выдающейся лекции, прочитанной в 1854 г. по случаю вступления в должность, он дал человеческому уму свободу, достаточную для того, чтобы вообразить себе неевклидовы пространства уже и с отрицательной кривизной. Рисунок 9.14 показывает двумерную поверхность отрицательной кривизны, вложенную в трехмерное пространство. Когда вы сидите в седле, вас поддерживает двумерная поверхность отрицательной кривизны. В этом пространстве через заданную точку можно провести бесконечное число линий, параллельных данной.
Рис. 9.14. Двумерная поверхность с отрицательной кривизной седлообразной формы, вложенная в трехмерное пространство.
Коль скоро мы преодолели интеллектуальный бугор и признали то обстоятельство, что существуют разные типы неевклидовых геометрий, мы способны перейти к представлению о пространстве, геометрия которого может меняться от места к месту. То есть различные области — пространства могут иметь разную кривизну. Например, мы можем представить себе пространство, похожее на гантель, полученное сжатием сферы в области экватора, превращающем его в талию гантели. Это пространство будет иметь положительную кривизну около полюсов и отрицательную кривизну в седлообразной окрестности экватора. Мы могли бы пойти дальше и вообразить более сложные пространства, втыкая пальцы в эту поверхность и создавая небольшие кратеры, испещряющие ее так, чтобы кривизна менялась от места к месту. Вам может понравиться рассматривать повседневные объекты, которые имеют поверхности с кривизной, меняющейся от места к месту (например, вы сами).
Когда мы думаем о пространствах, вложенных в пространства более высокой размерности, мы встаем на точку зрения надменного сверхсущества, которое может судить на глазок, имеется ли тут кривизна. Предположим, однако, что мы муравьи, и наше воображение ограничено реальным пространством, в котором мы обитаем: может ли муравей узнать, искривлена ли Земля, можем ли мы определить, искривлено ли наше пространство-время? Ответ уже следует из текущего обсуждения, поскольку путешествия, которые вы и я предприняли, и вопрос о том, столкнемся ли мы с вами нос к носу или нет, можно представить себе имеющими место на поверхности, независимо от того, считаем мы ее во что-то вложенной или нет. Таким образом, если вы и я отправляемся по двум параллельным с виду путям и сталкиваемся носами, то мы знаем, что пространство, в котором мы пребываем, имеет положительную кривизну. Это заключение не зависит от того, можем ли мы вообразить наше пространство вложенным в пространство более высокой размерности или нет.
Мы можем развить эту мысль дальше и научиться измерять кривизну пространства количественно. Пойдемте со мной на Северный полюс (рис. 9.15). Теперь, когда мы здесь, давайте вытянем, каждый, по одной руке, указывая ею вниз прямо на юг, на Гринвич, вдоль меридиана 0°. Свисток, и вы отправляетесь на юг и идете, пока не достигнете экватора. Продолжая указывать рукой на юг, вы идете вдоль экватора, пока не достигнете 90° восточной долготы. Из этой точки, все еще показывая рукой на юг, вы возвращаетесь на Северный полюс. Я, в свою очередь, наблюдаю, как вы появляетесь из-за горизонта. Однако, к нашему общему огромному удивлению, мы обнаруживаем, что ваша рука повернута на 90° относительно моей, несмотря на то, что вы педантично указывали ею строго на юг на протяжении всего вашего путешествия! В плоском пространстве направления, наших рук совпадали бы, поэтому мы заключаем, что реальная поверхность Земли плоской не является. Более того, мы можем описать количественную меру «кривизны» как изменение угла, на который повернута ваша рука, деленное на площадь области, ограниченной вашим маршрутом, что дает 1 / радиус2, где радиус является радиусом Земли. Так как радиус Земли равен 6400 км, кривизна ее поверхности составляет 2,4×10−8 км−2. Это очень маленькая кривизна, указывающая на то, что нам придется делать обход очень большой площади, для того чтобы эффект стал заметным. Вот почему землемеры Хаммурапи не замечали ее: поля, которые они измеряли в Месопотамии, имели площади лишь в несколько тысяч квадратных метров, и кривизна Земли просто не могла быть видна. Кривизна футбольного мяча с радиусом 10 см равна 0,01 м−2, так что эта кривизна становится заметной на областях его поверхности, занимающих довольно небольшую площадь. Для сферы кривизна будет оставаться одинаковой, где бы мы ни начали наше путешествие и какую бы площадь мы ни обошли. Кроме того, кривизна на ней всюду положительна. Куриное яйцо также всюду имеет положительную кривизну, но ее значения меняются примерно от 0,2 см−2 на тупом конце до 0,4 см−2 на более круто искривленном остром конце.
Рис. 9.15. Кривизну поверхности можно измерить, не прибегая к представлению о вложении ее в пространство более высокой размерности. Наш подход заключается в совершении обхода вокруг точки, в которой измеряется кривизна, и в измерении разницы углов между линиями фиксируемого во время обхода направления. Например, если, как здесь показано, мы стоим на Северном полюсе, а наши руки указывают на юг, и вы идете к экватору по меридиану 90° западной долготы, затем вдоль экватора до гринвичского меридиана и возвращаетесь на Северный полюс, на протяжении всего путешествия держа руку повернутой к югу. Когда вы прибываете, мы обнаруживаем, что ваша рука повернута на 90° относительно моей. Из этого наблюдения мы можем сделать вывод, что кривизна этой поверхности равна 1 / радиус2, где радиус является радиусом сферы.
У нас нет необходимости совершать путешествия по поверхностям реальной материальной Земли, футбольного мяча или яйца, чтобы вычислить кривизну. Если бы я оставался на месте, а вы бы путешествовали в пустом пространстве по замкнутой петле и в конце вашего путешествия мы увидели бы, что наши руки указывают в одном направлении, мы были бы вправе заключить, что эта область пространства является плоской и евклидовой. Если бы мы увидели, что между нашими руками есть угол, мы заключили бы, что эта область пространства искривлена и поэтому неевклидова. В этом случае относительное положение наших рук показало бы знак и величину кривизны данной области пространства. В общем случае, путешествие по разным областям пространства может давать разные результаты. Мы даже можем обнаружить, что различные ориентации петлеобразных путешествий вокруг одной и той же точки приводят к разным результатам. Это род эксперимента, который мы могли бы проделать, чтобы определить, геометрия какого рода преобладает в данной области пространства.
Мы нуждаемся еще в одном понятии, прежде чем получим возможность вполне оценить свойства искривленного пространства. Геодезической называется путь через пространство, который не отклоняется ни вправо ни влево. Геодезической в плоском пространстве является прямая линия. Значительная часть геометрии Евклида касается свойств фигур (таких, как треугольник и четырехугольник), построенных из отрезков геодезических — прямых линий — на плоскости. В некоторых видах пространств кратчайшим расстоянием между двумя точками является длина геодезической, соединяющей эти точки. На поверхности сферы геодезические проходят по большим кругам. Например, если мы путешествуем вдоль линии определенной долготы (такой, как гринвичский меридиан), то мы следуем по геодезической между двумя положениями с одной и той же долготой. Если две точки имеют разные широту и долготу, как Лондон и Нью-Йорк, кратчайшее расстояние между ними проходит по меньшей дуге большого круга, проходящего через них. Вообще говоря, коммерческие авиалинии проходят по геодезическим, соединяющим пункты вылета и назначения.
Настало время сделать шаг от искривленного пространства к искривленному пространству-времени. Этот шаг не столь травмирует, как можно было бы ожидать, поскольку большую часть необходимых понятий можно импортировать из нашего обсуждения искривленного пространства. Чтобы вообразить искривленное пространство-время, мы можем представить себе двумерное пространство с одной пространственной размерностью и одной временной, вложенное в трехмерное пространство, точно так же, как мы представляли себе двумерное пространство. Если пространство-время является плоским, геодезические представляют собой прямые линии на двумерной поверхности. Однако из забавной геометрии пространства-времени следует, что геодезическая, соединяющая две точки, соответствует наибольшему расстоянию между ними (вспомним Кастора и Поллукса). Искривленное двумерное пространство-время можно изобразить в виде изогнутого листа в трехмерном пространстве. Так же как в плоском пространстве-времени, геодезические — которые теперь могут извиваться по пространству в зависимости от его локальной структуры — соответствуют самым длинным интервалам между точками, которые они соединяют.
Теперь мы подошли к труднейшему месту всего обсуждения. В этой точке мы соединим вместе все предыдущие концепции. Великая идея, высказанная Эйнштейном в 1915 г., звучала так: масса искривляет пространство. Его величайшим достижением стало обнаружение точной связи между детализированной кривизной пространства-времени и распределением массы. У меня нет возможности представить вам точно эту связь, которая является одной из наиболее элегантных, хотя и сложных связей во всей науке. Однако было бы нехорошо с моей стороны, заставив вас столько потрудиться, чтобы дойти до этого места, бросить вас тут на мели. Поэтому я сделаю две вещи. Во-первых, я дам вам отдаленное представление о форме результата Эйнштейна. Затем я расскажу о некоторых его следствиях.
Здесь я должен просить вас вообразить куб со слегка искривленными сторонами, как если бы вы взяли куб, сделанный из резины, и встали на него так, что его края выпучились. В дополнение к этому я должен просить вас представить себе, что этот куб находится в пространстве-времени, а не просто в пространстве. Если быть вполне честным, надо отметить, что представление об обычном пространственном кубе является почти достаточным для передачи сути того, что я хочу сказать, поэтому не стесняйтесь, если вы невольно вернетесь к этому образу. Однако имейте в виду, что на самом деле нам следует разговаривать в терминах пространства-времени, а не в терминах пространства.
Вспомним четырехмерный куб, обсуждавшийся нами ранее (рис. 9.4). С этого момента мы будем представлять себе ребра, образующие куб, идущими вдоль геодезических линий области пространства, которую мы рассматриваем. Это значит, что мы должны представлять себе грани немного повернутыми и наклоненными, но таким образом, чтобы они правильно соответствовали друг другу при складывании для образования гиперкуба. Представьте себе, что наш тщательно склеенный гиперкуб посещают массы, находящиеся в его окрестности. Смысл кубов остается тем же самым: содержимое времени-подобных кубов (изображающее историю входов и выходов через поверхность реального ящика) представляет втекание и вытекание массы сквозь различные стенки области, находящейся в ящике, а два пространственно-подобных куба (ящики в начале и в конце рассматриваемого временного периода) представляют полную массу, находящуюся в ящике, в начале и в конце. «Полевые уравнения» Эйнштейна «всего лишь» устанавливают, что повороты и наклоны граней восьми кубов, конструирующих гиперкуб, пропорциональны полной массе внутри каждого из них. Это, по сути, и есть общая теория относительности.
Полевое уравнение Эйнштейна просто записать (при использовании достаточно богатого символического языка), но исключительно трудно решить. Тем не менее одно решение было найдено в течение нескольких месяцев после его первого появления в печати. Одним из немногих положительных событий во время Первой мировой войны было то, что служивший в России немецкий математик Карл Шварцшильд (1873-1916) нашел решение для области, лежащей снаружи от массы сферической формы, как, например, космическое пространство вокруг звезды или планеты, и решение внутри сферической однородной массы. Он умер несколько месяцев спустя, освобожденный от военной службы и пораженный редким кожным заболеванием, но термины решение Шварцшильда и радиус Шварцшильда дали ему подлинное бессмертие. Еще одно решение было найдено в 1934 г. Х.П. Робертсоном и Д.Г. Уолкером для пространства-времени всех изотропных, однородных равномерно расширяющихся моделей Вселенной.
Давайте вообразим движение от центра однородной Земли в наружное пространство и представим себе форму пространства-времени. Чтобы проделать это, представим себе расположение в пространстве шести точек, связанных с углами восьмигранника (рис. 9.16). Внутри Земли кривизна пространства-времени является полностью «сжатой», в том смысле, что шесть точек восьмигранника лежат ближе друг к другу, чем в пустом пространстве. Это как если бы пространство-время внутри Земли сплющивалось.
Рис. 9.16. Приливные силы гравитации можно определить, рассматривая силы на шести пробных массах, укрепленных в углах восьмигранника. Две массы, расположенные вдоль направления, ведущего от центра Земли (или другого массивного тела), оттаскиваются друг от друга, а четыре массы на серой плоской поверхности стягиваются друг к другу. Это характеристики решения Шварцшильда для внешней области. Внутри Земли, в геометрии, задаваемой решением Шварцшильда для внутренней области, все массы стягиваются друг к другу.
Такое поведение является проявлением решения Шварцшильда для уравнения Эйнштейна в случае внутренней области сферической однородной массы. Мы можем представлять себе, что линии свободного падения лежат ближе друг к другу внутри Земли, а четырехмерное пространство-время имеет положительную кривизну — как сфера — с одинаковыми значениями на каждой двумерной плоскости с одной пространственной и одной временной осью координат. Кривизна на каждой плоскости в области с однородной плотностью постоянна, и в некоторой степени мы можем представлять себе ее похожей на кривизну листа резины в области вокруг покоящегося на нем тяжелого шара (рис. 9.17).
Рис. 9.17. Влияние массивного тела искривляет пространство подобно влиянию тяжелого шара, помещенного на резиновую поверхность. Частицы движутся по геодезической (одна из которых показана в виде жирной белой линии). Поскольку геодезические изгибаются на поверхности пространства-времени, устойчивое движение вдоль них для наблюдателя может выглядеть как путь частицы, притягивающейся к тяжелому телу. Если бы мы могли показать временное измерение также, мы увидели бы, что можем наблюдать явления, которые можно интерпретировать как ускорение и замедление тела, приближающегося к области тяжелой массы и удаляющегося от нее.
Когда множество из шести точек прорывается сквозь поверхность Земли и выходит во внешнее пустое пространство, решение Шварцшильда для внутренней области уступает место решению для области внешней. Теперь геометрия пространства-времени является «приливной», в том смысле, что две точки на линии, перпендикулярной к поверхности, движутся друг от друга вдвое быстрее, чем движутся друг к другу четыре точки, лежащие в плоскости, параллельной поверхности, так, что объем, заключенный между ними, остается постоянным. Мы можем представить себе влияние на пространство как растяжение в одном направлении (вдоль направления, указывающего на вносящую искажение массу) и сплющивание в двух перпендикулярных направлениях. Приливным эффектом без сомнения можно пренебречь: приливный эффект на Земле достаточен для того, чтобы исказить сферическую форму весьма неподатливой Луны всего на 1 км. Приливы в наших океанах как раз и являются проявлением влияния Луны на геометрию пространства-времени у поверхности Земли, с проявляющимся дважды в день вспучиванием геометрии на линии Земля-Луна. Поэтому, когда вы стоите на берегу и созерцаете спад и подъем прилива, вы наблюдаете тень геометрии Шварцшильда, пробегающую по поверхности Земли. Король Канут Великий[47] (994?-1035) не смог удержать геометрию в бухте.
Мы можем приписать кривизне численное значение. Радиальная кривизна (кривизна плоскости с одной осью вдоль радиального направления, а другой временной) равна −2 × масса / радиус3, где радиус есть расстояние рассматриваемой точки от центра сферической концентрации массы (звезды или планеты, рис. 9.17). Заметим, что эта кривизна является отрицательной (седлообразной), в точности как на листе резины в области вне зоны, где покоится шар. Каждая из двух плоскостей с одной осью вдоль направления, перпендикулярного радиальному, а другой временной, имеют кривизну, равную масса / радиус3. Эта кривизна положительна, поэтому мы можем представлять себе каждую из этих двумерных поверхностей похожей на поверхность сферы. Эти значения кривизны сохраняют объем 3-куба, поскольку растяжение в одном направлении компенсируется более слабым сжатием в двух перпендикулярных направлениях. Более того, кривизна тем меньше, чем больше мы удаляемся от центра Земли, и на больших расстояниях от Земли пространство-время является плоским.
Еще одной чертой геометрии Шварцшильда является замедление хода часов, расположенных вблизи массивного объекта. Значение доли замедления по отношению к ходу часов, находящихся далеко от массивного тела, равно масса / расстояние, где расстояние есть расстояние от центра массивного тела. Если бы мы рассматривали влияние массы Земли на часы, помещенные в самолет, мы должны были бы принять в расчет, что они идут быстрее, чем часы на уровне моря (потому что самолет немного дальше от центра Земли, и его область пространства-времени немного меньше искривлена), но время бежит медленнее из-за того, что самолет находится в движении. Масса Земли мала, поэтому влияние движения коммерческих авиалайнеров мало. Тем не менее в кругосветном путешествии на высоте 10 000 м со скоростью 850 км/час гравитационный эффект ускоряет часы примерно на 0,2 микросекунды, в то время как влияние скорости замедляет их только на 0,05 микросекунды. Проверка общей теории относительности, проводимая таким методом, в реальности принимает в расчет влияние посадки и взлета, так же как изменения скорости самолета во время полета.
Почему мы уделили так много внимания геодезическим в пространстве-времени? В пустом пространстве частицы движутся по прямым линиям. Другими словами, они движутся по геодезическим плоского пространства-времени. Это наблюдение подчеркивает важность геометрии при определении путей. Когда пространство-время искажается в присутствии массы — при подходе ближе к звезде, — частицы продолжают двигаться по геодезическим, но эти геодезические искривлены. В действительности кривизна пространства-времени в окрестности массивного тела, подобного звезде, может быть столь велика, что геодезические сворачиваются в спираль. Иными словами, по мере течения времени, планета выглядит движущейся вокруг звезды по почти повторяющимся, очень близким путям, почти по эллипсам. То есть планета движется в пространстве-времени по геодезической, описываемой в пространстве почти замкнутой орбитой. Вдалеке от звезды — скорее как возле Плутона, чем возле Меркурия — пространство искривлено меньше, и планете приходится дольше бороздить пространство-время, прежде чем путь почти замкнется. Другими словами, по удаленным орбитам планеты движутся медленнее, чем по орбитам близким к звезде. На самом деле пути планет не являются совершенными эллипсами: они следуют немного иным путем при каждом новом обороте и для наблюдателя, способного видеть лишь пространство, описывают нечто вроде «розетки» вокруг центральной звезды. Объяснение точной формы подобного розетке пути Меркурия — так называемой прецессии перигелия — было одним из первых успехов общей теории относительности (рис. 9.18).
Рис. 9.18. В соответствии с теорией Эйнштейна, путь планеты (в частности, планеты, близкой к своей звезде, подобно Меркурию) не является совершенным эллипсом, а более похож на «розетку». Точка наиболее близкого подхода планеты к звезде вращается вокруг звезды. Движение этой точки для планеты, вращающейся вокруг Солнца, называется прецессией перигелия. Классическая (ньютоновская) механика тоже предсказывает прецессию, но объясняет лишь половину ее наблюдаемого значения в 43 секунды дуги за век (0,12 тысячных градуса в год). Общая теория относительности предсказывает точное ее значение. Прецессия орбит систем двойных звезд — движение периастра, точки наибольшего приближения звезды-спутника к главной звезде системы — много больше и, достигая нескольких градусов в год, легче поддается наблюдению.
Мы уничтожили гравитацию. Теперь мы понимаем, что движение планет не является реакцией на силу, называемую тяготением, а просто представляет собой естественное движение тела вдоль геодезической пространства-времени. Иначе говоря, движение есть проявление геометрии.
В описании пространства-времени, изложенном выше, существует очень большая проблема: в достаточно малом масштабе геометрии, по-видимому, не существует. Одной из грандиозных проблем современной физики является объединение общей теории относительности и квантовой теории (глава 7) в квантовую теорию гравитации. Несмотря на огромные усилия и несмотря на значительный прогресс, ученые еще не создали объединенной теории. В настоящее время такой теории, как «квантовая теория гравитации», не существует: на ее месте располагается множество умозрений, большая часть которых весьма спорна, выраженных с разными степенями математической изощренности. Однако, когда объединение будет достигнуто, все ожидают, что оно произведет революцию в наших представлениях о пространстве и времени, которая, вероятно, будет более мощной по своему воздействию, чем даже революции, вызванные появлением теории относительности и квантовой теории. Однако, несмотря на туманную природу современных научных представлений о квантовой теории гравитации, имеется несколько свойств, которые, как можно ожидать, она будет иметь.
Одно свойство проистекает из того факта, что, вопреки кажимости, мы приняли довольно-таки старомодный взгляд на природу пространства-времени, взгляд, в принципе мало отличающийся от ньютоновского понимания пространства как арены. Конечно, мы сделали описание более изощренным, объединив пространство и время и снабдив получившееся пространство-время неевклидовой геометрией, зависящей от присутствия массы. Но здесь все еще присутствует ощущение, что пространство-время является ареной действия, на которой разыгрываются все события, происходящие в мире. В квантовой теории гравитации это ощущение арены рассеется, а события сами по себе будут определять Вселенную. На самом деле, возможно, нет никакой арены: то, что мы принимаем за Вселенную, есть не более чем огромная сеть взаимосвязанных событий. При таком восприятии уравнение Эйнштейна превращается в утверждение о причинной структуре связей между событиями.
Вторым свойством квантовой теории гравитации является то, что в достаточно малом масштабе исчезает само понятие пространства-времени. То есть пространство-время больше нельзя рассматривать как континуум (причинно связанных событий), оно оказывается более похожим на пену (рис. 9.19). Наименьшим возможным пространственным промежутком, разделяющим события, является расстояние, которое мы раньше назвали планковской длиной, а наименьшим возможным промежутком времени между ними является тот, который мы назвали планковским временем.
Рис. 9.19. Если бы мы могли исследовать пространство-время при очень большом увеличении, мы увидели бы, что это не континуум, а нечто больше похожее на пену. В планковских масштабах длины и времени классическое понимание пространства-времени не пригодно. Никто в действительности не знает, что происходит в планковском масштабе, но прогресс в этой области имеет место, и он обещает произвести революцию в нашем способе восприятия того нечто, в котором мы обитаем.
Планковская длина составляет примерно 10−35 м, что на двадцать порядков меньше диаметра атомного ядра, поэтому неудивительно, что мы, существа чудовищного размера, обладающие очень грубыми возможностями восприятия, ошибочно принимаем пространство-время за континуум. Наименьшая поверхность, способная существовать в пространстве-времени, имеет площадь, близкую, к квадрату планковской длины, а наименьшая трехмерная область, которая может существовать, имеет объем, приблизительно равный кубу планковской длины. В общепринятых единицах планковское время соответствует 10−43 с, поэтому никакие два события не могут располагаться во времени ближе друг к другу. Даже процесс, занимающий миллисекунду, должен состоять из 1040 компонент. Никакие часы не могут тикать быстрее, чем 1043 раз в секунду.
Так же как существует абсолютный минимум температуры («абсолютный ноль») в обычной физике, квантовая теория гравитации показывает, что существует также и ее абсолютный максимум, около 1032 К. При этой температуре плавится само пространство-время. Большой Взрыв, ознаменовавший начало Вселенной, был, возможно, не столько драматическим огненным фейерверком, сколько космическими заморозками, которые вморозили пространство и время в последовавшее за ним бытие. Геометрия и все то, из чего для нас образуется этот мир, является вмороженным отпечатком причинности событий.
Глава десятая Арифметика Пределы разума
Бог создал целые числа, все остальное есть дело рук человека.
Леопольд КронекерВеликая идея: если арифметика состоятельна, то она неполна.
Одним из тончайших творений человеческого ума является математика, ибо она не только представляет собой апофеоз рационального мышления, но и также образует позвоночный столб, который придает научным умозрениям достаточную четкость для сопоставления их с опытом. Научные гипотезы сами по себе желеобразны; для того чтобы их было можно подвергнуть проверке и встроить в сетку понятий, составляющих физическую науку, они нуждаются в жесткости математических формулировок. Широко распространено мнение, что математика не является наукой, поскольку она может, вольно или невольно, раскручивать Вселенные своих собственных дискурсов, Вселенные, для которых, если не считать требования логической строгости, нет необходимости иметь сколько-нибудь значительные связи с миром, в котором мы, как нам кажется, обитаем. Как таковая, математика в этой книге может казаться контрабандным товаром. Однако, поскольку она занимает центральное положение в научном методе мышления, математику приветствуют как дорогого гостя и отводят ей почетное место среди других наук. Более того, победное шествие абстракции в физических науках и шевеление абстракции в чреве биологии делают поиски места, где кончается математика и начинается наука, не только затруднительными, но и беспочвенными, похожими на попытку нанести на карту очертания утреннего тумана.
Существует еще одна, связанная, впрочем, с изложенной выше, причина, по которой оказывается уместным включить сюда математику. Наиболее продуктивные ученые, являясь личностями прагматичными и рассудительными, просто высоко ценят удивительную способность математики служить описанием физического мира и благодарны за то, что в их руках находится такое изысканное и могущественное интеллектуальное оружие. Но есть и такие, кто идет дальше благодарностей и приложений и желает знать, указывает ли этот плодотворный союз научного наблюдения и математического описания на более глубокое свойство математики, которое еще не совсем идентифицировано и, определенно, совсем еще не объяснено. Венгеро-американский физик-теоретик Юджин Пол (Jénó Pál) Вигнер (1902-95), столь много сделавший для формулирования математической теории симметрии и ее приложения к физическим проблемам, был озадачен замечательной способностью математики служить языком описания мира:
Чудесная возможность пользоваться языком математики для формулирования законов физики является волшебным даром, который мы не понимаем и которого не заслуживаем.
Эйнштейн высказал близкую мысль, когда заметил, что наиболее трудной для постижения чертой мира является то, что он постижим.
Я намереваюсь посвятить эту главу скорее разговорам о математике, чем изложению самой математики, или даже — исключая те места, где я сочту это уместным, или неуместным, но занимательным — истории идей, на которых математика выросла. Иными словами, я буду говорить о том, что, по их мнению, делают математики, когда они придумывают свои теоремы или решают свои уравнения. Я не буду касаться деталей того, что они делают, поэтому вам не придется проходить доказательство теоремы Пифагора или правила решения квадратных уравнений. Как таковая, эта глава больше касается философии математики, в частности математической онтологии, оснований этого предмета, чем техники, которую каждый из нас изучал либо с восхищением, либо с чувством отвращения и страха. С другой стороны, я намерен использовать эту главу для проверки обоснованности часто цитируемого, но все же пристрастного изречения Бертрана Рассела:
Чистая математика — это предмет, в котором мы не знаем, о чем мы говорим, и верно ли то, что мы говорим.
Я принимаю во внимание тот факт, что большинство моих читателей будет испытывать дискомфорт и, возможно, подавленность от воспоминаний о математике, или, по крайней мере, будет обеспокоено предвосхищением того, что потребуется для понимания подобной главы. Успокойтесь: это не учебник. Я собираюсь сосредоточиться на обворожительных фрагментах и буду заранее указывать места, которые можно, по крайней мере при первом чтении, перепрыгнуть, не теряя нити повествования. Более того, вам следует иметь в виду, что эта глава не является математической; это рассказ о математике.
Мое последнее вводное замечание начертает еще одну перспективу для этой главы. Мы прошли через последовательность все возрастающих абстракций, наблюдая, как знакомые понятия растворяются в более могущественных понятиях, их сменивших. Математика является высшей точкой нашего путешествия, в которой абстракция является самой сутью: математика является чистой, голой, развоплотившейся абстракцией. А потому, нам следует ожидать необычайного могущества.
Фундаментальной трудностью математики является то, что она пытается оперировать натуральными числами, числами повседневного счета 0, 1, 2, 3, …, которые широко используются, но изначально не определены. Натуральные числа используются как количественные числа, для обозначения номера предмета в наборе, и как порядковые числа, для упорядочения предметов в список. Это числа соответствуют различным понятиям, и в языке мы даем им разные названия: один, два, … для количественных чисел, и первый, второй, … для порядковых чисел. Большая часть того, что я должен сказать, будет относиться к натуральным числам в качестве количественных чисел.
Как мы вскоре увидим, с тех пор, как математики начали, в своей характерной глубокомысленной манере, размышлять о натуральных числах, стало очевидно, что удивительным является даже то, что мы вообще можем считать. Ведь этих чисел так мало (всего лишь бесконечность), и они столь редки, что с некоторой точки зрения удивительно, как древним людям удалось наткнуться на них в первый раз. Мы уже можем начать понимать некоторые из проблем, беспокоящих математиков даже на этой ранней стадии обсуждения. Например, действительно ли количественные числа продолжаются до бесконечности, или более верным, чем вечно марширующие без всякого пункта назначения числа, представлением является так называемая ультрафинитистская математика, в которой натуральные числа выдыхаются до того, как достигнут бесконечности? И поскольку, если быть честными, мы не способны непосредственно воспринимать бесконечность, можно ли полагаться на математические доказательства, содержащие обращения к бесконечности? Многие склонны отвечать на последний вопрос отрицательно, и делают все, чтобы не подпустить бесконечность на расстояние ближе вытянутой руки.
Если мы вернемся к начальным временам счета, когда бы они ни были, мы обнаружим глубокий резонанс с тем, что принимается в качестве счета сегодня (тема, которую мы исследуем позже). Счету в большой мере помогают счетные приспособления, такие как насечки на палочках, бусины четок, сотня бусинок мусульманских субха, используемых для повторения девяноста девяти атрибутов Аллаха (с одной дополнительной бусиной, отмечающей начало счета), шарики сухого навоза и столбики голышей (по латыни calculi, откуда произошло слово «калькуляция»). Универсальным портативным счетным прибором является человеческое тело с его различными выемками и выпуклостями. Островитяне Торресова пролива достигли в счете по телу 33 (мизинец правой ноги), проходя по пути 8 (правое плечо), 26 (правое бедро) и 28 (правая лодыжка), и установили для своего счета основание 33.
Человеческая рука, однако, гораздо более удобный инструмент счета, особенно когда человек полностью одет. Более того, рука обладает гибкостью и способна демонстрировать как количественные, так и порядковые числа: количественные числа показывают, выставляя соответствующее число пальцев одновременно, а порядковые числа демонстрируют, последовательно разгибая пальцы. Таким образом, счет «с основанием 10», как называют нашу общепринятую систему, является естественным следствием анатомии человека.
Хотя фундамент счета постепенно установился на основании 10, используемом сегодня почти всюду, были и остаются некоторые, отклонения. В языке апи, на котором говорят жители Новых Гебрид, счет ведется по основанию 5, и следы того же основания можно отыскать в некоторых языках Африки. Отголоски счета по основанию 12 обнаруживаются в употреблении нами дюжины. Вавилоняне предпочитали основание 60 по причинам, которые все еще остаются темными, и их выбор удержался в нашем способе деления времени и круга, с малыми «минутами» и вторичным (second) делением этих минут на секунды. Существует предположение, что шумеры Вавилона остановились на 60 (но без символа 0) в результате слияния двух культур, одна из которых использовала основание 10 (с простыми делителями 2 и 5), а другая основание 12 (с простыми делителями 2 и 3), с наименьшим общим произведением делителей (2×5) × (2×3) = 60. Основание 60 так никогда и не привилось в повседневном счете, поскольку требовалось выучить очень большое число обозначений для 60 различных чисел, необходимое для схемы (0, 1, …, 8, 9, ♦, ”, …, *[наше 59], 10[наше 60], 11, …). Латынь и французский несут следы основания 20, в undeviginti (19 = 20 − 1) и quatre-vingts (4 × 20 = 80) соответственно, и этот след можно различить в английском score (20) и датском tresinstyve (три раза по двадцать) для 60; основание 20 все еще используется у некоторых племен индейцев в Венесуэле, эскимосов Гренландии, айнов Японии и запотеков Мексики. Заслуживают жалости несчастные майя, чей астрономический календарь имел похожий на раковину символ для 0 и основание 20, но третий разряд («сотни») был основан на 18 × 20, вместо 20 × 20, четвертый разряд был основан на 18 × 20 × 20 и так далее. Вероятно, они пытались упростить астрономические вычисления, такие как 18 × 20 = 360, длина года у майя.
Однако счет на пальцах неудобен для ведения записей, и когда появились древние первовычислители и начали заниматься своим ремеслом, постоянное освоение различных сред физического мира медленно проявлялось в виде приспособлений для счета и записей сделок. Шумеры использовали довольно утонченную форму клинописных обозначений чисел, аттические греки ввели буквенные обозначения, с символами, подобными Δ (δεκα, дека) для 10 и M для 10 000 (μυριοι, муриои). До сих пор еще живы в качестве цифр повседневного пользования римские цифры. В дополнение к очевидным I, II, …, которые мы теперь записываем как 1, 2, …, немецкий историк Теодор Моммзен (1817-1903) умозаключил, что V (=5) представляет растопыренную ладонь, X (=10) — это сочетание двух ладоней, M (=1000) есть распад на части символа Φ, принявший вид (|), a D (=500) это буквально половина этого символа.
Знакомые нам «арабские» цифры, видимо, возникли в Индии в период времени до девятого века, возможно, как способ представления абака. Западные ученые назвали их «арабскими» потому, что в то время арабская наука преобладала, и пишущие обращались к ее авторитету. Происхождение форм начертания большинства цифр остается темным, но для 1 оно очевидно, 2 является, возможно, комбинацией двух горизонтальных штрихов, а 3 — трех. Человеческие существа, по-видимому, не способны определять на глаз число предметов, если оно более четырех, и, следовательно, цифры от 4 до 9, видимо, должны были возникнуть как сокращенные формы обозначения соответствующих наборов штрихов.
Эволюция наших современных символов может быть прослежена до их написания в Брахми, очень древней форме индийского письма обнаруженной в надписях Ашоки, третьего царя династии Маурья из Магадхи, который правил Индией от 273 до 235 г. до н.э. (рис. 10.1); само это письмо, по-видимому, произошло от западной семитской традиции как разновидность арамейского. Эти цифры предложил невосприимчивой Европе в конце десятого столетия монах Герберт Ауриллак (около 945-1003), ставший папой Сильвестром II в году, который обозначался многообещающей цифрой 1000, но, к разочарованию многих, так и не стал годом апокалипсиса. Мягкий напор нововведения не преодолел сопротивления консервативных церковников, которые предпочли прилепиться к классической римской традиции, несмотря на почти полную невозможность пользоваться ею в арифметике. Самое первое появление новых цифр зарегистрировано в Codex Vigilanus, который скопировал монах Вигила в монастыре Альбеда, Испания, в 976 г.
Рис. 10.1. Так называемые арабские цифры произошли от индийских символов, которые можно проследить до письма Брахми и далее, до более глубоких корней в семитской традиции. Верхняя строка показывает четыре цифры третьего века до н.э. из эдикта Ашоки, писанного на Брахми. Вторая строка показывает цифры третьего века н.э. из источника, найденного в штате Уттар Прадеш.
Ноль (zero, от арабского sifr, пустой) первоначально обозначался точкой, как и поныне обозначается в арабском письме. Символ бесконечности, ∞, как волк в ночи, прокрался в стан чисел, чтобы в нужный момент наброситься на них. Его впервые использовал в 1655 г. страдавший бессонницей Джон Уоллис (1616-1703), оксфордский математик и один из основателей Королевского общества, в своем Трактате о конических сечениях. Он выбрал этот символ для обозначения кривой, которую можно продолжать бесконечно, возможно, надеясь заснуть, продолжая ее.
Неприятности (то есть математика) начались, когда числа стали различными способами комбинировать. Когда мы начинаем манипулировать натуральными числами, используя такие операции, как вычитание и деление, когда изобретательный интеллект обременяет себя ношей практического опыта, мы порождаем числа, имеющие мало общего с количественными числами. Сперва мы рассмотрим символы для этих операций, а затем увидим, как, применяя их к натуральным числам, мы порождаем новые типы чисел; их сводка представлена на рис. 10.2, и, вероятно, будет полезно держать эту иллюстрацию в уме, читая последующий текст. В начальные для математики времена уравнения были «риторическими», в том смысле, что они сжато выражались словами. Гораздо большая ясность, а с большей ясностью и большие возможности для манипуляций, возникла после введения символов, определяющих операции.
Рис. 10.2. Здесь представлена сводка основных типов чисел, с которыми мы встречаемся в этой главе. Натуральные числа являются числами счета; их расширение на отрицательные значения порождает целые числа. Между целыми числами расположены рациональные числа, то есть числа, получаемые делением одного целого числа на другое. Гораздо большую плотность имеют иррациональные числа, которые нельзя получить таким способом. Действительные числа, состоящие из целых чисел, рациональных чисел и иррациональных чисел, соответствуют точкам, образующим прямую линию, уходящую в бесконечность в обоих направлениях. Алгебраические числа являются числами, которые можно получить в виде решений алгебраических уравнений, а трансцендентные числа являются числами, которые нельзя получить таким способом. Некоторые алгебраические числа рациональны, другие иррациональны; все трансцендентные числа иррациональны.
Знак сложения, «+», возможно, произведен от курсивного написания et и впервые появился в немецком манускрипте пятнадцатого века, а знак «−» для вычитания мог просто указывать на отделение. Знак умножения, «×», возможно, произошел от символа, использовавшегося для вычисления пропорций, которое включает перекрестные перемножения, и впервые появился в труде Clavis mathematicae, опубликованном в 1631 г. Уильямом Отредом (1574-1660), изобретателем раннего варианта логарифмической линейки. Немецкий математик Готфрид Лейбниц (1646-1716) счел, что знак × слишком легко спутать с x, и в 1698 г. предложил использовать вместо него простую точку, так чтобы a.b обозначало умножение a на b. Он также предпочел для деления знак «:», но сначала в шведском тексте 1659 г. для деления был использован символ «÷», ранее обозначавший вычитание.
Знак равенства, «=», образованный двумя горизонтальными линиями, был введен в The whetstone of witte (Оселок для ума) (1557) английским математиком Робертом Рэкодом (около 1510-58), который познакомил Англию с алгеброй, придумал популярные названия для учебников (включая The whetstone (Оселок), The grounde of artes (Основа искусств), для введения в арифметику, и The castle of knowledge (Твердыня знания) для учебника астрономии), но тем не менее умер в долговой тюрьме. Рэкод писал:
И чтобы избежать утомительных повторений этих слов «является равным», я буду рисовать, как часто уже делал это для облегчения работы, две параллельные линии одинаковой длины, так как нет двух вещей, которые были бы равны в большей мере.
Знакомый теперь знак Рэкода «=» вел долгие войны с «||» и различными обозначениями, основанными на ae, сокращении от aequalis, прежде чем наконец одержать триумфальную победу.
Сложение и умножение натуральных чисел порождают просто другие натуральные числа. Например, 2 + 5 = 7 есть натуральное число, а 2 × 5 = 10 еще одно натуральное число. Однако вычитание порождает новый класс чисел. Так, если мы вычтем 3 из 2, мы получим −1, что расширяет поле нашего дискурса от натуральных чисел до целых: …, −2, −1, 0, 1, 2, …. Отрицательные числа в момент их появления должны были очень озадачивать, поскольку людям, привыкшим лишь к пересчитыванию, было трудно понять, что такое «меньше, чем ничего».[48]
Хотя умножение натуральных чисел дает только натуральные числа, понятие умножения приводит к определению подкласса натуральных чисел, называемых простыми числами, то есть чисел, не являющихся произведением других натуральных чисел (кроме единицы и себя самого). Так, несколькими первыми простыми числами натурального ряда являются 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …. Такое число, как 15, не является простым, так как может быть записано в виде 3 × 5; с другой стороны, 17 является простым числом, потому что его нельзя записать в виде произведения других натуральных чисел. Простые числа находились и продолжают находиться в центре повышенного внимания тех, кто заворожен числами, поскольку они, видимо, ведут себя во многом подобно фундаментальным «атомам» натуральных чисел: с точки зрения операции умножения они являются числами, из которых можно построить все остальные числа. Этот фундаментальный характер является сутью содержания фундаментальной теоремы арифметики Евклида, которая утверждает, что каждое представление натурального числа произведением простых чисел является единственным. Например, такое число, как 9 365 811, может быть выражено в виде произведения простых чисел только одним способом (в данном случае, как 3 × 72 × 133 × 29). Эта фундаментальная теорема является основой современных процедур кодирования, в которых используются произведения двух больших простых чисел, так что изучение простых чисел не является просто делом бесстрастной математики, а играет центральную роль в обеспечении безопасности коммерческих операций и приватности связей между отдельными людьми и армиями.
Многие свойства простых чисел уже известны, но некоторые предположения еще не доказаны (а, возможно, и неверны). Одним из точно установленных фактов, известным еще Евклиду, является то, что количество простых чисел неограниченно; простые числа продолжаются без конца. На сегодняшний день самым большим известным простым числом является 213466917 − 1. Это число является примером простых чисел Мерсенна, простых чисел, имеющих форму 2p − 1, где p само есть простое число. Оно было обнаружено 14 ноября 2001 г. и потребовало бы для полной записи 4 миллиона цифр (более точно, 4 053 946), что соответствует примерно восьми книгам, размером с эту. Огромные простые числа, имеющие более чем тысячу знаков, называются «титаническими». Простые числа встречаются все реже и реже по мере их возрастания, но между любым заданным натуральным числом и его удвоением всегда найдется по крайней мере одно простое число. Например, вы можете быть уверены, что существует по крайней мере одно простое число между 1 миллиардом и 2 миллиардами; на самом деле, их миллионы. Некоторые простые числа группируются. Например, существует много «близнецов», то есть простых чисел, разность между которыми равна 2; например, 11 и 13 являются близнецами. Гипотеза о близнецах (только гипотеза) состоит в том, что существует бесконечное число близнецов, и поэтому близнецы, как и сами простые числа, продолжают встречаться без конца. Известными к настоящему времени самыми большими близнецами являются 33 218 925 × 2169690 − 1 и 33 218 925 × 2169690 + 1 (эта пара обнаружена в 2002 г., и каждое из чисел записывается 51 090 цифрами).
Есть множество других весьма причудливых свойств простых чисел. Например, обладавший необычайным воображением польско-американский математик Станислав Улам (1909-84) обнаружил, что, если вы запишете все натуральные числа по спирали, так что 1 окажется в центре, 2 справа, 3 над 2, 4 над 1, 5 слева от 4 и так далее, и пометите все простые числа, то они будут иметь тенденцию попадать на диагональные линии (рис. 10.3). Улам использовал свое воображение и другими способами: вместе с Эдвардом Теллером он открыл, как инициировать взрыв водородной бомбы.
Рис. 10.3. Спираль Улама. Если записать все натуральные числа по спирали, как показано на вставке, и пометить простые числа, то они проявят тенденцию располагаться на диагональных прямых, как можно видеть, рассматривая черную зону с простыми числами, изображенными, подобно звездам, белыми точками. Мы нарисовали некоторые из диагоналей, чтобы показать их положение; вы могли бы различить и другие.
Хотя простые числа являются фундаментальными атомами умножения (так же, как 1 тривиально является фундаментальным атомом сложения), они, может быть, играют фундаментальную роль и в сложении тоже. В 1742 г. Кристиан Гольдбах (1690-1764), однажды оказавшийся учителем царя Петра II, в письме к прославленному математику Леонарду Эйлеру (1707-83) предположил, что каждое четное натуральное число, большее 2, является суммой двух простых чисел. Так, мы имеем 2 + 2 = 4, 3 + 3 = 6, 3 + 5 = 8, …, 47 + 53 = 100, …. Гипотеза Гольдбаха до сих пор не доказана, несмотря на приложение огромных усилий. Трудность, по-видимому, связана с тем фактом, что простые числа, произошедшие из концепции умножения, помещаются здесь в контекст сложения. Однако эта гипотеза может быть примером того, что постепенно выдвигается в центр сцены: она, возможно, не может быть доказана и поэтому, в некотором смысле, эта гипотеза может быть ни истинной, ни ложной. Гольдбах предположил также, что каждое нечетное натуральное число является суммой трех простых чисел. Это предположение частично доказал — доказательство справедливо лишь для больших чисел — в 1937 г. русский математик Иван Матвеевич Виноградов (1891-1983).
Деление одного натурального числа на другое также вводит новый класс чисел, называемых рациональными числами (от «рацио»; заслуживающее доверия качество таких чисел отражено в нашем привычно используемом термине «рациональный», обозначающем разумность, основанность на разуме); примеры между 0 и 1 включают 1/2 = 0,500 000 000… и 3/7 = 0,428 571 428 57…. Заметим, что десятичные формы рациональных чисел содержат либо бесконечно повторяющийся 0, либо бесконечно повторяющуюся конечную последовательность чисел.
Если вы начнете думать как математик, который идет дальше непосредственно воспринимаемого, ищет обобщений и исследует, куда они ведут, то вы почувствуете зуд от шевелящегося в вас вопроса: существуют ли числа, не содержащие повторяющихся последовательностей и поэтому не выражаемые в виде отношения натуральных чисел? Существование таких иррациональных чисел было впервые обнаружено пифагорейцами, чья целостная философия жизни в Кротоне (сегодня Кротон, находящийся в каблуке Италии, носит название Кротоне), основанная на гармонии рациональных чисел, запрете мочиться в сторону Солнца или чистить ногти во время жертвоприношения и на поддержании социального мира путем исключения из пищи бобов (практиковавшегося самим Пифагором, чему он обучился у египетских жрецов, среди которых однажды жил)[49], была ниспровергнута, когда обнаружилось, что квадратный корень из 2, √2, = 1,414 213 5… является иррациональным и не может быть получен с помощью деления одного натурального числа на другое. С тех пор многие другие числа были идентифицированы как иррациональные, среди них π = 3,141 59… (отношение окружности к диаметру круга, π введено в качестве символа Эйлером в 1737 г., а иррациональность была установлена в 1767 г.)[50], π2 (иррациональность установлена в 1794 г.) и e = 2,718 28… (основание натурального логарифма). Иррациональность доказать трудно: например, хотя известно, что еπ иррационально, все еще неизвестно, обладает ли этим свойством πe.
Рациональные и иррациональные числа, как положительные, так и отрицательные, включая ноль, называются действительными числами. Чтобы вообразить действительные числа, мы можем представить себе, что каждое число соответствует точке прямой, где самые большие числа находятся справа. Действительные числа, подобно точкам на прямой, простираются от минус бесконечности слева до плюс бесконечности справа и включают все возможные числа — целые, рациональные и иррациональные. Это соответствие действительных чисел с точками прямой явилась решающим шагом в осознании того, что геометрия — свойства различных линий, а значит, наборов точек, а значит, наборов действительных чисел — может рассматриваться, как ветвь арифметики. Мы не пойдем по этому пути в настоящей главе, но вам следует иметь в виду, что, хотя мы и будем сосредотачиваться на идеях, которые являются явно арифметическими, в скрытом виде они включают и другие области математики, такие как геометрия (рис. 10.4).
Рис. 10.4. У греков было абстрактное представление о пространстве, и поэтому они преуспели в геометрии. Здесь мы видим, как параболы, гиперболы и эллипсы (включая частный случай круга) можно рассматривать как наборы чисел, получаемые посредством сечений конуса в разных направлениях. Теперь мы знаем, благодаря пионерской работе Декарта, как связать эти формы с алгебраическими уравнениями, и поэтому можем видеть связи между геометрией пространства и арифметическими свойствами определенных наборов чисел.
На самом деле, арифметика даже более богата. В соответствии с чрезвычайно важной, но обманчиво краткой теоремой, которую доказал в 1915 г. немецкий математик Леопольд Лёвенгейм (1878-1957) и усовершенствовал в 1920 г. норвежец Альберт Тораф Сколем (1887-1963), система правил, подобных правилам арифметики, действует в любой области знания, которая может быть формализована в терминах набора аксиом. Если бы в школе вам говорили, что, согласно теореме Лёвенгейма-Сколема, вы, на самом деле, моделируете процесс вывода заключений из квантовой механики, теории естественного отбора и юриспруденции (постольку, поскольку эти области знания могут быть выражены в терминах аксиом), это могло бы смягчить утомление от узнавания, как извлекать квадратный корень и проделывать длинные упражнения на деление. То же самое верно относительно остальной части этой главы: хотя многое в ней будет читаться, как относящееся к арифметике, имейте в виду, что это в действительности относится к любой систематизированной области человеческого знания. Если уж это не захватывает дух, то я просто не знаю, чем вас пронять.
Некоторые иррациональные числа, включая π, но не √2, являются трансцендентными, в том смысле, что они «трансцендируют», переступают обычные алгебраические уравнения. Это просто означает, что они не являются решениями простых алгебраических уравнений, подобных 3x2 − 5x + 7 = 0. Так, x = √2 есть решение уравнения х2 − 2 = 0, поэтому (как решение такого уравнения), это число алгебраическое, а не трансцендентное. Однако не существует уравнения такого вида, решением которого было бы x = π или x = e, поэтому π и e не только иррациональные, но и трансцендентные числа. В 1934 г. русский математик Александр Гельфонд (1906-68) доказал, что ab является трансцендентным, если a алгебраическое (отличное от 0 и 1) число, a b — алгебраическое и иррациональное (как √2); так, 2√2, например, трансцендентно, поскольку 2 — алгебраическое, а иррациональное число √2 — тоже алгебраическое. Поэтому мы сразу знаем, что не существует алгебраического уравнения, решением которого было бы 2√2. Между прочим, название «алгебра», которое только что появилось, произошло от Al-jabr w'al muqâbala (Восстановление и упрощение), названия книги Мухаммеда ибн Муса аль-Хорезми, написанной в 830 г. Al-jabr, «возвращение», здесь относится к решению уравнений, но очаровательно, что этот термин означает также и «костоправ». Аль-Хорезми отличился дважды: его имя тоже является источником термина «алгоритм», обозначающего серию процедур для решения уравнений.
Мы видели, что решения различных уравнений порождают классы чисел, известные под общим названием «алгебраические числа». Решения уравнений, подобных 2x = 1, дают нам рациональные числа (в данном случае x = 1/2), в то время как уравнения, подобные x2 = 2, дают нам иррациональные числа (в данном случае x = √2); числа, не являющиеся решениями уравнений, подобных этим, являются трансцендентными числами (как x = 2√2). Натуральные числа можно представить как решения уравнений, подобных x − 2 = 1 (с решением x = 3), а отрицательные числа как решения уравнений, подобных x + 2 = 1 (с решением x = −1). Но существует простое уравнение, выпадающее из этого списка: каково решение уравнения x2 + 1 = 0? Ни одно из чисел введенных ранее не является его решением, поскольку квадрат любого из них положителен и, будучи прибавлен к 1, не может дать нуля. В значительной мере потому, что математики не хотели признавать, что некоторые уравнения не имеют решения, они ввели понятие мнимого числа i, которое является решением уравнения x2 + 1 = 0; другими словами, x = √(−1). Поскольку они — на самом деле, Декарт — считали, что чисел, подобных i и i, умноженному на любое число, в действительности не существует, они и назвали их «мнимыми».
Вскоре стало ясно, что некоторые уравнения, такие как x2 − x + 1 = 0, имеют решения, представляющие собой комбинации действительных и мнимых чисел, в данном случае x = ½ + (½√3)i и x = ½ − (½√3)i. Эти комбинации названы комплексными числами; первый член ½ в этом примере является обычным «действительным» числом, а второй член ±(½√3)i является мнимым. Были созданы специальные правила для проведения вычислений с этими двухкомпонентными действительными числами, но они явились естественным расширением правил, которые мы используем для действительных чисел, и не вызывают особых трудностей.
Действительные числа могут быть, как мы видели, упорядочены в прямую линию. Комплексные числа становятся немного менее таинственными, как только мы понимаем, что каждое из них можно изобразить точкой на плоскости, на которой действительная компонента числа равна расстоянию от начала координат по горизонтальной оси, а мнимая компонента равна расстоянию от начала координат по вертикальной оси (рис. 10.5). Другими словами, комплексные числа на самом деле являются парами чисел: комплексное число 1 + 2i, например, является просто двухкомпонентным числом (1, 2), которое мы можем представить точкой с координатами 1 см по горизонтальной оси и 2 см по вертикальной оси. Введем другой способ, посредством которого мы можем представить себе комплексное число в виде костяшки домино, с действительной частью числа на левой половине ее прямоугольника и с мнимой частью на правой половине. В будущем, если вы вынете костяшку домино 4 + 3, представляйте себе ее в виде комплексного числа 4 + 3i. Если вы чувствуете себя дискомфортно среди образов такого рода, не беспокойтесь: комплексные числа, если не считать мимолетных упоминаний, больше не появятся в этой главе.
Рис. 10.5. Комплексное число является двухкомпонентным числом и как таковое может быть представлено точкой на плоскости. Например, комплексное число 2 − 1i обозначается точкой с координатами 2 единицы по горизонтальной оси и 1 единица вниз по вертикальной оси. Операции с комплексными числами есть просто операции с двухкомпонентными объектами.
В этом разделе я обращусь к двум явно наивным вопросам: сколько существует чисел, и что они такое, в конце концов. Можно подозревать, что ответы будут сложнее вопросов, что в итоге, вероятно, и составляет смысл хорошо поставленного вопроса.
На первый взгляд существует бесконечное число натуральных чисел, ибо в принципе мы можем продолжать счет вечно: одна овца, две овцы, …. Мы говорим, что «мощность» натуральных чисел бесконечна. Изобретательный способ демонстрации мощности приписывается немецкому математику Давиду Гильберту, который появится позже в более серьезном контексте, и называется отель Гильберта. «Отель Гильберта» состоит из бесконечного числа комнат, и однажды ночью все комнаты оказываются занятыми. Прибывает путешественник, не заказавший комнату предварительно. «Нет проблем!» — кричит Гильберт (администратор): он уговаривает всех постояльцев переехать в соседнюю комнату, освобождая таким образом первую комнату и получая возможность устроить в ней вновь прибывшего. На следующую ночь подъезжает бесконечное число путешественников, не заказавших комнату предварительно. «Нет проблем!» — снова кричит обладающий неограниченными ресурсами Гильберт. Он уговаривает всех постояльцев упаковаться и переехать в комнату с номером вдвое большим, чем номер занимаемой ими комнаты, освобождая комнаты с нечетными номерами и получая возможность устроить всех вновь прибывших.
Пока, возможно, все хорошо. Но как насчет рациональных чисел, чисел, получаемых делением одного натурального числа на другое: сколько их существует? «Очевидным» ответом является то, что рациональных чисел больше, чем натуральных, потому что их ужасно много между 0 и 1 (например, 1/4, 1/2, 53/57 и многие другие), столь же много между 1 и 2 (например, 3/2, 5/3, 79/47 и многие другие) и так далее. Забавно, что правильным ответом, однако, будет такой: количество рациональных чисел таково же, как и количество натуральных чисел. Их число бесконечно, столь же бесконечно, как и число натуральных чисел.
Чтобы убедиться в том, что это так, взгляните на рис. 10.6, где я нарисовал таблицу всех рациональных чисел (но показал только малую часть из них). Поверху вправо идут натуральные числа, указывающие числитель дроби, которую мы намереваемся построить, а слева вниз идут натуральные числа, указывающие ее знаменатель. Внутренняя часть таблицы содержит все возможные дроби, получаемые делением одного натурального числа на другое. Здесь будет много повторений, таких как 3/6 и 4/8 оба равны 1/2, но это не имеет значения. Теперь мы можем провести линию, которая пробегает от первой цифры таблицы через все остальные, как показано на рис. 10.6. Затем, продвигаясь вдоль этой линии, будем вести счет 1, 2, … каждой встречающейся дроби. Таким способом все дроби — все рациональные числа — оказываются поставленными во взаимно однозначное соответствие с натуральными числами. Мы никогда не выйдем за пределы натуральных чисел, поэтому количество рациональных чисел таково же, как и количество натуральных чисел, несмотря на то, что они расположены плотнее, чем натуральные числа. Существует бесконечное число рациональных чисел между 0 и 1 и между 1 и 2, но их бесконечное число между 1 и 2 такое же! Короче говоря, мы всегда можем пересчитать рациональные числа — мы говорим, что они счетны — и получить ответ «бесконечность» безотносительно к интервалу чисел, на котором производится счет. Возможно, вы начинаете понимать, что бесконечность является расплывающимся и ускользающим понятием.
Рис. 10.6. Рациональные числа можно поставить в соответствие с натуральными числами, поэтому они являются счетными. В верхнем ряду находятся натуральные числа, указывающие числитель дроби p/q, а слева вниз идут натуральные числа, указывающие ее знаменатель. Продвигаясь по извилистой диагональной линии, мы можем пересчитать рациональные числа (включая их многочисленные повторения).
Алгебраические числа — числа, являющиеся решениями алгебраических уравнений — тоже являются счетными. Вы можете ухватить идею доказательства этого утверждения, заметив, что каждое алгебраическое уравнение состоит из степеней x (выражений, подобных x3), умноженных на целое число (как в 4x3 + 2x − 1 = 0). Поэтому существует взаимно однозначное соответствие между решениями уравнений — алгебраическими числами — и целыми числами, определяющими уравнения. Мы можем заключить, что алгебраические числа являются счетными и, хотя их число бесконечно, мощность их такая же, как у натуральных чисел.
А сколько же иррациональных чисел, чисел, которые не могут быть выражены как отношения натуральных чисел? Возможно, вы думаете, что их тоже бесконечное число. Вы, вероятно, правы. Но то, чего вы, вероятно, не знаете (если вы, конечно, не знали ответ заранее), это то, что иррациональные числа более бесконечны, чем натуральные. То есть иррациональные числа имеют большую мощность, чем натуральные числа: их количество более бесконечно. Красивую аргументацию, впервые выявившую эту странную черту, предложил космополит от рождения Георг Фердинанд Людвиг Филлип Кантор (1845-1918), рожденный от датчанина и русской в Санкт-Петербурге, но проживший большую часть жизни в Германии. Его жизнь была полна разочарований, главным образом потому, что он работал на переднем крае современной ему математики и внес в поле рассмотрения бесконечность. Отчасти в результате стресса, создаваемого неприятием его работы со стороны консервативной части математического истеблишмента, в частности, влиятельного Леопольда Кронекера (1823-91), который был предубежден против всех разновидностей чисел, кроме рациональных, Кантор начал страдать серьезным умственным расстройством, все более обращаясь к религии, ибо он считал, что бесконечные множества объектов, которые он рассматривает, существуют как реализованные сущности разума Бога, и что он, Кантор, есть сосуд, избранный для того, чтобы явить их, некто вроде математического Иоанна Крестителя. Между приступами своей навязчивой идеи о том, что автором Шекспира был Бэкон, Кантор проводил все более длительные периоды в психиатрических клиниках, исследуя пограничные области религии, такие как масонство, теософия и учение розенкрейцеров, в точности так же, как он исследовал пограничные области математики, но с меньшим результатом. Определенно рискуют стать безумными те, кто всматривается в бездну бесконечности, что, возможно, начнете понимать и вы по мере развертывания этой главы.
В 1874 г. Кантор обнаружил простой аргумент, показывающий, что иррациональные числа более многочисленны, чем рациональные. Мы будем использовать этот аргумент и его видоизменения в других контекстах, поэтому стоит на нем задержаться. Начнем выписывать список случайно выбранных чисел, лежащих между 0 и 1, и последовательно их пронумеровывать (в левой колонке):
1 0,198 402 957 820… 2 0,438 291 057 381… 3 0,684 930 175 839… 4 0,782 948 261 859… 5 0,500 000 000 000… 6 0,483 913 562 785… …Теперь покажем, что каким бы длинным ни был список, включая бесконечную длину, существуют числа, которых в нем нет. Чтобы проделать это, построим новое число, выбирая первую цифру после десятичной точки в первом числе списка, вторую во втором числе и так далее и записывая в новом числе на соответствующем месте другую цифру, замена жирных цифр, например, даст нам новое число 0,134 903…. Этого числа определенно нет в списке, поскольку оно отличается от первого числа, оно отличается от второго числа и так далее. Отсюда следует, что количество действительных чисел (рациональные вместе с иррациональными) больше, чем количество натуральных чисел, потому что, как бы ни был длинен список, мы всегда можем построить число, которого в нем нет. Мы говорим, что действительные числа несчетны.
Давайте посмотрим на это заключение немного более пристально. Мы только что видели, что действительные числа (натуральные числа плюс рациональные числа и иррациональные числа) являются несчетными. Однако мы видели, что натуральные числа, рациональные числа и алгебраические числа все счетны. Мы можем сделать вывод, что числа, которые делают действительные числа несчетными, все являются трансцендентными (такими, как π и e).
Сделаем паузу, чтобы осознать значение этого необычного вывода. Он означает, что огромное большинство чисел — на самом деле, бесконечно преобладающее большинство — являются трансцендентными. Это весьма удивительно, особенно потому, что трансцендентные числа гораздо менее нам знакомы, чем «обычные» числа, и вы даже могли никогда о них раньше не слышать. Тот факт, что трансцендентные числа в преобладающей степени более многочисленны, чем другие виды чисел, явился основанием для моего замечания в начале главы, что удивительным является то, что мы вообще можем считать: натуральные числа крайне редко распределены среди действительных чисел, и каждое из них окружено бесконечностью трансцендентных чисел. Эдвард Темпл Белл выразил это графически, когда написал
Алгебраические числа [включающие натуральные числа] разбросаны по плоскости как звезды по черному небу; плотная чернота является небом трансцендентности.
Кантор обозначил мощность — полное количество — натуральных чисел буквой древнееврейского алфавита N0 (алеф-ноль), первым из ряда трансфинитных чисел N0, N1, N2, … расположенных в порядке возрастания. Мы можем представлять себе N0 как наименьшую версию бесконечности, N1 как следующую, большую версию, и так далее. Вопрос, с которым столкнулся Кантор, заключается в том, является ли мощность действительных чисел, которая, как мы видели, больше, чем мощность натуральных чисел, равной N1, или она равна более высокому трансфинитному числу. Знаменитая континуум-гипотеза состоит в том, что мощность действительных чисел — число точек на прямой — равна N1 первому после N0 количественному числу, а не N5, например, или какому-нибудь другому трансфинитному числу. Как рассказывают, Кантор почти сошел с ума от своих непрерывных, но разочаровывающих попыток доказать континуум-гипотезу. Доживи он до 1963 г., он понял бы причину своего разочарования или, по крайней мере, ему бы ее продемонстрировали, так как в этом году американский логик Пауль Коэн (р. 1934) показал, что эта задача неразрешима: невозможно доказать истинность или ложность континуум-гипотезы, и мощность действительных чисел может быть любой из величин N1, N2, …, а возможно, и всеми ими.
Мы споткнулись об еще одну подозрительную и нервирующую черту математики: из нее выходит пар, когда она имеет дело с бесконечностью, так же как, возможно, в ее котлах нет пара при столкновении с предположением Гольдбаха (о возможности выразить любое четное число суммой двух простых чисел). И у нас в голове начинает свербить вопрос: а не трещит ли математика по швам от всего этого, не теряет ли она всю мощь своего авторитета, если на нее посильнее нажать? Существуют ли еще и другие вопросы, подобные континуум-гипотезе, в ответ на которые она лишь оглушенно молчит? И так же, как, по утверждению ультрафинитистов, натуральные числа выдыхаются по пути в бесконечность, не выдыхается ли и сама математика в некоторых областях своих доводов, и не имеет ли она слепых пятен в других областях?
Прежде чем перейти к суждению о том, не являются ли белые одежды математики на самом деле поношенными и расползающимися, стоит сделать еще несколько замечаний об умозаключениях Кантора, пусть даже они могут подтолкнуть нас совсем близко к краю безумия. Во-первых, следствием несчетности действительных чисел является то, что количество точек на отрезке линии любой длины невозможно сосчитать. Однако мы можем быть уверены, что, какова бы ни была длина отрезка линии, она состоит из одного и того же числа точек, каково бы ни было это число. Таким образом, число точек на отрезке линии длиной в миллиметр таково же, как и число точек на отрезке линии, простирающемся отсюда до следующей галактики. А как насчет числа точек на плоскости? С помощью изящных аргументов Кантор смог показать, что каждая точка плоской области может быть поставлена во взаимно однозначное соответствие с каждой точкой отрезка линии, безотносительно к площади области и длины отрезка. Поэтому число точек в плоской области любой площади — на почтовой марке или в Австралии — такое же, как и число точек на отрезке линии любой длины — в нанометр или километр, — и оба числа равны числу действительных чисел. То же самое верно для объема любой размерности: в кубе столько же точек, сколько в десятимерном гиперкубе любого размера и в отрезке линии любой длины. Поэтому, как ни удивительно, на сфере размером с Землю столь же много точек, сколь на отрезке линии длиной в 1 см. Возможно, вы начинаете понимать, почему Кронекера так выводили из равновесия перспективы математики, вступающей в ту область, которую Гильберт назвал «раем Кантора» и теперь, если только мы не примем специальных мер, бесконечность становится предательской трясиной, засасывающей разум.
Мы знаем теперь, что их существует много, мы узнаем их, когда встречаем, но что они такое? Что есть числа? У греков был ограниченный взгляд на числа, поэтому, возможно, геометрия давалась им лучше, чем арифметика. Их символические обозначения не работали: у них были прекрасные символические обозначения для элементарной геометрии — прямая линия и круг, нарисованные на плоскости, — но их понятия о цифрах были неуклюжими. Конечно, они не считали 0 и 1 числами, так как содержанием понятия «число» у них была скорее «многочисленность»: чем многочисленнее, тем и число больше. Как отсутствие вещи, так и одна вещь, не обладают многочисленностью, поэтому они не есть числа.
Современное понятие числа появилось, когда в конце девятнадцатого века первоначально Кантор, а затем, во всей полноте строгости, Фреге и Пеано создали теорию множеств. Итальянец Джузеппе Пеано (1858-1932) был доктором Касабоном математики, так как, подобно доктору Касабону, предпринявшему попытку написать историю всех религий мира, Пеано потратил свои зрелые годы, с 1892 по 1908 гг., на составление своего Formulario mathematico, собрания всех известных теорем из всех областей математики. Очаровательно непрактичный Пеано полагал, что Formulario станет неоценимым благодеянием для лекторов, которым достаточно будет просто провозгласить на лекции номер теоремы, вместо того чтобы обременять себя ее утомительным изложением. Чтобы поощрить международное использование своего труда, Пеано опубликовал его на «Latino sine flexione», изобретенном им якобы интернациональном языке, основанном на латыни и освобожденном от скучной грамматики, но со словарем, в который входили слова из латыни, немецкого, английского и французского языков. Пеано, имевший, по всей видимости, недостаточную способность суждения о принятых в повседневной жизни хороших манерах, хотя в остальном человек мягкий и обходительный, обладал искусством терять друзей с помощью настойчивых упражнений в одном из наиболее впечатляющих своих талантов, способности быть неумолимо логичным. Он использовал свой талант, чтобы подсекать потенциальных друзей, если их аргументы не были вполне строгими; но он воспользовался им и для доброго дела, сформулировав основания математической логики. Даже молодой Бертран Рассел был впечатлен точностью Пеано и мощью сопровождавшей ее аргументации, когда они встретились в 1900 г., и, когда Рассел приступил к своему собственному формулированию оснований математики, он воспользовался видоизмененными обозначениями Пеано.
Пеано, по некоторым непостижимым, но, возможно, обаятельно романтическим причинам, опубликовал свои аксиомы на латыни. Он определил арифметику следующими постулатами:
1. 0 есть число.
2. Элемент, непосредственно следующий за числом, есть также число.
3. 0 не является элементом, непосредственно следующим за каким-либо числом.
4. Никакие два числа не имеют одного и того же следующего за ними элемента.
5. Любое свойство, которым обладают 0 и каждый элемент, непосредственно следующий за числом, есть также свойство, которым обладают все числа.
Последняя аксиома есть принцип математической индукции. Если мы обозначим операцию «непосредственно следующий за» символом s, то получаем возможность определить 1 как s0 (элемент, непосредственно следующий за 0), 2 как ss0 (элемент, непосредственно следующий за элементом, непосредственно следующим за 0), 3 как sss0 и так далее. У этого подхода, однако, существует та проблема, что Пеано оставил без определения некоторых из своих терминов, такие, как «непосредственно следующий за» и, конечно, «число», так что мы все еще не знаем, чем являются числа.
Основополагающий вклад в решение этой проблемы внес Фридрих Людвиг Готтлоб Фреге (1848-1925). Этот вклад казался отправным пунктом для того, чтобы математика могла занять подобающее ей высшее место в иерархии человеческой мысли, а на деле оказался причиной ее падения. Фреге считают основателем математической логики, так как ему удалось создать превосходную логическую схему, которая должна была утвердить математику в качестве краткого конспекта сушеной человеческой мысли. Для достижения этого ему было необходимо понятие числа, и, чтобы создать его, он построил в своем труде Grundlagen der Arithmetik (Основания арифметики, 1884) концепцию множества. Множество — это просто собрание различных объектов, например, {Том, Дик, Гарри}. Множества были введены в математику Кантором, а в течение последующих десятилетий теорию множеств усовершенствовали Эрнст Цермело (1871-1953) и Адольф Френкель (1891-1965), которые сформулировали точные утверждения о свойствах множеств, о том, как их строить (то, чего Кантору объяснить не удалось) и как с ними обращаться. Поэтому современная общепринятая теория множеств известна как теория Цермело-Френкеля.
Фреге предложил считать числа названиями множеств определенного вида. Чтобы сделать свое определение точным, он ввел понятие расширения свойства, как множества, состоящего из всех объектов, этим свойством обладающих. О названии «расширение» лучше всего думать как о слове, произошедшем от словосочетания «расширенный набор». Так, расширением свойства «иметь такой же размер, как множество {Том, Дик, Гарри}» является множество, состоящее из всех множеств, которые имеют тот же размер. Понятие «иметь такой же размер» в теории множеств вполне определенно: оно означает, что элементы множеств одного размера могут быть поставлены во взаимно однозначное соответствие. Например, множество {Том, Дик, Гарри} имеет такой же размер как {камень, ножницы, бумага}, поскольку Тома можно привести в соответствие с камнем, Дика с ножницами, а Гарри с бумагой (рис. 10.7). Может показаться, что теория множеств чересчур уж тщательно заботится об определениях: но эта забота совершенно необходима, когда речь идет об основаниях математики. Расширением свойства «иметь такой же размер, как множество {Том, Дик, Гарри}» будет, таким образом, множество, состоящее из множеств {Том, Дик, Гарри}, {камень, ножницы, бумага} и так далее. А теперь мы с грохотом плюхаемся на землю: мы называем это расширение, это множество, числом 3.
Рис. 10.7. Множество объектов имеет тот же самый размер, что и другое множество, если элементы этих множеств могут быть поставлены во взаимно однозначное соответствие. Эти два множества имеют один и тот же размер: если убрать самолетик, они будут иметь разные размеры.
Продолжая, Фреге определил натуральные числа как следующие расширения:
0 есть название расширения свойства «иметь такой же размер, как множество, состоящее из элементов, которые не тождественны самим себе»
(конечно, того, что не тождественно самому себе, не существует).
1 есть название расширения свойства «иметь такой же размер, как множество 0».
2 есть название расширения свойства «иметь такой же размер, как множество, состоящее из множеств 0 и 1»,
и так далее. Решающим моментом этого определения чисел как названий множеств, последовательно определяемых в терминах меньших множеств, является то, что в нем используются термины, взятые из математической логики, а именно «свойство», «равенство» и «отрицание». Это привело Фреге к точке зрения, что математика есть не более чем логика.
Логикой это могло быть, но удовлетворительным не могло. В 1902 г. незадолго до того, как Фреге был готов отправить издателю второй том своего огромного труда Grundgesetze der Arithmetik (Фундаментальные законы арифметики), в котором он возводил все здание математики, опираясь на это определение числа, он получил от Бертрана Рассела знаменитое письмо, указывающее на существование одного несоответствия. Собственные слова Фреге живо передают охвативший его ужас, когда он распечатал письмо Рассела:
Вряд ли ученый[51] может столкнуться с чем-нибудь более нежелательным, чем необходимость сдаться как раз тогда, когда работа закончена. Именно в такое состояние повергло меня письмо мистера Бертрана Рассела, когда работа вот-вот должна была отправиться в печать.
Бертран Рассел (1872-1970) указал Фреге на проблему расширения свойства «не принадлежать самому себе». Предположим, мы рассматриваем множество, состоящее из множеств, которые не являются элементами самих себя. Например, множество, состоящее из «абстрактных идей», является элементом самого себя, поскольку такое множество само является абстрактной идеей, в то время как множество, состоящее из «фруктов», не является элементом самого себя, поскольку само это множество не есть фрукт. Рассел спросил, принадлежит ли самому себе множество всех множеств, не принадлежащих самим себе? Если оно принадлежит самому себе, то оно относится к множествам, не принадлежащим самим себе. Если оно не принадлежит самому себе, то оно относится к множествам, принадлежащим самим себе. Короче говоря, если оно да, то оно нет, а если оно нет, то оно да. Антиномию (противоречие, парадокс) Рассела многократно выражали в более повседневных разговорных терминах, таких как «брадобрей в этом городке бреет всех мужчин, которые не бреются сами: бреет ли брадобрей себя?».
Антиномия Рассела подорвала программу Фреге, а вместе с ней и основания математики. Причина коррозионного действия противоречия состоит в том, что в логике справедлива теорема: если система аксиом теории приводит к противоречию, то любые предложения, которые можно сформулировать в теории, являются ее доказуемыми теоремами. Поэтому, если определения Фреге приводят к противоречию, то из них можно вывести какую угодно теорему, включая «1 = 2» и «√2 есть рациональное число». Следовательно, в качестве оснований арифметики его аксиомы хуже, чем ничего.
Рассел так же глубоко, как и Фреге, был озабочен основаниями математики и в равной мере проявлял интерес к попыткам продемонстрировать, что математика является не более чем ветвью логики. Такова точка зрения логицистической школы философии математики. В 1903 г. Рассел публикует свои The principles of mathematics, а его бывший экзаменатор, а теперь коллега по Кембриджу, Альфред Норт Уайтхед (1861-1947), готовит второе издание A treatise on universal algebra. Оба они пришли к соглашению о сотрудничестве в более амбициозном проекте, заключающемся в доказательстве того, что математика в целом есть подмножество логики. Работа, на подготовку которой они потратили десятилетие, в конце концов появилась в виде трех томов Principia mathematica в 1910, 1912 и 1913 гг. Запланированный четвертый том о геометрии так никогда и не появился. В Principia использовалась тщательно разработанная система обозначений, дающая больше возможностей, чем системы Пеано и Фреге; некоторое представление о ее изощренности можно получить из рис. 10.8, представляющего собой проделанное Расселом и Уайтхедом доказательство того, что 1 + 1 = 2.
и много позже
Рис. 10.8. Факсимиле доказательства того, что 1 + 1 = 2, из Principia mathematica.
Расселу и Уайтхеду было необходимо обойти трясину противоречий, которая засосала Фреге. Чтобы достичь этого, Рассел ввел свою теорию типов, в которой элементам множеств присваивается «тип», и каждое множество может содержать элементы только низшего типа. Так, единичные объекты имеют тип 0, утверждения о множествах этих единичных объектов имеют тип 1, и так далее. Поскольку множество может содержать лишь множества низшего типа, оно никогда не может стать элементом самого себя, так что антиномии Рассела удастся избежать. Однако теория типов все еще недостаточно сильна для того, чтобы устранить некоторые парадоксы, такие как «парадокс Берри», предложение из десяти слов: «наименьшее из целых чисел, определяемых не менее чем одиннадцатью словами». Целое число, удовлетворяющее этому требованию, на самом деле определено предложением из десяти слов, поэтому данное предложение противоречиво. Чтобы избежать опасностей также и этого болота, Рассел был вынужден проложить гать из нового варианта теории типов, который он назвал разветвленной теорией типов. В разветвленной теории обозначения присваивались не только типам рассматриваемых объектов, но также и способам их определения. Principia mathematica основаны на разветвленной теории типов.
Возможно, создается впечатление, что разветвленная теория типов является лоскутным одеялом, сшитым из отдельных уверток. На самом деле, все обстоит гораздо хуже, поскольку в ней оказалось невозможным доказать, что каждое натуральное число имеет следующее за ним или что количество натуральных чисел бесконечно. Чтобы преодолеть эти недостатки, к лоскутному одеялу пришлось пришить аксиому бесконечности, которая просто декларировала существование бесконечности. Но худшее (в смысле увеличения числа лоскутков) было впереди: для корректного определения числа пришлось добавить лоскут аксиомы редуцируемости, связанной с поведением предложений различного порядка. Так или иначе, но логицистическая повестка дня раскручивалась, и, казалось, становилось ясно, что математика не является просто ответвлением логики.
Что также становилось ясным, так это существование проблем с теорией множеств, которую хотели представить как основание математики. Может быть, неприятности теории множеств можно проследить до подлинной проблемы, заключающейся в самом понятии множества, которое выглядит выхолощенным? Может быть, понятие множества слишком широко для математиков? В начале двадцатого века, приблизительно в то же время, когда Рассел и Фреге сражались со своими проблемами, эта точка зрения получила определенную поддержку в форме аксиомы выбора. Эта аксиома является логическим двойником пятого постулата геометрии Евклида (о параллельных прямых, глава 9) и привлекла к себе огромное внимание. Ее простейшая форма выглядит кроткой как овечка: если у вас есть набор множеств, то вы можете составить новое множество, выбирая по одному элементу из каждого множества и добавляя их в свою тележку для покупок. Все мы собираем таким способом элементы множеств в супермаркете, называя вновь сконструированное множество своим шопингом. Кто мог бы возразить против такой процедуры собирания множества?
Однако овечка сбрасывает шкуру и оборачивается волком, как только мы начинаем рассматривать бесконечные множества, поскольку, возможно, нет никакого способа точно определить выбор. Для конечного числа множеств мы можем просто составить список всех элементов, которые хотим выбрать — список покупок. Рассмотрим, однако, следующую задачу. У нас есть бесконечное число множеств, одно состоит из действительных чисел, лежащих между 0 и 1, другое между 1 и 2 и так далее. Мы решили образовать новое множество путем случайного выбора по одному элементу в каждом из этих множеств. К сожалению, мы не можем составить список наших выборов, потому что их число бесконечно, и не можем определить их правилом, потому что их выбор должен быть случайным. Таким образом, мы образовали множество, которое не можем точно определить. Рассел привел бытовую иллюстрацию трудности, которую создает аксиома выбора: богатый человек, имеющий бесконечное число пар носков, поручает слуге выбрать по одному носку из каждой пары. Слуге не удается это проделать, так как у него нет способа решить, какой носок в каждой паре он должен выбрать.
Существуют три позиции, которые можно занять по отношению к аксиоме выбора, и каждый математик, сознательно или бессознательно, выбирает одну из них. Одна позиция, которую занимают математические страусы, заключается в том, чтобы игнорировать проблему, которую представляет эта аксиома, и просто продолжать работать как ни в чем не бывало. Это точка зрения всех физиков, большая часть которых вообще не подозревает, что здесь есть какая-то проблема, и только отрешенно пожмет плечами, если привлечь к ней их внимание и объяснить, в чем дело. Затем имеются математические социальные работники, которые осведомлены о проблеме и используют аксиому выбора для логического доказательства лишь как последнюю спасительную соломинку. Они отчаянно пытаются найти альтернативный маршрут среди аксиом, какими бы извилистыми ни становились их аргументы. И, наконец, существуют математические святые, поистине блюдущие обет безбрачия, когда дело доходит до аксиомы выбора, которым на нее противно даже смотреть, рассматривающие любое опирающееся на нее доказательство как ничтожное.
Если математика не является в чистом виде ответвлением логики, что заставляют предполагать все эти неудачи, то какие еще дополнительные составляющие заложены в ней? Чтобы раскопать одну вероятную составляющую, мы должны обратиться к сыну шорника и наиболее трудно понимаемому, но и наиболее влиятельному из философов восемнадцатого века, возможно, на четверть шотландцу, Иммануилу Канту (1724-1804). В своем обсуждении метафизического познания, представляющего собой философское познание, выходящее за пределы опыта, в своей книге Kritik der reinen Vernunft (Критика чистого разума, 1781), Кант вводит различие между «синтетическими» и «аналитическими» суждениями. Аналитическое суждение, в котором предикат (свойство) предмета может быть выявлен путем только рассуждения, не приносит нового знания, как, например, высказывание «морковь является овощем». Согласно логическим позитивистам начала двадцатого века, принявшим и уточнившим этот термин, истинность аналитического суждения зависит только от значений составляющих его слов и правил грамматики, управляющих их сочетанием. Однако синтетическое суждение является таким, в котором предикат не содержится в предмете, например, «эта роза — красная», поскольку не все розы красные; такие утверждения несут новое знание. Далее, эти категории подразделяются на суждения a priori, для которых оценка их истинности не зависит от свидетельства опыта, и суждения a posteriori, для которых оценка истинности определяется в опыте.
Кант предположил, что синтетические суждения a priori, которые выражают новое знание, но являются не связанными с опытом, представляют собой подходящие объекты для философского исследования. Такие суждения включают в себя утверждения о пространстве и времени, которые, с его точки зрения, неоспоримы, и восприятие которых каким-то образом встроено в наши мозги. Для Канта принципы геометрии Евклида и свойства натуральных чисел были синтетическими суждениями a priori. С точки зрения Канта, теоремы математики представляют собой «евклидизацию» свойств пространства и времени, которая некоторым образом выявляет работу нашей нервной системы (это, разумеется, не тот термин, который он использовал) и наши способы восприятия.
Идею о том, что в натуральных числах присутствует нечто врожденное, являющееся непосредственно очевидным синтетическим априорным свойством мира, датский математик Луитцен Эгбертус Ян Брауэр (1881-1966), один из создателей топологии, в своей докторской диссертации, защищенной в 1907 г. в Амстердамском университете, развил в философию математики, известную как интуиционизм. Брауэр отмел кантовский взгляд на геометрию как на синтетическую априорную конструкцию, который, на самом деле, уже был превращен в пыль тем, что пятый постулат Евклида, хотя он и согласуется с другими постулатами, можно заменить другими, не создавая противоречия (как мы видели в главе 9). То есть Брауэр признал, что Кант был неправ, предполагая, что евклидова геометрия необходимо верна, поскольку существуют альтернативные геометрии, которые, как показывает опыт, лучше описывают пространство и время. Однако он не отверг в целом точку зрения Канта на математику как на средство изучения пространства и времени, он отверг только ее пространственную составляющую. Брауэр считал, что математика является выражением нашего осознавания времени, и пропагандировал тот взгляд, что натуральные числа происходят из последовательного просмотра набора объектов и временного разделения наших восприятий каждого из них, которое и представляет собой способ их различения. Брауэр, на самом деле, шел дальше: он был соллипсистом и считал, что все существующее, включая наши сознания, происходит из одного сознающего ума. Однако это точка зрения не является необходимой составляющей интуиционистской повестки дня, и на первый взгляд кажется, что нет необходимости говорить о ней далее (но позднее я еще коснусь с одобрением одного ее варианта).
Интуиционист принимает точку зрения, что натуральные числа имеют особый статус и что мы имеем прямую их интуицию: они не являются объектами, которые можно разработать лучше с помощью дальнейших описаний. Для того чтобы, следуя Брауэру, прийти к понятию натурального числа, мы должны замечать, как наше восприятие проводит различия между объектами, возникающие из упорядоченного во времени их просматривания, с отгибанием пальца всякий раз, как в поле нашего зрения попадает еще один. Из такого взгляда следует, что натуральные числа являются выражением нашей умственной активности. Подобным же образом арифметические операции, такие как сложение, следует считать изображениями умственных процессов, происходящих у нас в голове. Таким образом, чтобы подтвердить, что 2 + 3 = 1 + 4, мы должны выполнить множество операций; мы должны найти результат прибавления 2 к 3, так же как и 1 к 4, а затем должны удостовериться, что эти результаты равны друг другу.
У интуиционизма есть определенные неприятные следствия, которые не становятся немедленно очевидными при кратком описании, но которые необходимо отметить, поскольку они наносят удар в самое сердце классической логики. Это, в частности, случай, когда имеют дело с утверждениями о бесконечных наборах объектов, с которыми нельзя ассоциировать никакую умственную активность, связанную с их восприятием, поскольку у нас нет прямого опыта бесконечности. Например, Аристотель считал одним из столпов логики свой закон исключенного третьего, согласно которому любое утверждение либо истинно, либо ложно. Этот закон оказывается не выполняющимся в интуиционистской математике, поскольку в ней может существовать утверждение, которое не может быть доказано или является логически неразрешимым. В любом случае, это не та ситуация, в которой утверждение либо истинно, либо ложно, лишь бы это когда-либо могло быть доказано. Одним из следствий такого положения дел является то, что утверждение «неверно, что это предложение ложно» не эквивалентно утверждению «это предложение истинно». В то время как мы могли бы утверждать, что сказать «неверно, что в коробке с бесконечным числом шаров найдется шар не красного цвета» это то же, что сказать «все шары в коробке красные», интуиционист отверг бы такое заключение. Согласно интуиционизму, истинность утверждения «в коробке найдется шар не красного цвета» может быть установлена только перебором всех находящихся в коробке шаров, что невозможно в случае бесконечного набора. Еще одним следствием такого положения является невозможность доказать некоторое утверждение, используя аргумент reductio ad absurdum, то есть показать, что отрицание этого утверждения ложно или ведет к противоречию. Для интуициониста единственно приемлемым утверждением является такое, доказательство которого может быть явно построено и требует конечного числа шагов.
Давид Гильберт (1862-1943), прекрасный танцор и любитель пофлиртовать, был одним из наиболее влиятельных математиков двадцатого столетия. Он, как и Кант, родился в Кенигсберге, в Восточной Пруссии (по странному совпадению, Гольдбах тоже родился там). Он знаменит, в частности, тем, что сформулировал проблемы математики, которые, по его ощущениям, на грани веков, то есть в начале двадцатого века, являлись самыми выдающимися. С тех пор многие математики пытались разрешить представленные Гильбертом проблемы, сообщение о которых он сделал на Втором Международном конгрессе математиков в Париже в 1900 г. В лекции были представлены десять проблем; пока Гильберт работал над версией для публикации, их число выросло до двадцати трех. Влияние этих проблем — которые правильнее считать комплексом из группы проблем и намеков на проблемы, чем двадцатью тремя точно сформулированными отдельными экзаменационными вопросами — проистекает из того, что они представляли собой ответ на вопрос о том, что считать хорошей проблемой. Так, проблемы, предъявленные Гильбертом, стоили того, чтобы потратить время на их решение: они были трудными, но не выглядели нерешаемыми, а решение их осветило бы более широкий круг вопросов, чем те, которые они содержали.
Некоторые из этих проблем решены; некоторые оказались неразрешимыми; иные все еще подвергаются атакам исследователей. Некоторые из проблем, в том виде, в котором Гильберт их сформулировал, являются настолько грандиозными, что неясно, будет ли когда-нибудь получено их решение, столь же определенное, как для других проблем. Например, одной из грандиозных проблем была аксиоматизация физики, утверждение ее на кратком и надежном основании, как это проделал Евклид для своего варианта геометрии, а он, Гильберт, строго формализовал его в своем авторитетном труде Grundlagen der Geometric (Основания геометрии, 1899). То, что он здесь имел в виду, можно истолковать, как формулирование «общей теории всего». Однако большая часть этих проблем вполне опеределенна, особенно если их великодушно интерпретировать. Например, они включали доказательство континуум-гипотезы Кантора (которая оказалась недоказуемой) и гипотезы Римана о том, что некоторая определенная функция комплексного переменного z обращается в нуль на бесконечном множестве значений z, каждое из которых имеет действительную часть, равную 1/2 (рис. 10.9).
Рис. 10.9. Известно, что все решения уравнения 1 + 1/2z + 1/3z + 1/4z + … = 0, где z — комплексное число, лежат в окрашенной полосе между 0 и 1. Одна из форм гипотезы Римана утверждает, что все решения этого уравнения на самом деле лежат на центральной линии полосы (как обозначено маленькими кружками), на которой действительная часть равна 1/2 в каждом случае.
Последняя проблема может показаться не слишком уместной, но на самом деле она имеет фундаментальную важность для изучения простых чисел; она остается нерешенной и считается одной из важнейших нерешенных проблем математики. Позднее мы встретимся с двумя другими проблемами Гильберта явно. Его второй проблемой, которую атаковал и решил отрицательно Гёдель, было доказательство непротиворечивости аксиом арифметики. Его десятой проблемой, так называемой Enischeidungsproblem (проблема решения), которую также атаковали и решили отрицательно Алан Тьюринг и Апонз Чёрч, было обнаружение процесса, посредством которого можно было бы определить, решаемо ли уравнение за конечное число шагов или нет.
Гильберт развил также философию математики, которая стала называться формализмом. Он видел математику как два плотно склеенных листа: один лист состоит из конечных расположений символов, получаемых с помощью применения определенных правил. Эти символы просто образуют определенный рисунок на странице и совершенно лишены смысла. Такие бессмысленные рисунки и есть то, что мы на самом деле понимаем под математикой. Даже аксиомы системы являются просто строчками значков, из которых вытек смысл, интеллектуальными трупами, а новые картинки выводятся из этих строчек посредством применения абстрактных правил. С этой точки зрения математики являются дизайнерами обоев. Единственные надежные доказательства, согласно Гильберту, являются финитистскими, а том смысле, что они являются финитными (то есть конечными) наборами символов, поскольку лишь такие наборы можно обозреть и проверить: безопасная математика — это финитная математика. На втором листе находится метаматематика, которая состоит из комментариев к реальной математике, она содержит комментарии типа «эта строка символов имеет сходство с другой», или «x нужно интерпретировать как особый знак для объекта», или «особая группа знаков указывает на то, что модель является полной», или «вот доказательство этого предложения». Мы можем представлять себе собственно математику как всевозможные расположения фигур на шахматной доске, а сопровождающую ее метаматематику как комментарии типа «для белых существует двадцать возможных первых ходов» или «в этой позиции следует шах и мат». Согласно формалистам, математика — это абстрактный символизм и порождение моделей: метаматематика наделяет символизм и модели значением для человека, она пропитывает значки «смыслом», она восстанавливает у трупов кровообращение.
Существует еще одна школа мысли о природе математики, платоновский реализм. Математики, принадлежащие к этой школе, с презрением отвергают точку зрения формалистов, считающих математику занятием, порождающим лишь бессмысленные строчки символов. Они также с презрением отвергают настойчивые утверждения интуиционистов о том, что математика является проекцией ума, что существование не имеет смысла, пока не проведено его доказательство, и что в отсутствии сознания нет никаких чисел и никаких параллельных линий. Подобно формалистам и интуиционистам, они признают недостаточность логицистического утверждения о том, что математика есть не более чем ветвь логики, и соглашаются с ними, что математика больше, чем логика.
Платоники, как называют этот род математиков, считают, что отсутствующая компонента является реальностью. Математики-платоники являются горняками в забое, разрабатывающими залежи предсуществующих закономерностей и пробивающие свои штреки киркой интеллектуальной рефлексии о мире. Они добывают истину, а не вводят ее. Для них числа являются реальными сущностями, а отношения между числами являются утверждениями об существующих объектах. Для них прямые линии, треугольники и сферы реальны как скалы, а арифметические истины (которые, напомним, означают любой вид математической истины, а возможно, даже более того) являются комментариями к некоему роду существования. Таким образом, они отвергают стерильное равнодушие формализма и субъективную запутанность интуиционизма и считают, что они являются такими же учеными, как и все мы. Они извлекают вневременные истины и находясь в яростной оппозиции к установке интуиционистов, считают, что истины существуют даже в том случае, если их доказательство еще не сформулировано.
Я рассмотрю теперь две из важнейших проблем Гильберта, те две, которые наносят удар в самое сердце философии математики и наиболее прямо исследуют ее возможности. Как я уже упоминал, одной из этих проблем является так называемая Entscheidungsproblem, проблема отыскания систематического способа для определения того, можно ли доказать некоторое утверждение символического языка с помощью аксиом этого языка. Атаку на эту проблему почти одновременно предприняли двое, одним был американский логик Алонзо Чёрч (1903-95), который ввел и разработан то, что он назвал λ-исчислением, а другим — британский математик Алан Мэтисон Тьюринг (1912-54), который ввел «логическую вычислительную машину», известную как машина Тьюринга. Эти два подхода изначально были различны на поверхностном уровне, но сотрудничество Чёрча и Тьюринга показало, что на самом деле они математически эквивалентны. Существует одна чрезвычайно важная сильная сторона математики, ее способность показывать эквивалентность с виду совершенно несравнимых вещей. Мы сосредоточим внимание на подходе Тьюринга, поскольку он имеет больше сходства со знакомым нам современным миром компьютеров, но не должно пройти незамеченным, что λ-исчисление Чёрча ассоциируется с используемым в них программным обеспечением и является его основой.
Машина Тьюринга является прибором, который претендует на имитацию действий человека, производящего некоторого рода алгоритмическое вычисление, то есть вычисление, выполняемое с помощью серии последовательных правил, и в котором мы теперь узнаем представление цифрового компьютера. К первой реализации программируемого цифрового электронного компьютера Тьюринга привела, конечно, его работа со взламыванием кодов во время Второй мировой войны на Блетчли-парк, на севере Лондона, а позже в Манчестере. Благодаря успехам во взламывании кодов, на счету Тьюринга оказалось приписываемое ему уменьшение продолжительности войны на месяцы, если не на годы, и, определенно, спасение многих тысяч жизней. К позору для Англии середины двадцатого столетия, Тьюринг, преследуемый законами и нравами общества того времени (он был гомосексуалистом), рано закончил свою жизнь.
Тьюринг искал путь для извлечения сущности того способа, которым человек производит вычисления, а затем исследовал ограничения этого процесса, пытаясь выяснить, возможен ли вопрос, ответ на который, как бы долго ни работал человек, не будет получен? Вариант процедуры, предложенный Тьюрингом, был заключен в капсулу прибора, состоящего из бесконечно длинной ленты бумаги (в подражание бесконечному источнику бумаги и карандашей, которым может располагать человек-вычислитель при выполнении расчетов, делая записи промежуточных вычислений и затем записывая окончательный ответ) и считывающей и пишущей головки, которую можно запрограммировать так, чтобы она реагировала по определенным правилам на то, что записано в ячейке, проходящей мимо нее в данный момент (рис. 10.10). Эти правила можно было видоизменять и направлять на читающую головку с бумажной ленты.
Рис. 10.10. Версия машины Тьюринга. Машина состоит из бесконечно длинной ленты бумаги, разделенной на ячейки, в которых могут быть записаны символы (обычно, 0 или 1), и механизма, который может считывать эти символы, реагируя на считываемое в соответствии со своим внутренним состоянием в данный момент, меняя символы, если это требуется, и переходя к соседним ячейкам в соответствующем направлении. В этом представлении внутреннее состояние обозначается световым сигналом на одной из сторон считывающей головки. Правая диаграмма показывает возможный отклик: машина находится во внутреннем состоянии, обозначенном световым сигналом, и считывает 1; в результате она заменяет 1 на 0, меняет свое внутреннее состояние и сдвигает ленту на один шаг вправо.
Предположим, что ячейки бумажной ленты могут содержать либо 0, либо 1, а головка, в зависимости от своего внутреннего состояния, может считывать ячейку, записывать в ячейку и передвигать ленту на одну ячейку вправо или влево. Конкретная машина Тьюринга будет выполнять серию операций в зависимости от того, что она обнаружит на ленте, и в соответствии со способом реагирования, на который настроена ее головка. Например, если она обнаруживает на ленте 1, когда сама находится в состоянии «1», она может заменить на ленте 1 на 0, поменять свое внутреннее состояние на «2» и сдвинуть ленту на один шаг вправо. В новой ячейке может оказаться 0. Когда головка находится в состоянии «2» и считывает 0, она, возможно, запрограммирована на сдвиг ленты на один шаг влево, а если она считывает 1, то меняет 1 на 0 и сдвигает ленту на один шаг вправо. Если реакции головки искусно запрограммированы, машину можно использовать для выполнения даже самых сложных вычислений. Реальное конструирование такой головки и ее реакций может быть весьма сложной процедурой, а вычисления могут быть очень медленными, но здесь нас интересует лишь принцип вычислений, а не их эффективность.
Каждая из машин Тьюринга представляет собой специальное устройство из ленты и считывающей головки, определенным образом запрограммированной. Давайте предположим, что мы можем пронумеровать все возможные машины Тьюринга, так что у нас есть склад с ящиками, помеченными знаками t1, t2, и так далее. Если одна из этих машин принимает определенное число и останавливается, мы обнаружим определенное число на выходе. Например, если машина t10 принимает число 3, это может означать 42 на выходе и конец вычислений. Чтобы зарегистрировать этот результат, запишем t10(3) = 42. Однако может существовать комбинация машины и значения числа, для которой вычисления никогда не закончатся, например, если машина t22 принимает число 17. Чтобы зарегистрировать этот результат, запишем t22(17) = □. Перед Тьюрингом стояла задача узнать, существует ли способ проверки всех возможных машин и принимаемых ими значений чисел и принятия на основе этой проверки решения, будут ли вычисления когда-либо закончены.
Чтобы выполнить эту программу, предположим, что существует универсальная машина Тьюринга, которая является такой машиной Тьюринга, которую можно запрограммировать для имитации любой индивидуальной машины Тьюринга. У этой машины входная лента имеет две секции, одна для программы, а другая для данных. Программная часть может состоять из строки чисел, которые инструктируют головку, как реагировать на то, что она обнаруживает на ленте. Например, код 001 может означать:
001: если вы обнаруживаете на ленте 1 и находитесь в состоянии 1, замените 1 на 0, смените ваше внутреннее состояние на состояние 2 и передвиньтесь на один шаг вправо.
Подобным же образом, код 010 может означать:
010: если вы обнаруживаете на ленте 0 и находитесь в состоянии 2, передвиньтесь на один шаг влево; а если вы считываете 1, то замените 1 на 0 и передвиньтесь на один шаг вправо.
Программная часть ленты может выглядеть как …001010…, если эти две инструкции надо выполнить последовательно. Мы будем называть универсальную машину Тьюринга tu. Заметим, что, в то время как индивидуальная машина Тьюринга считывает только данные, универсальная машина сначала считывает программу, чтобы подготовить себя, а затем уж считывает данные. Так, если мы хотим, чтобы она имитировала t10, мы считываем программу 10, то есть множество инструкций, настраивающих машину на работу в режиме t10, а затем скармливаем ей данные. Если данные состоят из числа 3, мы будем ожидать от этого совместного процесса ответ 42 и запишем tu(10,3) = 42, где первое число в скобках является номером машины Тьюринга, которую мы хотели имитировать, а второе число представляет данные.
Предположим теперь, что существует машина Тьюринга, которая может взять программу любой другой машины Тьюринга, например t23, и любое множество данных, и решить, остановится или нет эта комбинация, чтобы напечатать ответ. Мы назовем эту особую машину Тьюринга th (h здесь от английского глагола «halt» — останавливаться). Если th получает остановку для частной комбинации программы и данных, например t23 и 3, она напечатает 1 и остановится; если она определяет, что комбинация не приводит к остановке, например t22 и 17, th напечатает 0 и остановится. Успех Тьюринга выразился в доказательстве того, что th не включена в список всех возможных машин Тьюринга и поэтому не существует. Чтобы проделать это, он использовал аргументы, очень похожие на «диагональные» аргументы, которыми пользовался Кантор для доказательства того, что иррациональные числа несчетны. Вы можете свободно перейти к следующему подразделу, если хотите пропустить вывод этого результата.
Эти аргументы таковы. Предположим, что мы задаем входные данные 0, 1, 2, … и машины Тьюринга t0, t1, t2, … и составляем таблицу, верхним левым фрагментом которой является следующая:
Вход 0 1 2 3 Номер матрицы 0 □ □ □ □ 1 3 □ 4 1 2 1 1 1 1 3 0 1 □ 2Когда вычисления не останавливаются, мы записываем символ □. Таблица содержит все возможные вычислимые числа (числа, которые могут быть вычислены машиной Тьюринга до произвольного числа разрядов), поскольку она содержит в своих последовательных рядах все возможные машины Тьюринга, а в последовательных колонках все возможные входы.
Теперь мы делаем второй шаг. На этот раз мы рассортируем результаты с помощью машины th, которая настроена так, что выдает 0, если решает, что соответствующие вычисления не остановятся, и не выдает никаких данных, если решает, что вычисления остановятся. Она также делает себе пометку, чтобы запомнить, где она заменила □ на 0, так как не хочет, чтобы машина, программа которой имитируется, была снова втянута в бесконечные вычисления. Например, когда мы загружаем в машину th число 4, а затем число 2, она, в соответствии с программой t4 и данными 2, инспектирует ленту, производит некоторого рода вычисления, решает, что вычисление t4(2) не остановится, если мы будем его выполнять, и поэтому ставит 0 в соответствующую ячейку таблицы и делает себе пометку, что данное вычисление не остановится. В конце этого этапа вычислений верхний левый фрагмент таблицы выглядит так:
Вход 0 1 2 3 Номер матрицы 0 0 0 0 0 1 0 2 3 0Теперь там, где мы не обнаруживаем 0, мы производим все вычисления, как мы это делали на первом шаге, и получаем следующий фрагмент таблицы:
Вход 0 1 2 3 Номер матрицы 0 0 0 0 0 1 3 0 4 1 2 1 1 1 1 3 0 1 0 2Поскольку исходная таблица содержит все возможные вычислимые числа, эта таблица тоже содержит все возможные вычислимые числа: здесь может быть много повторений, но это делу не мешает.
Теперь перейдем к финалу. Давайте возьмем числа на диагонали (они выделены жирным шрифтом) и изменим их, прибавляя 1 (что похоже на доказательство Кантора). Мы получаем последовательность вида 1123…. Это вычислимое число (поскольку последовательность шагов, основанная на th и машине Тьюринга, действует в каждом предполагаемом случае), поэтому машина, которая производит это число, уже должна присутствовать где-то в таблице. Однако ее нет: она отличается от первого ряда (поскольку мы заставили первую цифру измениться), она отличается от второго ряда (поскольку мы заставили вторую цифру измениться), и так далее, для всех рядов в таблице. То есть, с одной стороны, ряд 1123… должен быть представлен, но, с другой стороны, его нет. Это противоречие, поэтому предположение о существовании «остановочной машины» th, которое мы использовали, должно быть ложным. Мы доказали (и это подтверждено более строгим и авторитетным доказательством Тьюринга), что не существует ни одной общей универсальной алгоритмической процедуры, которую можно использовать, чтобы судить, придут ли к концу данные вычисления или нет. Это влечет, в свою очередь, то, что не может существовать никакого общего алгоритма для решения математических задач, и поэтому Entscheidungsproblem не имеет решения.
Теперь я перехожу к высшей точке этой главы, к тому, что называют самым красивым достижением логики двадцатого века, к теореме Гёделя. Австрийский логик Курт Гёдель (1906-1978) родился в Брюнне, Австро-Венгрия (ныне Брно, Республика Чехия), где работал Грегор Мендель, и учился в Венском университете. Хотя он и не был евреем (вопреки утверждению Бертрана Рассела), Гёдель не смог терпимо относиться к нацистским репрессиям и в 1934 г. поехал в США, в 1940 г. эмигрировал туда насовсем и провел оставшуюся часть жизни в Принстоне, где он и Эйнштейн стали большими друзьями. Конечно, в свои последние годы Гёдель внес существенный вклад и в общую теорию относительности, когда обнаружил неожиданное решение уравнений Эйнштейна, позволяющее времени течь в прошлое. По своему облику и образу жизни Гёдель не был человеком, которого можно было считать вполне приемлемым в обществе. Возвратись в Австрию после своей первой поездки в США, он женился на разведенной танцовщице и увез ее в Принстон, где ее не могли хорошо принять из-за преобладавшего в то время снобизма. К концу жизни у него развились классические признаки депрессии и паранойи: он был убежден, что является жертвой тайного общества убийц, что в конце концов привело его к отказу от еды и к ношению лыжной маски, чтобы избежать заражения во время прогулок в опасной и сильно загрязненной, как он считал, атмосфере Принстона. Он скончался, веся лишь 30 кг, от «недоедания и истощения» (вызванных отказом от пищи), явившихся, как гласит заключение о смерти, результатом «душевного расстройства».
Существуют несколько теорем, связанных с именем Гёделя. Здесь мы сосредоточимся на теореме, опубликованной в 1931 г. в статье Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme (О формальной неразрешимости предложений в Principia Mathematica и связанных с ней системах). В этой статье он показал, что в любой системе математических аксиом существуют метаматематические предложения, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть посредством формального вывода, основанного на аксиомах системы.
Это мы и сделаем. Математика представляет собой последовательность предложений, таких как 1 + 1 = 2, и «это является доказательством данного предложения»; первое предложение является математическим, в смысле Гильберта, а второе метаматематическим. Давайте предположим, что мы можем записать все предложения, которые можно вывести из фундаментальных аксиом (например, из аксиом Пеано или более разработанной системы, основанной на усовершенствованной теории типов, которой пользовались Рассел и Уайтхед). Это даст нам предложения p0, p1, p2, … и так далее. Как мы решим пронумеровать предложения, не имеет значения, но несколько изложенных ниже аргументов дадут вам ощутить аромат того, как действовал Гёдель.
В формулировке арифметики, подобной формулировке Пеано, имеется лишь небольшое число символов.
Например, одна из аксиом гласит «элемент, непосредственно следующий за числом, есть также число». Мы ввели обозначение х' = sx, где s означает «непосредственно следующий за», так что s0 = 1, s1 = ss0 = 2, и так далее. Гёдель приписал число каждому элементарному знаку, используемому в выражениях. Предположим, что он приписал 5 знаку «=» и 7 знаку s. Каждая отдельная переменная, такая как x, описывается отдельным простым числом, большим 10. Например, мы припишем x число 11, а х' число 13. Гёделевским номером предложения является произведение всех чисел, соответствующих символам, которые содержит предложение; так, нашему предложению х' = sx приписывается значение 13 (для x') × 5 (для «=») × 7 (для s) × 11 (для x), что дает 5005. Заметим, что посредством этой процедуры каждое предложение, включая аксиомы формализма, наделяется единственным номером[52], поэтому связи между предложениями становятся связями внутри арифметики. Например, мы можем ответить на метаматематический вопрос: встречается ли это предложение в более длинном, более сложном предложении, выяснив, является ли 5005 множителем в гёделевском номере сложного предложения, также как 5 является множителем 75.
Снабдим предложения индексами, используя их гёделевские номера, так что предложение х' = sx относительно числа 6 (которое должно читаться 6 = s5, «6 непосредственно следует за 5») есть предложение p5005(6). Вы можете ожидать, что сложные предложения имеют большие гёделевские номера, но в том, что последует ниже, мы будем делать вид, что можем обойтись малыми номерами, такими как p1(6) и p4(6). Например, мы можем сделать вид, что Предложение 4, примененное к числу 6, является метаматематическим утверждением «6 есть совершенное число» (число, являющееся суммой своих простых множителей, в данном случае включая 1, 6 = 1 + 2 + 3 и 6 = 1 × 2 × 3), а Предложение 5 может сообщать о простых числах, и мы можем прочесть p5(11) как «11 есть простое число».
Математическое доказательство состоит из строки предложений, которые выводятся одно из другого с помощью использования правил обращения с символами. Это означает, что мы можем приписать отдельный номер целому доказательству, отметив гёделевские номера всех входящих в него предложений. Если доказательство состоит из трех предложений с гёделевскими номерами 6, 8 и 2 (на практике эти номера были бы огромны), то всему доказательству приписывается номер 26 × 38 × 52 = 10 497 600 (для более длинных доказательств ряд простых чисел 2, 3, 5 последовательно продолжают). Как вы можете вообразить, длинные доказательства, состоящие из сложных предложений, имеют астрономически большие гёделевские номера. И снова смыслом этой процедуры является то, что целые доказательства включаются в область арифметики. Мы можем использовать арифметические процедуры, чтобы, например, судить, используется ли одно доказательство в другом, определяя, входит ли гёделевский номер первого множителем в гёделевский номер второго, подобно тому, как 15 = 5 × 3 означает, что 5 и 3 являются компонентами 15.
Теперь мы воспользуемся этими гёделевскими номерами, чтобы вывести результат Гёделя с помощью вариации процедуры из метода Кантора и решения Тьюрингом проблемы вычислимости. На самом деле Гёдель использовал гораздо более глубокие методы, доказав пятьдесят промежуточных теорем — опорные базы, — прежде чем достичь завершения доказательства. Следующий далее текст лишь ухватывает суть дела: представьте себе это как полет вертолета над вершиной горы. Однако, поскольку доказательство все же является трудным, даже урезанное и упрощенное до той степени, до которой мне удалось его адаптировать, вы можете свободно перескочить к месту, где восстанавливается нормальный размер шрифта.
Предположим, что у нас есть некоторое предложение относительно числа 0, мы назовем это предложение p0(0), и такое же предложение относительно числа 1, которое мы назовем p0(1), и так далее. Обозначим вообще это предложение относительно числа x как p0(x). Эти предложения могут быть истинными, а могут ложными. Например, предложение «квадратный корень из x равен 1» в случае p0(0) ложно, поскольку утверждает, что √0 = 1, что неверно, но в случае p0(1) оно истинно, так как √1 = 1. Каждое из этих предложений имеет гёделевский номер, который мы можем вычислить, и существует бесконечное число таких предложений относительно каждого из бесконечного числа натуральных чисел. Обозначим эти предложения как p0(x), p1(x) и так далее: некоторые из них являются мусором, некоторые верны. Организуем теперь все соответствующие им гёделевские номера в огромную таблицу (с астрономически большими номерами там, где мы подставили малые номера). Верхний левый фрагмент этой таблицы может быть чем-то вроде:
Вход 0 1 2 3 Предложение 0 0 55 27 4 1 51 3 7 17 2 0 20 30 40 3 13 22 11 2где каждое число во внутренних клетках таблицы есть (фальшивый) гёделевский номер соответствующего предложения. Так, фальшивый гёделевский номер предложения p3(x) относительно числа 2 равен 11.
Теперь составим отдельный список гёделевских номеров всех предложений, которые являются доказуемыми с помощью аксиом системы. Подобно нашему предположению о существовании заслуживающей доверия машины Тьюринга для решения вопроса о том, остановятся вычисления или нет, мы предположим, что такой список может быть составлен, но если это приведет нас к противоречию, нам придется отвергнуть это предположение.
И здесь, как и в аргументах Тьюринга, нас ожидает провал. Рассмотрим следующее предложение:
Гёделевский номер этого диагонального члена отсутствует в списке доказуемых утверждений.«Диагональным членом» является предложение относительно собственного номера предложения, например, предложение p2 относительно числа 2. Поскольку это утверждение является предложением, оно должно уже содержаться где-то в первоначальном исчерпывающем списке предложений. Для простоты давайте предположим, что оно оказывается Предложением 2. Коль это так, рассмотрим соответствующий диагональный гёделевский номер, который в этом случае равен 30. Этот гёделевский номер соответствует Предложению 2 относительно числа 2, которое гласит:
Не существует доказательства Предложения 2 относительно числа 2.Теперь мы подходим к противоречию. Предположим, что мы узнали, обратись к полному списку доказуемых утверждений, что это предложение действительно верно (а значит, его гёделевский номер должен быть в списке доказуемых утверждений), то есть можно доказать, что доказательства Предложения 2 относительно числа 2 не существует. Тогда у нас получается противоречие, поскольку, если не существует доказательства Предложения 2 относительно числа 2, то его номера не должно быть в списке доказуемых утверждений! Если мы вместо этого предположим, что предложение о том, что не существует доказательства Предложения 2 относительно числа 2, является ложным, тогда его нет в списке доказуемых утверждений, а тогда это предложение истинно!
Мы достигли точки, в которой нам приходится заключить, что система аксиом, которой мы пользуемся, недостаточна для того, чтобы принять решение о том, что верно: это предложение или его отрицание. Математика неполна. Это означает, что существует бесконечное число математических утверждений, которые, возможно, верны, но не могут быть выведены из данного множества аксиом. В этом состоит основание для одного из моих вводных замечаний. Удивительно не только то, что мы можем считать (поскольку натуральные числа столь редки во вселенной всех чисел), удивительно, что мы можем делать с числами что-то арифметическое (потому что формально доказуемые выражения являются тоже очень редкими).
Заключение Гёделя не стало судным днем математики. Во-первых, могут существовать неалгоритмические методы установления истинности утверждений, так же как может быть невозможно формально доказать, что определенная позиция в шахматах не приводит к мату, но ее можно увидеть с более объемлющей точки зрения. То есть может существовать метаматематическое доказательство утверждения, которое не может быть доказано внутри формальной системы. То, что человеческий ум способен порождать такие неформальные, но вполне надежные доказательства, является окном в природу сознания, ибо это показывает, что понимание и рефлексия не нуждаются в том, чтобы быть алгоритмическими.
Математика прошла через три главных кризиса в своей истории. Первым было открытие древними греками несоизмеримости и существования иррациональных чисел, обрушившее философию пифагорйцев. Вторым было появление дифференциального исчисления в семнадцатом веке, сопровождавшееся страхом, что иметь дело с бесконечно малыми незаконно. Третьим кризисом стало столкновение с антиномиями в начале двадцатого века, такими как антиномия Рассела или парадокс Берри, которые, как казалось, подорвали основы этой науки. В свете этого кажется замечательным, что математика выжила как дисциплина. Тем, что это произошло, мы обязаны старому доброму здравому смыслу: существует огромная и чудесная наука математика, которая, по-видимому, превосходно работает, и было бы глупо отметать предмет, приводящий к таким замечательным успехам, даже если и есть ненадежные области в глубинах его структуры. Работающие математики могут продолжать трудиться без страха и не заботясь о трещинах глубоко в основании, которые, как они предполагают, навряд ли могут проложить себе путь на поверхность в любом. актуальном приложении. Второй причиной, конечно, является то, что математика просто слишком полезна и является наилучшим языком описания физического мира. Пропади математика, пропали бы большинство наук, торговля, транспорт, промышленность и средства связи.
Но возникает вопрос: почему математика, высший продукт человеческого ума, так великолепно приспособлена для описания Природы? И здесь я позволю себе заключительную завитушку, личный полет фантазии, представляющий собой чистую спекуляцию, не основанную на науке и поэтому совершенно лишенную всякой авторитетности. Это покажет, каким я на самом деле являюсь греком (древним, разумеется) и кантианцем в душе, несмотря на мои малодушные насмешки над их спекулятивными философиями. Здесь я намереваюсь быть более греком, чем сами греки, поглядеть, не являюсь ли я более кантианцем, чем сам Кант, и исследовать вопрос: а не существует ли глубокой связи между платоновским реализмом, кантианством и брауэровским интуиционизмом, а также гильбертовским формализмом?
В проблеме, с которой мы столкнулись, есть два главных момента. Один заключается в том, что математика есть внутренний продукт человеческого ума. Второй состоит в том, что математика оказывается удивительно хорошо приспособленной к описанию внешнего физического мира. Как это получается, что внутреннее так хорошо соответствует внешнему? Если мы примем кантианский взгляд на мозг, мы можем предположить, что он развивался таким способом, который наделил его способностью различать множества, соответствующие натуральным числам (в кантовских терминах, синтетическим a priori) и представлять эти числа в трех измерениях в форме геометрии (синтетической a priori тоже, но только локально, поскольку мы знаем, что евклидова геометрия не справедлива на больших масштабах и вблизи массивных тел). Кант наших дней мог бы утверждать, что у нас возникает столько проблем с представлением иррациональных чисел и неевклидовой геометрии потому, что эти концепции не входят в программное обеспечение нашей нейронной сети, из-за некоего рода эволюционной адаптации к локальному окружению, и нам нужно прилагать реальные умственные усилия, чтобы созерцать их свойства.
Двигаясь дальше, мы можем также предположить, что простые операции с этими понятиями также структурно представлены в программном обеспечении нашего мозга. Эта идея предполагает, что лежащие в основе других операций логические операции являются встроенными и у нас есть программно обеспеченная способность к построению алгоритмов. Я не утверждаю, что эта способность принадлежит исключительно мозгу: сегодня существует большой интерес к умозрительным предположениям о существовании нелокальной активности мозга, которая дает нам возможность рассматривать связи неалгоритмическими способами, и кое у кого имеются умозрения (Роджер Пенроуз является ведущим пропагандистом этого взгляда), что сознание есть внутренне нелокальный квантовый феномен. Хотя я был бы удивлен, если бы это оказалось правдой, это не станет составной частью моего собственного умозрения, когда я сконцентрируюсь на алгоритмических процессах в мозгу, на гильбертовском алгоритмическом сопроцессоре для большей, более метаматематической, возможно, нелокальной способности мозга. Коротко говоря, для алгоритмических вычислений мы можем занять позицию, которую допустимо назвать «структуралистской», подобной той, с которой Ноам Хомский смотрел на внутреннюю способность человека к языку, и представлять себе нашу логическую способность как кантовское проявление программно обеспеченной алгоритмической компоненты мозга, которая возникла под давлением эволюции. Наша способность создавать математические взаимосвязи, выводить теоремы и так далее является следствием этой структуры.
Двигаясь из головы наружу, нам следует теперь рассудить, почему физический мир представляется рукой в математической перчатке. Здесь я вступаю на еще более предательскую спекулятивную почву. Мы видели связь чисел с множествами и принадлежащее Фреге отождествление чисел с расширениями определенных множеств. В подобном же духе веселый венгро-американский математик Джон (Иоганн) фон Нейман (1903-57), которого считают, наряду с Тьюрингом, отцом современного компьютера, предложил возможность отождествления натуральных чисел с некоторыми очень простыми множествами. А именно, он идентифицировал 0 с пустым множеством {}, множеством, не содержащим элементов. Затем он перешел к отождествлению 1 с множеством, содержащим пустое множество, 1 = {{}}, 2 с множеством, содержащим пустое множество и множество, которое содержит пустое множество, 2 = {{}, {{}}}, затем 3 = {{}, {{}}, {{}, {{}}}}, и так далее.[53] Так фон Нейман закрутил весь мир чисел из абсолютного ничто и дал нам арифметику ex nihilo.
Я утверждал где-то в другом месте, что, поскольку у меня не хватает воображения, чтобы представить себе, каким еще способом явное нечто может произойти из абсолютного ничто, появление Вселенной ex nihilo должно было происходить именно так, как фон Нейман наколдовал нам натуральные числа из пустого множества. Тот факт, что Вселенная пережила свое собственное творение, следует тогда интерпретировать как указание на то, что объекты, начавшие существовать таким путем, являются логически самосогласованными, в противном случае космос коллапсировал бы. Поэтому существует внутренняя логическая структура Вселенной, которая является той же структурой, что и арифметика.
Теперь мы соединим вместе эти пузырящиеся потоки легковесных спекуляций. Когда математик сталкивается с физическим миром, тот кажется ему его собственной рефлексией. Наши мозги, как и их продукт, математика, имеют в точности ту же логическую структуру, что и сама физическая Вселенная, структуру пространства-времени и населяющих его объектов. Неудивительно тогда (вспомним Вигнера и Эйнштейна), что порожденная мозгом математика дает совершенный язык для описания физического мира.
Все это, возможно, чепуха. А может быть, и нет. Тогда одним из следствий могло бы быть, что глубинной структурой мира является математика: Вселенная, все ее содержимое, есть математика, ничего, кроме математики, а физическая реальность есть внушающая ужас и благоговение ипостась математики. Это радикальный платонизм, ультранеоплатонизм, то, что я где-то назвал «глубинным структурализмом». То, что кажется нам осязаемым — земля, воздух, огонь и вода, — есть не более чем арифметика. Если это так, то теорема Гёделя приложима, в определенном смысле, ко всей Вселенной. Мы никогда не можем знать, действительно ли Вселенная является самосогласованной. Если нет, то возможно, что в некоторый момент в будущем она внезапно придет к концу, или несогласованность распространится на всю ее структуру подобно чуме, сминая логику на своем пути и, подобно ржавчине, уничтожая структуры. Все существующее возвратится к источнику, из которого вышло, к пустому множеству, к поразительно могущественному понятию абсолютного ничто.
А пока это могущество наше, и им можно наслаждаться. Если эта точка зрения верна, то все вокруг нас является внушающим благоговение цветением пустоты, явленным нам в ощущениях и сопровождаемым восторгом чувств, углубленных интеллектом и обостренных наукой, этой наследницей прозрения Галилея, его докучливого перста. Я не могу представить себе ничего более подвижного и ничего более чудесного.
Эпилог Будущее понимания
Какое же будущее нашего понимания мира сулит нам перст Галилея? Головокружительный взлет достигнутый за несколько последних веков, особенно за век, только что прошедший, не проявляет никаких признаков ослабевания. Итак, куда же он ведет?
Наука выглядит так, как если бы она была полубесконечной. Высказывая это осторожно сформулированное мнение, я имею в виду, что оптимист имеет определенные основания подозревать, что поиски финальной теории, получившей неудачное самоосуждающее название «общая теория всего», ОТВ как основания физики, придет к успешному завершению, но что ветвление и приложения науки бесконечны. Конечно, в каждом веке встречаются рассеянные здесь и там осколки этого взгляда, высвечиваемые и поднимаемые на смех беспощадным светом последующего прогресса. Однако современные признаки являются иными, и оптимисты — а оптимизм является той чертой, которой следовало бы стать общей характеристикой личности всех ученых — могут указать на существенную разницу между глашатаями близкого завершения науки в девятнадцатом веке и ими же в двадцать первом.
Ученый девятнадцатого века, попадавший в мир технических новинок все возрастающей сложности и всех масштабов, от крошечного до распростертого на всю страну, видел объяснение как прибор. Для них обетованной землей финального понимания было конструирование машины, которая имитировала бы результаты наблюдений для того, чтобы они могли постигать приборы. Как мы увидим позднее, эта точка зрения не совсем исчезла из современной науки, но теперь ученые считают, что объяснение-как-прибор является наивным взглядом на конец понимания. Любой прибор сам состоит из приборов на более малых масштабах: разумеется, все, что имеет свойства, является составным прибором. Электрон, с его массой, зарядом и спином, является в этом смысле прибором, в котором предполагается некоего рода структура, обеспечивающая его этими базовыми характеристиками.
Из века приборов мы переместились в век абстракции. Сегодня ученые двадцать первого столетия верят, что глубинная структура Вселенной может быть выражена только на языке математики и что любые попытки привязать математику к визуализуемым моделям чреваты опасностями. Абстракция теперь является именем игры, современной парадигмы понимания. Любая финальная теория, если такая может существовать, вероятно, должна быть чисто абстрактным отчетом о фундаментальной структуре мира, отчетом, который мы можем усвоить, но не понять.
Это точка зрения, что мы мы можем усвоить, но не понять ее, возможно, является чересчур радикальным взглядом. Люди являются приверженцами объяснительной математики, особенно математики, используемой для поддержки физики, выраженной в обыденных терминах. Все время сознавая, что такая интерпретация чревата опасностями и неполнотой, они остаются тем не менее адептами математики интерпретирующей. Так, для создания умственной подпорки, можно вообразить спин электрона как вращение электрона, как кручение шара; но в глубине души мы знаем, что «спин» есть чрезвычайно абстрактный объект с характеристиками, которые нельзя вполне уловить с помощью этого классического образа, и, более того, классический образ вводит нас в заблуждение. Другим примером является теория струн, где мы делаем вид, что можем постичь то, что подразумевается под математическим понятием струны в многомерном пространстве, представляя себе ее как реальную струну, колеблющуюся в трех измерениях. Хотя финальная теория может быть в высшей степени абстрактной, мы вправе ожидать, что получим привычные, дающие пищу для размышлений, неточные образы ее содержания и что для авторов научно-популярных книг будет открыто бесконечное будущее для обнаружения новых, привлекательных способов сделать будущую финальную теорию легко усваиваемой.
Но что будем мы понимать под «финальной теорией»? Финальная теория не будет одним уравнением, которое, будучи решенным, объяснит каждое свойство и каждый процесс, существующие под Солнцем, да и само Солнце. Финальная теория будет комплексом понятий, погруженных в некоторый смысл — я не могу выражаться яснее, потому что ясность придет только задним числом — в позицию по отношению к базовым структурам материального мира. Чтобы дать вам понять, что я имею в виду, могу указать на неудачную, но будоражащую воображение попытку, предпринятую обладавшим великолепным воображением Джоном Уилером, который примерно полвека назад задался вопросом, не является ли содержимое предельной реальности собранием утверждений логики предикатов. Не возникла ли Вселенная, вопрошал он, когда случайные утверждения логики, перемешиваясь, вдруг пришли к самосогласованию? Не был ли Большой Взрыв взрывом становящейся логической самосогласованности? Или по-другому: не явилось ли творение актом возникновения его собственной потенциальной постижимости?
Конечно, этот уровень описания лежит ниже, глубже, чем описание современного взгляда в терминах струн и объединения квантовой теории и гравитации. Если считать гидом прошлое, мы можем быть уверены, что произойдут по крайней мере два глубоко важных сдвига парадигмы между современным состоянием и моментом появления финальной теории. Конечно, возможно (и будущие архивисты, если у них сохранится возможность читать наши печатные книги, определенно будут хихикать над наивностью этих слов), что мы вовлечены в бесконечный ряд парадигматических сдвигов и что к истинному пониманию всегда будет вести мощенная желтой брусчаткой дорога, убегающая за парадигматический горизонт. Это, вероятно, будет приятно философам, которые в глубине души пессимисты и будут получать удовольствие от перспективы попадания науки впросак, но это разочарует ученых, которые должны быть в глубине души оптимистами.
Один парадигматический сдвиг придет из объединения гравитации и квантовой теории, и признаки формы, которую он, вероятно, примет, уже существуют. Как уже отмечалось в главе 9, возникает точка зрения, что лишь реальные свойства пространства-времени обеспечивают существование связей между событиями. Существует также глубинная интерпретация квантовой теории, в которой все возможные варианты прошлого уже произошли, так что Вселенная на внутреннем уровне содержит много листов. Мы еще не можем вполне определять такие парадигматические сдвиги, и они открыты для технических возражений, поскольку у нас еще нет полной квантовой теории гравитации. Однако не может быть сомнения, что это будет сдвиг в нашем восприятии реальности, который произойдет внушающим благоговение, поразительным и пока едва различимым в тумане образом, так же, как изменила наше восприятие частная теория относительности, и так же, как изменила и продолжает изменять его квантовая теория. Если подвести итог событиям двадцатого века, то в нем были не только социальные перевороты (век в этом отношении не был исключительным), но были глубинные перевороты в нашем понимании самой ткани реальности, подобных которым не случалось со времен Коперника. В философии никогда не происходили подобные перевороты, несмотря на тысячелетия ее деятельности; в науке они происходят по крайней мере три раза в столетие, а будут происходить по крайней мере на один раз чаще, возможно, в два раза чаще и, возможно, в бесконечной последовательности.
Второй парадигматический сдвиг — мы претендуем на то, что он будет последним, но способа это узнать не существует — заставит нас шагнуть за пределы объединения квантовой теории и гравитации. Он поведет нас к основаниям физической реальности, и мы поймем, что такое быть частицей (устаревший термин, конечно), что такое быть силой, что такое быть зарядом, как возникают физические законы, почему мир таков, каков есть, и как видимая реальность может возникать из абсолютного ничто без вмешательства… и оказываться постижимой. Ни у кого нет ни малейшего понятия, какую форму может принять финальная теория, хотя легкие проблески различных возможностей просматриваются в теории струн, в умозрениях, подобных умозрениям Уилера, и фантастических спекуляциях, о которых я упомянул в конце главы 10. Все в чем мы можем быть уверены, это то, что когда финальная теория возникнет, мы сильно удивимся тому, какими мы были наивными.
Науке осталось решить всего две действительно глубинные проблемы, миллионы проблем второго ряда и неисчислимые триллионы проблем меньшей важности. Одной великой проблемой является проблема происхождения Вселенной; другой — природа сознания, наиболее загадочного из свойств материи. Происхождение Вселенной станет понятным, когда мы немного дальше продвинемся в современных теориях квантовой гравитации и частиц, и мы можем ожидать, что в нее войдут еще несколько крупных идей. Проблема сознания может оказаться совершенно иной, и вероятно, что она будет решена без развития больших идей о нем самом.
Во-первых, я подозреваю, что объяснение такого сложного явления, как сознание, не будет выражено «законом» в традиционном смысле этого слова. Мозг, единственный на сегодняшний день известный прибор, способный генерировать ощущение сознания, проявляет много видов активности и имеет области, в которых сконцентрированные в них определенные функции локализованы не полностью. Поэтому мы не можем ожидать, что его функции удастся выразить в одном, двух предложениях, пусть и состоящих лишь из математических формул. Я подозреваю, что понимание сознания будет достигнуто только тогда, когда мы преуспеем в его имитации. Эта точка зрения, безусловно, не отказывает в важности современному нейрологическому научному подходу к мозгу, включая физиологический, фармакологический и психологический подходы, поскольку нам надо знать в деталях, что необходимо включить в нашу имитацию. Но здесь следует проявлять осторожность, поскольку включать все, что обнаружено, нет необходимости, так же, как нет необходимости снабжать авиационные аппараты перьями или размещать мотор в их грудной клетке. Эта точка зрения не означает также, что распространенная в некоторых кругах современная мода основывать механизмы сознания на квантовых явлениях, происходящих, например, в микротубулах, не может быть сюда привлечена. Конечно, вероятен такой сценарий, что сначала мы получим сознание Типа 1 (как можно его назвать), создав прибор, имитирующий только классическую нейропсихологию, включая удивительную пластичность нейронных связей и утонченность химической мощи и передающей способности. Затем только мы перейдем к построению сознания Типа 2, создав прибор, использующий делокализованные квантовые эффекты того вида, который предлагают те, кто верит, что это неизбежно сопутствует сознанию. Тогда привлекательной задачей было бы выяснение того, что имитатор Типа 2 мог бы сделать (или думать, что может сделать) такого, чего не может сделать (или думает, что не может сделать) имитатор Типа 1. Если окажется, что, как подозреваю я, мы сами принадлежим к Типу 1, то ясно, что мы не опознаем отличные от наших достижения сознания Типа 2 как достижения сознания и спишем его со счета как ошибочное.
Коротко говоря, хотя «теория сознания», может быть, никогда не будет построена — разумеется, и само это понятие, возможно, неуместно, — весьма правдоподобно, что некоторая его имитация получена будет. Акт построения такого имитатора будет, в некотором смысле, достижением понимания природы сознания. Конечно, будет происходить нескончаемое исследование различий между природным сознанием того вида, которым обладаем мы, и имитируемым видом. Мы никогда не будем вполне уверены, подобно ли искусственное сознание во всех отношениях естественному, или мы просто создали что-то еще, чего никогда не поймем. Возможно, единственные пришельцы, которых мы когда-либо встретим, будут созданы нами самими. Мы можем оставить будущим поколениям этические проблемы, связанные с правами этих искусственно сотворенных, но чувствующих не-существ, их право на смерть, их право на специальное лечение, если они сломаются, возможность того, что будут клонировать их или накопленный ими опыт, возможность того, что у сознающих не-существ возникнут разные расы, которые будут находить друг друга неприемлемыми, что у индивидуальных имитаций или их племен появятся системы верований, которые начнут подрывать предполагавшуюся в них рациональность действий, а также вероятность того, что их интеллектам покажутся утомительными ужимки носителей человеческого сознания, и — после вынесения пессимистического, но реалистического вывода о тяжком бремени, которым для планеты является человечество — они примут соответствующие меры. Ясно, что тут открываются огромные просторы для путешествий новых Гулливеров.
Я коснулся сдвигов парадигм в науке. Существуют два из них, которые находятся очень близко от нашего дома, которые уже среди нас и стучатся в самое сердце науки.
С появлением компьютеров и их способности производить численные расчеты огромного объема с огромной скоростью, мы наблюдаем сдвиг от анализа — построения и решения уравнений — к численным расчетам. При использовании данного обстоятельства должным образом, это сдвиг плодотворен, поскольку он увеличивает богатство возможностей, находящихся в распоряжении ученых, которые теперь, вместо того чтобы разводить руками, когда теория подбрасывает им нерешаемые задачи, могут загружать эти задачи в компьютер и анализировать все их следствия. Мы теперь знаем, что совсем крошечные и с виду безобидные уравнения могут иметь чрезвычайные последствия. Нам остается лишь восхищаться этой мощью и нашей способностью распутывать их решения численными методами, ведь я по сути использовал в Прологе тот же критерий восхищения, когда рассматривал критерии, согласно которым идея признается великой.
Однако здесь существуют две опасности. Одна из них тривиальна: мы можем прибегнуть к численным расчетам, когда аналитическое решение может быть найдено при затрате несколько большего труда. Это лень, и хотя она вызывает сожаление у нас, возносившихся к красотам аналитических выражений, возможно, это не особенно важно. Вторая опасность глубже: обращение к численным решениям может удалить нас от понимания. Когда найдено аналитическое решение, мы можем достичь понимания результата, поскольку в принципе мы можем понять каждый шаг в цепочке аргументов, ведущих к решению. Когда же найден численный результат, у нас меньше промежуточных возможностей понимания между семенем (уравнением) и всходом, и мы не ощущаем, что этот результат является столь же важной частью нашего бытия, как и результат, получаемый шаг за шагом в процессе аналитического вывода. Тем не менее лучше получить численный результат, чем вообще никакого, и с течением времени мы будем находить это положение дел все более удобным, и обнаружим способы ассимиляции численных расчетов. Спасительным и привлекательным качеством таких расчетов является, конечно, тот чудесный способ, которым теперь можно воспользоваться, чтобы предъявить их содержание в графическом виде. В настоящее время мы находимся в середине перехода от созерцания красоты элегантных аналитических решений к созерцанию красоты элегантных изображений решений численных.
Второй сдвиг таков, что его надо считать чреватым гораздо более серьезной опасностью. В ряде мест этого текста я уже упоминал, что в определенных случаях наука осторожно освобождается от признака, который был ее основным ресурсом: реального эксперимента. Существуют определенные эксперименты, которые всегда будут выходить за рамки космологии, иногда потому, что они требуют энергии космических масштабов, а иногда потому, что мы, по-видимому, ограничены наблюдениями лишь одной предсуществующей Вселенной. В главе 6 я приводил теорию струн, в качестве примера теории, которая выглядит не поддающейся экспериментальной проверке.
Существуют по крайней мере две реакции на это освобождение от возможности провести эксперимент. Одна состоит в том, чтобы считать все такие непроверяемые теории находящимися за пределами науки и не принимать их более в качестве указателей истины, как и любое из сообщений Аристотеля. Здесь Галилей укоряюще и предостерегающе качает своим перстом. Это занимательная интеллектуальная деятельность, но не наука. Некоторые определенно придерживаются такой точки зрения на теорию струн. Другие, с гораздо меньшими основаниями, думают то же самое о теории естественного отбора. Альтернатива состоит в том, чтобы считать науку созревшей до такой степени, что непроверяемые теории с осторожностью могут рассматриваться как имеющие силу. Так, если теория объясняет массы фундаментальных частиц и предсказывает трехмерность мира, то ей можно приписать «почетную» обоснованность, несмотря даже на то, что нету никакого известного теоретического или практического способа ее проверки. Такая позиция должна была считаться неприемлемой, когда корпус научных знаний был недостаточным, но теперь — постольку, поскольку это не влечет противоречий с изобилием известных фактов — мы, вероятно, можем с осторожностью признать обоснованность таких непроверяемых теорий. Теперь Галилей подымает свой палец, призывая к осторожности. Если мы настаиваем на верифицируемости, как безусловно имеют право поступать научные пуристы, то ценой, которую придется платить, может быть прекращение научного прогресса в направлении исследования первоосновы; это аргумент, конечно, неприменим к приложениям науки, где, как можно предположить, никогда не будет позволено урезать роль эксперимента на подобном основании.
Я использовал термин «верифицируемость». Это привело меня в соприкосновение с широко известной точкой зрения Карла Поппера, гласящей, что теории никогда не бывают верифицируемыми в прямом смысле этого слова, но должны быть «фальсифицируемыми», если претендуют на то, чтобы их считали научными. То есть должен существовать эксперимент, один из мыслимых исходов которого в принципе мог бы показать, что эта теория ложна. Теория естественного отбора является фальсифицируемой (в противоположность тому, что думают некоторые), поскольку, например, как было отмечено в главе 1, она имеет следствия в молекулярной биологии. Общая теория относительности фальсифицируема, потому что, как мы видели в главе 9, она имеет следствия для движения объектов вблизи тяжелых тел, такие как прецессия орбиты Меркурия и отклонение света галактиками. Закон сохранения энергии и закон возрастания энтропии (первое и второе начала термодинамики) фальсифицируемы, потому что они имеют следствия, помимо прочего, для существования вечных двигателей.
Фальсифицируема ли теория струн? К настоящему моменту она еще слишком неопределенна и не способна дать достаточно хороших предсказаний для того, чтобы судить об этом. Но предположим, что это не так: предположим, что будущая версия М-теории примет форму, в которой предсказываются массы всех фундаментальных частиц, все значения фундаментальных констант и структура пространства-времени, но не предлагается абсолютно никакого иного эксперимента для независимой проверки. Теория не была бы фальсифицируемой, поскольку она точно предсказывала бы все известные фундаментальные свойства Вселенной, и я подозреваю, что мы сформировали бы мнение, согласно которому она является обоснованной и, разумеется, прославленной как апофеоз достижений науки.
Что же будут делать ученые, когда в один прекрасный день ОТВ будет создана и предскажет все известные свойства Вселенной? Некоторые обратят свой взгляд в других направлениях и приложат усилия к усовершенствованию полученной финальной теории. Это даст им работу на вечные времена, при условии, что цивилизация продолжит существование. Но найдутся, однако, и другие, те, кто будет обеспокоен проблемой самосогласованности финальной теории, ибо они будут иметь в виду теорему Гёделя и ее негативные последствия для возможности решения этой проблемы (глава 10). Те же, кого самосогласованность не волнует, будут не спать ночи в тревоге о том, что невозможно доказать единственность финальной теории. Они даже могут обнаружить внешне совершенно иную общую теорию всего, которая будет иметь в точности те же самые следствия, но математический вид их будет не таким как в конкурирующей теории, а значит, их Вселенная будет совершенно отличной от того, что до сих пор о Вселенной предполагалось. Ну что ж, наука есть наука.
Благодарности
Мне приятно выразить благодарность за прочтение частей этой книги и руководство моим умом и пером следующим моим коллегам:
Professor Richard Dawkins, FRS (University of Oxford),
Professor Sir Roger Penrose, OM, FRS (University of Oxford),
Professor Sir Martin Rees, FRS (University of Cambridge),
Professor Sir Michael Berry, FRS (University of Bristol),
Professor Lane Hughston (Kings College, London),
the Revd John Polkinghorne, KBE, FRS (University of Cambridge),
Professor Michael Rowan-Robinson (Imperial College, London), and
Professor Alex Wilkie (University of Oxford).
Их дружеский, мудрый и поддерживавший меня вклад неоценим. Я признателен моему коллеге Найджелу Уилсону, FBA, за перевод надписи на фронтисписе. Мне также приятно поблагодарить за руководство и мудрую поддержку моего редактора Майкла Роджерса.
Иллюстрации
Почти все иллюстрации я нарисовал сам, но многие из них основаны на опубликованных работах других авторов. Поэтому мне приятно выразить благодарность авторам следующих вдохновлявших меня источников:
1.3, 1.7 Encyclopedia Britannica. 15 edn.
1.5, 1.6, 1.9, 1.12 Douglas Futuyama, Evolutionary biology, Sinauer, Sunderland, Mass., 1998.
1.10 Roger Lewin, Human evolution: An illustrated introduction. Blackwell Science, Oxford, 1999.
2.2, 2.3 David Suzuki, Anthony Griffiths, Jeffrey Miller, Richard Lewontin, An introduction to genetic analysis. W.H. Freeman, New York, 1989.
2.9 Life: the science of biology. William Purves, Gordon Orians, and Craig Heller, Sinauer, Sunderland, Mass., 1992.
2.11, 2.16 M. Krawchak and J. Schmidtke, DNA fingeprinting. Bios, Oxford, 1998.
2.13 C.K. Mathews and K.E. van Holde, Biochemistry, Benjamin/Cummins, Menlo Park, 1996.
4.13 Roger Penrose, The emperor's new mind. Oxford University Press, 1989.
5.1 William Brock, The Fontana history of chemistry. HarperCollins, London, 1992.
8.3 NASA, СОВЕ Science Working Group; Ap. J. Lett., 354, L37, 1990.
8.7 Bradley Carroll and Dale Ostlie, An introduction to modern astrophysics. Addison-Wesley, Reading, Mass., 1996.
8.11 Brian Greene, The elegant universe. Vintage, London, 2000.
9.3, 9.4 Thomas Banchoff, Beyond the third dimension. Scientific American Library, W.H. Freeman & Co., New York, 1990.
9.8, 9.13, 9.15, 9.16 John Wheeler, A journey into gravity and spacetime. Scientific American Library, W.H. Freeman&Co., New York, 1990.
10.1 Georges Ifrah, The universal history of numbers. Harvill Press, London, 1998.
Примечания
1
Построенный из дерева гофер, ковчег был 300 локтей в длину, 50 локтей в ширину и 30 локтей в высоту; локоть — длина руки от локтевого сгиба до кончиков пальцев, около 45 сантиметров).
(обратно)2
«Бигль» имел 27 метров в длину и 7 метров в ширину в средней части судна, что примерно эквивалентно 15×4 «дарвинов».
(обратно)3
Я говорю «практически неповрежденным», потому что даже если во время мейоза, происходящего в середине гена, возникнет случайная поломка ДНК, шаг рекомбинации восстановит этот ген в новом геноме.
(обратно)4
Не совсем так, энтропия в конце концов уничтожает и информацию. — Прим. пер.
(обратно)5
Размышления в кресле, связанные с экспериментом, конечно, чрезвычайно продуктивны и являются ядром научного метода.
(обратно)6
Различная окраска глаз бесхвостых кошек не связана с их бесхвостостью.
(обратно)7
Вальдейер был щедр на названия, слово «нейрон» тоже изобрел он в 1891 г.
(обратно)8
Во время написания этого текста хорошо известная электронная энциклопедия все еще сообщает, что это число равно двадцати четырем.
(обратно)9
Здесь я не имею права иронизировать: в общую комнату моего собственного колледжа в Оксфорде женщины не допускались до 1970-х гг.
(обратно)10
Фотографию этой двойной спирали можно найти на сайте:
.
(обратно)11
Вся информация о Ньютоне, какую только можно пожелать, есть на сайте:
.
(обратно)12
Более полно, Philosophiae naturalis principia mathematica или Математические принципы натуральной философии.
(обратно)13
Энергия притяжения между Солнцем и Землей дает огромный вклад 5,3×1033 Дж в полную энергию, таким образом, нельзя пренебрегать потенциальной энергией гравитации, даже несмотря на то, что сама гравитация довольно слаба.
(обратно)14
Две культуры.
(обратно)15
КПД (т.е. отношение совершенной работы к подведенному теплу) идеального теплового двигателя, работающего в диапазоне температур Tгор. и Tхол., где значения температуры выражены в абсолютной шкале Кельвина, определяется как 1 − Tхол./Tгор..
(обратно)16
Более точно, он сказал: «Невозможен никакой циклический процесс, единственным результатом которого было бы извлечение тепла из резервуара и полное превращение его в работу».
(обратно)17
Вы являетесь эквивалентом 100-ваттной лампочке, это значит, что вы высвобождаете энергию (накопленную при потреблении пищи) со скоростью приблизительно 100 Ватт в секунду. Если окружающая среда имеет температуру 20° C (или 293 К), то вы повышаете энтропию со скоростью 0,3 Дж/К в секунду.
(обратно)18
Более формально: энтропия любой изолированной системы либо не изменяется, либо увеличивается в ходе любого процесса.
(обратно)19
Работу можно найти на сайте: и в поддиректории gr-qc.
(обратно)20
Коран. 21:30.
(обратно)21
По юлианскому календарю (или 1 марта по григорианскому).
(обратно)22
Гален из Пергама (129-199), записи о Поликлите.
(обратно)23
Несущественная и неуместная дополнительная информация: отец Максвелла Джон при рождении был просто Клерком, но приобрел имя Максвелл, унаследовав имение в Киркудбриджшире от своих предков Максвеллов.
(обратно)24
Это название Гелл-Манн почерпнул из буддизма, философию которого счел убедительной. Восьмеричный путь — это путь Будды, состоящий из восьми ступеней, который, избегая двух крайностей — чувственного сладострастия и самоистязания, — ведет к просветлению и освобождению от страданий. — Прим. пер.
(обратно)25
Европейский центр ядерных исследований. — Прим. пер.
(обратно)26
Преобладание правшей в человеческой популяции (что в гораздо меньшей степени развито у других животных) может иметь эволюционное происхождение в тенденции, присутствующей у матерей человеческих детенышей держать их с левой стороны и успокаивать звуком материнского сердцебиения. Такие матери могут более успешно манипулировать предметами свободной правой рукой, и быть поэтому более предпочтительными для естественного отбора. В попытке отделить давление современной культуры от врожденных тенденций проводились исследования средневековых скелетов. Конкурирующая теория утверждает, что праворукость возникла из необходимости дать место в мозгу для развития эволюционно благоприятной речевой функции.
-post/Omiffl/dispmim?139900.
(обратно)27
Распад нейтральных К-мезонов, каонов.
(обратно)28
Теорию струн называют также теорией суперструн, поскольку она включает аспекты упоминавшейся нами суперсимметрии, связывающей фермионы и бозоны.
(обратно)29
Если вы отвечаете: да, то вы привираете. Скачки амплитуды маятника длиной 1 метр, со стограммовым шариком, качающимся с амплитудой 5 см, как у старых часов в высоком ящике, составляют только около 10−30 см, что на пятнадцать порядков меньше, чем диаметр атомного ядра.
(обратно)30
Две предшествующих «Катоптрики», написанные соответственно Евклидом и Архимедом, не сохранились. — Прим. пер.
(обратно)31
Мы несколько упрощаем выражения: точная величина в правой части равна не самой ħ, a iħ/2π, где i есть корень квадратный из −1.
(обратно)32
Вот как выглядит уравнение Шредингера (без множителей π) для частицы с массой m, движущейся в области пространства, в котором ее потенциальная энергия равна V:
ħ2Ψ''/m = (V − E)Ψ,
где E — полная энергия частицы, Ψ — волновая функция, которую мы хотим найти, а Ψ'' — ее искривление (производная 2-го порядка).
(обратно)33
Выражать состояния таким способом может показаться наивно, но в квантовой механике сформулирован ряд правил, сообщающих, как обращаться с выражениями такого типа и как получать точные количественные заключения. Не позволяйте кажущейся банальности этих символических выражений одурачить вас.
(обратно)34
Прометей освобожденный.
(обратно)35
Титаны, упоминающиеся на цоколе сосуда, в который помещен палец Галилея, взгромоздили Пелион на Оссу, гору на гору, чтобы было удобнее шпионить за звездами; но «хрупкое стекло» смертного Галилея придвинуло звезды ближе, чем могли достать эти хулиганствующие боги. Так палец Галилея резюмировал превосходство мозга над мускулами.
(обратно)36
За время, которое вы потратите на чтение этой сноски — возможно, секунд 10 — расстояние между двумя галактиками, разделенными 1 миллионом световых лет, возрастет на 200 км.
(обратно)37
Хойл сказал: «Эта идея Большого Взрыва кажется мне неудовлетворительной… ибо, когда мы смотрим на нашу Галактику, мы не видим ни малейших признаков того, что этот взрыв когда-либо имел место».
(обратно)38
Часто цитируют неправильно как 26-го в 9 утра, см.
.
(обратно)39
Со сверхновой типа I мы встретимся позже.
(обратно)40
Мне хочется сказать: «человеческая плоть является звездной пылью». Но это говорили так много раз, что я помещаю это чудесное замечание в сноску. Думаю, первым это сказал Найджел Колдер.
(обратно)41
По-английски здесь игра слов: МАСНО (мачо) — massive astrophysical compact halo object. — Прим. пер.
(обратно)42
Еще одна, парная, игра слов: WIMP (слабая и неудачливая персона) — weakly interacting massive particle. — Прим. пер.
(обратно)43
Под этим «более чем удваивается» я имею в виду экспоненциальное раздувание, увеличение размера на множитель e = 2,718…
(обратно)44
Я не совсем шучу. Если Вселенная возникла из абсолютного ничто, то можно предположить, что придет время, когда нам придется исследовать, как нечто может произойти из абсолютного ничто, ex nihilo. Однажды ученым придется изучать абсолютное ничто.
(обратно)45
Анимированный стереоскопический образ вращающегося гиперкуба вы найдете на сайте:
.
(обратно)46
В настоящее время G = 6,67428·10−11 м3·с−2·кг−1.
(обратно)47
Король Англии (1016-1035), Дании (1018-1035) и Норвегии (1028-1035) — Прим. пер.
(обратно)48
Отрицательные числа были известны древним индусам, которые понимали их как «долг», в отличие от «прибыли». — Прим. пер.
(обратно)49
Как же они были правы. Теперь мы знаем, что бобы богаты углеводами, которые наши ферменты переварить не могут, а бактерии E.coli, населяющие наш кишечник, могут; когда они их переварят, они освобождают большое количество двуокиси углерода и водорода, которые являются главным источником метеоризма.
(обратно)50
Значение π было вычислено до нескольких тысяч знаков. С 1589 места начинают повторяться и идут подряд четыре цифры 7, но сразу после этого они перемежаются другими цифрами.
(обратно)51
Заметим, что логичный Фреге считал таковым и себя.
(обратно)52
В интересах простоты я сократил процедуру вычисления до формы, в которой она не вполне хорошо работает, в частности, из-за того, что в расчет не принят порядок символов. Процедура Гёделя является более изощренной.
(обратно)53
Строго говоря, впервые такую конструкцию придумал не менее веселый древнекитайский философ-даос Чжуан-цзы (IV-III в. до н.э.). Он писал (следует учесть, что в даосизме «вся тьма вещей» = одно = дао, а «дао пусто»): «Небо и Земля живут вместе со мной, вся тьма вещей составляет со мной одно. Коль скоро мы составляем одно — что еще тут можно сказать? Но уж коли мы заговорили об одном, то можно ли обойтись без слов? Единое и слова о нем составляют два, а два и одно составляют три. Начиная отсюда, даже искуснейший математик не доберется до конца чисел, что уж говорить об обыкновенном человеке?» — Прим. пер.
(обратно)Питер Эткинз Десять великих идей науки. Как устроен наш мир.
Настоящее издание представляет собой перевод оригинального издания «Peter Atkins. Galileo's Finger. The Ten Great Ideas of Science», опубликованного в 2003 г. издательством Oxford University Press.
Перевод с английского В. Герцика
Технический редактор Е. Кудиярова
Компьютерная верстка Е. Илюшиной
Корректор [ввиду множества ошибок недостоин упоминания]
Подписано в печать с готовых диапозитивов 07.02.2008 г.
Формат 60x90/16. Усл. печ. л. 24.
(Темн.) Тираж 2500 экз. Заказ № 8568.
(Св.) Тираж 2500 экз. Заказ № 8568.
Общероссийский классификатор продукции
ОК-005-93, том 2; 953000 — книги, брошюры
Санитарно-эпидемиологическое заключение
№ 77.99.60.953.Д.007027.06.07 от 20.06.2007 г.
ООО «Издательство Астрель»
129085, Москва, проезд Ольминского, д. За
ООО «Издательство ACT»
141100, РФ, Московская обл., г. Щелково, ул. Заречная, д. 96
Наши электронные адреса: E-mail: astpub@aha.ru
ОАО «Владимирская книжная типография». 600000, г. Владимир, Октябрьский пр-т, д. 7.
Качество печати соответствует качеству предоставленных диапозитивов
ISBN 978-5-17-051198-3 (ООО «Издательство ACT»)
(Темн.) ISBN 978-5-17-050272-1 (ООО «Издательство ACT»)
(Св.) ISBN 978-5-271-19820-5 (ООО «Издательство Астрель»)
(Темн.) ISBN 978-5-271-19821-2 (ООО «Издательство Астрель»)
(Св.) ISBN 0-19-860664-8 (англ.)
Комментарии к книге «Десять великих идей науки. Как устроен наш мир.», Питер Эткинз
Всего 0 комментариев